Instrumenty obrabotki signalov – osnovy, primery primeneni˜ i ...hochmuth/ru7065.pdfInstrumenty obrabotki signalov – osnovy, primery primeneni˜ i zadaqi Beate Meffert Olaf Hohmut

Instrumenty obrabotki signalov –osnovy, primery primeneni i zadaqi

Beate Meffert Olaf Hohmut

Avtory perevoda:

Galina Bezel~, Vadim Baerbah

3 aprel 2019 g.

2

Annotaci

V danno knige predstavleny naibolee vanye metody obrabotki sig-nalov. Avtory podrobno razsnt matematiqeskie formulirovki iffekty, dostigaemye pri ispol~zovanii razliqnyh metodov. Krometogo obrawaets vnimanie na to, kakie uslovi dolny sobldat~spri ih primenenii. Qitatel~ uqits ocenivat~ metody kritiqeskii raspoznavat~ al~ternativy. Avtory v ravno stepeni obsudatkak zaviswie ot vremeni signaly, tak i signaly izobraeni.Primery iz aktual~nyh issledovatel~skih proektov demonstrirutvozmonosti primeneni i uglublt ponimanie. Otdel~nye glavysoderat zadaqi, kotorye rexats s pomow~ prostyh vspomoga-tel~nyh sredstv. Rexeni k zadaqam ukazany v knige.

Avtory polagat, qto dannoe uqebnoe posobie okaets poleznymkak dl studentov vuzov, tak i dl specialistov v oblasti cifrovoobrabotki signalov.

DOI 10.18452/. . .

© 2019 Humboldt-Universität zu BerlinInstitut für InformatikUnter den Linden 6D-10099 Berlin / GermanyAlle Rechte vorbehaltenhttps://www2.informatik.hu-berlin.de/sv/Lektorat: Die AutorenBereitstellung: Open-Access-Publikationsserver der Humboldt-Universität zu Berlinhttps://edoc.hu-berlin.deSatz: Die Autoren

Oglavlenie

1 Vvedenie 9

2 Signaly i sistemy 132.1 Signaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Opredeleni i primery . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Vanye signaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Sistemy obrabotki signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Teorema otsqetov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Cep~ obrabotki signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Datqiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.3 Polosovye fil~try . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.4 Pervoe sqityvawee ustrostvo . . . . . . . . . . 442.4.5 Analogo-cifrovye preobrazovateli . . . . . . . . 462.4.6 Vyqislitel~nye maxiny . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.7 Cifro-analogovye preobrazovateli . . . . . . . . 552.4.8 Vtoroe sqityvawee ustrostvo . . . . . . . . . . 572.4.9 Fil~try rekonstrukcii . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.10 Aktatory – ispolnitel~nye mehanizmy . . . . . 60

2.5 Zadaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Instrumenty vremenno i prostranstvenno oblasti 693.1 Statistika signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.1 Sluqanye processy i veliqiny . . . . . . . . . . 713.1.2 Odnomerna sluqana veliqina . . . . . . . . . . 723.1.3 Mnogomerna sluqana veliqina . . . . . . . . . . 84

3.2 Korrelci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3 Svertka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.4 Metod glavnyh komponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.5 Rangovye operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.6 Porogovye operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.7 Fil~traci signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.8 Approksimaci signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.8.1 Metod naimen~xih kvadratov . . . . . . . . . . . . 131

3

4 OGLAVLENIE

3.8.2 Ortogonal~nost~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.8.3 Ortogonal~nye funkcional~nye sistemy . . . . . 136

3.9 Zadaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4 Instrumenty oblasti spektra 1594.1 Razloeni v rd po ortogonal~nym funkcim . . . . . . 161

4.1.1 Razloenie v rd Fur~e . . . . . . . . . . . . . . . 1614.1.2 Razloenie v rd Uolxa . . . . . . . . . . . . . . . 1684.1.3 Obobwennoe razloenie v rd . . . . . . . . . . . . 171

4.2 Nepreryvnye preobrazovani . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.3 Diskretnye preobrazovani . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.3.1 Diskretnoe preobrazovanie Fur~e . . . . . . . . . 1854.3.2 Obobwennye matriqnye uravneni . . . . . . . . . 1984.3.3 Drugie sinusoidal~nye bazisnye funkcii . . . . 2004.3.4 Nesinusoidal~nye bazisnye funkcii . . . . . . . . 2054.3.5 Okonna funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.3.6 Bystrye algoritmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.4 Fil~traci v oblasti spektra . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.5 Bystra korrelci i svertka . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.6 Kratkovremennye preobrazovani . . . . . . . . . . . . . . 2274.7 Vevlet-preobrazovanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.8 Zadaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5 Primery primeneni 2535.1 Klassifikaci transportnyh sredstv . . . . . . . . . . . 2535.2 Avtomatizaci izmereni krovosnabeni . . . . . . . . . 2665.3 Klassifikaci aggltinacii . . . . . . . . . . . . . . . . 2725.4 Analiz ptiq~ih golosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

A Rexeni k zadaqam 279

B Tablicy 301

V Spisok uqenyh 303

Literatura 307

Predmetny ukazatel~ 313

Predislovi 5

Predislovie k pervomu nemeckomu izdani

Cifrova obrabotka signalov stala obweprinto samostotel~nooblast~ nauki. Svidetel~stvom tomu vlts mnogoqislennyeuqebnye posobi. Sformirovalis~ bazovye znani, pomogawierexat~ mnogie problemy, svzannye s obrabotko signalov.

V dannom uqebnom posobii metody i priemy obrabotki signalovpredstavleny kak instrumenty. Pri razsnenii materiala osnovnoupor delaets na to, qtoby pokazat~, pri kakih uslovih, kakopostanovke zadaqi, kako imenno instrument primenim. Iz opytaprepodavatel~sko detel~nosti avtory ubedilis~, qto studentam,ne smotr na imewies znani osnov cifrovo obrabotki signalov,telo daets vybor podhodwih instrumentov. Poka otsutstvuetteori sistematiqeskogo vybora i kombinacii metodov, sootvet-stvuwih probleme, kady novy sluqa – predmet obxirnyhrazrabotok. K soaleni, v mnogoqislennyh programmnyh pake-tah instrumenty obrabotki signalov ispol~zuts bez ukazanina uslovi primeneni i sobldaemye kraevye uslovi. Vsled-stvie togo vozrastaet opasnost~ bezdumnogo i nepravil~nogo ihispol~zovani. Potomu cel~ prepodavani danno disciplinyvlets oznakomlenie studentov s osnovnymi metodami i tehni-qeskimi priemami cifrovo obrabotki signalov. Student dolenimet~ obwee predstavlenie o sposobah obrabotki i preobrazovaniinformacionnyh dannyh v sovremennyh informacionnyh sistemah.Pri izloenii materiala knigi v otdel~nyh sluqah soznatel~nobyli opuweny dokazatel~stva i vyvody, a v sootvetstvuwih mestahprivedeny ssylki na literaturu, v kotoro qitatel~, pri neobhodi-mosti, moet nati bolee podrobnye svedeni po dannomu voprosu.

Kniga sostoit iz pti glav. Posle vvedeni predmetom izuqenivo vtoro glave vlts sami signaly i sistemy obrabotki sig-nalov. Opredelenie vanyh ponti i izuqenie svostv sistemobrabotki signalov vlts neobhodimym usloviem dl ponimaniposleduwih glav. V tret~e i qetverto glavah obsudatsneposredstvenno instrumenty obrabotki signalov. Oni razdeleny nadve kategorii: instrumenty vremenno i prostranstvenno oblasti iinstrumenty oblasti spektra. Tret~ glava posvwena instrumentamvremenno i prostranstvenno oblasti, poskol~ku instrumenty mogutbyt~ ispol~zovany kak dl obrabotki teh signalov, kotorye zavistot vremeni, tak i drugih, kotorye zavist ot mesta v prostranstve,t.e. izobraeni. Teoretiqeskie svedeni soprovodats mno-goqislennymi primerami. To e samoe kasaets i qetverto glavy.Odno- i dvumernye preobrazovani privodt k razliqnym odno- idvumernym oblastm spektra, kotorye otkryvat novye vozmonostiobrabotki signalov. Soderanie glav vzaimosvzano, to znaqit, qto

6 Predislovi

bez proqteni tret~e glavy pont~ qetvertu oqen~ slono.

Dl vyrabotki navyka primeneni opisyvaemyh instrumentovobrabotki signalov predloeny zadaqi, kotorye v osnovnom monorexit~ pri pomowi lista bumagi i karandaxa, hot v nekotoryhsluqah neobhodimo ispol~zovanie i algebraiqesko programmy.Pri tom bol~xoe znaqenie pridaets vypolneni grafiqeskihizobraeni, t.k. ih obsudenie i interpretaci qasto pomogaeti zakreplet znani. Tot, kogo ne pugat trudnosti pri rexeniipredlagaemyh zadaq, budet voznagraden ponimaniem vzaimosvzi,kotora, vozmono, ne mogla byt~ osoznana pri izuqenii odnoteorii.

V posledne, pto glave, na osnove avtorskih issledovani de-monstriruts primery ispol~zovani instrumentov obrabotkisignalov pri rexenii praktiqeskih zadaq.

V osnovu knigi poloen mnogoletni opyt prepodavani v Berlinskomuniversitete imeni Gumbol~dta. Lekcii, seminary i laboratornyeraboty po cifrovo obrabotke signalov posewali studenty s raz-liqnym urovnem znani po lektrotehnike i informatike. Podhodstudentov k problemam obrabotki signalov byl soverxenno razny.Potomu didaktiqeskie materialy zanti neodnokratno perede-lyvalis~. Avtory polagat, qto dannoe uqebnoe posobie okaetspoleznym kak dl studentov vuzov, tak i dl specialistov v oblasticifrovo obrabotki signalov.

Dl teh, kto iwet dopolnitel~nu literaturu, my rekomenduemknigu «Spravoqnik po matematike» Bronxtena [7], kotora vletsneotemlemym vspomogatel~nym sredstvom mnogih pokoleni stu-dentov. Take dl samostotel~nyh upraneni horoxo podhodtalgebraiqeskie programmy Mathcadili MATLAB .

Pri napisanii knigi nas podderivali kollegi i studenty. Myhotim vyrazit~ ogromnu blagodarnost~ za okazannu pomow~.Osoba priznatel~nost~ studentke Anne Vegerih za izgotovleniemnogoqislennyh illstraci, studentu Raneru Xnabel, koto-ry sdelal vse neobhodimye rasqety, a take studentu RomanuBlaxeku, kotory pomogal nam ne tol~ko znanimi programmy LATEX.My blagodarim kolleg: Sabinu Dzivix, Manfreda Gntera, KarlaHauptfogel, Uve Knauera, Tomasa Morgenxterna i Franka Vinkleraza podderku, kritiku i praktiqesku pomow~.

A take my hotim poblagodarit~ gospou doktora Izabel~ Xnader,kotora buduqi otvetstvennym redaktorom Pearson Education Deutschlandvsqeski sposobstvovala prodvieni dannogo proekta.

Predislovi 7

My elaem qitatelm uspehov v izuqenii instrumentov obrabot-ki signalov, kotorye polnost~ raskrot vse vozmonosti ihispol~zovani. My nadeems, qto tvorqeskoe rassmotrenie osnovcifrovo obrabotki signalov dostavit vam nemalo udovol~stvi.

Berlin-Adlershof, il~ 2004 g.Beate Meffert, Olaf Hohmut

Predislovie k vtoromu nemeckomu izdani

Dl vtorogo izdani byl proveden kritiqeski prosmotr knigi. Pritom req~ xla v pervu oqered~ o predloenih po poleznym dopol-nenim s didaktiqesko toqki zreni. K takim predloenim ot-nosits, naprimer, bolee posledovatel~noe ispol~zovanie otliqnyhdrug ot druga ponti amplituda i mgnovennoe znaqenie. Praviloobrazovani obwih linenyh «qirikawih» signalov pri pomowisinusoidal~nogo signala kak qastny sluqa mono nati v qas-ti 2.1. Peresmotr qasti 3.1 i nova sistematika veliqin mery bylitake vklqeny v novoe izdanie. Sdvig ishodno toqki otsqeta dlnerekursivnyh cifrovyh fil~trov s simmetriqnymi kofficientami(qast~ 3.7), s cel~ poluqeni destvitel~no peredatoqno funkcii,byl dostignut putem primeneni pervo teoremy sdviga preobrazova-ni Fur~e. V qasti 3.8.3 seiqas mono nati pravilo obrazovani dlnepreryvnyh funkci Uolxa. V qetverto glave ukazany uravnenidl nahodeni ortogonal~nyh matric Haara. Dl togo byl is-pol~zovan operator tenzornogo proizvedeni, kotory byl ue vvedenranee dl matric Uolxa. Po didaktiqeskim priqinam dl diskretnyhpreobrazovani s nesinusoidal~nymi bazisnymi funkcimi bylo ot-del~no ukazano, kogda razmer matricy dolen byt~ stepen~ dvoki.Ostal~nye dopolneni mono nati na stranice oxibok i opeqatok:

https://www2.informatik.hu-berlin.de/~hochmuth/w7065/err7065.shtml

Take bylo issledovano al~ternativnoe gruppirovanie metodov.Nardu s prosleivaemymi v knige sistematizacimi po metodam vovremenno, prostranstvenno i qastotno oblasti vozmony takei klassifikacii po razmernosti signalov, koliqestvu signal~nyhkanalov ili elaemym ffektam. tim sistematizacim otdaetspredpoqtenie v proqe special~no literature. Dl garmonii medulekcie, zadaqami i uqebnikom bylo vse e sohraneno gruppirovaniemetodov, prosleivaemoe ue v pervom izdanii. Osobu blagodar-nost~ my vyraaem studentu nriko Ma, kotory okazyval nampomow~ svoimi znanimi programmy MATLAB .

8 Predislovi

Berlin-Adlershof, nvar~ 2011 g.Beate Meffert, Olaf Hohmut

Predislovie k pervomu russkomu izdani

V teqenii xesti poslednih let my rabotaem v razliqnyh kursahpo obrabotke signalov s nemeckim izdaniem to knigi. Za tovrem, prede vsego studentami, byli zameqeny oxibki, sdelanypredloeni o popravkah i dany sovety po uluqxenim. My hotimpoblagodarit~ tih studentov i rady, qto vmeste s russkim izdaniemmy imeli vozmonost~ vklqit~ ti popravki i predloeni. Osobapriznatel~nost~ take avtoram perevoda studentam Galine Bezel~i Vadimu Baerbahu. Osobu blagodarnost~ my vyraaem studentkeSvetlane Klause, kotora pisala materialy dl prepodovatele:

https://www2.informatik.hu-berlin.de/~hochmuth/r5516/

My elaem, qtoby take i russkie qitateli posqitali uqebnikpoleznym i pouqitel~nym.

Berlin-Adlershof, 3 aprel 2019 g.Beate Meffert, Olaf Hohmut

Glava 1

Vvedenie

Signaly vlts material~nymi nositelmi informacii. Sig-nal izobraeni, poluqenny so sputnika Meteosat, informiruetnas, k primeru, o nahodenii zon nizkogo davleni v Central~noEvrope. Posredstvom reqevogo signala radiosvzi my uznaem dlinuprobki na doroge. Glaz i uho qeloveka prinimat ti optiqeskie iakustiqeskie signaly. Zatem po nervu, kak po provodu, «soobwenie»dostavlets v opredelenny otdel mozga, dela vozmonym printierexeni: predskazanna pogoda opredelet odedu, dlina probki– vybor marxruta. Qelovek take vlets istoqnikom signalov.Req~ – to akustiqeski signal, kotory s pomow~ mikrofona idrugih tehniqeskih sredstv moet vosprinimat~s sluxatelmi i nadal~nem rasstonii. Ves~ ivotny mir take kontaktiruet posred-stvom signalov. Tak, naprimer, u ptic penie samca, prednaznaqennoedl oboznaqeni territorii, – to akustiqeski signal so svedeni-mi dl sorodiqe. I vse e, ne tol~ko ivye suwestva posylat iprinimat signaly. Maxiny take posredstvom signalov poluqatinformaci, neobhodimu dl opredeleni ih dal~nexih destvi.

Predmetom obrabotki signalov vlets izvleqenie iz signala, povozmonosti, s malymi zatratami, to qasti informacii, kotoravana dl qeloveka ili maxiny v opredelenny promeutok vremeniili v opredelennom meste, a take obrabotka signala, hranenie ivozmonost~ rasporat~s im vnov~. Raznoobrazie signalov, sistemdl ih peredaqi i obrabotki, rastuwie zaprosy lde sposobstvutrazviti novyh metodov. Cifrova obrabotka signalov znaqitel~nosposobstvovala soverxenstvovani teorii i rasxireni vozmonos-te primeneni. to stalo vozmonym blagodar uspeham lektronikii vyqislitel~no tehniki. V nastowi moment k cifrovo obrabotkesignalov otnosits, s odno storony, podgotovka informacii dlperedaqi iz mesta vozniknoveni k mestu elaemogo izvleqeni iliobrabotki informacii. S drugo storony – sokrawenie informacii

9

10 GLAVA 1. VVEDENIE

do sootvetstvenno relevantnyh qaste, preobrazovanie informacii vlegko interpretiruemu dl lde formu.Nardu s inenernymi naukami take i drugie discipliny uqast-vut v razvitii teorii obrabotki signalov. K nim otnosts,naprimer, nauka processa poznani, fiziologi i psihologi vospri-ti, nerobiologi.

Soderanie discipliny obrabotka signalov, vopreki ee obemu, mo-no obobwit~ neskol~kimi slovami:

Obrabotka signalov zanimaets razvitiem i realizaciemetodov i tehniqeskih priemov dl izvleqeni, obrabotkii analiza informacii. Signal, kak nositel~ informacii,i sistemy, obrabatyvawie signaly, – osnovnye predmetydanno discipliny.

Metody i procedury obrabotki signalov proishodt iz matematikii inenernyh nauk. Matematika predlagaet rd metodov, odnako,qasto bez praktiqeskogo primeneni. Potomu teori obrabotkisignalov dolna byt~ svzuwim zvenom medu matematiqeskimimetodami i ih tehniqeskim primeneniem i prede vsego izuqat~ ihvlinie na svostva signala. Inenernye nauki baziruts tradi-cionno na drugo metodike raboty. Pri proekte ili modelirovaniisistem, obrabatyvawih signaly, na pervom meste stot prakti-qeskie zadaqi. U matematika perviqny vopros: «Kak?», a inenerdumaet skoree pragmatiqno i stavit vopros: «Dl qego?». Potomuispol~zovanie matematiqeskogo instrumenta naprmu svzano selaemym kaqestvom sistemy. Primerom vzaimodestvi matematikii inenernyh nauk sluit sistema ortogonal~nyh funkci, ko-tora tol~ko blagodar ineneram naxla dorogu iz matematikiv tehniqeskoe primenenie, qto povleklo za sobo vozniknovenienovyh postanovok voprosa dl matematiki. Sleduwi primer –preobrazovanie Fur~e, kotoroe, s odno storony, vlets vanosostavno qast~ operatornogo isqisleni, i, s drugo storony,igraet vydawus rol~ v osnovnyh zakonah tehniki svzi.

Kak v inenernyh disciplinah, tak i pri obrabotke signalov,central~na problema sostoit v nahodenii kompromissa otnosi-tel~no sobldaemyh kraevyh uslovi. Oni mogut byt~ prakti-qesko prirody, naprimer, imewas v rasporenii apparatura,neobhodima skorost~ raboty, a take elaemoe sootnoxeni rezul~-tatov i zatrat. Odnako oni mogut otnosit~s i k obrabatyvaemomusignalu. Esli neobhodimo naibolee soverxennoe izvleqenie signala,to osoboe vnimanie nuno udelit~ vyboru datqikov. Esli peredaqasignala dolna proishodit~ svobodno, bez iskaeni i byt~ us-toqiva k pomeham, to neobhodimo sootvetstvenno sproektirovat~istoqnik soobweni, priemnik i lini svzi. Dl kadogo zadani

11

obrabotki signalov my dolny opredelit~ kriterii optimizacii inati rexenie.

Celi, kotorye my hotim dostiq~ pri obrabotke signalov,destvitel~no razliqny. to zavisit ne v posledn oqered~ot togo, qto elaemye ffekty opredelts to nauqno dis-ciplino, kotora pol~zuets obrabotko signalov. Iz xirokogospektra primeneni privedem neskol~ko primerov: distancionnoezondirovanie Zemli na osnove ocenki snimkov so sputnika, kologi-qeski monitoring, vizual~na inspekci v kontrole kaqestva,obrabotka reqevyh signalov i kontrol~ biosignalov v otdeleniiintensivno terapii.Vopreki raznym specializirovannym trebovanim k obrabotkesignalov mono nati suwestvennye shodstva. Oni pozvoltsistematizirovat~ celi v sleduwie tri gruppy:

• Obrabotka signalov vydelet naibolee informativnye priznakiiz imewegos signala. ti svedeni prevrawats v parame-try, kotorye harakterizut process (ili e sostonie).

• Obrabotka signalov uluqxaet kaqestvo signala. Pri tom pon-tie «uluqxenie» vklqaet v seb rd processov, kotorye mogutustrant~ pomehi, podqerkivat~ relevantnye i podavlt~ irre-levantnye sobyti, podgotavlivat~ signal takim obrazom, qtobyqelovek ili maxina mogli ego luqxe interpretirovat~.

• Obrabotka signalov sluit dl sati signala. Oidanipol~zovatele cifrovyh sistem otnositel~no skorosti peredaqii obema pamti ne mogut byt~ opravdany bez ffektivnyhmetodov sati.

Signaly, kak pravilo, zavist ot mesta ili ot vremeni ih voznik-noveni. Esli pri opisanii signalov ispol~zuets vremenna iliprostranstvenna funkci, to podrazumevaets opisanie oblastioriginala. Esli rassmatrivaets sostav signalov iz razliqnyhbazisnyh signalov, to to vedet k opisani v oblasti spektra.Opisanie signalov v oblasti originala ili oblasti spektraprincipial~no ravnocenno, no po-raznomu celesoobrazno. Potomuinstrumenty obrabotki signalov podrazdelts v danno knige nainstrumenty oblasti originala i instrumenty oblasti spektra. Kinstrumentam oblasti spektra otnosts i takie, kotorye preobrazu-t signal iz odno oblasti v drugu. Klassiqeski instrumenttakogo preobrazovani – preobrazovanie Fur~e. S pomow nego sig-naly, zavisimye ot vremeni, preobrazuts v zavisimye ot qastoty.Nardu s opisaniem signala v oblasti originala ili v oblasti spek-tra odnovremenno ispol~zuets ego harakterizaci v obeih oblasth.Hot ti metody izvestny ue polveka, no tol~ko segodn stalovozmonym, blagodar mownosti vyqislitel~no tehniki, primenit~

12 GLAVA 1. VVEDENIE

spektral~no-vremenno analiz.

V sleduwih glavah opisany instrumenty, poleznye dl obrabotkisignalov, a take ffektivnost~ ih primeneni.

Oboznaqeni: V sleduwe tablice 1.1 privedeny uslovnye obo-znaqeni, kotorye qasto ispol~zuts v knige.

t nepreryvnoe vremx nepreryvna koordinata po osi x toqki prostranstvay nepreryvna koordinata po osi y toqki prostranstvaf(t) nepreryvna funkci, nepreryvny vremenno signalf(x, y) nepreryvna prostranstvenna funkci, nepreryvny

prostranstvenny signaltn diskretny moment vremeni, tn = n · ∆t = n · TA rav-

noudalennye, diskretnye momenty vremeni, ∆t ili TA

interval diskretizacii (n ∈ Z)

xz diskretna koordinata po osi x toqki prostranstvays diskretna koordinata po osi y toqki prostranstva

xz = z ·∆x i ys = s ·∆y ravnoudalennye, diskretnye toq-ki, ∆x i ∆y intervaly diskretizacii po napravleniosi x ili y (z, s ∈ Z)

fn diskretna posledovatel~nost~ signala s (beskoneqnomnogimi) lementami fn

fn = f(tn) znaqenie otsqeta v moment vremeni tn

v vektor-stolbec, vT otnoswis k nemu vektor-stroka|v| modul~ vektora v

vi lement vektora v pozicii i

M matrica, MT transponirovanna matrica|M | opredelitel~ matricy M

Mz,s lement matricy M v pozicii z, s (stroka, stolbec)j mnima edinica, pri tom j2 = −1

Tablica 1.1: Oboznaqeni v formulah

Dl oboznaqeni preobrazovani Fur~e ispol~zuets simvol –• , dlobratnogo preobrazovani Fur~e simvol •– .

Glava 2

Signaly i sistemy

Qtoby pont~ vs slonost~ obrabotki signalov, neobhodimo dlnaqala dat~ opredelenie signala (qast~ 2.1) i razsnit~ samye va-nye svostva signalo-obrabatyvawih sistem (qast~ 2.2). Qast~ 2.3posvwena teoreme otsqetov, kotora vlets osnovo cifrovoobrabotki signalov. Ona imeet fundamental~noe znaqenie po priqinetogo, qto ona nazyvaet te uslovi, pri kotoryh diskretizirovannyvremenno signal soderit toqno taku e informaci kak i knemu prinadleawi nepreryvny vremenno signal. V posledneqasti 2.4 danno glavy predstavlena model~ obrabotki signalov vvide cepi.

2.1 Signaly

2.1.1 Opredeleni i primery

Signal igraet, bez somneni, glavnu rol~ pri obrabotke signa-lov. Potomu pervonaqal~no neobhodimo rassmotret~ ego opredele-nie. V literature imeets mnoestvo opredeleni ponti «signal».Neskol~ko primerov:

«Signaly predstavlt sobo material~noe voplowenieinformacii. Soderawees v nih koliqestvo informaciipredstavleno hodom ili izmeneniem parametrov, nesuwihinformaci. Fiziqeska veliqina, s pomow~ kotoroperedaets signal, nazyvaets nositelem signala.» [58]

«Signal mono opredelit~ kak funkci, kotora soderitinformaci o sostonii ili povedenii fiziqesko siste-my. . . .Informaci soderits v opredelennom obrazce iz-menwihs form.» [38]

13

14 GLAVA 2. SIGNALY I SISTEMY

«A signal is defined as any physical quantity that varies with time, space,or any other independent variable or variables. Mathematically, we de-scribe a signal as a function of one or more independent variables.» [42]

A signal is «a variation of a physical quantity used to represent data.»[26]

Signal – to «fiziqeski fenomen, naliqie ili izmeneniekotorogo prinimaets kak predstavlenie informacii.» [13]

Signal – to «vidimoe, slyximoe i oszaemoe pokazanie,kotoroe peredaet svedeni.» [14]

Signal – to «fiziqeskoe vlenie ili harakterna veli-qina, vremennoe izmenenie kotoro predstavlet informa-ci.» [15]

«Signal – to fiziqeska veliqina, izmenwas vo vre-meni i v prostranstve, parametry kotoro mogut pred-stavlt~ soobweni.» [28]

Dat~ opredelenie signalu ne tak u i prosto. Poslednee opredele-nie, v otliqie ot drugih, ukazyvaet na to, qto suwestvut i takiesignaly, kotorye ne soderat soobweni. Esli my podrazumevaemsoobwenie kak peredavaemu informaci, to stanovits otqetli-vo svz~ medu signalom i kommunikacie ili soobweniem (lat.:communicare, soobwat~). Qtoby qto-to soobwit~, neobhodim otpravi-tel~, sozdawi soobwenie, kotoroe dolno byt~ peredano. V drugommeste i v drugoe vrem soobwenie dostigaet poluqatel, kotoromu onoprednaznaqeno. Medu peredatqikom i priemnikom nahodits kanalsvzi. Dl peredaqi informacii nuen signal v vide fiziqeskogonositel. Kak, naprimer, tok, naprenie, lektromagnitnye volny,davlenie zvuka ili rkost~. Informaci kodiruets v parametrahtih nositele. Pri printii informacii priemnikom suwestvu-wa neuverennost~ dolna ustrant~s. to sluqaets togda, kogdaizmeneni parametrov fiziqeskogo nositel priemniku izvestny nepolnost~. Tol~ko togda on uznaet neqto novoe, izvlekaet svedeni.Qem men~xe informaci predskazuema, tem bol~xe informacionnapribyl~. Takim obrazom, informaci imeet obwee i s predskazaniemsobyti.Naxa okruawa sreda predlagaet dostatoqnoe koliqestvoprimerov fiziqeskih veliqin, izmeneni parametrov kotoryhmogut soderat~ svedeni:

• lektriqeskoe naprenie (ris. 2.1)• davlenie zvuka (ris. 2.2)• intensivnost~ sveta (ris. 2.4)

2.1. SIGNALY 15

u[mV]

1000

0

10.5 t[s]

Ris. 2.1: lektrokardiogramma

Gau de a mus i gi tur

p[Pa]

t[s]

- -- - -

10.5

Ris. 2.2: Reqevo signal «Gaudeamus igitur»

Vremennye i prostranstvennye izmeneni proishodt iz obwegomatematiqeskogo predstavleni signala kak obekta vremeni i pro-stranstva:

f (x, y, z, t)

Pri tom x, y i z – tri prostranstvennye koordinaty i t – vremenna.Odnako signaly mogut imet~ i bolee nizku razmernost~. Mernareka (ris. 2.3) – to primer signala tol~ko s odno prostranstvennokoordinato f(x).

Ris. 2.3: Merna reka

Pri signale maka predstavlet interes vrem sveqeni f(t). Izo-braenny mak (ris. 2.4) imeet oficial~ny opoznavatel~ny znakBlz. 3,8 s, t.e. req~ idet o svetovom signale s otdel~nymi vspyxkami sintervalom 3,8 s. Krome togo, vano informacie, vozmono, vlet-s mesto (x, y, z) nahodeni maka. Ego geografiqeskie koordinaty –


13°56′E i 54°15′N, vysota svetovogo maka 48 m. Esli beruts vo vni-manie koordinaty izobraeni, to req~ idet o rkosti f(x, y), zavis-we ot mesta v prostranstve.V stile izloeni to knigi, esli inoe ne ogovoreno special~no, pododnomernymi signalami my ponimaem signaly, zaviswie ot vremeni,pod dvumernymi signalami vsegda zaviswie ot mesta v prostranstve.

Ris. 2.4: Mak na Grafsval~der Oe

Teper~ my moem sformulirovat~ opredelenie signala, kotoroe pri-blieno k poslednemu iz ranee ukazannyh:

Signal – to v obwem sluqae obekt vremeni i prostran-stva. On svzan s fiziqeskim nositelem. Vo vremennomi/ili prostranstvennom izmenenii ego parametrov moetsoderat~s informaci.

Signaly, vstreqawies v okruawe srede, raznye po svoeprirode i qasto ne klassificiruemy. Takim obrazom, k primeru,fiziqeska veliqina moet byt~ kriteriem razliqi ili e voproso tom, predstavlen li signal v analogovo ili cifrovo forme.Nadenoe sredstvo dl preodoleni to slonosti – sostavlenieal~ternativnyh par, kotorye v nekotoro stepeni rexat potreb-nost~ sistematizacii. Dalee v proizvol~nom pordke privedenoneskol~ko primerov.

lektriqeskie i nelektriqeskie signaly: to razliqie vano,t.k. signaly obrabatyvats segodn (poqti) isklqitel~no vlektriqesko forme (naprimer, pri pomowi komp~tera) i, sledova-tel~no, nelektriqeskie signaly dolny snaqala preobrazovyvat~s

2.1. SIGNALY 17

v lektriqeskie podhodwimi datqikami.

Nepreryvnye i preryvnye signaly: V principe, kak nezavisimaperemenna (vrem ili mesto, kak oblast~ opredeleni), tak i zavi-sima peremenna (amplituda signala, kak oblast~ znaqeni) moetbyt~ nepreryvno ili preryvno.Esli oblast~ opredeleni nepreryvna, to req~ idet o nepreryvnyhvo vremeni ili v prostranstve signalah, esli oblast~ opredelenipreryvna (diskretna), to signaly vlts diskretnymi vovremeni ili v prostranstve. Primerom nepreryvnogo vo vremenisignala sluit proiznesennoe slovo (ris. 2.2).

Periodiqeskie i neperiodiqeskie signaly: V periodiqeskih sig-nalah osnovno period povtorets beskoneqno; tipiqny primer –funkci sinus f(t) = sin(ωt). V ee argumente stoit proizvedenie vre-meni t i krugovo qastoty ω. Ona proporcional~na qastote f :

ω = 2π · f (2.1)

Primerom neperiodiqeskogo signala sluit predstavlenna naris. 2.5 zatuhawa funkci sinus f(t) = exp(−t) · sin(ωt).

t42

-1

1

f(t)

t

-1

1

2 4

f(t)

Ris. 2.5: Funkci sinus f(t) = sin(ωt) i zatuhawa funkci sinusf(t) = exp(−t) · sin(ωt)

Garmoniqeskie i negarmoniqeskie signaly: Pod garmoniqeskimisignalami obedeneny vse sinusoidal~nye signaly, harakterizuemyeqastoto (kolebani za edinicu vremeni), amplitudo, periodomi fazo. Pod negarmoniqeskimi signalami my ponimaem v pervuoqered~ signaly prmougol~no formy. Dl ih opisani trebutsdrugie parametry (qast~ 3.8.3). Sinonimom ponti negarmoniqeskizdes~ vlets nesinusoidal~ny.

nergetiqeskie i mownostnye signaly: Razsnim opredelenie tihsignalov na primere diskretnyh vo vremeni signalov fn. nergi E


diskretnogo vremennogo signala opredelena dl obwego sluqa kom-pleksnogo signala kak summa kvadratov module ego otsqetov fn:

E =

∞∑

n=−∞|fn|2 (2.2)

Esli signal zatuhaet i imeet tem samym koneqnu nergi, to signalfn nazyvaets nergetiqeskim signalom. Sinc-funkci – primer ner-getiqeskogo signala fn (uravnenie 2.13).Esli signal beskoneqen, to ego nergi ravna beskoneqnosti. V tomsluqae nergi ograniqivat intervalom vremeni. ta veliqinasootvetstvuet mownosti P :

P = limN→∞

1

2N + 1

N∑

n=−N

∣∣fn

2∣∣ (2.3)

Signaly s koneqno mownost~ nazyvats mownostnymi signalami.K nim otnosts periodiqeskie signaly, a take garmoniqeskiekolebani.

Stacionarnye i nestacionarnye signaly: Stacionarnye signaly –to signaly, statistiqeskie svostva kotoryh ne zavist ot vremeni.Esli signaly prinimats za stacionarnye, to v bol~xinstvesluqaev ih obrabotka znaqitel~no uprowaets.Mnogie metody obrabotki signalov predpolagat stacionarnost~signalov, kotora podrazdelets na sil~nu i slabu. Pri sil~nostacionarnosti funkci raspredeleni ne zavisima ot vremeni, prislabo lix~ matematiqeskoe oidanie i dispersi (pri neobhodi-mosti kovariaci) ne zavist ot vremeni (uravnenie 3.1).

Poleznye i mexawie signaly: Polezny signal soderit interesu-wu nas informaci; mexawi signal, naprotiv, neelatel~naveliqina, kotora zatrudnet pravil~noe raspoznavanie parametrov,soderawih informaci. Tipiqny mexawi signal – xum. Onmoet po-raznomu vozdestvovat~ na polezny signal. Naiboleeqastye predpoloeni – additivnoe ili mul~tiplikativnoe voz-destvie.

Stohastiqeskie i nestohastiqeskie signaly: Pontie «stohastiqes-ki» proizoxlo ot greqeskogo στoχoς (stóchos, sm. ris. 2.6) i oz-naqaet «umewi ugadyvat~». Stohastiqeski (sluqany) signalv lbo moment vremeni predstavlet sobo sluqanu veliqinu,kotora prinimaet konkretnoe znaqenie s nekotoro verotnost~.Sluqanost~ podleit zakonomernosti, kotora opisyvaets teorieverotnoste. Nestohastiqeskie signaly, nazyvaemye take kak de-terminirovannye, naprotiv, opisyvats funkcimi. Mgnovennye

2.1. SIGNALY 19

znaqeni takogo signala dostoverno izvestny v lbo moment vre-meni, t.e. predskazuemy.Iz togo poloeni vewe mono sdelat~ vanoe zaklqenie, kotoroepovtoret ewe raz vyxeukazannye svostva signala: tol~ko iz nepred-skazuemyh signalov moet byt~ izvleqena informaci.

Ris. 2.6: timologi stóchos(po issledovani R. Xredera)

2.1.2 Vanye signaly

Blagodar otkryti Fur~e, kotoroe utverdaet, qto lbo periodi-qeski signal moet byt~ predstavlen v vide summy ili integralasinusoidal~nyh kolebani, garmoniqeskie signaly imet vanexeeznaqenie dl vseh estestvennyh nauk. Oni podrobno budut opisanyv qasti 3.8.3. Signaly mono take predstavit~ v vide summy iliintegrala impul~snyh funkci ili sinc-funkci, kotorye budutpredstavleny nie. Zatem budut opisany «qirikawie» signaly,ispol~zuemye v osnovnom v kaqestve testovyh signalov.

Funkci Diraka: Funkci Diraka izvestna pod nazvanimi im-pul~sna funkci, del~ta-funkci, δ-funkci. Posle togo, kak v 1930godu ee vvel v praktiku Pol~ Dirak, ona nahodits v tesno svzis, tak nazyvaemym, «belym xumom», signalom, v kotorom vse qasto-ty ravnomerno raspredeleny. Formal~no poluqaets process δ(t), za-visimy ot vremeni:

δ (t) =

∞ dl t = 0

0 dl t 6= 0s

∞∫

−∞

δ (t) dt = 1 (2.4)

Funkci v klassiqeskom predstavlenii ne obladaet dannymi svost-vami, odnako, v 1945 godu Loren Xvarc dal sistematiqeskoe izloe-


nie teorii obobwennyh funkci, kotorye beskoneqno differencirue-my i dat vozmonost~ vypolneni bolee prostyh vyqislitel~nyhoperaci po sravneni s klassiqeskimi funkcimi [54].Del~ta-funkci mono vyvesti razliqnymi sposobami. My hotimzdes~ predstavit~ dva ubeditel~nyh varianta rassmotreni predeladl prmougol~no funkcii i funkcii Gaussa. Vypolnt~ predel~nyperehod neobhodimo takim obrazom, qtoby funkcii stanovilis~vse ue i vyxe. S malen~ko, poloitel~no veliqino ε danaprmougol~na funkci

rε (t) =

1ε dl 0 ≤ t < ε

0 inaqes

∞∫

−∞

rε (t) dt = 1 (2.5)

ili funkci Gaussa (ris. 2.7)

gε (t) =1

ε√

2πexp

[

−1

2

(t

ε

)2]

s

∞∫

−∞

gε (t) dt = 1 (2.6)

Esli obrazovat~ predel dl ε→ 0, to poluqaets:

limε→0

rε (t) = δ (t) i limε→0

gε (t) = δ (t) (2.7)

V oboih sluqah rezul~tatom vlets del~ta-funkci.

0 te

1e

0 e t

g (t)e

r (t)e

12 pe

Ris. 2.7: Obrazovanie del~ta-funkcii putem predel~nogo perehodaprmougol~no funkcii i funkcii Gaussa

Teori obobwennyh funkci trebuet dl f(t) vypolneni otnoxeni

f (t) =

∞∫

−∞

f (τ) · δ (t− τ) dτ (2.8)

Vmeste s tem lbu nepreryvnu vo vremeni funkci f(t) monopredstavit~ del~ta-funkcimi (ris. 2.8).

2.1. SIGNALY 21

0 tτ

f t( )

Ris. 2.8: Obrazovanie proizvol~no funkci f(t) vesovymi del~ta-funkcimi

Pri obrabotke signalov vana take periodiqeska del~ta-funkci(ris. 2.9 b). Esli T – period, to vlets destvitel~nym:

δT (t) =

∞∑

n=−∞δ (t− nT ) (2.9)

n

dn

-1 10

0

1

d (t

t

)

0

1

dT(t

t

... ...

-T T

)

n0 1

......

dn

-1

a) b)

c) d)

Ris. 2.9: a) Del~ta-funkci, b) periodiqeska del~ta-funkci,c) ediniqny impul~s, d) posledovatel~nost~ ediniqnyh impul~sov

Diskretna versi del~ta-funkcii – to ediniqny impul~s δn iliposledovatel~nost~ ediniqnyh impul~sov δn (ris. 2.9 c i d):

δn =

1 dl n = 0

0 inaqe(2.10)

δn =

∞∑

k=−∞δn−k s k ∈ Z (2.11)


Vmeste s tem, analogiqno uravneni 2.8, lbu diskretnu vo vre-meni funkci fn mono predstavit~ kak:

fn =

∞∑

k=−∞fk · δn−k s k ∈ Z (2.12)

Weleva funkci: Vanu rol~ pri obrabotke signalov, predevsego v svzi s teoremo otsqetov, igraet weleva funkci, kardi-nal~ny sinus ili sinc-funkci. Ona nazyvaets take funkcie ot-sqetov, oboznaqaets sokrawenno si (angl.: sinc ot sine cardinal) i imeetformu zatuhawego kolebani (ris. 2.10).

5

si(t)

–10 –5 10

1.0

0.5

0–15 15 t 0

0.5

1.0

–5–10–15 5 10 15 t

si (t)π

Ris. 2.10: Dva opredeleni funkcii otsqetov si(t) i siπ(t)

Obweprintymi vlts sleduwie dva opredeleni:

si (t) =

1 dl t = 0sin (t)t inaqe

s

∞∫

−∞

si (t) dt = π (2.13)

Esli argument prinimaet znaqenie π, to integral raven edinice:

siπ (t) =

1 dl t = 0sin (πt)πt inaqe

s

∞∫

−∞

siπ (t) dt = 1 (2.14)

Ewe v 1593 godu Fransua Vieta opredelil sinc-funkci kak beskoneq-noe proizvedenie funkci kosinus:

si (t) =∞∏

n=1

cos

(t

2n

)

(2.15)

Nazvanie welevo funkcii prixlo iz fiziki. Esli puqok solneqnogosveta prohodit qerez parallel~nye weli, to na krane, raspoloen-nom u protivopolono steny, nabldaets rd qereduwihssvetlyh i temnyh polos. Dannu kartinu mono opisat~ posredstvomwelevo funkcii.

2.1. SIGNALY 23

Qirikawa funkci: Qirikawa funkci vlets ili funkciqirpa qastnym sluqaem funkcii sinus. Funkci sinus izvestna davno,odnako, tol~ko v 1464 godu byla bolee twatel~no rassmotrena Iogan-nom Mllerom Kenigsbergskim1, take funkci sinus dl dopoln-wego do 90° ugla, funkci kosinus. Na issledovanih osnovatelsovremenno trigonometrii baziruets obobwenna matematiqeskaformulirovka funkcii sinus s(t), v kotoro prinimats zavisimaot vremeni amplituda A(t), zavisima ot vremeni krugova qasto-ta ω(t) i postonna sostavlwa s0:

s(t) = A(t) · sin(∫

ω(t) dt

)

+ s0 = A(t) · sin(

2π

∫

f(t) dt

)

+ s0 (2.16)

Vremenna zavisimost~ amplitudy A(t) – baziz dl mnogih modul-ci v radiotehnike, a zdes~ amplituda postonna A(t) = A = const.Vremenna zavisimost~ qastoty f(t) moet opisyvat~s po-raznomu.Nardu s ksponencial~no zavisimost~, v kotoro nudaets ra-diolokacionna tehnika, horoxo podhodit polinom:

f(t) = fn tn + · · ·+ f3 t

3 + f2 t2 + f1 t+ f0 (2.17)

V osobom sluqae lineno vremenno zavisimosti qastoty f(t) = f1t+f0 mono legko vysqitat~ integral:

s(t) = A · sin(

2π

[

f1t2

2+ f0 t+ c

])

+ s0 (2.18)

s(t) = A · sin(π f1 t

2 + 2πf0 t+ ϕ0

)+ s0 (2.19)

Linena vremenna zavisimost~ privodit k qetyrem razliqnym si-nusoidal~nym funkcim:

s(t) =

A · sin (ϕ0) + s0 dl f1 = 0 i f0 = 0

A · sin (2πf0 t+ ϕ0) + s0 dl f1 = 0 i f0 6= 0

A · sin(π f1 t

2 + ϕ0

)+ s0 dl f1 6= 0 i f0 = 0

A · sin(π f1 t

2 + 2πf0 t+ ϕ0

)+ s0 dl f1 6= 0 i f0 6= 0

(2.20)

gde ϕ0 – startovy ugol, f0 – startova qastota i f1 – izmenenieqastoty.

sluqa f1 f0 nazvaniea = 0 = 0 postonny signalb = 0 6= 0 sinusoidal~ny signalv 6= 0 = 0 prosto qirikawi signalg 6= 0 6= 0 qirikawi signal v obwem sluqae

1 lat.: Regiomontanus(take Kenigsbergski)


Sluqa a) trivialen, sluqa b) vedet k sinusoidal~nym signalam spostonno qastoto f0. K nim my obratims bolee podrobno v qas-ti 3.8.3. Sluqai v) i g) dat nam, tak nazyvaemye, qirikawie sig-naly (angl.: chirp signals). Prosto qirikawi signal ispol~zuet-s v qasti 4.3.4. Ris. 2.11 demonstriruet sluqai b) i v). U sinu-soidal~nogo signala amplituda A = 1, postonna qastota f0 = 1 Gc,startovy ugol ϕ0 = π

2 i postonna sostavlwa s0 = 0,5. U prostogoqirikawego signala amplituda A = 2 i izmenenie qastoty f1 = 1 Gc

s ,t.e. qastota vozrastaet so vremenem na 1 Gc v sekundu. Startova qas-tota f0, startovy ugol ϕ0 i postonna sostavlwa s0 ravny nul.

t [s]42

2

2

s t(

t [s]

2

2

s t( )

2 4

)

1

1

0

1

1

01 3 1 3

1f0

s0

A A

Ris. 2.11: Sinusoidal~ny signal s(t) = 1 · sin(2π(1 Gc) t + π2 ) + 0,5 i

qirikawi signal s(t) = 2 · sin(π(1 Gcs ) t2)

2.2 Sistemy obrabotki signalov

Ponti signal i sistema nerazryvny. Kak pokazano na ris. 2.12, sis-tema svzyvaet vhodno signal s vyhodnym signalom. Dl obrabot-ki nepreryvnyh vo vremeni signalov neobhodima analogova sistema;diskretnye vo vremeni signaly, naprotiv, nudats v cifrovo.Analogovu sistemu mono oharakterizovat~ otnoxeniem meduvhodnym i vyhodnym signalom. Dl togo printo sqitat~, qto f(t)nepreryvny vhodno signal i F odnoznaqnoe pravilo, po kotoromusignalu f(t) stavits v sootvetstvie signal g(t):

g (t) = F f (t) (2.21)

Sistema, kotora moet realizovat~ pravilo F , vlets analogo-vo sistemo, t.k. f(t) i g(t) predstavleny v nepreryvno vo vremeniforme.

