INICIO MATEMÁTICAS 1º Bachillerato 5 Geometría …platea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad5_2_rectas.pdf · Posiciones de dos rectas Rectas perpendiculares y paralelas

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º BachilleratoUnidad 5: Geometría de la recta

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5Geometría analítica: rectas

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ESQUEMA

Los conceptos de paralelismo y perpendicularidad tienen su expresión matemática por medio de vectores y ecuaciones de rectas.

ACTIVIDAD


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Esquema de contenidos

Ecuaciones de rectas

Ecuaciones de la recta

Ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas

Ecuación continua

Ecuación explícita

Ecuación punto-pendiente

Ecuación general

Posiciones de dos rectas

Rectas perpendiculares y paralelas


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Ecuaciones de la recta

),( yxP

A(a,b)

v=v 1, v 2

Punto conocido

Vector director

),( baA

),( 21 vvv =

),(),(),( 21 vvtbayx +=

FORMA DATOS ECUACIÓN

VECTORIAL

PARAMÉTRICA

CONTINUA

EXPLÍCITA

PUNTO-PENDIENTE

GENERAL O IMPLÍCITA

SEGMENTARIA

x−av1

=y−bv 2

nmxy +=

0=++ CByAx

)( axmby −=−

SIGUIENTE

x=at⋅v1

y=bt⋅v2}

x , y=a ,bt⋅v1, v2

xp

yq=1

P a ,b y v x , y=a ,bt⋅v1, v2

P a ,b y v

P a ,b y v

P a ,b y v

m y n

P a ,b y m

m y n

p y q


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Ecuación vectorial de la recta

Una recta queda definida por dos puntos A y B. La recta es la línea que une ambos puntos y se prolonga indefinidamente.

Al vector se le llama vector director de la recta.

La ecuación de la recta es de la forma:

donde P( x, y) representa cualquier punto de la recta.

Punto conocido

En coordenadas, la ecuación vectorial es:

v=AB

OP=OA t⋅v ; t∈ℝ

),( baA

x , y = a , b t v1 , v 2 SIGUIENTE

Trasladando el punto P(a,b) por un vector director obtendremos cualquier punto de la recta.

Al vector se le llama vector de posición de la recta.OA

Punto conocido

Vector director

),( baA

),( 21 vvv =


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Ecuaciones paramétricas de la recta

Partiendo de la ecuación vectorial, e igualando coordenada a coordenada:

Punto conocido

Vector director

A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas de la recta

),( baA

),( 21 vvv =

),(),(),( 21 vvtbayx +=

SIGUIENTE

x=a t⋅v1

y=b t⋅v2} t∈ℝ

OP=OAt⋅v t∈ℝ


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Ecuación continua de la recta

Se obtiene de las ecuaciones paramétricas despejando el parámetro, t, e igualando los valores:

Esta ecuación se llama ecuación continua de la recta.

Solamente se puede utilizar cuando el vector director tiene sus dos coordenadas no nulas

t=x−a

v1

t=y−b

v2}

x−av1

=y−bv 2

SIGUIENTE

x=at⋅v1

y=bt⋅v2}

v1≠0,v 2≠0

Punto conocido

Vector director

),( baA

),( 21 vvv =


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Por tanto, el vector director y es un vector perpendicular a la recta.

Ecuación general o implícita de la recta

),( yxP

v

La ecuación general o implícita de la recta es de la forma: 0=++ CByAx

Como vemos se obtiene, a partir de las ecuaciones que hemos visto anteriormente, agrupando todos los términos en un mismo miembro.

v⃗=(v1, v 2)=(−B , A) n= A ,B

n= A ,B

SIGUIENTE

v2x−a=v1 y−b

v2x−v1 y−v2 av1 b=0 Si hacemos {A=v2

B=−v1

C=−v2 a+v1 b0=++ CByAx

x−av1

=y−bv 2


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Significado de la pendiente de una recta

La pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abcisas:

SIGUIENTE

tg= y x

=v2

v1

=m

La pendiente de una recta mide su inclinación. m es el aumento o disminución de la coordenada “y” cuando la coordenada “x” aumenta en una unidad:

tg= y x

=v2

v1

=m1

v2

v1

m1

Si m es la pendiente de una recta un vector director de la recta es: v=1,mSi m0 tg0 0º90º

