Instituto Superior Técnico

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS J

Prof. Eduardo Borges Pires

1987

Índice

1.1 Introdução 1

1.2 Flexão Elástica 4

1.2.1 Hipóteses, Formulação de Problemas e Relações Fundamentais 4

1.2.2 Dimensionamento de Vigas 14

1.2.3 Optimização das Secções de Vigas Flectidas 19

1.2.4 Energia de Deformação na Flexão 22

1.2.5 Flexão Desviada 25

1.2.6 Flexão Referida a Eixos Arbitrários 31

1.2.7 Flexão Composta 37

1.2.8 Núcleo Central 45

1.2.9 Análise Elástica de Vigas Isostáticas submetidas à Flexão 51

1.2.10 Análise Elástica de Vigas Hiperstáticas 71

1.2.11 Efeitos Térmicos 79

1.2.12 Vigas de Secção Heterogénea 85

1.3 Flexão Não-Linear 90

1.3.1 Equações da Flexão Não-Linear 90

1.3.2 Flexão Plástica 92

1.3.3 O Conceito de Rótula Plástica 97

1.3.4 Cálculo Plástico de Vigas 102

1.3.5 Teoremas da Análise Limite 110

1.3.6 Efeito do esforço axial sobre o valor do momento plástico 118

1.3.7 Flexão Plana Composta de Vigas Constituídas por Materiais

não Resistentes à Tracção 122

Capítulo 1

Flexão Pura

1.1 Introdução

:\a cadeira de Resistência de Materiais I introduziu-se a teoria da elasticidade

linear e iniciou-se o estudo das peças lineares com o capítulo relativo à tracção e com­

pressão. Começar-se-à o presente semestre por apresentar a Teoria Técnica relativa à

Flexão de Peças Lineares. Antes, no entanto, convirá fazer algumas revisões e conside­

rações iniciais.

Define-se barra ou peça linear como todo o corpo cujo mate;oial se confina

à vizinhança de uma linha do espaço a que se chama eixo. Segundo o \'ocabulário de

Teoria das Estruturas trata-se dum corpo que se pode considerar gerado por uma figura

plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes. cujo centro de gravidade

se desloca ao longo de uma linha de grande raio de cun'atura à qual a figura se mantem

perpendicular e cujo deslocamento é largamente superior às dimensões da figura. O

eixo da peça linear é pois a trajectória do centro de gravidade da sua figura geradora.

denominando-se fibra a trajectória percorrida por qualquer ponto da figura. Por outro

lado a secção resultante da intersecção da peça linear por um plano normal ao seu eixo

denomina-se secção transversal da peça linear. Finalmente a barra diz-se de secção

constante ou variável conforme a secção se mantiver ou não invariante ao longo do eixo.

Se for de secção constante e o eixo for rectilíneo a barra diz-se prismática.

A peça linear é pois uma estrutura redutível a um modelo unidimensional.

Trata-se duma importante simplificação que se vai introduzir nas equações da teoria

da elasticidade e que nos vai permitir reduzir significativamente o número de variáveis

em jogo. Recorde-se que já foram referidas outras simplificações anteriormente, como

1

__o

__ o

Figura 1

R =r ar dO)0 .

M"10 7 A ar dO

(

por exemplo, o caso dos estados planos de tensão e deformação. a homogeneidade e a

isotropia. Todas estas simplificações tornam os problemas fáceis de abordar e resolver.

:\a Teoria das Peças Lineares são os esforços, isto é. as resultantes e os mo­

mentos resultantes. tomados relativamente aos centros de gra\'idade das secções, das

tensões distribuídas em cada secção, que desempenham o papel das tensões (fig. 1). Os

deslocamentos são as componentes dos deslocamentos dos pontos do eixo e as rotações

das secções transversais. Estas grandezas, esforços e deslocamentos, distribuem-se ao

longo do eixo da barra e não já no volume do corpo, como as tensões. A Teoria conduz

à determinação desses esforços em termos dos quais as tensões podem ser calculadas

com base em hipóteses simplificativas sobre a sua distribuição em cada secção.- -As componentes de R e ./tI1 são tomada.!> relativamente ao eixo da barra (eixo 3)

e as dois eixos perpendiculares (1 e 2) formando com o primeiro um triedro ortogonal

directo. Tem-se assim que

N == lo (133 d nVI lo (131 d n==

1

V2 == 10(132 d ndO xl

lo (133 X2 d n 2."[1 ==

'''[2 == -L(133 XI d n

T == lo ((132 XI - (131 X2) d n

2

à-Q

~---tc

-•

Figura 2

~-------

b

~f------A

d

-

•

Supondo válido o princípio da sobreposição é suficiente determinar os efeitos

de cada uma destas componentes, supostas actuando isoladamente. É por esta razão

que se estuda separadamente cada um dos esforços tendo-se iniciado o estudo das peças

lineares pela Tracção e Compressão seguindo-se-Ihe agora à Flexão.

Designa-se por víga toda a peça linear que é utilizada para transmitir momento

flector e esforço transverso. Este tipo de elemento estrutural é muito importante e é

constantemente utilizado em engenharia. Por exemplo, os pisos dos edifícios apoiam-se

em vigas, as pontes contêm vigas entre os seus elementos estruturais, a asa dum avião

pode ser considerada uma viga, etc.

As vigas são classificadas habitualmente em função do modo como se apoiam

nas suas extremidades. Tem-se assim as vigas simplesmente apoiadas (fig. 2a), em

consola (fig. 2b) e biencastradas (fig. 2c). São obviamente possíveis outras combinações

de condições de apoio nas extremidades. Pode. por exemplo, ter-se uma extremidade

encastrada e a outra simplesmente apoiada (fig. 2d) ou a víga pode ter vários apoios

caso em que se diz contínua ou com multiplos vãos (fig. 2e).

Este primeiro capítulo do curso diz respeito unicamente à chamada flexão pura

ou circular, isto é, à situação em que a viga está sujeita unicamente a esforços de flexão

3

1.2 Flexão Elástica

não existindo por isso esforço transverso.

Este modo de solicitação é raro na prática. O seu interesse decorre do facto de

alguns resultados importantes que irão ser deduzidos do seu estudo serem utilizados nos

casos correntes em que o momento flector é variável e por consequência acompanhado

de esforço transverso.

É costume designar a flexão quando acompanhada por esforço transverso por

simples.

1.2.1 Hipóteses, Formulação de Problemas e Relações Funda­

mentais

..Vamos começar por considerar a flexão pura duma barra prismática feita dum

material homogéneo. isotropo e que verifica a lei de Hooke.

Seja a viga representada na figura 3 sujeita à acção de dois binários iguais e

opostos de valor ,'It[ e suponhamos que a viga é simétrica relativamente ao plano destes

momentos.

Para esta viga sujeita a momento flector constante, a primeira coisa a obser­

var é que ela flecte transformando-se num arco de circunferência. Esta constatação é

consequência do facto de que qualquer segmento da viga (tal como o segmento entre as

secções rectas .4.4' e B B') se deforma de igual modo. As fibras longitudinais encurvam

todas transformando-se em arcos de circunferência paralelos.

Não podem estar nem todas comprimidas nem todas tendidas visto que não

existe esforço normal. É pois necessário que na parte convexa da viga deformada, as

fibras alonguem e na parte côncava encurtem. Entre umas e outras existirão fibras.

denominadas fibras neutras, cujo comprimento permaneéerá inalterado. Considere-se o

referencial representado na figura 3 tal que o eixo 2 coincide com o eixo de simetria da

secção sendo o eixo 3 coincidente com uma fibra neutra, cuja localização é por enquanto

indeterminada.

O eixo 1 resulta pois da intersecção de cada secção transversal com a chamada

superfície neutra, isto é, com o lugar geométrico das fibras neutras e é denominado

linha neutra ou eixo neutro da secção.

Na figura seguinte (lig. 4) considerou-se a deformação entre duas secções planas

4

A S

2

1

 s'

A S

3

Á s'

Figura 3

;)

1

c' 1...-1...- --1-.... c'Á B'

I~J..J..Ide \I \I \I \

A IC

2I·

Figura 4

,"izinhas .104' e B B'. Devido à flexão pura as secções planas .-tA' e BB' rodarão uma

relativamente a outra. Suponha-se que as secções .-tA' e BB', planas antes do momento

ser aplicado, permanecem planas e normais ao eixo da viga depois da aplicação do

momento flector. Esta hipótese, enunciada por J. Bernoulli em 1705, é uma das mais

úteis e importantes jamais consideradas em ~!ecãnica.

1\0 caso da flexão pura. esta hipótese - as secções planas permanecem planas e

normais ao eixo - é passível como se verá. de confirmação isto é, conduz a uma solução

exacta. Para uma viga prismática sujeita a outro tipo de carregamento deixa de o ser,

constituindo no entanto uma boa aproximação.

As secções AA' e BB' rodam passando para as posições CC' e DD' respecti­

vamente. Seja dO o ângulo entre CC' e DD' (originalmente zero). O comprimento da

" fibra PP' inicialmente d I3, vale após a deformação

d I3 -'- IZ d O

o inverso do raio de

dO= IZ-­

d I3

da viga, isto é,

d I3 -'- IZ dO - d I3t33 =

d I3

I3 representa a curvatura

pelo que

Ora d O,'d

curvatura R. Logo

(1.1)

6

Quanto às tensões vamos considerar a hipótese adicional atribuída a :Xavier de

que

( 1.2)

:Xote-se que pe"rmanecendo as secções normais às fibras longitudinais (figura

3) as distorsões il3 = 123 = O. pelo que. pela lei de Hooke, 013 = 023 = O. Quanto a

componente 033 tem-seX,

033 = E E33 = E RRecapitulando constatamos que devido às hipóteses:

1. secções planas permanecem planas e normais às fibras longitudinais

se obteve

(U)

(U)

X2033 = E R

A distribuição destas tensões está representada na figura 4. A tensão numa

fibra qualquer é pois proporcional à distância à linha neutra.

O campo de tensões para a viga inteira é uniaxial, isto é, da forma

:0' =[: : E:~ ]Falta-nos mostrar que é o correcto, ou seja. verificar que as equações de

equilíbrio. de compatibilidade e as condições de fronteira são satisfeitas.

Quanto às primeiras são obviamente satisfeitas. Quanto às segundas repare-se

que se tem pela lei de Hooke

X2 X2t33 = R' til = t22 = -vEi ' tl~ = tl3 = EZ3 = O (1.5)

isto é, o campo de deformações é linear. Ora, as equações de compatibilidade envolvem

segundas derivadas das componentes de deformação pelo que a verificação é imediata.

Finalmente quanto às condições de fronteira na superfície lateral (n3 -= O) elas- .- - Osaoo= .

Tem-se de facto

01 - 0= 0\lnl + 0~ln2 + 031 n 3

02 = O = Ol2nl .,.. 022n2"" 032 n 3

03 = O =013nl +023n2 + 033n 3

7

A posição do eixo neutro e o valor do raio de curvatura R podem agora ser

obtidos exprimindo o equilíbrio nas secções extremas, isto é. exprimindo que o sistema

de tensões tem que estar em equilíbrio com o binário exterior. Tem-se entào

( l.6)

Da primeira tira-se substituindo

! I~ d 11 = Of1

ou seja, o eixo neutro (o eixo 1) passa pelo centro de gravidade da secçào recta.

Da segunda obtem-se

f')u seja

(1. 7)

. em que [ representa o momento de inércia da secção recta relativamente ao eixo neutro.

É habitual designar a constante E [ por rigidez de flexão e a igualdade agora obtida por

lei de Euler-Bernoulli.

A quantidade hmede o ângulo de que rodam uma relativamente à outra duas

secções afastadas da unidade de comprimento. A rotação total entre as duas secções

extremas da barra (suposta de comp,;mento L) valerá

L MLp---­- R - E[

Por eliminação de R entre (l.3) e (l.i) obtem-se

1'vI X20'33 = -[-

(l.8)

(l.9)

(1.10)

equação esta que é devida a Navier.

A última das condições de equilíbrio global nas extremidades é obviamente sa­

tisfeita visto que se admitiu a existência dum plano longitudinal de simetria coincidente

com o plano de solicitação, isto é, com o plano dos binários flectores.

Generalizando para a situação em que não exista plano de simetria note-se que

A.12 = - ln 0'33 II dl1 = - ~ ln XI X2 dl1

E= - II'R •

8

(1.11)

Se os eixos 1 e 2 forem eixos principais centrais de inércia. rl~ = O. e a última das

condições em (1.6) continua a ser verificada. Portanto os resultados a que se chegaram

continuam válidos para a situação em que o plano de solicitação não é um plano de

simetria da peça, desde que esse plano contenha um dos eixos principaL, centrai5 da

secção recta. Por outras palanas. para que um momento actuando num plano produza

flexão nesse mesmo plano é necessário que o plano em questào seja principal. isto é.

contenha um dos eixos principais de inércia da secção. Tais planos recebem o nome de

planos principais de flexào.

Completou-se deste modo a "erificação do estado de tensão obt.ido. pelo que se

conclui que o sistema de tensõe5 (1 A) com a curvatura dada por (1.7) é exacto desde

que a coordenada I~ seja nlPdida a partir do eixo neutro na direcção dum eixo principal

de inércia. Isso significa que a hipótese da conservação das secções planas é verificada

no caso da flexão pura.

O modo particular de flexão pura estudado até aqui é caracterizado pelo facto

do plano de solicitação coincidir com o de flexão (isto é, com o plano que contem a

deformada do eixo da viga) ficando o eixo neutro normal a esse plano. Designa-se este

caso por flexão recta ou plana, dando-se o nome de flexão desviada ao caso geral para

o qual o plano de solicitação é qualquer plano contendo o eixo da viga.

A equação (1.9) mostra como já se referiu que as tensões se distribuem lin­

earmente na altura da secção anulando-se com I2' Por outro lado as tensões extremas

corresponderão ao mínimo e máximo valores de X2' aparecendo nas fibras mais afastadas

da superfície neutra. A tensão normal máxima (em valor absoluto) vale pois

m.x A'h AI°33 = -r- = w

em que v é a distância à fibra mais afastada e

w =' ~v

é chamado módulo de flexão CW: = L3).

(1.12)

Exemplo 1: Calcular os módulos de flexão para as secções rectangular e

9

triangular equilatera

•

1

b

2

h

1

2(

Tem-se no caso da secção rectangular supondo que o plano de solicitação co­

incide com o eixo 2

[b h3

= --12

hv = -

2

Logo

w = ~ =v

~o caso da secção triangular

[v3a'

= --96

av3ti =

3

Logo[ 134' a3

W=-=....29-=-ti !!il 32

3

Para os perfis laminados correntes (I, U, L, T, etc.) os valores dos momentos

de inércia e módulos de flexão podem ser obtidos de tabelas. (Tab. Tec .. p.e.)

Exemplo 2: Determinar a distribuição de tensões normais na secção de meio­

-vão da viga representada na figura 5 constituida por um perfil I~P32.

10

~ aOKN 80 KN

tA à

L L L L.. • • ..2m 4m 2m

'\ 7 j ........ ,.oKNm•

Figura .5

Tira-se, por exemplo das Tabelas Técnicas, que para o perfil I:"P32. W = 782cm 3 pelo que

Um,. M 160 X 1O~ _ ?O k \" .,33 = W = 782 - - .46 . cm-

L

11

N

20.46 KN Icm2

Observações:

a) À hipótese da conservação das secções planas é purament.e cinemática nao tendo

pois relação alguma com a natureza do material de que a peça é feita. Poderá

pois continuar a ser aplicada nos casos em que o material não é elástico. nem

homogéneo. nem isotropo.

b) Quando o momento flector varia, isto é, quando está acompanhado de esforço

transverso a demonstração que se fez deixa de ser válida e as secções empenam,

isto é. deixam de ser planas após a deformação. ylostrar-se-à no Capítulo relativo

ao Coc"e que não se cometem erros significativos ao aplicar a equação (1.9) para (

calcular as tensões normais.

c) Considerou-se na obtenção dos resultados da Secção anterior que as vigas eram

prismáticas. Estes resultados podem ser aplicados com boa aproximação às peças

com secção transversal lentamente variável. Dar-se-à ideia do erro cometido no

Capítulo seguinte.

d) A distribuição de tensões a que se chegou só é válida se as forças exteriores estiverem

efectivamente aplicadas nas extremidades de acordo com essa distribuição. Se

assim não acontecer, o Princípio de Saint-Venant garante-nos, no entanto, que a

solução obtida é muito próxima da exacta em pontos suficientemente afastados

das extremidades.

e) Finalmente e no que diz respeito à deformação transversal da peça recorde-se que

se obteve para campo de deformações o estado tridimensional

com

e

12

1

R

- .~., /3

\ '\ I\ 2 :\ Ff\ I\ I\ I\\\

-4_ eixo

,/,/

,/,/

,/,/

superfícieneutra

Figura 6

13

A este estado de deformação corresponde a deformada que se representa na

figura seguinte (fig. 6) aonde se evidencia o facto da curvatura da secção transversal

ser oposta à das fibras longitudinais.

O alongamento das fibras longitudinais que se situam abaixo da superfície neu­

tra é acompanhado por uma contracção transversal enquanto que para as fibras longi­

tudinais que estão acima da superfície neutra e que encurtam há expansão transversal.

É costume designar esta curvatura transversal da viga por curvatura anticlástica (pode

ser visualizada dobrando. por exemplo. uma borracha).

1.2.2 Dimensionamento de Vigas

As dimensões que convem dar a uma viga solicitada por forças conhecidas são

primordialmente condicionadas pela resistência da viga. Segundo o actual Regulamento

de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes (R5A) ~ a verificação da

segurança das estruturas deve ser efectuada em relação a determinados estado.5 limites.

comparando com esses estados limites os estados a que a estrutura é conduzida pela

actuação das acções a que está sujeita, quantificadas e combinadas de acordo com

determinadas regrasft (artO 3°).

Entende-se por estado limite ft um estado a partir do qual se considera que a

estrutura fica prejudicada total ou parcialmente na sua capacidade pará. desempenhar

as funções que lhe são atribuidasft (artO 4°). Os estados limites podem ser classificados.

consoante resultem da sua ocorrência prejuízos muito ou pouco severos, em últimos e

de utilização.

Os estados limites últimos estão pois relacionados com a capacidade máxima

de carga da estrutura enquanto que os de utilização, que correspondem a um critério

de bom funcionamento sob as cargas de serviço, estão em geral relacionados com um

limite para as deformações. Dos dois iremos apenas considerar o primeiro tipo de

• estados limites. isto é, os últimos.