2.2. SISTEMY OBRABOTKI SIGNALOV 25

àíàëîãîâàÿñèñòåìà

öèôðîâàÿñèñòåìà

f(t) g(t)

f0 f1 f2 f3... g0 g1 g2 g3

...

Ris. 2.12: Nepreryvny vo vremeni signal i analogova sistema,diskretny vo vremeni signal i cifrova sistema

Dl cifrovo obrabotki signalov neobhodima cifrova sistema.to moet byt~, naprimer, komp~ter, cifrovo signal~ny proces-sor ili mikrokontroler. Oharakterizovat~ cifrovu sistemu monotake otnoxeniem medu vhodnym i vyhodnym signalom. Esli f – sig-nal~ny vektor, lementami fn kotorogo vlts otsqety diskretno-go vo vremeni vhodnogo signala, i F – pravilo, po kotoromu vektoruf stavits v sootvetstvie vektor g, lementami gn kotorogo vltsotsqety diskretnogo vo vremeni vyhodnogo signal, to destvitel~nosleduwee:

g = F f (2.22)

Sistema, kotora moet realizovat~ pravilo F , vlets cifrovosistemo, t.k. f i g – diskretnye vo vremeni signaly.Teoretiqeski vaen tot fakt, qto kak v analogovyh, tak i v cifrovyhsistemah, reakci sistemy na opredelennye testovye signaly, taknazyvaemy otklik sistemy, moet ispol~zovat~s neposredstvennopri opisanii sistem. V dal~nexem predstavleny neskol~ko vanyhsvostv, kotorye harakterizut cifrovu sistemu. ti svostvapozvolt, kak i svostva signala, sistematizirovat~ cifrovyesistemy. Dl izuqeni svostv analogovyh sistem, kotorye sootvet-stvut v bol~xinstve svoem cifrovym sistemam, dana ssylka narekomendovannu literaturu [31, 54].

Linenost~: Sistema nazyvaets lineno, esli dl lbyh konstanta i b vypolnets:

F a f1 + b f2 = a F f1+ b F f2 (2.23)

Esli linena operaci F primenets k diskretnomu signalu, to


sleduet:

gn = F fn

= F

∞∑

k=−∞fk δn−k

=∞∑

k=−∞F fk δn−k

=

∞∑

k=−∞fk F δn−k (2.24)

Uravnenie 2.24 svidetel~stvuet o tom, qto linenu operaci Fnuno priment~ na posledovatel~nosti ediniqnyh impul~sov.Linenye sistemy legko poddats opisani. Primerom sluatcifrovye fil~try (sm. qast~ 3.7).Esli dl cifrovyh sistem uravnenie 2.23 ne vypolnets, to req~idet o nelinenyh sistemah. Nelinena sistema ograniqivaet,k primeru, amplitudu vhodnogo signala, sledstviem vlts ne-linenye iskaeni. Krome togo, povedenie sistemy zavisit otvhodno amplitudy. Nesmotr na nedostatki, nelinenye sistemyvygodno ispol~zuts v opredelennyh oblasth. Tak, naprimer,k to gruppe, prede vsego, otnosts rangovye operatory (sm.qast~ 3.5), primenemye pri obrabotke izobraeni.

Invariantnost~ vo vremeni: Esli otnoxenie medu vyhodnym sig-nalom i vhodnym ne zavisit ot vremeni, to sistema nazyvaets in-variantno vo vremeni. Zapazdyvanie na n0 vhodnogo signala vyzy-vaet sootvetstvuwee zapazdyvanie vyhodnogo signala:

gn−n0= F fn−n0

dl n0 > 0 (2.25)

Linenye invariantnye vo vremeni sistemy nazyvat take LIS-sistemami (angl.: linear time-invariant systems, LTI). LIS-sistemy monolegko opisat~ posredstvom otklika sistemy:

• Esli vhodno signal LIS-sistemy vlets ediniqnym im-pul~som δn, to otklik hn nazyvaets impul~snym otklikom sis-temy.

• LIS-sistema reagiruet tol~ko temi qastotami, kotorye imet-s vo vhodnom signale.

• LIS-sistema reagiruet na garmoniqeski vhodno signal takime garmoniqeskim vyhodnym signalom to e qastoty.

V sluqae kompleksno ksponencial~no funkcii fn = exp (jωtn) kak

2.3. TEOREMA OTSQETOV 27

vhodno veliqiny sleduet vyhodno signal:

gn =

∞∑

k=−∞hk fn−k

=∞∑

k=−∞hk ejω(tn−tk)

= ejωtn∞∑

k=−∞hk e−jωtk

= ejωtn H (ω) (2.26)

Funkci

H (ω) =∞∑

k=−∞hk e−jωtk (2.27)

nazyvaets qastotnym otklikom LIS-sistemy i vlets kompleks-no funkcie destvitel~no peremenno ω.

Ustoqivost~: Esli impul~sny otklik hn otliqen ot nul tol~kodl koneqnogo qisla n, to LIS-sistema nazyvaets KIH-sistemo(angl.: finite impulse response, FIR), v protivnom sluqae BIH-sistemo(angl.: infinite impulse response, IIR). KIH-sistema – ustoqiva sistema,t.k. reakci na ograniqenny vhodno signal take ograniqena.

Kauzal~nost~: Diskretna LIS-sistema, dl kotoro vypolnetsprincip kauzal~nosti (priqinnosti), t.e. vyhod tako sistemy vkako-to opredelenny moment vremeni n0 zavisit tol~ko ot znaqenivhodnogo signala fn v momenty vremeni n ≤ n0, nazyvaets kauzal~no.Taka sistema nazyvaets take fiziqeski realizuemo.

2.3 Teorema otsqetov

V nastowee vrem obrabotka signalov vlets preimuwestven-no cifrovo, kotora osuwestvlets cifrovymi sistemami. Izanalogovogo signala mono poluqit~ cifrovo, t.e. signal sdiskretnym vremenem, putem (kak pravilo) ravnomernogo otsqetaznaqeni amplitudy analogovogo signala v opredelennye momentyvremeni TA, 2TA . . . nTA. V svzi s tim voznikaet vopros, mono livosstanovit~ ishodny signal po ego cifrovym znaqenim. Ilisformuliruem inaqe: imeets li dl otsqeta dlina intervala TA,neravna nul, pri kotoro cifrovo signal soderit tu e in-formaci, qto i analogovy? Otvet na tot vopros – «net», esliniqego ne izvestno o svostvah analogovogo signala f(t), i dl f(t)


nevozmono sdelat~ kakie-libo ograniqeni. Esli e izvestno, qtoopredelennye svostva signala obnaruivat ograniqeni, to monoopredelit~ znaqenie TA, kotoroe bol~xe qem nul~. Takoe ograniqeniekasaets, naprimer, qastotnogo soderani analogovogo signala. To,qto to ne znaqitel~noe ograniqenie, vlets obosnovannym, s odnostorony tem, qto tehniqeskie sistemy sbora signalov obladat i beztogo verhne predel~no qastoto. S drugo storony, to qasto leitv prirode processa, sozdawego signal, qto qastotnye komponentyne vstreqats vyxe opredelennogo predela. V sleduwe tabliceprivedeny primery predel~nyh qastot izbrannyh signalov. Osoboevnimanie nuno obratit~ na to, qto pri verhnih predel~nyh qastotahpeni i muzykal~nyh instrumentov ukazany tol~ko osnovnye tona, aobertony net.

biosignaly qastoty [Gc]lektrokardiogramma 0 . . . 150lektroncefalogramma 0 . . . 70krivye pul~sa 0 . . . 30req~ 60 . . . 12 kpenie (enskoe) 162,9 . . . 1397 zvuki e . . . f3

2093 rna Zak c4

penie (muskoe) 81,5 . . . 523 zvuki E . . . c2

55 Ivan Rebrov 1A

golosa ivotnyh 100 . . . 200 k del~fin10 . . . 40 sini kit

15 k . . . 150 k letuqa myx~

signaly okruawe sredy [Gc]xum vetra 20 . . . 1 ksesmiqeskie xumy 0,1 . . . 10kolebani atmosfernogo davleni 0 . . . 1zemletrsenie 0,01 . . . 10xumy transportnyh sredstv 20 . . . 1 k nizka skorost~

100 . . . 10 k sredna skorost~1 k . . . 20 k vysoka skorost~

2.3. TEOREMA OTSQETOV 29

muzykal~nye instrumenty [Gc]kontrafagot 29 . . . 330 zvuki 2B . . . e1

fortepiano 33 . . . 4186 zvuki 1C . . . c5

klavesin 44 . . . 1397 zvuki 1F . . . f3

bol~xie litavry 73 . . . 131 zvuki D . . . cksilofon 131 . . . 2093 zvuki c . . . c4

saksofon 247 . . . 1319 zvuki h . . . e3

fleta-pikkolo 494 . . . 4186 zvuki h1 . . . c5

Esli naivysxa qastotna komponenta signala neizvestna, to qas-totnoe soderanie moet ograniqivat~s fil~tracie analogovo-go signala (qast~ 2.4.3). Esli izvestna, to mono verbal~no sfor-mulirovat~ uslovie vybora qastoty diskretizacii 1/TA takim obra-zom:

Dl togo qtoby signal f(t) mono bylo absoltno toqnovosstanovit~ po ego otsqetam, qastota diskretizacii dol-na byt~, kak minimum, vdvoe bol~xe naivysxe qastotnokomponenty signala fmax.

Esli pri formulirovke my ssylaems ne na qastotu diskretizacii fA,a na ee obratnu veliqinu, interval diskretizacii TA = 1/fA, to ot-sda sleduet neravenstvo:

TA <1

2 fmaxgde fmax – maksimal~na qastota signala (2.28)

Neravenstvo 2.28 vmeste s formulo interpolcionnogo rda 2.29nazyvaets teoremo otsqetov, tak kak ograniqenie qastoty – suw-nost~ danno teoremy. Neobhodimo otmetit~, qto take i drugie spek-try mogut byt~ ograniqeny, i togda suwestvut sootvetstvuwieteoremy otsqetov, naprimer, dl sekventno tehniki [37].To, qto pri sobldenii neravenstva 2.28 diskretny vo vremeni sig-nal destvitel~no soderit tu e informaci, qto i nepreryvny vovremeni signal, razsnim snaqala fenomenologiqno na razloeniiv rd Fur~e. T.k. to razloenie v rd budet rassmotreno tol~ko vqasti 4.1, zaranee skaem (dl posneni dostatoqno), qto kadyperiodiqeski signal mono predstavit~ naloeniem (sloeniem)garmoniqeskih kolebani, kotorye otliqats amplitudo, fazo iqastoto. Predstavlenie signala, v zavisimosti ot qastoty ego kom-ponent, nazyvaets spektrom. Periodiqeskomu signalu sootvetstvuetlineqaty spektr. Ris. 2.13 a) pokazyvaet periodiqeski signal, iris. 2.13 b) – lineqaty spektr. Spektr sostoit iz otdel~nyh lini,kotorye predstavlt otdel~nye komponenty. Qastoty otnoswihs knim kolebani – celye kratnye tak nazyvaemo osnovno qastoty f0.


Ona – obratna veliqina dliny perioda T0 periodiqeskogo signa-la: f0 = 1/T0. Po uravneni 2.1 mono take rassqitat~ osnovnukrugovu qastotu ω0. Grafiqeskoe predstavlenie razloeni v rdFur~e, spektr periodiqesko funkcii f(t), pokazyvat diskretnyeznaqeni pri 0, ω0, 2ω0, 3ω0 (ris. 2.13 b). Esli (vzvexennye) garmoni-qeskie kolebani sootvetstvuwih qastot nakladyvats, to snovavoznikaet periodiqeska funkci, kak v ris. 2.13 a). Obratimost~processa – to dokazatel~stvo togo, qto imewas v periodiqeskomsignale informaci dolna soderat~s take i v diskretnom pred-stavlenii, lineqatom spektre.

t40

5

10

( )

0

2

4

F( )ω

t4 048

5

10

100

2

4

F( )ω

10

8

8

a) b)

d)c)

6

6

......

... ...

10 1048

tf

( )tf

Ris. 2.13: Nepreryvny i diskretny vo vremeni signal, a) nepre-ryvny vo vremeni periodiqeski signal, b) lineqaty spektr sig-nala, c) diskretny vo vremeni signal, d) nepreryvny periodiqeskispektr

Esli dan neperiodiqeski ograniqenny vo vremeni signal, toneobhodimo prodolit~ signal periodiqeski. T.k. vsledstvie togoniqego novogo ne dobavlets, obem informacii ostaets neizmen-nym. Periodiqeskomu signalu sootvetstvuet diskretny spektr, v ko-tory zaneseny vse svedeni. Esli teper~, qto teoretiqeski vozmo-no, poment~ mestami vremennu i qastotnu oblast~, to nepreryv-na po qastote periodiqeska funkci nahodits v qastotno oblasti(ris. 2.13 d), i diskretny vo vremeni signal – vo vremenno oblasti

2.4. CEP^ OBRABOTKI SIGNALOV 31

(ris. 2.13 c). Periodiqeska spektral~na funkci (ris. 2.13 d) by-la razloena v rd (ris. 2.13 c). Odnako, periodiqeskoe prodole-nie funkcii v qastotno oblasti vozmono tol~ko togda, kogda onaograniqena qastoto, t.e. soderit maksimal~nu qastotu fmax. Noto v toqnosti qastota iz uravneni 2.28. Ris. 2.13 c) i d) dat os-novanie polagat~, qto diskretny vo vremeni signal take soderitvs informaci.Predstavlenny na ris. 2.13 kontekst vedet k uravneni rekon-strukcii funkcii-originala. Esli uslovie uravneni 2.28 vypolni-mo, to sleduwee otnoxenie destvitel~no dl naibol~xego inter-vala diskretizacii (vyvody sm., naprimer, [31, 54]):

f (t) =

∞∑

n=−∞f (n TA) si

[π

TA(t− n TA)

]

(2.29)

ta formula nosit nazvanie interpolcionnogo rda i byla sfor-mulirovana v 1949 godu Klodom Xennonom, kotory i raspoznalee ogromnoe znaqenie dl informacionno tehniki. Menee izvest-no, qto ide otsqetov byla nezavisimo sformulirovana v 1915 godudmundom T. Uittekerom, v 1924 godu Harri Nakvistom i v 1933 go-du V. A. Kotel~nikovym.Qastota, ravna polovine qastoty diskretizacii, nazyvaets qasto-to Nakvista fN ili krugovo qastoto Nakvista ωN:

fN =fA2

ili ωN =ωA

2(2.30)

Qastota Nakvista svidetel~stvuet o tom, qto qastotna oblast~ sig-nala pri danno qastote diskretizacii fA sosredotoqena tol~ko vpolose qastot ot −fN do +fN.Nesobldenie uslovi teoremy otsqetov privodit k problemam, ko-torye nazyvats naloeniem spektrov ili «aliasingom» (angl.:aliasing). Esli qastota diskretizacii ustanovlena slixkom nizko, tov oblasth za predelami ±fN ili ±ωN take prisutstvut spek-tral~nye komponenty ot f(t). Na ris. 2.14 otqetlivo pokazano naloe-nie spektrov, kotoroe delaet rekonstrukci signala nevozmono.Informaci byla uterna.

2.4 Cep~ obrabotki signalov

2.4.1 Struktury

Podrobny obzor zadani, kotorye neobhodimo rexat~ pri obrabotkesignalov, mono osuwestvit~ putem svzyvani tih zadani v mod-el~, cep~ obrabotki signala. V zavisimosti ot oblasti primeneni


0,4

0,2

–4 –2 0 2 4 t

f (t )1

0,5

–12 –6 0 6 12 ω

F( )ω

0,4

0,2

–4 –2 0 2 4 t

f(t )n

1

0,5

–12 –6 0 6 12 ω

F( )ω

0,4

0,2

–4 –2 0 2 4 t

f (t )n

1

0,5

–12 –6 0 6 12 ω

F( )ω

1

0,

–12 –6 0 6 12 ω

F( )ω

0,4

0,2

–4 –2 0 2 4 t

f (t )

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

5

Ris. 2.14: Naloenie spektrov pri slixkom nizko qastote diskreti-zacii, a) diskretiziruemy signal i b) prinadleawi spektr, c) sTA = 2

3 s diskretizirovanny signal i d) periodiqeski prodolennyspektr s ωA = 2π/TA, e) s TA = 2 s diskretizirovanny signal i f) pe-riodiqeski prodolenny spektr s otqetlivo vidimym naloeniemspektrov, g) iz spektra h) rekonstruirovanny signal, h) vyrezannyiz f) v oblasti ±ωN = ±π2 period


taka struktura vstreqaets v razliqnyh modifikacih, tem ne me-nee, rexaemye otdel~nye zadani ne otliqats otnositel~no pri-menemyh instrumentov. Na ris. 2.15 privedeno po odnomu primeruiz tehniki svzi i izmeritel~no tehniki.

Aufnahme-wandler

Sende-einrichtung

Übertragungs-kanal

Signal-empfänger

Wiedergabe-wandler

Nach-richten-quelle

Nach-richten-senke

Störungs-quelle

Messwert-gewinnung

Messwert-auswertung

Messwert-übertragung

Vorgang(physikalisch,biologisch,technisch, ...)

Messwert-ausgabeals Kenngröße

a)

b)

Ris. 2.15: Modeli cepi obrabotki signalov, a) napravlenna cep~soobweni [34], b) izmeritel~ny put~ pri analize processa [31](Nachrichtenquelle:istoqnik soobweni, Aufnahmewandler:preobrazova-tel~, Sendeeinrichtung:ustrostvo peredaqi, Übertragungskanal:kanalsvzi, Signalempfänger:priemnik signala, Wiedergabewandler:preobrazo-vatel~, Nachrichtensenke:priemnik informacii, Störungsquelle:istoqnikpomeh, Vorgang: process (fiziqeski, biologiqeski, tehniqeski),Messwertgewinnung:izvleqenie izmeremo veliqiny, Messwertübertra-gung: peredaqa izmeremo veliqiny, Messwertauswertung:obrabotkaznaqeni, Messwertausgabe als Kenngröße:vydaqa izmeremo veliqiny vvide parametra)

Qtoby prodemonstrirovat~ vse vozmonye zadani obrabotki signa-lov, zdes~ print ves~ma obwi sluqa, pri kotorom vhodno i vyhod-no signaly cepi obrabotki – to, sootvetstvenno, nelektriqeskie,analogovye signaly. Kak proillstrirovano na ris. 2.16, poluqaetssimmetriqna struktura cepi obrabotki signalov.V centre cepi, tak skazat~, na linii simmetrii, nahodits vyqis-litel~na maxina ili programmiruema vyqislitel~na struktu-ra, s pomow~ kotoro dostigats sootvetstvuwie celi obrabot-ki signalov (qast~ 2.4.6). Ostal~nye lementy sluat dl podgo-tovki signala: pered vyqislitel~no maxino proishodit preob-razovanie nelektriqeskogo, analogovogo signala v lektriqeski,


DAU

ADUAbtaster

Abtaster

Rechner

Sensor

Aktor

Analog-filter

Reko-filter

Takt

Ris. 2.16: Model~ cepi obrabotki signalov (Sensor: datqik, Ana-logfilter: analogovy fil~tr, Abtaster: sqityvawee ustrostvo, ADU:ACP (analogo-cifrovo preobrazovatel~), Rechner:vyqislitel~namaxina, DAU: CAP (cifro-analogovy preobrazovatel~), Takt: takt,Rekofilter:fil~tr rekonstrukcii, Aktor: ispolnitel~ny mehanizm)

cifrovo signal; posle vyqislitel~no maxiny obratnoe preobra-zovanie lektriqeskogo, cifrovogo signala v nelektriqeski, ana-logovy signal. V dannom sluqae vano ukazat~ na to, qto prakti-qeskie zadani budut redko polnost~ sootvetstvovat~ to modeli.Real~nye uslovi qasto trebut osuwestvleni tol~ko opredelennyhqaste. Odnako, my hotim ispol~zovat~ polnu cep~ obrabotki sig-nalov (ris. 2.16) kak osnovu sleduwih rassmotreni.

2.4.2 Datqiki

Printo, qto iz processa (v osobom sluqae sostoni), kotorymoet byt~, k primeru, fiziqesko, biologiqesko, a take tehni-qesko prirody, izvlekats svedeni. V obwem sluqae tot processimeet nepredskazuemy harakter i vlets stohastiqeskim proces-som. S cel~ izvleqeni informacii process nabldaets i za-pisyvaets pri pomowi podhodwih ustrostv (naprimer, mikro-fon, kamera). Vany vhodno lement – datqik. Pod datqikom myponimaem izmeritel~ny wup, kotory, kak pravilo, prevrawaetnelektriqesku veliqinu v lektriqeski signal. Datqiki vl-ts predmetom izuqeni sensoriki. V nastowee vrem, blagodaruspeham v oblasti lektronno tehnologii i mikrosistemno tehni-ki, suwestvut oqen~ ffektivnye datqiki, praktiqeski dl vsehnelektriqeskih veliqin. Oni integrirovany v minibloki, kotoryezaqastu take ue rexat zadaqi obrabotki signalov.Suwestvut bolee sta izmeremyh veliqin, sootvetstvenno – bol~xoeraznoobrazie datqikov. V literature, soglasno trem toqkam zreni,


oni podrazdelts:

• po ispol~zuemo tehnologii dl izgotovleni datqika• po fiziqesko vhodno veliqine datqika• po lektriqesko vyhodno veliqine datqika

Dalee privedeny primery datqikov s razliqnymi fiziqeskimi vhod-nymi veliqinami.

Davlenie, sila: tenzodatqiki, mownosti s membrano iz kremni,p~ezolektriqeskie keramiki

Dlina, ugol: aktivnye, emkostnye i induktivnye lementy, quvstvi-tel~nye k pozicii fotodiody, fotodiody s lazernym pul~somili inkremental~nye datqiki, lementy Holla, kontakty, opti-qeskie interferometry

Uskorenie: p~ezo-datqiki uskoreni, induktivnye datqikiZvuk, ul~trazvuk: lektretnye i p~ezokeramiqeskie mikrofony,

lektrodinamiqeskie mikrofony, optiqeskie interferometryTemperatura: platinovye soprotivleni, poluprovodnikovye sopro-

tivleni, termistory (s poloitel~nym ili otricatel~nymtemperaturnym kofficientom soprotivleni), termolementy,diody infrakrasnogo izluqeni

Gazy, materialy: soprotivleni v vide nagrevaemo poristo ke-ramiki, kremnievye mikrolektrody, ionoselektivnye membrany

Vlanost~: mownosti s gigroskopiqnym dilektrikom, metallooksid-nye rezistory, gigroskopiqnye polimery

Optiqeskoe izluqenie: fotorezistory, fotodiody, fototranzistory,fotodiody v mikroshemah CCD i CMOS

Radioaktivnoe izluqenie: germanievye p-n-perehody, sqetqiki Gege-ra-Mllera

lektriqeskoe pole: emkosti, dipoli, special~nye antennyMagnitnoe pole: magnitnye metalloplenoqnye rezistory, polupro-

vodnikovye plastiny Holla, induktivnosti, lementy Holla

T.k. rol~ datqikov v izmeritel~no tehnike lementarna, to ihopisanie proishodit preimuwestvenno na osnove terminov izmeri-tel~no tehniki. Ponimanie i pravil~noe ispol~zovanie tih pontioqen~ vano pri obrabotke signalov. Potomu neobhodimo kratkorazsnit~ neskol~ko vanyh terminov.

Peredatoqna funkci: Preobrazovanie signala predstavlet sobofunkcional~nu zavisimost~ vyhodno veliqiny xa ot vhodnoveliqiny xe. Danna svz~ opisyvaets peredatoqno funkciexa = f(xe).

Sensorna harakteristika: Grafiqeskoe predstavlenie peredatoqnofunkcii xa = f(xe) nazyvaets sensorno harakteristiko. Para-metrom dannogo grafika vlets qastota vhodno veliqiny.Esli sensorna harakteristika linena ili ona priblienno


linena, to poluqats prostye otnoxeni. Dl harakteris-tiki destvitel~no: xa = xa0 + ∆xa/∆xe(xe− xe0), gde xa0 – ishod-ny sdvig, ∆xa – vyhodna oblast~ znaqeni, ∆xe – diapazonizmereni i xe0 – naqalo diapazona izmereni.

Izmerenie: Otobraenie posredstvom datqika i posleduwee koli-qestvennoe sravnenie s talonom nazyvaets izmereniem.Datqik, s ego pogrexnost~, vliet na izmeremu veliqinuili na rezul~tat izmereni (rezul~tat izmereni = proizvede-nie veliqiny mery na edinicu izmereni).

Oblast~ izmereni: Vvidu suwestvuwih fiziqeskih uslovi datqikmoet realizovat~ peredaqu signala tol~ko v oblasti znaqenimedu naimen~xe i naibol~xe izmeremo veliqino, eslipri tom ne dolen byt~ prevyxen predel pogrexnosti.

Quvstvitel~nost~: Quvstvitel~nost~ ili krutizna datqika S – toqastnoe ot izmeneni vyhodo veliqiny i izmeneni vhod-no veliqiny, t.e. differencial~noe vozrastanie sensornoharakteristiki, S = dxa/dxe ≈ ∆xa/∆xe. U lineno sensor-no harakteristiki quvstvitel~nost~ postonna i nazyvaetskofficientom peredaqi ili postonno peredaqi.

Razrexawa sposobnost~: Razrexawa sposobnost~ – to naimen~-xee registriruemoe izmenenie izmeremo veliqiny, kotoroeopredelets dl cifrovyh ustrostv toqnost~ kvantovani.Pri analogovyh veliqinah govort skoree o poroge srabaty-vani. to samoe malen~koe, kak raz ewe registriruemoe ilivosprinimaemoe izmenenie izmeremo veliqiny.

Pogrexnost~ otobraeni: Pogrexnosti mogut vstreqat~s kak sis-tematiqeski (zavisimye ot raspoloeni ili konkretnogokzemplra) tak i sluqano (xum, otkloneni i starenie kakposledstvie okruawih uslovi). Vmeste v itoge oni datpogrexnost~ otobraeni.

Pogrexnost~ izmereni, absoltna: Absoltna pogrexnost~ izme-reni e – to raznost~ medu peredannym datqikom izmerennymznaqeniem xa i «istinnym» znaqeniem2: e = xa − xwahr.

Pogrexnost~ izmereni, otnositel~na: Otnositel~na pogrexnost~izmereni e∗ ravna otnoxeni absoltno pogrexnosti k tomuznaqeni, kotoroe prinimaets za istinnoe: e∗ = e/xwahr. Izmer-ets v bol~xinstve sluqaev v %, ‰ ili ppm (angl.: parts permillion).

Kalibrovka: Ustanovlenie i minimizirovanie pogrexnosti izme-reni kak raznosti medu znaqeniem veliqiny, poluqenno spomow~ datqika, i sootvetstvuwim znaqeniem, realizovan-nym s pomow~ talona (po opredeleni ili sravnitel~nomuizmereni), oboznaqaets kak kalibrovka. Klassy pogrexnosti

2 wahr: istinny


ukazyvat na garantirovanno men~xu otnositel~nu pogrex-nost~. Otdel~ny datqik moet byt~ vse e bolee toqnymblagodar blagopritnym sluqanostm pri ego izgotovlenii.

Na ris. 2.17 pokazan ugol~ny mikrofon, kak primer datqikaakustiqeskih signalov. Esli zvukovye volny dostigat metalli-qesko membrany, to davlenie zvuka izmenet plotnost~ zernyxekugol~nogo poroxka. V rezul~tate izmenets soprotivlenie medulektriqeskimi kontaktami. to izmenenie soprotivleni predstav-let sobo lektriqeski signal i vlets otobraeniem davlenizvuka. K soaleni, to otobraenie lineno tol~ko pri netoqnompriblienii, t.k. ugol~nye zerna ne mogut uplotnt~s ili razryh-lt~s skol~ko ugodno. Otobraenie davleni zvuka na lektriqeskisignal zavisit take ot qastoty voln zvuka, t.k. dl dvieni zernaugol~nogo poroxka nudats v nergii i vo vremeni.

Metall-membran Kohlegrieß

Metall-wanne

elektrischesSignal

Schall-wellen

Isolation

Ris. 2.17: Ugol~ny mikrofon kak primer datqika (Schallwellen:zvukovye volny, Metallmembran:metalliqeska membrana, Kohlegrieß:ugol~ny poroxok, Metallwanne:metalliqeska vanna, elektrisches Signal:lektriqeski signal, Isolation:izolci)

2.4.3 Polosovye fil~try

Pri sobldenii teoremy otsqetov signal predostavlets dl sle-duwe obrabotki s ograniqenno poloso qastot. Ograniqenie sig-nala dostigaets primeneniem antialiasingovogo fil~tra. Dannyefil~try – to fil~try ninih qastot, kotorye propuskat bez izme-neni vse qastoty nie zadanno i udalt iz signala vse qas-toty vyxe zadanno. Ideal~no oni dolny v polose propuskaniimet~ usilenie, ravnoe edinice i v polose zaderivani – nul~.Usilenie qastotno-zavisimoe i opisyvaets qastotno harakteris-tiko, kotora oboznaqaets take peredatoqno funkcie. Dan-nu funkci my moem predstavit~ v vide okna v oblasti spektra.


Pozici polosovogo fil~tra v cepi obrabotki signalov opredelet,qto analogovy vhodno signal dolen fil~trovat~s analogovymilementami. Nardu s elaemym ograniqeniem polosy qastot pri po-mowi fil~tracii zdes~ opisan cely rd poleznyh ffektov, kotoryemogut global~no uluqxit~ otnoxenie signal/xum.Rassmatrivaemye zdes~ analogovye fil~try prinadleat k linenymsetm. to znaqit, k primeru, qto garmoniqeskoe kolebanie izmenet-s fil~tracie lix~ v ego amplitude i faze, qastota sohranetsneizmenno. V vek analogovo tehniki proektirovanie fil~tra ras-smatrivalos~ kak «verxina teorii kompleksnyh qastot» [31]. Onodavno podrobno issledovano. Na ris. 2.18 predstavleno vspomoga-tel~noe sredstvo dl proektirovani fil~tra.

Ris. 2.18: Logarifmiqeska lineka dl proektirovani analogovyhfil~trov

Principial~no my dolny delat~ razliqie medu sintezomfil~trov, t.e. ih proektirovaniem, i analizom lementov, vypol-nwih funkci fil~tra. Na dannom tape rassmatrivaets lix~proektirovanie fil~tra. Dl opisani povedeni fil~tra sluitperedatoqna funkci H(ω), kotora harakterizuet razliqi meduvyhodnym i vhodnym signalom.Svz~ medu zavisimym ot vremeni vhodnym signalom f(t) i vyhod-nym signalom g(t) moet opisyvat~s pri ograniqenii do linenyhi invariantnyh otnositel~no vremeni sistem linenym differen-cial~nym uravneniem s konstantnymi kofficientami A i B:[

Andn

dtn+ · · ·+A1

d

dt+A0

]

g (t) =

[

Bmdm

dtm+ · · ·+B1

d

dt+B0

]

f (t) (2.31)

Neobhodimo print~ vo vnimanie, qto pri perehode v qastotnuoblast~ vmesto differencirovani nuno vypolnt~ umnoenie najω (d/dt –• jω, sm. tabl. B.1 na str. 301), s uqetom togo poluqaets


uravnenie dl qastotno-zavisimyh veliqin:

[An (jω)n

+ · · ·+A1jω +A0]G (ω) = [Bm (jω)m

+ · · ·+B1jω +B0]F (ω)

(2.32)

V tom uravnenii F (ω) – spektral~noe predstavlenie signalaf(t), take G(ω) – spektr signala g(t), to znaqit f(t) –• F (ω) ig(t) –• G(ω). Dl peredatoqno funkcii sleduet:

H (ω) =G (ω)

F (ω)=

m∑

i=0

Bi (jω)i

n∑

i=0

Ai (jω)i

(2.33)

Razsnenie daet primer na ris. 2.19. Vhodno signal – to im-pul~sna funkci δ(t) so spektrom F (ω) = 1. Neobhodimo nativyhodno signal g(t) i sootvetstvuwi emu spektr G(ω), eslidl peredatoqno funkcii destvitel~no H(ω) = 1/(3 + jω)

2. Dlspektra vyhodnogo signala G(ω) poluqaets: G(ω) = 1/(3 + jω)

2.Iz tabl. B.1 dl sootvetstvuwe funkcii vremeni sleduetG(ω) •– g(t) = t exp(−3t).

f(t)

t0 t1 2

0.2g(t)

00

ω0

1

F( )ω IG( )Iω0.1

ω1000

IH( )Iω0.1

ω1000

Ris. 2.19: Primer svzi medu vhodnym signalom, peredatoqnofunkcie i vyhodnym signalom analogovogo fil~tra ninih qastot

Primer pokazyvaet take obweprinty kontekst: esli vhodno sig-nal lineno seti – del~ta-funkci f(t) = δ(t), to vyhodno spektrG(ω) po uravneni 2.33 i δ(t) –• 1 vlets peredatoqno funkcieH(ω). T.k. peredatoqna funkci – kompleksna funkci, ona moetbyt~ predstavlena summo ee destvitel~no qasti < i mnimo qas-


ti =:

H (ω) = <H (ω)+ j =H (ω) (2.34)

Grafiqeskoe predstavlenie proishodit, kak pravilo, otdel~no po mo-dul |H(ω)| i uglu ∠H(ω):

|H (ω)| =√

<2H (ω)+ =2H (ω) (2.35)

∠H (ω) = arctan=H (ω)<H (ω) +

0 esli <H (ω) > 0

+π esli <H (ω) < 0 i =H (ω) ≥ 0

−π esli <H (ω) < 0 i =H (ω) < 0

(2.36)

V osobom sluqae, kogda destvitel~na qast~ ravna nul, ugol opre-delets po asimptotam funkcii arktangensa ∠H(ω) [7]:

∠H (ω) =

−π2 esli <H (ω) = 0 i =H (ω) < 0

neopredelenny esli <H (ω) = 0 i =H (ω) = 0

+π2 esli <H (ω) = 0 i =H (ω) > 0

(2.37)

Modul~ peredatoqno funkcii take nazyvaets amplitudno harak-teristiko fil~tra, ugol – fazovo harakteristiko.

Proektirovanie fil~tra: Teper~ mono pridat~ peredatoqno funk-cii H(ω) elaemy vid. Imeets, kak v naxem sluqae, elanieograniqit~ polosu qastot, vybiraets fil~tr ninih qastot s pred-stavlennymi na ris. 2.20 parametrami. Obyqno predstavlt kvadratmodul peredatoqno funkcii H(ω).Real~nye fil~try ninih qastot otliqats, prede vsego, po-raznomu prohodwim perehodom iz polosy propuskani v polosuzaderivani. Dl polosy propuskani destvitel~no:

|ω| < ωg gde ωg – predel~na qastota

|H (ω)|2 >1

1 + ε2(2.38)

Dl polosy zaderivani:

|ω| > ωs gde ωs – qastota zaderivani

|H (ω)|2 <1

1 + λ2(2.39)

Ideal~nye otnoxeni imets pri ε = 0 i λ→∞.


1

11+l

2

wg wsw

SperrbereichDurchlass-bereich

|H ( )|²w

00

11+ e

2

Ris. 2.20: Kvadrat modul peredatoqno funkcii fil~tra ninih qas-tot i parametry dl proektirovani fil~tra (Durchlassbereich:polosapropuskani, Sperrbereich:polosa zaderivani)

Fil~tr Battervorta: Naibolee qasto upotreblemy tip fil~tra– to fil~tr Battervorta. Kvadrat modul peredatoqno funkciidannogo fil~tra imeet vid:

|HBu (ω)|2 =1

1 + ε2(ω

ωg

)2N(2.40)

gde N ∈ N – pordok fil~tra. On poluqaets vyborom ε i λ, koto-rye opredelt v svo oqered~ predel~nu qastotu ωg i qastotuzaderivani ωs. Pordok fil~tra N mono opredelit~, k primeru,putem ustanavlivani:

ω = ωs i |HBu (ω)|2 ≤ 1

1 + λ2

Pri tom v uravnenii 2.40 mono vyrazit~ N :

N ≥log

(λ

ε

)

log

(ωs

ωg

) (2.41)

Pri vybore pordka N neobhodimo nati kompromiss medu kru-tizno spada (ωs → ωg) i zatratami, kotorye vyraats pordkom(ris. 2.21). Vanye svostva peredatoqno funkcii fil~tra Batter-vorta:

• qetkoe ograniqenie polosy zaderivani i polosy propuskani


1

1 2 3 40

0.5

ωωg

N= 1N= 3N=12

H( )ω || 2

Ris. 2.21: Kvadrat modul peredatoqno funkcii fil~tra Battervor-ta dl razliqnyh N pri ε = 1

• ploska harakteristika v polose propuskani i zaderivani

Fil~tr Qebyxeva: Esli v polose propuskani ili v polose zad-erivani dopustimy nebol~xie pul~sacii, to kompromiss meduvyborom pordka N i horoxim razdeleniem polosy zaderivanii propuskani naibolee blagopriten u fil~tra Qebyxeva [53]. Udannogo tipa fil~tra peredatoqna funkci approksimiruets pripomowi polinomov Qebyxeva, kotorye obladat zameqatel~nym ka-qestvom [7]:

Dl vseh polinomov stepeni n, qe nulevo kofficientvsegda raven 1, normirovannye polinomy QebyxevaTn(x)/(2

(n−1)) na intervale [−1; 1] imet naimen~xu mak-simal~nu amplitudu 21−n.

Dl polinomov Qebyxeva destvitel~no dl vseh n ≥ 0:

Tn (x) =

cos (n · arccos (x)) dl |x| ≤ 1

cosh (n · arcosh (x)) dl |x| > 1(2.42)

V osobom sluqae pri x = 0:

Tn (0) =

±1 dl qetnyh n

0 inaqe

Esli |x| ≤ 1, to poluqaets:

T0 (x) = cos (0) = 1

T1 (x) = cos (arccos (x)) = x (2.43)


Esli my podstavim cos(α) = x i primenim formuly kratnyh uglovfunkcii kosinus (naprimer, cos(2α) = 2cos2(α)−1 i t.d.), to dl posle-duwih treh polinomov sledut funkcii:

T2 (x) = 2 x2 − 1

T3 (x) = 4 x3 − 3 x

T4 (x) = 8 x4 − 8 x2 + 1 (2.44)

Dl |x| ≤ 1 i n > 1 mono sformulirovat~ take uravnenie rekursii:

Tn (x) = 2 x Tn−1 (x)− Tn−2 (x) (2.45)

Na ris. 2.22 v diapazone |x| ≤ 1 predstavleny pervye xest~ polinomovQebyxeva.

-1

1-1

1

0.5

-0.5

-0.5 0.5

T0

T1

T2

T3

T4

T5

x

T (x)n

Ris. 2.22: Xest~ polinomov Qebyxeva T0(x) do T5(x) v diapa-zone |x| ≤ 1

Razliqat fil~try Qebyxeva dvuh tipov: fil~tr pervogo tipa imeetpul~sacii peredatoqno funkcii v polose propuskani, fil~tr vtoro-go tipa, naprotiv, v polose zaderivani. Kvadrat modul pereda-toqno funkcii |HT1 (ω)|2 i |HT2 (ω)|2 oboih fil~trov vysqityvaets:

|HT1 (ω)|2 =1

1 + ε2 T 2N

(ω

ωg

)

|HT2 (ω)|2 =1

1 + ε2T 2N

(ωs

ωg

)

T 2N

(ωs

ω

)

(2.46)


Vyraenie pordka N iz uravneni proishodit take kak i prifil~tre Battervorta i v itoge dl fil~tra pervogo tipa, take kaki dl fil~tra vtorogo tipa, poluqaem:

N ≥arcosh

(λ

ε

)

arcosh

(ωs

ωg

) (2.47)

Na ris. 2.23 predstavlen kvadrat modul peredatoqno funkciifil~tra Qebyxeva v sravnenii s fil~trom Battervorta. Po grafikuvidno, qto pri ravnom vybore N u fil~tra Qebyxeva bolee krutospad qem u fil~tra Battervorta.

IH( )I²w

IH( )I²w

w3wg ws

w3wswg

0.5

0

1

0.5

0

1

Ris. 2.23: Kvadrat modul peredatoqno funkcii fil~tra Battervor-ta i Qebyxeva, N = 4, ε = 0, 2 i ωs = 1, 5 · ωg

2.4.4 Pervoe sqityvawee ustrostvo

Vyhodno signal analogovo fil~tracii f(t) – analogovy signals ograniqenno poloso qastot. Prede qem proizodet analogo-cifrovoe preobrazovanie, neobhodimo signal diskretizirovat~. Sig-nal fs(t) dolen imet~ znaqenie neravnoe nul tol~ko lix~ dl celyh


kratnyh intervala diskretizacii TA:

fs (t) =

f (t) dl t = n TA

0 inaqes −∞ < n <∞ i n ∈ Z (2.48)

Sqityvawee ustrostvo – to usilitel~na shema s analogovym icifrovym vhodom, a take analogovym vyhodom. Ona rabotaet s dvumrazliqnymi kofficientami usileni. Esli 1 na cifrovom vhode,to shema rabotaet dl analogovogo vhoda kak normal~ny usilitel~s kofficientom usileni take 1. Signal na analogovom vyhodesootvetstvuet signalu na analogovom vhode. Esli 0 na cifrovomvhode, to usilenie dl analogovogo signala poniaets take do 0.to povedenie sootvetstvuet peremnoeni vhodnyh signalov. Priideal~nyh otnoxenih umnoenie vhodnogo signala f(t) na perio-diqesku del~ta-funkci δT (t) proishodit po uravneni 2.9. Dlrezul~tata umnoeni fs(t) destvitel~no:

fs (t) = f (t) · δT (t)

= f (t)

∞∑

n=−∞δ (t− n TA) (2.49)

Iz-za

f (t) δ (t− t0) = f (t0) δ (t− t0) (2.50)

take destvitel~no:

fs (t) =

∞∑

n=−∞f (n TA) δ (t− n TA) (2.51)

T.k. del~ta-funkci tol~ko v odnom meste ne ravna nul, to ka-doe slagaemoe postavlet, sootvetstvenno, otliqnoe ot nul znaqeniesignala. Potomu take govort o selektiruwem svostve del~ta-funkcii.Posle diskretizacii signala f(t) neobhodimo signal fs(t) uderivat~postonnym na protenii intervala diskretizacii TA. to zadanieperenimaet shema uderivani. Ona sluit dl togo, qtoby posto-nny tok ili postonnoe naprenie f0(t) postavllis~ analogo-cifrovomu preobrazovatel. Esli analogo-cifrovomu preobrazovate-l ne byla by peredana postonna veliqina, rezul~tat preobrazo-vani mog by byt~ oxiboqnym, libo sam process zatnuls by dobeskoneqnosti. Sama prosta realizaci «zamoraivani» sostoitiz lementa uderivani 0-go pordka, kotory moet byt~ sozdaniz kondensatora i odnogo operacionnogo usilitel. Sqityvanie i ud-erivanie signala f(t) na praktike qasto predstavleno ustrostvom,izobraennym na ris. 2.24, take nazyvaemym ustrostvom vyborki-hraneni. Vanye parametry dannogo ustrostva – to skorost~ itoqnost~.


