INSTABILITA’ Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro

dell’anello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene.

Se GH>1 il segnale di uscita, ad ogni giro nell,anello si amplifica e quindi si ha una oscillazione che aumenta di ampiezza anche senza alcun ingresso

G

H

U=UGH

INSTABILITA’ Qual è la situazione limite per l’instabilità?

si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e’ uguale a 1, e lo si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e’ uguale a 1, e lo sfasamento è uguale a -180sfasamento è uguale a -180oo..

NB Sfasare di 180o corrisponde a moltiplicare per –1 , poiché il nodo di confronto moltiplica a sua volta per –1, il segnale risulta uguale a se stesso e si automantiene!!!!

Punto critico modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a

-180-180oo corrisponde al punto complesso corrisponde al punto complesso

-1+j0-1+j0 tale punto è detto

punto criticopunto critico

Sistemi a sfasamento minimoSistemi a sfasamento minimo Una condizione necessaria, ma non sufficiente,

perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s) siano a parte reale non positiva

Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto

frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo

Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso.

Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato.

Margini di stabilità

G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)

Margine di fase

Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardoche può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità.

1)( : cc iL )(arg cm iL

L’angolo che manca alla fase della funzioned’anello per raggiungere π in corrispondenzadella pulsazione di cross-over, cioè dellapulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario.

0m Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico

0m Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)

Margine di guadagno

Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità.

)L(iωc arg :)(

1

iLgm

1)( iL Il sistema è stabile

Rappresenta di quanto l’ordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω)sta al di sotto dell’asse ω in corrispondenzadella pulsazione .

Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

2

3

m

mg

CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over , per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π.

c

c

c

m

Criterio di stabilità di Bode

Criterio di stabilità di BodeUn sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s), alla pulsazione di taglio coco, ha una fase con valore assolutominore di 180°

Cos’è co?

co è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 dB e quindi co è la pulsazione che si individua nell’intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l’asse delle pulsazioni

Cos’è co?

Questo è il valore di co

|G(s)•H(s)|

E questa è la

fase della G(s)•H(s) alla pulsazione co

Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) co?

Condizioni di stabilità In realtà, il criterio di Bode individua

condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo

Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno)

Cos’è il margine di fase? Il margine di fase può essere definito:

m= 180° + (co)

Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover

L’individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue

Cos’è il margine di fase?

|G(s)•H(s)|

Si considerino i diagrammi di Bode di una

generica funzione G(s)H(s)

si trova (t)

In corrispondenza

di co

che, in questo

esempio, vale

-135°Il margine di

fase m

dell’esempio considerato, vale

dunque180°-135°=+45°

-90°

-180°-135°

(t)

m

Condizioni di stabilità

Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30° (m> 30°)

Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (m< 0°)

Cos’è il margine di ampiezza? Il margine di ampiezza può essere definito:

mgdB= 0 - |G(s)•H(s)|dB(=-180°)

Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180°

L’individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue

Cos’è il margine di ampiezza?

|G(s)•H(s)|

Si considerino i diagrammi di Bode di una

generica funzione G(s)H(s)

si rileva il modulo del

guadagno in dB

In corrispondenza

di = -180°

che, in questo

esempio, è negativo

Il margine di ampiezza mgdB

dell’esempio considerato, è

dunque positivo-180°

|G(s)•H(s)|dB(=-180°)mgdB

Condizioni di stabilità Concludendo, si può dire che un sistema di

controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase m e di ampiezza mgdB sono entrambi positivi

Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che m sia maggiore di 30° e che mgdB sia maggiore di 1020 dB