INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 1 ... · INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 23/11/10 16:36 Página 2. A los alumnos y alumnas: El Texto Matemática

MatemáticaTEXTO DEL ESTUDIANTE

4ºEducación Media

ÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑA

PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

MAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZ

PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

PABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLO

PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

JAVIERA SETZ MENA

LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,LICENCIADA EN EDUCACIÓN,

PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 1

El Texto del Estudiante Matemática 4, para Cuarto Año de Educación Media,es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de InvestigacionesEducativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DE PROYECTO:Eugenia Águila Garay

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:Viviana López Fuster

EDICIÓN:Javiera Setz Mena

AUTORES:Ángela Baeza PeñaMarcia Villena RamírezPablo Jorquera RozbaczyloJaviera Setz Mena

CORRECCIÓN DE ESPECIALISTAS:Sergio Muñoz VenegasFlorencia Darrigrandi Navarro

CORRECCIÓN DE ESTILO:Isabel Spoerer VarelaGabriela Precht Rojas

DOCUMENTACIÓN:Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:Carlota Godoy Bustos

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:Xenia Venegas Zevallos

JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:Mariela Pineda Gálvez

DIAGRAMACIÓN:Mariela Pineda Gálvez

ILUSTRACIONES:Antonio Ahumada Mora

FOTOGRAFÍAS:Archivo Santillana

CUBIERTA: La Práctica S.P.A.

PRODUCCIÓN:Germán Urrutia Garín

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o

par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella

me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por WorldColor Chile S.A.

ISBN: 978-956-15-1760- 8 Inscripción N°: 197.993

Se terminó de imprimir esta 1a edición de203.600 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010.

www.santillana.cl

Referencias del Texto Educación Matemática 4, Educación Media y del Texto Matemática 4, Educación Media, Mineduc,

de los autores: Marcela Guerra Noguera, Patricia Urzúa Figueroa, Rodrigo Hernández Reyes, Alejandro Pedreros Matta,

Ángela Baeza Peña, Marcia Villena Ramírez, Pablo Jorquera Rozbaczylo, Gabriel Moreno Rioseco.

Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005 y 2010.


A los alumnos y alumnas:

El Texto Matemática Cuarto Año Medio ha sido creado y diseñado pen-

sando en la culminación de tu proceso escolar.

En cada una de las Unidades te invitamos a profundizar nuevos contenidos

matemáticos, relacionando e integrando a través de una mirada retros-

pectiva, los conocimientos adquiridos en años anteriores.

La construcción de modelos matemáticos, que ya has estudiado, se amplía

al conocimiento de otro tipo de funciones que, entre otros aprendizajes,

te facilitarán la comprensión de fenómenos sociales, naturales, químicos

y físicos.

En el estudio de la Geometría, podrás dejar usar toda tu

imaginación para profundizar en modelos vectoriales,

relacionados con el movimiento y la trayectoria que

describe una figura y con la generación de cuer-

pos geométricos mediante traslación y rota-

ción, aplicando así tu creatividad y habilidad

en la resolución de problemas.

Te presentamos dos Unidades de Estadística

cuyo estudio te aportará conceptos para el

análisis e interpretación de la información en-

tregada por los medios de comunicación y

para manejar recursos objetivos para funda-

mentar tus opiniones.

Presentación | 3

Presentación


Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con

este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera en el mundo que te rodea, y

te invita a comprender que la Matemática es parte de él.

A través de sus seis Unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, construir

y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontrarás las

siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

4 | Matemática 4º Medio

Estructura del Texto

• Mediante un esquema,conocerás los contenidosy su vinculación con losprincipales aprendizajesque se espera que logrescon el desarrollo de laUnidad.

¿Cuánto sabes?En esta sección te invitamosa resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a evaluar tusconocimientos y a recordarlo que aprendiste en añosanteriores y que serán labase para el desarrollo de la Unidad.

¿Qué debes recordar?Podrás activar tus conocimientos previos a través de un resumen queincluye los principales conceptos trabajados enaños anteriores y que te servirán como apoyo para losaprendizajes que se esperaque logres en la Unidad.

Conversemos de...A través de una introducciónal tema de la Unidad conectamos elementos eimágenes de la vida diariacon el contenido que trabajarás. Además, encontrarás preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de laUnidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias.


Páginas de desarrollo

Estructura del Texto | 5


ActividadesResolverás variadas actividadespara ir construyendo los conceptos y reforzando así tu aprendizaje.

Analicemos...Por medio de preguntas, trabajarás el razonamiento,explorarás el contenido matemático que aprenderás,pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

En resumenEncontrarás explicaciones, formalizaciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.

Recuerda que...Te recordará un contenido oprocedimiento ya aprendidoy necesario para lograr tusnuevos aprendizajes.



Herramientas tecnológicasAprenderás a utilizar planillasde cálculo y programas computacionales.

GlosarioTe presentará nuevos términos matemáticos relacionados con el contenido que se está desarrollando.

Pon atenciónTe recordará que debes revisar tus procedimientos,analizar la pertinencia y consistencia de las soluciones,entre otras.


Estructura del Texto | 7


Páginas de cierre

Organizando lo aprendidoPodrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando unmapa conceptual. Además,aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre ellos y sus relaciones.

Mi progresoResolverás actividades que te permitirán evaluartu progreso en el logro de los aprendizajes.

Cómo resolverloEn estas dos páginas observarásun problema resuelto paso a pasoa través de una determinada estrategia y, luego, podrás practicar la estrategia utilizadao aplicar otras que te permitanencontrar la solución. Eso sí, enMatemática siempre hay más de un camino para resolver un problema.



SÍntesis de la UnidadEste es un espacio para que construyastu mapa conceptual de todo lo trabajado en la Unidad a partir de algunos conceptos fundamentales.También responderás preguntas conceptuales para evaluar lo que has aprendido en la Unidad.

EvaluaciónEn estas tres páginas podrás autoevaluar los aprendizajes que lograste en la Unidad. Incluye preguntasde verdadero o falso y actividades dedesarrollo. Tomando en cuenta que unade las alternativas al egresar de la Educación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo de esta prueba.

En terrenoA partir de una situación desarrollada en un contexto real o laboral, desarrollarás (primero individualmente yluego en equipo) actividadesque te permitirán aplicar lo que aprendiste en la Unidad.


Índice | 9

Índice

¿Cuánto sabes? 64Función exponencial 66

Herramientas tecnológicas 70

Función exponencial y logarítmica 72

Aproximándonos al número e 74

Organizando lo aprendido 76

Mi progreso 77Ecuaciones exponenciales 78

Ecuaciones exponenciales con base e 80

Crecimiento exponencial 82

Decrecimiento exponencial 84

Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales 86


Mi progreso 89Cómo resolverlo 90

En terreno 92

Síntesis de la Unidad 94

Evaluación 95

Índice

¿Cuánto sabes? 14Funciones 16

Función inversa 18

Función potencia 20


Traslaciones verticales y horizontales 24


Mi progreso 27Logaritmos 28

Propiedades de los logaritmos 32

Propiedades de las operaciones de los logaritmos 34

Demostraciones aplicando logaritmos 36


Mi progreso 39Función logarítmica 40


Ecuaciones logarítmicas 46

Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas 50



En terreno 56


Evaluación 59

Función potencia y logarítmica 121

Función exponencial 622



¿Cuánto sabes? 100Vectores 102

Operatoria con vectores 104

Vectores en el plano cartesiano 106

Traslación de figuras planas 108

Producto por un escalar 110

Homotecia 112



Mi progreso 117Producto punto 118

Ecuación vectorial de la recta en el plano 120

Ecuación vectorial de una recta

y su ecuación cartesiana 123

Producto cruz y vectores en el espacio 126


Mi progreso 131Ecuación vectorial de la recta en el espacio 132

Rectas y planos 134

Ecuación vectorial y ecuación cartesiana

de un plano en el espacio 136

Posición relativa entre planos 140

Intersección de una recta y un plano,

y entre dos planos 142



En terreno 150


Evaluación 153

¿Cuánto sabes? 158Área y volumen 160

Proyecciones en el plano 162

Área de prismas y pirámides 164

Cuerpos generados por traslación 166

Volumen de un prisma 168

Volumen de pirámides 170


Mi progreso 173Cuerpos generados por rotación 174

Área de cilindros y conos 176

Volumen de cilindros 178


Volumen de conos 180

Volumen y área de la esfera 182



En terreno 188


Evaluación 191

Vectores 983

Áreas y volúmenes 1564


Índice | 11

Índice

¿Cuánto sabes? 196Orígenes de la Estadística 198

Población y muestra 200

Ordenando la información 202

Análisis de gráficos 204

Medidas de tendencia central 208




En terreno 218


Evaluación 221

¿Cuánto sabes? 226Medidas de dispersión 228

Correlación 232

Diagrama de tallo y hojas 234

Muestras al azar 236

Distribución normal 240


Mi progreso 245Medidas de posición 246


Aplicaciones de la Estadística 251



En terreno 258


Evaluación 261

5 Estadística I 194

6 Estadística II 224

Solucionario 264

Índice temático 284

Bibliografía 287


Usar programas computacionales para graficar funciones.

Analizar sus gráficas según lasvariaciones de sus coeficientes.

Obtener funciones inversas.

Resolver ecuaciones logarítmicas.

Resolver problemas en los que se utiliza logaritmos.

Caracterizar las funciones: dominio, recorrido, crecimiento

y decrecimiento.

Función potencia y logarítmica1

Función logarítmica

Propiedades de los logaritmos

Logaritmos

Función potencia

Función inversa

Funciones

TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:

12 | Unidad 1

UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 12

Función potencia y logarítmica | 13

Conversemos de...

La contaminación acústica afecta negativamente la calidad de vida de los individuos que están

expuestos a ella. Un informe de la Organización Mundial de la Salud (OMS) considera los 50 decibeles

(dB) como el límite superior de ruido tolerable. Los decibeles son la unidad de medida del nivel de

intensidad β de un sonido, que se calcula usando la expresión: β = 10 log , donde log es la

función logaritmo, I0 es la intensidad de referencia (el mínimo sonido que el oído humano puede

detectar corresponde a 10–12 W/m2) e I es la intensidad del sonido dado, medida también en W/m2.

Por ejemplo, el nivel de intensidad del estruendo de una explosión, como la de la imagen, es de

130 dB.

1. ¿Cuál es la diferencia entre sonido y ruido?, ¿cuándo un sonido se transforma en ruido?2. ¿Cuáles son los ruidos cotidianos que más te molestan?, ¿por qué?3. ¿Qué es la contaminación acústica?4. ¿Qué problemas y trastornos puede provocar la contaminación acústica?5. ¿Qué fuentes de contaminación acústica hay en el entorno de tu escuela?, ¿se podrían

evitar? Comenta con tus compañeros y compañeras.

II0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Latin

stoc

k


14 | Unidad 1

¿Cuánto sabes?

1. Grafica las siguientes funciones.

a. g (x) = 8x – 3 d. m(x) = 9 + 4x g. h(x) = –7x

b. h (x) = –2x2 + 1 e. k (x) = 3x2 h.

c. f. g (x) = 5 i. h(x) = 6 – 5x2

2. Determina para qué valores no están definidas las siguientes funcionesreales. Explica cómo lo hiciste.

a. f (x) = f. p(x) =

b. m(x) = 4x2 – (2x)2 + 5 g.

c. h. q (x) =

d. g (x) = (x – 3) (x + 8) i.

e. n (x) = x2 + 2ax + a2 j.

3. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones son crecientes y decrecientes. Explica el procedimiento que utilizaste.

a. u (x) = – (x + 5)2 c. w (x) = 3 + (10 – x)2

b. d. t (x) = I3x – 9I

4. Una fábrica de botellas modeló el ingreso utilizando una funcióncuadrática. Si venden x unidades, el precio debe ser 21 – x, por unidad.

a. Encuentra el ingreso como una función de las ventas.b. ¿Cuándo los ingresos empiezan a decaer?c. ¿Cuál es el ingreso máximo de la industria por las ventas de este

artículo? ¿Cuántas unidades de este artículo se deben producir paratener el ingreso máximo?

x + 2x2 + 10x + 25

1 – x2

x + 12

x2 – 1

v x x( ) = − +2 4

h xx

( ) = +−

63

1

q x x( ) = + −6 2

f x x( ) = − + 4

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.

k x x a( ) = −

u xx b

( ) =−

12

i (x) = 4

x + 1


5. Completa el siguiente cuadro, indicando a qué intervalo debepertenecer x para que la función sea negativa, cero o positiva.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.


Un

idad

1

f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) = 0

f (x) = x2 – 10

f (x) = |x – 5|

f (x) = 1 – 4x2

f (x) = –1

x – 31x

f x x( ) = + 7

f x x( ) = −11

¿Qué debes recordar?

• Para los números racionales a, n y m, con a � 0, se cumplen las siguientes propiedades delas potencias y las raíces:

• am · an = am + n • (am)n = am · n

• am : an = = am – n • , con n � 0

• Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f (x) de un conjunto B.

• Una función f (x) es:

a amnmn=am

an

• creciente en un intervalo ]a, b[ si dadosx e y cualesquiera en ]a, b[, se cumplesiempre que x < y ⇒ f (x) < f (y).

• decreciente en un intervalo ]a, b[ si dadosx e y cualesquiera en ]a, b[, se cumplesiempre que x < y ⇒ f (x) > f (y).


16 | Unidad 1

Funciones

Analicemos...

En la mayoría de los países, la escala de temperatura usada corres-ponde a la escala Celsius, en la cual el agua se congela a los 0 ºC yhierve a los 100 ºC. Sin embargo, en Estados Unidos, por ejemplo,se emplea la escala de temperatura Fahrenheit, en la cual el aguase congela a los 32 ºF y hierve a los 212 ºF.

Los grados Fahrenheit y Celsius se pueden relacionar por la siguienteexpresión: 9C = 5 (F – 32), asumiendo que esta relación es lineal.

Pero si se considera C como la variable independiente y F como lavariable dependiente, es equivalente a la función lineal:

f (x) = x + 32. Observa su gráfica, que se muestra a la izquierda.

Así, por ejemplo, si queremos saber a cuántos grados Fahrenheit equi-valen 0 ºC, basta con remplazar este valor en la función lineal dada.

f (0) = · 0 + 32 = 32

Luego, 0 ºC equivalen a 32 ºF. De la misma forma, se puede obtenerque –15 ºC equivalen a 5 ºF.

Observa que para esta función siempre se puede calcular el valorcorrespondiente de f (x) para algún valor de x, o, dicho de otromodo, no existe valor de x tal que no se pueda calcular su correspon-diente f (x). En casos como este, se dice que el dominio de f es R.

95

95

• La temperatura normal del ser humano es 37 ºC. ¿A cuántos grados Fahrenheit (ºF) corresponden?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Existe una expresión que permita convertir grados Celsius (ºC)a grados Fahrenheit (ºF)? Explica.

• Si así fuera, esta expresión (u otra equivalente) ¿corresponderíaa una función?, ¿por qué?

• ¿Qué distingue a una función de una expresión algebraica? Justifica.



Un

idad

1En cambio, si en una función existieran valores para los cuales no se

puede calcular el valor de la función, estos valores deben excluirse de

su dominio. Por ejemplo, en la función g(x) = , al intentar

calcular g(2) se obtiene 0 en el denominador; luego, la función g(x)

no está definida para x = 2. Entonces, se dice que dom (g) = IR – {2}.

De manera similar, se puede calcular el recorrido de la función, esdecir, el conjunto de valores que la función puede tomar. General-mente, es más fácil observar los valores que la función no puedetomar y no considerarlos en el recorrido. Por ejemplo, en la funciónf (x) = x 2, por definición de x 2, los valores de f (x) no pueden sernegativos, luego rec( f ) = IR

0.

1(x – 2)

No siempre una expresión algebraicaes función. Gráficamente, se puedesaber si una expresión es función ono trazando rectas imaginarias para-lelas al eje Y. Si alguna de ellas inter-seca a la gráfica en dos o más puntos,entonces no es función.

Pon atención

En resumen

• Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento yde un conjunto B, donde A se conoce como dominio dom( f ), de la función y B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido, rec( f ). No siempre se cumple que el codominio y el recorrido de una función sean iguales.

1. Determina cuál o cuáles de las siguientes representaciones gráficas es función. Justifica.

a. b. c.

2. Si x es un número natural, se define f (x) de la siguiente manera: Si x = 1 o x = 2, entonces f (x) = 1.Si x > 2, entonces f (x) = f (x – 1) + f (x – 2).

a. Calcula: f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) y f (6).b. Determina el dominio de la función.

3. Determina el dominio y recorrido de cada función. Explica cómo lo hiciste.

a. f (x) = b. f (x) = c. d. f x xx

( ) = +−

11

f x x( ) = + 21

x2 + 1x

x – 1

Actividades

+


(y – 32) = x

La expresión obtenida en el procedimiento anterior se conocecomo la función inversa de f (x) y se escribe como f –1(x).

En este caso, f –1(x) = (x – 32). Observa que siempre se representa

en términos de x.

Luego, se tiene por ejemplo: f –1(–4) = (–4 – 32) = –20.

Además, f (–20) = (–20) + 32 = –4.

Entonces, f (f –1(–4)) = –4.

95

59

59

59

y – 32 = x95

18 | Unidad 1

Función inversa

Antonio estaba revisando noticias en Internet y se distrajo con elinforme del tiempo. El pronóstico para ese día era de 91 ºF, latemperatura máxima y 68 ºF, la temperatura mínima.

y = f (x) = x + 32 como x corresponde a grados Celsius,

se despeja en la ecuación

95

Analicemos...

• ¿En qué unidad está dada la temperatura que encontró Antonioen Internet?

• Si se aplica la función f (x) = x + 32, ¿cuáles son las tempera-

turas publicadas para Nueva York medidas en grados Celsius?• ¿Cómo se podría obtener una función que permita convertir

grados Fahrenheit a grados Celsius? Explica.• ¿Qué relación hay entre esta última función y la anterior,

f (x) = x + 32? Justifica.95

95

No todas las funciones tienen in-versa. Gráficamente, se puede sa-ber si una función tiene o no tieneinversa trazando rectas imagina-rias paralelas al eje X. Si alguna deellas interseca a la función en doso más puntos, entonces la funciónno tiene inversa.

Pon atención

¿Qué?, ¿hay 91 grados de temperatura ambiente

en Nueva York? Ah… entonces, ¿cuál es la

temperatura en Nueva York, en grados Celsius?



Un

idad

1

En resumen

• Dada una función f (x), se dice que f –1(x) es su función inversa si cuando f (a) = b, entoncesse tiene que f –1(b) = a para todos los valores a del dom (f ).

• Para determinar la representación algebraica de f –1(x), dada una función f (x), se despeja deesta expresión la variable x, y luego se intercambian los nombres de las variables.

• En un mismo gráfico, las gráficas de f (x) y f –1(x) son simétricas respecto de la recta y = x.

Si la función inversa existe, esto siempre se cumple, es decir, paratodo x perteneciente a dom (f ), se tiene que f –1 [ f (x)] = x, asícomo f [f –1(x)] = x.

Observa la gráfica de f –1(x) y compárala con la gráfica de la fun-ción f (x) presentada en la página 16. ¿Qué puedes concluir?

1. Determina, a partir de cada gráfico, cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. Explicatu decisión.

a. b. c.

2. Encuentra la función inversa, si existe, para:

a. c. e. q (x) = 4 + 7x

b. d. f.

3. Encuentra la función inversa de f (x) = , con x � 3. Explica cómo lo hiciste.

a. ¿Cuál es el dominio de f –1? b. ¿Cuál es el recorrido de f –1?

x – 1x – 3

h x x( ) = + 12

f x x( ) = −3 510

g x x( ) = − 55

p xx

( ) =+

11

g x x( ) = + −3 4

Actividades


20 | Unidad 1

Función potencia

Sea x un número real:• Si n es par, el valor de xn es siem-

pre positivo.• Si n es impar, el signo de xn es

igual al signo de x.

Recuerda que...

Observa los siguientes gráficos de la función f (x) = axn, con a > 0.

Los gráficos anteriores son ejemplos de la función potencia.

Observa que no hay restricciones para los valores que puede tomarx en la función potencia, es decir, la función está definida paratodo R, luego: dom ( f ) = R. En cambio, para determinar el recorridode la función, es necesario distinguir qué sucede en los casos den par y n impar. Observa.

Los valores de y correspondientes a la función f (x) = axn, para n par,con a > 0, por propiedades de las potencias y según el signo de a,son siempre positivos o cero. Luego: rec ( f ) = R

0

+.

Analicemos...

• A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de f (x)para x = –2?, ¿para x = 0? Y ¿para x = 1?

• ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en quépunto?, ¿por qué?

• ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función, en cada caso?,¿qué puedes concluir? Justifica.

• ¿En qué se parecen las gráficas de las funciones?, ¿en qué sediferencian?, ¿qué puedes concluir?

Glosariofunción potencia: toda función dela forma f (x ) = axn, con a � 0,n � IN – {1}, a � IR, x � IR.



Un

idad

1

Si a < 0 en la función y = axn, para n impar.

En estos casos, la gráfica de la función f (x) = axn, para n impar, a < 0,se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante.

Pero en el caso de f (x) = axn, para n impar, con a > 0, los valoresde y correspondientes dependen del signo de x, es decir, cuandox > 0, se tiene y > 0; cuando x = 0, y = 0, y cuando x < 0, se tieney < 0, por propiedades de las potencias. Luego: rec ( f ) = IR.

En cuanto a las gráficas, se observa que, cuando n es par, tienenforma similar a la función cuadrática se encuentran en el primer ysegundo cuadrante, y su vértice corresponde al punto más bajo dela curva, aunque, en rigor, no son parábolas si n � 2. Por otraparte, si n es impar, cuando a > 0, las gráficas son siempre cre-cientes y se encuentran en el primer y tercer cuadrante. En cadacuadrante, su forma es similar a la mitad de una parábola, perono son parábolas.

Observa ahora qué sucede en la función f (x) = axn, para n par, siel valor de a es negativo.

En estos casos, la gráfica de la función f (x) tiene su vértice en elpunto más alto de la curva y está en el tercer y cuarto cuadrante.Observa que tanto si a > 0 como cuando a < 0 la gráfica de la fun-ción f (x) = axn para n par es simétrica respecto del eje Y.

Glosariovértice: punto de una curva en quela curvatura tiene un máximo o un mínimo.

cuadrante: cuarta parte del planocartesiano comprendida entre losdos ejes perpendiculares. Se numerandesde el eje X positivo y en direc-ción antihoraria.

f (x) = –x2 f (x) = –x4 f (x) = –x6

IIIY

XIVIII

y = – x 332

y = –3x 5 y = – x 712


22 | Unidad 1

En resumen

• Una función potencia es una función de la forma f (x) = axn, donde a es un número real, distinto de cero, y n es un número natural, distinto de uno.

• El dominio de una función potencia es IR.

• El recorrido de la función f (x) = axn, con n par, es R+0; en cambio, si es n impar,

su recorrido es R.

• La gráfica de la función f (x) = axn depende de si n es par o impar y del signo de a.

a > 0 a < 0

n impar

n par

1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f (x) = x2, g (x) = 4x2 y h (x) = 4x2 – 2. Luego, responde:

a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f (x) y g (x)?, ¿cuáles son sus diferencias?b. ¿Y entre las gráficas de g (x) y h (x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir?

2. Dibuja en un mismo gráfico las funciones p(x) = x3, q(x) = –2x3 y r (x) = –2x3 + 4. Luego, responde:

a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de p (x) y q(x)?, ¿cuáles son sus diferencias?b. ¿Y entre las gráficas de q (x) y r (x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir?

Actividades



Un

idad

1

Herramientas tecnológicas

GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, esun sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores, rectas y funciones,y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadasdirectamente y obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de di-versas funciones.

Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, yluego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sintener la necesidad de instalarlo en tu computador.

• Para graficar una función, se escribedirectamente en la celda Entrada,ubicada en la parte inferior de laventana. Si la función tiene potencias,los exponentes se anotan a conti-nuación del símbolo ^. Por ejemplo,para graficar f (x) = x3 se escribe f (x) = x^3 y se presiona enter.

1. Utilizando GeoGebra, o bien un papel milimetrado o cuadriculado, grafica las siguientes funcionesy responde.

a. y = x4 b. y = x6 c. y = x8 d. y = x10

• Las funciones dadas, ¿son simétricas?, ¿por qué?• A medida que el exponente aumenta, ¿qué puedes observar en las gráficas de

las funciones?

2. Grafica las siguientes funciones y contesta:

a. y = 0,05x4 c. y = 3x4 e. y = 0,8x3 g. y = 7x3

b. y = x4 d. y = 5x4 f. y = x3 h. y = 10x3

• ¿Qué sucede a medida que a crece?• ¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?, ¿cómo lo sabes?


24 | Unidad 1

Traslaciones verticales y horizontales

Observa los gráficos que se muestran a continuación, con f (x) = x3:

g(x) = x 3 – 4 = f (x) – 4 h(x) = x 3 + 3 = f (x) + 3 p(x) = x f x+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

12

3

q(x) = (x – 2)3 = f (x – 2)

En cada caso, la forma de la gráfica de la función polinomial es lamisma que la de la función potencia f (x) = x3, pero está trasladadacon relación a ella. Observa.

Sea (a, a3) un punto de la gráfica de f (x) = x 3. El punto (a + 2, a3)pertenece a la gráfica de q(x) = (x – 2)3, ya que para cualquier valorde a, se cumple que [(a + 2) − 2]3 = a3.

Observa que tal como el punto (a + 2, a3) está dos unidades a laderecha de (a, a3), se cumple que toda la gráfica de q(x) = (x – 2)3

se desplaza dos unidades a la derecha respecto de la gráfica def (x) = x 3.

De manera similar, la gráfica de p(x) = se desplaza media

unidad a la izquierda respecto de la gráfica de f (x) = x 3.

Por otra parte, el punto (a, a 3 + 3) pertenece a la gráfica de h (x) = x 3 + 3. Observa que el punto (a, a3 + 3) está tres unidadesarriba de (a, a3); entonces, toda la gráfica de h (x) = x 3 + 3 tam-bién se desplaza tres unidades arriba respecto de la gráfica def (x) = x 3. De manera similar, la gráfica de g (x) = x 3 − 4 se desplazacuatro unidades hacia abajo respecto de la gráfica de f (x) = x 3.

x +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

3

Glosariofunción polinomial: aquella que sepuede formar sumando múltiplos depotencias de x con exponentes en-teros positivos o cero; por ejemplo:• f (x ) = 2x 4 + 6x 3 + x – 7.• g (x ) = (x – 1)2 = x 2 – 2x + 1.

Analicemos...

• Si observamos la representación algebraica de las funciones ante-riores, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?

• ¿Qué semejanzas y diferencias tienen las gráficas de cada función?• ¿Cómo se relaciona el desplazamiento de la gráfica en el plano

cartesiano con la diferencia en las expresiones algebraicas que lasrepresentan?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?

Para nombrar funciones se utilizandistintas letras para funciones dife-rentes. Por ejemplo, f (x), g (x) y h(x).

Pon atención



Un

idad

1

En resumen

• Si f (x) = axn, entonces:


a. f (x) = x4 d. p(x) = 2x3

b. g (x) = (x + 2)4 e. q (x) = 2(x – 1)3

c. h(x) = (x – 2)4 f. r (x) = 2(x + 1)3

2. A partir de la gráfica de la función g (x) = x5, dibuja la gráfica de las siguientes funciones y responde.

a. t (x) = g(x)+ 4 c. u (x) = g (x) – 3b. v (x) = g (x + 1) d. w (x) = g (x – 2) + 5

• ¿Qué semejanzas encuentras?• ¿En qué se diferencian las gráficas? Explica.

3. ¿Cómo se obtiene una función trasladada verticalmente con respecto a f (x) = –3x 2?

4. Construye una función polinomial que corresponda a una traslación horizontal y una que correspondaa una traslación vertical de su gráfica en cada caso. Dibuja sus gráficas.

a. f (x) = –3x3 b. g (x) = 5x4 c. h(x) = –5x5

• ¿Cualquier función polinomial se puede escribir de modo que corresponda a una traslaciónde una función potencia?, ¿por qué?

Actividades

• la gráfica de g(x) = a(x + c)n es idéntica ala de f, pero trasladada en � c � unidadeshacia la izquierda si c > 0, o bien hacia laderecha si c < 0.

• la gráfica de h(x) = axn + c es idéntica ala de f, pero trasladada en � c � unidadeshacia arriba si c > 0, o bien trasladadahacia abajo si c < 0.


26 | Unidad 1

• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno.

1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Qué es el dominio de una función?, ¿y el recorrido?3. ¿Cuál es la diferencia entre una función potencia de exponente par y una de

exponente impar? Explica.4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función potencia f (x) = xn, si n es impar?5. La función potencia f (x) = xn, si n es par, ¿es simétrica?, ¿por qué?6. ¿En qué casos una función potencia tiene un valor máximo?, ¿por qué?7. ¿Qué es el vértice de una función potencia?, ¿siempre existe? Explica.8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,

¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

es

DOMINIO

R

RECORRIDO

dondees

f (x) = axn

Organizando lo aprendido

su su se denota por

FUNCIÓN POTENCIA

R0

+

n PAR

R

cuando

VÉRTICE

MÍNIMO

si a > 0 es

MÁXIMO

si a < 0 esFUNCIÓN CRECIENTE

si a > 0 es una

FUNCIÓN DECRECIENTE

si a < 0 es una

cuando

n IMPAR

n ES EL EXPONENTE

tiene


Mi progreso

Un

idad

1

1. Determina el dominio y el recorrido de cada función. Explica el procedimiento que usaste.

a. f (x) = x2 + 2 b. g (x) = 7x – 5 c. h (x) = � 3x – 6 �

2. Calcula la función inversa para:

a. p(x) = b. c. r (x) =

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. La función potencia f (x) = axn, con n impar, es siempre creciente.b. El recorrido de una función potencia f (x) = axn es R.c. El vértice de una función potencia f (x) = axn es el punto más bajo de la curva.d. La gráfica de la función potencia f (x) = axn, con n impar, a < 0, se halla en el segundo

y cuarto cuadrante.

4. La gráfica de g (x) = x3 + 5 se encuentra, respecto de la gráfica de f (x ) = x 3, trasladada:

A. 5 unidades hacia la izquierda.B. 5 unidades hacia la derecha.C. 5 unidades hacia abajo.D. 5 unidades hacia arriba.E. Ninguna de las anteriores.

3 – xx + 4

5x – 57

q xx

( ) =−4

1

• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.

¿Cómo voy?


CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Determinar el dominio y recorrido de una función. 1 16 a 19

Calcular la función inversa de una función. 2 18 y 19

Reconocer características de la función potencia. 3 20 a 23

Relacionar el desplazamiento de la gráfica de una función potencia con la función polinomial asociada.

4 24 y 25


28 | Unidad 1

Logaritmos

Hasta hace casi 400 años, la tarea de un calculador podía ser agota-dora. Imagina calcular multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacarraíces, no solo de números enteros sino también de fracciones ynúmeros decimales sin tener una calculadora.

Observa las siguientes multiplicaciones:

Analicemos...

• Calcula los productos de las multiplicaciones anteriores sin usarcalculadora y compara los resultados en tu curso. ¿Existen dife-rencias?, ¿por qué?

• ¿Hay alguna forma de simplificar estos cálculos sin calcula-dora? Explica.

• Observa la siguiente tabla. ¿Reconoces en ella algunos de losfactores anteriores?, ¿y algunos de tus resultados?, ¿qué tienenen común?

• Escribe los factores y el resultado, en cada caso, en forma depotencias. ¿Qué puedes concluir?

n 2n 3n 4n 5n

1 2 3 4 5

2 4 9 16 25

3 8 27 64 125

4 16 81 256 625

5 32 243 1024 3125

6 64 729 4096 15 625

7 128 2187 16 384 78 125

8 256 6561 65 536 390 625

9 512 19 683 262 144 1 953 125

10 1024 59 049 1 048 576 9 765 625

11 2048 177 147 4 194 304 48 828 125

12 4096 531 441 16 777 216 244 140 625

16 · 128 81 · 2187 256 · 16 384 625 · 78 125



Observa que todos los resultados conseguidos en la tabla anteriorse ubican en la fila correspondiente a n = 11. Es decir, 11 es el ex-ponente al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, o el 3 paralograr 177 147, por ejemplo.

Para referirnos al cálculo de este exponente, por ejemplo, al quehay que elevar el 2 para obtener 2048, decimos que el logaritmode 2048, en base 2, es 11 y lo denotamos:

log2 2048 = 11, pues 211 = 2048

o que el logaritmo de 177 147, en base 3, es 11 y lo denotamos:log3 177 147 = 11, pues 311 = 177 147

Y así sucesivamente.

Veamos ahora cómo se simplifica el cálculo de 625 · 78 125 uti-lizando la tabla.

Se ubican en la tabla cada uno de los factores y se expresan comopotencias con igual base: 625 · 78 125 = 54 · 57 = 511.

Entonces, se busca en la tabla, en la columna que corresponde a 5n,su valor para n = 11. Este valor es 48 828 125, tal como cuandoresolviste la multiplicación mediante el algoritmo habitual.

De manera similar, podríamos efectuar otras operaciones, comodivisiones; por ejemplo:

= = 54 = 625512

58

244 140 625390 625

Un

idad

1

Glosariologaritmo: exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado.

Además, existe una propiedad , con la que se puede

determinar el resultado de log27 19 683.

A partir de la tabla se observa que 19 683 y 27 son ambos potenciasde 3; luego, se pueden escribir utilizando los logaritmos en base 3y ubicar los valores en la tabla. Observa.

log27 19 683 = = = 3. Es decir, 273 = 19 683.

De esta manera, las multiplicaciones se pueden convertir en sumas,las divisiones en restas y las raíces en divisiones, con lo que se fa-cilita notablemente el cálculo, más aún cuando los números impli-cados son grandes y se cuenta, obviamente, con tablas apropiadas.

93

log3 19 683

log3 27

log Blog Blog bb

c

c=

• an · am = an + m

• = an – m con a � 0,

n, m � �

Recuerda que...

an

am

A diferencia de la tabla de la páginaanterior, las tablas de logaritmosmuestran los valores de n a partirde los valores de an.

Pon atención


30 | Unidad 1

Volvamos a la definición de logaritmo: “Exponente al que es nece-sario elevar una cantidad positiva para que resulte un número de-terminado”. Si se escribiera como ecuación, logb a, donde b es labase del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos, corres-ponde a resolver bx = a.

Por ejemplo, calcular log2 16 equivale a resolver la ecuación 2x = 16, yaque la base del logaritmo es 2, el exponente no se conoce y 16 esel argumento, que corresponde al valor de la potencia. Y como 16es una potencia de 2, de hecho, 24, esto equivale a 2x = 24; luego,igualando los exponentes, se obtiene que x = 4.

Ejemplo 1: Calcula el valor de log7 343.

log7 343 = x 7x = 343 = 73 x = 3 Luego, log7 343 = 3.

Ejemplo 2: Determina el valor de .

Al igual que en el caso de las raíces, no todos los logaritmos sepueden calcular. Esta es la razón de la condición de valores posi-tivos para a y b. Observa.

Ejemplo 3: Determina el valor de log8 –512.log8 –512 = x ⇒ 8x = –512

Pero ¿la potencia de un número positivo puede ser negativa?No, en ningún caso. Luego, log8 –512 no existe.

Ejemplo 4: Calcula el valor de log(–2) 8.

log(–2) 8 = x ⇒ (–2)x = 8 = 23

En este caso, la base de la potencia es negativa y su exponente esimpar; luego, el valor de la potencia debiera ser negativo también.Como esto no se cumple, no existe log(–2) 8.

Ejemplo 5: ¿Cuánto resulta log1 5? log1 5 = x ⇒ 1x = 5

Ya que toda potencia de 1 es 1, no existe un valor de x, tal que 1x

sea igual a 5.

log2 8

= x ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = (23) = 232

12

12log2 8

Luego, = .log2 832

Glosarioargumento: número o expresión alque se le aplica logaritmo. Por ejem-plo, en la expresión logb a, el argu-mento es a.



Un

idad

1Considerando situaciones como estas, es que se ha definido que elvalor de la base y el argumento del logaritmo deben ser positivos.En particular, la base tiene que ser distinta de 1.

En un mundo sin calculadoras, los logaritmos fueron utilizadoscomo la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Gracias asu uso se ahorró un increíble esfuerzo, pues se pudo trabajar conlos pesados cálculos necesarios en las aplicaciones a la agrimen-sura, la astronomía y, particularmente, la navegación. Además,permitió realizar otros cálculos matemáticos que sin su invenciónno hubieran sido posibles.

Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo eran imprescindiblesen cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadorasy computadores. Actualmente, los logaritmos ya no son necesariospara lo que fueron concebidos. Sin embargo, son fundamentales enla modelación matemática y en ciencias, por lo que han sobrevividoal desarrollo de las calculadoras electrónicas.

1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos.

a. log9

243 d. log0,7

0,343 g. loga j. log m. log16

8

b. log2

128 e. loga a9 h. log6

k. log8

16 n. loga

c. log5

625 f. log12

1 i. log4

1024 l. log8

0,125 o. log27

9

• Verifica con la calculadora los resultados obtenidos.

2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x. Explica cómo lo hiciste.

a. log2

x = 6 b. log x = –2 c. log0,3

x = 3 d. log0,004

x = –334

32

a8

Actividades

136

94

a25

En resumen

• Por definición, x = logb a ⇒ bx = a, entonces se puede decir que el logaritmo es el exponentede la potencia en base b cuyo valor es a.

• La expresión logb a se lee como: “logaritmo de a en base b”.

• El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base nopuede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a � R+ y b � R+ – {1}.

Las calculadoras tienen teclas paracalcular el logaritmo en base 10(log) y el logaritmo natural (ln),pero no el logaritmo en una basecualquiera. En ese caso, se puedecalcular usando la fórmula de cam-bio de base.

Pon atención


32 | Unidad 1

Propiedades de los logaritmos

Tomás, a partir de la definición y luego de comprobarlo con algunosvalores, determinó las siguientes relaciones entre los valores de a, by c, con b � 1:

logb a = c bc = a b ac=

Las propiedades que se cumplen para los logaritmos, para cualquiervalor adecuado de la base b, se pueden establecer y demostrar apartir de las propiedades de las potencias. Observa.

• Logaritmo de la unidad:

logb 1 = x ⇔ bx = 1⇔ bx = b0, ya que b > 0, b � 1⇒ x = 0

Por propiedades de potencias, ya que el valor de la potenciaes 1 cuando el exponente de la potencia es cero (pues la basees positiva y distinta de 1).Luego, logb 1 = 0, con b � 1. Ejemplo: log5 1 = 0.

• Logaritmo de la base del sistema:

logb b = x ⇔ bx = b ⇔ bx = b1

⇒ x = 1.Luego, logb b = 1, con b � 1. Ejemplo: log3 3 = 1.

• Logaritmo de una potencia con igual base:

logb ba = x ⇔ bx = ba ⇒ x = a

Luego, logb ba = a, con b � 1, con a, número real.

Ejemplo: log6 63 = 3.

Analicemos...

• ¿Están correctas las relaciones que estableció Tomás? Comprué-balas remplazando con los valores correspondientes en cada caso.

• Tal como existen propiedades para las potencias y para las raíces,¿se pueden establecer propiedades para los logaritmos? Justifica.

• Por ejemplo, en el caso de logb bn, ¿existe alguna propiedad quesimplifique los cálculos? Explica.



Un

idad

1• Cambio de base

logb B = x ⇔ bx = Blogc bx = logc B

x · logcb = logc B

Por lo tanto, para todo b, c, B > 0; b, c � 1.

Ejemplo: log2 5 = = = 2,32192.

log Blog Blog bb

c

c=

Los logaritmos de base diez, esdecir, log10 x, son llamados loga-ritmos decimales y en este texto losdenotaremos como log x.

Pon atención

xlog Blog b

c

c=

log 5log 2

0,698970,30103

1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste.

a. log2

64 d. log5

1 g. log16

128 j. log

c. log0,7

0,49 f. log5

57 i. log6

63 l. log5

2. Utilizando una calculadora, encuentra el valor de las siguientes expresiones.

a. log2

5 b. log6

7 c. log7

9 d. log6

11

3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.

a. log4

64 + log 1000 + log5

125 d. 3 log 32 + 7 log 125 – 6 log 243

b. log – log + log 10 000 e. 4 log + 2 log – 5 log

c. 2 log5

25 – 3 log7

49 + 4 log8

4096 f. 2 log 100 000 – 2 log4

256 + 4 log2

32

13

15

14

67

25

57

56

23

43

Actividades

169

125

2549

8125

216343

49

125216

En resumen

Los logaritmos cumplen, ya que la base b es positiva y distinta de 1, que:

• Logaritmo de la unidad: logb 1 = 0.

• Logaritmo de la base del sistema: logb b = 1.

• Logaritmo de una potencia con igual base: logb ba = a, con a � IR.

• Cambio de base: para todo b, c, B > 0; b, c � 1.log Blog Blog bb

c

c=

b. log27

243 e. log3

3 h. log128

1 k. log 12812

se aplican logaritmos en una base c

por propiedad de logaritmos quese trabajará en la página 35.


34 | Unidad 1

Propiedades de las operaciones de los logaritmos

Al igual que para las potencias y las raíces, para los logaritmos tam-bién existen propiedades que permiten simplificar los cálculos.Para demostrarlas, los logaritmos se pueden escribir en forma ex-ponencial y aplicar algunas de las propiedades de las potencias.

Por ejemplo, el logaritmo de un producto es igual a la suma de loslogaritmos de los factores. Es decir,

logb (a · c) = logb a + logb c.

Para comprobar con un ejemplo que esta propiedad se satisface, sepuede resolver un logaritmo de dos maneras distintas: directamentey aplicando el logaritmo del producto. Observa:

log2 128 = x ⇔ 2x = 128⇔ 2x = 27, luego x = 7.

Por otra parte, log2 128 = log2 (4 · 32) = log2 4 + log2 32

= 2 + 5 = 7.

Pero no basta con comprobar con un ejemplo para justificar que lapropiedad está correcta. Es necesario demostrar que se cumplepara cualquier valor positivo de a, b o c, con b � 1.

Considera que logb a = y ⇔ by = alogb c = z ⇔ bz = clogb (a · c) = x ⇔ bx = a · c

bx = by · bz

bx = by + z ⇒ x = y + zlogb (a · c) = logb a + logb c

De manera similar se pueden demostrar las siguientes propiedades:• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los loga-

ritmos del dividendo y el divisor.

logb = logb a – logb cac

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Analicemos...

• Considera valores positivos para a, b y c, con b � 1, y remplázalosen la expresión. ¿Efectivamente se satisface? Justifica.

• ¿Crees que también se cumpla logb (a · c) = logb a · logb c? Justifica.• A partir de esta propiedad, ¿se pueden obtener otras? Explica.

remplazando a · cpor propiedad de potencias

remplazando

Ejemplo: log3 = log3 81 – log3 243 = 4 – 5 = – 1.81

243⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


En relación con las propiedades delos logaritmos se debe tener pre-sente que se cumple en general:• logb (p · q) � logb p · logb q• logb (p + q) � logb p + logb q• logb (p – q) � logb p – logb q

•


Un

idad

1• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponentede dicha potencia por el logaritmo de su base.

logb ac = c · logb a

Ejemplo: log2 43 = 3 · log2 4 = 3 · 2 = 6.

• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidadsubradical, dividido por el índice de la raíz.

Ejemplo: log4 = · log4 16 = · 2 = .

Pon atención

1. Si A = log6 2, B = log6 3 y C = log6 5, expresa en términos de A, B y C los siguientes logaritmos.

a. log6

5400 b. log6

90 c. d. log6

2. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a. logm a – 2 logm b + logm c – 3 logm d e. 2 logb 3 + 3 logb 2b. logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb(x – 1) f. logb c – 6 logb ac. logp (x + y + z) – 4 logp (x – y – z) g. logb a – logb c – logb d + logb ed. logp (x + 3) – 4 logp (x – 2) h. logb c + logb a – 1

3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando las propiedades.

a. logb (x2 – 9x – 22) c. logb (x3 + y3)2

b. logb (100x8 – 80x7 + 16x6) d.83

108032 400

log6 216

log a b c

dp

2 4 5

2

log alog a

nbn b=

16

16

13

166

log plog q

pq

b

b≠

En resumen

Sean a, b, c números racionales y positivos, con la base b distinta de 1:

• Logaritmo de un producto: logb (a · c) = logb a + logb c.

• Logaritmo de un cociente: logb ( ) = logb a – logb c.

• Logaritmo de una potencia: logb ac = c · logb a.

• Logaritmo de una raíz: .log alog a

nbn b=

ac

Actividades


36 | Unidad 1

Demostraciones aplicando logaritmos

Frecuentemente, en Matemática es necesario expresar la relaciónentre dos o más variables de diferentes formas. Por ejemplo, demuestra que si se cumple

u3 – v · w 5v = uv + 5 · w 3v,

entonces también se cumple: v log ( ) = log u.wu

Suponiendo que la primera igualdad se cumple para valores posi-tivos, observa cómo se demuestra que es equivalente a la segunda.

u 3 – v · w 5v = uv + 5 · w 3v

(3 – v) log u + 5v log w = (v + 5) log u + 3v log w3 log u – v log u + 5v log w = v log u + 5 log u + 3v log w

3 log u – v log u – v log u – 5 log u = 3v log w – 5v log w

–2v log u – 2 log u = –2v log w

–2 log u = –2v log w + 2v log u

log u = v log w – v log u

log u = v (log w – log u)

log u = v log

Como se observa en este ejemplo, una de las ventajas de los loga-ritmos es que permiten transformar multiplicaciones en sumas, divi-siones en restas y potencias en productos, con lo que se facilitanmucho los cálculos y también las demostraciones.

Ejemplo 1

Considera la siguiente figura:

Demuestra que logh q + logh p = 2.

Analicemos...

• ¿Siempre se cumple la primera igualdad?, ¿y la segunda? Explica.• ¿Los valores positivos de u, v y w que satisfacen la primera

igualdad también lo hacen con la segunda? Explica.

h

p q

se aplican logaritmos

se reducen términos semejantes

dividiendo por –2

factorizando

queda demostradowu



Un

idad

1SoluciónA partir de la figura, se puede aplicar claramente el teorema de Euclides:

p · q = h2 se aplican logaritmos

log (p · q) = log h2

log p + log q = 2 log h

se realizan los cambios de base:

y .

Luego, logh q + logh p = 2, que es lo que se quería demostrar.

Ejemplo 2Si , calcula log a en función de p.

SoluciónRecuerda que .

log a = p ⇒ log a = p ⇒ log a = 3p13

13

log a p3 =

25log a p3 =

1. Demuestra las siguientes propiedades, para a, b y x positivos y b � 1.

a. b. logb + logb a = 0

2. Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas con a > 0, a � 1. Justifica en cada caso.

a. loga u = loga v + loga c. loga au = 1 + loga u

b. d.

3. Demuestra que: loga b · logb c · logc d · … · logm n · logn a = 1, para los números positivos a, b, c,…, n,distintos de 1.

1a( )a b

log ab=

log u log ua a=

Actividades

log p log qlog h

+ = 2

log plog h

log qlog h

+ = 2

uv

log ulog v

log uv

a

aa=

Por otro lado, la expresión log a puede ser escrita como log a.Luego, remplazando se tiene:

log a = · 3p = p. Entonces, log a = p.65

256

525

25

25

25


38 | Unidad 1



1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Cuál es la definición de logaritmo?3. ¿Cómo se relacionan los logaritmos con las potencias y las raíces enésimas? Explica.4. ¿Cuál es la diferencia entre un logaritmo de base 2 y uno de base 10?5. ¿Qué tipo de ecuaciones se pueden resolver utilizando logaritmos?, ¿por qué?6. ¿En qué casos el logaritmo de 1 es 0? Justifica.7. ¿Se puede afirmar que el logaritmo de una suma corresponde a la suma de los logaritmos?,

¿por qué?8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,


y

BASE: b

ARGUMENTO: a

logb a = c

se corresponden con


cuyos componentes son

se denotan por

hay propiedades para

POTENCIAS

bc = a

RAÍCES ENÉSIMAS

ECUACIONES

LOGARITMOS

b ac=

permiten resolver

LOGARITMO DE LA UNIDAD

LOGARITMO DE LA BASE

LOGARITMO DE UN PRODUCTO

LOGARITMO DE UN COCIENTE

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

CAMBIO DE BASE



Mi progreso

1. Utilizando la tabla de la página 28, calcula los siguientes logaritmos.

a. log4

16 384 b. log5

1 953 125 c. log16

1 048 576 d. log8

2048

2. Calcula los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste.

a. log6

216 b. log2

1024 c. log16

16 d. log9

1

3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando propiedades.

a. b.

4. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a. loga d – 3 loga b + loga 5 – 3 loga c c. logc (x + 2y – z) – 3 logc (x – y + 4z)

b. 2 · logb (x2 – 9) + logb (x – 3) – logb (x + 3) d. 6 logb 5 + 4 logb 15

5. Decide si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. loga (u + v) = loga uv b. (loga b)(logb a) = 1

6. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. Justifica tu decisión.

A. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmode la base de la potencia.

B. El valor del logaritmo cuya base es igual al argumento es siempre igual a 1.C. La base de un logaritmo es un número real positivo.D. Dos logaritmos en la misma base son iguales si y solo si sus argumentos son iguales.E. Ninguna de las anteriores.

log p qb2 23 −log p q r

sb

2 3

4


¿Cómo voy?

Un

idad

1

CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias. 1 28 y 29

Calcular logaritmos. 2 30 a 33

Aplicar propiedades de los logaritmos. 3 y 4 32 a 35

Reconocer y demostrar propiedades de los logaritmos.

5 y 6 30 a 37


40 | Unidad 1

Función logarítmica

Observa las siguientes gráficas:

Las gráficas anteriores son ejemplos de la función logarítmica.

Un método posible para determinar la expresión algebraica querepresenta a una función conocida, a partir de la gráfica, es utilizarsu tabla de valores.

Observa que en la tabla correspondiente al caso I, los valores de xson potencias de 3, cuyos exponentes son los valores asociados de y.Es decir, x = 3y, lo que equivale a y = log3 x. Entonces, la expresiónalgebraica que representa a la función dada en la primera gráficaes f (x) = log3 x, con x � IR.

En cambio, la expresión algebraica que representa a la funcióndada en la segunda gráfica es f (x) = log x, con x � IR.1

3

Analicemos...

• A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de y parax = 3?, ¿para x = 1? Y ¿para x = 0?

• En cada caso, ¿qué sucede a medida que x aumenta?, ¿y a medidaque x se acerca a 0? Explica.

• En cada caso, ¿cuál parece ser el dominio de la función?, ¿y recorrido?

• ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué punto?• Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que

conozcas?, ¿por qué? • ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre estas gráficas?

x 13

1 3 9 27

y –1 0 1 2 3

x 9 3 113

127

y –2 –1 0 1 3

Caso I Caso II

Glosariofunción logarítmica: toda funcióncuya variable se encuentra en el ar-gumento de un logaritmo, porejemplo, de la forma f (x) = logb x,con b > 0, b � 1, x > 0.



Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las carac-terísticas de la función logarítmica.

Caso I: Función logarítmica: f (x) = logb x, con b > 1.

En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes fun-

ciones: , , , .

En estas gráficas se observa:

• La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en elpunto (1, 0).

• El dominio de la función son los números reales positivos: R+.• La función es creciente para todo su dominio, es decir,

logb x < logb y cuando 0 < x < y.• El recorrido de la función son todos los números reales: IR.

Caso II: Función logarítmica f (x) = logb (x), con 0 < b < 1.

En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes

funciones: , , ,

.

En estas gráficas se observa:

• La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0).

• El dominio de la función son los números reales positivos: IR+.

• La función es decreciente para todo su dominio, es decir, logb x > logb y cuando 0 < x < y.

• El recorrido de la función son todos los números reales: IR.

¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?

f x log x3 0 6( ) = ,f x log x2 0 5( ) = ,f x log x1 0 2( ) = ,

f x log x4 5( ) =f x log x3 4( ) =f x log x2 3( ) =f x log x1 2( ) =

Un

idad

1

Una función es creciente si x1 < x2;entonces f (x1) < f (x2) para todoslos valores x1, x2 del dominio dela función.En cambio, si cuando x1 < x2 setiene que f (x1) > f (x2), la funciónes decreciente.

Recuerda que...

f x log x4 0 75( ) = ,


42 | Unidad 1

Observa ahora distintas gráficas de la función logarítmica:

A partir de la función f (x) = logb x, con b > 0, analizaremos distin-tas gráficas según sea el caso.

Caso I. Función logarítmica f (x) = a logb x, con a � IR, a � 0.

a > 0

Se observa en las gráficas anteriores, dada la función f(x) = a logb x,con b > 1, que:

• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?

Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a � IR, b > 1.

Caso III. Sea f(x) = logb x + a, con a � IR, b > 1.

En el caso II observamos que las gráficas corresponden a traslacioneshorizontales de la función f 1(x) = log x y según sea el valor de a,positivo o negativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia laderecha, respectivamente.

En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajoo hacia arriba, según sea el valor positivo o negativo de a.

a < 0

Caso II

Caso III

f x log xb1( ) =

f x log xb2 2( ) =

f x log xb3 4( ) =

f x log xb4 0 5( ) = ,

f x log xb5 3( ) = −

f x log xb6 5( ) = −

f x log xb7 0 3( ) = − ,

f x log xb1( ) = f x log xb2 1( ) = −( ) f x log xb3 1( ) = +( )

f x log xb1( ) = f x log xb2 2( ) = + f x log xb3 2( ) = −

Para evitar confusiones, observa quelog x + y corresponde a (log x) + y,no a log(x + y).

Pon atención



Un

idad

1

1. Dada la función logarítmica f (x) = log2 x, determina:

a. f (4) c. f e. 2f (2) – 6f

2. Respecto de las siguientes funciones, sin graficar, indica qué tipo de transformación presentansus gráficas en relación con la función f (x) = log x.

a. f (x) = log x + 4 b. f (x) = log (x – 5) c. f (x) = –log (x + 1)

3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y responde.

a. f (x) = log x y f1(x) = –log x

b. m (x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)

• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones de a?, ¿y de b? • En las funciones dadas en a y b, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X? • ¿Cuál es el dominio de las funciones dadas en a y b?

1

8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Actividades

b. f (16) d. f f. 2f (4) + 3f (32) – f1

64

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

En resumen

La función logarítmica f (x) = logb x tiene las siguientes características:

• El dominio de la función son los números reales positivos.

• El recorrido de la función son los números reales.

• La gráfica de la función interseca al eje de las abscisas en el punto (1, 0).

• Si b > 1, entonces la función es creciente. • Si 0 < b < 1, entonces la función es decreciente.


44 | Unidad 1


La utilización de programas computacionales resulta muy útil para el análisis de funciones. En estaspáginas aprenderás a usar el programa Graphmatica para construir y analizar gráficas de funciones.Para bajar este programa ingresa a www.graphmatica.com/espanol. Al abrir el programa, la interfase presenta el siguiente aspecto:

Sobre la cuadrícula hay una barra en blanco que per-mite escribir funciones usando las variables x e y. Unavez ingresada la función, presiona el botón dibujargráfica o simplemente presiona enter. A continuaciónaparecerá en la cuadrícula la gráfica de la función.

Se puede cambiar la escala de la gráfica de la función y el aspecto de la cuadrícula de la siguiente forma:

• Para cambiar la escala haz clic en el menú Ver y selecciona Rango de la cuadrícula. Aquí se puedemodificar el rango horizontal (opciones izquierda y derecha) y el rango vertical (opciones arri-ba y abajo).

• Para cambiar los colores del plano cartesiano o de la gráfica de la función, en el menú Opcionesselecciona papel gráfico para modificar el color de las gráficas y el color de fondo, así como eti-quetar los ejes, etcétera.

Para obtener la gráfica de varias funciones se debe escribir cada ecuación en la barra en blancosobre la cuadrícula y presionar enter antes de anotar la siguiente.

Obtendrás en pantalla una o más gráficas, tal como semuestra en la imagen de la derecha:

Para modificar las gráficas sin empezar todo de nuevose puede utilizar:

• Presiona el botón para ocultar la última gráfica

y el botón para ocultarlas todas.

• Para borrar las gráficas selecciona la función que

deseas borrar y utiliza el botón .



Un

idad

1

Utilizando Graphmatica, realiza lo siguiente:

1. Grafica las siguientes funciones y determina si tienen o no inversa. Explica cómo lo supiste.

a. f (x) = d.

b. f (x) = e. f (x) = x3 – x2 – 2x

c. f (x) = |x – 2| f. f (x) = 4 – x2

2. Grafica las siguientes funciones de la forma y = ax 5. Luego, responde.

a. y = –0,05x 5 b. y = –2x 5 c. y = –7x 5

• ¿Qué sucede a medida que el valor de a crece?• ¿Ocurrirá lo mismo para a > 0?

3. A partir de la gráfica de la función g (x) = x7, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde.

a. p(x) = g (x) + 10 c. r (x) = g (x) – 6

b. q(x) = g (x + 3) d. s (x) = g (x – 4) + 8

• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones?• En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué?

4. A partir de la gráfica de la función f (x) = log4 x, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde.

a. p (x) = f (x) + 4 c. r (x) = f (x) – 1

b. q(x) = f (x + 2) d. s (x) = f (x – 3) + 5

• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones?• En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué?

5. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y luego responde.

a. f (x) = log x y f1(x) = log (–x)

b. g (x) = log2

x y g1(x) = log

4x

c. m (x) = log (x + 5) y m1(x) = –log (x – 5)

• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones del ítem a?, ¿del b?, ¿y del c?