Abtast-Halte-Schaltung

Analog-Digital-Umsetzer

f(t)Halteglied0. Ordnung

Quantisierer Codiererfqu

f (t)s f (t)0

fn

dT(t)

Ris. 2.24: Ustrostvo sqityvani i uderivani i analogo-cifrovopreobrazovatel~ (Abtast-Halte-Schaltung:ustrostvo sqityvani i uder-ivani, Halteglied 0. Ordnung:lement uderivani 0-go pordka, Quan-tisierer: kvantovatel~, Codierer: koder, Analog-Digital-Umsetzer:analogo-cifrovo preobrazovatel~)

2.4.5 Analogo-cifrovye preobrazovateli

Zadaqa analogo-cifrovogo preobrazovatel (sokrawenno: ACP) – topreobrazovanie napreni ili toka v dvoiqny cifrovo kod. topreobrazovanie proishodit lementami kvantovani i kodirovani(ris. 2.24). Dvoiqny kod na vyhode kodera sootvetstvuet kvantovan-no vhodno veliqine. Otobraenie fiksirovannogo znaqeni f0(t) nakoneqnoe mnoestvo znaqeni proishodit v nelineno sisteme, pripomowi kvantovatel. Tipiqna harakteristika kvantovani pokazanana ris. 2.25.Esli kvantovanie proishodit ravnomernymi xagami s pravilom Q, todl kvantovannyh mgnovennyh znaqeni destvitel~no:

fqu = Q f0 (t) (2.52)

Esli voznikat, kak pokazano na ris. 2.25, poloitel~nye i otri-catel~nye znaqeni, to req~ idet o bipolrnom kvantovanii. Esliqislo stupene kvantovani qetnoe, to poluqats nesimmetriqnyeotnoxeni, kotorye, odnako, pri bol~xom qisle stupene praktiqes-ki ne imet znaqeni. Dvoiqnym kodom dlino (B+1) bit mogut byt~predstavleny 2B+1 stupeni, priqem B + 1 – dlina maxinnogo slova.Veliqina 2fm – to oblast~ modulcii i imeet, naprimer, napreni10 V, 5 V ili 1 V. Esli koliqestvo stupene kvantovani oqen~ veliko,


9D 7D 5D 3D 3D 5D 7D 9D f0D2 2 2 2 2 2 2 2 2

D

2

2fm

fqu

111

110

101

011

010

001

000

Ris. 2.25: Tipiqna harakteristika kvantovani analogo-cifrovogopreobrazovatel

to harakteristika kvantovani budet pribliena k prmo, proho-dwe qerez naqalo koordinat, s uglovym kofficientom a:

fqu = a · f0 =2B+1

2 fm· f0 =

2B

fm· f0 (2.53)

T.k. oblast~ modulcii razdelena na 2B+1 stupeni, to dl xirinyxaga ∆ sleduet:

∆ =2 fm2B+1

=fm2B

=1

a(2.54)

Harakteristika na ris. 2.25 daet v itoge, k primeru, dl 2 fm = 8 Vi B = 2 xirinu xaga:

∆ =8 V22+1

= 1 V

T.k. real~noe znaqenie f0 i kvantovannoe znaqenie fqu rashodts me-du sobo, voznikaet oxibka, veliqina kotoro leit medu −∆/2 i+∆/2. Konkretnoe otklonenie imeet sluqany harakter i moet mo-delirovat~s kak bely xum, dl kotorogo raspredelenie verotnos-te oxiboqnogo processa v diapazone znaqeni oxibok kvantovani(qast~ 3.1.2) postonna. Dl tako postonno plotnosti verotnosti


poluqaets dispersi (mownost~ xuma):

σ2r =

2−2B f2m

12(2.55)

Dl otnoxeni signal/xum SNR s edinice izmereni decibel [dB]sleduet vmeste s tem:

SNR = 10 dB · lg σ2f

σ2r

= 10 dB · lg 12 · 22B σ2f

f2m

= B · 6,02 dB+10,8 dB−20 dB · lg fmσf

≈ B · 6 dB−1,25 dB (2.56)

Pervoe slagaemoe govorit o tom, qto pri pribavlenii odnogobita, t.e. pri udvaivanii qisla urovne kvantovani, otnoxeniesignal/xum uluqxaets na 6 dB. Otnoxenie signal/xum takevozrastaet, esli mownost~ signala σf uveliqivaets. Tem ne menee,ona ograniqena oblast~ modulcii. Dl optimal~nyh otnoxeniamplituda signala dolna byt~ prisposoblena k oblasti modulcii.Zametim, qto dl vysokokaqestvennyh muzykal~nyh zapise otnoxe-nie signal/xum sostavlet bolee qem 90 dB.

V real~nyh ACP sravnenie proishodit medu aktual~nym analo-govym napreniem i naborom opredelennyh znaqeni napreniili talonnyh znaqeni, kotorye proizvodts posledovatel~noili suwestvut parallel~no. Sootvetstvuwim obrazom razliqa-ts ACP posledovatel~nogo i parallel~nogo preobrazovani.Posledovatel~noe preobrazovanie, take nazyvaemoe kosvennym pre-obrazovaniem, trebuet mnogih xagov preobrazovani (dl 8 bit do255 xagov preobrazovani) i tol~ko odin talon. Ono medlennoe, nos nebol~ximi zatratami. Parallel~noe preobrazovanie, take nazy-vaemoe neposredstvennym metodom, rabotaet tol~ko s odnim xagompreobrazovani, no so mnogimi talonami. Dl 8 bit neobhodimo, kprimeru, 255 komparatorov. Primer ACP parallel~nogo preobrazo-vani pokazan na ris. 2.26.

Medu timi metodami imeets rd smexannyh form, kotorye pred-stavlt sobo kompromiss medu skorost~ i zatratami (naprimer,dl 8 bit 8 talonov i 8 xagov preobrazovani). K takim ACPprinadleat stupenqatye preobrazovateli, kotorye rabotat poprincipu posledovatel~no approksimacii. Princip zaklqaetsv zamene dvoiqnogo sqetqika logiqeskimi shemami upravleni szadanno programmo. Neobhodimoe koliqestvo xagov sravneni mi-nimiziruets metodom vzvexivani. Dl togo, naqina so starxego


Codierer

Uref

-+

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

7

6

5

4

3

2

1

2

2

2

UE

R1

R2

R3

R4

R5

R7

R8

R6

U1

U2

U3

U4

U5

U6

U72

1

0

Ris. 2.26: Shema ACP s prmym sravneniem napreni (Codierer:ko-der)

bita, proishodit posledovatel~noe sravnenie vhodnogo napreni sprinadleawimi znaqenimi napreni otdel~nyh bitov.

V real~nyh ACP kvantovatel~ vyzyvaet po suwestvu qetyre oxibki:

Nelinenost~: Real~na harakteristika preobrazovatel «izognuta»neravnymi xagami kvantovani (ris. 2.27 a).

Pogrexnost~ ograniqeni: Real~na harakteristika preobrazova-tel slixkom kruta, naibol~xee dvoiqnoe qislo dostigaets dopodaqi naivysxe vhodno veliqiny (ris. 2.27 b).

Pogrexnost~ kvantovani: Real~na harakteristika preobrazovatelslixkom «redka», dlina slova dolna byt~ uveliqena(ris. 2.27 c).

Pogrexnost~ smeweni: Real~na harakteristika preobrazovatelsmewena slixkom daleko nalevo ili napravo, pri vhodno veli-qine ravno nul rezul~tat preobrazovani ne raven nul(ris. 2.27 d).


idealeKennlinie

realeKennlinie

a)

c) d)

b)

f0 f0

f0f0

fqu

fqu fqu

fqu

Ris. 2.27: Qetyre oxibki pri analogo-cifrovom preobrazovanii [40],a) nelinenost~, b) pogrexnost~ ograniqeni, c) pogrexnost~ kvanto-vani, d) pogrexnost~ smeweni (reale Kennlinie:real~na harakteris-tika, ideale Kennlinie:ideal~na harakteristika)

Vo vtorom neobhodimom xage (kodirovanie) promeutoqny rezul~tatfqu dolen byt~ preobrazovan v elaemy dvoiqny kod. Obyqnoispol~zuets obratny i dopolnitel~ny kod, no take i kod qi-sel s plavawe zapto. Otobraenie fqu na vyhodnu veliqinu fnproishodit posredstvom cifrovyh kombinatornyh shem.

2.4.6 Vyqislitel~nye maxiny

Signalo-obrabatyvawa sistema (sm. ris. 2.16) otobraaet ocif-rovanny vhodno signal fn na cifrovo vyhodno signal gn.Signalo-obrabatyvawu sistemu mono realizovat~ posredstvommikroprocessora, signal~nogo processora, a take cifrovymi logi-qeskimi shemami. Algoritmy obrabotki signalov na tih platfor-mah realizuts po-raznomu. Razliqi prodemonstrirovany dalee naprostom primere. Dl togo my vybrali qasto ispol~zuemu pri


obrabotke signalov funkcional~u svz~ lineno kombinacii:

gn =

I−1∑

i=0

ai · fn+i (2.57)

Pri tom ai – kofficienty, na kotorye nuno umnoat~ otsqetyfn+i pered sloeniem.

Mikroprocessor: Mikroprocessor ne specializiruets na zadani-h cifrovo obrabotki signalov i imeet obyqno arhitekturu fonNemana, otliqitel~no osobennost~ kotoro vlets to, qto ko-mandy i operandy (v naxem sluqae kofficienty i otsqety) hra-nts v odnom i tom e zapominawem ustrostve (ris. 2.28). Sle-dovatel~no, obrawenie k instrukcim i operandam proishodit vo vre-meni posledovatel~no. Operandy postupat v arifmetiqesko-logi-qeskoe ustrostvo, kotoroe vypolnet vyqislitel~nye operacii, za-visimye ot komandy. Qasto dopolnitel~no integriruets adres-noe arifmetiqeskoe ustrostvo, kotoroe delaet ffektivnym rasqetadresa pamti pri dostupe k signal~nym vektoram. Dl operaciign =

∑ai ·fn+i pered kadym umnoeniem dolno proishodit~ po odno-

mu obraweni k pamti, indicirovanno s i i s n + i. Proizvedeniesohranets vo vnutriprocessornom registre i zatem skladyvaets ssoderaniem nakaplivawego registra, kotory soderit rezul~tatsloeni gn posle I xagov. Stowee v indeksnom registre znaqenie idolno inkrementirovat~s i provert~s na uslovie prekrawenii = I. Do teh por poka ono nevypolnimo, programmnye xagi pov-torts. Vypolnenie algoritma trebuet mnoestva ciklov komandi qteni operandov, a take mnogokratnogo vypolneni operacisloeni, umnoeni, inkrementirovani i sravneni v programmnomcikle. Potrebnost~ vo vremeni sootvetstvuwim obrazom vysoka, onapovyxaets, krome togo, lineno s koliqestvom slagaemyh I. Resursylementov lektronnyh ustrostv (obem pamti i programmy) poqtine ograniqivat koliqestvo slagaemyh, t.k. upravlenie pamt~ v-lets menee trudoemkim.Sovremennye poluprovodnikovye tehnologii, vysokie taktovyeqastoty, tehnika kx-pamti i konveerna arhitektura dat voz-monost~ xirokogo ispol~zovani mikroprocessora pri obrabotkesignalov vopreki konceptual~nym nedostatkam.

Cifrovo signal~ny processor: Cifrovo signal~ny processorDSP (angl.: Digital Signal Processor) specializiruets na zadanihcifrovo obrabotki signalov i imeet obyqno arhitekturu Garvarda,kotora harakterizuets tem, qto komandy i operandy hrant-s v razdel~nyh zapominawih ustrostvah [29]. Sledovatel~no,obrawenie k komandam i operandam proishodit vo vremeni pol-nost~ parallel~no. Vo vrem obraweni k operandam ue moet


Arithmetik-Logik-Einheit

Befehle Koeffizienten

a0 a1 a2...... fn fn+1 fn+2

...

Eingangssignal Ausgangssignal

gn...gemeinsamer

Speicher

Ris. 2.28: Realizaci uravneni 2.57 mikroprocessorom (gemeinsamerSpeicher:obwa pamt~, Befehle: komandy, Koeffizienten: kofficienty,Eingangssignal: vhodny signal, Ausgangssignal: vyhodny signal,Arithmetik-Logik-Einheit:arifmetiqesko-logiqeskoe ustrostvo)

sqityvat~s sleduwa komanda iz zapominawego ustrostva.Operandy postupat na special~ny mul~tiplikator-summator, ko-tory specializiruets na bystrom vypolnenii qasto ispol~zuemyhfunkci umnoeni i sloeni. Dopolnitel~no integrirovany vbol~xinstve sluqaev neskol~ko adresnyh arifmetiqeskih ustrostv,kotorye delat ffektivnym rasqet adresov pamti pri dostupek signal~nym vektoram. Nardu s qasto ispol~zuemo funkcieinkrementirovani adresa take podderivats special~nye vidyadresacii, takie kak adresaci oqeredi ili adresaci s porazrdnoinversie.

Dl ffektivno realizacii primera gn =∑ai · fn+i v rasporenii

imeets struktura konveernogo mul~tiplikatora-summatora [29].Vsego lix~ odno komando moet byt~ vypolneno: adresaci pa-mti oboih operandov, povyxenie adresnogo indeksa, umnoenie isloenie promeutoqnyh rezul~tatov. ti operacii osuwestvl-ts v treh- ili qetyrehstupenqatom konveere, tak qto vo vremsloeni i-to summy sootvetstvenno obrazuets proizvedenie sle-duwih operandov (i + 1), i odnovremenno beruts iz pamti uesleduwie operandy (i + 2). Qetverta stupen~ konveera mogla byispol~zovat~s dl zapisi rezul~tata gn v pamt~. Komanda moetpovtort~s I-raz, bez dopolnitel~nogo sqityvani s pamti komandy(ris. 2.29).

DSP, pri pomowi opisannogo parallel~nogo metoda raboty, dlvypolneni funkcii neobhodimo znaqitel~no men~xe taktov, qemmikroprocessoru, qto vedet, po sravneni s mikroprocessorami, kbolee vysoko skorosti obrabotki pri neznaqitel~nom potreblenii


Befehle Koeffizienten

a0 a1 a2...... fn fn+1 fn+2

...Eingangssignal

MultipliziererAkkumulator

...

Addierer

Ausgangssignal

gn

1. Pipeline-Stufe

2. Pipeline-Stufe

3. Pipeline-Stufe

4. Pipeline-Stufe

Ris. 2.29: Realizaci uravneni 2.57 signal~nym processorom (Befeh-le: komandy, Koeffizienten:kofficienty, Eingangssignal:vhodny signal,Pipeline-Stufe:stupen~ konveera, Akkumulator:akkumultor, Multiplizierer:mul~tiplikator, Addierer: summator, Ausgangssignal:vyhodny signal)

mownosti. Zatraty vremeni neznaqitel~ny, povyxats, tem nemenee, take, kak i u mikroprocessora s veliqino I lineno.DSP dostigaet vysoko ffektivnosti, odnako, tol~ko togda, kogdapriments destvitel~no special~nye komandy, qto trebuet opti-miziruwih kompiltorov i osobenno twatel~nosti pri razrabotkeprogramm. Sledovatel~no, programmy dl DSP qasto zavist otspecifiki apparatury.

Cifrova logiqeska shema: Kak primer realizacii zadaniobrabotki signalov s cifrovymi logiqeskimi shemami predstavlenarealizaci algoritmov na programmiruemyh logiqeskih shemahFPGA (angl.: Field Programmable Gate Arrays). FPGA predlagats kakshemy, kotorye sostot iz matricy cifrovyh funkcional~nyh qeeks raznoobraznymi vozmonostmi soedineni. Kak cifrova funkciqeek, tak i puti soedineni, mogut opredelt~s konfiguracieshemy. Matriqno strukturo mono otobraat~ lbye cifrovyefunkcii, t.e. struktura shemy opredelets elaemym primeneniem.V qastnosti, horoxo mogut otobraat~s parallel~nye struktury.Realizovat~ primer operacii gn =

∑ai · fn+i na FPGA vozmo-

no neskol~kimi sposobami. Otnositel~no maksimal~no skorostiobrabotki osoby interes vyzyvat parallel~nye vozmonosti rea-


lizacii. Pri rassmotrenii otdel~nyh slagaemyh

gn = a0 · fn+0 + a1 · fn+1 + a2 · fn+2 + · · ·+ aI−1 · fn+I−1 (2.58)

my vidim, qto ispol~zuets qislo I mul~tiplikatorov, kotoryeodnovremenno pol~zuts vsemi operandami. Posleduwee sloenieproizvedeni moet proishodit~ vektornym summatorom. T.k. vsemiresursami (zapominawee ustrostvo, mul~tiplikator i summa-tor) mono rasporat~s parallel~no, uravnenie 2.58 ne trebuetposledovatel~nogo vypolneni. Vremenno xag (takt) neobhodim dlpredostavleni novyh vhodnyh operandov. V otliqii ot realizacis mikroprocessorami ili DSP operandy nahodts ne v adresuemopamti, a v registrah smeweni, kotorye parallel~no sqityvats.to znaqit, qto qeka pamti ne dolna vybirat~s adresom ipodvergat~s obrabotke. Vmesto togo operandy provodts v kadytakt mimo edinicy obrabotki (ris. 2.30). Algoritm polnost~ oto-braen v strukture, dl vremennogo upravleni nikakih lementovne trebuets (poluqenie komandy, adresaci operandov).

Eingangssignal

fn fn+1 fn+2

Koeffizient Koeffizient Koeffizient

a2a1a0

...

Multiplizierer MultipliziererMultiplizierer

Addierer

Addierer

gn...

Ausgangssignal

Ris. 2.30: Realizaci uravneni 2.58 cifrovo logiqesko shemo dlI = 3 (Eingangssignal:vhodny signal, Koeffizient:kofficient, Multiplizie-rer: mul~tiplikator, Addierer: summator, Ausgangssignal:vyhodny sig-nal)

Dl preobrazovani matematiqeskih funkci v strukturah FPGAtrebuets principial~noe obdumyvanie struktury, vzvexennoe is-pol~zovanie stepeni parallel~nosti i, vmeste s tem, skorosti


vyqisleni i imewihs resursov. Pri vysoko stepeni paral-lel~nosti moet byt~ dostignuta take vysoka skorost~ vyqislenipri neznaqitel~nom koliqestve taktov. Zatraty vremeni neznaqi-tel~ny i nezavisimy ot qisla slagaemyh I, potreblenie resursov, temne menee, povyxaets s to veliqino lineno. T.k. zavisimoe ot vre-meni upravlenie oqen~ prostoe, lektriqeska mownost~ rashoduetstol~ko dl vyqislitel~nyh operaci. Potreblema mownost~, sv-zanna so skorost~ obrabotki, sootvetstvuwim obrazom neznaqi-tel~na.

2.4.7 Cifro-analogovye preobrazovateli

Obrabotannye processorom diskretnye znaqeni signala v momentotsqeta gn byli v naxe modeli cepi obrabotki signalov opisanyposredstvom ih proishodeni iz nepreryvnogo signala f(t). Eslipredyduwa obrabotka byla proizvedena bez poteri informacii, tovosstanovit~ ishodny signal mono s absoltno toqnost~. Per-vy xag togo obratnogo preobrazovani sostoit v generirovaniidiskretnogo po znaqenim, no nepreryvnogo vo vremeni signala.Neobhodimoe ustrostvo dl togo – cifro-analogovy preobrazova-tel~ (korotko: CAP). Stroenie CAP mono predstavit~ sebe dvuh-stupenqatym. Snaqala kady otsqet gn poluqaet obratno svo pot-ernnu v kvantovatele lektriqesku veliqinu, tok ili naprenie(sm. ris. 2.24 na str. 46). tot proishodit v dekvantovatele. On pere-mnoaet kadoe znaqenie gn s vvedenno v uravnenii 2.54 xirinoxaga ∆:

gdqu = ∆ · gn =2 fm2B+1

· gn =fm2B· gn (2.59)

Dekvantovatel~ opisyvaets harakteristiko. Kak i v uravnenii 2.53,dannu harakteristiku mono approksimirovat~ posredstvom pr-mo, prohodwe qerez naqalo koordinat, s uglovym kofficien-tom ∆ = 1/a.Vtoro lement – to lement uderivani 0-go pordka. Shemauderivani dolna derat~ signal postonnym v teqenie perio-da diskretizacii TA dl vypolneni summirovani do (poka ewe)stupenqatogo signala. Dl stupenqatogo vyhodnogo signala g0(t)destvitel~no:

g0 (t) =

∞∑

n=−∞gdqu · h0 (t− n TA)

= ∆

∞∑

n=−∞gn · h0 (t− n TA) (2.60)

Pri tom h0 – impul~sny otklik lementa uderivani 0-go po-rdka. Cifro-analogovym preobrazovatelem vypolnts dva xaga:


dekvantizirovanie i uderivanie.

Po principam realizacii CAP razliqats na posledovatel~nyei parallel~nye, krome togo, ewe na prmye i kosvennye. Priispol~zovanii kosvennogo metoda preobrazovanie proishodit popromeutoqno veliqine, naprimer, po prodolitel~nosti impul~sa.Sozdaets veliqina, proporcional~na dvoiqnomu kodirovani,posredstvom togo, qto, naprimer, dvoiqno vzvexennye istoqnikinapreni podklqats ili otklqats (Uref = 20 V, 2 Uref =21 V, 4 Uref = 22 V). CAP lestniqnogo R2R-tipa (ris. 2.31) imeetpreimuwestvo vysoko toqnosti pri oqen~ neznaqitel~no zavisi-mosti ot temperatury, kotoroe zavisit lix~ ot otnoxeni obeih is-pol~zovannyh veliqin soprotivleni R i 2R, no ne ot samo veliqinysoprotivleni.

+

Us

D0 D1 D2

R R

2R 2R 2R 2R R =2R0

Impedanz-wandler

UA

IK

Ris. 2.31: Cifro-analogovy preobrazovatel~ lestniqnogo R2R-tipa (Impedanzwandler:impedansny preobrazovatel~ ili povtoritel~napreni)

Real~nye CAP imet oxibki, obuslovlennye izgotovleniem. toznaqit, qto toqnost~, linenost~ i perehodnoe vrem otliqatsot ideal~nogo povedeni. Razliqie tem neznaqitel~nee, qem toqneeproizvedeny analogovye lementy, takie kak vyklqatel~, generatoropornogo napreni i usilitel~.CAP mono opisat~ ukazannymi na ris. 2.32 veliqinami:

Razrexenie: Ono sootvetstvuet koliqestvu bit ili stupene kvanto-vani. Take printo ukazyvat~ razrexenie kak procent polnogootkloneni. Naprimer: 10-razrdny CAP → 210 = 1024 stupenekvantovani → 0,1 %.

Nelinenost~: Nelinenost~ vlets pogrexnost~ CAP. Ona opre-delets razliqiem medu real~no i ideal~no harakteris-tiko.

Pogrexnost~ smeweni: Pogrexnost~ smeweni vlets vyhodnaveliqina pri vhodnom nulevom kode.


Offsetfehler

realeKennlinie

idealeKennlinie

Nicht-linearität

gdqu

gn

Ris. 2.32: Harakternye veliqiny cifro-analogovogo preobrazo-vatel [46] (Offsetfehler: pogrexnost~ smeweni, Nichtlinearität: ne-linenost~, reale Kennlinie: real~na harakteristika, ideale Kennlinie:ideal~na harakteristika)

2.4.8 Vtoroe sqityvawee ustrostvo

Na vyhode cifro-analogovogo preobrazovatel signal imeet stupen-qatu formu i (ewe) ne sootvetstvuet original~nomu signalu. Taknazyvaemy fil~tr rekonstrukcii moet proizvodit~ iz diskretnogopo znaqenim signala nepreryvny po znaqenim. Dl takogo fil~traneobhodima vhodna veliqina v vide posledovatel~nosti impul~sov,vysota kotoryh sootvetstvuet vysote sootvetstvuwe stupeni. Dlsozdani tih impul~sov v naxe modeli cepi obrabotki signala tre-buets vtoroe sqityvawee ustrostvo. Kak pri pervom sqityvawemustrostve, tak i zdes~, req~ idet ob ideal~no sheme usilitel scifrovym i analogovym vhodami. Na cifrovo vhod podaets tak-tovy signal δT (t), na analogovy vhod stupenqaty vyhodno signalg0(t) cifro-analogovogo preobrazovatel. Oba signala peremnoat-s:

gs (t) = g0 (t) · δT (t)

= g0 (t) ·∞∑

n=−∞δ (t− n TA)

=

∞∑

n=−∞g0 (n TA)︸︷︷︸

∆·gn

· δ (t− n TA)

= ∆

∞∑

n=−∞gn · δ (t− n TA) (2.61)


Rezul~tat gs(t) – to elaema impul~sna posledovatel~nost~kak vhodna veliqina dl sleduwego fil~tra rekonstrukcii. Naris. 2.33 predstavleno vtoroe sqityvawee ustrostvo s ego sosedni-mi lementami.

Digital-Analog-Umsetzer

gn

Rekonstruktions-filter

Dequantisierer Halteglied0. Ordnunggdqu

g (t)s

g(t)

δT(t)

g (t)0

Zweiter Abtaster

Ris. 2.33: Cifro-analogovy preobrazovatel~, vtoroe sqityvaweeustrostvo i fil~tr rekonstrukcii (Digital-Analog-Umsetzer:CAP, De-quantisierer:dekvantovatel~, Halteglied 0. Ordnung:lement uderivani0-go pordka, Zweiter Abtaster:vtoroe sqityvawee ustrostvo, Rekon-struktionsfilter:fil~tr rekonstrukcii)

2.4.9 Fil~try rekonstrukcii

Fil~tr rekonstrukcii – to ideal~ny fil~tr ninih qastot, dlperedatoqno funkcii H(ω) kotorogo dolno vypolnt~s:

H (ω) =

TA dl |ω| ≤ πTA

0 inaqe(2.62)

Danny fil~tr sostavlet iz poluqennyh vtorym sqityvawimustrostvom impul~sov gs(t) analogovy vyhodno signal. Prin-cip raboty togo lementa budet nagldne pri rassmotrenii im-


pul~snogo otklika h(t) ideal~nogo fil~tra ninih qastot:

h (t) =1

2π

∞∫

−∞

H (ω) ejωt dω

=TA

2π

π/TA∫

−π/TA

ejωt dω =TA

2π

π/TA∫

−π/TA

[cos (ωt) + j · sin (ωt)] dω

=sin (π t/TA)

π t/TA= si

(π t

TA

)

(2.63)

Esli na vhod fil~tra ninih qastot v razliqnye momenty vremenipostupaet neskol~ko impul~sov, to na vyhode ideal~nogo fil~traiz-za linenosti sistemy neskol~ko sinc-funkci additivno naklady-vats (ris. 2.34).

tt

δ(t) g(t)

g (t)s

t

g(t)

TA

ω

H( )ω

πTATA

πTA

0

Ris. 2.34: Vhodno i vyhodno signaly ideal~nogo fil~tra ninihqastot

Teoretiqeska osnova rekonstrukcii vyhodnogo signala bylapoloena v 1915 godu dmundom T. Uittekerom [56]. Esli signal navyhode fil~tra rekonstrukcii oboznaqit~ kak g(t), to destvitel~no:

g (t) =

∞∫

−∞

h (τ) · gs (t− τ)dτ

=

∞∫

−∞

h (τ) ·∆N−1∑

n=0

gn · δ (t− n TA − τ)dτ

= ∆N−1∑

n=0

gn · h (t− n TA) dl lbo h(t) (2.64)

Esli teper~ podstavit~ dl h(t) impul~sny otklik ideal~nogo


fil~tra ninih qastot, to sleduet:

g (t) = ∆

N−1∑

n=0

gn ·sin

[π

TA(t− n TA)

]

π

TA(t− n TA)

= ∆

N−1∑

n=0

gn · si[π

TA(t− n TA)

]

(2.65)

Dannoe uravnenie vlets uravneniem rekonstrukcii Uittekera.Central~nu rol~ v ee matematiqesko formulirovke igraet funkcirekonstrukcii si(x), kotora take nazyvaets sinc-funkci ili kar-dinal~na funkci Uittekera (sm. qast~ 2.1.2). Rekonstrukcisignala iz takih sinc-funkci pokazana na ris. 2.35.

Pri podstanovke

sin

[π

TA(t− n TA)

]

= sinπ t

TAcosn π − cos

π t

TAsinn π = (−1)

nsin

π t

TA(2.66)

poluqaets uprowenie medu momentami otsqeta:

g (t) = ∆ · sin (π t/TA)

π/TA

N−1∑

n=0

gn ·(−1)

n

t− n TA(2.67)

V momenty samih otsqetov g(t) ravny otsqetam gn.Na ris. 2.34 my vidim peredatoqnu funkci H(ω) ideal~nogo fil~-tra. Iz-za krutizny harakteristiki rekonstruirovanna funkci vre-meni g(t) soderit tol~ko krugovye qastoty, kotorye men~xe qem π

TA.

to qastnoe ravno polovine krugovo qastoty diskretizacii ωA ilikrugovo qastote Nakvista ωN po uravneni 2.30. Na ris. 2.35 myvidim, odnako, qto ideal~ny fil~tr ninih qastot predstavletnekauzal~nu sistemu, tak qto vosstanovlenie signala na praktikeproizvodits realiziruemymi fil~trami ninih qastot i bez vtoro-go sqityvawego ustrostva.

2.4.10 Aktatory – ispolnitel~nye mehanizmy

Tehniqeskie slovari obsnt slovo aktator kak «samosto-tel~ny raboqi lement». Nardu s tim take ispol~zuetsnemeckoe pontie Aktuator kak doslovny perevod angliskogo slovaactuator (ispolnitel~ny lement, datqik, indikator). Hot ni «Ak-tor», ni «Aktuator» ne nati v slovare Dudena, posledni lement cepiobrabotki signala oboznaqaets v literature mnogih avtorov kakaktator (ispolnitel~ny mehanizm). On otobraaet obrabotannylektriqeski signal lektriqeskogo nositel na lbo nelektri-qeski nositel~ signala. On vlets preobrazovatelem signala.


g (t)s

4

2

0

-2

4

2

0

-2

g(t)

4

2

0

-2

t1 2 3 4 5

t1 2 3 4 5

t1 2 3 4 5

a)

b)

c)

Ris. 2.35: Rekonstrukci signala putem naloeni sinc-funkci,a) vhodno signal gs(t) fil~tra rekonstrukcii, b) slagaemye po urav-neni 2.65, c) summa g(t) kak vyhodno signal

Qasto to preobrazovanie svzano s usileniem mownosti signala.

Suwestvuet bol~xoe koliqestvo fiziqeskih nositele signala,kotorye mogut prevrawat~s datqikami v lektriqeski signal iposle okonqani obrabotki signala snova mogut byt~ vosstanovle-ny pri pomowi ispolnitel~nogo mehanizma. V dannyh lementahnahodt primenenie mnoestvo fiziqeskih ffektov. Imeets mno-estvo variantov iz-za dopolnitel~nyh tehniqeskih prisposoblenik razliqnym postanovkam zadaqi, tehnologiqeskim trebovanim igradacim kaqestva. Vyhodnye veliqiny ispolnitel~nogo mehanizma– to, k primeru, ugly, koliqestvo, rastenie, davlenie, svet.Razgraniqenie ispolnitel~nogo mehanizma v predelah lementovobrabotki signalov ne vsegda odnoznaqno vozmono kak u datqikov,t.k. s fiziqesko storony preobrazovatel imets dopolnitel~nye


tehniqeskie konstrukcii dl izmeneni signala, kotorye vyhodt zaramki lektrofiziqeskogo ffekta preobrazovani ispolnitel~nogomehanizma. Takim obrazom, u ispolnitel~nogo mehanizma, na primeredinamika, proishodit izmenenie lektriqesko veliqiny snaqalav magnitnu, zatem v mehaniqesku i, nakonec, v akustiqeskuveliqinu.

Ispolnitel~nye mehanizmy mogut podrazdelt~s po pohoim kri-terim, kak i datqiki:

• po ispol~zuemo tehnologii pri izgotovlenii ispolnitel~nyhmehanizmov

• po elaemomu primeneni• po fiziqesko vyhodno veliqine ispolnitel~nogo mehanizma

Ispolnitel~nye mehanizmy razliqats, naprimer, po ispol~zuemopri izgotovlenii tehnologii na mikromehaniqeskie, gibridnye ilikeramiqeskie. Esli e na pervom plane stoit primenenie, to ispolni-tel~nymi mehanizmami vlts, k primeru, indikatory, printery,zapominawie ustrostva, dinamiki ili ventili. Sleduwi krat-ki obzor soderit neskol~ko ispolnitel~nyh mehanizmov, kotoryerazliqats po vyhodno fiziqesko veliqine.

lektromagnitnye ispolnitel~nye mehanizmy: magnitnye golovkidl magnitnyh lent ili disket, xagovye dvigateli, privodypozicionirovani, mikromotory, rele, magnitnye ventili,nasosy, dinamiki, peqatawie golovki (matriqnye i strunyeprintery), gal~vanometry, peredawie antenny

lektrostatiqeskie ispolnitel~nye mehanizmy: lektrostatiqeskiedinamiki, p~ezodatqiki, ul~trazvukovye preobrazovateli,p~ezolektriqeskie fil~try, fil~try na poverhnostnyh akusti-qeskih volnah, mikrorezonatory

lektroteplovye ispolnitel~nye mehanizmy: termolektriqeskiohladitel~ Pel~t~e, peqatawie golovki (termotransfertnyprinter), predohraniteli, lektronagrevateli

lektrooptiqeskie ispolnitel~nye mehanizmy: svetodiody, optron,lazernye diody, lektronno-luqeva trubka, plazmenny moni-tor, LCD-monitory

Kak dl datqikov, tak i dl ispolnitel~nyh mehanizmov imeets rdponti, kotorymi opisyvats ih svostva. K nim prinadleat:

• peredatoqna funkci xa = f(xe), a take dopustimoe otkloneniei dannye po linenosti

• harakteristika ispolnitel~nogo mehanizma kak grafiqeskoe izo-braenie peredatoqno funkcii; parametrom vlets, kak pra-vilo, qastota lektriqesko vhodno veliqiny


• krutizna ispolnitel~nogo mehanizma kak (differencial~ny)uglovo kofficient ego harakteristiki

• kalibrovka ispolnitel~nogo mehanizma, klassy toqnosti• oblast~ modulcii fiziqesko vyhodno veliqiny, minimal~nye

i maksimal~nye znaqeni• razrexenie, minimal~na vosproizvodima vozmonost~ raz-

liqi proizvedennyh vyhodnyh znaqeni• stabil~nost~ parametrov, proqnost~, proizvodstvennoe qislo

qasov, nadenost~• tehniqeskie uslovi, gabarity, potreblenie nergii ot vspomo-

gatel~nogo istoqnika, kofficient poleznogo destvi• stokost~ k vozdestvi klimatiqeskih faktorov i vibroproq-

nost~, vzryvozawita, lektromagnitna sovmestimost~ (EMV),toksiqnost~

Ris. 2.36: Telefonna trubka, kak primer ispolnitel~nogo mehanizma(elektrisches Signal:lektriqeski signal, magnetischer Kern:magnitnyserdeqnik, Spule:katuxka, Feder:pruina, magnetische Membran:magnit-na membrana, Schallwellen:zvukovye volny)

Na ris. 2.36 izobraen dinamik telefonno trubki, kak primer is-polnitel~nogo mehanizma akustiqeskih signalov. Katuxka, magnit-ny serdeqnik i membrana raspoloeny takim obrazom, qto soz-dat magnitny krug. lektriqeski tok prohodit qerez katuxkui sozdaet magnitny potok, kotory v svo oqered~ proizvoditsilu, blagodar kotoro membrana pritgivaets magnitnym serdeq-nikom. Izmeneni toka proizvodt izmenenie sily i dvienie mem-brany. Blagodar svzi dvieni membrany s obemom vozduha vkorpuse telefonnogo apparata, sozdaets zvukovoe kolebanie propor-cional~noe lektriqeskomu toku. Danny lektromagnitny meha-nizm imeet vysoki kofficient poleznogo destvi i potomu vnaqale razviti telekommunikacii oqen~ qasto ispol~zovals. K


soaleni, harakteristika ispolnitel~nogo mehanizma pri bol~xomotklonenii membrany nelinena i vsledstvie togo uhudxaets ka-qestvo peredaqi. Krome togo, harakteristika ispolnitel~nogo meha-nizma zavisit ewe i ot qastoty vhodnogo lektriqeskogo signala. Obaffekta ograniqivat oblast~ primeneni, v osnovnom on ispol~zuet-s kak dinamik v telefone ili v sluhovom apparate.

2.5 Zadaqi

Zadaqa 1 (rexenie na str. 279)

Signal s(t) = s0 cos(2πf0t) s s0 = 1 i f0 = 1 Gc dolen byt~ diskre-tizirovan. Oboznaq~te v diagramme:

• diskretiziruemy signal s(t)• diskretiziruwi signal δ(t) s qastoto diskretizacii fA =

4 Gc i momentami otsqetov tn = nTA dl n = −6 . . .+7• diskretizirovanny signal s′(t)

Oboznaq~te v sleduwe diagramme:

• spektr diskretiziruemogo signala s(t)• spektr diskretiziruwego signala δ(t)• spektr diskretizirovannogo signala s′(t)

Mono li vosstanovit~ signal? Povtorite zadanie s qastotodiskretizacii fA = 2 Gc.


Datqik prevrawaet nelektriqesku veliqinu x iz diapazona iz-mereni x = 0 . . . 4 v lektriqeski signal y. Statiqeska harakteris-tika datqika (sensorna harakteristika) – parabola y(x) = x2 +x+ 2.

• Opredelite v seredine diapazona izmereni, tak nazyvaemu,sensornu krutiznu ili sensornu quvstvitel~nost~ (uglovokofficient kasatel~no k parabole).

• Fiziqeski princip destvi datqika izvesten: izmeremoveliqine x = 0 vsegda prinadleit sensorny signal y = 2. Stim kraevym usloviem nuno nati linenoe priblienie dlparaboly. Prmu priblieni y′(x) = c1x + c0 s c0 = 2 nu-no skonstruirovat~ takim obrazom, qtoby oxibka byla mini-mal~no (sm. qast~ 3.8).

• Obratna funkci ot dannogo priblieni moet sluit~, kprimeru, dl togo, qtoby v lbom meste cepi obrabotki signala

2.5. ZADAQI 65

veliqinu y′ mono bylo peresqitat~ v pribliennu izmere-mu veliqinu x′(y′). Ukaite dl obratno funkcii vyqisli-tel~noe pravilo x′ = f(y′).


Vyvedite pri pomowi pravila opredeleni napreni na otdel~nyhuqastkah cepi kompleksnu peredatoqnu funkci H v zavisimostiot qastoty f passivnogo RC-fil~tra ninih qastot. Fil~tr ni-nih qastot sostoit iz soprotivleni R = 4,7 kΩ i kondensatoraC = 33 nF. Sdelate nabroski sleduwih grafikov dl polosy qastotf = 0 . . . 3 kGc:

• modul~ i ugol funkcii H(f)• destvitel~na i mnima qasti funkcii H(f)

Naskol~ko velika qastota, pri kotoro modul~ peredatoqno funkciiprinimaet znaqenie 1

2

√2?


Sproektirute analogovy fil~tr, kotory otveqaet sleduwimtrebovanim:

• fg = 2 kGc (predel~na qastota)• fs = 2 · fg (qastota zaderivani)• |H(fg)| = 0,707 (modul~ peredatoqno funkcii pri fg)• |H(fs)| = 0,316 (modul~ peredatoqno funkcii pri fs)

Izobrazite na osnove uravneni 2.1 shemu dopustimyh otkloneni(ris. 2.37). Rassqitate kvadrat modul peredatoqno funkcii priqastotah fg i fs. Qemu ravny harakteristiqeskie znaqeni ε i λ?Kako pordok fil~tra N trebuets dl sootvetstvuwego fil~traBattervorta? V zaklqenii izobrazite kvadrat modul peredatoqnofunkcii |H(f)|2 sproektirovannogo Vami analogovogo fil~tra v dia-gramme so shemo dopustimyh otkloneni.


Sproektirute antialiasingovy fil~tr s harakteristiko Batter-vorta dl qastoty diskretizacii 8 kGc i dl 8-razrdnogo analogo-cifrovogo preobrazovatel. Ukaite vybrannu vami predel~nuqastotu i sleduwi iz togo pordok fil~tra N .



1

11+e

2

11+l

2

wg wsw

SperrbereichDurchlass-bereich

H ( ) ²w

00

Ris. 2.37: Shema dopustimyh otkloneni pri proektirovanii fil~traninih qastot (Durchlassbereich:polosa propuskani, Sperrbereich:polosazaderivani)

Podgotov~te na liste bumagi standarta A4 (poperek) dve diagrammy:

• ordinata: 5 sm, nadpis~: amplituda [V], delenie: 1 V = 4 sm• abscissa: 20 sm, nadpis~: qastota [Gc], delenie: 100 Gc = 1 sm

Izobrazite v dvuh diagrammah pri sootvetstvenno 800 Gc spek-tral~nu lini dl qastoty diskretizacii fA. Dopolnitel~no izo-brazite v diagrammah punktirno vspomogatel~no linie qastotuNakvista fN. Prodelate to e samoe dl vseh celyh kratnyh qas-toty Nakvista. Dl pervo diagrammy predpoloim, qto u spek-tra (amplituda 1 V) diskretiziruemogo vhodnogo signala ograniqenapolosa qastot pri pomowi fil~tra ninih qastot s predel~no qas-toto fg = 200 Gc. Krutizna fil~tra zabotits o tom, qtoby amplitu-da signala pri 300 Gc opuskalas~ do desto qasti. Dl vtoro dia-grammy predpoloim, qto spektr diskretiziruemogo vhodnogo signa-la take ograniqivaets fil~trom ninih qastot s predel~no qas-toto fg = 200 Gc. Pust~ krutizna fil~tra budet neznaqitel~no,tako, qto amplituda signala pri qastote 300 Gc delits popolam.Teper~ sloite vax list garmoxko po vspomogatel~nym linim ce-lyh kratnyh qastoty Nakvista. Poloite svernuty list qastotnooblast~ 0 . . . fN naverh i protknite sootvetstvenno spektr vozmono-go vhodnogo signala v rastre 50 Gc. Tem samym Vy perenesete totspektr v nahodwies vnizu qastotnye oblasti. Razvernite teper~sloenny list i soedinite mesta prokolov linimi. Razsnite raz-liqi v obeih diagrammah. Kak nazyvaets qasto ispol~zuema v tosvzi veliqina π/TA?

2.5. ZADAQI 67


Issledute analogo-cifrovo preobrazovatel~ na ris. 2.26 so sle-duwimi konkretnymi znaqenimi: Uref = 7 V, R1 = R8 = 1 kΩ,R2 . . . R7 = 2 kΩ. Vspomnite dl togo pravilo delitel naprenii operacionny usilitel~ bez obratno svzi. Opredelite i izo-brazite: tip ACP, toqki pereklqeni, tablicu kodirovok, diagram-mu harakteristiki DA = f(UE), funkci harakteristiki DA = f(UE)i diagrammu oxibok kvantovani DA − UE = f(UE).


Issledute cifro-analogovy preobrazovatel~ na ris. 2.31 s R =1 kΩ i postonnym tokom Ik = 6 mA dl vseh treh istoqnikov toka.Vspomnite dl togo pravilo delitel toka i operacionny usili-tel~ s obratno svz~ s usileniem napreni 1. Podate na vhodCAP vhodnye qisla DE = 0, 1, 2 i 4. Dl togo vy dolny otkryt~vyklqateli nie tranzistorov na ris. 2.31 (bit = 0) ili zakryt~(bit = 1). Izobrazite sootvetstvuwie potoki toka v lektriqeskosheme CAP. Po principu superpozicii vy moete legko opredelit~reakci na ostal~nye vhodnye qisla. Opredelite i izobrazite: tipCAP, tablicu znaqeni, diagrammu harakteristiki UA = f(DE),funkci harakteristiki UA = f(DE).


V momenty vremeni tn = 0, 1, 2, 3, 4, 5 s millisekundnym intervalomvydats otsqety fn = 0, 2, 4, 1, 2, 0. Vosstanovite pervonaqal~noemgnovennoe znaqenie signala f(t) v moment vremeni t = 1,8 ms.


Glava 3

Instrumenty vremenno iprostranstvenno oblasti

Signaly, vstreqawies v okruawe srede, suwestvut kak za-visimye ot vremeni, tak i zavisimye ot mesta v prostranstve.Izvleqenie informacii iz tih signalov vozmono putem rasqetatakih parametrov, kotorye dat informaci o svostvah signala.Takogo roda parametry mogut neposredstvenno izvlekat~s iz sig-nala, zavisimogo ot vremeni ili mesta v prostranstve. Issledova-tel~ proizvodit vybor parametrov, qasto opiras~ na process obra-zovani signala. Takim obrazom, naprimer, kardiolog moet toqnosopostavit~ otdel~nye fazy serdeqno detel~nosti s sootvetstvu-wimi qastmi lektrokardiogrammy. On take znaet, kakogo vidaizmeneni mogut vstreqat~s pri patologiqeskih processah. Ego re-xenie dl vysneni i ispol~zovani soverxenno opredelennyh para-metrov i funkci opredeleno znanimi (ris. 3.1).Dl rasqeta parametrov i funkci imeets rd instrumentov, samyevanye iz kotoryh my hotim predstavit~ v danno glave. Snaqa-la budet proizvedeno kratkoe oznakomlenie s takimi pontimikak sluqany process, sluqana veliqina i sluqana peremen-na. Dalee rassmatrivats odnomernye i mnogomernye sluqanyeveliqiny, dl harakteristiki kotoryh ispol~zuts obweprintyeparametry i funkcii. S korrelcie i svertko vvodts dva in-strumenta, kotorye vyqislt iz dvuh vhodnyh signalov odin vyhod-no signal, no presledut pri tom raznye celi obrabotki sig-nalov. Take i metod glavnyh komponent obrabatyvaet neskol~kovhodnyh signalov, odnako rezul~tat sostoit iz takogo e koliqest-va vyhodnyh signalov, no s izmenenno svz~. Rangovye operato-ry, predel~nye operatory i operatory svertki – to instrumenty,kotorye mogut izment~ signal elaemym obrazom. Posledn qast~to glavy posvwena approksimacii signalov. Zdes~ take pokazano,

69

70 GLAVA 3. INSTRUMENTY OBLASTI ORIGINALA

VAT

PA

P

PD

PRINTERVALL

P’D

P’

P’AREA

PA

Q/SDUR

Q/SAMP

Q

QRSD

RA

RD

QRSP

QTINTERVALL

R

STD

STE

SA

SD

S

STON

80 ms

Neigung

Punkt J’

TD

T

St80

T’D

T’A

T’ t

f t( )

Ris. 3.1: Parametry KG [57]

poqemu sistemy ortogonal~nyh funkci igrat osobennu rol~ priobrabotke signalov.Danny kurs predpolagaet znanie osnov teorii verotnoste [7].

