Inleiding tot de dynamica vanatmosferen

Krachten

P. Termonia

vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.1/35

Inhoud

1. conventies: notatie

2. luchtdeeltjes

3. de krachten die erop inwerken

4. samenvatting

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.2/35

Enkele conventies: notatie

• coördinaten: x, y, z en tijd t

• velden: φ(x, y, z, t)

• vectoren (vectorvelden) zijn vet gedrukt: A

• basisvectoren: i, j,k; A = Ax i + Ay j + Az k

• vectorieel product (cross product)

(A × B)x ≡ AyBz − AzBy (A × B)y ≡ AzBx − AxBz

(A × B)z ≡ AxBy − AyBx

• gradiënt: ∇φ ≡∂φ∂x

i + ∂φ∂y

j + ∂φ∂z

k

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.3/35

Enkele conventies: figuren

• vectoren gericht in het vlak:

• vectoren gericht uit het vlak:

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.4/35

Prognostisch vs. diagnostisch

• prognostische variable A:

∂A

∂t= M(andere variabelen)

waarbij M een ruimtelijke differentiaaloperator, kan gebruikt worden voorvoorspellingen.

• diagnostische variable B: hangt af vanandere variabelen zonder tijdsafgeleiden.Kan niet gebruikt worden voor het maken vanvoorspellingen.

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.5/35

Fysische eenheden

• SI: m, kg, s, K• Afgeleide eenheden in de meteorologie:

frequentie Hertz Hz (s−1)

kracht Newton N (kg m s−1)

druk Pascal Pa (N m−2)

energie Joule J (N m)

vermogen Watt W (J s−1)

• gebruikelijk: 1 hPa = 1 mb = 100 Pa(standaard druk op zeeniveau: 1013.25 mb)

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.6/35

Het atmosferisch continuum

• beweging van de atmosfeer• opdelen in luchtdeeltjes: punten =

luchtdeeltjes• elk luchtdeeltje is zeer klein t.o.v. de schalen

van de fenomenen maar aanzienlijk groterdan moleculaire schaal

• atmosfeer = continu medium ⇒ continuelimiet: velden en differentiaalvergelijkingen

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.7/35

Dynamica

xδ

zδ

δ y

x

y

z

(x,y,z)

• is onderhevig aan

F = m a = mdv

dt

• waarbij v: de wind• welke krachten?

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.8/35

Krachten

• Fundamentele krachten:1. drukgradiënt2. gravitatie3. viscositeit

• niet-fundamentele of schijnkrachten1. centrifugaal kacht2. Corioliskracht

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.9/35

Drukgradiënt

xδ

zδ

δ y

FAxFBx

x

y

zB A(x,y,z)

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.10/35

Drukgradiënt

A : p(x) + 1

2

∂p∂x

δx + · · · ⇒ FAx = −(

p0 + 1

2

∂p∂x

δx)

δyδz

B : p(x) − 1

2

∂p∂x

δx + · · · ⇒ FBx = +(

p0 −1

2

∂p∂x

δx)

δyδz

Fx = FAx + FBxFx

m= −1

ρ∂p∂x

F

m= −1

ρ∇p

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.11/35

Gravitatie

zδ

δ y

xδ Fg

x

y

z

(x,y,z)

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.12/35

Gravitatie

• wet van Newton: Fg = −GMmr2

r

rr ≡ |r|

• planeet (aarde): g∗ =Fg

m= −GM

r2

r

r

• coördinaat: r = a + z, met a straal aarde

g∗ =g∗

0(

1 + za

)2met g∗

0 ≡ g∗(z = 0) = −GM

a2

r

r

• benadering van de ondiepe atmosfeer z a:g∗ = g∗

0

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.13/35

Viscositeit

u0u(l)=u0

u(z)

z=0 u(0)=0

z=l

kracht nodig om de bovenste plaat in bewegingte houden:

F =µAu0

l

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.14/35

Viscositeit

• kracht F is constant doorheen de vloeistof• voor een infinitesimaal stukje δz:

Fδz = µAδu

• de kracht per oppervlakte:

τzx = limδz

µδu

δz= µ

∂u

∂z

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.15/35

Viscositeit

zδ

δ y

xδuA

uB

x

y

z

(x,y,z)

B

A

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.16/35

Viscositeit

• kracht per oppervlakte in A en B:

τBzx =

(

τzx + 1

2δz

∂τzx

∂z

)

δyδz

τAzx =

(

τzx −1

2δz

∂τzx

∂z

)

δyδz

• delen door de massa ρ δxδyδz:

1

ρ

∂τzx

∂z=

1

ρ

∂

∂z

(

µ∂u

∂z

)

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.17/35

Viscositeit

• voor µ = const en ν ≡ µ/ρ, Fv:

Fvx = ν

(

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂x2

)

Fvy = ν

(

∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂x2

)

Fvz = ν

(

∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂x2

)

• ν = 1.46 × 10−5 m2s−1 ⇒ verwaarloosbaar?hangt er van af ...

