iniciacion teoria de probabilidad

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Teoría de Probabilidad

Y

Variable Aleatoria

Nivel de Iniciación

Teoría de probabilidad y variable aleatoria

Nivel iniciación

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l

2

1. Si se sacan 3 cartas al azar de una baraja de 52 cartas.

Hallar la probabilidad de que las 3 cartas sean de vastos.

Resp.:

)(AP

3

52= 22100 maneras de sacar de un total de 52 cartas las 3

cartas elegidas sean vastos.

2. Sea T= zwyx ,,, , sea T una función de probabilidad de T

a) hallar )(xP si) )(yP = 5

1 , )(wP =

6

1 , )(zP =

2

1

Resp:

)(xP = p luego la sumatoria de las probabilidades debe ser igual a 1

p+ 5

1+

6

5 +

2

1 = 1

Luego p = 1- 5

1 -

6

1-

2

1 =

30

4

Por lo tanto )(xP = 30

4.

3. Una moneda tiene un grosor que no es normal, de modo que

la posibilidad que salga sello (s) es el triple a que salga

cara(c).


Nivel iniciación


3

Hallar )(SP y )(CP

Resp:

)(SP = x )(CP = 3x

Por axioma de probabilidad la suma de probabilidades es igual a

uno.

X + 3x = 1

4x = 1

x = 4

1

Por lo tanto )(SP = x = 4

1 , )(CP = 3x=

4

3

4. En una parroquia se realizan 3 matrimonios de manera

simultánea, las 3 parejas luego se reúnen y organizan una

misma fiesta.

Si se escogen 2 personas al azar de esta fiesta. Hallar

probabilidad p de que:

a) sean esposos

b) uno sea hombre y la otra mujer.

Resp:

Hay

2

6= 15 maneras de escoger 2 personas de las 12.


Nivel iniciación


4

a) Hay 3 parejas, por lo tanto p= 15

3 =

5

1

b) si tienen 3 maneras de escoger un hombre y 3 maneras de

escoger una mujer

Por lo tanto p= 15

9 =

5

3 de posibilidad de que uno sea hombre y el

otro mujer.

5. Un jugador lanza un dado. Si sale un número primo gana

dicho número de euros, pero si no sale un número primo

pierde esa cantidad de euros.

¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza.

Los resultados posibles del juego con sus respectivas

probabilidades es el siguiente:

xi 2 5 7 -4 -8

f(xi)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Resp:

)(XiE = )(xifxi

= 2 6

1 + 5

6

18

6

14

6

17

6

1


Nivel iniciación


5

= 26

12

6

8

6

4

6

7

6

5

6

2 euros

Por lo tanto el juego es favorable para el jugador.

6. Verificar si la siguiente función dada por:

)(xf = 15

32 x para x= 1,2,3,4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una

variable aleatoria.

Resp:

Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.

)1(f 3

1 , )2(f

15

7 , )3(f

5

3 , )4(f =

15

11

Se debe cumplir las siguientes condiciones

f (x) 0

1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 15

32

15

11

5

3

15

7

3

1


Nivel iniciación


6

La función no cumple con una de las condiciones para una función

de probabilidad ya que su suma no es igual a 1.

7. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función

de distribución.

Para 2x

Para 2 6 x

Para 86 x

Para 108 x

Para 10x

Determinar

a) )83( xp = p12

17

4

1

3

5)3()8( xpx

b) 3

5)9( xp

8. ¿cual es la probabilidad de lograr 3 caras al tirar 3 monedas

simultáneamente?

Resp:

A: Primera moneda

B: segunda moneda

1

3

5

3

1

4

1

0

)(xf


Nivel iniciación


7

C: Tercera moneda

D: 3 caras al tirar 3 monedas

)(AP = 2

1 )(BP =

2

1 )(CP =

2

1

)()()()( CPBPAPDP = 8

1

2

1

2

1

2

1

9. En un equipo de fútbol se encuentra en la cancha 3

atacantes, 4 mediocampistas, 3 defensas y 1 arquero y luego

se lastima uno de estos jugadores.

¿Cuál es la probabilidad que seleccione un delantero o un

mediocampista?

Resp:

11

3)( DP

11

4)( MP

)()()( BPAPAUBP

Eventos Mutuamente Excluyentes

)()()( MPDPDUMP

= 11

7

11

4

11

3


Nivel iniciación


8

10. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

eoc

xkx

xf 0

60

)(

Calcular k

18

1118

2

36

2

26

0

6

0

kkx

kdxxkdxkx

11. La probabilidad de recorrer la carretera desde una ciudad A

hasta una B sin pinchar gomas es 0,78 ; al hacer 20 viajes

de A a B ¿Cuál es el numero mas probable de viajes que se

realizaran sin pinchadura de neumático?

Resp:

166,152078,0)( xiE Viajes.

12. Una urna contiene 16 bolas, 9 bolas amarillas, 7 bolas

negras ¿ Cual es la Probabilidad de que una bola extraída al

azar sea amarilla?

Resp:

16

9)( AP


Nivel iniciación


9

13. Determine la función generatriz de momentos de la variable

aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

02)(

Resp:

1

2

1

12222)()(

0

)1(

00

ttdxedxeedxeeeEtMx txxtxxtxtx

14. Se desea formar grupos de 5 personas para ir en apoyo a

los damnificados del terremoto.

a) De cuantas maneras diferentes se podrá conformar si hay un

total de 8 personas.

Resp:

56!5)!58(

!8

5

8

Maneras de conformar grupos de 5 personas.

15. Si cinco jugadores que juegan en el mediocampo de

Universidad de Chile rotan en forma indiscriminada en sus

puestos por el técnico pelusso ¿Cuántas posibilidades

existen de conformarlos en la cancha?

Resp:


Nivel iniciación


10

5 ! 12012345 maneras de conformar el medio campo del equipo

16. Para la gran final U de Chile concentrara 18 jugadores, si al

campo de juego solo ingresan 11. ¿De cuantas maneras el

técnico Pelusso los pudo haber seleccionado?

Resp:

31824!11!)1118(

!18

11

18

Maneras para seleccionar los jugadores.

17. ¿Que es una variable aleatoria?

a) Es una cofuncion con Dominio IR y Recorrido Q.

b) Es una variable que tiene cambios.

c) Es una función medible con dominio y recorrido IR.

d) Ninguna de las Anteriores.

18. Al lanzar 2 monedas, que probabilidad hay de obtener una

cara y un sello.

Rep.: 4

1

2

1

2

1)( AP (Regla multiplicativa)


Nivel iniciación


11

19. Para la Fiesta de fin de año del Colegio SSCC de Viña del

Mar, cada curso vendió entradas recaudándose la suma de

$1.300.000.

En el siguiente cuadro se presenta el número de entradas que vendió

cada curso.

1 medio 2 medio 3 medio 4 medio

N entradas

vendidas

165 160 125 150

Durante la fiesta se realizara una rifa en la cual participaran las 600

entradas vendidas.

¿Cual es la probabilidad de que gane el premio de la rifa , una persona

que le compro su entrada al 3 medio?

a) 60

1

b)600

125

c) 640

125

d) 600

160


Nivel iniciación


12

20. Sea x una variable aleatoria que representa el número de

mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 10

minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

!

)3()(

3

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x

Resp:

)0(P 05025,090,19

1)3( 303 ee

)1(P 15075,090,19

33)3( 313 ee

)2(P 2261,08,39

9

2

9)3(

323

e

e

)3(P 2261,04,119

27

6

27)3(

333

e

e

)4(P 1695,06,477

81

24

81)3(

343

e

e

)5(P 1017,02388

243

120

243)3(

353

e

e


Nivel iniciación


13

21. ¿Cómo sabemos si una variable aleatoria es continua o

discreta?

a) Mediante su dominio

b) Mediante su recorrido

c) Al calcular la función de densidad

d) Al calcular la función de cuantía


eoc

xxk

xf 0

402

)(

Calcular k

Rep.:

4

114

4

16

2222

24

0

4

0

kkxk

dxxk

dxxk

23. La probabilidad de recorrer todo el sur de Chile de una Ciudad A hasta una B sin pinchar gomas es 0,68; al hacer 15 viajes de A a B ¿Cuál es el número más probable de

viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático?

Rep.:

102,101568,0)( xiE Viajes.


Nivel iniciación


14

24. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

eoc

xparaxf

x

0

04

3

)(

Rep.:

)1(4

3

1

1

4

3

4

3

4

3

4

3)()(

0

)1(

00


25. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

63)1(

0

33

2)(

yparayyf

Determinar efectivamente que )(yf es una función de densidad de

probabilidad. Rep.:

133

2

2

333

2

96

2

36

233

2

33

2)1(

33

2)1(

33

2 26

3

6

3

6

3

6

3

y

ydydyydyydyy


Nivel iniciación


15

26. Dada la siguiente función

xexf

x

025

1)( 25

Determinar

a) si la función anterior es una función de Probabilidad

Rep.:

12525

1

25

1

25

145

0

4545

0

2525

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

27. Sea X una variable aleatoria discreta que sólo toma los

valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y que tiene la distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla.

X 0 1 2 3 4 5

P (X) 0.05 0.30 0.20 0.10 0.05

a) Calcule P ( ). b) Calcule μ y σ.

Rep.

a) P ( ) = 1 - 0.05 - 0.30 - 0.20 - 0.10 - 0.05 = 0.30 b) μ = 0·0.05 + 1·0.30 + 2·0.30 + 3·0.20 + 4·0.10 + 5·0.05 = 2.15

σ² = 0.05· (0 - 2.15)² + 0.30·(1 - 2.15)² + 0.20·(2 - 2.15)² + ... + 0.05·(5 -

2.15)² = 1.5275; σ = √1,5275 = 1,2359


Nivel iniciación


16

28. Verificar si la siguiente función es de distribución

51

505

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Resp.:

2

5

2

25

5

1

25

1

5

1

5

25

0

5

0

x

dxxdxx

29. Sea Ty una familia para . Diremos que T es una

ebraAlg

Para si cumple: a) T

b) TATA C

c) TAnINnAnA n

,,0

d) Solo a y c

e) Todas las Anteriores

30. La función de densidad de probabilidad de una variable

Aleatoria X está dada por:

eoc

xxxf

0

10)1(3)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar

Resp.:


Nivel iniciación


17

a) )(xE = 2

1

6

13

3

1

2

13

3233)1(3)1(3

321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE4

1

12

13

4

1

3

13

4333)1(3)1(3

431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 04

1

4

1

)(xVar de una constante es 0 .Por lo tanto la Varianza es una

Constante.