3.1 Statistika signalov

Teori verotnoste i statistika tesno svzany s obrabotko signa-lov. Vzaimodestvie teoretiqeskih osnov i primeneni moet byt~znaqitel~no povyxeno poznanimi, kotorye obespeqivats statis-tiko s ee verotnostno-teoretiqeskimi metodami. Bez statisti-qeskih modele obrabotka signalov nevoobrazima, t.k. ona izmen-et statistiqeskie svostva signalov. to izmenenie moet byt~zaplanirovano, kak, naprimer, pri metode glavnyh komponent, li-bo kak neumyxlenny poboqny ffekt. V lbom sluqae, issle-dovatel~ dolen otdavat~ sebe otsqet ob izmenenih. V koneqnomsqete, statistika signala moet i sama priment~s kak instrumentobrabotki signalov. Srednee arifmetiqeskoe znaqenie ili disper-si soderat svedeni o processe proishodeni signala, kotoryhmoet byt~ v konkretnom sluqae dostatoqno dl opisani iskomyhsvostv. Potomu dalee razsnts te osnovnye ponti i parame-try iz teorii verotnoste i statistiki, kotorye neobhodimy dlopisani sluqanyh signalov i ih vozmono imewihs otnoxeni.

3.1. STATISTIKA SIGNALOV 71

3.1.1 Sluqanye processy i veliqiny

Interesuwie nas signaly, kak pravilo, oqen~ slony po svoeprirode. Priqina togo – nezakonomernosti okruawe sredy. Onitake mogut imet~ svo priqinu v sluqanom processe, kotorymy hoteli by proanalizirovat~. Odnako nezakonomernosti mogutnaruxat~ signaly ili povredat~ ih. Kak sledstvie togo, imewa-s v signalah informaci skryta i iskaena. Esli tako signalsuwestvuet ne kak odno nepovtorimoe sobytie, a, naoborot, my vsostonii registrirovat~ mnogie, to my imeem horoxie xansy natiskrytye i iskaennye svedeni.Naibolee qasta forma sluqanogo signala – sluqanoe kole-banie fiziqesko veliqiny, kotoroe zavisit ot vremeni ili otmesta v prostranstve. Pri tom ne vrem ili mesto vletssluqano veliqino, a povivxies diskretnye znaqeni fizi-qesko veliqiny v moment vremeni ili v toqke prostranstvacifrovyh signalov. Sluqany process, nazyvaemy take stohas-tiqeskim, sluit matematiqesko model~ fiziqesko veliqiny.Mnoestvo sluqanyh signalov obrazuet ansambl~, kotory soderitvsevozmonye vyraeni izmereni signala. Qleny ansambl pred-stavlt sobo razliqnye sostavnye qasti sluqanogo signala.Otdel~ny signal ansambl, take nazyvaemy pizodom signala,nazyvaets realizacie processa.V dal~nexem sluqanye signaly ili, v obwem, sluqanye veliqinybudut oboznaqat~s zaglavnymi bukvami X1,X2 . . . , a stroqnymix1, x2, . . . otnoswies k nim qislovye znaqeni (realizacii).Realizaci sluqanogo processa pokazana na ris. 3.2 na primereobratnogo toka i(t) fotodioda, kotory osvewaets mercawe sve-qo. Izmerenie nepreryvno funkcii vremeni dolno, k primeru,povtort~s v sleduwie drug za drugom dni i s odnimi i temi euslovimi (odinakovoe vrem, proizvodstvennye uslovi, vnexnieuslovi). Na ris. 3.2 predstavleny otdel~nye diagrammy odnogotakogo nabldeni.

Teori verotnoste vlets instrumentom opisani sluqanosti.S ee pomow~ take mogut opisyvat~s sluqanye sobyti s pri-suwimi zakonomernostmi. Primenenie metodov rasqeta verotnostedl ocenki real~nyh processov – predmet matematiqesko statistiki.Teori verotnoste i matematiqeska statistika obrazut oblast~stohastiki.Dl rasqeta verotnoste vany model~nye predstavleni, kak,naprimer, prosto povtoremoe kidanie kubika ili vytaskivaniecvetnyh xarov iz urny. Posredstvom tih modele ponti sluqanoesobytie, verotnost~ sluqanogo sobyti i prinadleawie veli-qiny, takie kak funkci raspredeleni i funkci verotnosti, –mono razsnit~ nagldno. K oblasti statistiki prinadleat


t

t

t

i t(

i t(

i t(

i0

i0

i0

)

)

)

Ris. 3.2: Protekanie obratnogo toka i(t) fotodioda pered mercawesveqo (i0 srednee arifmetiqeskoe znaqenie)

takie ponti kak general~na sovokupnost~, vyborka, metod ocenkii metod ispytani. Pri obrabotke signalov osoboe znaqenie imetstatistiqeskie svostva signalov, t.k. instrumenty dl ih obrabotkiizment svostva signalov. Pri primenenii instrumentov dolnybyt~ izvestny ili byt~ predskazuemymi tip i obem elatel~nyhili inogda take neelatel~nyh izmeneni.

Zanesennye v odin ansambl~ signaly mogut byt~ realizacimi odno-go ili neskol~kih sluqanyh processov. V pervom sluqae sluqanaveliqina nazyvaets univariantno ili odnomerno, vo vtoromsluqae bivariantno ili dvumerno, a take mul~tivariantno ilimnogomerno. V sleduwih qasth razsnets opisanie odnomernyhi mnogomernyh sluqanyh veliqin. Soglasno obrabotke signalov, ko-tora izvlekaet informaci iz signala, ti parametry dat sve-deni ob opredelennyh svostvah signala.

3.1.2 Odnomerna sluqana veliqina

Verotnost~ togo, qto sluqana veliqina X prinimaet znaqenie, ko-toroe leit nie predela x, mono opredelit~ funkcie rasprede-leni F (x). F (x) – monotonno vozrastawa funkci, to oznaqaet,esli x1 < x2, to F (x1) ≤ F (x2). Dl funkcii raspredeleni sluqano


veliqiny X destvitel~no:

F (x) = P (X ≤ x) =

x∫

−∞

p (u) du (3.1)

Znaqenie funkcii raspredeleni leit medu predel~nymi znaqeni-mi 0 (nevozmonoe sobytie) i 1 (dostovernoe sobytie).

limx→−∞

F (x) = 0 limx→∞

F (x) = 1

Na dannom tape neobhodimo sdelat~ razliqie medu nepreryvnymi idiskretnymi sluqanymi veliqinami. Sluqana veliqina nazyvaet-s nepreryvno, esli ona moet prinimat~ vse znaqeni zadannogokoneqnogo ili beskoneqnogo intervala destvitel~no qislovo osi.Vmeste s tem qislo realizaci vlets nesqetnym i otliqna ot nulverotnost~ moet otnosit~s tol~ko k odnomu intervalu. Sluqanaveliqina nazyvaets diskretno, esli ona prinimaet koneqnoe qisloznaqeni ili beskoneqnoe sqetnoe qislo znaqeni xi. Esli funkcip(x) v uravnenii 3.1 nepreryvna, to ona nazyvaets plotnost~ vero-tnosti ili plotnost~ sluqano veliqiny X. Ona vlets 1-oproizvodno ot F (x) po znaqeni x sluqano veliqiny:

p (x) =dF (x)

dx≥ 0 (3.2)

Plowad~ funkcii plotnosti verotnosti dolna byt~ vsegda ravna 1:

∞∫

−∞

p (x) dx = 1 (3.3)

Svz~ medu funkcie raspredeleni F (x) i plotnost~ verotnostip(x) nepreryvno sluqano veliqiny pokazana na ris. 3.3.

V sluqae s diskretno sluqano veliqino X dl funkcii verot-nosti p(x) destvitel~no:

p (x) =

p (xi) = P (X = xi) dl x = xi

0 inaqe(3.4)

Analogiqno integralu po uravneni 3.3 vnov~ destvitel~no:∑

i

p (xi) = 1 (3.5)

Vmesto p (xi) mono upotreblt~ kratku formu napisani pi.Ris. 3.4 pokazyvaet primery funkcii raspredeleni i funkcii vero-tnosti diskretno sluqano veliqiny. F (x) vlets stupenqatofunkcie so sqetnym mnoestvom toqek, v kotoryh ona imeet skaqok.


0 2 4 6 8

0,2

0,4

p x(

x

0,2

0,4

0 2 6 8 x

0,5

1F x(

0 2 4 6 8 x

0,5

1F x(

0 2 4 6 8 x

x0 x1x0

P X x( < )0

F x( )0 1– ( )F x0 P x X x( < < )0 1

)

) )

p x( )

Ris. 3.3: Funkci raspredeleni F (x) i funkci plotnosti verotnos-ti p(x) nepreryvno sluqano veliqiny X

Polnost~ opredelet sluqany signal funkci raspredeleni ilifunkci verotnosti. Informaci o svostvah signala postavltparametry tih funkci. Samy vany parametr – matematiqeskoeoidanie:

E (X) =

∞∫

−∞

x p (x)dx = X (3.6)

Simvolom X oboznaqaets srednee znaqenie sluqanogo signala.Dispersi oboznaqaets D2(X),

D2 (X) = E(

(X − E (X))2)

= E(

(X −m1)2)

=

∞∫

−∞

(x−m1)2p (x) dx = σ2 (3.7)

Pri tom ispol~zuets sokrawenie m1 = E(X). Standartnoe otklo-nenie σ vlets poloitel~nym kvadratnym kornem iz dispersii.


a)

0,5

0,1

0,5

1

b)

1

0,1

10 20 30 40

10 20 30 40

2 4 6 8 10 12

2 4 6 8 10 12p x( i

p x( i

F x(

F x(

x

x

x

x0

0

0

0

)

)

)

)

Ris. 3.4: Funkci raspredeleni F (x) i funkci verotnosti p(xi)diskretno sluqano veliqiny X, a) summa toqek dvuh kubikov ib) vos~mi kubikov

Posle preobrazovani poluqaets sleduwee uprowenie:

D2 (X) =

∞∫

−∞

x2 p (x) dx− 2 m1

∞∫

−∞

x p (x) dx+m12

∞∫

−∞

p (x) dx

=

∞∫

−∞

x2 p (x) dx− 2 m1 ·m1 +m12 · 1 = E

(X2)−m1

2 (3.8)

Matematiqeskoe oidanie i dispersi – predstaviteli bolee ob-xirnogo klassa harakteristiqeskih parametrov, tak nazyvaemyh mo-mentov. Pri tom matematiqeskoe oidanie otnosits k naqal~nymmomentam, a dispersi k central~nym momentam. Dl naqal~nogomomenta k-go pordka v sluqae nepreryvnogo sluqanogo signala


destvitel~no:

mk = E(Xk)

=

∞∫

−∞

xkp (x) dx s k ∈ N (3.9)

Esli sluqanye peremennye, iz kotoryh sostoit sluqany process,imet diskretnye znaqeni, to integrirovanie zamenets sloe-niem:

mk = E(Xk)

=∞∑

i=0

xik · pi (3.10)

Naqal~ny moment 1-go pordka, matematiqeskoe oidanie E(X) = m1,– to srednee arifmetiqeskoe znaqenie. Poloitel~ny kvadrat-ny koren~ iz naqal~nogo momenta 2-go pordka, matematiqeskogooidani E(X2) = m2 nazyvaets take srednekvadratiqnym znaqe-niem. Central~nye momenty rassmatrivats otnositel~no centraE(X) = m1. Central~ny moment k-go pordka rassqityvaets dlnepreryvnogo sluqa po uravneni:

zk = Dk (X) = E(

(X − E (X))k)

=

∞∫

−∞

(x−m1)kp (x) dx s k ∈ N (3.11)

Dl diskretnogo sluqa:

zk = E(

(X −m1)k)

=

∞∑

i=0

(xi −m1)k · pi (3.12)

Oboznaqeni central~nyh momentov:

z2 variaci ili dispersi

z3 naklon ili asimmetri

z4 vypuklost~ ili kscess

Central~nye momenty ispol~zuts take i v normirovanno forme:

zk =zk√

z2k(3.13)


Preimuwestvo sostoit v vozmonosti luqxego sravneni s momentamidrugih raspredeleni. Dl normal~nogo raspredeleni dl pervyhpti normirovannyh central~nyh momentov poluqaets:

z0 = 1

z1 = 0

z2 = 1 (3.14)

z3 = 0

z4 = 3

ti znaqeni vlts neobhodimym, no ne dostatoqnym usloviem dlnaliqi normal~nogo raspredeleni [27]. Otkloneni ot vyxeupom-nutyh znaqeni dl k > 2 dopuskat vozdestvi na formu funkciiplotnosti verotnosti ili funkcii verotnosti [44]. Potomu timomenty nazyvats take parametrami formy. Forma pri z3 > 0 skrutym levym sklonom (pologim pravym), pri z3 < 0 s krutym pravymsklonom (pologim levym), pri z4 > 3 ostra (kruta verxina) i priz4 < 3 splwenna (ploska verxina). Na ris. 3.5 privedeny primery.

0,4

0,2

0,4

0,2

2 4 x0–2–4 –4 –2 0 2 4 x

p xN ( p xN (

p xS ( p xW (

)

)

)

)

Ris. 3.5: Funkci plotnosti normal~nogo raspredeleni pN(x) s z3 = 0i z4 = 3, funkci plotnosti s krutym pravym sklonom pS(x) s z3 = −0,65i z4 = 3, funkci plotnosti s plosko verxino pW(x) s z3 = 0 i z4 = 1,5

Pri obrabotke signalov osoba rol~ otvodits ravnomernomu inormal~nomu raspredeleni. Potomu imenno seqas my hotim ih


predstavit~.

Ravnomernoe raspredelenie: Pri ravnomernom raspredelenii dlvseh znaqeni sluqano veliqiny imeets postonna plotnost~verotnosti (ris. 3.6).

p x( )1

( )b–a

xa b0

Ris. 3.6: Funkci plotnosti p(x) ravnomernogo raspredeleni

Dl naqal~nogo momenta 1-go pordka s uravneniem 3.9 poluqaets

m1 =

∞∫

−∞

x1p (x) dx =

b∫

a

x1

b− a dx =1

b− a

[x2

2

]b

a

=b+ a

2(3.15)

i s uravneniem 3.8 dl central~nogo momenta 2-go pordka:

z2 = E(X2)−m1

2 =

b∫

a

x2p (x) dx−m12

=1

b− a

[x3

3

]b

a

−(b+ a

2

)2

=(b− a)2

12(3.16)

Raspredelenie Gaussa: Mnoestvo estestvennyh sluqanyh processovimet normal~noe raspredelenie. Raspredelenie Gaussa, imeweeformu kolokola, imeet sleduwu plotnost~ verotnosti:

p (x) =1

σ√

2 πexp

[

−1

2

(x− µ)2

σ2

]

(3.17)

Dl rasqeta naqal~nogo momenta 1-go pordka po uravneni 3.9 vy-qislets integral:

m1 =

∞∫

−∞

x1p (x) dx =1

σ√

2 π

∞∫

−∞

x exp

[

−1

2

(x− µ)2

σ2

]

dx (3.18)


Pri podstanovke (x− µ)/σ = y poluqaets:

m1 =1

σ√

2 π

∞∫

−∞

(σy + µ) exp

[

−y2

2

]

σ dy

=σ√2 π

∞∫

−∞

y exp

[

−y2

2

]

dy

︸︷︷︸

1. integral

+µ√2 π

∞∫

−∞

exp

[

−y2

2

]

dy

︸︷︷︸

2. integral

= µ (3.19)

Podyntegral~na funkci pervogo integrala neqetna, sledova-tel~no, integral raven nul; dl vtorogo integrala poluqaets

√2π

i vmeste s tem dl srednego arifmetiqeskogo znaqeni znaqenie µ.Shoee rexenie dl central~nogo momenta 2-go pordka z2 = σ2.Raspredelenie Gaussa polnost~ opisano pri pomowi µ i σ, potomuprimenimo take oboznaqenie N(µ, σ). Ris. 3.7 pokazyvaet izmenenikrivo kolokola pri raznyh srednih znaqenih i dispersih.

–100 0 100

0,04

0,02

x

p x(

σ=10

σ=15

σ=30

µ=100

µ=0

µ= –100

)

Ris. 3.7: Funkcii plotnosti verotnosti normal~nogo raspredelenidl raznyh srednih znaqeni µ i dispersi σ

mpiriqeskie parametry: Esli parametry rassmotrennyh namifunkci raspredeleni i plotnosti verotnosti ustanavlivats izvyborki s koneqnym mnoestvom otsqetov ili drugih izmeremyhveliqin, to my poluqaem mpiriqeskie ili statistiqeskie para-metry. Na mesto funkcii raspredeleni i plotnosti verotnostivystupaet togda raspredelenie otnositel~no qastoty, grafiqeskoeizobraenie kotoro predstavleno gistogrammo. Kumultivna gis-togramma sootvetstvuet funkcii raspredeleni, normirovanna gis-togramma – funkcii verotnosti. Po priqine luqxe nagldnosti dl


predstavleni v gistogramme qasto ispol~zuts ne pervonaqal~noizmerennye znaqeni i ih otnositel~na qastota, a ih klassovoeobedinenie. Togda normirovanna gistogramma ispol~zuet vmestofunkcii verotnosti p(xi) = pi otnositel~nye qastoty hi. Dl Nizmereni s n razliqnymi izmerennymi znaqenimi otnositel~nyeqastoty hi vyqislts sleduwim obrazom:

hi =axiN

s i = 0 . . . n− 1 in−1∑

i=0

axi = N (3.20)

priqem axi qislo izmerennyh znaqeni xi. Kak i dl funkcii vero-tnosti vypolnts sleduwie otnoxeni:

0 ≤ hi ≤ 1 in−1∑

i=0

hi = 1 (3.21)

Iz normirovanno gistogrammy neposredstvenno mogut byt~ vz-ty ili rassqitany nekotorye mpiriqeskie parametry, naprimer,mpiriqeskie naqal~nye momenty mk i mpiriqeskie central~nye mo-menty zk:

mk =

n−1∑

i=0

xik · hi (3.22)

zk =

n−1∑

i=0

(xi −m1)k · hi (3.23)

Kumultivna gistogramma kak mpiriqeska funkci raspredelenitoe nazyvaets funkcie raspredeleni nakoplennyh qastot ipoluqaets putem sloeni znaqeni gistogrammy:

Fg =

g∑

i=0

hi (3.24)

Esli sluqana veliqina imeet v celom n razliqnyh znaqeni, to Fgstupenqata funkci, kotora imeet v toqke g skaqok vysoto hg idostigaet samoe pozdnee pri g = n − 1 znaqenie 1 kak maksimal~noeznaqenie. Primerom diskretno sluqano veliqiny sluit pokazan-ny na ris. 3.8 signal izobraeni, sostowi iz n = 209 razliqnyhgradaci serogo s N = 1024×1024 toqkami izobraeni (sm. str. 305).Pod statistiqeskimi parametrami ponimaets cely rd dopolni-tel~nyh mpiriqeskih pokazatele poloeni i variacii sluqanyhveliqin, a take formy raspredeleni otnositel~nyh qastot, na-primer:


aus den Grauwerten

aus den Vektoren

aus den Matrizen

Skalare - avh1024.gif

Histogramm

Ris. 3.8: Aleksandr fon Gumbol~dt kak signal izobraeni, pri-nadleawa gistogramma i posleduwie mpiriqeskie parametry(Histogramm:gistogramma, Skalare aus den Grauwerten:skalry iz gradaciserogo, aus den Vektoren:iz vektorov, aus den Matrizen:iz matric)

• parametry poloeni: mediana, moda, srednee geometriqeskoe isrednee garmoniqeskoe

• parametry variacii: kofficient variacii, diapazon varia-cii, promeutok, kvantil~

• parametry formy: ntropi, kofficient anizotropii, qastnoeot kvantile

Pri obrabotke signalov qasto ispol~zuets mediana. Dl nepre-ryvno sluqano veliqiny mediana xmed – to znaqenie, pri kotoromleva i prava storona plowadi plotnosti verotnosti p(x) ravny,t.e. funkci raspredeleni F (xmed) ravna 0,5. Potomu medianu takenazyvat 50-%-kvantilem. Dl diskretno sluqano veliqinymediana – to samoe malen~koe iz vseh sluqanyh znaqeni xi, dl ko-toryh destvitel~no F (x) ≥ 0,5. to sootvetstvuet kak raz stowemuv seredine znaqeni upordoqenno sluqano posledovatel~nosti.

ntropi: V dal~nexem my hotim ograniqit~s diskretnymi sig-


nalami. ntropi vvodits kak sleduwa veliqina dl opisaniprocessov, kotora vana, prede vsego, v svzi s voprosom po ime-wes izbytoqnosti ili po sati signalov.Pontie ntropii vvel v 1865 godu fizik Rudol~f Klauzius kakparametr sostoni termodinamiki. ntropi – to mera neobra-timosti processa i ona vozrastaet, naprimer, pri neobratimomprocesse teploperedaqi, «dobrovol~nogo» izmeneni sostoni. Srostom ntropii proishodit snienie pordka. Diffuzi gazov ilismexivanie igral~nyh kart oboznaqat poter v pordke. Verot-nost~ povleni sostoni umen~xaets. Svz~ medu ntropie iverotnost~ sostoni byla sformulirovana v 1877 godu LdvigomBol~cmanom:

S = k lnW (3.25)

Pri tom S ntropi, k konstanta Bol~cmana i W verotnost~.Norbert Viner v 1947 godu raspoznal formal~noe shodstvo srexawe formulo teorii informacii Xennona. Klod Xen-non interpretiroval informaci kak ustranenie neizvestnosti iustanovil, qto informacionnoe soderanie uveliqivaets, esliverotnost~ povleni sobyti ili znaka umen~xaets. Pri tomXennon rassmatrival ne semantiqeskoe soderanie soobweni, a egonepredskazuemost~: «The word information, in this theory, is used in a specialsense that must not be confused with its ordinary usage . . . Tobe sure, this wordinformation in communication theory relates not so much to what you do say, as towhat you could say» [48].

Soobwenie tem bogaqe informacie, qem neuverennee znani o egosoderanii. Vo vrem doklada po kibernetike obrawenie k audi-torii «Damy i gospoda» ne ustranit neopredelennost~, soderaniee doklada naprotiv. Esli n – ravnoverotnye sluqanye znaqeni,to verotnost~ povleni takogo znaqeni pi = 1/n. Pust~ ot-del~nye sluqanye znaqeni vstreqats nezavisimo drug ot druga,togda sobstvenna informaci I (ili informacionnoe soderanie)sluqanogo znaqeni opredelets dvoiqnym logarifmom qisla raz-liqnyh sluqanyh znaqeni:

I = ldn = ld1

pi(3.26)

Edinica izmereni sobstvenno informacii – bit. Uravnenie 3.26ustanavlivaet svz~ medu sobstvenno informacie i optimal~nostrategie voprosa pri dvoiqno kodirovke sluqanyh znaqeni. Sob-stvenna informaci I – to qislo ewe neopredelennyh otvetov tipa«da» ili «net» po povodu polno informacii o soobwenii.Esli verotnost~ sluqanyh znaqeni ne odinakova, to sobstvenna


informaci dolna opredelt~s dl kadogo otdel~nogo znaqeni:

Ii = ld1

pi= − ld pi (3.27)

V kaqestve vzvexenno sobstvenno informacii otdel~nogosluqanogo znaqeni ispol~zuets veliqina:

Hi = pi ld1

pi= −pi ld pi (3.28)

Esli my iwem sobstvennu informaci dl vseh n razliqnyhsluqanyh znaqeni istoqnika signala, to otdel~nye znaqeni Hi

neobhodimo sloit~:

H =

n−1∑

i=0

Hi =

n−1∑

i=0

pi ld1

pi= −

n−1∑

i=0

pi ld pi (3.29)

Veliqina H nazyvaets ntropie istoqnika i izmerets vbitah. Esli H vyqislets po uravneni 3.26 dl ravnoverotnyhsluqanyh znaqeni, to poluqaets:

H =n−1∑

i=0

1

n· ldn = ldn = Hmax (3.30)

Veliqina Hmax nazyvaets maksimal~no ntropie. V obwem sluqaedestvitel~no to, qto signal soderit maksimal~nu informacina sluqanoe znaqenie togda, kogda znaqeni ravnoverotny. Maksi-mal~na ntropi moet interpretirovat~s, vmeste s tem, take kakzatraty dl binarno kodirovki sluqanyh znaqeni pri ravnomer-nom raspredelenii. Esli verotnosti vozniknoveni ne ravny, qtov bol~xinstve sluqaev vstreqaets na praktike, togda H < Hmax,i istoqnik soderit izbytoqnost~ R ili otnositel~nu izby-toqnost~ Rrel:

R = Hmax −H ili Rrel =Hmax −HHmax

(3.31)

Esli R > 0, to istoqnik, po sravneni so svobodnym ot izbytoqnostiistoqnikom, otdaet umen~xennu informaci na sluqanoe znaqe-nie. Dl kodirovki i peredaqi trebuts bol~xie zatraty. Odnakoimets horoxie xansy sati signala.

Stacionarnost~: Sleduwee vanoe svostvo sluqanogo processa –to ego stabil~nost~ otnositel~no prinadleawih statistiqeskihveliqin. Ona ohvatyvaets pontiem stacionarnost~. Sluqanyprocess nazyvaets stacionarnym, esli ego funkci verotnosti p(x)


i vmeste s tem vyqislemye parametry ne izments pri sdvige vovremeni τ . Dl signala x(t) togda destvitel~no:

p (x, t) = p (x, t+ τ) = p (x) (3.32)

Mnogie metody obrabotki signalov predpolagat naliqie sta-cionarnosti. Stacionarnost~ podrazdelets na sil~nu i slabu.Funkci raspredeleni (uravnenie 3.1) pri sil~no stacionarnostine zavisit ot vremeni. Matematiqeskoe oidanie i dispersi (prineobhodimosti kovariaci) ne zavist ot vremeni pri slabo sta-cionarnosti.Primer stacionarnogo i nestacionarnogo signala – pomehi sopro-tivleni pri postonno ili peremenno temperature.Neobhodimo zametit~, qto stacionarny process obladaet nezavisi-mo ot vremeni funkcie verotnosti; obratnoe vyskazyvanie, temne menee, ne vsegda vypolnets.

rgodiqnost~: Process obladaet svostvom rgodiqnosti togda, kog-da srednie znaqeni mnoestva ili ansambl ravny vremennym sred-nim znaqenim. Dl harakteristiki rgodiqnogo processa dosta-toqno znat~ edinstvennu (po vozmonosti dlinnu) realizacisluqanogo processa. to vygodno osobenno togda, kogda my ne moemnabldat~ ili izmert~ v sluqanom processe v moment vremenineskol~ko pizodov ansambl. Takim obrazom, naprimer, matemati-qeskoe oidanie sluqano veliqiny X moet rassqityvat~s netol~ko kak srednee znaqenie ansambl po uravneni 3.6, no i byt~ocenenym priblienno po hodu X(t):

E (X) = limT→∞

1

T

T∫

0

X (t) dt (3.33)

Sootvetstvuwie uravneni priments take i dl drugihnaqal~nyh i central~nyh momentov.

3.1.3 Mnogomerna sluqana veliqina

Esli soderawies v ansamble signaly ne vlts realizacimiedinstvennogo sluqanogo processa, a vyzvany razliqnymi proces-sami, to oni pokazatel~ny dl analiza tih processov i, vozmono,imewihs otnoxeni medu otdel~nymi sluqanymi processami. Kprimeru, pri nabldenii za pogodo voznikawie veliqiny imetpriqinu ne tol~ko v sluqanom processe.Dl koliqestvennogo opisani zavisimosti my hotim obedinit~sluqanye peremennye veliqiny v sluqany vektor X = (X1, . . . ,Xn).Dl dvuh sluqanyh veliqin predpoqtitel~na zapis~ Z = (X,Y ). Na


primere nabldeni za pogodo sluqana veliqina X moet byt~,naprimer, izmeneniem temperatury vody Baltiskogo mor v opre-delenny promeutok vremeni, sluqana veliqina Y – izmeneniemtemperatury vozduha.Vse harakternye veliqiny, ukazannye v predyduwe qasti, v principemono perenesti i na sluqanye vektora, t.e. oni ne ograniqeny ska-lrnymi sluqanymi veliqinami.Esli Z = (X,Y ) dvumerny sluqany vektor, to dl ego funkciiraspredeleni destvitel~no:

FZ (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) (3.34)

Funkcie verotnosti ot Z vlets p(z) = pz. Sluqanye signalynazyvats nezavisimymi togda i tol~ko togda, kogda dl sluqanogovektora Z = (X,Y ) destvitel~no:

F (x, y) = Fx (x) · Fy (y) i p (x, y) = px (x) · py (y) (3.35)

Funkci raspredeleni i plotnost~ verotnosti imet odinakovoeotnoxenie, kak i v sluqae s odnomernymi sluqanymi veliqinami:

F (x, y) =

x∫

−∞

y∫

−∞

p (u, v) du dv i p (x, y) =∂2F (x, y)

∂x ∂y(3.36)

Kak primer nezavisimogo dvumernogo nepreryvnogo sluqanogo signa-la sluit snova funkci plotnosti normal~nogo raspredeleni Gaus-sa, kotora opredelets teper~ dvum srednimi znaqenimi µx i µyi dvum standartnymi otklonenimi σx i σy:

p (x, y) =1

σxσy2πexp

[

−1

2

(

(x− µx)2σx2

+(y − µy)2σy2

)]

(3.37)

Grafiqeskoe izobraenie funkcii plotnosti pokazano na ris. 3.9.

Esli imeets bolee dvuh sluqanyh veliqin, to neobhodimo obob-wennoe predstavlenie. Funkci raspredeleni sluqanogo vektoraX = (X1, . . . ,Xn) opredelena togda kak:

FX (x1, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, . . . ,Xn ≤ xn) (3.38)

Sluqanye signaly nezavisimy togda i tol~ko togda, kogda vypol-nets:

FX (x1, . . . , xn) = FX1(x1) · FX2

(x2) · . . . · FXn(xn) (3.39)

Vvedennye v qasti 3.1.2 naqal~nye i central~nye momenty mogutrassqityvat~s dl kadogo sluqanogo processa v otdel~nosti,


5

x

y

15

(x,y

0

p )

Ris. 3.9: Funkci plotnosti verotnosti p(x, y) dvumernogo nor-mal~nogo raspredeleni s µx = 5, µy = 15, σx = 1 i σy = 2

naprimer, E(X1), E(X2) ili D2(X1) i D2(X2) i t.d. Tem ne menee,ti momenty niqego ne govort o vozmono imewes zavisimostisluqanyh veliqin X i Y . Potomu opredelts tak nazyvaemyesmexannye momenty, kotorye soderat vyskazyvani o vozmonyh za-visimosth sluqanyh processov. Samye vanye iz nih – kovariacii korrelci.

Kovariaci: Kovariacie nazyvaets matematiqeskoe oidanieproizvedeni otkloneni sluqanyh veliqin ot ih srednih znaqeni:

cov (X,Y ) = E [(X − E (X)) · (Y − E (Y ))]

= E (XY )− 2X · Y +X · Y= E (XY )−X Y

= XY −X Y s E (X) = X i E (Y ) = Y (3.40)

Kovariaci govorit nam o tom, proishodt li dva (ili bolee) proces-sa vokrug odnogo i togo e srednego znaqeni i pohoi li ih otklo-neni ot togo znaqeni. Ona ohvatyvaet stepen~ (lineno) zavisi-mosti medu X i Y . Oqevidno, qto dl Y = X destvitel~no:

cov (X,X) = E(X2)−X X = E

(X2)−m1

2 = D2 (X) = var(X) (3.41)

Kovariaci simmetriqna:

cov (X,Y ) = cov (Y,X) (3.42)

Esli X i Y lineno nezavisimy drug ot druga, to cov(X,Y ) = 0.Destvitel~no neravenstvo Koxi-Xvarca:

|cov (X,Y )| ≤√

var (X) · var (Y ) (3.43)


Dispersii i kovariacii dvuh sluqanyh veliqin nagldno pred-stavleny v simmetriqno matrice, tak nazyvaemo kovariacionnomatrice COV (X,Y ):

COV (X,Y ) =

[

cov (X,X) cov (X,Y )

cov (Y,X) cov (Y, Y )

]

=

[

var (X) cov (X,Y )

cov (Y,X) var (Y )

]

(3.44)

Esli predstavleny n sluqanye veliqiny X1,X2 . . . ,Xn, kovaria-cionna matrica dolna byt~ rasxirena:

COV (X1,X2, . . . ,Xn) =

cov (X1,X1) cov (X1,X2) · · · cov (X1,Xn)

cov (X2,X1) cov (X2,X2) · · · cov (X2,Xn)...

.... . .

...cov (Xn,X1) cov (Xn,X2) · · · cov (Xn,Xn)

(3.45)

Kovariacionna matrica moet rassqityvat~s take po matemati-qeskomu oidani vektora:

COV (X1,X2, . . . ,Xn) = COV (X) = E[

(X − E (X)) · (X − E (X))T]

(3.46)

Korrelci: Nardu s kovariacie izvestna i druga veliqina, ko-tora govorit nam o zavisimosti medu sluqanymi veliqinami.Korrelci pokazyvaet, naskol~ko sil~na zavisimost~ sluqanyhveliqin, i naskol~ko horoxo mono predskazat~ vozmonye znaqeniodnogo pokazatel, zna veliqinu drugogo. Matematiqeskoe oidanieproizvedeni sluqanyh veliqin nazyvaets korrelcie:

cor (X,Y ) = E (X · Y ) (3.47)

Korrelci simmetriqna:

cor (X,Y ) = cor (Y,X) (3.48)

Korrelcii dvuh sluqanyh veliqin mono snova predstavit~ v sim-metriqno matrice, matrice korrelci COR(X,Y ):

COR (X,Y ) =

[

cor (X,X) cor (X,Y )

cor (Y,X) cor (Y, Y )

]

(3.49)

Esli predstavleny n sluqanye peremennye X1,X2 . . . ,Xn, matrica


korrelci dolna byt~ rasxirena:

COR (X1,X2, . . . ,Xn) =

cor (X1,X1) cor (X1,X2) · · · cor (X1,Xn)

cor (X2,X1) cor (X2,X2) · · · cor (X2,Xn)...

.... . .

...cor (Xn,X1) cor (Xn,X2) · · · cor (Xn,Xn)

(3.50)

Kofficient korrelcii: Predstavlenie korrelcii qislom,pohoim na ukazanie procenta, osuwestvlets pri pomowi koffi-cienta korrelcii. Krome togo, imeets preimuwestvo v tom, qto onvlets bezrazmerno veliqino. Kofficient korrelcii ρ(X,Y ),kotory take nazyvaets kofficientom korrelcii Pirsona(angl.: Pearson, K.), opredelets:

ρ (X,Y ) =cov (X,Y )

√

var (X) ·√

var (Y )(3.51)

Veliqina kofficienta korrelcii ρ(X,Y ) nahodits v promeutkemedu ±1. Kofficient korrelcii bystro i prosto opredeletnaliqie lineno zavisimosti medu dvum signalami. Esli X = Y ,to kofficient korrelcii ρ(X,X) = 1, esli X = −Y , to sle-duet ρ(X,Y ) = −1. Po uravneni 3.51 mono zapisat~ simmetriqnumatricu CORP(X,Y ) kofficientov korrelcii Pirsona. lementyglavno diagonali ravny edinice:

CORP (X,Y ) =

[

1 ρ (X,Y )

ρ (Y,X) 1

]

(3.52)

Esli snova dany n sluqanye peremennye X1,X2 . . . ,Xn, korrel-cionna matrica Pirsona take dolna byt~ rasxirena:

CORP (X1,X2, . . . ,Xn) =

1 ρ (X1,X2) · · · ρ (X1,Xn)

ρ (X2,X1) 1 · · · ρ (X2,Xn)...

.... . .

...ρ (Xn,X1) ρ (Xn,X2) · · · 1

(3.53)

Esli obe sluqanyh veliqiny ne zavist lineno, to kofficientkorrelcii raven nul. Razumeets, iz fakta, qto ρ(X,Y ) = 0, nesleduet obratnoe vyskazyvanie, qto X i Y nezavisimy drug ot druga.Suwestvuet take i druga, naprimer, kvadratna zavisimost~.


mpiriqeskie parametry: Vse uravneni, predstavlennye v to qas-ti, mono ispol~zovat~ dl vyqisleni mpiriqeskih parametrov izdvuh i bolee vyborok. Predstavleny primery perevoda kovariacii(uravnenie 3.40), korrelcii (uravnenie 3.47) i kofficientakorrelcii (uravnenie 3.51) v mpiriqesku kovariaci cov,mpiriqesku korrelci cor i mpiriqeski kofficient korrel-cii ρ. S dvum vyborkami (seri izmereni) x i y, razmerom N ilementami xi i yi poluqaem:

cov (x,y) =1

N

N−1∑

i=0

(xi − x) (yi − y) =1

N

N−1∑

i=0

xi · yi︸︷︷︸

x·y

− 1

N

N−1∑

i=0

xi

︸︷︷︸

x

· 1

N

N−1∑

i=0

yi

︸︷︷︸

y

(3.54)

cor (x,y) =1

N

N−1∑

i=0

xi · yi =1

N· xT · y (3.55)

ρ (x,y) =

N−1∑

i=0

(xi − x) (yi − y)√N−1∑

i=0

(xi − x)2 ·√N−1∑

i=0

(yi − y)2(3.56)

Posledni mpiriqeski parametr nazyvaets take normirovannokovariacie. Dl illstracii svzi dvuh sluqanyh veliqin sluatdve meteorologiqeskie serii izmereni.1 Perva soderit srednietemperatury vozduha v Cinnovice (ostrov Uzedom), vtora – temper-aturu vody Baltiskogo mor, izmerennogo v Kozerove (take ostrovUzedom). Temperatura vozduha xi i vody yi izmerlas~ eednevno vperiod s nvar 2001 po dekabr~ 2002 (730 dne). Ih zavisimost~pokazana na ris. 3.10. mpiriqeski kofficient korrelcii pouravneni 3.56 imeet znaqenie ρ = 0,924 i oznaqaet sil~nu korrel-ci temperatury vozduha i vody.

Korrelci v predelah odnogo signala: Pri obrabotke signalovpredstavlet interes ne tol~ko svz~ medu neskol~kimi sluqanymisignalami, no i take zavisimost~ vremennyh ili prostranstvennyhsosednih otsqetov v predelah odnogo signala. Dl posneni naris. 3.11 predstavleny signaly, u kotoryh razna statistiqeskazavisimost~ sosednih znaqeni. Ris. 3.11 a) pokazyvaet tri pizoda

1 My blagodarim gosudarstvennoe uqredenie okruawe sredy i prirodygoroda Rostoka i nemecku meteoslubu za predostavlennye dannye.


yi [°C]

20

10

–5

10–10 20 xi [°C]

ρ = 0,924

Ris. 3.10: Zavisimost~ temperatury vody Baltiskogo mor yi ot tem-peratury vozduha xi

sluqano izmenwegos signala. Vybrannye pizody na ris. 3.11 b)prinadleat k medlenno izmenwemus signalu, tak kak sosednieotsqety malo otliqats. Signaly na ris. 3.11 c) shoi s pervogruppo, odnako, so vremenem zatuhat.Vid i veliqina zavisimosti luqxe vsego moet byt~ predstavle-na grafikom fi+1 = f(fi) (ris. 3.12). Pri nezavisimosti sosednihznaqeni poluqaets ravnomernoe raspredelenie vo vseh qetyrehkvadrantah; pri zavisimosti znaqeni, naprotiv, ograniqeno glavnymobrazom dvum kvadrantami. Opredelit~ stepen~ zavisimosti monoputem vyqisleni korrelcii po uravneni 3.47.Esli rassmatrivaets posledovatel~nost~ signalov M , to dlsredne korrelcii medu dvum sosednimi otsqetami fi i fi+1

destvitel~no:

cor (fi, fi+1) =1

M

M−1∑

m=0

fi (m) · fi+1 (m)

= fi (m) · fi+1 (m) (3.57)

Pri nekorreliruemyh sosednih znaqenih poluqaets malen~koeznaqenie, t.k. slagaemye imet raznye znaki i raspredeleny po vsemqetyrem kvadrantam. Pri korreliruemyh sosednih znaqenih, napro-tiv, poluqaets bol~xoe znaqenie, t.k. signaly imet odinakovyznak. I snova dl predstavleni korrelci predlagaets matrica:

COR (fi, fi+1) =

[

fi2 cor (fi, fi+1)

cor (fi+1, fi) fi+12

]

s fi2 =

1

M

M−1∑

m=0

fi2 (m)

(3.58)


a) b) c)fi

i

...

... ...

Ris. 3.11: Tri pizoda tipiqnyh diskretnyh signalov, a) sluqanye,b) medlenno izmenwies i c) sluqanye i zatuhawie signaly

Rasqet korrelcii ne ograniqen neposredstvennymi sosedmi; matri-ca moet byt~ rasxirena:

COR (fi, fi+d) =

fi2 cor (fi, fi+1) · · · cor (fi, fi+d)

cor (fi+1, fi) fi+12 · · · cor (fi+1, fi+d)

......

. . ....

cor (fi+d, fi) cor (fi+d, fi+1) · · · fi+d2

(3.59)

Bol~xinstvu signalov svostvenno umen~xenie korrelcii s vozras-tawim intervalom d otsqetov (ris. 3.13).Oznakomlenie s razliqnymi matricami korrelci predstavlenov [36]. Dl stacionarnogo i polnost~ nekorrelirovannogo processapoluqaets pokazannoe na ris. 3.14 izobraenie. Ris. 3.15 pokazy-vaet matricy korrelci stacionarnyh, no qastiqno korrelirovan-nyh processov.Pri obrabotke signalov predstavlet interes svz~ medu korrel-cie i sobstvenno informacie. Ris. 3.16 a) pokazyvaet signal izo-braeni, v kotorom sosednie gradacii serogo mono print~ kak qas-tiqno korrelirovannye.Ris. 3.16 b) soderit te e gradacii serogo, kotorye upordoqeny v«sery klin» sverhu vniz. Dl poluqeni (optiqeskogo) vpeqatleniot korrelcii sosednih gradaci serogo, mono predstavit~ ih, kprimeru, v zavisimosti ot indeksa. Dl togo vse pikseli prosto


a) b) f

f

f

f

i+1 i+1

ii

Ris. 3.12: Statistiqeska zavisimost~ neposredstvenno sleduwihdrug za drugom otsqetov, a) sluqany signal iz ris. 3.11 a), b) med-lenno izmenwis signal iz ris. 3.11 b)

d=2d=1

d=4 d=8

fi+d

fi

Ris. 3.13: Statistiqeska zavisimost~ dvuh otsqetov fi i fi+d vmedlenno izmenwems signale iz ris. 3.11 b) dl razliqnyh in-tervalov d


a) b) c)

Ris. 3.14: Matricy korrelci po uravneni 3.59 sluqanogo signalaiz ris. 3.11 a) dl a) 10, b) 50 i c) 1000 pizodov, kady s 8 otsqetami

a) b) c)

Ris. 3.15: Matricy korrelci po uravneni 3.59 medlenno izmen-wegos signala iz ris. 3.11 b) s vozrastawe ot a) do c) korre-lcie

pixuts postroqno v novy vektor, i ego lementy zanosts poindeksu. Ris. 3.16 c) pokazyvaet to dl originala izobraeni,ris. 3.16 d) dl upordoqennogo izobraeni. Razliqie otraaet-s take v kofficiente korrelcii, kotory dl originalaizobraeni imeet znaqenie ρ = −0,605 i dl upordoqenno posle-dovatel~nosti gradaci serogo ρ = 0,954. Oqevidno, qto sleduwiedrug za drugom pikseli gorazdo sil~nee korrelirut v serom klinei sobstvenna informaci sootvetstvuwim obrazom neznaqitel~nee.Takim obrazom, sobstvenna informaci vysoka, esli korrelcineznaqitel~na, i naoborot. Sledovatel~no, racional~na cel~ op-eraci obrabotki signalov – umen~xenie korrelcii.

Do sih por rassmotrenna korrelci dvuh sluqanyh signalov ilisleduwih drug za drugom otsqetov byla ohvaqena lix~ qislom, aimenno kofficientom korrelcii. Esli nas interesuet otnoxeniedvuh sluqanyh signalov, uqityva ih vremennu ili prostranstven-nu zavisimost~, to neobhodimo rassmotret~ funkci korrelcii.


a)

20000

256

192

128

64

00 40000 60000 n

256

192

128

64

00

b)

20000 40000 60000 n

gn

gnc)

d)

Ris. 3.16: Dva signala s razliqno sobstvenno informacie

3.2 Korrelci

Korrelci byla vvedena v qasti 3.1.3 kak skalrna veliqina,kotora predstavlet obrazovanie srednego znaqeni dl sluqanyhsignalov. Teper~ neobhodimo vvesti pontie funkcii korrelcii,kotora, kak i skalrna veliqina, otraaet shodstvo dvuh signalov,i dopolnitel~no uqityvaet funkcional~nu zavisimost~ shodstvavzaimnogo vremennogo ili prostranstvennogo smeweni oboih signa-lov. Funkci korrelcii moet interpretirovat~s vmeste s tem kakmera sovpadeni dvuh signalov, kotora opredelets dl kadogosmeweni.Funkcie korrelcii iz signala mogut izvlekat~s svedeni, ko-torye pri drugih processah ostats nezameqennymi. Populrnyprimer – sputnikova sistema navigacii GPS (angl.: Global PositioningSystem), prednaznaqenna dl opredeleni mestopoloeni, a takeparametrov dvieni dl nazemnyh, vodnyh i vozduxnyh obektov.

3.2. KORRELCI 95

Poloenie obekta v prostranstve rassqityvaets na osnove izmere-ni otdalennosti obekta do neskol~kih sputnikov sistemy. Qtobyustanovit~ to udalenie, v printom na zemle signale pri pomowifunkcii korrelcii iwets izvestny bitovy obrazec.Funkci korrelcii nahodit primenenie take v adaptivnyhfil~trah, v obrabotke reqi i izmeritel~no tehnike.