~uma estrutura um estado limite pode ser atingido como consequência da

intervenção de múltiplos factores aleatórios de insegurança (por exemplo, incerteza na

previsão das forças máximas actuante e do seu modo de acção, dispersão estatística das

propriedades de resistência dos materiais, incerteza sobre o valor real das tensões no

interior do corpo pois elas são obtidas com base em hipóteses simplificativas. incerteza

quanto às dimensões geométricas reais dos vários elementos. etc.).

O caracter aleatório dos dados conduz naturalmente a uma abordagem pro-

14

babilística do cálculo. constituindo um seu objectivo o manter-se a probabilidade de

atingir o estado limite em questão abaixo dum valor pré-estabelecido para o tipo de

estrutura considerado. É muito difícil, na prática, realizar um estudo probabilístico

completo..\ssim o RSA baseia-se. no que diz respeito à verificação dasegurança (arr'

,5'. 6""', 7'. 8' e 9°) nos seguintes princípios:

a) Tomar" qlores característicos" para as resistências (que definem as propriedades dos

materiais) e para as acções (que definem as solicitações actuantes na estrutura).

isto é. valores que apresentam uma probabilidade relativamente grande (9,5"C).

aceite a priori. de serem excedidos no I.' caso ou de não serem atingidos no 2"

caso.

b) Eliminar os outros factores de incerteza transformando os valores característicos

em ,'alores de cálculo por meio de coeficientes de ponderação (majoração ou mi­

noração) ,

c) Verificar que os valores de cálculo das acções (ou suas combinações) nunca excedem

os valores para os quais se atinge o estado limite considerado.

A indicação dos estados limites a considerar, dos coeficientes de segurança e das

propriedades dos materiais são objecto de regulamentos relativos aos.. diferentes tipos

de estruturas e materiais.

Em particular e no caso de estruturas de aço é o Regulamento de Estruturas

de Aço para Edifícios (REAE) que interessa consultar. Estabelece o REAL no seu Art.

8°. que os aços que constituem os perfis a util;zar devem ser, em geral. dos tipos Fe

360, Fe 430 e Fe 510 cujas características são definidas na norma :\P-li29 (1981).

Os valores característicos da tensão de cedência a adoptar para estes três tipos

de aço são (1 Pa = 1 S/m2; 1.""IPa = 106 Pa).

, Tipo de Aço! Valores característicos da

. ! tensão de cedência (AIPa)

F,360 2?-"a

F,430 2;5

F,510 3·55

Por outro lado os valores das constantes elásticas a considerar são

15

v = 0,3

G = 0,8 x: 1Q5lvlPa

Para peças sujeitas à flexão e considerando por enquanto sómente as tensões

normais. o RE.-\E estabelece no seu Capítulo IV, art. 38°. 39° e 4l'. que o seguinte

critério para a verificação de segurança em relação ao estado limite último de resistência

sem p!astificação (ou seja. aquele que corresponde ao início da ocorrência de deformações

plásticas em secções dos elementos da estrutura - não confundir com o conceito de estado

limite último introduzido no Capítulo da Tracção e Compressão, onde eram permitidas

deformações plásticas):

l. Deve satisfaz"r-se a condição

em que

(JSJ = valores de cálculo das tensões actuantes

(JRJ - valores de cálculo das tensões resistentes

2. Os valores de cálculo das tensões actuantes, (JSJ, são determinados de acordo com

as teorias da Resistência de Materiais, considerando as combinações de acções

e os coeficientes de segurança especificados no R5A (ver art. 5°, 6°, 7° e 9°).

Por exemplo a acção de cálculo correspondente a uma acção permanente (peso

próprio) deve, na maior parte dos casos••er o valor

F,j=1,5F.

em que F. é o valor característico da acção permanente. O mesmo coeficiente de

segurança (1,5) deve afectar todas as acções variáveis que figuram nas combinações

fundamentais.

3. Os valores de cálculo das tensões resistentes são dados por

em que fv.j é o valor de cálculo da tensão de cedência (ou da tensão limite conven­

cional de proporcionalidade a 0,2%) do tipo de aço considerado e que é tomado

igual ao valor característico indicado anteriormente.

16

(

A utilização de vários factores de segurança (prescritos nos Regulamentos)

quer para majorar as acções constantes nas várias combinações quer para minorar as

resistências do:' materiais e as considerações probabilísticas que servem de base aos

Regulamentos tornam a análise, de segurança demasiadamente geral para os problemas

simples que nos interessa abordar neste momento, Deixar-se-à pois o estudo geral da

segurança da, peças flectidas de aço (com base nas noções e prescrições regulamentares

atrás referidas) para a Cadeira de Dimensionamento de Estruturas, :\0 âmbito da

Re~istência de \lateriais considerar-se-à que uma viga deve ser dimensionada de modo

a que a sua carga última (de colapso ou de ruína) seja considera\'elmente maior que a

chamada carga admissÍ\'el ou de serviço, isto é, a carga que a viga pode suportar sob

condições normais de utilização.

Defina-se entâo um único factor de segurança s fazendo o quociente entre a

carga última e a carga admissível, isto é,

(1.13)carga última

s = ---"--:--:--:--:carga admissível

:\as estruturas de comportamento linear, isto é, naquelas que verificam a lei

de Hooke e a hipótese dos pequenos deslocamentos, as tensões são proporcionais às

acções pelo que é indiferente a afectação do factor de segurança às tensões ou às acções.

Escrever-se,-à então em vez de (1.13)

(1.14)tensão última

s = tensão admissível

Ver-se-à quando se introduzir a flexão plástica que os factores de segurança

dados por (1.13) e (1.14) diferem nas estruturas de comportamento não-linear razão

pela qual são designados habitualmente por factor de carga e factor de tensão respecti­

vamente. O factor 1,5 com que atrás se exemplificou a passagem do valor característico

duma acção permanente para o correspondente valor de cálculo é pois um factor de

carga. Para garantir um certo nível de segurança relativamente à carga limite convem

então para as estruturas não-Iineares aplicar o factor de segurança às acções e não as"

tensões.

(1.15)s=

Finalmente, quando se trata, de acordo com o art. 41" do REAE, de verificar

a segurança relativamente ao estado último de resistência sem plastificação, a tensão

última é a tensão de cedência do material pelo que se tem

tensão de cedência

tensão admissível

17

Nota: A relação (1.15) ou equivalentemente

(1.16)tensão de cedência

ü=s

em que ° e a tensão admissível ou d., segurança está na base dum método de

dimen~ionamento ainda correntemente aplicado e que os anteriores Regulamento~

utilizavam, denominado critério ou dimensionamento por tensões de segurança.

Seja uma viga constituida por um material elástico linear sujeita à flexão pura {

e considere-se a situação mais comum do baricentro estar colocado a meia altura da

secção transversal.

Tem-se neste casom:::l.X _ h

x" = v = -• 2

em3X .\1°33 =-W

(1.1 7)m~x A1 _°33 =-<uw-

Esta condição mostra que a resistência da viga à flexão é medida pelo módulo

de flexão W e permite verificar se uma dada secção resiste ou não a um momento flector

dado. Se se pretender, por outro lado, conhecer o máximo momento flector que uma

dada secção pode suportar aplicar-se-à a relação

Se as tensões admissíveis à tracção e à compressão forem iguais a condição de

d imensionamento escreve-se

(1.18)

Se as tensões admissíveis à tracção e à compressão são diferentes e o baricentro

não está situado a meia altura haverá que considerar duas condições. uma para cada

uma das fibras extremas (definidas na situação da figura 4 pelas distâncias VI e V2)'

Exemplo 3: A viga simplesmente apoiada representada na figura 7 está sujeita

ao carregamento nela indicado e tem uma secção transversal rectangular oca com uma

espessura da parede igual a 8 mm. Pretende determinar-se a largura mínima b da secção

sabendo que ü = 150 114 Pa.

18

b~ 4'..

~ 25 KN t25 KN ~.25KNO.Sem.D 16em

.4 à-L 0.4 m L 0.4m ~ 0.4 m " 0.4 m L.. .. .. .. ..

20KNm

Figura i

Depois de traçado o diagrama de momentos flectores notamos que

l'v!rn.x = 20 kNm

Exprimindo o momento de inércia da secção em termos da larg1lra b obtem-se

Ib.163 (b - 1,6)(16 - 1,6)3 - b (4)

= -- - = 92" - 398. 1 cm12 12 '

pelo que em termos de b o módulo de flexão é

w = ~ = 11,6 b.,. 49,8 (cm3)

Finalmente e em virtude de (1.17)

200011,6 b -H9,8 2: 15

pelo que

brnin = 72,3 mm

1.2.3 Optimização das Secções de Vigas Flectidas

A relação (1.18) mostra que quanto maior for o módulo elástico de flexão W

maior será o momento que uma dada secção poderá suportar em condições qe segurança.

19

Interessa pois averiguar de entre as várias formas possíveis de secções transversais, qual

a que para a mesma área possui o maior módulo de flexão. Com esse objectivo observe­

-se que estando a tensão máxima, que ocorre nas fibras mais afastadas do eixo neutro,

limitada pela tensão admissível ã, as fibras mais perto do eixo neutro ficarão a trabalhar

com valores muito inferiores a ã isto em virtude de se verificar uma distribuição !inear de

tensões na alt'Ha da secção. Por outro lado as resultantes (J d.4 tem. relativamente ao

eixo neutro. um braço e por conseguinte um momento (resistente) tanto mais pequeno

quanto mais perto do eixo neutro estiverem os elementos de área d A. Por estas duas

razões os elementos de área d.4 vizinhos do eixo neutro contribuem pouco para resistir

ao momento Rector aplicado. Segue-se que para optimizar a quantidade de material

a utilizar, convirá diminuir a quantidade de material nas zonas perto do eixo neutro

e de concentrá-la em dois núcleos afastados deste eixo unidos entre si por uma alma

fina. Chega-se assim à consideração das secções em I. Para quantificar a vantagem que

se pode tirar deste tipo de secções compare-se esta secção .com a secção rectangular.

Tem-se no caso duma secção rectangular de largura b e altura h

enquanto que para um perfil I corrente (veja-se por exemplo, o perfil INP32 utilizado

no exemplo 2) se obtem em média

W ::: 0,32 A h

Desta forma para a mesma área e mesma altura o perfil I resiste a um momento

f1ector duplo. :'\0 limite se suposermos todo o material concentrado nos banzos do I,

E :=::::::.J~ /2-E' ::9-hJ2

-_. __._---+

1'1/2

-F'-'~'Al2

20

(

ter-se-ia, desprezando a inércia própria dos banzos

1 = 2A2

Iw=- =..h.2

Ah2

pelo que a viga poderia resistir a um momento f1ector triplo daquele que poderia

ser aplicado à secção rectangular.

Poderia concluir-se do que ficou dito anteriormente que o ideal seria tentar

reduzir ao máximo a espessura da alma e afastar o mais possível os banzos (isto é,

aumentar h), ~ão se pode, no entanto exagerar neste sentido, sob pena de falta de

resistência ao esforço transverso e de ocorrência de problemas de instabilidade lateral

da viga e de encurvadura local da alma, que podem ocasionar o colap'so da estrutura,

Este tipo de problemas será abordado mais adiante,

~ote-se a finalizar que se o material for tal que exista igualdade de resistência

à tracção e à compressão, será conveniente adoptar secções para as quais o baricentro

G se situa a meia altura da secção. Se, pelo contrário, o material possuir uma fraca

resistência à tracção e uma elevada resistência à compressão, como é o caso entre outros

do betão. será conveniente escolher uma secção tal que as distâncias das fibras extremas

ao eixo neutro estejam entre si na mesma razão que as tensões admissíveis à tracção e

à compressão.

Exemplo 4: A viga em T, com h = 120 mm e oS = 30 mm, de ferro fundido

representada na figura 8 está sujeita a um momento f1ector positivo. Admite-se que

o ferro fundido obedece à lei de Hooke. Determinar a largura b que deve ter o banzo

horizontal de modo a que as tensões extremas atingam simultaneamente as tensões

admissíveis (u) tracção = 251\ijmm2, (u) compressão = 90 ,v/mm

2•

21

)-h= 120mm

s=30mmIIIII

----f;----G

5

Il b=? I."'1"------>1'- f

Figura 8

Tem-se

Vi =

t'2 =

S h 2 .:- (b - s) S2 900b + 405000-

2[sh+(b-s)sJ 60b-5400

h _ v = 6300 b .:- 243000i 60b _ 5400

Pretendendo-se igual resistência à tracção e à compressão deverá fazer-se

V (17) t' 25i = _ racçao = __ =0,278

L'2 (o) compressão 90

donde se tira900 b - 4050006300b .:- 243000 = 0,278 ---4 b = 397 mm

1.2.4 Energia de Deformação na Flexão

Considere-se uma barra prismática homogénea de comprimento L submetida àflexão pura. Sendo 033 a única componente de tensão não nula, a densidade de energia

de deformação é, no caso de se verificar a lei de Hooke e serem nulas as tensões iniciais

(1.19)

22

A

u = M li2

u =

o B

Figura 9

pelo que atendendo a (1.9) a energia de deformação da peça terá o valor

~ r O"i3dV = ~ r M2 XªdV21... E 21... Ef2

(1.20)

Supondo que o momento é aplicado gradualmente e com suficiente lentidão

para que em cada instante se possam desprezar as forças de inércia, o momento lIector

é em cada instante proporcional à rotação relativa das secções extremas da barra. O

diagrama momento lIector-ângulo de rotação é <Ulálogo ao diagrama .\' - é (esforço de

tracção-alongamento da barra) e está representado na figura seguinte (fig. 9).

O trabalho das forças exteriores necessárias para levar a barra do seu estado

natural até ao estado caracterizado pelo momento A1

T.., = 1o'P AI d 'P

é representado pela área OA B a tracejado na figura, Tem-se portanto atendendo a que

J[=Ely:;/L1

T,.. = 2.....1.p

A energia de deformação da barra lIectida2

1 1...[ L 1U = 2 -g[ = 2J[ P = T..,

23

é pois igual ao trabalho das forças exteriores o que significa que a energia mecânica

aplicada ao corpo é totalmente convertida em energia de deformação elástica, que o

corpo restitui uma vez retirado o momento que o solicita.

:\. equação (1.20) pode ser expressa em função da l.cnsâo normal máxima.

.-\tendendo a (1.11) vem

u = (U33ox )2 L I2. V2 G:

~o caso duma secção rectangular de largura b e altura h obter-se-à

1 (mox)2(' = -bhL U 33

3 2 Eou, dado que o volume da peça \/ = bh L

1 ( mox)2IV = _ U 33

3 2 E

Esta equação mostra que a densidade de energia de deformaçâo na flexão pura

é, neste caso, um terço da densidade de energia de deformação na tracção ou compressào.

No caso do momento flector variar (flexão simples) ou a rigidez nào for cons­

tante ao longo do eixo da barra a última passagem em (1.20) deixa de poder efectuar-se

pelo que neste caso

(1.2 L)

Exemplo 5: Seja calcular a energia de deformação U acumulada na viga

encastrada representada na figura 10 bem como o deslocamento Ó da extremidade livre.

O momento flector numa secção qualquer à distância X3 da extremidade livre

vale M = -P X3. Substituindo em (1.21) obtem-se

T _ 1 [L p2X~ _ p 2L3L - 210 EI dX3 - 6EI

O trabalho realizado pela força P durante o deslocamento ó causado por essa

mesma força vale PÓ í2. Deste modo

(

donde

24

(1.22)

iEI = constante !p

• 12+ d3

.,j. Loi'-

Figura 10

1.2.5 Flexão Desviada

Considere-se o caso geral duma viga prismática com secção recta de forma

arbitrária, solicitada de uma forma tal que o plano de solicitação contem o eixo da viga

e está orientado segundo uma direcção qualquer (fig. 11). Seja 55 a intersecção do

plano de solicitação com o plano de secção transversal.

O cálculo das tensões e deformações neste caso mais geral da flexão pode ser

feito recorrendo ao princípio da sobreposição, isto é, decompondo a flexão desviada em

duas flexões planas ou rectas.

Sejam 1 e 2 os eixos principais centrais de inércia de secção e decomponha-se

o momento flector ,I"J (cujo vector M é normal a 55) segundo esses eixos.

Sendo ce o ângulo de M com o eixo 1, tem-se

A tensão 0"33 num ponto qualquer de coordenadas Xl> x, pode ser determinada

. somando as tensões devidas às duas componentes, isto é,

0"33 = ,'vIlx, _ Af,Xl = ,\r[ (cosi. 'l-L si~.l~lt I, II I z J

Observa-se que o sinal (-) da 2" parcela provem do facto de a componente .'vI,

do momento produzir compressão nas fibras correspondentes a Xl > O.

O eixo neutro é caracterizado por 0"33 = O pelo que se tem

cos ce X, _ sin ce Xl = OII I,

25

1

Figura 11

26

(

ou sejaX2 II- = ta a­Xl o I~

O eixo neutro nn f~z pois com o eixo 1 um ãngulo 3 tal que

X·, IItg í3 = --.:: = tg a-

XI 12(L ')")._0.'

Por conseguinte o plano de flexão, isto é, o plano que contem o eixo da "iga

deformada, e que é perpendicular a nn não coincide com o plano de solicitação. Os dois

planos só coincidem (isto é, nn 1. ss) quando a =.:3. Ora esta igualdad<> só ocorre nas

seguintes 3 situações:

a) a = O

b) a = ~

c) II = 12Em qualquer destes três casos, ss será eixo principal de inércia e por con­

sequência a flexão será recta:

É possível mostrar que o eixo neutro é conjugado do eixo de solicitação relati­

vamente à elipse central de inércia, isto é, que o eixo neutro é paralelo às tangentes à

elipse central de inércia nos pontos em que esta é intersectada pelo eixo de solicitação.

Com efdto a equação da elipse central de inércia é

em que ii e i; são os raios de giração relativam.:!nte aos eixos principais 1 e 2.

As coordenadas dos pontos de intersecção da elipse com o eixo de solicitação

(ponto C, por exemplo, na figura 11) satisfazem a equação

e por conseguinte as tangentes à elipse nesses pontos tem por coeficiente ângular

-xfil J~g a III = tg ,8 L12 X2 II..._-=2:-----

isto é o mesmo coeficiente angular que o eixo neutro.

