Insiemi e calcolo combinatorio - Roma Tre

Insiemi e calcolo combinatorio

Università Roma Tre – Dipar3mento di Matema3ca e FisicaIN440 – O=mizzazione CombinatoriaProf. Marco Liverani

Insiemi

§ Un insieme A è una collezione di elementi di qualsiasi natura, purché non contenga lo stesso A

§ Paradosso di Russel (Bertrand Russel, 1902):Un insieme è «straordinario» se contiene anche se stesso. È «ordinario» se non contiene se stesso.Sia S = {collezione di tutti gli insiemi ordinari}Problema: S è ordinario? Se lo fosse, allora S ∈ S, collezione di tutti gli insiemi ordinari; ma allora S sarebbe straordinario e questo ci porta ad una contraddizione! Se fosse straordinario, allora dovrebbe risultare S ∈ S, ma per definizione S contiene insiemi ordinari, per cui anche in questo caso abbiamo una contraddizione

§ Per evitare situazioni paradossali evitiamo di trattare insiemi straordinari: d’ora in avanti consideriamo come insieme solo una collezione di oggetti che non contengono come elemento anche la collezione stessa

§ In generale possiamo rappresentare un insieme con un computer attraverso una lista o un array. In Pythonesiste la struttura dati set (liste prive di elementi duplicati) su cui possiamo anche utilizzare gli operatori di unione «|», intersezione «&», differenza «-» e differenza simmetrica «^»

Università Roma Tre – Dipartimento di Matematica e FisicaMarco Liverani, Ottimizzazione Combinatoria 1

Bertrand Russel(1872 – 1970)

Insiemi

§ L’insieme delle parti (o insieme potenza) di un insieme A è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A e lo indichiamo con 𝒫(A)

§ Una partizione di un insieme A è una collezione di sottoinsiemi di A, {A1, ..., Ak} ∈ 𝒫(A), tale che ∪i = 1,...,k Ai = A e Ai ∩ Aj = ∅ per ogni i ≠ j

§ Una relazione di equivalenza 𝜌 sugli elementi di un insieme A è una relazione riflessiva (a 𝜌 a), simmetrica(a 𝜌 b ⇒ b 𝜌 a) e transitiva (a 𝜌 b e b 𝜌 c ⇒ a 𝜌 c)

§ Dato un elemento a ∈ A, una classe di equivalenza su A definita dalla relazione d’equivalenza 𝜌 è l’insieme [a]𝜌 = {b ∈ A: a 𝜌 b}

§ Le classi di equivalenza su A definite mediante una relazione 𝜌 formano una partizione di A

Università Roma Tre – Dipar=mento di Matema=ca e FisicaMarco Liverani, O>mizzazione Combinatoria 2

Cardinalità

§ Insieme finito: gli elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca conl’insieme {1, 2, ..., n}. La cardinalità dell’insieme è n (n = |A|)

§ Insieme numerabile: è possibile mettere gli elementi dell’insieme in corrispondenza biunivocacon ℕ. L’insieme ha la cardinalità del numerabile ℵ0

§ Insieme continuo: non è numerabile, non è possibile creare una corrispondenza biunivoca con ℕ. L’insieme ha la cardinalità del continuo ℵ1

§ Sia A un insieme finito, con |A| = n. Allora |𝒫(A)| = 2n

Dimostrazione per induzione su |A|: se A = ∅ allora 𝒫(A) = {∅} e quindi |𝒫(A)| = 1 = 20. Si mostra poi che se |𝒫(A)| = 2n–1 per |A| = n–1, allora per A’ = A ∪ {x}, |A’| = n e |𝒫(A’)| = 2n; infatti avremo il doppio dei sottoinsiemi di A: tutti i sottoinsiemi di A e tutti i sottoinsiemi di A uniti a {x} ∎Dimostrazione costruttiva: si può creare una corrispondenza biunivoca tra 𝒫(A) e le stringhe binarie con nelementi. Con n cifre binarie possiamo definire 2n numeri naturali: 0, 1, 2, ..., 2n–1. Quindi |𝒫(A)| = 2n ∎


Georg Cantor(1845 – 1918)