Korrelci diskretnyh signalov: Dany dve posledovatel~nosti dis-kretnyh signalov fn i hn koneqno nergii, t.e. dva aperiodiqeskih,zatuhawih signala. Funkci korrelcii rm, kak rezul~tat korrel-cii fn i hn, rassqityvaets po sleduwemu uravneni:

rm =

∞∑

n=−∞fn · hn+m s m = 0,±1,±2, . . . (3.60)

Signaly fn i hn smewats otnositel~no drug druga i dl ka-dogo smeweni rassqityvaets stepen~ shodstva, takim obrazompoluqaets funkci korrelcii rm. Stepen~ shodstva sluit summaproizvedeni sootvetstvuwih znaqeni obeih posledovatel~nostesignala. Rezul~tat nazyvaets vzaimnokorrelcionno funkcie(VKF), t.k. dva razliqnyh signala korrelirut medu sobo. Vza-imnokorrelcionna funkci oboznaqaets v literature simvolamiR, z, ϕ; qasto korreliruwie funkcii zapisyvats v indeks.Dl vyqisleni znaqeni r0 funkcii korrelcii sootvetstvuwieznaqeni oboih signalov fn i hn peremnoats i ih proizve-deni skladyvats. Rasqet sleduwego znaqeni rm proishoditdl poloitel~nogo (otricatel~nogo) m putem smeweni hn nalevo(napravo). Signal fn ostaets nesmewennym. tot princip naho-deni funkcii korrelcii proillstrirovan na ris. 3.17 na primereprostranstvennogo signala.

V kaqestve signala fn byl vybran xtrihkod, kotory kodiruet6-ti znaqnoe qislo (ris. 3.17 a). Pri pomowi funkcii korrelciimy dolny otvetit~ na vopros, soderit li danny kod cifru 7(talonny signal hn) i gde (pri sluqae) ta cifra nahodits.Xtrihkody mono predstavit~ odnomernymi prostranstvennymisignalami (ris. 3.17 b). Sdvig signala hn dl poloitel~nogo iotricatel~nogo m po uravneni 3.60 daet v itoge predstavlennufunkci korrelcii (ris. 3.17 c). Nuno obratit~ vnimanie, qto naris. 3.17 b) i c) req~ idet o diskretnyh funkcih, kotorye zdes~, vvide isklqeni, predstavleny kak nepreryvnye. Funkci korrel-cii imeet dva vyraennyh maksimuma pri m = −71 i m = −275. toznaqit, qto v toqkah 71 i 275 xtrihkoda fn naqinaets cifra 7.

Dl oboznaqeni korrelcii take upotreblets simvol ~:

rm = (f ~ h)m (3.61)


0 100 200 300 400

578571

7 7

a) fn

1

00 100 200 300 400 n

hn

1

00 100

b)

30

20

10

50 m0–100–200–300–400

c) rm

–71–275

n

Ris. 3.17: Princip nahodeni vzaimnokorrelcionno funkcii,a) xtrihkod kak primer odnomernogo prostranstvennogo signala,b) dva operanda fn i hn korrelcii, c) rezul~tat korrelcii rm

Indeks m s obeih storon uravneni ukazyvaet na sdvig, dl kotorogorassqityvaets znaqenie korrelcii medu fn i hn. Esli signaly fni hn poment~ mestami, to funkci korrelcii zerkal~no otobraaet-s otnositel~no osi ordinat:

∞∑

n=−∞fn · hn+m =

∞∑

n=−∞hn · fn−m (3.62)

Sledovatel~no korrelci ne kommutativna.

Esli korreliruemye funkcii identiqny, t.e. hn = fn, to to vedet kavtokorrelcionno funkcii (AKF):

rm =∞∑

n=−∞fn · fn+m (3.63)

Avtokorrelcionna funkci vozvrawaet vnutrennee rodstvo posle-dovatel~nosti signala. Samoe bol~xoe shodstvo, t.e. naibol~xee sov-padenie s samim sobo, imeet signal pri nulevom smewenii, t.e.

3.2. KORRELCI 97

|rm| ≤ r0. Iz uravneni 3.63 sleduet, qto AKF qetna funkci:

rm = r−m (3.64)

Drugie svostva AKF:

• Kvadratny koren~ iz znaqeni AKF pri nulevom smeweniisootvetstvuet srednekvadratiqnomu znaqeni diskretnogo vovremeni signala (sr. uravnenie 3.10).

• AKF mono interpretirovat~ kak obobwenie srednekvadratiq-nogo znaqeni.

• AKF tem bystree stremits k nul, qem xire i ravnomerneespektr signala; pri belom xume AKF imeet otliqnoe ot nulznaqenie tol~ko pri m = 0.

V praktike obrabotki signalov signaly fn i hn imet koneqnu i,kak pravilo, razliqnu prodolitel~nost~. Pust~ Nf i Nh – dlinysootvetstvuwih signalov s Nh ≤ Nf . Togda funkci korrelcii rmimeet toqno Nf + Nh − 1 znaqeni. Dl vyqisleni odnogo znaqenifunkcii korrelcii dolny summirovat~s Nh proizvedeni:

rm =

Nh−1∑

n=0

fn · hn+m s − (Nf − 1) ≤ m ≤ Nh − 1 (3.65)

Esli signaly fn i hn odinakovo dliny N , to funkci korrelciiimeet dlinu 2N − 1.Normirovanie diskretnyh AKF celesoobrazno, takim obrazom onamoet prinimat~ znaqeni tol~ko medu ±1 [42]:

ρm =rmr0

(3.66)

Vozmonost~ dl normirovani AKF i VKF vlets normirovaniesoglasno [31]:

ρm =rm

N − |m| (3.67)

Dl signalov s odinakovo dlino N , kotorye osvobodeny ot sred-nego znaqeni, mono vyqislit~ korrelci Pirsona (sm. uravne-nie 3.56):

ρm =

N−1∑

n=0fn · hn+m

√N−1∑

n=0(fn)

2 ·√N−1∑

i=0

(hn)2

s − (N − 1) ≤ m ≤ N − 1 (3.68)


lementami ρm vlts bezrazmernye qisla medu ±1 i pred-stavlt dl kadogo sdviga m kofficienty korrelcii Pir-sona. V qastnosti, pri sdvige m = 0 kofficient ρ0 identiqen skofficientom korrelcii po uravneni 3.56, esli signaly os-vobodeny ot srednego znaqeni. Dl primera diskretno funkciikorrelcii po uravneni 3.68 ewe raz vospol~zuems temperaturnymreimom vozduha i vody Baltiskogo mor iz ris. 3.10.

März Juni Sept. Dez. März Juni Sept. Dez.

fn

20

n

März Juni Sept. Dez. März Juni Sept. Dez. n

hn

20

0

0

a)

b)

200 400 600–200–400–600

365 Tage

m

ρmc)1

–1

[°C]

[°C]

ρm

1

4–10 10 m0

Ris. 3.18: Vzaimnokorrelcionna funkci iz ris. 3.10, a) temperatu-ra vozduha fn, b) temperatura vody hn, c) funkci korrelcii Pir-sona ρm (März: mart, Juni: in~, Sept.:sentbr~, Dez.: dekabr~, 365 Tage:365 dne)

Na ris. 3.18 a) predstavlena temperatura vozduha fn, na ris. 3.18 b)temperatura vody hn i na ris. 3.18 c) diskretna funkci korre-lcii ρm. T.k. kada seri izmereni sostoit iz 730 znaqeni,izobraenie kaets nepreryvnym. Maksimum funkcii korrel-cii ρm leit pri m = 4. to znaqit, qto v predstavlennom periodetemperatura vody sleduet temperature vozduha qerez 4 dn.

Esli korreliruts funkcii, kotorye ne obladat koneqno

3.2. KORRELCI 99

nergie, to v uravnenie 3.60 nuno vnesti popravku. Dl sluqanyhsignalov destvitel~no

rm = limN→∞

1

2N + 1

N∑

n=−Nfn · hn+m (3.69)

i dl periodiqeskih signalov destvitel~no:

rm =1

2N + 1

N∑

n=−Nfn · hn+m (3.70)

rm =1

2N + 1

N∑

n=−Nfn · fn+m (3.71)

Rezul~tat v oboih sluqah – to snova periodiqeska funkci.Avtokorrelcionna funkci v uravnenii 3.71 imeet tu e qastotu,qto i posledovatel~nost~ signala fn. Esli korreliruemy signalgarmoniqeski, to v kaqestve AKF poluqaets funkci kosinusa.Esli vyqislets avtokorrelcionna funkci signala, kotoryimeet perekryvaemye pomehami periodiqeskie qasti, to pri nekorre-liruemyh pomehah v AKF periodiqeskie qasti budut dominirovat~,i periodiqnost~ budet zametna. Na ris. 3.18 temperaturny reimvozduha i vody predstavlen priblizitel~no periodiqeskimi funkci-mi, dlina perioda v 365 dne otqetlivo zametna i v rezul~tate.

Korrelci dvumernyh diskretnyh signalov: Rasqet vzaimno- iliavtokorrelcionno funkcii ne ograniqen odnomernymi signala-mi. Take vozmono issledovanie dvuh signalov izobraeniotnositel~no ih shodstva. Ris. 3.19 pokazyvaet primenenie avtokor-relcionno funkcii kak xag obrabotki dl uluqxeni kaqestvaizobraeni v astronomii.

Ue s otnositel~no nedorogimi, vmontirovannymi v teleskopahvideokamerami astronomy-lbiteli mogut delat~ horoxie snimkisvetlyh obektov naxe Solneqno sistemy. Razumeets, kaqestvootdel~nogo snimka qasto ne udovletvoritel~no (ris. 3.19 b). Po-tomu video razbivaets na otdel~nye snimki, i luqxie iz nihpriments dl dal~nexe obrabotki. T.k. otdel~nye snimki nepokazyvat obekt, naprimer, planetu, v odno i to e pozicii, toih korrelirut so vtorym snimkom, v kotorom planeta (ili pohoina planetu obekt) nahodits poseredine (ris. 3.19 a). Ris. 3.19 c)pokazyvaet rezul~tat dvumerno korrelcii. Maksimum funkcii kor-relcii opredelet sootvetstvenno neobhodimy sdvig planety naotdel~nyh snimkah. Posle to operacii planeta nahodits na vseh


*

*

+ =

=

=

a) b) c)

d) e)

Ris. 3.19: Primenenie vzaimno korrelcii v lbitel~sko as-tronomii dl uluqxeni kaqestva izobraeni

3.2. KORRELCI 101

otdel~nyh snimkah v centrirovannom poloenii (ris. 3.19 d). Zak-lqitel~no primenets metod usredneni signala, kotory sostoitiz sloeni otdel~nyh centrirovannyh snimkov. Normirovanie pokoliqestvu otdel~nyh snimkov daet v itoge rezul~tat na ris. 3.19 e).Usrednenie signala sposobstvuet umen~xeni pomeh snimka i,vmeste s tem, uluqxeni kaqestva izobraeni. Snimok planetySaturn poluqils iz snimkov, sostowih iz 320×240 piksele.2 Poslesloeni snimok byl ewe otfil~trovan.

Svz~ medu funkcie korrelcii i prinadleawim preobrazovaniemFur~e opisyvaets teoremo korrelcii, kotora razsnets vqasth 4.2 i 4.5.

Korrelci nepreryvnyh vo vremeni signalov: Dl polnoty pred-stavleni rassmotrim vzaimno- i avtokorrelcionnu funkcinepreryvnyh vo vremeni signalov s koneqno nergie. Oba signa-la f(t) i h(t) vlts zatuhawimi, destvitel~nymi funkcimi.Rezul~tat korrelcii zavisit ot nepreryvnogo smeweni τ :

r (τ) =

∞∫

−∞

f (t) h (t+ τ) dt (3.72)

ili

r (τ) =

∞∫

−∞

f (t) f (t+ τ) dt (3.73)

Dl periodiqeskih ili sluqanyh signalov, k primeru, v uravne-nie 3.72 nuno snova vnesti popravku:

r (τ) =1

2 T0

T0∫

−T0

f (t) h (t+ τ) dt dl periodiqeskih signalov (3.74)

r (τ) = limT→∞

1

2 T

T∫

−T

f (t) h (t+ τ) dt dl sluqanyh signalov (3.75)

Nepreryvna funkci korrelcii r(τ) opredelena kak proizvedeniedvuh funkci, kotorye sdvinuty na τ otnositel~no drug druga. Naprimere ris. 3.20 pokazana avtokorrelcionna funkci povre-dennogo garmoniqeskogo signala.

2 My blagodarim Mario Grneberga i Franka Meera (Astronomiqeski sozXverina) za predostavlennye snimki.


–0,5

6–4–6 –2 0

f t( )

t

0,5

1

–1

2 4

2 4–6 –4 –2 0

–2

6

2

4

τ

( )r τ

Ris. 3.20: Avtokorrelcionna funkci r(τ) nepreryvnogo vo vremeni,garmoniqeskogo signala f(t), soderawego pomehi

Avtokorrelcionna funkci moet interpretirovat~s kak obob-wenie srednekvadratiqnogo znaqeni. Pri usrednenii propadaetinformaci o fazah signala. K primeru, signaly v forme sinusa ikosinusa imet odinakovu AKF. Po AKF vosstanovit~ vremennosignal sledovatel~no nevozmono, vozmony razliqnye protekanifunkcii vremeni. Esli AKF dl τ ≥ t0 imeet znaqenie nul~, to smomenta sdviga medu otsqetami bol~xe ne imeets statistiqeskosvzi. Vrem t0 nazyvaets vremenem korrelcii ili dlitel~nost~korrelcii. Qem bol~xe xirina polosy signala, t.e. qem bol~xeqastot soderit signal, tem men~xe vrem korrelcii. Obratnaformulirovka: kadoe ograniqenie xiriny polosy uveliqivaetvrem korrelcii.Kak i v diskretnom sluqae, AKF qetna funkci, u kotoro mak-simum pri τ = 0. Vyxe pereqislennye svostva diskretno AKFdestvitel~ny i v dannom sluqae.

Svz~ medu korrelcie diskretnyh i nepreryvnyh signalov: Re-zul~tat diskretno korrelcii moet sluit~ approksimacie

3.2. KORRELCI 103

nepreryvno korrelcii. Dl togo dolna byt~ pravil~no vybranadlina korreliruemyh signalov. Na ris. 3.21 treugol~ny signal f(t)byl korrelirovan s prmougol~nym signalom h(t) (ris. 3.21 a).

a)

1

2 –1 1

0,2

2 t

0,4

t t0 00

0

0,4

020

1

20

0,2

20–20

b)

0

0,4

0

1

20

0,2

0–20

c)

20

f t( h t( r ( )t

rmhf

rmhf

Nf Nh

20Nf Nh

N m

mn

n

n

n

n n

nn

))

Ris. 3.21: Sravnenie rezul~tatov nepreryvno i diskretno korre-lcii, a) nepreryvna, b) diskretna, c) diskretna, no s vremennymaliasingom

Esli dlina diskretizirovannyh signalov fn i hn ravna Nf i Nh, topered vypolneniem diskretno korrelcii oba signala dopolntsnulmi do dliny:

N ≥ Nf +Nh + 1 (3.76)

Na ris. 3.21 b) pokazan rezul~tat dl sluqa, v kotorom to usloviebylo poqti vypolneno. Rezul~tat diskretno korrelcii rm – to ap-proksimaci nepreryvno funkcii korrelcii r(τ). Esli N vybranoslixkom malym, rezul~tat korrelcii poluqaets kak na ris. 3.21 c).Vo vremenno oblasti voznikaet naloenie, tak nazyvaemy vre-menno aliasing.


3.3 Svertka

Svertka (angl.: convolution) vlets odnim iz vanexih fiziqeskihkonceptov svzi dvuh signalov. V qastnosti, svertka predstavletotnoxenie medu vyhodnym signalom LIS-sistemy (qast~ 2.2) i pri-nadleawim vhodnym signalom. Krome togo, takie vanye operaciiobrabotki signalov, kak fil~traci i diskretizaci, baziruts naprincipe svertki.

Svertka diskretnyh vo vremeni signalov: My hotim vvesti pontiesvertka kak otklik LIS-sistemy na lbo vhodno signal. Kak by-lo predstavleno v qasti 2.2, lbo diskretny vo vremeni vhodnosignal mono predstavit~ summo vzvexennyh ediniqnyh impul~sov:

fn =

∞∑

m=−∞fm · δn−m (3.77)

Esli ediniqny impul~s δn – to vhodno signal LIS-sistemy, tovyhodno signal – diskretny impul~sny otklik hn. Na posledova-tel~nost~ vzvexennyh ediniqnyh impul~sov sistema otveqaet, iz-zasvostv linenosti i invariantnosti vo vremeni, naloeniem ot-del~nyh vzvexennyh impul~snyh otklikov na vyhodno signal gn:

gn =

∞∑

m=−∞fm · hn−m (3.78)

Operaci po uravneni 3.78 nazyvaets svertko. Dl opredelenivyhodnogo signala gn vhodno signal fn svertyvaets s dikretnymimpul~snym otklikom hn. Sledovatel~no, dl rasqeta vyhodnogo sig-nala iz vhodnogo dolen byt~ izvesten tol~ko impul~sny otklik hn.Uravnenie mono interpretirovat~ takim obrazom, qto vyhodno sig-nal zavisit v moment vremeni n ne tol~ko ot vhodnogo signala v tote moment vremeni, a dopolnitel~no zavisit ot pozadi leawih ot-sqetov, kotorye vhodt v rezul~tat, odnako, s neznaqitel~nym vesom.Govort take o pamti sistemy. Esli aktual~noe znaqenie vyhodno-go signala zavisit, kak pri svertke, ne tol~ko ot sootvetstvuwegoznaqeni vhodnogo signala, no i ot ego (nebol~xogo) okrueni, tooperatory nazyvats take lokal~nymi operatorami.Operaci svertki take mono predstavit~ kratko formonapisani, v kotoro zvezdoqka – simvol svertki:

gn = (f ∗ h)n (3.79)

Dl oznakomleni s principom svertki dan kak primer signal fn,kotory v opredelennyh qasth postonny, i funkci hn, kotoraimeet tol~ko dva znaqeni: +1 i −1 (ris. 3.22).

3.3. SVERTKA 105

2

0 10 20 n

2

0 10 20 n

2

0 10 20 n

fn

f10

fn fn

f1

–210 20

0

2

n–2

10 200

2

n-2

10 200

2

n

f h1* f h10* f h*

...

...

Ris. 3.22: Princip svertki kak naloenie otdel~nyh impul~snyh ot-klikov do funkcii svertki f ∗ h

Sistema reagiruet, k primeru, na otsqet f1 otklikom f1 ∗ h, na ot-sqet f10 otklikom f10 ∗ h. Naloenie otdel~nyh otklikov – rezul~tatsvertki f ∗ h. Svertka s vybrannym hn = +1,−1 vliet na to, qtovsegda obrazuets raznost~ i v vyhodnom signale znaqenie neravnoenul povlets tol~ko togda, kogda vo vhodnom signale vstreqaetsraznost~.Primenenie uravneni 3.78 ne ograniqeno svertko vhodnogo signa-la s impul~snymi otklikami, a predstavlet vozmonost~ svzi dvuhsignalov v celom. Funkci hn nuno vybirat~ tak, qtoby posledova-tel~nost~ signala fn byla izmenena elaemym obrazom. Kak pravilo,hn dolna byt~ korotko, qtoby v uravnenii 3.78 nuno bylo sum-mirovat~ nebol~xoe qislo znaqeni m.Dl rasqeta svertki fn i hn priments te e operacii, qto i prikorrelcii: smewenie vtorogo signala, umnoenie sootvetstvuwihotsqetov i sloenie proizvedeni. Razliqie sostoit v tom, qto peredobrazovaniem proizvedeni funkci dolna zerkal~no otraat~s ot-nositel~no osi ordinat. Krome togo, rezul~tat svertki – to funkciot n, a ne ot smeweni m. Dl rasqeta svertki nuno vypolnit~ sle-duwie xagi:

• Posredstvom zerkal~nogo otobraeni hm otnositel~no osi or-dinat voznikaet h−m.

• Dl poluqeni hn−m soverxaets smewenie h−m dl poloi-tel~nogo n napravo i dl otricatel~nogo n nalevo.

• Sootvetstvuwie znaqeni fm i hn−m peremnoats. Qisloproizvedeni ravno qislu otliqnyh ot nul znaqeni hm.

• Sloenie proizvedeni daet v itoge znaqenie vyhodno funkciipri gn.


V otliqii ot korrelcii svertka kommutativna, t.e. poluqatskvivalentnye rezul~taty dl:

gn =

∞∑

m=−∞fm · hn−m i gn =

∞∑

m=−∞fn−m · hm (3.80)

Operaci svertki obladaet vanymi svostvami, takimi kak as-sociativnost~ i distributivnost~. Krome togo svertka vletsinvariantno k sdvigu.

Na tom meste neobhodimo ukazat~ na to, qto v svzi s oqen~ vanodl obrabotki signalov teoremo svertki, kotora rassmatrivaetsv qasti 4.2 i v qasti 4.3.1, take primenim i drugo variant svertki,tak nazyvaema cikliqeska svertka. Ona otliqaets ot predstavlen-no svertki tem, qto funkcii prodolats periodiqeski.

Svertka nepreryvnyh vo vremeni signalov: Kak ue upominalos~ vsvzi s del~ta-funkcie Diraka δ(t), integral svertki

f (t) =

∞∫

−∞

f (τ) · δ (t− τ) dτ (3.81)

interpretiruets takim obrazom, qto kada funkci f(t) moet soz-davat~s iz impul~snyh funkci (qast~ 2.1.2, ris. 2.8). Esli to urav-nenie obobwit~, to svertka signalov f(t) i h(t) poluqaets kak usred-nennoe proizvedenie smewennyh otnositel~no drug druga funkci:

g (t) =

∞∫

−∞

f (τ) · h (t− τ) dτ (3.82)

Esli h(t) impul~sny otklik sistemy, to interpretaci uravnenivozmona podobnym obrazom, kak pri svertke diskretnyh vo vre-meni signalov. to oznaqaet, qto vyhodno signal LIS-sistemypoluqaets iz svertki vhodnogo signala s impul~snym otklikom h(t)sistemy.

Svertka dvumernyh diskretnyh signalov: Svertka dvumernyh signa-lov oboznaqaets dvonym simvolom svertki:

gz,s = (f ∗ ∗ h)z,s (3.83)

Pri tom gz,s rezul~tat svertki v pozicii z (nomer stroki) i s (nomerstolbca). Qto nuno delat~ v sluqae s dvum prostranstvennymi sig-nalami, mono nagldno predstavit~, esli smewaema funkci hz,s,kotora nazyvaets masko svertki ili masko fil~tra, vybiraet-s gorazdo men~xe, qem vhodnoe izobraenie fz,s. Pust~ m×m razmer

3.3. SVERTKA 107

maski fil~tra (obyqno m = 3, 5, 7 . . . ) i k = 12 (m−1). Togda dl dvumer-

no svertki sleduet:

gz,s =m−1∑

u=0

m−1∑

v=0

fz+k−u,s+k−v · hu,v (3.84)

gz,s =m−1∑

u=0

m−1∑

v=0

fz−k+u,s−k+v · h2·k−u,2·k−v (3.85)

V uravnenii 3.84 dvady zerkal~no otraaets lokal~no izobra-enie f , v uravnenii 3.85 maska h. Kak primer ffekta svertkivybrana maska fil~tra, v kotoro kady iz devti lementovmatricy imeet znaqenie 1

9 . Maska i vhodnoe izobraenie predstavle-ny na ris. 3.23. Maska pered svoim primeneniem dolna dvadyzerkal~no otraat~s, no dl dannogo primera to ne nuno ipotomu ne pokazano na risunke.

255 255 226

255 216

226 191 189

224

111

111

111

Filtermaske

z=150

s=350

19

Ris. 3.23: Opredelenie gradacii serogo g150,350 = 226 kak qastiqnyrezul~tat dvumerno svertki (Filtermaske:maska fil~tra)

Kak pokazano na ris. 3.23, dl vyqisleni znaqeni g150,350 v vyhod-nom izobraenii centr maski sovmewaets s pikselem, koordinatykotorogo z = 150 i s = 350. Vnutri maski sootvetstvuwie otsqety,v dannom sluqae 9 gradaci serogo vhodnogo izobraeni, pere-mnoats so znaqenimi maski i zatem proizvedeni summiruts.Danny qastiqny rezul~tat – to gradacii serogo gz,s v vyhod-nom izobraenii. Sleduwie gradacii serogo vysqityvats pripostroqnom smewenii maski po izobraeni.


Kak pri odnomerno, tak i pri dvumerno svertke, imeets proble-ma kraev. Na praktike priments razliqnye metody dl rexeniproblemy:

• propuskanie kraev (pri oqen~ bol~xih izobraenih poqti neza-metno)

• priem gradaci serogo iz fz,s v novoe izobraenie gz,s• periodiqeskoe prodolenie izobraeni vo vse storony

3.4 Metod glavnyh komponent

V qasti 3.1.3 byla pokazana svz~ sobstvenno informacii i korrel-cii. Smysl operaci obrabotki signalov zaklqaets v umen~xeniikorrelcii. Kak pokazano na ris. 3.12 to moet proishodit~ putemprostogo vraweni koordinatnyh ose po napravleni «glavnyhose», t.e. po napravleni samo bol~xo dispersii. Ishod iz to-go, qto v sluqanyh signalah relevantna informaci nahodits tam,gde signaly imet samu bol~xu dispersi, takoe vrawenie imeetsmysl. Pravilo vraweni ose opredelet metod glavnyh komponent(angl.: PCA – Principal Component Analysis), take nazyvaemy preobra-zovaniem Karhunena-Lova (nemec.: KLT – Karhunen-Loève-Transformation).Metod glavnyh komponent byl predloen Pirsonom v 1901 godu, a v1935 byl vveden Hotelingom kak metod rasqeta. Osnovo dl vypol-neni metoda glavnyh komponent vlts dispersii i kovariaciikorreliruwih vhodnyh veliqin v kovariacionno matrice soglasnouravneni 3.45. Metod glavnyh komponent sluit dl togo, qtoby tukovariacionnu matricu perevesti v novu kovariacionnu matri-cu, v kotoro prinadleawie serii izmereni ili sluqanye signalybol~xe ne byli korrelirovany. Rasqet novo kovariacionno matri-cy proishodit putem umnoeni na matricu preobrazovani. Daleemy ispol~zuem sleduwu zapis~:

• Dl vseh peremennyh destvitel~no ν = 1, 2, . . . N i µ = 1, 2, . . .M .• Vhodnye veliqiny – to N korrelirovannyh sluqanyh vektorov

ili seri izmereni fν s sootvetstvenno M lementami fνµ.• Prinadleawe kovariacionno matrice vlets COV (f) =

Sf , imewa razmer N×N .• Rezul~tatom metoda glavnyh komponent vlts N nekorre-

lirovannyh sluqanyh vektorov ili seri izmereni gν ssootvetstvenno M lementami gνµ.

• Prinadleawe kovariacionno matrice vlets COV (g) =Sg, imewa razmer N×N .

To, qto vektory gν nekorrelirovannye, opredelet vid kovaria-cionno matricy Sg. lementy matricy vne glavno diagonali,t.e. kovariacii, dolny vse ravnt~s nul. Dl kommentari

3.4. METOD GLAVNYH KOMPONENT 109

predstavleny na ris. 3.24 tri razliqnyh matricy razmerom 2×2 iih geometriqeska interpretaci, kotoru mono vyvesti iz obwegouravnenii llipsov.

S= 1 00 1

1

–1

1–1

S= 3 00 1

1

–1

1–1

a) b)

S= 6 –2–2 1

2

–2

2–2

c)

Ris. 3.24: Geometriqeska interpretaci razliqnyh kovariacionnyhmatric S

Ris. 3.24 a) pokazyvaet sluqa, kogda izmerennye znaqeni rasprede-leny vo vseh kvadrantah ravnomerno, sledovatel~no kovariaci me-du serimi izmereni imeet znaqenie nul~. Vrawenie ose koordinatniqego ne menet. lementy glavno diagonali, kotorye sootvetstvu-t dispersim, imet znaqenie edinicy, sootvetstvuwa geometri-qeska figura – ediniqna okrunost~. Na ris. 3.24 b) v predstavlen-no kovariacionno matrice kovariacii take ravny nul, odnakodispersii razno veliqiny. Prinadleawa geometriqeska figura– llips. Os~ sistemy koordinat sovpadaet s glavno os~ llipsa,sistema koordinat napravlena «pravil~no». Drugo sluqa imeemna ris. 3.24 c). Zdes~ lementy matricy vne glavno diagonali neravny nul. Prinadleawi llips v sisteme koordinat raspoloenkoso. lementy matricy, sootvetstvuwie kovariacim, mono putemsootvetstvuwego vraweni prevratit~ v nuli.Otnoxenie kovariacionnyh matric, svzannyh operacie metodaglavnyh komponent, opredeleno sleduwim uravneniem:

Sg = KLT · Sf ·KLT−1 (3.86)

Matrica KLT – to matrica preobrazovani metoda glavnyh kompo-nent. T.k. ona ortogonal~na (qast~ 3.8.2), mono dl obratno matri-cy KLT−1 ispol~zovat~ transponirovannu:

Sg = KLT · Sf ·KLT T (3.87)

Dl rasqeta matricy preobrazovani KLT ispol~zuets tot fakt,qto kovariacionna matrica Sg sostoit iz lementov glavno dia-gonali togda i tol~ko togda, kogda stroki matricy KLT – to sob-stvennye vektory matricy Sf . lementy glavno diagonali matricy


Sg vlts togda sobstvennymi znaqenimi λν matricy Sf :

Sg =

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λN

(3.88)

Dl sobstvennyh vektorov EV ν matricy Sf destvitel~no:

Sf EV ν = λν EV ν (3.89)

Umnoenie matricy Sf na sobstvenny vektor EV ν daet vitoge vektor togo e napravleni kak i EV ν , no otliqawiskofficientom λν , sobstvennym znaqeniem togo vektora. Pri razmerekovariacionno matricy N×N suwestvuet N razliqnyh sobstvennyhznaqeni λν . Dl opredeleni sobstvennyh znaqeni uravnenie 3.89preobrazovyvaets:

Sf EV ν − λν EV ν = 0 ili (Sf − λν E) ·EV ν = 0 (3.90)

Pri tom E – ediniqna matrica. Uravnenie 3.90 imeet rexenie, eslivypolnets sleduwee uslovie

det (Sf − λ E) = 0 (3.91)

ili podrobnee:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

S1,1 − λ S1,2 · · · S1,N

S2,1 S2,2 − λ · · · S2,N

......

. . ....

SN,1 SN,2 · · · SN,N − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 (3.92)

Iz togo uravneni poluqats N razliqnyh sobstvennyh zna-qeni λν , kotorye, kak lementy glavno diagonali matricy Sg, ras-stavlts, kak pravilo, po pordku. Esli λν podstavit~ v urav-nenie 3.90, to mono vyqislit~ sobstvennye vektory. T.k. my ho-tim vyqislit~ ortogonal~nu matricu KLT , to neobhodimo vvestiodno dopolnitel~noe uslovie – dliny vektorov dolny byt~ ravnyedinice. Normirovannye sobstvennye vektory vlts togda stroka-mi iskomo matricy KLT :

KLT =

EV T (λ1)

EV T (λ2)...

EV T (λN )

(3.93)


Cel~ metoda glavnyh komponent vlets ne vyqislenie k gν pri-nadleawe kovariacionno matricy, a dekorrelci sluqanyh vek-torov fν vraweniem sistemy koordinat. M lementov dekorrelirovan-nyh sluqanyh vektorov gν mono rassqitat~ po sleduwemu urav-neni:

gνµ = EV T (λν) ·[

f1µ f2µ · · · fNµ

]T

(3.94)

Preobrazovanny sluqany vektor g1 raspoloen v povernuto sis-teme koordinat na glavno osi, t.e. koordinaty po napravleni samobol~xo dispersii, prinadleawih k sobstvennomu znaqeni λ1

(ris. 3.25). Vektor g2 pokazyvaet napravlenie vtoro po veliqinedispersii i t.d. Metod glavnyh komponent sohranet dispersi, t.e.summa dispersi do i posle vraweni koordinatnyh ose odinakova.Pri sil~no korrelirovannyh signalah f sobstvennye znaqeni λνs rastuwim indeksom ν bystro umen~xats. Esli teper~ nameste pervonaqal~no imewihs N korrelirovannyh sluqanyhsignalov f1 . . .fN budut ispol~zovat~s tol~ko lix~ R nekorre-lirovannyh sluqanyh signalov g1 . . . gR s R < N , to KLT garan-tiruet minimal~nu kvadratiqnu oxibku rekonstrukcii. Srednkvadratiqna oxibka E2(λ,R) ravna summe prenebregaemyh sobstven-nyh znaqeni λν :

E2 (λ,R) =

N∑

ν=R+1

λν (3.95)

Qtoby ohvatit~ vozdestvie liminirovani sobstvennogo vektorakoliqestvenno, qasto ukazyvaets ne absoltna oxibka, a otnosi-tel~na:

E2rel (λi) =

λiN∑

ν=1λν

(3.96)

Ishodna veliqina v znamenatele – to sled kovariacionno matri-cy Sg, t.e. vyxenazvanna summa dispersi.

Metod glavnyh komponent take nazyvaets preobrazovaniem, za-visimym ot problemy ili processa, t.k. matrica preobrazovaniprisposablivaets k statistiqeskim svostvam processa, proiz-vodwego signal. Iz togo fakta sleduet samoe vanoe svostvoKLT , a imenno optimal~na dekorrelci vhodnyh veliqin. Ne-dostatkom togo instrumenta obrabotki signalov vlts rashody,neobhodimye dl vyqisleni matricy preobrazovani.Vozdestvie metoda glavnyh komponent na korrelirovannyesluqanye vektory proillstrirovano na primere ris. 3.25.


Korrelirovannye signaly – temperatury vozduha i temperaturyvody iz ris. 3.10.

f2

20

10

–5

10–10 20 f1

g 1

g 2

Ris. 3.25: Zavisimost~ temperatury vody f2 ot temperatury voz-duha f1 iz ris. 3.10 v pervonaqal~no sisteme koordinat (f1, f2) iv povernuto sisteme koordinat (g1, g2) metodom glavnyh komponent

Pri podstanovke v uravnenie 3.94 oni oboznaqats kak f1 i f2.Take izobraena sistema koordinat dekorrelirovannyh signalov g1

i g2. Dl 92,4% poloitel~no korrelirovannyh temperatur poluqaet-s sleduwa ortogonal~na matrica KLT :

KLT =

[

0,7277 0,6859

−0,6859 0,7277

]

Metod glavnyh komponent take uspexno primenets dl kor-relirovannyh prostranstvennyh signalov. Nahodit primenenie vobrabotke izobraeni, k primeru, dekorrelci cvetnyh kanalov(RGB). Zdes~ budet predstavlen drugo primer, a imenno primeneniemetoda glavnyh komponent dl sati signala izobraeni.

Ris. 3.26 ot a) do d) voznikli sleduwim obrazom: izobraenie-original (sm. ris. 3.8), sostowee iz 256 strok i 256 stolbcov,stroki kotorogo byli interpretirovany kak sluqanye vektorys 256 lementami. Dl sluqanyh vektorov mono vyqislit~ ko-variacionnu matricu, lementy kotoro dat svedeni o vzaimnom


a) b)

c) d)

Ris. 3.26: Regeneraci signala izobraeni posle sati, qislo kom-ponent a) 2, b) 10, c) 20 i d) 40

shodstve. Iz kovariacionno matricy po uravneni 3.91 vysqityva-ts sobstvennye znaqeni i po uravneni 3.89 sobstvennye vektory.Ris. 3.27 pokazyvaet veliqinu upordoqennyh sobstvennyh znaqeniv zavisimosti ot pordkovogo nomera.

S sobstvennymi vektorami matrica preobrazovani KLT moet obra-zovyvat~s po uravneni 3.93. Po uravneni 3.94 my moem vyqis-lit~ teper~ 256 nekorrelirovannyh strok i sostavit~ novoe «izobra-enie» kak osnovu dl sati izobraeni. Pervye R strok (zdes~,naprimer, R = 2, 10, 20 i 40) togo izobraeni ostats neizmennymi,v ostal~nyh strokah 256 matriqnyh lementov zaments sootvet-stvuwimi srednimi arifmetiqeskimi. Sohrants ili peredat-s tol~ko pervye R strok to matricy i qast~ matricy KLT , ko-tora nuna dl obratnogo preobrazovani. Ris. 3.26 pokazyvaetrezul~taty obratnogo preobrazovani dl razliqnyh znaqeni R.


0 50 100 150 200

1000

2000

0

3000

4000

ν

λν

Ris. 3.27: Sobstvennye znaqeni λν kovariacionno matricy strok izris. 3.8 v zavisimosti ot pordkovogo nomera ν

3.5 Rangovye operatory

Sistemy obrabotki signalov podrazdelts, kak predstavleno vqasti 2.2, na linenye i nelinenye. Rassmotrennye predyduwiemetody obladali svostvom linenosti. Rangovye operatory pri-nadleat k gruppe nelinenyh operatorov. to znaqit, qto ukazannoev uravnenii 2.23 linenoe otnoxenie ne vypolnets. Povedeniesistemy zavisit teper~ ot vhodnogo signala, i vyhodno signalsoderit novye qastoty.Rangovye operatory, kak i svertka, vlts lokal~nymi operatora-mi, t.k. dl vyqisleni znaqeni v vyhodnom signale privlekaetssootvetstvuwee znaqenie vo vhodnom signale i ego okruenie.

Odnomernye diskretnye rangovye operatory: Primenenie rangovyhoperatorov trebuet daqi opredeleni sosedstva NM otsqeta fk, ko-toroe dolno priobwat~s k vyqisleni:

NM = fk+µ (3.97)

gde µ = 0,±1, · · · ±m i qislo sosede M = 2m+ 1. lementy sosedstvaupordoqivats po veliqine, po rangu:

Rk = r1, r2, . . . , rM (3.98)

gde rν ∈ NM , ν = 1, 2, . . .M i rν ≤ rν+1. Na tot rangovy pordok mogutpriment~s razliqnye operatory ϕ:

gk = ϕ (Rk) (3.99)

Samye vanye obobweny v sleduwe tablice.

3.5. RANGOVYE OPERATORY 115

operator oboznaqenie destvieϕ (Rk) = r1 rozi umen~xenie otsqetovϕ (Rk) = r(M+1)/2 mediana ustranenie toqeqnyh pomehϕ (Rk) = rM dilataci uveliqenie otsqetovϕ (Rk) = rM − r1 — raspoznavanie bol~xih raznoste

v posledovatel~nosti otsqetov

U vseh rangovyh operatorov vyhodno signal – funkci po ran-gu upordoqennyh otsqetov vhodnogo signala. Hot ee algoritmiq-eska struktura odinakova, odnako, kak pokazano na ris. 3.28, ffektrazny.

0 10 20 i0

10

20

i201000

10

20

c)

a)

0 10 20 i0

10

20

i201000

10

20

d)

b)

fi gi

gi gi

Ris. 3.28: ffekty rangovyh operatorov (M = 3) na odnomerny sig-nal, a) vhodno signal, b) vyhodno signal posle rozii, c) poslemedianno operacii, d) posle dilatacii

Bolee podrobno neobhodimo rassmotret~ medianny operator, koto-ry imeet osoboe znaqenie dl obrabotki signalov. Mediana – toznaqenie v sredne pozicii ranirovannogo rda s neqetnym qislomotsqetov. Pri qetnom qisle otsqetov qawe vsego ispol~zuets sred-nee arifmetiqeskoe dvuh sredinnyh znaqeni. Opredelenie take voz-mono na primere kumultivno gistogrammy (qast~ 3.1.2). Ona ras-sqityvaets so vsemi znaqenimi opredelennogo sosedstva ot fk po


uravneni 3.97. Dl mediany destvitel~no togda:

FrM+12

= 0,5 (3.100)

K otnositel~no nakoplenno qastote 0,5 prinadleawee znaqenier(M+1)/2 vlets mediano i stavits v sootvetstvie vyhodnomusignalu gk. Vypolnets to do teh por, poka ne vyqisleny vseznaqeni dl vyhodnogo signala.

Vse rangovye operatory imet problemy v naqale i v konce signala.Imets pohoie rexeni kak pri svertke, t.e. propuskanie kraev,priem graniqnogo znaqeni iz vhodnogo signala v vyhodno iliperiodiqeskoe prodolenie vhodnogo signala.Na svostvo nelinenosti rangovyh operatorov bylo ue ukazano.Sleduwee svostvo medianno operacii – sohranenie skaqkov vsignale. T.k. v principe nikakie novye znaqeni ne prisvaivatsk vyhodnomu signalu, oni ne mogut byt~ «soxlifovannymi», anaoborot sohrants. Kak illstriruet ris. 3.28 c), vozmonopodavlenie kratkovremennyh pomeh.

Dvumernye rangovye operatory: Take pri primenenii rangovyhoperatorov na dvumernye signaly, t.e. izobraeni, dolno byt~opredeleno sosedstvo. Ono opredelets, kak pravilo, kvadratnymioknami razmerom 3×3 ili 5×5. Gradacii serogo v tih oknah upordo-qivats po uravneni 3.98. Zatem sootvetstvuwa gradaci serogovybiraets v zavisimosti ot elaemo operacii i prisvaivaetsk sootvetstvuwe pozicii v vyhodnom signale, novomu izobraeni.

rozi: rozi moet priment~s dl razglaivani kraevobektov. tot ffekt dostigaets togda, kogda obekt obladaetbolee vysoko gradacie serogo qem fon, t.e. obekt svetlee fona.V tom sluqae aktual~ny piksel~ v rezul~tiruwem izobraeniipoluqit tol~ko togda gradaci serogo obekta, esli vse gradaciiserogo kvadratnogo okna prinadleat k obektu.rozi moet priment~s take k binarnym izobraenim (sm.qast~ 3.6). V kaqestve primera predstavleno na ris. 3.29 a) binarnoeizobraenie. Ris. 3.29 b) pokazyvaet, qto v izobraenii posredstvomrozii temnye plowadi rasxirts za sqet svetlyh.

Dilataci: Sglaivanie kraev moet proishodit~ ne tol~ko kakpri rozii udaleniem nerovnoste, no i posredstvom zapolnenivnutrennih promeutkov dilatacie. Esli obekt imeet snova boleevysoku gradaci serogo qem fon, to aktual~na toqka izobraeniv rezul~tiruwem izobraenii poluqit gradaci serogo obektatogda, kogda minimum odna gradaci serogo okna prinadleit kobektu. ffekt pri binarnyh izobraenih proillstrirovan na

3.5. RANGOVYE OPERATORY 117

a) b) c)

Ris. 3.29: ffekty rangovyh operatorov na dvuhmerny signal,a) vhodno signal, b) vyhodnye signaly posle rozii, c) posle di-latacii

ris. 3.29 c). Mono zametit~, qto pri dilatacii svetlye plowadirasxirts za sqet temnyh.

Medianna operaci: Medianna operaci primenets na izo-braenih togda, kogda oni naruxeny ediniqno povlwims xumomi kra izobraeni dolny sohrant~s. Qtoby posnit~ ffekt, kpredstavlennomu na ris. 3.30 a) izobraeni-originalu byl dobavlentak nazyvaemy xum tipa «sol~ i perec». V rezul~tate mediannooperacii poluqaets predstavlennoe na ris. 3.30 b) izobraenie.

a) b)

Ris. 3.30: ffekt mediannogo operatora na dvumerny signal, a) vhod-no signal s xumom tipa «sol~ i perec», b) vyhodno signal posleprimeneni mediannogo operatora


Pri obrabotke izobraeni razliqnye rangovye operatory vypol-nts take po oqeredi. Soedinenie vleqet za sobo, naprimer, kakraz prodemonstrirovannoe sglaivanie kraev s sohraneniem plowadi.T.k. na perednem plane tih operaci stoit forma obektov, oni takenazyvats morfologiqeskimi operatorami. Ih uspexno primenttogda, kogda defekty izobraeni horoxo razliqimy ot poleznyh sig-nalov. Esli za rozie sleduet dilataci, to morfologiqeski opera-tor nazyvaets operatorom razmykani (angl.: opening). O zamykanii(angl.: closing) govort, esli rozi sleduet za dilatacie.

3.6 Porogovye operatory

Porogovye operatory, kak i rangovye operatory, nelineny. Vyhod-nomu signalu prisvaivats znaqeni, kotorye zavist ot porogovogoznaqeni θ (angl.: threshold). ffekt moet byt~ oqen~ raznym i napr-mu zavisit ot operacii prisvaivani. On prodemonstrirovan zdes~na dvuh primerah: sglaivanie odnomernogo signala i binarizaciizobraeni.

Sglaivanie: Signal, kotory skoncentrirovan v vektore f dli-no N , dolen sglaivat~s, g – sglaenny signal. Sglaivanieproishodit pri pomowi sleduwih operaci porogovo obrabotki:

1. prisvo g1 = f1

2. dl k = 2, 3, . . . N

2. a) esli fk − θ ≤ gk−1 ≤ fk + θ, to prisvo gk = gk−1

2. b) esli gk−1 < fk − θ, to prisvo gk = fk − θ2. v) esli gk−1 > fk + θ, to prisvo gk = fk + θ

Operaci naqinaets s priema pervogo znaqeni ot f v sglaen-nu posledovatel~nost~ g. Zatem dl sluqa a) vtoroe znaqenienovo posledovatel~nosti priravnivaets pervomu znaqeni novoposledovatel~nosti, esli vtoroe znaqenie ot f koleblets v prede-lah ±θ. V sluqae esli gk−1 znaqitel~no men~xe qem fk (opredelenporogom θ), gk poluqaet znaqenie, kotoroe na θ men~xe, qem fk, t.e.podem zamedlets (sluqa b). Sootvetstvuwee destvitel~no dlzatuhawego signala (sluqa v). Na ris. 3.31 pokazano destvieopisannogo zdes~ porogovogo operatora dl razliqnyh znaqeni θ naprimere odnomernogo signala.

