INŽINJERSKA PROCEDURALNOST FEMttl.masfak.ni.ac.rs/CAD/PREDAVANJE-9 2007 INZINJERSKA...modeliranje ovim elementom smanjuje obim algebarskog sistema za rešavanje. Grede su konstruktivni

PROJEKTOVANJE RAČUNAROM – AUTORIZOVANA PREDAVANJA DR MIOMIRA JOVANOVIĆA 1

PROJEKTOVANJE RAČUNAROM-CAD Predavanje-9

Letnji semestar 2007

INŽINJERSKA PROCEDURALNOST FEM

POSTUPAK IZBORA KONAČNIH ELEMENATA

Analiza metodom konačnih elemenata zahteva fizičku diskretizaciju konstrukcije i izbor konačnih elemenata koji adekvatno opisuju njeno ponašanje pri spoljašnjem uticaju. Raznovrsnost uticaja i geometrija struktura, uslovila je brojnost vrsta i podvrsta konačnih elemenata. Osnovna razlika medju njima ogleda se u različitosti "unutrašnjih" funkcija. Te "unutrašnje" funkcije, funkcije oblika (shape function), opisuju polje pomeranja u elementu i odredjuju aproksimacije kontinuuma u metodi konačnih elemenata. Izbor konačnog elementa osim topologije podrazumeva izbor interpolacione funkcije i direktno odredjuje tačnost metode. KLASIFIKACIJA: Konačne elemente je moguće klasifikovati prema:

• Dimenzionalnosti ( 1D, 2D, 3D), • Familiji - grupaciji (ljuska, ploča, greda), • Redu interpolacionih funkcija (linearan, paraboličan, kubni), • Geometriji (trougaoni, četvorougaoni), • Fizičkim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska), • Materijalnim svojstvima (izotropan, anizotropan).

Osnovni tipovi konačnih elemenata su odredjeni prostorom koji koriste (1D, 2D, 3D). Jednodimenzioni konačni elementi su zatege, štapovi, grede, užadni elementi, granični elementi, cevni elementi. Granični elementi su kategorija koja služi za formiranje veza na granicama kontinuma, koja matematičkom modelu definiše neki uslov. U ovu podgrupu spadaju elementi: opruge, zazora (gap), veze (link), stepena slobode (DOF) i drugi. 2D - dvodimenzioni konačni elementi definišu napone i deformacije ravanskog kontinuuma, pa shodno tim vrstama osnovni elementi su membrana, ploča, ljuska. Trodimenzioni konačni elementi su prizmatični i osnosimetrični. U ovu grupu spadaju i debela ploča i debela ljuska, prizma, piramida, osnosimetrični elementi i 3D konačni elementi sa ortotropnim osobinama kao što su slojevite forme. Slika 3.03 ilustruje osnovnu geometriju konačnih elemenata. Izbor konačnog elementa za modeliranje, zavisi od geometrijske forme posmatranog kontinuuma i procene unutrašnje distribucije sila i deformacija. Geometrijske forme dugačkih članova (malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu) zamenjuju se jednodimenzionim konačnim elementima. Ravne površine zidova, pregrada, dijafragmi, lamela nosača, zamenjuju se dvodimenzionim konačnim elementima (obično za analizu napona). Tamo gde se javljaju koncentrisana lokalna naprezanja usled geometrijske složenosti, koriste se trodimenzioni konačni elementi. Njima se obično opisuju kompaktne geometrije kao što su rotacioni delovi, lopatice kola turbomašina, glavčine, kućišta motora, kućišta klipnih mašina, složeni elementi (kolenasta vratila). Jedno od suptilnih pitanja diskretizacije strukture su granice geometrija primenjenih konačnih elemenata. Zapravo, potrebno je definisati kad koristiti konačan element štap, kad koristiti gredu, kad ploču, a kada ljusku. Za nalaženje odgovora na to pitanje, treba definisati prvo klasične pojmove ovih elemenata u mehanici:


Štap podrazumeva konstruktivni sadržaj malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu. Takvi članovi se odlikuju vitkošću, često većom od 50 (λ>50). Takvi konstruktivni elementi imaju izrazitije unutrašnje uzdužne sile od unutrašnjih momenata. To su, recimo, zatege kod dizalica, držači visećih platforma, članovi lakih rešetkastih nosača itd. Obično sadrži tri stepena slobode u čvoru pa modeliranje ovim elementom smanjuje obim algebarskog sistema za rešavanje. Grede su konstruktivni sadržaji značajnih dimenzija u odnosu na dužinu, pa zato mogu da ponesu i unutrašnje momente savijanja i uvijanja. Primena konačnih elemenata tipa grede uopšte smanjuje aproksimacije jer u njihovim čvorovima uobičajeno ima svih 6 stepeni slobode kretanja. Gredama se diskretizuju linijske noseće strukture različitih tipova dizalica i rotacionih bagera (rešetke, stubovi), ramovi postolja i nadgradnje vagona. Kako se veze konačnih elemenata, ostvaruju samo u čvorovima (za koje su postavljeni uslovi kompatibilnosti strukture), ove analize nemaju aproksimativan pristup. Cevi su jednodimenzioni konačni elementi (engl. pipe), slika 1, koji se koriste za aproksimaciju tankozidih geometrija. Granični elementi se koriste za modeliranje elastičnih oslonaca (slika 2.0), poboljšanje uslova kompatibilnosti na granicama strukture sa nejednakim brojem stepeni slobode u čvoru. Često se koriste za poboljšanje numeričke stabilnosti kod plitkih ljuski. U upotrebi su i konačni elementi tipa prigušivača (damperi), slika 2., kao i kruti (rigid) elementi.