• En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?

f xx x

( ) = +−

1 11

1x – 1

1x2


46 | Unidad 1

Ecuaciones logarítmicas

Una escala utilizada para medir la cantidad de energía liberadapor un sismo es la escala de Richter, representada por la ecuación:log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios,y R: magnitud del sismo, medida en grados de la escala de Richter.Por ejemplo, el terremoto del 13 de junio de 2005 en Huara,provincia de Iquique, tuvo una magnitud de 7,8.

La ecuación logarítmica que permite responder la situación presen-tada es log x = 1,5 · 7,8 + 11,8, ya que R, en este caso, es igual a 7,8.

Luego, para calcular cuál es el valor de x, se aplican potencias de10. Observa.

log x = 1,5 · 7,8 + 11,8log x = 23,5

, pero , por definición de logaritmos.

x = 3,162 · 1023

Luego, la energía liberada en el terremoto del 13 de junio de 2005fue de 3,162 · 1023 ergios.

En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita,se debe manipular la ecuación, de modo de escribirla de la formalogb f (x) = logb g (x), donde f (x) y/o g(x) son expresiones que con-tienen la incógnita.

Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempredecreciente, entonces: logb f (x) = logb g (x) ⇔ f (x) = g(x).

Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos per-mitirá resolver una ecuación.

10 10log xx=10 1010 23 5log x

= ,

Analicemos...

• ¿Cuánta energía fue liberada en esa ocasión?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cuánta energía más liberaría un terremoto de magnitud 8,5 en

la escala de Richter? Explica.

Glosarioecuación logarítmica: igualdad en laque intervienen logaritmos y dondela incógnita forma parte del argu-mento de, al menos, uno de ellos.

Hombre removiendo escombros provocados por el terremoto de Huara.Gentileza: Ministerio de Interior.



Un

idad

1Ejemplo 1log (x + 4) = log 2 + log (x + 1)log (x + 4) = log (2 · (x + 1))log (x + 4) = log (2x + 2)

x + 4 = 2x + 2x = 2

Se verifica la solución, remplazando x = 2 en la ecuación:log (2 + 4) = log 2 + log (2 + 1)

log 6 = log (2 · 3)Por lo que x = 2 satisface la ecuación.

Ejemplo 2log (x 2 – 18) = log 3 + log x

log (x 2 – 18) = log (3x)

x 2 – 18 = 3xx 2 – 3x – 18 = 0

(x – 6) (x + 3) = 0

x = 6 y x = –3

Al remplazar x = 6 se obtiene: log (62 – 18) = log 3 · 6. Por lo tanto,satisface la ecuación logarítmica.

Por otra parte, con x = –3 se obtiene log –9 = log 3 + log –3, pero lafunción logarítmica no está definida para un número negativo.Por lo tanto, x = –3 no es una solución de la ecuación.

Ejemplo 3log (x 2 – 1) = log (x – 1)

x 2 – 1 = x – 1

x 2 – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 y x = 1

Para x = 0 se obtiene log (–1), que no está definido.Para x = 1 se obtiene log (0), que tampoco está definido.

Por lo tanto, esta ecuación logarítmica no tiene solución real, aunquealgebraicamente se determinaron valores. De aquí la importanciade comprobar siempre los resultados.

Las soluciones de una ecuación lo-garítmica deben comprobarse siem-pre, ya que la función logarítmicasolo admite valores positivos en susargumentos, y podría ocurrir quecon el valor de x encontrado no sesatisfaga esta condición.

Pon atención

aplicando propiedades de los

logaritmos

se aplican propiedades de los

logaritmos

igualando el argumento de ambos

logaritmos

al resolver esta ecuación de segundo grado se obtienen dos soluciones

igualando el argumento de

ambos logaritmos

se resuelve la ecuación de

segundo grado

se igualan los argumentos


48 | Unidad 1

En resumen

• Una ecuación logarítmica es una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la

incógnita forma parte de al menos uno de sus argumentos.

• Para resolver una ecuación logarítmica se debe manipular la ecuación, de modo de

escribirla de la forma logb f (x) = logb g(x), donde f (x) y/o g(x) son expresiones positivas

que contienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien

siempre decreciente, entonces:

logb f (x) = logb g(x) ⇔ f (x) = g(x). Luego, ahora se resuelve f (x) = g(x).

• Las soluciones de una ecuación logarítmica se deben comprobar siempre, ya que los logaritmos

solo se definen para valores positivos y podría ocurrir que el valor encontrado, al remplazarlo

en la ecuación, presente logaritmos de un número negativo o cero, es decir, en

logb f (x) = logb g(x) se tenga f (x) � 0 o g(x) � 0.

1. Obtén el valor de x en los siguientes casos.

a. log2

128 = x e. logx 100 =

b. f. log2

322 = x

c. log3

[log3

(5x + 2)] = 1 g. log3

{log3

[log3

(x + 25)]} = 0

d. log2

{log2

[log2

(2x – 8)]} = 0 h. log5

(5x – 4) – log5

(2x – 7) = 2

12

log x343 7 =

Actividades

Ejemplo 4log2 [log2 (5x + 6)] = 2log2 [log2 (5x + 6)] = log2 22

log2 (5x + 6) = 4

log2 (5x + 6) = log2 24

5x + 6 = 24

5x + 6 = 16

5x = 10, luego x = 2.

Comprobando, log2 [log2 (5 · 2 + 6)] = log2 [log2 16] = log2 4 = 2.

Igualando los argumentos.

Igualando el argumento de ambos logaritmos.

Ya que a = logb ba

Ya que a = logb ba



Un

idad

12. Determina el valor de x en cada caso. Explica el procedimiento que utilizaste.

a. d. log3

(3x – 2) = 2

b. log2

x + log2

6 = log2

30 – log2

5 e. log2

x2 + 3log2

x = 10

c. f. log2

(x + 1) + log2

(x – 1) = log2

8

3. Verifica si se cumplen las igualdades para cada valor de x.

a. log (x + 3) + log (x – 5) = 2 log (x – 6) Para x = 8, x = 6,5, x = 7,5

b. log (3x – 4) – log x + log 5 = log (15x + 2) – log (x + 2) Para x = 3, x = 5, x = 7

c. log (6x + 5) + log (2x + 7) = log (3x + 4) + log (x + 5) Para x = – , x = –3, x = 2

e. log x + 2 log x + log x3 – 5 log x = 2 Para x = 20, x = 50, x = 100

4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidossatisfacen la ecuación.

a. log x – log 2 = 3 g. 2 log (2x – 1) – 2 = –2 log (3x – 4)

b. log x + log 7 = log 4 h.

c. 6 log x = log 64 + log i.

d. j. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0

e. log (x + 5) = log 2 k. log x3 – log x =

f. log (x – 4) + log x = log 5 l. log x – 1 + (log x) – 1 = –

36

log x

log x

32

3

3

22

+( )( ) =

–

log x log x7 71+ =

32

52

12

log x log x log+ + − =3 5 3

log x log log x92

92

−( ) = ( ) −

14

log xx

32 10

12−

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

x4

d. log (x + 7) – log (x + 5) = log (x2 + 10x + 25) Para x = 5, x = 0, x = –512

12

12


50 | Unidad 1

Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas

El pH es la escala de medida que diferencia el grado de acidez o dealcalinidad de una solución. Los químicos calculan el pH de unasolución (condición de ácido o base) mediante la expresión: pH = –log [H+], donde [H+] es la concentración de iones de hidrógenoen moles por litro.

Para calcular el pH de la sangre, basta remplazar el valor de [H+]en la expresión. Observa.

pH = –log (3,98 · 10–8) � 7,4

En cambio, para determinar el valor de [H+] del huevo, se debe re-solver la siguiente ecuación logarítmica:

–log x = 7,79 log x = –7,79

x = 10–7,79 � 1,62 · 10–8

Entonces, la concentración de iones de hidrógeno del huevo es1,62 · 10–8.

Analicemos...

• Determina el pH aproximado de la sangre si tiene [H+] = 3,98 · 10–8.• Si el huevo tiene un pH = 7,79, determina [H+]. ¿Cómo lo calculaste?• Muchas soluciones tienen un valor de pH que fluctúa entre 1 y

14. ¿Qué valores de [H+] están asociados a esos valores extremos?

1. Encuentra [H+] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH, aplicando la estrategia anterior.

a. Bebida cola, pH = 2,5b. Vinagre, pH = 2,9c. Manzana, pH = 3,0d. Leche, pH = 6,5e. Jabón de manos, pH = 10

2. La lluvia más ácida que se ha medido ocurrió en Escocia, en 1974; su pH era 2,4. Determina la con-centración de iones de hidrógeno.

Actividades

Medidor de pH digital.



Un

idad

13. Los valores de pH para los vinos varían desde 2,8 a 3,8. Determina el rango correspondiente en con-centraciones de iones de hidrógeno.

4. Una famosa escala para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter,representada por la ecuación:

log E = 1,5 · R + 11,8

donde E: energía liberada, medida en ergios; R: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter.

a. El terremoto de mayor magnitud registrado corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudadde Valdivia, el cual alcanzó una magnitud de 9,5 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberópor este sismo?

b. El terremoto acontecido el 3 de marzo de 1985, en San Antonio, fue de 7,8 grados Richter.¿Cuántas veces más energía liberó el terremoto de Valdivia que el de San Antonio?

c. Averigua acerca de otros terremotos ocurridos en nuestro país y compara su magnitud con elterremoto de Valdivia (busca información en la página web del Servicio Sismológico de laUniversidad de Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/).

5. El nivel de decibeles del sonido (dB) se puede calcular mediante la siguiente fórmula: D = 10 log (I · 1012), donde I corresponde a la intensidad del sonido medido en W/m2.

a. Si se duplica la intensidad del sonido, ¿cómo cambia el nivel de decibeles del sonido?b. El umbral auditivo es la mínima intensidad de sonido que podemos oír, y corresponde

a 10–12 W/m2. Demuestra que el nivel de decibeles del umbral auditivo es cero.c. En una multitienda se vende un equipo musical que tiene 1000 W/m2 de salida.

¿A qué nivel de decibeles corresponde esta intensidad?d. Si en la misma tienda se ofrece otro equipo musical cuya intensidad es de 2000 W/m2,

¿corresponde al doble del nivel de decibeles del equipo anterior?, ¿por qué?

6. Completa la siguiente tabla.

• ¿Qué medidas implementarías para disminuir la contaminación acústica? Discútelo con tuscompañeros y compañeras.

Fuente Intensidad Decibeles

Susurro 10–10

Tráfico callejero 10–5

Posible daño auditivo 10–3,5

Cercano a un trueno 120

Umbral del dolor 130

Perforación instantánea del tímpano 160

Concierto de rock 101


52 | Unidad 1



1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿Qué características tiene la gráfica de una función logarítmica f (x) = logb x?

3. ¿Qué características tiene el dominio de una función logarítmica?, ¿y el recorrido?

4. ¿En qué casos una función logarítmica es positiva?, ¿por qué?

5. ¿Cuál es la diferencia entre una escala lineal y una escala logarítmica?

6. ¿Cómo se puede resolver una ecuación logarítmica? Explica.

7. ¿Una ecuación logarítmica siempre tiene solución?, ¿por qué?

8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,


f (x) = logb x

f (x) = log x


si su base es 10

cuando la

está en el

se denotan por

ECUACIÓN LOGARÍTMICA

INCÓGNITA

ARGUMENTO DE

UN LOGARITMO

ESCALAS LOGARÍTMICAS

MAGNITUD

DE UN SISMO

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

APLICACIONES

por ejemplo

pH

NIVEL DE INTENSIDAD

DEL SONIDO



Un

idad

1U

nid

ad 1

Mi progreso

50 y 51

46 a 48

1. Sin graficar, indica qué tipo de transformación presentan las gráficas en relación con la función f (x) = log x, en cada caso.

a. f (x) = log x – 7 c. f (x) = –log (x – 1)b. f (x) = log (x + 2) d. f (x) = 2 log x

2. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba, en cada caso, que los valores obtenidossatisfagan la ecuación.

a. log8

x – log8

3 – log8

7 = c.

b. log2

(x2 – 9x + 8) – log2

(x – 8) = 3 d.

3. El nivel de intensidad del sonido de un tren del Metro se midió en 98 dB. Determina la intensidad delsonido correspondiente en W/m2.

4. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera. Justifica tu decisión.

A. La función logarítmica es siempre creciente.B. Las ecuaciones logarítmicas siempre tienen solución.C. El dominio de una función logarítmica son todos los números reales.D. La gráfica de las funciones logarítmicas intersecan al eje X en el punto (1, 0).E. Ninguna de las anteriores.

13

log x log x log+ + − =3 5 3

log x

log x

42

4

8

32

+( )+( ) =

PÁGINAS DONDE SE TRABAJAÍTEMCRITERIO


¿Cómo voy?

Relacionar gráficas de funciones logarítmicas. 1 40 a 45

Resolver ecuaciones logarítmicas. 2

Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas.

3

40 a 49Reconocer propiedades de las funciones logarítmicas.

4


Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delsiguiente problema.

La intensidad del sonido depende de la distancia a la fuente sonora.Los niveles de decibeles β1 y β2 a las distancias d1 y d2 de una fuentesonora están relacionados por la ecuación:

Si el nivel de intensidad de un concierto de rock es de 120 dB a unadistancia de 2 m de los altavoces, determina:

a. a qué distancia de los altavoces el nivel de intensidad es de 106 dB.b. el nivel de intensidad a 50 m de los altavoces.

Solución

a. Remplazando los datos en la ecuación, se obtiene:

106 = 120 + 20 · log

–0,7 = log

–0,7 = log 2 – log x

–1 � – log x

log x � 1

x � 10

Luego, aproximadamente a 10 m de distancia de los altavoces, elnivel de intensidad es de 106 dB.

b. En este caso, al remplazar se obtiene:

x = 120 + 20 · log

x = 120 + 20 · (2 log )x = 120 + 40 · (log 2 – log 10)

x � 120 + 40 · (0,3 – 1)

x � 120 + 40 · (–0,7) = 120 – 28 = 96

Luego, a 50 m de distancia de los altavoces, aproximadamente elnivel de intensidad es de 96 dB.

250

Cómo resolverlo

54 | Unidad 1

se aplican propiedades de logaritmos

se remplaza log 2 � 0,3

se despeja log 2x

ya que la base de log x es 10

pero = = ( )24

100250

210

aplicando propiedades de logaritmos

se remplaza log 2 0,3

β β2 11

220= + log

dd

2x

2x

210

Concierto de rock.



Un

idad

1

Actividades

1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:

a. Si el nivel de intensidad de una sirena de bomberos es de 100 dB a una distancia de 5 m del cuartel, determina a qué distancia de este el nivel de intensidad es de 68 dB.

b. Si la conversación entre dos amigos situados a 2 m entre sí es de 60 dB, calcula a qué distancia el nivel de intensidad de su conversación baja a 40 dB.

c. Si el nivel de intensidad de un avión despegando es de 130 dB a una distancia de 20 m dela pista de aterrizaje, determina a qué distancia de la pista el nivel de intensidad es de 96 dB.

d. Si el ruido de un secador de pelo funcionando a 50 cm es de 70 dB, calcula a qué distancia elnivel de intensidad de su sonido baja a 46 dB.

2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoanterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?

3. Resuelve los siguientes problemas aplicando el procedimiento aprendido u otro. Compara el pro-cedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es mássimple?, ¿por qué?

a. Los astrónomos utilizan la siguiente fórmula para determinar el diámetro d, en kilómetros,de los asteroides: log d = 3,7 – 0,2 · g, donde g es una cantidad llamada magnitud absolutadel asteroide.

• Determina el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 20.• Calcula el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 30. ¿Qué puedes concluir?• Determina la magnitud absoluta de un asteroide cuyo diámetro mide 5,8 kilómetros.

b. Felipe acaba de terminar un curso de física. Se estima que el porcentaje del curso que élrecordará dentro de t meses se puede calcular mediante la función R(t) = 94 – 46,8 · log (t + 1),para 0 � t � 48.

• Determina el porcentaje del curso que Felipe recordará dentro de 12 meses.• Calcula dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 50% de los contenidos

del curso.• Determina dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 25% de los contenidos del

curso. ¿Qué puedes concluir?


56 | Unidad 1

En terrenoEn terreno

Sismo de 8,8 grados Richter y posterior tsunami

en la zona centro-sur de Chile

Un terremoto de 8,8 grados en la escala de Richter se registró la madrugada del 27 de

febrero, afectando a la zona centro-sur del país. El sismo ocurrió a las 3:34 horas y

su epicentro se situó a 63 kilómetros al suroeste de Cauquenes, en la región del

Maule, informó el Servicio Sismológico de la Universidad de Chile.

Según indicó la Oficina Nacional de Emergencia (Onemi), el sismo tuvo una intensidad

máxima de IX grados en la escala de Mercalli en las regiones del Biobío y la Arau-

canía; de VIII grados en la región Metropolitana, del Libertador Gral. Bernardo

O’Higgins y del Maule, y de grado VI en la región de Valparaíso y de Los Ríos. En las

zonas de mayor intensidad, el movimiento telúrico se prolongó por hasta tres minutos.

Pero, sin duda, un trecho de aproximadamente 300 kilómetros de costa de las re-

giones del Maule y Biobío fue el más afectado por el terremoto. Iloca, Constitu-

ción, Pelluhue, Curanipe, Cobquecura, Dichato y Talcahuano, y muchas más, fueron

arrasados por el tsunami que siguió al terremoto. A estas localidades hay que sumar

una tragedia similar en Juan Fernández.

En Iloca, el sargento Molina advirtió las marejadas, por lo que empezó a gritar que

la gente corriera hacia los sectores altos y recorrió el borde costero dando aviso

con un megáfono. Aunque en Iloca hubo una gran destrucción, no se registraron

fallecidos gracias a la oportuna acción de los carabineros.

Fuentes: Diario La Tercera, www.latercera.com, Diario El Mercurio, www.emol.com,

Oficina Nacional de Emergencia, www.onemi.cl, consultados en marzo de 2010.

Retén de Iloca, marzo de 2010.


Actividades

1. Considerando la expresión log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios yR: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter, calcula la energía liberada en el sismo del 27 de febrero de 2010.

2. Calcula la cantidad de energía liberada en un sismo de grado 6 y en uno de grado 7. ¿Qué relaciónnumérica existe entre ambos valores?

3. ¿Qué aumento representa en la cantidad de energía liberada el incremento de un grado en la es-cala Richter? Si el aumento fuera de dos grados, ¿cómo se incrementa la energía liberada?, ¿quépuedes concluir?

Investiguemos...

Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan:

1. La escala de Richter es logarítmica, ¿por qué?, ¿cuándo se dice que una escala es logarítmica?

2. ¿Qué otras situaciones o fenómenos se han modelado mediante una escala logarítmica?

3. Averigüen cuál es la diferencia entre la escala de Richter y la escala de Mercalli. ¿Por qué un mismotemblor puede tener distintos grados en la escala de Mercalli?, ¿ocurre lo mismo en el caso de la escala de Richter?

4. ¿Cuál es la diferencia entre un temblor y un terremoto?

5. ¿Cuáles han sido los terremotos más dañinos en Chile?, ¿y en tu región?, ¿por qué?

6. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos:

a. ¿Sintieron el terremoto del 27 de febrero?, ¿dónde se encontraban?b. ¿Qué es lo primero que hacen cuando tiembla?c. ¿Cuál es el lugar más seguro de la casa (o de la escuela)?d. ¿Qué medidas de prevención se pueden tomar para evitar los daños que produce un temblor

fuerte o un terremoto?

7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y unapropuesta con las medidas de prevención que podrían tomar en sus familias para disminuir los posiblesdaños que provocaría un terremoto.

Evaluemos nuestro trabajo

• ¿Qué aprendieron acerca de los terremotos?• ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué?• Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras.

¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó?


Un

idad

1


58 | Unidad 1

Síntesis de la Unidad

A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.

A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:


2. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función

potencia cuando el exponente es impar?

3. ¿Cuándo existe la función inversa de una función? Justifica.

4. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación logarítmica? Explica.

5. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución

de una ecuación logarítmica?, ¿por qué?

6. ¿En qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se utilizan escalas logarítmicas?

7. ¿Cómo se define el logaritmo en base b de un número?

8. ¿En qué casos se debe realizar un cambio de base? Explica.

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?

Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

DOMINIO

RECORRIDO

CAMBIO DE BASE

ECUACIÓN LOGARÍTMICA

EXPONENTE

ESCALA LOGARÍTMICA

LOGARITMOFUNCIÓN LOGARÍTMICA

FUNCIÓN INVERSA

BASEFUNCIÓN POTENCIA

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN



Evaluación

I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

1. Los logaritmos son siempre positivos.

2. No existen logaritmos de números negativos.

3. Los logaritmos están definidos para bases positivas.

4. Las potencias de un número positivo son todas positivas.

5. loga x + logb x = logab x para todo valor de x, siendo a y b positivos.

6. La función f (x) = log x es creciente.

7. La gráfica de la función f (x) = log3

x pasa por el punto (2, 9).

8. Una función logarítmica es decreciente para valores negativos de x.

9. Una función potencia es siempre creciente.

10. La gráfica de una función logarítmica es siempre simétrica con respecto al eje de las abscisas.

11. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de cualquier función logarítmica.

II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades.

1. Expresa en la forma más reducida posible.

a. d. logb (a2 – a + 1) + logb (a + 1)

b. e. logb (a3 + b3) – 2 logb (a + b)

c. f. logb (a2 + 4a + 4) – logb a6

2. Calcula, en cada caso, el dominio de f (x). Explica el procedimiento que utilizaste.

a. f (x) = log (log x) c. f (x) = log x + log (– x)

b. d. f (x) = log (100 – x2)

3. Calcula el valor de x1

· x2, considerando que x

1y x

2son dos números reales positivos tales que:

4. Resuelve la siguiente ecuación. Explica, paso a paso, cómo la resolviste.

2 log (2x + 1) – 2 = –2 log (3x – 4)

13

12

f x log x log x( ) = ( ) − +2 5 6

log b loga ab+ −12

− + +12

logab log a log b

log log13 13 13+ −

Un

idad

1

logx x

log x log x1 21 23

12

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +( )


60 | Unidad 1

1. La función inversa de g(x) = x3 + 1 es:

A.

B.

C.

D.

E.

2. Si k (x) = 3x3 – 4, entonces k–1 (20) es:

A. 1B. 2C. 4D. 8E. Ninguna de las anteriores.

3. Si f (x) = 2x + 3, entonces f –1 (33) es:

A. 15 B. 18 C. 30D. 69 E. 70

4. El recorrido de f (x) = 2x2 + 5 es el conjunto:

A. [5, + �[B. ]5, + �[C. IR+

D. IR–

E. IR0+

5. ¿Cuál de las siguientes funciones correspondea la siguiente gráfica?

A. f (x) = 2x3

B. f (x) = x3– 2

C. f (x) = (x – 2)3

D. f (x) = (x + 2)3

E. Ninguna de las anteriores.

6. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es:

A. 3–1

B.

C. 9

D. 12

E. 27

7. Si pH = –log [H+], determina [H+] si el pH de unasustancia es 6,8.

A. 1,58 · 10–7

B. 6,8 · 10–7

C. –6,8 D. 1,58 · 107

E. 6,8 · 107

127

13

x +( )1 33

x −( )1 33

x − 13

x x+ 3

x3 1−

III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.



8. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es:

A.

C. 4

D. 2

E. 4 y – 4

9. La solución de la ecuación es:

A. 10B. 1C. 1 y –1D. 3E. Todos los reales.

10. Encuentra el valor de x en la ecuaciónlog2 x + log2 x = 2

A. x = 0 B. x = 3C. x = 1 D. x = 2,5E. x = 2

11. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log3 5 = a, resulta:

A. a3 = 5B. a5 = 3C. 53 = aD. 35 = aE. 3a = 5

12. La siguiente fórmula relaciona los decibelessegún la intensidad de un amplificadorD = 10 · log (I · 1012) (con I : intensidad). Si en un amplificador de sonido se triplica la intensidad, ¿en cuánto aumentan los decibeles?

A. Aproximadamente 4 unidades.B. Aproximadamente 5 unidades.C. Aproximadamente 10 unidades.D. Aproximadamente 12 unidades.E. Ninguna de las anteriores.

13. Si en el mismo amplificador se aumenta de I a 5I, ¿cuántos decibeles, aproximadamente,aumenta D?

A. 5B. 15C. 7D. 70E. 10

14. Una expresión equivalente a

· (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es:

A.

B.

C.

D.


log x3 3 1

2=

12

14 U

nid

ad 1

log x

y za

3

5 30+

log xy za

35 30+

log x

y za

3

5 30+

B. y – 14

14

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

log xy za

35 30+


Función exponencial2

62 | Unidad 2

Función inversa

Logaritmos y sus propiedades

Número e

Función exponencial y su gráfica

Resolver ecuaciones exponenciales.

Utilizar la función exponencial para modelar situaciones o

fenómenos naturales o sociales y resolver problemas.

Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función

exponencial.

Crecimiento y decrecimiento exponencial

Analizar el crecimiento y decrecimiento de funciones

exponenciales.

Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas una como inversa de la otra.



Función exponencial | 63

Conversemos de...

Los biólogos han observado que, aunque una especie se reproduzca naturalmente, factores comola existencia de predadores o la escasez de alimentos limitan el crecimiento de su población. Así,para asegurar su preservación, algunas especies producen numerosos descendientes, pero con unaalta mortalidad. En cambio, otras producen pocos descendientes con una mayor probabilidad de su-pervivencia. Y, de hecho, muchas especies se basan en una estrategia intermedia. Por ejemplo, latortuga verde de mar que se observa en la imagen deposita entre 100 a 200 huevos en la arena,pero cuando las crías van rumbo al agua, depredadores como las gaviotas o los cangrejos atra-pan muchas de ellas. Actualmente, es una especie declarada en peligro de extinción, por lo quees ilegal importar, exportar, matar, capturar o perturbar esta especie de tortugas. La ecuación

permite estimar la población de una especie a lo largo del tiempo, donde

P0 es su población inicial, K es su capacidad de persistencia y r, su tasa de crecimiento.

1. ¿Cuál es la variable independiente en esta función?, ¿cuál es la variable dependiente?2. ¿Podrías calcular P (t), dados los valores de K, r y P0 correspondientes?, ¿por qué?3. ¿Qué representa e en la ecuación?, ¿cuál es el valor de e?4. Busca tres ejemplos de animales que manifiesten las estrategias descritas, en cada caso.

P tK P e

K P e

r t

r t( ) =⋅ ⋅

⋅ ⋅ −( )0

0 1

Latin

stoc

k


64 | Unidad 2

¿Cuánto sabes?

1. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones reales:

a. c.

b. d.

2. A partir de las siguientes gráficas, escribe una posible representaciónalgebraica de esas funciones y determina su dominio y recorrido, encada caso.

a. c.

b. d.


a. c.

b. d. i(x) = 25 – x2g x x( ) = − +1 4

h xx x

x( ) =

−

4 2f x x x( ) = − +2 16 6


f xx

( ) =−

2

12

g x x

x( ) =

−2

42

h xx x

( ) =−4

i x x( ) = − +2 16 4


4. Escribe la ecuación igualando las bases y determina el valor de x, encada caso.

a. d.

b. e.

c. f.



Un

idad

2


• Una función es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f (x) de un conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom ( f )) de la función yB es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomarse conoce como imagen o recorrido (rec ( f )).

• Una función f es creciente en el intervalo ]a, b[ con a, b � R, si dados x e y cualesquiera enese intervalo, se tiene x < y ⇒ f (x ) < f (y ).

• Una función f es decreciente en el intervalo ]a, b[ con a, b � R, si dados x e y cualesquiera en ese intervalo, se tiene x < y ⇒ f (x ) > f (y ).

• La representación gráfica de una función permite observar algunas de sus características,como su crecimiento o decrecimiento, el dominio y recorrido, las intersecciones con los ejes,etc. Por ejemplo:

Función afín: Función cuadrática: Función logarítmica: y = ax + b y = ax 2 + bx + c y = log x

• Para resolver una ecuación exponencial se pueden igualar las bases de las potencias y,luego, resolver la ecuación que se obtiene de igualar los exponentes.

5 252 1x − = 1 02 5 84− =− −ax x

31

272 14 6

2 422

− + −− +

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x xx x

2 0 52 3 3 2x x+ += ( ),

1

9

1

32 12x =

14

83 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− xx


66 | Unidad 2

Función exponencial

Observa las siguientes gráficas:

Las gráficas anteriores son ejemplos de la función exponencial.

Un método posible para determinar la expresión algebraica querepresenta a una función conocida, a partir de la gráfica, es uti-lizar su tabla de valores.

Observa que en la tabla correspondiente al gráfico A, los valoresde y son exactamente potencias de 2, cuyos exponentes son loscorrespondientes valores de x. Es decir, y = 2x. Luego, la expresiónla expresión algebraica que representa a la función del gráfico Aes con x � IR.

Y la expresión algebraica que representa a la función del gráfico B

es , con x � IR.f xx

( ) = ( )12

f x x( ) = 2

• A partir de la gráfica, en cada caso, ¿cuál es el valor de y parax = –2?, ¿para x = 0?, ¿y para x = 1?

• En cada caso, ¿qué sucede con el valor de y a medida que xaumenta?, ¿y a medida que disminuye? Explica.

• ¿Cuál podría ser el dominio y recorrido de cada función?• Según la gráfica, ¿se interseca cada función con cada uno de los

ejes?, ¿en qué puntos?• ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre las gráficas?• Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que

conozcas?, ¿por qué?

Analicemos...

x y

–112

0 1

1 2

2 4

3 8

x y–2 4–1 2

0 1

112

214

A B

Glosariofunción exponencial: toda funcióncuya variable se encuentre solo enel exponente de una potencia.

Su representación algebraica es

con x � IR y a > 0,

a � 1.

f x ax( ) =



Un

idad

2Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las caracterís-ticas de la función exponencial.

Caso I: Función exponencial , con a > 1. En el sistemade coordenadas se han graficado las siguientes funciones:

, , ,

Las gráficas sugieren que:

• El dominio de la función exponencial , para losdistintos valores de a > 1, son todos los números reales.

• Su recorrido son los números reales positivos. • La función es creciente para todo valor de x, es decir ax

< ay cuando x < y. • La gráfica de la función interseca al eje Y siempre

en el punto (0, 1). En cambio, es asintótica al eje X.

Caso II: Función exponencial , con 0 < a < 1. En el sistemade coordenadas se han graficado las siguientes funciones:

, , ,

Las gráficas sugieren que:

• El dominio de la función exponencial , con 0 < a < 1,son todos los números reales; y el recorrido, los númerosreales positivos.

• La función es decreciente para todo valor de x, es decir ax > ay

cuando x < y. • La gráfica de la función interseca al eje Y en el punto (0, 1).

En cambio, es asintótica al eje X.

Comparando los dos casos, ¿qué puedes concluir?

f x ax( ) =

f x ax( ) =

f x ax( ) =

f x ax( ) =

f x x1 2( ) = f x x

2 4( ) = f x x3 9( ) = f x x

4 100( ) =

f xx

112

( ) = ⎛⎝

⎞⎠ f x2

14

( ) = ⎛⎝

⎞⎠ f x

x

319

( ) = ⎛⎝

⎞⎠ f x

x

41

100( ) = ⎛

⎝⎞⎠

Una función se dice creciente si x1< x2, entonces f (x1) < f (x2). En cambio, si cuando x1< x2, setiene que f (x1) > f (x2), la funciónes decreciente.

Recuerda que...

Glosarioasintótica: dicho de una curva, quese acerca continuamente a una rectasin llegar nunca a intersecarla.


68 | Unidad 2

1. Sin construir las tablas de valores ni las gráficas, indica cuáles de las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. Justifica.

a. c. e. f (x) = ( )x

b. d. f. f (x) = (1,2)x

2. Determina, en cada caso, la función exponencial f (x) = ax que pasa por los siguientes puntos.

a. (3, 216) d. (3, 343) g. (–3, 8)b. (–1, 5) e. (–4, 0,0625) h. (2, 0,16)c. (4, 4096) f. (m, 5m) i. (7, 128)

3. Grafica las funciones y en el mismo plano cartesiano, y determina en el

gráfico el valor aproximado, en cada caso, para:

a. b. c.

4. Dada la función exponencial , indica cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son correctas. Justifica.

a. b.

5. Grafica las siguientes funciones. Luego, determina su dominio, recorrido, si es creciente o decrecientey su punto de intersección con el eje Y.

a. d.

b. e.

c. f.

• Explica el procedimiento que utilizaste para realizar esta actividad.

6. Grafica f (x) = 1x.

a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas, respecto de las funciones anteriores?b. Respecto de los ejes de coordenadas, ¿qué tipo de gráfica es?

74

f xx( ) = ( )0 09,

Actividades

f x x( ) = 675

f x x( ) = 0 001,

f xx

( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

45

f x x( ) = 2 01,

f x x( ) = 3 g xx

( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14

f m f m−( ) = ( )−1f n m f n f m+( ) = ( ) ⋅ ( )

x1 0 5= , x245

=

f x x( ) = 5 f x x( ) = +2 1

f x x( ) = −+3 92

f x x x( ) = − −3 3

f xx( ) = 1

4

f x x( ) = 2

x3 2 5= − ,


En resumen

La función exponencial, f ( x ) = ax, con a � IR+ – {1} y x � IR, posee las siguientes características:

• El dominio de la función son los números reales.

• El recorrido de la función son los números reales positivos.

• La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).

Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente.

• Caso particular: , es decir:

f ( x ) = a x, con a = 1. Se observa que para

todo valor real de x se tiene que ,

que corresponde a una función cons-

tante, por lo que no se habla de una fun-

ción exponencial.

f x x( ) = 1

f x( ) = 1


Un

idad

27. Grafica en un mismo sistema de coordenadas y .

a. Determina, en cada caso, su dominio y recorrido.b. Indica si estas funciones son crecientes o decrecientes. Justifica.c. Observa sus gráficas. ¿Qué puedes observar?

f x x( ) = 2 g xx

x( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1

22


70 | Unidad 2


GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, esun sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores y rectas, y luego modi-ficarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente yobtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de diversas funciones.

Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, yluego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tenerla necesidad de instalarlo en tu computador.

• Para graficar una función, se debe escribir directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte

inferior de la ventana. Si la función tiene potencias, los exponentes se escriben usando el símbolo ^.

Por ejemplo, para graficar se escribe y se presiona enter.

• Si la función tiene base fraccionaria, se debe escribir el número entre paréntesis y usar /

para escribir la fracción, por ejemplo: .

• Si la función tiene un polinomio en el exponente, como por ejemplo: , se debe

escribir este exponente entre paréntesis, así: .

x∧2

x −( )∧2 1

f x x( ) = −( )2 1

x( )∧1 2

f x x( ) = 2



Un

idad

2

1. Utilizando GeoGebra, grafica las siguientes funciones.

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

2. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde.

a. ¿Cuál es el dominio de cada función?, ¿cuál es el recorrido? b. ¿Es creciente o decreciente?c. ¿En qué punto intersecan al eje de las ordenadas?

3. Utilizando GeoGebra, grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones.

a. e.

b. f.

c. g. f ( x ) = 2x + 1

, g ( x ) = 2x – 1

d. h.

4. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde en cada caso.

a. ¿Cuál es el dominio y recorrido de las funciones?b. ¿En qué punto se intersecan con los ejes de coordenadas? c. ¿En qué punto se intersecan ambas curvas?d. En relación a las primeras cuatro funciones, observa las gráficas en cada caso,

¿existe alguna simetría entre ellas? Si la hay, identifica el eje de simetría.e. De las segundas cuatro funciones, ¿qué puedes concluir respecto de sus gráficas?

f x x( ) = 2

f x x( ) = 22

f x x( ) = ⋅4 3

f x x( ) = −3

f x x( ) = −5

f x x( ) = −4 1

f x x( ) = −1 2

f xx

( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

f x g xxx

( ) = ( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

15

,

f x g xx

x( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( ) =1

77,

f x g xx x( ) = ( ) = −3 3,

f x g xx x( ) = − ( ) =2 2,

f x g xx x( ) = ( ) =3 2 2 2· , ·

f x g xx x

( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

12

312

· , ·

f x g xx x

( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +13

13

1 1

,


Observa las gráficas de la función exponencial y la función loga-rítmica, para cada caso:

Caso I: Si b > 1 Caso II: Si 0 < b < 1

72 | Unidad 2

Función exponencial y función logarítmica

Función inversa: la función inversade f (x) = y corresponde a la fun-ción g que al evaluar el elemento yse obtiene a x de tal forma queg (f (x )) = x.

Siempre y cuando se cumpla:

•

•

• f (x) = f (y) si y solo si x = y

Esta función g usualmente se

representa por .f x− ( )1

Dom f Recg=

Rec f Domg=

Recuerda que...

• En el primer caso, en relación a la gráfica de y = x, ¿qué puedes concluir respecto de las gráficas de f (x) y g (x)?, ¿ocurrirá lomismo para cualquier valor de b > 1? Explica.

• En el segundo caso, ¿también ocurre lo mismo? Explica.• ¿La función exponencial y la función logarítmica son funciones

inversas? Justifica.

f (x) = bx

f (x) = bx

y = x

g(x) = logb x

g(x) = logb xy = x

Analicemos...

En las gráficas anteriores, se puede observar que:

• Ambas funciones son simétricas entre sí con respecto a la rectay = x.

• El dominio de la función logarítmica es el conjunto de losreales positivos, lo cual corresponde al recorrido de la fun-ción exponencial.

• El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los nú-meros reales y corresponde al dominio de la función exponencial.

Para justificar el hecho de que son funciones inversas, se calcula lafunción inversa de la función exponencial y se compara con la fun-ción logarítmica. Observa.



Un

idad

2

Para determinar la función inversade una función, se puede despejarla variable independiente en térmi-nos de la variable dependiente y,luego, se intercambian las variablesx e y en la expresión resultante. Sinembargo, hay funciones para las queeste procedimiento no es útil, comola función cuadrática, por ejemplo.

Recuerda que...Dada , con a > 0, a � 1, se determina la función inversa, paraesto se puede despejar x en términos de y.

Para escribir la función inversa, se remplaza x por y. Luego,. y log xa

− =1

y ax=

y ax=log y logax=

log y x loga= ·

xlog yloga

=

x log ya=

se aplica logaritmo ya que y y a son números positivos

ya que a � 1

utilizando la propiedad de cambio de base, se tiene que

En resumen

• Sea y = ax una función exponencial, su función inversa está dada por . y log xa− =1

1. Aplicando el procedimiento anterior, determina la función inversa de las siguientes funciones.

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

2. Dada la función , determina su función inversa y grafícalas en un mismo sistema cartesiano.

3. Dadas las funciones exponencial f ( x ) = 3xy logarítmica .

a. Represéntalas en un mismo sistema de coordenadas. b. Determina su dominio, recorrido, intersección con los ejes de coordenadas, y si son crecientes

o decrecientes, en cada caso.c. Observa sus gráficas, ¿qué puedes concluir?

y x= 4

g x log x( ) = 3

Actividades

y x= 2

y x= 3

yx

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

54 y log x= 2

5

y log x= 34

yx

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

157

y log x= 6

y log x= 9


74 | Unidad 2

Aproximándonos al número e

Considera la situación siguiente, en la que se aplica un interés compuesto:

Si se invierte, por ejemplo, $ 1 000 000 con un interés del 100% anualy se liquida al terminar el año, se obtendrán, en total, $ 2 000 000.Ahora, si se pagaran intereses cada seis meses, pero dividiendo elinterés anual en dos partes, la cantidad obtenida corresponde aaplicar un 50% de interés al capital, de $ 1 000 000, y al resultadode esto, aplicar nuevamente un 50% de interés, es decir:

Y si se dividiera el año en cuatro períodos (cada uno de tres meses),al igual que la tasa de interés, se aplica al capital cuatro veces elinterés de 25%, sucesivamente, y se obtiene:

1000 000 1 14

2 4414064

⋅ +⎛⎝

⎞⎠ =

1000 000 1 12

2 250 0002

⋅ +⎛⎝

⎞⎠ =

De igual forma, en el caso de pagos mensuales, el monto obtenido

corresponde a .

Y, en general, la función que representa el factor por el cual se mul-

una calculadora o una planilla de cálculo, observa que, a medidaque el valor de x aumenta, el valor de f (x ) se aproxima a 2,71828...esto es, al número e.

El número e se define como el valor al que se aproxima la expresión

cuando x toma valores muy grandes. Es un número irracional,

cuya expresión decimal es, aproximadamente, 2,7182818284.

Entonces, en la situación inicial, aunque se pudiera dividir infinita-mente el interés aplicado en un año, el monto obtenido nunca su-peraría los $ 2 718 281.

1 1+⎛⎝

⎞⎠x

x

1000 000 1 112

2 613 03512

⋅ +⎛⎝

⎞⎠ =

Glosariointerés compuesto: se refiere a laganancia del capital a una tasa de interés durante un cierto períodode tiempo, en el cual los interesesobtenidos al final de cada períodono se retiran, sino que se añadenal capital. Por lo tanto, los intere-ses se reinvierten.

Analicemos...

• Si el interés se aplicara ahora cada dos meses, ¿a cuánto asciendeel monto obtenido?, ¿y si se aplicara cada mes?

• ¿Cuánto se obtiene aplicando el interés cada semana?, ¿y cada día?• Si el interés se pudiera aplicar en fracciones de tiempo más pequeñas

aún, ¿se alcanza a obtener $ 3 000 000 en un año?, ¿por qué?

f (x )

tiplica el monto inicial, está dada por . Utilizandof xx

x( ) = +⎛

⎝⎞⎠1 1



Un

idad

2La función exponencial más utilizada, por sus características y susdiversas aplicaciones científicas, es , cuya base es elnúmero e, llamado número de Euler.

Observa que conserva las características de las funciones exponenciales:

• El dominio de la función son los números reales. • El recorrido son los números reales positivos. • La gráfica de la función interseca al eje de las ordenadas en el

punto (0, 1).

A partir de y = ex, para obtener la función inversa depodemos despejar la variable x. Siguiendo el mismo desarrollo queen el caso de y = ax, se obtiene , que, por notación, seescribe como .

f x ex( ) =

x ln y=x log ye=

f x ex( ) =

Por lo tanto, . f x ln x− ( ) =1

En resumen

• A medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes, el valor de la función

se aproxima crecientemente al número e = 2,71828182845.f xx

x( ) = +⎛

⎝⎞⎠1 1

• La función inversa de la función exponencial natural , es la función logarítmica natural, f (x) = ln x.

y ex=

1. Dadas las siguientes funciones, determina su dominio y recorrido, la intersección con los ejes de coordenadas y si son crecientes o decrecientes, en cada caso.

a. f (x) = ex + 1 b. f (x) = –ex + 1 c. f (x) = e2x d. f (x) = e –2x

2. Justifica las siguientes identidades:

a. ax = ex ln a, con a > 0. b. loga x =

3. En un mismo sistema de coordenadas, grafica las funciones f (x) = ln x, g(x) = ex.

a. Indica los puntos de intersección con los ejes. b. Determina el dominio y recorrido de cada función. c. ¿Sus gráficas son simétricas? Explica.

ln xln a

Actividades


76 | Unidad 2


• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.


2. ¿En qué casos una función exponencial es creciente?

3. ¿Cómo se define el número e?, ¿cuál es su valor?

4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función exponencial? Explica.

5. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial?, ¿cómo se puede determinar?

6. ¿Cómo se relacionan las gráficas de las funciones inversas, en general?

7. ¿Cuál es la diferencia en la función f ( x ) = ax, según si a > 1 ó 0 < a < 1?

8. ¿En qué punto la función exponencial interseca al eje Y?, ¿y al eje X?




FUNCIÓN EXPONENCIAL

se denota por

es una

0 < a < 1

FUNCIÓN DECRECIENTE

FUNCIÓN INVERSA

es una

FUNCIÓN CRECIENTE

a > 1

NÚMERO e

llamada

con caso particular

cuya base es el


NATURAL

en ambos casos su

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

es la

f ( x ) = ex

según el valor de a si

f ( x ) = ax


Mi progreso

Un

idad

2

1. Indica el dominio, recorrido y el punto de intersección con cada eje, de las siguientes funciones.

a. b. c.

2. Determina la función inversa de las siguientes funciones.

a. b. c.

3. En cada uno de los siguientes puntos, la gráfica de una función exponencial f ( x ) = ax pasa por elpunto dado. Determina la función f.

a. b. c.

4. Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes, según su representación algebraica. Además, determina su dominio y recorrido.

a. b. c.

5. En relación a la función , determina cuál de las siguientes alternativas es verdadera.

A. El dominio de f (x ) son los números reales positivos.B. f (x ) es siempre decreciente.C. El recorrido de f (x ) son los números reales.D. El valor de f (5) = 324E. La gráfica de f (x ) pasa por el punto (3, 3).

– ,11

9⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 9, e( ) 223, e

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y x= 52 y log x= 8 y ln x= 4

f x x( ) = −3 f xx( ) = 1

6f x x( ) = 4

f xx

( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

f xx( ) = ( )0 6,f x x( ) = 5


¿Cómo voy?


f x x( ) = −3 2


Identificar el dominio y recorrido de una función exponencial.

1, 4 y 5 66 a 69

Calcular la función inversa de una función exponencial dada.

2 72 a 75

Reconocer la representación algebraica de la funciónexponencial, cuya gráfica pasa por un punto dado.

3 y 5 66 a 69

Clasificar funciones exponenciales según si son crecientes o decrecientes.

4 y 5 66 a 69


78 | Unidad 2

Ecuaciones exponenciales

Para recuperarse, la dosis inicial que ingiere Carla es de 10 mg a las8:00 horas. Luego, el medicamento es eliminado paulatinamentedel cuerpo por medio de la orina. La cantidad que queda en elcuerpo t horas después está dada por C( t ) = 10 · 0,8t. Para que elmedicamento haga efecto, el cuerpo debe tener al menos 2 mg.

Analicemos...

• ¿Cuánto tiempo estimas que el medicamento sigue haciendoefecto?, ¿dos horas, seis, doce?, ¿por qué?

• ¿A qué hora (aproximadamente) dejará de hacer efecto el medi-camento?, ¿cómo lo supiste?

La ecuación exponencial que permite responder la situación pre-sentada es 10 · 0,8t = 2. Para resolverla, una posibilidad es intentarigualar las bases y resolver la ecuación correspondiente a sus expo-nentes. Cuando esto no es posible, como en este caso, se puedenaplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación, para así obteneruna ecuación lineal.

10 · 0,8t = 2 0,8t = 0,2

t · log 0,8 = log 0,2

Como y = 10 · 0,8t es una función decreciente, ya que 0 < 0,8 < 1,el medicamento dejará de hacer efecto después de 7 horas, aproxi-madamente, ya que, después de las 15:00 horas, Carla tendrámenos de 2 mg en el organismo.

Ejemplo 1Resuelve la siguiente ecuación exponencial: ax + 3 = b 2x + 5, con ay b positivos y, en este caso, a � b2.

ax + 3 = b2x + 5

Glosarioecuación exponencial: igualdad enla que intervienen potencias, enuno o en ambos lados de la ecuación,y en la que la incógnita se encuentraen al menos uno de sus exponentes.

se aplica log, ya que 0,8 y 0,2 sonpositivos

ya que, en este caso, a � b2, se tiene que log a – 2 · log b � 0

se aplica logaritmo y suspropiedades, ya que ax + 3 y b2x + 5 son expresiones positivas

utilizando propiedad distributiva

agrupando y factorizando lostérminos de la incógnita

xlog b loga

loga log b= ⋅ − ⋅

− ⋅5 3

2

x loga x log b+( ) ⋅ = +( ) ⋅3 2 5

x loga loga x log b log b⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅3 2 5

x loga log b log b loga⋅ − ⋅( ) = ⋅ − ⋅2 5 3

Antes de aplicar logaritmos a unaecuación, se debe comprobar que lasexpresiones a cada lado de la igual-dad son necesariamente positivas(para cualquier valor de la incógnita).

Pon atención

tloglog

= ≈0 20 8

7,,



Ejemplo 2Resuelve la ecuación 16x 2 – 4x – 1 = 32

Aplicando logaritmo, ya que ambos lados de la igualdad son positivos,

(x 2 – 4x – 1) log 16 = log 32

x 2 – 4x – 1 = = log16 32 =

4x 2 – 16x – 9 = 0

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x1 = y x2 = –

log 32log 16

54

12

92

Un

idad

2

• Una ecuación exponencial es una ecuación en la que intervienen potencias, en uno o enambos lados de la igualdad, y en la que la incógnita se encuentra en al menos uno desus exponentes.

• Para resolver una ecuación exponencial, si no es posible igualar las bases, se debe aplicarlogaritmos y sus propiedades para obtener una ecuación no exponencial. En este caso,hay que comprobar previamente que las expresiones son siempre positivas, ya que ellogaritmo de un número negativo no existe.

Siempre se debe remplazar el valorobtenido como solución en laecuación original, para comprobarque realmente la satisface, y veri-ficar que es pertinente al contextodel problema.

Pon atención

aplicando la ecuacióncuadrática

x = ± − ⋅ ⋅ −( )⋅

= ±16 16 4 4 92 4

16 4008

2

1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, igualando las bases.

a. 83x + 1= 32x b. 81x2 – 1= 27–(7 – 5x ) c. 8–3x · 2x + 1 = 4x + 2

2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, mediante logaritmos.

a. 22x + 1 = 3x + 5 d. 5 · 23x = 9 g. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506

b. 4x2 – 1= 154 e. 4x + 2 = 93x – 4 h. 22(x + 3) + 22(5 + x) = 3264

c. f. a3x + 4 = b2x – 3 i. (2401)x2 – 2x = 16 8073 7682

x

=

Actividades

En resumen

Luego, x 2 – 4x – 1 = 54


80 | Unidad 2

Ecuaciones exponenciales con base e

El señor Molina fue encontrado muerto en su oficina. Cuando laPolicía llegó al lugar, a las 12:00, la temperatura del cadáver era de29 °C y la de la oficina era de 23 °C. Más tarde, a las 13:30, la tem-peratura del cuerpo bajó a 27 °C.

La Policía estimó la hora de muerte del señor Molina, aplicando laley de enfriamiento de Newton, que se expresa algebraicamentepor: , donde t es el tiempo transcurrido, k > 0 esuna constante y Δ es la diferencia de temperatura entre el estadoinicial y la del ambiente T0.

Glosarioley de enfriamiento de Newton:relaciona la temperatura de un objeto,según el tiempo transcurrido, y latemperatura del medio en el que seencuentra, y que se puede enunciarcomo: “La rapidez con que un objetose enfría es directamente proporcionala la diferencia de temperaturas entreel objeto y el medio que lo rodea”.

T t T e kt( ) = + Δ ⋅ −0

Cuando se aplica un cambio de va-riable, luego de resolver la ecuaciónse debe remplazar la variable, demodo que la solución se entregueen la variable original.

Pon atención

Analicemos...

• ¿A qué hora estimas que falleció el señor Molina?• Según estos datos, ¿cuál es el valor de la constante k, en este caso?• Si la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C, ¿a qué

hora ocurrió el deceso? Explica.

Para resolver esta situación, se puede aplicar la ley de enfriamientode Newton. Remplazando los datos T0 = 23 y Δ = 29 – 23 = 6, se tiene:

y se obtiene: k = 0,27031. Luego, la función es

Ahora, para calcular cuánto tiempo ha transcurrido desde su muerte,se remplaza el valor de la temperatura normal, 36,5:

, que es equivalente a 2,25 =

Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3, con lo que se concluyeque el deceso ocurrió 3 horas antes de que llegara la Policía, es decir,a las 9 de la mañana.

Ejemplo 1Resuelve la ecuación e 2x + 5 · ex – 14 = 0

(u – 2) (u + 7) = 0

e t−027031,36 5 23 6

027031,

,= + ⋅ −e t

T t e t( ) = + ⋅ −23 6

027031,

una hora y media después, la temperatura del cadáver era de 27 °C, es decir, t = 1,5 y T(1,5) = 27

como la base es e, en este caso, se aplica logaritmo natural

ln ln e k23

15( ) = ( )− ,

27 23 615= + ⋅ − ⋅ ,e k

T t e kt( ) = + ⋅ −23 6

realizando un cambio de variable: u = exu u2 5 14 0+ ⋅ − =

luego, u = 2 o bien u = –7



Un

idad

2Ahora, se remplaza en la expresión correspondiente al cambio devariable: ex = 2, o bien ex = –7.

Al resolver e x = 2, se obtiene x = ln 2. En cambio, e x = –7 no tiene solución.

Por lo tanto, la solución de e 2x + 5 · ex – 14 = 0 es x = ln 2.

Ejemplo 2Resuelve la ecuación .

Como la incógnita x está como factor y también en el exponente,es necesario reescribir la ecuación antes de igualar exponentes oaplicar logaritmos.

Por propiedades de la multiplicación, si el producto de dos o másnúmeros es igual a cero, entonces por lo menos uno de los factoreses igual a cero. Esto permite separar la ecuación en tres ecuaciones,en este caso.

x + 5 = 0 x – 1 = 0 ex = 0.

Pero, por definición, ex � 0, entonces las soluciones son x = –5 obien x = 1.

x e e x ex x x2 5 4 0⋅ − + ⋅ =

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. 2ex + 5 = 3e–x c. 3x2ex + x3ex = 0 e. x · e 2x– 9 x e 2x

= 0

b. ex – 20e–x – 1 = 0 d. 4x3e–3x + 3x4e–3x = 0 f. e2x+ 5ex

– 20 = –6

2. Al consumir cierto medicamento, este queda en el organismo una cierta cantidad de tiempo,

dado por la expresión: , donde m representa los miligramos del medicamento

y h el tiempo en horas.

a. Si en un organismo se encuentran 0,407 miligramos de este medicamento, ¿cuánto tiempoha transcurrido desde que se ingirió?

b. Si la cantidad de medicamento no puede ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto tiempo se debe tomar el remedio?, ¿qué podría ocurrir si no se respetan los horarios de ingesta demedicamentos? Comenta.

m h e h( ) = −10 0 2,

Actividades

factorizandox x ex2 5 4 0− +( ) ⋅ =

x x ex+( ) −( ) ⋅ =5 1 0

Todo logaritmo y toda exponencialse pueden escribir en función delogaritmo natural y exponencial conbase e, mediante las identidades:

logb x = , y bx = ex ln b

Por esto, y por otras propiedadesmatemáticas, muchas situacionesse modelan utilizando logaritmonaturales y/o exponencial con basee, aunque puedan expresarse conuna base distinta de e.

ln xln b

Pon atención


82 | Unidad 2

Crecimiento exponencial

El día de Año Nuevo del año 2009 la población del mundo era de aproximadamente 6750 millones de personas. Si el ritmo de creci-miento de la población mundial se analiza desde una perspectivahistórica, se observa que después de la Segunda Guerra Mundial seproduce una explosión demográfica sin precedentes. Una formade percibir este efecto es observar cómo ha ido disminuyendo eltiempo transcurrido para que la población mundial se duplique.

A partir de los datos, se tiene:

• Población P0 del mundo en 2009: 6750 millones• Tasa de crecimiento anual (r ) 1,2% = 0,012

La ecuación que se puede utilizar para determinar en cuánto tiempot habrá una población P (t ) de 8000 millones de habitantes es: 8000 = 6750 · e 0,012 · t. Observa su resolución:

Por lo tanto, en algo más de 14 años la población mundial alcanzará8 mil millones de habitantes, aproximadamente. Lo que correspondeal año 2023.

Año Población mundial

600 500 millones

1800 1000 millones

1930 2000 millones

1976 4000 millones

Fuentes: U.S. Census Bureau. www.census.gov/ipc/www/popclockworld.html, Universidad Nacional de Cuyo. www.cricyt.edu.ar/enciclopedia/terminos/PoblacMund.htm.Consultados en julio de 2009.

1200 años

130 años

46 añosTiempo transcurridopara duplicarse

Analicemos...

• Actualmente, la tasa de crecimiento de la población mundial observada es de 1,2% anual. Si la población sigue creciendo así, ¿en cuánto tiempo alcanzará a 8 mil millones de personas?,

• ¿Cuándo la población alcanzará el doble de habitantes que en 2009?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cómo es la gráfica que representa esta situación? Explica.

80006750

0012= ⋅e t,

ln ln e t80006750

0012⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ( )⋅,

0169899 0 012, ,= ⋅ t

14158, = t

aplicando logaritmo natural

ya que ln e x = xAntes de aplicar log o ln a unaecuación, se debe verificar que lasexpresiones, a ambos lados de laigualdad, son siempre positivos.

Pon atención

Infantes nacidos el año 2009.



Un

idad

2

1. El número de una determinada especie de pez está dada por la fórmula P ( t ) = 15 · e 0,015 · t, dondet se mide en años y P ( t ) se mide en millones.

a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de la población de peces? Exprésala como porcentaje.b. ¿Cuál será la población de peces después de 8 años?, ¿cómo lo calculaste?c. ¿Dentro de cuántos años el número de peces llegará a la cifra de 45 millones?

2. Generalmente, el crecimiento de las poblaciones de seres vivos comienza acorde a una función ex-

ponencial, pero luego se ve frenado por condiciones medioambientales. En estos casos, la función

logística f ( t) = , donde L es el valor máximo al que crece esta población, k y a son

constantes por determinar y t el tiempo transcurrido en días, permite representar esta situación.

La siguiente función corresponde a una población de mosquitos: f ( t) = donde f ( t)

corresponde a miles de mosquitos en una cantidad t de días. ¿Cuál es la población en 50 días?, ¿y

en 300 días?, ¿y en 800 días?

3. El crecimiento de organismos en ambientes limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo. Porejemplo, para predecir el número de estudiantes de una universidad que tiene planes de expansiónlimitada, el modelo usado es: P ( t ) = 1500 · (0,5)0,4

t, donde t es el número de años después de

abierta la universidad.

a. ¿Qué cantidad de estudiantes había cuando abrió la universidad? b. Después de 2 años de funcionamiento, ¿cuántos estudiantes tiene? c. ¿A qué valor máximo se aproxima P?, ¿por qué?

