İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ YAPI MEKANİĞİbirimler.dpu.edu.tr/app/views/panel/ckfinder/userfiles/75/files/... · değiştirmelerin hesabıdır. Bu ve bu gibi konularla

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ

YAPI MEKANİĞİ

İnşaat mühendisliği anabilim dalları:

Geoteknik anabilim dalı

Hidrolik anabilim dalı

Mekanik anabilim dalı

Ulaştırma anabilim dalı

Yapı anabilim dalı

Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleyen

bir bilim dalıdır. Fiziksel olayları incelediği için mekanik bilimi fiziğin bir bir dalı olup incelediği

cismin özelliklerine göre 4 dala ayrılabilir. Bunlar;

1) Rijit cisim mekaniği

2) Doğal katı cisimler mekaniği

3) Akışkanlar mekaniği

dir. Mekaniğin yukarıda verilen her üç dalı da statik ve dinamik olmak üzere iki alt bölüme

ayrılabilir.

1) Rijit (Şekil Değiştirmeyen) Cisimler Mekaniği: Rijit cisim mekaniği, üzerine uygulanan

yükler etkisi altında şeklini hiç değiştirmeyen ideal cisimlerin mekanik davranışlarını

inceler.

a) Statik: Dengede bulunan sistemlerle ilgilenir.

b) Dinamik: Hareket halindeki sistemlerle ilgilenir.

b.1) Kinematik: Hareketleri meydana getiren sebepleri hesaba katmaksızın yer

değiştirme, hız, ivme ve zaman arasındaki bağıntıyı kurar. Hareketin geometrisini

inceler (örneğin nehirde giden geminin yolunun belirtilmesi).

b.2) Kinetik: Harekete neden olan tesirleri inceler. (belirli kuvvetleri etkisi altında

bir cismin hareketi veya hareket belli ise cisme etki eden kuvvetlerin bulunması

gibi.)

2) Şekil Değiştiren Cisimler Mekaniği (Mukavemet): Rijit cisim mekaniği, birçok

probleme çözüm getirememesi nedeniyle cisimlerin mukavemetine gereksinim

duyulmaktadır. Rijit cisim mekaniğinin cevap veremediği en önemli iki problemden

birisi; cismin mukavemetini nasıl kaybedeceği ikincisi ise cismin yapacağı şekil

değiştirmelerin hesabıdır. Bu ve bu gibi konularla ilgili problemlere cisimlerin

mukavemeti ile cevap verilmeye çalışılmaktadır.

3) Akışkanlar mekaniği:

a) Sıkıştırılabilen Akışkanlar Mekaniği (GAZLAR)

b) Sıkıştırılamayan Akışkanlar Mekaniği (SIVILAR)

Birçok mühendislik dallarında okutulan mühendislik mekaniği; inşaat mühendisliği, makine

mühendisliği, gemi mühendisliği, uçak mühendisliği dallarında ayrı bir öneme sahiptir.

İMG Mekanik Sunum Hafta 1 1/14

A) Geometrilerine Göre Katı Cisimler: Cisimleri uzayda bir, iki ya da üç boyutlu diye

sınıflandırmak oldukça genel bir yaklaşımdır. Bunun yerine, katı cisimler dayanım hesabında

kullanılan kuramlara göre sınıflandırılırsa, karşılaşılacak üç grup şu şekilde oluşur:

Çubuklar, kablolar

Plak, levha ve kabuklar

Diğer cisimler

Çubuklar ve Kablolar: Boyutlardan biri, diğer ikisinin yanında çok büyük olan cisimlerdir. Şekil

1 de görüldüğü gibi genişliği b, yüksekliği h olan dikdörtgen kesitli, L boyunda bir çubuk

düşünelim. Çubuk enkesitini veren b ve h her zaman L den bir mertebe küçüktür. Yani çubuklar

ince ve uzun cisimlerdir. Eğer kesit daire olsa idi, kesit çapı d, L den bir mertebe küçük olacaktı.

Burada mertebeden anlaşılması gereken; eğer L nin boyutu [m] cinsinden anlamlı bir sayı ise,

kesit boyutları b, h ya da d için boyutlar [cm] cinsinden anlamlı bir sayı olmalıdır. Orneğin; L =

3m, b = 20cm gibi. Çubuklar uzayda herhangi bir eğri olabilirler. Bunu belirlerken kullanılan iki

büyüklük, çubuk enkesiti ve çubuk ekseni olup, aralarında önemli bir ilişki, çubuk ekseninin

enkesitin ağırlık merkezinden geçmesidir.

Şekil 1 Şekil 2

Çubuklar kendi içlerinde eksen geometrisine bağlı olarakta;

Doğru eksenli çubuklar

Eğri eksenli çubuklar

olarak ikiye ayrılırlar (bkz Şekil 2). Çubuklar idealize edilirken (modellenirken) gerçek üç

boyutlu eleman yerine sadece çubuk ekseni çizilir (bkz Şekil 3).


Şekil 3

Ayrıca kesitlerine bağlı olarak çubuklar;

Sabit kesitli çubuklar

Değişken kesitli çubuklar

diye de sınıflandırılabilirler. Çubuk kesit alanı çubuk ekseni boyunca sabit olabileceği gibi,

yavaşça ya da ani olarak da değişebilir (bkz Şekil 4). Doğru eksenli, sabit kesitli çubuklar aynı

zamanda prizmatik çubuklar olarak da adlandırılırlar. Kablolar çekmeye çalışan, esnekliği fazla

olan tek boyutu taşıyıcı elemanlardır (bkz Şekil 2).

Şekil 4


Plak, Levha ve Kabuklar: Bunlar aynı zamanda yüzeysel taşıyıcılar olarak da bilinirler.

Kalınlıkları, diğer iki boyutunun yanında bir mertebe küçüktür. Plak ve levha düzlemsel olup,

kabuklarda eğrilikler vardır. Plak ve levha geometrik olarak aynı olup, tek farkları levhanın

kendi ortalama düzlemi içinde yüklenmesi, plağın ise kendi ortalama düzlemine dik

doğrultuda yük taşımasıdır (bkz Şekil 5). Kabuklar ise, silindirik, küresel, konik, hiperbolik ‐

paraboloit, v.s. olabilir.

