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Insiemi e Logica nel Primo Ciclo
l'attività in classe di
M. Cattaneo e G. Tedeschi
E così, a metà pomeriggio, da povero in canna che era la mattina, Tom era diventato ricco sfondato. Oltre alle cose già dette adesso aveva: dodici biglie, un pezzo di scacciapensieri, un vetro di bottiglia blu da guardarci dentro, un rocchetto, una chiave spaiata, un pezzo di gesso, un tappo di vetro, un soldatino di piombo, due girini, sei petardi, un gattino con un occhio solo, una maniglia d'ottone, un collare da cane (senza cane), un manico di coltello, quattro bucce d'arancia e un vecchio telaio di finestra tutto rotto. ...
(Mark Twain "Le avventure di Tom Sawyer", 1876)
Premessa
Il contenuto delle tasche di Tom Sawyer costituisce un suggestivo esempio ante litteram di quell'universo di elementi, costruito con oggetti comuni, cui poniamo di fronte i bambini quando facciamo loro "formare gli insiemi". Le tasche di Tom e la didattica degli insiemi (o meglio: la didattica con gli insiemi, come si è avuto modo di specificare altrove [1]) dunque si incontrano, e non per caso, perché, quando all'inizio del primo ciclo impegnamo i bambini in attività di manipolazione e di classificazione di oggetti di uso comune, cerchiamo intenzionalmente di avviare il discorso prendendo le mosse dal loro universo affettivo e da quelle biglie, pezzi di vetro, chiavi spaiate di cui è composto.
In effetti, secondo un'impostazione abbastanza condivisa e sostenuta sia da motivazioni pedagogiche sia dall'esperienza viva della didattica, il gioco e la manipolazione di materiale non strutturato sono il punto di partenza dell'educazione, in qualunque settore disciplinare e in particolare in quello della matematica.
Credo però di poter aggiungere un'ulteriore osservazione a conferma di questa impostazione, anche dal mio punto di vista di "matematico militante" (ed emulo delle imprese di Tom Sawyer). Anche le mie tasche, infatti, erano piene di oggetti come quelle di Tom, a circa ottant'anni di distanza dai suoi tempi e a una quarantina da oggi. Mi è ancora facile elencane il contenuto: un sasso a forma di fagiolo, una pietra focaia e un pennino (spuntato) per trarne scintille, una cordicella, un elastico da fionda, il cilindretto di un carillon, un gessetto per giocare a campana, un temperino ... Sono convinto (forse a torto, per una di quelle illusioni ottiche della memoria) che il possesso di quegli oggetti abbia mosso la mia fantasia di bambino
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permettendomi di iniziare un processo di astrazione e invenzione che oggi continua con gli oggetti mentali con cui "si fa la matematica". Se si tratta di un'illusione è comunque un dato di fatto che il piacere di trattare questi oggetti mentali è perfettamente paragonabile a quello tutto bambino di manipolare quegli altri oggetti che mi portavo in tasca.
Forse al giorno d'oggi sono pochi i bambini con le tasche piene come quelle di Tom e forse è raro tra di loro il piacere di rincorrere forme e funzioni di cui gli oggetti comuni sono intrisi, ma se questo piacere è legato all'invenzione matematica c'è allora un motivo di più per partire dalle tasche di Tom per fornire ai bambini l'esperienza di cui hanno bisogno.
In questo fascicolo presentiamo e discutiamo il materiale di un percorso di "Insiemi e Logica" per il primo ciclo della scuola elementare, ispirato all'impostazione appena discussa e sperimentato nelle classi. L'ossatura del discorso fa riferimento al "percorso di interfaccia" messo a punto in un precedente fascicolo ([1]) e alla "matematica sottesa" che costituisce l'argomento di un fascicolo in preparazione. Le attività proposte cercano di condurre i bambini dalla concretezza delle tasche di Tom al controllo del loro linguaggio e delle loro capacità logiche.
Mimmo Iannelli
Trento, gennaio 1999 1- Introduzione. 2- Osservare, descrivere, confrontare. 3- Classificare. 4- Costruire insiemi. 5- Gli insiemi sul quaderno. 6- L’appartenenza e la questione dell’elemento estraneo. 7- L’esercizio inverso. 8- I termini specifici. 9- Sottoinsiemi. 10- Regole ed enunciati. 11- Negazione e complementare.
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1. Introduzione
Le attività didattiche che illustreremo si riferiscono agli argomenti di insiemi e
logica nel primo ciclo della scuola elementare. Fanno parte di un percorso articolato e
ampio che abbiamo sperimentato nelle nostre classi, soprattutto in prima elementare,
che ha come punti di riferimento:
- i programmi ministeriali di matematica del 1985;
- la teoria degli insiemi e i concetti matematici che da essa derivano;
- lo sviluppo e la capacità di pensiero dei bambini.
In particolare, partendo dalle prime osservazioni e classificazioni, ci soffermeremo
sul concetto di “insieme” e ci occuperemo di “sottoinsiemi”, dell'“insieme
complementare” e di “regole ed enunciati”.
Accanto alle attività didattiche cercheremo di illustrare alcuni processi mentali
che il bambino mette in atto per accedere ai concetti coinvolti, la metodologia
adottata e le difficoltà incontrate. Il nostro obiettivo didattico è quello di far
sperimentare ai bambini delle situazioni, appositamente predisposte, che inducano la
costruzione e l’interiorizzazione delle strutture mentali che stanno alla base degli
apprendimenti matematici e successivamente di interiorizzare regole e termini
linguistici formali.
L’educazione logica, partendo dalle prime operazioni concrete sugli insiemi e
procedendo con operazioni sempre più complesse, articolate e formali, attiva, stimola
e affina abilità logiche che, a livelli sempre più alti, concorrono a sviluppare capacità
di analisi, di generalizzazione, di sintesi, di astrazione; capacità che riguardano tutti i
campi della matematica, ma di fatto anche le altre discipline.
Per questo nei programmi ministeriali troviamo scritto che
L'educazione logica, più che oggetto di un insegnamento esplicito e
formalizzato, deve essere argomento di riflessione e di cura continua degli
insegnanti, a cui spetta il compito di favorire e stimolare lo sviluppo cognitivo
del fanciullo, scoprendo tempestivamente eventuali difficoltà e carenze.
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Sempre nei programmi ministeriali troviamo delle indicazioni metodologiche con cui
viene posta in evidenza l’importanza dell’esperienza e della manipolazione concreta:
L'insegnante proporrà fin dall'inizio, sul piano dell'esperienza e della
manipolazione concreta, attività ricche di potenzialità logica, quali:
classificazione mediante attributi, inclusioni, seriazioni etc… . Con gradualità
potrà introdurre qualche rappresentazione logico-insiemistica (si potranno
usare I diagrammi di Eulero-Venn, I grafici, etc…) che sarà impiegata per
l'aritmetica, per la geometria, per le scienze, per la lingua, etc… . Tuttavia
terrà presente che la simbolizzazione formale di operazioni logico-
insiemistiche non è necessaria, in via preliminare, per l'introduzione di interi
naturali e delle operazioni aritmetiche.