Binarizaci: Binarizaci – to odna iz naibolee qasto primen-emyh operaci, priqem ne tol~ko pri obrabotke izobraeni.Izobraenie, kotoroe sostoit, naprimer, iz 256 gradaci serogo,modificiruets takim obrazom, qto obnaruivaet tol~ko lix~ dve

3.6. POROGOVYE OPERATORY 119

100 20 i

20

10

0100 20 i

20

10

0

100 20 i

20

10

0100 20 i

20

10

0

figi θ=3

θ=8θ=5gi gi

Ris. 3.31: ffekt sglaivani odnomernogo signala posredstvomporogovo obrabotki

razliqnye gradacii serogo, kak pravilo, 0 dl qernogo cveta i 1 dlbelogo. Oqevidny metod, a imenno, kogda vsem gradacim serogonie 128 prisvaivaets znaqenie 0, a ostal~nym znaqenie 1, privoditne vsegda k udovletvoritel~nomu rezul~tatu (ris. 3.32).

a) b) c)

Ris. 3.32: ffekt binarizacii signala izobraeni s razliqnymiporogovymi znaqenimi, a) 50, b) 100 i c) 150

Potomu na praktike porog binarizacii opredelets uqityva ot-nositel~nu qastotu otdel~nyh gradaci serogo, kotora moet byt~vzta iz gistogrammy izobraeni. Esli gistogramma bimodal~na,t.e. medu dvum lokal~nymi maksimumami imeets minimum, totot minimum vybiraets kak porogovoe znaqenie. Gistogramma bi-


modal~na togda, kogda izobraenie obladaet otqetlivym perednimplanom i fonom. Vozmonost~ obektivnogo opredeleni daet vy-qislenie kofficienta anizotropii α. tot parametr prinadleitk predstavlennym na str. 81 parametram formy, qastnoe iz dvuhntropi, i vyqislets sleduwim obrazom:

α =

−gmed∑

g=0pg ld pg

−gmax∑

g=0pg ld pg

(3.101)

U izobraeni s otqetlivym perednim planom i fonom α ≈ 0,5. Esligistogramma ne bimodal~na, to mono ispol~zovat~ interaktivnymetod, pri kotorom pol~zovatel~ moet subektivno ocenit~ binarnoeizobraenie i zatem opredelit~ porogovoe znaqenie.

3.7 Fil~traci signalov

Fil~traci signalov v analogovo tehnike vlets naibolee qastoispol~zuemym metodom obrabotki signalov, blagodar kotoromu mo-no dostiq~ raznoobraznyh vozdestvi. Analogovo fil~tracie po-davlets xum, ograniqivaets xirina polosy qastot, uniqtoatsmexawie qastoty, sglaivats izmerennye znaqeni, zapolntsvnutrennie promeutki signala, podqerkivaets tendenci v signalei t.d. Xiroko specializirovannye primeneni dopuskat, tem nemenee, kratku harakteristiku analogovo fil~tracii: fil~traci –to zavisima ot qastoty ocenka amplitudy i fazovogo ugla signala.Destvie analogovo fil~tracii opisyvaets i vypolnets luqxevsego v spektral~nom, t.e. zavisimom ot qastoty predstavlenii.Dl cifrovyh signalov neobhodimy cifrovye fil~try. Proek-tirovanie i realizaci cifrovyh fil~trov sqitaets klassiqeskooblast~ primeneni cifrovo obrabotki signalov. Dl specia-lizirovannyh zadaq na sovremennom rynke imets integral~nyeshemy. Odnako prostye zadani fil~tracii mono rexit~ pripomowi vyqislitel~no maxiny neznaqitel~no mownosti.V otliqie ot analogovo fil~tracii, cifrova fil~traci moetvypolnt~s ne tol~ko v qastotno oblasti, no take vo vremennoili prostranstvenno oblasti. Teoretiqesku svz~ oboih processovustanavlivaet teorema svertki (sm. qast~ 4.2). V ne govorits otom, qto umnoenie v qastotno oblasti – operaci, kotoru nunovypolnt~ pri fil~tracii – sootvetstvuet (cikliqesko) svertke vovremenno oblasti. T.k. instrumenty obrabotki signalov razliqa-ts na instrumenty vremenno ili prostranstvenno oblasti iinstrumenty spektral~no oblasti, instrument fil~tracii budetrassmotren dvady, t.e. fil~traci vo vremenno i prostranstven-no oblasti v to qasti i fil~traci v spektral~no oblasti v

3.7. FIL^TRACI SIGNALOV 121

qasti 4.4.

Linena, invariantna vo vremeni cifrova sistema moet vypol-nt~ fil~traci vo vremenno oblasti. Tipiqny sostav: lementyzaderki, umnoiteli i summatory. My hotim sledovat~ siste-matizacii fil~trov, imewes v literature, – rekursivnye inerekursivnye fil~try ili fil~try s koneqnym ili beskoneqnymimpul~snym otklikom (KIH-fil~try, angl.: FIR – finite impulse re-sponse; BIH-fil~try, angl.: IIR – infinite impulse response). Rekursivnyefil~try poluqili nazvanie fil~trov s beskoneqno impul~snoharakteristiko (BIH-fil~trov), v otliqie ot nerekursivnyhfil~trov, vsegda imewih koneqnu impul~snu harakteristiku(KIH-fil~try). Kak vidno iz nazvani, rekursivnye fil~try obla-dat (minimum) odnim vozvratom. Vsledstvie togo vyhodno signal,otklik fil~tra, zavisit ne tol~ko ot vhodnogo signala, no i otvozvrawennyh qaste vyhodnogo signala na vyhode fil~tra. Priqi-na beskoneqno impul~sno harakteristiki rekursivnyh fil~trovv vozvrate, i oznaqaet, qto (diskretna) impul~sna funkci navhode vleqet za sobo vyhodno signal beskoneqno dlitel~nosti.U nerekursivnyh fil~trov net vozvratov, otklik fil~tra zavisittol~ko ot znaqeni signala na vhode fil~tra.

Principial~no nuno vsegda delat~ razliqie medu analizom isintezom cifrovogo fil~tra. Pri analize issleduets cifrovasistema otnositel~no svostv fil~tra. to zadanie rexeno, eslinadena zavisima ot qastoty ocenka vhodno veliqiny. Pri sintezedolny formulirovat~s trebovani k fil~tru i vypolnt~s proek-tirovanie fil~tra. Dl proektirovani fil~tra imeets obxirnateori i mnogoqislennye, praktiqeski orientirovannye metody.Zdes~ predstavleny tol~ko vozmonosti opisani fil~tra i principproektirovani fil~tra.

Nerekursivnye cifrovye fil~try: U nerekursivnyh cifrovyh fil~-trov (KIH-fil~try) vhodno signal fn i vyhodno signal gn svzanyuravneniem, kotoroe imeet formu diskretno svertki:

gn =

N−1∑

k=0

bk fn−k (3.102)

Kofficienty bk nazyvats kofficientami fil~tra. Dl vy-qisleni vyhodnogo signala vhodnye znaqeni fn svertyvats skofficientami fil~tra bk. Esli vhodno signal – diskretnyediniqny impul~s, to kofficienty fil~tra obrazut vyhodnosignal. Kofficienty fil~tra bk – to diskretna impul~sna harak-teristika. Qislo znaqeni signala fn, postupawih dl vyqisleni,opredelet pordok ili stepen~ fil~tra. Qislom slagaemyh N v


uravnenii 3.102 opredelets pordok fil~tra N − 1. to oznaqaet,qto posle N taktov vhodno signal bol~xe ne vliet na vyhodnosignal. Naprimer, dl pordka fil~tra N − 1 = 4 dl vyqislenivyhodnogo znaqeni gn dolno byt~ obrazovano 5 slagaemyh:

gn = b4fn−4 + b3fn−3 + b2fn−2 + b1fn−1 + b0fn−0 (3.103)

Na ris. 3.33 grafiqeski proillstrirovano opredelenie vyhodnogoznaqeni po uravneni 3.103.

f

g

f f f f f n

b0

b1

b2

b3

b4... ...

g n

?

n–4 n–3 n–2 n–1 n

n

n

n

Ris. 3.33: Opredelenie vyhodnogo znaqeni gn dl nerekursivnogofil~tra 4-go pordka po uravneni 3.103

Nardu s opisaniem cifrovo fil~tracii uravneniem svertki,imeets rd drugih vozmonoste opisani. K nim prinadleat:strukturna shema, peredatoqna funkci, impul~sna harakte-ristika i uravneni sostoni. Strukturna shema, kak primer kuravneni 3.103, pokazana na ris. 3.34.

V qasti 2.2 my ue poznakomilis~ s peredatoqno funkcie. Onaopisyvaet povedenie cifrovo sistemy otnoxeniem vyhodnogo ivhodnogo signala v zavisimosti ot (krugovo) qastoty. LIS-sistemyobladat tako osobennost~, qto pri garmoniqeskom vhodnom sig-nale nuno oidat~ vyhodno signal s izmenenno amplitudo iuglom, no tako e qastoty. Pust~ fn – kompleksnoe garmoniqeskoekolebanie exp(jωnTA) s intervalom diskretizacii TA, togda dl


TA TA TA TA

Σ Σ Σ Σ

b0b1b2b3b4

++ + ++ + + +

fn

fn-1fn-2fn-3fn-4

gn

Ris. 3.34: Strukturna shema nerekursivnogo fil~tra 4-go pordkapo uravneni 3.103

znaqeni vyhodnogo signala destvitel~no:

gn =

N−1∑

k=0

bk ejω(n−k)TA (3.104)

Peredatoqna funkci H(ω) poluqaets kak otnoxenie vyhodnogo sig-nala k vhodnomu:

H(ω) =

N−1∑

k=0

bk ejω(n−k)TA

ejωnTA=

N−1∑

k=0

bk e−jωkTA = f (ω,N, bk, TA) (3.105)

Peredatoqna funkci zavisit ot qastoty i, krome togo, ot po-rdka fil~tra, kofficientov fil~tra i intervala diskretizacii.Uravnenie 3.105 pokazyvaet, qto H(ω) moet interpretirovat~s kakFur~e-transformanta kofficientov fil~tra bk (sm. qast~ 4.2). T.k.H(ω) kompleksna veliqina, grafiqeskoe predstavlenie proishodit,kak pravilo, otdel~no po modul i uglu, kak amplitudna harak-teristika |H(ω)| i fazova harakteristika ∠(H(ω)). Peredatoqnafunkci obladaet takim obrazom svostvami Fur~e-transformanty.Samye vanye iz nih:

• H(ω) – periodiqeska funkci s periodom 2π/TA.• H(ω) i H(−ω) – kompleksno-soprennye.• |H(ω)| – qetna funkci.

T.k. H(ω) i bk svzany preobrazovaniem Fur~e, to oni take daturavnenie dl rasqeta kofficientov fil~tra (sm. uravnenie 4.39):

bk =TA

2π

π/TA∫

−π/TA

H (ω) ejωkTA dω (3.106)


Dl N kofficientov fil~tra, kotorye simmetriqny otnositel~nocentral~nogo kofficienta bz, H(ω) – destvitel~na funkci i po-luqats prostye otnoxeni:

H (ω) =

N−1∑

k=0

bk e−jω(k−z)TA s z =N − 1

2(3.107)

H (ω) = H (−ω) = bz + 2z∑

k=1

bz+k cos (ωkTA) (3.108)

V dannom sluqae kofficienty fil~tra bk destvitel~nye:

bk =TA

π

π/TA∫

0

H (ω) cos (ωkTA) dω (3.109)

Pust~ dana peredatoqna funkci H(ω), togda pravilo dl rasqetakofficientov fil~tra dano uravneniem 3.109.Dl razsneni svzi medu otdel~nymi veliqinami sluit pros-to qislovo primer, a imenno sglaivanie soglasno pravilu:

gn =1

3(fn−2 + fn−1 + fn) (3.110)

to pravilo take nazyvaets obrazovaniem skol~zwego srednego(angl.: moving average). Simmetriqnye kofficienty fil~tra monosqitat~ neposredstvenno iz uravneni: b2 = b1 = b0 = 1

3 . Peredatoqnafunkci H (ω) destvitel~na, pordok fil~tra N − 1 = 2. Dl pereda-toqno funkcii po uravneni 3.108 s z = 1 sleduet:

H (ω) = b1 + 21∑

k=1

b1+k cos (ωkTA) =1

3(1 + 2 cos (ωTA)) (3.111)

Ris. 3.35 pokazyvaet destvitel~nu peredatoqnu funkci.

Pri obrabotke signalov polezno izuqat~ povedenie ideal~nyh sis-tem dl togo, qtoby izmerit~ destvitel~no dosgaemye sistemnyekaqestva. Osobym interesom pol~zuets ideal~ny fil~tr ninihqastot. Ideal~ny fil~tr ninih qastot propuskaet nizkoqastotnyeqasti vhodnogo signala do predel~no qastoty ωg bespreptstvenno,dl vseh vysokoqastotnyh qaste signala fil~tr zakryt. Takoepovedenie mono opisat~ peredatoqno funkcie prmougol~noformy (ris. 3.36).

Dl rasqeta kofficientov fil~tra peredatoqna funkci Hideal (ω)dolna rassmatrivat~s medu qastotami Nakvista ±π/TA (sm.


2100

2

4

π

ωTA2 π3

0

0,5

1

| ( )|H ωH ( )ω

∠ ωH ( )

1 ωTA0 3 3

Ris. 3.35: Modul~ i ugol peredatoqno funkcii H(ω) nerekur-sivnogo fil~tra ninih qastot 2-go pordka s simmetriqnymi ko-fficientami po uravneni 3.110

H ( )ω

1

0 ωg–ωg ω–πTA

+ πTA

+

Ris. 3.36: Peredatoqna funkci ideal~nogo fil~tra ninih qastot

qast~ 2.3, uravnenie 2.30). T.k. ona vlets qetno funkcie, to ko-fficienty fil~tra mono rassqitat~ po uravneni 3.109:

bk =TA

π

π/TA∫

0

Hideal (ω) cos (ωkTA) dω

=TA

π

ωg∫

0

1 cos (ωkTA) dω +

π/TA∫

ωg

0 cos (ωkTA) dω

=ωgTA

πsi (ωgkTA) = 2

fgfA

si

(

2πkfgfA

)

(3.112)

Kofficienty fil~tra – to vzvexennye znaqeni sinc-funkcii (sm.uravnenie 2.13), v argumente kotoro opredelwim vlets otnoxe-nie predel~no qastoty k qastote diskretizacii. Vyhodno signalpoluqaets po uravneni 3.102 iz svertki kofficientov fil~tra s


vhodnymi znaqenimi fn:

gn =N−1∑

k=0

bk fn−k =ωgTA

π

N−1∑

k=0

si (ωgkTA) fn−k (3.113)

Esli kofficienty ideal~nogo fil~tra ninih qastot podstavit~ vuravnenie 3.108, to poluqaets destvitel~na peredatoqna funkci,kotora opisyvaet v zavisimosti ot N real~ny fil~tr ninih qas-tot:

H (ω) =ωgTA

π

[

1 + 2z∑

k=1

si (ωg(z + k)TA) cos (ωkTA)

]

s z =N − 1

2

(3.114)

Dl N → ∞ prmougol~na funkci pribliaets posredstvomsinc-funkci, dl koneqnyh znaqeni N proishodit priblieniek prmougol~niku po metodu naimen~xe kvadratiqno oxibki.Ris. 3.37 pokazyvaet dl qastoty diskretizacii 500 Gc i predel~noqastoty 50 Gc nekotorye peredatoqnye funkcii v zavisimosti otpordka fil~tra.

00

1

N= 5N=10

N=30

| ( )|H ω

0,1

0,5

ωωA

Ris. 3.37: Modul~ peredatoqno funkcii nerekursivnyh real~nyhfil~trov ninih qastot po uravneni 3.114 dl treh pordkovfil~tra N = 5, 10, 30 (ωg/ωA = 10%)

Rekursivnye fil~try: Imewas v rekursivnom fil~tre (BIH-fil~tr) obratna svz~ vliet na to, qto vyhodno signal zavi-


sit ne tol~ko ot vhodnogo signala, no i ot predvaritel~no rassqi-tannyh znaqeni vyhodnogo signala. Kak pravilo, iz-za beskoneqnoimpul~sno harakteristiki proektirovanie rekursivnyh fil~trovtrebuet osobo twatel~nosti, qtoby garantirovat~ stabil~nost~fil~tra. Uravnenie dl rasqeta vyhodnogo signala – to rasxire-nie nerekursivno fil~tracii po uravneni 3.102:

gn =

N−1∑

k=0

bk fn−k −M∑

k=1

ak gn−k (3.115)

Posredstvom vtoro summy predyduwie vyhodnye znaqeni priob-wats k vyqisleni aktual~nogo vyhodnogo znaqeni. Uravneniepokazyvaet, qto nerekursivnye fil~try mogut rassmatrivat~s kakosoby sluqa rekursivnyh, pri kotorom vse kofficienty fil~traak ravny nul.Uravnenie 3.115 mono vygodno zapisat~ simmetriqno formo, gdevyhodnoe znaqenie gn otnosits k kofficientu fil~tra a0 = 1:

M∑

k=0

ak gn−k =

N−1∑

k=0

bk fn−k s a0 = 1 (3.116)

Ris. 3.38 pokazyvaet dl M = 2 i N = 5 podhod dl rasqeta znaqenivyhodnogo signala.

Pri predstavlenii rekursivno fil~tracii v strukturno shemeneobhodimo rasxirenie nerekursivnogo fil~tra iz ris. 3.34 obrat-no svz~ (ris. 3.39).

Peredatoqna funkci rekursivnyh sistem vyvodits v literatureobyqno iz z-preobrazovani, kotoroe vklqaet v seb, kak osobysluqa, diskretnoe preobrazovanie Fur~e. T.k. opisanie cifrovyhsistem zdes~ proishodit lix~ differencial~nymi uravnenimi,rekomendovano izuqenie z-preobrazovani v literature, naprimer,[7, 17]. Soglasno e peredatoqna funkci H(ω) ravnets:

H(ω) =

N−1∑

k=0

bk e−jωkTA

1 +M∑

k=1

ak e−jωkTA

(3.117)

Kak i u nerekursivnyh fil~trov, peredatoqna funkci vlets pe-riodiqesko funkcie s periodom 2π/TA, i ee modul~ |H (ω)| – qetnafunkci. Dl prostogo sluqa rekursivnogo fil~tra ninih qastot sM = N = 1 uravnenie 3.116 prevrawaets v:

a0 gn + a1 gn−1 = b0 fn (3.118)


f

g

n

b0

b1

b2

b3

b4... ...

?a1

a2

g g g n

n

f f f f fn–4 n–3 n–2 n–1 n

n

n–2 n–1 n

Ris. 3.38: Opredelenie aktual~nogo znaqeni vyhodnogo signala gnrekursivno fil~tracii po uravneni 3.115

TA TA TA TA

Σ Σ Σ Σ

b0b1b2b3b4

++ + ++ + + +

fn

fn-1fn-2fn-3fn-4

gn

a4 a3 a2 a1

TA TA TA TA

– – – –Σ

+

gn-4 gn-3 gn-2 gn-1

Ris. 3.39: Strukturna shema rekursivnogo fil~tra po urav-neni 3.115


Iz-za a0 = 1 dl gn sleduet

gn = b0 fn − a1 gn−1 (3.119)

i dl peredatoqno funkcii

H (ω) =b0

1 + a1 e−jωTA(3.120)

Pri pomowi lerovogo otnoxeni e−jx = cos (x)− j sin (x) mono ras-sqitat~ modul~ peredatoqno funkcii:

|H (ω)| = b0√

1 + a12 + 2a1 cos (ωTA)

(3.121)

On predstavlen dl a1 = −0,75 i b0 = 0,25 na ris. 3.40. Otqetlivozametna periodiqnost~ peredatoqno funkcii, odno iz svostv Fur~e-transformanty diskretnyh signalov (sm. qast~ 4.2, uravnenie 4.38).

1

0 5 10

| ( )|H ω

ω

0,5

–10 –5 –ωN ωN

Ris. 3.40: Modul~ peredatoqno funkcii rekursivnogo fil~tra ni-nih qastot po uravneni 3.121

Tipy fil~trov: Vydelt qetyre vanexih tipa fil~trov: fil~trninih qastot, fil~tr verhnih qastot, polosovo fil~tr i reek-torny fil~tr. Ris. 3.41 pokazyvaet moduli prinadleawih pereda-toqnyh funkci. Pty tip fil~tra, fazovy, neobhodim dl to-go, qtoby proektirovanie drugih tipov fil~tra moglo proishodit~na osnove proektirovani fil~tra ninih qastot. Dl fazovo-go fil~tra destvitel~no gn = fn, sledovatel~no, imeets tol~kokofficient b0 = 1.Dl nerekursivnyh fil~trov mono rassqitat~ kofficientyfil~tra verhnih qastot (VQ), k primeru, iz kofficientov fazovogofil~tra (FF) i fil~tra ninih qastot (NQ):

bkVQ = bk

FF − bkNQ (3.122)

Take polosovo i reektorny fil~try poluqats podobnymobrazom iz fil~tra ninih qastot. Potomu proektirovanie fil~tra


| ( )|H ω

| ( )|H ω

| ( )|H ω

| ( )|H ω

ω

ω

ω

ω

Tiefpass Hochpass

Bandpass Bandsperre

...

...

1 1

1 1

Ris. 3.41: Moduli ideal~nyh peredatoqnyh funkci qetyreh tipovfil~tra (Tiefpass:fil~tr ninih qastot, Hochpass:fil~tr verhnih qas-tot, Bandpass:polosovo fil~tr, Bandsperre:reektorny fil~tr)

mono ograniqit~ proektirovaniem fil~tra ninih qastot.

Proektirovanie fil~tra: Proektirovanie fil~tra oznaqaet, vo-pervyh, nahodenie kompromissa medu elaemymi kaqestvami ineobhodimymi dl togo zatratami. V literature podrobno opisy-vats mnogoqislennye metody proektirovani [17, 30, 42, 45]. Myhotim korotko predstavit~ lix~ princip proektirovani. Ishodnypunkt – ideal~noe povedenie peredaqi fil~tra ninih qastot. Qto-by perevesti to povedenie v realizuemu peredatoqnu funkci,nuno snabdit~ ego shemo dopustimyh otkloneni, tak nazyvaemashema xtempel~-matric ili Stempel-Matrizen-Schema(sm. ris. 2.37 nastr. 66). Ona sostoit iz polosy propuskani, polosy zaderivanii perehodno oblasti. V zavisimosti ot togo, dolen li byt~ re-alizovan nerekursivny ili rekursivny fil~tr, dl elaemogopovedeni neobhodimo teper~ rassqitat~ peredatoqnu funkci, ko-tora nahodits v oblasti dopustimyh otkloneni. Pri pomowirekursivnyh fil~trov realizuets bol~xee raznoobrazie pereda-toqnyh funkci. Pri dannom koliqestve kofficientov fil~traoni dat luqxee priblienie k ideal~nym otnoxenim. Real~nyeperedatoqnye funkcii razliqats naliqiem pul~saci v polosepropuskani i zaderivani, v krutizne perehoda iz polosy pro-puskani v polosu zaderivani i v ee prigodnosti dl impul~snoperedaqi. Qem bol~xe fil~tr sootvetstvuet ideal~nomu fil~truninih qastot, tem luqxe ego kaqestva. Nuno dobivat~s kruto-go perehoda iz polosy propuskani v polosu zaderivani, neznaqi-tel~nyh pul~saci v obeih polosah i po vozmonosti bolee polnogoblokirovani vyxe qastoty zaderivani. Pordok fil~tra i vmestes tem zatraty opredelt otklonenie ot ideal~nyh kaqestv.

3.8. APPROKSIMACI SIGNALOV 131

3.8 Approksimaci signalov

Opisanie nepreryvnogo vo vremeni signala f(t) ili signala sdiskretnym vremenem ili serii izmereni f(tn) ili fn s podhodwi-mi parametrami dat svedeni o svostvah processa, proizvodwegosignal. Esli sluqany signal approksimiruets funkcie, to para-metry funkcii privlekats togda k opisani sluqanogo signala,esli approksimaci proishodit s toqnost~, kotora prisposoblenak primenemomu sluqa.Pri approksimacii signalov sistemy ortogonal~nyh funkci igra-t osobennu rol~, t.k. svostvo ortogonal~nosti suwestvenno upro-waet neobhodimye dl approksimacii rasqety. V dal~nexem metodnaimen~xih kvadratov predstavlen kak osnova tih rasqetov. Daleesleduet rassmotrenie ortogonal~nosti funkci i predstavlenie qas-to ispol~zuemyh pri obrabotke signalov sistem ortogonal~nyhfunkci.

3.8.1 Metod naimen~xih kvadratov

Problemu approksimacii signalov mono sformulirovat~ sledu-wim obrazom: signal s nepreryvnym vremenem f(t) ili signal sdiskretnym vremenem fn dolny byt~ approksimirovany funkciefap(c, t). Pri tom parametry c nuno vybrat~ takim obrazom, qtobydostiq~ «luqxego» priblieni (ris. 3.42).

0 2 4 t

2

4f t( )

f tap(

0 2 4 t

2

4 f tap(

f t( )n

) )

Ris. 3.42: Approksimaci signala s nepreryvnym vremenem f(t) i sig-nala s diskretnym vremenem f(tn)

Kaqestvo priblieni harakterizuets pogrexnost~. Minimizacipogrexnosti daet v itoge luqxee priblienie. Esli minimiziruet-s summa module otkloneni, to req~ idet o L1-approksi-macii. Pri L2-approksimacii, kotora nazyvaets take metodomnaimen~xih kvadratov ili metodom naimen~xih kvadratov Gaussa,summa kvadratiqnyh otkloneni – to minimiziruema pogrexnost~.Nakonec mono minimizirovat~ take samoe bol~xoe vstreqaweesotklonenie. ta approksimaci nazyvaets L∞-approksimacie ili


approksimacie Qebyxeva. Dl vseh approksimaci opyt pokazy-vaet, qto v diskretnom sluqae koliqestvo opornyh znaqeni (otsqety)dolno byt~ ot 3 do 5 raz bol~xe qem qislo opredelemyh para-metrov.Dl diskretnogo signala dlino N pri primenenii metoda naimen~-xih kvadratov Gaussa dl minimizirovani kvadratiqesko pogrex-nosti E2(c) medu diskretnym signalom s otsqetami f(tn) i ego ap-proksimacie fap(c, tn) poluqaets:

E2 (c) =N−1∑

n=0

[f (tn)− fap (c, tn)]2 (3.123)

Esli v kaqestve funkcii approksimacii fap(c, t) vybiraets linenakombinaci iz M funkci Φ0(t) . . . ΦM−1(t) s M parametrami c0 . . . cM−1

fap (c, t) =M−1∑

m=0

cmΦm (t) (3.124)

to s f(tn) = fn i Φm(tn) = Φm,n dl kvadratiqno oxibki sleduet:

E2 (c) =

N−1∑

n=0

[

fn −M−1∑

m=0

cmΦm,n

]2

(3.125)

Minimum ustanavlivaets putem priravnivani k nul k qastnyhproizvodnyh (k = 0, 1, . . . ,M − 1) po parametram ck:

∂E2

∂ck= −2

N−1∑

n=0

[

fn −M−1∑

m=0

cmΦm,n

]

Φk,n

= −2

N−1∑

n=0

fn Φk,n + 2

N−1∑

n=0

M−1∑

m=0

cm Φm,n Φk,n

= 0 (3.126)

Uravnenie moet zapisyvat~s v simmetriqno forme:

N−1∑

n=0

M−1∑

m=0

cm Φm,n Φk,n =N−1∑

n=0

fn Φk,n (3.127)

Dl rasqeta kofficientov ck nagldnee ispol~zovat~ matriqnu za-pis~. My poluqaem linenu sistemu uravneni iz M uravneni s Mneizvestnymi kofficientami ck v sleduwe forme:

N−1∑

n=0Φ0,nΦ0,n · · ·

N−1∑

n=0Φ0,nΦM−1,n

.... . .

...N−1∑

n=0ΦM−1,nΦ0,n · · ·

N−1∑

n=0ΦM−1,nΦM−1,n

·

c0

c1...

cM−1

=

N−1∑

n=0fnΦ0,n

...N−1∑

n=0fnΦM−1,n


(3.128)

Qislo rexeni sistemy uravneni i veliqina pogrexnosti ap-proksimacii zavist ot qisla M ispol~zovannyh dl approksimaciifunkci Φm i ot qisla otsqetov N ot fn. Dl znaqimogo v praktikesluqa, gde N M , kvadratiqeska pogrexnost~ vsegda bol~xe nul.

Dl polnoty raskryti temy my korotko obratims k rasqetupogrexnosti approksimacii E2(c) dl signalov s nepreryvnym vre-menem f(t):

E2 (c) =

b∫

a

[f (t)− fap (c, t)]2

dt (3.129)

3.8.2 Ortogonal~nost~

Sistema uravneni po uravneni 3.128 stanovits znaqitel~noprowe, esli delats dal~nexie ograniqeni dl funkcii ap-proksimacii fap(c, t). Pri obrabotke signalov osoboe znaqenieotvodits primeneni sistem ortogonal~nyh funkci. Dl raz-sneni ortogonal~nosti funkci my hotim ispol~zovat~ pontieortogonal~nosti vektorov.

Ortogonal~nost~ dvuh vektorov: Dva vektora-stolbca f i g imetskalrnoe proizvedenie:

〈f , g〉 =N−1∑

n=0

fn gn ili 〈f , g〉 = fTg (3.130)

Dl kompleksnyh vektorov s kompleksno-soprennymi k fn znaqeni-mi fn

∗ destvitel~no:

〈f , g〉 =

N−1∑

n=0

fn∗ gn (3.131)

Skalrnoe proizvedenie take nazyvaets vnutrennim proizvedeniem.Esli vektory ortogonal~ny, to skalrnoe proizvedenie ravno nul,vektory raspoloeny perpendikulrno drug drugu:

f ⊥ g esli 〈f , g〉 = 0 (3.132)

Vnutrennee proizvedenie budet normo vektora, esli rassmatrivaet-s tol~ko odin vektor. Esli f destvitel~ny, to dl vnutrennegoproizvedeni destvitel~no:

〈f ,f〉 =

N−1∑

n=0

fn fn (3.133)


Iz vnutrennego proizvedeni mono vysqitat~ normu ||f ||:

||f || =√

〈f ,f〉 =

√

fTf (3.134)

Norma vektora ravnocenna ponti dliny vektora.

Ortogonal~nost~ dvuh funkci: Medu vektornym prostranstvom, so-vokupnost~ vseh vektorov evklidova prostranstva, i prostranstvomfunkci, sovokupnost~ vseh nepreryvnyh funkci v intervale a ≤t ≤ b, suwestvuet opredelenna analogi. Opiras~ na vnutrenneeproizvedenie dvuh vektorov, mono take vvesti opredelenie vnutren-nego proizvedeni dvuh funkci:

〈f, g〉 =

b∫

a

f (t) g (t) dt (3.135)

Esli funkcii kompleksnye, to neobhodimo ispol~zovat~ sleduweeopredelenie:

〈f, g〉 =

b∫

a

f∗ (t) g(t) dt (3.136)

Kak i dl vektorov, tak i dl funkci sqitaets, qto v intervale[a, b] (intervale ortogonal~nosti) oni ortogonal~ny drug drugu, eslivnutrennee proizvedenie ravno nul:

〈f, g〉 =

b∫

a

f (t) g (t) dt = 0 (3.137)

Ortogonal~nye funkcii obrazut ortogonal~ny bazis dl ap-proksimacii signalov. T.k. vnutrennee proizvedenie moet takeinterpretirovat~s kak mera shodstva dvuh funkci, to uslovieortogonal~nosti po uravneni 3.137 oznaqaet, qto funkcii f(t) i g(t)ne imet shodstva.

Po analogii s dlino vektora po uravneni 3.134 poloitel~nykvadratny koren~ iz vnutrennego proizvedeni 〈f, f〉 nazyvaets nor-mo funkcii f :

||f || =√

〈f, f〉 (3.138)

Esli u ortogonal~nyh funkci norma ravna 1, to oni nazyvatsortonormal~nymi funkcimi. Funkcii f1, f2, . . . fN obrazut togda i


tol~ko togda ortonormal~nu sistemu, kogda oni poparno ortonor-mal~ny:

〈fj , fk〉 = δj,k s simvolom Kronekera δj,k =

1 dl j = k

0 dl j 6= k

(3.139)

V sluqae diskretnyh funkci N otsqetov fn i gn mogut interpre-tirovat~s sootvetstvenno kak lementy N-mernyh vektorov f i g.Ortogonal~nost~ imeet mesto togda, kogda otnositel~no ee toqekotsqeta n vypolnets uravnenie 3.132.

V sisteme uravneni 3.128 mono ispol~zovat~ teper~ dl funkciΦm,n ortogonal~nye funkcii. M funkci ortogonal~ny otnositel~notoqek otsqeta n, esli oni poparno ortogonal~ny. Dl destvitel~nyh,a take kompleksnyh funkci Φm,n dolno vypolnt~s:

N−1∑

n=0

Φm,n Φk,n = 0 iliN−1∑

n=0

Φ∗m,n Φk,n = 0 dl m 6= k (3.140)

Vmeste s tem, tol~ko lix~ lementy glavno diagonali imets vmatrice, i, v itoge, vozmono uprowenie rasqeta parametrov ck:

ck =

N−1∑

n=0fn Φk,n

N−1∑

n=0|Φk,n|2

(3.141)

Ortogonal~nye funkcii Φm,n nazyvats bazisnymi funkcimi.Nardu s prostym opredelitel~nym uravneniem dl ih kofficien-tov ck, primenenie ortogonal~nyh funkci imeet ewe preimuwestvo vtom, qto dobavlenie posleduwe funkcii v uravnenie 3.128 trebuettol~ko rasqeta novogo kofficienta.Nuno obratit~ vnimanie na to, qto ortogonal~nost~ destvitel~natol~ko dl toqek otsqeta, ukazannyh v uravnenii 3.130, ili dlintervala integrirovani uravneni 3.135. Dl drugogo intervalaili drugih toqek otsqeta uslovi ortogonal~nosti v obwem sluqaene vypolnts.

Dl polnoty ukaem uravnenie dl rasqeta kofficientov bazisnyhfunkci dl nepreryvnyh vo vremeni signalov. Ono sleduet iz urav-neni 3.141, v kotorom summy zaments integralami:

ck =

b∫

a

f (t) Φk (t) dt

b∫

a

|Φk (t)|2 dt

(3.142)


Take neobhodimo ukazat~ na vanu svz~ medu funkcie-originalom fn i bazisnymi funkcimi Φm,n. Sistema ortogo-nal~nyh funkci v zamknutom intervale [a, b] nazyvaets polno, es-li kvadratiqna oxibka po uravneni 3.125 dl beskoneqno mnogihfunkci Φm,n stremits k nul:

limk→∞

N−1∑

n=0

[

fn −k∑

m=0

cmΦm,n

]2

= 0 (3.143)

to uslovie nazyvaets take teoremo polnoty. Primer polnosistemy funkci – ortogonal~na sistema sin(ωtn) i cos(ωtn).

Ortogonal~nost~ kak svostvo matric: Destvitel~na kvadratnamatrica A vlets ortogonal~no, esli

AT ·A = E (3.144)

priqem E – ediniqna matrica. Dl ortogonal~nyh matric A

take destvitel~no, qto ih obratnye matricy sovpadat stransponirovannymi:

AT = A−1 i |A| = ±1 (3.145)

Ortogonal~na matrica soderit destvitel~nye matriqnyelementy. Kompleksna kvadratna matrica A, kotora obladaetanalogiqnymi kaqestvami, nazyvaets unitarno, esli:

AT∗ ·A = E (3.146)

Pri tom transpozici zamenets na rmitovo soprenie.Simvol T∗ ispol~zuets dl soprenno-transponirovanno matricy.Dl unitarno matricy A take destvitel~no:

AT∗ = A−1 (3.147)

Dl bol~xogo koliqestva ortogonal~nyh sistem, ispol~zuemyh priobrabotke signalov, primenets zapis~ v matriqno forme.

Ispol~zuemye pri obrabotke signalov, polnye sistemy ortogo-nal~nyh funkci mono podelit~ na dve gruppy: garmoniqeskie funk-cii v forme sinusa i negarmoniqeskie funkcii v forme prmo-ugol~nika. Samye vanye iz nih predstavleny v sleduwe qasti.

3.8.3 Ortogonal~nye funkcional~nye sistemy

Garmoniqeskie funkcii: Garmoniqeskoe kolebanie – to periodi-qeskoe dvienie, pri kotorom proishodit otklonenie v forme sinusa


ili kosinusa. Vana sistema garmoniqeskih kolebani – tomatematiqeski matnik, kotory sostoit iz material~no toqki,podvexenno na nevesomo nerastimo niti. Dvienie togomatnika mono opisat~ differencial~nym uravneniem, rexeniemkotorogo vlets, k primeru, funkci kosinus. Funkcie kosinusmono vysqitat~ prodolitel~nost~ i qastotu kolebani.Iznaqal~no v tehnike svzi garmoniqeskie kolebani igraliunikal~nu rol~. S odno storony, priqina v tom, qto ih monobylo prosto proizvodit~ pri pomowi shem, sostowih iz sopro-tivleni, katuxek i kondensatorov. S drugo storony, posredstvomideal~nyh linenyh, invariantnyh sistem oni lix~ oslabltsi zamedlts. Forma i qastota sohrants. Garmoniqeskie sig-naly imeli v lektrotehnike bol~xie preimuwestva do teh por,poka imeli preobladanie analogovye gruppy. Krome togo, anal-ogovye shemy ispol~zovali oqen~ komfortabel~ny instrument(analiz Fur~e) dl opisani signalov i sistem. S ego pomow~kady signal mog predstavlt~s ne tol~ko v kaqestve zavisimoot vremeni veliqiny, no i v vide sovokupnosti garmoniqeskihfunkci razno qastoty (spektral~noe predstavlenie). S razvitiempoluprovodnikovyh lementov i osnovanno na tom cifrovo tehnikianalogova tehnika vytesnlas~ iz mnogih oblaste primeneni vsebol~xe i bol~xe. T.k. garmoniqeskie signaly igrat, odnako, vse ewebol~xu rol~ pri obrabotke signalov, oni budut zdes~ predstavleny.

Garmoniqeskoe kolebanie – to periodiqeska funkci f(t) = f(t+nT ).Pri tom T dlina perioda ili kolebani i n lboe celoe qislo. Dlfunkcii kosinus ili sinus s amplitudo A signala destvitel~no:

f (t) = A cos (ωt+ ϕ0) = A cos [ϕ (t)]

f (t) = A sin (ωt+ ϕ0) = A sin [ϕ (t)] s ω = 2π/T (3.148)

Veliqina ϕ0 nazyvaets nulevym fazovym uglom. Esli vrawat~strelku v ediniqno okrunosti, to ω vlets uglovo skorost~:

ω =dϕ (t)

dt(3.149)

Esli ona postonna, to ona nazyvaets take krugovo qastoto i sv-zana s qastoto kolebani f kofficientom 2π (sm. str. 17):

ω = 2π · f (3.150)

Funkcii kosinus i sinus prinadleat k trigonometriqeskim funkci-m, krugovym funkcim, kotorye mono interpretirovat~ geometri-qeski v ediniqno okrunosti. Esli v argumente funkcii kosinus


cos(ωt) = cos(x) ispol~zuets ugol x v radianah, to funkci kosinusimeet period 2π; esli v argumente, odnako, stoit 2πx, to period ra-ven 1.Otkryta Leonardom lerom v 1749 godu formula predstavlet fun-damental~nu svz~ dl teorii trigonometriqeskih funkci:

ejωt = cos (ωt) + j sin (ωt) (3.151)

Pri tom j mnima edinica s j2 = −1. Ona oboznaqalas~ leromkak i, v lektrotehnike ispol~zuets, odnako, tradicionno j. Formulalera otobraaet garmoniqeskoe kolebanie cos(ωt) za sqet dobav-leni mnimo qasti j sin(ωt) na kompleksnu pokazatel~nu funkci.Vvedenny Karlom Xtenmecom v 1893 godu simvoliqeski metodtehniki peremennogo toka, tak nazyvaemy jω-rasqet, ispol~zovaltu svz~. Blagodar tomu, stalo vozmonym svesti problemyteorii peremennogo toka k ue izvestnym problemam postonnogotoka [51]. Otnoxeni mono nagldno predstavit~ na kompleksnoploskosti (ris. 3.43).

Im

Re

ωt–ωt

e

e

cos ωt

sin ωt

–j tω

j tω

Ris. 3.43: Posnenie formuly lera na kompleksno ploskosti

Iz risunka sleduet: qtoby vmesto cos(ωt) ispol~zovat~ exp(jωt) ivyqislt~ bez problem, neobhodimo ispol~zovat~ dve kompleksno-soprennye veliqiny, pri sloenii kotoryh opredeletsdestvitel~na funkci kosinus:

cos (ωt) =1

2

(e+jωt+e−jωt

)(3.152)

Dl funkcii sinus destvitel~no:

sin (ωt) =1

2j

(e+jωt− e−jωt

)(3.153)

Perehod ot garmoniqeskih funkci k pokazatel~nym funkcim smnimym argumentom oznaqaet primenenie pary (+ω,−ω). Problema


otricatel~nyh qastot rexaets tem, qto razliqat «tehniqeskie»qastoty 0 < ω < ∞ i «matematiqeskie» qastoty −∞ < ω < ∞.Formula lera – osnova spektral~nogo predstavleni signalov.

Sistema garmoniqeskih funkci s periodom T = 2π/ω pri opredelen-nyh uslovih take ortogonal~na. Esli rassmatrivats garmoni-qeskie funkcii 1, cos(ωt), sin(ωt), cos(2ωt), sin(2ωt), . . . , to ortogo-nal~nost~ imeet mesto togda, kogda ti funkcii poparno ortogonal~nydrug drugu, t.e. integral ot proizvedeni razliqnyh funkci isqeza-et. Dl dvuh funkci kosinus uslovie ortogonal~nosti glasit:

T∫

0

cos (m ωt) cos (k ωt) dt = 0 dl m 6= k i m, k ∈ N (3.154)

Esli funkcii ravny, to oni ne ortogonal~ny i integral ne ravennul:

T∫

0

cos (m ωt) cos (k ωt) dt =

T2 dl m = k 6= 0

T dl m = k = 0(3.155)

Dl dvuh funkci sinus sootvetstvenno:

T∫

0

sin (m ωt) sin (k ωt) dt =

T2 dl m = k 6= 0

0 dl m 6= k

0 dl m = 0 ili k = 0

(3.156)

Take funkcii sinus i kosinus ortogonal~ny:

T∫

0

sin (m ωt) cos (k ωt) dt = 0 (3.157)

Esli garmoniqeskie funkcii predstavleny v diskretno forme f(tn),to dl ortogonal~nosti vany momenty otsqeta. Esli N momentyotsqeta t0, t1, . . . , tN−1 toqno ohvatyvat period diskretnogo signa-la i tn = n · T/N = n · TA, to otnositel~no tih momentov otsqetadestvitel~ny sleduwie uslovi ortogonal~nosti:

N−1∑

n=0

cos (m ωtn) cos (k ωtn) = 0 dl m 6= k

N−1∑

n=0

sin (m ωtn) sin (k ωtn) = 0 dl m 6= k

N−1∑

n=0

sin (m ωtn) cos (k ωtn) = 0 (3.158)


Garmoniqeskie funkcii obrazut i drugie ortogonal~nye sistemy. Vtom qisle i vvedenna v 1942 godu Ral~fom Hartli sistema funkcicas [22]:

cas (ωt) = cos (ωt) + sin (ωt) (3.159)

Ris. 3.44 pokazyvaet pervye 8 funkci cas.

1

0

–1

2 4 6 t

1

0

–12 4 6 t

t642

1

0

–1

t6420

1

–1

1

0

–12 4 6 t

1

0

–12 4 6 t

t642

1

0

–1

t6420

1

–1

cas( )t cas(5 )t

cas(2 )t cas(6 )t

cas(3 )t cas(7 )t

cas(0 )t cas(4 )t

Ris. 3.44: Pervye 8 funkci cas

Funkcii destvitel~nye, baziruwees na nih preobrazovanieHartli imeet destvitel~noe dro preobrazovani (sm. qast~ 4.3).

Sistemy garmoniqeskih funkci imet znaqenie ne tol~ko priobrabotke odnomernyh signalov, no take pri obrabotke izo-braeni. Dl uspexnogo primeneni trebuets uveliqenie raz-mernosti do dvuh. S prostranstvennymi koordinatami x i y


destvitel~no, k primeru, dl nepreryvno prostranstvenno dvumer-no funkcii kosinus:

f (x, y) = cos (ωx x) · cos (ωy y) (3.160)

Dl obrazovani dvumerno prostranstvenno funkcii peremnoa-ts dve odnomernye prostranstvennye funkcii. Na mesto krugovoqastoty ω i vremeni t v argumente zavisimo ot vremeni funkciif(t) = cos(ωt) vystupaet dl zavisimosti ot mesta x prostranstvennakrugova qastota ωx, t.e. f(x) = cos(ωxx), i dl zavisimosti ot mesta yprostranstvenna krugova qastota ωy, t.e. f(y) = cos(ωyy). Dlprostranstvenno qastoty fx destvitel~no fx = ωx/2π. V kaqestveprimera na ris. 3.45 predstavlena dvumerna funkci kosinus dlωx = 3 i ωy = 2.

cos(

3)x

cos(2 )y

Ris. 3.45: Dvumerna funkci kosinus cos(3x) · cos(2y)

Prostranstvenna diskretna dvumerna garmoniqeska funkcimoet obrazovyvat~s putem umnoeni dvuh odnomernyh diskret-nyh funkci. Esli ta funkci imeet razmer v Z strok i S stolbcovi prostranstvennye koordinaty dany indeksom stroki z i indeksomstolbca s, to diskretna pokazatel~na funkci fz,s imeet, k primeru,v pozicii z, s znaqenie:

fz,s = exp(

j 2π uz

Z

)

· exp(

j 2π vs

S

)

= exp[

j 2π(

uz

Z+ v

s

S

)]

(3.161)

s z, u = 0, 1, . . . , Z − 1 i s, v = 0, 1, . . . , S − 1

Diskretnye veliqiny u i v sootvetstvut nepreryvnym pro-stranstvennym qastotam ωx i ωy v uravnenii 3.160.