31. Sea E un evento para el cual 0)( EP Comprobar que la

función de probabilidad Condicional )(E

AP satisface

axiomas de un espacio de probabilidad, esto es:

Para un evento 1)(0 E

APA

Resp.:

Se tiene que )()( EPEAPEEA

Así )(E

AP 1)(

)(

EP

EAP

Esto es 1)(0 E

AP

32. sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible.

Diremos que la medida P es una medida de probabilidad

si satisface las siguientes condiciones a) 1)(0 AP


Nivel iniciación


18

b) 1)( P

c)

0

1 )()(n

ni APAnP

d) Todas las anteriores

33. sea },,,,,,{ franciscaleonormarcelaluisjuan alumnos

destacados de un determinado colegio. Veamos si

}},,{},,,{},{,,{ leonorluisjuanleonorfranciscamarcelaluisT

Cumple con las condiciones para ser ebraAlg

Resp.:

a) T Cumple con esta condición

b) si TATA C No cumple con esta condición

Ya que el complemento de cada elemento

No se encuentran presentes Por lo tanto No es ebraAlg .

34. Si }7,5,3,1{ espacio muestral de números primos y

},},7,1{},5,3{},1{{ T

Para que cumpla con las condiciones de ser un ebraAlg

Cuál es el elemento que falta en T

a) {2, 4,5} b) {4, 6,7} c) {1,5}

d) {3, 5,7} e) Ninguna de las anteriores.


Nivel iniciación


19


aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

eoc

xparaxf

x

0

04

5

)(

2

Resp.:

)2(4

5

2

1

4

5

4

5

4

5

4

5)()(

0

)2(2

0

2

0


36. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de pesos, pero si no sale un número impar

pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza.

Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente:

xi -4 -2 3 5 7

f(xi)

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= -4 5

1 -2

5

17

5

15

5

13

5

1

= 28,15

9

5

71

5

3

5

2

5

4

pesos


Nivel iniciación


20


destacados de un determinado colegio Veamos si }},,{},,,{},{,{ leonorluisjuanleonorfranciscamarcelaluisT


Resp.: a) T Cumple con esta condición


Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es ebraAlg .

38. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

11

103

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )6

2()

4

1( XPXP

Resp.:

a) 1024

95

1024

1

32

3

4233)3()

4

1(

424

1

0

4

1

0

34

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP

b)

5184

16

4

1

72

4

2

13

42333)3()

6

2(

421

6

2

1

6

2

3

1

6

2

1

6

2

1

6

2

33 xxdxxdxxdxxdxxxxXP

=5184

5632

5184

12806912

5184

1280

72

96

5184

609

72

323


Nivel iniciación


21

39. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de dólares, pero si no sale un número impar

pierde esa cantidad de dólares. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza.


xi 1 3 5 -2 -6

f(xi)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= 1 6

1 + 3

6

16

6

12

6

15

6

1

= 16,06

1

6

6

6

2

6

5

6

3

6

1 dólares


40. Luís dispara a una arco de fútbol en 3 ocasiones. Siendo

X el número de aciertos obtenidos. Calcular la función de Distribución de X

Resp.:

X Es una variable aleatoria Discreta que toma los valores 0, 1, 2,3, con probabilidad no nula. La función de densidad es:

8

1)3(,

8

3)2(,

8

3)1(,

8

1)0( ffff

La función de distribución será:

00)( xXF

108

1)( xXF

218

4)( xXF


Nivel iniciación


22

328

7)( xXF

1)( XF


eoc

xkx

xf 0

302

)(

Calcular k

9

119

2

9

2222

23

0

3

0

kkx

kdxxkdxkx

42. La probabilidad de recorrer Chile en un auto y quedar en

pana es 0,65 ; al hacer 17 viajes de A a B ¿Cuál es el

numero más probable de viajes que se puede realizar sin el riesgo de quedar en pana?

Resp.:

1105,111765,0)( xiE Viajes.


eoc

xparaxf

x

0

05

8

)(

4

Resp.:


Nivel iniciación


23

)4(5

8

4

1

5

8

5

8

5

8

5

8)()(

0

)4(4

0

4

0



aleatoria x, cuya densidad de probabilidad está dada por:

eoc

xparaxf

x

0

05

3

)(4

1

Resp.:

)4

1(5

3

4

1

1

5

3

5

3

5

3

5

3)()(

0

)4

1(

4

1

0

4

1

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx

45. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa

está dada por:

53)23(

0

40

1)(

yparayyf


probabilidad.


Nivel iniciación


24

14040

1

62

2710

2

752

23

40

123

40

1)23(

40

1)23(

40

1 25

3

5

3

5

3

5

3

y

ydydyydyydyy


xexf

x

03

1)( 3

Determinar

a) si la función anterior es una función de Probabilidad Resp.:

133

1

3

1

3

13

0

33

00

33

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

47. Verificar si la siguiente función es de densidad

41

404

5

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Resp.:

102

16

4

5

24

5

4

5

4

5 24

0

4

0

x

dxxdxx

No es función de densidad de probabilidad


Nivel iniciación


25

48. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

eoc

xxxf

0

10)31(3

1

)(

2

Determinar a) )(xE

b) )(xVar

Resp.: a) )(xE

4

1

4

3

3

1

4

92

2

1

3

1

49

36

23

1

963

1)31(

3

1)31(

3

1

432

1

0

1

0

3

1

0

2

1

0

1

0

22

xxx

dxxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE

1

0

22

1

0

22 )31(3

1)31(

3

1dxxxdxxx

1

0

1

0

4

1

0

32 963

1dxxdxxdxx

90

19

30

19

3

1

5

9

2

3

3

1

3

1

59

46

33

1 543

xxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 720

107

1440

214

1440

90304

16

1

90

19


Nivel iniciación


26

49. Un grupo de personas va a jugar a los bowling y cada lanzamiento tiene un puntaje favorable o desfavorable según

sea el caso Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan?


xi -3 -2 1 3 4

f(xi)

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= -3 4

1 -2

4

14

4

13

4

11

4

1

= 4

31

4

3

4

1

2

1

4

3

50. sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible. Cuál

de las siguientes opciones no corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad.

a) 1)(0 AP

b) 1)( P

c) )()(0

1

n

i AnPAnP

d) c) no corresponden



Nivel iniciación


27

51. sea },min,,,,{ CristobalDanielaYazJavieraFabianMarcelo

estudiantes de la carrera de Ingeniería civil Industrial de la Universidad Católica De Chile.

Veamos si }},{},min,,{},{,,{ CristobalFabianCristobalYazJavieramarceloT


Resp.:






)(xf = 82

85 x para x= 1,2, 3, 4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria.

Resp.:


)1(f 58

13 , )2(f

58

18 , )3(f

58

23 , )4(f =

58

28


f (x) 0

1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 182

82

82

28

82

23

82

18

82

13


Nivel iniciación


28


eoc

xxc

xf 0

408

9

)(

2

Calcular c

3

8

9

648

8

9

2

16

28

9

8

9

8

9 222

2

4

0

4

0

22

ccc

xcdxxcdxxc

54. La función de distribución o acumulativa de una

variable aleatoria dada por:

21

205

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )3

1()

4

1( XPXP

Resp.: a)

155,01024

159

1024

1160

1024

1

32

5

4255)5()

4

1(

424

1

0

4

1

0

34

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP

b)

324

89

324

1

18

5

42555)5()

3

1(

423

1

0

3

1

0

33

1

0

3

1

0

3

1

0

33

xxdxxdxxdxxdxxxxXP


Nivel iniciación


29

55. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza, varianza.


xi -3 -1 2 4

f(xi)

2

1

2

1

2

1

2

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= -3 2

1 + -1

2

14

2

12

2

1

= 12

221

2

1

2

3

)()( 2 xifxiXiVar

= 2

14

2

12

2

11

2

13

2222

= 152

3082

2

1

2

9


eoc

xkx

xf 0

203

5

)(

Calcular k


Nivel iniciación


30

10

31

3

1012

3

52

23

5

3

5

3

5 22

0

2

0

kkkx

kdxxkdxkx


eoc

xxk

xf 0

307

6

)(

3

Calcular k

Resp.:

54

71

7

541

7

69

37

6

7

6

76

33

0

3

0

33

kkkxk

dxxk

dxxk

58. La probabilidad de un alumno de obtener premio es 0,50; Si para lograr este objetivo estudia 12 horas

¿Cuál es la esperanza que lo logre?

Resp.:

61250,0)( xiE .



eoc

xparaxf

x

0

03

2

)(

4


Nivel iniciación


31

Resp.:

)4(3

2

4

1

3

2

3

2

3

2

3

2)()(

0

)4(4

0

4

0



63)2(

0

63

2)(

yparayyf


probabilidad. Resp.:

12

63

63

26

2

912

2

362

263

22

63

2)2(

63

2)2(

63

2 26

3

6

3

6

3

6

3

y

ydydyydyydyy


xexf

x

07

3)( 7

Determinar



Nivel iniciación


32

Resp.:

13

7

7

3

7

3

7

37

0

77

00

7

3

7

3

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

dxdu

xu

7

3

7

3


31

302

5

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Resp.:

4

45

2

9

2

5

22

5

2

5

2

5 23

0

3

0

x

dxxdxx


63. Sea }6,5,4,3,2,1{ Conjunto de números de un dado

Veamos si }}6,5,3{},4,2,1{},6,5,4,3{},2,1{,,{ T


Resp.:


b) si TATA C cumple con esta condición



Nivel iniciación


33

se encuentran presentes Por lo tanto No es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0

Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un ebraAlg .


31)23(

0

16

1)(

xparaxyf


probabilidad.