Diğer Cisimler: Bunların üçüncü boyutu da önemli olup, kısaca üç boyutlu katı cisimler diye

adlandırılırlar. Çözüm için elastisite kuramından yararlanılır.

Şekil 5


B) Statikte Temel Kavramlar:

Statik; kuvvetler etkisi altındaki katı (rijit) cisimlerin denge koşullarını inceleyen bir bilim

dalıdır. Rijit cisim mekaniğinde cismin dış kuvvetler etkisinde yeterli dayanıma sahip olup

olmadığı araştırılmaz.

Rijit Cisim: Dış yükler etkisi altındaki her cisim belli bir ölçüde şeklini değiştirir. Genel olarak

bu şekil değiştirmeler çok küçük olup cismin denge durumunda önemli bir değişiklik

yapmazlar. Rijit cisim kavramı ideal bir kavram olup, rijit cisimlerin dış yükler etkisi altında hiç

şekil değiştirmediği kabul edilir (bkz Şekil 6).

Şekil 6

Şekil 6 da rijit cisim ve şekil değiştiren cisim yan yana görülmektedir. Her iki cismin de birer

ucu duvarın içine sokularak cisimler taşıyıcı hale getirilmiştir. Boşta kalan diğer uçlarına bir P

yükü etki etmektedir. Şekil 6 a da görülen rijit cisim, yüke rağmen şeklini hiç değiştirmez. Şekil

6 b de görülen şekil değiştiren cisim, kuvvetin etkidiği noktada bir miktar çöker ve cisim

doğrusal konumunu bırakarak eğri eksenli bir çubuk haline gelir.

Özellikle şekil değiştiren cisimler mekaniğinde sık sık karşılaşılan, üç ideal kavram daha vardır.

Bunlar tam elastik cisim, tam plastik cisim ve elastoplastik cisim kavramlarıdır. Tam elastik

cisim üzerine etkiyen yükler etkisi altında şeklini değiştirir, ancak yükler kaldırıldığında ilk

haline geri döner. Tam Plastik cisim yükler etkisi altında şeklini değiştirir, yükler kaldırılsa dahi

bu şekil değiştirmeler geri dönmez. Elastoplastik cisim de yükler etkisi altında şeklini değiştirir,

yükler kaldırıldığında ise bu şekil değiştirmelerin bir kısmı geri döner, bir kısmı ise kalıcı olur.

Kuvvet: Kuvvet, üzerine uygulandığı cismin durumunu değiştirmeye çalışan bir etki olarak

tanımlanabilir. Yani kuvvet, hareket halindeki bir cismin hızını değiştirir, durmakta olan bir

cismi ise harekete geçirebilir. Kuvvet vektörel bir büyüklük olup, tam olarak belli olabilmesi

için;

a) Şiddetinin

b) Uygulama noktasının

c) Doğrultusunun, yani etki çizgisinin ve yönünün bilinmesi gerekir (bkz Şekil 7).


Etki çizgisi (Tesir çizgisi), kuvvetin tatbik noktasından geçen, kuvvetin üzerinde bulunduğu

sonsuz uzunluktaki çizgidir (bkz Şekil 7). Kuvvetin yönü ise bir ok ile gösterilir. Hem şiddeti

hem de doğrultusu olan büyüklükler vektöre büyüklükler olarak adlandırılır ve grafik olarak

vektörlerle gösterilirler.

Şekil 7

Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti: Bir F kuvvetinin bir O noktasına göre momenti, bir

vektörel büyüklük olup,

M r F

şeklinde tanımlanır. Burada r, O noktasını F

kuvvetinin etki çizgisi üzerindeki herhangi bir

noktaya bağlayan bir vektör olup, yer vektörü adını alır (bkz Şekil 8). Moment, kuvvetin etki

çizgisi üzerinde seçilen noktadan bağımsızdır.

Şekil 8

2 1 1 1

0

AB ABr F r r F r F r F r F


C) Statiğin prensipleri:

Kuvvetler paralelkenarı prensibi: Bir cismin A noktasına 1F

ve 2F

kuvvetleri etki ediyorsa,

bunların etkisi, bu kuvvetler üzerine kurulan paralelkenarın köşegeni olan R kuvetinin

etkisine eşdeğerdir. Yani cismin A noktasına etki eden 1F

ve 2F

kuvvetleri kaldırılıp, bunların

yerine cisim üzerine aynı etkiyi yapacak olan R kuvveti yerleştirilebilir. Bunun tersi de

doğrudur, cismin A noktasına etki eden R kuvveti kadırılıp bu noktaya 1F

ve 2F

kuvvetleri

yerleştirilebilir (bkz Şekil 9). 1F

ve 2F

kuvvetlerine R kuvvetinin bileşenleri, R

kuvvetine de

1F

ve 2F

kuvvetlerinin bileşkesi adı verilir.

Şekil 9

Kuvvetlerin dengesi prensibi: İki kuvvetin dengede olabilmesi için; bu kuvvetlerin etki çizgileri

ortak, yönleri ters ve şiddetleri eşit olmalıdır (bkz Şekil 10).

Şekil 10

Ekleme‐Çıkarma prensibi: Bir kuvvetler sistemine denge halinde olan iki kuvvet eklenebilir ya

da kuvvetler sisteminin içerisinden denge halinde olan iki kuvvet çıkartılabilir. Bu prensip

yardımıyla statikte kuvvetlerin etki çizgileri üzerinde kaydırılabileceğini gösterebiliriz. Şekil 11

a da bir cisim ve üzerine etki eden kuvvet sistemi gösterilmiştir. Bu şekilde A noktasına etki

eden F kuvveti, Ekleme‐Çıkarma prensibi yardımıyla B noktasına kaydırılabilir. Dengede olan

bir kuvvet sistemi (Yeşil renkli kuvvetler), şekil 11 b de görüldüğü gibi, ekleme‐çıkarma

prensibine göre şekil 11 a daki sisteme eklenmiştir. Şekil 11 b de cismin A noktasına etki eden

kuvvetler (bu kuvvetler de denge halindedir) yine ekleme‐çıkarma prensibi gereğince


kaldırılabilir ve şekil 12 de görülen kuvvet sistemi elde edilir. Yani cismin A noktasına etki eden

kırmızı renkli kuvvet kayarak cismin B noktasına gelmiştir (yeşil renkli kuvvet).