As tensões máximas aparecem nos pontos A e B mais afastados do eixo neutro.

Será portanto necessário em geral procurar esses pontos para poder aplicar a formula

27

(1.22). Contudo as secções mais correntes são rectangulares ou inscritas num rectangulo

(l, L, ú') e nestes casos os pontos mais afastados do eixo neutro são vértices do

rec tangulo.

Se a secção for duplamente simétrica e as tensõb admissÍ"eis à tracção e à

compressão forem iguais a condição de dimensionamento escrever-se-à

em que

[

. cos a.H W

I

~ sln a..l.. .

e

No que se refere às deformações a lei de Euler-Bernoulli permite escrever(

1 Afl

R2 = EII '

1 !vf2RI = El2

em que RI e R2 são os raios de curvatura medidos respectivamente nas direcções dos

eixos 1 e 2.

A curvatura total do eixo da viga deformado valerá então

(1.24)

Exemplo 6: Cm momento de 200 .Vm está aplicado a uma viga de secção

rectangular 40 x 90 mm num plano que faz um ângulo de 30° com a vertical tal como

se representa na figura 12. Pretende calcular-se a tensão má.xima na viga e o ângulo

que o eixo neutro faz a horizontal.

As componentes .'141 e ''.>[2 do momento valem

MI - 200 cos 30° = 173,2 Nm

:\f2 - 200sin(-300)=-100Nm

A máxima tensão de tracção devida a MI ocorre nas fibras situadas ao longo

do lado A B e vale

( ) = JHI X2 = 173,2 x 0,045 = 321 A[ P033 I lt 2,43 X 10-6 ' •

28

-6 411 • 2.43 x 10 m

90mm

40 mmc ",..'--+---,

/

2

B

Figura 12

A máxima tensão de tracção devida a .'vf2 ocorre nas fibras situadas ao longo

do lado AG e vale

(a ) = _ l'vfZXl = 100 x 0,02 = 4 17 .H P33 z I z 0,48 X 10-6' •

A tensão máxima na viga devido a MI e a l'vfz ocorre portanto no ponto A. e é

igual a

a';3"" = (a33)1 ~ (a33)2 = 7,38 AI P,

O ângulo {3 que o eixo neutro faz com a horizontal pode ser obtido de (1.2~).

Tem-se então

tg.a h ( 0)2.43= tga - = ta -30 _.-Iz " 0.48

= -2,92

Logo

/3=-71"

~a figura seguinte (fig. 13) representa-se a posição do eixo neutro bem como

a distibuição de tensões na secção.

29

n

cr+------" o

\

Figura 13

30

....l__-++...,G

2

Figura 14

__l __.....+d G

2

'.

1.2.6 Flexão'Referida a Eixos Arbitrários

o caso geral duma viga com secção recta de forma arbitrária sujeita à flexão

pura, com o plano de solicitação contendo o eixo da viga mas orientado arbitrariamente,

foi anteriormente analisado da forma mais simples possível, isto é, decompondo a flexão

desviada em duas flexões planas.

Existem, no entanto, situações em que é conveniente trabalhar com eixos que

não são eixos principais centrais da secção. Refiram-se, como exempl03, os casos da

cantoneira e da secção em Z, representadas na figura 14.

Os eixos 1 e 2 não são eixos principais, mas por serem paralelos às abas dos

perfis, há conveniência em que as tensões 0"33 venham referidas a estes eixos.

Considere-se então a situação esquematizada na figura seguinte (fig. 15) em

que agora os eixos 1 e 2 não são eixos principais centrais de inércia.

Pretende-se obter expressões para o campo de deformações e de tensões referi­

das a estes eixos.

Em virtude da lei de Bernoulli ou da conservação das secções planas a extensão

f33 e consequentemente a tensão normal 0"33 = E f33 vêm dadas por uma expressão linear

em Xl e xz, isto é,

0"33 = .4 Xl + B Xz -;- C (1.25)

em que .4, B e C são constantes.

Exprima-se agora o equilíbrio entre o sistema de forças internas e o binário

flector }vI:

31

1

""'s2

Figura 15

• Equilíbrio de forças segundo o eixo 3

ln 0"33 dn = O

Substituindo (1.25) nesta condição de equilíbrio obtem-se:

A ln Xl d n + B ln X2 d n +- C n = O

Sendo nulos os dois momentos estáticos fn Xl dn e fn Xz dn em virtude dos

eixos serem baricentricos conclui-se que C = O pelo que (1.2.5) reduz-se a

• Equilíbrio de momentos segundo o eixo 1

Substituindo vem

A ln Xl Xz d n + B ln xi d n = ,'v/i

32

(1.26)

ou ainda atendendo a que o integral no r' termo do 10 membro representa o produto

de inércia PI~ e que o integral no 2° termo representa o momento de inércia [11

(1.27)

• Equilíbrio de momentos segundo o eixo 2

Substituindo

ou ainda

(1.28)

A. =

Resolvendo as equações (1.27) e (1.28) em ordem a .4. e B obtem-se finalmente

Ali [12 - .\[2 [11

[11 b - nzB =

Ali [22 - !',,[z [\2

[11 [22 - If2

pelo que

Casos Particulares:

( 1.29)

a) Os eixos 1 e 2 coincidem respectivamente com o eixo neutro e com um eixo

que lhe é perpendicular.

A equação do eixo neutro é então X2 = O pelo que se tira de (1.29) que

Explicitando esta equação em ordem a lI11 e substituindo em (1.29) obtem-se

MI X20"33 =

[11

33

Conclüi-se deste modo que a equação de :\avier (l.9) é geral, isto é, serve tanto

para a flexão recta como para a desviada..-\ sua utilização é porém reduzida pelo facto

de ser relativa a eixos contidos no plano neutro e no plano de flexão.. Ora em geral o

que é conhecido é o plano de solicitação e não o de flexão de modo que para a aplicar

haveria que saber a posição do eixo neutro e calcular o momento de inércia relativamente

a esse eixo. O que ficou demonstrado e referido para a equação de :\avier aplica-se de

igual modo à lei de Euler-Bernoulli (l.i). Deixa-se como exercício a correspondente

demonstração.

b) Os eixos 1 e 2 são eixos principais de inércia. Então [lZ =O pelo que (l.2Qj

se reduz a:·\-l2XI ,\11xz

/733 = --- ---[22 [II

equação igual àjá obtida quando se decompôs a flexão desviada em duas flexões planas

sugundo os eixos principais de inércia da secção.

c) MI = O

Então[II I l - [lZIZ

/733 = ., ,"12[II[ZZ - [iz

Se além disso 1 e 2 forem eixos principais "irá

d) ;\1z = O

Então[12 X I ~ 122x 2 'vf

/733 = - [[ [2 1 I1122-12

Se 1 e 2 forem eixos principais de inércia

Exemplo 7: Seja a viga simplesmente apoiada representada na figura 16.

solicitada como se indica e cuja secção é uma cantoneira metálica de 150 < 100 , 10.

Pretende calcular-se a distribuição de tensões na secção de meio-vão e a orientação da

linha neutra.

34

(

A!2 KN

1'""/

lKN

}•~

,Ao

/KN

à 3 G

lI,-.r 1. 5m L 1.5 m L 1.5 m J.-• .,

II 2

~

Figura 16

Características geométricas da secção:

Area = 24 cm2

di = 2,375 cm

111 557,625 cm'

d2 = 4,875 cm

122 = 202,625 cm'

ft2 = -196,875 cm'

, 2

Ir = 111 + 122 + f( ln - 122 ) + 12 _ 64 - 2 'Y 12 - .:>, cm2 2

III = 115,0 cm'

tg 2a-2112

= L 109=ln - 122

2a = 47°,96~ a ~ 24°

35

a) Utililizando' os eixos baricentricos 1 e 2 vem

.\fl (X3 = ~)2 "', 1.5 4.5 = 1,5 kSm= < -

-L5 2

= 150000 Nem

.\lfz (X3 = ~)1 :.0:- 1,5 4.5

x - =0.75kSm4.5 2

= 75000 :Vem

pelo que substituindo em (1.29)

(J33 = -961.3 II - 608.4 IZ (N'em Z)

(

A equação da, linha neutra é:

I. 961,3=> -=- = -- = 1. 58 = tg 3

XI 608,4 .

Donde 6::::: 58"

b) Utilizando os eixos principais

['\lfl ] =;\lfli

-1126,1 Xl + 165,2 Xli

,1,066 J1,295

(;V/emz)

Xli 1126,1~ tg (a + 13) = - = _ =- a 7- i3 ::::: 82°

Xl 16<>,2

donde í3 ::::: 58° valor que confirma o resultado já obtido.

Faz-se notar que é mais fácil recorrer à expressão obtida na alínea a) para calcular

(J33 em determinados pontos, nomeadamente no vértice .4 da secção em que a

tensão normal de compressão é máxima:

Xi = -4.875 em2.375 em ;

-961,3 x 2,375 - 608,4 ><4,875 =

= -5249 N/em2 = -52,S N/mm2

XA =I

A°33 =

36

III

<>

Ni

I

IIIi

" , , , '( , " ",

Secção transversal

1 G lN)

CP

e ~..,

2

Me=-N

Figura 17

1.2.1 Flexão Composta

(1.30)ez =

A flexão diz-se composta se estiver associada com esforço normal independen­

temente de existir esforço transverso ou não.

São exemplos, entre outros, de secções sujeitas à flexão cómposta, as secções

das colunas ou montantes de pórticos e as secções dos muros de suporte de terras.

Tal como no caso da flexão pura, a flexão composta pode ser recta ou desviada

consoante o plano de solicitação contenha ou não um dos eixos principais de inércia da

secção. A flexão composta é equivalente a um esforço axial ~ excêntrico" , como mostra

a figura seguinte (fig. 17).

Diz-se centro de pressão (C PJ de uma secção transversal da coluna a inter­

secção da linha de acção da solicitação axial excêntrica com o plano da referida secção

transversal. O momento pode ser calculado em cada secção multiplicando o esforço nor­

mal pela distância do centro de pressão ao baricentro, como mostra a figura 17. A essa

distância dá-se o nome de excentricidade. No caso mais geral do plano de solicitação

não conter nenhum eixo principal central de inércia, definem-se duas componentes da

excentricidade segundo cada um dos eixos coordenados, como mostra a figura 18 e tais

que

37

(2

1<>

2

( N)

1

Figura 18

Na situação da figura 17 o CP não varia ao longo do eixo da peça. :\0 entanto

se a flexão estiver acompanhada de esforço transverso o centro de pressão variará de

secção para secção (fig. 19)

Admite-se que a deformação lateral da barra devida ao momento é desprezável

em presença da excentricidade, isto é, supõe-se que a peça deformada coincide com

a peça não deformada pela que a análise do equilíbrio pode ser feita para o corpo

não deformado. Esta hipótese, que será posta de lado aquando do estudo da instabil­

idade, torna admissível a da linearidade geométrica e portanto válido o princípio da

sobreposição.

As tensões em regime elástico podem pois determinar-se somando a parcela

devida ao esforço normal com a parcela devida ao momento flector. Deste modo, tem­

-se a seguinte distribuição linear

N !'vfI X2 M2xI= -+-----n II I 2

(1.31)

admitindo que os eixos 1 e 2 são principais centrais de inércia da secção (fig. 20).

A combinação das diferentes parcelas indicadas em (1.31) pode resultar em

tensões normais do mesmo sinal em toda a secção ou na ocorrência de tensões com

38

N

CP

Ne = Fd = M

Figura 19

sinal diferente caso em que existirá uma linha de tensão nula intersectando a secção.

Introduzindo (1.30) em (1.31) obtem-se ainda

(1.32)

(1.33)

em que ii e i 2 são os raios de giração da secção relativos aos eixos principais 1 e 2.

A equação da linha neutra de uma dada secção obtem-se de (1.32) fazendo

033 = O. Desta forma tem-see2 X 2 elxl _ O

1+ '2 + '2 -11 12

Trata-se da equação de uma recta que corta o eixo 1 no ponto de abcissa

(1.34)

(1.35)

e o eixo 2 no ponto de coordenada

'211

X2 =-­e2·

Observa-se que a linha neutra deixa de conter o baricentro G da secção (fig.

21) ..

39

1

lN)-----..,,&--_;....---i­

G

2

Figura 20

40

N >0

x2 e,< O fxl e2

e2>0

M, =- Ne, > oCP

M2 =Ne2> o

e - compressões

e - tracções

Figura 21

41

xB

.--+0.,

__ o

LN,

LN2 2

Figura 22

Se as excentricidades el e ez tenderem para zero, isto é, se o centro de pressão

tender para o baricentro (caso da solicitação axial), XI e Xz tendem para infinito (a

linha neutra tende para infinito) pelo que as tensões na secção são sempre do mesmo

sinal. Se, pelo contrário, el e ez tenderem para infinito, isto é, se o centro de pressão

tender para infinito (solicitação de flexão pura), XI e X2 tendem para zero (a linha

neutra contem G).As posições relativas do centro de pressão e da linha neutra estão ligadas pela

seguinte propriedade: quando o centro de pressão se desloca ao longo duma recta AB

(fig. 22) a linha neutra correspondente roda em torno dum certo ponto fixo O.

Para demonstrar esta propriedade decomponha-se o esforço axial S actuando

em CP em duas componentes paralelas N I e .'i2 estaticamente equivalentes a Numa

actuando em A e a outra em B. A componente ,VI actuando em A age no plano principal

2-3 e por conseguinte a linha neutra que lhe corresponde é a linha L ,VI, paralela ao

eixo 1 e intersectando o eixo 2 no ponto de ordenada

Da mesma forma a linha neutra para a componente N2 actuando em B (L N2 )

42

é paralela ao eixo 2 e intersecta o eixo 1 no ponto de abcissa

."l:;

x, = ---XrSobreponha-se os efeitos de .vI e .v2para obter o efeito de .v. Qualquer que

seja a posição da carga sobre a recta A B há sempre uma tensão nula em °intersecção

das duas linhas neutras L .vI e L .v2. Por conseguinte se o ponto de aplicação da carga

se deslocar ao longo da recta .-\ B. a linha neutra correspondente rodará em torno do

ponto °cujas coordenadas Xl, X2 foram determinadas acima.

Exemplo 8: Determinar (733 nos pontos .-\. B. C' e D do perfil !DI'" 26 cujas (

caracteristicas e modo de solicitação se representam na figura 23 bem como a posição

da linha neutra.

Substituindo em (1.32) obtem-se

100 ( 40 X2 18 Xl)(733 = - 108,4 1 - 11,22 - 6,582

= -0,8446.,. 0,2693 X2 + 0,3511 Xl (kN/cm2)

pelo que

(733 (Xl = 13; Xz = -13) = 2,2 ,'vIPa

(733 (XI = x2 = -13) = -89,1 .'vIPa

(733 (Xl = X2 = 13) :. 72.2 ,'1'1Pa

(733 (XI = -13; X2 = 13) = -19,1 MPa

Quanto à linha neutra a sua equação é

0,3511 XI .,.. 0,2693 X2 = 0,8446

pelo que ela intersecta o eixo 1 no ponto de abcissa

0,8446XI = = 2,4 cm

0,3511

e o eixo 2 no ponto de ordenada

0,8446x.= =3,1cm

• 0,2693

43

( N)

X CP

N =-100KN

IDIN 26

(). =118.4 em 2

11 = 149. 9cm4

12 = 11S0em4

í, = 11.2 cm

í2 = 6.S8em

400

,,,,,260

180

10

260

I'

C ' ,,I· '

Ae:==:::-;==-:::::;,B,,,,,1

Figura 23

44

1.2.8 T"úc1eo Central

~o caso duma peça constituida dum material que não convenha fazer trabalhar,

por exemplo. à tracção (como é o caso dos materiais não resistentes à tracção tais

como as alvenarias. o betão não armado. os solos. etc.) é fundamental saber com que

excentricidade pode actuar uma determinada força de forma a só produzir compressões.

O objecti"o desta Secção é pois a determinação dos limites dentro dos quais

se pode deslocar o centro de pressão sem que a linha neutra intersecte a secção. O

núcleo central é justamente o lugar geométrico ocupado pelos centros de pressão a que

correspondem linhas neutra exteriores à secção. O contorno do núcleo central é o lugar

geométrico dos centros de pressão de pressão para os quais a linha neutra é tangente (

à secção, isto é, correspondentes a uma recta - a linha neutra - que rola em torno

da secção. Esta recta não podendo cortar a secção envolve uma figura convexa; daí

resulta que o núcleo central é sempre uma figura convexa. ~[uitas vezes a secção está

inscrita num polígono convexo de n lados. ~este caso o contorno do núcleo central é um

polígono convexo de n lados a cujos vértices correspondem linhas neutras coincidentes

com os lados do polígono em que a secção se inscreve. Esta propriedade mostra que o

núcleo central duma secção triangular é um triangulo e o de uma secção rectangular é

um losango.

O método para a determinação do núcleo central baseia-se, para além do que

ficou dito, na propriedade demonstrada no final da secção anterior: quando o centro de

pressão se desloca ao longo duma recta a linha neutra correspondente roda em torno

dum certo ponto fixo. Apresentam-se em seguida alguns exemplos simples que ilustram

o modo de proceder.

a) Secção circular de raio R

Neste caso a simetria permite concluir que o núcleo central é um circulo. O

seu raio pode ser determinado exprimindo que quando o centro de pressão está sobre o

seu contorno a linha neutra correspondente é tangente ao contorno da secção (fig. 24).

Dado que para um circulo

'Ti R4

1= -- e4

tem-se aplicando (1.35) com e2 substitindo por r e X2 por -R

j2 Rr = - =-

R 4

45

1

L

2

Figura 24

N.

N

b) Secção rectangular de largura b e altura h (fig. 25)

Aos cantos do contorno da secção correspondem lados do contorno do núcleo

central e aos cantos deste corresponderão lados do rectangulo. O núcleo central terá

assim forma losangular como já se tinha concluido e a figura mostra. Será por outro

lado simétrico relativamente aos dois eixos de simetria da secção. Sejam b' e h' as

dimensões do losango.