Si m0 tg0 90º180ºosea que : v=v1, v2=−B , A =B ,−A =1,m


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Ecuación explicita de la recta (como viene en el libro)

Partiendo de la ecuación general, Ax+By+C=0, despejando la variable y:

Esta ecuación se llama ecuación explícita de la recta.

m=tg= y x=

v2

v1

=−A

B

y=mxn

PendienteOrdenada en origen: valor de la coordenada “y” cuando x=0

SIGUIENTE

es el ángulo que forma la recta con sentido positivo del eje X.

m pendiente

n ordenada en el origen

By=−Ax−C y=−ABx−CB

n= A ,B v=v 1, v2=B ,−A

n=−CB

x y

0 n


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Ecuación explicita de la recta (otro modo)

Partiendo de la ecuación continua y despejando la variable y:

Esta ecuación se llama ecuación explícita de la recta.

y−b=v2

v1

( x−a)

y=v2

v1

⋅x+(b− v 2

v1

⋅a)

m=tg= y x=

v2

v1

n=b−v2

v1

a

y=mxn

Pendiente Ordenada en origen SIGUIENTE

es el ángulo que forma la recta con sentido positivo del eje X.

m pendiente

n ordenada en el origen

x−av1

=y−bv 2

y=v2

v1

(x−a)+b


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Ecuación punto-pendiente de la recta

Si despejamos “y” de la ecuación continua de la recta, resulta que:

A esta ecuación se le llama ecuación punto-pendiente de la recta.

v⃗=(v1 , v2) m=v2

v1

y−b=m x− a

SIGUIENTE

y−b=v2

v1

( x−a)

Punto conocido

m pendiente

),( baA

x−av1

=y−bv 2


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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Pasa por los puntos

A esta ecuación se le llama ecuación de la recta que pasa por dos puntos

SIGUIENTE

x− x1

x2−x1

=y− y1

y2− y1

Puntos conocido

A x1, y1

A x1, y1 y Bx2, y2

v⃗=( x2−x1 , y2− y1)

B x2, y2

Aplicando la ecuación continua:

y− y1=y2− y1

x2−x1

x−x1


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Ecuación en forma canónica o segmentaria de la recta

SIGUIENTE

y=mxn y=−qp

xq

O

qp (p,0)

(0,q)La pendiente de larecta de la figura es m=−

qp

py=−qxpqqxpy=pq

dividiendo por pqxp

yq=1

xp

yq=1

v=0−p , q−0 =−p , q m=−qp

La ordenada en el origen n=q

vn

El vector director de la rectaque pasa por P p ,0 y Q 0,qes :

Quitando el denominador multiplicando por p:

p y q son los valores de lossegmentos que determina larecta con los ejes X e Y ,respectivamente,afectados delsigno correspon-diente.


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Ejemplo: Ecuación de la recta

),( yxP

vn

Ecuación de la recta que pasa por P(1,3) y tiene vector director (1, −4):

SIGUIENTE

P 1,3 y v=1,−4


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),( yxP

v

)4,1()3,1(),( −+= tyx

Ec. vectorial

Ec. paramétricas

Ecuación de la recta que pasa por (1,3) y tiene vector director (1, −4).

