INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - DSpace Hometesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/9887/1/2.pdf · 2017-12-12 · 2.5 Parámetros de Denavit-Hartenberg ... Figura 2.1 Espacio Vectorial

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

CONTROL DE SISTEMAS MECATRÓNICOS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO EN COMUNICACIONES

Y ELECTRÓNICA

P R E S E N T A

Leonardo López Antonio

Litzahaya Tzitzintly Salas García

ASESORES

Dr. CARLOS VÁZQUEZ AGUILERA

Dr. RODRIGO LÓPEZ CÁRDENAS

MÉXICO, D.F. 2011

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESIME ZAC

I

OBJETIVO

Analizar y diseñar un controlador PID aplicado a sistemas actuados y sub-actuados, así como el diseño de

trayectorias de un robot manipulador de tres grados de libertad y una grúa viajera de cinco grados de

libertad desarrollando sus modelos matemáticos y empleando la cinemática directa e inversa.

JUSTIFICACIÓN

Una de las principales preocupaciones de las empresas en materia de producción, consiste en incrementar

los niveles de productividad, aumentando la efectividad y eficiencia de sus procesos. En la búsqueda de

mantener la competitividad en el mercado y mejorar dichos factores, deben abrir sus perspectivas hacia la

integración de sus operaciones con sistemas automatizados y mecatrónicos.

Uno de los inconvenientes en estos procesos, es el transporte de piezas involucradas dentro de dicho

proceso, por lo general, esta tarea es llevada a cabo por un operario, que transporta manualmente las piezas

o productos. La automatización industrial no es un fenómeno reciente, desde que la actividad artesanal

comenzó a ser sustituida por la industria, las empresas han procurado la obtención del máximo rendimiento

del trabajo mediante la acción combinada de herramientas, máquinas y organización, tales como el empleo

de robots manipuladores o grúas donde los procesos exigen una detallada ejecución del mismo, traslado de

grandes masas de un lugar a otro, siendo estos elementos indispensables en una gran parte de los procesos

de manufactura.

El control de posición así como regulación en las oscilaciones de la carga transportada son un problema

con gran impacto, por lo que se propone el uso de un controlador PID para resolver con éxito el problema

de control de posición, se diseñan los modelos dinámicos de cada uno de los sistemas, se realiza la

simulación y control de un robot manipulador de 3GDL, a su vez se realiza el control en un prototipo de

una grúa viajera de 5GDL, presentando gráficas y experimentos realizados al aplicar el algoritmo de

control implementado en dicho sistema.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL AGRADECIMIENTO

ESIME ZAC

II

AGRADECIMIENTOS

“A nuestros padres por estar siempre a nuestro lado, por su paciencia, dedicación, apoyo, amor,

confianza, que nos brindan a cada momento, y darnos la oportunidad de culminar esta etapa de nuestras

vidas.”

“A nuestros Profesores del Instituto Politécnico Nacional, compañeros y amigos que con su cariño y sus

enseñanzas hicieron posible este sueño.”

“Al profesor Carlos Vásquez Aguilera por el apoyo, y consejos ofrecidos durante las largas jornadas de

asesorías y consultas.”

“Al profesor Rodrigo López Cárdenas por el interés mostrado y apoyo brindado durante el desarrollo de

este trabajo.”

“A todos aquellos que no están aquí pero que nos ayudaron a que todo este esfuerzo se hiciera realidad.”

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ÍNDICE

ESIME ZAC

III

ÍNDICE

Objetivo _______________________________________________________________________ I

Justificación ____________________________________________________________________ I

Agradecimientos ______________________________________________________________ III

Índice _______________________________________________________________________ IIII

Índice de Figuras ______________________________________________________________ VI

Índice de Tablas _______________________________________________________________ IX

CAPITULO 1

Introducción a los Sistemas Mecatrónicos

1.1 Morfología de un Robot Industrial _______________________________________________________ 5

1.2 Principales Caracteristicas _____________________________________________________________ 8

1.3 Cinemática y Dinámica _______________________________________________________________ 11

1.4 Aplicaciones Industriales _____________________________________________________________ 12

CAPITULO 2

Fundamentos Matemáticos

2.1 Algebra Lineal _____________________________________________________________________ 16

2.2 Atan2 _____________________________________________________________________________ 19

2.3 Representación de Posiciones __________________________________________________________ 20

2.4 Transfromación Homogénea ___________________________________________________________ 23

2.5 Parámetros de Denavit-Hartenberg (D-H) ________________________________________________ 24

2.6 Ecuaciones de Euler-Lagrange _________________________________________________________ 26


ESIME ZAC

IV

CAPITULO 3

Modelado de Sistemas

3.1 Cinemática Directa de un Robot Manipulador de 3 GDL __________________________________ 32

3.2 Cinemática Inversa de un Robot Manipulador de 3 GDL _____________________________________ 34

3.3 Dinámica de un Robot Manipulador de 3 GDL ____________________________________________ 38

3.4 Expresiones Generales para Obtener la Energía Cinética y la Energía Potencial _____________ 41

3.5 Ecuaciones de Movimiento ____________________________________________________________ 43

3.6 Modelo de una Grúa de 5GDL en 3 Dimensiones __________________________________________ 48

CAPITULO 4

Controlador PID

4.1 Conceptos Básicos de Sistemas de Control ________________________________________________ 58

4.2 Controlador PID ____________________________________________________________________ 62

4.3 Reglas de Sintonización de Controladores PID ____________________________________________ 68

4.4 Control de Seguimiento de Trayectoria __________________________________________________ 80

CAPITULO 5

Análisis y Resultados

5.1 Robot Manipulador __________________________________________________________________ 86

5.2 Diseño de la Trayectoria _______________________________________________________88

5.3 Grúa _____________________________________________________________________________ 98

5.4 Diseño de la Trayectoria ______________________________________________________________ 99


ESIME ZAC

V

CAPITULO 6

Conclusiones

Conclusiones _________________________________________________________________________ 113

Bibliografía _________________________________________________________________________ 115

Anexo A Cinemática Directa del Robot __________________________________________________ 117

Anexo B Cinemática Inversa del Robot __________________________________________________ 118

Anexo C Modelo Dinámico del Robot ____________________________________________________ 119

Anexo D Modelo Dinámico de la Grúa ___________________________________________________ 121

Anexo E Espacio de Trabajo del Robot __________________________________________________ 123

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ÍNDICE DE FIGURAS

ESIME ZAC

VI

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Estructura Mecánica ____________________________________________________________ 5

Figura 1.2 Tipos de Articulaciones __________________________________________________________ 6

Figura 1.3 Diagrama de Bloques de un Sistema de Control de Robots _____________________________ 8

Figura 1.4 Configuraciones y Espacios de Trabajo _____________________________________________ 9

Figura 2.1 Espacio Vectorial 2D __________________________________________________________ 16

Figura 2.2 Producto Punto de Dos Vectores Cartesianos _______________________________________ 17

Figura 2.3 Regla de la Mano Deracha ______________________________________________________ 18

Figura 2.4 Utilización de la Ley de Cosenos _________________________________________________ 20

Figura 2.5 Sistemas de Referencia y ___________________________________________________ 20

Figura 2.6 Sistemas de Referencia y ___________________________________________________ 22

Figura 2.7 Sentido Positivo de los Ángulos ____________________________________________ 24

Figura 2.8 Condiciones para obtener los Parámetros de D-H ____________________________________ 25

Figura 2.9 Sistema de un Grado de Libertad _________________________________________________ 26

Figura 3.1 Kuka KR 40 PA ______________________________________________________________ 30

Figura 3.2 Grúa Viajera _________________________________________________________________ 31

Figura 3.3 Configuración de Sistemas de Referencia para un Robot de 3GDL _______________________ 32

Figura 3.4 Configuración Geométrica de un Brazo Manipulador de 3GDL _________________________ 34

Figura 3.5 Configuración Geométrica de los Eslabones 2 y 3 ____________________________________ 35

Figura 3.6 Cuerpo Rígido ________________________________________________________________ 41

Figura 3.7 Sistema Coordenado de una Grúa ________________________________________________ 48

Figura 4.1 Configuración Típica de un Diagrama de Bloques de un Sistema de Control _______________ 58

Figura 4.2 Sistema de Control en Lazo Abierto _______________________________________________ 59

Figura 4.3 Sistema de Contro en Lazo Cerrado _______________________________________________ 60

Figura 4.4 Controlador PID ______________________________________________________________ 63

Figura 4.5 Diagrama de Bloques de un Controlador Proporcional ________________________________ 64

Figura 4.6 Diagrama de Bloques de un Controlador Integral ____________________________________ 65

Figura 4.7 Diagrama de Bloques de un Controlador Derivativo __________________________________ 66

Figura 4.8 Oscilación Sostenida con un Periodo ___________________________________________ 68

Figura 4.9 Características del Punto _____________________________________________________ 69


ESIME ZAC

VII

Figura 4.10 Cambio del Punto en el Plano Complejp Causado por un PID _______________________ 70

Figura 4.11 Cambio del Punto a para la Asignación del Margen de Ganancia _________________ 71

Figura 4.12 Curva de Respuesta en Forma de S ______________________________________________ 74

Figura 4.13 Parámetros Característicos de la Respuesta al Escalón por el Método de la Tangente ______ 74

Figura 4.14 Parámetros Característicos de la Respuesta al Escalón por el Método de la Áreas _________ 76

Figura 4.15 Trayectoria Típica del Espacio Común ___________________________________________ 84

Figura 5.1. Robot Manipulador 3GDL ______________________________________________________ 86

Figura 5.2 Área de Trabajo del Robot Manipulador de 3GDL ___________________________________ 87

Figura 5.3 Descripción de la Trayectoria del Robot Manipulador de 3GDL _________________________ 88

Figura 5.4 Trayectoria de Simulación ______________________________________________________ 89

Figura 5.5 Modelo del Robot Manipulador en Matlab Simulink __________________________________ 89

Figura 5.6 Simulación de la Señal de Velocidad Promedio Estimada ______________________________ 91

Figura 5.7 Simulación de la Señal de Velocidad Estimada para T=0.01 ____________________________ 91

Figura 5.8 Simulación de la Señal de Velocidad Estimada para T=0.1 _____________________________ 92

Figura 5.9 Simulación de la Señal de Velocidad Estimada para T=1 ______________________________ 92

Figura 5.10 Controlador PID en Configuración Paralelo _______________________________________ 93

Figura5.11 Implementación de la Función Saturación _________________________________________ 94

Figura 5.12 Diagrama de Bloques de Simulación del Control PID para el Robot ____________________ 94

Figura 5.13 esultados de Simulación 1 del Robot ______________________________________________ 96

Figura 5.14 Resultados de Simulación 2 del Robot ____________________________________________ 97

Figura 5.15 Área de Trabajo de una Grúa de 5GDL ___________________________________________ 98

Figura 5.16 Grua 5GDL _________________________________________________________________ 99

Figura 5.17 Descripción de la Trayectoria de una Grúa de 5GDL ________________________________ 99

Figura 5.18 Trayectoria en Coordenadas Rectangulares 1 _____________________________________ 100

Figura 5.19 Modelo de la Grúa Viajera en Matlab-Simulink ____________________________________ 100

Figura 5.20 Diagrama de Bloques de Simulación del Control PID para la Grúa ____________________ 101

Figura 5.21 Resultados de Simulación 1 de la Grúa __________________________________________ 102

Figura 5.22 Simulación 1 de las Oscilaciones Presentadas en la Carga ___________________________ 103

Figura 5.23 Trayectoria en Coordenadas Rectangulares 2 _____________________________________ 104

Figura 5.24 Resultados de Simulación 2 de la Grúa __________________________________________ 105

Figura 5.25 Simulación 2 de las Oscilaciones Presentadas en la Carga ___________________________ 106


ESIME ZAC

VIII

Figura 5.26 Resultados Experimentales 1 de la Grúa _________________________________________ 107

Figura 5.27 Oscilaciones Presentadas en la Carga ___________________________________________ 108

Figura 5.28 Error RMS y Fuerzas (Interpolación Lineal) ______________________________________ 109

Figura 5.29 Resultados Experimentales 2 de la Grúa _________________________________________ 110

Figura 5.30 Oscilaciones Presentadas en la Carga ___________________________________________ 111

Figura 5.31 Error RMS y Fuerzas (Interpolación Cúbica) _____________________________________ 112

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL JUSTIFICACIÓN

ESIME ZAC

IX

INDICE DE TABLAS

Tabla 3.1 Especificaciones del Robot Kuka KR 40 PA __________________________________________ 30

Tabla 3.2 Parámetros de Denavit-Hartenberg para un Robot de 3GDL ____________________________ 32

Tabla 4.1 Parámetros , y Basados en la Ganancia Critica y Periodo Crítico _________________ 69

Tabla 4.2 Calibrado del PID con Asignación del Margen de Ganancia o de Fase ____________________ 73

Tabla 4.3 Parámetros , y Basados en la Respusta Escalón de la Planta _____________________ 75

Tabla 4.4 Reglas de Calibrado de Cohen y Coon ______________________________________________ 77

Tabla 4.5 Reglas de Calibrado IMC ________________________________________________________ 77

Tabla 4.6 Reglas de Calibrado ITAE _______________________________________________________ 78

Tabla 4.7 Efecto de las Ganancias en los Controladores ________________________________________ 79

Tabla 5.1 Parámetros del Robot Manipulador de 3GDL ________________________________________ 86

Tabla 5.2 Ganancias PID ________________________________________________________________ 94

Tabla 5.3 Parámetros de la Grúa de 5GDL __________________________________________________ 99

Tabla 5.4 Ganancias PID _______________________________________________________________ 101

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CAPITULO 1

1

Capítulo 1

Introducción a los Sistemas

Mecatrónicos

El campo de la mecatrónica consiste en la integración sinérgica de tres campos de la ingeniería tradicional

para el proceso de diseño a nivel de sistema. Estos tres campos son:

1. Ingeniería Mecánica, de donde se toma el prefijo “meca”

2. Ingeniería Eléctrica o Electrónica, de donde se toma el sufijo “trónica”

3. Informática

El campo de la mecatrónica no es tan solo la suma de estas tres áreas principales, sino más bien el campo

definido como la intersección de estas áreas cuando se toman en el contexto del diseño de sistemas.

La palabra mecatrónica la acuñaron por primera vez ingenieros de la Yaskawa Electric Company, está

claro que la mecatrónica no es una disciplina nueva de la ingeniería, sino que más bien es el estado actual

del proceso evolutivo de las disciplinas de la ingeniería en el diseño de sistemas electromecánicos.


2

El diseño mecánico forma el “esqueleto” del producto electromecánico sobre el cual se construye el resto

de las funcionalidades (como “ojos, músculos, cerebro”). Estos mecanismos se analizan en términos de su

funcionalidad y parámetros comunes de diseño.

Cada sistema mecatrónico tiene algún sensor para medir el estado de las variables del proceso, los

sensores son los ”ojos” de un sistema controlado por computadora, los actuadores son los “músculos” del

sistema.

Los conceptos fundamentales de hardware y software para computadoras, microprocesadores y

procesadores digitales de señales (DSP) se analizan teniendo presente aplicaciones para el control de

dispositivos mecánicos.

Como ejemplo de estos cambios, la industria Automotriz se ha transformado a sí misma en términos de

sus productos como en sus métodos de producción desde la introducción de los microprocesadores. El uso

de controladores embebidos basados en microprocesadores ha aumentado de manera significativa los

procesos de manufactura programable basados en robótica, como en las líneas de ensamble, maquinas-

herramientas CNC (Control Numérico por Computadora) y manejo de materiales.

El manipulador robótico es un buen ejemplo de un sistema mecatrónico. Los manipuladores robóticos, el

mecanismo de movimiento reconfigurable, programable y con grados múltiples de libertad se han aplicado

en muchos procesos de manufactura (Cetinkunt, 2007).

El robot es, sin duda, uno de los inventos más populares del siglo XX. El fuerte desarrollo experimentado

por la robótica se debe a las crecientes necesidades de automatización de la industria del siglo XX

(Usategui, 2000).

Los robots actuales son obras de ingeniería y como tales concebidas para producir bienes y servicios o

explotar recursos naturales. Desde esta perspectiva son máquinas con las que se continua una actividad

que parte de los propios orígenes de la humanidad, y que desde el comienzo de la Edad Moderna se

fundamenta esencialmente en conocimientos científicos (Fu, 1988).

También desde la antigüedad, el hombre ha sentido fascinación por las maquinas que imitan la figura y los

movimientos de seres animados. Existe una larga tradición de autómatas desde el mundo griego hasta

nuestro siglo, pasando por los autómatas de los artesanos franceses y suizos del siglo XVIII, que ya

incorporaban interesantes dispositivos mecánicos para el control automático de movimientos.

La palabra robot se usó por primera vez en 1921, en la obra de teatro R.U.R (Rossum Universal Robots)

escrita por el checo Karel Capek en cuyo idioma la palabra “robota” significa trabajo forzado u

obligatorio (Saha, 2010).


3

La actualización industrial con utilización de sistemas de control automático comienza también en el siglo

XIX pero no es hasta el siglo XX y muy especialmente, después de la segunda guerra mundial, cuando

empieza a extenderse de forma importante en todos los sectores industriales. De esta manera, se

generalizan los sistemas de control automático de variables de procesos industriales y, en particular,

sistemas de control de posición y velocidad (Fu, 1988).

