31

Cap.2. Indicatori de performanţă şi Legi de reglare tipizate(PID)

2.1.Indicatori de performanţă pentru SRA

Performanţele sistemelor de reglare automată în domeniul timpului se definesc pentru

Regimul staţionar şi pentru Regimul tranzitoriu.

Pentru aprecierea regimului staţionar se folosesc uzual următorii indici de calitate:

- eroarea staţionară de pozitie st ;

- eroarea staţionară de viteză v ;

- eroarea staţionară de acceleraţie a ;

Pentru aprecierea regimului tranzitoriu, principalii indici de performanţă sunt:

- suprareglajul, ;

- gradul de amortizare )( ;

- pulsaţia proprie, p ;

- durata regimului tranzitoriu, rt ;

- timpul de creştere, ct ;

- timpul de întârziere, it ;

Eroarea staţionară de pozitie (εst)

Eroarea staţionară st caracterizează precizia de funcţionare a sistemului de reglare

automată în regim staţionar, regim care se stabileste în urma regimului tranzitoriu provocat de

variaţia de tip treaptă fie a mărimii de referinţă )(tVref , fie a unei perturbaţii )(tP . Pentru a

evalua eroarea staţionară se consideră un sistem de reglare automată în circuit închis având

structura din Fig.2.1:

Eroarea staţionară de poziţie în raport cu mărimea de referinţă se calculează considerând

perturbaţiile neglijate, adică 0)( tP .

Prin definiţie:

strstrefrt

reftt

st yVtytVt __)(lim)(lim)(lim

(2.1.)

unde:

strefV _ - este valoarea staţionară a mărimii de referinţă;

stry _ - este valoarea staţionară a mărimii de ieşire(sau de reacţie (t)yy(t) r ) după

consumarea regimului tranzitoriu.

Conform schemei bloc din Fig.2.1. vom avea pentru 0)( tP :

)()()()()()()()()()()()( ssHsHsVsYsHsVsYsVsYsVs RFrefRFrefrefrref

)()()()()( ssHsHsVs RFref

)())()(1)(( sVsHsHs refRF

Vref(s) ε(s)

YFP(s)

Y(s)

Yr(s)

EC

Fig.2.1.

HR(s) HF(s)

HFP(s)

YF(s)

P(s)

YR(s)

32

)(1

1

)()(1

1

)(

)(

sHsHsHsV

s

dRFref

(2.2.)

unde )()()( sHsHsH RFd este funcţia de transfer de pe calea directă

Revenind, avem conform teoremei valorii finale (T.V.F.) din teoria sistemelor:

)()(1

1lim)(lim)(lim

00

..

sVsH

ssst ref

dss

FVT

tst

(2.3.)

În cazul erorii staţionare de poziţie se consideră o variaţie treaptă a semnalului de referinţă sub

forma:

0

00

.,0

.),(1)(

ttpt

ttpttVtv

ref

ref

si a cărui transformată Laplace este:

sVsV refref

1)( 0 (2.4.)

Din relatiile (2.3.) şi (2.4.) vom avea relaţia de calcul pentru eroarea staţionară:

ref

ds

st

ref

ds

ref

ds

ref

ds

st

VsH

VsHs

VsH

ssVsH

s

0

0

00

000

)(lim1

1

)(1

1lim

1

)(1

1lim)(

)(1

1lim

(2.5.)

Făcând notaţia: )(lim0

sHK ds

p

, vom avea:

ref

p

st VK

01

1

iar PK -are dimensiunea şi semnificaţia de factor de amplificare de poziţie al sistemului în circuit

deschis:)(

)(

yK p .

Grafic, eroarea staţionară de poziţie este pusă în evidenţă pe răspunsul din Fig.2.2.

Performanta impusa unui SRA relativ la acest indicator de calitate este:

impusstst _

OBS: Pornind de la relatia ref

p

ref

ds

st VK

VsH

00

01

1

)(lim1

1

se poate observa că eroarea

staţionară de poziţie este „nulă” atunci când pK , adică

)(lim0

sHds

, adica )(sHd are

cel puţin un pol în originea planului complex, adică pe calea directă să fie cel puţin un element

cu efect integrator.