12

32

16

1

22

36

2

272

23

16

123

16

1)23(

16

1)23(

16

1 23

1

3

1

3

1

3

1

x

xdxdxxdxxdxx

65. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad está dada por:

eoc

xparaxf

x

0

013

2

)(13

1

Resp.:


Nivel iniciación


34

)13

1(13

2

13

1

1

13

2

13

2

13

2

13

2)()(

0

)13

1(

13

1

0

13

1

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx


xexf

x

022

1)( 22

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad

Resp.:

12222

1

22

1

22

122

0

2222

00

2222

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx


11

103

2

00

)(2

xsi

xsix

xsi

xF

Resp.:

9

2

3

1

3

2

33

2

3

2

3

2 31

0

2

1

0

2

x

dxxdxx



Nivel iniciación


35

68. Un jugador compra un juego de lotería. Si sale un número x gana dicho número de pesos, pero si no sale un número x

pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza.


xi -3 -2 - 1 2 3 5

f(xi)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= 6

15

6

13

6

12

6

11

6

12

6

13

= 16,06

4

6

5

6

3

6

2

6

1

6

2

6

3 peso

Finalmente el jugador sale con saldo a favor


31

304

1

00

)( 2

x

xxx

x

XF

Obtener )4

1( XP

Resp.:


Nivel iniciación


36

a)

00260,0384

1

24576

64

192

1

128

1

324

1

4

1)

4

1()

4

1(

324

1

0

4

1

0

24

1

0

2

xxdxxdxxdxxxXP

70. sea }.,,,,{ Marcelaclaudiodiegogabriel las cuales son

alumnos destacados del 1 medio c del Liceo María Luisa

Bombal Veamos si estos alumnos forman un

ebraAlg},{

},,{},,,{},{,{

marcelaclaudio

diegogabrielMarcelaClaudiodiegogabrielT


Resp.:



Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0

Se cumple las 3 condiciones para ser ebraAlg

71. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana

dicho número de dólares, pero si no sale un número par

pierde esa cantidad de dólares. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza.


xi 1 3 5 -2 -4 -6

f(xi)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1


Nivel iniciación


37

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= 6

16

6

14

6

12

6

15

6

1

6

13

6

11

= 5,06

3

6

6

6

4

6

2

6

5

6

3

6

1 1 dólares

Por lo tanto el juego no es favorable para el jugador.

72. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

1,0)53()( 2 xsixcxf

)1,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.

b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1/4 Resp.:

a) Se verifica

1

0

2 1)53(1)( dxxcdxxf

14

31

3

14

353

3

ccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

11

103

5314

3

00

)()(3


Nivel iniciación


38

b)

64

1

4

3

14

3

333

14

353

14

3)53(

14

3)

4

10(

34

1

0

4

1

0

224

1

0

xxdxxdxdxxXP

1640,0896

147

64

49

14

3

73. Si la función de distribución de la variable aleatoria x está

dada por:

31

323

1

215

2

10

)(2

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )2( XP

Resp.:

)2( XP =5

3

2

3

5

2

2

1

2

4

5

2

25

2

5

2

5

2 22

1

2

1

xdxxdx

x

74. Sea X una variable aleatoria discreta que sólo toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 que tiene la distribución de probabilidad

dada por la siguiente tabla.

X 0 1 2 3 4

P (X) 0.08 0.25 0.30 0.15


Nivel iniciación


39

a) Calcule P ( ).

b) Calcule xE .

Resp.

a) 22,022,015,030,025,008,01 P

b) 19,215,0430,0322,0225,0108,00 xE

75. Dada la siguiente Grafica

¿Cuál de las siguientes graficas son simetricas?

a)solo a) b)solo b)

c)solo c) d)Todas


Nivel iniciación


40

76. La distribucion acomulativa )(xF es una funcion que

cumple con las siguientes propiedades:

a) 0F

b) 1F

c) aFbFbXaP

d)

xfdx

xFd

e) AnterioreslasTodas

77. La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo,

entre la llegada de 2 corredores a la meta de una competición de atletismo escolar.

Su función de densidad está dada por:

0

0

)(3

x

eoc

ekxf

x

a) Determinar el valor de k b) Determinar función de distribución acumulativa.

c) 63 XP

Resp.:

a) kkeekekduekduekdxek uuu

x

3133333 0

000

3

dxdu

xu

3

1

3

Ahora se iguala a 1 para obtener el valor de k

3

113 kk


Nivel iniciación


41

b) dttfxF

x

dtedt

x t

0

3

0

3

10

= 01 3

xe

x

c) 63 XP = 3019,011363

1 2112

6

3

3

eeeeFFdxe

x

78. dado },,,{ zwyxX determinar si cada uno de los

subconjuntos de iastoposonX log

a) }},{},,{},{,,{ zxyxxX

b) }},,{},,{},{,,{ zwxwxyX

c) }},,{},,{},,}{{,{ zyxzyyxyX

Resp.:

a) 1T no es una topología sobre X dado que:

1},{},{ Tzxyx

b) 2T no es una topología sobre X dado que:

2},,{},{ Tzwxwx

c) 3T es una topología sobre X dado que:

satisface los axiomas necesarios.


Nivel iniciación


42


eoc

xxc

xf 0

203

8

)(

22

Calcular c

3

8

9

64

9

64

64

9

9

64

3

8

33

8

3

8

3

8 223

2

2

0

2

0

2222

ccc

xcdxxcdxxc

80. La función de distribución o acumulativa de una variable

aleatoria dada por:

21

205

1

00

)( 22

x

xxx

x

XF

Obtener )4

1()

5

1( XPXP

Resp.:

a)

30021,01875

4

1875

15

1875

1

375

1

35

1

35

1)

5

1()

5

1(

335

1

0

5

1

0

225

1

0

22

xxdxxdxxdxxxXP


Nivel iniciación


43

b)

60041,0

960

4

960

1

192

1

35

1

35

1

5

1)

5

1()

4

1(

334

1

0

4

1

0

224

1

0

4

1

0

4

1

0

2222

xxdxxdxxdxxdxxxxXP

81. Dada la siguiente tabla

Calcular la esperanza

Los puntajes posibles de un juego con sus respectivas probabilidades

es el siguiente:

xi -5 -1 3 6

f(xi)

4

1

4

1

4

1

4

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= 4

16

4

13

4

11

4

15

= 4

3

4

6

4

3

4

1

4

5


eoc

xxk

xf 0

2

10

5

4

)(

2


Nivel iniciación


44

Calcular k

102

102

4

401

40

41

8

1

5

4

8

1

25

4

5

4

5

4 22

22

1

0

21

0

22

kkkkx

kdxxkdxxk


eoc

xparaxf

x

0

09

2

)(2

1

Resp.:

)2

1(9

2

2

1

1

9

2

9

2

9

2

9

2)()(

0

)2

1(

2

1

0

2

1

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx

84. La probabilidad de que un alumno aprueba la asignatura de

Lenguaje y Comunicación es de 0,27; Si para lograr este

objetivo estudia 4 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre?

Resp.:

08,1427,0)( xiE


Nivel iniciación


45


21

208

5

00

)(2

xsi

xsix

xsi

xF

Resp.:

3

5

3

8

8

5

38

5

8

5

8

5 32

0

2

2

0

2

x

dxxdxx


86. Sea }5,4,3,2,1{ son los dígitos que presentan restricción

para los vehículos del Gran Valparaíso }}5{},4,3,2,1{},5,4{},3,2,1{,,{ T


Resp.:



Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0



Nivel iniciación


46

87. Sea },,,,,,{ OLECRAM conjunto de letras que

conforman un nombre masculino Veamos si },,,{},,,{},,,,{},,,{,,{ CRAMOLEOLECRAMT

Compuesta por estas letras. Cumple con las condiciones para ser ebraAlg

Resp.: a) T Cumple con esta condición

b) si TATA C cumple con la condición ya que cada elemento

de T tiene un complemento

c)

},,{ RAM

},,{ OLE

},,,{ OLEC

},,,{},,,{},,,{},,{ CRAMOLEOLECRAM

etc. T Es ebraAlg (tribu) para

88. Hallar el valor esperado de la siguiente distribución.

xi - 5 -3 1 3 6

)(xif

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

16

5

13

5

11

5

13

5

15

2

xixi -

= -5

6

5

3

5

1

5

3

5

5 =

5

2


Nivel iniciación


47

89. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados de la región de Coquimbo, la rifa posee un total de 18 números. Si

su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea impar?

Resp.:

{ 18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 } y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iikkP

k Constante de proporcionalidad

Luego

18

1 171

111711

i

kkki

({P Que numero ganador salga

impar})= })17,15,13,11,9,7,5,3,1({P

171

81

171

17

171

15

171

13

171

11

171

9

171

7

171

5

171

3

171

1


eoc

xxk

xf 0

4

10

25

3

)(

3

Calcular k


Nivel iniciación


48

3,53348

256001

25600

481

1024

16

25

3

425

3

25

3

25

3 44

1

0

4

1

0

33

kkkkx

kdxxkdxxk



eoc

xparaxf

x

0

09

5

)(

4

Resp.:

)4(9

5

4

1

9

5

9

5

9

5

9

5)()(

0

)4(4

0

4

0


92. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa

está dada por:

31)4(

0

62

3)( 3

xparaxyf

Determinar efectivamente que )(xf es una función de densidad de

probabilidad.


Nivel iniciación


49

Resp.:

14

144

36

1

44

112

4

814

436

14

36

1)4(

36

1)4(

36

1 43

1

3

1

3

3

1

33

3

1

xx

dxdxxdxxdxx

93. Un grupo de personas va a jugar paletas y cada lanzamiento tiene un puntaje favorable o desfavorable si logra pasar una línea demarcadora

Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan? Los resultados posibles del juego con sus respectivas


xi -2 -1 1 2 3

f(xi)

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= -2 3

1 -1

3

13

3

12

3

11

3

1

= 113

2

3

1

3

1

3

2

94. sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible. Cuál

de las siguientes opciones corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad.

a) 1)(0 AP

b) 0)( P


Nivel iniciación


50

c) )()(0

1

n

i AnPAnP

d) c) corresponde


95. Sea },,,,,{ CristobalDanielaluisaJuanFranciscodaniel

estudiantes de la carrera de Ingeniería civil Industrial de la

Universidad Católica De Chile. Veamos si }},{},min,,{},{,,{ CristobalFabianCristobalYazJavieramarceloT


Resp.:





)(xf = 48

72 x para x= 1,2, 3, 4


Resp.:


)1(f 48

9 , )2(f

48

11 , )3(f

48

13 , )4(f =

48

15


Nivel iniciación


51


f (x) 0

1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 148

48

48

28

48

23

48

18

48

13


eoc

xxc

xf 0

305

7

)(

4

Calcular c

444

24

3

0

3

0

44

14

45

14

45

2

9

5

7

2

9

25

7

5

7

5

7

ccc

xcdxxcdxxc

98. La función de distribución o acumulativa de una variable

aleatoria dada por:

11

102

1

00

)( 2

x

xxx

x

XF

Obtener )3

1()

2

1( XPXP


Nivel iniciación


52

Resp.:

a)

020,0384

8

384

1624

24

1

16

1

322

1

2

1)

2

1()

2

1(

322

1

0

2

1

0

22

1

0

2

xxdxxdxxdxxxXP

b)

015,02916

45

81

1

36

1

322

1

2

1

2

1)

2

1()

3

1(

323

1

0

3

1

0

23

1

0

3

1

0

3

1

0

22

xxdxxdxxdxxdxxxxXP



xi -4 -2 2 5

f(xi)

2

1

2

1

2

1

2

1

Resp.:

)(XiE = )(xifxi

= -4 2

1 + -2

2

15

2

12

2

1

= 2

1

2

5

2

2

2

2

2

4


Nivel iniciación


53


eoc

xxk

xf 0

303

6

)(

2

Calcular k

3

1

9

1191

2

9

3

6

2

9

23

6

3

6

3

6 222

2

3

0

3

0

22

kkkkx

kdxxkdxxk


eoc

xxk

xf 0

206

5

)(

Calcular k

Rep.:

5

3

10

61

6

1012

6

5

26

5

6

5

65

22

0

2

0

kkkxk

dxxk

dxxk


eoc

xparaxf

x

0

02

5

)(

3


Nivel iniciación


54

Rep.:

)3(2

5

3

1

2

5

2

5

2

5

2

5)()(

0

)3(3

0

3

0


103. La probabilidad de que un alumno aprueba la asignatura de estadística y probabilidades es de 0,40; Si para lograr este objetivo estudia 2 horas


Rep.:

80,0240,0)( xiE


31

309

2

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

12

9

9

2

29

2

9

2

9

2 23

0

3

0

x

dxxdxx

Es función de densidad de probabilidad

105. Sea }9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{ Conjunto de números de un

juego

Llamado UNO Veamos si }}9,8,7,6,0{},9,8,3,2,1{},7,6,5,4,0{},5,4,3,2,1{,,{ T


Rep.: a) T Cumple con esta condición


Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes


Nivel iniciación


55

Por lo tanto es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0


106. Sea },,,,{ ogeiD conjunto de letras que conforman

un nombre femenino Veamos si }},{},,,{},,{},,,{,,{ eDiogogieDT


Rep.:




c)

},{ ai

},,{ ima

},,{ ram

}{},{},{ maiar



xi - 2 -1 1 3

)(xif

5

1

5

1

5

1

5

1

5

13

5

11

5

11

5

12

2

xixi -


Nivel iniciación


56

= -5

3

5

1

5

1

5

2 =

5

1

108. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados de la región de Valparaíso, la rifa posee un total de 15 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la

rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea par?

Rep.:

{ 15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 } y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es

15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iikkP


Luego

15

1 120

111201

i

kkki

({P Que numero ganador salga par})= })14,12,10,8,6,4,2({P

120

56

120

25

120

14

120

12

120

10

120

8

120

6

120

4

120

2

109. Sea el conjunto de casos posibles que resultan de

la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son ebraAlg

Sea }6,5,4,3,2,1{

a) }{1 A

b) }},6,4,2{},5,3,1{,{2 A

c) }}4{},3,2,1{,{3 A



Nivel iniciación


57

eoc

xxk

xf 0

2027

16

)(

33

Calcular k

4

3

64

27

64

271

27

641

4

16

27

16

427

16

27

16

27

163

3334

3

2

0

2

0

3333

kkkkx

kdxxkdxxk

111. La probabilidad de un alumno de sacarse un 5 en una prueba de ingles es de 0,65; Si para lograr este objetivo

estudia 7 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre?

Rep.:

55,4765,0)( xiE


eoc

xparaxf

x

0

08

7

)(3

5

Rep.:

)3

5(8

7

3

5

1

8

7

8

7

8

7

8

7)()(

0

)3

5(

3

5

0

3

5

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx



Nivel iniciación


58

31)6(

0

62

3)( 2

xparaxyf


probabilidad.

Rep.:

13

62

62

36

3

118

3

276

362

36

62

3)6(

62

3)6(

62

3 33

1

3

1

2

3

1

22

3

1

x

xdxdxxdxxdxx

114. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 casas construidas en la zona centro del

país

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,09 0,12 0,05 0,09

a) 64,009,006,012,009,01

b) )(

)(/)2/4(

BP

BAPBAPXXP

51,09,0

14,0

)2(

)4(

XP

XP

c) )2(

)2()3()2/3(

XP

XPXPXXP


Nivel iniciación


59

= 9743,078,0

76,0

78,0

09,085,0

115. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la

función de distribución.

Para 1x

Para 31 x

Para 53 x

Para 75 x

Para 7x

Determinar

a) )53( xp = p28

5

4

1

7

3)3()5( xpx

b) 8

5)5( xp

116. Si la función de distribución de la variable aleatoria x

está dada por:

41

4215

2

20

)(

xpara

xparax

xpara

XF

Obtener a) )4( XP

1

8

5

7

3

4

1

0

)(xf


Nivel iniciación


60

Rep.:

)4( XP =5

4

2

12

15

2

2

4

2

16

15

2

215

2

15

2

15

2 24

2

4

2

xdxxdx

x

117. Sea }6,5,4,3,2,1,0{ el conjunto de los posibles

resultados que resultan al jugar LOTO .cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}6,5,2,1},¨{4,3,0{},6,5,4,0{},3,2,1{,,{

b) 2a }}4,3,0{},2,1{,,{

c) 3a }}6,5,4,0{},3,2,1{,{

Resp:

a) Es un ebraAlg ya que cada elemento de 1a posee su

complemento

b) no es ebraAlg ya que cada elemento de 2a no pose

complemento

c) No es ebraAlg ya que c no pertenecen a 3a

118. Determinar el valor de k para que la siguiente función sea de densidad:

a) kxkxxf 2 para 0x

Resp.

dxkx kx

0

2 11

220

0

00

xxdxxdxxk

kdxxk kxkxkx

dxkdu

kxu


Nivel iniciación


61


¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la grafica antes dada?

a) función continúa b) función inyectiva

c) función de distribución acumulada. d) función de cuantía

e) Ninguna de las Anteriores.


eoc

xxxf

0

315414

1)(

Verificar si la función es de densidad o no

Resp:


Nivel iniciación


62

228

56

28

5

14

4

28

45

14

12

214

5

14

4

14

5

14

454

14

1 23

1

3

1

3

1

x

xdxxdxdxx

No es una Función de Densidad


Determinar a qué tipo de función corresponde la Grafica anterior

a) función Acumulativa b) función de cuantía c) función de distribución.

d) función exponencial e) Ninguna de las Anteriores


Nivel iniciación


63


Ver si es verdadera o Falsa cada una de las siguientes Afirmaciones

a) 36

1065 XP V F

b) 25

1276 XP V F

c) 36

30109 XP V F


41

406

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF


Nivel iniciación


64

Rep.:

3

4

2

16

6

1

26

1

6

1

6

24

0

4

0

x

dxxdxx

124. Sea Ty una familia para . Diremos que T es

una ebraAlg

Para si cumple:

a) T

b) TATA C

c) TAnQnAnA n

,,0

d) Solo a y b e) Todas las Anteriores


eoc

xcx

xf 0

405

1

)(

2

Calcular k

64

151

15

64

3

64

35

1

5

1

5

1 34

0

4

0

22

cc

xcdxxcdxcx

126. Determine la función generatriz de momentos de la

variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está

dada por:

eoc

xparaxf

x

0

05

3

)(

4

Rep.:


Nivel iniciación


65

)4(5

3

4

1

5

3

5

3

5

3

5

3)()(

0

)4(4

0

4

0



Diremos que la medida P es una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones

a) 1)(1 AP

b) 1)( P

c)

0

1 )()(n

ni APAnP

d) Solo b y c

e) Todas las anteriores

128. Sea },,,,,,{ ValdiviaSuazoSanchezVidalCarmona

jugadores de la selección Chilena de Fútbol. Veamos si }},{},,,{},{,,{ ValdiviaCarmonaSuazoSanchezVidalCarmonaT


Rep.:




No se encuentran presentes TCarmona c }{

Por lo tanto No es ebraAlg .

129. Si }34,27,23,15,11,8,1{ espacio muestral de número de

asistentes a la clase de matemática del curso Primero Medio C

Veamos si estos alumnos conforman un ebraAlg

},},27,23,11,1{},27,23,15,11{},34,8,1{{ T


Cual es el elemento que falta en T

a) { 35,8,1 }


Nivel iniciación


66

b) { 34,15,8 }

c) { 34,15,1 }

d) { 34,8,1 }

e) Ninguna de las anteriores.


eoc

xxc

xf 0

203

2

)(

22

Calcular c

4

3

16

9

16

91

9

16

3

8

33

2

3

2

3

2 223

2

2

0

2

0

2222

ccc

xcdxxcdxxc

131. 15) Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de pesos, pero si no sale un número impar pierde esa cantidad de pesos.

Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas


xi -5 -3 2 4 6

f(xi)

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 5

16

5

14

5

12

5

13

5

15


Nivel iniciación


67

= 8,05

4

5

6

5

4

5

2

5

3

5

5 pesos

132. La función de densidad de probabilidad de una

variable

Aleatoria X esta dada por:

eoc

xxxf

0

10)4(5

1

)(

Determinar

a) )(xE b) )(xVar

Resp:

a) )(xE = 3

1

6

10

5

1

3

1

2

4

5

1

324

5

14

5

1)4(

5

1)4(

5

1 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE60

13

12

13

5

1

4

1

3

4

5

1

43

4

5

14

5

1)4(

5

1)4(

5

1 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

510,0540

57

540

60117

9

1

60

13



21

202

00

)( 4

x

xxx

x

XF

Obtener )2

1()

5

1( XPXP


Nivel iniciación


68

Rep.:

a)

039,015625

624

15625

1625

15625

1

25

1

5222)2()

5

1(

525

1

0

5

1

0

45

1

0

4

xxdxxdxxdxxxXP

b)

24375,0160

39

160

1

4

1

52222)2()

2

1(

522

1

0

2

1

0

42

1

0

2

1

0

2

1

0

44

xxdxxdxxdxxdxxxxXP



xi -2 -1 1 3

f(xi)

4

1

4

1

4

1

4

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 4

13

4

11

4

11

4

12

= 25,04

1

4

3

4

1

4

1

4

2


Nivel iniciación


69

)(2 xifxi

)( 2xiE =4

19

4

11

4

11

4

14

= 75,34

15

4

9

4

1

4

1

4

4

xiExiEXiVar 22)(

= 68,316

59

16

1

4

15


eoc

xkx

xf 0

305

6

)(

3

Calcular k

243

101

10

2431

4

81

5

6

4

81

45

6

5

6

5

6 43

0

3

0

33

kkkx

kdxxkdxkx

136. Sea x una variable aleatoria que representa el número

de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 3 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

!