Una definición oficial de un robot viene de ROBOTICS INSTITUTE OF AMERICA (RIA):

Un robot es un manipulador multifuncional reprogramable diseñado para mover materiales, piezas,

herramientas o dispositivos especializados para realizar diversas tareas (Craig, 2006).

Los robots no son los únicos sistemas macatrónicos que podemos mencionar, por otro lado podemos

encontrar a grúas, sistemas que de igual forma son muy empleados en la industria, éstas son máquinas de

elevación de movimiento discontinuo y su uso está destinado a elevar y distribuir cargas en el espacio de

manera horizontal o vertical.

Las grúas son clasificadas de acuerdo a los modos en que transportan la carga de manera horizontal, de tal

forma que encontramos los siguientes grupos (Towne, 1883).

Rotary

Swing Cranes

Jib Cranes

Colum Cranes

Pillar Cranes

Derrick Cranes

Walking Cranes

Rectilinear

Bridge Cranes

Tram Cranes

Traveling Cranes

Gantries

Rotary Bridge Cranes

De acuerdo al Comité de Normalización de Petróleos Mexicanos y Organismos Subsidiarios en el

documento número NRF-183-PEMEX-2007 disponible en http://www.pemex.com/files/content/NRF-183-

PEMEX-20071.pdf, las grúas las podemos clasificar como se menciona a continuación.

Por su accionamiento

Manual: El puente, el polipasto y el carro son accionados con rueda y cadena de mando.

Motorizada: El puente, el polipasto y el carro son accionados con motor eléctrico o

neumático.

Mixta: El puente, el polipasto y el carro son accionados con rueda de mando o con

motor eléctrico o neumático indistintamente.


4

Por su tipo de servicio

Clase A: Servicio poco frecuente.

Clase B: Servicio ligero.

Clase C: Servicio moderado.

Clase D: Servicio Pesado.

Por su construcción

Mono-puente.

Bi-puente.

Por su forma de soporte

Apoyadas: Las ruedas de translación de la grúa se apoyan sobre la trabe carril.

Suspendidas: Las ruedas de translación de la grúa se apoyan sobre la cara superior del

patín inferior de la trabe carril.

A continuación describiremos los tipos de articulaciones que podemos encontrar en los diferentes sistemas

macatrónicos, se define el término de grados de libertad, el sistema de accionamiento, sistema sensorial y

sistema de control, sin perder generalidad dichos conceptos son explicados tomando en cuenta uno de los

sistemas de mayor estudio.

Se abordan los principios de la cinemática y la dinámica que se aplicará a los dos sistemas macatrónicos

mencionados en esta tesis, así como se mencionan algunas de las aplicaciones industriales de ambos

sistemas.


5

1.1 MORFOLOGÍA DE UN ROBOT INDUSTRIAL

Un robot está constituido por los siguientes elementos:

Estructura Mecánica (eslabones y articulaciones)

Transmisiones y Reductores

Sistemas de Accionamiento (actuadores)

Sistema Sensorial

Sistema de Control

Elementos Terminales (pinzas o herramientas)

La estructura mecánica o brazo de un robot es una cadena formada por eslabones (ejes) consecutivos,

unidos entre sí por medio de articulaciones que permiten el movimiento relativo entre ellos, ver figura 1.1

Generalmente, la cadena de eslabones tiene uno de sus extremos fijo, también llamado base, y en el

extremo opuesto se coloca un efector final para realizar operaciones.

Figura 1.1 Estructura Mecánica

Existen 6 tipos de articulaciones pero las más usadas en la industria son generalmente rotatorias (de

revolución) o lineal (prismáticas). Las articulaciones de revolución permiten el giro relativo entre dos

eslabones, y una articulación prismática permite un movimiento lineal relativo entre dos eslabones.

El efector final es el último eslabón del manipulador el cual tiene la capacidad de agarre del objeto que se

pretende manipular o colocar una herramienta adecuada para realizar la tarea.


6

Las características quedan determinadas por su estructura, tales como su configuración, espacio de trabajo,

volumen o de alcance del robot, la velocidad o la capacidad de carga.

Las articulaciones son elementos de unión entre los ejes del robot y es en ellas donde se origina el

movimiento del mismo. El movimiento de cada articulación puede ser de desplazamiento, de giro o de una

combinación de los tipos de movimiento.

Se distinguen seis tipos de articulaciones: prismáticas, de rotación, cilíndrica, esférica o rotula, planar y de

tornillo, ver figura 1.2.

Figura 1.2 Tipos de Articulaciones

Las articulaciones prismáticas nos ayudan para su posicionamiento, alta precisión y gran robustez y las de

rotación poseen envolventes de trabajo mayores con un menor espacio.

Las transmisiones son los elementos encargados de trasmitir el movimiento desde los actuadores hasta las

articulaciones, los reductores adaptan el par y velocidad de la salida del actuador para el movimiento de

los eslabones del robot.

Los actuadores son los que reciben la señal desde el microcontrolador del robot manipulador, los cuales

tienen como misión generar el movimiento de lo efectores finales, según las órdenes dadas por la unidad

de control. Los actuadores empleados en la robótica son sistemas neumáticos, eléctricos, hidráulicos y

electrónicos principalmente.


7

Para que un robot realice una tarea con la adecuada precisión, velocidad e inteligencia, será necesario que

tenga conocimiento tanto de su propio estado como del estado de su entorno.

La información relacionada con su estado (posición de las articulaciones) la adquiere a través de los

sensores internos, mientras que el estado de su entorno lo adquiere a través de sensores externos.

A continuación se mencionan algunos tipos de sensores en forma resumida.

SENSORES INTERNOS

Sensores de presencia

Sensores de posición

Sensores de velocidad

Sensores de fuerza

SENSORES EXTERNOS

Sensores de presencia

Sensores de distancia

Sensores para

reconocimiento de formas

Sistemas de imagen

Sistemas táctiles

El control de cualquier sistema significa aplicar/ejercer fuerza(s) para que el sistema se mueva/trabaje de

acuerdo con las instrucciones ordenadas para ejecutar una tarea específica mediante el movimiento de su

efector final en forma precisa y repetida. El control requiere el conocimiento del modelo matemático del

mismo, así como de un sistema inteligente que actué sobre él.

Este tipo de control puede clasificarse como lineal y no lineal, y la teoría de control lineal sirve de base

para sistemas de control no lineales, el modelo matemático necesario se obtiene de las leyes físicas que

rigen el movimiento del sistema, el sistema inteligente requiere de dispositivos sensoriales y medios para

accionar y reaccionar ante las variables detectadas.

Existen diferentes técnicas aplicadas a resolver un problema de control, tanto la técnica que se emplea

como la manera de su implementación podrá tener una influencia sobre el desempeño del sistema. Por otro

lado, el problema de control es de múltiples entradas y múltiples salidas, ver figura 1.3, mediante los

vectores dimensionales a lo largo de cada línea de señal. Para simplificar el problema se considera cada

articulación como independiente y controlada por separado, a continuación se mencionan las diferentes

maneras de controlarla (Saha, 2010).

Control de encendido/apagado o control de dos pasos

Control Proporcional

Control Derivativo

Control Integral

Modos de Combinación (PD, PI, PID)


8

Figura 1.3 Diagrama de Bloques de un Sistema de Control de Robots

Los elementos terminales, también llamados efectores finales son los encargados de interactuar

directamente con el entorno del robot.

Existe una amplia gama de efectores finales necesarios para realizar una gran variedad de funciones. Estos

tipos se pueden dividir en pinzas o herramientas.

Las pinzas se utilizan para agarrar y/o sostener los objetos.

Las herramientas son los efectores finales diseñados para realizar el trabajo sobre la pinza mejor de lo que

lo haría solamente la pinza. Los efectores finales, requieren de otros tipos de artefactos y herramientas en

algunas aplicaciones de robótica industrial. Existen otros dispositivos de agarre, de soldadura y otros tipos

de dispositivos de agarre que posicionan la pieza de trabajo o la herramienta durante el ciclo de trabajo.

1.2 PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS

Cada movimiento independiente que es capaz de realizar una articulación se le denomina grado de libertad

(GDL) en la figura 1.2 se muestran los grados de libertad de cada articulación.

Considerando en un espacio 3D, el máximo GDL que se tiene es de seis grados, tres de desplazamiento y

tres de giro, de ahí que la mayor parte de los robots tengan seis articulaciones.

El espacio de trabajo o campo de acción, es el volumen espacial al que puede llegar el extremo del robot.

Este volumen está determinado por el tamaño, forma y tipo de los eslabones que integran el robot así

como por las limitaciones de movimiento impuestas por el sistema de control. No se debe considerar el

efector final colocado en la muñeca para la obtención del espacio de trabajo, ya que se trata de un

elemento añadido al robot.

Cuando el brazo de un robot se mueve de modo rectilíneo, es decir en las coordenadas x, y, z del sistema

de coordenadas cartesianas, se le llama tipo cartesiano y su espacio de trabajo tiene la forma de una caja o

de un prisma rectangular, como se indica en la figura 1.4c, cuando el robot tiene una articulación de

rotación y dos prismáticas, se le llama de tipo cilíndrico y su espacio de trabajo tiene la forma mostrada en


9

la figura 1.4d, cuando el robot tiene dos articulaciones de rotación y una prismática, se le llama de tipo

esférico o polar y su espacio de trabajo es mostrado en la figura 1.4a, cuando el robot consiste en

articulaciones de rotación, se le llama de tipo articulado o de rotación y su espacio de trabajo se muestra

en la figura 1.4b. Tales robots son más sencillos de fabricar y mantener, ya que los actuadores del robot

están directamente acoplados mediante transmisores de engranes o bien por bandas, pero su superficie

interna de trabajo es más difícil de determinar (Saha, 2010).

Figura 1.4 Configuraciones y Espacios de Trabajo

a) Esférico o Polar

c) Cartesiano

b) Articulado o de Rotación d) Cilíndrico


10

La precisión se define como una función de tres características:

Resolución espacial

Exactitud

Repetibilidad

La resolución espacial de un robot se define como el más pequeño incremento de movimiento en el que el

robot puede dividir su volumen de trabajo. La resolución espacial depende de dos factores:

Resolución de control del sistema: Viene determinada por el sistema de control de posición del

robot y su sistema de medida de realimentación.

Inexactitudes mecánicas del robot: Se encuentran estrechamente relacionadas con la calidad de

los componentes que conforman las uniones y las articulaciones.

La exactitud se refiere a la capacidad de un robot para situar el extremo de su muñeca en un punto de

destino deseado dentro del volumen de trabajo.

La repetibilidad está relacionada con la capacidad del robot para situar su muñeca, o un efector final unido

a su muñeca, en un punto en el espacio que se hubiera enseñado con anterioridad al robot.

La repetibilidad y la exactitud se refieren a los aspectos diferentes de la precisión del robot. La exactitud

se relaciona con la capacidad del robot a programar para conseguir un punto destino determinado. El

punto programa real es probable que sea diferente del punto destino debido a las limitaciones de la

resolución de control. La repetibilidad se refiere a la capacidad del robot para volver al punto programado

cuando se le ordena que lo haga.

La capacidad de carga de un robot viene condicionada por el tamaño, la configuración y el sistema de

accionamiento del propio robot. Al evaluar la capacidad de carga se considera el peso de las piezas a

manipular y el peso propio de la herramienta o pinza que emplee el robot colocada en la muñeca.

La velocidad de respuesta se refiere a la capacidad del robot para desplazarse a la siguiente posición en un

breve periodo de tiempo. Este tiempo de respuesta esta evidentemente relacionado con la velocidad de

movimiento del robot. También es una función del sistema de control. En robótica la estabilidad se suele

definir como una medida de las oscilaciones que se producen en el brazo durante el movimiento desde una

posición a la siguiente.

En el diseño de los sistemas de control suele ser deseable que el robot tenga una buena estabilidad y un

tiempo de respuesta corto.


11

1.3 CINEMÁTICA Y DINÁMICA

Para controlar la posición debemos conocer las propiedades dinámicas del sistema con el fin de saber

cuánta fuerza se requiere para lograr moverlo, ya sea poca fuerza, el sistema responderá de una forma muy

lenta; mientras tanto si aplicamos demasiada fuerza, el sistema puede golpear contra objetos o oscilar

sobre la posición deseada (Craig, 2006).

La obtención de las ecuaciones dinámicas de movimiento no es una tarea sencilla debido al gran número

de grados de libertad y no linealidades del sistema.

La cinemática de los sistemas que se desarrollaran en esta tesis tratan con el estudio del movimiento con

respecto a un sistema de coordenadas de referencia fijo sin considerar las fuerzas que lo originan. En la

ciencia de la cinemática se estudia la velocidad, posición y aceleración y todas las derivadas de alto orden

de las variables de posición con respecto al tiempo. Existen dos problemas fundamentales en la cinemática

del robot.

1. Problema cinemático directo

2. Problema cinemático inverso

Específicamente, dado un conjunto de posiciones articulares, el problema cinemático directo calcula la

posición y orientación del sistema coordenado de la herramienta o efector final relativo al sistema de

referencia fijo. En la cinemática inversa se obtienen los valores de los posiciones articulares, que son

realmente los que se envían al sistema de control, a partir de la posición y orientación deseada para el

punto terminal del sistema dado. La cinemática inversa define el espacio de trabajo de un manipulador

dado.

Denavit y Hartenberg en 1955 propusieron un enfoque sistemático y generalizado de utilizar algebra

matricial para describir y representar la geometría espacial de los elementos del brazo del robot con

respecto a un sistema de referencia fijo (Denavit, 1955).

Este método utiliza una matriz de transformación homogénea de elementos para describir la relación

espacial entre dos elementos mecánicos rígidos adyacentes y reduce el problema cinemático directo al

encontrar una matriz de transformación homogénea que relaciona el desplazamiento espacial del sistema

de coordenadas del efector final respecto al sistema de coordenadas de referencia fijo. Estas matrices de

transformación homogéneas son también útiles en derivar las ecuaciones dinámicas de movimiento del

brazo del robot.


12

El problema cinemático inverso se puede resolver mediante algunas técnicas. Los métodos utilizados más

comúnmente son el algebraico matricial, iterativo o geométrico. (En esta tesis se emplea el método

geométrico).

El modelo dinámico real de un brazo se puede obtener de leyes físicas conocidas como las leyes de

Newton y la mecánica lagrangiana. Esto conduce al desarrollo de las ecuaciones dinámicas de movimiento

para las distintas articulaciones del sistema en términos de los parámetros geométricos e inerciales

especificados para los distintos elementos. Se pueden aplicar sistemáticamente enfoques convencionales

como las formulaciones de Euler-Lagrange y de Newton para desarrollar las ecuaciones de movimiento

del sistema.

1.4 APLICACIONES INDUSTRIALES

Los robots como las grúas son muy usados en la industria donde los procesos exigen una detallada

ejecución del mismo, traslado de grandes masas de un lugar a otro, siendo estos elementos indispensables

en una gran parte de los procesos de manufactura.

La Federación Internacional de la Robótica (IFR) estableció en 1998 una clasificación de las aplicaciones

de la robótica en el sector manufacturero:

Manipulación en función

Moldes

Otros

Manipulación en moldeado de plásticos

Manipulación en tratamientos térmicos

Manipulación en la forja y estampación

Soldadura

Por arco

Por puntos

Por gas

Por láser

Otros

Aplicación de materiales

Pintura

Adhesivos y secantes

Otros


13

Mecanización

Carga y descarga de maquinas

Corte mecánico, rectificado, desbardado y pulido

Otros

Otros procesos

Láser

Chorro de Agua

Otros

Montaje

Montaje mecánico

Inserción

Unión por adhesivos

Unión por soldadura

Manipulación para montaje

Otros

Paletización

Medición, inspección, control de calidad

Manipulación de materiales

Formación, enseñanza e investigación

Otros

Esta clasificación engloba la mayor parte de los procesos robotizados en la actualidad, aunque se puede

encontrar aplicaciones particulares que no aparecen de manera explícita en esta clasificación.

En el documento número NRF-183-PEMEX-2007 disponible en http://www.pemex.com

/files/content/NRF-183-PEMEX-20071.pdf, Marzo, 201, las aplicaciones para grúas de acuerdo a su clase

son:

Clase A (Poco Frecuente): Cubre las grúas usadas en instalaciones tales como: cuartos de

potencia, servicios públicos, cuartos de máquinas y estaciones eléctricas en donde se necesita

manejar con precisión la carga a velocidades bajas con largos periodos inactivos. La carga

nominal se utiliza sólo en la etapa de instalación inicial del equipo y para el mantenimiento

ocasional.


14

Clase B (Ligero): Cubre las grúas para talleres de reparaciones, operaciones de ensamble

ligero, edificios de servicio, almacenes ligeros entre otros, donde los requisitos del servicio son

ligeros y la velocidad lenta.

Clase C (Moderado): Cubre las grúas usadas en talleres de maquinaria o fábricas de papel,

entre otros, donde los requisitos de servicio son moderados.