A linha neutra correspondente ao cent~o de pressão PI (L Sd coincide com o

lado :tG do rectangulo. Ora o ponto PI tem de coordenadas el = O e et = - ~ pelo que

introduzindo em (1.33) com Xl = O e Xt = - ~ vem

bb'~=14 lZ

vem

Comoh b" bt

i~ = l2 =_• b h 12

6"2

b'=3=~b 3

Da mesma forma a linha neutra correspondente a Pt (L .'\'2) na figura 25

coincide com o lado .4B do rectangulo. Dado que P2 tem de coordenadas el = ~ e

46

L IL A B N2__ o

b')1 ti

h' Plh

1N

P2--- --- ------

C O (h

Nl I !2

Figura 25

e2 = O vem de (1.33) fazendo XI = -~ e X2 =O

h h'-'-2 = 14 11

obtem-se

h' = ~3

Em virtude de propriedade da Secção anterior quando o centro de pressão se

desloca ao longo de recta PI P2 , o eixo neutro roda em torno do canto .1 do rectangulo

sem intersectar a secção. Portanto PI P2 é um lado do núcleo central. Os outros lados

deduzem-se como já se indicou por simetria.

Acentua-se novamente que enquanto o ponto de aplicação da carga estiver

dentro deste losango, a linha neutra não intersecta a secção, e não há mudança de sinal

para a tensão normal.

c) Secção em I (fig. 26)

As posições extremas que a linha neutra pode tomar sem intersectar a secção

são dadas pelos lados AB e G D e pelas linhas a tracejado AG e BD que definem um

47

(1.36)

b

'"'\

A B

III

2 I~I

h : hI

1 IIIIII

C C

2

Figura 26

rectangulo. Então o núcleo central é um losango com as dimensões que se indicam na

figura 26.

O núcleo central, para além dos casos indicados, assume especial importância

nas peças de betão pré-esforçado pois define a zona do eixo de simetria na qual deve

passar a linha de pressão para que não, se produza. nenhuma extensão no betão. O

conhecimento do núcleo central é ainda importante no estudo das fundações (muros de

suporte de terras, sapatas, etc.)

Exemplo 9: Determina.r o núcleo central da cantoneira 150 x 100 x 10 repre­

sentada na figura 27. Utilizar as expressões referidas a eixos não principais de inércia

deduzidas na Secção 1.2.7.

As caracteristicas desta secção já foram determinadas no Exemplo 7 da Secção

1.2.7. Utilizando (1.29) tem-se em flexão composta

.v M l [12 - M2 [u M l [22 - A'[2 [12U33 = - - 2 Xl + ? X2

11 [U [22 - [12 [11 [22 - [12

Introduzindo (1.30) em (1.36) obtem-se

48

4.875

10

1

~-'-----------~__---' --r.-&- __

L ~

L·r:JL

N,--N2-

1/

// P,

/ {

/ 15

.~~

/ fi

2.315

N5

(DlmenHa 1m cm)2

Figura 27

49

N [(133 = n 1 -"- O (1.37)

A equação da linha neutra é pois dada por:

(1.38)

(1.40)

(1.39)

Para a linha neutra que intersecte o eixo 1 no ponto de abcissa XI e o eixo 2

no ponto de ordenada X2 corresponde um centro de pressão com coordenadas:

112 _ 122

OX2 OXI

112 lu-----O XI O X2

L PI = centro de pressão correspondente a L NI

X2 - -10.125 cm - equação da linha neutra L NI

~2 ~ICI = -- = 0,81 cm; C2 =--- = 2,29 cmO X2 O X2

2. P2 = centro de pressão correspondente a L N2

14X2 = 9" XI -7,986 - equação de L N2

XI = O

X2 = °=> X2 = -7,986cm ==> {CI =

C2 ==> XI = 5, 134 cm

-0,62 cm

1,31 cm

3. P3 = centro de pressão correspondente a L N3

XI = 7,625 cm - equação de L N3

122Ci - ---=-I,llcm

O XI

112C2 - -O = -1,08 cm

XI

50

4. p. = centro de pressão correspondente a L N.

X2 = 4,875 cm - equação de L N.

112el = -- = -4,77 cm

O X2

lue2 = --O = -1,68 cm

X2

5. Ps = centro de pressão correspondente a L Ns

XI = -2,375 cm - equação de L Ns

1.2.9 Análise Elástica de Vigas lso.státicas submetidas à Fle­

xão.

112el = --O = 3,55 cm

Xl

lu _e2 = --- = 3,5a cmn Xl

(

Esta Secção tem como objectivo a determinação dos deslocamentos provocadospela flexão elástica de peças lineares. Comerçar-se-à por estabelecer a equação diferen­cial da deformada do eixo de uma peça flectid.a, apresentando-se em seguida várias

técnicas para calcular essa deformada: por integração directa, através dos Teoremas deMohr e finalmente por aplicação do Principio dos Trabalhos Virtuais já estudado nacadeira de Resistência de Materiais I.

Equação da Elástica

No estudo da flexão pura estabeleceu-se a chamada lei de Euler-Bernoulli

(equação (1.7)) que exprime a curvatura que toma num dado ponto a deformada doeixo da peça ou linha elástica. Sabe-se, por outro lado, da Geometria Diferencial que a

curvatura duma curva de equação y = I(x) é dada por

1 Iri' IR = [1 + (y')213/2

(1.41)

em que, d y " ~y

Y=d:c' Y=dx2 '

Para a peça linear esquematizada na figura 28 a lin.ha elástica é dada por uma

51

'/ L Eixo da pCÇCldcformadCl

----r-::::.~::s.::;;;~=... (E16.sticCl )

Figura 28·

equação do tipo U2 .:.. U2(X,). Na hipótese dos pequenos deslocamentos o ângulo I{' ea inclinação sobre o eixo x, da tangente à deformada do eixo serão quantidades muitopequenas e consequentemente o termo (tg I{')2 = (~:;)2 = (U2.,)2 que intervem no

denominador de (1.41) pode ser desprezado em face da unidade. Desta forma

(1.42)

e portantoM

U2,3' = ± EI (1.43)

Atendendo ao sistema de eixos escolhido (fig. 28) e dado que momentos fiec­tores positivos provocam uma deformada r.om curvatura côncava para cima conclui-se

que se deve escolher o sinal (-) pois para uma tal curva U2." é negative. Então

MU2,3' = - EI (1.44)

equação que recebe o nome de equação da elástica.

As relações entre carga aplicada p, esforço transverso V e momento fiector Manteriormente obtidas podem ser combinadas com a equação (1.44) fornecendo

d M d ( d2U2)V =-- =- -EI--2 = (-EI U2.3') "d x, d x, d x,

52

(1.45)

(1.46)

edV d

2( d2U2)

P =--d = -d 2 -EI-d

2 = (EI U2,33) ,33X3 X3 X3

Se a rigidez de flexão EI for constante ao longo do eixo da peça as equações(1.45) e (1.46) simplificam-se obtendo-se

VU2,333 = - EI (1.47)

(1.49)

eP

U2,3333 = EI (1.48)

Soluções para qualquer uma das equações diferenciais' (1.44), (1.47) ou (1.48)

tem que satisfazer um número de condições de fronteira independentes igual à ordem

dessas equações. Por exemplo, são necessárias três condições de fronteira se se pretenderuma solução única para a equação (1.47). Utilizar-se-ão a seguir estas equações para

a determinação da linha elástica. O procedimento consiste na sua integração sucessivasendo as constantes de integração obtidas das condições de fronteira.

É importante fazer notar o seguinte:

1. As equações diferenciais obtidas só são válidas quando o material obedece à leide Hooke

2. No caso de vigas muito flexíveis o erro envolvido ao utilizar-se a hipótese dos

pequenos deslocamentos pode tornar-se importante; será então necessário utilizar

a equação exacta da deformada, isto é

U2,33 M[1 + (U2,3PI

3/2 = - EI

3. A lei de Euler-Bernoulli (1.7) pode aplicar-se com uma boa aproximação a umaviga sujeita à flexão simples (esforço transverso não nulo e variável). É claro queesta expressão só fornece a deformada. devido à flexão; haverá que adicionar uma

deformação por efeito do corte que se estudará mais tarde no Capítulo correspon­

dente. Ver-se-à, no entanto, que o deslocamento transversal devido ao corte é

desprezável em face do deslocamento transversal devido à flexão.

53

..

Obtenção da "Deformada por Integração da Equação da Elástica

Como foi atrás referido a integração da equação (1.44) (ou (1.4i) ou (lA8))

conduz à expressão da deformada do eixo da peça sendo as constantes de integração

determinadas a partir da imposição das condições de ligação ao exterior ou condições

de continuidade da estrutura. ~o entanto, só em situações pouco complexas nomeada­

mente quando o segundo membro de (1.44) tem uma expressão analítica simples (o que

implica que a carga p varie de maneira simples e a inércia seja constante), é que será

razoável proceder-se a esta integração.

Uma primeira integração de (1.44) fornece a expressão de Uu = tg tp, isto é,

a inclinação da tangente à linha elástica ou ainda admitindo a hipótese dos pequenos

deslocamentos, o ângulo em radianos de que cada secção rodou relativamente à posição

inicial. A segunda integração fornecerá a ordenada u: da elástica. Em particular se

MI EI é um polinómio de grau nem Xa, U2 é um polinómio de grau (n + 2).Se numa secção qualquer da viga M for nulo então a linha elástica apresenta

nessa secção um ponto de inflexão visto a curvatura IIR ser nula nesse ponto.

É evidente que a função U2 = U2(Xa) e a sua primeira derivada Uu não podem

ser descontínuas pois no 10 caso o eixo da viga ficaria interrompido e no 20 caso quebrado

o que implicaria R = O e M = 00. A segunda derivada U:,33 pode no entanto ser

descontínua o que acontecerá nos pontos em que M o for (momento exterior aplicado)

ou em que I o for (mudança brusca de secção). Geometricamente estas descontinuidades

correspondem a variações bruscas do raio de curvatura R.Em qualquer caso se a expressão analítica do momento 6ector variar o seu inte­

gral variará também. Na situação representada na figura 29, por exemplo, o momento

tem duas expressões analíticas diferentes e será necessário consequentemente integrar

separa,damente nos dois domínios A B e B C. Nas duas expressões diferentes de U2

aparecerão 4 constantes de integração que serão determinadas impondo:

'a) as condições nos apoios

b) as condições de continuidade na junção dos dois domínios, isto é, no ponto B o eixo

da viga não pode ficar interrompido nem quebrado o que exige que se tenha

Jtl= JP e JP.a =JPa em B

54

P

A <D <2> c 3

B

1Q • b t,

(L

M~Pab/L

Figura 29

55

Teremõs pois, para determinar as constantes de integração, de resolver um

sistema de 4 equaçõcs a 4 incógnitas. Deste exemplo se conclui que o método por inte­

gração da equação da elástica só será recomendável se não existirem descontinuidades

(ou forem muito pouco numerosas). Caso contrário seremos conduzidos.a sistemas deequações cuja resolução poderá ser extremamente laboriosa.

Por último interessa referir que a escolha da secção diferencial a utilizar ((1.44)

ou (1.47) ou (1.48)) dependerá da maior ou menorfacilidade com que possa obtida uma

expressão analítica para a densidade de carga p, para o esforço transverso V ou para

o momento flector ,'v[. Menos constantes de integração serão no entanto necessárias

para as equações de menor ordem. Observa-se ainda que a utilização, por exemplo, da

equação diferencial de 4G ordem (1.48) obriga à consideração não sómente de condições

de fronteira as quais são expressas em termos do deslocamento U2 ou da inclinação U2,3

mas também de condições de fronteira estáticas nas quais intervem os esforços.

Exemplo 10: Seja uma viga em consola de comprimento L e de rigidez de

flexão constante solicitada por um momento M aplicado na extremidade livre conforme

se indica na figura 30.

Sendo o momento ftector constante ao longo da viga e valendo +M, a integração

da equação (1.44) conduz imediatamente a

MEI

As 2 constantes de integração determinam-se à custa das condições de frontf!ira

(geométricas) no encastramento

U2,3(X3 = O) - O

U2(X3 = O) - O

que fornecem

pelo que

56

EI =consto M

~/ .--2j 3 •

21

l .r-

3 f

I I •e>

M

tf3

WEI

1Me' •2EI

3

u2

Figura 30

57

1L/2

tt.i

~-•-,~ PL3

~t 2toEI

5 pL4

384 El

Figura 31

Notar que a equação obtida para a linha elástica é a de uma parábola o que

parece desmentir a conclusão a que primitivamente se tinha chegado de que deveriaser um arco de circunferência. Esta aparente inconsistência resulta do facto de se

•ter utilizado uma relação aproximada para a curvatura 1/R válida unicamente se for

razoável admitir a hipótese dos pequenos deslocamentos (consultar Arantes e Oliveira

- Livro II- Elementos da Teoria da Elasticidade, pgs. 151-152).

Exemplo 11: Seja agora uma viga simplesmente apoiada de comprimento L e

rigidez de flexão constante sujeita a uma carga uniformemente distribuidade densidade

p como mostra a figura 31.

58

·A equação (1.48) é a de mais fácil utilização neste caso. Tem-se

PEI

(

Dispomos-das seg~intes condições de fronteira:

a) Cinemáticas

1&2 =O para Xa =O e X3 = L

b) Estáticas

M =- E I 1&2,33 =O para Xa =O e X3 = L

Da sua imposição obtem-se

C1 =_.I!..f..· C -C -O- C-Lf:...2 El ' 2 - 4 - , 3 - 24 El

pelo que virá finalmente

P (4 3')U2 = --- X3 - 2 L X3 + LO X324 EI

A deformada é simétrica relativamente à secção de meio vão o que pode serverificado substituindo na expressão de 1&2. X3 por (L - X3). A flecha verifica·se nasecção de meio vão e vale

(L) 5pL4

f =U2 X3 ="2 = 384 E I

o ângulo de rotação sobre os apoios vale:

59

Teoremas de Mobr

B

/Elc1stica

Figura 32

Eixo da peça nao deformada( horizontal I

3

(1.50)

Outro método para achar deslocamentos ou inclinações em vigas é baseado em2 teoremas que adiante se demonstram e que foram enunciados por Mohr em 1868. Ouso destes teoremas é especialmente aconselhado sempre que se pretenda conhecer odeslocamento ou inclinação duma dada secção em vez da equação completa da elástica.

Considere-se então a flexão duma peça segundo um plano principal de inércia(fig. 32).

Integrando ambos os membros da equação (1.44) em ordem a X3 entre duas

secções A e B obtem-se

isto é,B A rB M

U2.3 - U2,3 = - JA

EI dX3

ou ainda e para EI constante

1 rfl

'PB - 'PA = - EI JA

M dX3

Conclui-se então que:1° Teorema de Mobr: A rotação relativa de duas secções A e B de uma

viga é dada pela área. do diagrama de momentos !lectores compreendida entre as duas

secções multiplicada por (- iI) .

60

Considere-se agora novamente a equação (1.44) e multipliquem-se ambos os

seus membros por X3 antes de se proceder à sua integração entre A e B.

Obtem-se

Mas(B _ (.B

lA U2,33 X3 dX3 _. U2,3 X3 I~ JÁ U2,3 dX3

- 'PB x: - 'PA xt - (u: - ut)pelo que

B A (B M %3 B· A

U2 - U 2 = lA Jfl dX3 + 'PB x3 - 'PA X3

Introduzindo o l° Teorema de Mohr vem finalmente (supondo EI constante)

u: - ut = - ;1 f M(X: - X3) dX3+

+ 'PA (x: - xt) (1.51)

O 1° termo do 2° membro representa a distância (t:.BA na figura 32) medida

na vertical passando por B entre esta secção e a tangente à elástica em A e é a função

do momento estático da área do diagrama de momentos fiectores compreendida entre

as duas secções relativamente à secção B.

Podemos então enunciar o

2° Teorema de Mobr: A distância t:.BA entre uma secção B e a tangente à

deformada noutra secção A medida na vertical passando por B é dada pelo momento

estático da área do diagrama de momentos fiectores compreendida entre as duas secções

relativamente à seccão B multiplic!!.do por 1/El.

Faz-se notar que os teoremas de Mohr apenas permitem determinar grandezas

relativas. Podem no entanto fornecer valores absolutos num dado ponto desde que se

conheça o valor da grandeza em questão noutro ponto. É o que sucede especificamente

com vigas em consol!!. em que é conhecido o valor da inclinação e do deslocamento na

secção de encastramento. É por este motivo que os teoremas de Mohr são particular­

mente utilizados para este tipo de viga.

Exemplo 12: Seja uma viga em consola de comprimento L e rigidez de flexão

constante sujeita a uma carga uniformemente distribuida ao longo do seu vão de den­

sidade p, como mostra a figura 33.

61

p

A~-B---3··+------=-L--}

Figura 33

62

Suponha-se que se pretende determinar a rotação e o deslocamento na extremi

dade livre B. Dado que em A a rotação é nula a aplicação do 1" Teorema de Mohr

fornece imediatamente:

1 18

'P8 = -- M dxsEI A

Dado que a área do diagrama de momentos flectores compreendida entre A e

B vale (~) (p f) e que o momento é negativo entre estas 2 secções obtem-se

1 L (p L2) P L2'PB = EI 3" -2- = 6 EI

Por outro lado vem imediatamente da expressão (1.51):

Como para uma parábola do 2° grau com a forma representada no diagrama

de momentos flectores a distância do baricentro G da área por ela determinada à secção

B vale ~ L segue-se que

.-

B 1 L (P2L

2)

u 2 = EI' 3" .

Exemplo 13: Seja agora o caso duma viga simplesmente apoiada de vão L

e rigidez de flexão constante solicitada por uma carga concentrada P como indica a

figura 34. Pretende achar-se a rotação sofrida pela secção A, o deslocamento da secção

C onde está aplicada a carga bem como o deslocamento máximo.

Não se sabe, a priori, a posição de nenhuma secção para a qual a respectiva

rotação seja conhecida.

Pode-se, no entanto, aplicar a equação (1.51) às secções A e B sobre os apoios

obtendo-se imediatamente o ângulo 'PA-

Na verdade como uf = ut = Osegue-se que

P ab- 6EI

L+bL

63

M

A 1:.,,;; 6 8

a-

1 ~b

L tL+bT

-~ t

Figura· 34

64

Aplicando agora o 2° Teorema de Mohr para a determinação da distância L1CA

vem

pelo que da equação (1.51) se tira

=

=

Finalmente e para o cálculo do deslocamento máximo note-se que este ocorre

para a secção que admite uma tangente horizontal e cuja localização é a priori desco­

nhecida. No entanto a aplicação do 1° Teorema de Mohr ao cálculo da rotação relativa

entre a secção de deslocamento máximo e a secção A fornecerá imediatamente essa

localização pois para a 1" secção a rotação absoluta é nula e para a 2° é conhecida

e igual a 'PÁ. Uma vez achada a localização da secção de deslocamento máximo a

aplicação do 2° Teorema de Mohr permitirá obter U2max'

Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ao Cálculo de Deslocamentos:

Método das Cargas Unitárias

o método mais importante bem como o mais útil para o cálculo de deslo­

camentos em vigas sujeitas à flexão é o chamado método das cargas unitárias ou de

Maxwell-Mohr.