Regim tranzitoriu Fig.2.2.

yst_2

yst_1

Vref_st_2

Vref,y

t

Vref_st_1

)(lim tt

st

33

Eroarea staţionară de viteză ( v )

În acest caz, mărimea de referinţă are o variaţie de tip rampă:

)(1)( 0 ttVtv refref

Deci,

20

1)(

sVsV refref

Eroarea staţionară de viteză în raport cu mărimea de referinţă se calculează considerând

0)( tP .

Prin definiţie:

s

VsHs

VsH

ssVsH

ssst ref

ds

ref

ds

ref

dss

FVT

tv

1

)(1

1lim

1

)(1

1lim)(

)(1

1lim)(lim)(lim 0

020000

..

ref

ds

ref

ds

v VsHs

VsHss

0

0

00 )(lim

1

)(

1lim

(2.6)

Notam )(lim0

sHsK ds

v

-factor de amplificare de viteză, sau

)(

)(lim

t

tyK

tv

(2.7)

Relatia (2.6) devine:

v

ref

ref

ds

vK

VV

sHs

0

0

0)(lim

1

(2.8)

În relaţia (2.7) factorul de amplificare de viteza vK reprezintă raportul dintre viteza de variaţie a

mărimii de ieşire, faţă de valoarea ei într-un regim staţionar anterior, şi valoarea variaţiei erorii,

faţă de valoarea ei în acelaşi regim staţionar anterior care a determinat modificarea ieşirii, pentru

t , în ipoteza că eroarea are o nouă valoare staţionară finită.

Grafic, eroarea staţionară de viteză este pusă în evidenţă pe răspunsul din Fig.2.3.

Performanţa impusă unui SRA relativ la acest indicator de calitate este:

impusvv (2.9)

OBS:Pornind de la relatia v

ref

vK

V0 se poate observa că eroarea staţionară de viteză este nulă

atunci când vK , adică

)(lim0

sHsK ds

v , ceea ce înseamnă că sistemul trebuie să

aibă pe calea directă cel puţin 2 poli, sau sistemul să aibă pe calea directă cel puţin 2 elemente

integratoare conectate în cascadă.

Regim tranzitoriu Fig.2.3.

y

yst_1

Vref Vref,y

t

Vref_st_1

)(lim tt

v

34

Eroarea staţionară de acceleratie ( a )

În acest caz, mărimea de referinta are o variaţie parabolică de forma:

)(12

)( 0

2

tVt

tv refref

sau în domeniul complex,

30

1)(

sVsV refref

Eroarea staţionară de acceleraţie în raport cu mărimea de referinţă se calculează considerând

0)( tP .

Prin definiţie:

20

030000

.. 1

)(1

1lim

1

)(1

1lim)(

)(1

1lim)(lim)(lim

sV

sHsV

sHssV

sHssst ref

ds

ref

ds

ref

dss

FVT

ta

ref

ds

ref

ds

a VsHs

VsHss

02

0

0220 )(lim

1

)(

1lim

(2.10)

Notăm )(lim 2

0sHsK d

sa

-factor de amplificare de acceleraţie, sau

)(

)(lim

t

tyK

ta

(2.11)

Relaţia (2.10) devine:

a

ref

ref

ds

vK

VV

sHs

0

02

0)(lim

1

(2.12)

Grafic, eroarea staţionara de acceleratie este pusă în evidenţă pe răspunsul din Fig.2.4.

Performanţa impusă unui SRA relativ la acest indicator de calitate este:

impusaa _ (2.13)

OBS:Pornind de la relaţia a

ref

aK

V0 se poate observa că eroarea staţionară de acceleraţie este

“nulă” atunci când aK , adică

)(lim 2

0sHsK d

sa , ceea ce înseamnă că sistemul

trebuie să aibă pe calea directă cel puţin 3 poli, sau sistemul să aibă pe calea directă cel puţin 3

elemente integratoare conectate în cascadă.