Clase D (Pesado): Cubre las grúas usadas en talleres de maquinaria pesada, fundidoras, plantas

de fabricación, almacenes de acero, patios contenedores, fábricas de madera para construcción,

entre otros, donde las condiciones de servicio severas se requieran (Ogata, 1998).


15

Capítulo 2

Fundamentos Matemáticos

A lo largo de la historia la ingeniería y las matemáticas se han desarrollado en forma paralela. Todas las

ramas de la ingeniería dependen de las matemáticas para su descripción, es por eso que en este capítulo se

da una exposición elemental de las características particulares de algebra lineal y trigonometría así como

algunos conceptos sobre las ecuaciones de Euler-Lagrange útiles para describir los modelos dinámicos de

los sistemas desarrollados en el capítulo 3.

Para quien se interese más a fondo en cada uno de los temas vistos en este capítulo puede consultar los

libros que se han usado como referencia e incluso consultar otras fuentes.


16

2.1 ALGEBRA LINEAL

El álgebra lineal y la geometría están fundamentalmente relacionadas de tal forma que pueden ser

empleadas para el estudio de cualquier tema. La idea fundamental es que un vector columna pueda ser

usado para representar la posición de un punto en relación con otro punto en un sistema de coordenadas

dado, ver figura 2.1, aplicado a una geometría de dos o tres dimensiones.

Figura 2.1 Espacio Vectorial 2D

La posición relativa de respecto a puede ser especificada por un par de números determinados por la

magnitud y direcciones de las líneas y , el signo de los números depende de las direcciones que se

elija (de a o de a ), y de esta manera podemos asociar un par ordenado (Hamilton, 1987).

[ ] (2-1)

Para el caso de un espacio vectorial de tres dimensiones, se tiene

* + (2-2)

donde la magnitud o norma del vector se determina por

| | √ (2-3)

Dado un vector se define un vector unitario como aquel que su magnitud es igual a uno.

| | (2-4)

Ahora, si denota los vectores unitarios a lo largo de los ejes respectivamente, cualquier vector

tridimensional puede expresarse como

(2-5)


17

donde tienen las siguientes representaciones

[ ] [

] [

] (2-6)

El producto escalar de dos vectores también llamado producto punto representan cantidades físicas, y se

determina por

| || | (2-7)

donde es el ángulo entre y (Hamilton, 1987).

La representación física del producto punto es que el vector se proyecta al vector multiplicado por la

magnitud de , ver figura 2.2.

Figura 2.2 Producto Punto de Dos Vectores Cartesianos

El producto vectorial entre dos vectores tridimensionales denotado se determina por

|

|

( ) ( ) ( )

(2-8)

donde es también un vector, el cual es ortogonal a los dos vectores originales y cuya dirección resulta de

aplicar la regla de la mano derecha, ver figura 2.3; es decir, si la palma de la mano derecha se coloca a lo

largo del vector y luego se gira hacia el vector , el pulgar señala la dirección del vector .


18

Figura 2.3 Regla de la Mano Derecha

El determinante de una matriz se define para matrices cuadradas, sea A una matriz de elementos,

con filas, columnas y elementos denotados como para , el determinante de la matriz,

( ) o | | es un escalar que se determina por

( ) | | |

| ∑( ) ( | ) (2-9)

donde ( | ) es el cofactor que resulta de eliminar la fila y la columna .

El determinante depende linealmente de una fila o columna según se elija, de esta manera, como ejemplo

se tiene el determinante de tercer orden, utilizando los elementos de la primera columna.

|

|

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

(2-10)

Los cofactores se calculan como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto

de los elementos de la otra diagonal. Es decir, por definición

|

| ( ) ( ) (2-11)

|

| ( ) ( ) (2-12)

|

| ( ) ( ) (2-13)


19

Para mayor referencia, características y propiedades sobre los determinantes puede consultar el libro de

Strang, “Linear Algebra and its Applications”, 1988.

Sea una matriz A de tamaño , definimos la matriz adjunta como una matriz cuadrada que resulta de

sustituir cada elemento por su cofactor ; es decir, obtener la matriz de cofactores y después

transponer los elementos de la matriz de cofactores (Hamilton, 1987).

( ) |

|

|

| (2-14)

donde

( ) ( | ) (2-15)

La inversa de A, se define como

( ) ( ) (2-16)

2.2 ATAN2

Es una variante de la función arco tangente inversa, ( ) devuelve un valor de ángulo en el rango

de ( ). La función ( ) devuelve el arco tangente de la función en el rango completo

de ángulos de ( ) (Saha, 2010).

La función , está definida para todos los ( ) y es igual al ángulo único de tal manera que

√

√

(2-17)

( ) también puede definirse de la siguiente manera

( ) (

√ )

(2-18)

( ) (√

)

(2-19)


20

Ley de los cosenos

Ésta ley se puede considerar como una extensión del Teorema de Pitágoras aplicable a todos los

triángulos, ver figura. 2.4.

(2-20)

(2-21)

(2-22)

Figura 2.4 Utilización de la Ley de Cosenos

2.3 REPRESENTACIÓN DE POSICIONES

La figura 2.5 muestra dos sistemas de referencia que difieren en orientación un ángulo .

Figura 2.5 Sistemas de Referencia y


21

La posición del punto respecto a cualquiera de estos sistemas de referencia fijo puede describirse

mediante el vector cartesiano tridimensional (Spong, 2005).

[

] (2-23)

[

]

(2-24)

donde el superíndice 0 y 1 representan el sistema de referencia , respectivamente.

También podemos asignar coordenadas para representar la posición desde el origen de uno de los

sistemas de referencia con respecto al otro, por ejemplo

[

] (2-25)

[

]

(2-26)

En este caso la ecuación (2-25) describe las coordenadas del punto del sistema de referencia con

respecto del sistema de referencia , la ecuación (2-26) describe las coordenadas del punto del sistema

de referencia con respecto del sistema de referencia .

Como se ha mencionado anteriormente, la orientación de un cuerpo rígido se analiza con respecto al

sistema fijo, las cuales pueden representarse por cosenos directores o representación por los ángulos de

Euler.

La figura 2.6 muestra un sistema de referencia orientado un ángulo con respecto a

sobre el eje .


22

Figura 2.6 Sistema de Referencia y

La matriz de rotación del sistema está dada por [

]

[

]

[

] [

] (2-27)

[

] [

] (2-28)

De igual forma se tiene para un sistema de referencia orientado un ángulo sobre el eje , y un ángulo

sobre el eje .

[

] [

] (2-29)

Las matrices mencionadas en las ecuaciones (2-28) y (2-29) se llaman rotaciones elementales y son útiles

para describir cualquier rotación arbitraria donde se conozcan los ángulos respecto a los ejes de

coordenadas.

Los ángulos de Euler constituyen una representación mínima de la orientación, obtenida al componer las

tres rotaciones elementales respecto a los ejes de los sistemas de referencia actuales. Existe la posibilidad

de doce conjuntos distintos de ángulos de Euler (

) de todos ellos se utiliza más comúnmente el conjunto ; esto implica que el

sistema fijo gira alrededor de su eje para alcanzar un sistema intermedio, luego lo hace alrededor del eje

del sistema rotado para llegar a otro sistema intermedio y finalmente alrededor del eje del sistema que

fue rotado dos veces para llegar al sistema deseado (Saha, 2010).


23

[

]

( ) ( ) ( )

(2-30)

2.4 TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA

La matriz de transformación homogénea es una matriz que transforma un vector de posición desde

un sistema de coordenadas hasta otro que ha sido rotado y trasladado.

[

] (2-31)

Algunas transformaciones básicas se muestran a continuación

[

] [

] (2-32)

[

] [

] (2-33)

[

] [

] (2-34)

La posición y orientación del efector final en el sistema de referencia fijo está dada por la siguiente

expresión

( ) ( ) (2-35)

donde cada transformación homogénea es de la forma

[

] (2-36)


24

2.5 PARÁMETROS DE DENAVIT-HARTENBERG (D-H)

Como se mencionó anteriormente un manipulador robótico consiste en varios eslabones, usualmente

conectados por articulaciones de un solo grado de libertad. Con el fin de controlar el efector final con

respecto a la base, es necesario encontrar la relación entre los sistemas de referencia adjuntos al efector

final y la base.

Una forma de elegir estos sistemas de referencia es mediante la convención de D-H.

En esta convención cada transformación homogénea es representada como un producto de cuatro

transformaciones básicas.

(2-37)

[

]

(2-38)

donde es la longitud del eslabón, es el ángulo de torsión, es el desplazamiento de la articulación

y es el ángulo de la articulación, representados en la figura 2.7.

Figura 2.7 Sentido Positivo de los Ángulos


25

Condiciones para obtener los parámetros de D-H

DH1: El eje es perpendicular al eje

DH2: El eje intersecta al eje

Estas dos condiciones son ilustradas en la figura 2.8.

Figura 2.8 Condiciones para obtener los Parámetros de D-H

Bajo estas condiciones afirmamos que existen valores únicos para , , y .


26

2.6 ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE

El modelo dinámico de un robot puede derivarse de manera sistemática por medio del concepto de

coordenadas generalizadas y de una función escalar llamada lagrangiano, que se define de la diferencia de

la energía cinética y la energía potencial del sistema (Saha, 2010).

Figura 2.9 Sistema de un Grado de Libertad

La figura 2.9 muestra un sistema de una partícula con masa constante y desplazamiento ejercido por una

fuerza en el eje , Las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden deducir a partir de aplicar las leyes de

Newton (Spong, 2005).

Aplicando la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento de la partícula está dada por

(2-39)

La ecuación (2-39) puede ser escrita como

( )

(

)

(2-40)

donde

se le conoce como la energía cinética.

Por otro lado podemos expresar la fuerza gravitacional que actúa sobre la partícula

( )

(2-41)

Donde es conocida como la energía potencial debida a la fuerza gravitacional.


27

definiendo

(2-42)

y derivando parcialmente, respecto a podemos notar que

(2-43)

Por lo que la ecuación (2-39) puede ser escrita como

(2-44)

La ecuación (2-42), la cual es la diferencia de la energía cinética y potencial, es conocida como el

lagrangiano del sistema y la ecuación (2-44) es llamada la ecuación de Euler-Lagrange.


29

Capítulo 3

Modelado de Sistemas

En este capítulo se estudia con mayor detalle los modelos del robot manipulador y de la grúa para obtener

los modelos matemáticos cuantitativos útiles para el análisis y diseño del sistema, se establece la posición

y la orientación del efector final de un robot manipulador de tres grados de libertad (3DGL), así como el

análisis de la posición de la carga para una grúa de cinco grados de libertad (5GDL) en relación con su

base, para esto es necesario encontrar la relación entre la posición y orientación; es decir, la posición de un

punto en el efector final y su orientación con los ángulos de las articulaciones y la posición de un punto de

la masa con respecto a la base. Para realizar el análisis, primero se obtienen los modelos de la cinemática

directa e inversa correspondientes al robot manipulador y a la grúa, posteriormente se obtiene la energía

cinética, energía potencial y el modelo dinámico de cada uno de los sistemas y se desarrollan por el

método de Euler-Lagrange.

El desarrollo de éste capítulo se basa principalmente en tres referencias:

Saha, ”Introducción a la Robótica”, 2010

Spong, “Robot Modeling and Control”, 2005

Spong, “Robot Dinamics and Control”, 1989


30

Actualmente en la industria se pueden encontrar una gran variedad de robots manipuladores con

articulaciones así como también se encuentran diversos tipos de grúas, cada sistema con propiedades en

particular según el trabajo a desempeñar.

Un robot manipulador con más de 6 articulaciones es conocido como manipulador cinemáticamente

redundante, y la dificultad de controlar este tipo de robot se incrementa en cuanto más articulaciones

tengan.

En la figura 3.1 se muestra un ejemplo de un robot de 4 GDL.

Figura 3.1 Kuka KR 40 PA

Extraído de www.robots.com/kuka.php?robot=kr+40+pa, Marzo 2011

Especificaciones Robot Motion Speed Robot Motion Range

Axes: 4

Payload: 40 kg

H-Reach: 2091 mm

Repeatability: ±0.25 mm

Robot Mass: 700 kg

Mounting: floor

Axis 1: 183 °/s (3.19 rad/s)

Axis 2: 153 °/s (2.67 rad/s)

Axis 3: 212 °/s (3.7 rad/s)

Axis 6: 374 °/s (6.53 rad/s)

Axis 1: ±155°

Axis 2: +15°, -120°

Axis 3: +15°, -145°

Axis 6: ±350°

Tabla 3.1 Especificaciones del Robot Kuka-KR 40 PA

Efector Final

Eslabones

Articulaciones

Actuadores

Eslabones


31

En la figura 3.2 se muestra el ejemplo de una grúa viajera prototipo de laboratorio.

Extraído de

www.inteco.com.pl/new1/index.php?option=com_content&view=article&id=6&Itemid=12, Abril

Dimensiones 1000 x 1000 x 800mm.

Figura 3.2 Grúa Viajera.

Esta grúa de prototipo tiene dimensiones a escala, las grúas empleadas en la industria son de mayor

tamaño, son modelos que posibilitan el trabajo en altura. Se pueden obtener maquinarias que van desde

13 metros, con extensión del brazo de alcance horizontal hasta 8 metros, con canastillas con capacidad

de carga de hasta 140 kg.

Dentro de la industria encontramos grúas de arrastre, dentro de ésta línea de grúas podemos encontrar

subtipos definidas por su caracterización y uso. Los modelos de grúas de arrastre vienen adaptables a

todo tipo de uso y necesidad. Traen además tecnología avanzada. Vienen con equipos opcionales como

radio control remoto, rotación continúa, protección de sobrecarga, y capacidades que oscilan hasta 20

toneladas como máximo.

Encontramos grúas de mercancías, de maquinarias viales, maquinaria industrial, servicios de camiones

con grúa, para servicios especiales, con garantía en todos sus servicios. Brindan asistencia y el rescate

tanto de vehículos de turismo así como de vehículos industriales.


32

Existe una amplia línea de grúas industriales las cuales son utilizadas para el mantenimiento de plantas y

trabajos de manejo de materia. Las grúas de operación sencilla exhiben plataformas de cargo, doble

capacidad de combustible, y varias maneras de conducción.

3.1 CINEMÁTICA DIRECTA DE UN ROBOT MANIPULADOR DE 3 GDL

En la cinemática directa, las posiciones de las articulaciones ( ) ya están determinadas y el

problema radica en encontrar la configuración del efector final ( ), ver figura 3.3.

Figura 3.3 Configuración de Sistemas de Referencia para un Robot de 3GDL

La tabla 3.2 muestra la configuración que se emplea para obtener los parámetros D-H. Definido en la

sección 2.5.

Articulación i

1 90° 0 0.297

2 0 0.297 0

3 0 0.297

Tabla 3.2 Parámetros de Denavit-Hartenberg para un Robot de 3GDL


33

Matriz de Transformación Homogénea

Sustituyendo los parámetros de D-H de la tabla 3.2 en la ecuación (2-38) se obtienen las matrices de

transformación homogénea ( ) que describen la posición y orientación de cada articulación con respecto a

la base .

[

] (3-1)

[

] (3-2)

[

] (3-3)

[

] (3-4)

Se emplea la notación ( )

[

] (3-5)

[

( )

( )

] (3-6)

Finalmente las ecuaciones que describen la posición del efector final se expresan en la cuarta columna de

la Matriz ; es decir,

( ) (3-7)

( ) (3-8)


34

(3-9)

Las ecuaciones (3-7), (3-8) y (3-9) nos muestran la relación que existe entre las coordenadas generalizadas

y las coordenadas cartesianas, esto es, si se definen las posiciones angulares del sistema podemos conocer

la posición en la que se encuentra el efector final del sistema.

3.2 CINEMÁTICA INVERSA DE UN ROBOT MANIPULADOR DE 3 GDL

En la cinemática inversa, la posición del efector final ( ) ya están determinadas y el problema radica

en encontrar las posiciones de las articulaciones ( ), ver figura 3.4 y figura 3.5 para visualizar el

planteamiento del problema.

Figura 3.4 Configuración Geométrica de un Brazo Manipulador de 3GDL


35

Figura 3.5 Configuración Geométrica de los Eslabones 2 y 3

Calculo de las posiciones de las articulaciones para un robot manipulador de 3GDL

Como se muestra en la figura 3.4 y 3.5 aplicando el método geométrico, se puede obtener como

( ) (3-10)

donde la función ( ) se define en la sección 2.2

Para calcular , ver figura 3.4, podemos afirmar que

(3-11)

(3-12)

además

(3-13)

Sustituyendo las ecuaciones (3-11) y (3-12) en (3-13)

( ) (3-14)

Otra forma de calcular , es aplicando la ley de los cosenos. Definida en la sección 2.2

(3-15)


36

Igualando las ecuaciones (3-14) y (3-15) se obtiene

( )

(3-16)

despejando

( )

(3-17)

( )

(3-18)

Por lo tanto, podemos simplificar escribiendo

(3-19)

de la cual existen dos soluciones

(

√

) (3-20)

reescribiendo la ecuación (3-20)

( √ ) (3-21)

Podemos observar que , aplicando nuevamente la ley de los cosenos para obtener tenemos

(3-22)

despejando

( ( ) )

√( ( )

) (3-23)

(3-24)

Despejando a de la ecuación (3-24)

(3-25)


37

de la cual existen dos soluciones

( √

) (3-26)

de la figura 3.5 se deduce que se obtiene con la siguiente expresión

(

) (3-27)

Finalmente restando las ecuaciones (3-27) y (3-26) obtenemos el valor de

(

√ ) (

√

) (3-28)

Reescribiendo la ecuacion (3-28)

( √ ) ( √

) (3-29)

Las ecuaciones que describen las posiciones de las articulaciones son (3-11), (3-21) y (3-29), dichas

expresiones nos muestran la relación que existe entre las coordenadas generalizadas y las coordenadas

cartesianas, esto es, si se definen las posiciones cartesianas del sistema podemos conocer la posición

angular en la que se encuentra cada articulación del sistema, estas serán las expresiones que se utilizarán

en capítulos posteriores, donde definiremos el espacio de trabajo del sistema, se diseñará una trayectoria y

con las ecuaciones (3-11), (3-21) y (3-29) obtendremos los valores angulares para cada actuador para su

respectiva articulación para seguir la trayectoria deseada.