SIGUIENTE

{ x=1ty=3−4t

P 1,3 y v=1,−4

n


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),( yxP

v

)4,1()3,1(),( −+= tyx

x−11=

y−3−4

Ec. vectorial

Ec. paramétricas

Ec. continua


SIGUIENTE

{ x=1ty=3−4t

P 1,3 y v=1,−4

n


ANTERIOR SALIR


),( yxP

v

)4,1()3,1(),( −+= tyx

)3(1)1(4 −=−− yx

Ec. vectorial

Ec. paramétricas

Ec. continua


SIGUIENTE

{ x=1ty=3−4t

P 1,3 y v=1,−4

nx−1

1=

y−3−4


ANTERIOR SALIR


),( yxP

v

)4,1()3,1(),( −+= tyx

)3(1)1(4 −=−− yx

344 −=+− yx

Ec. vectorial

Ec. paramétricas

Ec. continua


SIGUIENTE

{ x=1ty=3−4t

P 1,3 y v=1,−4

nx−1

1=

y−3−4


ANTERIOR SALIR


),( yxP

v

)4,1()3,1(),( −+= tyx

)3(1)1(4 −=−− yx

344 −=+− yx

Ec. vectorial

Ec. paramétricas

Ec. continua


SIGUIENTE

{ x=1ty=3−4t

P 1,3 y v=1,−4

n

4x y−7=0Ec. general o implícita

x−11=

y−3−4


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),( yxP

v

)4,1()3,1(),( −+= tyx

)3(1)1(4 −=−− yx

344 −=+− yx 74 +−= xy

Ec. vectorial

Ec. paramétricas

Ec. continua

Ec. explícita


{ x=1ty=3−4t

P 1,3 y v=1,−4

n


x−11=

y−3−4


ANTERIOR SALIR


),( yxP

v

)4,1()3,1(),( −+= tyx

)3(1)1(4 −=−− yx

344 −=+− yx 74 +−= xy

Ec. vectorial

Ec. paramétricas

Ec. continua

Ec. explícita


{ x=1ty=3−4t

Ec. segmentaria x

74

y7=1

P 1,3 y v=1,−4

n


x−11=

y−3−4


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Posición de dos rectas en el plano

POSICIONES VECTORES DIRECTORES

PENDIENTES ECUACIÓN GENERAL

PARALELAS

COINCIDENTES

SECANTES

u1

v1

=u2

v 2'mm =

AA'=

BB '≠

CC '

Paralelas: tienen la misma dirección y no tienen puntos comunes.

SIGUIENTEn⃗=(A , B)=(−v2, v 1)=(v2,−v1)

Recuerda que : v⃗=(v1, v 2)=(−B , A)=(B ,−A)=(1, m)


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PARALELAS

COINCIDENTES

SECANTES

'mm =

'mm =


Coincidentes: tienen la misma dirección y todos los puntos comunes.

SIGUIENTE

u1

v1

=u2

v 2

u1

v1

=u2

v 2

n⃗=(A , B)=(−v2, v 1)=(v2,−v1)


AA'=

BB '=

CC '

AA'=

BB '≠

CC '


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PARALELAS

COINCIDENTES

SECANTES

'mm =

'mm =

'mm ≠AA'≠

BB '



Secantes: sus direcciones son distintas y solo tienen un punto en común.

SIGUIENTE

u1

v1

=u2

v 2

u1

v1

=u2

v 2

u1

v1

≠u2

v 2


n⃗=(A , B)=(−v2, v 1)=(v2,−v1)

AA'=

BB '≠

CC '

AA'=

BB '=

CC '


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PARALELAS

COINCIDENTES

SECANTES

PERPENDICU-LARES

'mm =

'mm =

'mm ≠AA'≠

BB '



Secantes: sus direcciones son distintas y solo tienen un punto en común.

SIGUIENTE

u1

v1

=u2

v 2

u1

v1

=u2

v 2

u1

v1

≠u2

v 2

AA'=

BB '≠

CC '

AA'=

BB '=

CC '

u1 · v1+u2 · v2=0

pues u⃗ · v⃗=0

m'=−1m

A · A'+B · B '=0

pues n⃗ · n⃗ '=0


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Ejemplo: Posición de dos rectas en el plano

Posición relativa de las rectas:

r :x2=

y−64

s : y=2x+12

vr 2,4 mr= 2 ns=2,−1v s 1,2 m s= 2

4x−2y12=0 2x− y6=0

0122 =+− yx

SiAA '=

BB ' {=

CC 'Coincidentes

≠CC 'Paralelas

22=−1−1≠

612 paralelas

Vector director y pendiente de la recta s.

Vector director y pendiente de la recta r.

SIGUIENTE


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Rectas paralelas y perpendiculares en el plano

La recta paralela es una recta dada por un punto exterior a ella, y tiene como vector director el mismo de

la recta. Las pendientes son iguales:

Para que dos rectas sean perpendiculares sus vectores directores deben ser perpendiculares o sus

pendientes deben ser de la forma:

m⋅m'=−1m'=−1m

mm ='

SIGUIENTE

v⃗=(v1, v2) y v⃗ '=(−v2, v1)→r⊥ r '→m=v2

v1

y m'=v1

−v2

r :m→ v⃗=(1, m)r ' : m '→ v⃗ '=(1, m' )

Si r⊥r '→ v⃗ · v⃗ '=0

1 ·1+m ·m '=0→m'=− 1m

Otro modo:


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Mediatriz de un segmento


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Cómo se calcula la mediatriz de un segmento

La mediatriz es la recta que pasa por M y tiene vector director

A

B

AB= −2−0,1−5 =−2,−4

Hallamos el vector director de la recta que contiene el segmento AB.