A. Element za aksijalna i torziona opterećenja (bez smicajna i savijanja–rod element), sl.1-a, B. Cevni element sličnih osobina kao i prethodni (tube element), slika 1-b, C. Štapni element za aksijalna opterećenja i savijanje (bar element), slika 1-c, D. Linijski element krutosti (spring element), slika 2-a, E. Linijski element prigušenja (damper element), slika 2-b, F. Kombinovani element zadate krutosti i prigušenja, G. Linijski element nelinearnosti (gap element), H. Krivolinijski gredni element (curved beam element), slika 2-c

1D – LINIJSKI ELEMENTI

Slika 1 a.- aksijalni element, b. - cevni element, c. - štapni/gredni element

X

Y

Z

Slika 2 a.- element krutosti, b. - element prigušenja, c. - krivolinijski gredni element


Slika 3.0 Specijalni 1D elementi Ploče i ljuske su strukturni elementi male debljine u odnosu na ostale dve dimenzije. Ljuske su obično zakrivljeni strukturni elementi kod kojih je količnik debljine i poluprečnika krivine veći od 20 (R/t>20)1. Ljuske mogu biti jednostrano zakrivljene (cilindrične) i obostrano zakrivljene, nastale obrtanjem krive oko ose. Cilindrična ljuska je, na primer cev, količnika debljine h, radijusa krivine R i dužine ljuske L: h/R=1/100 i L/R = 2. Obostrano zakrivljena ljuska je, recimo, vrh trupa aviona, dance vagon-cisterne, zid satelitske antene. Primer sferne ljuske je dance loptastog rezervoara debljine zida h=6 cm i poluprečnika krivine R=143 cm. Primer cilindrične ljuske je cev za visok pritisak, debljine zida h=7 cm, prečnika D=100 cm i dužine 50 cm [49].

Slika 4.0 2D – POVRŠINSKI ELEMENTI

KLASIFIKACIJA: Količnik debljine i poluprečnika krivine može se naći u širokim granicama, pa se razlikuju tanke ljuske (thin shell) i debele ljuske (thick shell). Literatura ne navodi strogu granicu njihove geometrije. Jasno je da su kod debelih ljuski znatno veći momenti savijanja pa time i komponentni naponi oko srednje ravni krivine. Slika 5.0 pokazuje primer tanke cilindrične ljuske i tanke ljuske promenljive zakrivljenosti, kakve se javljaju kod letilica.

Slika 5.0 Dva tipa tankih ljuski: cilindrična i sferna

1 Ugural A.C., Fenster S.K, ADVANCED STRENGHT AND APPLIED ELASTICITY, Elsevier, New York 1987.

KABL-E KONTAKT-PAR

ČETVOROUGAONIKUBNI ELEMENT

(membrana)

ČETVOROUGAONI LINEARNI RAVANSKI

ELEMENT

PLOČA TANKA LJUSKA LINEARNA I KUBNA

SMICAJNA RAVAN


Ploče su ravna prizmatična tela male debljine u odnosu na ostale dimenzije. Tanka ploča je debljine manje od 1/10 ostalih dimenzija [31]. Pri tome se smatra da pri spoljašnjem opterećenju nastaju male deformacije ploča, koje ne prelaze 1/5 debljine ploče (∆/h < 1/5). Autori Timošenko, Vojnovski-Kriger, definišu geometriju tankih ploča u dijapazonu h/L = 1/80 ÷ 1/200. Debele ploče se koriste za najviša opterećenja i u sebi nose izrazito sve tri prostorne komponente napona. Poceski 2 definiše debelu ploču na primerima u kojima je količnik debljine i dužine (širine) u granicama h/L = 1/4 ÷ 1/80. Kako ploča prenosi spoljašnje dejstvo unutrašnjim momentima savijanja a ljuska prenosi spoljašnje dejstvo membranskim naponima, to ljusku čini znatno otpornijim i ekonomičnijim elementima konstrukcija. Krivolinijski konačni elementi prate zakrivljenu geometriju struktura. Definisani su većim brojem čvorova na ivicama elementa. Prednost: Veći broj uslova kompatibilnosti, čime se značajno smanjuju aproksimacije i poboljšava kontinuitet na granicama elemenata. Izoparametarski element je specijalna kategorija konačnog elemenata koji ima jednak broj čvorova na konturi sa brojem čvorova unutar polja elementa (za poboljšanje unutrašnjeg kontinuiteta). Prema funkciji za interpolaciju pomeranja izmedju osnovnih čvorova, razlikujemo linearne, kubne, parabolične i druge konačne elemente. Trodimenzioni elementi (3D) su tetraedarski element (sa 4 čvora) oblika piramide, heksaedarski element sa 8 osnovnih čvorova itd. Trodimenzioni elementi imaju najčešće i dodatne čvorove po ivicama a najveći broj ovih elemenata ima po 3 stepena slobode u čvoru. Tako, samo heksaedarski element sa 8 čvorova u rogljevima i po jednim izmedju svih rogljeva na konturi, ima ukupno 20 čvorova sa 60 stepeni slobode. To pokazuje kako primena 3D elemenata dovodi do velikih dimenzija računskog modela.