Este método, já utilizado em Resistência de Materiais I para o cálculo de

deslocamentos em barras carregadas axialmente nomeadamente em treliças. é, recorda­

-se, baseado no Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.). Apesar de constituir um

princípio global ligado aos conceitos de trabalho e energia, prefere utilizar-se o P.T.V.

desde já, pelas razões acima apontadas, e não mais tarde no Capítulo referente aos

Métodos Energéticos deixando para essa altura a introdução e o estudo dos outros

princípios energéticos.

O P.T.V. aplicado a corpos deformáveis foi já enunciado quando se estudou a

Teoria da Elasticidade. Viu-se então que, se um corpo deformável actuado por um sis­

tema de forças exteriores (distribuidas no volume e na superfície do corpo) em equilíbrio,

65

for submetido à um campo de deslocamentos virtuais u compatível com as ligações então

o trabalho virtual realizado pelas forças exteriores, isto é,

r X, Ui d V + r (li Ui d S = r (lii Eii d V (1.52)Jv Js Jvem que Xi e (li representam as densidades volumétrica e superficial das distribuições de

forças exteriores respectivamente no interior (V) do corpo e na sua fronteira (S) e ai]

qualquer campo de tensão que equilíbre as forças exteriores, isto é, tal que

Uij.i + Xi =0 em V

Uij ni = (li em S

Acentuam-se dois aspectos fundamentais:

1. As relações tensões-deformações não foram utilizadas no estabelecimento de (1.52)

pelo que oP.T.V. é válido qualquer que seja o comportamento do material que

constitui o corpo.

2. Os deslocamentos virtuais tem que ser compatíveis com as ligações do corpo ao

exterior e manter a continuidade do corpo. Exceptuando esta restrição podem ser

arbitrariamente impostos ao corpo; não devem no entanto ser confundidos com

os deslocamentos provocados pelas forças exteriores que actuam o corpo.

Interessa agora fazer a aplicação deste princípio a peças lineares sujeitas à

flexão, em particular no que diz respeito ao cálculo do trabalho das forças interiores

(neste caso do momento flector). Sabe-se que para uma viga com o eixo paralelo ao

eixo 3 sujeita à flexão pura, o campo de tensões e o campo de deformações (hipóteses de

Bernoulli e de Navier) são tais que a função integranda no 2° termo de (1.52) se reduz

a um único termo, isto é

Por outro lado e como consequência de as secções se manterem planas após a

deformaçãoXz

E33 =-R

em que R é o raio de curvatura da deformada do eixo da peça e Xz a distância ao eixo

neutro.

Desta forma

66

em que L designa o comprimento da peça e A a área da sua secção transversal. ~las,

por equilíbrio,

pelo que se obtem finalmente

~ • - { ~ .. E·· dV - { ,u.!.. dX3 -_ ( ,'"f d'"•ex - JV V')') - JL 'VJ R JL .V. y

No caso de se verificar a lei de Hooke isto é, de ser

1 Md'P = - d X3 = - d X3

R EI

(1.53) dará lugar a

(1.53)

(

(1.55)

Tex• = Iv Ui; Ei; dV =hM :r dX3 (1.54)

Acentua-se novamente que o campo de tensões e o campo de deformações que

aparecem em (1.54) são em princípio independentes um do outro pelo que os dois

momentos ftectores M que aparecem no 2° membro debaixo do integral estendido ao

comprimento da peça não tem que ser iguais. É precisamente para evidencíar esta

independência que vamos reescrever a equação (1.54) denotando com uma linha o campo

equilibrado constituido pelas forças exteriores e pelas tensões uii e com duas linhas o

campo compatível constituido pelo sistema de deslocamentos e de deformações virtuais

hp; u: d X3 +I: Pt u: = h!IJ' ~; d X3,

Na equação (1.55) p: designa a densidade linear de cargas distribuidas no com­

primento da viga, representando a 2" parcela do 1° membro o trabalho virtual realizado

por cargas concentradas.

Nos casos em que exista simultaneamente esforço é!J(ial a sua consideração leva

à introdução no 2" membro de (1.55) do termo correspondente ao trabalho realizado

por esse esforço, obtendo-se

{ p' u" dX3 + '" P~ u'! = { !IJ' M" dX3 + {h ' · ~.. h EI h,(1.56)

em que A designa a área da secção transversal da barra.

• Como se viu na Teoria da Elasticidade, o equilíbrio do sistema linha e a com­

patibilidade do sistema duas linhas implicam a equação (1.55). Do mesmo modo o

67

B c

p

o

l

Figura 35'

equilíbrio do sistema linha e a equação (1.55) implicam a compatibilidade do sistema

duas linhas e a compatibilidade do sistema duas linhas e a equação (1.55) implicam o

equilíbrio do sistema linha (ver Arantes e Oliveira - Livro II - Elementos da Teoria da

Elasticidade, pg. 76). Assim existirão duas possíveis aplicações do P.T.V.:

a) Empregando um sistema linha equilibrado determinar as condições de compatibili­

dade para um sistema duas linhas.

b) Empregando um sistema duas linhas compatível determinar as condições de equilí­

brio para um sistema linha.

É precisamente a 1" das duas aplicações referidas acima que iremos exemplificar

em seguida sob a forma do Método das Cargas Unitárias.

Considere-se a estrutura representada na figura 35 solicitada por uma carga

uniformemente distribuida ao longo do montante AB e suponha-se que se pretendia

achar o deslocamento horizontal do nó C.

Tome-se para sistema linha o sistema constituido por uma única força exterior

unitária aplicada em C com a direcção do deslocamento pretendido, isto é, horizontal,

e pela correspondente distribuição de esforços tal como se indica na figura 36.

É óbvio que a distribuição de momentos Hectores indicada é a única que equi­

libra a força exterior unitária.

Chama-se desde já a atenção para o facto de que em estruturas hiperstáticas

essa unicidade se perde bastando no entanto, para aplicar o P.T.V., encontrar uma dis­

tribuição de esforços de entre as várias possíveis que equilibre a força ext~rior unitária.

68

c

o-

1•

5

A

36

c

o-Figura 37

Finalmente escolha-se para sistema duas linhas o sistema de deformações e

deslocamentos efectivos, isto é, o que é provocado pela carga uniformemente distribuida

p. As deformações podem ser calculadas a partir do estabelecimento dos diagramas de

momentos nas várias partes componentes da estrutura e que se indicam na figura 37.

Sistema duas linhas:

BarraAB M"(s)pS2

- pLs--2

Barra BC M"(s)·pL2 pL

- ----s2 2

Barra C D M"(s) - O

o P.T.V. fornece então

D Mil JB Mil (c MilUc = LM' EI ds = Á M' EI ds + l

BM' EI ds

em que éc designa o deslocamento horizontal de C, se desprezou a deformação por

esforço axial e transverso e s é a coordenada medida ao longo do eixo de cada barra.

69

Dado que M' = s ao longo de AB e M' = L - s ao longo de BC vemfinalmente

=

rL s(pLs-ef) rL

óe = 10 E I d s + 10

3 pL4

8 El

(L - s) (ef - !!fs) dEl s

em que se supôs que todas as barras tinham rigidez de flexão constante e igual a El.

Para o cálculo das integrações acima indicadas existem tabelas das quais a que

se apresenta é um exemplo (Tabela 1). Apesar desta tabela ser apresentada em termosdas funções M' e M" é evidente que estas funções podem ser substituidas por outras

tais como ."l' e N".O processp para calcular o deslocamento dum ponto de uma estrutura sob a

acção de determinada solicitação pode ser sintetizado da seguinte forma:

1. Determinam-se os esforços M" gerados por essa solicitação.

2. Supóe-se actuando na estrutura uma carga unitária no ponto e com a direcção do

deslocamento pretendido e consideram-se esforços M' que fomiam com a cargaunitária um sistema equilibrado.

3. O deslocamento pretendido ó vem dado pela expressão

M"Ó = r M' -ds

lL EI(1.57)

Refira-se a terminar que o termo deslocamento foi aqui utilizado em sentidogeneralizado, isto é, pode tratar-se duma translação, duma rotação, dum deslocamentorelativo ou de uma rotação relativa. Deste modo no caso de se pretender calcular, por

exemplo, uma rotação, a carga unitária consistirá num momento unitário aplicado àsecção em questão.

Exemplo 14: Pretende calcular-se a rotação sofrida pela extremidade livre

da consola representada na figura 38(a) sujeita ao carregamento nela indicado.Dado que M' tem a forma indicada na figura 38(b) conclui-se atendendo à

70

BEI ,. eonst

Figura 38

Tabela 1 que a seguir se reproduz para esta situação

(b)

.-

~!a.

1-3Qbt

rotação que é feita no mesmo sentido do momento unitário.

1.2.10 Análise Elástica de Vigas Hiperstáticas

Considerámos até aqui situações para as quais a determinação dos esforços foi

feita recorrendo sómente às equações da estática. Vamos analisar nesta Secção proble­

mas de flexão para os quais as equações da estática não são suficientes para determinar

completamente os esforços havendo por isso necessidade de equações complementares

71

l----,.A(a)

~--~( b)

1 h A.,,;;;. h A- -(e) (d)

Figura 39'

baseadas na consideração da deformação das vigas. Tais problemas são, como se sabe,designados por problemas hiperstáticos ou estaticamente indeterminados.

Na figura 39 estão representadas algumas vigas estaticamente indeterminadas.

À diferença entre o número de incógnitas (reacções de apoio ou esforços) eequações da estática dá-se o nome de grau de hiperstatia ou de indeterminação estática.

Assim relativamente à figura 39 a viga é hiperstática do l° grau no caso de (a), do 3°

grau no caso de (b), no caso (c) do 1° grau e no caso (d) é hiperstática do 2° grau.

A análise duma viga estáticamente indeterminada pode fazer-se por integraçãoda elástica. O processo é idêntico ao já referido para as vigas isostáticas. r-io entantoeste método só é prático para casos relativamente simples de carregamento e vigas de umsó tramo, caso contrário surgirá um número muito elevado de constantes de integração

a determinar o que provocará dificuldades de cálculo. Como exemplo de aplicação do

método considere-se a viga encastrada apoiada da figura 40 sujeita ao carregamentonela indicado.

"Partindo da equação (1.48) tem-se:

E1 u2,3333 - P

- P Z 3+ Cl

Z2

- P 23 + C1 Z3 + C2

72

p

-=const.,jr"'---__~L .......j...

B

Figura 40

x4 XS XZ .EI Uz = P~ .,.. C1 ~ + C. ~ + Cs Xs ~ C.24 6 • 2 .•

As condições de fronteira são:

Uz = O para xs =O e xs =L

U2.3 = O para xs = O

M (xs =L) = -EI UZ.33 (xs =L) =O

Da sua imposição resulta

Cs - C4 =0

C15pL

- ---8

Cz -pLz

8

pelo que se obtem finalmente

.-

5 pL S pL22

48 EI Xs + 16 EI x3

Em particular obtem-se para as reacções os valores

MA -

[lA -

Rs -

pL2M (xs =O) = -EI U2.33 (X3 =O) =-8

5pLV (xs =O) = -EI UZ.= (X3 = O) = -8-

3pL

8

73

Vamos·pois, em consequência do que se disse anteriormente, socorrer-nos dum

outro método já estudado em Resistência de Materiais I, método que se baseia no

princípio da sobreposição dos efeitos elásticos.

É o chamado método dos esforços (ou das forças). Consiste fundamentalmente

na transformação da estrutura hiperstática noutra, designada por estrutura ou sistema

base e que se obtem da primitiva por supressão de ligações (isto é através da fixação do

valor de esforço~ ou de reacções) em número igual ao grau de indeterminação estática.

Sendo possível analisar-se com facilidade, nomeadamente no que diz respeito

ao cálculo de deslocamentos, o sistema base assim obtido visto ser isostático, o método

conduzir-nos-à ao estabelecimento dum sistema de equações de compatibilidade cujas

incógnitas são esforços ou reacções.

Sintetizam-se em seguida os passos principais do método: .

1. Considera-se a estrutura base (isostática) obtida da efectiva por supressão de

ligações. Os esforços ou reacções correspondentes às ligações suprimidas dizem-se

redundantes ou incógnitas hiperstáticas.

2. Calculam-se os esforços introduzidos pelas solicitações no sistema base e os deslo­

camentos (translacções, rotações absolutas ou relativas) correspondentes às liga­

ções cortadas (supondo nulas as incógnitas hiperstáticas).

3. Visualizando cada uma das redundantes como uma carga exterior actuando no

sistema base, calculam-se os esforços que cada uma delas introduz e os desloca­

mentos nas ligações cortadas. Esses esforços e deslocamentos são proporcionais

às grandezas das redundantes (que são desconhecidas).

4. Aplica-se o princípio da sobreposição por forma a que a somados deslocamentos

causados pelas solicitações com os deslocamentos provocados pelas redundantes

actuando em separado seja igual aos deslocamentos correspondentes à sua ac­

tuação simultânea (que são conhecidos). Esta condição fornecerá, no caso geral,

um sistema de equações lineares (ditas equações de compatibilidade) cuja ordem

é igual ao número de redundantes.

5. Determinadas as redundantes, os esforços e outros efeitos podem ser calculados

somando os que elas próprias e as forças exteriores introduzem no sistema base.

74

h BC

A-L L

...,j,..O""--------,.f'-----......rf-

Figura .41

Exemplo 15: Seja a viga contínua de dois tramos representada na figura 41e sujeita a uma carga uniformemente distribuida ded~.

POlI8íveis sistema base:

h-

1. Siattr· bue l!lIColhiGo

I- A-

Cortou-se a barra sobre o apoio B através da introdução dUDl& rótula pelo quea redundante é neste caso constituida por um par de momentos iguais mas de

sentido contrário aplicados aos bordos de corte, isto é, o momento Hector em B,

MB.

75

2. Efeitos dã actuação das cargas exteriores no sistema base

B

A...~~::::==::;;;~~:::;;:==::~ C - Rotaçao relativaTo em B: &~

Esforços

3. Efeitos da actuação da redundante com o ftIer _itário

A C

-- Rotaçao relativa

em B: t

Vl --I I

~

Esforços

4. Rotação relativa total em B88 = SOa - X I

Fazendo 88 = O vemX= 8~

I

76

A c

p

B

1======Q==L===_",==b~==tFigura 42

Nota: Ao coeficiente f da incógnita X na equação de compatibilidade dá-se onome de coeficiente de flexibilidade (representa o deslocamento devido a uma força (unitária).

5. Esforços na estrutura efectiva

M - MJ+XMi

Y _ yO +Xyi

Relativamente a este exemplo tem-se:

o _ pL38s - 12 EI

pelo que

2L1= 3EI

P L2X=­

8

Exemplo 16: Considere-se uma viga biencastrada sujeita a uma carga con­centrada actuando na posição actuando na posição indicada na figura 42.

1. Tomem-se para redundantes 0lI momentOll de reacção MA e Me obwnd<Hie desta

forma o seguinte sistema base

77

2. Os ângulos de rotação nas extremidades A e B devido à carga P são (ver exemplo

12)ou _ P ab(L -l- b) . Ou _ P ab(L -l- a)A- 6ElL . B- 6ElL

3. Apliquem-se as redundantes separadamente ao sistema base

Xl = 1 f11L= 3EI

f21 f 21L= 6EI

X2a 1 f12 = L6EI

f22 aL

f12 f22 3EI

Nota: lij representa "o deslocamento correspondente a Xi devido à actuação de

Xj = 1.

4. Equações de compatibilidade

O... = 9~ -ln Xl -112 X2 =O

9B = 9~ -121 Xl -/22 X2 = O

o que conduz no caso presente a

{

fXl+~X2=~t(L+b)

~ Xl + t X2 = ~t(L + a)

donde se obtem

78

Em particular e utilizando novamente o princípio da sobreposição tem-se

R.~ = R~.,.. RÁ Xl'" Ri X2

=

Pb2

= V(L "'2a)

O sistema de equações anterior pode ser escrito na forma matricial

FX+ú.(j=O

em que F é a chamada matriz de flexibilidade

F = U:: ~::]X é o vector das incógnitas hiperstáticas e rIO o vector dos deslocamentos no sis­

tema base correspondentes às redundantes e introduzidos pelas solicitações (chama-se

a atenção para a necessidade de utilizar uma convenção de sinais coerente quando se

acham os vários deslocamentos; por exemplo tomar cada deslocamento como positivo

quando ocorre no sentido da incógnita hiperstática que lhe corresponde).

Como nota final não se quer deixar de acentuar desde já que a matriz de

flexibilidade é uma matriz simétrica, isto é, Iii = /ii o que será justificado adiante no

capítulo relativo aos conceitos energéticos (teorema da reciprocidade de Ma.xwell).

1.2.11 Efeitos Térmicos

Consideraram-se até aqui deformações devidas à actuação de forças. Estas

constituem de facto as solicitações mais correntes. Todavia podem ocorrer outras,

como seja por exemplo, as correspondentes às variações de temperatura. Pretende-se

agora calcular as deformações (e as tensões) que se podem instalar numa viga por efeito

dum certo tipo de variações de temperatura.

Foi já analisada no capítulo relativo à Tracção e Compressão de Peças Lineares

a situação que decorre duma variação uniforme de temperatura. Viu-se então que numa

barra termicamente livre uma tal variação de temperatura provocava uma variação de

comprimento da peça dada por

(

D.L=aD.TL

79

(1.58)

h =

b. Tmed

Figura 43·

+

em que C< é o coeficiente de dilatação térmica, 6.T a variação de temperatura e L

o comprimento inicial da peça. Sendo a barra livre de se dilatar uma tal extensão

térmica não provocará o aparecimento de tensões. Pelo contrário se a barra não fortermicamente livre, isto é, estiver impedida de se dilatar (por exemplo obrigando abarra a manter um comprimento constante através da fixação das suas extremidades)nascerão tensões que se designam habitualmente por tensões térmicas.