Diventa allora fondamentale che il bambino possa intervenire e agire in prima
persona o in gruppo, in contesti ricchi di stimoli, appositamente pensati e predisposti
come "occasioni di conoscenza".
Il gioco, soprattutto nel primo ciclo, diventa un canale privilegiato; la sua
valenza positiva può motivare ad agire e a scoprire l’interesse e il gusto per la
matematica. Si tratta di un gioco "pensato e scelto" appositamente dall’insegnante per
raggiungere gli obiettivi logici proposti.
Accanto all’esperienza, alla manipolazione e al gioco, sempre nei programmi
ministeriali, viene ribadita l’importanza del linguaggio verbale, sottolineando che
azione, pensiero e linguaggio sono strettamente collegati:
Particolare cura sarà rivolta alla conquista della precisione e della
completezza del linguaggio, tenendo conto che, soprattutto nei primi anni di
scuola, il linguaggio naturale ha ricchezza espressiva e potenzialità logica
adeguate alle necessità di apprendimento.
Riteniamo quindi utile fin dall’inizio abituare i bambini ad esplicitare verbalmente le
azioni che compiono, chiedendo loro di utilizzare un linguaggio sempre più
appropriato e preciso. Più avanti, quando le capacità lo permetteranno, si chiederà
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anche di motivare le scelte, di spiegare i procedimenti messi in atto per raggiungere
determinati risultati, di verificare l’attendibilità dei risultati raggiunti, in modo che il
linguaggio possa divenire completo, specifico e coerente.
Oltre a questi obiettivi specifici, sottolineiamo anche l'importanza della
metodologia proposta dal punto di vista della socializzazione; infatti il linguaggio
verbale dà la possibilità di comunicare con gli altri, di discutere, chiarire e mettere in
comune idee e opinioni anche diverse, e questa opportunità va colta fin dall'inizio e in
ogni situazione educativa.
Concludendo queste osservazioni preliminari, osserviamo che i concetti propri
della teoria degli insiemi e le attività ad essa ispirate, costituiscono uno strumento
privilegiato per raggiungere gli obiettivi indicati.
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2. Osservare, descrivere, confrontare
Il momento dell’entrata alla scuola elementare coincide approssimativamente
con l’età in cui il bambino inizia a manifestare e a utilizzare una certa capacità di
analisi che in seguito, maturando, affinerà e svilupperà. In questo contesto "Saper
analizzare" significa sviluppare la capacità di cogliere i diversi elementi che
compongono un oggetto, una figura ecc... superando la mera struttura globale;
significa anche saper ricercare qualità o aspetti non subito evidenti. La capacità di
analisi ha un ruolo fondamentale in diverse discipline, basta pensare
all’apprendimento della lettura e della scrittura, alla risoluzione di problemi (e non
solo problemi matematici), a tutte le attività che richiedono seriazioni ecc... .
Osservare, descrivere, confrontare sono i cardini di questa capacità di analisi e le
attività che proponiamo, pur avendo obiettivi diversi, concorrono a sviluppare nei
bambini un atteggiamento analitico preliminare alle attività più strutturate che
affronteranno in seguito. In particolare la nostra proposta si concentra su:
- osservazione e descrizione di oggetti;
- scoperta delle proprietà funzionali di un oggetto;
- scoperta di somiglianze e differenze tra oggetti.
Osservazione e descrizione di oggetti
L’attività di osservazione è qui intesa come assunzione di un atteggiamento di
curiosità da parte dei bambini che porta a ricercare e a scoprire nei diversi oggetti
quelle caratteristiche particolari non subito evidenti.
L’osservazione dei singoli oggetti, viene svolta attraverso il gioco e prevede
l’utilizzo dei cinque sensi. Viene data ai bambini la possibilità di riconoscere,
manipolare e giocare con oggetti, viene loro richiesto di osservare con attenzione e di
esprimere le loro osservazioni con un linguaggio appropriato.
Riteniamo queste esperienze indispensabili per poter in seguito accedere ai
primi elementi di insiemistica.
I giochi che proporremo utilizzano materiale diverso; è significativo chiedere
ai bambini di portarlo da casa; gli oggetti così raccolti vengono messi tutti assieme
per avere una grande varietà di materiali a disposizione del gruppo per giocare nei
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momenti liberi. Lo stesso materiale, o meglio parte di esso, in più occasioni viene
disposto su di un tappeto o su di un foglio di carta da pacco, al centro del cerchio
formato dagli alunni.
L’OGGETTO NASCOSTO
I bambini sono invitati ad osservare con attenzione gli oggetti. A turno uno di
loro viene invitato ad uscire un attimo dalla classe o a girarsi. Si nasconde uno
degli oggetti in un sacchetto. Il bambino rientra e, toccando l’oggetto nel
sacchetto, deve individuarlo.
L’OGGETTO MISTERIOSO
L’insegnante sceglie uno degli oggetti, senza toccarlo. I bambini, con domande
appropriate (“Di che colore è?”, “Di che materiale è fatto?”, “A che cosa
serve?”, ...) cercano di individuarlo.
Successivamente, a turno, i bambini scelgono uno degli oggetti e i compagni lo
devono individuare.
L’OGGETTO PARLANTE
Si sceglie insieme un oggetto e si prepara una carta d’identità descrivendone a
voce le caratteristiche, come se l’oggetto stesso parlasse: “Sono rosso”, “Sono
morbido”, “Sono di lana”...
In un secondo tempo uno dei bambini sceglie un oggetto presentando ai
compagni la sua carta d’identità. I compagni lo devono individuare.
In quest'ultimo gioco è utile, mentre si osservano gli oggetti presenti, fare paragoni
con oggetti che in quel momento non si possono vedere o toccare; questa richiesta
attiva la capacità di pensare a qualità comuni, che è fondamentale per il successivo
lavoro sulla formazione di insiemi.
I giochi proposti sono spesso già noti ai bambini che li hanno imparati nella
Scuola dell'Infanzia. In particolare il seguente è molto diffuso (vedi anche [1], [2])
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STREGA COMANDA COLOR
Il gioco si svolge in palestra, dove vengono collocati molti oggetti; i giocatori
sono in ordine sparso. La strega grida: “Strega comanda color... (esempio
verde)”; i giocatori devono correre verso un oggetto del colore indicato e
gridare il colore per "essere salvi”; la strega deve cercare di prendere un
giocatore che non ha ancora toccato il colore e che va a prendere il posto
della strega; se la strega non prende nessuno, ricomincia con un altro colore.
È poi ovvio che si possono considerare molte varianti: anziché il colore, la strega può
comandare altre caratteristiche (es “Strega comanda ... legno!”, “Strega comanda ...
quadrato!”). Infine si può tradurre i gioco stesso in un contesto differente:
IL RE E IL SUO FORZIERE (I versione)
Ogni bambino, a turno, interpreta il ruolo del re che, volendo riempire un suo
forziere, pronuncerà la frase: “Il re comanda...” ordinando così ai bambini di
cercare nella classe un oggetto con una qualche particolare caratteristica.