Slika 6.0 Tipovi 3D konačnih elemenata

2 Poceski A., MEŠOVITI METOD KONAČNIH ELEMENATA, Gradjevinska knjiga, Beograd 1990.

LINEARNI I KUBNI ELEMENT DEBELE LJUSKE SOLID ELEMENT (puni element četvorostrane prizme)

SUPERELEMENTI

SENDVIČ LJUSKA LAMINARNA LJUSKAOSNOSIMETRIČNI ELEMENT


Konačni elementi sa složenim fizičkim osobinama, posebno prilagodjeni za modeliranje, nazivaju se superelementi. Na slici 6 pokazana su dva takva. Njihova osnovna vrednost je da umanjuju matematičku složenost koju bi imalo modeliranje laminarnih i kompozitnih struktura pojedinačnim definisanjem slojeva.

Opšti kriterijumi diskretizacije:

1. Kriterijum broja stepeni slobode: Što manji broj stepeni slobode i što kvalitetnije interpolacione funkcije. Umanjuje numerički obim problema - smanjuje hardverske resurse.

2. Kriterijum manjih aproksimacija: Manje odstupanje od tačne geometrije kod modeliranja. Ovaj zahtev uvećava broj stepeni slobode kretanja,

3. Kriterijum spoljašnjeg oblika: Izbor konačnog elementa strukture može se izvršiti na osnovu sličnosti njegove geometrijske forme sa formom pravilnih delova objekta,

4. Kriterijum poznavanja unutrašnje distribucije komponentnih napona članova kontinuuma: Zasniva se na poznavanju osnovnih tipova naponskih distribucija kod ploče, ljuske, membrane, solida, grede, štapa. Kako unapred nije tačno poznata distribucija napona, često se nakon analize ispituje ispravnost izbora konačnih elemenata. To podrazumeva kontrolu nivoa i vrste komponentnih deformacija. Na taj način se proverava da li je izabran element "radio" po svojoj teoriji ili ne. Kada uslovi to dozvole, vrši se i eksperimentalna analiza. Na bazi toga se može reći da je modeliranje u FEA i iskustvena kategorija.

5. Kriterijum simetričnosti: U slučaju centričnog ili simetričnog spoljašnjeg opterećenja, moguće je izvršiti modeliranje polovine, četvrtine ili dela konstrukcije, čime se problem racionalno opisuje manjim brojem stepeni slobode. To je slučaj sa cisternama, spojnicama, diskovima. Uticaj ostalih delova konstrukcije definiše se posredstvom graničnih uslova.

ETAPE PROGRAMSKOG PRISTUPA FEM

Rešavanje zadataka FEA metodom ima proceduru sa sledećim etapama:

1. Diskretizovanje kontinuuma konstrukcije izabranim kon. elementima, 2. Izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), 3. Sračunavanje karakteristika konačnih elemenata, 4. Formiranje algebarskog sistema jednačina konstrukcije, 5. Rešavanje algebarskog sistema jednačina, 6. Proračun potrebnih unutrašnjih veličina.

Prve tri etape su kreativni deo zadatka. Četvrta, peta i šesta etapa su rutinski deo posla i obično su prepušteni računaru i pouzdanom softveru. Forma konstrukcije i cilj proračuna odredjuju broj, tip i raspored konačnih elemenata. Izbor tipa konačnog elementa integriše izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), kojima su povezana čvorna pomeranja elementa sa unutrašnjim pomeranjima u konačnom elementu. Adekvatnost interpolacionih funkcija odredjuje tačnost rešenja zadatka. Zato se u cilju dokaza tačnosti, dobijeno rešenje podvrgava sledećim proverama:

1. Istim tipom i veličinom konačnog elementa reši se neki poznati analitički problem, na osnovu čega se ocenjuje kvalitet primenjenog konačnog elementa i kvalitet modeliranja. Na osnovu ove provere, komparativno se ocenjuje tačnost osnovnog problema.

2. Utvrdjivanjem položaja asimptote dobijene iz uzastopnih monotono konvergirajućih rešenja mreža različitih gustina, ocenjuje se položaj tačnog rešenja. U praksi se ova metoda češće koristi.