Şekil 11

Şekil 12

Kuvvetlerin kaydırılması prensibi sadece statik biliminde geçerli bir prensiptir. Mesela bir

çubuğun çekme ya da basınç etkisi altında olması çubuğun mukavemeti açısından çok farklı

durumlardır. Şekil 13 a da görülen çubuk basınç etkisi altındadır, bu çubuğun uçlarına etkiyen

kuvvetlerin kaydırılması ile şekil 13 b de görülen çekme çubuğu elde edilir.

Şekil 13

Etki‐Tepki prensibi: Birbirine değen iki cisim birbiri üzerine etki çizgileri ortak, yönleri ters,

şiddetleri eşit kuvvetler uygularlar. Eğer iki cisim arasında sürtünme yoksa, etki‐tepki

kuvvetlerinin tesir çizgisi değme yüzeyine (ortak teğet düzleme) diktir (Şekil 14 a). Cisimler


arasında sürtünme var ise, etki‐tepki kuvvetlerinin tesir çizgisi (Etki ve tepki kuvvetlerinin

üzerinde bulunduğu çizgi) ile değme yüzeyi (ortak teğet düzlem) arasında bir β açısı, etki‐tepki

kuvvetlerinin tesir çizgisi ile değme yüzeyinin normali arasında bir ϕ açısı vardır (Şekil 14 b).

Şekil 15 de sürtünmesiz ve sürtünmeli hallerde cisimlerin birbirleri üzerine uyguladığı

kuvvetler gösterilmiştir. Mavi renkli cismin yeşil renkli cisim üzerine uyguladığı kuvvet mavi

renkli, yeşil renkli cismin mavi renkli cisim üzerine uyguladığı kuvvet yeşil renkli olarak

gösterilmiştir.

Şekil 14

Şekil 15

D) Statik denge, serbest cisim diyagramı, mesnet çeşitleri:

Statik denge: Başlangıçta hareket etmeyen (sabit duran) bir yapı; eğer kuvvet ve/veya

momentlerden oluşan bir kuvvet sistemi etki ettiğinde hala hareket etmiyorsa bu yapı sistemi

statik dengededir denir. Eğer bir yapı sistemi dengedeyse; bu yapı sistemini oluşturan parçalar

ve elemanlar da dengededir.

Üç boyutlu bir sistemin dengede olabilmesi için sağlanması gereken şartlar (bkz Şekil 16 a).:


düzlem bir sistemin (x‐y düzleminde) dengede olabilmesi için sağlanması gereken şartlar ise

(bkz Şekil 16 b).:

Şekil 16

Serbest Cisim Diyagramı (SCD): Mühendisin ele aldığı bir fizik olayı gözünde kolayca

canlandırabilmesi ve çözebilmesi için önündeki kağıda aktardığı şekle serbest cisimd iyagramı

denir. Serbest cisim diyagramının çizilmesi, cismin üzerindeki kuvvetlerin, cisme uygulanan

momentlerin ve hareket denkleminin belirlenmesine yardım ederek, problemin statik ve

dinamik olarak analiz edilmesini sağlar. Gerçek bir fizik probleminde hesaplarda gerekmeyen

bir çok gereksiz detay vardır. Aşağıdaki kren sisteminde (Şekil 17) ilk bakışta biraz karışık gibi

duran olay bir maddesel noktanın dengesine indirgenebilir. O noktasına dikkatimizi

yoğunlaştıralım. Eğer mevcut konumda O noktası dengede ise SCD (b) şıkkındaki gibi çizilir.

Şekil 17

(a) (b)


Mesnet Çeşitleri: Eğer dış kuvvetlerin etkisi altında dengede duran bir cisimden

bahsediliyorsa, cismin hareket edemeyeceği bir biçimde çeĢitli bağlar yardımıyla çevresine

tutturulmuş olması gerekir. Bu bağlar içinde; ötelenme serbestliği olanlarına genelde kayıcı ve

dönme serbestliği olanların hepsine de mafsallı denir. Birbiriyle bağlantılı iki cisimden biri

sabitse, diğerinin ona bağlandığı yere mesnet adı da verilir. Anlam bakımından mesnet

dayanılan yada tutturulan yer demektir.

Düzlem sistemlerde bulunan mesnet türleri Şekil 18 de gösterilmiştir.

Şekil 18

Bunlar içerisinde yapılarda en sık karşılaşılan mesnet çeşitleri kayıcı, sabit, ankastre masfal ve

ara mafsaldır.


ankastre mesnet

Kayıcı mafsal

Sabit mafsal

Sabit mafsallar

Çelik kafes köprüde kayıcı mafsal


Şekil 19

Örnek Problem 1: Şekil 20 de verilen basit kirişte mesnet reaksiyonlarını bulunuz.

Şekil 20

Kirişin serbest cisim diyagramı (SCD) Şekil 21 de verilmiştir.

A mesneti Şekil 18 de verilen düzlem mesnet türlerinden sabit mafsal a uymaktadır. Bu

nedenle tablonun sondan üçüncü kolonunda verilen bağ kuvvetleri olarak yatayda ve

düşeydeki mesnet reaksiyonlarını kirişe etkitmektedir. B mesneti ise kayıcı mafsaldır ve

Kafes kirişte ara mafsallar


sadece düşey mesnet reaksiyonu kirişe etkimektedir. Cismin dengede olabilmesi için

sağlaması gereken gerek ve yeter şartlar

dır. zM momenti düzlemde herhangi bir noktaya göre alınabilir (kirişin üzerinde olmasına

gerek yok). Ancak işlem hacmini azaltacağı için A noktasına göre moment alınmıştır (bu

durumda ,x yA A mesnet reaksiyonlarının yer vektörleri 0 vektörü olacaktır ve momente

katkısı olmayacaktır. Bu nedenle hesaplarda gösterilmemiştir).