Negarmoniqeskie funkcii: Pod negarmoniqeskimi funkcimi po-nimats v xirokom smysle funkcii v forme prmougol~nika.Sama prosta ortogonal~na sistema v forme prmougol~nika – tobloqnye impul~sy (ris. 3.46).

0 t

f t( )

Ris. 3.46: Bloqnye impul~sy soglasno [20]

Ortogonal~nost~ bloqnyh impul~sov oqevidna, t.k. pri obrazovaniiproizvedeni odna iz dvuh funkci vsegda nul~. Odnako, sistemabloqnyh impul~sov ne vlets polno (sm. uravnenie 3.143), takqto ona ne moet v polno mere ispol~zovat~s dl approksimaciisignalov.

Funkcii Uolxa: Soverxenno drugie otnoxeni v sisteme funkciUolxa, kotorye take imet tol~ko dva znaqeni i prmougol~nuformu, no obrazut polnu sistemu funkci. Funkcii byli vvedeny vmatematiku ewe v 1923 godu [55]. Oni naxli svoe primenenie, odnako,tol~ko v svzi s razvitiem cifrovo tehniki. Dl cifrovyh signalovi sistem, kotorye rabotat tol~ko s dvum sostonimi, garmoni-qeskie funkcii i baziruwies na nih instrumenty bol~xe ne kaza-lis~ adekvatnymi. Poisk sistemy funkci s dvum znaqenimi privelk sisteme funkci . Uolxa, kotora byla obxirno rassmotrena sserediny 1960-h godov na ee primenimost~, prede vsego, dl tehni-ki svzi [18, 39]. Perva monografi byla opublikovana v 1969 go-du H. Harmutom [19]. Dalee predstavleny odnomernye i dvumernyenepreryvnye i diskretnye funkcii Uolxa.S peremennymi veliqinami µ, destvitel~nym qislom, i Θ = t/T , navremenno bazis ili period T normirovannym «vremenem», funkciiUolxa oboznaqats kak:

wal (µ,Θ) (3.162)


V mestah skaqka Θs medu znaqenimi ±1 vypolnets predel~nyperehod:

wal (µ,Θs) = limε→0

wal (µ,Θs + ε) (3.163)

Esli µ = i i i ∈ N, to i – pordkovy nomer funkci Uolxa. Onsootvetstvuet qislu prohodeni qerez nul~ v otkrytom ediniq-nom intervale. V obwem sluqae dl togo intervala Θ ∈ (0, 1)destvitel~no:

wal (µ,Θ) = wal (i, Θ) s µ ∈ [i, i+ 1) (3.164)

Na ris. 3.47 predstavleny pervye 16 funkci Uolxa i ih posledova-tel~nosti v razliqnyh sistemah upordoqivani (tri sistemy, sm.str. 146).

Po analogii s garmoniqeskimi funkcimi sistema funkci Uolxatake podrazdelets na qetnye i neqetnye funkcii. Dl qetnogo iopredeleny cal-funkcii

wal (i, Θ) = cal

(i

2, Θ

)

= cal (si, Θ) (3.165)

i dl neqetnogo i sal-funkcii

wal (i, Θ) = sal

(i+ 1

2, Θ

)

= sal (si, Θ) (3.166)

priqem si nazyvaets normirovanno sekvencie i sootvetstvuetpolovine qisla izmeneni znaka v otkrytom sleva intervale Θ ∈ (0, 1](ris. 3.48). Sekvenci imeet edinicu izmereni zps (angl.: zerocrossings per second), qislo prohodeni qerez nul~ v sekundu.

Funkcii Uolxa ortogonal~ny. Dl intervala ortogonal~nosti Θ ∈[0, T ) destvitel~no:

T∫

0

wal (i, Θ) wal (k,Θ) dΘ = δi,k s δi,k =

1 dl i = k

0 dl i 6= k(3.167)

Sistema funkci Uolxa polna (uravnenie 3.143). Funkcii Uolxaobladat rdom interesnyh svostv [20], nekotorye iz kotoryh myhotim upomnut~.Oni vzaimoobratny:

wal (i, Θ) =1

wal (i, Θ)(3.168)


0

s wal( , )i θ k wal( , )i θb wal( , )i θ

0 0

1 1 8

2 3 12

3 2 4

4 6 6

5 7 14

6 5 10

7 4 2

8 12 3

9 13 11

10 15 15

11 14 7

12 10 5

13 11 13

14 9 9

15 8 1

10

–1

0 0,5 1 θ

Ris. 3.47: Pervye 16 funkci Uolxa i ih posledovatel~nosti v raz-liqnyh sistemah upordoqivani


Ris. 3.48: Pervye 32 sal- i cal-funkcii iz [21]


Peremennye funkcii Uolxa mono ment~ mestami:

wal (i, Θ) = wal (Θ, i) (3.169)

V qastnosti, destvitel~no:

wal (i, 2sΘ) = wal (2si, Θ) (3.170)

Proizvedenie dvuh funkci Uolxa daet v itoge novu funkci Uol-xa:

wal (i, Θ) · wal (l, Θ) = wal (k,Θ) s k = i⊕ l (3.171)

Simvol ⊕ oboznaqaet porazrdnoe (pobitovoe) sloenie po moduldva (mod 2). Umnoenie funkcii Uolxa na samu seb vsegda daet vitoge wal(0, Θ).Tot fakt, qto peremennye µ i Θ mogut byt~ nepreryvnymi ilidiskretnymi, privel k trem obweprintym predstavlenim funkci(ris. 3.49).

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 –1 –1 –1 –11 1 –1 –1 –1 –1 1 11 1 –1 –1 1 1 –1 –11 –1 –1 1 1 –1 –1 11 –1 –1 1 –1 1 1 –11 –1 1 –1 –1 1 –1 11 –1 1 –1 1 –1 1 –1

a) b) c)

θ

µ

θ

1 –1

i

Ris. 3.49: Diskretizaci funkci Uolxa po [37], a) nepreryvnyeznaqeni peremennyh veliqin µ i Θ, b) diskretna µ = i i nepre-ryvna Θ, c) µ i Θ diskretnye

Suwestvut raznye vozmonosti upordoqivani funkci Uolxa.Zdes~ predstavleny tri sistemy upordoqivani:

• sekventny pordok (Uolx, Kaqmarc)• binarny pordok (Pli, Rademaher)• estestvenny pordok (Adamar, Kroneker)

Imena v skobkah dany kak al~ternativnye nazvani sistem upo-rdoqivani.


Sekventny pordok: V to sisteme upordoqivani funkcii Uolxaupordoqeny po sekventam, t.e. po vozrastawemu qislu prohodeniqerez nul~. Zdes~ oni oboznaqeny kak swal(i, Θ) (sm. ris. 3.47). Zakonobrazovani – to, k primeru, rekursivny zakon po Harmutu [20].Soglasno opredeleni

swal (0, Θ) =

1 dl − 12 ≤ Θ < 1

2

0 inaqe(3.172)

poluqaem

swal (2i+ p,Θ) =

= (−1)b i2c+p

swal

[

i, 2

(

Θ +1

4

)]

+ (−1)i+p swal

[

i, 2

(

Θ − 1

4

)]

= (−1)b i2c+p swal

[

i, 2

(

Θ +1

4

)]

+(−1)b 3i2 c swal

[

i, 2

(

Θ − 1

4

)]

(3.173)

pri p ∈ 0, 1, i = 0, 1, 2, . . . i⌊i2

⌋kak naibol~xee celoe qislo ≤ i

2 .

S zakonom obrazovani posle Rossa i Kelli [43] generiruts nere-kursivno funkcii Uolxa. On porodaet funkcii Uolxa qerez znakproizvedeni krugovyh funkci. Take neobhodim bit k dvoiqnogoindeksa i = 0, 1, . . . , 2n−1:

ik = mod

(

trunc

(i

2k

)

, 2

)

︸︷︷︸

Mathcad

= mod (fix (i/power(2, k)) , 2)︸︷︷︸

MATLAB

(3.174)

Togda zakon:

swal(i, Θ) = sign

(

[sin (2 π ·Θ)]i0 ·

n−1∏

k=1

[cos(2k π ·Θ

)]ik)

(3.175)

Binarny pordok: Binarny pordok sistemy funkci Uolxa os-novyvaets na binarnom predstavlenii pordkovogo qisla. Zakonobrazovani binarno upordoqennyh funkci bwal(i, Θ) glasit (sm.ris. 3.47):

bwal (i, Θ) = swal (gray (i) , Θ) (3.176)

priqem gray(x) – preobrazovanie binarnogo predstavleni x v kodGre (angl.: Graycode).


Estestvenny pordok: Pordok funkci Uolxa v danno sistemeupordoqivani sootvetstvuet «estestvennomu» pordku svzannyh sfunkcimi kofficientov Uolxa, esli oni rassqityvats bystrympreobrazovaniem Uolxa (sr. qast~ 4.3.6) [23]. Danna sistema upor-doqivani take nazyvaets pordkom Kronekera i oboznaqaets qawevsego kak kwal(i, Θ) (sm. ris. 3.47). Zakon obrazovani glasit:

kwal (i, Θ) = swal (bro (gray (i)) , Θ) (3.177)

gde bro(x) – binarnoe predstavlenie x s inversie bitov (angl.: bitreverse order).Rekursivnoe opredelenie diskretno funkcii Uolxa v estestvennompordke vozmono na osnove matric Adamara H. Pri rang N , n = ldNi H0 = 1 dl matricy N×N sleduet:

Hn =

[

Hn−1 Hn−1

Hn−1 −Hn−1

]

(3.178)

to rekursivnoe opredelenie moet byt~ dano qerez proizvedenieKronekera. Pri

H1 =

[

+1 +1

+1 −1

]

(3.179)

sleduet [21]:

Hn = H1 ⊗Hn−1 (3.180)

Pri tom n ≥ 2 indeks rekursii i ⊗ operator proizvedeni Krone-kera, kotory svzyvaet dve matricy, ne soedinennye drug s drugom.Dl ortogonal~nyh matric Adamara neobhodimo zatem proizvestinormirovanie:

H =1√2n·Hn (3.181)

Proizvedenie Kronekera A ⊗ B opredeleno sleduwim obrazom:(Au,v ·B), oznaqaet, qto kady lement Au,v matricy A umnoaetsna matricu B. Rezul~tatom vlets snova matrica, razumeets,bol~xe razmernosti.

Dvumernye funkcii Uolxa: Kak i garmoniqeskie funkcii, tak i funk-cii Uolxa, priments pri obrabotke izobraeni. Dl togoneobhodimo dvumernoe opredelenie. Esli x i y nepreryvnye pro-stranstvennye koordinaty, to na intervale x, y ∈ [0, 1):

wal (i, k, x, y) = wal (i, x) · wal (k, y) (3.182)


cal(3

,)x

cal(2, )y

Ris. 3.50: Dvumerna funkci Uolxa cal(3, x) · cal(2, y) po [37]

Na ris. 3.50 predstavlena v kaqestve primera po analogii k ris. 3.45dvumerna qetna funkci Uolxa dl i = 3 i k = 2.

Funkcii Haara: Nardu s funkcimi Uolxa xirokoe primenenie v in-enernyh naukah naxli funkcii v forme prmougol~nika, vvedennyevengerskim matematikom Al~fredom Haarom v 1910 godu i poze na-zvannye ego imenem. Osobenno populrny oni stali blagodar prime-neni vevlet-preobrazovani pri obrabotke signalov, t.k. funkciiHaara obrazut prostexi vevlet (sr. qast~ 4.7).Funkcii Haara oboznaqats tut kak haar(n,m,Θ). S funkciehaar(0, 0, Θ) = 1, a take peremennymi 0 ≤ n < ldN i 1 ≤ m ≤ 2n

destvitel~no sleduwee rekursivnoe opredelenie:

haar (n,m,Θ) =

2n2 dl m−1

2n ≤ Θ <m− 1

2

2n

−2n2 dl m− 1

2

2n ≤ Θ < m2n

0 inaqe

(3.183)

Dl kadogo znaqeni n imeets 2n znaqeni dl peremenno m,sledovatel~no m razliqnyh funkci Haara. Dl N = 8 poluqatssleduwie znaqeni dl n i m:

n m

0 00 11 1, 22 1, 2, 3, 4

Pervye 8 funkci Haara dl nepreryvnogo Θ i diskretnyh znaqeni ni m predstavleny na ris. 3.51. Sistema funkci Haara vlets pol-no (sm. uravnenie 3.143) i ortogonal~no. Uslovie ortogonal~nosti


haar(0,0, )q

haar(0,1, )q

haar(1,1, )q

haar(1,2, )q

haar(2,1, )q

haar(2,2, )q

haar(2,3, )q

haar(2,4, )q

q

Ris. 3.51: Pervye 8 funkci Haara

glasit:T∫

0

haar (i, u,Θ) haar (k, v,Θ) dΘ = 0 dl i 6= k ili u 6= v (3.184)

Funkcii Haara obladat svostvom, kotoroe otliqaet ih ot drugihortogonal~nyh funkci. Ono sostoit v tom, qto znaqeni funkciiHaara, kotorye ne ravny nul, v nekotoryh funkcih prostiratsna ves~ interval ortogonal~nosti (global~nye funkcii), v drugihe tol~ko na malen~ku oblast~ (lokal~nye funkcii). Esli tifunkcii ispol~zuts dl approksimacii, to ona proishodit, sodno storony, v global~nom masxtabe, t.e. otnositel~no vsego in-tervala, i, s drugo storony, lokal~no, t.e. v malen~kom okruenii.Odnovremennoe rassmotrenie global~nyh i lokal~nyh svostv signa-la vlets principom vevlet-preobrazovani.

lementy matricy preobrazovani poluqats putem diskretizaciiopisannyh v qasti 3.8.3 vremennyh nepreryvnyh funkci Haara.Rasqet ortogonal~no matricy Haara vozmoen, naprimer, qerez


proizvedenie Kronekera (sm. str. 148). Rekursivnoe pravilo obrazo-vani dl matricy Haara HN ranga N = 2k+1 naqinaets (sm. urav-nenie 3.179) s matricy Haara H2

H2 =

[

+1 +1

+1 −1

]

(3.185)

H2k+1︸︷︷︸

N

=

H2k ⊗

(

+1 +1)

2k2 E2k ⊗

(

+1 −1)

dl 1 ≤ k < ld(N) (3.186)

priqem rang N – to stepen~ dvoki i E2k ediniqna matrica raz-merom 2k×2k. Zatem proizvodits normirovanie:

DHT =1√N·HN (3.187)

Dvumernye funkcii Haara: Dvumernye funkcii Haara vyvodts poanalogii s uravneniem 3.182 iz proizvedeni odnomernyh. Pervye16 dvumernyh funkci Haara predstavleny na ris. 3.52.

y

x

Legende: >0 0 <0

Ris. 3.52: Dvumernye funkcii Haara soglasno [3] (Legende:legenda)

Risunok otqetlivo pokazyvaet lokal~ny i global~ny harakter ot-del~nyh dvumernyh funkci.


3.9 Zadaqi


V kaqestve istoqnika signala predstav~te sebe kubik i proizvedite«dostatoqno mnogo» izmereni togo signala. Pust~ izmerennoeznaqenie – to qislo vypavxih toqek. Kakie izmerennye znaqeniposylaet istoqnik, kak qasto ti znaqeni vstreqats, kak vygl-dit normirovanna gistogramma? Vysqitate iz normirovanno gis-togrammy srednee znaqenie i standartnoe otklonenie serii izmerenii vnesite obe harakteristiki v predstavlennu gistogrammu. Rassqi-tate ntropi i maksimal~nu ntropi. Naskol~ko velika izby-toqnost~?


Prodelate to e samoe, qto i v zadaqe 10, tol~ko teper~ dl is-toqnika signala iz 2 ili 3 kubikov; teper~ izmerennoe znaqenie –to summa vypavxih toqek. Dopolnitel~no rassqitate kumultivnugistogrammu, predstav~te ee grafiqeski i oboznaq~te statistiqeskieveliqiny.


Predstav~te sebe snova kubik kak istoqnik signala, no na tot razv vide xara. Danny istoqnik posylaet nepreryvnye i ravnovero-tnye znaqeni signala x(t) v predelah a i b. Kak vygldit teper~normirovanna «gistogramma» p(x) i kak ona nazyvaets? Iz funkciip(x) vysqitate srednee znaqenie signala, dispersi signala i stan-dartnoe otklonenie. Dl uproweni vyraeni vy moete proizvestifaktorizaci ili ispol~zovat~ binomial~nye ili trinomial~nyeformuly.


Dl nepreryvno sluqano veliqiny x(t) izvestna lix~ funkciplotnosti verotnosti p(x) = λ e−λx dl x ≥ 0. Esli x < 0, top(x) = 0. Pust~ parametr λ raven 0,5. Izobrazite funkci plotnostip(x) i funkci raspredeleni F (x). Pri kakom znaqenii sluqanoveliqiny x plowad~ pod funkcie plotnosti delits popolam, kaknazyvaets to znaqenie i naskol~ko ono veliko? Izobrazite ego vdiagramme. Vysqitate take ostal~nie statistiqeskie parametry ipopytates~ izobrazit~ ih v diagramme.

3.9. ZADAQI 153


Nabldenie diskretnogo signala s vozmonym urovnem signala ±10dalo v itoge sleduwie absoltnye qastoty:

izmerennoe znaqenie −10 −5 0 +5 +10

absoltna qastota 13 8 58 8 13

Izobrazite normirovannu gistogrammu, vyqislite normirovannyecentral~nye momenty ot z0 do z4 i sravnite ih s normal~nym raspre-deleniem.


Dany 64 izmerennyh znaqeni signala, sleduwih drug za drugom:−6 2 −3 7 −2 2 2 −2 −9 0 −5 −1 2 −5 2 −7 −2 10 −3 9 −5 −9 92 −8 7 6 −8 −3 −10 8 10 7 3 −1 1 −3 −9 3 7 −5 9 −7 −2 −2 4 −6−2 0 −3 8 2 5 3 1 0 −10 10 −3 9 −6 8 9 −8Izobrazite signal i issledute ego «v celom». Postrote gistogram-mu dl vsego signala, vyqislite momenty m1 i z2, a take medianu imodu. Teper~ issledute signal «pizodiqeski». Vyre~te dl togoiz dannogo signala kak mono bol~xe neperekryvawihs pizodovdlino 4. Vyqislite vektor m srednih znaqeni pizodov, kovaria-cionnu matricu S i matricu korrelcii R tih pizodov. Sravniteodin lement vektora srednih znaqeni (srednee znaqenie ansambl)so srednim znaqeniem vremeni ili momentom m1. vlets li signalrgodiqnym?


Povtorite zadanie dl sleduwego signala:0 4 7 9 10 9 7 3 0 −4 −7 −9 −10 −9 −6 −3 1 5 8 10 10 9 6 2−1 −5 −8 −10 −10 −8 −6 −2 2 6 8 10 10 8 5 1 −2 −6 −9 −10 −10−8 −5 −1 3 6 9 10 9 8 4 1 −3 −7 −9 −10 −9 −7 −4 0Sravnite poluqennye rezul~taty s rezul~tatami predyduwego za-dani.


Vyqislite sredn rkost~, dispersi, standartnoe otklone-nie, normirovanny kofficient asimmetrii, normirovannykofficient kscessa, diapazon gradaci serogo i ntropi dlsleduwih signalov izobraeni:

• xahmatna doska 8×8 piksele, 2 gradacii serogo 0 i 1• «sery klin» 8×8 piksele, 8 gradaci serogo ot 0 do 7


• gomogennoe izobraenie 8×8 piksele, 1 gradaci serogo 3


Byli izmereny dva signala x i y:

x 2 16 14 23 12 18 6

y 3 10 9 11 8 10 5

Vyqislite srednie arifmetiqeskie znaqeni mx i my, dispersii sxi sy, a take kovariaci sx,y. Opredelite kofficient korrelciiPirsona.


Korrelirute dva nepreryvnyh vo vremeni signala. Signal x1(t) –to lineno zatuhawi signal dlino 1 s naqal~no amplitudo 1 ikoneqno amplitudo 0,5, signal x2(t) – postonny signal dlino 1s amplitudo 0,5. Vyberite interval sdviga vo vremeni −1 ≤ τ ≤ 1.Obratite vnimanie na to, qto x2(t) neobhodimo smestit~ v otrica-tel~nom napravlenii, t.e. nalevo, esli τ poloitel~ny, i napra-vo, esli τ otricatel~ny. Sdelate nabrosok nepreryvnogo rezul~-tata r(τ).


Provedite korrelci dvuh diskretnyh signalov x1 i x2.

x1 0,5 0,75 1 0,75 0,5

x2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Provedite neobhodimye sdvigi dl intervala indeksov sdviga −4 ≤m ≤ 4. Sdelate nabrosok diskretnogo rezul~tata rm.


Provedite svertku diskretnogo signala f s masko h.

f 0 0 0 0,5 1 1 1

h 1 0 −1

Provedite svertku oboih vektorov dl intervala 0 ≤ n ≤ 12. Inter-pretirute rezul~tat gn. Obratite vnimanie na to, qto diskretnasvertka – osnova vseh cifrovyh fil~trov. Nabrosate vhodno sig-

3.9. ZADAQI 155

nal i rezul~tat svertki.


Provedite fil~traci sleduwih qetyreh qaste 3-bitovyh signa-lov izobraeni pri pomowi fil~tra ninih qastot, pri kotoromvse gradacii serogo v predelah okrueni 3×3 skladyvats i summadelits na qislo 9 (skol~zwee srednee znaqenie). Ukaite pravilofil~tra v forme vesovo matricy h. Qetyr~m fragmentami izobra-eni vlts:

• gomogennoe izobraenie (1 gradaci serogo 3)• gorizontal~na zebra (2 gradacii serogo 0 i 7)• vertikal~na zebra (2 gradacii serogo 0 i 7)• xahmatna doska (2 gradacii serogo 0 i 7)

gomogennoe izobr.3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

gorizontal~na zebra7 7 7 7 7 7

0 0 0 0 0 0

7 7 7 7 7 7

vertikal~na zebra7 0 7 0 7 0

7 0 7 0 7 0

7 0 7 0 7 0

xahmatna doska7 0 7 0 7 0

0 7 0 7 0 7

7 0 7 0 7 0

Pri neobhodimosti, prodolite fragmenty po smyslu. Ne okrugltegradacii serogo v sootvetstvuwem rezul~tiruwem izobraenii.


Proizvedite fil~traci xahmatno doski, na tot raz, odnako, sfil~trom ninih qastot Gaussa razmerom 3×3 s pravilom fil~tra h:


h =1

16

1 2 1

2 4 2

1 2 1


Nam ue znakomy dva signala x i y:

x 2 16 14 23 12 18 6

y 3 10 9 11 8 10 5

Vyqislite srednie arifmetiqeskie znaqeni mx i my, dispersii sx isy, a take kovariaci sx,y. Zapixite oba srednih znaqeni v vektorsrednih znaqeni m i obe dispersii i kovariaci v kovariacionnumatricu S. Raspoloite po pordku tri kofficienta korrelciiPirsona v matrice korrelcii R.Vysqitate teper~ iz kovariacionno matricy S sobstvennyeznaqeni i sobstvennye vektory. Masxtabirute, pri neobhodi-mosti, sobstvennye vektory, sootvetstvenno, do dliny 1. Zapixiteoba sobstvennyh vektora (bazisnye vektory) v matricu Karhunena-Lova KLT . Preobrazute vektor srednih znaqeni po formule m′ =KLT ·m i kovariacionnu matricu po formule S′ = KLT ·S ·KLT T

iz x-y-signal~nogo prostranstva v u-v-vektornoe prostranstvo i vy-qislite R′. Formulo dl preobrazovani vektora srednih znaqenimono preobrazovyvat~ take i drugie vektory. Vysqitate takimobrazom dva novyh signala u i v. Dl togo voz~mite dva sootvetstvu-wih lementa vektora x i y i umno~te ih sprava na matricu KLT .


Kofficienty cifrovogo fil~tra imet sleduwie znaqeni b =0,2 · (2 1 2)T. Qto to za fil~tr? Izobrazite modul~ peredatoqnofunkcii (s rezul~tatami issledovani funkcii) i shemu prohodenisignala.


Cifrovo fil~tr imeet kofficienty fil~tra b0 = 0,5 i a1 = −0,5.Qto to za fil~tr? Izobrazite snova modul~ peredatoqno funkcii(s rezul~tatami issledovani funkcii) i shemu prohodeni signala.


3.9. ZADAQI 157

Rekursivny fil~tr imeet kofficienty fil~tra b0 = 1 i a1 = −a2 =−1. Izobrazite modul~ peredatoqno funkcii (s rezul~tatami issle-dovani funkcii). Gde mono ispol~zovat~ takoe povedenie fil~tra?


Ukaite 9 simmetriqnyh kofficientov fil~tra bk dl nerekur-sivnogo fil~tra ninih qastot Gaussa i fil~tra verhnih qastotGaussa, v kadom sluqae 8-go pordka. Ispol~zute sleduwie vy-qisleni: voz~mite iz treugol~nika Paskal stroku, kotora sostoitiz 9 qisel. Nadite podhodwi kofficient normirovani. Na os-nove teoremy sdviga

bVQk = exp

(jk2πωM

ωA

)

bNQk

i s pomow~ ωM (central~na krugova qastota) i ωA (krugova qas-tota diskretizacii) vy moete izmenit~ povedenie fil~tra ninihqastot (NQ), a imenno do povedeni fil~tra verhnih qastot (VQ).Nabrosate dl kadogo sluqa modul~ peredatoqno funkcii.


Dana sleduwa seri izmereni:

n 0 1 2 3

tn 0 1 2 3

fn 7 5 2 −1

Snaqala rassqitate kofficient korrelcii Pirsona. Esli onleit vblizi ±1, opredelite pri pomowi bazisnyh funkci Φ0(t) = t0

i Φ1(t) = t1 prmu approksimacii. Nabrosate approksimiruwufunkci fap(t) v diagramme serii izmereni.


Approksimirute sleduwu seri izmereni:

n 0 1 2 3 4 5

tn −3 −2 0 1 2 3

fn 9 4 0 1 4 9

Ispol~zute sleduwie tri bazisnye funkcii:

• qetnye krugovye funkcii cos(0), cos(t) i cos(2t)


• neqetnye krugovye funkcii sin(π/2), sin(t) i sin(2t)

Rassqitate dl obeih approksimiruwih funkci meru oxibkiGaussa E2 i sravnite ih. Nabrosate approksimiruwie funk-cii fap(t) v diagramme serii izmereni.


Dana diskretna funkci modul~ kak seri izmereni:

n 0 1 2 3 4

tn −1 −0,5 0 0,5 1

fn |tn|

Snaqala ustanovite, ortogonal~ny li drug k drugu obe bazisnye funk-cii Φ0(t) = t i Φ1(t) = t2 v intervale serii izmereni [t0, t4]. V sis-temu uravneni dl vyqisleni kofficientov c0 i c1 vhodt tol~koznaqeni bazisnyh funkci Φm(tn) v momenty izmereni tn. Potomuissledute take ortogonal~nost~ posledovatel~noste tn i t2n. Te-per~ rassqitate approksimiruwu funkci i opredelite, kakimpreimuwestvom obladat ortogonal~nye bazisnye funkcii pri rex-enii zadaq approksimacii.

Glava 4

Instrumenty oblastispektra

V predyduwe glave my predstavili instrumenty, pri pomowi koto-ryh iz signala v ego vremennom ili prostranstvennom predstavleniimogli izvlekat~s svedeni o processe, sozdawego signal. Teper~signal, zavisimy ot vremeni ili zavisimy ot mesta v prostran-stve, budet opisan summo tak nazyvaemyh bazisnyh funkci. toproishodit putem spektral~nogo razloeni. Ono daet svedeni otom, v kako dole razliqnye bazisnye funkcii soderats v signale.Esli bazisnye funkcii – to, k primeru, kolebani v forme sinusa,to spektral~na amplituda – to funkci qastoty. V diskretnyhsignalah ti doli nazyvats spektral~nymi kofficientami, dlnepreryvnyh signalov poluqaets spektral~na funkci. S toqkizreni informacionnogo soderani predstavlenie signala v egooblasti originala ili spektra principial~no ravnocenno. Oba pred-stavleni, kak dva zyka, vlts tol~ko lix~ drugim sposobomvyraeni. Tem ne menee, obe formy predstavleni ne ravnocennyotnositel~no interpretacii svostv signala i vozmonosti pokazat~elatel~nye pri obrabotke signalov ffekty. K primeru, spek-tral~noe predstavlenie signala qasto luqxe qem vremennoe daetinformaci o tom, moet li byt~ osuwestvleno satie signala smalymi potermi i kakim obrazom.Perehod v spektr signala vozmoen ortogonal~nymi ili unitarnymipreobrazovanimi. Takimi preobrazovanimi signaly vremennoili prostranstvenno oblasti, oblasti obekta, perevodts voblast~ spektra, oblast~ preobrazovani. Bazisnymi funkcimi dlspektral~nogo razloeni mogut sluit~ sistemy ortogonal~nyhfunkci, predstavlennye v qasti 3.8.3. Otnoswies k nim preobrazo-vani imet razliqnye svostva. Rd iz nih okazals pri obrabotkesignalov oqen~ poleznym. To, kakomu svostvu otdat~ predpoqtenie

159

160 GLAVA 4. INSTRUMENTY OBLASTI SPEKTRA

v konkretnom sluqae, zavisit ot signala, a take i ot imewegosvremeni ili neobhodimyh zatrat dl rasqeta spektra. Ravnocennost~obwego opisani signala v oblasti originala, kak f(x), i oblastispektra, kak F (y), sleduet iz obratimosti ortogonal~nyh ili uni-tarnyh preobrazovani: T f (x) = F (y) ←→ T−1 F (y) = f (x).Pervonaqal~ny signal mono poluqit~ vnov~ posredstvom obratno-go preobrazovani T−1, sledovatel~no, spektral~noe predstavleniesignala dolno soderat~ tu e informaci, qto i zavisimy otvremeni signal.

Kak i oblast~ obekta moet byt~ razno fiziqesko prirodyi imet~ razliqnye edinicy izmereni, tak i spektral~noe pred-stavlenie imeet razliqnye edinicy izmereni. Odnomerna funkcivremeni s edinice izmereni «sekunda» moet byt~ preobrazovana vspektral~noe predstavlenie, funkci qastoty s edinice izmereni«Gerc» (1 Gc = 1/s). Dvumerna prostranstvenna funkci s ediniceizmereni «metr» dl toqki s dvum koordinatami – to v oblastipreobrazovani funkci tak nazyvaemo prostranstvenno qastotys edinice izmereni 1/m dl obeih spektral~nyh razmernoste.T.k. ta edinica izmereni ne oqen~ pokazatel~na, to dl ukazanirazrexawe sposobnosti v oblasti prostranstvenno qastotyispol~zuets ukazanie par lini na millimetr, priqem pod parolini nuno ponimat~ qernu i belu linii.Preobrazovanie zavisimyh ot vremeni ili ot mesta v prostran-stve diskretnyh signalov v oblast~ spektra moet take inter-pretirovat~s kak preobrazovanie koordinat (sr. qast~ 4.3.2).Original~ny signal nuno ponimat~ kak N-merny vektor v vek-tornom prostranstve, razmernost~ kotorogo ravna qislu otsqetov.Teper~ preobrazovanie oznaqaet vrawenie sistemy koordinat v tomN-mernom prostranstve. Diskretny odno- ili dvumerny spektrsootvetstvuet koordinatam novo sistemy koordinat. Dispersiipereraspredelts vraweniem sistemy koordinat. to znaqit, qtodispersii otsqetov original~nogo signala, kotorye sootvetstvutmownosti signala, raspredelts v spektre takim obrazom, qto onikoncentriruts na kak mono men~xem koliqestve spektral~nyhqaste (kofficientov). Pri tom summa dispersi v obeih sistemahkoordinat sohranets. Pereraspredelenie dispersi ravnosil~notomu, qto suwestvuwa medu sosednimi otsqetami korrelciumen~xaets. Dekorrelci maksimal~na, esli bazisnye funkciidl preobrazovani opredelts po statistiqeskim svostvamsignala (metod glavnyh komponent). Preobrazovanie s postonnymibazisnymi funkcimi, kak, naprimer, preobrazovanie Fur~e, daettol~ko suboptimal~nu dekorrelci.

4.1. RAZLOENI V RD 161

Teper~ perehod iz original~nogo predstavleni signala k spek-tral~nomu moet presledovat~ cel~ – posleduwu obrabotkusignala provodit~ v spektre, t.e. rabotat~ s kofficientami dal~xe.Odnako, moet byt~ elatel~nym izmenit~ spektr, t.e. prigluxit~opredelennye qasti spektra ili vydelit~ ih. Nakonec, vybor opre-delennyh kofficientov dl obratnogo preobrazovani v oblast~originala moet take predstavlt~ vygodu pri obrabotke signalov.

V danno glave snaqala predstavleny metody, pri pomowi kotoryhsignaly iz vremenno ili prostranstvenno oblasti perevodts voblast~ spektra. K nim otnosts dl stacionarnyh signalov razliq-nye razloeni v rdy i ortogonal~nye preobrazovani, dl nesta-cionarnyh signalov – kratkovremennye preobrazovani i vevlet-preobrazovani. V zaklqenie, dl opredelennyh oblaste spektrarazsnts instrumenty, s pomow~ kotoryh spektr moet iz-ment~s celenapravlenno. K nim prinadleat fil~traci signala,bystra korrelci i bystra svertka.

4.1 Razloeni v rd po ortogonal~nym funk-cim

Snaqala princip razloeni v rd razsnets na primere klas-siqeskogo razloeni v rd Fur~e. Zatem budet predstavleno raz-loenie v rd Uolxa kak primer razloeni v rd po sisteme pr-mougol~nyh funkci.

4.1.1 Razloenie v rd Fur~e

Periodiqeskie, nepreryvnye vo vremeni signaly: V to qasti req~idet o nepreryvnom vo vremeni signale f(t) s dlino perioda T , t.e.f(t) = f(t + nT ). Obratna veliqina 1/T ot dliny perioda nazyvaet-s osnovno qastoto periodiqeskogo signala i oboznaqaets f0, ot-noswas k ne krugova qastota ravna ω0 = 2πf0. Dl ponimanirazloeni v rd Fur~e nam neobhodima rassmotrenna v qasti 3.8.1approksimaci funkci. Kak bylo ue predstavleno, sistemy ortogo-nal~nyh funkci osobenno horoxo podhodt dl approksimacii sig-nalov. Dl approksimiruwe funkcii fap(c, t) bylo vybrano obweeprimenenie lineno kombinacii iz M bazisnyh funkci Φm(t) s Mparametrami:

fap (c, t) =

M−1∑

m=0

cm Φm (t) (4.1)

Primenenie principa naimen~xih kvadratov i ograniqenie do orto-gonal~nyh funkci vedet k uproweni rexeni dl kofficientov cm


bazisnyh funkci.Sistema funkci Φm(t) moet sostot~ teper~ iz garmoniqeskih ilinegarmoniqeskih ortogonal~nyh funkci. Principial~no oni obe pod-hodt dl rdov. Snaqala podrobno oznakomims so starexim, nopo-prenemu samym vanym rdom, rdom Fur~e. an Batist Fur~eustanovil v 1807 godu sleduwee utverdenie:

Kady periodiqeski signal mono razloit~ na gar-moniqeskie sostavnye qasti, komponenty kotoryh otliqa-ts v amplitude, faze i qastote, priqem qastota kompo-nent vsegda kratna osnovno qastote.

to otkrytie vyzyvalo u krupnexih matematikov togo vremeniznaqitel~nye spory, tak qto tol~ko lix~ v 1822 godu byla sdela-na publikaci [25]. Dl demonstracii sformulirovannogo Fur~epoloeni vewe dan ris. 4.1, kotory pokazyvaet periodiqeskisignal i ego garmoniqeskie sostavlwie.

2 4 6 [s]

[s]642–1

4

–4

–1

4

–4

f t(

f t3 ( f t1 (f t2(

...t

...

t

)

)) )

Ris. 4.1: Periodiqeski signal f(t) i ego komponenty ot f1(t) do f3(t)

Komponenty togo periodiqeskogo signala – to funkci kosinus idve funkcii sinus:

komponenta qastota amplitudafunkci kosinus f1(t) 0,5 Gc 1

funkci sinus f2(t) 0,25 Gc 4

funkci sinus f3(t) 0,5 Gc 2

Funkci f(t) poluqaets putem sloeni tih komponent. Pri raz-loenii v rd Fur~e bazisnymi funkcimi Φm(t) v uravnenii 4.1


ili uravnenii 3.124 vlts ortogonal~nye garmoniqeskie funk-cii. Snaqala my hotim dl uravneni approksimacii ispol~zovat~kompleksnu zapis~, kotora poluqaets putem sloeni funkci ko-sinus i sinus po formule lera (uravnenie 3.151). Dl pordkovogoqisla k ∈ Z i osnovno qastoty ω0 dl approksimiruwe funkciifap(c, t) destvitel~no:

fap (c, t) =

∞∑

k=−∞ck ejkω0t (4.2)

Dl rasqeta kofficientov ck ue bylo predstavleno uravnenie vqasti 3.8.1 (uravnenie 3.142):

ck =

b∫

a

f (t) Φk (t) dt

b∫

a

|Φk (t)|2 dt

(4.3)

Esli v uravnenii 4.3 dl Φk(t) ispol~zovat~ kompleksnu pokaza-tel~nu funkci i dl f(t) periodiqeski signal s periodom T , todl rasqeta kofficientov dostatoqno odnogo perioda signala T . Dlkofficientov ck togda poluqaets:

ck =ω0

2π

T∫

0

f (t) e−jkω0t dt (4.4)

Kofficienty ck nazyvats kofficientami Fur~e. Oni komplek-snye i sostot, kak pravilo, iz destvitel~no qasti <ck i mnimoqasti =ck. Esli naloit~ beskoneqno mnogo pokazatel~nyh funkci,vzvexennyh s ck, to mono approksimirovat~ lbo periodiqeskisignal f(t):

f (t) =

∞∑

k=−∞ck ejkω0t (4.5)

to uravnenie predstavlet sobo razloenie v rd Fur~e v komplek-sno forme, kotoroe take nazyvaets sintezom Fur~e, t.k. opisy-vaet obrazovanie periodiqeskogo signala iz pokazatel~nyh funkci.Rasqet kofficientov Fur~e po uravneni 4.4 vlets analizomFur~e.Razloenie v rd Fur~e mono ukazat~ take v destvitel~no forme.Togda uravnenie 4.5 prinimaet sleduwi vid:

f (t) =a0

2+

∞∑

k=1

[ak cos (kω0t) + bk sin (kω0t)] (4.6)


Uravneni dl vyqisleni ak i bk (ak, bk ∈ R):

ak =ω0

π

T∫

0

f (t) cos (kω0t) dt dl k = 0, 1, . . . (4.7)

bk =ω0

π

T∫

0

f (t) sin (kω0t) dt dl k = 1, 2, . . . (4.8)

Iz formuly lera (uravnenie 3.151) poluqaets otnoxenie medukompleksnymi kofficientami ck i destvitel~nymi kofficientamiak i bk:

ck =ak − j bk

2i c−k =

ak + j bk2

= c∗k (4.9)

T.k. funkci sinus mono predstavit~ smewenno funkcie kosinus,to destvitel~no:

f (t) =A0

2+

∞∑

k=1

Ak cos (kω0t+ αk) (4.10)

Kofficienty A0 i Ak i ugol αk dl k = 1, 2, . . . vyqislts sledu-wim obrazom:

A0 =a0

2

Ak =

√

ak2 + bk2

αk = − arctanbkak

(4.11)

Esli v destvitel~nom predstavlenii rda Fur~e po uravne-ni 4.6 dopuskats otricatel~nye qastoty, to umen~xennye vdvoekofficienty raspredelts simmetriqno (qasti kosinusa) ilicentral~no-simmetriqno (qasti sinusa) vokrug osi ordinat.

Predstavleniem kofficientov v zavisimosti ot qastoty vletsspektr periodiqeskogo signala. On soderit osnovnu qastotu i eekratnye, garmoniki, veliqina kotoryh opredelets kofficientami.Spektr nazyvaets take garmoniqeskim rdom kolebani ililineqatym spektrom, ili prosto rezul~tatom analiza Fur~e.

Iz razliqnyh uravneni dl razloeni v rd Fur~e poluqatstake razliqnye vozmonosti predstavleni rezul~tata. Dl kom-pleksnyh kofficientov ck vozmono predstavlenie modul |ck| iugla ∠ck v zavisimosti ot ω. Kofficienty ak i bk mono take


obedinit~ dl predstavleni modul i ugla. Dl togo my is-pol~zuem snova uravneni 2.35 i 2.36. V kaqestve primera razloim vrd Fur~e periodiqesku funkci iz ris. 4.1. Ris. 4.2 a) pokazyvaetspektr kosinusa ak i spektr sinusa bk s otnoswimis k tim qastotamgarmoniqeskimi kolebanimi. Na ris. 4.2 b) kompleksny spektr ckpokazan kak predstavlenie modul i ugla. Perva garmonika (k = 1)sostoit tol~ko iz funkcii sinus f2(t), vtora garmonika (k = 2)sostoit iz komponent f1(t), kak funkci kosinus, i f3(t), kak funkcisinus.

Nezavisimo ot togo, opisyvat li kompleksnye ili destvitel~nyekofficienty rezul~tat razloeni v rd Fur~e, rasstonie meduqastotnymi linimi vsegda ravno ω0 = 2π/T .

Iz-za ogromnogo znaqeni neobhodimo ewe raz ukazat~ na vanusvz~, kotoru ustanavlivaet razloenie v rd Fur~e. Zavisimomuot vremeni periodiqeskomu signalu v spektral~nom predstavleniiprinadleit diskretny spektr, lineqaty spektr. T.k. pri pomowisinteza Fur~e iz lineqatogo spektra, t.e. iz diskretnyh znaqenikofficientov, mono snova rassqitat~ – teoretiqeski bezoxiboqno– periodiqeski signal, sootvetstvie periodiqeskogo signala ilineqatogo spektra take podrazumevaet, qto v kofficientahdolna soderat~s vs informaci. tot fakt imeet ogromnoeznaqenie dl ponimani teoremy otsqetov (sr. qast~ 2.3).Esli periodiqeski signal imeet izlom, t.e. razryv v 1-o proizvod-no, to dl approksimacii neobhodimo beskoneqnoe mnoestvobazisnyh funkci. Esli sam signal razryvny, to v approksimaciivoznikaet tak nazyvaemy fenomen Gibbsa. On opisyvaet iskaenierda Fur~e v mestah razryva. «Fenomen» sostoit v tom, qto toiskaenie, nezavisimo ot qisla slagaemyh v uravnenii 4.6, sostav-let priblizitel~no 9% vysoty skaqka [8]. Tipiqnye iskaenimono uvidet~ na ris. 4.13 c).

Diskretnye vo vremeni periodiqeskie signaly: Esli approksimiru-emy signal predstavlen v vide posledovatel~nosti otsqetov, toneobhodimo take diskretizirovat~ garmoniqeskie funkcii i sobl-dat~ interval ortogonal~nosti. Esli prodolitel~nost~ periodadiskretizirovannogo signala f(tn) = fn ravna N , togda fn = fn+N .Osnovna qastota sostavlet 1/N , osnovna krugova qastota 2π/N .Take diskretiziruema garmoniqeska funkci dolna imet~ tue osnovnu qastotu 1/N ili celoe kratnoe ot nee. Takim obrazomdiskretna pokazatel~na funkci imeet otsqet exp(j2πkn/N). T.k.kompleksna pokazatel~na funkci moet prinimat~ tol~ko N raz-liqnyh znaqeni, to rd Fur~e soderit maksimal~no N komponent.Vmeste s veliqino K, dl kotoro destvitel~no 2K+1 ≤ N , diskret-


01 2 k

ak

4

0

–4

1 2 3 4 t0

1 2 k

bk

0

0

4

2

1 2 k

| |ck

0

2

–1–2

4

0

–4

1 2 3 4 t

1 2

k

∠ ck

2

–1–2

–2

4

0

–4

1 2 3 4 t

a)

b)

f t1( )

f t2( )

f t3( )

f t2( )

f t3( )

4

0

–4

1 2 3 4 t

f t1( )4

1

1

2

Ris. 4.2: Rezul~taty razloeni v rd Fur~e periodiqeskogo signa-la iz ris. 4.1 v razliqnyh predstavlenih, a) kofficienty ak, bki otnoswies k nim funkcii kosinus i sinus, b) kofficienty ck iotnoswies k nim funkcii kosinus i sinus


ny rd Fur~e v kompleksno forme imeet vid:

fn =K∑

k=−Kck exp

(

j2πkn

N

)

s n = 0, 1, . . . , N − 1 (4.12)

Destvitel~noe predstavlenie imeet formu:

fn =a0

2+

K∑

k=1

[

ak cos

(

2πkn

N

)

+ bk sin

(

2πkn

N

)]

(4.13)

Vyqislt~ kofficienty mono po uravneni 3.141

ck =

N−1∑

n=0fn Φk,n

N−1∑

n=0|Φk,n|2

(4.14)

putem podstanovki diskretno pokazatel~no funkcii dl Φk,n.T.k. znamenatel~ imeet znaqeni N ili N/2, dl kompleksnyhkofficientov ck poluqaets

ck =1

N

N−1∑

n=0

fn exp

(

−j2πknN

)

dl k = 0,±1,±2, . . . ,±K (4.15)

i dl destvitel~nyh kofficientov ak, bk:

ak =2

N

N−1∑

n=0

fn cos

(

2πkn

N

)

dl k = 0, 1, 2, . . . ,K (4.16)

bk =2

N

N−1∑

n=0

fn sin

(

2πkn

N

)

dl k = 1, 2, . . . ,K (4.17)

Esli, k primeru, kofficient c0 rassqityvaets po uravneni 4.15,to rezul~tat raven srednemu arifmetiqeskomu znaqeni otsqetov pe-rioda signala:

c0 =1

N

N−1∑

n=0

fn exp

(

−j2π 0 · nN

)

=1

N

N−1∑

n=0

fn (4.18)

Razliqie ot razloeni v rd Fur~e nepreryvnyh vo vremeni peri-odiqeskih signalov sostoit v tom, qto nepreryvnye vo vremeni sig-naly sostot iz beskoneqno mnogih, a diskretnye vo vremeni signalytol~ko iz maksimal~no N qastotnyh komponent.