Sottoinsiemi e stringhe binarie

A = { a1, a2, a3, a4, a5 }A’ = { a1, a2, a3, a4, a5 }

S = 1 0 1 1 0


n = 4 S = ( 0, 0, 0, 0 )i = 1 S = ( 1, 0, 0, 0 )i = 1, 2 S = ( 0, 1, 0, 0 )i = 1 S = ( 1, 1, 0, 0 )i = 1, 2, 3 S = ( 0, 0, 1, 0 )i = 1 S = ( 1, 0, 1, 0 )i = 1, 2 S = ( 0, 1, 1, 0 )i = 1 S = ( 1, 1, 1, 0 )i = 1, 2, 3, 4 S = ( 0, 0, 0, 1 )i = 1 S = ( 1, 0, 0, 1 )i = 1, 2 S = ( 0, 1, 0, 1 )i = 1 S = ( 1, 1, 0, 1 )i = 1, 2, 3 S = ( 0, 0, 1, 1 )i = 1 S = ( 1, 0, 1, 1 )i = 1, 2 S = ( 0, 1, 1, 1 )i = 1 S = ( 1, 1, 1, 1 )i = 1, 2, 3, 4 S = ( 0, 0, 0, 0 )

Esercizio: possiamo modificare l’algoritmo per produrre tutti i sottoinsiemi di una lista/array?

Permutazioni

§ Permutazione di un insieme A: corrispondenza biunivoca di A con se stesso.Es.: A = {1, 2, 3}, π(A) = {1→2, 2→1, 3→3}

§ Se |A| = n allora possono essere definite n! permutazioni di A.Dimostrazione: abbiamo n scelte per il primo elemento, per ciascuna di queste abbiamo n−1 scelte per il secondo elemento, ecc. Complessivamente quindi n (n−1) (n−2) ... 1 = n!∎

§ Algoritmo per la costruzione delle permutazioni di A = ⟨a1, a2, ..., an⟩: • a partire da una generica permutazione π(A) si ricava la permutazione «successiva», πʹ(A), mediante il seguente

procedimento: • si individua il massimo indice k, 0 ≤ k < n, tale che ak < ak+1 e si scambia l’elemento ak con il più piccolo

elemento ah > ak con k < h ≤ n• infine si ordinano in ordine crescente gli elementi ak+1, ak+2, ..., an


Permutazioni

A partire da una generica permutazione π(A) si ricava la permutazione «successiva», πʹ(A), mediante il seguente procedimento:

• si individua il massimo indice k, 0 ≤ k < n, tale che ak < ak+1e si scambia l’elemento ak con il più piccolo elemento ah > ak con k < h ≤ n

• infine si ordinano in ordine crescente gli elementi ak+1, ak+2, ..., an


n = 4 A = ( 1, 2, 3, 4 )

k = 3 A = ( 1, 2, 4, 3 )k = 2 A = ( 1, 3, 2, 4 )k = 3 A = ( 1, 3, 4, 2 )k = 2 A = ( 1, 4, 2, 3 )k = 3 A = ( 1, 4, 3, 2 )k = 1 A = ( 2, 1, 3, 4 ) k = 3 A = ( 2, 1, 4, 3 ) k = 2 A = ( 2, 3, 1, 4 ) k = 3 A = ( 2, 3, 4, 1 ) k = 2 A = ( 2, 4, 1, 3 ) k = 3 A = ( 2, 4, 3, 1 )k = 1 A = ( 3, 1, 2, 4 ) ... ...

Disposizioni

§ Disposizione semplice di k elemenO: sequenza ordinata di k elemenO di A senza ripeOzione degli elemenO («ordinata» significa che conta l’ordine con cui dispongo gli elemenO: due disposizioni semplici diverse possono avere gli stessi elemenO, ma disposO in ordine diverso)

Es.: se A = {1, 2, 3} le disposizioni su A con k = 2 elemen1 sono (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3,1), (3,2)

§ Se |A| = n allora il numero di disposizioni semplici con k elemenO su A è

Dimostrazione. Abbiamo n scelte per il primo elemento di ogni disposizione, n – 1 scelte per il secondo elemento, … (n – k + 1) scelte per il k-esimo elemento. Quindi in generale:

§ Le disposizioni con ripeOzioni di k elemenO su un insieme di n elemenO sono invece nk: abbiamo infaQ a disposizione n scelte per il primo elemento, altre n scelte per il secondo elemento, ..., ancora n scelte per il k-esimo elemento


<latexit sha1_base64="+1GJZvWpyD9m/l1R4oxgTaMlTXA=">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</latexit>

Dn,k =n!

(n�k)!

<latexit sha1_base64="COFrZO6z2etcFtI5F0sB4PXz5lc=">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</latexit>

Dn,k = n(n�1)(n�2) . . .(n�k+1) = n(n�1)(n�2)...(n�k+1)(n�k)(n�k�1)...1)(n�k)(n�k�1)...1 = n!