Quando ciascun bambino ha trovato l’oggetto, lo porta al re e ne descrive le
caratteristiche (ad es. se è stato chiesto un oggetto di colore rosso, un bambino
può prendere un pennarello e dire così: “Ho scelto un pennarello rosso”).
Scoperta di proprietà funzionali di un oggetto
L'attività che presentiamo come esempio porta i bambini a scoprire in quanti e
in quali modi può essere utilizzato un oggetto.
Si sceglie un oggetto e ad ogni bambino viene dato un foglio con la consegna
di disegnare una modalità per utilizzare quel determinato oggetto. A turno, ogni
bambino incolla su di un cartellone la sua proposta e la verbalizza.
Nella figura 1 è riportato un cartellone sul quale l'insegnante ha disegnato le
proposte dei bambini in relazione all'oggetto scelto (un bicchiere).
È sorprendente vedere come i bambini, insieme, riescano a fornire una vasta
gamma di possibili utilizzazioni, alcune scontate e poco utili , altre originali e utili.
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Questa raccolta di proprietà funzionali, frutto della ricerca del gruppo, arrichisce il
singolo, portandolo ad uscire da una certa fissità e dalla tendenza ad utilizzare un
oggetto solo per determinate funzioni.
figura 1
È poi ovvio che i giochi precedenti possono essere utilizzati in questo contesto,
modificando opportunamente le consegne.
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Scoperta di somiglianze e differenze tra oggetti
Attraverso il gioco, a coppie o a gruppi, invitiamo i bambini a confrontare due
o più oggetti scoprendo e verbalizzando il maggior numero di somiglianze o di
differenze possibili.
figura 2
Nella scelta di oggetti o immagini, è opportuno partire da soggetti molto
diversi (vedi figura 2) o molto simili (vedi figura 3) per poi passare a soggetti dove
somiglianze e differenze sono meno evidenti, in modo da stimolare una ricerca attiva
da parte dei bambini (vedi figura 4).
Teniamo presente che la ricerca di differenze porta ad affinare la capacità di analisi;
la ricerca di somiglianze attiva la capacità di generalizzazione, capacità base per la
formazione di insiemi.
In questa prima fase, alla fine dell’attività il materiale viene riposto in alcune
scatole predisposte, ma in modo casuale. Talvolta ciò che è stato eseguito
praticamente viene poi registrato sul quaderno con il disegno o utilizzando delle
schede. Agli oggetti portati dai bambini si può aggiungere anche il materiale
strutturato (blocchi logici, regoli) da usare come gioco.
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Le attività presentate sono state utilizzate più volte in classe. Ci sembra
opportuno riportare alcune considerazioni sulla base dell’esperienza svolta.
Anzitutto notiamo che accanto all’attività di osservazione e di confronto,
particolare importanza riveste il momento della verbalizzazione, durante il quale i
bambini vengono stimolati ad utilizzare un linguaggio sempre più appropriato e
preciso. Tutte le attività che abbiamo proposto portano ad un arricchimento del
linguaggio per i seguenti motivi:
- più si ricercano proprietà particolari, più nasce l’esigenza di conoscere vocaboli
specifici per poterle verbalizzare, di conseguenza il lessico si fa più appropriato;
- le parole "nuove" vengono scoperte mentre si manipolano gli oggetti, quindi
vengono interiorizzate più facilmente;
- la maggior parte di queste attività viene svolta in gruppo, quindi il numero di
vocaboli utilizzati aumenta, come pure la possibilità che questi divengano patrimonio
comune.
Inoltre c’è da dire che in queste prime attività fondamentale è la scelta del
materiale. Inizialmente abbiamo scelto il materiale occasionale; riteniamo possa
maggiormente stimolare l’attenzione e la fantasia dei bambini, inoltre è legato alla
loro esperienza e alla loro affettività e questo li rende protagonisti.
figura 5
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Il materiale strutturato è gia predisposto e, pur prestandosi a diverse modalità di
impiego, i criteri a cui far riferimento rimangono sempre la forma, il colore, la
grandezza e lo spessore. Il materiale occasionale consente invece di predisporre dei
contesti ricchi di stimoli, ma presenta delle particolarità che talvolta possono
complicare lo svolgimento dell’attività per i seguenti motivi:
- è vario, presenta molteplici caratteristiche e soprattutto nel primo periodo può creare
confusione e dispersione;
- presenta diverse sfumature che talvolta sono difficili da descrivere ed esprimere
verbalmente;
- presenta inoltre delle ambiguità che fin dall’inizio è opportuno affrontare e chiarire,
ad esempio quando nella descrizione di un oggetto interviene un giudizio soggettivo
(“è bello”; “è simpatico”; “è piccolo”). In queste situazioni è opportuno scegliere
assieme un riferimento o un criterio sul quale basarsi che sia accettabile per tutti.
Infine qualche osservazione sulle difficoltà incontrate. Le attività che abbiamo
illustrato sono talvolta di difficile gestione se si pensa che vengono proposte nel
primo periodo di scuola elementare, quando ancora i bambini non riescono a
rispettare alcune regole quali l’aspettare il proprio turno e l’ascoltare; in classi
numerose e in piccoli spazi poi tutto diventa più difficile. In ogni caso, valutando i
tempi brevi di attenzione e di ascolto, consigliamo di operare nelle prime ore del
mattino.
Per concludere, ci preme comunque sottolineare che il tempo dedicato a
queste attività è un tempo ben speso e un investimento per il futuro: più volte nei
programmi ministeriali viene infatti richiamata l’importanza della manipolazione e
dell’esperienza concreta come base per poter costruire concetti, per poter operare in
contesti sempre più complessi.
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3. Classificare
Le attività di classificazione che presentiamo in questo paragrafo sono
intermedie alla costruzione di insiemi; apparentemente sono molto semplici e
generalmente non presentano particolari difficoltà, se però le analizziamo
comprendiamo che il bambino deve compiere diverse operazioni per arrivare al
risultato richiesto. Rispetto al precedente lavoro di osservazione c’è un salto di
qualità, infatti ora si richiede di fissare l’attenzione non più su di un singolo oggetto,
ma su di un gruppo di oggetti. Il bambino deve scegliere dei criteri per ordinare il
materiale e per classificarlo. Questa scelta di criteri implica la capacità di confrontare
oggetti, di cogliere somiglianze e differenze, di scegliere alcune caratteristiche
scartandone altre. L’obiettivo di queste attività è quello di guidare il bambino a
ricercare, a scoprire, a scegliere criteri diversi talvolta non subito evidenti per operare
classificazioni.