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.18/35

Centrifugaalkracht

y

xω

y’

x’r

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.19/35

Centrifugaalkracht

• versnelling

r = cos(ωt) i + sin(ωt) j

a ≡d2r

dt2= −ω2 [cos(ωt) i + sin(ωt) j]

= −ω2r

• waarnemer in roterende assenstelsel (x′, y′)ervaart een centrifugale schijnkracht ω2r

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.20/35

Centrifugaalkracht

Ω2R

g*

R

g

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.21/35

Aangepaste gravitatie

• een massa wordt lichter door decentrifugaalkracht

g = g∗ + Ω2R

• Ω: hoeksnelheid aarde• R: plaatsvector vanaf de rotatie as tot de

positie van de massa• afplatting van de aarde ⇒ g is staat overal

loodrecht op het aardoppervlak.

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.22/35

Geopotentiaal

• gravitatiekracht kan uitgedrukt worden intermen van een potentiaal

∇Φ = −g

• g = −g k ⇒ Φ = Φ(z) en dus heeft debetekenis van arbeid om een deeltje metmassa 1 naar hoogte z te brengen:

dΦ

dz= g ⇒ Φ =

∫ z

0

g dz

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.23/35

Assenstelsel

Ω

λφ

i

j

r

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.24/35

Assenstelsel

• basisvector k staat loodrecht opaardoppervlak

• snelheid:

u = a cos φdλ

dt

v = adφ

dt

w =dz

dt

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.25/35

Coriolis: beweging langs breedtegraad

u

Ω

φ

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.26/35

Coriolis op deeltje met snelheid u

• deeltje dat beweegt langsheen breedtegraadmet snelheid u

(

Ω +u

R

)2

R = Ω2R +2ΩuR

R+

u2R

R2

• |u| ΩR ⇒ u2R

R2 verwaarloosbaar

• 2ΩuR/R is de Coriolis kracht

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.27/35

Coriolis op deeltje met snelheid u

2ΩuR R/2Ωucosφ

2Ωusinφ

R

φ

Ω

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.28/35

Coriolis op deeltje met snelheid u

• meridionale componente:(

dvdt

)

Co= −2Ωu sin φ

• verticale componente:(

dwdt

)

Co= 2Ωu cos φ

• loodrechte afbuiging naar rechts• verandering van het gewicht: zéér klein

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.29/35

Coriolis op deeltje met snelheid v

Ω

φ v

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.30/35

Coriolis op deeltje met snelheid v

• v ⇒ δφ

• behoud impulsmoment door toename u ⇒ δu:

ΩR2 =

(

Ω +δu

R + δR

)

(R + δR)2

• eerste benadering: δu = −2ΩδR

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.31/35

Coriolis op deeltje met snelheid v

δysinφδR=−

δy−φ

Ω

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.32/35

Coriolis op deeltje met snelheid w

δz

φδR=δzcos

φ

Ω

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.33/35

Coriolis: du/dt

• horizontale verandering in snelheid t.g.v. v:

δy ≡ a δφ

δu = −2 Ω δR = 2 Ω a δ φ sin φ

• verticale verandering in snelheid t.g.v. w:

δu = −2 Ω δ z cos φ

•(

dudt

)

Co= 2 Ω v sin φ − 2 Ω w cos φ

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.34/35

Samenvatting

• Fundamentele krachten:1. drukgradiënt: −1

ρ∇P

2. gravitatie: g∗

3. viscositeit: Fv verwaarloosbaar, zie later• niet-fundamentele of schijnkrachten

1. centrifugaal kacht g = g∗ + Ω2R

2. Corioliskracht“

dudt

”

Co

= 2 Ω v sin φ − 2Ω w cos φ“

dvdt

”

Co

= −2Ωu sin φ

“

dwdt

”

Co

= 2Ωu cos φ

Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.35/35