(n�k)!

Combinazioni

§ I sottoinsiemi di A con k elementi sono le combinazioni semplici di A con k elementi

§ In un insieme l’ordine degli elementi non conta, per cui il numero di combinazioni semplici di k elementi su un insieme di cardinalità n, è dato dal rapporto tra il numero Dn,k di disposizioni semplici di k elementi ed il numero k! di permutazioni di un insieme di k elementi:

§ Algoritmo ingenuo per la generazione delle combinazioni semplici con k elementi di A: • si generano tutte le stringhe binarie con n elementi• tra queste si scelgono solo quelle con k elementi uguali a 1• a ciascuna di queste stringhe binarie corrisponde una combinazione semplice di k elementi su A

§ L’algoritmo ingenuo genera tutte le stringhe binarie, ossia 2n stringhe, quando a noi interessa solo una piccola parte di queste... è eccessivamente oneroso (complesso)!


<latexit sha1_base64="imPufdtX6ZCfBPp7k2iuIWJTRzc=">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</latexit>

Cn,k =n!

k!(n� k)!

Combinazioni

§ Strategia:• generiamo solo combinazioni ordinate, in ordine

crescente di k elemen2 seleziona2 dall’insieme {1, 2, ..., n}

• come elemento i-esimo della sequenza ordinata che rappresenta una determinata combinazione di kelemen2 su A, scegliamo ci tale da soddisfare la seguente condizione: n − (k − i + 1) < ci ≤ n − (k − i)

§ Per passare da una combinazione (c1, c2, ..., ck) alla successiva nell’ordine lessicografico, si prendono in esame gli elemen: ci a par:re da i = k fino ad i = 1(ciclo alle righe 8–10) fino a quando non si incontra un elemento ci che non abbia assunto il valore massimo per la posizione i-esima: ci < n − (k − i)

§ In tal caso si incrementa di 1 l’elemento ci e si impostano di conseguenza il valore degli elemen: successivi, ci+1, ci+2, ..., ck con il valore minimo per ciascun elemento


Combinazioni


n = 6, k = 4 A = { a, b, c, d, e, f }1 2 3 4 5 6

C = (1, 2, 3, 4) à { a, b, c, d }C = (1, 2, 3, 5) à { a, b, c, e }C = (1, 2, 3, 6) à { a, b, c, f }C = (1, 2, 4, 5) à { a, b, d, e }C = (1, 2, 4, 6) à { a, b, d, f }C = (1, 2, 5, 6) à { a, b, e, f }C = (1, 3, 4, 5) à { a, c, d, e }C = (1, 3, 4, 6) à { a, c, d, f }C = (1, 3, 5, 6) à { a, c, e, f }C = (1, 4, 5, 6) à { a, d, e, f }C = (2, 3, 4, 5) à { b, c, d, e }C = (2, 3, 4, 6) à { b, c, d, f }C = (2, 3, 5, 6) à { b, c, e, f }C = (2, 4, 5, 6) à { b, d, e, f }C = (3, 4, 5, 6) à { c, d, e, f }

Coefficiente binomiale

§ Il numero di combinazioni di n elemenO in classi di k è il coefficiente binomiale:

§ Esprime il coefficiente nell’espressione della potenza di un binomio:

§ Dalla definizione di combinazione semplice e di coefficiente binomiale segue che un modo alternaOvo per contare gli elemenO dell’insieme delle parO di A, 𝒫(A), è quello di sommare il numero di combinazioni di n elemenO in classi di k, per k = 0, 1, 2, ..., n; per cui risulta:


<latexit sha1_base64="qBoe91nlyzu6k6CCPfuoIJPmoXs=">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</latexit>✓nk

◆=

n!k!(n� k)!

<latexit sha1_base64="Co0x7p0d+4TZhIuPymE/dxJ3jX0=">AAACL3icbVC7SgNBFJ31bXxFLW0GRVDEsGuhNoJooWUEE4VsEmYnN2bY2ZllZlayLPsDdlZ+hx9gq7WV2Iid+BPiJLHwdeDCmXPu5c49QcyZNq777AwNj4yOjU9MFqamZ2bnivMLVS0TRaFCJZfqPCAaOBNQMcxwOI8VkCjgcBaEhz3/7BKUZlKcmjSGekQuBGszSoyVmkVvrbuRrjcE3sO+TqJmFu65uX1mAvu0I6UGHOIcdxshThuZ2AzzZnHFLbl94L/E+yIr+0dXhx/+9WO5WXzzW5ImEQhDOdG65rmxqWdEGUY55AU/0RATGpILqFkqSAS6nvVPy/GqVVq4LZUtYXBf/T6RkUjrNApsZ0RMR//2euJ/Xi0x7d16xkScGBB0sKidcGwk7uWEW0wBNTy1hFDF7F8x7RBFqLFp/tgSa04MdPOCTcb7ncNfUt0qedsl98RGdIAGmEBLaBmtIQ/toH10jMqogii6QXfoHj04t86T8+K8DlqHnK+ZRfQDzvsn0Ymsgg==</latexit>