5001 + 499 · e–0,02t

L1 + k · e–at

Actividades

En resumen

• Si el crecimiento de las variables se puede modelarmediante la función f ( x ) = c · ax , con c > 0, a > 1,se dice que crecen exponencialmente, o bien quepresentan un crecimiento exponencial. Su gráfica esde la forma:

• En particular, el crecimiento de una población de or-ganismos puede describirse, aproximadamente, porP ( t) = P0 · e rt, donde P0 es el tamaño inicial de unapoblación, P ( t ) es la población en el tiempo t y r esla tasa de crecimiento relativo expresada como unnúmero decimal.


84 | Unidad 2

Decrecimiento exponencial

Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones demanera espontánea. Existe una medida de tiempo llamada vidamedia, que es el tiempo que transcurre hasta que se desintegra lamitad de la masa de dicha sustancia radiactiva.

Usando esta información es posible hallar la edad aproximada de

objetos de edad desconocida. La función permite

determinar la masa m(t ) que queda en el tiempo t, donde r es la

tasa de desintegración expresada como una proporción de la masa

y m0 es la masa inicial.

m t m ert( ) = −

0

Si h es la vida media, entonces la masa de 1 unidad se convertirá

en unidad cuando t = h. Sustituyendo lo anterior en

, queda:

Luego, considerando que la vida media del radio-226 es h = 1600,

entonces . Como m0 = 22, utilizando la función

de la desintegración radiactiva, se obtiene:

.

Así, quedarán aproximadamente 3,9 mg de radio-226 después de4000 años.

rln= ≈2

16000 0004332,

m e4000 22 3 889400004332 4000( ) = ⋅ ≈− ⋅, ,

12

Analicemos...

• Para una vida media dada h, ¿se puede obtener la tasa r dedesintegración?, ¿cómo?

• Si la vida media del radio-226 es de 1600 años y tenemos unamuestra de 22 mg, ¿cuánto quedará de la muestra después de4000 años?

• ¿Cuál es la gráfica que representa esta situación?

12

1= ⋅ − ⋅e r h

aplicando logaritmos,ln r h lne12( ) = − ⋅ ⋅

despejando la incógnita

ln r h2 1−( ) = − ⋅

por lo tanto, es la tasa

de desintegración

− = −lnh

r2

rlnh

= 2

Glosarioradio-266: elemento químico radiac-tivo. Metal raro en la corteza terres-tre, se encuentra acompañando alos minerales de uranio, elementodel que procede por desintegración.Se usa en la industria nuclear y enla fabricación de pinturas fosfores-centes. Se simboliza como 266

88Ra.

Contador de Geiger.

m t m ert( ) = −

0



Un

idad

2

1. Se dispone de 500 mg de carbono-14 de un organismo muerto. Si la cantidad que queda después de x años está dada por P(x ) = 500 · e–0,000115 · x mg:

a. expresa x en términos de P.b. Indica el dominio y recorrido de la función.c. ¿Qué cantidad es posible encontrar en 1000 años más?d. ¿Cuántos años deben transcurrir para que solo sea posible hallar 1 mg?e. Según este modelo, determina la vida media del carbono-14

2. El polonio-210 tiene una vida media de 140 días. Si una muestra de esta sustancia tiene una masade 300 mg:

a. determina la fórmula para la cantidad de la muestra que queda al tiempo t.b. Determina la masa que queda después de 2 años (considera 1 año = 365 días).c. ¿Cuánto tardará para que la muestra se desintegre hasta tener una masa de 150 mg?

3. La masa m ( t ) que queda después de t días de una muestra de 40 mg de torio-234 está dada por:

m(x ) = 40 · e–0,0277 · t

a. ¿Cuánto quedará de la muestra después de 50 días?b. ¿Después de cuántos días solo quedarán 8 mg de la muestra?c. Determina la vida media del torio-234.

Actividades

En resumen

• Si el decrecimiento de las variables se puede modelarmediante la función f ( x ) = c · a rx, con c > 0, a > 1 yr < 0, se dice que decrecen exponencialmente, o bienque presentan un decrecimiento exponencial. Su grá-fica es de la forma:

• En particular, la expresión que describe la masa m ( t ),que queda al tiempo t de una sustancia radiactiva, estádada por m ( t ) = m0 e

–rt, donde m0 es la masa inicial.

Si h es la vida media de dicha sustancia, se tiene que

.rlnh

= 2


86 | Unidad 2

Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales

Una persona deposita en un banco $ 2 000 000 al 12% anual de interéscompuesto. ¿En cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 3 500 000?

La expresión que permite calcular el capital final Cf que se obtiene

a partir de cierto capital inicial Ci es: , donde t es

la tasa de interés compuesto que se aplica y n, el número de perío-dos de tiempo. Como, en este caso, la incógnita es el valor de n, setrata de una ecuación exponencial.

Como no se pueden igualar las bases, se aplican logaritmos y suspropiedades:

Finalmente, se remplaza: log Ci = log 2 000 000 = 6,30103, log Cf = log 3 500 000 = 6,54407

Además, como t = 12:

luego, n =

Entonces, su capital final será de $ 3 500 000 al cabo de 5 años.

log t log log1100

1 12100

112 0 0492, ,+( ) = +( ) = = 22

C C tf i

n= ⋅ +( )1

100

Analicemos...

• ¿A cuánto asciende su capital después de transcurrido el primeraño?, ¿cómo lo calculaste?

• Entonces, ¿cuánto estimas que demorará en obtener $ 3 500 000?,¿por qué?

• ¿Qué es el interés compuesto? Explica.• Escribe la ecuación correspondiente a esta situación. ¿Aplicar loga-

ritmos te permite resolver esta ecuación? Justifica.

logC log C tf i

n= +( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

100

logC logC log tf i

n= + +( )1

100

logC logC n log tf i− = ⋅ +( )1

100

nlogC logC

log tf i=

−

+( )1100

se despeja el valor de n

6 54712 6 301030 04922

5, ,,

− ≈



Un

idad

2

1. Calcula la tasa de interés compuesto anual al que se invierten $ 10 000 000, si al cabo de 2 añosprodujeron 2 millones de pesos. Verifica tu respuesta utilizando una calculadora científica.

2. Una persona invierte $ 50 000, a una tasa de interés compuesto del 9% anual. Utilizando unacalculadora científica, calcula:

a. ¿cuál es el monto final del capital después de 6 años?b. ¿Después de cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 118 368?

3. Según los resultados del censo de 2002, la población de Chile es de 15 116 435 habitantes y la tasade crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de 1992, fue de 1,6% anual. Si la tasa de creci-miento se mantiene en los siguientes 30 años:

a. ¿cuál será la población en el año 2012?b. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la población? c. ¿En qué año la población será de 24 millones de habitantes?

4. Determina una fórmula que describa el crecimiento exponencial de una población que aumenta el12% cada 5 años, considerando una cantidad inicial de 55 millones de personas. ¿Cuál será lapoblación en 40 años más?

5. El número de bacterias de un cultivo está dado por la fórmula B( t ) = 600 · e0,55 · t donde t se mideen horas.

a. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?b. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de esta población de bacterias expresada como

un porcentaje?c. ¿Cuántas bacterias hay en el cultivo después de 3 horas?d. ¿Después de cuántas horas la población será de 15 000 bacterias?

6. Al momento de morir, un organismo contiene 50 miligramos de átomos de carbono-14 radioactivo. La cantidad de carbono-14, x años después, se ajusta a la función P(x ) = 50 · e–0,000119 · x

miligramos. ¿Después de cuánto tiempo de su fecha de muerte le quedarán 0,8 miligramos de carbono-14?

7. Después de x semanas del brote de influenza en una región del país, la cantidad de personas

(en cientos) que había contraído el virus se podía modelar mediante la función:

a. ¿Cuántas personas padecían la enfermedad cuando se comenzó a hablar de brote? b. Después de cuatro semanas y si las condiciones siguen igual, ¿cuántas personas

tendrán influenza? c. Si no se ataca el brote en su momento, ¿en cuánto tiempo es posible esperar mil infectados?;

¿qué medidas consideras se debieran tomar en una situación similar?

Actividades

f xe x( ) =

+ −22

1 21 1 12,


88 | Unidad 2




2. ¿En qué casos se dice que una ecuación es exponencial?, ¿cómo se resuelve?

3. ¿Qué características tiene una situación que implica crecimiento exponencial?,

¿y en el caso de decrecimiento exponencial?

4. ¿Cómo es la gráfica de una situación que implica crecimiento exponencial?,

¿y en el caso de decrecimiento exponencial?

5. Menciona dos ejemplos de situaciones que impliquen crecimiento exponencial y dos

para decrecimiento exponencial.





CRECIMIENTO EXPONENCIAL

ECUACIONES EXPONENCIALES

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

modela

se resuelven mediante

se relacionan con

IGUALACIÓN DE BASES LOGARITMOS



Mi progreso

1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales

a. 2x + 4 = 3 · 4x – 3 d. p2x + = q 0,75x – 1

b. 3 · 22x + 1 = 5 e. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189

c. a3x + = c x + 1 f. (216)x2 + x = (7776)x + 1

3. La medida de la presión atmosférica P en milibares a una altitud de x kilómetros sobre el nivel del mar,está dada por la ecuación P(x ) = 1035 · e–0,12x.

a. Si la presión en la cima de la montaña es de 449 milibares, determina la altura de la montaña. b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cima del Everest? (Altura 8000 metros).

4. Si la cantidad inicial del isótopo del polonio es de 50 mg y se sabe que la cantidad restante a los t díases A(t ) = 50 ·e–0,00495 t, ¿cuántos días han transcurrido, si ahora hay 34,32 mg del isótopo del polonio?

A. 95 días.B. 76 días.C. 365 días.D. 65 días.E. 150 días.

14

13

13


¿Cómo voy?U

nid

ad 2

2. La población de un continente, en millones de habitantes, está dada por la función: P( t ) = 10 · .

Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que la población de este continente se cuadruplique?

32

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t


Resolver ecuaciones exponenciales. 1 a 4 78 a 81

Resolver problemas asociados a crecimiento y/o decrecimiento exponencial.

2, 3 y 4 78 a 81


Cómo resolverlo

90 | Unidad 2


El contenido de una taza de café tiene una temperatura de 90 ºC yse coloca en una habitación cuya temperatura es de 21 ºC. Despuésde diez minutos, la temperatura del café es de 65 ºC.

a. Determina la función para la temperatura del café en términosdel tiempo t.

b. Calcula la temperatura del café después de treinta minutos.c. ¿En cuánto tiempo se habrá enfriado el café hasta la mitad de su

temperatura inicial?, ¿cómo lo calculaste?

Solución

Para resolver la situación planteada, se puede aplicar la ley de enfria-

miento de Newton, cuya expresión algebraica es: .

a. Al remplazar los datos T0 = 21 y Δ = 90 – 21 = 69 en la función, se tiene que:

k = 0,045

b. Los datos iniciales se mantienen, esto es, T0 = 21 y Δ = 90 – 21 = 69,pero ahora se remplazan en la función ya obtenida, con t = 30:

. Es decir, después de treinta minutos,

la temperatura del café es de 38,9 ºC.

c. La temperatura inicial del café era de 90 ºC, luego, la mitad corres-ponde a 45 ºC. Entonces, ahora T (t) = 45, y la incógnita es t.

y se obtiene: t = 23,5. Es decir, la temperatura

del café era de 45 ºC después de veintitrés minutos y medio.

ln ln e t2469

0045( ) = ( )− ,

T t T e kt( ) = + ⋅ −0 Δ

diez minutos después, la temperaturadel café era de 65 °C, es decir, t = 10 y T (10) = 65

como la base es e, se aplica logaritmonatural

luego, la función en este caso,

es T t T e t( ) = + Δ ⋅ −0

0045,

65 21 6910= + ⋅ − ⋅e k

4469

10= − ⋅e k

ln ln e k4469

10( ) = ( )−

T t e( ) = + ⋅ ≈− ⋅21 69 38 9

0045 30,

,

45 21 690045= + ⋅ − ⋅,e t

2469

0045= − ⋅e t,

, donde

t es el tiempo transcurrido,k > 0 es una constante y Δ esla diferencia de temperaturaentre el estado inicial y la delambiente T0.

T t T e kt( ) = + ⋅ −0 Δ

Recuerda que...

Taza de café caliente.



Un

idad

2

Actividades


a. En un hervidor, el agua alcanza los 100 ºC. Si la temperatura de la habitación es de 25 ºC ytranscurridos dieciocho minutos la temperatura del agua se reduce a 70 ºC, ¿cuál es su tempe-ratura después de media hora?

b. El motor de un automóvil opera a una temperatura de 88 ºC. Cuando se apaga el motor, seenfría de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, con una constante k = 0,341. ¿Cuál es eltiempo necesario para que el motor se enfríe a 32 ºC, si la temperatura del ambiente es de 16 ºC?

c. Un plato de lentejas con temperatura de 80 ºC se pone en la mesa de un comedor que está a

22 ºC. Su temperatura después de x minutos está dada por la función f (x ) = 22 + 58 · e–0,051x.

¿Cuánto tarda este plato de lentejas en enfriarse hasta llegar a una temperatura de 37 ºC?


3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi-miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

a. Se vacunó a la población para tratar el virus de la influenza. Se espera que la cantidad de

contagiados disminuya según el siguiente modelo: f (x ) = 150 · e–0,472 · x, donde x representa

los días transcurridos.

• ¿Cuál es el número de contagiados luego de 2 días?• ¿Cuál es el número de contagiados después de una semana?• ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que la cantidad de contagiados disminuya a la cuarta

parte? Explica.

b. Si se invierten P0

pesos a una tasa de interés anual R y el interés se capitaliza continuamente,

después de t años se dispone de P (t ) = P0· eRt pesos.

• Si se invierten dos millones de pesos a una tasa de interés anual del 6,9%, calcula el montoobtenido después de seis años, si el interés se capitaliza continuamente.

• ¿Después de cuánto tiempo se duplicará un capital, si se invierte a una tasa de interés anualdel 7,1% con capitalización continua?

• El dinero depositado en una financiera se duplica cada doce años. Esta financiera capita-liza el interés en forma continua. ¿Cuál es su tasa de interés?


92 | Unidad 2


Residuos electrónicos,

la nueva basura del siglo XXI

¿Cuántos computadores, celulares, agendas electróni-

cas y juegos electrónicos obsoletos se amontonan en los

hogares y oficinas de Chile? ¿Has pensado alguna vez

adónde fue a parar ese cargador que ya no servía,

adónde quedó tu primer celular?

El rápido avance tecnológico ha contribuido a la creciente

producción de aparatos electrónicos, cada vez de menor

tamaño y que en menor tiempo quedan obsoletos.

Por ejemplo, en Chile, en 1990 cerca de 10 mil personas

contaban con un teléfono móvil, y a fines del 2008 los

usuarios de estos equipos ya bordeaban los 16 millones.

Se calcula que desde la década del noventa hasta la actua-

lidad, más de 13 millones de estos aparatos estarían ya

obsoletos, a un peso promedio de 200 g cada uno, corres-

ponden a 2600 toneladas de basura electrónica.Fuentes:

Comisión Nacional del Medioambiente, www.conama.cl/rm/568/article-38368.html

Sociedad de Fomento Fabril, www.sofofa.cl/BIBLIOTECA_Archivos/Estudios/2008/EconomiaChile2008.pdf.

Consultados en julio de 2009.

Telefonía Móvil en Chile

AñoMiles de

abonados

1990 10

1991 36

1992 64

1993 85

1994 116

1995 197

1996 319

1997 410

1998 964

1999 2261

2000 3402

2001 5101

2002 6244

2003 7268

2004 9261

2005 10 570

2006 12 451

2007 13 955

2008 15 880

Contenedor colmado de computadores en desuso.


Actividades

1. Construye un gráfico a partir de los datos de la tabla. ¿Qué puedes concluir?2. Si se pudiera asociar una función a estos valores, ¿a qué tipo de función corresponde?, ¿por qué?3. Según estos datos, ¿cuántos abonados a la telefonía móvil habrá en el año 2015? Justifica.4. ¿Crees que se mantenga el ritmo de crecimiento de estos datos?, ¿por qué?

Investiguemos...

Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas:

1. Comparen las estimaciones del número de abonados a la telefonía móvil para el año 2015 que hizocada uno. ¿Qué pueden concluir?

2. Averigüen las proyecciones de población en Chile para los próximos años y compárenlos con la proyec-ción sobre la cantidad de celulares, ¿existe alguna concordancia?, ¿por qué?

3. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos:

a. ¿cuántos teléfonos celulares están en uso actualmente en tu familia?b. ¿cuántos celulares ya se han desechado en tu familia?c. en promedio, ¿cuánto tiempo han tenido cada uno de estos aparatos?, ¿por qué los desecharon?d. ¿qué han hecho con los teléfonos celulares obsoletos?

4. Comenten los resultados de la encuesta y calculen la cantidad de basura electrónica correspondienteal total de familias encuestadas. ¿Qué pueden concluir?

5. ¿Qué otros aparatos electrónicos forman parte de la basura electrónica?, ¿cuáles de estos aparatos serenuevan más rápidamente en la actualidad?, ¿por qué?

6. Comenten si los teléfonos celulares se pueden reciclar, averiguando, por ejemplo:

a. ¿qué materiales se pueden obtener de ellos?b. ¿Cuáles son las ventajas de reciclar?c. ¿Qué materiales peligrosos contienen, que no debieran mezclarse con la basura domiciliaria?d. ¿Qué se hace en Chile actualmente con la basura electrónica?

7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y unapropuesta de cómo podrían disminuir la basura electrónica generada en sus familias.


• ¿Qué aprendieron acerca de la basura electrónica?• ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué?• Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras.

¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó?


Un

idad

2


94 | Unidad 2





2. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación exponencial? Explica.

3. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución

de una ecuación exponencial?, ¿por qué?

4. ¿Qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se pueden modelar mediante el

crecimiento exponencial?

5. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función exponencial?

6. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial? Justifica.

7. ¿Cuáles son las principales aplicaciones del decrecimiento exponencial?

8. ¿Cómo se define el número e?




NÚMERO e ECUACIÓN EXPONENCIAL

RECORRIDO

FUNCIÓN INVERSA DOMINIO

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL FUNCIÓN LOGARÍTMICA

INTERÉS COMPUESTO



Evaluación


1. Si la función y = ax es creciente, entonces y = loga x es decreciente.

2. Las gráficas de las funciones f (x ) = 10x, g (x ) = log x son simétricas con respecto a la recta y = 10x.

3. La función p (z ) = 2z pasa por el origen cuando z = 0.

4. El recorrido de la función exponencial natural son los números reales.

5. La función f (x ) = ex – 1 es decreciente.

6. La intersección de la función f (x ) = 52 – x con el eje de las ordenadas es en el punto (–2, 0).

7. La función exponencial que pasa por el punto es .


1. La población de ranas en un pequeño estanque crece exponencialmente. La población actual esde 75 ranas, y la tasa de crecimiento relativo es de 16% anual.

a. Determina una función f ( t ) para la población después de t años.b. Determina la población proyectada después de 2 años, y después de 5 años.c. Determina el número de años necesarios para que la población de ranas alcance

a las 800 ranas.

2. El número de bacterias en un cultivo, está dado por la relación f (t ) = B · 2kt , con t medido en horas.

Si al cabo de 8 horas, el número de bacterias es veces lo que había al principio, ¿cuál es elvalor de k?

3. Si se añaden 10 gramos de sal a una cierta cantidad de agua, la cantidad c(x ) que no se disuelve

después de x minutos está dada por c (x ) = 10 · .

a. ¿Cuántos gramos de sal no se disuelven al cabo de 8 minutos?b. ¿Después de cuántos minutos quedan 5,12 gramos de sal?

4. Un automóvil que se compra hoy en D dólares, se estima que su valor comercial v(t ) al cabo de

t años está dado por v ( t ) = 0,88 · D · 0,85t – 1.

a. Si el costo original es de 10 000 dólares, ¿cuál será su valor comercial después de 3 años?b. ¿Cuántos años han transcurrido desde que se compró, si actualmente cuesta 3905 dólares?

4

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

f xx

( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

318

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

216

Un

idad

2


96 | Unidad 2


1. Si A = log x, B = log (1 – x) y C = log (x – x2)con 0 < x < 1, entonces se cumple:

A. A – B = CB. A – B + C = 0C. A + B = CD. B + C = AE. Ninguna de las anteriores.

2. El valor de x en e ln (5x – 5) = 5 es:

A. x = 0 B. x = eC. x = 2 y x = –2 D. x = 2 E. x = 5

3. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es:

A. x = –4 B. x = 4 C. x = 4 y x = –4 D. x = eE. Ninguna de las anteriores.

4. Una población de bacterias duplica su tamañocada 21 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará enincrementarse el número de organismos de106 a 109 bacterias?

A. 63 minutos. B. 126 minutos. C. 200 minutos. D. 209 minutos. E. Ninguna de las anteriores.

5. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacterias en unprincipio y después de una hora hay 450 bacte-rias. Según este crecimiento, ¿en cuánto tiempoel número de bacterias se triplica?

A. 90 minutos. B. 163 minutos. C. 180 minutos. D. 205 minutos. E. 227 minutos.

6. Cuando x toma un valor muy grande,f (x ) = 2 + 3 · 10 –x se acerca a:

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6E. Falta información.

7. Al despejar la variable x en la ecuación

y = ln(x – 1) se obtiene:

A. x = e2y + 1

B. x = e2y + 1

C. x = e2y

D. x = 2 ln (y – 1)

E. x = ln (y – 1)

8. El valor de log2 (3x + 3x + 1) es igual a:

A. xlog 3 + 2

B. xlog23 + 2

C. log23x + log

23x + 1

D. log232x + 1

E. 32x + 1

12



9. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a:

A. 3 · 3x + 1

B. 2 · 32x + 1

C. 4 · 3x

D. 32x + 1

E. Otro valor.

10. Al simplificar ln e x + elnx + 1 se obtiene:

A. 1 B. x + 1 C. 2x + 1D. ln(ex + 1)E. Otro valor.

11. ¿Cuál de las siguientes relaciones son verda-deras para la función exponencial f (x ) = ax

con a > 0 y a � 1?

I. El dominio de f (x ) es R. II. Si a > 1, entonces f (x ) es creciente.III. ax = az ⇔ x = z

A. Solo I B. Solo IIC. I y III D. II y III

E. I, II y III

12. Sea la función exponencial .¿Cuál es el valor de f (4)?

A. 15B. 25C. 60D. 1125E. 9000

13. Al resolver la ecuación ln(5 – 2x) = –2, el valorde x es:

A. 5 – e–2

B.

C.

D.


14. Al resolver la ecuación 2x · 42x – 1 = 84 – 2x elvalor que se obtiene para x es:

A. 10

B.

C.

D. – 4

E. 27

15. Un pollo asado se saca del horno cuando sutemperatura ha alcanzado 70 ºC y se coloca sobrela mesa de un comedor donde la temperaturaes de 26 ºC. Si la temperatura del pollo es de50 ºC después de quince minutos, ¿cuál será sutemperatura después de media hora?

A. 30 ºCB. 39 ºCC. 24 ºCD. 54 ºCE. 52 ºC

f tt( ) =

4500

6412

1411

52

5 – e–2

2

Un

idad

2


e –2

10

12


Vectores3

98 |Unidad 3


Vectores

Traslaciones

Homotecias

Coordenadas cartesianas en el plano y el espacio

Rectas y planos en el espacio

Ecuaciones cartesianas

Ecuaciones vectoriales

Conocer y utilizar la operatoriacon vectores.

Realizar traslaciones y homotecias de figuras.

Reconocer vectores en el plano y en el espacio.

Identificar y describir puntos, rectas y planos en el espacio.

Escribir la ecuación de la recta,vectorial y cartesiana.

Escribir la ecuación del plano,vectorial y cartesiana.


Vectores| 99

Conversemos de...

El lanzamiento del martillo es una competición de atletismo donde se lanza una bola de metalunida a una empuñadura mediante un cable de acero, denominado martillo. Gana quien lo arrojaa una mayor distancia. Esta prueba requiere tanto de fuerza como de destreza y velocidad, ya queel o la atleta debe balancear el martillo y, luego, girar con él para lanzarlo con la mayor veloci-dad posible. Se incorporó para hombres en el año 1900 en los Juegos Olímpicos de París y paramujeres en el año 2000, en Sidney.

1. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras el atleta gira con él antes del lanzamiento?,¿cómo las representarías?

2. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras está en el aire?, ¿podrías señalarlas en la imagen?¿Cómo las representaste?, ¿por qué?

Latin

stoc

k


100 | Unidad 3

¿Cuánto sabes?

1. Completa las siguientes afirmaciones.

a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo signo, el punto (x, y)

se encuentra en el ___________ cuadrante.

b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es positiva, el punto (x, y)

se encuentra en el ___________ cuadrante.

c. Las coordenadas del punto, que está 4 unidades a la izquierda

del eje de las ordenadas y a 3 unidades por encima del eje de las

abscisas, son _________.

2. Verifica que los puntos A, B, C y D indicados en la figura son vérticesde un paralelogramo. Justifica.

3. Escoge cuatro puntos, de tal manera que sean los vértices de un cuadrado,y cada punto pertenezca a un único cuadrante. Explica cómo lo hiciste.

4. Grafica las siguientes ecuaciones de la recta.

a. y = 2 c. y = –3x + 3

b. y = x + 7 d. y = – x + 2

5. Comprueba la falsedad de las siguientes proposiciones, dando un con-traejemplo. Guíate por el ejemplo.

Afirmación: La suma de dos números primos siempre es otro númeroprimo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su sumaes 10, y este número no es un número primo. Por lo tanto, la proposición es falsa.

a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar. b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par. c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1.

14

12


Y

X

A(–4, 2)

B(2, 10)C(20, 14)

D(14, 6)

O

Glosariocontraejemplo: ejemplo que con-tradice una afirmación.


6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones.

a. 3x + 2y = 14 b. x + y = 42 c. x – y = 3

x – y = 28 2x + 2y = 24 4x – 2y = 24


14

12

Vectores | 101

Un

idad

3


• El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendiculares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes es la siguiente:

Primer cuadrante (x, y) Segundo cuadrante (–x, y) Tercer cuadrante (–x, –y) Cuarto cuadrante (x, –y) (Considerando x > 0, y > 0).

El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X; el eje vertical se llama eje de las ordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas.

• Las transformaciones del plano modifican los puntos del plano siguiendo una regla o condicióndada. Las transformaciones isométricas conservan la forma y el tamaño de las figuras, demodo que la figura resultante es congruente con la figura inicial. Se clasifican en traslación,reflexión y rotación.

• Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades en cuanto a sus soluciones.• Si una de las ecuaciones

de la recta es una amplifi-cación de la otra, el sis-tema tiene infinitas solu-ciones, ya que las rectasson coincidentes.

• Si ambas rectas tienenigual valor de la pendien-te y no son coincidentes,el sistema no tiene solu-ción, ya que sus rectasson paralelas.

• Si se tiene que las rectasno son coincidentes niparalelas, el sistema tieneuna única solución, ya quesus rectas son secantes.

IIIY

O XIVIII


102 | Unidad 3

Vectores

Analicemos...

Como ya lo mencionamos, en el desarrollo de la prueba olímpicadel lanzamiento del martillo se manifiestan diversas fuerzas.

Observa el dibujo donde se ha representado la fuerza centrípetay la velocidad tangencial que interviene en la velocidad finaldel martillo.

Una forma de observar cuáles son las fuerzas de que depende lavelocidad final del martillo, es utilizar un diagrama en el que serepresenta la fuerza que actúa sobre él y su velocidad tangencialmediante flechas, lo que permite visualizar cuál es la fuerza resul-tante y cómo afecta, en este caso, a su velocidad de lanzamiento.

Cuando se representa una fuerza, no basta con señalar su magnitud.Una fuerza tiene también dirección, ya que cuando se aplica en di-recciones diferentes provocará distintos efectos. Es así como todafuerza se puede representar sobre un diagrama utilizando flechas.La dirección de la flecha será la dirección en que se ejerce la fuerzay su longitud debe ser proporcional a la magnitud de esta.

La fuerza, tal como la velocidad y el desplazamiento, es un vector.

Un vector se caracteriza por su:

• módulo: es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se repre-senta gráficamente por la longitud de la flecha.

• dirección: está dada por la orientación en el plano o en el espaciode la recta que lo contiene.

• sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en elextremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acciónse dirige el vector.

El vector se representa por un segmento orientado con origen en

A y extremo en B, se representa por el símbolo AB→

. La distancia

entre A y B representa gráficamente el módulo del vector AB→

.

• ¿Se puede decir que dos fuerzas son iguales, si las flechas quelas representan tienen igual longitud?, ¿por qué?

• ¿Se pueden aplicar dos fuerzas distintas, de modo que la fuerzaresultante sea nula? Justifica.

• ¿De qué depende la longitud de la flecha, en cada caso?, ¿y sudirección? Explica.

Glosariovector: toda magnitud en la que,además de la cantidad, hay queconsiderar la dirección y el sentido.

A

AB→

B


Vectores | 103

Un

idad

3Dos segmentos orientados representan al mismo vector si son para-lelos, tienen el mismo sentido y la misma magnitud o módulo sinimportar dónde está ubicado su origen. Si alguna de estas condi-ciones no se cumple, se dice que son distintos.

Se dice que dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y di-rección, pero sentido contrario.

En resumen

• Un vector es un objeto matemático caracterizable mediante una magnitud o módulo, una dirección y un sentido.

• Dos vectores son iguales solo si son, a la vez, paralelos, con igual sentido y con la misma magnitud o módulo.

• El vector 0→

corresponde a un vector, pero de magnitud 0, y sin dirección ni sentido.

1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos, en cada caso. Justifica.

a. b. c.

2. La figura ABCDEF es un hexágono regular. Determina:

a. dos parejas de vectores con igual sentido, dirección y módulo.b. Una pareja de vectores de distinta dirección pero con igual módulo.c. Una pareja de vectores con distinto módulo pero con igual dirección.

3. Determina cuáles de los siguientes vectores tienen igual módulo, en cada caso. Justifica.

a. b.

Actividades

B

C

DE

F

A


104 | Unidad 3

Operatoria con vectores

Analicemos...

Observa el siguiente mapa y sigue las trayectorias que han hechoPablo y Andrea, desde la Plaza de la Independencia. Pablo caminópor Aníbal Pinto hasta Chacabuco, y dobló hacia su derecha hastaColo-Colo. Andrea se fue por O’Higgins hasta llegar a Tucapel.

Al igual que la fuerza, el desplazamiento es un vector, ya que es ladiferencia entre una posición inicial y una posición final; luego tienemagnitud y también dirección y sentido. En cambio, la trayectoriatiene magnitud, pero no dirección. Para sumar dos o más trayecto-rias, basta sumar sus magnitudes. Pero, para sumar desplazamientos,su suma depende de la dirección de los desplazamientos. Observa.

Una forma de calcular el vector suma s→ = a→ + b→ es dibujar uno deellos, por ejemplo a→, y luego representar el vector b→ colocando elorigen de b→ en el extremo de a→. El vector resultante tiene su ori-gen en el origen de a→ y su extremo, en el extremo de b→.

Otra forma de realizar la suma de a→ y b→ es dibujar dos representantesde ambos vectores con un mismo origen, O, y completar el paralelo-gramo. El vector suma a→ + b→ es la diagonal de origen O de dicho para-lelogramo. Observa que para realizar la suma de b→ + a→, el parale-logramo correspondiente es el mismo; luego su vector suma también.

• ¿Quién recorrió más?, ¿por qué? • Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento de cada

uno. ¿Quién se desplazó más? Justifica.• Más tarde, Pablo y Andrea se reunieron en la Plaza Perú. ¿Cómo

se representa el desplazamiento de cada uno?, ¿cuál es su des-plazamiento total, en cada caso?

O´HigginsPlaza de la

Independencia

Plaza Perú

Chacabuco

Aníbal Pinto

Tucapel

Colo-Colo

Una diagonal de un paralelogramoes la recta que pasa por dos vértices opuestos.

Recuerda que...

Glosariotrayectoria: línea descrita en el planoo en el espacio por un cuerpo quese mueve.desplazamiento: cambio de la posi-ción de un cuerpo.

a→ b→

a→

a→

a→

s→ = a→

+ b→

a→ + b

→

b→

b→

b→

0


En resumen

• La suma de dos o más vectores es un vector. La adición de vectores es asociativa, conmutativa,tiene un elemento neutro y elemento inverso para cada vector.

• La resta de vectores, a→ – b→ , consiste en sumar a a→el vector opuesto de b→.

• Para representar la suma o resta de vectores, se pueden utilizar las diagonales de un paralelogramo como representación de ellas.

Vectores | 105

Un

idad

3La adición de vectores cumple las siguientes propiedades:

• Conmutativa: a→ + b→ = b→

+ a→. • Asociativa: a→ + ( b→

+ c→

) = ( a→ + b→ ) + c

→.

• Elemento neutro: a→ + 0→

= 0→

+ a→ = a→.• El módulo del vector resultante es menor o igual que la suma de

los módulos de los vectores. Es igual solo cuando los sumandostienen la misma dirección y el mismo sentido.

• Dado un vector a→, existe un vector opuesto –a→, de igual móduloy dirección, pero sentido contrario, de forma que al sumarlos seobtiene el vector 0

→o nulo. Esto es, a→ + (–a→) = 0

→.

Al igual que en el caso de los números, la sustracción de vectores esla operación inversa de la adición de vectores. Restar dos vectoresconsiste en sumarle al primero el vector opuesto del segundo:w→ – v→ = w→ + –v→.

Gráficamente, si se emplea el método del paralelogramo para la sus-tracción, la diagonal del paralelogramo obtenido que une los pun-tos extremos de los vectores representa la resta de los dos vectores.

1. Resuelve los siguientes problemas.

a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte desde 0, representa gráficamente elvector desplazamiento de su punta después de quince minutos, media hora, tres cuartos dehora y después de una hora.

b. Dos vectores de desplazamiento centrados en el origen tienen módulos iguales a 6 m y 8 m. ¿Cuál debe ser la dirección y sentido de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un módulo igual a 14 m, 2 m y 6 m? Representa gráficamente cada uno de los casos pedidos.

Actividades

w→ v→

w→ – v→v→ + w→

• El resultado de la adición y lasustracción de vectores es siem-pre un vector.

• La representación de la diagonal,como a→ – b→ o b→ – a→, dependerádel punto de aplicación del vectory de su extremo.

Pon atención


106 | Unidad 3

Vectores en el plano cartesiano

Analicemos...

Recuerda que en cursos anteriores conociste el plano cartesiano, quepermite representar la ubicación de puntos en el plano mediantesus coordenadas. Observa ahora la siguiente figura, en la que elorigen y extremo de un vector a→ en el plano cartesiano correspon-den a los puntos P(2, 3) y Q(12, 9), respectivamente.

Cuando el punto de aplicación de un vector está en el origen de un

sistema de coordenadas, su extremo coincidirá con un punto del

plano y se representa utilizando este punto, por ejemplo v→ = �x, y�.

En este caso se puede determinar su módulo utilizando el teorema

de Pitágoras. Entonces || v ||2 = x 2 + y 2, o bien || v→ || = .

Por otra parte, cuando el origen del vector no coincide con el origendel sistema de coordenadas, se puede calcular la diferencia, com-ponente a componente, entre el extremo y el origen del vectorpara obtener la representación cartesiana del vector.

Es decir, si v→ tiene su origen en el punto P2(x2, y2) y su extremo en

el punto P1(x1, y1), se puede calcular v→ = �x1 – x2, y1 – y2�. Por ejem-

plo, si el origen de a→ corresponde al punto (–5, 2) y su extremo

al punto (7, 3), entonces a→ = �7 – (–5), 3 – 2� = �12, 1�.

Y para determinar su módulo, se puede calcular la distancia entre

el origen y el extremo del

vector. Observa. Dado que

el punto E tiene coorde-

nadas (x1, y2), la medida de

los lados estaría dada por:

P2E = (x1 – x2) y EP1 = (y1 – y2).

x y2 2+

• Si a→ se trasladara de modo que su origen se situara en (0, 0),¿en qué punto se ubicaría su extremo?

• ¿Cómo se representa con números el vector a→?, ¿por qué?• ¿Cómo se puede calcular el módulo de a→? Explica.• En general, ¿cómo se representa un vector, si se conocen las

coordenadas de su origen y su extremo? Justifica.

• Existen diversas formas de re-presentar analíticamente un vec-tor, en este Texto utilizaremos lanotación �x, y�.

• Se utiliza || v→ || para simbolizar

el módulo de v→.

Pon atención

Teorema de Pitágoras: la suma delos cuadrados de las medidas de loscatetos es igual al cuadrado de lamedida de la hipotenusa.

Recuerda que...

9

3

2 12

Y

P

O

Y

B

O

D E

AC

P2(x

2, y

2)

P1(x

1, y

1)

X

x

y

Q

X

Y

X

a→

v→


Vectores | 107

Un

idad

3

P P x x y y1 2 1 22

1 22= −( ) + −( ) Glosario

forma analítica: se dice de los vec-tores cuando están representadosutilizando sus coordenadas carte-sianas, para distinguirlos de su repre-sentación geométrica.

• Un vector OP→

que va desde el origen del plano cartesiano alpunto P, se denomina vector posición y se representa por p→.Las componentes de p→ coinciden con las coordenadas delpunto P (px , py), dado que p→ = �px – 0, py – 0� = �px , py�.

• Si el origen y extremo de un vector a→ en el plano cartesiano

corresponden a los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), respectivamente,

entonces la forma analítica de ese vector está determinada por:

a→ = PQ→

= �x2 – x1, y2 – y1�.

• El módulo de un vector, que corresponde a su longitud o tamaño, se puede calcular mediante

la expresión: || v→ || = , si v→ = �x, y�.x y2 2+

En resumen

Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene que

||P1P2||2 = (x1 – x2)

2 + (y1 – y2)2, de donde

La adición de vectores en forma analítica se efectúa a través de suscoordenadas cartesianas, sumando componente a componente.Por ejemplo, al sumar los vectores a→ = �2, 3� y b→ = �–1, 2�, el vectorresultante es: �2, 3� + �–1, 2� = �2 + –1, 3 + 2� = �1, 5�.

1. Dibuja y, luego, calcula el módulo de los siguientes vectores centrados en el origen del plano ycuyo extremo es el punto:

a. A(3, 4) c. C(–9, –12) e. E(–1, 0)b. B(–7, 12) d. D(–13, 12) f. F(0, –4)

2. Si a→ = �–4, 5�, b→ = �6, –3� y c→ = �–2, –2�, grafica y determina v→ de modo que v→ = a→ + b→

– c→ . Luego,

calcula su módulo. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

3. Dados los vectores a→ = �3, –2�, b→ = �–1, 5� y c→ = �4, 6�, determina:

a. a→ − b→ + c→ c. a→ − b→ − c→ e. a→ + b→ + c→

b. b→ − c→ d. a→ + b→ − c→ f. a→ + c→

4. Sobre un cuerpo actúan las fuerzas f1

→= �6, 8�, f2

→= �–15, 20�, f3

→= �–4, –16�. Calcula:

a. la magnitud del vector resultante. b. la dirección del vector resultante.

Actividades

y2

y1

x1

x2

x2

– x1

y2

– y1

Y

P

Q

X

a→


Observa la siguiente figura:

108 | Unidad 3

Traslación de figuras planas

Una traslación es una transformaciónisométrica que desplaza todos lospuntos de una figura en igual mag-nitud, dirección y sentido.

Recuerda que...

Glosarioimagen bajo una transformación:elemento (punto, segmento o figura)obtenido, a partir de otro similar, me-diante una transformación del plano.

• Compara las medidas y la dirección de los trazos AA´, BB´, CCý DD´. ¿Qué puedes concluir?

• ¿Corresponde a una transformación isométrica? Justifica.• ¿Esta transformación se puede representar utilizando vectores?,

¿por qué?• Si se conocen las coordenadas de la figura ABCD, ¿cómo se

pueden obtener las coordenadas de A´BĆ´D´? Explica.

Analicemos...

A una figura dada se le puede aplicar una traslación, que desplazatodos los puntos de una figura en igual magnitud, dirección y sen-tido. Luego, tal como las fuerzas y los desplazamientos, se puedeutilizar un vector para representarla, el que se suma a los vectoresposición de cada punto.

Para obtener la imagen bajo una transformación de una figura (la

imagen de una figura bajo la traslación), basta con sumar el vector

de traslación, en este caso, a cada uno de los vértices de la figura,

coordenada a coordenada. Por ejemplo, la traslación del trián-

gulo cuyos vértices son A(–4, 4), B (–2, 2) y C (–3, 6), dada por el

vector v→ = �2, 1�, es:

A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5)

B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3)

C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7)

La traslación anterior se denota como T→

�2, 1� de los puntos del

ΔABC. En la imagen se muestra la traslación del triángulo ABC.

C

D

A

BC´

D´

A

B

7

6

2

1

B

A

C´

B

A

C

–2 2 4–4

v→


Vectores | 109

Un

idad

3

Al igual que en el caso de las fun-ciones, la inversa de una traslaciónT→

es aquella traslación que deshacelas transformaciones que realiza T

→.

Pon atención

Composición de traslacionesSi al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, se hablade composición de traslaciones.

Observa la figura:

Como se puede observar,

ΔA’B’C’ se obtiene aplicando

T→

1 �10, 2� a los vértices del

ΔABC. En cambio, ΔA’’B’’C’’se obtiene aplicando T

→2 �1, –6�

a los vértices del ΔA’B’C’.

Entonces, para representar la traslación del ΔABC al ΔA’’B’’C’’, secalcula la composición de las traslaciones; esto es, si T

→1 �x1, y1� y

T→

2 �x2, y2�, entonces T→

2 º T→

1 = �x1 + x2, y1 + y2�.

En este caso, T→

2 º T→

1 = �10 + 1, 2 + –6� = �11, –4� representa la

traslación del ΔABC al ΔA’’B’’C’’.

En resumen

• La traslación de una figura en el plano cartesiano da origen a una nueva figura, que es congruente con la anterior; es decir, mantiene la misma forma y medidas.

• Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada.

• Si T→

�x, y� es una traslación en el plano cartesiano, entonces T –1→

�x, y� es su traslación inversa,

y corresponde a la trasformación que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido

contrario. O sea, T –1→

�x, y� = T→

�–x, –y�.

1. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0), (0, 2), (–3, 0), (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices delcuadrilátero si se aplica una traslación de vector �3, –2�?

2. Considera dos circunferencias de igual radio, una con centro O (–2, 3) y la otra con centro A (–1, 1).Determina el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O a la posición con centroen A. Luego, determina el vector de la traslación opuesta a la realizada. ¿Qué puedes concluir?

3. Determina las traslaciones inversas de cada una de las siguientes traslaciones:

a. T→

1 �2, 3� b. T→

2 �–3, 4� c. T→

3 �–6, –7� d. T→

4 �0, –4�

Actividades

Glosariocomposición: de transformaciones,dadas dos transformaciones S

→, T

→,

es otra transformación, T→

º S→

, queresulta de aplicar sucesivamente lasanteriores. Esto es: (T

→º S

→) �x, y� = T

→(S

→�x, y�).

Observa que primero se aplica S→

ya su imagen se aplica T

→.

–6 –4 –2 2 4 6 8 10–2

2 T1

T2

4

–4

–6

–8

C

A

A

B´

C´

C´

A´

B´

B


110 | Unidad 3

Producto por un escalar

Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas, una se representa medianteel vector f

→= �2, –3�, y la otra por el vector g

→= �–6, 9�.

distributividad

asociatividad

elemento neutro

propiedad absorbente del cero

Al dibujar en un plano cartesiano los vectores f→

y g→

seguramentepudiste observar que tienen la misma dirección, aunque no tienenel mismo sentido ni la misma magnitud.

Además, para calcular el triple de la fuerza f→

, se calcula el triple decada una de las coordenadas. Esto es: 3 · f

→= 3 · �2, –3� = �3 · 2, 3 · –3� = �6, –9�

Es decir, tanto gráfica como algebraicamente, el vector resultanteaumenta al triple su módulo, manteniendo su dirección y sentido.

En general, cuando se calcula el producto por un escalar de un vec-tor, se obtiene un nuevo vector, que conserva la dirección del vectororiginal, pero cuya magnitud y sentido cambian según el valor porel cual fue multiplicado. Observa.

Para graficar el mismo vector, pero

multiplicado por –1, se puede calcular

–1 f→

= –1 · �2, –3� = �–1 · 2, –1 · –3� = �–2, 3�

Observa la imagen donde se represen-

taron f→

y –f→

Propiedades del producto por un escalar

Dados los escalares λ y μ, y los vectores a→ y b→

, se cumplen las siguientes propiedades:

1. λ (a→ + b→

) = λa→ + μb→

2. (λ + μ)a→ = λa→ + μa→

3. λ (μa→) = (λμ)a→

4. 1a→ = a→

5. 0a→ = 0→

Glosarioproducto por un escalar: aplicado aun vector a→, es otro vector cuyamagnitud es el producto del escalarpor la magnitud de a→, cuya direc-ción es la de a→y cuyo sentido es elmismo u opuesto, según el escalarsea positivo o negativo.escalar: elemento de un conjuntonumérico; se usa, en particular, cuan-do se le quiere distinguir claramentede los vectores.

Analicemos...

• Dibuja un plano cartesiano y traza los vectores f→

y g→

, partiendodel origen. ¿Qué tienen en común? Explica.

• Representa en el mismo plano una fuerza que sea el triple de lafuerza f

→. ¿Cuál es su representación algebraica?, ¿por qué?

• ¿Cuál es el valor de λ tal que se cumpla g→

= λ · f→

? Justifica.

Y

X–f→

f→


Vectores | 111

Un

idad

3

| λ | se refiere al valor absoluto de un número real.|| a→ || se refiere al módulo de un vector.

Recuerda que...Ejemplo Dados los vectores a→ = �–6, 2� y b

→= �3, –4�, ¿cuánto resulta 5(a→ + b

→)?

5(a→ + b→

) = 5a→ + 5b→

= 5�–6, 2� + 5�3, –4�= �–30, 10� + �15, –20� = �–30 + 15, 10 + –20� = �–15, –10�

En resumen

• El producto de un escalar λ por un vector a→, de coordenadas �x, y�, es otro vector dado porλa→, y se define como: λa→ = λ�x, y� = �λx, λy�. Se dice que λa→ es un vector ponderado de a→.

• Observa que dos vectores paralelos se pueden expresar uno como ponderado del otro:

a→ = λb→

o bien b→

= μa→.

• El vector ponderado λa→ tiene las siguientes características:

• Mantiene la dirección de a→.

• || λ · a→ || = | λ | · || a→ ||.• Si λ > 0, el vector mantiene el sentido de a→. Si λ < 0,

el vector cambia de sentido.

• Si λ = 0, entonces λa→ = 0→

(vector nulo).

1. Copia en tu cuaderno los vectores u→, v→ y w→. Luego, representa:

a. u→ + v→ d. v→ + 2w→

b. 3u→ e. 2u→ – v→ – w→

c. 2u→ – v→

2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a. 3�2, –1� – 3�2, 3� c. �5, –2� – �3, 1� + 2�6, 0�b. –2�7, –3� + 5�0, 5� d. 5�3, –2� – 4�–1, 0� + 2�–1, –3�

3. Dado el producto de μa→, con a→ � 0, ¿qué características cumple el producto, en cada caso? Justifica tu respuesta con la representación gráfica correspondiente.

a. ¿si μ > 1? d. ¿si μ = 0?b. ¿si μ = 1? e. ¿si μ = –1?c. ¿si 0 < μ < 1? f. ¿si μ < –1?

Actividades

u→

v→

w→

b→

b→

a→

a→

a→

= λb→


112 | Unidad 3

Homotecia

En cursos anteriores aprendiste que las transformaciones isométricasson transformaciones geométricas que preservan la forma y eltamaño de las figuras; sin embargo, no todas las transformacionesgeométricas son así. Por ejemplo, en la siguiente figura se puedeobservar el cuadrilátero KLMN, de vértices K(10, –2), L(4, –8),M(12, –12) y N(14, –6), y sus respectivas imágenes: el cuadriláteroK1L1M1N1 y el cuadrilátero K2L2M2N2.

En la figura anterior puedes observar que las imágenes bajo latransformación tienen la misma forma original, las medidas de susángulos se mantienen, pero no así las medidas de sus lados; esdecir, son semejantes, ya sean de menor o mayor tamaño.

En cada caso, la imagen resultante se puede construir con ayuda de

rectas que pasan por el mismo punto O. Observa que al comparar

los vectores correspondientes (por ejemplo, OM→

con OM→

1, OL→

con

OL→

1, etc.) se obtiene que la razón de sus módulos es una constante.

La imagen bajo una transformaciónes un elemento (punto, segmento ofigura) obtenido, a partir de otrosimilar, mediante una transforma-ción del plano.

Recuerda que...

Analicemos...

• ¿Cómo describirías los cuadriláteros obtenidos, respecto deloriginal? Explica.

• ¿Corresponde, en cada caso, a la imagen bajo una transformaciónisométrica?, ¿por qué?

• Determina los pares ordenados correspondientes a los vérticesde cada cuadrilátero. ¿Qué puedes concluir?

• Calcula la medida de los lados de cada cuadrilátero. ¿Existe unaproporción entre ellos? Explica.

M1

L1

K1

N1

O

Y

XK2

L2

M2

N2

N

M

L

K


Cuando esto ocurre, se dice que una de las figuras es la imagen dela otra bajo una homotecia. La homotecia está definida por elpunto O, que es el centro de la homotecia, y un número k, que esla razón entre el módulo de los vectores correspondientes en esatransformación. Se representa como H(O, k). El número k es dis-tinto de cero, ya sea positivo o negativo.

Si la homotecia tiene una razón k, se puede concluir que la magni-

tud del vector OA´→

es | k | veces igual a la magnitud del correspon-

diente vector OA→

.

En caso que la homotecia tenga razón negativa, (k < 0), el vector OA´→

está en la misma dirección, pero en sentido contrario al vector OA→

.

Ejemplo Considera el ΔABC, de coordenadas A(2, –4), B (0, –2) y C (6, 3), yel origen O (0, 0). Encuentra su imagen bajo la homotecia H (O, –2).

Para aplicar una homotecia es necesario determinar primero los

vectores desde el centro de homotecia O a cada uno de los puntos.

En este caso, ya que el centro de la homotecia está en el origen

O(0, 0), los vectores son OA→

= �2, –4�, OB→

= �0, –2�, OC→

= �6, 3�. A estos vectores se les aplica la homotecia; luego, OA´

→= �–4, 8�,

OB→

= �0, 4�, OC→

= �–12, –6�.

Entonces, su imagen es el ΔA’B’C’ de coordenadas A’(–4, 8), B ’(0, 4),C’(–12, –6). Observa que la proporción que existe entre los trián-gulos corresponde a la razón de homotecia.

Se puede verificar que dos figuras son homotéticas si, al unir me-diante rectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estasrectas concurren en un único punto que es el centro de homotecia O.

Composición de homotecias

Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composi-ción de homotecias; es decir, se puede aplicar una homotecia a laimagen de la homotecia de una figura.

La composición de homotecias, cuando su centro de homotecia esel mismo, es una homotecia con igual centro, y cuya razón corres-ponde al producto de las razones de las homotecias originales.

Un

idad

3

Vectores | 113

Glosariohomotecia: transformación en elplano con respecto a un centro O,que permite obtener una figura se-mejante a otra figura dada.homotético(a): elemento (punto,segmento o figura) que es imagende otro similar bajo una homotecia.

Cuando la homotecia tiene centroen el origen de coordenadas, dadoun punto A(x, y) y su homotéticoA’(x’, y’), se cumple que la relaciónque hay entre ellos es la siguiente:x’ = kx e y’ = ky, donde k es larazón de la homotecia.

Pon atención


114 | Unidad 3

EjemploDado los puntos A(3, 7) y O(2, 5) y las homotecias H1(O, –2) yH2(O, –1,5), determina el homotético de A respecto de la com-posición de homotecias H2 º H1

.

• Se obtiene el vector OA→

: OA→

= �3 – 2, 7 – 5� = �1, 2�.• Se aplica primero la homotecia H1; luego,

OA’→

= –2 · �1, 2� = �–2, –4�.• Se aplica la homotecia H2 al vector OA’

→; luego,

OA’’→

= –1,5 · �–2, –4� = �3, 6�.

Luego, A’’ se obtiene de O→

+ OA’’→

= �2, 5� + �3, 6� = �5, 11�. Es decir,el homotético de A es el punto (5, 11).

A

OA

O

OA

A

A´

En resumen

• Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la forma de la figura, perosí puede cambiar su tamaño y orientación.

• Una homotecia de centro O y razón k, con k � O transforma un vector OP→

en un vector OP’→

,

tal que OP’→

= k · OP→

. Se escribe H(O, k). Algunas de sus características son:

• las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales. • los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. • si la razón es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razón es

negativa, la homotecia invierte las figuras.

• La composición de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y su razón corres-ponde al producto de las razones; esto es, si H’ (C, k’) y H (C, k), H´ º H = H1, donde H1 (C, k · k’).

1. Considera un cuadrilátero ABCD de coordenadas A (3, –3), B (6 , –6), C (10, 1) y D (4, 3) y el origenO (0, 0). Encuentra su figura homotética, respecto de:

a. H (O, –1) b. H (O, )2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es E. Haz el dibujo

en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas:

a. H1 º H2

, con H1(E, 3) y H

2(E, ) b. H3 º H4

, con H3(A, 2) y H

4(A, – )3. Verifica si el área de una figura homotética es igual al producto del área de la figura

original por el cuadrado de la razón de homotecia.

12

32

32

Actividades


Vectores | 115

Un

idad

3


Usando el programa Regla y Compás, aprenderás a analizar gráficamente el concepto de homotecia.

Ingresa al sitio web: www.educacionmedia.cl/web, escribe el código 11m4115 y pulsa la flechaverde. Al hacerlo, se abrirá una nueva página. Haz clic en el botón Descarga y Webstart que estáubicado en el costado izquierdo de la pantalla. Luego selecciona el sistema operativo que tienetu computador y presiona Download. De este modo habrás descargado el software. Instálalo yluego realiza las siguientes actividades:

• Con el comando vector construye tres o cuatro vectores cuyo punto de origen sea el mismopara todos ellos.

• A continuación, selecciona del menú Macros, la opción Vectores y luego Vect. mult. por unreal (dlog).

• Selecciona uno de los vectores, y después marca el punto de origen del vector.• Escribe la razón de homotecia en un cuadro que aparecerá más abajo (no muy grande, por

ejemplo 2,0 o 2,5), y presiona enter. Aparecerá en pantalla un segundo vector con el mismoorigen y dirección que el primero.

• Repite el paso anterior para cada uno de los demás vectores, cuidando de multiplicar todoslos vectores por el mismo factor. La razón de homotecia será el factor de multiplicación, yaque al indicar el origen del vector, el segundo vector toma como origen este mismo punto.

• Finalmente, presiona el botón mover, o selecciona esta opción del menú Edición. Puedesmover tanto el centro de homotecia (el origen de los vectores que construiste) como lospuntos finales de los vectores.Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen:

Utilizando Regla y Compás, desarrolla las siguientes actividades:

1. Comprueba que la razón de homotecia se mantiene, independientemente de mover el origeno cualquiera de los puntos de la figura original.

2. Considera ahora una homotecia con un factor k negativo, ¿qué características tiene la imagen resultante respecto de la original? Explica.


116 | Unidad 3




2. ¿Qué es la magnitud de un vector?, ¿y el sentido?

3. ¿Cuál es la diferencia entre una traslación y una homotecia?

4. ¿Cómo se suman dos vectores cuando están representados gráficamente? Explica.

5. ¿Qué características tiene una homotecia si k > 1?

6. El producto por un escalar, ¿mantiene el sentido del vector?, ¿por qué?




VECTORES

su

DEFINICIÓN APLICACIONES

puede ser en

permite realizar

REPRESENTACIÓN

OPERATORIA

ADICIÓN SUSTRACCIÓN PRODUCTO POR

UN ESCALAR

su

requiere de

tiene

GRÁFICA FÍSICA

MAGNITUD

DIRECCIÓN

SENTIDO

ANALÍTICA

tales como

GEOMETRÍA

TRASLACIÓN HOMOTECIAFUERZA

VELOCIDAD

DESPLAZAMIENTO

para representar para representar


Mi progreso

Un

idad

3

1. Utilizando los vectores que determinan los vértices y el centro del hexágono regular de la figura, hallalos vectores solución de las siguientes operaciones:

a. AB→

+ OC→

b. FA→

+ ED→

c. AO→

+ AB→

d. AO→

– OC→

2. Dados los vectores a→

= �3, –2� y b→

= �–1, 5�, determina:

a. 3a→

– 2b→

b. –a→

– b→

c. 5a→

+ 2b→

d. || a→ + 3b→||

3. Dado el triángulo ABC de vértices A(4, 2), B(7, 2) y C(7, 5), determina su imagen si se aplica:

a. una traslación T→

�–3, 1�. b. una homotecia H(O, –2).

4. Los vectores de la figura tienen su origen en el centro de un cuadrado y el extremo en un vértice o enel punto medio de uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta?Explica tu decisión en cada caso.

A. a→

– b→

= –2c→

B. a→

+ b→

= 2 d→

C. || a→

– d→

|| = || b→

+ c→ ||D. c→ – d

→= b

→

E. || c→ + a→

|| = || b→

+ d→

||


¿Cómo voy?

Vectores | 117

a→

d→

c→b

→

E D

A B

OF C


Operar con vectores representados gráficamente. 1 y 4 102 a 105

Operar con vectores representados analíticamente. 2 106, 107, 110 y 111

Aplicar traslaciones y homotecias a una figura. 3 108, 109, 112 a 114


118 | Unidad 3

Producto punto

En Física, se define el trabajo mecánico como el producto entre lafuerza aplicada a un cuerpo y su desplazamiento. Mientras mayorsea la fuerza aplicada y/o el desplazamiento logrado, mayor serátambién el trabajo realizado.