Dopo aver utilizzato il materiale per un gioco, si può richiedere ai bambini di
cercare dei criteri per ordinarlo in scatole diverse. Nel corso di una discussione
preliminare, l’insegnante propone alcuni criteri semplici di classificazione, basati su
un solo attributo, lasciando anche che i bambini stessi propongano i loro. In
conclusione si decide un modo per ordinare il materiale, sistemandolo nelle scatole
(una caratteristica per scatola). L'attività può essere completata chiedendo ai bambini
di registrare sul quaderno il risultato, con un disegno che lo rappresenti (figura 6).
figura 6
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In genere, con questo lavoro, nasce la necessità di ricordare il contenuto della
scatole e si arriva a decidere di applicare un’etichetta con un disegno che rappresenti
il criterio scelto. È un primo approccio al simbolo, poiché l’etichetta non riproduce un
singolo oggetto, ma qualcosa di comune a più oggetti. Quest'ultimo aspetto sarà
ripreso nel momento in cui per l'introduzione dei numeri naturali si utilizzeranno le
scatole che raccolgono sacchetti "equipotenti" indicando sull'etichetta il numero
corrispondente.
Accanto all'attività di manipolazione, anche alcuni giochi possono essere
utilizzati per lo stesso scopo:
E' ARRIVATO UN BASTIMENTO CARICO DI...
Il comandante, un bambino a turno, prende uno scatolone mettendo dentro
un oggetto a sua scelta di cui indica una proprietà dicendo ad esempio: “È
arrivato un bastimento carico di oggetti di plastica”. I compagni scelgono
altri oggetti di plastica e caricano il bastimento.
IL VERSO DEGLI ANIMALI
Il gioco si svolge in palestra. L’insegnante sceglie alcuni animali e ne assegna
il verso a ciascun bambino. Al "via" tutti, in ordine sparso e utilizzando tutto lo
spazio della palestra, inizieranno a fare il verso dell’animale che è stato loro
assegnato. Poi ad un segnale dell’insegnante i bambini, proseguendo
nell’imitazione del verso e ascoltandosi, cercheranno di incontrarsi per
formare il gruppo dello stesso animale.
GIOCO DEI GRUPPI:
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Il gioco si svolge in palestra ; al “via” dell’insegnante i bambini inizieranno a
camminare, correre, saltare o strisciare a seconda della consegna, utilizzando
tutto lo spazio. Allo “stop” si immobilizzeranno per ascoltare l’insegnante che
darà ad esempio, il seguente comando:
"gruppo dei bambini con la tuta verde..."
"fila dei bambini con le scarpe tutte blu"
"riga dei bambini con i capelli ricci"
"girotondo dei bambini con la felpa rossa"
In queste attività è importante che ogni bambino assuma un atteggiamento
attivo e trovi lo spazio per manipolare, verbalizzare e fare proposte personali. Di fatto
abbiamo rilevato la tendenza dei bambini a classificare in base a caratteristiche subito
evidenti quali il colore e l’omogeneità degli oggetti; è importante invece che
l’insegnante li guidi a scoprire caratteristiche meno immediate.
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4. Costruire insiemi
Dopo questa fase preliminare, ma fondamentale, si passa alla costruzione di
insiemi; siamo partiti dai dati dell’osservazione, abbiamo sviluppato le capacità di
analisi e affrontato con le classificazioni una prima organizzazione dei dati stessi. In
questa nuova fase passiamo ad una gestione più sistematica dei dati percettivi
introducendo una struttura logica che porta ad identificare ed ad acquisire gli
strumenti adatti. L’ambiente offerto dalla "teoria degli insiemi", per il suo carattere
"fondazionale", si presta in modo particolare a perseguire l’obiettivo suddetto.
A lunga scadenza ci proponiamo di:
- fornire ai bambini gli strumenti necessari per analizzare contesti diversi, per
cogliere gli elementi più importanti, le relazioni più significative trascurando gli
aspetti non rilevanti;
- far comprendere che si può intervenire in un determinato contesto adottando dei
criteri, delle regole ben precise;
- far capire che alcune regole possono cambiare se cambia il contesto;
- abituare i bambini ad utilizzare una terminologia corretta, appropriata, specifica
per descrivere una determinata situazione, per motivare le proprie scelte o il
proprio procedimento operativo;
- portare i bambini a staccarsi gradualmente dal concreto, dalla situazione
particolare per arrivare, passando attraverso le rappresentazioni e i simboli, a
generalizzare e ad astrarre.
Inoltre queste attività concorrono alla costruzione del concetto di numero naturale.
Questo paragrafo è dedicato ad un primo passo corrispondente alla
"formazione di insiemi", la struttura essenziale dell’attività si articola nei seguenti
passi fondamentali:
1) Si fissa un universo;
si fissano cioè gli elementi con i quali decidiamo di lavorare; è il contesto di
riferimento dal quale "non è lecito uscire". Per definirlo in modo efficace sarà bene
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analizzare ed elencare gli elementi dell’universo togliendo così ogni possibilità di
ambiguità e confusione e stabilendo da subito una convenzione secondo cui
all’universo nulla va aggiunto e nulla va tolto.
2) Si fissa una regola;
si decide cioè un attributo che caratterizzi l'insieme che vogliamo formare; o
comunque si dà una precisa indicazione degli elementi che vogliamo costituiscano
l'insieme.
3) Si raccolgono tutti e soli gli elementi dell'universo che rispettano la regola;
tali elementi vengono delimitati ad esempio con una cordicella chiusa: dentro stanno
tutti e soli gli elementi che possiedono la caratteristica individuata, fuori tutti gli altri.
Vale la pena soffermarsi per qualche osservazione sul concetto di universo.
Come si è detto costituisce il riferimento per costruire l’insieme. Gli oggetti che
costituiscono l’universo, almeno inizialmente, non devono essere troppo numerosi in
modo che ogni bambino possa controllare la situazione e gli elementi stessi senza
disperdere l’attenzione. E' bene variare l’universo nel quale ci troviamo ad operare
per portare i bambini a comprendere che, variando il contesto, cambiano le possibilità
di classificazione.
Osserviamo poi che anche la forma e il colore della corda, lo spazio occupato
dagli oggetti e la loro posizione, le modalità per delimitare gli elementi (corda,
scatola, tappeto, foglio) vanno variati spesso perché l'attenzione deve essere fissata
sull’insieme e non sul modo di rappresentarlo.
Predisponiamo inoltre situazioni affinché i bambini possano sperimentare
"casi limite" come l'insieme che coincide con l’universo, insiemi costituiti da un solo
elemento, l'insieme vuoto (figura 7); i bambini infatti sono portati a pensare che un
insieme sia formato da molti oggetti.
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nell'universo delle bamboline in bacheca
indichiamo l'insieme delle bamboline con gli occhiali
figura 7
All'inizio dell'attività si utilizza il materiale portato dai bambini. Gli oggetti
vengono disposti a terra su di un foglio di carta da pacco o su di un tappeto,
precisando che quelli sono tutti e soli gli oggetti da considerare (figura 8).
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figura 8
L’insegnante propone una regola e i bambini avvicinano tra loro gli oggetti che la
rispettano circondandoli con una cordicella; si spiega bene, a voce, perché sono stati
isolati proprio quegli oggetti (figura 9). Si fa inoltre una conversazione su che cosa i
bambini intendono per "mettere insieme" e sui termini "gruppo", "raccolta",
"collezione" ...
figura 9
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Come abbiamo già osservato, in questa fase è importante che gli oggetti non
siano troppo numerosi in modo che ogni bambino possa controllare tutti gli elementi
e non disperdere l’attenzione.