(x+ y)n =n

Âk=0

✓nk

◆xkyn�k

<latexit sha1_base64="cw3d3TL9MNXhy4eOCZEvf836XTE=">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</latexit> n

Âk=0

✓nk

◆=

✓n0

◆+

✓n1

◆+

✓n2

◆+ · · ·+

✓n

n�1

◆+

✓nn

◆= 2n


§ Osserviamo che per 0 < k < n vale la seguente identità:Dimostrazione:

§ Sfruttando questa relazione si può costruire uno «schema tabulare» per semplificare il calcolo del coefficiente binomiale: il Triangolo di Tartaglia (o Triangolo di Pascal, per i francesi)


<latexit sha1_base64="o7O4kuVvabtMYvFjkodNbxZATbs=">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</latexit>�nk�=�n�1

k�1�+�n�1

k�


§ Triangolo di Tartaglia: schema tabulare ricorsivo per la costruzione dei coefficienO binomiali

§ Per n = 0 e k = 0 risulta

§ Per n = 1, 2, ... e per k = 0, 1, ..., n:

§ In questo modo si può costruire uno schema triangolare con cui diventa banale calcolare il coefficiente binomiale degli elemenO di una riga, uOlizzando i termini calcolaO nella riga precedente


<latexit sha1_base64="0w97K5DaWJpmQHEzF3x7BPU1NgA=">AAACH3icbVC7TgJBFJ31ifhCLW1GiYk2ZNdCbUyINpaYyCMBQmaHC0yYndnMzBpxQ21pa2tjZ6ufYGds+QJ/w1kgRsCTTHLuOffm3jl+yJk2rjtw5uYXFpeWUyvp1bX1jc3M1nZJy0hRKFLJpar4RANnAoqGGQ6VUAEJfA5lv3uZ+OVbUJpJcWN6IdQD0hasxSgxVmpk9mKBa7QjpQbc7eNzHLu/tZvUXiOTdXPuEHiWeGOSzR893oepl6dCI/Nda0oaBSAM5UTrqueGph4TZRjl0E/XIg0hoV3ShqqlggSg6/HwK318YJUmbkllnzB4qP6diEmgdS/wbWdATEdPe4n4n1eNTOusHjMRRgYEHS1qRRwbiZNccJMpoIb3LCFUMXsrph2iCDU2vYktoebEwF0/bZPxpnOYJaXjnHeSc6+9bP4CjZBCu2gfHSIPnaI8ukIFVEQUPaBX9IbenWfnw/l0vkatc854ZgdNwBn8ADxjpKM=</latexit>�nk�=�0

0�= 1

<latexit sha1_base64="va8IjL+UJx677kzA8ohb2y3kYAM=">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</latexit>

✓nk

◆=

8><

>:

�n�10�

se k = 0�n�1k�1

�+�n�1

k�

se 0 < k < n�n�10�

se k = n

Niccolò Tartaglia (1499 – 1557)


§ Per n = 0 e k = 0 risulta

§ Per n = 1, 2, ... e per k = 0, 1, ..., n:


<latexit sha1_base64="0w97K5DaWJpmQHEzF3x7BPU1NgA=">AAACH3icbVC7TgJBFJ31ifhCLW1GiYk2ZNdCbUyINpaYyCMBQmaHC0yYndnMzBpxQ21pa2tjZ6ufYGds+QJ/w1kgRsCTTHLuOffm3jl+yJk2rjtw5uYXFpeWUyvp1bX1jc3M1nZJy0hRKFLJpar4RANnAoqGGQ6VUAEJfA5lv3uZ+OVbUJpJcWN6IdQD0hasxSgxVmpk9mKBa7QjpQbc7eNzHLu/tZvUXiOTdXPuEHiWeGOSzR893oepl6dCI/Nda0oaBSAM5UTrqueGph4TZRjl0E/XIg0hoV3ShqqlggSg6/HwK318YJUmbkllnzB4qP6diEmgdS/wbWdATEdPe4n4n1eNTOusHjMRRgYEHS1qRRwbiZNccJMpoIb3LCFUMXsrph2iCDU2vYktoebEwF0/bZPxpnOYJaXjnHeSc6+9bP4CjZBCu2gfHSIPnaI8ukIFVEQUPaBX9IbenWfnw/l0vkatc854ZgdNwBn8ADxjpKM=</latexit>�nk�=�0

