Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II 6. Sem. Vorlesung 5 18. Mai 2000 Konstruktion des Voronoi-Diagramms

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Geoinformation II6. Sem.Vorlesung 5

18. Mai 2000

Konstruktion des Voronoi-Diagramms II

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Divide and Conquer: Merge

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Konstruktion des Voronoi-Diagramms

„Divide and Conquer“• Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten

• Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2

• Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P1) und VD(P2)

• Merge: Verknüpfe VD(P1) und VD(P2)

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„Merge“

• Die Voronoi-Diagramme VD(P1) und VD(P2) sind bereits berechnet.

• Die konvexen Hüllen CH(P1) und CH(P2) seien ebenfalls an dieser Stelle bekannt.

1. Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte und die beiden oberen und unteren Tangenten von CH(P1) CH(P2)

2. Konstruiere CH(P1 P2)

3. Bilde die Mittelsenkrechten zu den beiden neu eingeführten Kanten

4. Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

5. Entferne die überstehenden Kanten

6. Bilde die neu entstandenen Voronoi-Regionen (Maschen)

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max y

min ymin y

max y

Extrempunkte von CH(P1) CH(P2)

66

Tangente von CH(P1) CH(P2)

77

Nochmals zur konvexen Hülle CH

Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P?

Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH.

• Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten.

• Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge.

• Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen.

• P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist.

88

Tangente

99

Nachfolger - Bestimmung

Winkel minimal

P1

P2

1010

Nachfolger

Winkel minimal

P2

P1

1111

Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen

• Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte von CH(P1), CH(P2) und CH(P1) CH(P2)

• Betrachte die oberen Extrempunkte P1 und Q1 und die Nachfolger P2 und Q2 im Uhrzeigersinn, und sei P1 höher als Q1

• Bestimme das Minimum der mit P1P2, P1Q1 und P1Q2 assoziierten Winkel

• Fälle:– P1 Q1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig

– P1 P2 minimal: ersetze P1 durch P2 und P2 durch P3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)

– P1 Q2 minimal: ersetze Q1 durch Q2 und Q2 durch Q3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)

• Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch

1212

Extrempunkte

1313

2 vertikal monotone Kantenzüge

1414

Tangente

1515

Bestimmung des Nachfolgers

Winkel nicht minimal

1616


Winkel minimal

1717


1818


1919

Konvexe Hülle

2020


2121

Konvexe Hülle

2222

Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

2323

Vereinigung

Mittelsenkrechte bilden

2424

Vereinigung

2525

Vereinigung

Aktive Voronoi-Diagramme

Schnittpunkte mit Seg-menten suchen

2626

Vereinigung



Neues aktives VD

2727

Vereinigung



Neues aktives VD

Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD

2828

Vereinigung

Schnittpunkte suchen

2929

Vereinigung


Neues aktives VD suchen

3030

Vereinigung



3131

Vereinigung



Mittelsenkrechte deraktiven VD

3232

Vereinigung


3333

Vereinigung



3434

Vereinigung




3535

Vereinigung

Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen


3636

Vereinigung




3737

Vereinigung



3838

Vereinigung




3939

Vereinigung



4040

Vereinigung




4141

Vereinigung



4242

Vereinigung




4343

Vereinigung



4444

Vereinigung



Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang

4545

Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

• gegeben: die beiden oberen und unteren Mittelsenkrechten g und g*

• die zugehörigen oberen Voronoi-Regionen seien P und Q

• Solange die untere Mittelsenkrechte noch nicht erreicht ist– Bestimme für die aktuelle Mittelsenkrechte

• die Austrittspunkte p und q aus den aktuellen Voronoi-Regionen, • die zugehörigen Kanten• die zugehörigen Nachbarn P‘ und Q‘

– wenn p höher ist als q• ersetze P durch P‘ und schneide g an der Stelle p ab

– wenn q höher als p • ersetze Q durch Q‘ und schneide g an der Stelle q ab

– bestimme die aktuelle Mittelsenkrechte g des neuen Paares P, Q

4646

Länge des Kantenzuges im Worst Case

O(n)

4747

Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case

O(n)

4848

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

war jetzt alles umsonst?

4949

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

5050

„Investitionen müssen sich amortisieren“

• Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“• Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n)• Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens

zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden• Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im

Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!

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