Regim tranzitoriu Fig.2.4.

y

yst_1

Vref Vref,y

t

Vref_st_1

)(lim tt

a

35

Pentru aprecierea regimului tranzitoriu, principalii indici de performanţă sunt:

- suprareglajul, ;

- gradul de amortizare )( ;

- durata regimului tranzitoriu, rt ;

- timpul de creştere, ct ;

- timpul de întârziere, it ;

- pulsaţia proprie, p ;

Aceste performanţe se definesc pe răspunsul indicial(răspunsul sistemului la semnal de

intrare treapta unitară) ca în Fig.2.5:

Suprareglajul ( ) şi abaterea maximă

Prin definiţie, suprareglajul reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire, în

timpul regimului tranzitoriu provocat de o variaţie în treaptă a mărimii de referinţă a valorii

staţionare ce se stabileşte după consumarea acestuia.

styy max (2.14)

unde )(lim)( tyyyt

st

Deoarece răspunsul unui sistem poate fi periodic sau aperiodic, rezultă conform

definiţiei, că în cazul unui răspuns aperiodic, suprareglajul este nul şi numai în cazul unui

răspuns periodic suprareglajul este diferit de zero.

Este evident că acest indice de calitate poate caracteriza numai sistemele stabile, deoarece

în cazul unui sistem instabil – periodic sau aperiodic – mărimea de ieşire nu mai atinge o valoare

staţionară şi astfel nu mai are sens noţiunea de depăşire a acesteia.

De regulă, suprareglajul se raportează la valoarea staţionară a mărimii de ieşire sty şi se exprimă

procentual astfel:

100[%] max

st

st

y

yy (2.15)

Deoarece o valoare mare a suprareglajului poate conduce la suprasolicitări ale instalaţiei sau

procesului tehnologic reglat, determinând fie uzura, fie chiar deteriorarea elementelor acestora,

valoarea suprareglajului trebuie limitată.

Referitor la suprareglaj, performanţa impusă sistemului de reglare se exprimă printr-o

condiţie restrictivă de forma:

[%][%] impus (2.16)

Gradul de amortizare ( );

Acest indicator de calitate caracterizează rapiditatea cu care descreşte amplitudinea

0,5yst

1(t)

t

Vref

T

ζ1 ζ

tr

ti

tc

0,05yst

0,95yst

1,05yst st

ty lim y(t)

Răspuns aperiodic

t

Răspuns periodic

Fig.2.5.

y

36

oscilaţiilor mărimii de ieşire.

Deoarece răspunsurile periodice sunt determinate atât de variaţii ale mărimii de referinţă,

cât şi de variaţii ale mărimii perturbatoare, rezultă că gradul de amortizare poate fi definit în

ambele situaţii.

Să considerăm răspunsurile indiciale ale unui sistem la variaţii treaptă ale mărimii de

referinta şi ale perturbaţiei, ca în Fig.2.6.

Conform cu notaţiile din Fig.2.6.a) şi b), gradul de amortizare se defineşte, în cele două

situaţii, prin următoarea relaţie:

31 (2.17)

Cu cât δ este mai mare, deci mai apropiat de 1, cu atât amortizarea oscilaţiilor este mai

rapidă şi procesul tranzitoriu mai bun. Pentru sistemele stabile se impun următoarele condiţii

limitative:

impus

Durata regimului tranzitoriu ( rt )

Durata regimului tranzitoriu (timpul de răspuns) caracterizează rapiditatea cu care se

desfăşoară un proces tranzitoriu periodic sau aperiodic, determinat de modificarea în salt

(treaptă) a mărimii de referinţă sau a perturbaţiei.

Durata regimului tranzitoriu rt se defineşte ca fiind intervalul de timp care se măsoară din

momentul începerii procesului tranzitoriu ( 0t ), până în momentul când diferenţa, în valoare

absolută, dintre mărimea de ieşire )(ty şi valoarea sa staţionară )(lim)( tyyyt

st

, scade sub

o anumită valoare impusă Δimp, adică:

impusyty )()( (2.18)

În practică, de cele mai multe ori se adoptă stimpus y 05,0

În Fig.2.7. se indică modul de determinare a duratei regimului tranzitoriu.

Pentru durata regimului tranzitoriu se impune condiţia restrictivă:

impusrr tt _ (2.19)

t

t0

y(t)

ζ

Vref(t)

Vref(t)

t

t0

y(t)

y(t)

p(t)

p(t)

a) b)

y(t) ζ3 ζ3

3

ζ

Fig.2.6.

t0

t

y(t)

Vref(t)

Vref(t)

y(t)

2Δimp

t tr

y(∞)

Fig.2.7.