Ya que tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores, el tra-bajo depende de las direcciones en que se aplica la fuerza y en quese produce el desplazamiento; en particular, depende del ánguloque se forma entre estos vectores, y se calcula mediante la expresión:

W = || F→

|| · || d→

|| · cos(α)

Analicemos...

• Considerando la expresión que define el trabajo mecánico, ¿W corresponde a un valor numérico o a un vector?, ¿por qué?

• Dada una fuerza aplicada a un cuerpo y su correspondientedesplazamiento, ¿qué condiciones deben cumplirse para queel trabajo realizado sea máximo? Explica.

• ¿Es posible que se aplique fuerza a un cuerpo y este cuerpo sedesplace, pero que el trabajo sea nulo? Justifica.

La operación que permite obtener el trabajo mecánico W a partirde la fuerza F

→y el desplazamiento d

→, se conoce como producto

punto o producto escalar.

El producto punto de dos vectores es un número y dicho productoserá un número positivo, nulo o negativo, según si el ángulo for-mado por los dos vectores es agudo, recto u obtuso (0 � α � 180º).También el producto punto es nulo si alguno de los factores es nulo.

Si aplicamos esto a la definición de trabajo mecánico, el trabajoobtenido es: máximo cuando la fuerza aplicada y el desplaza-miento tienen la misma dirección y sentido, positivo si el ángulo α(que forman sus vectores) cumple que 0 < α < 90º, nulo cuando susvectores son perpendiculares, y negativo si el ángulo α cumple que90º < α � 180º.

EjemploCalcula el producto punto de los vectores si || a

→|| = 3, || b

→|| = 8 y

α = 60º.

a→

· b→

= || a→

|| · || b→

|| · cos(α) = 3 · 8 · cos(60º) = 12.

Glosarioproducto punto: se dice de dosvectores, a→ y b→, al número realigual a || a→|| · || b→|| · cos(α), don-de α es el ángulo (entre 0 y 180º)que forman.

b→

a→

α


Vectores | 119

En cambio, si dos vectores en el plano están representados enforma analítica, digamos a

→= �a1, a2� y b

→= �b1, b2�, el producto

punto se calcula multiplicando las coordenadas de ambos vectores,componente a componente, y sumando sus resultados, es decir:a→

· b→

= �a1, a2� · �b1, b2� = a1 b1 + a2 b2.

EjemploDados a

→= �2, –1� y b

→= �3, 4�, calcula a

→· b

→y b

→· a

→.

¿Qué puedes concluir?

• a→

· b→

= �2, –1� · �3, 4� = 2 · 3 + (–1) · 4 = 6 – 4 = 2.

• b→

· a→

= �3, 4� · �2, –1� = 3 · 2 + 4 · (–1) = 6 – 4 = 2.

En general, el producto punto es conmutativo, es decir: a→

· b→

= b→

· a→

.

Un

idad

3

1. Calcula el producto punto de los vectores, considerando los datos dados.

a. || u→

|| = 5; || v→

|| = 7; α = 30º c. || u→

|| = ; || v→

|| = 1; α = 45º

b. || u→

|| = 7; || v→

|| = 7; α = 90º d. || u→

|| = 10; || v→

|| = 3; α = 180º

2. Para cada par de vectores siguientes, calcula || a→

||, || b→

|| y | a→

· b→

|. Luego, verifica que se cumple que

| a→

· b→

| � || b→

|| · || a→

||, en cada caso. ¿Qué debe ocurrir para que se cumpla | a→

· b→

| = || b→

|| · || a→

||?

a. a→

= �3, 2� y b→

= �5, 1� c. a→

= �–2, 0� y b→

= �8, 2�

b. a→

= �4, 7� y b→

= �3, –1� d. a→

= � , � y b→

= �–2, 3�

3. Analiza qué ocurre con el producto punto de a→

y b→

si:

a. a→

aumenta y b→

se mantiene constante. c. a→

y b→

son perpendiculares.

b. a→

y b→

aumentan. d. a→

y b→

son paralelos.

23

12

35

Actividades

En resumen

• El producto punto de dos vectores está dado por la expresión a→

· b→

= || a || · || b || · cos(α), con α: ángulo comprendido entre ambos vectores.

• O bien, si a→

= �a1, a2� y b→

= �b1, b2�, el producto punto se calcula:

a→

· b→

= �a1, a2� · �b1, b2� = a1 b1 + a2 b2.

• Para todos los vectores a→

, b→

, se cumple que: | a→

· b→

| � || b→

|| · || a→

||.• Si a

→y b

→son perpendiculares, a

→· b

→= 0.


120 | Unidad 3

Ecuación vectorial de la recta en el plano

Viviana representó en su cuaderno los siguientes vectores en unsistema de coordenadas:

�–2, 1�; �2, –1�; �0, 1�; �4, –2�; �1, –0,5�; �3, 1,5�

Sebastián observó que, en algunos casos, parecía que los vectoresestuvieran sobre una misma recta.

d→

P

O

L

Glosariovector director: se dice de un vec-tor que es paralelo a otro elemento,como una recta o un plano, demodo que indica su dirección.

Analicemos...

• Dibuja los vectores anteriores en tu cuaderno. ¿Se cumple lo quedice Sebastián?, ¿por qué?

• Determina cuáles de ellos pueden representarse uno como vectorponderado del otro. Luego, decide si se cumple la frase: “Si uno omás vectores pueden escribirse uno como vector ponderado deotro, entonces pertenecen a la misma recta”. Justifica tu respuesta.

• ¿Se pueden representar rectas en el plano, utilizando vectores ensu forma analítica?, ¿por qué?

• ¿Cómo es la ecuación vectorial de la recta que contiene a unvector dado? Explica.

• Dados dos puntos distintos, sepuede obtener una única rectaque pase por los dos puntos.

• Todo punto en el plano cartesianotiene coordenadas (x, y).

Pon atención

Para analizar si lo que observó Sebastián es correcto, podemos uti-lizar nuestros conocimientos. Sabemos que dos puntos determi-nan una recta en el plano. Si se considera que uno de estos puntoses el origen, y el otro es el correspondiente al extremo del vector,entonces basta un vector para determinar una recta, que tiene lamisma dirección del vector y pasa por el origen.

En un plano cartesiano se puede representar una recta L, que pasa

por el origen O(0, 0) y con vector director d→

= �d1, d2� paralelo a la

recta L. Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo

P(x, y), entonces siempre existe un número real λ, tal que

OP→

= λ · d→

. Observa:

Luego la ecuación vectorial de la recta L, expresada en coorde-nadas, es �x, y� = λ�d1, d2�.

La colinealidad de puntos se puede

expresar y verificar vectorialmente

por medio de la ponderación. Si M,

N y P son tres puntos colineales,

entonces existe algún número real

λ, tal que MP→

= λ · MN→

.

Recuerda que...

MN

P


Vectores | 121

Un

idad

3Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, además del vector di-rector es necesario determinar un vector que indique la ubicaciónde la recta en el plano.

En este caso, para representar la recta L con vector director d→

, pero

que pasa por el punto P0(x0, y0), se considera que si P es un punto

cualquiera de la recta, de coordenadas P(x, y), existe un número

real λ, tal que P0P→

= λ · d→

, y por lo tanto: OP→

= OP0

→+ λ · d

→.

Utilizando el vector posición p0→ de P0 y considerando el vector p→

de P, resulta: p→ = p0→ + λ · d

→.

Además, si d1 y d2 son las componentes del vector d→

, la ecuación

vectorial de la recta, expresada en coordenadas es:

�x, y� = �x0, y0� + λ �d1, d2�.

EjemploDados los puntos A (2, 3) y B (5, 2), determina la ecuación vecto-rial de la recta que pasa por ellos.

Se utiliza el vector b→

como vector posición de la recta. Luego, se

calcula su vector director d→

, que corresponde al vector AB→

,

d→

= a→

– b→

= �2, 3� – �5, 2� = �–3, 1�.

De esa manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la rectacomo: �x, y� = �5, 2� + λ�–3, 1�. O bien, como: �x, y� = �5 – 3λ, 2 + λ�con λ � IR. También se puede usar a

→como vector posición.

Veamos ahora qué sucede si λ = . Al remplazar en la ecuación:

Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB

está dado por: , lo que coincide con el punto

correspondiente a

2 52

3 22

72

52

, ,+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

a c b d,

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 2

x y, – , – ,= + = + =5 3 2 532

212

10λ λ

−− +=, ,

32

4 12

72

52

Glosariovector posición: se dice del vectorque indica la posición de otro ele-mento, como una recta o un plano.

Una recta que no pasa por el ori-gen, L: p

→= p

→0 + λ d

→, es una

traslación en el vector p→

0 de la rectap→

= λ d→

.

Pon atención

El punto medio de un segmento,cuyos extremos son (a, b) y (c, d)está dado por:

Y

XO

P0

Pp0→

p→d

→

λ = .12

Recuerda que...

a c b d,

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 2


122 | Unidad 3

Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta espoder obtener ecuaciones para un segmento específico de la rectapor medio de una restricción del parámetro λ.

Por ejemplo, la ecuación �x, y� = �2, –1� + λ�1, 2�, con 1 � λ � 3 des-cribe el segmento de recta que une los puntos (3, 1) y (5, 5)(obtenidos al remplazar por el mínimo y el máximo valor delparámetro λ).

1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2).

2. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? En casoafirmativo, ¿cuál es su ecuación vectorial?

3. Dado el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4), ¿cuál es el punto medio del segmento PQ?

4. Dada la ecuación vectorial de la recta �x, y� = �1, 2� + λ�4, 8�, determina tres puntos que pertenezcana la recta.

5. ¿A qué recta pertenecen los puntos A(–1, –4), B(1, 1) y C(0, 5)? Justifica.

A. L: �x, y� = �1 + 2λ, –1 + 3λ�B. L: �x, y� = �–1 + 2λ, 3 – 2λ�C. L: �x, y� = �2 – λ, –1 + 2λ�D. L: �x, y�= �–2 – λ, –3 + 2λ�E. Ninguna de las anteriores.

6. Determina la ecuación vectorial de una recta paralela a �x, y� = �2, –5� + λ�1, –4�; luego, grafica ambas rectas.

Actividades

En resumen

• La expresión p→

= p0→

+ λ d→

recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta o ecuación de la

recta en la forma vectorial. p0→

es el vector posición de la recta, cuando no pasa por el origen

(que no es un vector ponderado de d→

), d→

es el vector director, paralelo a la recta, y λ es un

parámetro que, al tomar diferentes valores, nos entrega distintos puntos que forman la recta.

Glosarioparámetro: variable que puede to-mar diferentes valores, condicionandoasí los del resto de las variables.


Vectores | 123

Un

idad

3

Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana

Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determi-nada por un punto y una dirección; por consiguiente, por un puntode la recta y un vector paralelo a ella.

Considera una recta L en el plano, cuyo vector director es d→

= �6, 4�y A (5, 7) un punto perteneciente a ella.

Remplazando valores en la ecuación vectorial, se pueden ubicar enel plano cartesiano dos puntos pertenecientes a la recta y, luego,graficarla. Observa:

Primer paso: determinar la ecuación vectorial de la recta. Ya que la recta L pasa por el punto A, este es el vector posición:�x, y� = �5, 7� + λ�6, 4� con λ, número real.

Segundo paso: para determinar un punto B se asigna un valorcualquiera a λ y se remplaza en la ecuación. Por ejemplo, si λ = 2,el punto B resultante es:

B = (5, 7) + 2 · (6, 4) = (5, 7) + (12, 8) = (17, 15)

Tercer paso: se grafican los puntos A y B y se traza la línea quepasa por ellos para obtener la recta L.

Cuarto paso: se calcula la ecuación cartesiana de la recta dados un

punto de ella y su pendiente. La pendiente m se calcula a partir de

las coordenadas del vector director �d1, d2� como m = .

y – 7 = · (x – 5).

Ordenando, se obtiene 2x – 3y + 11 = 0.

46

d2

d1

Analicemos...

• ¿Cuál es la ecuación vectorial de L? Explica.• ¿Cómo se obtiene un punto B que pertenezca a la

recta L? Justifica. • ¿Cómo se obtiene la ecuación cartesiana de la recta L? Explica.• Conocidos los puntos A y B, ¿se puede graficar la recta L?,

¿por qué?• En general, ¿cómo se grafica una recta en el plano, a partir de

su ecuación vectorial?

10

12

14

16

8

6

4

2

–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

A

L

B

–2

d→

La ecuación cartesiana de la recta,dada su pendiente m y un punto deella (x0, y0) es: y – y0 = m · (x – x0)

Recuerda que...


124 | Unidad 3

Ejemplo 1Dada la ecuación vectorial de la recta: �x, y� = �5, 2� + λ �3, 1�, de-termina la correspondiente ecuación cartesiana.

Otra forma de obtener la ecuación cartesiana correspondiente esigualar componente a componente y despejar el parámetro λ encada una de estas ecuaciones:

x = 5 + 3λ ⇒ λ =

y = 2 + λ ⇒ λ = y – 2

Luego, se igualan ambos parámetros y se despeja y:

= y – 2

x – 5 = 3y – 6

y = x + (Ecuación cartesiana de la recta)

Ejemplo 2Dada la ecuación cartesiana de la recta: 4x + 3y + 7 = 0, determinala correspondiente ecuación vectorial.

Primer paso: para obtener el vector posición se requiere determinarun punto que pertenezca a la recta. Por ejemplo, se puede calcular elvalor de y remplazando en la ecuación de la recta un valor para x.Si x = –1, 4 · (–1) + 3y + 7 = 0

3y + 3 = 0y = –1

Entonces, el vector posición es �–1, –1�.

Segundo paso: para obtener el vector director se puede calcular

la pendiente de la recta m = y, luego, escribir el vector director

4x + 3y + 7 = 03y = –4x – 7

y = – x – , es decir, m = – .

Luego un vector director es �3, –4�. Por lo tanto, una ecuación vec-

torial de la recta es: �x, y� = �–1, –1� + λ�3, –4�.

43

73

43

d2

d1

13

13

x – 53

x – 53

como �d1, d2�.

Observa que la recta tiene pendiente ; mientras que su vector di-rector es �3, 1�.

13

• La ecuación cartesiana de la rectaestá dada por ax + by + c = 0,o bien y = mx + n.

• Dos rectas son paralelas si tienenigual pendiente.

• Dos rectas son perpendicularessi sus pendientes satisfacen m1 · m2 = –1.

Recuerda que...


Vectores | 125

Un

idad

3

1. Dada la ecuación vectorial de la recta �x, y� = �1, 2� + λ�4, 8�, determina la ecuación cartesiana correspondiente.

2. Encuentra la ecuación cartesiana correspondiente a la recta que pasa por el punto (5, –2) y esparalela al vector d

→= �–2, 3�.

3. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la recta y = 3x – 2.

4. Decide si los puntos (0, 0), (0, 11) y (–3, 0) pertenecen a la recta anterior. Justifica tu decisión.

5. Determina la ecuación vectorial para cada recta.

4x + 2 = 3y – 3 2x – 5y + 1 = 0

6. Indica cuál es la posición relativa entre las rectas dadas. Explica.

L1: x – y – 2 = 0, L

2: �x, y� = �1, 2� + λ�2, 2�

7. De la recta �x, y� = �2, –3� + λ�1, 2� y el punto P(2, 1), obtén la ecuación de la recta:

a. paralela a la dada que pasa por P. b. perpendicular a la dada que pasa por P.

8. Obtén la recta que pasa por el punto A(2, –1) y tiene la misma pendiente que:

a. �x, y) = �0, 3� + λ�1, 1� b. 2x – 3y = 6

Actividades

En resumen

• La ecuación de la recta en el plano se puede representar mediante:

• la ecuación cartesiana de la recta: ax + by + c = 0.

• la ecuación vectorial de la recta: �x, y� = p0

→+ λ d

→= �x0, y0� +λ�d1, d2�, donde d

→es el vector

director de la recta, p0→�x0, y0� es el vector posición y λ es su parámetro.

• Si d→

es un vector director cuyas coordenadas son �d1, d2�, la pendiente m de la recta

correspondiente está dada por m = .d2

d1


126 | Unidad 3

Producto cruz y vectores en el espacio

Sergio intentó abrir una puerta batiente empujando en el centrode la puerta. Aunque finalmente lo consiguió, tuvo que aplicar másfuerza de la que pensaba. Andrea, en cambio, la empujó lo másafuera posible.

En la situación presentada podíamos observar que Sergio y Andreaaplicaban una fuerza sobre una puerta. Cuando una fuerza actúasobre un cuerpo, la puerta en este caso, y producto de esta acciónel cuerpo gira, se dice que se ha producido un torque sobre elcuerpo. Otro ejemplo es la fuerza que se aplica al pedal de la bicicletaque permite que gire el plato, y con él la cadena de la bicicleta.

El torque sobre el cuerpo se puede calcular como el producto cruzentre la fuerza aplicada y la posición del punto de aplicación de lafuerza respecto del eje de giro del cuerpo: τ→ = r

→× F

→

El producto cruz o vectorial a→

× b→

entre dos vectores en el espacio

se define como un tercer vector p→

, perpendicular a ambos, a→

y b→

.

El módulo de p→

= a→

× b→

corresponde al área del paralelogramo

formado por a→

y b→

; luego, || p→

|| = || a→

|| · || b→

|| · sen(α), donde αes el ángulo agudo formado por los vectores a

→y b

→.

Analicemos...

• ¿Crees que Andrea tuvo que aplicar la misma fuerza que Sergiopara abrir la puerta?, ¿por qué?

• Si se aplicara la misma fuerza en distintos puntos de la puerta,¿se obtendría el mismo movimiento en torno a su eje? Explica.

• Si se aplica una fuerza, ¿en qué posición se obtiene el máximogiro?, ¿en qué posición se obtiene un giro nulo? Comenta contus compañeros y compañeras.

Glosariotorque: magnitud resultante del pro-ducto del valor de una fuerza por sudistancia a un punto de referencia.

• El producto punto entre dos vec-tores a

→y b

→tiene como resul-

tado un valor numérico (escalar);en cambio, el resultado del pro-ducto cruz es un nuevo vector.

• El producto cruz se define solopara vectores en el espacio. No tiene sentido para vectoresen el plano.

Pon atención

p→

= a→

X b→

p→

= b→

X a→ II p→II = II a→II · II b→II sen(α)

a→

II b→II sen(α)

αb

→

p→ p

→

a→

a→

b→

b→

α

α


Vectores | 127

Un

idad

3Para calcular el producto cruz de dos vectores, utilizando sus coor-denadas cartesianas, es indispensable considerarlos en el espaciocartesiano, es decir, con sus tres coordenadas. Por ejemplo, si seconsidera el plano cartesiano como el piso de la sala, la tercera coor-denada va a representar la altura que tiene el vector.

Así, en el gráfico siguiente está representado el punto C = (1, 4, 6).

Una forma de calcular el producto cruz entre dos vectores es repre-sentando cada vector mediante los vectores unitarios cartesianos.

Los vectores unitarios asociados con las direcciones de los ejes coorde-nados cartesianos X, Y, Z, se designan por i^, j^, k^, respectivamente.Permiten expresar los vectores por medio de sus componentescartesianas. Así, i^ = �1, 0, 0�, j^ = �0, 1, 0�, k^ = �0, 0, 1�.

EjemploObserva la siguiente imagen en que se muestra c

→= �1, 4, 6�.

De esta manera, el vector c→

se puede representar como: c→

= �1, 4, 6� = i^ + 4j^ + 6k^.

67

5

43

2

1

12341 2 3 4 5 6 Y

Z

X

67

5

43

2

1

12341 2 3 4 5 6 Y

Z

Xi^

i^

j^

j^

k^

k^ Glosariovectores unitarios: vectores cuyamagnitud o módulo es igual a launidad. Definen las coordenadas deun vector respecto del origen delplano cartesiano.

Si colocas los dedos de tu manoderecha de modo que apunten enla dirección y sentido del vector a

→

y, luego, doblas los dedos apun-tando hacia b

→, la dirección y sen-

tido de a→

× b→

están dados por eldedo pulgar extendido. Esto se cono-ce como la regla de la mano derecha.

Pon atención

c→


128 | Unidad 3

Observa cómo se calcula el producto cruz entre dos vectores, uti-lizando sus coordenadas cartesianas y los vectores unitarios. Sean dos vectores A

→= �a, b, c� y V

→= �u, v, w�

A→

× V→

= (ai^ + bj^ + ck^) × (ui^+ vj^ + wk^)= au (i^ × i^) + av (i^ × j^) + aw (i^× k^) + bu ( j^ × i^) + bv ( j^ × j^)

+ bw ( j^ × k^) + cu (k^ × i^) + cv (k^ × j^) + cw (k^ × k^)= av k^ – aw j^ – bu k^ + bw i^ + cu j^ – cv i^

= (bw – cv) i^ + (cu – aw) j^ + (av – bu) k^

EjemplosSean dos vectores A

→= �3, 4, –1� y V

→= �2, –5, 6�:

1. A→

× V→

= (3i^ + 4j^ – k^) × (2i^ – 5j^ + 6k^)

= 6 (i^ × i^) + –15 (i^ × j^) + 18 (i^ × k^) + 8 ( j^ × i^) + –20 ( j^ × j^)

+ 24 ( j^ × k^) + –2 (k^ × i^) + 5 (k^ × j^) + –6 (k^ × k^)

= –15 k^ + 18 (–j^) + 8 (–k^) + 24 i^ + –2 j^ + 5 ( –i^ )

= 19 i^ – 20 j^ – 23 k^

2. A→

× A→

= (3i^ + 4j^ – k^) × (3i^ + 4j^ – k^)

= 9 (ii^ × i^) + 12 (i^ × j^) + –3 (i^ × k^) + 12 ( j^ × i^) + 16 ( j^ × j^)

+ –4 ( j^ × k^) + –3 (k^ × i^) + –4 (k^ × j^) + 1 (k^ × k^)

= 12 k^ + –3 (–j^) + 12 (–k^) + –4 i^ + –3 j^ + –4 ( –i^)

= 0 i^ + 0 j^ + 0 k^ = 0→

El producto cruz cumple con las siguientes propiedades:

• es distributivo respecto de la suma de vectores.

Es decir, a→

× (b→

+ c→

) = (a→

× b→

) + (a→

× c→

).

• a→

× (λb→

) = λ (a→

× b→

) = (λa→

) × b→

.

• el producto cruz de un vector con uno de sus ponderados es

nulo. Es decir, a→

× λa→

= 0→

.

• no es conmutativo, ya que a→

× b→

= –(b→

× a→

).

i^ × i^ = 0

j^ × j^ = 0

k^ × k^ = 0

• Por definición, i^, j^ y k^ son vectores

perpendiculares entre sí; es decir:

i^ � j^, j^ � k^, k^ � ii^.

• Aplicando la regla de la manoderecha, se cumple que:

i^ × j^ = k^

ii^ × k^ = –j^

j^ × ii^ = –k^

j^ × k^ = ii^

k^ × ii^ = j^

k^ × j^ = –i^

Pon atención

En resumen

• Para representar vectores unitarios que están en los ejes X, Y y Z, en sentido positivo, utilizamos las letras i^, j^ y k^, respectivamente.

• El producto cruz, de dos vectores u→

× v→

, es un vector de módulo | u→

| · | v→

| · sen(α), con dirección perpendicular al plano determinado por u

→y v

→, y cuyo sentido se puede determinar

mediante la regla de la mano derecha.


Vectores | 129

Un

idad

3

1. Expresa los vectores a→

, b→

, c→

y d→

en términos de los vectores unitarios i^ y j^.

2. Expresa los siguientes vectores, utilizando los vectores unitarios cartesianos, y grafícalos.

a. s→

= �–1, 2, 3� b. t→

= �–3, – , 0� c. u→

= �–4, 0, 2� d. v→

= �0, 5, –6�

3. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los posibles vectores que se pueden formar. Completa, en cada caso, con el vector que resulta.

a. AB→

× AD→

b. CD→

× CB→

c. EA→

× EF→

d. BF→

× BC→

4. Calcula u→

× v→

para los siguientes vectores u→

, v→

, en cada caso.

a. u→

= �–1, 5, 3� y v→

= �1, 0, 2� d. u→

= �–3, –3, –3� y v→

= �–2, –2, –2�b. u

→= �–2, 2, 0� y v

→= �6, –1, 1� e. u

→= �8, 0, 1� y v

→= �–7, 6, 4�

c. u→

= �–1, –1, 3� y v→

= �0, 6, 2� f. u→

= �–6, 6, 6� y v→

= �–4, –4, 4�

5. Demuestra algebraicamente que el producto cruz:

a. no es conmutativo.b. es distributivo, respecto de la suma de vectores. c. de un vector por sí mismo es el vector nulo.

13

Actividades

–4

–4

4

4 X

Y

HG

F

BA

D

E

C


130 | Unidad 3



1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Qué indica el vector posición de una ecuación de la recta?, ¿y el vector director?3. ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación vectorial de una recta y la ecuación cartesiana?4. ¿Cómo se calcula el producto cruz de dos vectores?, ¿para qué se utiliza la regla de la

mano derecha?5. ¿En qué casos el producto cruz de dos vectores es cero?, ¿por qué?6. ¿Se puede calcular el producto cruz entre dos vectores del plano cartesiano?, ¿por qué?7. ¿Cómo se calcula el producto punto entre dos vectores? Explica.8. ¿En qué casos el producto punto entre dos vectores es cero?, ¿por qué?9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?



VECTORES

UNA RECTA EN

EL PLANO

ECUACIÓN

CARTESIANA

OPERATORIA

permiten representar su

considera tambiénmediante

ECUACIÓN

VECTORIAL

VECTOR

POSICIÓN

VECTOR

DIRECTOR

PRODUCTO

PUNTO

VECTORES

PERPENDICULARES

TRABAJO

MECÁNICO

VECTORES EN

EL ESPACIO

TORQUE

cuando es cero sona partir de para calcular solo para para calcular

PRODUCTO

CRUZ


Vectores | 131

Mi progreso

1. Obtén el producto punto de los siguientes pares de vectores:

a. u→

= �3, 2� y v→

= �0, 4� b. u→

= �–2, 1� y v→

= �4, 6� c. u→

= �5, –2� y v→

= �–1, 7�

2. Dados los vectores u→

= �x, 2� y v→

= �3, 1�, determina el valor de x para que:

a. sean paralelos. b. sean perpendiculares.

3. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y tiene vector director d→

, en cadacaso. Luego, obtén otros tres puntos de cada recta.

a. P(2, 1) y d→

= �–2, 6� b. P(–1, 4) y d→

= �3, 8� c. P(0, 5) y d→

= �4, –7�

4. Determina la ecuación vectorial correspondiente, en cada caso.

a. 4x – 5 = 2y + 3b. 3x – 4y + 7 = 0

5. Los vectores a→

, b→

, c→

y d→

de módulo 4 forman un cuadrado. El producto a→

× b→

es:

A. módulo 4, perpendicular hacia afuera.B. módulo 16, paralelo a b

→.

C. módulo 16, perpendicular hacia afuera.D. módulo 4, perpendicular hacia dentro.E. módulo 16, perpendicular hacia dentro.

• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste algunas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.

¿Cómo voy?

Un

idad

3


Calcular y aplicar el producto punto de dos vectores.

1 y 2 118 y 119

Determinar la ecuación vectorial de la recta. 3 y 4 120 a 125

Calcular el producto cruz de dos vectores. 5 126 a 129

c→

d→

a→

b→


132 | Unidad 3

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Anteriormente vimos que para escribir la ecuación vectorial de larecta en el plano es necesario determinar su vector posición y suvector director. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuaciónvectorial de la recta L en el espacio. Para ello, considera los pun-tos P(3, –3, 5) y Q(1, 4, 6) y observa la imagen.

P

ZQ

YO

X

Ld→

q→

p→

Observa que en el espacio se requiere de tres coordenadas paraubicar los puntos correctamente, pero esto no significa que senecesiten tres vectores para representar una recta. En cambio, sepuede indicar su vector posición y su vector director, tal como enel plano, solo que ahora estos vectores tienen tres coordenadas.

En este caso, el vector director está dado por d→

= PQ→

= �–2, 7, 1�,luego la ecuación de L es �x, y, z� = �3, –3, –5� + λ�–2, 7, 1�.

La ecuación vectorial de una recta en el espacio, se escribe como la

de una recta en el plano, extendiéndola a tres coordenadas. Es

decir, dado un punto P(x0, y0, z0) y un vector d→

= �d1, d2, d3�, laecuación vectorial de la recta que pasa por P y tiene dirección d

→es:

�x, y, z� = �x0, y0, z0� + λ�d1, d2, d3�, con λ � IR.

O también �x, y, z� = �x0 + λd1, y0+ λd2, z0+ λd3�, con λ � IR.

EjemploDetermina si los puntos P (1, 1, 1), Q (0, 1, –1) y R (2, 1, 3) son co-lineales. Si lo fueran, escribe la ecuación vectorial de la recta quelos contiene.

Primero, se verifica si PQ→

y QR→

son paralelos:

PQ→

= �0 –1, 1 –1,–1 –1� = �–1, 0, –2� y QR→

= �2 – 0, 1 –1, 3 – –1� = �2, 0, 4�.

Para esto, se determina si existe un número real λ, tal que QR→

= λPQ→

.

En efecto, �2, 0, 4� = λ�–1, 0, –2� ⇒ 2 = –λ y 4 = –2λ, de donde se in-

fiere que λ = –2. Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales.

Analicemos...

• ¿Existe una recta que pase por P y Q?, ¿existe más de una?,¿cómo lo sabes?

• Además de los vectores posición y director, ¿se necesita un nuevovector para identificar una recta en el espacio?, ¿por qué?

• Si la recta L pasa por P y Q, ¿cómo se calcula su vector director?Justifica. Luego, escribe la ecuación vectorial de la recta L.

• Dos vectores v→ y w→ son paralelossi existe un número real λ, tal que v→ = λw→.

• Dos vectores v→ y w→son perpen-diculares si v→· w→= 0, donde �a, b, c� · �d, e, f� = ad + be + cf,tal como en el plano.

Recuerda que...


Vectores | 133

Luego si se utiliza el vector p→

y el vector QR→

, la recta que contienea P, Q y R se puede representar con la ecuación:

�x, y, z� = �x0, y0, z0� + λ�d1, d2, d3�.�x, y, z� = �1, 1, 1� + λ�2, 0, 4�

Ahora, si se utiliza el vector r→

y el vector PQ→

, se obtiene unaecuación diferente, �x, y, z� = �2, 1, 3� + λ1�–1, 0, –2�, pero que re-presenta la misma recta.

Una misma recta puede representarse mediante distintas ecua-ciones vectoriales. Esto sucede porque, por ejemplo, los vectores�2, 0, 4� y �–1, 0, –2� representan la misma dirección. Por otra parte,cualquiera de los puntos que pertenecen a la recta puede utilizarsecomo vector posición.

Para verificar que un punto pertenece a una recta, se puede deter-minar cuál es el valor de λ de modo que se satisfaga la ecuaciónvectorial correspondiente. Observa.

�2, 1, 3� pertenece a la recta de ecuación �x, y, z� = �1, 1, 1� + λ�2, 0, 4�

porque al remplazar λ = se satisface la igualdad:12

Un

idad

3

Z

X

YQ

PR

�2, 1, 3� = �1, 1, 1� + · �2, 0, 4�12

Sean L1: p→ = p0

→ + λv→ y

L2: q→ = q0

→ + μw→, entonces L1 // L2

solo si v→ es paralelo a w→.Del mismo modo, L1 ⊥ L2 solo si v→

es perpendicular a w→.

Pon atención

En resumen

• La ecuación vectorial de la recta en el espacio está dada por la expresión

�x, y, z� = p0

→+ λd

→= �x0, y0, z0� + λ�d1, d2, d3�, donde d

→: vector director de la recta;

p0

→�x0, y0, z0�: vector posición de la recta; λ: parámetro.

1. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P(12, –5, 7) y Q(0, 6, –3).

2. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente.

a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1) c. P(0, –1, –2), Q(0, 2, 4) y R(0, 1, 2) b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3) d. P(4, 2, 1), Q(3, 7, 3) y R(1, –5, –2)

Actividades


134 | Unidad 3

Rectas y planos

Observa los planos representados en la siguiente imagen. Consideraque las rectas y los puntos pertenecen a los planos correspondientes,en cada caso.

Π1Π2 Π4Π3

L1

L1

L2

C

A B

LC

B

A

L2

Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infini-tos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales,junto con el punto y la recta. Se considera un concepto primitivo,que no puede definirse; solamente puede ser descrito en relacióna otros elementos geométricos similares.

Tal como dos puntos distintos definen una única recta que pasapor esos puntos, se puede determinar el plano que contiene al-gunos puntos y/o rectas, cuando cumplen ciertas condiciones:

• tres puntos no colineales: tres puntos no colineales determinanun único plano.

• dos rectas que se intersecan: dos rectas secantes y distintas de-terminan un único plano.

Analicemos...

• Dada una recta cualquiera, ¿siempre está contenida en algúnplano? Si es así, ¿es el único que la contiene?, ¿por qué?

• Dadas dos rectas paralelas, como en el plano Π1, ¿existe un plano

que contenga a ambas rectas? Si existe, ¿es único? Explica.• Si dos rectas no son paralelas, ¿existe un plano que las con-

tenga?, ¿alguno de los planos muestra este caso? Justifica.• Si se tiene una recta y un punto que no pertenece a esta recta,

como en el plano Π2, ¿siempre existe un plano que contenga a

esa recta y pase por ese punto?, ¿por qué? • Los puntos A, B y C pertenecen al plano Π

4. ¿Existe un plano

distinto a él que también los contenga?, ¿por qué?• Si dos puntos distintos definen una única recta que pasa por

esos puntos, ¿cuántos puntos definen un único plano que pasapor ellos? Explica.

• Tres puntos son colineales sipertenecen a una misma recta.

• Si la intersección de dos rectas ode dos planos es no vacía, sedice que son secantes.

Recuerda que...

Los planos se simbolizan utilizandola letra Π.

Pon atención


Vectores | 135

Un

idad

3

Glosarioalabeadas: se dice de dos rectas queestán contenidas en planos distintosy no se intersecan.coplanarios: se dice de puntos u otroselementos que pertenecen almismo plano.

1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se observen, en cada caso:

a. rectas: secantes, paralelas y alabeadas. b. puntos no colineales. c. rectas y planos: secantes, paralelos y coincidentes.

2. De acuerdo con la figura, ABCDEF es un octaedro, en el cual los puntos A, B, C, D y G son coplanarios,indica en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa, según corresponda. Justifica tu decisión.

a. Los puntos A, E y F son colineales. b. Los puntos B, C, E y F son coplanarios. c. El segmento AC se interseca con BD. d. El segmento AC se interseca con DF. e. Los puntos A, C y F son coplanarios. f. Los puntos B, D, F y G son coplanarios.

3. Construye un contraejemplo para cada una de las siguientes proposiciones:

a. Si dos rectas diferentes se intersecan, existen solo dos planos que las contienen. b. Dados tres puntos colineales, existe un único plano que los contiene.

• dos rectas paralelas: dos rectas paralelas y distintas determinanun único plano.

• una recta y un punto exterior a ella: una recta y un punto ex-terior a ella determinan un único plano.

En resumen

• Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas. Se le considera un concepto primitivo, que no puede definirse.

• Se puede determinar un único plano a partir, en cada caso, de:• tres puntos no colineales.• dos rectas secantes y distintas.• dos rectas paralelas y distintas.• una recta y un punto exterior a ella.

Actividades

E

C

D

G

F

B

A


136 | Unidad 3

Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio

Anteriormente vimos cómo se determina la ecuación de la recta enel espacio. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuación vec-torial de un plano en el espacio. Para ello, considera los vectoresOA→

= �3, 1, 6�, OB→

= �0, 2, 4� y OC→

= �2, 5, 8�.

Recuerda que para determinar la ecuación de la recta en general,se puede calcular a partir de dos puntos dados, o bien de un puntoy su dirección, ya sea que se indique vectorialmente o mediante lapendiente de la recta. De manera similar, para determinar laecuación de un plano, se puede calcular a partir de tres puntos nocolineales o de puntos y rectas que estén contenidas en él.

En general, un plano en el espacio Π puede quedar determinado

por un punto A (a1, a2, a3) y dos vectores directores no paralelos

entre sí, r→

= �r1, r2, r3� y s→

= �s1, s2, s3�.

A partir de la figura, observa que para un punto P(x, y, z) cualquiera

del plano Π, se cumple lo siguiente: OP→

= OA→

+ AP→

.

Por lo que AP→

es un vector paralelo al plano Π, es decir, r→

, s→

y λr→

+ μs→

(con λ, μ � IR), son paralelos al mismo plano, luego

OP→

= OA→

+ λr→

+ μs→

.

Entonces, la ecuación vectorial del plano Π se escribe: �x, y, z� = �a1, a2, a3� + λ�r1, r2, r3� + μ�s1, s2, s3�.

Luego, se pueden igualar, componente a componente, para determi-nar las ecuaciones x = a1 + λr1 + μs1; y = a2 + λr2 + μs2; z = a3 + λr3 + μs3.

Estas ecuaciones se pueden reescribir como un sistema de ecua-ciones, para eliminar los parámetros λ y μ, y así obtener la ecuacióngeneral o cartesiana de un plano, cuya forma general es:

Ax + By + Cz + D = 0

Analicemos...

• ¿Los puntos A, B y C son colineales?, ¿son coplanarios? Justifica.• Determina los vectores AB

→y AC

→. ¿El punto D = (–5, 10, 2) se

puede representar a partir de los vectores AB→

y AC→

? Explica.• ¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que contiene a los pun-

tos A, B y C? Explica.• ¿El punto D pertenece al plano que contiene a los puntos A, B

y C?, ¿por qué?

P

A

OY

X

X

Y

Z

Z

Πs

→

r→

AB

C

Un vector director de una recta o deun plano es un vector paralelo adicha recta o plano.

Pon atención


Vectores | 137

Ejemplo 1 Dado un plano Π que pasa por los puntos P (1, 1, 1), Q (2, 1, 2) yR (0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano?, ¿cuál es suecuación cartesiana?

Para obtener la ecuación vectorial pedida, primero se determinanlos vectores directores.

QP→

= p→

– q→

= �1 – 2, 1 – 1, 1 – 2� = �–1, 0, –1�RP→

= p→

– r→

= �1 – 0, 1 – 2, 1 + 1� = �1, –1, 2�

Luego, la ecuación vectorial del plano es: Π : �x, y, z� = �1, 1, 1� + λ�–1, 0, –1� + μ�1, –1, 2�

Igualando componente a componente, se obtienen las ecuaciones:

x = 1 + –1 · λ + 1 · μ x – z = –μ x – y – z = –1y = 1 + 0 · λ + –1 · μ y = 1 – μz = 1 + –1 · λ + 2 · μ

Por lo tanto, la correspondiente ecuación cartesiana es: x – y – z = –1. Observa que P, Q y R satisfacen esta ecuación.

Ejemplo 2Dados tres puntos, P (0, 0, –1), Q (2, 1, 1) y R (4, 1, 4), no colineales.

• Determina la ecuación vectorial del plano Π que pasa por lospuntos P, Q y R.

• Determina un punto T, tal que el cuadrilátero PQRT sea unparalelogramo. ¿El punto T pertenece al plano Π? Justifica.

La ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R es:

�x, y, z� = p→

+ λ PQ→

+ μ PR→

, con λ, μ � IR.

�x, y, z� = �0, 0, –1� + λ �2, 1, 2� + μ �4, 1, 5�

Se obtiene T de la siguiente manera:

t→

= p→

+ QR→

= p→

+ (r→

– q→

) = p→

+ r→

– q→

t→

= �0 + 4 – 2, 0 + 1 – 1, –1 + 4 – 1� = �2, 0, 2�

Un

idad

3

Z

Y

X P

se elimina λ

se elimina μ

Q

R

Ya que PQRT debe ser un paralelo-

gramo, t→

se obtiene de sumar el

vector posición p→

y el vector QR→

,

que representa la dirección y me-

dida del lado QR→

. Observa.

Pon atención

P

T

R

Q

Z

YX

• Si P y Q son puntos que per-tenecen a una recta o plano, unvector director posible es QP

→.

• Cualquier punto de un plano orecta se puede utilizar como vec-tor posición.

Recuerda que...


138 | Unidad 3

Para comprobar que el punto T (2, 0, 2) pertenece al plano, se debendeterminar los valores de λ y μ en la siguiente ecuación:

�2, 0, 2� = �0, 0, –1� + λ �2, 1, 2� + μ �4, 1, 5�

Esto equivale a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2 = 2λ + 4μ 0 = λ + μ λ = –10 = λ + μ 0 = 1 – μ μ = 12 = –1 + 2λ + 5μ

Como este sistema tiene solución (los valores de λ y μ satisfacenlas tres ecuaciones), el punto T pertenece al plano y, además, con-forma un paralelogramo originado a partir de los puntos P, Q y R.

Observa ahora cómo graficar un plano en el espacio.

Ejemplo 1 Grafica el plano Π: 5x + 2y + 4z = 20

Primer paso: se determinan los puntos en que el plano corta a losejes coordenados. Observa.Intersección con el eje X: se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 5x = 20 ⇒ x = 4. Se obtiene (4, 0, 0). Intersección con el eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 2y = 20 ⇒ y = 10. Se obtiene (0, 10, 0).Intersección con el eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 4z = 20 ⇒ z = 5. Se obtiene (0, 0, 5).

Segundo paso: se ubican estos puntos en los ejes coordenados y,luego, se trazan los segmentos que los unen y se grafica el plano.

Ejemplo 2 Grafica el plano cuya ecuación cartesiana es 3x + 4y = 12.

Primer paso: determina los puntos en que el plano corta a los ejescoordenados.

Intersección eje X : se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 3x = 12 ⇒ x = 4.Se obtiene (4, 0, 0).

Planos destacados en el espaciotridimensional:

• Plano horizontal XYecuación z = 0.

• Plano vertical YZecuación x = 0.

• Plano vertical XZ ecuación y = 0.

.

Pon atención

Z

YX

Z

XY

Z

X

Y

restando

Z

X Y104

5


Vectores | 139

Un

idad

3Intersección eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 4y = 12 ⇒ y = 3.Se obtiene (0, 3, 0).Intersección eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 0 = 12 ⇒ falso.Como esto no es cierto, significa que no existe un punto de inter-sección en el eje Z.

Segundo paso: como no hay un punto común al eje Z, el planoque se graficará es paralelo a ese eje, y pasa por los puntos (4, 0, 0)y (0, 3, 0).

En resumen

• La ecuación vectorial del plano en el espacio está dada por:

Π: �x, y, z� = �x0, y0, z0� + λ�d1, d2, d3� + μ�v1, v2, v3�, con d→

y v→

vectores directores del plano,

no paralelos entre sí; p0

→�x0, y0, z0�: vector posición, λ, μ: parámetros.

• La ecuación general o cartesiana de un plano en el espacio está dada por: Ax + By + Cz + D = 0.

1. Dados A(2, –2, 1), r→ = �1, 0, –1� y s→ = �–2, 3, 2�, determina la ecuación vectorial del plano.

2. Caracteriza el plano formado por los puntos de la forma λ�2, 2, 0� + μ�0, 0, 1�, con λ y μ � IR.

3. Sitúa un cubo de arista 5 con un vértice en el origen, de modo que algunas aristas se ubiquen sobrelos ejes X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y cartesiana de los planos portadores de sus carasy las ecuaciones vectoriales de las rectas formadas por la prolongación de sus aristas.

4. La ecuación vectorial de un plano es �x, y, z� = �0, 0, 2� + λ �2, 4, 4� + μ �2, 6, 7�, con λ, μ � IR. Determina si es paralelo a alguno de los ejes X, Y o Z.

5. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1) y es paralelo al plano XZ.

6. Determina la ecuación cartesiana y el gráfico de un plano, dada la ecuación: �x, y, z� = �λ, 3μ, μ�con λ, μ números reales.

7. Analiza la suma λv→ + μ�0, 0, 1� para cualquier valor de los parámetros λ y μ, con v→ un vector en elespacio tridimensional. ¿Qué se obtiene?

Actividades

Z

X

Y34


140 | Unidad 3

Posición relativa entre planos

Observa las siguientes figuras, donde se representan las posiblesposiciones entre dos planos en el espacio.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Las figuras presentadas nos muestran las posibles posiciones entredos planos en el espacio, que se pueden describir como:

• planos paralelos: cuando no tienen puntos de intersección. • planos secantes: cuando su intersección determina una recta y,

por ende, posee infinitos puntos de intersección: todos los pun-tos que pertenecen a esa recta.

• planos coincidentes: cuando tienen todos sus puntos en común.

Observa que la intersección de dos planos da origen a distintossemiplanos que se intersecan. El ángulo de intersección entre dossemiplanos se denomina ángulo diedro.

En la figura, se observa que P se ubi-ca en una cara y Q en la otra (cadacara corresponde a un semiplano).Mientras, los puntos A y B se ubicanen la arista del diedro (recta común alos dos semiplanos).

Analicemos...

• Si se tiene una recta cualquiera, ¿el plano que contiene a esa rectaes único?, ¿por qué?

• Dados dos planos distintos, ¿existe una recta que pertenezca aambos planos?, ¿en cuál de las figuras anteriores se representaesta situación? Explica.

• Si se tienen tres planos distintos, ¿existe un punto que pertenezcaa los tres planos? Justifica.

Glosarioángulo diedro: porción de espaciocomprendida entre dos semiplanosque tienen un borde (recta) comúny están situados en planos distintos.

Cara Cara

Ángulo diedro

Arista

Π2 Π2

Π1 Π1 Π1

Π2

A C

B

A

B

Q

P

Π2

Π1

Una recta contenida en un plano lodivide en dos semiplanos.

Pon atención


Vectores | 141

Los ángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera:

�(P, AB, Q), donde P y Q representan puntos de cada semiplano,respectivamente, y AB representa la recta común a ambos semi-planos. Dado el nombre de cada semiplano, un ángulo diedro tam-bién se puede representar por: �(Π1, AB, Π2).

Veamos ahora cómo conocer la medida del ángulo diedro. Observaque el ángulo diedro es igual al ángulo formado por dos rectascontenidas cada una en un semiplano, de manera tal que ambassean perpendiculares a la intersección de los semiplanos, AB, en unmismo punto de ella. En la figura, la medida del ángulo diedro esigual a la medida de �POQ.

Un

idad

3

Q

PB

O

AΠ2

Π1

En resumen

• Posiciones relativas entre dos planos: las posibles posiciones entre dos planos en el espacio sepueden describir como paralelos, secantes o coincidentes.

• El ángulo diedro entre dos planos es la porción de espacio comprendida entre dos semiplanosque tienen una recta común y están situados en planos distintos.

1. Representa gráficamente las siguientes situaciones:

a. El plano Π1

tiene origen a partir de la recta Lβ y un punto Z exterior a ella.

b. El plano Π1

es secante con Π2, dando origen a la recta L

1, que es perpendicular a la recta L

2,

que pertenece a Π2.

c. El plano Π1

es perpendicular con π2, dando origen a la recta L

1, que es paralela a la recta L

2,

que pertenece a Π1.

d. Dados los planos Π1, Π

2y Π

3, cada uno de ellos interseca a los otros dos planos. ¿Cuántos

semiplanos se forman en esta representación gráfica?

2. Dados dos semiplanos Π1

y Π2

que se intersecan en una recta L, y un punto P1 en Π1, un punto P2

en Π2

y un punto Q en L, ¿qué medidas puede tener el ángulo (no diedro) formado por P1, Q y P2,cuyo vértice es Q? Explica.

Actividades


En años anteriores vimos que dos rectas paralelas y distintas no seintersecan y dos rectas secantes se intersecan en un solo punto.Como un plano contiene infinitas rectas, estas relaciones se puedenextender al analizar una recta y un plano.

Observa las siguientes figuras, donde se representan las posiblesposiciones relativas entre una recta y un plano en el espacio.

142 | Unidad 3

Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos

Si todos los puntos de una recta dada pertenecen a un plano dado,se dice que la recta está contenida en el plano. En cambio, si ningúnpunto de esta recta pertenece al plano, se dice que la recta y el planoson paralelos. Por último, cuando la recta no está contenida ni esparalela al plano, lo interseca en un solo punto. En este caso, se diceque son secantes.

En las figuras anteriores se representaron las posibles posicionesrelativas entre una recta y un plano en el espacio. Pero esto no solose puede ver gráficamente. También se puede determinar analítica-mente; es decir, a partir de sus respectivas ecuaciones. Observa.

Ejemplo ¿Cuál es la intersección de la recta L: �x, y, z� = �4, 6, –2� +λ�2, 3, 0� yel plano Π: 4x + 3y – z = 2?

Sea �x0, y0, z0� el punto que pertenece al plano y a la recta.

Analicemos...

• ¿En qué casos la recta no se interseca con el plano?, ¿en cuál delas figuras anteriores se representa esta situación? Explica.

• Si se tiene una recta y un plano, ¿puede ser que la intersecciónentre ellos tenga infinitas soluciones?, ¿por qué? ¿En cuál de lasfiguras anteriores se representa esta situación? Explica.

• ¿Puede ocurrir que la intersección entre una recta y un planotenga más de una solución, pero no infinitas? Justifica.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Π Π Π

LL

L

P


Vectores | 143

Entonces, se tiene:

4x0 + 3y0 – z0 = 2�x0, y0, z0� = �4 + 2λ0, 6 + 3λ0, –2�, para algún valor λ0.

Para resolverlo se pueden remplazar las ecuaciones de cada coor-denada, en la ecuación del plano y, luego, obtener el valor de λ0.

4(4 + 2λ0) + 3(6 + 3λ0) – (–2) = 216 + 8λ0 + 18 + 9λ0 + 2 = 2

λ0 = –2

Por lo tanto, al remplazar λ0 = –2 en la ecuación de la recta: x0 = 4 + 2 · –2 = 0; y0 = 6 + 3 · –2 = 0; z0 = –2.

El punto obtenido es (0, 0, –2). Este único punto satisface la ecuacióndel plano y la de la recta; por lo tanto, en este caso, la recta es se-cante al plano.

Un

idad

3

Π3Π

2

Π1

Π1

Π1

Π2

Π3

Π3 Π

2

Π1

Π2

Π3

AC

B

Planos y sistemas de ecuaciones

Las representaciones gráficas de planos en el espacio permiten vi-sualizar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales, detres ecuaciones con tres incógnitas.

Ejemplos Siempre que tres planos se intersequen en una misma recta, sepuede inferir que el sistema de ecuaciones asociado a la repre-sentación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que una línea rectaestá constituida por infinitos puntos.

Si dos planos paralelos son secantes a un tercer plano, se puedeinferir que el sistema de ecuaciones asociado a la representacióngráfica no tiene solución, ya que ningún punto pertenece a lostres planos.

Si tres planos son coincidentes, el sistema de ecuaciones asociadoa la representación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que todoslos puntos del plano pertenecen también a los otros dos planos.

Cuando tres planos se intersecan en un único punto, la solucióndel sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tam-bién es única.


144 | Unidad 3

Por otra parte, la intersección entre dos planos puede correspondera infinitas soluciones, ya sea porque corresponden al mismo planoo a una recta que pertenece a ambos planos, o bien a ninguna solu-ción, cuando estos planos son paralelos.

Ejemplo Determina a qué corresponde la intersección entre los siguientesplanos y escribe su ecuación vectorial.Π1: 4x + 3y + z = 6Π2: 3x + 4y + 4z = 12

Para decidir si existe la intersección entre estos planos, primero sepueden graficar los planos, remplazando por 0 las coordenadascorrespondientes para determinar los puntos de intersección encada eje. Observa.

Se pueden ubicar estos seis puntos en el sistema de coordenadasy, luego, trazar los segmentos que unen los puntos para cadaplano, para visualizar si existe intersección. Observa en la gráficaque P y Q son puntos de intersección de ambos planos. Gráfica-mente, la intersección de estos planos es una recta. Pero es nece-sario justificarlo algebraicamente.

Observa que el punto P se ubica en el plano XZ, por lo que su se-gunda coordenada es cero. Remplazando este valor en las ecua-ciones, se pueden determinar sus coordenadas.

Luego, P tiene coordenadas . Como este punto P existe,

se concluye que los planos Π1 y Π2 no son paralelos, ya que P

pertenece a ambos planos.

Ahora, el punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que su primeracoordenada es cero. Remplazando este valor en las ecuaciones, sepueden determinar sus coordenadas.

1213

03013

, ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Dados dos planos en el espacio, estospueden ser paralelos (y distintos),secantes (y distintos) o coincidentes.

Recuerda que...

Eje X Eje Y Eje Z

Π1 ( , 0, 0) (0, 2 , 0) (0, 0, 6)

Π2 (4, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 3)

32

32

4 2

3

Π1

Π2

3

6

Z

X

Y

QP

y = 0 x = , z =3013

1213

4x + z = 63x + 4z = 12

x = 0 y = z =32

3y + z = 64y + 4z = 12


Vectores | 145

Luego Q tiene coordenadas . Entonces, los planos tienen

dos puntos de intersección, P y Q. Esto significa que pueden ser se-

cantes, o bien coincidentes. Falta justificar por qué no son coincidentes.

Si fueran coincidentes, todo punto de Π1 sería también un puntode Π2. En cambio, si existe un punto que pertenezca a un plano,pero no al otro, los planos serían secantes. Por ejemplo, R(1, 1, –1)pertenece a Π1, pero al remplazarlo en la ecuación del plano Π2 seobtiene 4 · 1 + 3 · 1 + 4 · –1 = 3, como 3 � 12, luego R no perteneceal plano Π2, y los planos son secantes.

Para determinar la ecuación vectorial de la recta correspondiente

a la intersección, observa que la recta pasa por el punto P y tiene

dirección PQ→

= �– , , – �.Entonces, la ecuación vectorial de la recta es:

�x, y, z� = � , 0, � + λ�– , , – �.Si quisiéramos escribir su ecuación cartesiana, la recta en el espaciose representa como la intersección de dos planos que la contienen.Es decir, las ecuaciones cartesianas de la recta, que deben conside-rarse simultáneamente, son, en este caso:

4x + 3y + z = 63x + 4y + 4z = 12

Porque corresponden a los planos Π1 y Π2 que contienen a la recta.

1213

32

1213

032

32

, ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3013

32

1213

2126

2126

Un

idad

3

En resumen

• Las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano son:• la recta está contenida en el plano, si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.• paralelos (y distintos), si ningún punto de esta recta pertenece al plano.• secantes, si la recta interseca al plano en un solo punto.

• Las posibles posiciones relativas entre dos planos en el espacio son:• coincidentes, si tienen todos los puntos en común.• paralelos (y distintos), si no tienen ningún punto en común.• secantes, si los planos se intersecan en una sola recta.

• La recta en el espacio se representa como la intersección de dos planos distintos que la contienen.Se les llama las ecuaciones cartesianas de la recta, y deben considerarse simultáneamente.


146 | Unidad 3




2. ¿Por qué se necesitan dos vectores directores para escribir la ecuación vectorial

del plano?

3. ¿Cuál es la diferencia entre el vector director y el vector posición? Justifica.

4. ¿Cómo se relaciona la posición relativa de dos o más planos en el espacio con la

cantidad de soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones lineales? Explica.

5. ¿Cuál es la ventaja de la ecuación vectorial del plano en comparación con su

correspondiente ecuación cartesiana? Justifica.




RECTAS Y PLANOS

EN EL ESPACIO

REPRESENTACIÓN

ALGEBRAICA

SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

POSICIÓN RELATIVA

cuya se relaciona con cuya

entrepuede ser

ECUACIÓN

CARTESIANA

VECTOR

POSICIÓN

VECTOR

DIRECTOR

depende de

pueden ser pueden ser

DOS PLANOS

PARALELOS

UNA RECTA Y UN PLANOECUACIÓN

VECTORIAL

CONTENIDA

SECANTES

PARALELOS

COINCIDENTES

SECANTES

ÁNGULO DIEDRO

forman


Vectores | 147

Un

idad

3

Mi progreso

1. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente.

a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1) c. P(2, 5, 1), Q(–6, –15, –3), R(4, 20, 2)

b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3) d. P(1, 2, 1), Q(4, 5, 4), R(–2, –1, –2)

2. Grafica el plano 6x + 4z = 24. ¿A qué eje es paralelo?

3. Determina la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto A (1, 3, 2) y es paralelo a los vec-tores v

→= �2, 5, 1� y u

→= �–3, 4, –1�.

4. Determina la posición relativa entre los siguientes planos, en cada caso, y escribe la ecuación vectorialde la recta correspondiente a su intersección, si existe.

a. Π1: 2x + 3y – z – 4 = 0 y Π

2: x – y + z – 4 = 0.

b. Π1: 3x + 4y – 2z + 7 = 0 y Π

2: x – y – 3z + 3 = 0.

c. Π1: x + 2y – z = 1 y Π

2: 10x + 10y + 1 = 0

d. Π1: y = 1 y Π

2: x + y + z = 0

5. ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta correspondiente a la intersección de Π1: x – y + 2z = 8 y

Π2: x + 2y + 8z = 20?

A. �x, y, z� = �1, –1, 2� + λ�1, 2, 8�B. �x, y, z� = �0, –2, 3� + λ�4, –2, –1�C. �x, y, z� = �0, –2, 3� + λ�4, 2, –1�D. �x, y, z� = �0, –2, –3� + λ�4, 2, 1�E. �x, y, z� = �4, 2, –1� + λ�0, –2, 3�


¿Cómo voy?


Determinar si tres puntos son colineales y escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos.

1 132 y 133

Graficar planos dadas sus ecuaciones. 2 134 a 139

Determinar la ecuación cartesiana del plano. 3 136 y 137

Determinar la posición relativa y la intersección entre dos planos.