Interpolacione funkcije

Interpolacione funkcije opisuju polje deformacija, napona i drugih uticaja u konačnom elementu. Njima se uspostavlja neposredna veza izmedju pomeranja u bilo kojoj tački polja elementa i pomeranja u čvornim tačkama. Koriste se tri familije interpolacionih funkcija: Lagrange polinomi imaju oblik:

...2y2x8ay2x7a2y6a2x5ayx4ay3ax2a1a)y,x(P +⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+= (3.09) Njihovo rešenje konvergira tačnom rešenju kada polinom ima beskonačan red. Kvalitetna interpolaciona funkcija zahteva onaj stepen polinoma koliki je broj nezavisno promenljivih u elementu. Sa druge strane, visok stepen polinoma je nepodesan, zbog poteškoća eliminacija unutrašnjih članova, pa se primenjuju samo za odredjene tipove konačnih elemenata. Serendipity funkcije su funkcije čvornih tačaka konture. Njihove vrednosti su 1.0 u čvorovima i 0.0 izvan čvorova. Hermitovi polinomi su polinomi višeg stepena sa osobinama dobrog kontinuiteta na granicama izmedju elemenata. Koeficijenti ovih funkcija se odredjuju iz uslova kompatibilnosti i uslova statičke ravnoteže. Serendipity funkcije su tako oblikovane da direktno povezuju pomeranja u elementu sa pomeranjima u čvorovima što eliminiše potrebu izračunavanja njihovih inverznih matrica i značajno ubrzava postupak. Za izoparametarske elemente je karakteristično da se i pomeranja čvorova i pomeranja u polju elementa, izražava istim funkcijama oblika (3.10). U ovim jednačinama x,z,y su koordinate u polju konačnog elementa a xi, yi, zi koordinate i-tog čvora elementa. hi su funkcije oblika u lokalnom normalizovanom koordinatnom sistemu r, s, t.

iq

1iii

q

1iii

q

1ii zhz ,yhy ,xhx ⋅=⋅=⋅= ∑∑∑

=== (3.10)

Kod izoparametarskih konačnih elemenata, gde se za opis pomeranja čvorova i tačaka u polju konačnog elementa koriste iste matematičke formulacije funkcija oblika, postoje i odstupanja. Ukoliko je stepen funkcije oblika viši od stepena funkcija koje opisuju pomeranja čvorova, takvi konačni elementi se nazivaju superparametarski elementi. U suprotnom slučaju, radi se o subparametarskim elementima.


KONVERGENCIJA I TAČNOST METODE KONAČNIH ELEMENATA (FEM)

Proizvoljan pristup formiranja modela u metodi konačnih elemenata dovodi do različitih rešenja. Da bi se eliminisao individualan pristup, razvijeni su postupci koji kontrolišu aproksimacije modela.

Prvi korišćen princip ograničavanja aproksimacija izvodi se procedurom dokaza konvergencije. Druga savremenija metoda je izvedena softverski, putem automatske procedure kojom se redefiniše topologija početnog modela sve dok sukcesivnim smanjenjem aproksimacija, analiza ne zadovolji zadatu tačnost. - metoda adaptivnih mreža.

Redovna procedura rešavanja zadataka metodom konačnih elemenata zahteva dokaz uspešnosti pristupa - kroz tri vrste provere:

1. Utvrdjivanjem tačnosti numeričkog izračunavanja, 2. Utvrdjivanjem numeričke stabilnosti postupka i 3. Ispitivanjem konvergencije rešenja.

Tačnost numeričkog izračunavanja podrazumeva bliskost analitičkog i numeričkog rešenja. Kod prostih primera moguće je numeričko rešenje uporediti sa analitičkim. Primer elementarne provere statičkog ugiba simetričnog linijskog nosača jednostavno se izvodi na osnovu jednačina elastičnih linija i ugiba sredine nosača. Kod dinamičke analize, provera se može izvršiti za sistem koji osciluje kao klatno na bazi perioda oscilovanja matematičkog, astatičkog ili fizičkog klatna, slika 7. Cilj ovih grubih analiza je da se objektivizuje nadjeno rešenje.

Numerička stabilnost podrazumeva proveru postojanja svih rešenja, traženih u svim etapama razvoja modela pri različitim vrstama opterećenja, različitim slučajevima analiza (statička, dinamička) bez prekida u numeričkom izvršenju procedura. Postavljen proračun ne sme da ispolji numeričku nestabilnost promenom parametara u realnom domenu konstrukcije i realne intenzitete spoljašnjih uticaja.

Slika 7. Dva zadatka provere tačnosti rešenja: statički i dinamički

Konvergentnost podrazumeva numeričko približenje uzastopnih rešenja tačnoj vrednosti, polazeći od prethodno dobijenih rešenja. U MKE se konvergencija ocenjuje na osnovu mreže konačnih elemenata i vrednosti dobijenih rezultata. Mreže se razlikuju u pogledu veličine i rasporeda konačnih elemenata. Rezultati proračuna u statičkoj analizi su referentna pomeranja. U dinamičkoj analizi rezultati proračuna su sopstveni vektori ili sopstvene frekvencije. Pri tome, pravac iz koga rešenje konvergira zavisi od metode koja je korišćena (metoda sila ili metoda pomeranja). Slika 8. pokazuje konvergenciju rešenja sa donje strane kod metode deformacija, odnosno, sa gornje strane kod metode sila. Zato primena metode sila i metode deformacija odredjuju oblast tačnog rešenja analize. Kod mešovite metode konačnih elemenata, konvergencija je moguća sa obeju strana, [49].