Cálculo de la mediatriz del segmento AB que está definido por los puntos A(0,5) y B(−2,1).

El punto medio del segmento es:

M 0−22

,51

2 =−22

,62 =−1,3

Un vector perpendicular al anterior es: u=4,−2

−2x−2=4y−12−2x−4y10=0−x−2y5=0

x−−14

=y−3−2

x1

4=

y−3−2

u=4,−2


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Cómo se calcula el punto P' simétrico de P respecto a una recta

Hallamos el punto de intersección, M, de r y r' resolviendo el sistema:

P(4,-7) P'(a',b')

Hallamos la pendiente, m, de la recta r:

La pendiente de la recta perpendicular, m', es:

Determina el punto simétrico de P(4,-7) respecto de la recta r: 2x-3y+10=0

Como M(-2,2) es el punto medio del segmento PP':

La recta, r', perpendicular a r, que pasa por P será:

r

M

m=23

m '=−32

2x−3y10=03x2y2=0 }

y7=−32 x−4 2y14=−3x123x2y2=0

4a '

2,−7b '

2=−2,2 a '=−8 b '=11

r'


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Haz de rectas secantes en el plano

SIGUIENTE

X

Y

Px o , y o

Se llama haz de rectas secantes de vértice al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto P; su ecuación es:

Pxo , yo

y− y o=m x−xo m∈ℝ

Si nos dan dos rectas que se cortan en Pxo , yo

r : AxByC=0r ' : A ' xB' yC '=0

AxByCk A ' xB' yC ' =0 k∈ℝ

Lasdos rectas pasan por Pxo , y o{r : AxoByoC=0r ' : A ' xoB ' yoC '=0

de modoque :

comprobamos que∀ k larecta que seobtiene pasa por xo , yo:

AxoByoC0

k A ' xoB ' y oC '0

=0 ∀ k∈ℝ


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Haz de rectas paralelas en el plano

SIGUIENTE

Se llama haz de rectas paralelas a la recta al conjunto de todas las rectas del plano que son paralelas a r; su ecuación es:

X

Y

r : AxByC=0

AxByk=0, k∈ℝ

Si nos dan la ecuación explícita:

y=mxk , k∈ℝ


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Distancia entre dos puntos

SIGUIENTE

La distancia entre dos puntos A y B es el módulo del vector A⃗B

A x1, y1

B x2, y2

A⃗B=( x2−x1, y2− y1)

d A , B=∣AB∣= x2−x12 y2− y1

2

y2− y1

x2−x1


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Distancia entre un punto P(xo,y

o) y una recta r:Ax+By+C=0

SIGUIENTE

P x0, y0

v=−B , A

r

Q x1, y 1n=A , B

QP⋅n=∣QP∣⋅∣n∣⋅cos0º=d P , r ⋅ A2B2

⋅1=d P , r⋅A2B2

Tomando un punto de la recta Q(x1,y

1), de manera que sea

perpendicular a la recta y paralelo al vector tenemos que:

Igualando las dos expresiones anteriores:

y como

d P , r =∣Ax0By0C∣

A2B2

Calculamos el producto escalar de QP y n

QP=x0−x1, y0− y1

n= A ,B

QP ·n=x0−x1· A y0− y1 ·B=Ax0−Ax1By0−By1

d P , r ·A2B2=Ax0−Ax1By0−By1

d P , r =Ax0−Ax1By0−By1

A2B2

Ax1+By1+C=0→ Ax1+By1=−C→−Ax1−By1=+C


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Ejemplo: Cómo se calcula una recta paralela a otra que esté a una cierta distancia.