)4(3)(

5

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3


Rep.:

)0(P 0205,0166,146

33)4(3 505 ee


Nivel iniciación


70

)1(P 0820,0166,146

123)4(3 515 ee

)2(P 1641,0166,146

24

2

48)4(3

525

e

e

)3(P 2189,0166,146

32

6

192)4(3

535

e

e

137. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación

estándar de la siguiente distribución.

xi -3 -2 -1 2 3 5

)(xif

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Grafico

0,0205

0,082

0,1641

0,2189

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3

x

f(x)

Serie2


Nivel iniciación


71

6

15

6

13

6

12

6

11

6

12

6

13

2

xixi

= 6

5

6

3

6

2

6

1

6

2

6

3

=

6

4

6

125

6

19

6

14

6

11

6

14

6

19)(2 xifxi

= 6

52

6

25

6

9

6

4

6

1

6

4

6

9

222 )( xifxi

= 2,836

296

36

16312

36

16

6

52

Desviación Estándar

867,26

296

138. Sea }24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2{ el conjunto de

números pares de las bolas a sortearse en el juego KINO

decir cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}24,22,20,18{},14,12,10,8{},6,4,2{,,{

b) 2a }}24,22,20,18,16{},14,12,10,8,6,4,2{,,{

c) 3a }}24,22{},20,18,16,14,12,10,8,6,4,2{,{

Resp:

d) No es un ebraAlg ya que c}6,4,2{ no pertenecen a 1a

e) Es ebraAlg ya que cada elemento de 2a posee su complemento

f) No lo es puesto que c no pertenecen a 3a


Nivel iniciación


72

139. Si la función de densidad de la variable aleatoria

X esta dada por

eoc

cxparax

xparax

xf

0

22

14

202

5

)(

2

Determinar

a) el valor de c

Rep.:

1184

422

14

2

14)

2

14(

22

2 2 2

cc

xxdxxdxdxx

c c c

4/84

42

c

c

3216 2 cc

032162 cc

2

12825616

x

2

228

2

2816

2

12816

x

224224 21 cc


Nivel iniciación


73

140. Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

0

3

2

00

)( 2

xparax

x

xpara

xF

a) Encontrar función de Densidad de X b) Calcular la Probabilidad )21( XP

Resp:

a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

dx

x

xd

xf

)3

2(

)(

2

=

22

2

2

22

2

2

2

22

)3(

)32(6

)3(

612

3

2412

)3(

243

)3(

)3(2

)2()3(

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

dx

xdx

dx

xdx

b) 5

31

5

8)1()2(

3

2)21()(

2

FFx

xXPxF

141. La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en chile tiene la siguiente

función de densidad

eoc

xsixx

xF 0

10)1(15

3

)(

2


Nivel iniciación


74

Calcular

a) Función de densidad b) Función de distribución acumulada c) )20,0( xP

Rep.:

a) 6

84

1

0

1

0

1

0

1

0

322 26

84)21( dxxdxxdxxdxxxx

112

1

6

84

4

1

3

2

2

1

6

84

432

26

84 432

xxx

b) 4322

24

84

18

1687)1(

6

84)( xxxdtttxF

c) )20,0( xP =

4

5

1

24

843

5

1

18

1682

5

17

5

1

F

0056,00746,028,0

= 211,0

142. La variable aleatoria X representa el intervalo de

tiempo entre 3 llegadas consecutivas de buses Tur Bus en el

Terminal de Viña del Mar y su función de Probabilidad está dada por:

eoc

xekxf

x

0

03)(122

a) Determinar el valor de k b) )21( xP

Rep.:


Nivel iniciación


75

a)

6

1

36

1

36

1

136113636361231233

2

221222

0

2

0

2

0

2 12

kk

kekekekduekdxekdxek

x

uu

xx

12

xu

dxdu12

1

b) )21( xP = )()(1212

112

2

1

FFdxe

x

= 12

1

6

1

12

1

12

1

ee


esta dada por:

21

218

3

10

)(

2

xpara

xparax

xpara

XF

Obtener

a) )2

3( XP

Rep.:


Nivel iniciación


76

)2

3( XP = 2968,0

64

19

24

19

8

3

3

1

24

27

8

3

38

3

8

3

8

3 32

3

1

22

3

1

2

xdxxdx

x


eoc

xxk

xf 0

402

)(

Calcular k

Rep.:

4

114

4

16

2222

24

0

4

0

kkxk

dxxk

dxxk

145. La probabilidad de recorrer todo el sur de Chile de

una Ciudad A hasta una B sin pinchar gomas es 0,68; al

hacer 15 viajes de A a B ¿Cuál es el numero mas probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático?

Rep.:

102,101568,0)( xiE Viajes.

146. la función generatriz de momentos de la variable

aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

04

3

)(

Rep.:


Nivel iniciación


77

)1(4

3

1

1

4

3

4

3

4

3

4

3)()(

0

)1(

00


147. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria

continúa esta dada por:

63)1(

0

33

2)(

yparayyf


probabilidad.

Rep.:

133

2

2

333

2

96

2

36

233

2

33

2)1(

33

2)1(

33

2 26

3

6

3

6

3

6

3

y

ydydyydyydyy


xexf

x

025

1)( 25

Determinar


Rep.:

12525

1

25

1

25

145

0

4545

0

2525

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx


Nivel iniciación


78

149. Sea X una variable aleatoria discreta que sólo toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y que tiene la distribución de

probabilidad dada por la siguiente tabla.

X 0 1 2 3 4 5

P (X) 0.05 0.30 0.20 0.10 0.05

a) Calcule P ( ).

b) Calcule μ y σ. Rep.

a) P ( ) = 1 - 0.05 - 0.30 - 0.20 - 0.10 - 0.05 = 0.30

b) μ = 0·0.05 + 1·0.30 + 2·0.30 + 3·0.20 + 4·0.10 + 5·0.05 = 2.15

σ² = 0.05· (0 - 2.15)² + 0.30·(1 - 2.15)² + 0.20·(2 - 2.15)² + ... + 0.05·(5 - 2.15)² = 1.5275;

σ = √1,5275 = 1,2359


51

505

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

2

5

2

25

5

1

25

1

5

1

5

25

0

5

0

x

dxxdxx


una ebraAlg

Para si cumple:

a) T

b) TATA C

c) TAnINnAnA n

,,0


Nivel iniciación


79

d) Solo a y c e) Todas las Anteriores


variable Aleatoria X esta dada por:

eoc

xxxf

0

10)1(3)(

Determinar

a) )(xE

b) )(xVar

Rep.:

a) )(xE = 2

1

6

13

3

1

2

13

3233)1(3)1(3

321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE4

1

12

13

4

1

3

13

4333)1(3)1(3

431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 04

1

4

1

)(xVar de una constante es 0 .Por lo tanto la Varianza es una

Constante.

153. Sea E un evento para el cual 0)( EP Comprobar que

la funcion de probabilidad Condicional )(E

AP satisface



APA


Nivel iniciación


80

Rep.: Se tiene que )()( EPEAPEEA

Así )(E

AP 1)(

)(

EP

EAP

Esto es 1)(0 E

AP


Diremos que la medida P es una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones

a) 1)(0 AP

b) 1)( P

c)

0

1 )()(n

ni APAnP

d) Todas las anteriores


destacados de un determinado colegio. Veamos si

}},,{},,,{},{,,{ leonorluisjuanleonorfranciscamarcelaluisT


Rep.:




156. Si }7,5,3,1{ espacio muestral de números primos y

},},7,1{},5,3{},1{{ T


Cual es el elemento que falta en T


Nivel iniciación


81

a) {2, 4,5} b) {4, 6,7}

c) {1,5} d) {3, 5,7} e) Ninguna de las anteriores.


eoc

xcx

xf 0

503

5

)(

Calcular k

2

15

2

25

3

5

2

25

23

5

3

5

3

5 25

0

5

0

cc

xcdxxcdxcx

158. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

04

5

)(

2

Rep.:

)2(4

5

2

1

4

5

4

5

4

5

4

5)()(

0

)2(2

0

2

0


159. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de pesos, pero si no sale un número

impar pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza.


xi -4 -2 3 5 7

f(xi)

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1


Nivel iniciación


82

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= -4 5

1 -2

5

17

5

15

5

13

5

1

= 28,15

9

5

71

5

3

5

2

5

4

pesos

160. sea },,,,,,{ franciscaleonormarcelaluisjuan

alumnos destacados de un determinado colegio Veamos si }},,{},,,{},{,{ leonorluisjuanleonorfranciscamarcelaluisT


Rep.:






11

103

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )6

2()

4

1( XPXP

Rep.:

a) 1024

95

1024

1

32

3

4233)3()

4

1(

424

1

0

4

1

0

34

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP


Nivel iniciación


83

b)

5184

16

4

1

72

4

2

13

42333)3()

6

2(

421

6

2

1

6

2

3

1

6

2

1

6

2

1

6

2


=5184

5632

5184

12806912

5184

1280

72

96

5184

609

72

323

162. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de dólares, pero si no sale un número

impar pierde esa cantidad de dolares. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza.


xi 1 3 5 -2 -6

f(xi)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 1 6

1 + 3

6

16

6

12

6

15

6

1

= 16,06

1

6

6

6

2

6

5

6

3

6

1 dólares


163. Luís dispara a una arco de fútbol en 3 ocasiones. Siendo

X el número de aciertos obtenidos. Calcular la función de Distribución de X

Rep.: X Es una variable aleatoria Discreta que toma los valores 0, 1, 2,3, con

probabilidad no nula. La función de densidad es:

8

1)3(,

8

3)2(,

8

3)1(,

8

1)0( ffff


Nivel iniciación


84

La función de distribución será:

00)( xXF

108

1)( xXF

218

4)( xXF

328

7)( xXF

1)( XF


eoc

xkx

xf 0

302

)(

Calcular k

9

119

2

9

2222

23

0

3

0

kkx

kdxxkdxkx

165. La probabilidad de recorrer Chile en un auto y quedar en pana es 0,65 ; al hacer 17 viajes de A a B ¿Cuál es el numero mas probable de viajes que se puede realizar sin el

riesgo de quedar en pana?

Rep.:

1105,111765,0)( xiE Viajes.

166. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta

dada por:

eoc

xparaxf

x

0

03

2

)(5

2

Rep.:


Nivel iniciación


85

)5

2(3

2

5

2

1

3

2

3

2

3

2

3

2)()(

0

)5

2(

5

2

0

5

2

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx



51)4

3

1(

0

40

1)(

yparayyf


probabilidad.

Rep.:

140

1

3

120

6

24112025

46

120

6

25

40

14

23

1

40

14

3

1

40

1)4

3

1(

40

1)4

3

1(

40

1 25

1

5

1

5

1

5

1

y

ydydyydyydyy


21

203

00

)(2

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

9

8

3

8

3

1

33

1

3

1

3

32

0

2

2

0

2

x

dxxdxx




Nivel iniciación


86

xexf

x

012

1)( 12

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad

Rep.:

11212

1

12

1

12

112

0

1212

00

1212

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

170. Un grupo de amigos va a jugar a la plaza Baby Fútbol

y cada lanzamiento al arco tiene un puntaje favorable o desfavorable según sea el caso .

Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan? Los resultados posibles del juego con sus respectivas


xi -2 -1 1 3 4

f(xi)

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 3

11

3

12

3

14

3

13

3

11

= 3

5

3

4

3

3

3

1

3

1

3

2


Cual de las siguientes opciones corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad.

a) 1)(0 AP


Nivel iniciación


87

b) 2)( P

c) )()(0

1

n

i AnPAnP

d) Todas las Anteriores

172. sea },,,,,{ CristobalDonatellaYaznaJavierjaquelineEduardo

estudiantes de la carrera de Ingeniería comercial de la

Universidad Valparaíso Veamos si

},{},,{},,,{},{,,{ yaznajaquelineEduardoDonatellaCristobalYaznaJavierEduardoT







eoc

xxc

xf 0

309

16

)(

32

Calcular c

6

1

36

11361

4

81

9

16

4

81

49

16

9

16

9

16 2224

2

3

0

3

0

3232

cccc

xcdxxcdxxc


Nivel iniciación


88


xexf

x

012

1)( 12

Determinar


Rep.:

11212

1

12

1

12

112

0

1212

00

1212

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

175. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza


xi -3 -1 2 3

f(xi)

4

1

4

1

4

1

4

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 4

11

4

13

4

13

4

12

= 4

1

4

3

4

2

4

1

4

3


Nivel iniciación


89


eoc

xkx

xf 0

109

2

)(

2

Calcular k

2

271

27

21

9

2

3

1

39

2

9

2

9

2 31

0

1

0

22

kkkx

kdxxkdxkx

177. La probabilidad de un alumno de sacarse un 7 en

una prueba de matemáticas en 0,35; Si para lograr este objetivo estudia 8 horas

¿Cuál es la esperanza que lo logre? Rep.:

8,2835,0)( xiE

178. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta

dada por:

eoc

xparaxf

x

0

04

3

)(3

2

Rep.:

)3

2(4

3

3

2

1

4

3

4

3

4

3

4

3)()(

0

)3

2(

3

2

0

3

2

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx


Nivel iniciación


90

179. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

21)3(

0

16

3)( 2

xparaxyf


probabilidad. Rep.:

13

16

16

33

3

16

3

83

316

33

16

3)3(

16

3)3(

16

3 32

1

2

1

2

2

1

22

2

1

x

xdxdxxdxxdxx


xexf

x

08

1)( 8

Determinar


Rep.:

188

1

8

1

8

17

0

78

00

88

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

dxdu

xu

8

1

8


Nivel iniciación


91


21

204

7

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

2

7

2

4

4

7

24

7

4

7

4

7 22

0

2

0

x

dxxdxx


182. Sea }6,5,4,3,2,1{ Conjunto de números de un dado

Veamos si }}3,2,1{},6,5,4,3,2{},6,5,4{},1{,,{ T


Rep.:



Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto No es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0


183. Sea },,,,{ airam conjunto de letras que conforman

un nombre femenino Veamos si }},,{},,{},,{},,,{,,{ ramaiarimaT




Nivel iniciación


92



c)

},{ ai

},,{ ima

},,{ ram

}{},{},{ maiar


184. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación

estándar de la siguiente distribución.

xi - 3 -1 1 4

)(xif

5

1

5

1

5

1

5

1

5

14

5

11

5

11

5

13

2

xixi -

= -5

4

5

1

5

1

5

3 =

5

1

185. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados del sur, la rifa posee un total de 10 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la

probabilidad que el número ganador sea impar? Rep.:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iikkP



Nivel iniciación


93

Luego

10

1 55

11551

i

kkki

({P Que numero ganador salga impar})= })9,7,5,3,1({P

11

5

55

25

55

9

55

7

55

5

55

3

55

1



a) },{1 A

b) }},4,2{},5,3,1{,{2 A

c) }}3,2,1{,{3 A

187. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 casas construidas como mediaguas en el

Sur

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,13 0,16 0,04 0,08

a) 59,009,005,018,012,01

b) )(

)(/)2/4(

BP

BAPBAPXXP

137,087,0

12,0

)2(

)4(

XP

XP

c) )2(

)2()4()2/4(

XP

XPXPXXP


Nivel iniciación


94

= 9080,087,0

79,0

71,0

13,092,0



Para 0x

Para 20 x

Para 42 x

Para 64 x

Para 7x

Determinar

a) )42( xp = p24

1

3

1

8

3)2()4( xpx

b) 9

5)5( xp


esta dada por:

61

6321

6

30

)(

xpara

xparax

xpara

XF

Obtener a) )4( XP

1

9

5

8

3

3

1

0

)(xf


Nivel iniciación


95

Rep.:

)4( XP = 12

7

21

6

2

9

2

16

21

6

221

6

21

6

21

6 24

3

4

3

xdxxdx

x

190. Sea }4,3,2,1,0{ el conjunto de los casos posibles que

resultan de jugar al sorteo Polla 4 cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}3,2,1},¨{4,3,0{},4,0{},2,1{,{

b) 2a }}4,3,0{},2,1{,,{

c) 3a }}4,0{},3,2,1{,{

Resp:

g) no es un ebraAlg ya que c no pertenecen a 1a

h) Es ebraAlg ya que cada elemento de 2a posee su complemento

i) No lo es puesto que c no pertenecen a 3a

191. Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por

eoc

cxparax

xparax

xf

0

24

205

2

)(

Determinar b) el valor de c

Resp:

1282

42

44)4(22

2 2 2

cc

xxdxxdxdxx

c c c


Nivel iniciación


96

72

42

c

c

148 2 cc

01482 cc

2

56648

2

88

585,2414,5 21 cc


0

3

4

00

)( 3

xparax

x

xpara

xF

a) Encontrar función de Densidad de X

b) Calcular la Probabilidad )2

10( XP

Resp:

b) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función

de distribución

dx

x

xd

xf

)3

4(

)(

3

=


Nivel iniciación


97

2

2

2

23

2

323

2

32

2

33

)3(

)94(4

)3(

3616

3

43612

)3(

4123

)3(

)3(4

)4()3(

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

dx

xdx

dx

xdx

b) 7

10

7

1)0()

2

1(

3

4)

2

10()(

3

FFx

xXPxF

193. Un Grupo de personas juega al popular UNO este

juega solo con las cartas de color amarillo pero son el 9 ósea que espacio muestral va a ser igual a }8,7,6,5,4,3,2,1,0{ ,

¿Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga par?

Rep.:

}8,7,6,5,4,3,2,1,0{ Y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 8,7,6,5,4,3,2,1,0)( iiccP

c Constante de proporcionalidad

Luego

8

0 36

11361

i

kcci

({P Que salga par})= })8,6,4,2({P

9

5

36

20

36

8

36

6

36

4

36

2

194. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Arica hasta La Serena sin pinchar gomas es 0,70; al hacer 11 viajes de arica a La serena ¿Cuál es el numero mas

probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático?

Rep.:

87,71170,0)( xiE Viajes.


Nivel iniciación


98


eoc

xxk

xf 0

503

5

)(

2

Calcular k

Rep.:

625

91

9

6251

3

5

3

125

33

5

3

5

35

35

0

5

0

22

kkkxk

dxxk

dxxk

196. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

04

5

)(

2

Rep.:

)2(4

5

2

1

4

5

4

5

4

5

4

5)()(

0

)2(2

0

2

0



42)1(

0

24

2)(

yparayyf


Nivel iniciación


99


probabilidad.

Rep.:

12

24

24

22

2

44

2

16

224

2

24

2)1(

24

2)1(

24

2 24

2

4

2

4

2

4

2

y

ydydyydyydyy


xexf

x

08

1)( 8

Determinar


Rep.:

188

1

8

1

8

18

0

88

00

88

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx


71

707

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

2

7

2

49

7

1

27

1

7

1

7

27

0

7

0

x

dxxdxx



Nivel iniciación


100


una ebraAlg

Para si cumple:

a) T

b) TATA C

c) TAnINnAnA n

,,0

d) Solo a y c


201. La función de densidad de probabilidad de una variable

Aleatoria X esta dada por:

eoc

xxxf

0

10)1(2)(

2

Determinar

a) )(xE

b) )(xVar

Rep.: a) )(xE

3

1

6

12

3

1

2

12

322

2)1(2)1(2

32

1

0

1

0

2

1

0

1

0

xx

dxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE

1

0

2

1

0

2 )1(2)1(2 dxxxdxxx

1

0

1

0

322 dxxdxx

6

1

12

12

4

1

3

12

432

43

xx


Nivel iniciación


101

)(xVar = )()( 22 xExE

= 18

1

54

3

9

1

6

1

202. Sea E un evento para el cual 0)( EP Comprobar que

la función de probabilidad Condicional )(E

AP satisface



APA

Rep.: Se tiene que )()( EPEAPEEA

Así )(E

AP 1)(

)(

EP

EAP

Esto es 1)(0 E

AP


Cual de las siguientes opciones no corresponden a una

condición para ser espacio de probabilidad. a) 1)(0 AP

b) 0)( P

c) )()(0

1

n

i AnPAnP

d) b) y c) no corresponden

e) Ninguna de las Anteriores

204. sea },,,,{ CristinaDanielYamileJorgeDaniela

estudiantes de la carrera de ingeniería ambiental de la Universidad de Playa Ancha.

Veamos si }},{},,,{},{,,{ DanielJorgeDanilaCristinaYamileJorgeT



Nivel iniciación


102

Rep.:






)(xf = 58

73 x para x= 1,2, 3, 4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una

variable aleatoria. Rep.:


)1(f 58

10 , )2(f

58

13 , )3(f

58

16 , )4(f =

58

19

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) 0

1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 158

58

58

19

58

16

58

13

58

10



Nivel iniciación


103

eoc

xxc

xf 0

605

8

)(

2

Calcular c

4

56

16

180

2

36

5

8

2

36

25

8

5

8

5

8 222

2

6

0

6

0

22

ccc

xcdxxcdxxc

207. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta

dada por:

eoc

xparaxf

x

0

03

5

)(

2

Rep.:

)2(3

5

2

1

3

5

3

5

3

5

3

5)()(

0

)2(2

0

2

0


208. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

02

9

)(

3

Rep.:

)3(2

9

3

1

2

9

2

9

2

9

2

9)()(

0

)3(3

0

3

0



Nivel iniciación


104

209. Un grupo de niños se ponen a jugar a las bolitas y

cada lanzamiento tiene un puntaje favorable o desfavorable según sea el caso

Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan?