Considere-se agora a situação em que a temperatura mantendo-se constanteao longo do eixo da barra, apresenta no entanto uma variação linear segundo uma

direcção transversal. Supãe-se, sem perda de generalidade, que esta direcção transversalestá contida num plano principal de flexão da viga. Seja, por exemplo, uma viga

simplesmente apoiada, de altura h cujas faces superior e inferior sofrem variações de

temperatura 6.T1 e 6.T2, respectivamente, em relação a uma temperatura inicial To

(fig. 43). Admitindo que a variação de temperatura entre as duas faces é linear avariação média 6.Tmed = (6.T1 + 6.T2)!2 solicitará as fibras situadas a meia alturada barra. Se esta variação média for diferente de zero, isto é, se houver diferença entre

a temperatura inicial To e a temperatura final média, então existirá uma variação decomprimento da peça, tal como anteriormente se referiu. Por outro lado, a diferença

T2 - T1(= 6.T2 - 6.T1) entre as temperaturas finais nas superfícies inferior e superiorimplicará a flexão da viga e a ocorrência de deslocamentos transversais ao seu eixo.

Interessa-nos considerar unicamente a determinação destes últimos. Para isso

designe-se, como habitualmente, por %2 a coordenada medida na secção transversal da

peça a partir das fibras que não sofrem extensão e cuja localização se conhece (estão

situadaS' a meia altura). Então a extensão E33 sofrida por uma fibra afastada de %2 das

fibras neutrãs vale

80

Da composição desta expressão com

X2E33 =-

R

obtem-se imediatamente o valor da curvatura da peça fiectida devido à variação dife-

rencial de temperatura(1.59)

A equação diferencial da elástica será então

(

(1.60)

Note-se que para T2 > Ti a concavidade é para cima e U2,33 vem negativo o

que está de acordo com o referencial adoptado. A quantidade MI EI em (1.44) é pois

b . 'd T2 - TiSU stitui a por a h .

Com base na equação (1.60) podem agora calcular-se os deslocamentos trans­

versais empregando as técnicas já referidas anteriormente, isto é, ou por integração, ou

aplicando os teoremas de Mohr ou ainda recorrendo ao método das cargas unitárias,

tendo, nestes dois últimos casos, o cuidado de substituir MIEI por a T2 ~ Ti,

Em particular ter-se-à, em lugar de (1.57)

(1.61)

Refira-se, a finalizar, que se a viga não for termicamente livre, a variaçao

diferencial de temperatura provocará o aparecimento de tensões. Isto sucederá, por

exemplo, se em lugar de se ter, como atrás se considerou, a viga simplesmente apoiada,

81

Figura 44

esta se encontrar biencastrada. Trata-se então dum problema estaticamente indeter­

minado que pode ser resolvido aplicando por exemplo o método das forl;as descrito em

1.2.10.

Exemplo 17: Determinar a llecha e arotal;ão na extremidade livre duma

consola de comprimento L (fig. 4.) sujeita a uma varial;ã.o de temperatura tal que a

sua face superior é aquecida de l::.T enquanto que a face inferior é arrefecida da mesma

quantidade, a repartil;ã.o das temperaturas variando linearmente entre estes Umites na

altura h da barra. Calcular o momento llector na hipótese de ambas as extremidades

se encontrarem encastradas (a =coeficiente de dilatação térmica).

Aplicando o método das cargas unitária tem.. la'_, pu'& o cálculo de 68

I~-=)t

1 0_· I t

pelo que, aplicando (1.61)

2 l::.T68=a-L

h

82

e para o cálculõ de 6B

~_----.;11

M' L [le~-:::::::=_

Supondo agora a viga biencastrada. aplique-se o método das forças e escolham- (

-se para redundantes as reacções RB e l\tfB o que dá como sistema base a viga em consolaque acima se analisou.

Necessitamos apenas calcular os deslocamentos provocados no sistema base

pela actuaçio de cada uma das redundantes. Tem-se então

'.

83

MS a X 2 a l

t--==::::::::-;;;:r=) j t"

LZ L/12 = - 2 EI ; fzz = E I

As equações de compatibilidade são

6B - O= /u XI + li, X, + 6~

8B - 0= /21 XI + f2, X, + 8~

pelo que substituindo

donde se obtem

{

RB = XI =0

M - X - 2<> SI ATB- ,-- h

O anulamento de RB poderia ter sido considerado inicialmente em virtude dasimetria o que tornaria a resolução mais simples pois necessitar-se-ia então de uma

única equação de compatibilidade. O sinal (-) obtido para MB indica que o sentido

arbitrado não é o correcto mas sim o oposto pelo que se terá

• AT

~--~~ - AT ~

M

(,---~112ElceAT

h

Note-se ainda que neste caso o valor do deslocamento transversal em qualquer

84

ponto da viga é

U2(X3) = O

:."11. realidade a equação diferencial da linha elástica é neste caso

M TI -T2U2.33 = - EI .... o h

:-'las .\1(x3) = 2 Elo 6.T/h e TI :- T: = 2 6.T pelo que

206.T 206.TU2.33 = - h + h = O

Como para X3 = O, U2.3 = O e U2 = O, as duas constantes de integração são

nulas, obtem-se portanto o resultado acima indicado.

{1.2.12 Vigas de Secção Heterogénea

X2E=-

RDenotando as áreas, módulos de elasticidade ~ tensões normais nos dois mate-

riais com os' índices 1 e 2, tem-se

Uma das hipóteses consideradas no estudo da flexão elástica admitia que asbarras eram cons.tituidas por um material. homogéneo com comportamento elásticolinear definido por um dado módulo de elasticidade E. Pretende generalizar-se agora

essa hipótese por forma a incluir o caso de barras constituidas por dois ou mais materiaiscom diferentes módulos de elasticidade, sujeitas à flexão pura. É o que acontece, por

exemplo, com as vigas bimetálicas.Considere-se então uma barra constituida por dois materiais diferentes, tll.l

como se representa na figura 45 (a), ambos com comportamento elástico linear e ligados

entre si por forma a não existir deslizamento relativo entre eles.

Em virtude da hipótese de Bemoul1i as extensões são proporcionais à distância

~ linha neutra (fig. 45 (b» isto é,

(1.62)

(1.64)

(1.63)X20'2 = E2 E = E2 -

RA posição do eixo neutro fica definida a partir da equação de equilíbrio de

forças horizontais

85

e cr

N

I b) leI

Figura 45

ou seja

ÊI r X2 dA + E2 r .:1:2 dA =o (1.65)JAl JA'J

OS integrais no 1° membro da equação (1.65) representam os momentos es­

táticos das áreas 1 e 2 relativamente ao eixo neutro. Denotando por YG" YG. e YN

as coordenadas dos centros de gravidade das áreas 1, 2 e da linha neutra medidas,por exemplo, a partir do bordo inferior da secção, respectivamente (isto é, fazendo amudança de variáveis .:1:2 - YN - Y com Y contado positivamente a partir do bordoinferior), ter-se-à

E I AI YG, + E2 A2 YG.YN = E1 AI + E2 A2

Da equação de equilíbrio de momentos tira-se

M = r U.:I:2 dA = r UI .:1:2 dA + r U2 .:1:2 dAlA lA, lA.

(1.66)

(1.67)Donde

1 M-=----.".....~REI/I + E2 /2

em q~e II e /2 são respectivamente, os momentos de inércia das áreas 1 e 2 relativamente

'.

ao eixo neutro.Combinando (1.62) e (1.63) com (1.67) obtem-se

M EI .:I:2UI = =-:...::--=-=-=,,-=­

EI II + E2 / 2(1.68)

86

(1.69)

(1.70){E:n OE-

E1

para que as equações de compatibilidade e de equilíbrio sejam respeitadas. Isto é, a

secção que se obtem da original multiplicando a largura de cada elemento de área de

material 2 pela razão (1.70) apresenta o mesmo eixo neutro e a mesma rigidez de flexão

que a secção heterogénea, apesar de constituida por um único material.

Tem-se então, afectando do índice k as quantidades relativas à secção homo­

geneizada

Esta distribuição de tensões normais encontra-se representada na figura 45 (c).

Se E1 = E: = E obter-se-ão as equações para a flexão pura de vigas de um só material

com comportamento elástico linear.

05 resultados acima obtidos (equações (1.65), (1.67), (1.68) e (1.69)) eviden­

ciam ainda que, tal como para as barras à tracção 0;1 à compressão, é possível encarar

a secção heterogénea como uma secção feita dum único material através do conceito

de secção homogeneizada. Efectivamente e escolhenq,o, por exemplo, para material da

secção homogeneizada o material 1. basta multiplicar a largura b de cada elemento de

área bdx: do material 2 pela razão

Ah - AI +n A:

YNai YG, + n A: YG.

-Ah

Ih - II + n 12

1 M- -R Ellh

M X 2qh - Ih

As tensões na secção primitiva obter-se-ão da distribuição de tensões na secção

homogeneizada através de (ver equações (1.68) e (1.69))

87

b

b(a)

-V- El

x G

nO(b) .

..

h

Figura 46

Exemplo 18: Seja analisar a secção representada na figura 46 (a) rectangularde largura b e altura h constituida por 2 materiais com módulos de elasticidade E 1 eE2 (suponha-se E2 > E l ) quando sujeita a um momento M.

A secção homogeneizada encontra-se representada na figura 46 (b) e foi obtidamultiplicando a largura do material 2 pelo factor de homogeneização n (neste caso e

como se supôs E2 > E l • n > 1 pelo que a área equivalente alargou). Para esta secção

constituida por um único material de módulo de elasticidade Eh acha-se a posição

do baricentro G e o momento de inércia relativamente à linha neutra (baricentrica)obtendo-se finalmente a distribuição de tensões representada na figura 46 (c). A dis­tribuição de tensões na secção primitiva. é a mesma no que diz respeito ao material 1,

obtendo-se as tensões no material 2 por multiplicação pelo factor n.

Um exemplo importante de vigas constituidas por dois materais diferentes é

fornecido pelas vigas de betão armado. Não se pode, no entanto, contar neste casocom nenhuma resistência à tracção por parte do betão como aliás já se fez referência

anteriormente. A resistência à tracção é então fornecida pelas barras de aço que são,

por conseguinte, colocadas a pouca distância da face situada no lado convexo onde

ocorrem precisamente aquelas tensões. Seja, por exemplo, a viga de secção rectangular

88

b ..

x •

M(c x/2h

N Gh-x

nAa., ,:) , 2 2 h

-t'--_......b__- .."'"~

la) lb)

Figura 47

representada na figura 47 (a) sujeita a um momento llector positivo e denotem-se pelo

índice a as quantidades relativas ao aço e pelo índice b as relativas ao betão.

Seja x a distância da face superior à linha neutra e h a chamada altura útil dasecção isto é a distância da face superior ao baricentro da armadura.

A posição da linha neutra é determinada a partír da condição de equilíbrio deforças horizontais, isto é, exprimindo que o momento estático da secção homogeneizada(representada na figura 47 (b)) relativamente à linha neutra tem que ser nulo. Tem-seentão

xb x - - n A.(h - x) = O

2isto é,

12b x2 + n A.x.- n A. h =O

donde se tira

-n A. + v(n A.)2 + 2bhnA.x=

b

Uma vez determinada a posição da linha neutra é possível agora achar o mo­

mento de inércia da secção homogeneizada e finalmente as tensões no betão e no ac;o

89

Figura 48

(lig. 47 (c)):

bx3

ln = 3"" + n Aa(h - x):

MU a -

Máxima tensão de compressão no betão

2MU~ =

(h- i) bx

1.3 Flexão Não-Linear

1.3.1 Equações da Flexão Não-Linear

Seja uma peça linear constituida por um material que não verilica a lei de

Hooke (representado pelo diagrama U - E da figura 48), sujeita a flexão cilíndrica e desecc;ão recta simétrica relativamente ao plano de solicitac;ão (lig. 49 (a) e (b)).

. Considere-se um referencial em que o eixo 1 coincide com o eixo neutro da

secc;ão cuja localizac;ão é por enquanto indeterminada.Sendo as extensões E directamente proporcionais à distância x: ao eixo neutro

(hipótese de Bernoulli), as extensões das fibras extremas serãoVi V:

Ei = - e E: = -- (1.71)R R

90

€2 IJ'Iv2

~\hvI

€I IJ'2b 2

(b) (e) (d)

Figura 49

em que R é o raio de curvatura do eixo da p~a.

As extensões poderão pois ser imediatamente obtidas uma vez que se conheçaa curvatura e a posição do eixo neutro.

A posição do eixo neutro pode ser achada com base no diagrama tensões­-extensões do material (fig. 48) e na equação de equilíbrio estático

Lu dA = O (1.72)

A curvatura pode ser determinada a partir da 24 equação de equilíbrio, no­meadamente, equilíbrio de momentos:

(

LuydA=M (1.73)

Na prática, tal determinação é feita iterativamente como a seguir se exemplifica.Tira-se de (1.1) que

dX2 = R d e

pelo que (1.72) toma a forma (ver fig. 49 (b))

f:. u b(X2) dX2 = R 1:' u b(e) de = O

Por outro lado obtem-se de (1.73)

R21<' u b ed e = M<.

(1.74)

(1.75)

(1.76)

ou fazendo(1.77)

vira. finalmente

M- .!!!-1<· ubede- ~e2 <.

Procede-se então da seguinte forma:

91

(1.78)

1. Escolhem:se arbitrariamente valores de fZ e fi tais que (1.75) se verifique. Fica-seentão a conhecer através de (1.77) o segmento l::.f e por consequência a curvatura1/ R.

2. A posição do eixo neutro é obtida d~ (1.77) pois

VI I fi IVz =~

3. Acha-se o momento f1ector a partir de (1.78).

(1.79)

(1.81)

4. Repetindo as operações precedentes para uma série de valores de l::.f = EI - E2

pode construir-se ponto por ponto o diagrama M = l(~) que caracteriza ocomportamento da peça à flexão.

Caso se conheça a expressão analítica da curva tT- f (ou duma sua aproximação)a determinação de tensões, deformações e curvatura pode ser feita por cálculo directocomo adiante se verá.

No caso particular duma secção rectangular de largura b, a expressão (1.75)

simplifica-se, obtendo-se«o tT d f = O (1.80)J••

Isto significa que a área algébrica do diagrama tT - f compreendida entre f2 e fi deveser nula. À expressão do momento ((1.76) ou (1.78)) também se pode, neste caso, dara forma:

2 1.<' 2M=bR tTfdf=bR 8..<o

em que 8.. representa o momento estático relativamente ao eixo vertical da área debaixoda 'curva tT- f na figura 48 (ou fig. 49 (c)). Desta forma para iniciar o processo iterativo

anteriormente referido basta agora marcar o segmento l::.f no eixo horizontal (eixo dosf) de modo a tornar a área de tracção do diagrama tT - f igual à área de compressão.

Uma vez achados o raio de curvatura (através de (1.77)) e a posição do eixo neutro

(através de (1.79)) correspondentes, determina-se o momento estático 8.. obtendo-se o

momento llector com base em (1.81).

1.3.2 Flexão Plástica

o caso mais simples de flexão não-linear é o que ocorre quando o material é

elastoplástico ou mais correctamente elástico perfeitamente plástico.

92

..

FilUra 50·

(Tc-.r 1~

,," (Tc ...

Figura 51

e

(

(1.82)

•Como exemplo de materiais que podem ser idealizados por este modelo (repre-

sentado na figura 50) referem-se os aços estruturais.

Suponha-se a situação representada na figura 49 (a) e (b) e analise-se a evoluçãoda distribuição de tensões à medida que o momento aumenta.

Tal evolução que se encontra desenhada na figura 51 evidencia uma primeirafase puramente elástica e linear, para a qual os resultados obtidos na llexão elástica sãoválidos nomeadamente que o eixo neutro passa pelo baricentro da secção, que a tensão

normal é u = M X2/ I e que l/R = M/EI . Estes resultados permanecem válidosaté a tensão na fibra mais afastada do eixo neutro atingir a tensão de cedência U.o O

momento llector correspondente é o chamado momento de cedência ,\lo e vale

Uo IM. =-- =Uo W

Vi

em que W é o módulo de flexão elástico.

93

Aac ac

IX21Gl 2

1 IX21G2Aac

ac 2

2

Figura 52

A figura 51 mostra seguidamente duas fases elastoplásticas correspondentes a

momentos flectores superiores ao momento de cedência até que se chega, no limite, àfase totalmente plástica. O momento flector correspondente a esta distribuição ideal­

izada de tensões recebe o nome de momento plástico ou último Mp (ou Mu ) e representao máximo momento que a peça de material elastoplástico pode suportar. A sua de­terminação é pois de grande importância. Para a concretizar começa-se por localizaro eixo neutro da secção recta. Como a resultante dos esforços internos deve ser nula

(equação (1.72)) o eixo neutro tem que dividir a secção recta em 2 superfícies de áreaigual de modo a que as resultantes dos esforços de tracção e de compressão sejam iguaisa A u./2. Estas resultantes estão aplicadas nos centros de gravidade G1 e Gz das 2

superfícies parciais que estão às distâncias (xz)c. e (xz)c. do eixo neutro (fig. 52).

O momento das forças internas que equilibra o momento exterior Mp vale

Mp = At ((xz)c. + (xz)c.) (1.83)

Designando por módulo de flexão plástico a relação

Z = Mp (1.84)u.

(1.85)z = A ((X2)O, + (X2)C.)2

O módulo plástico pode ser interpretado geometricamente como a soma dos

momentos estáticos relativamente ao eixo neutro das áreas Ai e Az (respectivamente

acima e abaixo do eixo neutro - ver figura 52).A razão entre o momento plástico e o momento de cedência é função unicamen~

da forma da secção recta e é habitualmente designada por factor de forma. f:

Mp Zf=-=­

M. W

tem-se

94

Para u-ma secção rectangular de largura b e altura h, tem-se (X2)Ol = (X2)O, =

hj4 pelo que

z = ~ b h (!!: + !!:) = b h2

244 4e

Desta forma3 3 bh2 bh2

A1p = - M. = - - u. = - u.2 2 6 4

Para uma secção circular de diâmetro d, tem-se (X2)Ol .= (X2)O, = :: pelo que

ed

3 161 =-6-=--17

.. d3 371" - ,32

Para uma secção em I de altura h, área de cada banzo Ab, área da alma A.. ealtura da alma h4 tem-se

A6 ( A4

Z = "2 h + h4 ) + 4" h4

O factor de forma toma, para esta secção, valores compreendidos entre 1,1 e

1,2.Qualquer que se seja a forma da secção recta, o diagrama momentos-eurvaturas

apresenta um primeiro troço linear (troço OA na figura 53) de equação M = EI/Rseguido dum troço não linear que é assimptótico à horizontal de ordenada Mp.