0

0

0

45 2 30 sin30 40 25

6

0 45 30 sin30 25 35

0 30 cos30 26

A yz

y y

x x

M B kN

F A kN

F A kN

Eğer vektörlerin doğrultularının nasıl olacağına karar verilemiyorsa (özellikle moment

denkleminde ilk başlarda olabilmekte) bu durumda birim vektörler kullanılabilir. Kartezyen

eksen takımımızı A noktasına yerleştirelim (buna göre x ekseni A noktasından sağa doğru

pozitif yönü olacak biçimde yatay ekseni oluşturmakta, y ekseni ise A noktasından yukarıya

doğru pozitif yönü olacak biçimde düşey ekseni oluşturacak).

0

0

0 45 30 0

6 2 45 4 ( 30 cos30 30 sin30 ) 0

6 90 60 25

0 45 30 sin30 25 0

35

0 30 cos30 0

A AB y AC ADz

y

y y

y y

y

x x

x

M r B r r

i B j i j i i j

B k k k B k kNm

F A k k k k

A k kN

F A i i

A

26i kN

Elde edilen değerler pozitif olduğundan SCD çiziminde varsayılan yönler doğrudur (eğer eksi

değer bulsaydık SCD diyagramında seçilen yönün tersinde kuvvet etkiyecekti) .


İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ

YAPI MEKANİĞİ HAFTA 2

NOT: Bu haftaki tüm anlatım çubuk elemanlar düşünülerek hazırlanmıştır.

A. Mukavemetin tanımı, ilgilendiği konular, ilgili bilim dalları ve bazı tanımlar

Mukavemet: Mühendislik öğretiminin temel mühendislik derslerinden biri olan cisimlerin

mukavemeti veya kısa adı ile mukavemet mekaniğin şeklini değiştiren cisimler ile uğraşan bir

bölümüdür. Mukavemet dersinin ana konusu; makina ve yapı tasarımlarındaki boyutlandırma

ve boyut kontrolü problemlerinin çözümüdür. Bu problemlere cevap verilirken çok kez aynı

zamanda da sistemin şekil değiştirmelerinin belirli sınırlar içinde kalması ve dengenin de

kararlı olması (stabilite) istenir. Bunlara ek olarak, mukavemet dersi öğrencileri bazı meslek

derslerine de hazırlar (Yapı Statiği I ve II, Betonarme, Çelik Yapılar gibi).

İlgilendiği Konular: Boyutlandırma problemi; tasarlanan sistemin boyutlarının

belirlenmesidir. Çoğu kez tasarlanan sistemin bazı boyutları gereksinim veya mimari

nedenlerle önceden belirlidir. Diğer boyutların belirlenmesi istenir. Örneğin bir oda

döşemesinin iki boyutu mimari nedenlerle önceden bellidir ve döşeme kalınlığı istenir. Boyut

kontrolü probleminde ise sistemin boyutları belli olup sistemin verilen yükü verilen belirli bir

güvenlik ile taşıması, şekil değiştirmelerin belirli sınırlar içerisinde kalması ve dengenin de

kararlı olması istenir. Boyut kontrolü ve boyutlandırma birbirlerine çok benzeyen iki problem

olmasına karşın dengenin kararlılığı çok farklı karakterde bir problemdir.

Mukavemeti ile ilgili diğer bilim dalları: Mukavemet ile ilgili bilim dallarının başında rijit cisim

mekaniği gelir. Rijit cisim mekaniğinden, cismin özellikleri ile ilgili olmayan bilgiler alınır,

örneğin denge denklemleri gibi. Cisimlerin şekil değiştirmesi ve kırılması ile ilgili özelliklerinin

incelendiği malzemelerin mekanik özelliklerinin bilinmesi gerekir. Bu nedenle mukavemet

malzeme bilim dalı ile de ilgilidir. Elastisite ve plastisite teorisi de mukavemetin ilgilendiği

konular ile ilgilenir yalnız kullandığı matematik yöntemlerde daha kesinlik vardır. Buna karşın

sonuçların elde edilmesi daha uzundur ve ileri düzeyde matematik bilgisi gerektirir. Önemli

uygulamalarda veya mukavemetin cevap veremediği problemlerde elastisite, plastisite teorisi

kullanılır.

Homojen, izotrop ve anizotrop cisim: Mekanik özellikleri noktadan noktaya değişmeyen (tüm

noktalarda aynı olan) cisimlere homojen cisim denir. Mekanik özellikleri bütün doğrultularda

aynı olan cisimlere izotrop cisim denir (mesela çelik). Bu kavram, kuramda büyük

basitleştirmelere sebep olsa da bazı durumlarda gerçeği tam olarak yansıtmaz. Örneğin Şekil

1 deki betonarme çubukta beton ve çelik birlikte kullanıldığından, ikisini birlikte ifade edecek

malzeme homojen ve izotrop olamayacağından, bu gibi durumlarda fizik problemi daha iyi

açıklayacak başka ideal modeller düşünülür. Mekanik özellikleri doğrultuya göre farklılık

gösteren cisimlere ise anizotrop cisim adı verilir (mesela ahşap, bkz Şekil 2).

Cismin mukavemetini kaybetmesi: Bir cisim mukavemetini yalnız kırılma ile kaybetmez;

başka şekillerde de kaybedebilir. Fazla sehim yapmış kiriş, aşınmış mil, bel vermiş bir kolon,

paslanmış bir eleman, mühendislik bakımından artık mukavemetini kaybetmiştir. Bir cismin

mukavemetini kaybetme şekilleri beş ana grup altında toplanır.