37

Timpul de creştere ( ct )

Reprezintă intervalul de timp în care mărimea de ieşire evoluează între 0,05 yst şi

0,95 yst. Determinarea ct este ilustrată în Fig.2.8.

Timpul de întârziere ( it )

Reprezintă timpul necesar ca mărimea de ieşire să evolueze între valoarea zero şi

valoarea 0,5yst. Determinarea it este ilustrată în Fig.2.8.

Aprecierea erorilor de regim permanent (εst) se face relativ simplu, în schimb indicii de

performanţă pentru regimul tranzitoriu se calculează destul de dificil la sistemele de ordin mai

mare ca 2. Din acest motiv se încearcă uneori o aproximare a sistemului studiat cu unul

echivalent de ordinul II, având în vedere faptul că de multe ori comportarea unui sistem liniar de

ordin superior este apropiată de cea a sistemelor de ordin II.

Acest lucru se explică prin faptul că la multe sisteme funcţia de transfer conţine doi poli

mult mai apropiaţi de axa imaginară decât restul polilor şi ei dictează comportarea sistemului

liniar.

2.2. Legi tipizate de reglare automată

2.2.1.Consideratii generale

Regulatorul automat (R) din cadrul unui SRA este un element al dispozitivului de

automatizare plasat pe calea directă între elementul de comparaţie (EC) şi elementul de execuţie

(EE), ca în Fig.2.9.

Acest element prelucrează informaţia privind evoluţia erorii din SRA după legi

prestabilite şi generează decizia/comanda ce acţionează asupra elementului de execuţie în

vederea anulării erorii.

Legea de dependenta prestabilită între mărimea de ieşire a regulatorului şi mărimea sa de

intrare, constituie legea de reglare a regulatorului şi defineşte regulatorul din punct de vedere

funcţional. Practic, legea de reglare este o relaţie de forma:

dttu

dt

tdutuftyR )(;

)();()( , (2.20)

Vref ε Y(s)

Yr

EC

Fig.2.9.

R EE YEE YR

IT

TR

0,5yst

1(t)

t

Vref

T

tr

ti

tc

0,05yst

0,95yst

1,05yst st

ty lim y(t)

t

Fig.2.8.

y

38

relaţie care defineşte şi tipul regulatorului: P-proporţional, D-derivator, I-integrator

2.2.2.Elementul proporţional(Legea de tip P)

În domeniul timp, elementul de tip P este descris de relaţia:

)()( tuKty RR (2.21)

Aplicând transformata Laplace în condiţii iniţiale nule relaţiei (2.21), vom avea:

)()( sUKsY RR (2.22)

de unde vom avea că funcţia de transfer a elementului de tip proporţional va fi:

RR

P KsU

sYsH

)(

)()( (2.23)

unde RK -se numeste factor de amplificare sau coeficient de proporţionalitate

În cazul regulatoarelor unificate pentru care domeniul de variaţie al mărimii de intrare

minmax UUDU , este egal cu domeniul de variaţie al mărimii de ieşire minmax RRY YYDR

,

factorul de amplificare RK este o mărime adimensională.

Deoarece majoritatea elementelor (sistemelor) au o comportare liniară numai pe o

anumită porţiune din domeniul de funcţionare, descrierea acţiunii elementului de tip proporţional

se apreciază prin banda de proporţionalitate BP , care se exprimă în procente [%].

Banda de proporţionalitate [%]BP -reprezintă o măsură a amplificării egală cu procentul

din domeniul mărimii de intrare care vdetermină o variaţie egală cu 100% din domeniul mărimii

de ieşire:

U

Y

R D

D

KBP R

100[%] (2.24)

În cazul regulatoarelor unificate UY DD

R iar banda de proporţionalitate are expresia:

1001

[%] RK

BP (2.25)

Din Fig.2.10 se observă că, cu cât banda de proporţionalitate [%]BP este mai mare pentru un

element, cu atât factorul lui de proporţionalitate RK este mai mic şi invers.