0�= 1

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se 0 < k < n�n�10�

se k = n

Combinatoria su insiemi finiti

Consideriamo un insieme A = {a1, a2, ..., an} con n elementi (|A| = n)


Operazione combinatoria Cardinalità Descrizione

insieme delle parti di A 2n tutti i sottoinsiemi di A, di qualsiasi cardinalità

permutazioni di A n! tutte le n-ple (sequenze di n elementi) distinte, formate utilizzando tutti gli elementi di A, senza ripeterli

disposizioni semplici di kelementi di A

tu8e le k-ple (sequenze di k elemen9) dis9nte, formate usando solo k elemen9 di A, senza ripeterli

disposizioni con ripetizione di kelementi di A nk tutte le k-ple (sequenze di k elementi) distinte, formate usando

solo k elementi di A, anche ripetuti più voltecombinazioni semplici con kelementi di A tu> i so+oinsiemi di A con soli k elemen9

<latexit sha1_base64="DEoMw1a759l72zQ//3THTavm3Fw=">AAACD3icbZA7TsNAEIbXPEN4OSDR0DgEpFAQ2RRAGUFDGSTykJIoWm/WySrrtbU7BiLLh6CHFo5AgxAtR+AE0HEFNo+CJPzSSL/+mdGMPjfkTIFtfxpz8wuLS8uplfTq2vrGppnZqqggkoSWScADWXOxopwJWgYGnNZCSbHvclp1exeDfvWGSsUCcQ39kDZ93BHMYwSDjlpmpuFJTGKRTeK8OOodZpOWmbML9lDWrHHGJlcs/ny/7jzsl1rmV6MdkMinAgjHStUdO4RmjCUwwmmSbkSKhpj0cIfWtRXYp6oZD19PrAOdtC0vkLoEWMP070aMfaX6vqsnfQxdNd0bhP/16hF4Z82YiTACKsjokBdxCwJrwMFqM0kJ8L42mEimf7VIF2sWoGlNXAkVx0DvkrQm40xzmDWV44JzUrCvNKJzNFIK7aI9lEcOOkVFdIlKqIwIukWP6Ak9G/fGi/FmvI9G54zxzjaakPHxCxgqoCQ=</latexit>

n!(n� k)!

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n!k!(n� k)!

Quadrati Latini

§ Un Quadrato Latino di ordine n è una matrice quadrata di n righe ed n colonne, i cui elementi appartengono all’insieme {1, 2, ..., n} e su cui non si ripetono mai due elementi uguali su nessuna riga e nessuna colonna• Es.: Quadrato Latino di ordine 4

§ Due quadrati latini di ordine n si dicono ortogonali se le n2 coppie formate dagli elementi corrispondenti dei due quadrati sono tutte distinte

§ Un quadrato latino normalizzato è ottenuto ponendo la prima riga e la prima colonna uguali alla sequenza (1, 2, ..., n)


1 2 3 4

2 3 4 1

4 1 2 3

3 4 1 2

Quadrati Latini

§ Calcolare il numero di quadrati latini di ordine n è molto difficile: il risultato è noto solo per quadrati latini di ordine minore di 16

§ In generale esiste una relazione che lega il numero di quadrati latini di ordine n, N(n,n), con il numero di quadrati latini normalizzati dello stesso ordine, L(n,n):

N(n,n) = n! (n−1)! L(n,n) § Il problema del calcolo del numero di quadrati latini differenti di ordine n, si riduce al calcolo del numero

di quadrati latini normalizzati

§ Purtroppo non esiste una formula in grado di calcolare direttamente quel numero: al momento tale risultato, calcolato con algoritmi esaustivi (i cosiddetti metodi «a forza bruta», che si limitano a costruire e contare tutte le possibili configurazioni)• Es.: L(2, 2) = 1, L(3, 3) = 1, L(4, 4) = 4, L(7, 7) = 16.942.080, L(9, 9) = 377.597.570.964.258.816


Il gioco del Sudoku

§ Il gioco del Sudoku è un rompicapo giapponese che sta riscuotendo un successo notevole nel cosiddetto «grande pubblico»

§ Il problema da risolvere in una partita di Sudoku può essere riassunto nei seguenti termini: riempire una griglia di 9 × 9 elementi, in modo tale che ogni riga, ogni colonna ed ognuna delle nove sotto-griglie 3×3contenga le cifre da 1 a 9.