SIGUIENTE

r'

Encuentra una recta paralela a r y que se halle a 8 unidades de distancia de ella:

r :x1−3

=y−5

4

r : 4x4=−3y154x3y−11=0

Una recta paralela a r será de la forma s : 4x+3y+C=0Hallamos un punto de r : P ( x=2, y=1) y aplicamos la fórmula de la distancia de P a s

d P , s=∣4 ·23 ·1C∣

4232=∣11C∣

5=8 { 11C=40C=29

11C=−40C=−51}

Hay dos rectas que cumplen esa condición

s1 : 4x3y29=0 y s2 : 4x3y−51=0


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Distancia entre dos rectas

SIGUIENTE

Si las rectas son paralelas, se toma un punto de una de ellas y se calcula su distancia a la otra recta. En este caso se puede calcular la distancia de cada una de ellas al origen y después restarlas:

X

Y

x 1

x 2

rd

P

o

d r , r ' =∣C−C '∣

A2B2

Si las rectas son secantes o coincidentes, la distancia entre ellas es cero.: d(r,r') =0

d (O , r )=∣A· 0+B · 0+C∣

√A2+B 2

=∣C∣

√A2+B 2

d (O , r ' )=∣A' ·0+B ' ·0+C '∣

√A' 2+B ' 2

=∣C '∣

√A' 2+B' 2

r'


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Ejemplo: Cómo se calcula la distancia entre dos rectas.

SIGUIENTE

d r , r ' =∣C−C '∣

A2B2

r'

Halla la distancia entre las rectas:

r :x2=

y−15

s : x=2ty=3+5t }

r : 5x=2y−2→5x−2y+2=0

s :x2=

y−35→5x=2y−6→5x−2y+6=0

r : A=5 B=−2 C=2s : A'=5 B '=−2 C '=6

d (r , s)=∣2−6∣

√52+(−2)2

=4

√29=0,74 u


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Ejemplo2: Cómo se calcula una recta paralela a otra que está a una cierta distancia.

SIGUIENTE

Halla la ecuación de una recta paralela a y que se halla a 8 unidades distancia de ella.

r :x+1−3

=y−5

4

d (P , r)=∣Ax0+By0+C∣

√A2+B 2Sabemos que:

Pasamos la ec. continua a general:x+1−3

=y−5

4→4x+3y−11=0

Calculamos un punto cualquiera de la recta r: P(2,1).

La recta s paralela a r tendrá la forma:

Exigimos que la distancia del punto P a la recta s sea 8:

s : 4x+3y+C=0

d (P , r )=∣4 · 2+3 ·1+C∣

√42+32=8→∣8+3+C∣=5 ·8→∣11+C∣=40→{ 11+C=40→C=29

11+C=−40→C=−51

También podemos usar la fórmula: d r , r ' =∣C−C '∣

A2B2

Como 4x+3y−11=0→C '=−11

d (r , r ' )=∣C−(−11)∣

√42+32

=8→∣C+11∣=5·8→∣11+C∣=40→{ 11+C=40→C=2911+C=−40→C=−51


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Ángulo entre dos rectas

SIGUIENTE

r

r '

2

1

X

Y

O

Se llama ángulo entre dos rectas al menor ángulo que forman las rectas al cortarse. Este ángulo coincide con el ángulo de sus vectores directores.

m=tg1 m'=tg2 0º≤≤90º

Si r⊥ r '=90º tg no existe denominador nulo

1m⋅m'=0m '=−1m

Otro modo: calculamos el ángulo que forman sus vectores directores o sus vectores normales

cos=∣A⋅A 'B⋅B '∣

A2B2⋅ A ' 2B ' 2

tg (r , r ' )=tg α=tg (α2−α1)=∣ tgα2−tgα1

1+tgα1 · tgα2∣=∣ m'−m

1+m· m'∣

r : v⃗=(v1, v2)

r ' : u⃗=(u1, u2)

cosα=∣u1 v1+u2 v2∣

√u12+u2

2√v12+v2

2

r : Ax+By+C=0→ n⃗=(A , B)→ v⃗=(−B , A)r ' : A ' x+B ' y+C '=0→ n⃗ '=(A' , B ' )→ v⃗ '=(−B ' , A' )

180º

tg=−tg 180º


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Ejemplo: Cómo se calcula el ángulo entre dos rectas.