Los resultados posibles del juego con sus respectivas


xi -3 -1 1 3 5

f(xi)

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= -3 5

1 -1

5

15

5

13

5

11

5

1

= 15

5

5

5

5

3

5

1

5

1

5

3

Es más favorable que ganen

210. 17) Sea },,,,,{ GuillermoMatiasCarolinaBeatrizPatricia

alumnos Tesistas de una determinada Universidad.

Veamos si

}},{

},,,{},,,,{},{,,{

CarolinaGuillermo

BeatrizMatiasPatriciaGuillermoCarolinaMatiasBeatrizPatriciaT

Compuesta por estos alumnos. Cumple con las condiciones para ser ebraAlg


b) si TATA C Tanto el subconjunto

Como su complemento pertenecen a T

c) TAnINnAnA n

,,0



Nivel iniciación


105



11

103

00

)( 4

x

xxx

x

XF

Obtener )2

1()

3

1( XPXP

Rep.: a)

2430

403

7290

1209

7290

61215

1215

1

6

1

5233)3()

3

1(

523

1

0

3

1

0

43

1

0

4

xxdxxdxxdxxxXP

b)

160

1

5

1

8

1

2

13

52333)3()

2

1(

521

2

1

1

2

1

4

1

2

1

1

2

1

1

2

1


=160

149

160

31180

160

31

8

9

160

31

8

33

212. Un jugador lanza un dado. Si sale un número par

gana dicho número de pesos, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de pesos.

¿El juego es favorable? Calcular la esperanza.


xi -3 -1 3 5

f(xi)

4

1

4

1

4

1

4

1


Nivel iniciación


106

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= -3 4

1 + -1

4

15

4

13

4

1

= 14

4

4

5

4

3

4

1

4

3



eoc

xkx

xf 0

405

)(

Calcular k

40

114015

2

16

2

16

2555

24

0

4

0

kkkx

kdxxkdxkx


eoc

xxk

xf 0

609

2

)(

2

Calcular k

Rep.:

432

271

27

4321

9

2

3

216

39

2

9

2

92

36

0

6

0

22

kkkxk

dxxk

dxxk


Nivel iniciación


107

215. La probabilidad de un alumno de obtener un 7 en una prueba de matemáticas es 0,60; Si para lograr este objetivo estudia 15 horas

¿Cuál es el número más probable de opciones que tiene de lograrlo de un total de 10?

Rep.:

91560,0)( xiE .

216. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta

dada por:

eoc

xparaxf

x

0

03

2

)(

4

Rep.:

)4(3

2

4

1

3

2

3

2

3

2

3

2)()(

0

)4(4

0

4

0




63)2(

0

63

2)(

yparayyf


probabilidad.

Rep.:


Nivel iniciación


108

12

63

63

26

2

912

2

362

263

22

63

2)2(

63

2)2(

63

2 26

3

6

3

6

3

6

3

y

ydydyydyydyy


xexf

x

05

1)( 5

Determinar


Rep.:

155

1

5

1

5

15

0

55

00

55

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

dxdu

xu

5

1

5


51

505

3

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

2

15

2

25

5

3

25

3

5

3

5

3 25

0

5

0

x

dxxdxx



Nivel iniciación


109

220. Sea },,,,{ ClaudiaCristianLuisJavieraMarcela

estudiantes destacados Veamos si }},,{},,{,,{ ClaudiaCristianLuisJavieraMarcelaT





se encuentran presentes Por lo tanto No es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0


221. Sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible.

Cual de las siguientes opciones NO corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad.

a) 1)(0 AP

b) 1)( P

c) )()(0

1

n

i AnPAnP

d) NO corresponden


222. Sea },,,,,{ CatalinaClaudioluisfelipeFranciscajuan

estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial de la Universidad de Playa Ancha.

Veamos si }{},{},,,{},{,,{ FranciscaluisCatalinaClaudiofelipejuanT


Rep.:


Nivel iniciación


110





)(xf = 64

45 x para x= 1,2, 3, 4


Rep.:


)1(f 64

9 , )2(f

64

14 , )3(f

64

19 , )4(f =

64

24

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) 0

1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 164

64

64

24

64

19

64

14

64

9


eoc

xxc

xf 0

103

8

)(

2

Calcular c


Nivel iniciación


111

4330,04

3

16

3

16

3

2

1

3

8

2

1

23

8

3

8

3

8 222

2

1

0

1

0

22

ccc

xcdxxcdxxc


21

204

1

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )4

1()

2

1( XPXP

Rep.:

a)

0156,064

1

64

12

64

1

32

1

424

1

4

1)

4

1()

2

1(

422

1

0

2

1

0

32

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP

b)

006,01024

7

1024

1

128

1

424

1

4

1

4

1)

4

1()

4

1(

424

1

0

4

1

0

34

1

0

4

1

0

4

1

0

33

xxdxxdxxdxxdxxxxXP

226. Dada la siguiente tabla

Calcular la esperanza


xi -4 -3 1 3 5

f(xi)

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1


Nivel iniciación


112

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 4 5

1 + 3

5

15

5

13

5

11

5

1

= 5

2

5

5

5

3

5

1

5

3

5

4


eoc

xx

k

xf 0

2026

4

)(

2

Calcular k

2

3

4

32

16

121

12

161

2

4

6

4

2

4

26

4

6

4

23

4 2222

2

2

0

2

0

22

kkkkx

kdxxkdxx

k


eoc

xxk

xf 0

210

72

)(

Calcular k

Rep.:


Nivel iniciación


113

282

561

56

21

7

2

8

1

27

2

7

2

72

221

0

21

0

kk

kxkdxx

kdxx

k


variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

07

5

)(

2

Rep.:

)2(7

5

2

1

7

5

7

5

7

5

7

5)()(

0

)2(2

0

2

0


230. La probabilidad de que un alumno reprueba la

asignatura de estadística y probabilidades es de 0,50; Si para lograr aprobar estudia 4 horas

¿Cuál es la esperanza que lo logre? Rep.:

2450,0)( xiE

231. Ver si la siguiente función es de densidad

21

205

2

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:


Nivel iniciación


114

5

4

2

4

5

2

25

2

5

2

5

2 22

0

2

0

x

dxxdxx

NO es función de densidad de probabilidad

232. Sea }25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1{ Conjunto de

números impares de un juego llamado kino Veamos si }}15,13,11{},9,7,5,3,1{},25,23,21,19,17,15,13,11{},9,7,5,3,1{,,{ T



b) si TATA C no cumple con esta condición


No se encuentran presentes Por lo tanto no es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0

Por lo tanto no cumple con 3 condiciones es un ebraAlg .

233. Sea },,,,,{ leunaM conjunto de letras que

conforman un nombre masculino Veamos si }},,,,{},{},,,{},,,{,,{ leunaMleunaMT


Rep.:




c)

},{ ai

},,{ ima

},,{ ram


Nivel iniciación


115

}{},{},{ maiar



xi - 3 -1 1 4

)(xif

4

1

4

1

4

1

4

1

4

14

4

11

4

11

4

13

2

xixi -

= -4

4

4

1

4

1

4

3 =

4

1

235. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados de

la región del Maule, la rifa posee un total de 16 números. Si

su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea impar?

Rep.:

{ 16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 } y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iikkP


Luego

16

1 136

111361

i

kkki

({P Que numero ganador salga

impar})= })15,13,11,9,7,5,3,1({P


Nivel iniciación


116

470,0136

64

136

15

136

13

136

11

136

9

136

7

136

5

136

3

136

1



Sea }6,5,4,3,2,1{

a) }}6,5,4,2{},3,1{,,{1 A

b) }},4,2{},3,1{,{2 A

c) }}6,5,4{},3,2,1{,{3 A


eoc

xxk

xf 0

2016

)(

33

Calcular k

4

1

64

1

64

11641

4

1616

4161616 3

3334

3

2

0

2

0

3333

kkkkx

kdxxkdxxk

238. La probabilidad de un alumno de sacarse un 6 en

una prueba de Biología es de 0,58; Si para lograr este objetivo estudia 3 horas


Rep.:

74,1358,0)( xiE


variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta

dada por:


Nivel iniciación


117

eoc

xparaxf

x

0

03

5

)(5

4

Rep.:

)5

4(3

5

5

4

1

3

5

3

5

3

5

3

5)()(

0

)5

4(

5

4

0

5

4

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx



21)8(

0

111

4)( 3

yparayyf


probabilidad.

Rep.:

14

111

111

4

84

116

4

168

4111

48

111

4)8(

111

4)8(

111

4 42

1

2

1

3

2

1

33

2

1

y

ydydyydyydyy

241. La función de probabilidad de X es el numero de

defectos de cada 5 casas construidas en la zona sur del país

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,09 0,19 0,16 0,11

a) 45,011,016,019,009,01


Nivel iniciación


118

b) )(

)(/)2/3(

BP

BAPBAPXXP

79,091,0

72,0

)2(

)3(

XP

XP

c) )3(

)3()4()3/4(

XP

XPXPXXP

= 2847,072,0

61,0

72,0

28,089,0


xexf

x

05

1)( 5

Determinar

a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.:

155

1

5

1

5

15

0

55

00

55

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx


31

204

2

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

12

4

4

2

24

2

4

2

4

2 22

0

2

0

x

dxxdxx

Es función de densidad de probabilidad


Nivel iniciación


119


variable Aleatoria X esta dada por:

eoc

xxxf

0

10)51(5

1

)(

2

Determinar

a) )(xE

b) )(xVar

Rep.: a) )(xE

60

41

12

41

5

1

4

25

3

10

2

1

5

1

425

310

25

1

25105

1)51(

5

1)51(

5

1

432

1

0

1

0

3

1

0

2

1

0

1

0

22

xxx

dxxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE

1

0

22

1

0

22 )51(5

1)51(

5

1dxxxdxxx

1

0

1

0

4

1

0

32 25105

1dxxdxxdxx

60

34

60

170

5

1

5

25

4

10

3

1

5

1

525

410

35

1 543

xxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 099,03600

359

3600

16812040

3600

1681

60

34


Nivel iniciación


120

245. La función de probabilidad de X es el numero de

defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,17 0,22 0,15 0,12

a) 34,012,015,022,017,01

b) 12,0515,0434,0322,0217,012

xixi

= 17,0 + 83,26,06,002,144,0

= )(2 xifxi 12,02515,01634,0922,0417,01

= 51,934,206,388,017,0

c) 222 )( xifxi

= 51,9 0089,8 = 5011,1



Para 1x

Para 31 x

Para 53 x

Para 75 x

Para 8x

Determinar

1

7

2

7

4

7

1

0

)(xf


Nivel iniciación


121

a) )52( xp = p7

3

7

1

7

4)2()5( xpx

b) 7

2)6( xp

247. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail

que recibe una empresa de telefonía móvil a diario en un intervalo de 4 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

!