Oltre alle attività legate alla manipolazione di oggetti, si possono organizzare
alcuni giochi che sviluppano le proposte precedenti esposte nel paragrafo 2.
IL RE E IL SUO FORZIERE II
L’ambientazione del luogo e` costituita da un’area delimitata, forse un tappeto
o un cerchio disegnato a terra, in cui sono raccolti oggetti, i più vari, scelti in
modo che (ma solo per comodità) possano corrispondere a caratteristiche
individuabili facilmente. Un bambino o l’insegnante interpreta il ruolo del re
ed è al centro del gioco.
Il re ha un forziere ed ordina di raccogliere oggetti con una data
caratteristica, i bambini, ad uno ad uno portano ciascuno un oggetto con la
caratteristica comandata e lo depongono nel forziere, fino a che tutti gli
oggetti soddisfacenti al requisito e presenti nell’area scelta per il gioco non
sono stati selezionati.
Alla fine del gioco il re apre il forziere e controlla che tutti gli oggetti raccolti
abbiano la caratteristica richiesta e che tra quelli fuori dal forziere non ci sia
alcun oggetto che la possegga.
Nei giochi in palestra i bambini stessi diventano elementi di insiemi sulla base
di caratteristiche proposte dall’insegnante o da loro stessi; cerchi, corde e materassini
diventano lo spazio che delimita l’insieme stesso.
Strumento molto utile per il nostro lavoro può essere una lavagna magnetica,
ricoperta di vernice bianca in modo che sia adatta per scrivere con pennarelli ad
alcool. Può essere utilizzata come ambiente per situazioni molto differenti e
circoscrive l’universo degli elementi in modo chiaro.
Nel caso della figura 10, sono state predisposte figurine con fotografie
ritagliate da riviste; piuttosto che disegni sono state scelte immagini reali riproducenti
mezzi di trasporto, animali, fiori ed oggetti diversi di uso comune. In altri casi,
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assieme ai bambini, sono state preparate delle bamboline di cartoncino e stoffa (vedi
figura 7) alle quali è stato incollato un magnete per poterle applicare sulla lavagna. In
generale abbiamo utilizzato piccoli oggetti (pupazzetti, bottoni...) e anche blocchi
logici.
l'universo delle figurine
l'insieme delle figurine dei camion
figura 10
Anche l'attività alla lavagna procede secondo lo schema già indicato. Si
decide un universo e attraverso una conversazione si osservano e si analizzano tutti i
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suoi elementi. Poi si sceglie una caratteristica fra quelle evidenziate e si riuniscono
tutti e soli gli oggetti che la possiedono, separandoli dal resto dell’universo; infine si
verifica il lavoro fatto controllando che l’insieme ottenuto sia formato da tutti e soli
gli elementi che possiedono la caratteristica scelta, sottolineando che nessun elemento
che la possiede è rimasto fuori (vedi ad esempio figura 10).
E' importante che il materiale a disposizione sia vario per abituare i bambini a
ricercare e scoprire criteri sempre diversi per classificare e formare insiemi.
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5. Gli insiemi sul quaderno
Dopo aver lavorato per un certo tempo con il materiale concreto si passa a
registrare, con il disegno sul quaderno, una sintesi dell'attività svolta.
Inizialmente si riproduce la situazione reale, mantenendo davanti a sé gli
oggetti. Successivamente si chiede ai bambini di ricordare e disegnare un insieme
formato poco prima concretamente.
Per alcune attività vengono date figurine da ritagliare che riproducono in
piccolo le immagini di alcune figure usate per la lavagna magnetica. Ogni bambino
inoltre ha una busta contenente altre figurine ritagliate da utilizzare per formare
insiemi sul quaderno (vedi ad esempio figura 11).
figura 11
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Nella rappresentazione grafica è necessario indicare anche gli elementi che
non appartengono all’insieme, ma fanno parte dell’universo considerato (l’insieme in
genere non coincide con l’universo).
Per indicare e ricordare la proprietà dell’insieme all’inizio si scrive per esteso:
"Abbiamo formato l’insieme..."; in un secondo tempo si propone di mettere un
cartellino nel quale disegnare un simbolo concordato collettivamente; non sempre la
ricerca di tale simbolo è semplice, perché deve rappresentare in modo chiaro
l’attributo prescelto, non i singoli oggetti. Più avanti si utilizzano lettere dell’alfabeto.
figura 12
Al momento opportuno, in genere verso la fine dell’anno, per rappresentare
gli elementi dell’insieme si utilizzano dei simboli (crocette, cerchietti, ecc.). Questo
passaggio va introdotto gradualmente, dopo aver lavorato a lungo sul concreto (vedi
figura 12).
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Abbiamo posto particolare attenzione alla scelta di schede sulle quali lavorare e
spesso è stato necessario realizzarle appositamente perché fossero più funzionali al
percorso progettato. Infatti negli esercizi deve sempre essere chiaro l’universo entro il
quale ci si trova ad operare. I disegni non devono presentare ambiguità (es, la sagoma
di un animale può rappresentare l’animale stesso o un giocattolo); è sempre
opportuno chiarire con i bambini di che cosa si tratti (vedi il paragrafo successivo).
27
6. L’appartenenza e la questione dell’elemento estraneo
Nelle attività descritte nei paragrafi precedenti, le operazioni che si chiede di
svolgere ai bambini coinvolgono implicitamente la capacità di riconoscere
"l'appartenenza di un elemento ad un insieme". Per rafforzare quanto già ottenuto si
possono svolgere giochi ed esercizi che insistono esplicitamente su questo aspetto.
Figura 13
Due giochi in particolare sono funzionali a questo scopo. In un primo caso
l'insegnante costruisce un insieme di oggetti sulla base di una proprietà dichiarata
esplicitamente ed inserisce di proposito uno o più elementi che non possiedono tale
proprietà, quindi si chiede ai bambini di individuare l'elemento estraneo (o gli
elementi estranei), eventualmente procedendo in modo sistematico, elencando uno
per uno gli elementi e controllando la loro appartenenza all’insieme stesso sulla base
della proprietà dichiarata (vedi figura 13). In un secondo caso, viceversa, si presenta
un insieme che non contiene tutti gli elementi che dovrebbe e si corregge la situazione
con un controllo simile al precedente (vedi figura 14).
28
Figura 14
Queste attività possono essere svolte collettivamente con l’utilizzo della
lavagna magnetica e del materiale precedentemente descritto, o singolarmente con
schede adatte allo scopo.
Insistiamo sulla necessità di rispettare lo schema sopra indicato, affinché le
attività siano significative. Il senso da dare all’appartenenza di un elemento ad un
insieme è infatti ben preciso ed ha come base la relazione che si instaura tra un
elemento dell'universo e l' insieme costruito. Occorre però notare che su molti testi
operativi vengono invece riportati degli esercizi dove senza dare indicazioni
dell'universo o una chiara definizione dell'insieme, si trovano consegne del tipo
seguente
"cancella con una crocetta l’elemento estraneo"
"l’elemento x appartiene o non appartiene all’insieme?".