SIGUIENTE

Calcula el ángulo que forman las rectas:

r :x−2

3=

y13

r ' : x=1−2ty=−3t }

r :v=3,3 m=1

r ' :v '=−2,1m'=−12

tg α=tg ( r , r ' )=∣ m−m'1+m·m'∣=∣ 1−−12

1+1 ·−12∣=∣

32

1−12∣=

3212

=3→α=71,57 º

cosα=∣v1v '1+v2v ' 2∣

√ v12+v2

2√ v '12+v ' 22=

∣3 ·(−2)+3 ·1∣

√32+32√(−2)2+12=

3

√18√5→α=71,57 º

Usando la fórmula de las tangente y sus respectivas pendientes:

Usando la fórmula del coseno y de las coordenadas de los vectores directores correspondientes:

Calculamos sus vectores directores y pendientes:


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Ejemplo 2: Como se calcula la ecuación de una r que pasa por P y forma un determinado ángulo con otra recta r'

SIGUIENTE

Encuentra una recta que forme un ángulo de 60º con la recta r y que pase por el punto P(4,-2)

r : x=3ty=−13t }v=1,3m=3

tgr , r ' =∣ m−m'1m · m'∣=∣

3−m'13 · m'∣=tg 60º=3

rectas que pasan por P (4,−2) r ' : y+2=m' ·( x−4)→ v⃗ '=(1, m ' )

∣ 3−m '1+3 · m'∣=√3→{

3−m '1+3 · m'

=√3→m'=3−√3

1+3√3=−6+5√3

13≈0,2→ y+2=0,2( x−4)

3−m'1+3 ·m '

=−√3→m'= 3+√31−3√3

=−6−5√3

13≈−1,13→ y+2=−1,13( x−4)

cos 60º=∣1 · 1+3 · m '∣

√12+32√12+m ' 2=

12→

∣1+3m '∣

√10√12+m ' 2=

12

elevandoal cuadrado→(1+3m ' )2=52(1+m ' 2)

2+18m ' 2+12m '=5+5m ' 2

→13m ' 2+12m '−3=0→m'=

−6±5√313

={−6+5√3

13−6−5√3

13} igual que antes


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Bisectriz del ángulo formado por dos rectas

SIGUIENTE

La bisectriz de un ángulo divide al ángulo en dos ángulos iguales.Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo

P b d (P , r ) = d (P , s )∈ ⇔

Supongamos dos rectas de ecuaciones r ≡ Ax + By + C = 0 y s ≡ A' x + B' y + C' = 0Un punto P(x, y) estará en la bisectriz si y sólo si d (P , r ) = d (P , s ) .La distancia del punto P(x, y) a la recta r ≡ Ax + By + C = 0 , y la distancia del punto P(x,y) a la recta s ≡ A'x + B'y + C' = 0 son:

d P ,r ∣AxByC∣

A2B2=d P ,s =

∣A ' xB ' yC '∣

A ' 2B '2

Esta igualdad con valores absolutos equivale a dos igualdades:

AxByC

A2B2=±

A ' xB ' yC '

A' 2B '2

que son las ecuaciones de las dos bisectrices determinadas por las dos rectas.¡dos rectas determinan dos bisectrices!


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Ejemplo: Cómo se calculan las bisectrices del ángulo formado por dos rectas

SIGUIENTE

Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas de ecuaciones: r ≡ 4 x − 3 y + 1 = 0, y s ≡ 12 x + 5 y − 5 = 0

4x−3y1

42−32=±

12x5y−5

12252 {

4x−3y1

42−32=

12x5y−5

12252

4x−3y1

42−32=−

12x5y−5

12252

Es decir, las dos bisectrices son:

Podemos observar fácilmente que estas dos rectas son perpendiculares, pues el producto escalar de los vectores normales es nulo: A·A'+B·B'=4 · 56 - 32 · 7 = 0

b1: 4 x32 y−19=0n=4,32b2 :56 x−7 y−6=0n '=56,−7

Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas de ecuaciones r: x - 3y + 5 = 0 y s: 3x - y - 2 = 0. Solución b1 : 4x - 4 y + 3 = 0 ; b2 : 2 x + 2y - 7 = 0


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Actividad: Modelo matemático de una recta

Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad2a.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, una recta se puede modelar analíticamente mediante una expresión matemática y luego graficarla en un sistema de ejes coordenados.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Conicas_dandelin_d3/conicas.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648-02/ed99-0648-02.html











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INICIO MATEMÁTICAS 1º Bachillerato 5 Geometría …platea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad5_2_rectas.pdf · Posiciones de dos rectas Rectas perpendiculares y paralelas