)2()(

3

x

eXP

x

x= 1, 2, 3, 4


Rep.:

)1(P 1005,090,19

22)2( 313 ee

)2(P 1005,090,19

2

2

4)2(

323

e

e

)3(P 067,04,119

8

6

8)2(

333

e

e

)4(P 03350,06,477

16

24

16)2(

344

e

e

248. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución.

xi -3 -1 1 4

)(xif

4

1

4

1

4

1

4

1


Nivel iniciación


122

4

14

4

11

4

11

4

13

2

xixi

= 4

4

4

1

4

1

4

3 =

4

1

4

116

4

11

4

11

4

19)(2 xifxi

= 4

27

4

16

4

1

4

1

4

9

222 )( xifxi

= 6875,616

107

16

1108

16

1

4

27

586,24

107

249. Sea }6,5,4,3,2,1{ el conjunto de los casos posibles

que resultan de la tirada de un dado decir cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}6,5,4{},3,2,1{,,{

b) 2a }}6,5,4,3{},2,1{,,{

c) 3a }}6,5,4{},3,2,1{,{

Resp:

a) Es un ebraAlg ya que c}3,2,1{ pertenece a 1a

b) Es ebraAlg ya que cada elemento de 2a posee su

complemento

c) No lo es puesto que c no pertenecen a 3a


Nivel iniciación


123

250. Si la función de densidad de la variable aleatoria

X esta dada por

eoc

cxparax

xparax

xf

0

14

103

2

)(

Determinar

c) el valor de c Resp:

12

14

24

244)4(

22

1 1 1

cc

xxdxxdxdxx

c c c

2

14

24

2

c

c

2

7

24

2

c

c

78 2 cc

0782 cc

0)1)(7 cc

17 21 cc

3

1

2

1

3

2

23

2

3

2

3

2 21

0

1

0

x

dxxdxx


0

3

2

00

)( 2

xparax

x

xpara

xF

a) Encontrar función de Densidad de X


Nivel iniciación


124

b) Calcular la Probabilidad )10( XP

Resp:

a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces

La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

dx

x

xd

xf

)3

2(

)(

2

=

22

2

2

22

2

2

2

22

)3(

)24(3

)3(

612

3

2412

)3(

243

)3(

)3(2

)2()3(

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

dx

xdx

dx

xdx

b) 4

20

4

2)0()1(

3

2)10()(

2

FFx

xXPxF

252. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de fallas en el Pavimento

continuos es:

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,24 0,20 0,16 0,22

a) 18,022,016,020,024,01

b) 22,0516,0418,0320,0224,012

xixi

= 24,0 + 92,21,164,054,040,0

= )(2 xifxi 22,02516,01618,0920,0424,01

= 72,105,556,262,180,024,0

c) 222 )( xifxi


Nivel iniciación


125

= 5264,872,10

= 1936,2

d) )(

)(/)2/4(

BP

BAPBAPXXP

5,076,0

38,0

)2(

)4(

XP

XP

e) )2(

)2()3()2/3(

XP

XPXPXXP

= 678,056,0

38,0

56,0

24,062,0

253. Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de distribución es igual a:

03)( 3 xparaeXF x

Calcular: a) )1( xP

b) )21( xP

c) ))3ln()1(ln( xP

Rep.:

Como )()( xXPxF entonces se tiene que:

a) )1( xP =1- )1( xP

= 1- )1(F

= )3(1 3xe = 34 e

b) )21( xP = )1()2( xPxP

= )1()2( FF

= 36 33 ee

= 63 ee


Nivel iniciación


126

c) ))3ln()1(ln( xP = ))1(ln())3(ln( FF = )3ln(3)1ln(3 ee =)3ln(3

11

e

254. Dado 3,1 Es alguna de las siguientes familias de

conjuntos un ebraa lg

,{1 F }3,2,2,1,3,1

,{2 F }1,2

5,

2

5,1,1,

2

3,

2

3,1,2,1

Rep.:

1F Es un algebra porque 13,22,1/ F

2F Es un algebra porque 21,2

5

2

3,1 F

255. Dado }.10,8,6,4,2{ En alguna de las siguientes

familias de conjuntos de números pares entre 1-10 es un ebraa lg

}}10,8{},6,4,2{,{1 F

}}10,8,6,4{},2{},10,8,6{},4,2{,,{2 F

}}10{},6,4{},6{},4,2{,,{3 F

Rep.:

1F No es un algebra ya que 1F

2F Es un algebra ya que no todos los elementos tiene su

complemento

3F No es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para

que lo sea.pues cada elemento no tiene su complemento

256. Dado }.4,3,2{ .completar }}4{},3{{ para obtener un

algebra. Agregar más subconjuntos si es posible.

Resp:


Nivel iniciación


127

}}4,2{},4,3{},2{},4{},3,2{},3{},4,3,2{,{F

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un ebraa lg .

257. La función de densidad de una variable continua es:

)1,0(0)(

)1,0(4

14)( 2

xsixf

xsibaxxf

Determinar a y b sabiendo que 072,0)21( xP

Rep.:

14

1

3

41

4

1

3

14

4

1

34

4

14)

4

14(

31

0

2

1

0

1

0

2

b

abaxb

xadxbdxxadxbxa

36,09144

31661284

1

3

4

4

2

3

32

4

1

34)

4

14(

2

1

32

ba

bababa

ba

xbx

adxbax

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones

36,09144

3/12316

ba

ba

36,09144

36948

ba

ba

27843,0

128

64,35

64,35128

a

a

a

Reemplazando en 2 se tiene

4948,4

9

4539,40

36,0927843,0144

b

b

b


Nivel iniciación


128

258. La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en chile tiene la siguiente función de densidad

eoc

xsixx

xF 0

20)1(16

15

)(

22

Calcular

d) Función de densidad e) Función de distribución acumulada f) )50,0( xP

Rep.:

b) 16

15

2

0

2

0

2

0

2

0

43222 216

15)21( dxxdxxdxxdxxxx

115

16

16

15

5

328

3

8

16

15

542

316

15 543

xxx

b) 54322

16

3

32

15

16

5)1(

16

15)( xxxdtttxF

c) )50,0( xP =

5

2

1

16

34

2

1

32

153

2

1

16

5

2

1

F

00585,0029,0039,0

= 01585,0

259. La variable aleatoria X representa el intervalo de

tiempo entre 2 llegadas consecutivas a una tienda y su

función de Probabilidad está dada por:

eoc

xkexf

x

0

04)(3


Nivel iniciación


129

a. Determinar el valor de k b. )32( xP

Rep.:

a)

12

11121112121234344 3

000

3

kkekekekduekdxekdxek

x

uu

xx

3

xu

dxdu3

1

b) )32( xP = )()(33

123

3

2

FFdxe

x

= 3

2

3

3

3

1

3

1

ee


esta dada por:

31

213

2

00

)(

xpara

xparax

xpara

XF

Obtener a) )3( XP


Nivel iniciación


130

Rep.:

)2( XP = 12

3

3

2

2

1

2

4

3

2

23

2

3

2

3

2 22

1

2

1

xdxxdx

x

261. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

08

2

)(5

1

Rep.:

)5

1(8

2

5

1

1

8

2

8

2

8

2

8

2)()(

0

)5

1(

5

1

0

5

1

0

tt

dxedxeedxeeeEtMxtxx

txx

txtx


31)45(

0

75

2)(

xparaxyf


probabilidad.

12

75

75

2

42

512

2

454

25

75

245

75

2)45(

75

2)45(

75

2 23

1

3

1

3

1

3

1

xx

dxdxxdxxdxx


Nivel iniciación


131


xexf

x

06

1)( 6

Determinar


Rep.:

166

1

6

1

6

16

0

66

00

66

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx


31

305

6

00

)(2

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

5

54

3

27

5

6

35

6

5

6

5

6 33

0

2

3

0

2

x

dxxdxx


265. Un jugador compra un juego de lotería. Si sale un

número x gana dicho número de euros, pero si no sale un

número x pierde esa cantidad de euros. Calcular la esperanza.


Nivel iniciación


132


xi -3 -2 1 3 5

f(xi)

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= -3 5

1 -2

5

15

5

13

5

11

5

1

= 18,05

4

5

5

5

3

5

1

5

2

5

3 euro

Finalmente el jugador sale con saldo a favor

266. sea },,,lg,,{ GeometriaaEstadisticriaTrigonometebraA

las cuales son áreas de relevancia en las matemáticas

Veamos si

},{

},,lg{},,,{},lg{,{

GeometriariaTrigonomet

aEstadisticebraAGeometriaaEstadisticriaTrigonometebraAT





Se encuentran presentes Por lo tanto es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0

Se cumple las 3 condiciones para ser ebraAlg


Nivel iniciación


133


21

202

1

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )3

1( XP

Rep.:

a)

0246,0324

8

324

1

36

1

422

1

2

1)

2

1()

3

1(

423

1

0

3

1

0

33

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP

268. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar

gana dicho número de dólares, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de dólares.

¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza.

Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades

es el siguiente:

xi 1 3 5 -2 -4 -6

f(xi)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 6

16

6

14

6

12

6

15

6

1

6

13

6

11

= 5,06

3

6

6

6

4

6

2

6

5

6

3

6

1 1 dólares


Nivel iniciación


134

Por lo tanto el juego no es favorable para el jugador.

269. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

1,0)53()( 2 xsixcxf

)1,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.

b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0 y 1/4 Rep.:

a) Se verifica

1

0

2 1)53(1)( dxxcdxxf

14

31

3

14

353

3

ccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

11

103

5314

3

00

)()(3

b)

64

1

4

3

14

3

333

14

353

14

3)53(

14

3)

4

10(

34

1

0

4

1

0

224

1

0

xxdxxdxdxxXP

1640,0896

147

64

49

14

3


está dada por:


Nivel iniciación


135

31

323

1

215

2

10

)(2

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )2( XP

b) )3

7( XP

Rep.:

)2( XP =5

3

2

3

5

2

2

1

2

4

5

2

25

2

5

2

5

2 22

1

2

1

xdxxdx

x

)3

7( XP =

81

118

3

2

3

8

9

7

81

343

3

1

33

1)

3

1(

33

7

2

3

7

2

23

7

2

2

x

xdxdxxdxx

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iniciacion teoria de probabilidad