Şekil 1 Şekil 2

a) Kırılma: Cismin üzerinde yeni yüzeyler oluşarak cismin iki veya daha fazla parçaya

ayrılmasıdır. Kırılma çeşitli şekillerde olabilir (bkz Şekil 3a).

b) Aşırı şekil değiştirme: Aşırı şekil değiştirme sonucunda bazı aletler düzgün veya hiç

çalışmazlar. Binalarda ise aşırı şekil değiştirmeden dolayı sıvalar çatlar, cam, çerçeve kırılır,

çatlaklar oluşur. Aşırı şekil değiştirme sonunda elemanlara ön görülmeyen kuvvetler etkir ve

sistem işlevini yapamaz. Bu nedenler ile cismin şekil değiştirmelerine bir sınır konulur. Bu sınır

aşıldığında cisim mukavemetini kaybeder (bkz Şekil 3b).

c) Burkulma: Burkulan cisim tasarlanan denge konumundan başka denge konumuna geçer

(stabilite). Örneğin; kolonların burkularak eğri eksenli çubuk haline geçmesi gibi. Bu durumda

sistem göçmese bile mukavemetini kaybetmiş kabul edilir (bkz Şekil 3c).

d) Aşınma: Bir katı cismin yüzeyinin başka bir cisme sürtünerek aşınmasıdır. Aşınma ile cismin

boyutları değişeceği için cisimler işlevlerini düzgün yapamaz. Bu nedenle belirli bir miktardan

sonra aşınmaya müsaade edilmez. Aşınma geniş ölçüde temas yüzeylerinin karakterine

dolayısıyla sürtünmeye bağlıdır. Cismin bir akışkan tarafından aşındırılmasına erozyon adı

verilir. İçinde sert parçacıklar bulunan bir akışkanın yaptığı aşındırma etkisi erozyona bir

örnektir. Erozyon için en belirgin örnek yeryüzündeki kara parçalarının sular ve rüzgarlar

tarafından aşındırılmasıdır.

e) Korozyon: Cisimlerin kimyasal etkiler ile yıpranmasıdır. Cisimler, kendisini korozyana

uğratacak dış şartlar altında sürekli bulunuyor ise zaman içinde dayanma sınırları düşer.

Paslanma gibi (bkz Şekil 3d).

a

b


Şekil 3

B. Mukavemette kullanılan temel ilkeler

Katılaşma ilkesi: Bu ilkeye göre; bir cisim şekil değiştirmesini tamamladıktan sonra rijit cisim

olarak göz önüne alınıp denge denklemleri yazılabilir. Bu ilke yardımıyla rijit cisim mekaniği ile

şeklini değiştiren cisimler mekaniği arasında köprü kurularak rijit cisim mekaniğinin denge

denklemleri kullanılır.

Ayırma ilkesi: Bu ilkeye göre; bir cisim düşünsel olarak daha küçük parçalara ayrılıp her parça

yeni bir cisim gibi göz önüne alınır. Gerçekten ikiye ayrılmış cisimler için bu ilke aşikardır.

Ayırma ilkesine kesit ilkesi adı da verilir. Ayırma ilkesi yardımıyla iç kuvvet kavramı tanımlanır.

Bu ilke rijit cisim mekaniğinde, örneğin kafes kirişlerdeki çubukların kesim yöntemi ile

hesaplanmasında kullanıldı. İlke ayrıca cismin sürekli bir ortam olduğunu belirtir (bkz Şekil 4).

Saint‐Venan ilkesi: Bu ilkeye göre; elastik bir cismin belirli bir bölgesine etkiyen dış kuvvetlerin

static eşdeğerleri alındığında bu bölgeden yeter uzaklıkta bulunan noktalarda gerilmeler ile

yer ve şekil değiştirmeler yaklaşık olarak değişmezler (bkz Şekil 5). Serbest uçtaki çökmeler

c d

Şekil 4


Şekil 5

1 2 ile kesit dönmeleri 1 2 olsa da, ankastre mesnede yaklaşıldıkça, her iki yükleme

sonucu çubuk ekseninde oluşacak çökmeler ve kesit dönmeleri birbirlerine oldukça yakın

değerler alır. Yalnız bu durum sadece c L (yani c değerinin L değerine göre çok küçük

olması) koşulu altında ve eşdeğer yüklemeden yeteri kadar uzakta kalındığı durumlarda

geçerlidir.

Birinci mertebe teorisi: Yer ve şekil değiştirmeler küçük olduğunda, cisimlerin şekil değiştirmiş

hali ile şekil değiştirmemiş hali arasındaki fark çok küçüktür. Bu nedenle denge denklemleri

şekil değiştirmemiş cisim üzerinde yazılabilir. Bu şekilde yapılan hesaplara birinci mertebe

teorisi adı verilir. Şekil 6'da görülen ankastre kirişte mesnet momenti hesaplanırken 1L

uzunluğu yerine L uzunluğu alınarak momentin PL olarak hesaplanması birinci mertebe

teorisine bir örnektir.

Şekil 6

Yer değiştirmelerin büyük olduğu sistemlerde; örneğin yüksek binalar, asma köprüler ve

stabilite problemlerinde birinci mertebe teorisi uygun sonuç vermez. Bu durumda yer

değiştirmeler küçük kabul edilmeyip denge denklemlerini şekil değiştirmiş cisim üzerinde

yazmak gerekir. Bu hesap şekline ikinci mertebe teorisi adı verilir ki yer değiştirmeler baştan

bilinmediğinden hesaplar daha uzundur.

C. Gerilme

Dış etkilere direnen cisimde iç dirençler oluşur. Bunların birim alana yayılı şiddetlerine gerilme

denir. Cisimde gerilme durumu bir, iki ya da üç eksenli olabilir. Gerilme iki ana gruba ayrılır;

Normal gerilme

Kayma gerilmesi


Gerilmenin tanımı birim alana etkiyen kuvvettir. Yani Kuvvet

GerilmeAlan

. Bir noktaya baskı ya

da çekme uygulayan etkilerin neden olduğu iç kuvvetlere normal gerilme, bir düzlemi

kaydırmaya zorlayan iç kuvvetlere kayma gerilmesi denir. Genellikle birlikte ortaya çıkan bu

iki gerilme durumu ender olarak tek başına gelişir.

Çubuk Enkesiti: Çubuk eksenine dik doğrultuda kesim yapılarak elde edilen kesite çubuk

enkesiti denir (bkz Şekil 7a).

Şekil 7

Normal Gerilme: Yüzeye dik gelen (yüzey normali doğrultusundaki) gerilme bileşenine normal

gerilme denir (bkz Şekil 7b). Normal gerilme simgesi ile gösterilir. İki gruba ayrılır; çekme

normal gerilmesi (bkz Şekil 8) ve basınç normal gerilmesi (bkz Şekil 9).