No caso duma secção rectangular a expressão analítica do troço não linear

pode obter-se facilmente aplicando a equação RI =..:.. a uma das fibras da secção. X2a trabalhar em regime elástico, em particular a uma das fibras à distância e do eixo

neutro (ver fig. 54) na qual se atingiu a tensão de cedência u•. Tem-se em tal fibra

u. eE=-= -E R

(

pelo que

(1.86)

95

Mp r--==========.-

llRllReo

Me --- A.IIIIII1

Figura 53

b.

c

c

1''---t1///// / , ~

1- '""X

• I'-1///1//

h

Figura 54

96

Por outro lado o momento representado por esta distribuição de tensões vale

M = Oe b(i -e) (i + e) + Oe b ~ e2

_ bh2

O (~_ 2 e2

) = M (~ _ 2 e2

)6 e 2 h2 e 2 h2 (1.87)

~otar que quando e = O, M = Mp e quando

(1.86) e (1.87) obtem-se finalmente

he = 2' M = Me. Eliminando e entre

em que 1/Re é a curvatura correspondente ao momento de cedência M., isto é

1 Me 20eRe = EI = Eh

1.3.3 O Conceito de Rótula Plástica

(1.88)

(1.89)

.-

0.

Observou-se anteriormente e em relação à figura 53 que tal diagrama apre­

senta 3 zonas distintas: uma primeira zona O A representando uma resposta elástica

linear da viga seguida de uma Clórva representando uma resposta parcialmente plástica

- parcialmente elástica isto é, um escoamento plástico limitado caracterizado pela ex­

istência de fibras plastificadas em regiões mais ou menos afastadas da linha neutra e de

fibras a trabalhar em regime elástico numa região central da secção. Relativamente às

primeiras dá-se um escoamento plástico sem acréscimo da tensão enquanto que a parte

restante continua a deformar-se elasticamente sob um acréscimo de tensão. Finalmente

quando todas as libras plastilicam, o que ocorre para valores elevados da curvatura,

a curva M = !VI (~) aproxima-se da assimptota horizontal e a viga pode continuar

a deformar-se sem qualquer acréscimo no valor do momento fiector aplicado, isto é o

escoamento plástico tornou-se ilimitado. Atingiu-se deste modo o momento último Mp.

É a presença desta deformação plástica ilimitada que está na origem do conceito

de rótula plástica. Para ilustrar este conceito considere-se uma viga simplesmente

apoiada solicitada por uma carga concentrada a meio-vão, como representado na figura

55 (a).

O diagrama de momentos Hectores está representado na ligura55 (b). O mo­

mento Hector máximo ocorre na secção de meio vão e vale PL/4. Fazendo crescer a

97

1/Rmax

11 R(c I

!Pi 77lJr. : :

I I(aI I II I

~I L I ..~

t..II

(bl

Figura 55

•

98

carga P atingif-se-à a dada altura um valor que provoca o aparecimento da tensão de

cedência na fibra mais afastada do eixo neutro da secção mais solicitada, isto é, da

secção de meio vão. Tal valor que se designa por carga de cedência e se denota por Pc

corresponde pois a igualar-se o momento máximo ao momento de cedência, isto é,

PeL -M4 - c

Quando a carga P ultrapassa o valor Pc ocorrem deformações plásticas na parte

central da viga (zonas a preto na figura 55 (al). A curvatura da viga cujo diagrama

se apresenta na figura 55 (c) varia pois linearmente desde as extremidades até aos

limites dessa parte central onde toma o valor 1/R.. Na zona'central o crescimento émais rápido alcançando-se o valor máximo 1/Rmax na secção de meio vão (recorde-se, (

no caso de secções rectangulares, a expressão (1.88) ou ainda o diagrama da figura

53). Continuando a aumentar a carga, as zonas plásticas vão também aumentando e

aproximando-se do eixo neutro, atingindo-se por fim um valor para P tal que o momento

flector máximo se torna igual ao momento plástico Mp. Esta carga que se designa por

carga última e se denota por Pu vale pois

Pu = 4Mp

L

Esta situação encontra-se representada na figura 56.

As deformações plásticas estendem-se agora a toda a zona onde o momento

flector ultrapassa o momento de cedência Me encontrando-se a secção de meio vão

totalmente plastificada (fig. 56 (al). A curvatura que é muito pequena nas extremidades

daquela zona toma, na vizinhança do ponto de aplicação da carga, valores extremamente

elevados apresentando a viga uma deformada que se representa na figura 56 (b).

O comprimento Lp da zona plástica pode ser facilmente calculado dado que

nas suas extremidades M = Me. Deste modo

donde

M _Puc - 2 ( L ~ Lp) = Mp (1 - 7)

Para uma secção em [ com f = 1,14

Lp = 0,123 L

99

la)

lbl

M

1P=Pu

Jr---T""i-%_~;---ÁI Lp Ll' 1

1 1I .1

lcl

Figura 56

100

o

-------...

l/R c

Figura 57

l/R

{

e para uma secção rectangular para a qual

f - 1,5

Lp = ~ L3

Tudo se passa sensivelmente como se a viga fosse constituida por dois troços

rígidos articulados um no outro no ponto central (fig. 56 (c)).Pode pois dizer-se que na secção de momento máximo existe uma rótula que

permanece rígida enquanto M < Mp, permitindo no entanto a rotação relativa dosdois troços da viga desde que o momento atinga o valor Mp. Uma tal rótula designa­

se por rótula plástica. Por outras palavras, este conceito consiste em admitir que asdeformações plásticas ocorrentes numa dada zona da viga se concentram numa únicasecção (precisamente aquela onde está instalado o valor máximo do momento ftector).

Isto corresponde a substituir o diagrama Diomentos-curvaturas da figura 53 por umdiagrama perfeitamente elástico - perfeitamente plástico como se indica na figura 57.

A viga não permite pois que se instale um momento maior que o momento

plástico e entra em colapso devido a rotações excessivas que ocorrem na secção transver­

sal média.

O conceito que acabou de ser introduzido pode ser constatado experimental­

mente o que se fará numa das secções laboratoriais montadas para este efeito.

101

A B

Figura 58

1.3.4 Cálculo Plástico de Vigas

o conceito de rótula plástica está na base da determinação das cargas últimasou cargas de colapso plástico, objectivo do chamado cálculo plástico de estruturas.

Verificou-se no exemplo da Secção.anterior que para um valor da carga P iguala

p, _ 4 Mpu- L

a viga transformava-se num mecanismo devido à formação duma rótula plástica nasecção onde a carga estava aplicada. Constatou-se ainda que a determinação dessacarga limite foi feita por aplicação directa da estática. A carga última pode tambémser calculada por aplicação do princípio dos trabalhos virtuais. Recorde-se que este

afirma ser condição necessária e suficiente para o equilíbrio dum sistema que a somados trabalhos de todas as forças (forças exteriores e momentos nas rótulas plásticas)

seja nula para todo o deslocamento virtual compatível com as ligações. Considere-se

o deslocamento virtual do mecanismo de colapso representado na figura 58, completa­mente definido pelo ângulo 6 suposto muito pequeno

O trabalho da força Pu vale Pu L 6/2. A rotação em C vale 26 pelo que otrabalho absorvido pela rótula é 2 Mp6. Segue-se que

Pu L6 = 2 Mp 62

Donde Pu = 4 Mp / L tal como anteriormente obtido.

Este exemplo mostra ainda que a razão entre a carga de colapso e a carga de

cedência é igual ao factor de forma f. Efectivamente

p, 4M, II

~=.J.-=~=fP, 4M, Mc L c

Para uma estrutura estaticamente determinada:

102

e a liecha a meio vão

1. A formação duma rótula plástica (na secção de momento máximo) acarreta o

colapso da estrutura;

2. A razão entre a carga última e a carga de cedência é sempre igual ao factor de

forma f.

No caso de estruturas "staticamente indeterminadas as afirmações acima pro­

duzidas deixam de ser válidas. Considere-se, por exemplo, a viga prismática de compri­

mento L, biencastrada e sujeita a uma carga uniformemente distribuida de intensidade

p conforme mostra a figura 59 (a). O sistema é duas vezes hiperstático, mas em con­

sequência da simetria existe apenas uma incógnita hiperstática que se arbitra ser o

momento de encastramento. .-

Uma análise elástica fornece a seguinte equação de compatibilidade

pelo que, em regime elástico, o diagrama de momentos liectores é o que se apresenta nafigura 59 (b).

Em regime elástico a liecha varia proporcionalmente à carga segundo a lei

P L4Ó = -'38~4==E:-=1

Aplicando o conceito simplificado de rótula plástica, isto é, adoptando o dia­

grama momentos-curvaturas da figura 57, a viga comporta-se elasticamente até ao ins­

tante em que os momentos de encastramento atingem o valor Mp, formando-se rótulas

plásticas nas extremidades A e B da viga. A carga correspondente Pl vale portanto

Pl L2 = M -Pl = 12Mp

12 p L2 •

M L2Ó - =",p,=-:

1 - 32 EIO diagrama de momentos liectores correspondente a esta situação é o repre­

sentado na figura 59 (c).Continuando a aumentar a carga para além do valor Pt. as rótulas plásticas

situadas em A e B rodarão dum certo ângulo, não se alterando no entanto os valores

dos momentos de encastramento.

103

MA ( ~ Ma(a I

A a

..r L L..2

Pt.:/12

(bIpL

2/24

(el

(d I

te I

Figura 59

104

Mp

Mp /2

Mp

Mp

12 Me 12 MpPe=-v= fL2

Tudo se passa como no exemplo anterior, isto é, como se tivessemos uma viga

simplemente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuida no seu vão e a

um par de momentos iguais e opostos aplicados nas suas extremidades e de valor

(-.'\.lp). A hiperstaticidade desapareceu devido à estabilização dos momentos de en­

castramento, tornando-se a viga isostática. O momento flector a meio vão ultrapassa op L2 w:

valor ~4 ='2P que tinha no fim do regime elástico e tende para Jlp •

A flecha pode ser calculada subtraindo à flecha provocada pe~a carga uniforme­

mente distribuida a devida aos momentos de extremidade. Obtem-se

5pL4 _ Mp L2

6 = 384 EI 8 EI (1.90)

Este regime elastoplástico dura até ao instante em que o momento a meio vão

atinge o valor Mp. Nesse momento ter-se-à

pL2

T-Mp=Mp

donde se tira o valor da carga última

16 Mp ( )Pu= -V 1.91

Quando p = Pu forma-se uma terceira rótula plástica na secção de meio vão e

a viga entra em colapso, isto é, em regime de deformação plástica livre. O diagrama

de momentos tem a forma representada naligura 59 (d), mostrando-se ainda em (e) o

correspondente mecanismo de colapso.

A figura 60 mostra como varia a flecha com a carga. Este diagrama é formado

por 3 troços rectos OA, AB e BC que correspondem respectivamente aos regimes

elástico, elastoplástico e perfeitamente plástico.

A flecha no fim do regime elastoplástico (ponto B) pode ser obtida substituindo

em (1.90) p pelo seu valor (1.91) o que fornece

M. L26 - --:!'p=

p - 12 EI

O comportamento da viga biencastrada é assim essencialmente diferente do

comportamento manifestado pela viga simplesmente apoiada. Neste caso a formação

duma única rótula plástica acarretava o colapso e o quociente entre a carga última e

a carga de cedência era igual ao factor de forma. Contudo para a viga biencastrada a

carga di cedência vale

105

(

P

Pu =16Mp B C

L2

Pu =12Mp

L2

Figura 60

pelo quepu 4f-=-Pc 3

valor que é portanto superior ao factor de forma f. Este aumento é consequência duma

redistribuição dos momentos flectores na viga que ocorre em virtude da plastificação

das secçõe~ extremas A e B. Os sistemas hiperstáticos possuem pois uma reservade resistência caracterizada pelo facto de as secções menos solicitadas da estrutura

começarem a suportar carga adicional assim que ocorra a plastificac;ão duma ou maissecções.

Note-se, para finalizar o problema, que a análise completa que foi feita é inútilquando se pretende calcular unicamente a carga última.

De facto o seu valor pode ser obtido imediatamente quer recorrendo à Estática

quer ao Princípio dos Trabalhos Virtuais. Neste último caso e tendo em atenção o

mecanismo representado na figura 59 (e) ter-se-ia

L 8LPu - - =2Mp 8+Mp lJ+Mp lJ

2 2donde se tira o resultado já obtido em (1.91).

Convém no entanto acentuar que este cálculo simples da carga última envolve oconhecimento do mecan~mode colapso correcto o que sucedia no exemplo precedente já

106

pelo que

que havia uma 'única n~aneira de posicionar as rótulas plásticas. No entanto na maioria

das situações tal nào acontece.

Considere-se a viga encastrada apoiada representada na figura 61 (a) sujeita a

duas cargas concentradas iguais aplicadas nos terços do vão. Neste caso é necessária a

formaçào de duas rótulas plásticas para que a viga se transforme num mecanismo.

.-\tendendo ao carregamento os maiores momentos !lectores ocorrerão neces­

sari'imente nas secções de encastramento e debaixo das cargas concentradas isto é, nas

secções o·i, B. e C. pelo que existirão três possíveis mecanismos de colapso, cada um

deles formado pela consideração de duas rótulas plásticas em dois desses três pontos.

Esses três mecanismos possíveis possíveis encontram-se representados na figura 61 (b),

(d) e (f).

O valor de P correspondente a .cada uma das três possibilidades pode ser

calculado aplicando o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Assim para o mecanismo re­

presentado na figura 61 (b), com rótulas plásticas em A e em B, tem-se

8 L 28 LP "3' + P -3- = Mp 8 + Mp 38

pelo queP= 4Mp

LPara o mecanismo da figura 61 (d) tem-se

28 L 8LP -3- + P 3' = Mp 2 8 + Mp 3 8

P = S.'VlpL

Finalmente para o mecanismo representado na figura 61 (f) vem

P 8 L = Mp 8 + Mp "2 8 _ P = 9 Mp3 L

Os dois últimos mecanismos considerados (fig. 61 (d) e (f)) fornecem cargas

mais elevadas que o primeiro (fig. 61 (b)) pelo que o mecanismo correcto é aquele que

possui rótulas plásticas nas secções A e C sendo a carga última

4Mpp.. =--L

:\1ostrar-se-à em seguida que a situação evidenciada neste exemplo se verifica

sempre, isto é, que a carga correspondente a um mecanismo arbitrário constitui sempre

107

(

p

(A~ !

B C h O

..,jc L/3f

L/3 lt L13 ,l.-I

la)Mp

O

A j~Ib)

&O

B~~

3

Id ) 6Mp

lA& &

B~DMp

jMp

(f) I g )

Figura 61

108

um majorante da carga última. Este exemplo evidencia também que para o mecanismo

de colapso correcto (fig. 61 (b)) o correspondente diagrama de momentos fiectores

(fig. 61 (c)) não ultrapassa em nenhuma secção da viga o valor Mp. Pelo contrário. o

diagrama de momentos f1ectores correspondente ao mecanismo representado na figura

61 (d) mostra na secção C um valor 4 lvfp j3 e o correspondente ao da figura 61 (f)

mostra na secção de encastramento o valor 6 l'Jp• Tais diagramas estão traçados nas

figuras 61 (e) e (g). Em ambos os casos e apesar de se verificar o equilíbrio, existem

secções onde o momento f1ector ultrapassa o momento plástico, o que é incorrecto.

Em conclusão, este exemplo serve para afirmar que uma distribuição de mo­

mentos f1ectores que corresponda ao colapso da estrutura tem que verificar as seguintes

condições:

a) Condição de equilíb.rio - os momentos liectores devem representar um estado de

equilíbrio entre as forças internas e externas.

b) Condição de mecanismo - o valor do momento plástico tem que ser atingido num

número suficiente de secções para que um mecanismo de colapso se forme.

c) Condição de cedência - o valor do momento plástico (função da tensão de cedência)

não pode ser excedido em nenhuma secção.

Indicar-se-à adiante (teorema da unicidade) que a carga correspondente a um

diagrama de momentos fiectores que satisfaça as três condições que se acabou de enun­

ciar é a única carga de colapso.

Como já se salientou a aplicação do P.T.V. a um mecanismo arbitrário, isto é,

uma distribuição de momentos que satisfaça as duas primeiras condições, fornece um

majorante para a carga de colapso. Duma forma semelhante, a qualquer distribuição

de momentos que satisfaça as condições de equilíbrio e de cedência corresponderá um

minorante da carga última. Por exemplo o diagrama de momentosliectores da figura 59

(c) satisfaz as condições de equilíbrio e de cedência para a viga biencastrada da.figura

. 59 (a). Desta forma o valor 12 Mp / L2 constitui um limite inferior para a carga última

(16 Mp! L2) .. Também a distribuição de momentos representada na figura 61 (e) pode

satisfazer ambas as condições de equilíbrio e de cedência se se multiplicar por 3 j 4 todos

os valores das cargas e dos momentos de modo que o valor

~ 5Mp = 315 Mp4 L ' L

, . d 'It' P. 4Mpe um mmorante a carga u Ima U = L'

109

(

1.3.5 Teoremas da Análise Limite

Por análise limite entende-se o conjunto de métodos gerais de procura e deter­

minação da carga última duma estrutura feita dum material de comportamento elástico

perfeitamente plástico sem ter em consideração a análise da estrutura ao longo do ca­

minho de carga que conduz ao seu colapso.

Estes métodos gerais baseiam-se em três teoremas fundamentais já intuitiva­

mente introduzidos nos exemplos anttoriormente considerados e que agora iremos enun­

ciar sem contudo apresentar a sua demonstração. Antes, no entanto, recordar-se-ão egeneralizar-se-ão alguns conceitos anteriormente introduzidos.

A hipótese de base que se faz consiste em admitir a formação duma rótula

plástica que pode sofrer uma rotação de valor indefinido sempre que o momento plástico

,'vIp seja atingido nessa secção.