4 y 5 140 a 145

Un

idad

3


Cómo resolverlo

148 | Unidad 3


Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A(1, –2),B(6, 1) y D(–6, 3).

a. Calcula el cuarto vértice C. b. Determina el punto medio M del segmento AC.c. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a la

diagonal BD.d. Determina si los puntos M, B y D son colineales.

Solución

Para facilitar la resolución del problema, lo representaremos gráficamente.

a. Observa que c→

está dado por la suma de b→

y BC→

, es decir,

c→

= b→

+ BC→

c→

= b→

+ AD→

c→

= b→

+ (d→

– a→

) = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6)

Entonces, el vértice C tiene coordenadas (–1, 6).

b. El punto medio se calcula componente a componente, por lo tanto:

c. Se escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a ladiagonal BD.

Para el vector posición se puede considerar tanto b→

como d→

. Y elvector director está dado por BD

→.

L = b→

+ λ · BD→

= b→

+ λ ( d→

– b→

)L = �6, 1� + λ (�–6, 3� – �6, 1�) = �6, 1� + λ �–12, 2�

d. Por último, determinar que M, B y D sean colineales equivale aestablecer si el punto M pertenece a la recta L, que contiene ala diagonal BD.

Es decir, ¿existe λ tal que �0, 2� = �6, 1� + λ �–12, 2�?

Remplazando λ = se obtiene la igualdad, luego M pertenece

a la recta L.

12

7

6

5

4

3

2

1

–1–1 1 2 3 4 5 6

B

A

D

C

–2–3–4–5–6

–2

M–

,–

,=+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ( )1 12

2 62

0 2

en un paralelogramo, los lados paraleloscorresponden a un mismo vector, por lotanto: BBC

→= AD

→

El punto medio entre (a, b)

y (d, c) está dado por

.a d b c

,+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2 2

Recuerda que...


Vectores | 149

Un

idad

3

Actividades


a. Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A(2, 1), B(6, 4) y D(5, 5).

• Calcula el cuarto vértice C. • Escribe la ecuación vectorial de la recta L

1, que contiene a la diagonal AC, y la de la recta

L2, que contiene a la diagonal BD.

• Determina el punto de intersección de las diagonales AC y BD.• Demuestra que las diagonales AC y BD son perpendiculares.• Decide y justifica si el paralelogramo ABCD es un rombo.



a. Determina si los siguientes puntos son colineales, en cada caso.

• A(–1, –1, –1), B(–1, 1, 0) y C(–1, 0, 1)• D(7, 0, 1), E(1, 1, 0) y F(0, 5, 2)• M(0, 2, 1), N(0, –2, –1) y O(0, –4, 0)• P(1, 2, 3), Q(2, 3, 4) y R(4, 5, 6)

Escribe la ecuación vectorial correspondiente para cada trío de puntos colineales encontrados anteriormente.

b. Comprueba si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(–1, –2), B(8, 4), C(5, 5) y D(2, 3),

es un trapecio. Justifica.

c. La recta que pasa por los puntos A(–3, 1) y B (2, 4), ¿es perpendicular a la recta que pasa por

los puntos C(–1, 3) y D (1, 1)? Explica.

d. Dados los puntos A(1, 2, 3), B(2, 5, 1) y C(3, 0, –4), determina la ecuación vectorial de la recta

que pasa por el punto C y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B.

e. Una araña está en un vértice de una sala cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de anchoy 3 m de alto, y desea ir al vértice diametralmente opuesto. Determina la distancia mínimaque recorrería y el vector desplazamiento que realizaría.


150 | Unidad 3


Sistema de Posicionamiento Global

El GPS es un sistema militar desarrollado por Estados Unidos y compuesto por una

red de 24 satélites que giran alrededor de la Tierra a unos 20 200 km de distan-

cia, y receptores GPS, que permiten determinar una posición en cualquier lugar

del planeta.

Para ubicar un punto se utilizan como mínimo cuatro satélites. El dispositivo GPS

recibe las señales y las horas de cada uno de ellos. Con estos datos y por triangu-

lación calcula la posición en el mundo donde se encuentra. O sea, el GPS permite a

cualquier persona, en cualquier lugar del mundo, saber en qué posición física del

globo terráqueo está en ese momento.

Este sistema tiene variadas aplicaciones en nuestro país; por ejemplo, la existencia

del Sistema Nacional de Control Horario, vía GPS, permitió la ubicación rápida y

oportuna de un bus sustraído por desconocidos. El bus fue ubicado por operadores

del sistema, quienes indicaron que iba sobre los 128 km/h, con destino a Melipilla.

Carabineros fue alertado respecto de la situación, y dispuso instrucciones a su per-

sonal para la ubicación y recuperación del vehículo.

Fuente: Teletrece Internet, http://teletrece.canal13.cl,

Diario El Mercurio, http://www.emol.com/

Receptor GPS.


Actividades

1. Averigua qué es el GPS y qué datos se pueden obtener si se cuenta con un receptor de GPS.2. ¿Para qué situaciones puede ser útil contar con un receptor de GPS?, ¿en qué casos se vuelve indispen-

sable? Explica.3. ¿Cómo se localiza un punto cualquiera de la Tierra utilizando las coordenadas geográficas? Por ejemplo,

¿cómo podrías indicar exactamente la ubicación de tu casa?4. ¿Cuáles son las coordenadas geográficas de tu ciudad o localidad?, ¿cuál es la diferencia con las

coordenadas de la capital de tu región?, ¿cómo se puede calcular la distancia entre tu localidad y lacapital regional usando estos datos? Explica.

Investiguemos...

1. ¿En qué consisten las coordenadas geográficas?, ¿cómo se asignan los valores de la latitud y la lon-gitud? ¿En qué lugar se encuentra la latitud 0º?, ¿y la longitud 0º?

2. ¿A qué distancia en la superficie terrestre corresponde la diferencia de un grado de latitud?, ¿y en elcaso de un grado de longitud?

3. Analicen las semejanzas y diferencias entre las coordenadas geográficas y las coordenadas esféricas.¿Por qué las coordenadas geográficas consideran solo dos valores, aunque se utilizan para localizarun punto en el espacio?

4. En general, ¿cómo se representa un vector cualquiera en coordenadas esféricas (en el espacio) o polares (en el plano)?, ¿cuál es la diferencia respecto de las coordenadas cartesianas?

5. ¿Cómo funciona el GPS?, ¿en qué consiste el proceso de triangulación? Expliquen. Comenten sobrelas aplicaciones más importantes del GPS actualmente.

6. En la página de MundiVideo – Coordenadas decimales, sexagesimales y UTM, disponible en el sitioweb http://www.mundivideo.com/coordenadas.htm, pueden observar las coordenadas geográficasde cualquier punto de la Tierra.

a. Ingresen la dirección de su escuela, por ejemplo, y observen los datos de su latitud y longitud. Si no reconocen el lugar, prueben con el nombre de la localidad o de un pueblo cercano.

b. Localicen en el mapa otro punto de interés; por ejemplo, la casa de alguno de ustedes, y haganclic sobre él. Comparen estos datos con los anteriores y calculen la distancia entre ellos. ¿Correspondea la distancia real?, ¿por qué?


• ¿Qué aprendieron acerca de las coordenadas geográficas?• ¿Qué aprendieron respecto del funcionamiento y utilidad del GPS?• Comenten con sus compañeros y compañeras. ¿Qué pueden concluir?

Vectores | 151

Un

idad

3


152 | Unidad 3





2. ¿Cuáles son los elementos que definen un vector?

3. ¿Cuál es la diferencia entre vector posición y vector dirección? Explica.

4. Dados dos planos distintos, ¿cuáles son las posibles posiciones relativas entre ellos? Justifica.

5. La intersección entre un plano y una recta en el espacio, ¿cuántas posibles soluciones

tiene? Explica.

6. ¿En qué se diferencia la ecuación vectorial de un plano y su ecuación cartesiana? Explica.



VECTORES

SENTIDO DIRECCIÓN

VECTOR POSICIÓN

ECUACIÓN CARTESIANA

ESPACIO

VECTOR DIRECTOR ECUACIÓN VECTORIAL

ÁNGULO DIEDRO

MAGNITUD

PRODUCTO PUNTO RECTA

PLANO


Vectores | 153

Evaluación


1. Un vector se define por su módulo y su dirección.

2. El resultado del producto punto entre dos vectores en el espacio también es un vector.

3. El producto cruz de dos vectores en el plano cartesiano no se puede calcular.

4. La imagen de una figura bajo una homotecia es semejante a la figura original.

5. Para representar una recta mediante su ecuación vectorial, solo se necesita conocer su

vector posición.

6. La intersección entre dos planos siempre es una recta en el espacio.

7. La ecuación vectorial de una recta en el espacio es similar a la de la recta en el plano;

en el espacio los vectores tienen tres coordenadas.

8. Existen casos en que la intersección entre una recta y un plano no existe.


1. Determina si los planos Π1: x + y + z = 2 y Π

2: x + 3y + z = 5 son secantes.

2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es G. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas:

a. H1 º H2

, con H1(A, 3) y H

2(A, –2) b. H

3 º H4, con H

3(G, –1) y H

4(G, 2)

3. Dadas las siguientes parejas de puntos: ubícalas en el plano cartesiano; calcula los componentes

del vector AB→

y calcula su módulo en cada caso.

a. A(1, 3); B(–4, 5) b. A(4, 0); B(–1, –5) c. A(2, 3); B(–1, 4) d. A(0, 6); B(–3, 7)

4. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal de 12 unidades y otro de 10 unidades que forma unángulo de 30º con el anterior.

a. ¿Cuál es la dirección del producto de a→

× b→

? b. ¿Cuál es el sentido de este vector? c. ¿Cuál es el módulo de este producto cruz? d. ¿Cuál es el área del paralelogramo que se forma

con estos vectores?

5. Determina el valor que debe tomar x para que los siguientes vectores sean perpendiculares:

a. �1, –2� y �x, 3� b. �0, 5� y �2, x� c. �0, 3� y �x, 2�

Un

idad

3


154 | Unidad 3

1. Los vectores de la figura tienen la mismamagnitud. Si r

→= 2a

→– b

→+ c

→, entonces el

vector que mejor representa la dirección der

→ es:

A.

B.

C.

D.

E.

2. Los módulos de los vectores a→

, b→

, c→

son 4, 3 y 2 unidades, respectivamente. Si r

→ = 2a

→– 2b

→– 3c

→, entonces el módulo

de r→

es:

A. 4 unidades.B. 8 unidades. C. 14 unidades. D. 16 unidades. E. 18 unidades.

3. Los vértices de un hexágono regular definenlos vectores de la figura. ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta?

A. a→

+ b→

+ c→

= 0B. e

→+ d

→= b

→– a

→

C. e→

– c→

= a→

D. d→

+ a→

= –2c→

E. e→

– d→

= 3c→

4. La ponderación entre λ = 5 y a→

= �1, 5� es:

A. 5 B. 25 C. �1, 5�D. �5, 25�E. Ninguna de las anteriores.

5. Si a→

= �2, 1�; b→= �0, 1�, entonces a→

· b→

=

A. 1 B. 2 C. 3 D. �2, 1�E. �0, 1�

6. Sean a→

= �2, 3� y b→

= �7, 2�, entonces

a→

· b→

+ b→

es:

A. 29

B. �21, 8�C. �27, 22�D. 27

E. No se puede determinar.

7. Los vectores de la figura forman un cuadrilátero.¿Cuál de las siguientes relaciones entre ellos es correcta?

A. a→

+ d→

= b→

+ c→

B. a→

– c→

= b→

– d→

C. a→

+ d→

= c→

– b→

D. a→

+ c→

= d→

– b→

E. a→

+ b→

= c→

+ d→


a→

b→ c

→

a→

a→

a→

b→

b→

b→

c→

c→

e→

d→

d→

c→


Vectores | 155

8. Si los vectores a→

, b→

y c→

se encuentran en unplano cartesiano, ¿cuál o cuáles de las siguientesrelaciones es o son correctas?

I. a→

= –5i^ – 2j^

II. b→

= –3i^ – 4j^

III. c→

= 3i^ – 3j^

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I, II y III E. Ninguna de las anteriores.

9. Si a→

= 8i^ – 11j^ y b→

= – 5i^ + 7j^, ¿cuál es el vectorc→

tal que a→

+ b→

+ c→

= 0?

A. 3i^ – 4j^

B. 13i^ –18j^

C. –3i^ + 4j^

D. –3i^ – 4j^


10. Si P es un punto de la recta MN y Q es unpunto que no pertenece a esta recta, entonceses falso que:

A. hay una recta perpendicular a MN que

pasa por Q.

B. hay un plano que contiene MN.

C. P, Q y M son colineales.

D. P, M y N son colineales.

E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N.

11. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representala misma recta que la ecuación vectorial �x, y� = �1, 1� + λ�–1, 1�?

A. y – x – 2 = 0 B. y + x – 2 = 0 C. y + x + 2 = 0D. –y – x – 2 = 0E. –y + x – 2 = 0

12. La ecuación analítica y la ecuación vectorial dela recta que pasa por el punto A(–2, 1) y esparalela a la recta y = 2x + 3 es:

A. y = 2x + 5λ ; L = λ

B. y = 2x – 1 ; L = λ�1, 2� + �–5, 0�

C. y = 2x + 5 ; L = λ�1, 2� + �–5, 0�

D. y = 2x – 1 ; L = λ

13. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectasdel plano cartesiano es representada por laecuación x = a?

A. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (0, a).

B. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (a, 0).

C. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (0, a).

D. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (a, 0).

E. La recta que pasa por el origen y por elpunto (a, a).

Un

idad

3

E. y = 2x + 5 ; L = λ1

21

5

20, – ,+

a→

b→

c→

Y

X

1

21

5

20, – ,+

1

21

5

20, – ,+



Áreas y volúmenes4

156 |Unidad 4

Prismas y pirámides

Cilindros y conos

Esfera y cuerpos de revolución

Principio de Cavalieri

Unidades de medida de área y volumen

Formular y verificar conjeturas respecto de los cuerpos generados a partir de

traslaciones o rotaciones de figuras planas.

Resolver problemas sobre área y volumen de cuerpos

geométricos.

Dibujar las proyecciones de uncuerpo en el plano.



Áreas y volúmenes | 157

Conversemos de...

Para crear piezas de cerámica, algunos alfareros utilizan el torno, que es una máquina consistenteen una superficie redonda y plana, llamada platina, unida a un eje que se hace girar a una ve-locidad que varía de 30 a 120 revoluciones por minuto (rpm) aproximadamente. Sobre la platina,el alfarero modela con las dos manos mojadas –una en la parte externa y la otra en el interior– unaporción de arcilla o greda. Debido a su naturaleza, los trabajos realizados mediante el empleo deltorno son casi exclusivamente piezas con simetría radial respecto de un eje vertical.

1. ¿Qué es la simetría radial? Explica.2. ¿Cómo se puede estimar el volumen de una vasija como la de la imagen? Comenta con tus

compañeros y compañeras qué estrategias podrían utilizar.3. Si supieras la medida de su sección longitudinal, ¿podrías calcular el volumen de la vasija?,

¿por qué?4. Si la medida de la sección longitudinal de dos vasijas fuera la misma, ¿tendrían el

mismo volumen? Justifica.

Latin

stoc

k


158 | Unidad 4

¿Cuánto sabes?

1. Completa las siguientes equivalencias:

a. 4,51 m = ____ cm e. 0,0079 cm2 = ____ m2

b. 3 600 000 dm = ____ m f. 5000 dm2 = ____ m2

c. 9350 cm2 = ____ dm2 g. 5,606 cm3 = ____ m3

d. 8400 dm2 = ____ cm2 h. 4,0009 m3 = ____ cm3

2. Calcula el área y perímetro de los siguientes polígonos regulares:

a. Un pentágono de lado 1 cm y apotema 0,69 cm.b. Un hexágono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 1,73 cm.c. Un octógono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 2,41 cm.d. Un decágono de lado 4 cm y apotema 6,16 cm.e. Un dodecágono cuyo lado mide 6 cm y su apotema 11,2 cm.

3. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando launidad de medida indicada, en cada caso.

a. A = dm2 b. A = m2 c. A = cm2

4. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide cm.

5. El área de un cuadrado circunscrito a una circunferencia es 144 m2.Calcula el área del círculo correspondiente.

6. Escribe la expresión para representar el lado de un cuadrado inscritoen una circunferencia, en función de su radio.

7. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 8 cm.

4 2


15 m 7,5 m 2 m3 m


8. Determina el área de un triángulo cuya base y altura son respecti-vamente el lado del triángulo equilátero y el lado del cuadrado,ambos inscritos en una circunferencia de radio cm.

9. En la figura, el cuadrado ABCD está inscrito en una circunferenciay circunscrito a otra. Si el lado del cuadrado mide 10 m, calcula larazón entre el área de ambos círculos.


4 2


Un

idad

4


• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectosconsecutivos no alineados, llamados lados.

• Se llama polígono regular a todo polígono cuyos lados son de igual medida y sus ángulosson congruentes.

• El apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular yuno cualquiera de sus lados.

• El área de un polígono regular se puede calcular mediante la expresión

A = , donde P es el perímetro del polígono y ap es su apotema.

• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vérticespertenecen a ella.

• Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a ella.• Un ángulo mide un radián si su arco tiene igual longitud que el radio. Utilizando esta

unidad de medida, un ángulo puede tomar valores entre 0 y 2π radianes. • El perímetro y el área de un círculo de radio r se pueden calcular mediante las expresiones

P = 2πr y A = πr 2, respectivamente. • Algunas equivalencias en las unidades de medida son:

• 1 m = 10 dm = 100 cm• 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2

• 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3

P · ap2

apl

D C

A B

h

bb

h


160 | Unidad 4

Área y volumen

Analicemos...

Para indicar el tamaño de una caja de cartón, lo común es señalarsus dimensiones, es decir, las medidas de su largo, ancho y alto.Pero para otros envases, como los frascos, por ejemplo, referirse asus dimensiones puede no ser muy útil. Observa.

Para responder a las preguntas planteadas podemos considerarque el tamaño de un envase, en general, puede describirse segúnla cantidad de espacio que ocupa, lo que no depende de laforma del envase y puede ser más claro que señalar cada una desus dimensiones.

Para calcular el volumen de un cuerpo, se compara con un cubode una unidad de arista. En el sistema métrico decimal, la unidadde volumen es el metro cúbico (correspondiente al volumen de uncubo de un metro de arista), aunque frecuentemente se utilizansus submúltiplos, y, especialmente en el caso de líquidos y gases,el litro.

En cambio, si se requiere saber cuánto material se utilizó en la fabri-cación del envase, es necesario conocer su forma, es decir, a quécuerpo geométrico se parece y sus medidas. El área es la medidade una superficie; el área de un cuerpo será entonces la suma delas medidas de la superficie de cada una de sus caras. El área semide en unidades tales como centímetros cuadrados, metroscuadrados, etcétera.

• ¿Cómo puedes describir el tamaño de los frascos de la imagen?• ¿Cuál de los frascos contiene más agua?, ¿por qué?• ¿Para cuál de ellos fue necesario utilizar más vidrio en su fabri-

cación? Explica.• ¿Qué unidad de medida es adecuada para describir el tamaño de

un envase?, ¿por qué?

Una idea intuitiva de superficie serefiere a aquellas formas que carac-terizan a un cuerpo. Una superficiepuede ser plana, como es el caso delas caras de prismas, pirámides ypoliedros, entre otros, o bien, curvas,como las del cono, cilindro y esfera.

Recuerda que...

Glosariovolumen: medida del espacio queocupa un cuerpo.cuerpo: objeto material en que pue-den apreciarse las tres dimensionesprincipales, longitud, anchura y altura.litro: unidad de capacidad que equi-vale al volumen de un decímetrocúbico. Es decir, 1000 litros corres-ponden a un metro cúbico.capacidad: medida del volumen quepuede contener un cuerpo.

1 m

Frascos con agua.


EjemploCada uno de los siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 cmde arista.

Observa que todos tienen igual volumen, 8 cm3, pues están formadospor ocho cubitos de igual medida; en cambio, tienen diferente área,sus superficies miden 24 cm2, 28 cm2 y 34 cm2, respectivamente.


Un

idad

4

En resumen

• El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.

• El área de un cuerpo es la suma de las medidas de la superficie de cada una de sus caras.

• La unidad de medida del volumen en el sistema métrico decimal es el metro cúbico, queequivale a 1000 litros.

1. ¿Qué sucede con el volumen de un cubo si su lado aumenta al doble?, ¿y con el área? Explica.

2. Estima en qué razón están los volúmenes de dos cilindros de igualaltura, si el radio de uno de ellos es el doble de la medida del radiodel otro. Explica.

3. Demuestra que el plano trazado que contiene a las aristas opuestas deun paralelepípedo oblicuo divide a este cuerpo en dos prismas trian-gulares equivalentes en volumen.

4. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente de sus longitudes (ya sea referido a aristas, diagonales,etcétera) es k, ¿cuál es el cociente entre sus volúmenes? Justifica.

Actividades

• A pesar de que volumen no es lomismo que capacidad, para calcu-lar la capacidad se suelen utilizarlas mismas expresiones que parael volumen.

• Es común asignar al concepto desuperficie y área el mismo signifi-cado; sin embargo, debemos dife-renciar ambos términos. La super-ficie es una extensión en que solose consideran dos dimensiones. Elárea es la medida de la superficie.

Pon atención

1 1

8

14

22

2

2

H G

F

CBA

D

E

r 2r


162 | Unidad 4

Proyecciones en el plano

Analicemos...

En variadas ocasiones, las personas requierenplasmar en una hoja de papel un objeto oun cuerpo geométrico que, al tener tresdimensiones, su representación no es in-mediata. Observa.

Disciplinas como el dibujo y la pintura resuelven la representaciónde un cuerpo en el plano mediante el color y la aplicación deluces y sombras; en cambio, otras disciplinas, como el dibujo téc-nico y la arquitectura, lo resuelven realizando las proyeccionesen el plano correspondientes.

En la figura siguiente, este cuerpo está representado en tres planospor medio de proyecciones perpendiculares a los planos.

A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un mo-delo de él en tres dimensiones. Este principio es usado en algunosprogramas computacionales para representar el volumen de uncuerpo que se muestra en una pantalla.

• Si miraras este cuerpo de frente, ¿qué figuras puedes observar?;¿y al mirarlo de perfil?, ¿y al mirarlo desde arriba? Dibuja todaslas figuras en tu cuaderno.

• ¿Crees que estas figuras son una adecuada representación deeste cuerpo?, ¿por qué?

Glosarioproyecciones en el plano: figurasque resultan, en una superficie, deproyectar en ella todos los puntosde un sólido u otra figura, desdedistintas perspectivas.


En resumen

• Las proyecciones en el plano son figuras que resultan de proyectar en una superficie todoslos puntos de un sólido o cuerpo, desde distintas perspectivas.

• Las proyecciones ortogonales originan tres vistas del cuerpo: la planta, el alzado y el perfil.


Un

idad

4Así, las proyecciones ortogonales originan tres vistas del objeto: laplanta, el alzado y el perfil, términos muy utilizados por profesiona-les de la arquitectura y el diseño. Observa.

1. Dibuja la planta, el alzado y el perfil de los siguientes cuerpos.

a. b.

2. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones.

a. c.

b. d.

Actividades

Glosarioplanta: proyección de un cuerpo vistodesde arriba.alzado: proyección de un cuerpovisto desde el frente.perfil: proyección de un cuerpo vistodesde uno de sus lados.

Objeto

PlantaPlanta

Alzado Alzado

Perfil Perfil


164 | Unidad 4

En resumen

• El área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma de las áreas de cada una de suscaras, tanto de la o las bases como de sus caras laterales.

• El área de un prisma es A = AL + 2 · AB, donde A: área total; AL: área lateral; AB: área basal.

• El área de una pirámide es A = AL + AB, donde A: área total; AL: área lateral; AB: área basal.

Área de prismas y pirámides

Analicemos...

Observa los siguientes prismas.

• ¿Cuántos polígonos conforman la red del prisma, en cada caso?,¿cuáles polígonos son, en cada caso? Explica.

• ¿Para calcular el área total de un prisma es suficiente con saberel área de la base y la medida de su altura?, ¿por qué?

• ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de unprisma?, ¿cómo lo calcularías?

• En el caso de una pirámide, ¿cómo calcularías su área? Justifica.

• Un poliedro es un cuerpo geo-métrico limitado por cuatro o másregiones poligonales no copla-nares. Estas regiones poligonalesse llaman caras del poliedro, loslados de las caras reciben el nom-bre de aristas y concurren en unpunto llamado vértice.

• La red de un poliedro u otro cuer-po geométrico es la figura quese obtiene al extenderlo sobreun plano.

• El área basal corresponde alárea del o los polígonos que for-man la base.

Recuerda que...

A partir de la red de un prisma, se puede determinar la forma y elnúmero de caras que tiene el prisma y, luego, calcular su área.

En general, el área total de un cuerpo geométrico equivale a lasuma de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las basescomo de sus caras laterales.

ap

b

• El número de caras laterales deun prisma o de una pirámide de-pende siempre del número delados de la base.

• Las caras laterales son siempreparalelogramos, en el caso de losprismas, y triángulos, en el casode las pirámides.

Pon atención



Un

idad

4

1. Calcula el área de un paralelepípedo recto de 6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura.

2. Calcula el área de un prisma regular, de base hexagonal con arista 8 cm, y altura 10 cm.

3. El área total de un paralelepípedo recto es igual a la de un cubo. Si las medidas de las aristas queconcurren a un vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm, respectivamente, ¿cuánto mide ladiagonal del cubo?

4. ¿Qué cantidad de cartón se utilizará para hacer una caja de forma de paralelepípedo recto dedimensiones 1,2 m de largo, 1,4 m de ancho y 2 m de fondo?, ¿cómo lo supiste?

5. En un envase con forma de prisma de base cuadrada, la altura es el doble de la medida del lado dela base y el área total es 250 m2. Calcula las dimensiones del envase.

6. Calcula el área de los siguientes prismas. Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

a. b. c. d.

7. El techo de una casa tiene forma de pirámide cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y 8 m dealtura. Determina los metros cuadrados de tejas necesarios para cubrir todo el techo.

8. Dibuja la red correspondiente a una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm y conbase un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Calcula su área total.

9. Los siguientes son juguetes de madera que serán pintados del mismo color. Sobre cada uno seindica cuántos se van a fabricar. Calcula la cantidad de pintura necesaria para tal labor, considerandoque un litro de pintura rinde aproximadamente 3 m2.

Actividades

8 cm

5 cm

4,3 cm 5 cm 4 cm4 cm

6 cm

10 cm

12 cm

4 cm

4 cm4 cm

10 cm

10 cm

12 cm

5 cm15 cm

10 cm 15 cm

4 cm 3 cm

15 30 22


166 | Unidad 4

Cuerpos generados por traslación

Al realizar la traslación de un polígono, en cada caso, se puedeconsiderar que se está formando un cuerpo geométrico. Observa.

• En cada caso, ¿qué cuerpo geométrico se forma?, ¿por qué?• Si la generatriz fuera un círculo, ¿qué cuerpo geométrico se

forma al aplicar una traslación? Justifica.• Comenta con tus compañeros y compañeras y decidan cuál o

cuáles de los cuerpos geométricos que conocen se pueden for-mar mediante la traslación de una figura. Justifiquen en cada caso.

Analicemos...

En la imagen, mediante la traslación de un rectángulo se obtieneun paralelepípedo, y mediante la traslación de un hexágono, unprisma de base hexagonal. Observa que para que se genere efec-tivamente un cuerpo, el vector de traslación no puede ser para-lelo al plano que contiene la generatriz.

En general, se dice que un cuerpo es generado por traslación si sepuede formar mediante la traslación de una figura plana. Otrosejemplos son los cubos y los cilindros.

En resumen

• Se llama generatriz a la figura plana que por su movimiento engendra un sólido geométrico.

1. Supón que un cuadrado tiene uno de sus vértices en el origen, con uno de sus lados sobre el eje Xy el otro sobre el eje Y y cuyo lado mide 4 unidades de longitud.

a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este cuadrado por el vector (0, 0, 4)?b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?, ¿por qué?c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado? Justifica.

Actividades

Cuerpos generados por traslación

Un paralelepípedoes generado por latraslación de un paralelogramo.

Un prisma es gene-rado por la traslaciónde un polígono.

Un cilindro es gene-rado por la traslaciónde un círculo.

Glosariogeneratriz: dicho de una línea o deuna figura, que por su movimientogenera una figura o un sólido geo-métrico, respectivamente.

T1

→

B

B

T2

→



Un

idad

4

Principio de Cavalieri

Jorge estaba preparando el almuerzo y trozó una berenjena enrodajas y, luego, Gabriel, su nieto, tomó las rodajas e intentó or-denar los trozos como se muestra en la imagen. Observa.

• ¿La berenjena tiene el mismo volumen que antes de partirla?,¿por qué?

• Ahora, considera un cubo y un prisma de base triangular quetienen igual altura y además sus bases tienen igual área, ¿tienenigual volumen? Justifica.

Analicemos...

En la situación anterior, la berenjena que Gabriel apiló así tieneigual volumen que antes de cortarla, porque si ordenáramos lasrodajas, una a una, podríamos reconstituir la forma de la berenjena.

Esta idea también puede aplicarse para comparar el volumen dedos o más cuerpos, aunque sean distintos. Por ejemplo, supón queun prisma y un paralelepípedo tienen igual altura. Si sus basestienen igual área, aunque no tengan la misma forma, entonces tam-bién tienen igual volumen. Observa.

En general, es posible afirmar que si dos cuerpos tienen la mismaaltura y además tienen igual área en sus secciones planas reali-zadas a una misma altura, entonces poseen igual volumen. Esto seconoce como el principio de Cavalieri.

En resumen

• Principio de Cavalieri: si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlospor cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es la misma, ambos tienen elmismo volumen.

Glosariosección plana: figura que resulta dela intersección de un cuerpo o sólidocon un plano.

A2

A1

V1

V2

Si A1 = A2, entonces V1 = V2.

Berenjena trozada.


168 | Unidad 4

En resumen

• El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B · h, donde B es el área de la basey h la altura del prisma.

• En particular, el volumen de un prisma oblicuo no depende de su ángulo de inclinación, sinode su altura y área basal.

El volumen de un paralelepípedorecto se puede calcular multipli-cando las medidas de su largo,ancho y altura.

Recuerda que...

Volumen de un prisma

Considera que los cuerpos de la siguiente imagen tienen igual al-tura y sus bases tienen la misma área. Observa.

• ¿Cómo se calcula el volumen de un paralelepípedo? Explica.• ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?, ¿por qué?• ¿El volumen de un prisma depende de su inclinación?, ¿por qué?,

¿y de su altura? Justifica.

Analicemos...

Como se puede observar, todos los cuerpos de la imagen anteriortienen la misma altura y sus bases tienen igual área. Según el prin-cipio de Cavalieri, como sus secciones planas son iguales, losvolúmenes también lo son; por tanto, se puede calcular el volu-men tal como en el caso del paralelepípedo, esto es, como el pro-ducto entre el área de la base y la altura. Por consiguiente, dependedel área del polígono que corresponde a la base del prisma.

Observa que el volumen no cambia si se compara un prisma rectocon uno oblicuo; de hecho, no depende de la inclinación del prisma,sino del área de la base y de su altura. Esto también se explica porel principio de Cavalieri.

hhh

B B B

Glosariooblicuo: se dice de un prisma cuandosus aristas laterales no son perpen-diculares a la base del prisma.



Un

idad

4

1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. Justifica.

2. Calcula el volumen de un prisma triangular, de altura 6 cm y base un triángulo equilátero, cuyolado mide 10 cm. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

3. Calcula el volumen de los siguientes prismas. En ambos casos, la arista de la base mide 3 cm, la altura 4 cm y sus bases son polígonos regulares.

4. Las aristas de un paralelepípedo recto están en la razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal midecm. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

5. El volumen de un prisma recto de base hexagonal es m3 y su altura mide 5 cm. ¿Cuál esla medida de los lados del hexágono?

6. Calcula el área total de un prisma recto de base hexagonal regular, cuya arista basal mide 4 cm yla arista lateral 16 cm.

7. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3, calcula el área de unasección transversal que se obtiene mediante el corte con un plano para-lelo a las bases.

8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y está constituido por pequeños cubos independientes conaristas de 1 cm. Se desea construir con ellos un paralelepípedo. ¿Qué dimensiones tiene el para-lelepípedo de menor área que se puede formar?, ¿y el de mayor área?

9. De un cubo sólido de arista a unidades se extrajo un cubo de arista bunidades, tal como se muestra en la figura. Calcula el volumen delcuerpo resultante, teniendo en cuenta los siguientes datos:

• (a – b)3 = 27• a2b = 50 • ab2 = 20

10. En el caso de un prisma oblicuo, ¿se puede calcular el volumen si se conoce el área de la base yla medida de la arista lateral?, ¿por qué?

4 29

120 3

Actividades

12 cm


170 | Unidad 4

Volumen de pirámides

Considera el siguiente prisma de base triangular de bases ΔABC yΔDEF. Si se realizan dos cortes desde el punto D, uno de ellos hastala arista BC y el otro hasta la diagonal EC, como se muestra en lasfiguras, el prisma se descompone en tres pirámides: P1(ABDC),P2(DEBC) y P3(DEFC).

Observa que los triángulos ABD y EDB son congruentes, ya queDB es la diagonal del rectángulo DEBA. Como puede verse en laprimera figura, si se consideran como bases los triángulos de color,en cada caso, la arista común BC es la altura de las pirámides P1 yP2. Luego, por principio de Cavalieri, P1 y P2 tienen igual volumen.

De igual modo, los triángulos EBC y EFC son congruentes, ya queEC es la diagonal del rectángulo EFCB. Como puede verse en lasegunda figura, si se consideran como bases los triángulos de color,en cada caso, la arista común DE es la altura de las pirámides P2 yP3. Luego, por principio de Cavalieri, P2 y P3 tienen igual volumen.

En términos de su volumen, P1 = P2 y P2 = P3, luego, necesariamente,P1 = P3. Es decir, el volumen de las tres pirámides son iguales. Comolas tres juntas forman el prisma, podemos afirmar que el volumende cada pirámide es un tercio del volumen del prisma.

Observa que la argumentación descrita no depende del tipo detriángulo que forma la base, es decir, no se supone que este trián-gulo sea, por ejemplo, equilátero o isósceles. Para todo prisma debase triangular, esta conclusión es igualmente válida. Tampoco de-pende de si el prisma es recto u oblicuo.

Analicemos...

• Dibuja en tu cuaderno cada una de las pirámides y observa laspirámides P

1y P

2; considera que C es su cúspide. ¿Sus bases

son congruentes?, ¿por qué?, ¿P1

y P2

tienen el mismo volu-men? Explica.

• En la segunda figura, observa las pirámides P2

y P3; considera

que D es la cúspide ahora. ¿Sus bases tienen igual medida?,¿por qué?, ¿P

2y P

3tienen igual volumen?

• ¿Cómo se puede calcular el volumen de una pirámide? Explica.• Comenta con tus compañeros y compañeras si esta relación

depende o no de las características del triángulo de la base.

• Una pirámide es un cuerpo quetiene por base un polígono cual-quiera y cuyas caras, tantas ennúmero como los lados del polí-gono, son triángulos que concu-rren en un solo punto, llamadocúspide o vértice de la pirámide.

• La diagonal de un paralelo-gramo lo divide en dos triángu-los congruentes.

Recuerda que...

D

A B

C

F

E

D

A B

C

F

E

D

A B

C

F

E



Además, ya que todo polígono se puede dividir en dos o más trián-gulos, una pirámide de base poligonal también se puede descom-poner en dos o más pirámides de base triangular. Como hemosvisto, el volumen de cada una de estas pirámides es un tercio delvolumen del correspondiente prisma triangular; por lo tanto, el vo-lumen de la pirámide de base poligonal es un tercio del volumendel prisma de igual base y altura, sin importar cuál sea el polígonode la base.

Un

idad

4

En resumen

• El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen de un prisma de igual áreabasal e igual altura, es decir,

Vpirámide = · Vprisma = · B · h (B: área de la base; h: altura).13

13

1. Calcula, en cada caso, el volumen del prisma y de la pirámide.

a. b.

2. Calcula el área y el volumen de cada una de las siguientes pirámides, si sus bases sonpolígonos regulares.

a. b. c.

Actividades

3 cm4 cm

7 cm4 cm3 cm

h = 24 cm

5 cm

4,13 cm

7 cm

1,15 cm

12 cm

6 cm 8 cm

12 cm

8 cm6 cm

7 cm

14 cm 6 cm 4 cm


172 | Unidad 4




2. Dos prismas de igual base e igual altura, ¿tienen igual volumen?, ¿por qué?

3. ¿Cuál es la diferencia entre una pirámide y un prisma?

4. ¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide?

5. ¿Qué características tiene un cuerpo generado por traslación? Explica.

6. ¿Qué condiciones deben cumplir dos o más cuerpos de igual altura para concluir que

tienen igual volumen? Justifica.

7. Si se conocen dos proyecciones de un sólido, ¿se puede determinar su forma?, ¿por qué?

8. Dos pirámides de igual altura e igual área basal, ¿tienen igual volumen?

9. Si se duplica la altura de un prisma, ¿cuánto aumenta su volumen?




CUERPOS GEOMÉTRICOS

PROYECCIONES

EN EL PLANO

llamadas

ÁREA

se pueden representar por

ALZADO PERFIL

PIRÁMIDES

PLANTA

CILINDROS

se calcula

VOLUMEN

PRINCIPIO DE

CAVALIERI

se calcula

de de de

PRISMAS

corresponden a

CUERPOS GENERADOS

POR TRASLACIÓN

aplicando


Mi progreso

Un

idad

4

1. Calcula el volumen y el área total de una pirámide hexagonal regular, sabiendo que el lado de la basemide 8 cm y su altura es cinco veces la longitud del apotema de la base de la pirámide.

2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrada recta si su altura mide 12 cm y la altura de una de suscaras laterales mide 13 cm.

3. Calcula la altura de una pirámide de volumen 10 000 cm3, cuya base es un triángulo equilátero de 100 cmde lado.

4. Obtén el alzado, perfil y planta de las figuras.

5. El área total de un prisma recto, cuya base es un hexágono regular de 53 cm de apotema y 12 cm dealtura, es aproximadamente:

A. 18 412 cm2

B. 45 023 cm2

C. 35 096,2 cm2

D. 23 895,83 cm2



¿Cómo voy?



Calcular el volumen de un prisma. 1 168 y 169

Calcular el área de un prisma y de una pirámide. 1 y 5 164 y 165

Calcular el volumen de una pirámide, dada su altura y viceversa.

2 y 3 170 y 171

Determinar las proyecciones de un cuerpo geométrico.

4 162 y 163

a. b.


174 | Unidad 4

Cuerpos generados por rotación

Observa qué sucede al girar una circunferencia de papel inserta enun lápiz, es decir, una circunferencia que gira en torno a sudiámetro, en este caso.

Tal como se puede apreciar en las imágenes, al girar una circunfe-rencia en torno a su diámetro, se observa una esfera. De manerasimilar, si se gira un rectángulo en torno a uno de sus lados, se puedeobservar un cilindro, mientras que si se gira un triángulo rectánguloen torno a uno de sus catetos, se puede observar un cono.

En general, se denominan cuerpos de revolución aquellos quepueden obtenerse mediante la rotación de una curva o una figuraplana (la generatriz) alrededor de un eje.

Otro ejemplo de cuerpo derevolución es el tronco de uncono o cono truncado. Este segenera mediante la rotacióndel trapecio rectángulo ABCDcuyo eje corresponde al ladoBC, como muestra la figura.

Analicemos...

• ¿Qué cuerpo geométrico puedes observar que se forma?• Si en lugar de una circunferencia, se girara un semicírculo en

torno a su diámetro, ¿qué se observaría?, ¿por qué?, ¿y en elcaso de que fuese un rectángulo?

• ¿Qué otros cuerpos geométricos que conoces se podrían obser-var de esta forma?, ¿qué figuras se necesitan, en cada caso?

• ¿Qué objetos corresponden a cuerpos de este tipo?

A B

CD



Un

idad

4

En resumen

• Se dice que un cuerpo es generado por rotación o que es un cuerpo de revolución si sepuede obtener mediante la rotación de una curva o una figura plana en torno a un eje.

• Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.• Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus catetos.• Esfera: generado por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro.

Cilindro Cono Esfera

A

BB

D

CA

M M A A

B

C C

B B

N N

C

D

1. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las siguientes figuras alrededor del eje indicado.

a. b.

2. Dibuja las generatrices de los siguientes cuerpos por rotación, incluyendo los ejes correspondientes.

a. b.

3. De los cuerpos geométricos estudiados a lo largo de esta Unidad, ¿cuáles se pueden generar medianterotaciones?, ¿qué tipo de rotaciones?

Actividades


176 | Unidad 4

Área de cilindros y conos

Observa el siguiente cilindro y cono.

En la siguiente imagen, que representala red de un cilindro, se puede observarque la superficie lateral del cilindro estáformada por un rectángulo, mientrasque sus bases corresponden a círculos.

Observa que el ancho del rectángulo corresponde a la altura delcilindro, y su largo, al perímetro de la base.

Luego, el área del cilindro está determinada por:

Acilindro = 2 · Acírculo + Arectángulo

= 2 · πr 2 + 2πr · g= 2πr · (r + g)

Donde g: generatriz o altura del cilindro; r : radio del círculo dela base.

En cambio, un cono está formado por un círculo (base) y por unsector circular. El arco del sector circular tiene longitud 2 · π · r(porque corresponde a la longitud de la circunferencia de la base).Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual al área delsector circular.

Asc = = = π · r · g2 · π · r · g2

S · r2

Analicemos...

• ¿Qué figuras conforman la red de un cilindro?, ¿y las de uncono? Justifica.

• Si se conoce solo la longitud de la generatriz y del radio de labase, ¿se puede calcular el área del cilindro? Explica.

• ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de uncono?, ¿por qué?

• Si se trata de un cilindro oblicuo, ¿qué figuras conforman sured?, ¿su área depende de su inclinación?, ¿por qué?

El área de un círculo se puede cal-cular mediante la expresión π · r 2. (r: radio).

Recuerda que...

La base del rectángulo coincide conel perímetro del círculo.

Pon atención

r αSector circular

g

r

g

g

g

r

r

r



El área de la base corresponde al área de un círculo, es decir, π · r 2,entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante lasiguiente expresión:Acono = π · r · g + π · r 2 = π · r (g + r)

El área de un cono truncado corresponde a la suma de las áreas delas bases del tronco del cono y el área lateral.

El área lateral se puede calcular como la diferencia entre el árealateral del cono, si estuviera completo, y la del cono menor que locomplementa, es decir:ALTronco de cono = π · R · (g + h) – π · r · g

Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el árealateral del tronco de cono está dado por la expresión:ALTronco de cono = π · (R + r) · g

Luego, junto con el área de cada una de las bases, el área deltronco de cono se puede calcular como:ATronco de cono = π · [(R + r) · g + R 2 + r 2]

Un

idad

4

En resumen

• El área de un cilindro se determina de la siguiente forma: Acilindro = 2 · π · r (r + g)

• El área de un cono está dada por la expresión: Acono = π · r (r + g)

• El área de un tronco de cono está dada por la fórmula: ATronco de cono = π [(R + r) · g + R 2 + r 2](r : radio, R: radio de la otra base, g: generatriz).

El área de un sector circular está

dada por la expresión Asc = ,

donde S es la longitud del arco de

circunferencia y r es el radio del

sector circular.

S · r2

Recuerda que...

g

g

g2πr2πR

1. Un tarro tiene un diámetro de 10 cm y altura 30 cm. Calcula la cantidad de aluminio necesario para fabricarlo.

2. ¿En qué razón están las áreas de dos cilindros rectos de igual altura, si sus radios son uno el dobledel otro?

3. El radio de la base de un cilindro y de un cono mide 6 cm. La altura del cono mide 8 cm. Determinacuál debe ser la altura del cilindro para que ambos tengan:

a. la misma área lateral. b. la misma área total.

Actividades

R


178 | Unidad 4

Volumen de cilindros

Observa la siguiente ilustración:

h

r

Como se puede observar en la imagen, los cuerpos tienen igual al-tura, y si sus secciones planas tienen igual área, se puede aplicar elprincipio de Cavalieri; por lo tanto, el volumen del cilindro dependede la altura y del área de la base, al igual que en el caso del volu-men del prisma, luego se tiene que:

Vcilindro = h · B (B: área de la base)

Vcilindro = h · π · r 2

Analicemos...

• Si las bases del prisma y del cilindro tienen igual área, ¿estoscuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué?

• Si se conoce el área de la base del cilindro, ¿cómo se calcula suvolumen? Explica.

• ¿El volumen de un cilindro depende de si es recto u oblicuo?,¿por qué?, ¿y de su altura? Justifica.

El área de un círculo está dada porla expresión π · r 2 (r : radio).

Recuerda que...

En resumen

• El volumen de un cilindro se puede calcular mediante la siguiente expresión:V = h · π · r 2 , donde r es el radio del círculo de la base y h es la altura del cilindro.

1. Un cilindro tiene 112π cm2 de área. Su altura es de 10 cm.

a. Determina el diámetro de la base. b. Calcula el volumen del cilindro.

2. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su altura se duplica?

3. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su radio se duplica?

Actividades



Un

idad

4


Para observar otros ejemplos de cuerpos generados por rotación, puedes abrir el applet que estádisponible en la página web www.educacionmedia.cl/links/11M4179.html

En la pestaña Sup. de revolución podrás observar cómo se generan una esfera, un cono y un cilindro,a partir de sus correspondientes generatrices.

En la pestaña Torno podrás modificar un cilindro y así crear variados cuerpos generados por rotación:

• En el recuadro Edición mueve los puntos rojos para modificar la generatriz, lo que inmediata-mente transforma el correspondiente cuerpo y las demás vistas que se presentan.

• Puedes cerrar la superficie completamente moviendo hacia el lado derecho el punto rojo queestá bajo la palabra ABRIR.

Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen:

Utilizando este applet, desarrolla las siguientes actividades:

1. Modifica los puntos rojos de modo que el cuerpo generado corresponda a un cilindro. Después,mueve los puntos de modo que el radio del cilindro sea aproximadamente el doble del anterior.¿Qué puedes concluir respecto de sus volúmenes?

2. Luego, modifica los puntos para generar un cuerpo cuya generatriz sea un polígono, como elque se observa en la imagen. ¿Cómo se podría calcular el volumen de este cuerpo? Comentacon tus compañeros y compañeras.


180 | Unidad 4

Volumen de conos

Así como se puede relacionar el volumen de un prisma con el deun cilindro de igual altura, también podemos relacionar el volumende una pirámide con el de un cono de igual altura. Observa.

La pirámide y el cono de la imagen anterior tienen la misma al-tura y sus bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri,si sus secciones planas a la misma altura son iguales, los volúmenestambién lo son; por tanto, se puede calcular el volumen a partir delvolumen de la pirámide.

Vpirámide = Vcono = h · B (B: área de la base)

Del mismo modo que en otros cuerpos, la expresión para calcularel volumen del cono no cambia si se trata de un cono recto uoblicuo; de hecho, no depende de su inclinación, sino de su altura.Esto también se explica por el principio de Cavalieri.

En el caso de un tronco de cono, elvolumen se puede calcular como ladiferencia entre el volumen delcono, si estuviera completo, y elcono menor que lo complementa,es decir:

VTronco de cono = πHR 2 – πar 213

13

13

Analicemos...

• Si la base de la pirámide y la del cono tienen igual área, ¿se puedeafirmar que estos cuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué?

• ¿En este caso también se aplica el principio de Cavalieri? Justifica.• Si se conoce el radio de la base y la altura del cono, ¿qué expresión

se puede utilizar para calcular su volumen? Explica.

Los conos son cuerpos generadospor rotación de un triángulo rec-tángulo con respecto a uno de suscatetos.

Recuerda que...

h

CC

rB B

A

Generatriz (g)

Luego, Vcono = h · π · r 213

H

h

r

R R

a


Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el volu-men del tronco del cono está dado por la expresión:

VTronco de cono = πh(r 2 + R2 + r · R), donde R y r son los radios de

las bases y h es la altura del tronco de cono. Observa que esta

expresión depende solo de la altura y del radio de cada base.

EjemploCalcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basalesmiden 10 y 6 cm, y cuya generatriz mide 8 cm. Se puede aplicar elteorema de Pitágoras para obtener la altura del tronco. Observa.

h =

Luego, se remplazan los valores correspondientes en la expresióndel volumen.

V = π (102 + 62 + 10 · 6) = · 196 � 1422 cm3.483

π48

13

13

8 4 482 2− =

Un

idad

4


utilizamos las medidas del triánguloformado por la generatriz, la altura yla diferencia entre los radios

10 cm

8 cm

6 cm

En resumen

1. Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm.

2. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma similar a un cono de dimen-siones 40 m de radio y 10 m de altura. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camióncon capacidad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión?, ¿cómo lo supiste?

3. Considera el tronco de cono generado por la rotación de un trapecio recto cuyas bases miden 11 y6 cm y cuya generatriz mide 13 cm. Calcula y explica, paso a paso, cómo lo calculaste:

a. la altura del tronco de cono.b. el volumen del tronco de cono que se genera.

Actividades

• El volumen de un cono está dado por la expresión V = π · r 2 · h donde r es el radio de labase del cono y h es su altura.

• El volumen de un tronco de cono está dado por la expresión:

VTronco de cono = πh(r 2 + R 2 + r · R), donde R y r son los radios de las bases y h es su altura.13

13


182 | Unidad 4

Volumen y área de la esfera

Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedes fue determinar cómo calcular el volumen de la esfera.El procedimiento que utilizó consistió en relacionar las seccionesplanas de una semiesfera, un cilindro y un cono, todos de altura Ry radio R, generadas al intersecar estos cuerpos por un plano para-lelo a las bases a una distancia h del punto O. Observa.

Arquímedes observó que cuando se corta la semiesfera, el cilindroy el cono por un plano paralelo a las bases, las áreas de las sec-ciones producidas en la semiesfera (A1), en el cilindro (A2) y en elcono (A3) verifican la siguiente relación: A1 = A2 – A3

En la imagen de la situación inicial se puede observar que:

A1 = πr 12 = π · (R 2 – h2)

= πR 2 – πh2

= A2 – A3

Entonces, se puede aplicar el principio de Cavalieri para calcularel volumen de la semiesfera, si se considera el cilindro y el cono.Como estos cuerpos tienen la misma área basal y la misma altura,se tiene que Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono

Vsemiesfera = π · R2 · R – · πR2 · R, = πR3 – · πR3 = · πR3

Finalmente, el volumen de la esfera es claramente el doble del de

la semiesfera, esto es: Vesfera = · πR 3.43

23

13

13

Analicemos...

• ¿Cuál es el área de la sección del cilindro?, ¿por qué?• ¿Cuál es el área de la sección del cono?, ¿se puede representar

en términos de la distancia h? Justifica.• ¿Cuál es el área de la sección de la semiesfera?, ¿cómo se puede

representar en términos de R y h? Explica.• Aplicando el principio de Cavalieri, ¿se puede calcular el volumen

de la esfera?, ¿por qué?

Sección de la semiesfera (A1) Sección del cilindro (A2) Sección del cono (A3)

Oh r1

R RRh

OhP

R

Qr2

O

aplicando el teorema de Pitágoras

por distributividad

ya que, en este cono, h = r2

R es la altura del cilindro y del cono.

Pon atención



A diferencia de los poliedros, del cono y del cilindro, en el caso dela esfera no es posible dibujar su red, por lo que para calcular elárea de la esfera nos apoyaremos en el cálculo de su volumen.

El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volú-menes de muchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases estáninscritas en la esfera y cuyos vértices están en el centro de la esfera,como se muestra en la siguiente imagen:

El volumen de la esfera equivale a la suma de los volúmenes detodas las pirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene:

Vesfera = B1 · h + B2 · h + ... + Bn · h = (B1 + B2 + ... + Bn) · h

Observa que la suma de las bases de las pirámides B1 + B2 + ... + Bnequivale al área total de la esfera, y h, en este caso, es igual a r, elradio de la esfera; entonces:

Vesfera = Aesfera · r = πr 3, luego, despejando, Aesfera = 4πr 2.43

13

13

13

13

13

Un

idad

4

• B1, B2, ..., Bn corresponden al áreade la base de cada pirámide.

• La forma de aproximar por “infinitos infinitesimales” mos-trada aquí es habitual en Mate-mática, en niveles superiores,aunque requiere mucho cuidadoy rigurosidad.

Pon atención

En resumen

• El volumen de la esfera de radio r es V = · πr 343

• El área de la esfera de radio r es Aesfera = 4πr 2

1. Calcula el volumen y el área de una esfera de 6 cm de radio.

2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual radio. La suma de los volúmenes del cilindro y del cono,¿puede ser equivalente al volumen de la esfera? Justifica.

3. Una esfera está inscrita en un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son tangentes a la esfera.Calcula el volumen y el área de la esfera.

Actividades


184 | Unidad 4




2. ¿Cuándo se dice que un cuerpo es generado por rotación? Justifica.

3. ¿Cuál es la diferencia entre cono y cilindro?

4. ¿Cómo se relaciona el volumen de un cilindro con el de un cono?, ¿y con el de una

semiesfera? Explica.

5. ¿Qué características tiene un tronco de cono?

6. ¿Cómo se relaciona el volumen de un cono truncado con el volumen del cono en

general? Explica.

7. ¿Qué relación hay entre el volumen del cono y el volumen del cilindro, si tienen iguales

bases y alturas? Justifica.




CUERPOS REDONDOS

ESFERA

VOLUMEN ÁREA

RED

PRINCIPIO DE

CAVALIERI

son generados por pueden serse calcula su

mediante mediante

suAPROXIMACIONES

PIRAMIDALES

ROTACIÓN DE UNA

SUPERFICIE GENERATRIZ

CILINDRO

CONO



Mi progreso

1. Dibuja los cuerpos generados por rotación que se obtienen al girar lassiguientes figuras alrededor del eje, en cada caso.

2. Determina el radio de la base de un cilindro sabiendo que su área lateral es 1507,2 cm2 y la generatrizmide 40 cm. ¿Cuál es su volumen?, ¿cómo lo calculaste?

3. Un cubo y una esfera tienen la misma área: 216 cm2. ¿Cuál tiene mayor volumen?, ¿por qué?

4. El radio de la base de un cilindro y de un cono mide 8 cm. La altura del cilindro es de 10 cm. Averiguacuál debe ser la generatriz del cono para que ambos tengan:

a. la misma área lateral.b. la misma área total.c. igual volumen.

5. Un cono generado por rotación de 6 cm de radio y 8 cm de alturaes cortado por un plano paralelo a la base en el punto medio de sualtura. Determina el área del tronco de cono resultante.

6. La superficie de una esfera es 100π cm2. Entonces, su volumen mide:

A. 72π cm3

B. 144π cm3

C. 188π cm3

D. 288π cm3



¿Cómo voy?


Determinar cuerpos generados por rotación a partir de su generatriz.

1 174 y 175

Determinar el área y volumen de un cilindro. 2 y 4 176, 177 y 180

Determinar el área y volumen de un cono. 4 y 5 177, 180 y 181

Determinar el volumen de una esfera. 3 y 6 182 y 183

Un

idad

4


Cómo resolverlo

186 | Unidad 4


Una empresa que fabrica bolas de cristal las envasa dentro de unacaja cúbica de cartón, como se muestra en la figura.

a. Determina el volumen comprendido entre el cubo y la bola, si estáinscrita en él.

b. Si ahora el envase es un cilindro de radio 13 cm y altura 25 cm,¿qué volumen hay entre el envase y la bola?

c. ¿Cuál de las dos opciones es mejor para la empresa si quisieraahorrar en el material que utiliza como relleno entre el envase yla bola?

Solución

a. Para calcular el volumen, se calcula la diferencia entre el volumendel cubo y el de la esfera correspondiente a la bola de cristal.

Vcubo = 253 = 15 625 cm3

Vesfera = π · (12,5)3 = π � 8181 cm3

Vespacio = 15 625 – 8181 = 7444 cm3

b. Ahora, se calcula el volumen del cilindro.

Vcilindro = π · 132 · 25 = 4225π � 13273 cm3

Vespacio = 13 273 – 8181 = 5092 cm3

c. En el caso del cubo, el espacio restante mide 7444 cm3; en cambio,utilizando un cilindro, el espacio es de 5092 cm3. Luego, el envasecilíndrico es mejor para la empresa.

15 6256

43

Se dice que un cuerpo estáinscrito en otro si se ha tra-zado dentro de él, de maneraque tienen puntos comunes,sin cortarse.

Recuerda que...

25 cm12,5 cm



Un

idad

4

Actividades


a. Un cubo está inscrito en un cilindro cuya base tiene 8 cm de radio. Calcular el volumen quehay entre el cilindro y el cubo.

2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedi-miento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara elprocedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál esmás simple?, ¿por qué?

a. Una pirámide de base hexagonal, cuya arista basal mide 9 cm y su altura 12 cm, está inscritaen un cilindro. Determina el volumen que hay entre el cilindro y la pirámide.

b. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe un cilindro circular recto con un diámetro igualal radio de la esfera. Calcula el área lateral de este cilindro.

c. Un cilindro de 8 cm de altura está inscrito en un cono cuya generatrizmide 15 cm y su altura 12 cm. Calcula el área y el volumen del cilindro.

d. Observa la siguiente figura: representa una pieza industrial, un paralelepípedo recto en que seha taladrado un cilindro de 3 cm de radio.

• Calcula su volumen y, luego, exprésalo en metros cúbicos.• Calcula su área total.

e. Calcula el volumen de una pirámide, su altura es la diagonal de un cubo de 1 m de lado, y suárea basal es igual al área total de un cilindro inscrito en otro cubo de 2 m de arista.

20 cm

9 cm

9 cm


188 | Unidad 4


Diseño de envases

Los envases son recipientes que sirven para contener, proteger, manipular, dis-

tribuir y presentar productos, en cualquier etapa de su proceso productivo, de

distribución o venta. El envase puede ser de vidrio, de plástico o de cartón, entre

otros materiales.