Şekil 8

Şekil 9

a) b)


Gerilme dağılımı homojen (yani her noktada aynı, Şekil 8 deki gibi) olabileceği gibi gerilmenin

şiddeti noktadan noktaya değişebilir (Şekil 9 daki gibi). Homojen gerilme durumunda gerilme

P

A (1)

formülü ile hesaplanır.

Örnek 1: Şekil 8a da verilen prizmatik çubuğun enkesiti Şekil 10 da gösterilmiştir. Çubuk

30P kN luk çekme kuvveti altındaysa ve enkesit boyutları 0.2 m, 0.5mb h olduğuna

göre çubuk enkesitinde oluşacak olan homojen normal gerilmenin değerini hesaplayınız.

Çubuk enkesit alanı: 20.2 0.5 0.1 mF b h

Etkiyen kuvvet: 30 kNP

Normal gerilme: 230300 kN/m

0.1

P

A

Şekil 10

Kayma Gerilmesi: Bir yüzeyin teğet düzlemi içerisinde bulunan gerilme bileşenine kayma

gerilmesi denir (bkz Şekil 7b). Kayma gerilmesi simgesi ile gösterilir. Kayma gerilmeleri

gerektiğinde bulundukları düzlemde iki bileşene ayrılırlar (bkz Şekil 11). Kayma gerilmesi iki

alt indis kullanılarak ifade edilir. Birincisi yüzeyin normalini, ikincisi ise gerilmenin

doğrultusunu belirtir. Mesela Şekil 11 de zx gerilmesinin bulunduğu yüzey, düzlem bir

yüzeydir ve normali z doğrultusundadır, gerilmenin doğrultusu ise x ekseni doğrultusundadır.

Şekil 11

Kayma gerilmelerine Şekil 12a da verilen bulonlu birleşim örnek olarak verilebilir. Bu birleşim

dikdörtgen enkesitli düz bir çubuk (A), kenetlenme demiri (C) ile A ve C ile gösterilen

parçalarda açılan deliklerden geçerek bu iki parçayı birbirine bağlayan bulondan (B)

oluşmaktadır. Bu sisteme örnek olarak Şekil 12f de verilen kabloların birleşim noktası

gösterilebilir. Birleşimin şematik gösterimi Şekil 12b de verilmiştir. Bulonun serbest cisim

diyagramı Şekil 12c de çizilmiştir. Birleşime P çekme kuvveti uygulandığında düz çubuk ve

kenetlenme demiri bulona temas yüzylerinden basınç gerilmesi uygulayacaklardır. Şekil 12c


de 1 ve 3 ile numaralandırılan basınç gerilmeleri kenetlenme demirinin bulona uyguladıkları,

2 ile gösterilen ise düz çubuğun bulona uyguladığı basınç gerilmesidir. Şekil 12c incelendiğinde

bulonun mn ve pq enkesitlerinde kesilme (makaslama) eğiliminde olduğu görülür. Şekil 12d

de bulonun mnpq kısmının serbest cisim diyagramı verilmiştir. Burada bulonun ,mn pq

kesim yüzeylerine etkiyen kesme kuvvetleri V gösterilmektedir. V kesme kuvveti Şekil 12e

de gösterilen mn ve pq enkesitlerinde bulunan kayma gerilmelerinin bileşkesidir. Kayma

gerilmeleri kesim yüzeyine parallel olarak etkimektedir.

Şekil 12

Yukarıdaki paragrafta anlatılan kesim yüzeyi net bir biçimde Şekil 13 te verilen test numunesi

bulonda açık biçimde görülmektedir.

Şekil 13

Üç eksenli gerilme haline ait diyagram Şekil 14 te verilmiştir

Şekil 14


D. Şekil Değiştirme

Bu kavram sayesinde, rijit cisim mekaniği ile çözülemeyen problemler çözülür hale

gelmektedir. Bir cismin şekil değiştirmesi, üzerine etkiyen dış kuvvetler nedeniyle olduğu gibi

başka nedenlerle de olabilir; örneğin sıcaklık değişimi, kimyasal etkiler gibi. Bu etkiler cismin

boyutlarını ve/veya biçimini değişir.

Bir cismin Şekil 15'de görülen yer değiştirmesini inceleyelim. İnceleme için cisim içinde alınan

, ve A B C noktalarını göz önüne alalım. Cismin yer değiştirmesinden sonra bu noktalar

1 1 1, ve A B C konumlarına gelsinler. 1 1 1, ve AA BB CC vektörleri sıra ile , ve A B C noktalarının

yer değiştirmelerini gösterir. Bu nedenle bu vektörlere yer değiştirme vektörleri adı verilir.

Şekil 15

Bir cismin yer değiştirmesi iki tip yer değiştirmenin toplamıdır: Birinci tip yer değiştirme cismin

bir bütün olarak ötelenmesi ve/veya dönmesidir. Bu tip yer değiştirmede cismin noktalarının

birbirlerine göre konumları değişmez; yani cismin geometrisi, dolayısıyla cismin boyutları ve

şekli değişmez, sadece cisim olduğu gibi yer değiştirir. Bu nedenle, bu tip yer değiştirmelere

rijit cisim yer değiştirmeleri veya rijit cisim hareketi adı verilir. Şekil 16a da bir ötelenme tipi

yer değiştirme, şekil 16b de bir dönme tipi rijit yer değiştirme görülmek tedir. Şekil 16c de ise

rijit ötelenme ve dönmenin toplamından oluşan bir rijit yer değiştirme görülmektedir.