29
figura 15
questi esercizi (definiti come "ricerca dell’elemento estraneo o appartenente") sono
senza senso perché non vengono rispettati i termini già indicati (vedi figura 15).
30
7. L’esercizio inverso
Rispetto alle attività precedenti, quelle che seguiranno presentano un maggior
grado di difficoltà: si passa infatti dall’attività diretta a quella inversa.
Nel caso precedente, erano assegnati un contesto (l’universo) e dei dati (gli elementi
dell’universo) e si chiedeva che a partire da questi venisse eseguita una determinata
operazione (la formazione di un insieme). Ora, si dispone dei dati (gli elementi
dell’universo) e del risultato finale (l’insieme) e si chiede di capire ciò che si è fatto,
cioè di individuare la caratteristica scelta.
figura 16
Questa attività, se ben programmata con un’attenta scelta del materiale (oggetti e
schede), presenta dei vantaggi. Si possono ad esempio predisporre situazioni in cui la
soluzione dell’esercizio non è unica, perché si potranno scoprire più caratteristiche
31
che individuano lo stesso insieme (figure 16 e 17). Talvolta poi basta aggiungere un
elemento all’universo perché l’attributo scelto non descriva più correttamente
l’insieme. Sono attività che danno la possibilità di chiarire l’importanza del contesto,
o meglio dell’universo.
figura 17
Va tenuto presente inoltre che lavorando a partire dal risultato e dovendo
ritornare al punto di partenza si agisce sulla “reversibilità del pensiero”.
All’inizio è l’insegnante a formare gli insiemi con il materiale portato dai
bambini. Si utilizzano pochi elementi con un unico attributo ben evidente (colore,
forma, ecc.). I bambini devono individuare l’attributo che caratterizza l’insieme
formato, successivamente troveranno un simbolo per riconoscerlo.
Una volta avviata questa attività, i bambini possono essere divisi in due o più
gruppi e ogni gruppo, utilizzando il materiale a disposizione, formerà insiemi secondo
un criterio che l’altro gruppo dovrà individuare. Si possono organizzare sfide alla
lavagna magnetica, aumentando il numero degli elementi dell’universo per stimolare
i bambini ad inventare insiemi con caratteristiche particolari, facendo leva sul loro
desiderio di sfidare i compagni.
32
8. I termini specifici
Durante lo svolgimento delle attività è importante approfondire e far capire ai
bambini il significato dei termini specifici: universo, insieme, elemento, tutti e soli,
appartiene, non appartiene. Come insegnanti utilizzeremo sempre una terminologia
corretta, richiedendo ai bambini di fare altrettanto per abituarli ad usare il linguaggio
degli insiemi, talvolta diverso da quello quotidiano.
Il significato dei termini, utilizzati “in situazione”, risulta quasi immediato; solo il
termine “elemento” richiede un tempo maggiore per essere interiorizzato, perché
prevede la capacità di staccarsi dall’oggetto concreto, essendo già una prima forma di
generalizzazione.
figura 18
Completa seguendo le consegne
33
Contemporaneamente, riflettiamo sull’impiego di una categoria di vocaboli
che esprimono una quantità: tutti, alcuni, ogni, nessuno... . Anche in questo caso
partiamo da situazioni molto concrete, che spesso coinvolgono i bambini stessi che in
palestra o in classe diventano “elementi” di un insieme. Invitiamo ad una
osservazione molto attenta e poniamo domande utilizzando i quantificatori.
figura 19
Le stesse attività potranno essere svolte sul quaderno; nelle figure 18 e 19
riportiamo come esempio due schede predisposte allo scopo.
Completa seguendo le consegne
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9. Sottoinsiemi
Utilizzando il materiale precedentemente descritto, fissiamo un universo e
formiamo un insieme, quindi individuiamo una caratteristica che si adatta ad alcuni
dei suoi elementi: costruiamo così un sottoinsieme. Nella figura 20 è riportato un
esempio per l’individuazione di sottoinsiemi, alla lavagna magnetica.
l'universo in bacheca
l'insieme dei camion
il sottoinsieme dei camion da corsa
figura 20
35
Il concetto di sottoinsieme viene facilmente intuito dai bambini come un
insieme che sta dentro all’insieme di partenza. Questa operazione inizialmente risulta
semplice, quasi naturale per i bambini, in realtà e` una lenta conquista.
Infatti quando si passa ad analizzare i legami esistenti tra insieme, sottoinsieme e fra i
loro elementi, iniziano le difficoltà (difficoltà che ancora abbiamo rilevato, seppure in
misura minore, in alcune prove di entrata alle classi terze).
In questa fase entra in gioco la capacità di considerare contemporaneamente il
tutto (l’insieme), la parte (il sottoinsieme) e la loro relazione. Di fatto, generalmente il
sottoinsieme viene considerato dai bambini come un insieme a sé stante, non incluso
nell’insieme di partenza e l'inclusione passa in secondo piano.
figura 21
In figura 21 è illustrato un caso particolare in cui si verifica che "l’insieme dei
bambini" è un sottoinsieme degli elementi di colore arancione senza che sia
necessario "specificare due attributi".
Abbiamo cercato di ovviare a questa difficoltà ritornando spesso all’insieme
di partenza (il tutto) per costruire diversi sottoinsiemi. Indispensabile l’uso della
lavagna magnetica che ci ha dato la possibilità di manipolare e spostare di volta in
volta gli elementi presi in considerazione. Inoltre per questo lavoro abbiamo
predisposto alcune schede specifiche che possono essere utilizzate sia
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individualmente che per un lavoro di gruppo. La scheda in figura 22, nella quale il
sottoinsieme da considerare è già indicato, presenta minori difficoltà di quella
mostrata nella figura 23.
figura 22
37
figura 23
Per quanto riguarda la terminologia specifica, durante lo svolgimento attività abbiamo
chiarito che i termini "appartiene" e "non appartiene" si utilizzano in riferimento
agli elementi; i termini "è contenuto", "è incluso" si utilizzano per i sottoinsiemi in
riferimento ad un insieme.
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10. Regole ed enunciati
In logica matematica, gli enunciati e le proposizioni sono quelle frasi alle
quali si può attribuire il valore “vero” o il valore “falso”, detti appunto valori di
verità (il pulcino ha le ali, il maiale è un rettile). La regola rappresenta un enunciato
aperto (“ … è rosso”, ” … è un animale”, “ … ha quattro zampe”…).
Il percorso sulle regole ed enunciati è in stretto rapporto con le attività
proposte precedentemente sulla formazione di insiemi. Si tratta di applicare una
procedura diversa per arrivare allo stesso risultato, in questo caso si tratta di passare
attraverso le regole e il valore di verità degli enunciati per formare insiemi.
Secondo questa nuova procedura (vedi [1]), dato un universo, si fissa una
regola che viene applicata a tutti gli elementi dell’universo (si formano tutti gli
enunciati) e si costruisce poi un insieme formato da tutti e soli gli elementi che
rendono vero l' enunciato.