Em cada um dos dois exemplos simples anteriormente considerados tornou­

-se evidente que se atingia a carga de colapso plástico quando se formava um número

suficiente de rótulas plásticas que transformavam a viga num mecanismo. Os desloca­

mentos podiam então aumentar sob carga constante devido às rotações nessas rótulas

enquanto os momentos flectores aí existentes permaneciam constantes e iguais ao valordo momento plástico.

Considere-se agora o caso geral duma estrutura hiperstática de grau n e supo­

nha-se a estrutura submetida a um carregamento proporcional, isto é, a um conjunto de

forças que aumentam todas proporcionalmente umas às outras. Seja À um parãmetro

positivo, que se designa por factor ou parãmetro de carga, através do qual se definemas intensidades das cargas.

À medida que as cargas aumentam as rótulas plásticas aparecem sucessiva­

mente em secções onde o momento fiector apresenta um máximo local. Se o carrega­

mento é constituido por cargas concentradas somente as secções onde estão aplicadas

.essas cargas e as de extremidade das barras são candidatas à formação de rótulas

plásticas. Se existiram cargas distribuidas poderão também nascer rótulas plásticas em

qualquer zona no interior da barra. De cada vez que uma rótula plástica aparece, o mo­

mento fiector torna-se igual ao momento plástico Mp e o grau de hiperstatia do sistema

reduz-se duma unidade. Ao formar-se a enésima rótula o sistema fica estaticamente de­

terminado. A ocorrência duma rótula adicional, isto é da rótula com número de ordem

n +1, acarreta a transformação da estrutura num mecanismo com um grau de liberdade

que apresenta sob carga constante deformações indefinidas e a que corresponde a carga

110

grau de hiperstatian .. 2

A

Figura 62

A 1" B r c41r"--~o---;;,;;:-r---E----4

Figura 63

numero de

plásticasr < n + 1

rbtulasr .. 2

{

que se designou por carga última da estrutura bem como a sua ruína.

Há, no entanto, duas excepções à situação geral que acabou de se considerar.

Uma é relativa à formação dum mecanismo parcial, isto é, dum mecanismo com um

número de rótulas plásticas inferior a n + 1. A ruína ocorre apenas numa parte dosistema como se exemplifica com a viga contínua representada na figura 62. Trata­-se duma estrutura duas vezes hiperstática bastando, no entanto, a formação de duasrótulas plásticas para ocorrerem deformações ilimitadas no tramo BC.

Constata-se ainda neste caso que os momentos fiectores não podem ser todos

estaticamente determinados na altura do colapso. Efectivamente enquanto que o tramoBC é estaticamente determinado na situação correspondente ao colapso, a zona ABnão o é.

A segunda excepção diz respeito a uma situação que envolve mecanismos com

mais de (n + 1) rótulas. É o que acontece com certas estruturas simétricas como aquelaque se representa na figura 63. Neste caso forma-se primeiramente uma rótula em B e

depois por simetria aparecem simultaneamente duas rótulas em D e em E. Tem-se nototal três rótulas enquanto que a viga é apenas uma vez hiperstática.

Os dois teoremas que a seguir se enunciam devem-se a Greenberg e Prager

(1952) e são designados respectivamente por Teorema Estático e por Teorema Cinemá­tico. O primeiro fornece um valor por defeito da carga última, 9 segundo um valor por

111

excesso.

Teorema Estático:

Cm parâmetro de carga À correspondente a uma distribuição de momentos

flectores em equilíbrio com as cargas aplicadas e satisfazendo a condição de cedência

; .H .~ "'lp é tal que

em que Àc é o parâmetro de carga correspondente ao colapso.

É costume designar uma distribuição de momentos flectores satisfazendo am­

bas as condições de equilíbrio e de cedência (ou de plasticidade) por distribuição de

momentos estaticamente admissível para o conjunto de cargas em questão.

Designa-se por mecanismo cinematicamente admissível todo o mecanismo que

se obtem duma dada estrutura pela inserção dum número suficiente de rótulas plásticas.

Teorema Cinemático:

Um factor de carga À ao qual corresponda uma distribuição de momentos

satisfazendo as condições de equilíbrio e de mecanismo satisfaz

Combinando os dois teoremas anteriores pode ainda afirmar-se:

Teorema da Unicidade:

Se para uma dada estrutura e factor de carga À, existir pelo menos uma

distribuição de momentos que satisfaça as três condições de equilíbrio, mecanismo e

cedência, então

Resumindo tem-se

Admissibilidade Estática

Admissibilidade Cinemática

Como corolário do Teorema Estático pode ainda afirmar-se que se não existir,

para um dado factor de carga À, nenhuma distribuição de momentos estaticamente

112

....

admissível então este valor de À é necessariamente maior ou igual ao factor de carga

correspondente ao colapso. Um corolário do Teorema Cinemático permite também

afirmar que o verdadeiro factor de carga Àc correspondente ao colapso é o menor de

todos os factores de carga que se podem obter da consideração de todos os mecanismos

cinemáticamente admissíveis. Foi precisamente a aplicação deste último corolário que

se considerou no exemplo da figura 61.

Podem antever-se, como consequência do que ficou dito, dois métodos possíveis

para a determinação da carga última. Um consiste em considerar sucessivamente todos

os mecanismos de ruína possíveis e ceterminar as correspondentes cargas. Pelo Teorema

Cinemático a menor de todas estas cargas é a verdadeira carga última. É, no entanto,

aconselhável traçar o diagrama de momentos flectores em equilíbrio com a menor de

todas as cargas encontradas e constatar que este diagrama é estaticamente admissível.

Se assim for, o Teorema da Unicidade assegura-nos que a carga correspondente é a

verdadeira carga última. Evidentemente que este método só funciona em estruturas

simples sendo de excluir em situações em que o número de possíveis mecanismos é

elevado. Pode, no entanto, servir de base a outros processos mais expeditos, que estão

contudo fora do âmbito da cadeira. Um segundo método consiste em começar por

arbitrar um mecanismo calculando o correspondente factor de carga À•• Em geral este

mecanismo não será o verdadeiro mecanismo de colapso mas o Teorema Cinemático

permite-nos afirmar que À. 2: Àc . Determina-se em seguida o diagrama de momentos

flectores correspondente a À. e ao mecanismo arbitrado. Se À. for um majorante então

existirão secções na estrutura nas quais ll,f 2: Mp. Dividem-se as cargas e momentos

pelo coeficiente que define o valor do maior momento flector como função do momento

plástico (recordar a obtenção dum minorante para a carga última da estrutura da figura

61 (e)). Nesta altura deixar-se-à de ter um mecanismo, mas a distribuição de momentos

satisfaz contudo as condições de equilíbrio e de cedência, pelo que pelo Teorema Estático

o correspondente factor de carga Ài é um minorante para Àc . Obteve-se então

Ài ::; Àc ::; À.

o processo repete-se voltando a arbitrar um mecanismo e cumprindo os passos

acima descritos até se obter um intervalo suficientemento pequeno.

Exemplo 19:

1. Seja a viga encastrada apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuida

À q tal como representado na figura 64 (a).

113

{

24 Mp Mp25

24 Mp25

(d )

),q

(a)

~L ,f.li

(b)

t~& \ &( h• /ii

Mp 5L/12tl'

Ic)

Figura 64

o maior momento negativo ocorre no encastramento desconhecendo-se no en­tanto a secção em que ocorre o máximo positivo. Um possível mecanismo é o que

se arbitra na figura 64 (b) com rótulas plásticas nas secções de encastramento e demeio-vão. O P.T.V. fornece

LL>'q - - (J = 3 M (J2 2 p

isto é>. = 12 Mp

qL2A este factor de carga corresponde o diagrama de momentos representado na

figura 64 (c). Este diagrama não é, no entanto, estaticamente admissível em virtude da

114

,"< L-xf

x

'f =~ ( L-xl

x

~

Figura 65

existência de secções em que o valor do momento plástico é ultrapassado. Em particular

o máximo momento flector vale 25/24 Mp e ocorre numa secção à distância de 5/12 Lda extremidade direita da viga. Este máximo pode tornar-se igual a Mp, reduzindo À

a À; (fig. 64 (d)) ondeÀ; = 24 12 Mp = 11.52 Mp

25 q L2 q L2

Deste modo tem-se

_11_.5_2M < L < _12_M~pq L2 p - "C - q L2

Os limites estão já razoavelmente perto um do outro mas pode ainda repetir-se

o processo mais uma vez. Um mecanismo óbvio a arbitrar agora consiste em considerar

rótulas no encastramento e precisamente na secção a 5/12 L da extremidade direita.

Obter-se-àÀ = 11.66 Mp

q L2

O máximo momento flector vale Mp (a menos de 3 casas décimais) numa secção

à distância de 0,4142 L do apoio da direita, pelo que se toma Àc ~ À.

Não é no entanto difícil neste caso determinar o valor exacto da carga última

e a posição da 2~ rótula plástica. Efectivamente designando-se por % a sua distância ao

apoio da direita, tem-se em virtude do P.T.V. (ver fig. 65)

L 8 LÀ q - 8 (L - %) = Mp 8 + Mp-

2 %

Deste modoÀ _ 2 Mp L+%

- q L x(L-%)

115

Pelo Téorema Cinemático, o verdadeiro factor de carga -correspondente ao co­

lapso'; o mínimo dos factores de carga correspondentes aos vários possíveis mecanismos.

Assim conclui-se que a distância x deve ser tal que torne À mínimo. Obtem-sedesta condiçâo

dÀ "dx=o---+x=(J2-1)L

e substituindo acima

À"_ 2 M:. (-'- Ín.) _ 11,657 M.

c - q L2 3, 2v 2 - q L2

O erro envolvido na aproximação com uma rótula plástica a meio vão é decerca de 1%.

Exemplo 20: Calcular o factor de carga correspondente ao colapso da vigarepresentada na figura 66. .

O 1· mecanismo escolhido é o mecanismo parcial representado na figura 66 (b),

a que corresponde um majorante À. do factor de carga correspondente ao colapso devalor

L 6M.À.8 2" = 3M. 8 - À. = L ~ Àc

Tratando-se dum mecanismo parcial o diagrama de momentos correspondentes

é estaticamente indeterminado no tramo AC (fig. 66 (c)) devendo contudo verificar aequação

M -3M. MA -M.B - p+ 2

Uma possibilidade consiste em tomar-se MA = -Mp. Então MB = 2,\fp o que

viola a condição de plasticidade. Pode no entanto obter-se um limite inferior multipli­

cando as cargas e os momentos pelo factor 1/2. Obtem-se o diagrama representado na

figura 66 (d) e Ài = 3 ~Ip pelo que se conclui que'

3Mp \ 6Mp--<AC<--L - - L

O 2· mecanismo arbitrado é o representado na figura 66 (e). Tem-se

8 L 4Mp2 À. T = 4 Mp 8 - À. = L ~ Àc

.; O diagrama de momentos que lhe corresponde está representado na figura 66

(f) constatando-se que em nenhuma secção é ultrapassado o momento plástico, isto é,

116

A S C O E lo)

+ L/2 .. L/2 J' L/2 \, LI2 L~ " "

~ ~Ib)

MA t''.Mp (

/~, IC);

~'\ /, /, /, / Mp, /V Ms

1

TMPf">.

-Mp2

/'>.. I d)

7· ~..L Mp2

MpMp

I. )

11 )

Figura 66

117

é estaticamente admissível, pelo que o Teorema da Unicidade permite concluir que

Ào = 4 MpL

Observações Finais:

1. Os conceitos de cálculo plástico que se introduziram estão na base da verificação

da segurança em relação aos estados limites últimos de resistência com plasti­ficação descrita no ArtO 440 do REAE. Afirma este artigo que o comportamento

elastoplástico das estruturas pode ser tido em conta, nomeadamente, por aplicação

do conceito de rótula plástica. O artO 440 apenas enuncia algumas regras geraispara aplicação deste método de entre as quais destacaremos duas:

a) As tensões de plastificação devem ser iguais aos valores de cálculo fvd;

b) As acções resistentes devem ser divididas por 1,2 para a obtenção dos corres­pondentes valores de cálculo.

Quando se tratar de verificar a segurança ao estado último de resistência complastificação aplicar-se-à, no âmbito desta cadeira, a relação (1.13) na qual a cargaúltima é a correspondente ao aparecimento da rótula plástica que transforma a

estrutura num mecanismo determinada com base no valor da tensão de cedênciado material.

2. Convém ainda recordar que deixa de ser válida a aplicação do princípio da so­

breposição ao cálculo da carga última tal como foi definida pois o sistema nãoobedece à lei de Hooke. Deixa, pois de ser possível estudar separadamente osefeitos das diversas cargas que solicitam uma estrutura. É por esta razão que se

supôs sempre que as cargas estão aplicadas simultaneamente e que a relação entre

elas permanece ao longo do caminho de carga.

1.3.6 Efeito do esforço axial sobr-e o valor do momento plástico

A presença de esforço axial em associação com momento flector (flexão com­

posta) tem por efeito alterar o valor do momento plástico. Considerar-se-à unicamentea situação em que a secção transversal da viga apresenta dois eixos de simetria estando

um desses eixos contido no plano de solicitação, tal como se representa na figura 67 (a).

118

(Tc

•:; 2e

(Tc

e

';"""';\r-L. _",.+-- .-- .~__~""'::;.....:J

~iXOneutro

1

2

(a) ( b ) ( C ) (d)

Figura 67

Suponha-se aplicado à secção um esforço axial de valor N e considere-se quea secção transversal plastifica totalmente. Por efeito do esforço axial a linha neutradeixa de dividir a secção em duas áreas iguais e desloca-se para baixo ficando a umadada distância e do eixo de simetria horizontal e dando origem ao diagrama de tensõesbirectangular representado na figura 67 (b).

Para calcular o esforço axial e o momento flector decompõe-se o diagrama

em duas partes (fig. 67 (c) e (d)) uma estendendo-se dum lado e doutro do eixo de

simetria com uma altura 2 e e equilibrando o esforço axial, a outra de resultante nulaequilibrando o momento flector. Esta decomposição mostra que o momento plástico emflexão simples, Mp, é reduzido duma quantidade representada pelo momento plásticoda parte central da secção de altura 2 e. Tem-se então, denotando por M; o momentoplástico reduzido e por A. e M; a área e o momento plástico da zona central de altura

2 e respectivamente,

N - A. Ue (1.92)

(1.93)

Se ~e definir o valor do esforço axial para o qual a secção se torna totalmente

119

plástica na ausência de momento flector, isto é, se se fizer

Np = A u, (1.94)

em que A é a área de toda a secção transversal então pode escrever-se, tendo em atenção

a equação (1.92)N A,

- (1.95)N p A

Finalmente definindo ,\f; = Z, u, e recordando que Mp = Z u, em que Z e

Z, são os módulos plásticos da secção inteira e da área A" obtem-se, dividindo por l\fpambos os membros da equação (1.93)

M; Z,-=1-­l\fp. Z

Assim, no caso duma secção rectangular de largura b e altura h, tem-se

(1.96)

A=bh

Z = 6h'4

pelo que em virtude de (1.95) e (1.96)

N eNp = 2h

A,=2be

Eliminando ~ entre estas relações obtem-se finalmente

~ = 1_(N)2Mp Np

Desta forma o momento plêÍ.l;tico M; varia parabolicamente com o esforço axial

N anulando-se para N = Np , tal como representado na figura 68.

A figura 68 mostra tambiím a redução (linear) sofrida pelo momento de cedência

M; = (1 -~) W u, = ~ (1 -~) Mp

Para ~ = 0.1 há uma redução de 1% no valor do momento plástico. No casol'p

de secções em I essa redução é da ordem de 2% na mesma situação. É pois justificável

para valores pequenos do esforço axial desprezar-se o seu efeito no cálculo do momento

plástico.

120

1.0 T"-__

0.8

0.6

0.4

0.2

oo 0.2 0.6

Figura 68

121

0.8 1.0 NNp

{

tTmax

N//

/""

A1L 3c Ic

"!

IGi

I CPIi

NI C I, C I, ,2

b

Figura 69

1.3.7 Flexão Plana Composta de Vigas Constituídas por Ma­

teriais não Resistentes à Tracção

Pretende considerar-se agora o caso de materiais que obedecem à lei de Hookeem compressão mas que não resistem a tensões normais de tracção. É o que acontececom as alvenarias, os betões simples ou ainda no contacto de um mac;ico com o terreno.

Se o centro de pressão se situar fora' do núcleo central da secção transversal,

a linha neutra correspondente intersectará a secção e a carga provocará não somentetensões de compressão mas também de tracção. Como o material não resiste a tracções,uma parte da secção tranversal fissura e a parte restante ficará a trabalhar à compressão.

Seja o caso duma secção rectangular com o centro de pressão situado sobreo eixo principal XI à distância c do bordo da secção tal como representado na figura69. Se c < h/3 uma parte da secção fissurará e deixará de trabalhar. A parte restanteestará sujeita a uma distribuição de tensões linear cuja resultante terá que equilibrar a

carga N aplicada.

Visto que esta resultante deve passar pelo baricentro do triangulo, a sua base

deve ter um comprimento igual a 3 c.

122

(Tmax(Tmed

2

1/6

Figura 70

IIIIIIIIIIIIII

. II

1/2 e/h

(

O'max =

Da equação de equilíbrio de forças pode extrair-se o valor de Uma>:. Assim

2N3bc

2 N 2= - - O' d

3 b(~-e) -3/2-3e/h me

Nonde O'med = b h·sabe,

E -" Td h P hsta expressao so e va 1 a para e > ti. ara e < ti tem-se, como se

O'max = (1 +.6hC) O'med

Na figura 70 está representado o gráfico da variação da razão O'mox/O'med emfunção de c/h; para O < e/h < 1/6 a lei de variação é linear; para c,'h > 1/6 éhiperbólica.

No caso duma secção de forma qualquer, supondo ainda o centro de pressãosituado sobre um dos eixos principais centrais de inércia da secção de modo a que a

linha de tensão nula fique normal a este eixo, a distância deste linha (LN) ao centro depressão pode determinar-se com base nas seguintes condições:

123

a) As tensões de compressão são proporcionais à distância medida a partir da linha de

tensão nula (LN);

b) A resultante das tensões de compressão deve ser igual a LV:

c) O momento das tensões de compressão relativamente à linha (LN) é igual ao mo­

mento da carga IV.

Se a secção tiver forma simples, o problema pode ser resolvido analiticamente;

caso contrário haverá que recorrer à via numérica ou gráfica.

124