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5 Semejanza

INTERNET

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ESQUEMA

ACTIVIDAD

Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas.

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La proporción y la forma

Busca en la web

Leonardo da Vinci

El número de oro en el arte y la naturaleza φ ó

http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Cie-Hist/Leonardo/vida.htm


http://www.omerique.net/calcumat/arteoro.htm



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Esquema de contenidos

Semejanza

Semejanza

Construcción de triángulos

Teorema de Thales

Semejanza en triángulos

Criterios

Semejanza en áreas y volúmenes

Semejanza en triángulos rectángulos

Aplicaciones

Cálculo de distancias


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Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.

Semejanza

Una semejanza transforma una figura en otra figura semejante, y a la razón de proporcionalidad que guardan sus dimensiones se le llama razón de semejanza.

Figuras semejantes

Figuras no semejantes

Figuras no semejantes

SIGUIENTE


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La forma más sencilla es el método de la proyección.

Construcción de figuras semejantes

• Fijamos un punto O.

• Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original.

• Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original.

SIGUIENTE


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Teorema de Thales

Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales.

Teorema de Thales

Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales.

SIGUIENTE


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Pirámide

Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.

Teorema de ThalesTeorema de Thales

Bastón

SIGUIENTE


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Rayos del sol

Pirámide



SIGUIENTE


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Rayos del sol

Pirámide



S (sombra pirámide)

s (sombra bastón)

SIGUIENTE


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Rayos del sol

Pirámide



H


s (sombra bastón)

h

SIGUIENTE


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Rayos del sol

Pirámide


Podemos establecer la proporción


HS=hs

H=h⋅Ss

H


s (sombra bastón)

h

SIGUIENTE


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Ejemplo:

Calcular la medida del segmento x.

Teorema de Thales

Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales.

824

=x

15

8⋅15=24⋅x 120=24x x=12024

=5

SIGUIENTE


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Dividimos un segmento AB en tres partes iguales.

Aplicaciones del teorema de Thales

1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.

2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales.

3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.

Por el teorema de Thales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí.


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Dos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones:

- Sus lados son proporcionales:

- Sus ángulos son iguales:

Semejanza de triángulos

aa '

=bb '

=cc '

A= A' B= B ' C= C '

SIGUIENTE


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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

Criterios de semejanza de triángulos

SIGUIENTE


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PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.

A= A'B= B '

SIGUIENTE


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SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.


aa '

=bb '

=cc '

A= A'B= B '

SIGUIENTE


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SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.


TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

aa '

=bb '

=cc '

A= A'bb '

=cc ' SIGUIENTE

A= A'B= B '


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Los triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen igual uno de sus ángulos agudos.

Semejanza de triángulos rectángulos

Cualquier triángulo obtenido trazando una recta perpendicular sobre uno de sus lados es semejante al primero.

Si trazamos la altura de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes al primero.

SIGUIENTE


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Teorema del cateto

Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos

El cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de este sobre la hipotenusa.

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos.

Teorema de la altura

ca=mc c2

=m⋅aba=nb b2

=n⋅a

mh=hn h2

=m⋅n

SIGUIENTE


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Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm

SIGUIENTE


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Por Pitágoras:a 2=42

33 a2

=25a=25=5 cm

SIGUIENTE


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33 a2

=25a=25=5 cm

Aplicando el teorema del cateto:

cm 8,15953

cm 2,35

1654

22

22

==→⋅=→⋅=

==→⋅=→⋅=

nnanb

mmamc

SIGUIENTE


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33 a2

=25a=25=5 cm

Aplicando el teorema del cateto:

Aplicando el teorema de la altura:

h2=m⋅n h2

=3,2⋅1,8 h=5,76=2,4 cm

cm 8,15953

cm 2,35

1654

22

22

==→⋅=→⋅=

==→⋅=→⋅=

nnanb

mmamc

SIGUIENTE


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Calcular la altura de la torre.

Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común.

50m

37m

6 m

h

h50

=6

37 h=

6⋅5037

=8, 12 m

Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.


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Semejanza de áreas y volúmenes

Si dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y la razón de

la proporción es r2.

A=l⋅l=l2

A=2l⋅2l=4⋅l 2

SIGUIENTE


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Semejanza de áreas y volúmenes

Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales y la razón de la

proporción es r3.

V=2l⋅2l⋅2l=23⋅l 3

V=l⋅l⋅l=l3


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Enlaces de interés

Teselar

IR A ESTA WEB

Mosaicos

IR A ESTA WEB

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/indexactiv.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos/mosaicos.htm

http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/index.html




http://www.figurethis.org/espanol.htm







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Actividad: El teorema de Thales

Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad4b.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad del teorema de Tales describen las relaciones que se observan en los segmentos obtenidos al intersectar rectas paralelas con rectas secantes.Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://www.santillana.cl/mat2/unidad4b.htm



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