38

3.3 DINÁMICA DE UN ROBOT MANIPULADOR DE 3 GDL

Hasta este momento, hemos analizado los modelos cinemáticos del robot manipulador, sin considerar las

fuerzas requeridas para producir movimiento.

En esta sección consideraremos las ecuaciones de movimiento para un robot manipulador; es decir la

manera en que se produce el movimiento del manipulador debido a los momentos de torsión aplicados por

los actuadores o fuerzas externas aplicadas al manipulador.

Las ecuaciones dinámicas describen la relación existente entre la fuerza y el movimiento, son importantes

para el diseño de robots, simulación y animación de robots así como en el diseño de algoritmos de control

(Spong, 2005).

La ecuación de Euler-Lagrange (definida en la sección 2.6) describe la evolución de un sistema mecánico

objeto de Holonomic Constraints1, la ventaja de usar este planteamiento es que elimina las fuerzas de

restricción de las ecuaciones de dinámica de movimiento.

Matemáticamente las ecuaciones de la cinemática directa definen una función entre el espacio de

posiciones cartesianas y el espacio de posiciones articulares, la relación que existe entre sus velocidades

son determinadas por una función conocida como Jacobiano. En este caso el Jacobiano o matriz jacobiana

es uno de los parámetros de estudio más importante para el análisis y control de robots, en la planeación,

seguimiento de trayectorias, obtención de las ecuaciones dinámicas, en la transformación de torques y

fuerzas del efector final a las articulaciones del robot manipulador.

Para un robot manipulador de articulaciones, la matriz jacobiana es una matriz resultante de

elementos, velocidades lineales y velocidades angulares.

Considerando un robot manipulador de articulaciones con variables y matriz de

transformación

( ) [

( ) ( )

] (3-30)

La velocidad lineal del punto está definida como la derivada temporal del vector de posición

( ) ( ( )) (3-31)

Así que, por la regla de la cadena

(3-32)

1 Si la cantidad de grados de libertad totales y controlables del sistema es igual, se dice que el robot es holonómico.


39

∑

(3-33)

Como se determinó anteriormente, por la elección de los sistemas de referencia de cada articulación para

obtener los parámetros D-H, ver figura 3.3, gracias a que la articulación siempre gira sobre el eje la

ecuación (3-33) puede ser escrita como

∑[

[

] ]

(3-34)

donde si la articulación es de revolución y si es prismática.

Con lo anterior definimos el Jacobiano de la velocidad angular

[ [

]

[

] ] (3-35)

Simplificando tenemos que la velocidad lineal puede ser escrita de la siguiente forma

(3-36)

de igual manera se expresa la velocidad angular como

(3-37)

donde y son matrices de , donde las ecuaciones (3-36) y (3-37) pueden escribirse como

(3-38)

y estan dadas como

[

]

(3-39)

[ ] (3-40)

Ahora bien la velocidad angular en el efector final puede ser determinada como la suma de la velocidad

angular de cada articulación, si la articulación es de revolución y el eje de rotación es el eje la velocidad

angular se expresa como

(3-41)

donde [ ]


40

Si la articulación es prismática entonces

(3-42)

La velocidad angular en el efector final será

∑

(3-43)

donde si la articulación es de revolución y si es prismática, además

Con lo anterior definimos el Jacobiano de la velocidad angular y así llegamos a obtener la ecuación

(3-37) mencionada con anterioridad.

[

] (3-44)

Sustituyendo valores en las ecuaciones (3-35) y (3-44) respectivamente, para (Jacobiano de la

primera articulación con respecto a la base), posteriormente se hace para y .

De esta manera los Jacobianos del robot manipulador son

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Los Jacobianos anteriores permiten un cálculo concreto de la velocidad de las articulaciones del robot

manipulador, dichas expresiones nos servirán para calcular la energía cinética del sistema descrita en la

siguiente sección.

http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/humus/humus.shtml#arti


41

3.4 EXPRESIONES GENERALES PARA OBTENER LA ENERGÍA CINÉTICA Y LA ENERGÍA

POTENCIAL

Una vez que tenemos calculados los Jacobianos de cada articulación respecto a la base, el siguiente paso

es obtener las ecuaciones dinámicas del robot manipulador, para esto es necesario conocer el lagrangiano

del sistema; es decir, la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, (definido en la sección

2.6).

La energía cinética de un objeto rígido es la suma de dos términos: la energía de traslación obtenida por la

concentración de la masa del objeto en su centro de masa y la energía cinética rotacional del cuerpo

alrededor de su centro de masa, ver figura 3.6.

Figura 3.6 Cuerpo Rígido

La energía cinética del cuerpo rígido está dada por

(3-45)

donde es la masa del objeto, y son los vectores de la velocidad lineal y angular respectivamente e

es una matriz simétrica de llamada tensores de inercia.


42

y está dada como

(3-46)

[

] (3-47)

donde

∭( ) ( )

∭( ) ( )

∭( ) ( )

∭( ) ( )

∭( ) ( )

∭( ) ( )

Los elementos de la diagonal de la matriz de tensores de inercia son llamados momentos de inercia

principales y los que están fuera de la diagonal son llamados producto cruz de inercia, si la distribución de

la masa en todo el cuerpo rígido es simétrica el producto cruz de inercia es cero.

De esta manera la energía cinética de un robot manipulador está dada por la expresión

∑[

]

(3-48)

En otras palabras la energía cinética del manipulador se resume en la forma

( ) (3-49)

donde ( ) es conocida como matriz de inercia, es una matriz simétrica positiva.


43

Ahora consideremos el término de la energía potencial debida a la fuerza de gravedad. La energía

potencial de la articulación puede considerarse como la energía concentrada en el centro de masa del

cuerpo y está dada por la expresión

∑

(3-50)

donde es el vector de gravedad y es el vector que da las coordenadas del centro de masa de la

articulación.

3.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO

La ecuación de Euler Lagrange (2-44) puede escribirse como

∑ ( ) ∑{

}

(3-51)

Intercambiando el orden de la suma y el aprovechando la simetría del sistema, podemos demostrar que

∑{

}

∑{

}

(3-52)

por lo tanto

∑{

}

(3-53)

∑

{

}

(3-54)

{

} (3-55)

La ecuación (3-55) se le conoce como Símbolos de Christoffel, para una dada tenemos con lo

que se reducen el cálculo de los símbolos de Christoffel.


44

Finalmente si definimos

(3-56)

Podemos escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange como

∑ ( ) ∑ ( ) ( )

(3-57)

Comúnmente la ecuación (3-57) se escribe como

( ) ( ) ( ) ( ) (3-58)

La ecuación (3-58) es la forma matricial de la expresión dada por la ecuación (3-57), ( ) se le conoce

como matriz de inercias del sistema, ( ) es una matriz con elementos que involucran el producto de

términos del tipo , a los que se les conoce como términos centrífugos, y productos del tipo , a los

que se les conoce como términos de coriolis, ( ) es el vector de fuerzas de gravedad, ( ) es vector de

fuerzas de fricción y son las fuerzas que afectan al sistema.

Cada elemento de la matriz ( ) está definido como

∑

(3-59)

{

} (3-60)

Ahora bien comparando las ecuaciones (3-48) y (3-49) se observa que

( )

(3-61)

Para y de las matrices de transformación definidas por las ecuaciones (3-4), (3-5) y (3-6) se

tienen las siguientes matrices de rotación.

[

]

[

]


45

[

]

Se define la matriz de inercia considerando articulaciones simétricas

[

] (3-62)

Empleando la ecuación (3-61) y sustituyendo las matrices jacobianas del sistema y las matrices de

rotación obtenidas anteriormente para el caso se forma la matriz de inercia de la siguiente

manera

( ) [

] (3-63)

(

( ) ) ( )

Ahora calculamos los Símbolos de Christoffel de la ecuación (3-55) para calcular la matriz ( ) dada

por la ecuación (3-59), para el análisis del robot de 3GDL

(

(

( ) ) ( ( )( ) ))

( ( ) )

(

(

( ) ) ( ( )( ) ))


46

( ( ) )

Finalmente se tiene que la matriz centrifuga y de coriolis tiene la siguiente forma

( ) [

]

Para calcular el vector de gravedad dado por la ecuación (3-56), de acuerdo a la figura 3.3 podemos

expresar la energía potencial de cada articulación de la siguiente forma

( )

( ( ) )

Ahora bien por la ecuación (3-56) tenemos que

( ) (

( ))


47

( )

Con lo que definimos el vector de gravedad ( ) de la siguiente manera

( )

[

( ) ( ( )

( ))

( ) ]

Por ultimo tenemos el vector de fuerzas de fricción ( ) definido de la siguente forma

( ) [

]

donde son las fuerzas de fricción de coulomb y son las fuerzas de fricción viscosa del actuador.

De esta forma ya se tienen todas las matrices que se necesitan para describir la dinámica del sistema de

acuerdo a la ecuación (3-58).


48

3.6 MODELO DE UNA GRÚA DE 5GDL EN 3 DIMENSIONES

Las grúas son ampliamente utilizadas en la industria para el transporte de cargas pesadas. Sin embargo, la

aceleración de la grúa requerida para el movimiento siempre induce oscilación de carga indeseable, cuanto

mayor sea la aceleración mayor será la oscilación de carga.

La capacidad de carga de la grúa también tiende a agravar la oscilación de la carga. El control de la grúa

consiste en regular de movimiento de la carga, controlar su elevación y la supresión de la oscilación de la

carga.

En esta sección se presenta una solución para el modelado y control de una grúa en tres dimensiones.

Figura 3.7 Sistema Coordenado de una Grúa

La figura 3.7 muestra el sistema coordenado de una grúa en tres dimensiones ( , ), las coordenadas

del carro del sistema son ( ), es el ángulo existente entre la carga y una orientación arbitraria en el

espacio, éste tiene dos componentes ( , ), (Lee, 1998).

La posición de la carga estará representada por ( ), las cuales se expresan como:

(3-64)


49

(3-65)

(3-66)

La energía cinética y potencial está dada por

( )

(

) (3-67)

( ) (3-68)

donde cada termino cuadrático de la velocidad de la ecuación (3-67) se desarrolla a continuación.

(3-69)

(3-70)

(3-71)

(3-72)

(3-73)

(3-74)


50

El lagrangiano del sistema; es decir, la diferencia de la energía cinética y la potencial esta dado como

(3-75)

( )

( )

(3-76)

( )

( ) ( )

Una vez conocido el lagrangiano del sistema procedemos a obtener cada uno de los términos de la

ecuación de Euler-Lagrange, ver ecuación (2-44), empezando con la variable , posteriormente

.

( ) ( (3-77)

)

(3-78)

Por la ecuación (2-44) para tenemos

(3-79)

( ) (

(3-80)

)


51

Por la ecuación (2-44) para tenemos las siguientes expresiones

( )

(3-81)

( )

(3-82)

(3-83)

( ) ( ) (3-84)


(3-85)

(

) (3-86)

( )

(3-87)

(3-88)

( )


52


(3-89)

( )

(3-90)

(3-91)

(3-92)


(3-93)

( )

(3-94)

( )

(3-95)


53

(3-96)

La matriz de inercias del sistema ( ) está formada por

( )

[

]

[

]

(3-97)

Donde cada término es de la forma

( )

( )


54

De igual forma se obtiene que la matriz centrifuga y de coriolis ( ) esta dada por

( )

[

]

[

]

(3-98)

Donde cada uno de sus términos se muestran a continuación


55

El vector de gravedad ( ) se define por

( )

[

]

(3-99)

Y finalmente tenemos el vector de fuerzas de fricción ( ) definido de la siguiente forma

( )

[

]

(3-100)

donde son las fuerzas de fricción de coulomb y son las fuerzas de fricción viscosa del actuador

(Reyes, 2005).

De esta forma se tiene la dinámica del sistema de acuerdo a la ecuación (3-58).

Ambos modelos matemáticos, el del robot manipulador de 3 GDL y el de la grúa de 5 GDL describen la

dinámica de cada uno de ellos y son éstos los que hay que analizar para poder aplicarles un algoritmo de

control para seguir una trayectoria deseada y así cumplir una tarea determinada.


57

Capítulo 4

Controlador PID

Los sistemas de control son parte integral de la sociedad moderna y sus numerosas aplicaciones están

alrededor de nosotros: en casa, en los automóviles, en las fábricas, y hasta en los transbordadores

espaciales que se lanzan para ponerlos en órbita terrestre, en el agua de enfriamiento que salpica etc.; el

control se ha vuelto una parte importante e integral de los procesos industriales. Una de las ventajas de un

sistema de control, es la capacidad de compensación debido a las perturbaciones. En general, controlamos

variables como la temperatura en los sistemas térmicos; la posición y velocidad en los sistemas mecánicos,

y voltaje, corriente o frecuencia en los sistemas eléctricos (Dorf, 2005).

Los seres humanos no son los únicos creadores de sistemas controlados automáticamente; estos sistemas

también existen en la naturaleza. Dentro de nuestros propios cuerpos hay numerosos sistemas de control,

como el páncreas, que regula la cantidad de azúcar en la sangre; en situaciones de vida o muerte, nuestra

adrenalina aumenta junto con nuestro ritmo cardiaco, llevando más oxígeno a nuestro células; nuestros

ojos siguen un objeto en movimiento para mantenerlo a la vista; nuestras manos toman un objeto y lo

colocan de manera precisa en un lugar determinado (Norman, 2005).


58

4.1 CONCEPTOS BASICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

En esta sección repasaremos algunos conceptos básicos para el análisis de un sistema de control. Ahora

bien, cuando se pretende estudiar un sistema lo que nos interesa es la respuesta del sistema para

determinadas entradas. Estas entradas incluyen las órdenes de control del sistema y las magnitudes

perturbadoras del entorno (Groover, 1989).

Un sistema de control, ver figura 4.1 está formado por subsistemas y procesos (plantas) unidos con el fin

de controlar las salidas de los procesos (Norman, 2005).

Por lo tanto un sistema de control, puede dividirse en cinco componentes principales:

Señal de referencia (entrada )

El controlador y los dispositivos de actuación

Proceso que se controla (planta)

La salida (variable controlada)

Elementos de realimentación (sensores)

Figura 4.1 Configuración Típica de un Diagrama de Bloques de un Sistema de Control

Para el estudio más profundo de los sistemas de control, definiéremos las componentes con más detalle a

continuación (Ogata, 1998).

Variable controlada (salida) es la cantidad o condición que se mide y controla. Por lo tanto, la variable

controlada es la salida del sistema mientras la variable manipulada es la cantidad o condición que el

controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada, de esta manera controlar significa

medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para

corregir o limitar una desviación del medio a partir de un valor.


59

La planta puede ser un conjunto de partes de una máquina que funcionan en conjunto, es decir,

cualquier objeto físico que se desea controlar. La planta ejecuta una operación particular.

Perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si

esta se genera dentro del sistema se le conoce como perturbación interna, pero si se produce fuera de este,

se le llama perturbación externa y es una entrada.

Anteriormente vimos lo que es un sistema de control, en esta parte nos enfocaremos a la configuración de

los sistemas de control: lazo abierto y lazo cerrado (Ogata, 1998).

Sistema de control en lazo abierto

Un sistema de control en lazo abierto, ver figura 4.2, es aquel donde la salida no afecta la acción de

control. En un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con

la entrada; es decir, a cada entrada le corresponde una condición operativa fija.

Figura 4.2 Sistema de Control en Lazo Abierto

La precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, el sistema no

realiza la tarea deseada.

En nuestra vida cotidiana nos encontramos con muchos de estos sistemas de control. Por ejemplo, el

funcionamiento de una lámpara suele estar controlado mediante un interruptor: al accionar el interruptor,

el circuito eléctrico se cierra y la lámpara se enciende; cuando se vuelve a accionar el interruptor, el

circuito se abre de nuevo y la lámpara se apaga. Se trata de un sistema de control en lazo abierto, ya que

permite controlar el funcionamiento de la lámpara a través del interruptor, pero el estado de encendido o

apagado de la lámpara (es decir, la salida del sistema) no influye en la acción de control.

Otros ejemplos son los sistemas de mando de los electrodomésticos presentes en el hogar (lavadora, horno

eléctrico, etc.).