El vidrio se utiliza generalmente para productos líquidos, como por ejemplo aceite,

bebidas, licores, medicamentos, etcétera. Puede estar inserto en otro envase o es-

tuche de cartón que cumple la función de protegerlo y también presentar el pro-

ducto de manera atractiva para los potenciales clientes.

Por este motivo, los estuches de cartón se diseñan con creatividad e ingenio para

que sirvan de enganche para la compra del producto, ya que cada producto que se

ofrece en el mercado cuenta con una amplia competencia. Por otra parte, se debe

considerar la cantidad de material utilizado en el envase para que no encarezca

excesivamente el precio final.

Botellas con aceite.


Actividades

1. Observa las botellas de la fotografía de la página anterior. Supón que te han encargado diseñar un en-vase de cartón para cada una de ellas, ¿qué forma podría tener el envase, en cada caso?, ¿por qué?

2. ¿Cuáles son las dimensiones relevantes en cada caso?, ¿qué otras características son importantes deconsiderar? Explica.

3. Planifica un estudio comparativo que permita decidir cuál es la forma más adecuada para el diseñode envases de cartón para estas botellas. ¿Con cuál de ellas se utilizaría menor cantidad de cartón ensu fabricación? Justifica.

Investiguemos...

1. Forma un equipo con dos compañeros o compañeras más. Analicen las propuestas de envases ideadaspor cada uno, compárenlas, y determinen cuál de ellas cumple con las condiciones de proteger ade-cuadamente el envase de vidrio, con la menor cantidad de cartón utilizado.

2. Busquen en sus hogares un frasco o botella de forma irregular, como por ejemplo una alcuza, unfrasco de colonia o una botella decorativa. Midan sus dimensiones y detallen si tienen otras caracterís-ticas relevantes para el diseño.

3. Diseñen tres envases de cartón para la botella que escogieron. Utilicen distintos cuerpos geométricospara cada uno.

a. Dibujen cada uno de los envases detalladamente, registrando todas las medidas.b. Dibujen la correspondiente red del envase y calculen su área.c. Según las características de la botella, diseñen una marca para su producto y la decoración que

podría tener el envase.d. Construyan con cartón o cartulina un ejemplo de cada envase.

4. Realicen una encuesta a veinte personas o más, para determinar cuál de los envases que crearon tienemás aceptación entre los potenciales clientes. Luego, elaboren un resumen de la encuesta, que incluyasus gráficos, y presenten sus conclusiones.


• ¿El estudio comparativo realizado les permitió determinar cuál de los envases utilizaba más cartónen su construcción?

• ¿Lograron determinar las dimensiones necesarias y las características específicas que deben tenerlos envases?

• Comparen sus resultados con los de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron algo distinto, quetu grupo no consideró?, ¿qué pueden concluir?


Un

idad

4


190 | Unidad 4





2. ¿Qué medidas es necesario conocer para calcular el volumen de un tronco de cono?, ¿por qué?

3. ¿En qué consisten las proyecciones en el plano? Explica.

4. ¿El volumen de un cuerpo geométrico depende de su inclinación?, ¿por qué?, ¿y de su área? Justifica.

5. ¿Dos cuerpos podrían tener igual altura, pero distinta base y aun así tener igual volumen?

Explica mediante dos ejemplos distintos.

6. ¿Cuál es la diferencia entre los cuerpos generados por rotación y por traslación? Explica.



ÁREAS Y VOLÚMENES

ÁREA VOLUMEN PRISMAS

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN

CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN

PROYECCIONES EN EL PLANO PRINCIPIO DE CAVALIERI

PIRÁMIDES

CONOS ESFERAS

CILINDROS



Evaluación


1. Se conoce como alzado a la proyección del plano vista desde uno de los lados.2. El volumen de un cilindro es el doble del volumen de un cono de igual base e igual altura.3. Las proyecciones del plano se conocen como planta, alzado y perfil.4. El principio de Cavalieri se puede aplicar a dos cuerpos geométricos cualesquiera. 5. El volumen de un prisma es el triple del volumen de una pirámide de igual base e igual altura.6. El área de un cuerpo geométrico no incluye el área de la o las bases.


1. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm gira en torno a su lado menor.

a. Dibuja el sólido que se genera.b. Calcula el volumen del sólido.c. Compara el volumen del sólido anterior con el que se generaría si la rotación fuera respecto

al lado mayor.d. ¿Qué condiciones debe satisfacer el rectángulo para que el volumen del sólido generado por

la rotación en torno a uno de sus lados sea igual al doble del volumen del sólido generado poruna rotación en torno al otro lado? Justifica.

2. La siguiente lata de conservas tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 13 cm.

a. ¿Cuál es el área total de sus bases?b. Calcula el área de la etiqueta de papel que cubre la lata.c. Calcula el volumen de la lata.

3. El radio de la Tierra es de 6370 km y el de la Luna 1738 km. ¿Cuántas veces mayor es el volumende la Tierra?

4. Una empresa que vende jugo de fruta en envases con forma de paralelepípedo recto, de medidas11, 6 y 15 cm, decide cambiar dichos envases por otros en los que disminuye un 10% el área dela base y aumenta un 10% la altura.

a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el del antiguo?b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo para los consumidores?

5. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura se requiere almacenar cajasde 1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden almacenar enesta habitación?

Un

idad

4


192 | Unidad 4

1. Si la medida de cada una de las aristas deun cubo aumenta en un 20%, entonces suvolumen aumenta en:

A. 10%B. 21%C. 30%D. 60%E. 72,8%

2. Una pirámide cuya base es un cuadrado delado 2a unidades tiene el mismo volumenque un prisma cuya base es un cuadrado delado a. ¿En qué razón están las alturas dela pirámide y del prisma?

A. 1 : 4B. 3 : 4C. 4 : 3D. a : 3E. 3 : 2

3. La medida de la altura de un cono recto esigual al triple del radio basal. Su volumen es:

A. π r3

B. πr3

C. 3π r3

D. 9π r3


4. Un cubo de arista a está inscrito en una esferade radio R. Entonces se cumple:

A. a = 2RB. 2R = a

C. 2R = a 3

2

13


D. R = a

E. R = a

5. En la figura se representa la mitad de un anillocircular. El volumen generado al girar este anilloen torno al eje indicado es:

A. π cm3

B. 128π cm3

C. 32π cm3

D. π cm3

E. 208π cm3

6. En la imagen está representado un cuerpo gene-rado por una revolución de alguna figura plana.Indica la o las posibles figuras generadoras.

A. Solo I B. Solo III C. Solo II D. I y IIE. I y III

3

2243

163

2

I II III

2a2a

2 2

a



7. (Ensayo PSU, 2004) En la figura, se tiene un cuartode círculo de centro O. Se hace rotar la figuraindefinidamente en torno al eje. Si OT = 3 cm,entonces el volumen del cuerpo geométricoque se genera es:

A. 9π cm3

B. π cm3

C. 36π cm3

D. 27π cm3

E. 18π cm3

8. El volumen de la pirámide de base cuadradaes 96 cm3. ¿Cuál es el volumen de la pirámidesuperior si su altura es la mitad de la pirámidemayor?

A. 96 cm3

B. 64 cm3

C. 48 cm3

D. 36 cm3

E. 12 cm3

9. El volumen de un tronco de cono cuyas medidasson r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm, es:

A. 900 cm3

B. 908,5 cm3

C. 985,2 cm3

D. 890 cm3


10. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el cuboy el cono de la figura?

A. 738 cm3

B. 821 cm3

C. 785 cm3

D. 684 cm3


11. La altura de un cono mide 12 cm. Para que su volumen sea 100π cm3, su radio basal debe medir:

A. cm

C. 3 cm

D. 5 cm


12. El volumen de un prisma hexagonal de base 5 cm2 y altura 10 cm es:

A. 15 cm3

B. 50 cm3

C. 10 cm3

D. 150 cm3

E. 210 cm3

13. Se construye un molde para elaborar barras de metal. Para ello, a un prisma recto de basetriangular se le quita la parte que se indica enla figura. ¿Cuánto es el volumen del molde?

A. 100,62 m3

B. 1000 m3

C. 1050,2 m3

D. 1062,75 m3


35

Un

idad

4


10 cm10 cm

10 cm

6 cm

O

T

B. cm 53

10 cm

10 cm 26 cm


Estadística I5

194 |Unidad 5

Antecedentes históricos

Datos

Población

Muestra

Medidas de tendencia central

Tablas

Gráficos

Conocer algunos hitos en el desarrollo de la Estadística.

Ordenar y organizar la información.

Identificar una muestra representativa.

Determinar valores representativos.

Analizar gráficos.

Usar el computador para representar la información.



Estadística I| 195

Conversemos de...

Investigadores de diversas áreas enfrentan, en algún momento, el problema de analizar y com-prender un conjunto de datos relevantes para su estudio. Si la información se refiere a una muestrao población, será necesario organizar e interpretar los datos para obtener de ellos la informaciónque se requiere.

Por ejemplo, hoy en día no se entendería una campaña publicitaria para lanzar un nuevo productoal mercado sin los estudios previos basados en la información que aporta la Estadística. En general,la mayoría de las empresas tienen su departamento de estudios estadísticos que se encarga derecopilar, organizar y analizar los datos referentes a un determinado producto.

1. ¿Cómo se pueden ordenar estos datos?2. ¿Cuál es la utilidad de una tabla de datos?, ¿y de un gráfico?3. ¿Qué tipos de gráficos puedes observar en la imagen?, ¿por qué se utilizan distintos tipos de

gráficos?, ¿cuál es la ventaja de cada uno? 4. En el caso de un estudio de mercado para diseñar una nueva mochila, si se realizara una encuesta,

¿qué información se podría preguntar?, ¿qué conclusiones se pueden obtener al analizar susrespuestas? Explica.

Latin

stoc

k


196 | Unidad 5

¿Cuánto sabes?

1. En la siguiente tabla se muestra el número de alumnos y alumnas quehay en 4º Medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo.

Escribe la razón entre:

a. el número de niñas y el número de niños del 4º A.

b. el número de mujeres y el número de hombres.

c. los estudiantes del 4º A y del 4º B.

2. Completa la siguiente tabla:

3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos:

a. [2, 9] b. ]–3, 3[ c. ]0, 1[ d. [–1, 10]

4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido.

a. Un intervalo abierto que contenga a , 0 y – .

b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5.

c. Un intervalo que no contenga números positivos.

d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al .710

13

12


Niñas Niños

4º A 20 25

4º B 22 23

Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal

75%75100

34

0,75

62100

150

0,3333...

90%


5. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edaddel censo de 2002. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada.

6 . Redondea los siguientes números decimales a la centésima:

a. 4,5656 c. 63,3532 e. 234,1222b. 8,77779 d. 0,9876 f. 1,00494


Estadística I | 197

Un

idad

5


Ejemplo: 34% se representa por . Su fracción irreductible es y la expresión decimalequivalente es 0,34.

• [a, b] es la representación del intervalo cerrado que contiene a a y a b y a todos los númeroscomprendidos entre ellos.

• ]a, b[ es la representación del intervalo abierto que solo contiene a aquellos números queestán comprendidos entre a y b.

• [a, b[ o ]a, b] son representaciones de un intervalo semiabierto que contiene a a o b, segúnsea el caso y a los valores comprendidos entre a y b.

• Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso.• Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta un cierto valor.

1750

34100

Grupos de edad HabitantesFrecuencia acumulada

0-14 3 890 126

15-24 2 481 515

25-39 3 627 915

40-49 2 036 424

50-64 1 862 879

65 y más 1 217 576

• El a% de un número se puede representar con la fracción .a

100


198 | Unidad 5

Orígenes de la Estadística

Analicemos...

En 1662 John Graunt (1620-1674), un mercader inglés, publicó unestudio titulado “Observations made upon the bills of mortality”(Comentarios sobre las partidas de defunción). Graunt anotó lassiguientes conclusiones: de 100 bebés que nacían el mismo día, elnúmero esperado de supervivientes, según pasaban los años, serefleja así:

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillasde recopilar datos, pues se utilizaban representaciones gráficas enpieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas, para contar elnúmero de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. C.los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilardatos sobre la producción agrícola, en tanto los egipcios realizabanun censo de población y riqueza mucho antes de construir laspirámides. En China existían registros numéricos similares con ante-rioridad al año 2000 a. C. Los griegos, hacia el año 594 a. C., realiza-ban censos cuya información se utilizaba para cobrar impuestos.

• ¿Qué tipo de datos tuvo que observar Graunt para elaboraresta tabla?

• ¿Sería suficiente con analizar los datos correspondientes a undía específico?, ¿por qué? Justifica.

• Observando la tabla anterior, ¿qué puedes concluir? Comentatus conclusiones con tus compañeros y compañeras.

• Antes del estudio de Graunt, ¿qué situaciones conocidas de la His-toria corresponden a estudios estadísticos? Averigua y comenta.

Edad en años Muertos Supervivientes

6 36 64

16 24 40

26 15 25

36 9 16

46 6 10

56 4 6

66 3 3

76 2 1

86 1 0



Un

idad

5El Imperio Romano fue el primer gobierno que recopiló una grancantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todoslos territorios bajo su control. Cada cinco años realizaban un censode la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matri-monios eran esenciales para estudiar los avances del Imperio.

En América, los incas disponían de un medio de información basadoen los quipus. Se podía conocer cuántos hombres vivían en deter-minada región, sexo, cronología, estado civil, jerarquía, númerode animales, alimentos, etc.

El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra aprincipios del siglo XVI, y en 1662 John Graunt, como se mencionóanteriormente, publicó el primer estudio estadístico de población.El estudio contenía, por primera vez, conclusiones acerca de al-gunos aspectos relacionados con estos datos. Esta obra es consid-erada como el punto de partida de la Estadística moderna.

En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estu-diar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los inves-tigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valoresnuméricos, para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la Estadística tiene importancia para presentar,relacionar y analizar información relacionada con datos de diver-sas áreas. El trabajo de un estadístico ya no consiste solo en reuniry tabular los datos, sino en analizar e interpretar correctamenteesa información, para inferir y predecir lo que podría ocurrir segúnciertas tendencias y así orientar mejor la toma de decisiones.

1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del Antiguo Testamento, se hace referencia a censos orecuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay con los censos actuales?

2. Junto con un compañero o compañera, averigua sobre cuatro áreas distintas en las cuales se utilicela Estadística como herramienta de investigación. Justifica.

3. En tu vida diaria, ¿qué información de la que recibes involucra la Estadística?, ¿en qué situacionesla Estadística te puede servir para tomar decisiones?

4. ¿Por qué crees tú que la Estadística demoró tanto tiempo en desarrollarse?

Actividades

Glosarioquipu: cuerdas o varas de las quependían conjuntos de cuerdas dediferentes largos y colores que seataban con nudos de formas diver-sas. Se empleaban también comoapoyo para contar historias.


200 | Unidad 5

Población y muestra

Analicemos...

Gabriel y Valentina preparaban una disertación sobre la tenenciaresponsable de mascotas y decidieron realizar una encuesta atodos los alumnos y alumnas del colegio, preguntando: ¿tienesuna mascota en tu casa? y, después, ¿qué mascota tienes?, ¿quécuidados le brindas? Pero, luego, supieron que en el colegiohabía casi 2000 estudiantes, y reconocieron que se enfrentabana una tarea lenta y compleja. Entonces, Gabriel propuso encues-tar solo a 200 estudiantes.

En muchas ocasiones, para llevar a cabo un estudio se hacen en-cuestas, las cuales son dirigidas a una muestra representativa de lapoblación. Una vez realizado el estudio, se asume que se obtendríanlos mismos resultados si se hubiese encuestado a todos los individuosde la población total. Es por ello que es muy importante que estamuestra debe ser de tal forma que represente a la población. Alhablar de representatividad de una muestra, lo que se quiere decires que se espera que este subgrupo sea una especie de copia pe-queña de la población total.

En la situación de Gabriel, la población corresponde a todos losalumnos y las alumnas del colegio. Luego, ¿qué ocurriría si Gabrielconsidera alguna de las siguientes muestras?:

• solo los alumnos de Quinto y Sexto Año Básico.• solo las alumnas de Tercero y Cuarto Año Medio.• solo los alumnos y las alumnas de Primer Año Básico.

• Si se demoraran, en promedio, dos minutos en realizar la en-cuesta, ¿a cuántos estudiantes podrían encuestar en una hora?

• Si cada uno destinara dos horas diarias a realizar la encuesta,¿alcanzarían a encuestar a todos los alumnos y alumnas delcolegio en una semana?, ¿por qué?

• La propuesta de Gabriel, ¿les permitirá obtener resultados si-milares que si los encuestaran efectivamente a todos? Justifica.

• ¿Cómo deberían escoger a los y las estudiantes para asegurarseque el grupo escogido va a representar fielmente a los alumnosy alumnas del colegio? Explica.

Glosariomuestra: subconjunto o subgrupode la población.población: totalidad de los indivi-duos, objetos u observaciones queposeen al menos una característicaen común.

Veterinario atendiendo a una mascota.


En resumen

• Población corresponde a la totalidad de personas, eventos o cosas de las cuales se desea hacerun estudio, y tienen una característica en común que se quiere medir.

• Una muestra es un subconjunto o subgrupo de la población. La representatividad de lamuestra no tiene que ver necesariamente con su tamaño, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.


Un

idad

5Como puedes ver, en todos los casos anteriores, Gabriel estaría ex-cluyendo a una parte de la población, por lo que ninguna de estasmuestras es representativa. En cambio, si Gabriel encuesta solo aocho o nueve alumnos y alumnas al azar por cada curso, esta mues-tra sí representa a la población del estudio, ya que de esta maneraobtiene información de alumnos de distintas edades. Ahora, si lapoblación correspondiera a 2000 estudiantes, pero todos fueranalumnos de Cuarto Año Medio, quizás sería suficiente con en-cuestar a 100 estudiantes, ya que tienen características similares.Si los individuos que componen la población son muy distintosentre ellos, es necesario tomar una muestra de tamaño másgrande que en el caso de que los individuos que componen lapoblación sean similares.

1. Clasifica lo que representa cada proposición según los conceptos de Estadística, dado un estudioreferido a los hábitos de comida en Chile.

a. Todos los chilenos. c. La edad de las personas encuestadas.b. Las personas encuestadas. d. El sexo de las personas encuestadas.

2. Determina cuáles de las siguientes muestras son representativas. Justifica.

a. Se aplicó una encuesta durante la campaña para la elección de senadores de una región.El muestreo se realizó seleccionando 2000 personas al azar, a las cuales se las llamó porteléfono. Para la selección se usó la guía de la región.

b. En un hospital se hace una encuesta acerca de los hábitos alimenticios de los pacientes; paraello, cada médico debe encuestar a tres pacientes en una semana; la selección debe ser al azar.

c. En un club social y deportivo quieren saber qué deportes nuevos les interesan a sus asociados;para ello encuestaron a los asistentes a un bingo un día sábado.

Actividades


202 | Unidad 5

Ordenando la información

Analicemos...

Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, corres-pondientes a las estaturas de ochenta estudiantes de Cuarto Añode Educación Media.

Para organizar datos muy numerosos, es usual agruparlos en claseso categorías. Al determinar cuántos datos pertenecen a cada clase,se puede establecer la frecuencia. Así, se construye una tabla dedatos llamada tabla de frecuencias.

En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos para construir unatabla de frecuencias, nos puede ayudar para realizar un mejoranálisis de ellos. Observa.

Estatura mayor: 1,88 m; estatura menor: 1,62 m;rango: 1,88 – 1,62 = 0,26. Luego, el rango es de 26 cm.Se forman seis intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno,podemos calcular 26 : 6 = 4,3333… , lo que nos indica que el tamañode cada intervalo puede ser 5 cm, o bien 0,05 m.

• ¿Cuántos alumnos y alumnas miden más de 1,60 m?, ¿cuántosde ellos miden más de 1,80 m?

• ¿Cómo organizarías estos datos para analizar mejor las estaturasde los y las estudiantes? Explica.

El rango está dado por la diferenciaentre el máximo y el mínimo valorde una variable.

Recuerda que...

1,62 1,72 1,81 1,72 1,70 1,83 1,80 1,88 1,68 1,75

1,80 1,86 1,70 1,84 1,82 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75

1,73 1,77 1,62 1,83 1,80 1,72 1,71 1,85 1,80 1,69

1,82 1,69 1,75 1,81 1,64 1,76 1,70 1,80 1,75 1,84

1,81 1,80 1,72 1,80 1,72 1,88 1,75 1,79 1,82 1,79

1,72 1,67 1,70 1,75 1,72 1,77 1,72 1,73 1,83 1,76

1,83 1,77 1,72 1,77 1,75 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76

1,71 1,76 1,74 1,88 1,64 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77

Estudiantes de Cuarto Año Medio.



Un

idad

5

En resumen

• La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dicha clase, mientrasque la frecuencia relativa corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total dedatos, la cual también se puede expresar mediante el uso de porcentajes.

• Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, se determina el tamaño decada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se deseaobtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que seamayor o igual al cociente obtenido.

Se obtiene la siguiente tabla:

1. Los siguientes datos corresponden a la duración en horas, de uso continuo, de cuarenta dispositivoselectrónicos iguales, sometidos a un control de calidad.

Construye una tabla de distribución de frecuencias agrupadas que considere las columnas: intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia relativa.

Actividades

A veces, por efecto de las aproxima-ciones, es posible que la suma de lasfrecuencias relativas porcentuales nosea exactamente 100%.

Pon atención

IntervaloFrecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

[1,60, 1,65[ 4480

5%

[1,65, 1,70[ 4480

5%

[1,70, 1,75[ 202080

25%

[1,75, 1,80[ 222280

27,5%

[1,80, 1,85[ 242480

30%

[1,85, 1,90[ 6680

7,5%

480 496 724 780 801 570 802 795

775 712 683 830 560 826 560 794

890 590 750 489 725 666 746 668

830 452 810 720 680 680 660 490

886 714 676 760 880 570 895 660

Variable estadística: característica oatributo que se observa en cadauno de los individuos u objetos. Soncuantitativas, si se relacionan concaracterísticas numéricas, o cualita-tivas, si se relacionan con caracterís-ticas que representan una cualidad.

Recuerda que...


204 | Unidad 5

Análisis de gráficos

Observa los siguientes gráficos, que representan la frecuencia deaccidentes de tránsito, según la hora del día en que ocurren.

• ¿Qué puedes concluir de la información presentada, en cada caso?• ¿Cómo se llaman los gráficos anteriores?, ¿cuáles son sus carac-

terísticas, en cada caso?• ¿Cuál de los gráficos anteriores te parece que representa mejor

la información?, ¿por qué?• ¿Existe alguna información o dato que se aprecie claramente en

uno de los gráficos, pero que sea imposible de deducir en elotro? Justifica.

Analicemos...

Los gráficos se utilizan para ilustrar y presentar un conjunto de datosrelacionados entre sí, de manera que se facilite su comprensión, com-paración y análisis. Según sus características y la cantidad de datos,conviene utilizar uno u otro gráfico. Por ejemplo, los gráficos circu-lares no se recomiendan cuando las variables tienen muchos valoresposibles, mientras que los histogramas no se recomiendan cuando lavariable es cualitativa, ya que se utiliza agrupando los datos en in-tervalos de valores.

En el caso de los gráficos presentados sobre la frecuencia de accidentesde tránsito, el histograma permite dimensionar la cantidad de acci-dentes según la hora en que ocurren y es más fácil interpretar el pasode las horas y reconocer, por ejemplo, que el atardecer es la hora enque se producen más accidentes. El gráfico circular, en cambio, es muyútil para analizar los datos cuando están asociados a porcentajes, perono permite cuantificar la frecuencia, a menos que se indique el totalde la población o de la muestra representada en el gráfico.

Fuente: Carabineros de Chile, Anuario estadístico de tránsito. Santiago, 2006, www.carabinerosdechile.cl

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

00:00

a 01

:59

04:00

a 05

:59

06:00

a 07

:59

08:00

a 09

:59

10:00

a 11

:59

12:00

a 13

:59

14:00

a 15

:59

16:00

a 17

:59

18:00

a 19

:59

20:00

a 21

:59

22:00

a 23

:59

02:00

a 03

:59

00:00 a 01:5902:00 a 03:5904:00 a 05:5906:00 a 07:5908:00 a 09:5910:00 a 11:5912:00 a 13:5914:00 a 15:5916:00 a 17:5918:00 a 19:5920:00 a 21:5922:00 a 23:59



Un

idad

5Gráfico de barras y pictogramas

Un gráfico de barras (gráfico 1) está compuesto por barras sepa-radas, donde la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia.Es útil para comparar las frecuencias de los valores.

En un pictograma (gráfico 2), en lugar de las barras, se dibuja unafigura proporcional (por su tamaño, o bien por su cantidad) a lafrecuencia. Se puede analizar de manera similar a un gráfico debarras y permite asociar rápidamente los datos presentados en elpictograma con la o las variables, cuando se presentan dos o másvariables simultáneamente.

Por ejemplo, el informe anual de estadísticas agropecuarias, realizadopor el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), arrojó informaciónrelacionada con la producción de trigo, por región, en el período2007-2008, que se muestra en el gráfico de barras (gráfico 1) y enel pictograma (gráfico 2).

Gráfico de dispersión

En la gráfica se observan datos de masa y estatura obtenidos de40 alumnos y 40 alumnas de Cuarto Año Medio. Se puede obser-

var que, en general, las mujeresson más bajas que sus com-pañeros y que la relación masa-estatura es más homogénea enel caso de los varones.

En resumen

Utilidad de diversos tipos de gráficos.

• Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables.

• Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística.

• Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes.

• Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.

• Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000

6 000 000

0VI VII VIII IX X XIV Resto

delpaís

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000

6 000 000

0VI VII VIII IX X XIV Resto

delpaís

1,9Estatura (m)

Mas

a (k

g)

1,81,71,61,51,4

MujeresHombres0

102030405060708090

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas(INE), “Informe anual de estadísticasagropecuarias”, Santiago, 2007.www.ine.cl

Gráfico 1

Gráfico 2


206 | Unidad 5

1. El gráfico muestra los resultados obtenidos en el censo de 2002 sobre el número de familias chilenassegún el tipo de hogar que constituyen.

a. Comenta con tus compañeros y compañeras los tipos de familias descritos en el gráfico.¿Cuál de ellos corresponde a tu familia?, ¿por qué?

b. ¿Cuál es la diferencia entre una familia extensa y una compuesta? Explica.c. En general, ¿hay más familias con hijos o sin hijos?d. Estima la proporción de familias chilenas monoparentales.e. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico?

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), XVII Censo Nacional de Población y VI de Vivienda, Santiago, 2002.www.ine.cl

2. El siguiente gráfico nos presenta la información obtenida de 300 encuestados por la FundaciónFuturo (2008), acerca de la pregunta: ¿qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno?

a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada?, ¿tú también la hubieras evaluado con esa nota?,¿por qué?

b. ¿Qué área del deporte tiene el mejor promedio: el tenis o el fútbol?c. ¿Qué puedes concluir?

Fuente: Fundación Futuro. Encuesta “Lo bueno, lo malo y lo feo del 2008”. Santiago, diciembre 2008. www.fundacionfuturo.cl.

Actividades

Nuclear monoparental sin hijos

Nuclear monoparental con hijos

Nuclear biparental con hijos

Nuclear biparental sin hijos

Extensa biparental

Extensa monoparental

Compuesta

Sin núcleo familiar

7 6,6 6,5 6,4 6,3 5,9

4,5

6

5

4

3

2

1Medalla de plata deFernando González

en Beijing

Natalia Ducó campeona del

mundo en bala anivel juvenil

Triunfo de la Selección Chilena de Fútbol frente a

Argentina

David Dubocampeón mundial

de kárate

Chile sede delMundial Femenino

de Fútbol

Retiro de MarceloSalas del fútbol

Número de familias chilenas según el tipo de hogar que constituyen

¿Qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno?



Un

idad

53. Los siguientes gráficos piramidales muestran la distribución poblacional de Chile en tres añosdiferentes. Observa y, luego, responde las siguientes preguntas.

a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo [10, 24[ en cada uno de losaños mostrados en los gráficos?

b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo [10, 24[ presentó unamayor diferencia por tramos de edad?

c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide poblacional proyectadapara el año 2025?

4. El gráfico siguiente representa el consumo promedio de agua, en metros cúbicos, durante un mes,en una familia de cinco integrantes, según un estudio de Aguas Andinas:

a. ¿A qué crees que se deba el incremento del consumo de agua en verano?b. Divide cada uno de los valores dados en el gráfico por 5; luego, construye un gráfico circular

que muestre estos valores, en cada caso. ¿Qué resultados nos entregaeste gráfico?

c. Discute con tus compañeros y compañeras acerca de la escasez del agua y su mal uso.

d. ¿Qué medidas podrías tomarpara cuidar este recurso? Si todossiguieran estas medidas, ¿cuántoestimas que se ahorraría una familia de cinco integrantes cada mes? Comenta con tuscompañeros y compañeras.

Fuente: Grupo Aguas, www.aguasandinas.cl.

Consultado en febrero de 2010. Invierno

Edad (años)

Hombres MujeresMiles de personas Miles de personasMiles de personas

80 y más

0–4

500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 0100 100 200 300 400 500 600 700 800 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800200300400500600700800

5–910–1415–1920–2425–2930–3435–3940–4445–4950–5455–5960–6465–6970–7475–79

1950 2000 2025

Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE

Chile: Población estimada al 30 de junio

400

350

300

250

200

150

100

50

0Duchas

Met

ros

cúbi

cos

Verano

Aseo en lavatorios

Descarga enWC

Comida ylavado de

vajilla

Lavado general

Riego

Consumo promedio de agua en un mes


208 | Unidad 5

Medidas de tendencia central

Susana se encuentra trabajando como voluntaria en el CampeonatoNacional de Natación. Su responsabilidad es llevar el registro de lostiempos realizados por las nadadoras en las distintas pruebas.

Luego de la primera prueba, 50 m libres damas, registró los siguien-tes resultados:

Susana está analizando los datos y los ordena de menor a mayor:

31, 35, 35, 35, 36, 39, 41, 44 y 46

Primero observa que el valor que más se repite es 35. Este valor esconocido como moda. La moda se denota por Mo.

Luego, observa que el dato que se encuentra justo en la mitad es36 s. Esto quiere decir que el 50% de las nadadoras se demoraron alo más 36 s en la prueba de 50 m libres; o, también, que el 50% de lasnadadoras se demoraron al menos 36 s en la prueba de 50 m libres.

Este valor es conocido como la mediana, pues corresponde al valorque divide en dos partes iguales a un conjunto de datos. A vecesno existe un valor tal que, por debajo de él, se encuentre exacta-mente el 50% de las observaciones; en este caso se debe tomar elprimer valor bajo el cual se encuentre, al menos, el 50% de las ob-servaciones. La mediana se denota por Md.

Glosariomoda: elemento que tiene la mayorfrecuencia en un conjunto de datos.

mediana: elemento de una serie orde-nada de valores crecientes de formaque la divide en dos partes iguales,superiores e inferiores a él.

Analicemos...

• ¿Qué nadadora ganó?, ¿cuál llegó última?, ¿qué nadadorallegó en la mitad, entre la primera y la última?, ¿cómo se puedeinterpretar esta información?

• En general, ¿cuánto demoran en recorrer los 50 m de la prueba?• ¿Hay algún tiempo de llegada que se repita?• ¿Cómo se pueden describir los resultados de esta prueba?, ¿qué

puedes concluir?• En general, ¿qué información es importante cuando se analiza

un conjunto de datos?

Camila 31 s Javiera 39 s Marisol 44 s

Florencia 35 s Isabel 41 s Viviana 46 s

Antonia 36 s Andrea 35 s María Paz 35 sNadadoras de 50 m libres.



Media aritméticaLa media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidadeses el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia totalde ellos.

Es decir, x =

En el caso de las nadadoras,

x = = 38.

O sea, en promedio, ellas demoraron 38 segundos en llegar a lameta. Observa que en este caso el promedio no coincide con nin-guno de los valores dados en la tabla.

Si los datos se encuentran ordenados por intervalos, también sepuede calcular su media aritmética, utilizando la marca de clasecomo representante del intervalo. Observa.

La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de lospuntajes obtenidos por cincuenta estudiantes en una prueba de Matemática.

31 + 35 + 35 + 35 + 36 + 39 + 41 + 44 + 469

x1 + x2 + x3 + x4 + … + xnn

Un

idad

5

Glosariomarca de clase: valor representativode cada intervalo, que correspondea su punto medio y se calcula suman-do cada extremo del intervalo y di-vidiéndolo en dos.

• Al realizar cálculos que involucrenvalores con unidades de mediciónasociadas, el resultado tambiéndebe tener la unidad de mediciónasociada correspondiente.

• Siempre es importante dar unarespuesta completa cuando estéshaciendo algún cálculo.

Pon atención

IntervaloFrecuencia

absoluta ( fi)Marca de clase (xi)

fi · xi

60-64 5 62 310

65-69 5 67 335

70-74 8 72 576

75-79 12 77 924

80-84 16 82 1312

85-89 4 87 348

Total 50 3805

La media aritmética de los valores está dada por el cociente entre

la suma de los valores fi · xi y el número total de observaciones,

esto es: x = = 76,1.380550


210 | Unidad 5

1. Pablo obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una quinta nota queno recuerda. Si su promedio fue 4,6, calcula la nota que falta.

2. Carlos y Alejandra obtuvieron el mismo promedio semestral de notas. ¿Significa que tuvieron lasmismas notas? Justifica numéricamente tu respuesta.

3. En una muestra de control se midieron 10 clavos de una bolsa, con los siguientes resultados: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”. Calcula la longitud media de la muestra.

4. La siguiente tabla muestra los resultados de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de la Calidadde la Educación), año 2008, de 4º Año Básico.

a. ¿Cuál es el valor de la media aritmética, la moda y la mediana, en cada área?b. ¿En qué área se obtuvieron mejores resultados? Justifica.c. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en cada área?, ¿coinciden estos puntajes con la

misma región?d. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio al considerar las tres áreas?, ¿a qué crees que se

deba esto?

Fuente: Ministerio de Educación (Mineduc). Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2008), www.mineduc.cl, julio 2009.

Actividades

RegiónLenguaje y

ComunicaciónEducación

MatemáticaComprensión del Medio

Social y Cultural

Arica y Parinacota 260 246 244

Tarapacá 253 240 241

Antofagasta 255 240 240

Atacama 250 236 239

Coquimbo 260 245 248

Valparaíso 258 245 248

Lib. Gral. Bernardo O´Higgins 258 243 248

Maule 260 246 249

Biobío 261 247 249

La Araucanía 257 238 243

Los Ríos 264 244 248

Los Lagos 263 245 247

Aysén del Gral. Carlos Ibáñez del Campo

265 249 253

Magallanes y Antártica Chilena 266 252 252

Región Metropolitana 263 252 255



Un

idad

5

En resumen

• Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamiento de losdatos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado de centralización de losdatos que representan.

• La mediana de un conjunto de datos numéricos, ordenados en forma creciente o decreciente,es el dato que se encuentra al centro de dicha ordenación, o la media aritmética de los datoscentrales (en caso de que la muestra tenga un número de datos pares).

• La moda de un conjunto de datos es aquel que tiene la mayor frecuencia.

• La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos.

5. Los datos de la tabla muestran las estaturas de 40 alumnos y alumnas. Calcula la media aritmética,la moda y la mediana de estos datos.

6. La siguiente tabla de frecuencias muestra la cantidad de colesterol total de un grupo de pacientescuya edad es de 50 a 60 años.

a. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Qué puedes concluir?

b. Se considera un nivel deseable de colesterolbajo 200 mg/dl. ¿Cuántos de los pacientes se encuentran dentro de los niveles deseables?

c. Construye un histograma para comparar la frecuencia de cada intervalo. ¿Quépuedes concluir?

Colesterol total (mg/dl) Frecuencia

170-179 4

180-189 7

190-199 12

200-209 16

210-219 35

220-229 37

230-239 11

240-249 8

Estatura fi

1,50-1,54 3

1,55-1,59 6

1,60-1,64 9

1,65-1,69 10

1,70-1,74 7

1,75-1,79 5


212 | Unidad 5


Las planillas de cálculo como Excel permiten ahorrar gran cantidad de tiempo, tanto para realizarestudios estadísticos como para graficar un conjunto de datos.

La siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en el período 2005-2006 por incendios forestales.Observa cómo se grafica utilizando una planilla de cálculo.

• Construye una tabla de valores, selecciónala y, luego, pulsa Asistente de gráficos.• Selecciona, presionando con el mouse, desde la celda A2 hasta la celda B14.• En la barra de menú selecciona Insertar y, luego, Gráfico (en el submenú).• Elige Tipo de gráfico, en este caso gráfico de barras.• Finaliza el gráfico en Terminar.• Para personalizar el gráfico, haz clic sobre él; por ejemplo, para cambiar los colores.

También, para poner nombre a los ejes y al gráfico, selecciona Título.

Utilizando los datos anteriores, desarrolla las siguientes actividades:

1. Ingresa la tabla anterior en una planilla de cálculo.

a. Realiza un pictograma y otro circular. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada tipo de gráfico?b. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad de hectáreas afectadas por incendios forestales?,

¿a qué crees que se debe?c. Está comprobado que la mayor cantidad de incendios forestales es causada, directa o indirec-

tamente, por el ser humano. ¿Qué medidas tomarías para proteger nuestros bosques?



Un

idad

5

2. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de agua (en miles de metros cúbicos) por personaen 1950 y en 2000.

a. Construye un gráfico de barras que permita comparar la disponibilidad deagua durante ambos períodos.

b. Calcula el porcentaje de descenso paracada lugar. Construye un gráfico circularque muestre la diferencia de disponibilidadde agua en el año 2000. ¿Qué puedesconcluir?, ¿a qué se debe la diferencia?

c. ¿Qué crees que sucederá con la disponi-bilidad de agua en cincuenta años más?

3. Uno de los problemas más complejos que debe abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país quequiere surgir debe eliminar este problema. En la tabla se ven las quince comunas más pobres delpaís; en la mayoría de ellas vive población mayoritariamente mapuche, que no ha podido salir delcírculo de la pobreza.

a. ¿Qué gráfico representaría mejor la informacióndada en la tabla?, ¿por qué?

b. Construye un gráfico que muestre esta información.c. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan al

pueblo mapuche y le impiden salir de la pobreza?,¿qué factores de nuestra sociedad impiden a los mapuches vivir como ellos desean?

d. Comenta con tus compañeros y compañeras quésoluciones ven al problema.

1950 2000

África 17,8 4,8

Asia 7,6 2,9

Europa 5,9 4,5

América del Norte 32,4 17,6

América Latina 72,1 22,8

Ex URSS 24,1 14,8

Oceanía 159,5 65,6

Comunas Más pobres (%)

Colchane 50,9

El Carmen 38,2

Los Alamos 37,9

Lebu 37,5

Tirúa 36,1

Alto Biobío 35,8

Galvarino 35,7

San Ignacio 35,6

Saavedra 35,1

Los Sauces 34,9

San Fabián 34,4

Ercilla 34,0

Curacautín 33,6

Ninhue 33,5

Collipulli 33,2

Fuente: Food and Agriculture, Organization of theUnited Nations (FAO), www.fao.org, consultado enfebrero de 2010.

Fuente: Ministerio de Planificación (Mideplan). Encuesta de Caracterización Socioeconómica (CASEN), Santiago, 2006,

www.mideplan.cl, consultado en febrero de 2010.


214 | Unidad 5




2. ¿Qué es una variable?, ¿cuándo se dice que es cualitativa?

3. ¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de barras y un pictograma?

4. ¿Cómo se organiza un conjunto de datos? Explica.

5. ¿Qué características tiene un gráfico circular?

6. ¿Cuál es la relación entre población y muestra? Justifica.




ESTADÍSTICA

interpreta

MUESTRA POBLACIÓN

se pueden

mediante

se pueden aplicar

DATOS

VARIABLES

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

MEDIA

ARITMÉTICA

MEDIANA MODA

que se clasifican en

que provienede una

se puedense distinguen

en

y

y calcular su

representa a la

CUANTITATIVA

FRECUENCIA

ABSOLUTA

CUALITATIVA

tales como

DE BARRAS

CIRCULAR

HISTOGRAMA

DE DISPERSIÓN

PICTOGRAMA

tales como

ORGANIZAR REPRESENTAR

TABLAS

FRECUENCIA

RELATIVA

GRÁFICOS


Mi progreso

Un

idad

5

1. Señala en cada caso si es más conveniente estudiar la población o una muestra.

a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida.b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile.c. La masa de un grupo de cinco amigos.d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.

2. En un jamboree, un grupo de scouts realizó una encuesta a jóvenes de otros grupos, obteniendo lasrespuestas que se detallan a continuación.

• ¿Qué edad tienes? 9, 15, 11, 16, 13, 14, 15, 16, 10, 14, 14, 9, 13, 15, 16, 17, 11, 12, 13, 15, 12, 13, 16, 14, 15

• ¿Cuántos días al año sales de campamento? 15, 25, 36, 32, 44, 35, 22, 31, 40, 29, 33, 31, 30, 28, 36, 24, 18, 31, 19, 24, 26, 23, 24, 30, 29

a. Organiza los datos en un tabla, en cada caso.b. Calcula la media, la mediana y la moda en cada una de las preguntas anteriores.

3. En un colegio se ha encuestado a sus 1200 alumnos. Se les preguntó si estaban a favor o no de colocarcasilleros en las salas de clases. Según los resultados que se observan en el siguiente gráfico circular,¿cuántas personas no están de acuerdo?

A. 40B. 120C. 480D. 600E. 720


¿Cómo voy?



Determinar si corresponde estudiar la población o una muestra.

1 200 y 201

Ordenar y organizar la información. 2a 202 y 203

Calcular las medidas de tendencia central de unconjunto de datos.

2b 208 a 211

Analizar gráficos. 3 204 a 207

50% sí10% no contesta40% no

Uso de casilleros en las salas de clases


Cómo resolverlo

216 | Unidad 5


El siguiente gráfico muestra la distribución de personas de 60 años omás, según estado civil en Chile. Determina el porcentaje correspon-diente a cada categoría y el ángulo central aproximado asociado.Luego, construye su gráfico circular.

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). www.ine.cl, julio 2005.

Solución

A partir de los datos del gráfico, se puede calcular la frecuencia relativade cada categoría y, luego, para obtener el correspondiente por-centaje, se puede multiplicar por 100.

Luego de calcular los porcentajes de cada categoría, se puede deter-minar el ángulo central correspondiente en cada caso.

Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativaporcentual acumulada, es decir, 100%; por lo tanto, cada 1% correspon-derá a 3,6º.

Para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cadaporcentaje por 3,6.

CategoríaFrecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje (%)

Ángulo (grados)

Casado 684 590 0,524 52,4 188,64

Conviviente 40 872 0,031 3,1 11,16

Soltero 150 833 0,115 11,5 41,40

Viudo 364 120 0,28 28,0 100,80

Anulado o separado 65 142 0,05 5,0 18,00

Total 1 305 557 1,00 100,0 360,00

800 000684 590

Distribución de personas de 60 años omás, según estado civil en Chile

40 872150 833

364 120

65 142

700 000600 000500 000400 000300 000200 000100 000

0Casado

Casado

Conviviente

Conviviente

Soltero

Soltero

Viudo

Viudo

Anulado oseparado

Anulado oseparado

La frecuencia relativa es el co-ciente, en cada caso, entre lafrecuencia absoluta de la cate-goría y el total de datos. Es unnúmero entre 0 y 1.

Recuerda que...

Distribución de personas de 60 años o más, según estado civil

en Chile.



Un

idad

5Actividades


a. El gráfico presentado a continuación, representa la distribución porcentual de defunciones enChile, por grupos de edad, en dos períodos: 1974-1975 y 2003-2004

• Compara la distribución por-centual de las defunciones enlos dos períodos señalados. ¿Qué puedes concluir?

• ¿A qué crees que se debanlas diferencias que se aprecianentre los períodos? Justifica.

• Construye un gráfico circu-lar, para cada uno de losperíodos, que representeesta información.



a. Los histogramas siguientes representan el porcentaje de hogares monoparentales y biparentales, según la edad de los niños y niñas que viven en las familias, en cada caso.

• En el tramo de edad de 14 a 17 años, ¿la mayoríade los niños y niñas vivenen hogares monoparentaleso biparentales? Justifica.

• ¿A qué crees que se debanlas diferencias que se aprecian entre los hogaresmonoparentales y biparentales? Justifica.

• ¿Qué otro gráfico podríasconstruir que representeesta información?

0Menoresde 1 año

10

20

30

40

50

Porcentajes de defunciones

Distribución porcentual de defunciones por grupos de edad

Hogares monoparentales,según edad de los niños y

niñas. Censo 2002

Hogares biparentales, segúnedad de los niños y niñas.

Censo 2002

Grupo de edad1-4 5-14 15-24 25-44 45-59 60-74 75 años

o más

1974-1975 2003-2004

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Adulto Mayor.

Vulnerabilidad al Riesgo de Muerte. 2002-2010. Febrero 2007.

Fuente: Censo 2002, www.ine.cl, consultado en febrero de 2007.

10,0

0 a 2

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

3 a 5 6 a 13 14 a 17

Tramos de edad

Porcentaje

14,0 14,316,1

19,2

70,0

0 a 2

72,0

74,0

76,0

78,0

80,0

3 a 5 6 a 13 14 a 17

Tramos de edad

Porcentaje


218 | Unidad 5


Nueva canasta IPC

El Índice de Precios al Consumidor (IPC) es un indicador social y económico de coyun-

tura, construido para medir los cambios experimentados a lo largo del tiempo del

nivel general de precios de bienes y servicios de consumo que los hogares adquieren.

Habitualmente, se utiliza para determinar la inflación (deflación) de un país.

Históricamente, cada 10 años se actualiza la canasta de bienes y servicios, los mode-

los metodológicos, conceptuales y operativos. En este sentido, se migra de una

canasta de 8 grupos y 482 productos a una de 12 divisiones y 368 productos.

Entre los principales productos que ingresan se encuentran el ron, equipos de audio

y video portátil, impresión digital, unidades de respaldos magnéticos (como el pen-

drive), máquinas de ejercicios, mantas eléctricas, motocicletas, transporte urbano

multimodal, preservativos, educación preescolar (kínder), entre otros.

También hay productos que dejan de pertenecer a la canasta, debido a los cambios

en las pautas de consumo, o bien obsolescencia tecnológica. Algunos ejemplos son el

martini, casetes, rollos de foto, mantención de ascensor, máquinas de coser, arriendo

de video, hechura de vestón. El dividendo, la patente de automóvil y las contribu-

ciones se consideran inversiones y transferencias, respectivamente; por lo tanto, no

corresponden a gastos en consumo.

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). “Enfoque estadístico: Nuevo IPC”. Santiago, enero de 2009.

www.ine.cl

Ponderaciones de la canasta base diciembre de 2008

DivisiónPonderación (%)

Alimentos y bebidas no alcohólicas 17,87253

Bebidas alcohólicas y tabaco

2,10142

Prendas de vestir y calzado

5,07003

Alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles12,73319

Muebles, artículos para el hogar y para la conservación

ordinaria del hogar

7,21683

Salud

5,52446

Transporte

18,73769

Comunicaciones

4,00767

Recreación y cultura

9,22545

Educación

6,19300

Restaurantes y hoteles

5,92649

Bienes y servicios diversos

5,39064

TOTAL

100,00000


Actividades

1. Determina, para cada división, al menos cinco ejemplos. 2. ¿Qué opinas respecto de los productos que ingresan a la canasta del IPC?, ¿cómo afectan el

presupuesto familiar, en general?3. ¿Qué opinas respecto de los productos que dejan de pertenecer a la canasta del IPC?, ¿por qué crees

que sucede esto?4. Considera los bienes y servicios que se consumen en tu casa. ¿Cuáles son los cuatro ítems que más

afectan al presupuesto de tu familia?, ¿cuáles son los tres que menos lo afectan? Explica.5. Diseña tu propia canasta de bienes y servicios, basado en el consumo de tu familia. Considera los

30 ítems más importantes.

Investiguemos...

Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan:

1. Comparen la canasta de bienes y servicios que cada uno diseñó, según el consumo de su familia.¿Cuáles son sus semejanzas y diferencias? Expliquen.

2. Analicen las ponderaciones de la canasta de bienes y servicios. ¿Les parece que es adecuada? Justifiquen su respuesta.

3. Averigüen los valores del IPC de los últimos tres meses. ¿A qué productos corresponden las mayoresalzas y las mayores bajas?, ¿estos valores reflejan una tendencia? Expliquen.

4. Averigüen los valores del IPC de los mismos meses, pero del año pasado. ¿Son similares o distintos?,¿con qué hechos o situaciones se puede relacionar esto?, ¿qué pueden concluir?

5. Comenten con sus compañeros y compañeras qué efectos tiene un alza importante del IPC en el presupuesto familiar, ¿y en la economía nacional?


• ¿Qué aprendieron acerca del IPC? Expliquen.• ¿Cuál de los resultados de la comparación entre las canastas que cada uno diseñó les llamó más la

atención?, ¿por qué?• Comparen sus conclusiones con las de sus demás compañeros y compañeras. ¿Obtuvieron ellos

algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿por qué?


Un

idad

5


220 | Unidad 5





2. ¿Cuáles son las características que definen una muestra?

3. ¿Cuál es la diferencia entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa? Explica.

4. Dados dos conjuntos de datos distintos que tienen la misma media aritmética, ¿se podría afirmar

que son iguales? Justifica.

5. Para una población en estudio, ¿cuántas posibles muestras se pueden escoger? Explica.

6. ¿Cuál es la ventaja de utilizar un gráfico circular en lugar de un histograma? Justifica.

¿Cuándo se usa uno u otro?



ESTADÍSTICA

MUESTRA POBLACIÓN CLASE

GRÁFICO DE BARRAS

PICTOGRAMA

MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA

VARIABLES

FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA

INTERVALOS



Evaluación


1. Dada una población que se necesita estudiar, existe una única muestra representativa de ella.

2. Las variables pueden ser cuantitativas y cualitativas, simultáneamente.

3. En América no se desarrollaron conocimientos relacionados con la Estadística antes de la llegada

de los españoles.

4. Para representar porcentajes, es útil el gráfico de dispersión.

5. El histograma se utiliza para graficar datos que están agrupados.

6. La media aritmética y la mediana son siempre iguales.

7. Se puede calcular la media aritmética de un conjunto de datos, aunque los datos estén agrupados.


1. En el año 2003, y también el 2008, el INE realizó un estudio, que arrojó los siguientes resulta-dos respecto a la pregunta: ¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando yaestá oscuro?

a. Observa el gráfico de barras que muestra las diferencias entre los dos estudios. ¿A qué creesque se deba esta diferencia?

b. ¿Cómo interpretas el cambio de opinión de las personas que contestaron la encuesta?, ¿crees que fue un cambio radical en todos los casos?

c. La encuesta fue realizada cara a cara. ¿Cómo influye este hecho en los resultados de la encuesta? Discútelo con tus compañeros y compañeras.

d. ¿Qué medidas implementarías para mejorar los problemas relacionados con la seguridad?

Un

idad

5

20032008

40

¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando ya está oscuro?

35

30

25

20

15

10

5

0Muy seguro Medianamente

seguroUn pocoinseguro

Muy inseguro

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). “Quinta Encuesta Nacional de SeguridadCiudadana”. Santiago, mayo 2009.

Porc

enta

je


222 | Unidad 5

1. De las siguientes afirmaciones, son correctas:

I. los chinos hacían censos desde hacemiles de años.

II. los incas utilizaban quipus para organi-zar la información.

III. La obra de Graunt es considerada elorigen de la Estadística.

A. Solo I B. I y IIIC. I y II D. II y IIIE. I, II y III.

2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos los elementos que conforman el objeto de estudio se llama:

A. rango.B. marca de clase.C. muestra.D. población.E. datos.

3. La estatura de un grupo de personas, empleada para un estudio estadístico, es una variable:

I. cuantitativa.II. continua.III. discreta.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIE. I y III

4. El tipo de muestra que es adecuado escogerpara un estudio estadístico, es:

A. una muy pequeña.B. una proporcional a la población.C. una representativa de la población.D. una igual a la población.E. según sea el caso.

5. La siguiente tabla de frecuencias muestra lascalificaciones de un examen de Matemática.¿Cuál es la proposición falsa?

A. Hay 6 estudiantes que tienen una calificación entre 6,0 y 6,9.

B. Hay 14 estudiantes que tienen una calificación mayor a 4,9.

C. El total de la muestra es de 40 estudiantes.D. Hay 13 estudiantes que obtuvieron

nota insuficiente.E. Hay 11 estudiantes que calificaron con

nota inferior a 7,0 y superior a 6,0.


CalificacionesCantidad de estudiantes

7,0 3

6,0-6,9 6

5,0-5,9 5

4,0-4,9 13

3,0-3,9 10

2,0-2,9 3



6. ¿En qué conjunto de datos coinciden la media,mediana y moda?

A. 3, 4, 5, 9, 10, 11B. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9C. 6, 3, 4, 6, 8, 9, 6D. 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5E. 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9

7. El parámetro que coincide siempre con un dato es:

A. la media.B. la moda.C. la mediana.D. la desviación típica.E. Ninguna de las anteriores.

8. La tabla muestra las edades de los jóvenes deun grupo de una parroquia. Con respecto a lainformación de la tabla, es falso que:

A. el 25% tiene 15 años.B. la moda es 16 años.C. la media es alrededor de 15 años.D. el 35,7% tiene más de 16 años.E. la mediana es 16 años.

Dado el siguiente gráfico, contesta las preguntas9 y 10.

9. El gráfico corresponde a un:

A. gráfico circular.B. histograma.C. gráfico de barras.D. pictograma.E. gráfico de dispersión.

10. El gráfico anterior nos sirve para:

A. expresar información de datos agrupados.B. comparar frecuencias de los valores.C. representar porcentajes.D. estudiar la homogeneidad o heterogeneidad

de datos.E. representar variables cualitativas.

11. (Ensayo PSU, 2004). La distribución del númerode horas que duraron encendidas 200 ampo-lletas está dada en el gráfico siguiente. La du-ración promedio de una ampolleta en horas,aproximadamente, es:

A. 1B. 380C. 400D. 480E. 580

Un

idad

5


Edad fi

14 6

15 8

16 12

17 6

Total 32

5

30

0

50

100Nº de ampolletas

40 50 60 70

101520

fi

200 400 600 800 horas


Estadística II6

224 |Unidad 6

Rango

Desviación media

Desviación estándar

Cuartiles, deciles y percentiles

Niveles de confianza

Muestras

Distribución normal

Calcular e interpretar medidas de dispersión.

Calcular e interpretar medidas de posición.

Conocer y trabajar con muestras,identificando niveles de

confianza y margen de errores.

Evaluar críticamente informaciónestadística extraída de

medios de comunicación.

Estimar intervalos de confianzapara la media de una población,

a partir de una muestra dada.



Estadística II | 225

Conversemos de...

Las medidas de tendencia central no siempre son suficientes para describir las características deuna población o de una muestra, porque no entregan información sobre la variedad de valoresposibles al interior de la muestra. Por este motivo, se calculan algunos valores que permiten compren-der la dispersión de los datos. Por otra parte, se hace necesario reconocer si un dato particular se iden-tifica con la media de la población, o corresponde a valores menores o mayores que la media.

1. Considerando que estos jóvenes tienen entre 17 y 18 años y que la que viste polera blancamide 1,80 m, ¿son altos para su edad?, ¿están dentro del promedio? Explica.

2. Asígnale un nombre a cada uno y, luego, ordénalos del más bajo al más alto. ¿Quiénes estánen el tercio inferior, considerando su estatura?

3. Si ahora tomamos en cuenta toda la población de jóvenes chilenos de 17 y 18 años, ¿ellossiguen perteneciendo a este tercio inferior? Justifica.

Latin

stoc

k


226 | Unidad 6

¿Cuánto sabes?

1. Calcula los siguientes porcentajes.

a. 10% de 457 c. 99% de 1246 e. 18% de 310 000b. 25% de 398 d. 5,7% de 45 980 f. 60% de 94 327

2. Completa.

a. 281,49 representa el ____% de 853.

b. 38 000 representa el ____% de 95 000.

c. 13 891,5 representa el ____% de 18 522.

d. 2809,8 representa el ____% de 46 830.

e. 652 representa el ____% de 65 200.

3. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondienteal mes de julio. Complétala para poder saber cuánto dinero recibe cadapersona al cobrar su sueldo.

4. Los siguientes datos corresponden al contenido de nicotina, enmiligramos, de doce cigarrillos:

1,09 1,74 1,58 2,1 1,64 1,79 1,37 1,75 1,92 2,03 1,47 1,72

a. Calcula la media del contenido de nicotina.

b. Calcula la mediana del contenido de nicotina.


NombreSueldo

(imponible)

Descuentos legales

Sueldo líquido

Fonasa o Isapre (7% del

imponible)

AFP (13% del

imponible)

Daniel $ 165 249

Carolina $ 237 860

Andrea $ 251 925

Sebastián $ 318 004


5. La siguiente tabla de frecuencias nos muestra la cantidad de estu-diantes por curso en una escuela.

Determina si cada proposición es verdadera o falsa. Justifica tu decisión en cada caso.

a. La mediana es 42,5 alumnos, correspondiente al valor inter-medio entre 42 y 43.

b. La moda es 4, porque es el mayor valor que se repite. c. La media aritmética es aproximadamente 43; por lo tanto, en

promedio los cursos tienen 43 alumnos.



Un

idad

6


• Para calcular el a% de un número b cualquiera, se puede aplicar el siguiente procedimiento:

· b. O calcular x · b, donde x es la expresión decimal que representa el a%.

• Sean a, b dos números reales cualesquiera, para calcular a qué porcentaje corresponde a de b, se puede aplicar el siguiente procedimiento:

Si x es el porcentaje, entonces x = .

• Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las que se desea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común.

• Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población.• Media aritmética: cociente entre la suma de todos los valores de un conjunto de datos y la

frecuencia total de estos.• Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados según su

magnitud (decreciente o creciente).• Moda: es el valor que presenta una mayor frecuencia en un conjunto de datos.

a · 100b

a100

Cantidad de estudiantes

40 41 42 43 44 45

Frecuencia 4 2 2 5 4 10


228 | Unidad 6

Medidas de dispersión

Analicemos...

Cecilia, la directora de un colegio, debe inscribir a dos alumnas enla prueba de 400 metros planos de un campeonato de atletismo.Para decidir a quién enviar, mide y compara los tiempos, en segun-dos, obtenidos por las alumnas de la selección del colegio. Observa.

En la situación anterior, si Cecilia calcula la media aritmética de lostiempos de cada una, no puede tomar una decisión, ya que todastienen el mismo tiempo promedio.

Anteriormente, utilizamos el rango para indicar el tamaño de cadaintervalo en una tabla de frecuencias. En general, se calcula comola diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.Aunque no es muy significativo, el rango nos indica cuán dispersosse encuentran los datos entre los valores de los extremos. Observa.

Como el valor del rango de los tiempos de Andrea es menor queel de Isabel, se puede decir que sus tiempos son menos dispersos.Por lo tanto, sería más apta para participar en el campeonato. Peroel rango no es suficiente para que Cecilia tome una decisión.

La media aritmética de los tiempos de las alumnas es de 79,9. Alcalcular la diferencia de cada tiempo con respecto a la media arit-mética, se obtiene la desviación del tiempo con respecto a x. Ob-serva las desviaciones medias de cada uno de los tiempos en latabla siguiente.

• Basándose en estos datos, ¿cómo podría Cecilia tomar su decisión?• Calcula el promedio de los tiempos, para cada una. ¿A quién

escogerías tú?, ¿por qué?• Además del promedio, ¿qué otros elementos podrías considerar

de los datos anteriores que permitan tomar una decisión? Explica.

Glosariodesviación: diferencia entre la me-dida de una magnitud y el valor de referencia.

Carolina 83 79 81 79 80 81 80 79 80 77

Javiera 83 77 75 82 83 81 80 79 82 77

Isabel 79 78 81 81 85 79 86 79 77 74

Andrea 80 79 80 79 80 81 80 79 80 81

Carolina Javiera Isabel Andrea

Rango 4 8 12 2

Campeonato de atletismo.



Un

idad

6

Como puedes ver, la suma de las desviaciones medias en cada casoresulta 0, por lo que no es útil para resumir estos datos. En cambio,se pueden sumar los valores absolutos de la desviación, en cada caso,lo que nos indica cuán cercano o lejano está de la media aritmética.

La desviación absoluta de cada una corresponde a la suma de losvalores absolutos de todas las desviaciones medias.

Como el valor de la desviación absoluta de Carolina y Andrea esmenor, entonces su rendimiento es más estable que el de Isabel yJaviera. Con esto, Cecilia ya podría tomar una decisión.

Continuando con el análisis de quién representará al colegio en elcampeonato, observa los valores siguientes, que son los cuadradosde cada desviación, en cada caso. La raíz cuadrada de la suma deestos valores, para cada una, es la desviación estándar.

Observa que los valores de la desviación estándar de los tiempos deCarolina y Andrea son los menores; entonces, podemos decir quesus tiempos están más cercanos a la media, y son menos dispersos.Por lo tanto, se confirma que son las más indicadas para represen-tar al colegio.

• La idea de desviación representael mayor o menor alejamiento deun dato con respecto a x.

• La desviación se puede calcularcon respecto a cualquier valor,no solo a la media aritmética.Esta puede ser positiva, cero o negativa.

Pon atención

• La desviación estándar es muy sen-sible a pequeñas variaciones quese producen respecto a la media.

• La desviación estándar s es unvalor de la misma naturaleza quelos datos con que se calcula. Si elvalor de s en un conjunto de tiem-pos es s = 1,8, el número 1,8 serefiere al tiempo, en segundos, eneste caso.

Pon atención

Carolina 3,1 –0,9 1,1 –0,9 0,1 1,1 0,1 –0,9 0,1 –2,9

Javiera 3,1 –2,9 –4,9 2,1 3,1 1,1 0,1 –0,9 2,1 –2,9

Isabel –0,9 –1,9 1,1 1,1 5,1 –0,9 6,1 –0,9 –2,9 –5,9

Andrea 0,1 –0,9 0,1 –0,9 0,1 1,1 0,1 0,1 –0,9 1,1


Desviación absoluta 11,2 23,2 26,8 5,4

Carolina 9,61 0,81 1,21 0,81 0,01 1,21 0,01 0,81 0,01 8,41

Javiera 9,61 8,41 24,01 4,41 9,61 1,21 0,01 0,81 4,41 8,41

Isabel 0,81 3,61 1,21 1,21 26,01 0,81 37,21 0,81 8,41 34,81

Andrea 0,01 0,81 0,01 0,81 0,01 1,21 0,01 0,01 0,81 1,21

Glosariodesviación estándar: medida usadapara cuantificar la desviación de lasdistintas observaciones de un con-junto de datos respecto de su media.


Desviación estándar 2,3927 4,2101 5,3596 1,1068


230 | Unidad 6

Desviación estándar para datos agrupados

Considera la siguiente tabla, que indica el tiempo de espera de lospacientes en un consultorio.

Observa cómo se puede calcular la media aritmética si los datosestán agrupados.

x = = = 30,87

Es decir, el tiempo de espera es, en promedio, de casi 31 minutos.

Para calcular la desviación estándar, se siguen los pasos siguientes:1º Calcular la desviación entre la media aritmética y la marca de

clase, en cada caso.2º Elevar este resultado al cuadrado.3º Multiplicar cada valor por la frecuencia correspondiente.4º Sumar todos estos valores, y dividir este resultado por el total

de datos.5º Calcular la raíz cuadrada de este cociente.

Paso 4: = 193,9627

Es decir, la desviación estándar de los tiempos de espera es de aproximadamente 14 minutos.

Las medidas de dispersión como el rango, la desviación con res-pecto a la media y la desviación estándar, determinan cuán cer-canos o lejanos están los datos en relación a la media aritmética ytambién indican el grado de variabilidad de los datos, lo que nospermite realizar un análisis más completo.

10 086,058852

160552

6 · 7,5 + 21 · 22,5 + 15 · 37,5 + 10 · 52,56 + 21 + 15 + 10

La marca de clase representa losdatos pertenecientes a una clase. Secalcula como la media entre el valorinferior y el valor superior del inter-valo o clase.

Recuerda que...

Tiempo (minutos) Frecuencia Marca de clase

[0, 15[ 6 7,5

[15, 30[ 21 22,5

[30, 45[ 15 37,5

[45, 60] 10 52,5

Tiempo (minutos) Paso 1 Paso 2 Paso 3

[0, 15[ 30,87 – 7,5 = 23,37 546,1569 3276,9414

[15, 30[ 30,87 – 22,5 = 8,37 70,0569 1471,1949

[30, 45[ 30,87 – 37,5 = –6,63 43,9569 659,3535

[45, 60] 30,87 – 52,5 = –21,63 467,8569 4678,5690

Paso 5: = 13,9270193 96,



Un

idad

6

1. El análisis de las notas de un curso señala que en ambos semestres el promedio en Matemática es 5,1.Además, la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin embargo, los estudiantes tienen la sensaciónde que obtuvieron mejores resultados en un semestre que en otro.

Responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es el valor del rango en cada semestre?, ¿qué semestre presenta calificaciones másdispersas, en relación al promedio?

b. ¿Cuánto es el valor de la desviación media en cada semestre?c. Según la situación, ¿cómo interpretarías el valor de la desviación media? ¿Corrobora la

“sensación” de los estudiantes?

2. Agrupa las notas de la actividad anterior en intervalos, para cada semestre.

a. Calcula la desviación estándar de la distribución.b. Compara los valores obtenidos a partir de los datos concretos con los obtenidos a partir de

los datos agrupados. ¿Qué puedes concluir?

Actividades

En resumen

• La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x está dada por: d = x – x.

• La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media aritmética es cero.

• La desviación media es la media aritmética de las desviaciones absolutas respecto a la media.

• La desviación estándar expresa el grado de dispersión de los datos con respecto a la mediaaritmética. Se puede calcular de las siguientes formas:

• , para datos no agrupados.sx x x x x x x x

nn=

−( ) + −( ) + −( ) + + −( )12

22

32 2...

Primer semestre

7,0 6,9 6,5 5,8 5,6 5,6 5,7 5,6 5,4 5,25,4 5,2 4,8 4,8 4,3 4,3 4,5 4,3 4,1 4,14,1 4,1 3,2 7,0 6,8 6,3 5,2 4,8 3,2 3,2

Segundo semestre

7,0 6,1 5,7 5,4 5,3 5,3 5,3 5,3 5,2 5,25,2 5,1 5,0 5,0 5,0 4,7 5,0 4,9 4,1 4,64,7 4,5 3,2 6,4 6,0 5,5 5,0 5,0 4,5 3,2

• , para datos agrupados.

En este caso, xk corresponde a la respectiva marca de clase.

sf x x f x x f x x f xn=

−( ) + −( ) + −( ) + +1 12

2 22

3 32· · · ... · nn x

n−( )2


232 | Unidad 6

El gráfico de dispersión se realizatrazando puntos en un plano coor-denado de acuerdo con los pares devalores observados para mostrar larelación entre dos variables.

Recuerda que...

Correlación

Analicemos...

Al analizar algunos gráficos de dispersión se puede advertir, porejemplo, si existe o no alguna asociación entre las variables. Observa.

Muchas veces se necesita analizar los valores de dos variables es-tadísticas distintas sobre una misma población, con el fin de de-terminar si existe alguna relación entre ellas; esto es, si los cambiosen una de ellas influyen en los valores de la otra. Si es así, se diceque hay correlación entre las variables.

En general, al observar un gráfico de dispersión, se puede apreciar silos puntos se agrupan cerca de alguna curva. Si esta curva es creciente,se dice que la correlación es positiva: al aumentar una variable, la otratiene también tendencia a aumentar. Si la curva es decreciente, la co-rrelación es negativa: al aumentar una variable, la otra tiene tenden-cia a disminuir. Si no existe relación, se dice que su correlación es nula.

Además de observarla en el gráfico, se puede medir la correlaciónusando el coeficiente de correlación lineal de Pearson r, que sepuede calcular mediante la expresión

donde sx es la desviación estándar de la variable x y sy es ladesviación estándar de la variable y.

• ¿En cuál o cuáles de los gráficos anteriores existe una asociaciónentre las variables?, ¿por qué?

• ¿Qué puedes concluir acerca de los datos representados en elgráfico III? Explica.

• ¿Cuál de los gráficos anteriores podría representar los datos demasa y estatura de un grupo de estudiantes?, ¿por qué?

• ¿Cuál de ellos podría representar la relación entre la edad deuna persona y los años que le quedan para jubilar? Justifica.

Gráfico I Gráfico II Gráfico III

Glosariocorrelación: relación estadística entredos variables.

r

x y x y x yn

x y

s s

n n

x y=

⋅ + ⋅ + + ⋅− ⋅

⋅

1 1 2 2 ...



Un

idad

6El valor de r varía entre –1 y 1, de modo que: • r cercano a 1, indica correlación positiva.• r cercano a –1, indica correlación negativa.• r cercano a cero, indica correlación nula.

Por ejemplo, en el siguiente gráfico se observan datos demasa y estatura obtenidos de nueve alumnas de Cuarto AñoMedio. Se observa una correlación positiva entre las variables.De hecho, en este caso, la correlación para estos datos es 0,671.

1. En las siguientes situaciones, señala si la correlación debiera ser positiva, negativa o nula.

a. Cantidad de hijos de una familia y dinero gastado por esa familia en alimentación.b. Longitud de la mano y longitud del pie.c. Nivel de endeudamiento y la renta de una persona.d. Edad de una persona y cantidad de libros que ha leído.e. Número de trabajadores y tiempo de demora en realizar un trabajo.

2. Si el coeficiente de correlación de Pearson de dos variables es cero, ¿es correcto afirmar quelas variables no están relacionadas? Explica.

3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de los niños y niñas de un jardín infantil, se obtuvoque el coeficiente de correlación de Pearson era de 0,85. Por otra parte, en una casa de reposopara ancianos se hizo el mismo estudio, y se obtuvo como coeficiente de correlación 0,345. ¿Existe un grado de asociación entre la edad y la masa de una persona?, ¿por qué?, ¿qué puedesconcluir? Justifica.

Actividades

En resumen

• La correlación de dos variables corresponde al grado de asociación que existe entre ellas. La correlación puede ser:

• positiva: si están directamente relacionadas.• negativa: si se relacionan de manera inversa.• nula: si no existe relación entre ellas.

• La correlación se puede medir usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson. Este coeficiente varía entre –1 y 1.

01,6 1,65

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Mas

a (k

g)

Estatura (m)

1,7 1,75 1,8 1,85


234 | Unidad 6

Diagrama de tallo y hojas

Se registró la presión sistólica (en mmHg) de 40 pacientes y se ob-tuvieron los siguientes datos:

121, 143, 156, 162, 134, 122, 119, 136, 148, 160, 146, 154, 132, 116,

153, 121, 143, 154, 127, 118, 128, 120, 163, 156, 117, 128, 149, 135,

143, 167, 115, 163, 157, 138, 129, 143, 143, 129, 139, 122

Si observas los datos anteriores, podrás apreciar que los datos seencuentran entre 110 y 170, así como que varios de ellos estánentre 110 y 119, otros están entre 120 y 129, y así sucesivamente.Basados en esta idea, se puede construir un diagrama de tallo yhojas, que nos permite organizar los datos. Observa.

Se divide cada número en dos partes: un tallo, por ejemplo, en estecaso, 12 ó 14, y una hoja, tal como 2 ó 3. Por ejemplo, el primervalor, 121, se separa en 12 y 1. Luego, se escribe la hoja, 1, en la filacorrespondiente al tallo, 12.

11 5 6 7 8 912 0 1 1 2 2 7 8 8 9 913 2 4 5 6 8 914 3 3 3 3 3 6 8 915 3 4 4 6 6 716 0 2 3 3 7

Con el diagrama anterior podemos visualizar que, en este grupo,la mayoría de los pacientes registra una presión sanguínea quebordea los 130 mmHg. Además, es muy fácil determinar el menorvalor observado, 115, y el mayor, 167.

En resumen

• Otra forma de organizar la información es utilizando el diagrama de tallo y hojas, que nossirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien para comparar dos grupos diferentes.

Analicemos...

• ¿En qué intervalo de valores se concentran los datos presenta-dos?, ¿para qué valores se presentan menos casos? Explica.

• ¿Crees que este conjunto de datos es poco variable o muy varia-ble?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?

Glosariodiagrama de tallo y hojas: diagramaque permite resumir u ordenar unconjunto de datos, de modo deconocer intuitivamente la forma desu distribución. Se utiliza para estu-diar la dispersión de los valores deuna muestra.

En este caso, el tallo representa la cifra de las decenas, y las hojas,las unidades.

Pon atención

Médico tomando la presión sistólica.



Un

idad

6

1. Dibuja un diagrama de tallo y hojas para el siguiente conjunto de datos. Luego, responde.

a. ¿Cuál es la mediana de los datos?b. ¿Cuál es el rango de los datos?c. ¿Cómo es la dispersión de los datos?

2. A continuación se presentan los resultados de dos cursos en una prueba.

4ºA

4ºB

a. Construye un diagrama de tallo y hojas para cada curso.b. ¿Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más homogéneo?, ¿por qué?

3. Los siguientes datos corresponden a la tasa bruta de natalidad y mortalidad infantil de algunospaíses de Latinoamérica.

a. Construye un diagrama de tallo y hojas para los datos anteriores.b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil correspondiente a países africanos es de

aproximadamente 180. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre países latinoamericanosy africanos?

c. ¿A qué problemas puede conllevar la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad?

Actividades

50 28 25 68 62 57 58 3735 33 22 27 51 55 43 4037 39 34 43 27 32 49 7043 48 40 42 57 40 46 5345 50 60 41 53 45 48 53

3,2 3,5 4,9 5,0 3,1 4,1 2,9 2,8 3,8 4,55,8 3,9 3,6 4,2 4,6 1,9 2,8 2,9 3,3 3,94,6 4,4 3,8 3,6 4,5 4,1 4,1 4,3 4,3 4,2

3,5 2,9 1,3 1,7 3,6 5,6 2,8 5,2 5,3 4,15,1 4,3 5,3 3,2 2,8 2,6 5,5 5,4 4,8 4,95,4 4,2 4,4 4,3 1,6 2,9 4,1 3,9

Natalidad (niños nacidos vivos en un año, por cada 1000 habitantes):27 20 20 21 21 16 19 15 24 15 18 17

Mortalidad (número de muertes al año por cada 1000 habitantes, niños menores de cinco años):

21 57 20 22 20 19 28 14 29 9 16 22

Fuente: Organización Panamericana de la Salud. 2009. http://new.paho.org


236 | Unidad 6

Muestras al azar

Eduardo y Antonia llegaron al Parque Nacional Pan de Azúcar aestudiar la fauna del lugar. Para calcular la población total deuna colonia de pingüinos Humboldt que habita en el parque, si-guieron el siguiente procedimiento: durante cuatro días capturaron120 pingüinos, a los cuales marcaron con una cinta. Una semana des-pués, en diversos sitios del parque, capturaron 160 pingüinos, de loscuales 30 estaban marcados.

• A partir de esta información, ¿cuál es la población total depingüinos? Explica.

• Si capturaran nuevamente 160 pingüinos, ¿obtendrían el mismoresultado?, ¿por qué?

• ¿Esta muestra es representativa? Justifica.

Analicemos...

En ocasiones, se necesita obtener el número de elementos quetiene una población. Para este fin, se toma una muestra, se marcay se devuelve a la población originaria. Luego, se toma una se-gunda muestra, y con los elementos marcados de esta muestra, seforma una razón con su total, entregando así un valor aproximadodel tamaño de la población.

En el caso presentado, el tamaño de la población de pingüinos se calcula:

= N = = 640

Es decir, 640 pingüinos habitan en el Parque Nacional Pan de Azúcar.

El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad depoblación, ya que dependerá de lo representativa que sea la mues-tra escogida. La estimación en la práctica es muy difícil, por estarazón se toman varias muestras para mejorarla.

Para que la muestra sea representativa se deben considerar variosaspectos; uno de ellos es el tamaño de la muestra: mientras mayorsea su tamaño, mayor será su confiabilidad, pero a su vez más cos-toso será el estudio. Otro aspecto que se relaciona con el muestreo,es que todos los integrantes de la población tengan la misma proba-bilidad de ser seleccionados para conformar la muestra; por estemotivo, la selección debe ser al azar. En este caso se dice que lamuestra es una muestra aleatoria.

160 ·12030

120N

30160

Glosariomuestreo: forma de seleccionar a unindividuo de la población para unamuestra. Algunos tipos de muestreoson: aleatorio, sistemático, estratifi-cado, entre otros.

Una muestra representativa es unsubconjunto o subgrupo de lapoblación que tiene la capacidad dereproducir a pequeña escala las ca-racterísticas de la población.

Recuerda que...

Pingüinos de Humboldt.



Un

idad

6Si se desea conocer la media aritmética de una población, a partir delos datos de la muestra, se puede obtener un intervalo de confianza,de modo que se pueda asegurar que la media se encuentra den-tro del intervalo, con un nivel de confianza dado.

La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza:

,donde x–: media muestral.

k: coeficiente asociado al nivel de confianza.

s: desviación estándar de la muestra.n: número de elementos de la

muestra.

El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño

de la muestra, ya que el error corresponde a .

EjemploLos siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas deuna escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).

Para determinar un intervalo de confianza para el puntaje prome-dio de la población, se puede remplazar en la expresión la mediamuestral, x– = 14,5, la desviación estándar muestral, s = 4,3, y elvalor de k = 1,96, que corresponde a un nivel de confianza de 95%.Luego, un intervalo de confianza aproximado es:

Es decir, el puntaje promedio de la población se encuentra entre13,2 y 15,8, con un nivel de confianza de un 95%.

E k sn

= ⋅

Glosariointervalo de confianza: intervalo enel cual se encuentra el verdadero valordel parámetro que se está estimando,con una probabilidad determinada.nivel de confianza: es la probabilidadde que el intervalo calculado contengaal verdadero valor del parámetro.

2 5 6 8 8 9 9 10 11

11 11 13 13 14 14 14 14 14

14 15 15 16 16 16 16 16 16

16 16 17 17 17 18 18 18 19

19 19 19 19 19 19 19 20 20

Un parámetro es una característicanumérica de una población. Corres-ponde a una constante fija paracada estudio particular; por ejemplo,la media aritmética de la población.

Recuerda que...

El coeficiente k se obtiene de lasiguiente tabla:

Pon atención

Nivel de

confianza (%)Coeficiente k

68 0,99

75 1,15

80 1,28

90 1,64

95 1,96

96 2,05

97 2,17

98 2,32

99 2,58

x k sn

x k sn

− ⋅ + ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

,

14 5 1 96 4 345

14 5 1 96 4 345

13 2, , , , , , , , ,− ⋅ + ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 115 8,[ ]


238 | Unidad 6

En ocasiones, cuando se está planificando un estudio, los investi-gadores necesitan estimar el tamaño de la muestra que les entre-garía un nivel de confianza adecuado a sus requerimientos. Enestos casos, la expresión para el intervalo de confianza se puedeutilizar para estimar cuál sería el tamaño de la muestra necesariopara obtener un nivel de confianza dado. Observa.

El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma:

donde k: nivel de confianzaσ: desviación estándar de la poblaciónE: margen de error

EjemploEn un colegio de 1600 alumnos y alumnas se está estudiando larelación entre la estatura de los niños y niñas al nacer y otras varia-bles. Se sabe que la desviación estándar de la población es de 1,5 cmy se desea estimar la media con un 99% de confianza y con unerror máximo de 0,5 cm.

Entonces, se debe tomar una muestra de al menos 60 estudiantes.

1. Una marca de artículos deportivos está interesada en conocer el promedio de edad de sus clientes.Una muestra aleatoria de 25 clientes arrojó una edad promedio de 19 años, con una desviaciónestándar de 3 años. Determinar el intervalo de confianza para la edad promedio de los clientesy su amplitud, con un nivel de confianza de 95%.

2. Una muestra aleatoria de 81 televisores reportó que el intervalo de confianza para el tiempo promediode presentación de fallas técnicas (en años) fue de [2,113, 2,287]. Considerando que la desviaciónestándar es de 0,4 años, ¿cuál es el nivel de confianza de este intervalo?

Actividades

Glosariotamaño de la muestra: correspondeal número mínimo de datos o sujetosque se necesitan para conformaruna muestra n que asegure un errorestándar menor que un valor deter-minado, fijado por el investigador,dada la población N.

x : media muestral.s: desviación estándar muestral.μ: media poblacional.σ: desviación estándar poblacional.

Pon atención

n kE

= ⋅⎛⎝

⎞⎠

σ 2

n = ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ≈2 58 1 5

0 559 9076 60

2, ,,

,



Un

idad

6

En resumen

• La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza:

, donde x : media muestral.

k: coeficiente asociado al nivel de confianza.s: desviación estándar de la muestra.n: número de elementos de la muestra.

• El margen de error corresponde a .

, donde k: nivel de confianza.σ: desviación estándar de la población.E: margen de error.

• Se puede estimar el tamaño de la población realizando dos muestras sucesivas y, luego, despejando N de la ecuación:

= , donde n1: tamaño de la primera muestra.n2: tamaño de la segunda muestra.m: número de individuos marcados en la segunda muestra.N: tamaño de la población.

n1

Nmn2

n kE

= ⋅⎛⎝

⎞⎠

σ 2

E k sn

= ⋅

x k sn

x k sn

− ⋅ + ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

,

3. Uno de los objetivos de un estudio acerca de los hábitos deportivos es conocer la proporción dejóvenes que corren diariamente durante dos o más horas.

a. Para realizar la estimación al 95% de confianza con un margen de error máximo de 0,01 yun desviación estándar de 0,5, ¿cuál es el tamaño necesario para la muestra?

b. ¿Qué ocurre con el tamaño muestral si se aumenta el nivel de confianza a un 99%, manteniendoel margen de error? Justifica tu respuesta.

c. ¿Qué sucede con la amplitud del intervalo en el caso anterior?, ¿por qué piensas queocurre esto?

4. Para estimar la cantidad de salmones en un lago se realizaron las siguientes acciones:

I. Se capturó una muestra al azar, se les marcó y fueron devueltos al agua.II. Poco tiempo después, se obtuvo una nueva muestra, se registró la proporción de salmones

marcados versus el total de especies de la muestra.

Si en el primer proceso se capturaron y marcaron 100 salmones, y posteriormente se capturaron80, de los cuales 20 están marcados, ¿cuántos salmones hay aproximadamente en el lago?

• El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma:


240 | Unidad 6

Distribución normal

Matilda y Emiliano conjeturan acerca de cuáles son los resultadosposibles de la suma de los puntos obtenidos al lanzar tres dados.Matilda cree que es más probable que sumen 10 puntos o menos,mientras Emiliano piensa que es más probable que sumen 11 pun-tos o más.

Para comprobar sus conjeturas, decidieron lanzar 220 veces tresdados y, luego, anotar las sumas de sus puntos, en cada caso. Des-pués, organizaron los valores obtenidos en la siguiente tabla:

Como se puede observar en la tabla de la situación anterior, losvalores centrales, del 8 al 13 en este caso, presentan las mayoresfrecuencias, mientras que los valores extremos, 3, 4, 17 y 18, eneste caso, son los menos frecuentes. En general, si se repite unaexperiencia un gran número de veces, los resultados tienden aagruparse simétricamente en torno a un valor medio. Cuantas másveces se repita la experiencia, más se acercan los resultados a unacurva ideal correspondiente a una distribución normal. Al observarlas características de la curva, llamada campana de Gauss, se puedever que es simétrica con respecto a la media, tiene un vértice, y quesus dos extremos se extienden indefinidamente, acercándose a 0.

Analicemos...

• ¿Cuáles son los valores menos frecuentes?, ¿cuáles son los másfrecuentes?, ¿por qué crees que ocurre esto?

• Si decidieran lanzar los dados 100 veces más, ¿se mantendríaesta tendencia? Justifica.

• Según los datos, ¿se comprueba la conjetura de Matilda o la deEmiliano?, ¿por qué?

Suma 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Frecuencia 2 3 6 10 15 21 25 28 27 25 20 16 11 7 3 1

Glosariodistribución normal: una de las dis-tribuciones de probabilidad de varia-ble continua, cuyos parámetros sonμ, la media aritmética, y σ, la des-viación estándar. Se le llama normalporque es la que con más frecuen-cia aparece en fenómenos reales.campana de Gauss:

μ



La distribución de probabilidad normal ocupa un lugar importanteen la Estadística, porque en general se ajusta a las distribuciones defrecuencia reales observadas en muchos fenómenos, incluyendocaracterísticas humanas (peso, estatura, CI, etc.) y resultados deprocesos físicos (dimensiones y rendimientos).

Cuando se conocen los valores de μ y σ de un conjunto de datos,mediante la distribución normal se puede estimar el porcentaje deindividuos asociados a un intervalo de valores. En el caso de losdatos obtenidos por Matilda y Emiliano, μ = 10,5 y σ = 3,0, sepuede decir que el 68,3% de los datos obtenidos se encuentran enel intervalo [μ – σ, μ + σ]; esto es, en [7,5, 13,5].

Del mismo modo, se puede decir que el 95,5% de los datosobtenidos se encuentran en el intervalo [μ – 2σ, μ + 2σ]; esto es,en [4,5, 16,5].

Y que el 99,7% de los datos obtenidos se encuentran en el inter-valo [μ – 3σ, μ + 3σ]; esto es, en [1,5, 19,5].

Si X es una variable que se distribuye N (μ, σ), utilizando un cambio

de variable, se define Z = ; se puede demostrar que ahora Z

distribuye N(0, 1).

La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados paraella (ver tabla de la página siguiente), de modo que se puedenhacer cálculos de probabilidades y tamaños de grupos depoblación usando correctamente la tabla, y luego realizando loscálculos correspondientes.

X – μσ

Un

idad

6Si una población tiene distribuciónnormal con media μ y desviaciónestándar σ, anotamos que ella dis-tribuye N(μ, σ).

Pon atención

μ – 2σ μ + 2σμ

μ

95,5%

μ – σ μ + σμ

68,3%

μ – 3σ μ + 3σ

99,7%

z

P(Z < z)


242 | Unidad 6

EjemploEl resultado de una prueba de Cuarto Año Medio, tiene una dis-tribución N(5,3; 0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba esde 150. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante alazar este haya obtenido al menos un 6,0?

Se necesita obtener P(X � 6,0), entonces se puede calcular P(X < 6,0),y luego restar a 1 el resultado para obtener la probabilidad pe-dida. La siguiente tabla contiene los valores de probabilidad aso-ciados a una distribución normal estándar; es decir, con μ = 1 y σ = 0.

Para utilizar la tabla se requiere aplicar el correspondiente cambio

de variable; en este caso, z = = = 1,16 � 1,2.

En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849. Es decir, P(X � 6,0) = 0,8849,

luego la probabilidad buscada es su complemento; esto es,

P(X � 6,0) = 1 – 0,8849 = 0,1151.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un alumno con nota igualo superior a 6,0 es 0,1151, o bien se puede decir que el 11,51% delos alumnos obtuvo una nota perteneciente a ese intervalo.

0,70,6

6,0 – 5,30,6

z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z <z)

–3,0 0,0013 –2,0 0,0228 –1,0 0,1587 0,0 0,5000 1,0 0,8413 2,0 0,9772

–2,9 0,0019 –1,9 0,0287 –0,9 0,1841 0,1 0,5398 1,1 0,8643 2,1 0,9821

–2,8 0,0026 –1,8 0,0359 –0,8 0,2119 0,2 0,5793 1,2 0,8849 2,2 0,9861

–2,7 0,0035 –1,7 0,0446 –0,7 0,2420 0,3 0,6179 1,3 0,9032 2,3 0,9893

–2,6 0,0047 –1,6 0,0548 –0,6 0,2743 0,4 0,6554 1,4 0,9192 2,4 0,9918

–2,5 0,0062 –1,5 0,0668 –0,5 0,3085 0,5 0,6915 1,5 0,9332 2,5 0,9938

–2,4 0,0082 –1,4 0,0808 –0,4 0,3446 0,6 0,7257 1,6 0,9452 2,6 0,9953

–2,3 0,0107 –1,3 0,0968 –0,3 0,3821 0,7 0,7580 1,7 0,9554 2,7 0,9965

–2,2 0,0139 –1,2 0,1151 –0,2 0,4207 0,8 0,7881 1,8 0,9641 2,8 0,9974

–2,1 0,0179 –1,1 0,1357 –0,1 0,4602 0,9 0,8159 1,9 0,9713 2,9 0,9981

Cuando se requieren valores ma-yores que un valor dado, para fa-cilitar el uso de la tabla, se buscasu complemento.

Pon atención



Un

idad

6

En resumen

• Una de las distribuciones probabilísticas de variables continuas es la distribución normal,cuya representación gráfica es conocida como la campana de Gauss.

• Si X es una variable que se distribuye N(μ, σ), se puede definir Z = , de modo que ahoraZ distribuye N(0, 1).

• La variable Z se puede utilizar para calcular probabilidades y tamaños de grupos de población a partir de los valores de la tabla.

X – μσ

1. Determina en cuál o cuáles de los siguientes casos se podría tratar de una población con distribu-ción normal.

a. Sueldos que se pagan en una empresa.b. Edad a la que una persona muere.

2. Las estaturas de los recién nacidos en un hospital se distribuyen N (46, 2) en cm. Calcula la probabi-lidad de que:

a. un recién nacido mida menos de 44 cm.b. un recién nacido mida más de 50 cm.

3. De un colegio mixto egresaron 210 varones y 225 damas. Las edades de los varones se distribuyenN(18,8; 0,4), y las de las damas, N(18,2; 0,6).

a. ¿Cuántos varones tenían más de 18 años?b. ¿Cuántas damas tenían más de 17 años?c. Si se selecciona un alumno varón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga a lo menos

18,8 años?

4. Los tiempos, en segundos, realizados en las prácticas de atletismo del Colegio Cordillera se dis-tribuyen N(12,8, 0,8) y los tiempos del Colegio Entrelagos se distribuyen N(12,2, 1). Determina quéporcentaje de atletas:

a. del Colegio Cordillera demoraron más de 12,8 segundos.b. del Colegio Cordillera demoraron menos de 13,6 segundos.c. del Colegio Entrelagos demoraron más de 10,2 segundos.d. del Colegio Entrelagos demoraron menos de 13,2 segundos.

Actividades


244 | Unidad 6




2. ¿Qué es el intervalo de confianza? Explica.

3. ¿Cuál es la diferencia entre una desviación y la desviación estándar?

4. ¿Cómo se calcula el tamaño de la población utilizando dos muestras sucesivas? Explica.

5. ¿Qué características tiene una correlación si r es cercano a 1?

6. ¿Qué ventajas tiene el diagrama de tallo y hojas?




DATOS ESTADÍSTICOS

se analizan mediante

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS MUESTRA ALEATORIAMEDIDAS DE DISPERSIÓN

tales como

constituyen una

se puede calcular el

y el

se organizan en

si poseen dos o más

se puede estudiar su

VARIABLESRANGO

DESVIACIÓN

MEDIA

DESVIACIÓN

ESTÁNDAR

CORRELACIÓN

se estima

mediante el

bajo un

cuando tienen

su representación es

PARÁMETROTAMAÑO DE

LA POBLACIÓN

TAMAÑO DE

LA MUESTRA

INTERVALO DE CONFIANZA

NIVEL DE CONFIANZA

DISTRIBUCIÓN NORMAL

CAMPANA DE GAUSS



Mi progreso

Un

idad

6

1. En un ensayo de PSU los y las estudiantes omitieron la siguiente cantidad de preguntas:

6 - 0 - 7 - 15 - 2 - 5 - 36 - 18 - 9 - 3 - 2 - 0 - 1 - 4 - 4 - 6 - 7 - 5 - 8 - 10 - 9 - 0 - 3 - 0 - 2 - 0 - 8 - 9 -22 - 16 - 0 - 4 - 7 - 0 - 12 - 11 - 0 - 6 - 8 - 0 - 0 - 9

a. Calcula la media y la desviación estándar. ¿Qué valores distorsionan la media?, ¿por qué?b. Construye un diagrama de tallo y hojas. ¿En torno a qué valores se concentran los datos?,

¿qué puedes concluir?

2. En una empresa trabajan cuatro obreros. La antigüedad y el número de productos defectuosos elaboradospor ellos durante el último año viene dado por:

a. Representa gráficamente los datos. Razona si losdatos expresan correlación positiva o negativa.

b. Calcula el coeficiente de correlación.

3. Se ha calculado que el tiempo de espera en la fila de un banco tiene una distribución N (18, 6), en minutos.Calcula la probabilidad que tiene una persona de esperar entre 10 y 20 minutos en la fila.

4. Para estimar la cantidad de años de escolaridad de la población mayor de 30 años de una comuna, sedecide tomar una muestra de 500 personas. Se sabe que la desviación estándar de la población es 3 añosy la media de la muestra es 8 años. ¿Cuál es el error porcentual con un 95% de confianza?

A. 0,26%B. 0,03%C. 3,25%D. 26%E. Ninguna de las anteriores.


¿Cómo voy?


Calcular medidas de dispersión. 1 a 228 a 231

Calcular la correlación entre dos variables. 2 232 y 233

Construir e interpretar un diagrama de tallo y hojas. 1 b 234 y 235

Estimar el error dado el intervalo de confianza. 4 236 a 239

Calcular la probabilidad, dada la distribución normal. 3 240 a 243

Antigüedad 3 2 4 1

Productos defectuosos 4 3 3 4


246 | Unidad 6

Medidas de posición

Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, delos alumnos y alumnas de Cuarto Año Medio de un colegio.

1,56 - 1,74 - 1,68 - 1,52 - 1,48 - 1,54 - 1,60 - 1,55 - 1,49 - 1,5 - 1,56 -1,53 - 1,72 - 1,66 - 1,53 - 1,62 - 1,59 - 1,63 - 1,68 - 1,73 - 1,72 - 1,75- 1,86 - 1,69 -1,63 - 1,79 - 1,81 - 1,83 - 1,69 - 1,75 - 1,68 - 1,83 - 1,73- 1,77 - 1,78 - 1,77

• Ordena todos los valores de menor a mayor. ¿Cuál es la mediana?• ¿Qué porcentaje de jóvenes de este curso mide menos de 1,72?,

¿cómo lo calculaste?• Con los datos ordenados, si se separa el grupo en cuatro partes

iguales, ¿hasta qué estatura corresponde cada grupo? Justifica.

Analicemos...

Anteriormente aprendiste que la mediana de un conjunto de datosordenados, de acuerdo a su magnitud, los separa en dos mitades.Ahora estudiaremos otras medidas de posición, que dividen a unconjunto de datos numéricos en cierta cantidad de partes iguales.

En el ejemplo de la estatura de los y las estudiantes, luego de or-denarlos de menor a mayor, se observa que la mediana corres-ponde a 1,68. Es decir, al menos la mitad de los estudiantes miden1,68 m o menos.

Al revisar los datos, ordenados de menor a mayor, el valor 1,71tiene el lugar 22 de un total de 36, que corresponde aproximada-mente al 60% de los estudiantes de este curso, por lo que repre-senta al 60º percentil. Los percentiles hacen referencia al lugar queocupa un dato cuando estos están ordenados de menor a mayor.

Se define como el k-ésimo percentil de un conjunto de datos al valortal que al menos k% (con k entre 0 y 100) de los datos observadosestán en o por debajo de ese valor y cuando al menos (100 – k)%está en o sobre ese valor. Se denota por Pk.

Además de los percentiles, otras medidas de posición son los cuartiles,que separan todos los datos ordenados en cuatro grupos iguales,y la misma mediana, que, ya que se ubica en la posición central deun conjunto de datos ordenados, puede interpretarse como el se-gundo cuartil y el 50º percentil. De la misma forma, también seutilizan como medida de posición los quintiles, que separan losdatos en cinco grupos iguales, los deciles, que los separan en diezgrupos iguales, etcétera.

Glosariopercentil: valor que divide un con-junto ordenado de datos numéricos,de forma que un porcentaje de talesdatos sea inferior a dicho valor. Así,un individuo en el percentil 80 estápor encima del 80% del grupo alque pertenece.cuartil: cualquiera de los percentiles25, 50 ó 75, que corresponden al primer, segundo y tercer cuartil, respectivamente.



Un

idad

6Ahora, ¿qué pasa cuando los datos están agrupados?Tal como se calcula la mediana para datos agrupados, con un pro-cedimiento similar se puede calcular el percentil Pk para datosagrupados. Observa.

Lk: menor valor de la clase donde se encuentra el k-ésimo percentil.n: número de observaciones.Nk: frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase del

k-ésimo percentil.nk: frecuencia absoluta de la clase del k-ésimo percentil.C: amplitud de la clase del k-ésimo percentil.

EjemploDada la siguiente distribución de frecuencias de 212 puntajesobtenidos en la PSU, determina el percentil 45.

El 45% de los 212 datos agrupados en esta tabla es 95,4; es decir,si contáramos con todos los datos ordenados uno a uno, el percentil45 correspondería a 95º dato de la lista. Se revisa la tabla, en lacolumna de la frecuencia acumulada, para determinar en qué clasese encuentra este dato. En este caso, está en la clase [600, 650[.Con esta información se pueden completar los datos de la expre-sión algebraica. Observa.

El resultado nos indica que el 45% de los estudiantes obtuvo pun-tajes menores o iguales a 615,9.

Cuando hay pocas observacionespuede ocurrir que un valor repre-senta a más de un percentil por ladefinición de percentil.

Pon atención

El k-ésimo percentil de un conjuntode datos es un valor tal que al menosk% de las observaciones están eno por debajo de ese valor.

Recuerda que...

Puntaje Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada

[400, 450[ 10 10

[450, 500[ 9 19

[500, 550[ 20 39

[550, 600[ 31 70

[600, 650[ 80 150

[650, 700[ 42 192

[700, 750[ 10 202

[750, 800[ 10 212

P Lk

nN

nCk k

k

k= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

· –·

100

P45 60045

212100

70

8050= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=· –

· ,615 9

La fórmula para encontrar un deter-minado percentil para datos agru-pados se puede generalizar paraencontrar cuartiles y deciles, solovaría el cálculo de Nk.

Pon atención


248 | Unidad 6

EjemploLos siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 24 mujeresde 17 años.

44 48 48 48 48 50 50 51 52 52 54 5454 55 55 55 55 57 57 57 57 58 60 61

Al analizar estos datos podemos obtener lo siguiente:

Visualizaremos todos los elementos anteriores mediante el siguientediagrama de cajas.

Observa que en el gráfico, losextremos del rectángulo indi-can los cuartiles Q1 y Q3, mien-tras que la línea que divide aeste horizontalmente indicala mediana (Q2).

Las líneas que sobresalen delrectángulo indican el valormínimo y máximo de la dis-tribución, y el signo + indica lamedia aritmética.

Observa que Q1 = 50 indica que el 25% pesó menos o igual que 50kilogramos; Q2, que el 50% pesó menos o igual que 54 kilogramos,y Q3, que el 75% pesó menos de 57 kilogramos o igual.

En un gráfico de cajas se puedenexpresar los datos de manera verti-cal u horizontal.

Pon atención

Tamañomuestra

Mediana Cuartiles Valor mínimo

Valor máximo

Rango

24 54

Q1

= 50

Q2

= 54

Q3

= 5744 61 17

Glosariodiagrama de cajas: representacióngráfica de los datos que permiteanalizar conjuntamente una seriede medidas numéricas, tales comoel mínimo, el máximo, la mediana ylos cuartiles.

4040

Masa (kg)

44

50

54

57

6160

Q3

Q2

Q1

70

1. A partir de los datos dados en el ejemplo de la página anterior:

a. Calcula P30

.b. Calcula Q

3.

c. ¿Qué información nos entregan los valores de P30

y Q3?

d. ¿Qué porcentaje de los 212 alumnos obtuvo resultados entre 620 y 680 puntos?

Actividades



Un

idad

62. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra los puntajes obtenidos por 50 alumnos en un test (se consideran valores enteros), calcula:

a. P3

b. P90

c. Q1

d. Q3

e. Interpreta los resultados obtenidos.

3. La siguiente tabla de frecuencias resume la información del precio, en pesos, de la gasolina automotrizcada mes entre julio de 2003 y julio de 2008:

a. Calcula la media, la moda y la mediana.b. Calcula Q

1y Q

3.

c. ¿Sobre qué precio estuvo la gasolina el 60% de los meses entre julio de 2003 y julio de 2008?d. ¿Qué porcentaje de los meses estuvo la gasolina bajo los 530 pesos?

En resumen

• Los percentiles se conocen como medidas de posición y hacen referencia al lugar que ocupaun dato cuando todos estos están ordenados de menor a mayor.

• Puede ocurrir que un mismo valor represente más de un percentil, esto ocurre generalmentepara un número pequeño de observaciones.

• Los cuartiles son un caso particular de los percentiles y reciben este nombre porque dividen unconjunto de datos en cuatro partes iguales. Otros casos particulares son los quintiles y los deciles.

• La fórmula de cálculo para percentiles, cuando se tienen datos agrupados, es:

• El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultáneamente diferentes carac-terísticas de un conjunto de datos, tales como: mediana, rango, cuartiles, valores extremos,etc. Este diagrama presenta los tres cuartiles (y los valores mínimos y máximos) alineadossobre una caja horizontal o verticalmente.

P Lk

nN

nCk k

k

k= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

· –·

100

Intervalo [60, 64] [65, 69] [70, 74] [75, 79] [80, 84] [85, 89]

Frecuencia absoluta 5 5 8 12 16 4

Frecuencia acumulada 5 10 18 30 46 50

Precio [400, 450[ [450, 500[ [500, 550[ [550, 600[ [600, 650[ [650, 700[

fi 5 7 10 12 7 9

Fuente: Comisión Nacional de Energía (http://www.cne.cl/cnewww/opencms/06_Estadisticas/energia/Hidrocarburos.html)


250 | Unidad 6


Utilizando una planilla de cálculo como Excel y las funciones: mediana, cuartil y percentil,puedes usar esta herramienta para calcular estas medidas.

Como ejemplo, utilizaremos los datos de las estaturas (en metros) de los y las estudiantes de Cuarto AñoMedio de un colegio (página 246).

• Copia estos datos en la columna A de la planilla.• Para calcular la mediana, en C1 escribe =MEDIANA(A1:A30), y después presiona enter y obten-

drás el resultado. En B1 puedes escribir Mediana, para identificar cada resultado.• Para calcular Q

1, en B2 escribe Cuartil 1 y en C2 escribe =CUARTIL(A1:A30;1), donde el 1 final

indica que estás calculando el primer cuartil. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado.• Para calcular Q

3, en B3 escribe Cuartil 3 y en C3 escribe =CUARTIL(A1:A30;3), y el 3 indica que

estás calculando el tercer cuartil. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado.• Para calcular (por ejemplo) el percentil 70; P

70, en B4 escribe Percentil 70 y en C4 escribe

=PERCENTIL(A1:A30;0,7). Debes notar que el programa toma como parámetro un númeroentre 0 y 1, que corresponde al percentil a calcular dividido por 100. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado.

La siguiente imagen muestra todos los datos calculados.

1. Calcula, de la misma manera, los percentiles 30, 60 y 90.2. Repite este ejercicio con los datos de la presión sanguínea sistólica (página 237). Es decir, calcula

la mediana, primer y tercer cuartiles, y algunos percentiles. 3. Inventa datos que cumplan con las condiciones descritas y observa por ti mismo lo que ocurre.



Un

idad

6

Aplicaciones de la Estadística

El siguiente gráfico entrega información acerca del estado de saludde adultos mayores, respecto a la variable peso.

Fuente: Estado Nutricional del Adulto Mayor en control. DEIS. Ministerio de Salud,

(diciembre 2006), deis.minsal.cl/salidas06/pobl_dic/adulto_mayor1206.asp.

Los estudios estadísticos, realizados por el Ministerio de Salud, rela-cionados con el estado nutricional de las personas, tienen comouno de sus objetivos el “supervisar la situación alimentario-nutri-cional de la población chilena, detectando grupos en riesgo desufrir alguna forma de malnutrición, y normar la implementaciónde acciones y programas orientados a prevenir el daño en dichosgrupos y en la población general” (Fuente: www.minsal.cl).

De la población estudiada, observamos que en toda la Región Metro-politana, la cantidad de población con sobrepeso y obesidad superaen demasía a la población con peso normal, siendo el rango de bajopeso el que considera la menor porción de población adulto mayor.

Analicemos...

• ¿En qué sector el estado nutricional del adulto mayor es mejor?,¿por qué?

• Observando el gráfico, ¿la población que tiene sobrepeso uobesidad, juntos, es mayor o menor que la de peso normal?

• ¿Qué problema afecta a mayor cantidad de personas: el bajopeso o la obesidad? Justifica. ¿Qué puedes concluir?

Estado nutricional del adulto mayor en control, diciembre 2006

5000

0

10 000

15 000

20 000

25 000

Metrop

olitan

o nort

e

Metrop

olitan

o occi

dente

Metrop

olitan

o cen

tral

Metrop

olitan

o orie

nte

Metrop

olitan

o sur

Metrop

olitan

o sur-

orien

te

Bajo pesoPeso normal

Cant

idad

de

pers

onas

Servicios de salud

SobrepesoObesidad

Enfermera registrando el peso de unadulto mayor.


Así como en el ámbito de la Salud, la Estadística también se aplicaen otros campos de estudio, tales como la Economía, Biología, Cien-cias Sociales, etcétera.

252 | Unidad 6

1. El IPC se calcula sobre la base de un promedio ponderado, de modo que cada rubro tiene distintaimportancia de acuerdo con los consumos de la población.

a. Observa la tabla y determina cuál es el rubro que tiene mayor importancia.b. ¿Por qué crees tú que el rubro educación es el que más subió?c. ¿Por qué piensas que el rubro vestuario bajó más?

Fuente: IPC por División (niveles, variaciones e incidencias) www.ine.cl, octubre 2009.

Actividades

IPC octubre 2009. Variaciones e incidencias

Divisiones Variación 12 meses (%) Incidencia a 12 meses

Alimentos y bebidas no alcohólicas 0,2 0,029

Bebidas alcohólicas y tabaco 3,7 0,076

Prendas de vestir y calzado –15,6 –0,782

Alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles –3,5 –0,455

Muebles, artículos para el hogar y para la conservacióncorriente del hogar

1,5 0,107

Salud 2,7 0,154

Transporte –7,5 –1,552

Comunicaciones 0,5 0,018

Recreación y cultura –3,7 –0,338

Educación 9,4 0,574

Restaurantes y hoteles 3,5 0,204

Bienes y servicios diversos –7,0 –0,360

En resumen

• La Estadística permite analizar tendencias a partir de un conjunto de datos y, luego, tomarmejores decisiones en variados ámbitos, porque permite presentar, relacionar y analizar la información mediante la utilización de tablas y gráficos, y de descriptores como las medidasde tendencia central y de posición, entre otros.



Un

idad

62. Observa el siguiente gráfico respecto del número de matrimonios, según la edad de los contrayentes.

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Estadísticas vitales, Informe anual 2006.

a. Qué conclusiones se obtienen con respecto a las edades en que se casan las personas?b. ¿Cómo es la distribución de las edades en que se casa la gente?, ¿por qué?

3. La siguiente tabla muestra el número de desocupados, correspondiente a los meses de julio, agostoy septiembre de 2009, según el Boletín Informativo del Instituto Nacional de Estadísticas.

a. Construye el gráfico que represente mejor estos datos.

b. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre la canti-dad de desocupados decada actividad?

c. ¿Crees que estos valores son similares al número de desocupados en los mismosmeses, pero de este año?, ¿por qué? Comenta con tuscompañeros y compañerascuáles creen que fueron lasdiferencias y qué situaciones las explican.

ActividadDesocupados

(miles de personas)

Agricultura, caza, pesca 65,08

Minas y canteras 6,13

Industria manufacturera 87,55

Electricidad, gas y agua 3,35

Construcción 109,17

Transporte, almacenaje y comunicaciones 128,45

Comercio 66,60

Servicios financieros 71,32

Servicios comunales, sociales, personales 105,31

Menor

de 15

años

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75 añ

os y m

ás

5000

10 000

15 000

20 000

Matrimonios

Matrimonios por grupo de edad de los contrayentes

Grupo de edad del contrayente

HombresMujeres


254 | Unidad 6




2. ¿Qué representa un percentil?

3. ¿Qué tipos de preguntas se pueden responder con los percentiles?

4. ¿Por qué los cuartiles reciben este nombre?

5. ¿En qué casos puede ocurrir que Q1 = Q2 = Q3? Ejemplifica con datos.

6. ¿Qué valores se ilustran en el diagrama de cajas? Explica.




MEDIDAS DE POSICIÓN

como los cuya

es un

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DIAGRAMA DE CAJAS

PERCENTILES

CUARTILES QUINTILES DECILES

sus casos particulares son



Mi progreso

Un

idad

6

1. Los datos que se muestran a continuación corresponden al tiempo, en minutos, que demoran los estudiantes de un Cuarto Año Medio en contestar un ensayo de PSU de Matemática.

125 - 138 - 150 - 98 - 111 - 125 - 131 - 143 - 104 - 103 - 116 - 125 - 146 - 143 - 103 - 88 - 71 - 127 -

134 - 109 - 96 - 140 - 137 - 136 - 146 - 150 - 103 - 106 - 112 - 116 - 109 - 106 - 136 - 96 - 98 - 79 -

134 - 116 - 106 - 96 - 126 - 116 - 120 - 124 - 87 - 106 - 145 - 116 - 127 - 79 - 74 - 133 - 129 - 134

a. Calcula la mediana y los cuartiles Q1

y Q3.

2. Las edades de 40 personas de una familia son:

10 - 13 - 14 - 17 - 17 - 23 - 23 - 23 - 24 - 26 - 27 - 27 - 29 - 30 - 31 - 31 - 35 - 36 - 36 - 37 - 37 - 39 -41 - 42 - 44 - 46 - 48 - 54 - 54 - 60 - 61 - 61 - 61 - 70 - 70 - 71 - 73 - 77 - 81 - 83

a. Representa las edades en un diagrama de cajas. Interpreta los resultados obtenidos.b. Si los datos situados en posición impar pertenecen a mujeres y los situados en posición par a

hombres, obtén sus respectivos diagramas de cajas contrastando los resultados.

3. El siguiente diagrama presenta las edades de un club de adultos mayores. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. La media aritmética de estos datos es 75.B. El rango de los datos es 26.C. La mayoría de los integrantes de este grupo

es menor de 77 años.D. En este grupo no hay personas mayores de

90 años.E. Ninguna de las anteriores.


¿Cómo voy?


Calcular medidas de posición para datos no agrupados.

1 246 a 249

Construir e interpretar un diagrama de cajas. 2 y 3 246 a 249

60

Edad

Años

63

6870

75

77

81

89

80

90


Cómo resolverlo

256 | Unidad 6


En un estudio, en un tramo específico de la carretera, se registró lavelocidad de los automóviles un día entre las 11 y las 12 de la mañana.Las velocidades (en km/h) se ordenaron en la siguiente tabla:

a. Calcula la mediana.b. Calcula Q1.

Interpreta, en cada caso, los valores obtenidos en el contexto de los datos.

Solución

a. Para calcular la mediana, se observa en la tabla que la clase [60, 75[implica que la frecuencia acumulada es de, al menos, la mitad delos datos. Por tanto, se tiene:

es decir, la mitad de los automóviles pasa, a lo más, a 68,75 km/h.

b. Para determinar el primer cuartil, se debe determinar, según la tabla,cuál es la clase que implica frecuencia acumulada de, al menos,12 datos. Esta clase es [60, 75[. Por lo tanto, se toma como valorde p = 0,25 y se tiene:

Es decir, la cuarta parte de los automóviles circulan, a lo más, a 61,25 km/h.

Mi fi Fi

[30, 45[ 37,5 3 3

[45, 60[ 52,5 7 10

[60, 75[ 67,5 24 34

[75, 90[ 82,5 11 45

[90, 105[ 97,5 3 48

Md LN

ncMd

Md

Md= +

−⋅ = + − ⋅ =

2460 24 10

2415 68 75,

Q Lp N

ncp

p

p1

4860 12 10

2415 61 25= +

⋅ −⋅ = + − ⋅ = ,

Carretera en la Región de Valparaíso.



Un

idad

6Actividades


a. Los datos de la tabla corresponden a la cantidad de té, en kilogramos, importada por un dis-tribuidor de este producto durante el año 2009.

• Calcula la media, la mediana y el primer cuartil.• ¿Bajo qué valor se encuentra el 40% de las importaciones?• ¿Sobre qué valor se encuentra el 90% de las importaciones?• ¿Qué puedes concluir?



a. La siguiente tabla de distribución de frecuencias agrupa las marcas, expresadas en metros,obtenidas por un grupo de estudiantes en el lanzamiento del disco.

• ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo marcas en el intervalo [39, 40[?• ¿Qué porcentaje de ellos obtuvo una marca igual o superior a los 40 m?• ¿Qué puedes concluir?

Cantidad (kg) [200, 280[ [280, 360[ [360, 440[ [440, 520[ [520, 600[

fi 20 10 15 20 13

Intervalo (m) fi

[34, 35[ 12

[35, 36[ 15

[36, 37[ 18

[37, 38[ 30

[38, 39[ 28

[39, 40[ 20

[40, 41[ 17

[41, 42[ 6

[42, 43[ 4


258 | Unidad 6


Estudio de mercado

Cuando se realiza una expedición o se pasan las vacaciones en un campamento, el

saco de dormir es un elemento fundamental, ya que la calidad del sueño influye de

manera importante en el rendimiento y las energías que se tienen durante el día;

por lo tanto, en este tipo de actividades, desde el humor hasta el éxito en una salida

pueden verse afectados por una o muchas malas noches.

Entre los aspectos que se deben considerar en el momento de elegir un saco de

dormir, se encuentran sus dimensiones. Es importante tener un poco de libertad

en los movimientos dentro del saco, ya que resultados de investigaciones recientes

demuestran que alrededor del 70% de la capacidad térmica es producida por la

capa aislante, y cerca del 30% por el espacio interior del saco, que contiene nuestro

aire caliente. En este sentido, es importante que el saco no sea ni muy ancho ni

muy estrecho, o perderá una gran parte de sus propiedades. La forma de la capucha,

por otro lado, es algo esencial; los sacos de verano pueden tener una capucha muy

amplia, pero si se duerme por debajo de 0 ºC es conveniente escoger un saco con

capucha totalmente preformada.

En una fábrica de sacos de dormir, los vendedores le comentan al gerente que fre-

cuentemente sus clientes les solicitan sacos con medidas especiales. Él mismo es una

persona muy alta. Su estatura está por sobre el percentil 90 de la estatura de la

población, y por eso requiere de un saco de dormir especial, a su medida. Ha pen-

sado que si él tiene este inconveniente, a otras personas también les puede suceder.


Actividades

1. Planifica un estudio de mercado que permita determinar si fabricar sacos de dormir a la medida seríarentable para esta fábrica. ¿Qué información necesitas obtener?

2. Diseña una encuesta para recabar información. ¿Cuáles serían las preguntas contenidas en esta encuesta?3. Averigua si ya existen empresas que fabriquen sacos de dormir a la medida.

Investiguemos...