y= FL3

48 E IX FBFAL/2 L/2

L T=2 Lgπ


Slika 8. Konvergencija u metodi konačnih elemenata

Osobina: Uvećanjem broja konačnih elemenata poboljšavaju se granični (konturni) uslovi problema usled smanjenja aproksimacija, te se dobija tačnije rešenje. Shodno ovom stavu, dokaz konvergencije se izvodi formiranjem sukcesivnih mreža konačnih elemenata različite veličine. Proporcionalno umanjenje veličine konačnog elementa, vodi povećanju broja elemenata fine mreže. Proporcionalno, znači da se kod ravanskih problema, finija mreža formira deobom svakog elementa na četiri nova, a kod prostornih problema deobom svakog zapreminskog elementa na osam novih. Tri ili više uzastopnih mreža različitih po gustini, omogućuju utvrdjivanje pravca približenja tačnijeg modela analitičkoj vrednosti rešenja. Iz tri rešenja, može se izračunati zavisnost broja elemenata od tačnosti rešenja, čime se definiše stepen konvergencije. Kada u graničnom slučaju veličine konačnih elemenata postanu vrlo male, dobija se tačno numeričko rešenje. Da bi se to postiglo potrebno je da su ispunjeni sledeći uslovi: Uslov 1: Izabrana deformaciona funkcija konačnog elementa treba da bude tako definisana da pomeranja elementa kao

celine (kao krutog tela) ne prouzrokuju deformacije (napone) u samom elementu. Uslov 2:Izabrana deformaciona funkcija mora da dâ konačna pomeranja na granicama elementa (Kriterijum neprekidnosti

medju elementima).

Osobina: Stepen konvergencije zavisi od interpolacione funkcije. Ukoliko interpolaciona funkcija tačno opiše deformaciju odnosno da tačno rešenje diferencijalnih jednačina pomeranja, tada više tačnost ne zavisi od "gustine" mreže. Tada sve mreže daju numerički tačna rešenja. Ovaj specifičan slučaj je čest kod linijskih struktura sa konačnim elementima tipa štapova i grede. Kod primene tih elemenata nema smisla ispitivanje konvergencije, obzirom da njihove medjusobne veze ne uvode aproksimacije u pogledu distribucije pomeranja3. Dokaz konvergencije se izvodi za probleme kontinuuma u ravni i prostoru4.

Praktično: Kod analize realnih struktura, mogu nastati značajne razlike u rezultatima. Ako eliminišemo greške uslovljene neadekvatnim izborom konačnih elemenata, razlike rezultata tačnih i numeričkih rešenja mogu biti i veće od 30 %. U takvim slučajevima se napuštaju postavljeni diskretni modeli, postavljaju novi, dok se ne dobiju rešenja uzastopnih mreža koja odstupaju manje od 10 %. Takva rešenja se mogu smatrati upotrebljiva u rutinskoj inženjerskoj praksi [42]. Greške nastale u primeni MKE uslovljene su veličinom konačnih elemenata i kvalitetom njihovih interpolacionih funkcija. Pravilan izbor tipa konačnog elementa i interpolacione funkcije, omogućuje smanjenje broja elemenata u mreži. Iz tog razloga razvijeni su različiti tipovi geometrijskih oblika konačnih elemenata.

3 Istovremeno su zadovoljeni i granični uslovi i uslovi kompatibilnosti. 4 Ovaj princip prvi je primenio Irons na problemu ploče opterećene koncentrisanom silom, dobivši pri tome odstupanje rezultata od 1.5 % izmedju dva postavljena diskretna modela.

Tačno rešenje

Parametar poredjenja (deformacija)

Parametar poredjenja (deformacija)

Oblast nestabilnog rešenja

Oblast nestabilnog rešenja

Divergencija rešenja

Konvergencija rešenja

Konvergencija rešenja

Divergencija rešenja

Broj konačnihelemenatan 1 n 2 n 3 n 4

Tačno rešenje


VERIFIKACIJA FEM PROCEDURE PRIMER 1: Statička analiza konzole sa 3D osmočvornim elementom Primer verifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa.

Naziv: PB 0501 - statička analiza konzole četvrtastog poprečnog preseka Datum realizacje: 02.10.1997. Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: Transverzalna sila Element tip: TIP-5 (3D, osmočvorni element) Napomena:

Prikaz: Primer verifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa. Generacija je izvedena sa 240 elemenata. Sila je uneta kao koncentrisana. Oslonci su u 12 čvora sa potpunim uklještenjem. Broj stepeni slobode kretanja 2880. Vreme realizacije 90 s. Definicija zadatka: D.Rašković, TABLICE IZ OTPORNOSTI MATERIJALA, Gradjevinska knjiga, Beograd 1968.

SLIKA 9.

Rešenje zadatka: Klasično rešenje: yF lE Ix

=⋅

⋅ ⋅

3

3, Podaci:

• Presek b x h = 50.8 x 76.2 (mm), moment inercije savijanja Ix = 187.304 cm4, • Materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 ⋅ 106 N/cm2, • Sila: F = 981 N = 220.5 lbf, raspon konzole 1016 mm.

Tabela PB 0501: Poredjenje rezultata Ugib ispod vrha konzole y (cm)

Teorija Algor Odstupanje (%) 0.08849 0.08849 0.000

X

Y

Z

220.5

3.484E-23.266E-23.048E-22.83E-22.613E-22.395E-22.177E-21.960E-21.742E-21.524E-21.306E-21.089E-28.709E-36.532E-34.354E-32.177E-3

0.