Si prendono in considerazione oggetti concreti, facilmente controllabili dai
bambini, per costruire proposizioni o enunciati. Contemporaneamente attraverso
conversazioni, si chiarisce il significato di “regola”, “vero”, e ”falso”.
Si introducino anzitutto dei giochi:
Il re il suo forziere III
Il gioco prevede di nuovo un'area delimitata in cui sono raccolti vari oggetti (vedi "Il re e il suo forziere II") e un bambino (o l'insegnante) che interpretando il ruolo del re, con il suo forziere, ordina di raccogliere oggetti con una data caratteristica. Questa volta i bambini, ad uno ad uno, portano ciascuno un oggetto qualunque tra quelli presenti nell'area del gioco e di fronte al re dichiarano che l'oggetto portato possiede la caratteristica richiesta. Ad esempio, supponendo che il re abbia chiesto oggetti di colore rosso, dichiarano:
"questo pennarello è rosso" oppure
"questo bottone è rosso"
indipendentemente dal fatto che l'oggetto sia effettivamente rosso o meno.
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Il re risponde a ciascuno: "Vero!" e apre il forziere per accogliere l'oggetto
oppure "Falso!" e mette da parte l'oggetto
a seconda che l'affermazione del bambino sia vera oppure falsa. Il gioco va avanti fino a che a che tutti gli oggetti, presenti nell'area scelta per il gioco, non sono stati considerati. Alla fine il re apre il forziere e controlla che tutti gli oggetti raccolti abbiano la caratteristica richiesta e che tra quelli fuori del forziere non ci sia nessun oggetto che la possiede. A questo punto si può osservare che nel forziere si è raccolto "l'insieme degli oggetti che ..."
Un altro gioco che piace molto ai bambini perchè li vede coinvolti come
elementi degli insiemi che via via si vanno formando è il “Gioco del giudice”.
Il giudice e le sue regole
L’universo è formato dai bambini della classe. A turno ogni bambino interpreta
il ruolo del giudice. Il giudice ha in mano due cartelli con scritto “VERO” e
“FALSO”. In aula viene predisposto uno spazio delimitato con scritto “VERO”.
Ogni bambino del gruppo passa davanti al giudice che, in base alla regola
fissata, lo fa entrare nello spazio del VERO oppure non lo fa entrare. Alla fine
del gioco si osserva che, nello spazio del vero, è riunito l’insieme dei bambini
che possiedono la caratteristica indicata dalla regola.
Alcune di queste attività possono essere riprodotte alla lavagna magnetica o
sul quaderno, cercando di rappresentarle in modo sempre più schematico (figura.24)
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sulla lavagna magnetica
sul quaderno
figura 24
Sempre nell’ottica di rappresentare ciò che succede in modo schematico, sia sulla
lavagna magnetica, sia sul quaderno ricorrendo a rappresentazioni grafiche,
41
proponiamo e utilizziamo la macchina che forma gli insiemi mostrata nella figura
25 (vedi [1]).
VERO FALSO
ha quattro ruote
REGOLA
figura 25
Ogni elemento entra nella macchina e passa attraverso la regola. Gli enunciati che
corrispondono al VERO vanno a formare l’insieme, gli enunciati che corrispondono al
FALSO vengono scartati.La stessa macchina può essere realizzata concretamente
nello scatolone del VERO e del FALSO1 di figura 26.
figura 26
1 Lo scatolone del Vero e del Falso è stato ideato dall’insegnate Umberta Rossi.
42
Lo scatolone ha due entrate, una per il VERO e una per il FALSO. Si fissano un
universo e una regola e, attraverso l’entrata “VERO”, vengono introdotti gli oggetti
che la soddisfano. Tali oggetti vengono a cadere un sacchetto precedentemente
predisposto all’estremità dell’entrata VERO. Si forma così l’insieme.
Infine le attività descritte si rafforzano utilizzando disegni e figurine per
costruire tabelle che riportano il valore di verità degli enunciati (vedi figura 27).
figura 27
Nello stesso contesto si possono inquadrare esercizi inversi dove dato un universo e
una tabella i bambini devono scoprire la regola.
Le attività legate all’applicazione di regole per formare insiemi sono di fatto
uno sviluppo delle attività già svolte. Si tratta di uno sviluppo nel senso di una
maggiore formalizzazione e precisione di linguaggio. Tutti gli aspetti che sono
intervenuti nelle discussioni con i bambini in occasione delle attività dei paragrafi 4-7
ritornano in questo nuovo contesto che è particolarmente adatto a raccoglierle. Questo
43
percorso è stato proposto verso la fine della classe prima, perché richiede al bambino
una certa abilità nel padroneggiare gli insiemi e un utilizzo preciso, consapevole e
coerente del linguaggio.
E' importante che la regola sia formulata con precisione e sia verificabile per
evitare confusione nello svolgimento del lavoro stesso. Riportiamo due esempi di
discussione che pensiamo particolarmente significativi per illustrare quanto detto
Sintesi di una conversazione in classe
Regola: AVERE LA TUTA
“La mia maglia fa parte della tuta”
“Anche i miei pantaloni”
“Non vale, deve essere intera”
“E con i colori giusti (abbinati)”
(I bambini concordano che deve essere completa)
“Io ce l’ho a casa”
“Tutti ce l’hanno, ma bisogna averla qui per vederla”
“Allora la regola deve diventare INDOSSARE LA TUTA”
(Il gruppo concorda)
Regola: ESSERE BIONDO/A
“Per me biondo vuol dire avere i capelli chiarissimi, come Luca”
“Io sono castano, ma quando vado al sole i miei capelli diventano biondi”
“Anche i miei hanno delle sfumature bionde”
“I miei capelli sono un pò biondi”
“Anche Anna li ha chiarissimi”
Si discute ancora, alla fine si decide che i capelli, per essere definiti biondi, devono
essere chiarissimi come quelli di Luca e individuano altri due compagni per i quali la
regola “essere biondo/a” corrisponde al valore VERO.
I casi precedenti riguardano situazioni in cui nasce la necessità di precisare ciò che la
regola (avere la tuta, essere biondo) richiede in un contesto variegato, altre situazioni
riguardano invece i problemi che sorgono quando la regola implica quello che nella
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realtà comune è un “giudizio soggettivo” (essere simpatico; essere bello…). Queste
regole sembrano non poter essere utilizzate per la impossibilità di esprimere un
giudizio di verità, ma in realtà basta scegliere assieme un riferimento o un criterio sul
quale basarsi. Importante è che sia accettato da tutti come definitivo.
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11. Negazione e complementare
È bene lavorare a lungo per far comprendere e rafforzare il concetto di
negazione di una propietà e per poter riconoscere gli elementi che godono di essa.