1. Forma un equipo con dos compañeros o compañeras más. Analicen las planificaciones ideadas porcada uno y, a partir de esto, diseñen un estudio de mercado acerca de sacos de dormir de medidasespeciales. Consideren que un estudio de mercado consiste en una investigación para, en este caso:

a. investigar si para los posibles consumidores la idea de un saco de dormir a la medida tendríaaceptación o no.

b. Investigar si ya existe alguna empresa que fabrique sacos de dormir a la medida.c. El gerente está pensando fabricar 80 sacos de dormir, inicialmente, pero necesita determinar los

tamaños y las cantidades necesarias de cada uno.

2. Realicen una encuesta a, al menos, 100 personas, para desarrollar el estudio de mercado. Decidan pre-viamente qué datos necesitan saber y qué preguntas van a incluir en la encuesta.

a. Averigüen cuánto margen debe tener un saco de dormir en relación con la altura de la persona quelo usará.

b. Averigüen cuántos sacos de dormir se venden en un año en Chile. Con este dato, estimen cuán-tos sacos de dormir especiales se podrían vender.

c. Elaboren un resumen, que incluya los datos obtenidos y sus correspondientes gráficos, en el quepresenten sus conclusiones.


• ¿El estudio realizado les permitió determinar si los sacos de dormir a la medida tienen aceptaciónentre los consumidores?

• ¿Lograron determinar los tamaños necesarios y la cantidad de sacos de dormir que se deben hacerde cada tamaño?

• Comparen sus resultados con los de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron algo distinto, quetu grupo no consideró?, ¿qué pueden concluir?


Un

idad

6


260 | Unidad 6





2. ¿A qué se refieren las medidas de posición?

3. ¿Cuál es la diferencia entre desviación media y desviación estándar? Explica.

4. Dadas dos muestras distintas, ¿es posible que se obtengan valores distintos, aunque se trate de

la misma población? Justifica.

5. La asociación entre dos variables, ¿cómo se puede describir? Explica.

6. ¿Existe alguna ventaja de utilizar cuartiles en lugar de percentiles?, ¿por qué?



DATOS

DESVIACIÓN MEDIA RANGO

INTERVALO DE CONFIANZA

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS DIAGRAMA DE CAJAS

MEDIDAS DE DISPERSIÓN MUESTRA

MEDIDAS DE POSICIÓN

DESVIACIÓN ESTÁNDAR ERROR PORCENTUAL

CORRELACIÓN



Evaluación

I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

1. Se conoce como marca de clase al punto medio de cada clase.

2. El número de cesáreas comparado con número de partos normales no tiene correlación.

3. La mediana representa un valor tal que, al menos, el 60% de las observaciones se encuentren

bajo él.

4. Encontrar el valor tal que, al menos, el 70% de las observaciones que estén bajo él sea equiva-

lente a encontrar P70

.

5. La correlación entre la edad de una persona y la cantidad de veces que ha salido de vacaciones

en su vida es positiva.


1. La avícola El Pollo Volador, preocupada por los recientes reclamos respecto del peso de los pollos,decidió estudiar la distribución de los pesos de 1000 de ellos, obteniendo los siguientes resultados:

A la avícola le interesa dividir los pollos en cuatro categorías, asignando la categoría D al percentil20, la categoría C al percentil 50, la categoría B al percentil 80, y el grupo restante en la categoría A. ¿Cuáles son los límites de peso para cada categoría?

2. Un fabricante asegura que el contenido promedio de nicotina de sus cigarrillos es de 2 mg. Paraverificar esto se realizó un estudio con una muestra aleatoria de 45 cigarrillos, obteniéndose unpromedio de 3 mg de nicotina. Se sabe que el contenido de nicotina de un cigarrillo sigue unadistribución normal con desviación estándar de 0,5 mg.

a. Obtén e interpreta un intervalo con un 95% de confianza para el verdadero promedio.b. Obtén el intervalo con un 80% de confianza para la media.c. ¿Qué puedes concluir en relación con lo que dice el fabricante?

Un

idad

6

Peso (g) fi

[960, 980[ 60

[980, 1000[ 160

[1000, 1020[ 280

[1020, 1040[ 260

[1040, 1060[ 160

[1060, 1080[ 80


262 | Unidad 6

1. Las edades de los jóvenes de un grupo musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años. Entonces, es falso que:

I. la media es 14 años.II. la mediana es 15 años.III. la desviación estándar es un año.

A. Solo IB. Solo II C. Solo IIID. I y IIE. II y III

2. Las notas de Claudia en Física son: 3,5; 4,2;5,3; 2,8; 5,6 y 5,6. Con respecto a estasituación, es verdadero que:

I. su media es 4,5.II. la moda es un 5,6.III. si Claudia obtiene en un trabajo un

6,5 y lo remplaza por su peor nota, su media ahora es un 5,1.

A. Solo I B. Solo IIC. II y IIID. I y IIE. I, II y III.

3. En un zoológico desean saber cuántosloros hay. Escogen una muestra de 50 y losmarcan; al día siguiente, toman una mues-tra de 40 y observan que 5 de ellos estánmarcados. El total aproximado de loros delzoológico es:

A. 100 B. 400C. 350D. 250E. 200

4. En la selección de vóleibol de un colegio A, la me-dia de las estaturas es 183 cm y la desviaciónestándar 3,5 cm. En otro colegio B, la media es174 cm y la desviación estándar es 5 cm. Entonces:

I. los seleccionados de B tienen una estaturamás pareja que en A.

II. los seleccionados más altos están en A.III. los seleccionados más bajos están en B.

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y IIE. II y III

5. Con respecto al coeficiente de correlación dePearson, es verdadero que:

I. cuando su valor es cercano a 1, hay correlación positiva.

II. cuando su valor es cercano a 0,5, la correlación es nula.

III. cuando su valor es 0, la correlación es negativa.

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. II y IIIE. I, II y III.

6. En un colegio de 4000 alumnos y alumnas, las notas en Matemática se distribuyen N(5,2; 0,6). ¿Alrededor de cuántos estudiantes tienen promedio sobre 6,0?

A. 0,9032 B. 10% C. 500D. 0,0968E. 390




7. Cecilia, en su preparación para la PSU de Len-guaje, realizó 10 ensayos y su tiempo prome-dio fue de una hora y media. Ella sabe que sudesviación típica es de 20 minutos. Si seasume un nivel de confianza del 95%, el errormáximo en tiempo, el día que rinda la prueba,será aproximadamente:

A. 0,14 minutos.B. 12 minutos.C. 13 minutos.D. 3,92 minutos.E. Ninguna de las anteriores.

8. Un consultorio realizó un estudio para deter-minar la masa de la población femenina de sucomuna, obteniendo una distribución N(62, 5).¿Alrededor de qué porcentaje de la cantidad demujeres de la comuna tienen una masa entre57 y 62 kilogramos?

A. 99% B. 68% C. 24%D. 95% E. 34%

9. En la selección de personal para un museo dehistoria, se realizará una prueba de conocimien-tos básicos de Historia de Chile. Se sabe que lospuntajes distribuyen N(132, 18) y tan solo el 10%de los puntajes más altos será seleccionado.Aproximadamente, ¿desde qué puntaje se acep-tará a los candidatos?

A. 109B. 155C. 190D. No se puede determinar.E. Ninguna de las anteriores.

10. Se desea saber las preferencias musicales dela juventud chilena, y para ello se decide haceruna encuesta. ¿Cuál de los siguientes procedi-mientos asegura una muestra representativa?

A. Se encuesta a 100 jóvenes en el centro delas principales ciudades.

B. Se encuesta a 2000 jóvenes a la salida delos liceos, de acuerdo a la cantidad dealumnos de cada liceo.

C. Se consigue en el registro civil una lista detodos los jóvenes del país y se seleccionan2500 al azar.

D. Se pide a los jóvenes que den su opiniónen una radio de alcance nacional.

E. Se invita a los jóvenes a participar en sus co-munas habilitando formularios y buzones.

11. La vida media de una pila (en horas) tiene unadistribución N(150, 50). ¿Cuál es la probabilidad(en porcentaje) de que dure menos de 50 horas?

A. 2% B. 16% C. 68%D. 4% E. 32%

12. Si el P70 = 86, eso significa que:

A. al menos el 40% de las observacionesestán bajo ese valor.

B. al menos el 70% de las observacionesestán bajo ese valor.

C. al menos el 30% de las observacionesestán sobre ese valor.

D. A y BE. B y C

Un

idad

6



Página 14

1. a. f.

b. g.

c. h.

d. i.

e.

2. a. Para x = –1 o x = 1b. La función está definida para todo x.c. Para x � 1d. La función está definida para todo x.e. La función está definida para todo x.f. Para x = –1g. Para x = –1h. Para x = –5i. Para x < aj. Para x � b2

3. a. Creciente en: ]–�, –5[, decreciente en: ]–5, �[.b. Decreciente en: [–4, �[.c. Decreciente en: ]–�, 10[, creciente en: ]10, �[.d. Decreciente en: ]–�, 3[, creciente en: ]3, �[.

4. a. f (x) = 21x – x2

b. Después de 11 unidades.c. El ingreso máximo es 110 y ocurre cuando se

producen diez u once productos.

Página 15

5.

Página 17

1. a. No es función. b. Es función. c. Es función.

2. a. f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2, f (4) = 3, f (5) = 5, f (6) = 8

b. Dom( f ) = IN

3. a. Dom( f ) = IR – {1}, rec( f ) = IR – {1}b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = ]0, 1]c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+

0

d. Dom( f ) = IR – ]–1, 1], rec( f ) = IR+0

– {1}

Página 19

1. Solamente la función a tiene inversa.

2. a. f –1(x ) = x + d. p–1(x ) =

c. h–1(x ) = x – f. g–1(x ) = 25x2 + 51

2

1 – x2

x2

53

103


Solucionario

f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) = 0

]–�, 0[ � ]3, �[ ]0, 3[ Nunca

] , [1010 ]–�,– [� ] ,�[1010 – y 1010

Nunca ]–�, 5[ � ]5, �[ 5

]–�, –0,5[ � ]0,5, �[ ]–0,5, 0,5[ –0,5 y 0,5

Nunca ]–7, �[ –7

Nunca ]–�, 11[ 11

Función potencia y logarítmica1

b. g–1(x ) = (x – 3)2 + 4 e. q–1(x ) = – 47

x7

SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 264

a. Dom( f –1) = IR – {1}b. Rec( f –1) = IR – {3}

Página 22

1.

a. Ambas son parábolas que se abren hacia arribay tienen el vértice en el origen. Se diferencianen que f (x) se abre más que g(x).

b. Ambas son parábolas que se abren hacia arribay tienen la misma abertura. Se diferencian enque una está trasladada con respecto a la otra.

c. Pregunta abierta.

2.

a. La forma de la gráfica es similar, pero una escreciente y la otra es decreciente.

b. Ambas son decrecientes pero una estátrasladada con respecto a la otra.

c. Pregunta abierta.

Página 25

1. a. d.

b. e.

c. f.

2. a. c.

b. d.

3. Pregunta abierta.


Página 27

1. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = [2, �[b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IRc. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+

0

2. a. p–1(x ) =

c. r –1(x ) =

3. a. Falso, solo sucede si a > 0.b. Falso, solo si n es impar.c. Falso, solo si n es par y a > 0.d. Verdadero.

4. D

3 – 4xx + 1

7x + 55

Sol

uci

onar

io

Solucionario | 265

Sol

uci

onar

io3. f –1(x ) = 3x – 1x – 1

b. q–1(x ) = x2 – 16

x2



Solucionario

Página 31

1. a. f. 0 k.

b. 7 g. 4 l. –1

c. 4 h. –2 m.

e. 9 j. 2 o.

2. a. x = 64 c. x = 0,027

b. x = d. x = 15 625 000

Página 33

1. a. 6 e. 1 i. 3

c. 2 g. k. –7

d. 0 h. 0 l. –2

2. a. log2

5 � 2,32 c. log7

9 � 1,13b. log

67 � 1,09 d. log

611 � 1,34

3. a. 9 c. 14 e. –1b. 3 d. 1,5 f. 22

Página 35

1. a. 3A + 3B + 2C c. (A + B)

b. A + 2B + C d. –A – B – C

2. a. logm e. logb 72

c. logp g. logb

3. a. logb (x – 11) + logb (x + 2)

b. (logb 4 + 6 logb x + 2 logb (5x – 2))

c. 2 logb (x + y) + 2 logb (x2 – xy + y2)

d. 2 logp a + 4 logp b + 5 logp c – 2 logp d

Página 37

1. a. Indicación: aplica logb a ambos lados de la igualdad.

b. Indicación: primero aplica la propiedad del logaritmo de un cociente.

2. a. Verdadero c. Verdaderob. Falso d. Falso

3. Indicación: aplica la propiedad de cambio de basepara cada uno de los logaritmos de la igualdad.

Página 39

1. a. 7 b. 9 c. 5 d.

2. a. 3 b. 10 c. 1 d. 0

3. a. 2 logb p + 3 logb q + logb r – 4 logb s

4. a. loga c. logb

b. logb (x + 3)(x – 3)3 d. logb 34510

5. a. Falso. b. Verdadero.

6. C, pues el 1 no puede ser base de un logaritmo.

Página 43

1. a. 2 c. –3 e. 20b. 4 d. –6 f. 22

2. a. Se traslada 4 unidades hacia arriba.b. Se traslada 5 unidades hacia la derecha.c. Se traslada 1 unidad hacia la izquierda y se

refleja respecto del eje X.

3. a.

Dom( f ) = IR+, dom( f1) = IR+, ambas funciones

intersecan al eje X en el punto (1, 0) y uno de los gráficos es la reflexión respecto al eje X del otro gráfico.

8 3

x + 2y – z(x – y + 4z)3

5db3c3

1 2

11 3

aecd

acb2d3

x + y + z(x – y – z)4

3 2

7 4

16 9

4 3

2 3

3 4

5 2

d. 3 i. 5 n. 2 5

b. f. 7 j. 25 3

b. logb (x4 – 1) f. logbca6

d. logp h. logbx + 3

(x – 2)4acb

b. (logb (p + q) + logb (p – q))1 3


Solucionario | 267

b.

Dom(m) = ]4, �[, dom(m1) = ]4, �[, ambas

funciones intersecan al eje X en el punto (5,0),uno de los gráficos es la reflexión respecto al eje Xdel otro gráfico.

Página 48

1. a. 7 c. 5 e. 10 000 g. 2

b. d. 6 f. 10 h.

Página 49

2. a. No tiene solución. d. x =

b. x = 1 e. x = 4

c. x = f. x = 3

3. a. Ninguna se cumple.b. Se cumple solo para x = 5.c. Ninguna se cumple.d. Ninguna se cumple.e. Se cumple solo para x = 100.

4. a. x = 2000 g. x =

d. x = –10 � j. x = 4

e. x = 11 k. x = 10

f. x = 5 l. x = 100, x =

Página 50

1. a. 3,16 · 10–3 d. 3,16 · 10–7

b. 1,26 · 10–3 e. 1 · 10–10

c. 1 · 10–3

2. a. 3,98 · 10 –3

Página 51

3. Desde 1,58 · 10–4 a 1,58 · 10–3 aproximadamente.

4. a. 1,12 · 1026 ergios.b. 355 veces más fuerte.c. Pregunta abierta.

5. a. Aumenta en 3 dB.b. Pregunta abierta.c. 150 dBd. No, corresponde a 153 dB.

6.

Página 53

1. a. 7 unidades hacia abajo.b. 2 unidades hacia la izquierda.c. Una unidad hacia la derecha y reflexión con

respecto al eje X.d. No hay traslación, solamente hay cambio en la

forma de la gráfica.

2. a. x = 42 c. x = –

b. x = 9 d. x = 6

3. 6,31 · 10–3 W/m2 aproximadamente.

4. E

Página 55

1. a. 199 m c. 1002 mb. 20 m d. 7,92 m

1 6

197

1010

11 26512

+

11 3

1 52

+

19 5

1 6

Sol

uci

onar

io

Fuente Intensidad Decibeles

10–10 20

10–5 70

10–3,5 85

100 120

10 130

104 160

10–1,9 101

c. x = i. x = 6165

b. x = h. x = 3, x = 1,54 7



Solucionario

3. a. 0,5 km aproximadamente. 0,005 km aproximadamente.14,68 aproximadamente.

b. 41,86 %Dentro de 7,7 meses aproximadamenteDentro de 28,8 meses aproximadamente.

Página 59

I. 1. Falso 7. Falso2. Verdadero 8. Falso3. Falso 9. Falso4. Verdadero 10. Falso5. Falso 11. Falso6. Verdadero

II. 1. a. log d. logb (a3 + 1)

c. log f. logb

2. a. Dom( f ) = ]1, �[ c. Dom( f ) = �b. Dom( f ) = ]–�, 102[ � ] 103, �[d. Dom( f ) = ]–10, 10[

3. x1

· x2

= 9

4. x = 2

Página 60

III. 1. C 3. A 5. C 7. A2. B 4. A 6. B

Página 61

8. A 10. E 12. B 14. E9. C 11. E 13. C

Página 64

1. a. Dom f = IR – {–1, 1}, rec f = IR –]–2, 0[

b. Dom g = IR – {–2, 2}, rec g = IRc. Dom h = IR–, rec h = IR–

d. Dom i = ]–�, –4] � [4, �[, rec i = [4, �[

b. f (x) = x2 –1, dom f = IR; rec f = ]–�, –1]

c. f (x) = | x |, dom f = IR; rec f = [0, �[

d. f (x) = + , dom f = ]–3, �[; rec f = [ , �[3. a. c.

b. d.

Página 65

4. a. x = d. x = 12 o x = –7

b. x = –1 e. x = –3c. x = 3 f. x = –4 �

Página 68

1. a. Creciente d. Crecienteb. Decreciente e. Crecientec. Decreciente f. Creciente

2. a. f (x) = 6x d. f (x) = 7x g. f (x) =

c. f (x) = 8x f. f (x) = 5x i. f (x) = 2x

1 2

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

10

3 2

1 2

x + 3

a + 2a2

abab10

13 13

1013

b. 1 e. logba2 – ab + b2

a + b

Función exponencial2

2. a. f (x) = x + 1, dom f = IR; rec f = IR1 2

b. f (x) = e. f (x) = 2x h. f (x) = (0,4)x15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x


Solucionario | 269

3.

a. f (x1) � 1,7, g (x

1) = 0,5

b. f (x2) � 2,4, g (x

2) � 0,3

c. f (x3) � 0,1, g (x

3) � 32

4. a. Correcta b. Correcta

5. a.

Dom f = IR, rec f = IR+, creciente, (0, 1).

b.

Dom f = IR, rec f = IR+, decreciente, (0, 1).

c.

Dom f = IR, rec f = [1, �[, decreciente en: ]–�, 0[, creciente en: ]0, �[, (0, 1).

d.

Dom f = IR, rec f = IR+, creciente, (0, 2).

e.

Dom f = IR, rec f = [–9, �[, creciente, (0, 0).

f.

Dom f = IR, rec f = IR, creciente, (0, 0).

6.

a. Esta función también tiene la incógnita en el exponente pero su gráfica es diferente a la delas demás funciones exponenciales. No es unafunción creciente ni decreciente.

b. Es una función constante.

Página 69

7.

a. Para ambas funciones: Dom = IR, rec = IR+

b. f es creciente y g es decreciente.c. Ambas gráficas son simétricas entre sí.

Sol

uci

onar

io



Solucionario

Página 73

1. a. y –1 = log2x e. y –1 = 6x

b. y –1 = log3x f. y –1 = 9x

c. y –1 = log x g. y –1 =

2. y –1 = log4x

3. a.

b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, intersección eje Y: (0, 1), no interseca con eje X, creciente. Dom( g ) = IR+, rec( g ) = IR, no interseca con ejeY, intersección eje X: (1, 0), creciente.

c. Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Luego, las funciones son inversas.

Página 75

1. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, eje Y: (0, e), no interseca al eje X, creciente.

b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR–, eje Y: (0, –e), no interseca al eje X, decreciente.

c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, eje Y: (0, 1), no interseca al eje X, creciente.

d. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, eje Y: (0, 1), no interseca al eje X, decreciente.

2. a. ex ln a = eln(ax), y como eln y = y, se cumple que ex ln a = ax.

b. Aplicando la propiedad de cambio de base, con base e, y porque loge x = ln x.

3.

a. Para f (x ): eje X: (1, 0), no interseca al eje Y.Para g (x ): eje Y: (0, 1), no interseca al eje X.

b. Para f (x ): dom f = IR+, rec f = IR. Para g(x ): dom f = IR, rec f = IR+.

c. Las funciones son simétricas con respecto a larecta y = x.

Página 77

1. a. Dom f = IR, rec f = IR+, eje Y: (0, 1).b. Dom f = IR, rec f = IR+, eje Y: (0, 1).c. Dom f = IR, rec f = IR+, eje Y: (0, 1).

2. a. y –1 = log5

x c. y –1 = ex

b. y –1 = 8x

4. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, creciente.b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, decreciente.c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, decreciente.

5. E

Página 79

1. a. x = – c. x = –

b. No tiene solución en los reales.

3 10

1 4

3 4

1 2

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

5 4

d. y –1 = log x h. y –1 = 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

157

3. a. f (x ) = 9x b. f (x ) = e3x c. f (x ) = e– x3

2. a. x = 16,68 f. x =

b. x = 2,15 g. x = 0,70

c. x = 12,09 h. x = 0,79

d. x = 0,28 i. x = o x = –

e. x = 2,22

1 2

5 2

3 log b + 4 log a2 log b – 3 log a


Solucionario | 271

Página 81

1. a. x = ln (0,5) d. x = 0 o x =

b. x = ln (5) e. x = 0

c. x = 0 o x = –3 f. x = ln (2)

2. a. Aproximadamente 16 horas.b. Cada 8 horas aproximadamente.

Página 83

1. a. 1,5% anual. c. 73,24 años. b. 16 912 453 peces.

2. 2709 mosquitos; 223 524 mosquitos; 499 972 mosquitos.

3. a. 750 alumnos. c. A 1500 alumnos.b. 1343 alumnos.

Página 85

1. a. x (P) = ln

b. Dom P: IR+0. No se consideran los reales nega-

tivos en el dominio de la función pues no tiene sentido hablar de años negativos. Rec P: ]0, 500]

c. Aproximadamente 445,683 mg.d. En 54 040 años aproximadamente.e. En 6027 años.

2. a. P(t ) = 300e–0,004951t, con t medido en días y P(t ) medido en mg.

b. Aproximadamente 8,081 mg.c. 140 días.

3. a. 10 mg. c. 25 días. b. Después de 58 días.

Página 87

1. 9,54 % aproximadamente.

2. a. $ 83 855 b. Después de 10 años.

3. a. 17 716 848 personas. c. En el 2032.b. En 44 años.

5. a. 600 bacterias.b. 73% aproximadamente.c. 3124 bacterias.d. Después de 5,85 horas aproximadamente.

6. Después de 34 749 años aproximadamente.

7. a. 100 personas. c. 18 días.b. 1777 personas.

Página 89

1. a. x = 8,42 aproximadamente.b. x = –0,13 aproximadamente.

c. x =

e. x = –2,26 aproximadamente.

f. x = – 1 o x = 1,67 aproximadamente.

2. 6,84 años aproximadamente.

3. a. 6962 metros. b. 396 milibares.

4. B

Página 91

1. a. 57 ºC b. 4,4 minutos. c. 26,5 minutos.

3. a. 58 infectados. 6 infectados. 3 días.b. $ 3 025 714. Después de 9,76 años. 5,776 %.

Página 95

I. 1. Falso 4. Falso 7. Verdadero2. Falso 5. Falso3. Falso 6. Falso

log c – log a

3 log a – log c

4 3

P500

–1 0,000115

Sol

uci

onar

io

4. P(t ) = 55 000 000 · , con t medido

en años. En 40 años más la población será de

136 177 974 personas.

112

1005 +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

t

1 31 3

d. x = 0,25 log p + log q

0,75 log q – 2 log p



Solucionario

II. 1. a. f ( t ) = 75 · 1,16t

b. 101 y 158 individuos, respectivamente.c. 15,9 años aproximadamente.

2. k =

3. a. 1,678 g aproximadamente.b. Después de 3 minutos.

4. a. $ 6358 dólares b. 6 años.

Página 96

III. 1. C 3. A 5. B 7. B2. D 4. D 6. A 8. B

Página 97

9. C 12. D 15. B10. C 13. B11. E 14. B

Página 100

1. a. I o III b. IV c. (–4,3)

2. Se verifica comprobando que AB = CD y BC = AD,y además que las pendientes de los lados opuestoscoinciden.

3. Por ejemplo, A = (1, 1), B = (1, –1), C = (–1, –1), D = (–1, 1).

4. a. c.

b. d.

5. a. Contraejemplo: 2 es impar, 3 es impar, su producto es 6, y 6 es par.

b. Contraejemplo: 3 es un numero natural, sucuadrado es 9, y 9 es impar.

c. Contraejemplo: y ambas son fracciones,

Página 101

6. a. (14, –14) c. Infinitas soluciones.b. No tiene solución.

Página 103

1. a. Iguales. c. Distintos.b. Dos son opuestos y uno distinto.

2. a. Por ejemplo, AC→

y FD→

. b. Por ejemplo, AE

→y EC

→.

c. Por ejemplo, FC→

y ED→

.

3. a. AB→

y AE→

, AC→

y AD→

.b. AB

→y AF

→.

Página 105

1. a. y 0, respectivamente.

b. Pregunta abierta.

Página 107

1. a. 5 c. 15 e. 1

b. d. f. 4

2. v→

= � 4, 4 �, | v→| = 4

3. a. � 8, –1� c. � 0, –13� e. � 6, 9�

b. � –5, –1� d. � –2, –3� f. � 7, 4�

4. a. 17,69 b. � –13, 12�

Página 109

1. a. (4, –2); (3, 0); (0, –2); (3, –3)

313

2

193

5 2

3 2

1 128

Vectores3

su producto es , y > 1.15 4

15 4


Solucionario | 273

2. T→

= � 1, –2�, T→

–1 = � –1, 2�

3. a. T→� –2, –3� c. T

→� 6, 7�

b. T→� 3, –4� d. T

→� 0, 4�

Página 111

1. a. d.

b. e.

c.

2. a. � 0, –12� c. � 14, –3�

b. � –14, 31� d. � 17, –16�

3. a. Es un vector ponderado, aumentando su magnitud.

b. Es el mismo vector.c. Es un vector ponderado, disminuyendo su

magnitud.d. Es el vector 0.e. Cambia el sentido del vector.f. Es un vector ponderado, aumentando su

magnitud, pero con sentido opuesto.

Página 114

1. a. A’(–3, 3); B’(–6, 6); C’(–10, –1); D’(–4, –3)b. A’(4,5, –4,5); B’(9, –9); C’(15, 1,5); D’(6, 4,5)

2. a. b

Página 117

1. a. FC→

b. FB→

c. AC→

d. AF→

2. a. �11, –16 � b. � –2, –3 � c. � 13, 0� d. 13

3. a. A’(1, 3); B’(4, 3); C’(4, 6)b. A’’(–8, –4); B’’(–14, –4); C’’(–14, –10)

4. B

Página 119

1. a. 30,3 b. 0 c. 0,42 d. –30

2. a. || a || = 3,6, || b || = 5,09, | a · b | = 17. b. || a || = 8,06, || b || = 3,16, | a · b | = 21.c. || a || = 2, || b || = 8,2, | a · b | = 16.d. || a || = 0,83, || b || = 3,6, | a · b | = 1.e. Los vectores deben ser paralelos.

3. a. a · b aumenta proporcional al aumento de a.b. a · b aumenta proporcional al aumento de a y b.c. El producto punto es siempre 0.d. a · b es igual al producto entre || a || y || b ||.

Página 122

1. �x, y � = �4 + 8λ, –2 – 8λ�

2. �x, y � = �1 + 3λ, 1 + 3λ�

3. Punto medio = (–1, 1).

4. Por ejemplo, (5, 10), (9, 18), (13, 26).

5. E

6. Por ejemplo, �x, y � = �3, 4� + λ�1, –4 �.

Página 125

1. 2x – y = 0

2. 3x + 2y – 11 = 0

3. Por ejemplo, �x, y � = �–3, 2� + λ�1, 3�.

4. Solo el punto (0, 11) pertenece a la recta.

5. a. Por ejemplo, �x, y � = �1, 3� + λ�3, 4�.b. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + λ�5, 2�.

6. Son paralelas, ya que tienen la misma pendiente.

Sol

uci

onar

io

A´ B´

B´

C´ D´

A B

CD

C ´D´

A

C D

E

B



Solucionario

7. a. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + λ�1, 2�. b. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + λ�2, –1�.

8. a. Por ejemplo, �x, y � = �2, –1� + λ�1, 1�. b. Por ejemplo, �x, y � = �2, –1� + λ�3, 2�.

Página 129

1. a. 6i^ + 3j^, b = 2i^– 2j^, c = –2i^– 3j^, d = –i^+ 4j^

2. a. – i^ + 2j^+ 3k^ c. –4i^+ 2k^

b. –3i – j^ d. 5j^– 6k^

3. a. EA→

b. GC→

c. EH→

d. AB→

4. a. �10, 5, –5� d. �0, 0, 0�

b. �2, 2, –10� e. �–6, –39, 48�

c. �–20, 2, –6 � f. �48, 0, 48�


Página 131

1. a. 8 b. –2 c. –19

2. a. 6 b. –

3. a. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + λ�–2, 6�

y (–2, 13); (–4, 19); (–6, 25).b. Por ejemplo, �x, y � = �–1, 4� + λ�3, 8 � y (5, 20);

(8, 28); (11, 36).c. Por ejemplo, �x, y � = �0, 5� + λ�4, –7� y (8, –9);

(12, –16); (16, –23).

4. a. Por ejemplo, �x, y � = �1, –2� + λ�2, 4�. b. Por ejemplo, �x, y � = �–1, 1� + λ�4, 3�.

5. C

Página 133

1. �x, y, z� = �12, –5, 7� + λ�–12, 11, –10�

2. a. No son colineales.b. No son colineales.c. Son colineales �x, y, z� = λ�0, 1, 2�.d. No son colineales.

Página 135


2. a. F c. V e. Vb. F d. F f. V


Página 139

1. Π: �x, y, z� = �2, –2, 1� + λ�1, 0, –1� + μ�–2, 3, –2�

2. Vectores directores (2, 2, 0) y (0, 0, 1), el punto (0, 0, 0) pertenece al plano.

3. Π1: x = 0, Π

2: y = 0, Π

3: z = 0, Π

4: x = 5, Π

5:

y = 5, Π6: z = 5.

Π1: �x, y, z� = �0, 0, 0� + λ�0, 1, 0� + μ�0, 0, 1�

Π2: �x, y, z� = �0, 0, 0� + λ�1, 0, 0� + μ�0, 0, 1�

Π3: �x, y, z� = �0, 0, 0� + λ�1, 0, 0� + μ�0, 1, 0�

Π4: �x, y, z� = �5, 0, 0� + λ�0, 1, 0� + μ�0, 0, 1�

Π5: �x, y, z� = �0, 5, 0� + λ�1, 0, 0� + μ�0, 0, 1�

Π3: �x, y, z� = �0, 0, 5� + λ�1, 0, 0� + μ�0, 1, 0�

l1: �x, y, z� = �0, 0, 0� + λ�1, 0, 0�

l2: �x, y, z� = �0, 0, 0� + λ�0, 1, 0�

l3: �x, y, z� = �0, 0, 0� + λ�0, 0, 1�

l4: �x, y, z� = �5, 0, 0� + λ�0, 1, 0�

l5: �x, y, z�= �5, 0, 0� + λ�0, 0, 1�

l6: �x, y, z� = �0, 5, 0� + λ�1, 0, 0�

l7: �x, y, z� = �0, 5, 0� + λ�0, 0, 1�

l8: �x, y, z� = �0, 0, 5� + λ�1, 0, 0�

l9: �x, y, z� = �0, 0, 5� + λ�0, 1, 0�

l10

: �x, y, z� = �5, 5, 5� + λ�1, 0, 0�

l11

: �x, y, z� = �5, 5, 5� + λ�0, 1, 0�

l12

: �x, y, z� = �5, 5, 5� + λ�0, 0, 1�

4. No.

5. 6.

y – 3z = 0.


Página 141

1. Pregunta abierta.2. Pregunta abierta.

2 3

1 3

Z Z

YYX X


Solucionario | 275

Página 147

1. a. No son colineales.b. Son colineales. Por ejemplo,

�x, y, z� = �–1, –1, –1� + λ�0, 1, 2�.c. No son colineales.d. Son colineales. Por ejemplo,

�x, y, z� = �1, 2, 1� + λ�3, 3, 3�.

2. Es paralelo al eje Y.

3. 9x + y – 23z = –34

4. a. Planos secantes: Por ejemplo, L1:

�x, y, z� = �0, 4, 8� + λ�2, –3, –5�.b. Planos secantes: Por ejemplo, L

2:

�x, y, z� = �0, – , � + λ�–30, 15, –15�.

c. Planos secantes: Por ejemplo, L3:

�x, y, z� = �0, – , – � + λ�1, –1, –1�.

d. Planos secantes: Por ejemplo, L4:

�x, y, z� = �0, 1, 0� + λ�–1, 0, 1�.

5. C

Página 149

1. a. C = (9, 8)Por ejemplo, L

1: �x, y� = �2, 1� + λ�7, 7�,

L2: �x, y� = �6, 4� + λ�–1, 1�.

El punto de intersección es ,

Son perpendiculares, ya que �7, 7� · �–1, 1� = 0.Calculando las distancias, d(A, B) = d(B, C) =d(C, D) = d(D, A) = 5. Por lo tanto, es un rombo.

3. a. No son colineales.No son colineales.Sí son colineales. Por ejemplo,L: �x, y, z� = �0, 2, 1� + λ�0, –4, –2�.Sí son colineales. Por ejemplo, L: �x, y, z� = �1, 2, 3� + λ�1, 1, 1�.

b. AB = �9, 6� es paralelo a CD = �–3, –2�: En cambio, BC = �–3, 1� y DA = �–3, –5�

no son paralelos. Luego, es un trapecio.c. AB = �5, 3� CD = �2, –2�. Como

AB · CD = 4 � 0, las rectas no son

perpendiculares.

d. Por ejemplo, L: �x, y, z� = �3, 0, –4� + λ�1, 3, –2�.e. Distancia: , desplazamiento: �–7, –5, –3�.

Página 153

Evaluación

I. 1. Falso 5. Falso2. Falso 6. Falso3. Verdadero 7. Verdadero4. Verdadero 8. Verdadero

II. 1. Son secantes.2.

3. a. AB→

= �–5, 2�, | AB→

| =

c. AB→

= �–3, 1�, | AB→

| =

4. a. Perpendicular al plano del pizarrón.b. Hacia fuera.c. 60d. 60 unidades cuadradas.

5. a. x = 6 c. No tiene solución.b. x = 0

Página 154

1. D 3. C 5. A2. A 4. D 6. E

Página 155

7. E 10. C 13. D8. C 11. B9. C 12. E

10

29

85

9 2

11 2

12 10

1 10

19 14

15 14

Sol

uci

onar

io

b. AB→

= �–5, –5�, | AB→

| = 5 2

d. AB→

= �–3, 1�, | AB→

| = 10

CD

B´ A´

C´ D´

A B

B´

D´ CD

AA B

DĆ´



Solucionario

Página 158

1. a. 451 cm e. 0,00000079 m2

b. 360 000 m f. 50 m2

c. 93,5 dm2 g. 0,000005606 m3

d. 840 000 cm2 h. 4 000 900 m3

2. a. Perímetro: 5 cm, área: 1,725 cm2.b. Perímetro: 12 cm, área: 10,38 cm2.c. Perímetro: 16 cm, área: 19,28 cm2.d. Perímetro: 40 cm, área: 123,2 cm2. e. Perímetro: 72 cm, área: 403,2 cm2.

3. a. 52 987,5 dm2 c. 102 600 cm2

b. 2,17 m2

4. 16 cm2

5. 36π m2

6. L = r

7. 128 cm2

Página 159

8. 39,19 cm2

9. 1 : 2

Página 161

1. El volumen aumenta ocho veces, su área aumentacuatro veces.

2. V1

: V2

= 1 : 4

3. Indicación: El plano divide la base del prisma endos triángulos congruentes, y se conserva la alturadel paralelepípedo.

4. k3.

Página 163

1. a. b.

2. a. c.

b. d.

Página 165

1. 646,3 cm2

2. 812,14 cm2

3. 8,426 cm.

4. 13,76 m2

5. Arista de la base: 5 cm, altura 10 cm.

6. a. 141,5 cm2 c. 547,06 cm2.b. 192 cm2 d. 157,85 cm2.

7. 240 m2

8. 40,87 cm2

9. 0,8 litros.

Página 166

1. a. Un cubo. c. 96 unidades cuadradas.b. 64 unidades cúbicas.

Página 169

1. 1728 cm3

2. 259,8 cm3

3. 93,53 cm3, 36 cm3

4. 1536 m3

5. 4 m

2

4 Áreas y volúmenes


Solucionario | 277

Sol

uci

onar

io

6. 467,14 cm2

7. 28,3 cm2

8. Mayor área: Poniendo todos los cubitos ordenadosuno al lado del otro (1 x 1 x 64), menor área: formando el cubo de arista 4 cm.

9. 117 unidades cúbicas.

10. No, se debe conocer la altura.

Página 171

1. a. 42 cm3, 14 cm3

b. 288 cm3, 96 cm3

2. a. V: 1568 cm3, A: 896 cm2

b. V: 103,25 cm3, A: 159,2 cm2

c. V: 32,2 cm3, A: 98,9 cm2

Página 173

1. V: 1920 cm3, A: 1014,12 cm2

2. 400 cm3

3. 6,928 cm

4. a. b.

5. D

Página 175

1. a. b.

2. a. b.

3. Cilindros, esferas, conos.

Página 177

1. 350π cm2 de aluminio.

2. (r + g) : (4r + 2g)

3. a. 4 cm. b. 2 cm.

Página 178

1. a. 8 cm b. 160π cm3

2. Se duplica el volumen.

3. Se cuadriplica el volumen.

Página 181

1. 525π cm2

2. 56 viajes.

3. a. 12 cm b. 892π cm3

Página 183

1. V: 288π cm3, A: 144π cm2

2. Sí, solo cuando el radio sea igual a la altura delcilindro y del cono.

3. V: 36π cm3, A: 36π cm2

Página 185

1.

2. Radio: 6 cm, Volumen: 4523,9 cm3

3. La esfera tiene mayor volumen.

4. a. 20 cm b. 28 cm c. 31,04 cm

5. 282,7 cm2

6. E



Solucionario

Página 187

1. 826,6 cm3

3. a. 2211,85 cm3

b. 1224,31 cm2

c. A: 66π cm2, V: 72π cm3

d. 1054,5 cm3, 0,0015045 m3, 1202,4 m2

e. 10,9 m3

Página 191

I. 1. F, es la proyección de frente.

2. F, es el triple.

3. V

4. F, deben tener la misma altura y además tenerigual área en sus secciones planas realizadas auna misma altura.

5. V

6. F, considera todas las caras de la figura geométrica.

II. 1. a.

b. 144π cm3.c. Sería mayor el sólido anterior, ya que el

volumen del otro es 96π cm3.d. Un lado debe ser el doble del otro.

2. a. 32π cm2

b. 104π cm2

c. 208π cm3

3. 49,23 veces.

4. a. El volumen es menor que el anterior.b. No, ya que el envase final contiene

menos jugo.

5. 125 cajas.

Página 192

1. E 3. B 5. D2. B 4. C 6. E

Pagina 193

7. E 10. A 13.E8. E 11. D9. C 12. B

Página 196

1. a. b. c. 1

2.

3. a. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9b. –2, –1, 0, 1, 2c. Conjunto vacío.d. –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

4. a. Por ejemplo, ]–1, 1[. c. Por ejemplo, ]–25, –1].b. Por ejemplo, [5, �[. d. Por ejemplo, ]–4, 0].

Página 197

5.

7 8

4 5

6

4

Estadística I5

Porcentaje (%) Fracción Fracción irreducible Expresión decimal

7575

10034

0,75

6262

1003150

0,62

22

1001

500,02

33,333,3100

13

0,3333…

9090

1009

100,9

Frecuencia acumulada

3 890 126

6 371 641

9 999 556

12 035 980

13 898 859

15 116 435


Solucionario | 279

Sol

uci

onar

io

6. a. 4,57 c. 63,35 e. 234,12b. 8,78 d. 0,99 f. 1,00

Página 199





Página 201

1. a. Población. c. Variable cuantitativa.b. Muestra. d. Variable cualitativa.

2. a. Representativa.b. Representativa.c. No es representativa.

Página 203

1. Si se consideran cinco intervalos, la tabla es:

Página 206

1. a. Pregunta abierta.b. Familia extensa: Está integrada por una pareja

con o sin hijos, y por otros miembros como sus parientes consanguíneos, ascendentes, descendentes, y/o colaterales, recoge variasgeneraciones.Familia compuesta: Cuando la familia nuclear o extensa se integran a otros parientes que nopertenecen al mismo tronco de descendencia

generacional. Se pueden considerar otros casosaunque no existan vínculos consanguíneos yparentesco entre ellos.

c. Hay más familias con hijos. d. Aproximadamente, la cuarta parte de las

familias chilenas son monoparentales.e. Pregunta abierta.

2. a. Medalla de plata Fernando González.b. Tenis.c. Pregunta abierta.

Página 207

3. a. Año 1950: 900 000, año 2000: 2 000 000, año 2025: 2 100 000.b. En el año 2000.c. Pregunta abierta.

4. a. Al riego, principalmente, y también a más duchas por efectos del calor.

b. Pregunta abierta.c. Pregunta abierta.d. Pregunta abierta.

Página 210

1. 5,8

2. No necesariamente tuvieron las mismas notas.

3. 2,007 pulgadas.

4. a.

b. En Lenguaje y Comunicación, ya que todas lasmedidas de tendencia central son más altas quelos demás sectores.

c. En los tres sectores, Región de Atacama.d. Región Metropolitana y Región de Magallanes y

Antártica Chilena.

Intervalo F. absoluta F. relativa

[452, 542[ 55

40

[542, 632[ 55

40

[632, 722[ 111140

[722, 812[ 121240

[812, 902[ 77

40 Lenguaje y Comunicación

EducaciónMatemática

Comprensión del Medio

Social y Cultural

Media aritmética

259,5 244,5 246,9

Moda 260 245 248Mediana 260 245 248



Solucionario

Página 211

5. Media aritmética: 1,65 cm; moda: 1,67 cm; mediana: 1,67 cm.

6. a. Media aritmética: 214,96 mg/dl,moda: 225 mg/dl; mediana: 217,5 mg/dl

b. 23 pacientes.c. La mayoría de los pacientes está en el intervalo

220-229.

Página 215

1. a. Muestra. c. Población.b. Muestra. d. Muestra.

2. a.

b.

3. C

Página 217

1. • En 2003-2004 existe una mayor mortandad de adultos de 75 años o más que en el período del1974-1975, mientras que en este último inter-valo hay un mayor porcentaje de muertes de niños menores de 1 año.

• Pregunta abierta.

•

3. a. MonoparentalesPregunta abierta.Pregunta abierta.

Página 221

I. 1. F, existe más de una muestra representativa.

2. F, nunca.

3. F, los incas sí desarrollaron elementos relacionados con la Estadística.

4. F, es útil el gráfico circular.

5. V

6. F, no necesariamente.

7. V

II. 1. Pregunta abierta.

Página 222

III. 1. D 4. C2. E 5. E3. D

Edad 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Frecuencia 2 1 2 2 4 4 5 4 1

Días [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[

Frecuencia 3 5 5 7 3 2

Edades Días

Media aritmética 13,5 28,6

Moda 15 24 y 31

Mediana 14 29

1974-1975

Menores de 1 año1-45-1415-2425-4445-5960-7475 años o más

Menores de 1 año1-45-1415-2425-4445-5960-7475 años o más

2003-2004


Solucionario | 281

Página 223

III. 6. C 9. B7. B 10. A8. D 11. D

Página 226

1. a. 45,7 d. 2620,86b. 99,5 e. 55 800c. 1233,54 f. 56 596,2

2. a. 33% c. 75% e. 1%b. 40% d. 6%

3.

4. a. 1,68. b. 1,73.

5. a. F, la mediana es 43,5. c. Vb. F, la moda es 45.

Página 231

1. a. Primer semestre: 3,8; segundo semestre: 3,8. El primer semestre.

b. Primer semestre: 1,10; segundo semestre: 0,764.c. Pregunta abierta.

2. a. Primer semestre: 0,91; segundo semestre: 0,761.b. Pregunta abierta.

Página 233

1. a. Positiva d. Positivab. Positiva e. Negativac. Negativa

2. Verdadero

3. Depende del rango de edad que se considere. En los niños y niñas, la correlación entre edad y masaes más alta que en la población de adultos mayores.

Página 235

1. 2 2 5 7 7 83 2 3 4 5 7 7 94 0 0 0 1 2 3 3 3 5 5 6 8 8 95 0 0 1 3 3 3 5 7 7 86 0 2 87 0

a. 44 b. 48 c. Muy dispersa.

2. a. 4º A1 92 8 8 9 93 1 2 3 5 6 6 8 8 9 94 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 95 0 84º B1 3 6 72 6 8 8 9 93 2 5 6 94 1 1 2 3 3 4 8 95 1 2 3 3 4 4 5 6

b. El 4º Año Medio A.

3. a. Natalidad1 5 5 6 7 8 92 0 0 1 1 4 7Mortalidad0 91 4 6 92 0 0 1 2 2 8 95 7

b. Pregunta abierta.c. A problemas relacionados con la sobrepoblación,

o bien, con el envejecimiento de la población.

Página 238

1. [17,82, 20,18], su amplitud es 2,36.

Sol

uci

onar

io

Estadística II6

Fonasa o Isapre

AFPSueldo líquido

Daniel 11 567 21 482 132 200

Carolina 16 650 30 922 190 288

Andrea 17 635 32 750 201 540

Sebastián 22 260 41 341 254 403



Solucionario

2. 95%

Página 239

3. a. n = 9604 personas.b. El tamaño muestral aumenta, pues para lograr

una mayor confianza se debe tomar una mues-tra de mayor tamaño.

c. La amplitud es mayor.

4. 400 salmones.

Página 243

1. a. No es distribución normal.b. Sí es distribución normal.

2. a. 0,1587 b. 0,0228

3. a. 205 b. 220 c. 0,5

4. a. 50% c. 97,75%b. 84,15% d. 84,15%

Página 245

1. a. Media aritmética: 6,5; desviación estándar: 7. Los valores que distorsionan la media son 15, 16, 18, 22, 36.

b. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 3 3 4 44 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9

1 0 1 2 5 6 82 23 6

Se concentran entre los valores menores que 10.

2. a.

b. –0,45

3. 54%

4. E

Página 248

1. a. P30

= 590b. Q

3= 661

c. Nos indica que el 30% y el 75% de los estudiantes obtuvo puntajes menores o iguales a 589,67 y 660,71, respectivamente.

d. 35%

Página 249

2. a. 61,2 d. 81,875b. 83,75 e. Pregunta abierta.c. 71,25

3. a. Media: 561; moda: 575; mediana: 562,5.b. Q

1= 502,5, Q

3= 625

c. Sobre $ 583.d. 36%

Página 252

1. a. Educación c. Pregunta abierta.b. Pregunta abierta.

Página 253

2. a. La mayor cantidad de personas contraen matrimonio entre los 20 y los 30 años.

b. Es parecida a una distribución normal.

3. a.

1

0 1

2

3

4

5

2 3 4 5

20

40

60

80

100

120

140

Cantidad de desocupados por actividad. Julio, agosto y septiembre de 2009.

0

Agric

ultu

ra,

caza

, pes

ca

Min

eras

y

cant

eras

Indu

stria

m

anuf

actu

rera

Elec

tricid

ad,

gas

y ag

ua

Cons

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ión

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te, a

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cione

s

Com

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Serv

icios

fin

ancie

ros

Serv

icios

com

u-na

les

socia

les

Prod

ucto

s de

fect

uoso

s

Antigüedad (años)

Des

ocup

ados

(mile

s de

per

sona

s)

Actividad


Solucionario | 283

b. Pregunta abierta.c. Pregunta abierta.

Página 255

1. a. Mediana: 116, Q1

= 103,25, Q3

= 134.2. a.

El dato mínimo es alrededor de 10 años, el máximo83. La mediana es en torno a 37 años y podemosver que la distancia entre el mínimo y el primercuartil es similar a la distancia entre el tercer cuartil y el máximo.

b.Se puede ver que el promedio de edad es más altoen los hombres, además de que hay hombres másviejos que mujeres.

3. C

Página 257

1. a. I. Media: 395,89; mediana: 408, Q1

= 278 II. 366,4III. 552

3. a. I. 13,3%II. 18%

Página 261

I. 1. V

2. F

3. F, el 50% de las observaciones se encuentran bajo él.

4. V

5. V

II. 1. Categoría D: entre 960 y 997,5; categoría C: entre 997,5 y 1020; categoría B: entre 1020 y 1045; categoría A: mayores que 1045.

2. a. [2,85; 3,15]b. [2,9; 3,09]c. El fabricante esta equivocado ya que, según

el estudio, el verdadero promedio es de 3 mg.

Página 262

III. 1. E 4. E2. E 5. A3. B 6. E

Página 263

7. B 10. C8. E 11. A9. B 12. E

Sol

uci

onar

io

20

40

60

8083

37

26,75

10

60,25

20

Mujeres Hombres

40

60

8083

60,25

55,75

36,5

26,7526,25

1013

38


AAbscisas, 101Alturas,- de un cilindro, 176, 182- de un cono, 182- de un prisma, 168- de una pirámide, 170Alzado, 163Ángulo diedro, 140Apotema, 159Área, 160, 167- basal de un poliedro, 164- de un cilindro, 176- de un círculo, 159, 176- de un cono, 177- de una esfera, 182- de una pirámide, 164- de un prisma, 164- de un sector circular, 177- de un tronco de cono, 177Arco de circunferencia, - longitud de, 177Argumento de un logaritmo, 30, 46Asintótica, curva, 67Asociatividad, 105, 110

BBase,- de un cilindro, 176, 182- de una pirámide, 170- de un prisma, 168- de un cono, 182- de un logaritmo, 30

CCambio de base, (ver Logaritmo)Campana de Gauss, 240Capacidad, 160Caras- de un poliedro, 164- basal de una pirámide, 170- basales de un prisma, 164- lateral de una pirámide, 170

- laterales de un prisma, 164Cavalieri, Principio de, 167, 170,180, 182Centro de homotecia, 113Cilindro, 166, 175- área de un, 176- volumen de un, 178Círculo, 166Coeficiente - de correlación de Pearson, 232- de nivel de confianza k, 237Colinealidad, de puntos, 120Confianza,- nivel de, 237 - intervalos de, 237Conmutatividad, 105Cono, 175- área de un, 176Coordenadas cartesianas de unvector, 107Coplanarios, 135Correlación, 232Crecimiento exponencial, 82Cuadrante, 21, 101Cuartil, 246, 248Cuerpos de revolución, 174Cuerpos generadospor traslación, 166- por rotación, 174, 180Cuerpo geométrico, 162, 166, 174- inscrito, 186Cúspide de una pirámide, 170

DDecil, 246Decrecimiento exponencial, 84Desplazamiento, 104, 118Desviación, 228- absoluta, 229- estándar, 229, 241- estándar muestral, 238- estándar para datos agrupados,230- estándar poblacional, 238

- media, 228, 231Diagrama- de tallo y hojas, 234- de cajas, 248Dirección de un vector, 102Dispersión, gráfico de, 232Distribución normal, 240- tabla de, 242Distributividad, 110, 128Dominio, 17 - de la función exponencial, 66, 72- de la función exponencial natural, 75- de la función logarítmica, 40, 72- de la función potencia, 22

Ee, 74, Ecuación, - exponencial,78, 86- logarítmica, 46, 50- vectorial del plano en el espacio, 136- cartesiana del plano en el espacio, 136- vectorial de la recta en el espacio, 132- vectorial de la recta en el plano,120, 123- cartesiana de la recta en elplano, 123Ejes coordenados, 127Elemento neutro, 105, 110Elemento inverso, 105Error, margen de, 238Escalar, 110Esfera, 175- volumen de una, 182- área de una, 182Estadística, 198, 241, 252 Exponencial- crecimiento, 82- decrecimiento, 84


Índice temático

I?NDICE TEM(284-288):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 284

- ecuación, 78, 80- función, 66Exponente, 30, 78

FFrecuencia, 197, 202- absoluta, 203- acumulada, 197- relativa, 203, 216- tabla de, 202, 227Fuerza, 118Función, 15, 16, - creciente, 15, 21, 41, 65, 67- decreciente, 15, 21, 41, 65, 67- dominio, 17, 41, 65- exponencial, 66, 72- inversa, 18, 72- logarítmica, 40, 72- logarítmica natural, 75- polinomial, 24- potencia, 20- recorrido, 17, 41, 65- potencia de exponente impar, 20- potencia de exponente par, 20- gráfica de, 20, 24

GGeneratriz, 166- de un cilindro, 176- de un cono, 176Gráfica- de una función, 24, 25, 65- de la función exponencial, 66,83, 85- de la función exponencial natural, 75- de la función logarítmica, 41,42, 43- de la función potencia, 22Gráfico- circular, 205- de barras, 205- de dispersión, 205

HHistograma, 205Homotecia, 112- centro, 113- composición, 113- razón, 113Homotético(a), 113

IImagen, bajo una transformación,108, 112Interés, compuesto, 74, 86Intervalo, 197, 203, 209- abierto, 197- cerrado, 197- de confianza, 237- semiabierto, 197

LLitro, 160Logaritmo, 28, 78, 86- cambio de base de, 33- de la base, 32- de un cociente, 34- de un producto, 34- de una potencia, 34- de una raíz, 34- de la unidad, 32- natural, 80, 82

MMagnitud de un vector (módulode un vector), 102Marca de clase, 209, 230Margen de error, 238Media - aritmética, 209, 211, 227, 248- poblacional, 237, 241- muestral, 237Mediana, 208, 211, 227, 246, 248Medidas de dispersión, 228Medidas de posición, 246Medidas de tendencia central,208, 211

Metro cúbico, 161Moda, 208, 211, 227Módulo de un vector, 102, 106Muestra, 200, 227- aleatoria, 236- representativa, 200, 236- tamaño de la, 238Muestreo, 236

NNewton, Ley de enfriamiento de, 80Nivel de confianza, 237Número e, 74

OOrigen de coordenadas, 101

PParalelepípedo, 166, 168Paralelogramos, 166Parámetro, 122, 237Pendiente de una recta, 124Percentil, 246- para datos agrupados, 247Perfil, 163Perímetro de un círculo, 159Pictograma, 205Pirámides, volumen de, 170 Plano(s), 134- cartesiano, 101, 106- coincidentes, 140, 144- intersección de, 142- paralelos, 140, 144- secantes, 140, 144Planta, 163Población, 200, 227- tamaño de, 236, 239Poliedro, 164Polígonos, 159, 166- circunscritos a una circunferencia,159- inscritos en una circunferencia,159

Índ

ice

te

má

tico

Índice temático | 285

Índ

ice

te

má

tico



Índice temático

Porcentaje, 226Principio de Cavalieri, 167, 170,180, 182Prisma, 166- oblicuo, 168Producto- cruz, 126, 128- punto, 118- de un vector por un escalar, 110Propiedad absorbente del cero, 110- asociativa (ver Asociatividad)- conmutativa (ver Conmutativi-dad)- distributiva (ver Distributividad), Proyecciones en el plano, 162Punto medio de un segmento,121, 148Puntos- colineales, 132, 134- coplanarios, 135

QQuintil, 246

RRadián, 159Rango, 202, 248Razón- de homotecia, 113Recorrido de una función, 17Recorrido, 17, 41, 65- de la función exponencial, 66- de la función logarítmica, 40- de la función potencia, 22Rectas, - alabeadas, 135- contenida en un plano, 134, 142- paralelas, 124- paralela al plano, 142- perpendiculares, 124- secantes, 135Red- de un cilindro, 176

- de un poliedro, 164- de un cono, 176- de un tronco de cono, 176Reflexión, 101Regla de la mano derecha, 127Representación geométrica- del producto cruz de dos vec-tores, 126- de vectores, 102Rotación, 101- cuerpos generados por, 174

SSecantes, rectas, 135Sección plana, 167Sector circular, 176Semiplano, 140Sentido de un vector, 102Sistemas de ecuaciones, - representación gráfica de, 143- con infinitas soluciones, 143- lineales, 101Superficie, 160

TTeorema- de Euclides, 37- de Pitágoras, 106, 182Torque, 126Trabajo mecánico, 118Transformaciones en el plano- isométricas, 101- composición de, 109Traslación, 101- composición de, 109- cuerpos generados por, 166- de figuras planas, 108- de la gráfica de una función, 24, 25- inversa, 109Trayectoria, 104Tronco- de cono, 174

UUnidades de medida, 159- de volumen, 161

VVariable(s)- aleatoria- continua, 243- cualitativa, 203- cuantitativa, 203- estadística, 203Vector(es), 102- adición de, 104- dirección de un, 102- director, 120, 125, 136- distintos, 103- forma analítica de, 107, 119- igualdad de, 103- módulo, 102, 106- opuestos, 103- paralelos, 132- perpendiculares, 126, 132- ponderado, 111, 120- posición, 107, 120, 137- sentido, 102- sustracción de, 105- unitarios, 127Vértice- de una curva, 21- de un poliedro, 164- de una pirámide, 170Vida media, 84Volumen, 160, 167- de un cilindro, 178- de un cono, 180- de un prisma, 168- de un tronco de cono, 180- de una esfera, 182- de una pirámide, 170


Bibliografía | 287

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Bib

lio

gra

fía

Bibliografía




Documents

INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 1 ... · INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 23/11/10 16:36 Página 2. A los alumnos y alumnas: El Texto Matemática