Output Set: Algor Case 1, Deformed (3.484E-2):Total Translation, Contour: Total Translation

ugib (inch)

Slika 3.07 Verifikacioni primer 1: Konzola


PRIMER-2: Analiza debelozide cevi 3D osmočvornim elementom Primer verifikacije modela debelozide cevi statičkom analizom automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa.

Naziv: PB 0502 - statička analiza debelozide cevi Datum realizacje: 12.10.1997. Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: Spoljašnji pritisak Element tip: TIP-5 (3D, osmočvorni element) Napomena:

Prikaz: Primer verifikacije modela cevi debelog zida, statičkom analizom sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa. Generacija je izvedena sa 900 elemenata. Spoljašnji pritisak je unet kao površinsko opterećenje. Posmatrana je simetrična polovina cevi. Broj stepeni slobode kretanja 5332. Broj čvorova modela 1364. Vreme kompletne realizacije 252 s na PC P5/150 MHz. Vreme odre|ivanja deformacija 12 sCP. Definicija zadatka: D.Rašković, TEORIJA ELASTIČNOSTI, Naučna knjiga, Beograd 1985.

X

Y

Z

V1L1C1

Slika 10. Diskretni geometrijski model primera Rešenje zadatka: Napon u cirkularnom pravcu na unutrašnjem zidu cevi, spoljašnjeg i unutrašnjeg poluprečnika b/a i pritiska pS:

Cσ = − ⋅ ⋅−

22

2 2pb

b aS ,

Podaci: • dimenzije b x a x l = 15.24 x 7.62 x 76.2 (cm) • debljina zida cevi: δ= 7.62 (cm) • materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 ⋅ 106 (N/cm2) • spoljašnji pritisak: pS = 0.68971 (kN/cm2) • Poasson-ov koeficijent ν=0.3

Tabela PB 0502: Poredjenje rezultata

Napon unutrašnjeg zida u cirkularnom pravcu σC (kN/cm2)

Radijalna deformacija unutrašnjeg zida cevi ∆y (cm)

Teorija

Algor

Odstupanje napona

(%)

Algor

-1.83922 -1.844747 0.300 6.102985⋅10-4

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ, PROFESOR DR MIOMIR JOVANOVIĆ

PRIMER 3: Statička analiza ploče 2D konačnim elementom Primer verifikacije modela ploče statičkom analizom sa automatskom generacijom 2D elementa ploče.

Naziv: PB 0601 - statička analiza ploče četvrtastog oblika Datum realizacje: 14.10.1997. Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: Transverzalna sila Element tip: TIP-6 (2D element ploče) Napomena:

Prikaz: Primer verifikacije modela ugiba ploče statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 2D elementa ploče. Generacija je izvedena sa 963 elemenata. Sila je koncentrisana u sredini ploče. Ploča je slobodno poduprta po konturi. Broj stepena slobode kretanja 6036. Broj čvorova modela je 1027. Vreme kompletne realizacije 310 s na PC P5/150 MHz. Definicija zadatka: D.Rašković, TEORIJA ELASTIČNOSTI, Naučna knjiga, Beograd 1985.

X

Y

Z

449.47

V1

L1

C1

Slika 11. Diskretni geometrijski model verifikacionog primera3 Rešenje zadatka: Ugib kvadratne ploče dimenzije axaxh pod dejstvom centralne transverzalne sile:

,)21(12

3hED :Krutost ,D

2aPw :Ugibν−⋅

⋅=

⋅⋅α=

Podaci: • dimenzije a x a x h = 80 x 80 x 0.8 (cm)

• savojna krutost ploče D = 965854.94 (N⋅cm) • materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 ⋅ 106 (N/cm2) • sila: F =2000 (N), Poasson-ov koeficijent ν=0.3

Tabela PB 0601: Poredjenje rezultata

Ugib sredine ploče w (cm) Teorija Algor Odstupanje (%) 0.15373 0.15229 0.925


PRIMER-4: IZVODJENJE DOKAZA O KONVERGENCIJI REŠENJA MODEL: Izotropna, slobodno oslonjena pravougaona ploča, dimenzija a x b, opterećenu poprečnim opterećenjem p(x,y). Poprečno opterećenje je normalna koncentrisana sila P u tački x=ξ i y=η. Diferencijalna jednačina elastične površi tankih ploča, prema teoriji savijanja:

D

)y,x(p4y

W4

2y2x

W42

4x

W4=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ (3.11)

ANALITIČKO REŠENJE: Navier-ovo opšte rešenje ugiba W, pri graničnim uslovima slobodno oslonjene pravougaone ploče, W(x=±a/2, y=±b/2)=0, definisano je 1820. godine [49]. Svodjenjem na oblik koji odgovara maksimalnom ugibu u središtu kvadratne ploče, dobija se izraz:

D

2aP)b

21y ,a

21xmax(

W ⋅⋅α=

== (3.12)

Koeficijent α = 0.0116 za vrednost količnika b / a = 1. D je krutost ploče na savijanje: D = E⋅h3 / 12⋅(1-ν2), gde je h debljina ploče, E modul elastičnosti, a ν Poisson-ov koeficijent.