Şekil 16

İkinci tip yer değiştirmede ise cismin noktalarının birbirlerine göre konumları değişir. Bu tip

yer değiştirmeler cisimde şekil değiştirmeye yol açar. Bu nedenle bu tip yer değiştirmelere

şekil değiştirme adı verilir. Şekil 17 da görülen , ve A B C noktaları arasındaki , ,AB BA CA


uzaklıklarını ve BAC açısını düşünelim. , ve A B C noktaları 1 1 1, ve A B C konumlarına

geldiklerinde AB uzunluğu 1 1A B uzunluğundan farklı ise A noktasının konumu B ye göre

değişmiştir ve burada bir şekil değiştirme vardır. Bazı hallerde AB nin uzunluğu 1 1A B e göre

değişmemekle birlikte ABC açısı değişebilir. Bu durum da bir şekil değiştirmedir. Birinci

durumdaki şekil değiştirmeye uzama şekil değiştirmesi veya uzunluk şekil değişmesi veya boy

değişimi, ikinci durumdaki şekil değiştirmeye ise açısal şekil değişimi veya kayma şekil

değiştirmesi adı verilir. Şekil 17a ve 17b de sadece şekil değiştirmeler vardır; rijit yer

değiştirmeler bulunmamaktadır.

Şekil 17

Rijit cisim yer değiştirmeleri cismin konumunu, şekil değiştirmeler ise cismin geometrisini

değiştirir. Rijit cisim yer değiştirmeleri küçük veya büyük olabilir buna karşın şekil

değiştirmeler küçüktür. Rijit cisim yer değiştirmelerinin incelenmesi dinamik için, şekil

değiştirmelerin incelenmesi ise mukavemet için önemlidir. Belirtildiği gibi, bir cismin şekil

değiştirmesi, boyutlarının veya biçiminin değişmesi şeklinde iki tipte olmaktadır. Dolayısıyla

şekil değiştirmenin farklı iki elemanı bulunmaktadır.

Uzama Şekil Değiştirmesi: Cismin boyutlarının değişmesi, uzunluklarının değişmeleri ile

ölçülür. Şekil 18 de görüldüğü gibi x ekseni üzerinde A ve B noktalarını alalım. Şekil

değiştirmeden sonra bu noktalar 1A ve 1B konumlarına gelsinler.

Şekil 18

1 1A B AB

AB (2)

şeklinde tanımlanan boyutsuz büyüklüğe birim uzama veya uzama oranı adı verilir. Bu değer

A ve B noktalan arasında ortalama birim uzamadır. Bu büyüklüğün değeri, mühendislikte

kullanılan bir çok malzeme için küçüktür. B noktasını A ya yaklaştırıp limite geçildiğinde


1 1limx B A

A B AB

AB

(3)

olarak elde edilen büyüklük A noktasında x doğrultusunda uzama şekil değiştirmesini

gösterir. değeri artı olduğunda x doğrultusunda boy uzaması, eksi olduğunda ise boy

kısalması vardır.

Kayma Şekil Değiştirmesi: Cismin biçiminin değişmesi, açılarının değişmesi ile ölçülür. Açısal

şekil değişiminin ölçülmesi için Şekil 19 da görüldüğü gibi birbirine dik yönlendirilmiş iki

doğrultu alınır. A noktasında açı değişimi açının diklikten sapmasının ölçüsü olarak aşağıdaki

şekilde tanımlanır.

Şekil 19

1 1 1lim

2xy B AC A

C A B

(4)

(4) denkleminde görüldüğü gibi açı değişimi, iki indis ile gösterilmektedir. Göz önüne alınan

doğrultular eksenler ile aynı doğrultuda ve açı azalıyor ise 0xy dır. xy değerine kayma

açısı adı da verilir.

E. Gerilme ‐ Şekil Değiştirme Eğrisi: Malzemenin dayanımı belirlenirken, uygun olmayan şekil

değiştirmeler yapmadan ve göçmeden yükü taşımasına bakılır. Bu davranış tamamen statik ya

da dinamik esasa dayalı deneysel yöntemlerle belirlenir. Yaygın olarak yapılan deneyler;

statik, tekrarlanan, zamana yayılı ya da ani yükleme biçimindedir. Malzemede bazı basit

mekanik özellikleri belirlemek için çekme ve basınç deneylerinden yararlanılır.

Çekme deneyi Şekil 20 deki deney aletine yerleştirilecek örnek malzeme, aletin içindeki

hareketli parçanın ok yönünde hareket etmesi ile numune iki ucundan çekilmeye başlar.

Numunede gözlenecek boy ,L kesit alanı A ve deney sırasında çubuğu uç larından çekecek

kuvvet P olsun. Gerilme ile birim şekil değiştirme arasındaki ilişkiyi görmek için P kuvveti

sıfırdan başlayarak yavaşça arttırılır ve her yeni P değeri için yeni çubuk boyu L ölçülür. Eğer

bu tek eksenli basit çekme deneyinde çubuk kesitinde bir homojen gerilme dağılımı oluştuğu

varsayılırsa, gerilme ile birim şekil değiştirme hesabı,

ve =P L

A L (5)


Şekil 20

biçiminde yapılır. Burada L L L olup, P kuvvetinin her bir artış değeri için ona karşı

gelen yeni ve değerleri bulunur ve böylece , takımında gerilme – şekil değiştirme

eğrisi grafik olarak çizilir. Yalnız , eğrileri doğrudan malzeme özelliklerine bağlıdır.

Gerilme ile birim şekil değiştirme arasında biçiminde uygun bir matematik ifade

geliştirilir. Yapı çeliği yada düşük karbonlu çelik, çekme deneyinde Şekil 21 deki gibi bir

davranış sergiler.

Şekil 21

Gerilmenin H değerine kadar eğri bir doğru parçası gibidir. 0 H aralığında ile arasında bir orantılılık vardır ve buradaki eğime E denirse, bünye bağıntısı ya da gerilme –

şekil değiştirme ilişkisi,

E

(6)


olur. (6) denklemi (5) denkleminde yerleştirilirse, çubukta ölçülecek boy değişimi,

PL

LAE

(7)

olarak ifade edilir. Malzemeden malzemeye farklılık gösteren E sabitine elastisite modülü (ya

da Young modülü) denir. Şekil 21 deki bazı özel değerler şunlardır:

:H Orantılık sınırını işaret eder ve gerilmenin bu değerine kadar malzeme Hooke

yasasına (yani denklem (6) da verilen gerilme ile şekil değiştirme arasında

doğrusal ilişki olması durumu) uyar.