60

Sistema de control en lazo cerrado

Un sistema de control realimentado se denomina sistema de control en lazo cerrado.

Figura 4.3 Sistema de Control en Lazo Cerrado

En contraste con un sistema de control de lazo abierto, el de lazo cerrado utiliza una medición adicional de

la salida real para compararla con la respuesta de salida deseada. En la figura 4.3, se muestra un sistema de

control simple de lazo cerrado con realimentación. La definición estándar de un sistema de control con

realimentación es la siguiente: un sistema de control con realimentación es aquel que tiende a mantener

una relación prescrita de una variable del sistema con otra, comparando funciones de estas variables y

usando las diferencias como medio de control (Ogata, 1998).

El sistema en lazo cerrado compensa perturbaciones al medir la respuesta de salida, alimentando esa

medida a una trayectoria de realimentación y comparando esa respuesta con la entrada en el punto suma.

Si hay alguna diferencia entre las dos respuestas, el controlador compensa esta diferencia, acciona el

proceso por medio de una señal de control para hacer la corrección. Si no existe diferencia, el sistema no

realiza ninguna corrección, puesto que la respuesta del proceso es la respuesta deseada.

Los sistemas en lazo cerrado entonces, tienen la obvia ventaja de mayor precisión que los sistemas en lazo

abierto, aun cuando son menos sensibles al ruido, a perturbaciones y a cambios en el entorno. La respuesta

transitoria y error en estado estable se pueden controlar en forma más cómoda y con mayor flexibilidad en

los sistemas en lazo cerrado, con frecuencia mediante un sencillo ajuste en la ganancia (amplificación) en

el lazo, y a veces con un rediseño del controlador.

Por otra parte los sistemas en lazo cerrado son más complejos y costosos que aquellos en lazo abierto

(Norman, 2005)


61

Los sistemas realimentados se pueden clasificar en diversas formas. De acuerdo con el método de análisis

y diseño, los sistemas de control se clasifican en lineales y no lineales, variantes con el tiempo o

invariantes en el tiempo. De acuerdo con los tipos de señales usados en el sistema, se hace referencia a

sistemas en tiempo continuo y en tiempo discreto, o sistemas modulados y no modulados.

Estrictamente hablando, los sistemas lineales no existen en la práctica, ya que todos los sistemas físicos

son no lineales en algún grado. Los sistemas de control realimentados son modelos ideales fabricados por

el analista para simplificar el análisis y diseño. Cuando las magnitudes de las señales en un sistema de

control están limitadas en intervalos en los cuales los componentes del sistema exhiben una característica

lineal, el sistema es esencialmente lineal. Pero cuando las magnitudes de las señales se extienden más allá

del intervalo de porción lineal, dependiendo de la severidad de la no linealidad, el sistema no se debe

seguir considerando lineal. Por ejemplo los amplificadores usados en los sistemas de control a menudo

exhiben un efecto de saturación cuando la señal de entrada es muy grande; el campo magnético de un

motor normalmente tiene propiedades de saturación.

Un ejemplo de un sistema en lazo cerrado será un termostato, el cual capta consecutivamente señales de

temperatura. En el momento en que la temperatura desciende o aumenta y sale del rango, este actúa

encendiendo un sistema de refrigeración o de calefacción, otro sería el termotanque de agua que

utilizamos para bañarnos, el regulador de nivel de gran sensibilidad de un depósito o el aire

acondicionado, cuando nosotros subimos la temperatura del aire, el sistema de realimentación emite una

señal de error para que la nueva temperatura sea alcanzada.


62

4.2 CONTROLADOR PID

Los controladores más utilizados en el campo industrial son los PID, o controladores de acción

Proporcional, Integral y Derivativa. Los motivos de su éxito son diferentes: en primer lugar permiten

controlar de manera satisfactoria una amplia gama de procesos; en segundo lugar, se han desarrollado y

utilizado a lo largo de los años reglas sencillas para su calibración automático, que se pueden ampliar con

buenos resultados e incluso cuando no hay disponible un modelo matemático preciso del sistema bajo

control. Además, debido a su sencillez, los controladores PID se pueden realizar con tecnologías muy

distintas: mecánica, neumática, hidráulica, eléctrica analógica y digital (Bolzern, 2009).

En esta sección se menciona la ley de control PID y sus derivados, bajo esta ley de control PID se diseñó

el controlador de la grúa y el robot con el fin de hacer que siguieran una trayectoria deseada.

Actualmente se usan en la industria formas modificadas del control PID, o controladores de acción

Proporcional. Integral y Derivativa, a continuación describiremos el modelo de los controladores PID y los

parámetros que lo caracterizan.

Tradicionalmente la estructura de los PID se presentan atendiendo a las consideraciones empíricas según

las cuales es oportuno que la variable de control este formada por la suma de tres contribuciones:

La primera de significado intuitivo, es proporcional al error entre la señal de referencia y la

variable de salida del sistema bajo control;

La segunda es proporcional a la integral de (es decir a su valor medio) y se exige para asegurar

que se anule el error asintóticamente frente a señales de referencia o perturbaciones.

La tercera es proporcional a la derivada de y su objeto es intentar “anticipar” la evolución del

error de los instantes siguientes: si por ejemplo la derivada del error es positiva, al igual que la

ganancia del sistema, es oportuno aumentar para provocar un aumento de y con ello una

disminución de .

La ley de control, es decir la relación entre el error y la variable de control, es por tanto

( ) ( ) ∫ ( )

( )

(4-1)


63

donde ( ) es la variable de control y ( ) es el error de control. Por lo tanto, la variable de control es una

suma de tres términos: el termino P, que es proporcional al error, el termino I, que es proporcional a la

integral del error; y el termino D, que es proporcional a la derivada del error.

El coeficiente recibe el nombre de coeficiente de acción proporcional, mientras que y son

respectivamente el coeficiente de acción integral y el coeficiente de acción derivativa.

Cabe mencionar que los controladores PID en su forma ideal, como la ecuación (4-1), son sistemas

dinámicos SISO, lineales, estacionarios en tiempo continuo e impropios.

Aplicando la transformada de Laplace en la ecuación (4-1) con , se deduce que están descritos por

la función de transferencia

( )

(4-2)

En la que se observa el término proporcional ( ( ) ) , el integral ( ( )

) y el derivador

( ( ) ). Por lo tanto podemos concluir que la presencia de la acción integral garantiza un error

nulo frente a señales de referencia y perturbaciones, mientras que la acción derivativa introduce un cero,

que a su vez genera un adelanto de fase y con ello una mayor rapidez del sistema de control (Bolzern,

2009).

El esquema en bloques de un PID ideal se muestra en la figura 4.4.

Figura 4.4 Controlador PID

Una representación diferente de los PID, quizá más empleada que la ecuación (4-2) la da

( ) (

)

(4-3)

Podemos concluir, entonces que un controlador PID (Proporcional, Integral y Derivativo) es un

controlador realimentado cuyo propósito es hacer que el error en estado estacionario, entre la señal de


64

referencia y la señal de salida de la planta sea cero de manera asintótica en el tiempo, lo que se logra

mediante el uso de la acción integral. El controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a través de la

acción derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso.

Como se mencionó en el Capítulo 1, un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la

ausencia de las acciones de control respectivas. En esta sección los definiremos con más detalle (Ogata,

1998).

Acción de control proporcional

La salida de esta acción de control es una función lineal del error. La estrategia de control proporcional es

en esencia un amplificador con ganancia ajustable. Este control sirve para reducir el tiempo de subida,

incrementar el sobre pico y reducir el error de estado estable. En la figura 4.5, se presenta un diagrama de

bloques de tal controlador.

Para una acción de control proporcional, de la ecuación (4-1) la relación entre la salida del controlador

( ) y la señal de error ( ) es

( ) ( ) (4-4)

Por lo tanto aplicando la transformada de Laplace en la ecuación (4-4), únicamente la parte del control

proporcional queda de la ecuación (4-2) de la siguiente manera

( )

( ) (4-5)

donde es la ganancia proporcional.

Figura 4.5 Diagrama de Bloques de un Controlador Proporcional


65

Acción de control integral

Esta acción tiene como principio de funcionamiento la magnitud y duración del error. La ecuación que

relaciona la salida del controlador ( ) y la señal de error ( ) en la acción integral es

( )

( ) (4-6)

( ) ∫ ( )

(4-7)

Donde representa la constante de integración. La función de transferencia del controlador integral, de la

ecuación (4-2) es

( )

( )

(4-8)

En la figura 4.6, se muestra el diagrama de bloques del control integral.

Figura 4.6 Diagrama de Bloques de un Controlador Integral

Si se duplica el valor de ( ), el valor de ( ) varia dos veces más rápido. Cuando el error es cero, el

valor de ( ) permanece estacionario. La principal ventaja de esta acción es la capacidad que tiene de

reducir el error a cero. Pero se caracteriza por la adición de un polo en el origen, el cual aumenta el orden

del polinomio característico y con ello la posibilidad de inestabilidad.


66

Acción de control derivativo

En esta acción la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la medida del error.

Sin embargo, como no existe ninguna relación con el valor del error en el momento que este deje de

cambiar la contribución de esta acción es nula. En un controlador derivativo la relación entre la salida del

controlador ( ) y la señal de error ( ), es

( )

( )

(4-9)

donde es la constante derivativa. La función de transferencia del controlador derivativo, de la ecuación

(4-2) es

( )

( ) (4-10)

En la figura 4.7, se muestra el diagrama de bloques del control derivativo.

Figura 4.7 Diagrama de Bloques de un Controlador Derivativo

De la ecuación (4-10) se puede observar que debido a la implementación de esta acción de control se

agrega un cero a la función de transferencia. Como consecuencia de esto se introduce un grado de

previsión al sistema y se acelera la respuesta transitoria, sin embargo, es obvio que una acción de control

derivativa no predice una acción que nunca ha ocurrido.

La principal desventaja de este controlador es la sensibilidad al ruido. Debido a que funciona con la

velocidad de cambio del error, generando acción de control no deseadas para señales de magnitud pequeña

pero de alta frecuencia como lo es el ruido.


67

Acción de control proporcional- derivativo (PD)

El control proporcional-derivativo se encarga de reducir el sobrepico y el tiempo de estabilización,

incrementando la estabilidad del sistema, mejorando la respuesta en algunos casos. La relación de un

controlador proporcional-derivativo entre la salida ( ) y la señal de error ( ) esta dado por

( ) ( )

( )

(4-11)

en donde es la ganancia proporcional y es una constante denominada tiempo derivativo. La acción

de control derivativa en ocasiones denominada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida

del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo es el

intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control

proporcional.

Acción de control proporcional integral (PI)

En el control proporcional integral decrece el tiempo de subida, se incrementa el sobrepico y el tiempo de

estabilización comparado con el control proporcional. Como se mencionó anteriormente la parte integral

adiciona un polo en el origen el cual genera un sistema de segundo orden menos estable, por lo que la

parte proporcional ayuda a la estabilización.

La ecuación que describe a acción de control proporcional integral es

( ) ( )

∫ ( )

(4-12)

donde es la ganancia proporcional y se denomina tiempo integral.

Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de

cero, agregando la acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control

creciente, y si fuera negativo la señal de control será decreciente. Esto genera que el controlador haga

tender el error permanente a cero.


68

4.3 REGLAS DE SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID

Existen muchos tipos de reglas de sintonización para los controladores PID básico. Las primeras reglas de

calibrado las dieron a conocer Ziegler-Nichols en 1942. Desde entonces en los textos especializados se

han presentado muchas otras técnicas, algunas de las cuales ya se han implementado en controladores

industriales comercializados a gran escala.

Los experimentos necesarios para obtener el modelo aproximado se deben efectuar, según la técnica

empleada, directamente sobre el proceso (no controlado) o sobre el sistema realimentado con un

controlador particular, en el primer caso se habla de métodos en lazo cerrado mientras que en el segundo

se trata de métodos en lazo abierto.

A continuación abordaremos los métodos de sintonización para el control PID básico en lazo cerrado.

Métodos en lazo cerrado

Se presenta el método de Ziegler-Nichols en lazo cerrado y se mostrará cómo es posible modificar el

margen de ganancia o de fase del sistema realimentado.

Primero se establece y . Usando solo la acción de control proporcional, se incrementa de

cero a un valor crítico en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. Si la salida no

presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar no se aplica este método.

La ganancia crítica y el periodo correspondientes se determinan experimentalmente, ver figura 4.8.

Figura 4.8 Oscilación Sostenida con un Periodo


69

Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros y de acuerdo a la

tabla 4.1 (Ogata, 1998).

Tabla 4.1 Parámetros Basados en la Ganancia Crítica y en el Periodo Crítico

La ganancia crítica del sistema no es otra que el margen de ganancia del sistema bajo control descrito por

la función de transferencia ( ); por tanto, esta técnica se puede utilizar únicamente cuando el margen de

ganancia del proceso ha concluido. Además resulta que , donde

es la pulsación

correspondiente al punto de intersección del diagrama polar de ( ) con el semieje real negativo, ver

figura 4.9. El método propuesto consiste en descubrir las características del punto ( ) de la

respuesta en frecuencia del sistema bajo control y utilizar sólo este dato para efectuar el calibrado

(Bolzern, 2009).

Figura 4.9 Características del Punto A

Tipos de

controlador

P

PI

PID


70

Para determinar las prestaciones que se pueden esperar de un controlador proyectado según la tabla 4.1,

obsérvese en primer lugar que un controlador puramente proporcional no introduce ningún

desfase y la función de lazo resultante ( ) es tal que

( ) (

) (4-13)

El diagrama polar ( ) atraviesa entonces el eje real en y el sistema realimentado con el

regulador proporcional .

En cambio, al pasar a considerar el caso general, nótese que, dado un valor arbitrario de pulsación , es

posible cambiar el punto ( ) ( ) en el plano complejo mediante una elección oportuna de los

parámetros del PID.

Para el caso de un PID calibrado según la tabla 4.1 resulta

( ) (

) (

)

( ) (

) (4-14)

El PID introduce por tanto un adelanto en de 25°, ver figura 4.10.

Figura 4.10 Cambio del Punto A en el Plano Complejo Causado por un PID


71

Asignación del margen de ganancia

Puesto que el uso de un PID permite cambiar ( ) ( ) en un punto arbitrario del plano complejo

para un valor fijado de , también es posible asignar el margen de ganancia o de fase del sistema

realimentado con función de lazo ( ) ( ) moviendo el punto localizado con el procedimiento

de calibrado de Ziegler-Nichols en lazo cerrado, ver figura 4.11.

Figura 4.11 Cambio del Punto A a para la Asignación del Margen de Ganancia

Para asignar el margen de ganancia , teniendo en cuenta que la pulsación en la que el diagrama

polar de ( ) ( ) atraviese el semieje real negativo coincida con , es suficiente utilizar el

regulador puramente proporcional que cambie el punto a .

(4-15)

Para utilizar también la acción integral para consideraciones relativas a las prestaciones estadísticas, y

siempre con es necesario emplear además la acción derivativa y conseguir que el desfase

producido por estos dos términos correspondientes a sea nulo. Con tal fin debe verificar la relación

(4-16)


72

Esta relación no especifica unívocamente los valores de y , pero, en la práctica es común elegir

(4-17)

de manera que los ceros del PID sean reales y coincidente. Las ecuaciones (4-15) y (4-17) definen ahora

unívocamente los parámetros del PID y resulta

(4-18)

Asignación del margen de fase

En el caso donde se requiere un margen de fase dado con el vínculo cuya pulsación crítica

( ) ( ) coincida con , debe resultar

( ( ) (

)) (

) (4-19)

| ( ) (

)| (4-20)

de manera que el punto identificado con el procedimiento de Ziegler-Nichols en lazo cerrado cambie al

punto , ver figura 4.11. Para cumplir las ecuaciones (4-19) y (4-20) es necesario utilizar la acción

derivativa del PID para poder disponer del adelanto de fase necesario correspondiente a . Cuando sea

se tiene ( ( )) y por lo tanto de la ecuación (4-19) y (4-20) se obtiene

(

)

(4-21)

| (

)

|

(4-22)

es decir

( ) (4-23)

( ) (4-24)

Las ecuaciones (4-23), (4-24) junto con (4-17), definen unívocamente los parámetros del PID buscados.


73

En conclusión, de las ecuaciones anteriores se pueden conseguir las reglas de calibrado, reflejados en la

tabla 4 de un controlador PID que asigne el margen de ganancia o el margen de fase a partir de los

parámetros característicos del proceso y (Bolzern, 2009).

Asignación de

Asignación de

Tabla 4.2 Calibrado del PID con Asignación del Margen de Ganancia o de Fase

Métodos en lazo abierto

Estos métodos de calibrado de los parámetros de los reguladores PID, desarrollados para sistemas con

respuesta al escalón esencialmente no oscilante, se basa en el uso de un modelo aproximado del sistema

por controlar descrito por la función de transferencia

( )

(4-25)

A continuación explicaremos las técnicas que más se usan para determinar los parámetros del modelo

aproximado de la ecuación (4-25) a partir de la respuesta al escalón experimental del proceso (Bolzern,

2009).