PRIMER: Proizvoljna, slobodno oslonjena kvadratna ploča dimenzija a=b=800 mm, debljine h=8 mm i E=20600 kN/cm2, pri centralnoj koncentrisanoj sili P=2 kN, ima teorijsko rešenje ugiba W=Wmax= 1.5373 mm. ELEMENTI IZBORA KONAČNOG ELEMENTA PLOČE: Kako je Wmax < h << a, to se u posmatranom slučaju može izabrati za analizu konačni element tipa tanke ploče. Osobina izbora ovog konačnog elementa je da su dominantni naponi izazvani momentima savijanja. Od manjeg uticaja su transverzalne sile, a membranskih napona nema u slučaju slobodno poduprte ploče. U posmatranom slučaju, tanka ploča je dvodimenzioni konačni element. PROCEDURA: Za posmatrani slučaj razvijeno je nekoliko probnih mreža. Dokaz konvergencije, shodno teorijskim uslovima za 2D površinske elemente [49], zahteva formiranje finije mreže, deobom površina elemenata grube mreže u dva koordinatna pravca. Tom podelom nastaje finija diskretna mreža (tabela 3.1, Model-2) sa 4x4 = 16 konačnih elemenata. Dimenzije nastalih elemenata su 200 x 200 x 8 mm. Dobijena geometrija je u granicama elementa tipa ploče, pa se može izvesti i dalja podela finijim elementima dimenzije 100 x 100 x 8 mm. Takva mreža se odlikuje sa 8 x 8 = 64 konačna elementa tanke ploče, tabela 3.1, Model-3. Tabela 3.1

Model - 1

Model - 2

Model - 3

Slika modela:

Broj konačnih elemenata: 4 16 64 Broj čvorova modela: 9 25 81 Broj stepeni slobode kretanja: 44 133 452 Rešenje: Ugib (mm) 1.3673 1.3952 1.4505 Odstupanje od teorijskog ugiba % 11.06 9.24 5.65


Slika 12. Dijagram konvergencije rešenja slobodno oslonjene ploče

RIZIK: Dalje umanjenje veličine elementa pri zadržavanju iste debljine, vodilo bi ka zapreminskim konačnim elementima i smanjilo bi adekvatnost (vernost) funkcija oblika kojima se odlikuju elementi tanke ploče kada su primenjeni na trodimenzionalnom modelu. Slika 12 pokazuje dijagram konvergiranja numeričkog rešenja tačnoj vrednosti. Shodno zahtevu tačnosti, može se odabrati prihvatljiva mreža za rešavanje zadatka. Poredjenje ova tri modela pokazuje da se ugib centra ploče približava tačnoj analitičkoj vrednosti ugiba.

PROCENA GREŠKE PRORAČUNA (Error estimate)

Klasičan postupak dokaza konvergencije je nepraktičan jer zahteva mnogo rada, procesorske resurse i dodatno vreme analize. Zato se često koristi pristup direktne procena greške kojim se vrednuje ispravnost aproksimacija bez dodatnih analiza i sekundarnih modela. Greška je izrazita na mestima visokog stepena promene napona, promene pomeranja, temperature i drugih promena. Ove promene se izražavaju gradijentom napona i deformacija. Odredjivanje procenjene greške, iako ne daje odgovor o apsolutnoj grešci, upućuje na prisustvo kritičnijih oblasti modeliranja. Vektor greške se primenjuje u svrhu prikaza greške modeliranja, kao nosilac podataka o kvalitetu modela i primenjenim aproksimacijama. Vektor greške prikazuje rezultat odstupanja tačnosti proračuna u težištima, na površinama ili u čvorovima konačnih elemenata. Postupak procene greške se zasniva na proceduri formiranja vektora greške koji se analizom dobije. Nakon analize deformacija, proračunava se greška modela, koja se može metodama postprocesiranja prikazati. Softver koristi sledeće metode izražavanja procenjene greške:

Metoda maksimalnih odstupanja, koristi sledeći izraz za odredjivanje greške:

MINVrednostMAXVrednost −=ε , (3.40)

Metoda odstupanja od prosečne vrednosti:

)SREDVrednostMINVrednost,SREDVrednostMAXVrednost(MAX −−=ε , (3.41)

Metoda maksimalnih relativnih odstupanja izražava u procentima grešku:

% 100SREDVrednost

MINVrednostMAXVrednost⋅

−=ε (3.42)

Metoda relativnih odstupanja od prosečnih vrednosti (%): (3.43)

% 100SREDVrednost

)SREDVrednostMINVrednost,SREDVrednostMAXVrednost(MAX⋅

−−=ε

Metoda maksimalnih normalizovanih relativnih odstupanja (%):

%100VektoraMAXVrednost

MINVrednostMAXVrednost⋅

−=ε (3.44)

Broj konacnih elemenata

Ugi

b pl

oce

y (m

m)

C

Tacno resenje y=1.53 mmCMod

el-1

Mod

el-2

Mod

el-3

ε =11.06 %y=1.3673C

y=1.3952C

ε =9.24 %y=1.4505C

ε =5.65 %


Metoda relativnih normalizovanih odstupanja od prosečnih vrednosti (%): (3.45)

% 100VektoraMAXVrednost

)SREDVrednostMINVrednost,SREDVrednostMAXVrednost(MAX⋅

−−=ε

PRIMENA:

• Metoda odstupanja od prosečne vrednosti identifikuje najšire oblast greške izlazne vrednosti. • Metoda maksimalnih relativnih odstupanja koristi se za idetinfikaciju strmog neujednačenog gradijenta kao i

gradijenta vrlo izraženog u jednom pravcu. • Metode maksimalnih relativnih odstupanja od srednje vrednosti identifikuju oblasti ali ne i karakter odstupanja

(male i velike apsolutne vrednosti gradijenta). Korišćenje ovih metoda se zato primenjuje kod zadataka gde je veličina (magnituda) uporedne veličine manje važna od stepena promene veličine kroz kontinum.