Răspunsul unui element de tip proporţional ideal este reprezentat cu linie continuă în Fig.2.11.

Fig.2.10.

YR%

U% BP%=100 BP%<100 BP%>100

100

KRrel

>1 KR

rel<1

KRrel

=1

39

Datorită întârzierii introduse în transmiterea semnalelor în funcţia de transfer a elementului de tip

P real apare o întârziere ca la un element aperiodic de ordinul I.

1)(

sT

KsH R

P

(2.26)

unde T este o constantă de timp parazită.

Răspunsul elementului de tip P a cărui funcţie de transfer este dată de relaţia (2.26) este

indicat cu linie punctată în Fig.2.11

Utilizarea unui element proporţional într-un sistem de reglare conduce la o funcşionare stabilă,

dar apare o eroare staţionară st , dată de relaţia:

R

stK

1 (2.27)

2.2.3.Elementul Integrator(Legea de tip I)

Legea în domeniul timp a elementului de tip I este:

)()(

tuKdt

tdyT R

Ri (2.28)

Aplicând transformata Laplace în condiţii iniţiale nule relaţiei (2.28) se obţine:

)()( sUKsYTs RRi (2.29)

Din relaţia (2.30) rezultă funcţia de transfer a elementului integrator:

sTsT

K

sU

sYsH

ii

RRI

111

)(

)()(

* (2.30)

unde: iT -constantă de timp de integrare

R

ii

K

TT * -constanta de timp echivalentă

Răspunsul în timp al unui element integrator obţinut prin integrarea ecuaţiei (2.28), este:

duT

Ktyty

t

ti

RRR

0

)()()( 0 (2.31)

Răspunsul elementului de tip I obţinut pentru un semnal treaptă aplicat la intrare este dat de

relaţia:

tT

Kty

i

RR )(

şi este prezentat în Fig.2.12

Fig.2.11.

U,YR

t

100

st Raspunsul ideal

Raspunsul real

U

YR

40

În Fig.2.12 se observă că răspunsul elementului integrator este este o rampă având panta iR TK .

Elementul integrator are un caracter de memorie deoarece există o comandă )(tyR nenulă şi în

cazul în care intrarea )(tu devine nulă.

Datorită polului în origine al funcţiei de transfer )(sH I eroarea staţionară la intrarea treaptă este

nulă.

Considerând cazul general, când mărimea de intrare are o evoluţie de tip treaptă cu valoarea U ,

adică:

0

0

.0

.)(1)(

ttpt

ttpttUtu (2.32)

Vom avea următorul răspuns pentru elementul integrator:

UttT

Ktyty

i

RRR )()()( 00 , 0tt (2.33)

Ecuaţia (2.33) seamănă cu ecuaţia unei drepte nxmy cu panta UT

Km

i

R

Cunoscând răspunsul la 2 momente de timp 1kt , 0ttk din relaţia (2.33) vom avea:

)(

)()(

1

1

kkk

kRkR

i

R

ttU

tyty

T

K (2.34)

Relaţia (2.34) permite calculul constantei de timp echivalente i

Ri

T

KT * , ca în Fig.2.13

Fig.2.12.

U,YR

t

U YR

Panta i

R

T

K

41

2.2.3.Elementul Proporţional-Integrator(Legea de tip PI)

Legea în domeniul timp este:

)(

)()(tu

dt

tduTK

dt

tdyT iR

Ri (2.35)

Apliocăm Transformata Laplace în condiţii iniţiale nule relaţiei (2.35) şi vom avea:

)()1()( sUTsKsYTs iRRi (2.36)

Folosind relaţia (2.36) se obţine funcţia de transfer pentru elementul de tip PI:

sTKsH

i

RPI

11)( (2.37)

unde: iT - constanta de timp de integrare exprimată în unităţi de timp;

RK - coeficient de proporţionalitate;

Schema bloc corespunzătoare relaţiei (2.38) este prezentată în Fig.2.14.

Răspunsul în domeniul timp al elementului de tip PI, obţinut prin integrarea ecuaţiei (2.35) în

intervalul de timp tt ,0 este:

duT

KtutuKtyty

t

ti

RRRR

0

)()]()([)()( 00 (2.38)

Dacă la intrare se aplică un semnal treaptă de forma:

Fig.2.14.