Método de la tangente

Los dos métodos que más se usan para conseguir los parámetros , y del modelo aproximado de la

ecuación (4-25) a partir de la respuesta al escalón experimental del proceso son los métodos de la tangente

y el método de las áreas.

En el primer método, la respuesta del proceso a una entrada escalón unitario se obtiene de manera

experimental, como se mencionó anteriormente. Si el proceso no contiene integradores ni polos

dominantes complejos conjugados la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de , ver

figura 4.12. (Si la curva no exhibe una curva con forma de este método no es pertinente).


74

Figura 4.12 Curva de Respuesta en Forma de S

La curva con forma de se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo y la constante de tiempo

. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de

inflexión de la curva con forma de y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del

tiempo y la línea ( ) (Ogata, 1998).

De la figura 4.13 se puede conseguir el valor de la ganancia como relación entre el valor de régimen

de la salida y la amplitud del escalón de entrada. Además, el punto de máxima pendiente de la curva

corresponde al momento en el que y la tangente a la curva en este punto atraviesa la asíntota

correspondiente al valor de régimen de la salida en .

Figura4.13 Parámetros Característicos de la Respuesta al Escalón por el Método de la Tangente


75

Ziegler-Nichols sugirieron establecer los valores de , y con las fórmulas que aparecen en la

tabla 4.3.

Tabla 4.3 Parámetros Basados en la Respuesta Escalón de la Planta.

Método de las áreas

Considere de nuevo la respuesta a un escalón de amplitud del sistema descrito por la función de

transferencia mostrada en la ecuación (4-25). Como en el método de la tangente, la ganancia del sistema

se puede determinar directamente como ⁄ . Además, el área comprendida entre la respuesta y la

asíntota de la curva, está dada por

∫

⁄ ( ) ( )

(4-26)

Considerando el área comprendida ente la curva, el eje de los tiempos y una recta vertical que pasa por

el punto de abscisas , se tiene

∫ ( ⁄ )

(4-27)

de la cual

(4-28)

Tipos de

controlador

P

PI

PID


76

Con la respuesta al escalón del proceso del que se quiere determinar el modelo aproximado de la ecuación

(4-25), ver figura 4.14, el método de las áreas permite conseguir:

La ganancia ⁄

El área

El valor ⁄

El área

Los parámetros ⁄ y ( ) ⁄

Figura 4.14 Parámetros Característicos de la Respuesta al Escalón por el Método de las Áreas

En presencia de señales ruidosas, el cálculo numérico de un área es menos crítico que la determinación de

la tangente de una curva.

Otras técnicas de calibración

La gran difusión de los reguladores PID en el ámbito industrial, la simplicidad del modelo mostrado en la

ecuación (4-25) fácilmente demostrable con pruebas de base, y las prestaciones no siempre satisfactorias

que dan las reglas, se han hecho que a lo largo de los años se hayan propuesto diferentes criterios para el

calibrado de los parámetros , y .

Por lo mismo se da a continuación los métodos de Cohen y Coon e IMC, dos de los criterios más

conocidos y utilizados en las aplicaciones.

El método de Cohen y Coon consiste en utilizar las relaciones reflejadas en la tabla 4.4, conseguidas con

una relación de amortiguación de 0.25 entre dos picos sucesivos de la respuesta a una perturbación en

escalón en la variable de control.


77

Tabla 4.4 Reglas de Calibrado de Cohen y Coon

La técnica de síntesis llamada Control por Modelo Interno, o IMC, sugiere utilizar las reglas de calibrado

sintetizadas en la tabla 4.5. Nótese que en las reglas IMC aparece también el término , que representa

un parámetro siguiente positivo de proyecto. Se puede elegir un valor de libremente en fase de síntesis

teniendo en cuenta que cuando aumenta se produce una reducción de la banda pasante del sistema en lazo

cerrado y un aumento de los márgenes de fase y de ganancia.

( )

( )

Tabla 4.5 Reglas de Calibrado IMC

En general se puede afirmar que el método de Cohen y Coon lleva a un calibrado similar al que ofrecen las

reglas de Ziegler-Nichols de la tabla 4.3, mientras que el calibrado IMC produce sistemas de control más

moderados (Bolzern, 2009).

Métodos de optimización

Algunos métodos de calibrado consisten en determinar los parámetros del controlador de manera que se

minimicen las funciones oportunas que caracterizan las respuestas del sistema en lazo cerrado frente a

evoluciones a escalón de la señal de referencia o de las perturbaciones. Las más comunes son las

siguientes

∫ | ( )|

∫ | ( )|

(4-29)

∫ ( )

∫ ( )

(4-30)


78

La función IAE (Integral Absolute Error) reduce el modulo del error, mientras que con la funcional ITAE

(Integral Time Absolute Error) disminuye poco el modulo del error en los primeros instantes del

transitorio. Análogamente, el criterio ISE (Integral Square Time Error) se puede utilizar cuando sean

aceptables errores también elevados en los primeros instantes de la respuesta.

Naturalmente, es difícil determinar analíticamente los valores óptimos de los parámetros para una función

genérica de transferencia ( ) del proceso, pero es necesario utilizar caso por caso métodos de

optimización de tipo evolutivo. Sin embargo, con referencia al modelo de la ecuación (4-25), obtenible

como se sabe con el método de las áreas o de la tangente, y en respuesta a escalón de la señal de

referencia, se han propuesto reglas empíricas de calibrado de controladores PI o PID obtenidas

interpolando los resultados de pruebas específicas de optimización. Por ejemplo, para la funcional ITAE

se pueden usar las formulas mostradas en la tabla 4.6 (Bolzern, 2009).

(

)

(

)

(

)

Tabla 4.6 Reglas de Calibrado ITAE


79

Selección de ganancias del controlador

Uno de los problemas principales que ocurre con mayor frecuencia en la implementación de unos de los

controladores mencionados en este capítulo, principalmente en el PID, es la elección de las ganancias del

controlador. Como podemos observar la desigualdad de la ecuación, una regla de diseño común es la de

establecer primero y diseñar la ganancia proporcional y derivativa, y , respectivamente, para

obtener el comportamiento transitorio deseado, es decir, tiempo de subida, tiempo de estabilización, etc.

Para la selección de y debe recordarse que un controlador proporcional con una ganancia

reducirá el tiempo de subida y el error de estado estable, pero jamás lo eliminara, mientras que un

controlador derivativo con una ganancia , tendrá el efecto de aumentar la estabilidad del sistema, es

decir, reducirá la sobre-oscilación y mejorara la respuesta transitoria. Finalmente, un control integral con

la ganancia eliminara el error de estado estable, pero podrá hacer que la respuesta transitoria empeore.

Estos puntos se resumen en la tabla 4.7, parámetros que solo son una referencia (Saha, 2010).

Respuesta de lazo

cerrado

Tiempo de

subida

Sobre-

oscilación

Tiempo de

estabilización

Error de

estado

estable

Disminución Aumento Cambio

Pequeño

Disminución

Cambio

Pequeño

Disminución Disminución Cambio

Pequeño

Disminución Aumento Aumento Eliminación

Tabla 4.7 Efecto de las Ganancias en los Controladores


80

4.4 CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA

El término control significa dos cosas: una es estrategia de seguimiento de trayectoria y la otra es

estrategia de regulación de oscilaciones, la estrategia de control se logra definiendo una trayectoria de

punto a punto o de manera continua.

Como lo mencionamos anteriormente existen técnicas de control en lazo cerrado y técnicas de control en

lazo abierto En la primera técnica, se transmiten comandos a los actuadores para mover cada eje del

sistema. El movimiento real se monitorea tanto para el desplazamiento como para la velocidad, y se

compara con la señal de referencia. La diferencia entre la señal de referencia y la señal del sistema, que se

define como el error, se utiliza como realimentación al controlador con la finalidad de realizar la

modificación de los comandos para corregir la posición.

Si se desea controlar velocidad, aceleración y par de torsión, o si el movimiento contra cargas pesadas es

necesario, entonces el control en lazo abierto usualmente no es posible. Por ejemplo, los robots

industriales utilizan el control en lazo cerrado. Este problema de control requiere conocimientos de control

proporcional-derivativo (PD), proporcional-integral (PI), proporcional-integral-derivativo (PID), lógica

difusa, redes neuronales, modos deslizantes, entre otras teorías de control, (Saha, 2010).

En este trabajo se ha abordado el control de un sistema actuado y un sistema subactuado.

Un sistema actuado es aquel que tiene el mismo número de actuadores y el mismo número de grados de

libertad, en este caso tenemos tres actuadores y tres grados de libertad para el robot manipulador analizado

en esta tesis. Las técnicas de control antes mencionadas se pueden aplicar directamente a estos sistemas

físicos. Sin embargo, no sucede lo mismo para los sistemas subactuados.

Un sistema subactuado es aquel en donde el número de actuadores es menor al número de grados de

libertad, como es el caso de la grúa, donde tenemos tres actuadores y cinco grados de libertad. De tal

manera que no tenemos un control directo sobre cada uno de los grados de libertad del sistema.

Para el propósito del diseño de control genérico, se considera un modelo genérico de tiempo continuo, de

un sistema robot donde las variables a controlar son y un sistema grúa con variables a controlar

, totalmente articulados con dinámicas inerciales de la forma

( ) ( ) (4-31)

donde

( ) ( ) ( ) ( ) (4-32)


81

donde es un vector de configuración generalizado de variables (de traslación o rotacional), ( ) denota

una matriz de masa inercial, ( ) consta de acoplamientos fuerzas/torque entre la masa o con la

gravedad, la fricción y son las entradas generalizadas fuerza/torque.

La ecuación (4.31) describe la relación principal entre los movimientos inerciales entre los sistemas de

masas, fuerzas/torque internas ( ) y fuerza/torque de entrada externa , debido a que es muy

satisfactorio para el diseño de la ley de control (Fridman, 2011).

El control de los sistemas mecatrónicos que aquí se analizan (robot manipulador y grúa) se clasifican

como no lineales. El uso de técnicas de control lineal sirve cuando el sistema se mueve lentamente, de

manera que puede ser matemáticamente modelado por medio de ecuaciones diferenciales lineales con

coeficientes contantes. Para el caso de un control del sistema en tiempo real, estos métodos lineales se

consideran esencialmente como métodos aproximativos, ya que las ecuaciones dinámicas de movimiento

del sistema son en realidad ecuaciones diferenciales no lineales.

Control Realimentado

En el caso de un control de lazo abierto, es decir, sin realimentación, el par de torsión o las fuerzas en un

actuador pueden calcularse en forma directa a partir del modelo dinámico.

El comportamiento dinámico de un manipulador para una trayectoria determinada, es decir, para , ,

, la ecuación de movimiento se expresa como

(4-33)

Donde , , , denotan los vectores -dimensionales, siendo el número de articulaciones del

manipulador, de las posiciones, velocidades y aceleraciones de articulaciones deseadas.

es la matriz de inercias generalizada de , que es una función de los ángulos de articulación .

es el vector -dimensional de los términos de inercia convectiva, que es una función de ángulos y

velocidades de articulaciones, es decir, , .

es el vector -dimensional de aceleraciones gravitacionales, que es una función únicamente de los

ángulos de articulación, es decir, .

es el vector -dimensional de las fuerzas generalizadas que pueden ser pares de torsión o fuerzas en las

articulaciones. Como lo hemos mencionado anteriormente los actuadores son los pares de torsión o las

fuerzas para impulsar al sistema a lo largo de la trayectoria; es decir, , , .


82

Observe que cuando se usa la ecuación (4-33), el robot no seguirá la trayectoria deseada, debido a

incertidumbres acerca de la longitud de eslabones, masa e inercia, así como por la no consideración de

fricción, holgura, etc. Por lo tanto, el control por realimentación es esencial, donde se realimentan al

sistema de control las posiciones reales de las articulaciones o el efector final y a veces sus derivadas,

como se indica en la figura 3 mediante las líneas punteadas.

Para el control realimentado, el robot acepta un vector de pares de torsión y fuerzas de las articulaciones,

denotados por , del sistema de control.

Observe que los pares de torsión y fuerzas de las articulaciones son necesarios para producir la

trayectoria deseada .

La realimentación se utiliza para calcular el error, encontrando la diferencia entre las posiciones deseadas

y reales, y, del mismo modo, entre las velocidades deseadas y reales, es decir,

y (4-34)

El sistema de control calcula entonces el par de torsión como alguna función del error para ser transmitido

a los actuadores, de manera que el error sea mínimo o cero (Saha, 2010).

Planeación de Trayectoria

El objetivo de la planeación de trayectoria del sistema es generar una función con la cual se moverá el

robot y la grúa, esa generación de función depende de las tareas del robot por ejemplo recoger un objeto

de un punto para depositarlo en otro o soldar dos piezas metálicas a lo largo de una curva.

En el primer caso se asigna el punto inicial y el punto final; es decir, el movimiento de punto a punto

mientras que en el segundo, tiene que especificarse una secuencia finita de puntos; es decir, un

movimiento de ruta continúa. Un usuario normalmente especifica un número de parámetros para describir

una tarea de punto a punto o de ruta continua. Luego, un algoritmo de la planeación de la trayectoria

calcula las entradas del controlador de movimiento del sistema.

La planeación de las trayectorias puede efectuarse ya sea en el espacio de las articulaciones o articular; es

decir, en término de las posiciones articulares, velocidades y aceleraciones, o espacio cartesiano. Esto es,

en términos de las posiciones del efector final, orientaciones y sus derivadas con respecto al tiempo.

La planeación de la trayectoria en el espacio cartesiano naturalmente permite dar cuenta de la presencia de

cualquier restricción a lo largo de la ruta del efector final, estas tiene que ver con las regiones del espacio

de trabajo en las que el robot tiene prohibido actuar, por ejemplo por la presencia de obstáculos (Saha,

2010).


83

Planeación de espacios articulares

Se define una trayectoria en función del tiempo ( ), de tal manera que ( ) y ( ) .

En este caso representa el tiempo de ejecución de la trayectoria. Dado que la trayectoria esta

parametrizada por el tiempo, se puede calcular las velocidades y aceleraciones a lo largo de la trayectoria

por diferenciación.

De esta manera la tarea es planificar una trayectoria de a , es decir, la trayectoria específica

por la configuración inicial y el efector final del robot manipulador. En algunos casos pueden existir

restricciones en la trayectoria. (Si el robot debe comenzar y terminar con velocidad cero).

Sin embrago, es fácil darse cuenta de que hay un número infinito de trayectorias que satisfagan a un

número finito de las restricciones en los puntos finales. El problema aquí es encontrar una trayectoria que

conecte una configuración inicial a una configuración final, mientras que cumpla las limitaciones

especificadas en los extremos (velocidad y/o aceleración).

De esta manera podemos afirmar que en el tiempo se satisface

( ) (4-35)

( ) (4-36)

de igual forma para los valores de

( ) (4-37)

( ) (4-38)

Además podemos especificar las aceleraciones iniciales y finales de la siguiente forma

( ) (4-39)

( ) (4-40)

Supongamos que queremos generar una trayectoria entre dos puntos, y que además deseamos especificar

las velocidades iniciales y finales de la trayectoria. Una manera de generar una curva suave, ver figura

4.15, es una función polinómica de . Si tenemos cuatro limitaciones para satisfacer, como las ecuaciones

(4-35 a la 4-38), se requiere un polinomio de cuatro coeficientes independientes que se pueden elegir para

satisfacer estas restricciones.


84

Figura 4.15 Trayectoria Típica del Espacio Común

Por lo tanto se considera una trayectoria cubica de la forma

( )

(4-41)

Entonces la velocidad deseada se da como

( ) (4-42)

Combinando las ecuaciones (4-41) y (4-42) obtenemos

(4-43)

(4-44)

(4-45)

(4-46)

Las ecuaciones anteriores se pueden combinar en una ecuación matricial

[

]

[

] [

] (4-47)

El determinante de la matriz de coeficientes en la ecuación (4-47) es igual a ( ) , de esta manera la

ecuación (4-47) da una solución única en el intervalo deseado, lo cual permite la ejecución de la

trayectoria (Spong, 2005).


85

Capítulo 5

Análisis y Resultados

A continuación se presenta el análisis y los resultados obtenidos de las simulaciones y de los cálculos de

las ganancias propuestas para el controlador PID implementado al sistema robot manipulador y a la grúa;

se hace un análisis del porque la existencia de limitaciones en la señal de control, además se presenta una

sección breve para la estimación de la velocidad.

Se analizan las diferencias entre la trayectoria deseada y la trayectoria que se obtiene del sistema

estudiado; es decir el error cuadrático medio; para la grúa se analizan las oscilaciones presentadas en la

carga.

Por último se analiza y se determinan las ganancias del PID que mejor sintonizan el controlador para

cumplir los objetivos requeridos.


86

5.1 ROBOT MANIPULADOR

Una vez obtenido el modelo matemático del efector final del sistema del robot visto en el capítulo 3, es

necesario calcular el espacio de trabajo del robot. El espacio de trabajo del robot manipulador es el

conjunto de puntos capaz de alcanzar sin forzar alguna de sus características de diseño (articulaciones).

Dependiendo de la configuración elegida y de la longitud de los eslabones, el espacio de trabajo del robot

manipulador varía en mayor o menor proporción. En la tabla 5.1 se muestran los parámetros del robot

manipulador de la figura 5.1, usados para la simulación en el software de Matlab-Simulink.