• Normalizacijske metode koriste se za bolje vrednovanje ukupne greške uključujući i špiceve izlaznih vrednosti.

Primer 5: CAE/FEA ANALIZA KUKE DIN 15407 ZADATAK: Geometrijska složenost lamelaste kuke, nameće zahtev tačnog odredjivanja napona po celom kontinumu. Za analizu je izabrana proizvoljna kuka iz DIN 15407 standarda, nosivosti 160 tona, visine 2660 mm, sa osam lamela pojedinačne debljine 25 mm, prema slici 4.25. Potrebno je proračunati napone i odrediti procenjenu grešku modela.

MODELIRANJE: Osnova za razvoj modela mreže konačnih elemenata je geometrija lamelaste kuke. Na bazi te geometrije izabrana je osnovna dimenzija 3D osmočvornog konačnog elementa od 40. mm. Programom ALGOR, generisana je mreža konačnih elemenata, tako da se umanjenjem osnovnih dimenzija, može da generiše kontura otvora za zakivke ∅ 31 mm, rasporedjenih na 13 lokacija. Tako je dobijena mreža Modela-1 sa 2660 konačnih elemenata, prikazana na slici 13. Proračun takodje izveden programom ALGOR, dao je rešenja prema tabeli T-4.2. Maksimalni čvorni Von-Mises-ov napon je 13.6552 [kN/cm2]. Proračun maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja pokazao je sliku rezultata prema slici 14. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 30 % na mestu unutrašnje krivine kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke. Poboljšanje kvaliteta tačnosti proračuna:

Slika 13. Mreža lamelaste kuka sa 2660 Slika 14. Slika procenjene greške usled zapreminskih

konačnih elemenata aproksimacija modela sa 2660 elemenata


Na bazi Modela-1, razvijen je Model-2 koji se karakteriše rafiniranijom mrežom od 5723 konačna elementa. Karakteristike ove analize takodje pokazuje tabela T 4-2. Maksimalni čvorni Von-Mises-ov napon je 13.6954 [kN/cm2]. Maksimalno relativno normalizovano odstupanje pokazano je na slici 15. Raspored Von-Mises-ovih napona Modela-2 pokazan je na slici 16. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 20 % na mestu vrata sa otvorom ∅ 300 mm u zoni postavljenih oslonaca kuke. Maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovih napona na unutrašnjoj krivini kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke je smanjeno na 18 %. Umanjenje procenjene greške modela postignuto je finijom mrežom u kritičnim delovima kuke. Ova ocena greške izvedena je prema ekstremnom lokalnom naponu prema kriterijumu maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja. Procenjena greška Von-Mises-ovog napona prema kriterijumu relativnog odstupanja od prosečnih vrednosti Von-Mises-ovih napona, dala je skladno maksimalno odstupanje od samo 5.66 % na osnovu čega se može prihvatiti i tačnost Modela-1. Model-2 ima manje relativno odstupanje (procenjenu grešku) u odnosu na prosečne vrednosti što je očigledno na bazi poredjenja topologije mreža Modela-1 i Modela-2 u kritičnim zonama kontinuuma. Provera komponentnog napona zatezanja unutrašnje krivine horizontalnog preseka kuke, izvršena je analitički prema teoriji krivih štapova. Dobijen je maksimalan komponentni napon (na ivičnoj površini kuke) od σ33 MAX = 13.2470 [kN/cm2].

Slika 15. Slika procenjene greške usled Slika 16. Slika Von-Mises-ovih napona na aproksimacija modela sa 5723 elementa kuki sa 5723 konačna elementa

Tabela 4-2 Model-1 Model-2 Teorijska vrednost Broj elemenata 2660 5723 Broj čvorova 5674 11888 Broj stepeni slobode (SSK) 17006 35618 Maksimalni Von-Mises napon σVM MAX [kN/cm2]

13.6552

13.6954

σ33 MAX = 13.24705

Maksimalna relativna normali-

zovano odstupanje ε [%]

30.

20.

5 Prema teoriji savijanja krivih štapova pravougaonog preseka kuke Bxδ =575.x25., radijusa 205. mm, (Proračun dr Z.Marinković, MFN, 1998. Niš)

Documents

INŽINJERSKA PROCEDURALNOST FEMttl.masfak.ni.ac.rs/CAD/PREDAVANJE-9 2007 INZINJERSKA...modeliranje ovim elementom smanjuje obim algebarskog sistema za rešavanje. Grede su konstruktivni