I bambini potranno gradualmente constatare che l’attributo di un sottoinsieme può
essere anche la negazione di un altro. Inoltre comprenderanno il funzionamento della
negazione verificando che il “non” muta il valore di verità di una frase (si osserva che
quando una frase è vera il “non” la fa diventare falsa; quando invece la frase con il
“non” è vera, togliendo il “non” diventa falsa, vedi figura 28).
figura 28
Si preciserà maggiormente la differenza fra NEGAZIONE e CONTRARIO (es.
dolce/amaro/non dolce, bianco/nero/non bianco), scoprendo che non è detto che la
negazione significhi il contrario. Si partirà da situazioni semplici e concrete,
facilmente sperimentabili, lavorando inizialmente sulla classificazione ad un criterio
per la formazione di un sottoinsieme, la descrizione degli elementi non appartenenti
al sottoinsieme e la loro definizione mediante la negazione.
Ovviamente alcuni dei giochi già svolti si presteranno alla nuova attività, ad esempio,
nel gioco “strega comanda …” si potranno formulare richieste con una negazione:
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“STREGA COMANDA … NON ROSSO”
“STREGA COMANDA … NON DI LEGNO”
Dopo il lavoro sulle regole e sulla negazione si passa in modo abbastanza naturale a
formalizzare "la regola complementare". Questa verrà successivamente ripresa ed
approfondita nella risoluzione di problemi di sottrazione.
42
12. Calendario delle attività
Al termine di questo lavoro proponiamo un calendario che illustra la
scansione temporale delle attività sopra descritte e la sequenzialità con la quale
introdurre i diversi argomenti. I tempi da noi proposti sono indicativi; essi variano
secondo il contesto classe con il quale ogni insegnante si trova ad operare. La
realizzazione di questo percorso richiede comunque che sia rispettata la sequenzialità
delle diverse tappe, sia per la costruzione della struttura concettuale sia per il
collegamento con altri apprendimenti matematici (concetto di numero, relazioni …).
1
SETTEMBRE OTTOBRE NOVEMBRE DICEMBRE GENNAIO FEBBRAIO MARZO APRILE MAGGIO GIUGNO
ACCERTAMENTO DEI PREREQUISITI
OSSERVARE OGGETTI, RILEVARE COLORI FORME DIMENSIONI FUNZIONI
COMPIERE ATTIVITA’ DI CLASSIFICAZIONE
COSTRUIRE INSIEMI SULLA BASE DEGLI ATTRIBUTI DEGLI ELEMENTI
SAPER RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE UN INSIEME
DEFINIRE GLI INSIEMI SULLA BASE DI UNA PROPRIETA’
ESPRIMERE L’APPARTENENZA (A VOCE)
INDIVIDUARE L’INSIEME VUOTO INDIVIDUARE ED INDICARE SOTTOINSIEMI
REGISTRARE L’APPARTENEN-ZA INDIVIDUARE IL
COMPLEMENTARE DEL SOTTOINSIEME
SAPER USARE IN MODO CORRETTO LE ESPRESSIONI VERO FALSO
2
SETTEMBRE OTTOBRE NOVEMBRE DICEMBRE GENNAIO FEBBRAIO MARZO APRILE MAGGIO GIUGNO
CLASSIFICARE SECONDO UNA PROPRIETA’
REGISTRARE L’APPARTENENZA E LA NON APPARTENENZA
USO DEL CONGIUNTIVO “NON”
VERO E FALSO ENUNCIATO
INDIVIDUARE SOTTOINSIEMI
REGISTRARE L’APPARTE-NENZA DI UN ELEMENTO AL SOTTO- -INSIEME
INDIVIDUARE IL COMPLEMENTARE DEL SOTTINSIEME
1
Conclusione e bibliografia
La proposta didattica che abbiamo presentato nelle pagine precedenti, costituisce una
rivisitazione di quelle attività che in un modo o nell’altro, da circa trent’anni, in tutto
il mondo, vengono svolte nelle prime classi del ciclo elementare sotto il nome di
“insiemi e logica”.
Si tratta di una rivisitazione svolta con l’intenzione di riflettere e ripensare cercando la
strada di un percorso organico che abbia un senso. Quindi le attivita’ che abbiamo
descritto rappresentano essenzialmente il terreno su cui si e’ esercitata la nostra
sperimentazione e non vogliono proporsi ne’ come novita’ ne’ come “summa” di
riferimento. Cio’ che ci interessa trasmettere sono invece le osservazioni che sono
sorte durante il percorso e, nel suo complesso, l’ottica entro cui abbiamo svolto il
nostro lavoro. Il materiale descritto resta un esempio, certamente utilizzabile, ma da
modificare continuamente a seconda delle esigenze didattiche e degli obiettivi
educativi: e’ su queste esigenze e su questi obiettivi che abbiamo cercato di portare la
discussione sperando di dare un contributo utile.
Al termine di questo lavoro desideriamo innanzitutto ringraziare il prof. Mimmo
Iannelli del Dipartimento di Matematica dell’Università di Trento. Il suo
fondamentale supporto scientifico e la continua disponibilità al confronto nelle
diverse fasi della stesura del fascicolo, hanno reso possibile la realizzazione di questo
lavoro. Ringraziamo inoltre Alessandro Pontalti e Umberta Rossi, colleghi
dell’interclasse, con i quali abbiamo programmato e sperimentato diverse attività
proposte; Emanuela Franceschini e Silvana Marchi, colleghe impegnate nel
Laboratorio di Matematica della Scuola “Pigarelli”, per averci fornito prezioso
materiale da loro realizzato; Marta Cazzanelli del Laboratorio di didattica della
matematica dell’Università di Trento per il supporto tecnico.
Per cio’ che riguarda la bibliografia facciamo stretto riferimento al fascicolo
2
[1] Lucia Alessandrini, Giorgio Bolondi, Mimmo Iannelli, Fascicolo 1, Insiemi e Logica nel Primo Ciclo: un percorso di interfaccia tra la matematica sottesa e l’attività in classe, Fascicolo del Laboratorio LRM3D2,
Dip. di Matematica, Università di Trento
che, redatto con gli stessi scopi di questo lavoro, ne e’ in un certo senso parte
integrante e al fascicolo
[2] Giorgio Bolondi, Tiziana Ceol, Luisa Fontanari, Mimmo Iannelli,
Fascicolo 6, Giochi disegni e filastrocche: la matematica nascosta nella scuola
dell’infanzia, Fascicolo del Laboratorio LRM3D2, Dip. di Matematica, Università di Trento
inoltre riportiamo alcuni testi standard cui rimandiamo per consultazione
[3] M. L. Altieri Biagi, F. Speranza
OGGETTO, PAROLA, NUMERO Nicola Milano Editore
[4] Renato Reggiori
Matematica in Prima Elementare Istituto Geografico De Agostini
[5] Renato Reggiori
Matematica in Seconda Elementare Istituto Geografico De Agostini
[6] Clara Colombo Bozzolo
Primi Elementi di Logica-Insiemi-Relazioni Editrice La Scuola
[7] Clara Colombo Bozzolo
Primi Elementi di Logica-Insiemi-Relazioni
Proposte Didattiche Editrice La Scuola
[8] Michele Pellerey
Oltre gli Insiemi Tecnodid Edizioni