Figura 5.1 Robot Manipulador 3GDL

Descripción Notación Valor Unidades

Longitud del eslabón 1 0.297 M



Masa del eslabón 1 0.5 Kg



Inercia del eslabón 1 0.043x10-3 Kg m2



Aceleración de la

gravedad

g 9.8 m/s2

Articulación 1 ±155 °

Articulación 2 -45 a 60 °

Articulación 3 10 a -160 °

Tabla 5.1 Parámetros del Robot Manipulador de 3GDL


87

De la tabla 5.1 podemos ver que el robot manipulador puede moverse de 155° a -155° en la primera

articulación, en la segunda articulación de -45° a 60° y en la tercera articulación de 10° a -160°.

Empleando la información mencionada anteriormente y aplicando un algoritmo en Matlab se obtuvo el

espacio de trabajo del robot manipulador mostrado en la figura 5.2.

Figura 5.2 Área de Trabajo del Robot Manipulador de 3GDL

De esta manera se conoce el espacio máximo alcanzado por el efector final, el cual nos sirve como base

para poder diseñar una trayectoria a seguir teniendo la seguridad de que el robot la llevará a cabo.


88

5.2 DISEÑO DE LA TRAYECTORIA

Con el espacio de trabajo definido anteriormente se optimizó y diseñó una trayectoria dentro de los límites

mostrados por la figura 5.2, dicha trayectoria consistió en sujetar un objeto localizado en un punto A, girar

180° y depositar el objeto en el punto B. Como se muestra en la figura 5.3.

Figura 5.3 Descripción de la Trayectoria del Robot Manipulador de 3GDL

Para determinar los valores que debemos mandar a cada articulación; es decir los valores para ,

se diseñó el algoritmo del problema cinemático directo (Anexo A) e inverso (Anexo B) del robot

manipulador, así como la trayectoria a seguir en coordenadas rectangulares, ver figura 5.4, empleando

Matlab, posteriormente se hizo uso del algoritmo del problema cinemático inverso para encontrar los

valores correspondientes para , ya que ésta nos permite conocer los ángulos de las articulaciones

conociendo las posiciones del efector final.


89

Figura 5.4 Trayectoria de Simulación

Con lo anterior se definen los valores que debe tomar cada una de las articulaciones en el tiempo para

cumplir con el objetivo de trasladar la carga del punto A al punto B.

Una vez determinado el modelo del robot manipulador (Anexo C), se desarrolló una función en Matlab

para después ser usada en Matlab-Simulink con el bloque llamado Matlab-Function, para esto se planteó

despejar a de la ecuación (3-58), donde es la aceleración de las posiciones articulares y es definida

como la salida del bloque, teniendo como entradas las variables y , donde es la velocidad de las

posiciones articulares y es obtenida al pasar por un integrador, representa las posiciones articulares, que

se obtienen cuando pasa por un integrador y son las fuerzas externas, como lo muestra la figura 5.5, a

cuyo subsistema en Matlab-Simulink llamamos Robot.

Figura 5.5 Modelo del Robot Manipulador en Matlab-Simulink


90

Estimación de la Velocidad

Para obtener las medidas de velocidad del sistema será necesario estimar la velocidad a partir de la

posición medida, esto debido a que no se cuentan con sensores en el sistema que directamente nos

proporcionen estas medidas.

Este procedimiento de estimación introduce error e incertidumbre en las medidas de la velocidad.

Una forma simple de hacer una estimación es obtener la velocidad promedio sobre un intervalo de

muestras por medio de la diferencia de esas medidas angulares; es decir

(5-1)

Donde representa la k-esima muestra en radianes medida y es el intervalo de las muestras.

Filtrando la señal de la velocidad

La ecuación (5-1) se puede aproximar a la definición de la derivada siempre y cuando el intervalo de las

muestras tienda a cero, de tal forma que existirán intervalos en la señal de posición en la que la derivada

tienda a infinito, provocando picos en la señal de velocidad estimada.

A continuación se hace una estimación de la velocidad promedio en una de las articulaciones del robot,

ver figura 5.6, y se presentan las gráficas correspondientes al aplicar un filtro de primer orden, con función

de transferencia

( )

(5-2)

y un filtro de segundo orden, con función de transferencia

( )

( ) (5-3)

Empleando constantes de tiempo


91

Figura 5.6 Simulación de la Señal de Velocidad Promedio Estimada

Figura 5.7 Simulación de la Señal de Velocidad Estimada para

En la figura 5.7 se muestra la señal de la velocidad promedio estimada para un filtro de primer y segundo

orden respectivamente con una constante de tiempo .


92

Figura 5. 8 Simulación de la Señal de Velocidad Estimada para

En la figura 5.8 se muestra la señal de la velocidad promedio estimada para un filtro de primer y segundo

orden respectivamente con una constante de tiempo .

Figura 5.9 Simulación de la Señal de Velocidad Estimada para


93

Debido principalmente a las características mecánicas de los propios sistemas, las variaciones que se

obtienen a partir de la lectura de los sensores de posición provocan cambios en el cálculo de la velocidad

promedio; si no se filtrara la señal, la velocidad promedio estimada variará constantemente, produciendo

un efecto que afecta el desempeño del sistema, de esta manera el uso del filtro pasa bajos nos ayuda a

obtener una medida más precisa en la señal de velocidad.

En seguida se diseñó un sistema de control para lograr que el sistema siga la trayectoria de la figura 5.4. El

sistema de control necesita saber el comportamiento deseado o el desempeño esperado y debe cubrir

especificaciones como estabilidad, calidad de la respuesta y solidez. La figura 5.10 muestra el controlador

PID en configuración paralelo empleado para cumplir con este objetivo.

Figura 5.10 Controlador PID en Configuración Paralelo

Donde son las ganancias proporcional, derivativa e integral respectivamente.

Limitaciones en los actuadores

Un problema inevitable en la mayoría de los sistemas de control es la existencia de limitaciones en los

actuadores. En la práctica, todos los actuadores tienen límites máximos y mínimos de trabajo, que pueden

alcanzarse si la señal de control experimenta picos elevados, en cuyo instante el actuador se satura y deja

de comportarse linealmente.

Por esta razón, se introdujo a la entrada del sistema un elemento saturador, que representa la capacidad

limitada del actuador, ver figura 5.11.

Dicho elemento saturador es representado por la función definida a continuación

(

) {

(5-4)


94

Figura 5.11 Implementación de la Función Saturación

Los resultados de simulación del sistema, siguiendo la trayectoria propuesta anteriormente son

presentados mediante dos experimentos de simulación de acuerdo al diagrama de bloques de la figura

5.12, los resultados del primer experimento se muestran en la figura 5.13, el segundo en la figura 5.14,

ambos con un tiempo de simulación de 138 segundos, paso fijo con tamaño de 0.01 y valores para las

ganancias del PID mostradas en la tabla 5.2.

Figura 5.12 Diagrama de Bloques de Simulación del Control PID para el Robot

Simulación Ganancia Valor

1 Proporcional [10 20 7]

1 Integral [4 1 2]

1 Derivativa [0.8 0.2 0.1]

2 Proporcional [85 150 50]

2 Integral [16 3 8]

2 Derivativa [1.6 0.4 0.2]

Tabla 5.2 Ganancias PID


95

Selección de Ganancias del PID

Primeramente se trato de sintonizar el controlador PID utilizando las reglas de Ziegler-Nichols en lazo

cerrado, pero no se observaron oscilaciones sostenidas por lo que este método no se pudo llevar a cabo, lo

que nos lleva a descartar el método de margen de ganancias y el de asignación de fase, ya que para

emplear estos métodos se emplean datos obtenidos por el primer método descartado.

Posteriormente se trató de sintonizar el controlador PID por el método de la tangente y de las áreas, pero la

respuesta del sistema no presentó una señal en forma de S, de esta manera se optó por aplicar el método de

selección de ganancias de acuerdo al efecto que tienen en el controlador, (procedimiento visto en la

sección 4.3).

Utilizando la tabla de referencia 4.7, primero se estableció y con lo que procedemos a

seleccionar una ganancia proporcional para mejorar el tiempo de crecimiento, en seguida se determino un

valor de ganancia derivativa para para mejorar el sobrepico y por último se buscó un valor de ganancia

integrativa para eliminar el error en estado estable y así obtener el comportamiento deseado del sistema.

Una vez obtenidos los valores , se realizaron las pruebas de simulación de acuerdo al diagrama

de bloques de la figura 5.12, en seguida se incrementaron los valores de las ganancias del PID con la

finalidad de minimizar aún más el error del sistema con respecto a la referencia deseada, de tal manera que

los resultados obtenidos se presentan a continuación.


96

Figura 5.13 Resultados de Simulación 1 del Robot


97

Figura 5.14 Resultados de Simulación 2 del Robot

Como puede verse, en ambas simulaciones, las gráficas del error rms, tienden a cero, a su vez podemos

notar que la respuesta del sistema es más estable cuando las ganancias del PID se incrementan, la

magnitud del error disminuye y éste tiende más rápidamente a cero. Por lo tanto podemos afirmar que las

ganancias que mejor sintonizan al sistema para seguir la trayectoria propuesta son las usadas en el

experimento número dos.


98

5.3 GRÚA

Una vez obtenido el modelo matemático del efector final del sistema de la grúa visto en el capítulo 3, es

necesario calcular el espacio de trabajo de la grúa. El espacio de trabajo de la grúa es el conjunto de

puntos capaz de alcanzar sin forzar sus características de diseño

Dependiendo de la configuración elegida y de la longitud de desplazamiento en , el espacio de

trabajo de la grúa varía en mayor o menor proporción.

De esta manera la configuración espacial de la grúa se muestra en la figura 5.15.

Figura 5.15 Área de Trabajo de una Grúa de 5GDL

Los parámetros de la grúa, ver figura 5.16, se muestran en la tabla 5.3, los cuales fueron empleados para la

simulación en el software de Matlab-Simulink.


99

Figura 5.16 Grúa de 5GDL

Descripción Notación Valor Unidades

Distancia máxima en X 1 m

Distancia máxima en Y 1 m

Distancia máxima en Z 0.8 m

Masa del carrito 0.76 Kg

Masa de la carga 0.7 Kg

Tabla 5.3 Parámetros de la Grúa 5GDL

5.4 DISEÑO DE LA TRAYECTORIA

La planificación de la trayectoria se realiza con la determinación del espacio de trabajo antes mencionada,

en este caso la carga será traslada del punto inicial (Punto A) y será descendida a un punto final (Punto B),

ver figura 5.17.

Figura 5.17 Descripción de la Trayectoria de una Grúa de 5GDL

Carrito

Carga


100

La figura 5.18 muestra la trayectoria generada empleando Matlab-Simulink, donde, en los ejes se

planteo el uso de una trayectoria de la forma lineal mientras que para la trayectoria en el eje se usó una

forma cúbica, posteriormente se cambia la forma de la trayectoria en los ejes y se plantea una forma

cúbica, se analizará como afectan en el desempeño del sistema.

Figura 5.18 Trayectoria en Coordenadas Rectangulares 1

A continuación se muestran los resultados de simulación obtenidos de las ecuaciones del modelo dinámico

de la grúa, obtenidas en el capítulo 3, así como los resultados experimentales en una grúa prototipo.

De igual forma que en la sección anterior, se desarrolló una función en Matlab para describir el modelo

dinámico de la grúa (Anexo D), misma que se usa con el bloque Matlab-Function, se planteó despejar a

de la ecuación (3-58), donde es la aceleración de las posiciones articulares y es definida como la salida

del bloque.

Se tienen como entradas las variables y , donde es la velocidad de las posiciones articulares y es

obtenida al pasar por un integrador, representa las posiciones articulares, que se obtienen cuando pasa

por un integrador y son las fuerzas externas, como lo muestra la figura 5.19, a cuyo subsistema en

Matlab-Simulink llamamos Grúa.

Figura 5.19 Modelo de la Grúa en Matlab-Simulink


101

Como se vio anteriormente, ya que no se cuenta con elementos que nos midan las velocidades del sistema

de manera directa, se aplica a la grúa el concepto para la estimación de la velocidad descrito anteriormente

en el robot manipulador, de igual forma se aplican el uso de saturadores; simulando las limitantes de los

actuadores en la grúa.

El siguiente diagrama a bloques corresponde al sistema de la grúa, con el sistema de control propuesto,

junto con la trayectoria a seguir, ver figura 5.20. Posteriormente se analiza con dos diferentes trayectorias

una con interpolación lineal y la otra con interpolación cubica, ver figura 5.21 y figura 5.24.

Figura 5.20 Diagrama de Bloques de Simulación del Control PID para la Grúa

Las ganancias del PID de la grúa de 5GDL son los valores mostrados en la tabla 5.4.

Ganancia Valor

Proporcional [15 10.5 220]

Integral [0 0 12]

Derivativa [7.5 5 26]

Tabla 5.4. Ganancias PID

De manera similar que con el controlador PID del robot, de los métodos descritos en el capítulo 4, se optó

por la selección de las ganancias del PID de acuerdo a la respuesta que producen en el sistema.

Experimentalmente se hizo un reajuste en las ganancias para obtener un mejor control en el sistema y

tratar de eliminar las oscilaciones de la carga aplicando el método descrito por la tabla de referencia 4.7

A continuación se muestran los resultados de la interpolación lineal con sus respectivas gráficas.


102

Figura 5.21 Resultados de Simulación 1 de la Grúa


103

Figura 5.22 Simulación 1 de las Oscilaciones Presentadas en la Carga

Como puede observarse en la trayectoria obtenida mediante interpolación lineal, se presentan oscilaciones

que están dentro del rango de -1.5° a -1.5°, ver figura 5.22.

En las grúas, cuando se hacen presentes este tipo de oscilaciones en la carga, el proceso de carga/descarga

se torna lento debido a las afectaciones sobre el sistema que ocurre. Para lograr disminuir estos efectos

indeseados hasta valores que no influyan tanto en el desarrollo de la actividad, es necesario regular dichas

oscilaciones, el bloque PD Angle, ver figura 5.20 se encarga de regular dichas oscilaciones realimentando

al sistema con éstas mismas para así aplicar una corrección que se le suma a la ley de control del PID y así

poder obtener mejores resultados.

En la figura 5.21 se muestran las magnitudes de las fuerzas resultantes de la simulación del sistema de la

grúa mostrado en la figura 5.20, así como el error rms en cada uno de los actuadores , cuando al

sistema se le aplica una trayectoria con interpolaciones lineales.


104

La figura 5.24 presenta los resultados empleando la trayectoria con interpolación cúbica mostrada en la

figura 5.23, además se muestran también las oscilaciones en los ejes coordenados de la trayectoria.

Figura 5.23 Trayectoria en Coordenadas Rectangulares 2


105

Figura 5.24 Resultados de Simulación 2 de la Grúa


106

Figura 2.25 Simulación 2 de las Oscilaciones Presentadas en la Carga

Haciendo una comparación entre la figura 5.22 y la figura 5.25, se observa que la trayectoria realizada con

una interpolación polinómica mejora la respuesta del sistema que la trayectoria realizada con interpolación

lineal, en la figura 5.25 se observa como disminuyen las oscilaciones a un rango de -0.5° a -0.5°, con lo

que se deduce que la mejor opción para asegurar mejor estabilidad al transportar la carga es plantear el uso

de trayectorias polinómicas de orden mayor a dos.

También se concluye que el uso de un regulador para amortiguar las oscilaciones, ayuda bastante para

disminuir dichas oscilaciones en la carga; sin embargo, la manera en la que se plantea la trayectoria de

movimiento también puede ayudar a optimizar el sistema.


107

En seguida se muestran los resultados obtenidos de manera experimental en la grúa prototipo de

laboratorio.

Dicha grúa es controlada desde la PC, cuenta con una interfaz totalmente integrada con Matlab-Simulink

gracias a la cual puede operar en tiempo real.

Figura 5.26 Resultados Experimentales 1 de la Grúa


108

Figura 5.27 Oscilaciones Presentadas en la Carga

Como puede observarse en la trayectoria obtenida mediante interpolación lineal, ver figura 5.27, se

presentan oscilaciones que están dentro del rango de 3° a -3°.

Se puede apreciar, de los resultados experimentales en comparación con los de la simulación del modelo

de la grúa usando con la trayectoria con interpolación lineal, que los resultados muestran diferencias, sin

embargo, el comportamiento del sistema modelado no está muy lejos de aproximarse al comportamiento

real del sistema.

Esto nos lleva a rectificar que el uso de técnicas de control lineal se consideran esencialmente como

métodos aproximativos, ya que las ecuaciones dinámicas de movimiento del sistema son en realidad

ecuaciones diferenciales no lineales.


109

En la Figura 5.28 se muestra el error y la fuerza de cada una de las posiciones en los ejes coordenados,

junto con los errores angulares de la trayectoria con interpolación lineal.

Figura 5.28 Error RMS y Fuerzas (Interpolación Lineal)


110

Ahora bien se presentan los resultados empleando la trayectoria con interpolación cubica. La Figura 5.29

muestra también las posiciones de los diferentes ejes coordenados de la trayectoria.