:E Elastisite sınırını işaret eder ve malzeme buradan sonra elastik özelliğinin

kaybeder.

:A Akma gerilmesidir. Gerilme bu değere ulaştıktan sonra, kayda değer bir büyüme

göstermese de, uzama artmaya devam eder. Bu sırada malzeme yapısında

önemli değişimler ve kaymalar oluşurken, numunede meydana gelen şekil

değiştirmeler kalıcıdır ve yük kaldırılsa da artık düzelmezler.

:Ç Çekme mukavemeti malzemenin iki kesite bölünmesi aşamasına kadar

kaldırabileceği en büyük gerilmedir.

:K Kopma şekil değiştirmesi olarak bilinir ve çubuk kopuncaya kadar meydana gelen

toplam uzama oranıdır.

Yapı çeliğinde sıfırdan başlayarak arttırılan yükleme sonrası orantılık sınırı aşılırsa, birim şekil

değiştirmelerdeki büyüme hızlanır. Eğer Şekil 21 deki eğride A noktası aşılmış ise, malzeme

akmaya başlar ve A dan B ye doğru gidilirken meydana gelen birim şekil değiştirmelere karşılık

dikkati çekecek miktarda gerilme artışı gözlenmez. Çelik ve benzeri malzemelerde B

noktasından sonra pekleşme olur ve eğri B den C ye doğru eğim alarak yükselir. Uzama

pekleşmesi denen bu durumun altında yatan sebep, malzemenin atomik ve kristal yapısında

başlayan değişimdir. C noktasına kadar yük taşıma kapasitesini arttıran malzeme bu noktadan

sonra zayıflama gösterir ve nihayet K noktasında malzeme koparak ikiye ayrılır.

Çelik için belirgin olan akma sınırı, alüminyum gibi bazı malzemelerde pek belirgin değildir.

Yapı çeliği için Şekil 21 deki eğri temsili olup ölçekli değildir. Gerçekte A dan B noktasına kadar

ölçülen uzama oranı , O dan A noktasına kadar ölçülen uzama oranının yaklaşık 10 ‐ 15 katıdır.

Çekme deneyinden çıkan çok önemli bir başka gözlem; çubuk kendi ekseni boyunca uzarken

eksene dik enine doğrultularda büzülür. O neden ile başlangıçta ölçülen kesit alanı A çekme

sırasında küçülür. Bu durum Şekil 21 deki gerilme ‐ şekil değiştirme eğrisinde B noktasına

kadar küçük değerlerde seyrederken, B noktası aşıldıktan sonra kesit alanı gözle görülür

biçimde azalmaya başlar.


F. Basit Mukavemet Halleri:

Şekil 22

Şekil 22 de kesite etkiyen R kuvvet vektörü ile M moment vektörünün biri kesit içinde diğeri

kesitin normali doğrultusunda bileşenlerini göz önüne alalım. R kuvvetinin T ve N

bileşenlerine sıra ile kesme kuvveti ve normal kuvvet adı verilir. M vektörünün eM ve bM

bileşenlerine de sırası ile eğilme momenti ve burulma momenti adı verilir.

Normal kuvvet ile eğilme momenti; normal gerilme meydana getirirler; kesme kuvveti ile

burulma momenti ise kayma gerilmesi oluştururlar.

Bir kesitte bu dört bileşenden yalnız birinin bulunması haline basit mukavemet hali denir. Dört

basit mukavemet halleri şunlardır:

Eksenel normal kuvvet hali: Bu basit mukavemet halinde kesitte yalnız N normal kuvveti

bulunur. Bu kesit tesiri çubuğu boyuna doğrultuda uzatmaya veya kısaltmaya çalışır. Bu basit

mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi Şekil 23 te gösterilmektedir. Kesitteki

normal kuvvet, kesitin geometrik merkezinden geçmez ise bu duruma dış merkezli (eksantrik)

normal kuvvet adı verilir, bu kuvvet kesitin geometrik merkezine indirgendiğinde normal

kuvvet ile moment elde edileceğinden, dış merkezli normal kuvvet hali bir basit mukavemet

hali değildir.

Şekil 23


Kesme hali: Bu basit mukavemet halinde kesitte yalnız T kesme kuvveti; yani yalnız kesit

içinde kuvvet bulunmaktadır. Bu basit mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi

Şekil 24a da görülmektedir. Bu mukavemet halinde kesme kuvveti kesiti bir makas gibi

keseceğinden kesme kuvvetine bazen makaslama kuvveti de denilmektedir. Kesme halinde

dik kesitler, şekil değiştirmeden sonra düzlem kalmazlar. Kesitler çubuk eksenine dik

ötelenmekle birlikte çarpılmaya uğrarlar (Şekil 24b).

Şekil 24

Burulma hali: Bu mukavemet halinde kesitte yalnız moment vektörünün, kesitin normali

doğrultusunda bM burulma momenti bileşeni vardır. Bu bileşeni kesit içinden bir kuvvet çifti

oluşturur ve kesiti burar. Bu basit mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi Şekil

25a da görülmektedir, şekilde burulma momenti dairesel ok ile gösterilmiştir. Şekil 25b de

burulmadan dolayı oluşan şekil değiştirme ve Şekil 25c de ise burulma momentinin enkesit

içerisinde oluşturduğu gerilme dağılımı gösterilmiştir.

Şekil 25

Eğilme hali: Bu mukavemet halinde kesitte yalnız eM eğilme momenti bulunmaktadır.

Moment vektörünün kesit içindeki bileşeni kesiti eğmeye çalışacağından bu hale eğilme hali

adı verilmektedir. Bu basit mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi Şekil 26a da

görülmektedir. Şekilde eğilme momenti dairesel ok ile gösterilmiştir. Şekil 26c de eğilme

a

b


momentinden kaynaklanan şekil değişimi, Şekil 26d de ise eğilme momentinden kaynaklanan

enkesit üzerindeki gerilme dağılımı verilmiştir.

Şekil 26


Documents

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ YAPI MEKANİĞİbirimler.dpu.edu.tr/app/views/panel/ckfinder/userfiles/75/files/... · değiştirmelerin hesabıdır. Bu ve bu gibi konularla