KR

sTi

1

U(s) YR(s)

Fig.2.13.

YR

t

Uk

Panta

k

i

R UT

K

U

t

Uk-1

Un

kR UY

*iT

Panta

1 k

i

R UT

K

42

)(1)( 0ttUtu , 0tt (2.39)

se obţine următorul răspuns:

)()]()([)()( 000 ttUT

KtutuKtyty

i

RRRR (2.40)

reprezentat în Fig.2.15.a

Dacă treapta este unitară, adică 1 uU , 00 t şi se consideră condiţiile iniţiale nule se obţine

răspunsul indicial al elementului de tip PI, ca în Fig.2.15.b

2.2.4.Elementul Derivator Real(Legea de tip D-real)

Legea de reglare în domeniul timp a elementului derivator real este:

dt

tduTKty

dt

tdyT dRR

R )()(

)( (2.41)

Aplicând transformata Laplace în condiţii iniţiale nule relaţiei (2.41) se obţine ecuaţia complexă:

)()()( sUsTKsYsYTs DRRR (2.42)

Din relaţia (2.42) se obţine funcţia de transfer a elementului derivator real:

1

)(

sT

sTKsH d

RD

(2.43)

unde: RK -coeficient de proporţionalitate

DT -constanta de timp de derivare

T -constanta de timp parazită

Constanta de timp parazită T , este uneori interpretată ca o constantă de filtrare. La nivel de

schemă bloc elementul derivator real se poate reprezenta ca în Fig.2.16

Răspunsul la intrare treaptă )(1)( tUtu , în condiţii iniţiale nule, pentru un astfel de elment

este:

Fig.2.16.

sTK dR 1

1

sT

U(s) YR(s)

Fig.2.15.

YR

t

U

t

u

UYR

R

ii

K

TT *

Panta UT

K

i

R

uKR

YR

t

U

iT

Panta i

R

T

K

RR KuK

t

U u =U

1

a. b.

43

0,1)(

tUeT

TKU

T

TKty

T

t

dRdRR

(2.44)

şi este prezentat în Fig.2.17. Se observă că dacă .)( cttu atunci pentru t rezultă 0)( Ry

Din Fig.2.17. se observă că în regim staţionar ieşirea unui element de tip D-real este nulă.

Elementul acţionează numai în regim tranzitoriu şi se mai numeşte “Element forţator”.

2.2.5.Elementul Proporţional-Derivator Real(Legea de tip PD-real)

Legea de reglare în domeniul timp pentru un element de tip PD-real este:

)(

)()(

)(tu

dt

tduTKty

dt

tdyT RR

R (2.45)

Aplicând transformata Laplace în condiţii iniţiale nule relaţiei (2.45) se obţine ecuaţia

operaţională:

)()()()( sUsUsTKsYsYTs RRR (2.46)

Din relaţia (2.46) se obţine funcţia de transfer a elementului PD-real:

1

1)(

sT

sTKsH d

RPD

(2.47)

unde: RK -coeficient de proporţionalitate;

dT -constantă timp de derivare;

T -constantă de timp parazită;

Răspunsul la intrare treaptă în condiţii iniţiale nule se prezintă în următoarele cazuri:

a.). TTd , comportarea intrare-ieşire din stare iniţială nulă este o comportare de element

proporţional, însă sistemul este necontrolabil.

b.). TTd , caracterul derivator este mai puternic decât cel integrator. Ca urmare, elementul se

comportă ca un filtru trece-sus cu avans de fază. Răspunsul la intrare treaptă este prezentat în

Fig.2.18:

Fig.2.17.

YR

t

U

t

U

UT

TK d

R

t0

T

44

c.). TTd , caracterul integrator este predominant, comportarea fiind a unui filtru trece-jos cu

întârziere de fază. Răspunsul la intrare treaptă este prezentat în Fig.2.19:

Fig.2.19

yR(t)

t

u(t)

t

U

UT

TK d

R

t0

T

U

UKR

Fig.2.18

yR(t)

t

u(t)

t

U

UT

TK d

R

t0

T

U

UKR