Figura 5.29 Resultados Experimentales 2 de la Grúa


111

Figura 5.30 Oscilaciones Presentadas en la Carga

Haciendo una comparación entre la figura 5.27 y la figura 5.30, se observa que la trayectoria realizada con

una interpolación polinómica mejora la respuesta del sistema que la trayectoria realizada con interpolación

lineal, en la Figura 5.30 se observa como disminuyen las oscilaciones a un rango de 0.8° a -0.8°, con lo

que se confirman los resultados obtenidos por la simulación; es decir, la mejor opción es el planteamiento

de trayectorias polinómicas.


112

Figura 5.31 Error RMS y Fuerzas (Interpolación Cúbica)

En la Figura 5.31 se muestra el error y la fuerza de cada una de las posiciones en los ejes coordenados,

junto con los errores angulares para una trayectoria con interpolación cubica.


113

Capítulo 6

Conclusiones

En esta investigación se desarrolló el modelo dinámico para un robot manipulador y una grúa,

empleando el método de Euler-Lagrange, el cual nos permitió establecer las fuerzas de entrada

necesarias para mover el sistema.

El análisis y control de sistemas mecatrónicos no es muy sencillo debido al número de variables que

presenta cada uno de los sistemas, el robot manipulador analizado en esta tesis tiene seis variables a

controlar, tres variables de posición y tres de velocidad, la grúa tiene diez variables a controlar, cinco de

posición y cinco de velocidad, además los modelos matemáticos que describen la posición y orientación

de los sistemas son no lineales, con lo que el análisis de éstos sistemas requiere de técnicas más

desarrolladas para su estudio.

Existen dos problemas asociados al modelado cinemático, el primero es conocido como el problema

cinemático directo, en donde usamos la técnica de modelado de Denavit-Hartenberg con el cual

determinamos los parámetros asociados a los eslabones del manipulador, haciendo una asignación de

sistemas coordenados a cada articulación, asignándoselos a una matriz de transformación, en la cual

encontramos la posición y orientación del último eslabón del manipulador. El segundo es conocido

como problema cinemático inverso, la cual consiste en encontrar expresiones explicitas para las

variables articulares en función de la posición o movimiento deseado según el problema de control al

cual nos enfrentamos.


114

Se debe aclarar que únicamente se hizo el modelado cinemático para el robot utilizando la técnica de

modelado de D-H debido a que en la grúa el problema de posicionamiento se obtiene de manera

directa empleando métodos geométricos, y por lo que un cambio de coordenadas no se aplica a la grúa.

En esta tesis se realizó un controlador PID, el cual se sintonizó empleando el método de selección de

ganancias adecuadas para llegar a un desempeño adecuado del sistema; se abordó el estudio del control

de una trayectoria de punto a punto para cada sistema para trasladar una carga de un lugar a otro. Para la

grúa se propuso una primera trayectoria en donde se empleó interpolación lineal, posteriormente se

modificó la sección lineal por una trayectoria cubica de tal manera que se concluye que una trayectoria

suave provoca cambios menos bruscos en el movimiento de la carga.

La realización de este trabajo tiene como fin permitir desarrollar nuevas líneas de investigación en

trabajos futuros en base a la presente investigación, como referencia para estudios de comparación de

desempeño contra nuevas estrategias de control como:

Control lógico difuso

Modos deslizantes

Redes Neuronales

Entre otras técnicas de control.

Se puede plantear el diseño de otras trayectorias suaves utilizando polinomios de grado mayor a tres,

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL BIBLIOGRAFÍA

115

Bibliografía

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http://books.google.com/books?id=Wqf7AAAACAAJ&dq=robotica+industrial+-+groover&hl=es&ei=iIICTv6LIY-5twfH4N2KDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCoQ6AEwAA

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Matemático y Control PD + Compensación de un Robot Manipulador de Dos grados de Libertad en

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18. Spong, Mark W. Robot Dynamics and Control. John Wiley and Sons, Inc., 1989.

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Inc, 2005.

20. Strang, Gilbert. Linear Algebra and its Applications, Thomson, 1988.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO A

117

CINEMÁTICA DIRECTA DEL ROBOT

function [ p ] = CinematicaDirecta( angulos ) %angulos en radianes alfa1 = pi/2; alfa2 = 0; alfa3 = 0; a1 = 0; a2 = 0.297; a3 = 0.297; d1 = 0.297; d2 = 0; d3 = 0; teta1 = angulos(1); teta2 = angulos(2); teta3 = angulos(3); T1 = Matriz_Ai([alfa1 a1 teta1 d1]); T2 = T1*Matriz_Ai([alfa2 a2 teta2 d2]); T3 = T2*Matriz_Ai([alfa3 a3 teta3 d3]); p = [T3(1,4) T3(2,4) T3(3,4)]; end

function [ Ai ] = Matriz_Ai( p ) % Se calcula la Matriz Ai para los parámetros de % Denavit-Hartenberg dados % alfa, a, teta y d parametros de entrada % ángulos alfa y teta dados en radianes alfa = p(1); a = p(2); teta = p(3); d = p(4); RotZ = [cos(teta) -sin(teta) 0 0; sin(teta) cos(teta) 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]; TransZ = [1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 d; 0 0 0 1]; TransX = [1 0 0 a; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]; RotX = [1 0 0 0; 0 cos(alfa) -sin(alfa) 0; 0 sin(alfa) cos(alfa) 0 0 0 0 1]; Ai = RotZ*TransZ*TransX*RotX; end

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO B

118

CINEMÁTICA INVERSA DEL ROBOT

function [ angulos ] = CinematicaInversa( p ) %p=posicion(x,y,z) d1 = 0.297; a2 = 0.297; a3 = 0.297; teta1 = atan2(p(2),p(1)); NUM11 = p(1)^2 + p(2)^2 + (p(3)-d1)^2; DEN11 = sqrt(NUM11); D1 = ((a3^2-a2^2)-NUM11)/(-2*a2*DEN11); aux = atan2((p(3)-d1),sqrt(p(1)^2 + p(2)^2)); aux1 = atan2(-sqrt(1-(D1^2)),D1); teta2=aux-aux1; NUM22 = p(1)^2 + p(2)^2 + (p(3)-d1)^2; D2 = (NUM22-(a3^2+a2^2))/(2*a2*a3); teta3 = atan2(-sqrt(1-(D2^2)),D2); angulos=[teta1 teta2 teta3]; end

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO C

119

MODELO DINÁMICO DEL ROBOT

function [ qdd ] = Robot( input )

format long

L1 = 0.297; %m

L2 = 0.297; %m

L3 = 0.297; %m

I1 = 0.043*10^-3; %kg*m^2

I2 = 0.068*10^-3; %kg*m^2

I3 = 0.015*10^-3; %kg*m^2

m1 = 0.5; %kg

m2 = 0.4; %kg

m3 = 0.4; %kg

g = 9.81; %m/s^2

fc = 1;

fv = 1;

q1 = [input(1) input(2) input(3)]'; %q

q2 = [input(4) input(5) input(6)]'; %q punto

tau = [input(7) input(8) input(9)]';

D11 = (0.5*I1)+(0.75*I2)+(I1*(sin(q1(2)+q1(3)))^2)+(I2*(cos(q1(2)+q1(3)))^2)+(cos(2*q1(2))*(0.5*(I2-

I1)))+(L3^2*m3*(cos(q1(2)+q1(3)))^2)+(L2^2*(m2+m3)*(cos(q1(2)))^2)+(2*L2*L3*cos(q1(2))*cos(q1(2)+q1(

3)));

D12 = 0;

D13 = 0;

D21 = 0;

D22 = L2^2*(m2+m3)+L3^2*m3+2*L2*L3*m3*cos(q1(3))+2*I3;

D23 = L3^2*m3+L2*L3*m3*cos(q1(3))+I3;

D31 = 0;

D32 = L3^2*m3+L2*L3*m3*cos(q1(3))+I3;

D33 = L3^2*m3+I3;

h1 = 0.5*(0.5*(-4*L2^2*m2*sin(q1(2))*cos(q1(2))-2*(I2-I1)*sin(2*q1(2)))+2*m3*(I2*(-sin(q1(2)))-

I3*sin(q1(2)+q1(3)))*(I2*cos(q1(2))+I3*cos(q1(2)+q1(3)))+2*I1*sin(q1(2)+q1(3))*cos(q1(2)+q1(3))-

2*I2*sin(q1(2)+q1(3))*cos(q1(2)+q1(3)));

h2 = 0.5*(-

2*L3*m3*sin(q1(2)+q1(3))*(I2*cos(q1(2))+I3*cos(q1(2)+q1(3)))+2*I1*sin(q1(2)+q1(3))*cos(q1(2)+q1(3))-

2*I2*sin(q1(2)+q1(3))*cos(q1(2)+q1(3)));

h3 = L2*L3*m3*(-sin(q1(3)));

C11 = h1*q2(2)+h2*q2(3);

C12 = h1*q2(1);

C13 = h2*q2(1);

C21 = -h1*q2(1);

C22 = h3*q2(3);

C23 = h3*(q2(2)+q2(3));

C31 = -h2*q2(3);

C32 = -h3*q2(2);

C33 = 0;

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO C

120

G1 = 0;

G2 = L2*g*(0.5*m2+m3)*cos(q1(2))+0.5*g*L3*m3*cos(q1(2)+q1(3));

G3 = 0.5*g*L3*m3*cos(q1(2)+q1(3));

D = [D11 D12 D13;

D21 D22 D23;

D31 D32 D33];

C = [C11 C12 C13;

C21 C22 C23;

C31 C32 C33];

G = [G1 G2 G3]';

F1 = fc*tanh(q2(1)) + fv*q2(1);

F2 = fc*tanh(q2(2)) + fv*q2(2);

F3 = fc*tanh(q2(3)) + fv*q2(3);

F = [F1 F2 F3]';

qdd = ((D\tau)-(D\(C*q2))-(D\G)-(D\F));

end

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO D

121

MODELO DINÁMICO DE LA GRÚA

function [ output ] = ModeloGrua( input )

l = input(3); %m

m1 = 0.76; %kg

m2 = 0.2; %kg

g = 9.81; %m/s^2

%x y l tetax tetay

q1 = [input(1) input(2) input(3) input(4) input(5)]';

q2 = [input(6) input(7) input(8) input(9) input(10)]';

tau = [input(11) input(12) input(13) 0 0]';

fv=0.01;

fc=0.01;

D11 = m1+m2;

D12 = 0;

D13 = m2*sin(q1(4))*cos(q1(5));

D14 = m2*l*cos(q1(4))*cos(q1(5));

D15 = -m2*l*sin(q1(4))*sin(q1(5));

D21 = 0;

D22 = m1+m2;

D23 = m2*sin(q1(5));

D24 = 0;

D25 = m2*l*cos(q1(5));

D31 = m2*sin(q1(4))*cos(q1(5));

D32 = m2*sin(q1(5));

D33 = m2;

D34 = 0;

D35 = 0;

D41 = m2*l*cos(q1(4))*cos(q1(5));

D42 = 0;

D43 = 0;

D44 = m2*l^2*(cos(q1(5)))^2;

D45 = 0;

D51 = -m2*l*sin(q1(4))*sin(q1(5));

D52 = m2*l*cos(q1(5));

D53 = 0;

D54 = 0;

D55 = m2*l^2;

C11 = 0;

C12 = 0;

C13 = 0;

C14 = 2*m2*cos(q1(4))*cos(q1(5))*q2(3)-m2*l*sin(q1(4))*cos(q1(5))*q2(4);

C15 = -2*m2*sin(q1(4))*sin(q1(5))*q2(3)-2*m2*l*cos(q1(4))*sin(q1(5))*q2(4)-

m2*l*sin(q1(4))*cos(q1(5))*q2(5);

C21 = 0;

C22 = 0;

C23 = 0;

C24 = 0;

C25 = 2*m2*cos(q1(5))*q2(3)-m2*l*sin(q1(5))*q2(5);

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO D

122

C31 = 0;

C32 = 0;

C33 = 0;

C34 = -m2*l*(cos(q1(5)))^2*q2(4);

C35 = -m2*l*q2(5);

C41 = 0;

C42 = 0;

C43 = 0;

C44 = 2*m2*l*(cos(q1(5)))^2*q2(3);

C45 = -2*m2*l^2*sin(q1(5))*cos(q1(5))*q2(4);

C51 = 0;

C52 = 0;

C53 = 0;

C54 = m2*l^2*cos(q1(5))*sin(q1(5))*q2(4);

C55 = 2*m2*l*q2(3);

G1 = 0;

G2 = 0;

G3 = -m2*g*cos(q1(4))*cos(q1(5));

G4 = m2*g*l*sin(q1(4))*cos(q1(5));

G5 = m2*g*cos(q1(4))*sin(q1(5));

F1= fc*tanh (q2(1))+fv*q2(1);

F2= fc*tanh (q2(2))+fv*q2(2);

F3= fc*tanh (q2(3))+fv*q2(3);

F4=0;

F5=0;

D = [D11 D12 D13 D14 D15;

D21 D22 D23 D24 D25;

D31 D32 D33 D34 D35;

D41 D42 D43 D44 D45;

D51 D52 D53 D54 D55];

C = [C11 C12 C13 C14 C15;

C21 C22 C23 C24 C25;

C31 C32 C33 C34 C35;

C41 C42 C43 C44 C45;

C51 C52 C53 C54 C55];

G = [G1 G2 G3 G4 G5]';

F = [F1 F2 F3 F4 F5]';

q2d = ((inv(D)*tau)-(inv(D)*C*q2)-(inv(D)*G)-(inv(D)*F))';

output=q2d;

end

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO E

123

ESPACIO DE TRABAJO DEL ROBOT

clear all

clf

a2 = 0.297;

a3 = 0.297;

d1 = 0.297;

angulo1=[-155 155];

angulo2=[-45 60];

angulo3=[10 -160];

t1=angulo1*(pi/180);



%Area de trabajo vista superior

subplot(1,2,1);

teta1=(t1(1):0.01745:t1(2))';

n1=length(teta1);

posicion1=ones(n1,3);

x1=ones(n1,1);

y1=ones(n1,1);

z1=ones(n1,1);

for i=1:n1

posicion1(i,:)=CinematicaDirecta([teta1(i) 0 0]);

x1(i)=posicion1(i,1);

y1(i)=posicion1(i,2);

z1(i)=posicion1(i,3);

end

line([0 x1(1)],[0 y1(1)],'LineWidth',1,'color','b');hold on;

line([0 x1(n1)],[0 y1(n1)],'LineWidth',1,'color','b');hold on;

plot(x1,y1,'color','b');

title('Area de Trabajo en X y Y');

xlim([-0.6 0.7]);

ylim([-0.65 0.65]);

xlabel('Eje X (metros)');

ylabel('Eje Y (metros)');

%---------------------------------------------------------------

%Area de trabajo vista frontal

subplot(1,2,2)

%-----------------------------------------------Primer Calculo--

teta2=(t2(1):0.01745:t2(2))';

n2=length(teta2);

posicion2=ones(n2,3);

x2=ones(n2,1);

y2=ones(n2,1);

z2=ones(n2,1);

for i=1:n2

posicion2(i,:)=CinematicaDirecta([0 teta2(i) t3(1)]);

x2(i)=posicion2(i,1);

y2(i)=posicion2(i,2);

z2(i)=posicion2(i,3);

end

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ANEXO E

124

%----------------------------------------------Segundo Calculo--

teta3=(t3(2):0.01745:t3(1))';

n3=length(teta3);

x3=ones(n3,1);

y3=ones(n3,1);

z3=ones(n3,1);

for i=1:n3

posicion2(1-i+n2+n3,:)=CinematicaDirecta([0 t2(2) teta3(i)]);

x2(1-i+n2+n3)=posicion2(1-i+n2+n3,1);

y2(1-i+n2+n3)=posicion2(1-i+n2+n3,2);

z2(1-i+n2+n3)=posicion2(1-i+n2+n3,3);

end

%-----------------------------------------------Tercer Calculo--

for i=1:n2

posicion2(1-i+2*n2+n3,:)=CinematicaDirecta([0 teta2(i) t3(2)]);

x2(1-i+2*n2+n3)=posicion2(1-i+2*n2+n3,1);

y2(1-i+2*n2+n3)=posicion2(1-i+2*n2+n3,2);

z2(1-i+2*n2+n3)=posicion2(1-i+2*n2+n3,3);

end

%-----------------------------------------------Ultimo Calculo--

for i=1:n3

posicion2(i+2*n2+n3,:)=CinematicaDirecta([0 t2(1) teta3(i)]);

x2(i+2*n2+n3)=posicion2(i+2*n2+n3,1);

y2(i+2*n2+n3)=posicion2(i+2*n2+n3,2);

z2(i+2*n2+n3)=posicion2(i+2*n2+n3,3);

end

plot(x2,z2,'color','b');

title('Area de Trabajo en X y Z');

xlim([-0.2 0.65]);

ylim([-0.3 0.9]);

xlabel('Eje X (metros)');

ylabel('Eje Z (metros)');

Documents

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - DSpace Hometesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/9887/1/2.pdf · 2017-12-12 · 2.5 Parámetros de Denavit-Hartenberg ... Figura 2.1 Espacio Vectorial