§ La matrice è dunque un Quadrato Latino di ordine 9; al problema di determinare un quadrato latino, viene aggiunto il vincolo dell’obbligo di utilizzare tutti gli elementi dell’insieme {1, 2, ..., 9} nelle 9 sotto-matrici di quadrate di ordine 3

§ Per obbligare il giocatore a produrre ad ogni partita del gioco un quadrato latino differente, il gioco inizia con una matrice di 9 × 9 elementi in cui alcune delle posizioni sono preimpostate con dei valori


Il gioco del Sudoku

§ Esempio:


2 5 9 1 3

6 3 2 4 5

4

5 1 4 8

2 7

5 4 3 2 1

8 7 6 5

8 7 2 5 4 9 1 6 3

9 5 4 3 6 1 2 7 8

6 3 1 8 2 7 9 4 5

4 8 3 2 7 5 6 1 9

7 6 5 1 9 4 8 3 2

2 1 9 6 8 3 4 5 7

5 4 6 9 3 8 7 2 1

1 9 7 4 5 2 3 8 6

3 2 8 7 1 6 5 9 4

Il gioco del Sudoku: il numero di configurazioni

§ Quante diverse configurazioni è possibile costruire per il gioco del Sudoku?

§ Si deve osservare che due matrici diverse, M e M’ possono rappresentare la stessa configurazione nel caso in cui esista un isomorfismo 𝜑: M ⟶ M’ tale che 𝜑(mi,j) = 𝜑(mh,k) se e solo se mi,j = mh,k

§ Es.: 𝜑(1) = 8, 𝜑(2) = 7, 𝜑(3) = 2, 𝜑(4) = 5, 𝜑(5) = 4, 𝜑(6) = 9, 𝜑(7) = 1, 𝜑(8) = 6, 𝜑(9) = 3

§ Altre configurazioni equivalenti possono essere ottenute per rotazione della matrice o per simmetria


1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 4 5 9 8 7 3 2 1

8 9 7 1 3 2 6 5 4

5 1 9 3 2 4 8 7 6

2 8 4 7 6 5 1 9 3

3 7 6 8 1 9 5 4 2

4 5 8 6 9 1 2 3 7

7 6 2 5 4 3 9 1 8

9 3 1 2 7 8 4 6 5

8 7 2 5 4 9 1 6 3

9 5 4 3 6 1 2 7 8

6 3 1 8 2 7 9 4 5

4 8 3 2 7 5 6 1 9

7 6 5 1 9 4 8 3 2

2 1 9 6 8 3 4 5 7

5 4 6 9 3 8 7 2 1

1 9 7 4 5 2 3 8 6

3 2 8 7 1 6 5 9 4

M M’ = 𝜑(M)

Il gioco del Sudoku: il numero di configurazioni

§ Teorema (Felgenhuer e Jarvis, 2005). Il numero di configurazioni valide del Sudoku è pari a

27 × 27.704.267.971 = 3.546.146.300.288§ È sorprendente notare che il fabore 27.704.267.971 è un numero primo


Il gioco del Sudoku: un algoritmo ricorsivo

§ Algoritmo ricorsivo per il calcolo della soluzione del Sudoku, a parOre da una configurazione valida (ma incompleta) M

§ Indichiamo con mi,j = 0 i valori non definiO della configurazione rappresentata dalla matrice M

§ La funzione ricorsiva SudokuSolve(M) resOtuisce 1 (true) se la configurazione M è compaObile, altrimenO resOtuisce 0 (false)

§ Al termine della catena di chiamate ricorsive, quando tuQ i valori della matrice sono staO assegnaO in modo compaObile con le regole, la funzione stampa la matrice M che rappresenta la configurazione finale che risolve la parOta


Riferimenti bibliografici

§ Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, «Introduzione agli algoritmi e stru:ure da;», terza edizione, McGraw-Hill (Appendice C.1)

§Marco Liverani, Dispense del Corso di O?mizzazione Combinatoria: Insiemi ed elemen; di calcolo combinatorio (hbp://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/doc/disp_oc_02.pdf)


Documents

Insiemi e calcolo combinatorio - Roma Tre