Kak i pri razloenii v rd Fur~e nepreryvnyh vo vremeni periodi-qeskih signalov, rasstonie medu spektral~nymi linimi sootvet-stvuet osnovno krugovo qastote 2π/N . Vanoe svostvo razloe-ni v rd Fur~e – to periodiqnost~ spektral~nyh kofficientov,t.e. ck = ck+N i c−k = cN−k = c∗k. Qetny destvitel~ny sig-nal imeet destvitel~nye spektral~nye kofficienty, neqetnydestvitel~ny signal imeet qisto mnimye kofficienty.

4.1.2 Razloenie v rd Uolxa

Princip razloeni v rd Fur~e, kak approksimaci periodiqeskogosignala, mono perenesti take i na drugie ortogonal~nye funkcii.Primerom razloeni v rd s negarmoniqesko ortogonal~no sis-temo sluit razloenie v rd Uolxa. Zdes~ periodiqeskie signalypredstavleny summo funkci Uolxa, kotorye razliqats po ampli-tude i sekventam. Teper~ bazisnye funkcii Φm(t) po uravneni 3.124– to funkcii Uolxa wal(i, Θ), kotorye opisany v qasti 3.8.3. Dlperiodiqeskogo signala f(Θ) s dlino perioda 1 destvitel~no togdaotnoxenie:

f (Θ) =∞∑

i=0

ci wal (i, Θ) (4.19)

Esli uravnenie 3.142 normirovat~ na 1, to dl kofficientov cipoluqaets:

ci =

1∫

0

f (Θ) wal (i, Θ) dΘ (4.20)

Uravnenie 4.19 sootvetstvuet sintezu Uolxa, rasqet kofficientovUolxa po uravneni 4.20 vlets analizom Uolxa. Osobennost~sinteza Uolxa nagldno pokazana na ris. 4.3. Na risunke pokazanperiodiqeski signal i ego komponenty razloeni v rd Uolxa:

komponenta sekventa amplitudawal(0, Θ) 0 zps 2,25

wal(1, Θ) 1 zps 1,00

wal(3, Θ) 2 zps 0,50

wal(7, Θ) 4 zps 0,25

Amplitudy c0, c1, c3 i c7 – amplitudy prinadleawih funkciUolxa, znaqeni kotoryh predstavleny v tablice. Oni – rezul~tatanaliza Uolxa. Sintez Uolxa po uravneni 4.19 proizvoditsadditivnym naloeniem vzvexennyh s kofficientami ci funkciUolxa. to naloenie pokazano na risunke dl znaqeni Θ = 5/16.


0 0,5 1 θ

θ10,500

0

01

0

2,25

3

2

10

f ( )θ

0,5

0,25

c1 wal(1, )θ

c0 wal(0, )θ

c7 wal(7, )θ

c3 wal(3, )θ

...

...

Ris. 4.3: Periodiqeski signal f(Θ) i ego komponenty

Kak pokazyvaet primer, pri koneqnom qisle naloennyh funkciUolxa vsegda poluqaets stupenqaty periodiqeski signal.

Qtoby posnit~ soderatel~noe znaqenie analiza Uolxa, rassmotrimrazloenie v rd Uolxa periodiqeskogo treugol~nogo signalafD(t). Dl togo napomnim, qto otnoxenie v forme uravneni 4.20predstavlet sobo vnutrennee proizvedenie, kotoroe moet inter-pretirovat~s kak mera shodstva dvuh funkci (sr. qast~ 3.8.2,uravnenie 3.135). Veliqina kofficientov ci vlets mero togo,naskol~ko treugol~ny signal poho na sootvetstvuwu funkciUolxa. Dl illstracii dannogo poloeni vewe kofficientyrassqitany ne po uravneni 4.20, a prodemonstrirovany na primeregrafiqeskogo opredeleni dvuh kofficientov kak vnutrenneeproizvedenie.

Ris. 4.4 a) pokazyvaet opredelenie kofficienta c1 kak obwe plowa-di proizvedeni fD(Θ) ·wal(1, Θ), ego veliqina c1 = 4/8 (4 treugol~nikaplowad~ 1/8). Na ris. 4.4 b) pokazano opredelenie kofficienta c5.Obwa plowad~ i tem samym kofficient c5 ravnets −8/32(16 treugol~nikov plowad~ 1/32, iz nih 12 s otricatel~nymi i 4 spoloitel~nymi znakami).

Razloenie diskretnogo vo vremeni signala fn s dlino perioda N v


1

1

0

–1

θ 10

θ

1

–1

wal(1, )θfD( )θ fD( )θ

wal(5, )θ

a) b)

Ris. 4.4: Grafiqeskoe opredelenie kofficientov Uolxa c1 = 12 i

c5 = − 14

rd Uolxa proishodit analogiqno uravneni 4.12:

fn =

N−1∑

i=0

ci wal(

i,n

N

)

(4.21)

Kofficienty Uolxa ci rassqityvats:

ci =1

N

N−1∑

n=0

fn wal(

i,n

N

)

(4.22)

Rezul~tat razloeni v rd Uolxa, sekventny spektr, take vlet-s lineqatym spektrom. Rasstonie medu linimi sootvetstvuetobratno veliqine dliny perioda periodiqeskogo signala, kotorav uravnenih 4.19 i 4.20 byla printa za 1. Na ris. 4.5 pokazanonaqalo sekventnogo spektra treugol~nogo signala fD(Θ) iz ris. 4.4.

fD ( )q

1

–1

01 q

0,5

0

–0,5

i

ci

5

10

Ris. 4.5: Periodiqeski treugol~ny signal fD(Θ) i ego sekventnyspektr ci do i = 13

4.2. NEPRERYVNYE PREOBRAZOVANI 171

4.1.3 Obobwennoe razloenie v rd

Razloenie v rd periodiqeskih signalov, kak pokazano v qasti 4.1.2,ne ograniqivaets sistemo garmoniqeskih funkci. V principe, vsesistemy ortogonal~nyh funkci mogut ispol~zovat~s dl approksi-macii. Potomu celesoobrazno ispol~zovat~ uravneni dl analiza isinteza periodiqeskih signalov v obobwenno forme [19]. Dl nepre-ryvnyh vo vremeni signalov oba uravneni imet vid:

ck =

T∫

0

f (t) Φ (k, t) dt i f (t) =

∞∑

k=0

ck Φ (k, t) (4.23)

Sistema ortogonal~nyh funkci – Φ(k, t). Nepreryvnomu vo vre-meni periodiqeskomu signalu f(t) pri razloenii v rd budet so-otvetstvovat~ vsegda diskretny spektr (lineqaty spektr) s ko-fficientami ck.V diskretnom sluqae destvitel~ny sleduwie uravneni:

ck =

N−1∑

n=0

fn Φk,n i fn =

N−1∑

k=0

ck Φk,n (4.24)

Ortogonal~na sistema Φk,n sostoit teper~ iz diskretnyh funkci.Diskretny vo vremeni periodiqeski signal s otsqetami fn imeetsnova lineqaty spektr s kofficientami ck.

4.2 Nepreryvnye preobrazovani

Razloenie v rd s sistemami ortogonal~nyh funkci ograniqivaetsapproksimacie periodiqeskih signalov. Esli neperiodiqeski sig-nal imeet koneqnu nergi, to ego mono take approksimirovat~ortogonal~nymi funkcimi. Klassiqeski instrument dl perehodaiz oblasti originala v oblast~ spektra – preobrazovanie Fur~e.V obwem sluqae preobrazovanie proishodit putem obrazovanivnutrennego proizvedeni medu funkcie vremeni i kompleksnopokazatel~no funkcie. Preobrazuemy signal moet suwestvovat~kak nepreryvny ili diskretny vo vremeni signal. Dalee budutrassmotreny oba sluqa. Rezul~tatom vsegda vlets funkci nepre-ryvno qastoty ili krugovo qastoty. Potomu to preobrazovanienazyvaets nepreryvnym preobrazovaniem.

Nepreryvnye vo vremeni signaly: Neperiodiqeski nepreryvny vovremeni signal perevodits pri pomowi ortogonal~nogo nepreryvno-go preobrazovani v spektral~noe predstavlenie, kotoroe imeet mesto


tol~ko togda, kogda signal absoltno integriruemy:∞∫

−∞

|f (t)| dt <∞ (4.25)

Ortogonal~nye preobrazovani prinadleat k funkcional~nym pre-obrazovanim, kotorye stavt v sootvetstvie dva mnoestva drugdrugu:

F (y) = T f (x) i f (x) = T−1 F (y) (4.26)

Vyqislenie F (y) nazyvaets prmym preobrazovaniem , vyqislenief(x) – obratnym preobrazovaniem. Special~noe funkcional~noe pre-obrazovanie – to integral~noe preobrazovanie v obwe forme:

F (y) =

∞∫

−∞

f (x) K (x, y) dx s f (x) ∈ A i F (y) ∈ B (4.27)

priqem A nazyvaets oblast~ originala i B – oblast~ obraza. Vdal~nexem my hotim vmesto oblasti obraza vsegda ispol~zovat~ po-ntie oblast~ spektra. Funkci K(x, y) vlets drom preobrazova-ni. Dl obratnogo preobrazovani destvitel~no:

f (x) =

∞∫

−∞

F (y) K−1 (x, y) dy (4.28)

Integral~nye preobrazovani byli issledovany dl uprowenislonyh vyqislitel~nyh operaci. to oznaqaet, qto funkcii f(x) ioperacii s timi funkcimi otobraats v matematiqesko oblastiobraza kak drugie funkcii i drugie operacii. K primeru, pri prime-nenii integral~nogo preobrazovani differencirovanie zamenetsumnoeniem. Dl ponimani ortogonal~nyh preobrazovani poleznointerpretirovat~ uravnenie 4.27 kak vnutrennee proizvedenie dvuhfunkci. Rezul~tatom integrirovani togda vlets mera shodstvamedu funkcie f(x) i drom preobrazovani K(x, y). Esli dl drapreobrazovani K(x, y) priments special~nye sistemy ortogo-nal~nyh funkci, to poluqats razliqnye preobrazovani.

Esli drom preobrazovani vlets kompleksna pokazatel~nafunkci, to uravneni 4.27 i 4.28 perehodt v sleduwee:

F (ω) =

∞∫

−∞

f (t) e−jωt dt i f (t) =1

2π

∞∫

−∞

F (ω) e+jωt dω (4.29)

ti oba uravneni obrazut klassiqesku paru preobrazovaniFur~e. S pomow~ tih uravneni funkci vremeni moet byt~


preobrazovana v oblast~ spektra, kotora v sluqae preobrazovaniFur~e nazyvaets qastotno oblast~. Popytki simmetrirovanitih uravneni normirovaniem oboih uravneni na

√2π i zamena ω na

2πf vedut k razliqnym versim tih uravneni, kotorye predstavle-ny, naprimer, v [32]. K soaleni, pri simmetriqnom normirovaniipropadaet takoe poleznoe svostvo kak to, qto F (0) vlets srednimznaqeniem ot f(t).Funkci F (ω) nazyvaets Fur~e-transformanto i vlets kom-pleksno funkcie destvitel~no peremenno ω. Grafiqeskoepredstavlenie to kompleksno funkcii osuwestvlets, kak pra-vilo, modul~nym spektrom |F (ω)| i uglovym spektrom ∠F (ω). tispektry my snova rassqityvaem po uravnenim 2.35 i 2.36. V ka-qestve primera preobrazovani nepreryvnogo vo vremeni signala vqastotnu oblast~ na ris. 4.6 predstavleny signal i otnoswisk nemu modul~ny i uglovo spektr. Preobrazovan tol~ko odinperiod signala iz ris. 4.1. to znaqit, qto znaqeni funkcii f(t) vneintervala [0, 4) ravny nul.

Uslovie dl suwestvovani Fur~e-transformanty po uravneni 4.25svidetel~stvuet o tom, qto preobrazuemy signal dolen imet~ koneq-nu nergi:

∞∫

−∞

|f (t)|2 dt <∞ (4.30)

Teper~ kvadrat modul Fur~e-transformanty ot f(t) daet svedeni otom, kak raspredelets nergi v spektre. ta veliqina nazyvaetsnergetiqeskim spektrom plotnosti S(ω) signala f(t):

S (ω) = |F (ω)|2 (4.31)

nergetiqeski spektr plotnosti signala bol~xe ne soderit fazo-vo informacii. to vleqet za sobo to, qto dl pervonaqal~nogosignala isklqena vozmonost~ vosstanovleni. Takim obrazom,qast~ informacii signala poterna. Odnako, pri opredelennyhobstotel~stvah ot fazovo informacii mono otkazat~s, kak,naprimer, pri protekanii signala so statistiqeski soverxen-no neregulrno koleblwes fazo. Veliqina S(ω) – to qetnafunkci, kotora invariantna k sdvigu vo vremeni. Esli F (ω) pereda-toqna funkci, to kvadrat modul nazyvaets take usilitelemmownosti.

Sravnenie preobrazovani Fur~e po uravneni 4.29 s razloeniemv rd Fur~e po uravneni 4.4 pokazyvaet suwestvennoe razliqieoboih metodov. Rezul~tat razloeni v rd – to lineqaty spektr,rezul~tat preobrazovani – nepreryvna funkci. Ustanovit~ svz~


f t(

2

4

–4

4

100

4

8| ( )|F ω

ω–10

t

a)

d)

–10

–4

4

10 ω

∠ ωF( )

π2

π2

–

e)

0

8

100

4

Re ( )F ω

ω–10

b)

10

8

Im ( )F ω

ω–10

c)

–8

–2–4 6 8

)

Ris. 4.6: Zavisimy ot vremeni signal i Fur~e-transformanta, a) ne-preryvny vo vremeni signal s koneqno nergie, b) destvitel~naqast~ spektra, c) mnima qast~ spektra, d) modul~ny spektr, e) uglo-vo spektr


medu nimi mono putem togo, qto v lineqatom spektre razloeniv rd vypolnets predel~ny perehod k ω0 → 0 ili T → ∞. Spek-tral~nye linii pri uveliqenii dliny perioda T sokrawat rassto-nie medu sobo i, nakonec, perehodt v nepreryvny spektr. Prirazloenii v rd kofficient ck predstavlet sobo kompleksnyvklad k-to garmoniki k ·ω0 funkcii vremeni f(t); pri preobrazovaniiFur~e F (ω) vlets amplitudno funkcie ili plotnost~ ampli-tudy v toqke ω. Pri razloenii v rd Fur~e my moem pri pomowisinteza Fur~e snova poluqit~ funkci vremeni. Pri preobrazovaniiFur~e to vozmono putem obratnogo preobrazovani. to oznaqaet,qto Fur~e-transformanta F (ω) take, kak i lineqaty spektr raz-loeni v rd, soderit vs informaci.Perehod iz vremenno oblasti v qastotnu oboznaqaets sim-volom –• :

f (t) –• F (ω) ili F (ω) •– f (t) (4.32)

Neobhodimo ewe ukazat~ na to, qto dl suwestvovani Fur~e-transformanty, nardu s usloviem absoltno integriruemosti pouravneni 4.25, dolny byt~ vypolneny take uslovi Direhle.Oni dat nekotorye svedeni o tom, kak dolna proishodit~ approk-simaci v toqkah razryva [7].

Svostva simmetrii: Vyqislenie spektra zavisimogo ot vremeni sig-nala mono uprostit~, esli obratit~ vnimanie na svostva sim-metrii preobrazovani Fur~e. Otpravno toqko vlets tot fakt,qto kadu destvitel~nu funkci mono razloit~ na qetnye qas-ti fg(t) i neqetnye fu(t):

f (t) = fg (t)+fu (t) fg (t) =1

2(f (t) + f (−t)) fu (t) =

1

2(f (t)− f (−t))

(4.33)

Na ris. 4.7 pokazan primer razloeni prmougol~no funkcii.

Esli v uravnenii 4.29 kompleksnye pokazatel~nye funkcii po for-mule lera zamenit~ na garmoniqeskie funkcii i zatem razloit~ih po uravneni 4.33 na qetnye i neqetnye komponenty, to poluqaet-s:

F (ω) =

∞∫

−∞

fg (t) cos (ωt) dt +

∞∫

−∞

fu (t) cos (ωt) dt

︸︷︷︸

2-o integral

−j∞∫

−∞

fg (t) sin (ωt) dt

︸︷︷︸

3-i integral

−j∞∫

−∞

fu (t) sin (ωt) dt (4.34)


f t(

t

t

t

f tg(

f tu(

)

)

)

Ris. 4.7: Razloenie prmougol~no funkcii f(t) na qetnye komponen-ty fg(t) i neqetnye komponenty fu(t)

Vtoro i treti integraly ravny nul, t.k. integriruets proizve-denie qetnyh i neqetnyh funkci. Ostats dve qasti:

F (ω) =

∞∫

−∞

fg (t) cos (ωt) dt − j∞∫

−∞

fu (t) sin (ωt) dt

= Fg (ω) − j Fu (ω) (4.35)

to uravnenie pozvolet nam sdelat~ sleduwie zaklqeni:

• Qetna destvitel~na funkci vremeni sozdaet qetnu dest-vitel~nu spektral~nu funkci.

• Neqetna destvitel~na funkci vremeni sozdaet neqetnumnimu spektral~nu funkci.

• (Lba) destvitel~na funkci vremeni sozdaet spektral~nufunkci s qetno destvitel~no qast~ i neqetno mnimoqast~. Destvitel~na tak nazyvaema rmitova simmetriF ∗(ω) = F (−ω).

Take predstavlenie modul i ugla kompleksnyh Fur~e-transformantobladaet svostvami simmetrii. Modul~ – to qetna, i ugol – neqet-na funkci peremenno ω:

|F (ω)| = |F (−ω)| i ∠F (−ω) = − ∠F (ω) (4.36)

Predstavlenny na ris. 4.6 primer pokazyvaet ti svostva sim-metrii.

Diskretnye vo vremeni signaly: Nepreryvnoe preobrazovanie Fur~emono primenit~ i dl diskretnyh vo vremeni signalov fn = f(nTA),


priqem TA – to interval medu otsqetami. Uslovie suwestvo-vani Fur~e-transformanty (uravnenie 4.25) pri diskretnyh sig-nalah perehodit v summu:

∞∑

n=−∞|fn| <∞ (4.37)

Esli otsqety signala absoltno summiruemy, to Fur~e-transfor-manta shodits. K primeru, dl aperiodiqeskih i zatuhawih sig-nalov vypolnets uravnenie 4.37. Dl Fur~e-transformanty ot fndestvitel~no:

F (ω) = TA

∞∑

n=−∞fn · e−jω · nTA (4.38)

Sravnenie togo otnoxeni s uravneniem 4.29 pokazyvaet, qto raz-liqie medu preobrazovaniem nepreryvnogo i diskretnogo vo vre-meni signala sostoit v tom, qto spektr nepreryvnyh vo vremeni sig-nalov imeet beskoneqnu protennost~. Spektr diskretnyh vo vre-meni signalov, naprotiv, imeet protennost~ ot −π/TA do +π/TA

ili ot 0 do 2π/TA i prodolaets periodiqeski. Periodiqnost~Fur~e-transformanty F (ω) s periodom 2π oqevidna, esli kompleksnupokazatel~nu funkci zamenit~ po formule lera summo funkcikosinus i sinus.Sravnenie take pokazyvaet, qto preobrazovanie Fur~e diskretno-go vo vremeni signala bol~xe ne nuno vyqislt~ putem integri-rovani, a lix~ putem sloeni proizvedeni funkcii vremeni napokazatel~nye funkcii razliqno qastoty. Iz togo fakta, qto Fur~e-transformanta diskretnogo vo vremeni signala vlets periodi-qesko funkcie, kotora moet byt~ razloena v rd Fur~e, poluqa-ts «kofficienty» togo rda. Oni vlts, soglasno urav-neni 4.38, v toqnosti otsqetami fn. Potomu sleduet:

fn =1

2π

+π/TA∫

−π/TA

F (ω) · ejω · nTA dω (4.39)

Do sih por rassmotrennye vozmonosti preobrazovani signala voblast~ spektra na praktike cifrovo obrabotki signalov malopri-menimy, t.k. rezul~tiruwa spektral~na funkci – to vse ewenepreryvna funkci peremenno ω. Tol~ko kogda take i spektrrassqityvaets v diskretno forme, govort o diskretnyh preob-razovanih, kotorye vlts predmetom podrobnogo rassmotreniqasti 4.3.

T.k. svostva diskretnogo preobrazovani Fur~e sledut iz svostvnepreryvnogo preobrazovani Fur~e diskretnyh signalov, to oni


budut predstavleny na dannom tape. Ot dokazatel~stv my vozderim-s i rekomenduem dl togo literaturu [41, 42].

Otnoxeni simmetrii: Opisannye na str. 175 svostva simmetriidestvitel~ny take dl signalov s diskretnym vremenem.

Teorema linenosti: Teorema linenosti, nazyvaema take teoremosloeni, govorit o tom, qto preobrazovanie Fur~e – to linenoepreobrazovanie. Esli

fn –• F (ω) i gn –• G (ω)

to:

a1fn + a2gn –• a1F (ω) + a2G (ω) (4.40)

Ris. 4.8 pokazyvaet, naprimer, qto vzvexennoe additivnoe naloeniesignalov fn i gn do hn vedet k to e lineno kombinacii spektrov.

Perva teorema sdviga (smewenie vo vremenno oblasti): Perva te-orema sdviga govorit o tom, kakoe vozdestvie na spektr okazyvaetvremennoe smewenie signala. Esli

fn –• F (ω)

to:

fn−k –• e−jωkTA F (ω) (4.41)

Umnoenie F (ω) na kofficient exp(−jωkTA) vyzyvaet v spektreizmenenie fazovogo ugla, no ne modul. Esli destvitel~nye imnimye qasti predstavit~ otdel~no, to izmenennye otnoxeni sim-metrii vremenno oblasti dolny otrazit~s v spektre. Ris. 4.9pokazyvaet primer togo, qto sdvig fn na k = 4 otraaets ne namodul~nom spektre, a tol~ko na uglovom spektre.

Vtora teorema sdviga (smewenie v qastotno oblasti): Vtora teo-rema sdviga pokazyvaet, kakoe vozdestvie na vremenno signal okazy-vaet smewenie spektra na ω0. Esli

fn –• F (ω)

to:

ejω0nTA fn –• F (ω − ω0) (4.42)

Lbo sdvig v qastotno oblasti izmenet otnoxeni simmetriitak, qto vo vremenno oblasti iz destvitel~nogo signala moet


fn

1

0

–1

20 40 60 n

20

–1 0 1 ω

| ( )|F ω

1

0

–1

20 40 60 n

gn

20

0 1–1 ω

| ( )|G ω

| ( )|H ω

50

–1 0 1 ω6040200

5

–5

n

hn

a) b)

c) d)

e) f)

Ris. 4.8: Teorema linenosti preobrazovani Fur~e, a) signal fn,b) modul~ny spektr |F (ω)|, c) signal gn, d) modul~ny spektr |G(ω)|,e) linena kombinaci signalov hn = 2fn + 3gn, f) modul~ny spektr|H(ω)|


40 n

1

0

–1

fn

1

040 n

–1

fn

20 20

–1 10

10

| ( )|F w

–1 10

10

| ( )|F w

w w

5

–5–1 1 w

Ð wF ( )5

–5–1 1 w

Ð wF ( )

a) b)

d)c)

e) f)

'

'

'

Ris. 4.9: Teorema sdviga preobrazovani Fur~e, a) signal fn, b) sme-wenny na k = 4 signal f ′n = fn−k, c) i d) modul~nye spektry, e) if) uglovye spektry

poluqit~s kompleksny.

Teorema masxtabirovani: Teorema masxtabirovani, take nazy-vaema teoremo podobi, obedinet vzaimosvz~ vremennogo signalai spektra pri masxtabirovanii vo vremenno oblasti. Esli

fn –• F (ω)

to:

fk·n –•1

kF(ω

k

)

s k > 0 (4.43)

Esli k > 1, to signal simaets, esli k < 1, to rastgivaets.Vozdestvie na qastotnu os~ imeet obratny ffekt, t.e. prirastenii vo vremenno oblasti proishodit satie v qastotnooblasti, i naoborot. Primer pokazan na ris. 4.10.


a)1

0

–1

20 40 n

fn

–5

5

–1 1 w

Ð w( )Fe)

10–1

20| ( )|F w

w

c)

1

0

–1

20 40 n

f

–5

5

–1 1 w

Ð w( )F

10–1

20| ( )|F w

w

b)

d)

f)

n'

'

'

Ris. 4.10: Teorema masxtabirovani preobrazovani Fur~e, a) sig-nal, b) saty signal f ′n = fk·n s k = 2, c) i d) modul~nye spektry,e) i f) uglovye spektry

Teorema svertki: Teorema svertki soderit isklqitel~no vanuvzaimosvz~, kotora nahodit primenenie vo mnogih zadaqah obrabot-ki signalov. Ona soderit vyskazyvanie o tom, kaku operaci nu-no vypolnit~ v oblasti spektra, esli svernut~ dva signala drug sdrugom vo vremenno oblasti (sr. qast~ 3.3). Esli

fn –• F (ω) i hn –• H (ω)

to:

(f ∗ h)n –• F (ω) ·H (ω) s (f ∗ h)n =

∞∑

m=−∞fm hn−m (4.44)

Svertka dvuh signalov vo vremenno oblasti sootvetstvuet pere-mnoeni ih Fur~e-transformant v oblasti spektra. Ris. 4.11demonstriruet tu svz~ dl dvuh diskretnyh signalov. Svertyvae-mye signaly fn i hn pokazany na ris. 4.11 a), rezul~tat svertkina ris. 4.11 d). Esli signaly fn i hn preobrazuts v qastot-nu oblast~, to poluqats spektry F (ω) i H(ω), pokazannye naris. 4.11 g) i h). Rezul~tat peremnoeni oboih spektrov pokazan naris. 4.11 f). On svzan s rezul~tatom svertki funkci vremeni fn ihn na ris. 4.11 d) preobrazovaniem Fur~e.


fn

1

0 5–5

hn

1

0 5–5

f hn n

–5 0 5–5 05

1

( )f h ω*1

F H( ) ( )ω ω

5

0 2–2 ω

1

–2 0 2 ω

*

–2 0 2

2

F ( )ω

2

H ( )ω

–2 20ω ω

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

n

n n

n

F H( ) ( )ω ω

Ris. 4.11: Teorema svertki preobrazovani Fur~e, a) diskretny sig-nal fn, b) signal hn, c) potoqeqnoe umnoenie fn · hn, d) svertka f ∗ h,e) svertka Fur~e-transformant F ∗H, f) umnoenie F (ω) ·H(ω), g) F (ω)kak Fur~e-transformanta ot fn, h) H(ω) kak Fur~e-transformantaot hn


Teorema svertki obratima. Esli dva signala peremnoats vovremenno oblasti, to svertka vlets kvivalentno operacie voblasti spektra:

fn · hn –• F (ω) ∗H (ω) (4.45)

Umnoenie dvuh signalov vo vremenno oblasti sootvetstvuetsvertke ih Fur~e-transformant v oblasti spektra. Esli svernut~drug s drugom spektry F (ω) i H(ω) na ris. 4.11, to v rezul~tatepoluqaets spektral~na funkci na ris. 4.11 e). Danny spektr –to take rezul~tat preobrazovani Fur~e proizvedeni fn · hn naris. 4.11 c). Svertka po uravneni 4.45 nazyvaets periodiqeskosvertko, t.k. i svertyvaemye funkcii F (ω) i H(ω) i rezul~tatsvertki vlts periodiqeskimi funkcimi.

Teorema korrelcii: Teorema korrelcii shoa s teoremo svertki.V ne govorits o tom, kaku operaci nuno vypolnt~ v oblastispektra, esli korrelirovat~ dva signala vo vremenno oblasti (sr.qast~ 3.2). Esli

fn –• F (ω) i hn –• H (ω)

to:

(f ~ h)m –• F (ω) ·H∗ (ω) s (f ~ h)m =∞∑

n=−∞fn · hn+m (4.46)

Korrelcii dvuh signalov vo vremenno oblasti (simvol: ~) sootvet-stvuet umnoenie ih Fur~e-transformant v oblasti spektra, priqemvmesto Fur~e-transformanty vtorogo signala nuno ispol~zovat~kompleksno-soprennu transformantu H∗(ω).

Teorema Vinera-Hinqina: Vmeste s uravneniem 4.31 byl vvedenkvadrat modul Fur~e-transformanty, kotory ne soderit fazovoinformacii. Teorema Vinera-Hinqina otveqaet na vopros, kako vre-menno signal prinadleit k tomu kvadratu modul:

|F (ω)|2 •– (f ~ f)m (4.47)

Obratnoe preobrazovanie Fur~e nergetiqeskogo spektra plotnosti|F (ω)|2 – to avtokorrelcionna funkci ot fn (sr. qast~ 3.2).to oqevidno, t.k. avtokorrelcionna funkci take ne soderitfazovo informacii; ona bol~xe ne dopuskaet vosstanovleni ori-ginal~nogo vremennogo signala. Sleduet otmetit~, qto teoremaVinera-Hinqina moet take interpretirovat~s kak osoby sluqateoremy korrelcii po uravneni 4.46. T.k. avtokorrelcionnafunkci vlets qetno funkcie, to dl Fur~e-transformanty


destvitel~no F (ω) ·F ∗(ω) = F (ω) ·F (−ω) = |F (ω)|2. V kaqestve primeraprivedem xumovo signal s ograniqenno poloso. Spektr dannogosignala – prmougol~na funkci (ris. 4.12 a). Xirina polosy xu-movogo signala i prodolitel~nost~ korrelcii avtokorrelcionnofunkcii na ris. 4.12 b) vzaimoobratny. kstremal~ny sluqa – toavtokorrelcionna funkci rm ideal~nogo belogo xuma, kotoraravna del~ta-funkcii Diraka (sr. ris. 4.13 a).

–0,5 0,5

5

10

m

rm

10–10 0 ω

| ( )|²F ω

1

a)

b)

Ris. 4.12: Teorema Vinera-Hinqina, a) nergetiqeski spektr plot-nosti xumovogo signala s ograniqenno poloso, b) sinc-funkcikak avtokorrelcionna funkci rm posle obratnogo preobrazovaniFur~e

Teorema Parseval: Teorema Parseval ustanavlivaet otnoxeniemedu nergie vremennogo signala i nergie spektral~nogo signa-la. Esli original~ny signal – to diskretny vo vremeni signal fn,to destvuet otnoxenie:

∞∑

n=−∞|fn|2 =

1

2π

π∫

−π

|F (ω)|2dω (4.48)

nergi funkcii vremeni soderits v oblasti spektra v ee ner-getiqeskom spektre plotnosti.

Na ris. 4.13 privedeno neskol~ko primerov diskretnyh vo vremenifunkci i ih Fur~e-transformant. Vybrannye signaly – to qetnye

4.3. DISKRETNYE PREOBRAZOVANI 185

funkcii ot n, potomu spektry destvitel~nye i qetnye.

Nepreryvnoe preobrazovanie nepreryvnyh i diskretnyh vo vremenisignalov bylo pokazano v to qasti na primere preobrazovaniFur~e. My ne hotim ostanavlivat~s na drugih integral~nyh pre-obrazovanih, t.k. cifrova obrabotka signalov ispol~zuet iskl-qitel~no diskretnye preobrazovani, opisannye v sleduwe qas-ti. Krome togo, drugie nepreryvnye preobrazovani mono prostovyvesti iz uravneni 4.27, v kotorom dl dra preobrazovani is-pol~zuets elaema sistema ortogonal~nyh funkci.

4.3 Diskretnye preobrazovani

Spektral~ny analiz signala, zavisimogo ot vremeni ili ot mestav prostranstve, kak instrument cifrovo obrabotki signalov, tre-buet posledovatel~nost~ otsqetov vo vremenno ili prostranstven-no oblasti i vozvrawaet v kaqestve rezul~tata posledovatel~nost~otsqetov v oblasti spektra. Preobrazovani, kotorye otobraatdiskretny original~ny signal na diskretny spektr, nazyvatsdiskretnymi preobrazovanimi.

4.3.1 Diskretnoe preobrazovanie Fur~e

Odnomernoe diskretnoe preobrazovanie Fur~e: Diskretizirovannysignal fn s periodom diskretizacii TA imeet soglasno uravneni 4.38periodiqeski spektr:

F (ω) =

∞∑

n=−∞fn · exp (−jωnTA) (4.49)

Take i spektr moet byt~ diskretizirovan, a imenno s intervalom:

∆ω = 2π∆f =2π

NTAs qislom otsqetov N (4.50)

Rezul~tatom vlets diskretny spektr, kak pokazano na primerekolokola Gaussa na ris. 4.14.

Vvedenna dl diskretno funkcii vremeni zapis~ f(tn) = fn moetbyt~ ispol~zovana teper~ sootvetstvuwim obrazom i dl diskretnospektral~no funkcii:

F (ωm) = F

(2πm

NTA

)

= Fm (4.51)


1

0,5

–10 –5 0 5 10

fn

n

1

–10 –5 0 5 10

fn

n

0,2

–10 –5 0 5 10

fn

n

0,

0,

0 n

fn

5

0 2 ω

F( )ω

0,5

0–2 2 ω

F( )ω

5

0–2 2 ω

F( )ω

5

0–2 2 ω

F( )ω

a)

b)

c)

d)

0,

1

–20

2

10 20

0,1

1

0,

50,

10

–2

1

1

–10

• • •• • •

• • •• • •

• • •• • •

Ris. 4.13: Primery nepreryvnogo preobrazovani Fur~e diskretnyhvo vremeni signalov, a) ediniqny impul~s i beskoneqno protennyspektr, b) prmougol~na funkci i periodiqeska sinc-funkci kakspektr, c) sinc-funkci i periodiqeska prmougol~na funkci kakspektr, approksimaci s fenomenom Gibbsa dl beskoneqnogo mnoest-va slagaemyh v uravnenii 4.38, d) kolokol Gaussa i ego periodiqeskispektr


∆ω 5 10 ω0–5–10

1

F ( )ω

t210

1

–1–2

f t( b)a)

∆ω = 2π

TA

fn Fm

)

NTA

Ris. 4.14: Diskretizaci qastotnogo spektra s ∆ω, a) qet-ny nepreryvny signal f(t) i diskretizirovanny signal fn,b) destvitel~ny nepreryvny spektr F (ω) i diskretizirovannyspektr Fm

Odnomerna diskretna para preobrazovani Fur~e imeet tem samymsleduwu formu:

Fm =N−1∑

n=0

fn exp(

−j2πmnN

)

s m = 0, 1, . . . , N − 1 (4.52)

fn =1

N

N−1∑

m=0

Fm exp(

+j2πmn

N

)

s n = 0, 1, . . . , N − 1 (4.53)

Dl diskretnogo preobrazovani Fur~e printo sokrawenie DFT, dlobratnogo preobrazovani DFT−1 ili IDFT. T.k. prmoe i obratnoepreobrazovanie rassqityvaets vnutrennim proizvedeniem na peri-odiqesku diskretnu pokazatel~nu funkci, to Fm i fn vltsperiodiqeskimi funkcimi.Esli v uravnenih 4.52 i 4.53 vvesti N-y ediniqny koren~,

WN = exp

(−j2πN

)

(4.54)

to para preobrazovani budet imet~ bolee kompaktnu formu:

Fm =N−1∑

n=0

fn WNm·n i fn =

1

N

N−1∑

m=0

Fm WN−m·n (4.55)

Ewe bolee prosta zapis~ diskretnogo preobrazovani Fur~e matriq-nym uravneniem. Pri pomowi matricy W (N×N) ranga N , vekto-ra f vremennogo signala (N×1) i vektora F kak spektral~no funkcii(N×1) matriqnoe uravnenie mono zapisat~ sleduwim obrazom:

F = W · f (4.56)


lementy simmetriqno matricy W mono rassqitat~ pri pomowiediniqnogo korn. Delenie na N pri obratnom preobrazovanii v urav-nenii 4.55 razdelets simmetriqno na prmoe i obratnoe preobra-zovanie:

Wm,n =1√N·Wm·n

N (4.57)

Esli obe qasti uravneni 4.56 umnoit~ sleva na obratnu matricuW−1, t.e.

W−1 · F = W−1 ·W · f (4.58)

to dl obratnogo diskretnogo preobrazovani Fur~e sleduet:

f = W−1 · F (4.59)

T.k. matrica preobrazovani simmetriqna, obratna matrica ravnaee kompleksno-soprenno:

W−1 = W ∗ (4.60)

Takim obrazom, obratnoe preobrazovanie rassqityvaets pri po-mowi:

f = W ∗ · F (4.61)

Pri obrabotke signalov, nardu s diskretnym preobrazovaniemFur~e, take imeet znaqenie rd drugih diskretnyh preobrazovani.V dal~nexem my hotim ispol~zovat~ zapis~, kotoru mono legkoprimenit~ i dl drugih preobrazovani:

F = DFT · f i f = DFT−1 · F (4.62)

lement matricy preobrazovani DFT rassqityvaets sleduwimobrazom:

DFTm,n =1√N

exp(

−j2πm · nN

)

(4.63)

T.k. s ediniqno matrice E vypolnets otnoxenie

DFT T∗ ·DFT = DFT ∗ ·DFT = E (4.64)

to matrica DFT – to unitarna matrica (no ne ortogonal~na, t.k.ona soderit kompleksnye lementy). Dl togo, qtoby invertirovat~unitarnu matricu, v obwem sluqae iz transponirovanno matricyobrazuets kompleksno-soprenna matrica:

DFT−1 = DFT T∗ (4.65)


Poskol~ku matrica DFT , kak i matrica W , simmetriqna, vypoln-ets analogiqno uravneni 4.60:

DFT−1 = DFT ∗ (4.66)

Dl rasqeta matricy obratnogo preobrazovani neobhodimo lix~ za-menit~ znaki vseh mnimyh qaste na protivopolonye.V kaqestve primera rassqitaem dl ranga N = 4 matricy DFT iDFT−1. Po uravneni 4.63 dl matricy DFT poluqaets:

DFT =1

2

+1 +1 +1 +1

+1 −j −1 +j

+1 −1 +1 −1

+1 +j −1 −j

(4.67)

Obratna matrica obratnogo preobrazovani poluqaets po urav-neni 4.65:

DFT−1 = DFT T∗ = DFT ∗ =1

2

+1 +1 +1 +1

+1 +j −1 −j+1 −1 +1 −1

+1 −j −1 +j

(4.68)

T.k. matrica DFT vlets unitarno matrice, to dolno vypol-nt~s uravnenie 4.64. V itoge poluqaets:

DFT T∗ ·DFT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

= E (4.69)

Rezul~tat odnomernogo diskretnogo preobrazovani Fur~e – tovektor s kompleksnymi kofficientami Fur~e. Potomu grafi-qeskoe predstavlenie tih kofficientov osuwestvlets otdel~no podestvitel~no i mnimo qasti ili e po modul i uglu (faze) kom-pleksno veliqiny. Dl modul kompleksnyh kofficientov Fur~e|Fm| destvitel~no:

|Fm| =√

<2 Fm+ =2 Fm (4.70)

Ugol ∠Fm rassqityvaets po formule

∠Fm = arctan=Fm<Fm

(4.71)

Pri tom neobhodimo uqityvat~ ewe ugol korrekcii po urav-neni 2.36 na str. 40.


42

f t(f t( )n

–2–4–6

1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4 t

| |Fm

10

5

–10 –5 0 5 10 m

Re Fm

2

1

–10 –5 0 5 10 m

Im Fm

20

10

–10 –5 5 10 m–10

∠ Fm

2

1

–10 –5 5 10 m–1

a)

b)

d)

c)

e)

)

Ris. 4.15: Rezul~tat diskretnogo preobrazovani Fur~e, a) vremennosignal, b) destvitel~na qast~ spektra, c) mnima qast~ spektra,d) modul~ny spektr, e) uglovo spektr

Ris. 4.15 pokazyvaet rezul~tat diskretnogo preobrazovani Fur~eue nepreryvno preobrazovannogo signala iz ris. 4.6. Signal sna-qala diskretiziruets na intervale [0, 4). Zatem rassqityvatskompleksnye kofficienty Fur~e po uravneni 4.56. Komponentyperiodiqeskogo signala nam ue izvestny iz ris. 4.1: komponentakosinusa, bol~xa sinusoidal~na komponenta nizko qastoty i men~-xa sinusoidal~na komponenta bolee vysoko qastoty. Komponentakosinusa zametna take v diskretnom qastotnom spektre, a imenno vdestvitel~no qasti spektra (ris. 4.15 b). Obe sinusoidal~nye kom-ponenty nahodts v mnimo qasti spektra (ris. 4.15 c). Ris. 4.15 d)i e) pokazyvat modul~ny i uglovo spektr. V kaqestve dopol-nitel~nogo primera primeneni DFT na ris. 4.22 b) i c) pokazanqastotny spektr lektrokardiogrammy iz ris. 2.1.


Sleduet otmetit~, qto dl preobrazuemogo signala do sih por nebylo postavleno nikakih uslovi. V qastnosti, pri diskretnoforme preobrazovani bol~xe ne igraet nikako roli, otnosts lisoderawies v signal~nom vektore otsqety k periodiqeskomu, ape-riodiqeskomu ili sluqanomu signalu. Takim obrazom, diskretnoepreobrazovanie Fur~e – to universal~ny instrument obrabotkisignalov. Tem ne menee, pri ego primenenii mogut vozniknut~ prob-lemy. Oni budut rassmotreny v qasti 4.3.5.Svostva diskretnogo preobrazovani Fur~e sootvetstvut v zna-qitel~no stepeni svostvam nepreryvnogo preobrazovani, kotoryebyli podrobno predstavleny v predyduwe qasti. V dal~nexemdano kratkoe obobwenie dl diskretnogo sluqa. Diskretnoe pre-obrazovanie imeet, odnako, osobennosti, k kotorym prinadleit,naprimer, cikliqeska svertka. Potomu rassmotrim ee boleepodrobno. Ot dokazatel~stv snova vozderims i rekomenduem lite-raturu [4, 38, 41].

Periodiqnost~: Pust~ dan signal so spektrom:

fn –• Fm

Togda i diskretny vo vremeni signal, i diskretna spektral~nafunkci vlts periodiqeskimi:

fn = fn+N i Fm = Fm+N dl lbyh n, m (4.72)

Svostva simmetrii: Dl kadogo destvitel~nogo signala fn vy-polnets to, qto destvitel~na qast~ spektra vlets qetnofunkcie, a mnima qast~ – neqetno funkcie:

<Fm = <FN−m i =Fm = −=FN−m (4.73)

Pri predstavlenii spektra modul~ny spektr vlets qetnym, auglovo spektr neqetnym:

|Fm| = |FN−m| i ∠Fm = −∠FN−m (4.74)

Esli signal, pomimo vsego, qetny, t.e. fn = f−n, to spektr takeqetny:

Fm = <Fm = FN−m (4.75)

Rasqet spektra uprowaets togda po uravneni 4.52 do:

Fm =

N−1∑

n=0

fn cos(

2πmn

N

)

(4.76)


Preobrazovanie destvitel~nogo i neqetnogo vremennogo signalafn = −f−n daet v itoge mnimy i neqetny spektr:

Fm = =Fm = −FN−m (4.77)

Rasqet spektra v tom sluqae mono take uprostit~ po urav-neni 4.52:

Fm = −jN−1∑

n=0

fn sin(

2πmn

N

)

(4.78)

Otnoxeni simmetrii preobrazovani Fur~e ukazyvat na imewu-s izbytoqnost~. Ee mono uvidet~, naprimer, na ris. 4.17 d).

Linenost~: Pust~ dany dva signala so spektrami:

fn –• Fm i gn –• Gm

Dl vzvexenno summy togda destvitel~no:

a1fn + a2 gn –• a1Fm + a2 Gm (4.79)

Esli signaly imet raznu dlinu Nf i Ng, to rezul~tat imeetdlinu N = max(Nf , Ng). Bolee korotki signal dopolnets nulmi.

Cikliqeski sdvig: Pri vremennom sdvige original~nogo signala iz-za ego periodiqnosti lementy signala fn dolny smewat~s cikli-qeski. Smewenny signal snova periodiqeski, t.e.:

fn−k = fn−k+pN s p ∈ Z (4.80)

Zdes~, kak simvol periodiqnosti, my ispol~zuem f(n−k)N. Taka zapis~

napominaet operaci nahodeni ostatka ot deleni. Takim obrazom,poluqaets sleduwee sootvetstvie:

f(n−k)N–• exp

(

−j · 2πmkN

)

Fm (4.81)

Vremenno sdvig destvuet ne na modul~ny spektr signala, a tol~kona fazovy ugol. Potomu pokazatel~na funkci, na kotoru dolenumnoat~s spektr, take nazyvaets kofficientom soprennostifaz.Esli smewaets spektral~na funkci – iz-za periodiqnosti funkciitake cikliqeska – to destvitel~no sleduwee sootvetstvie:

fn exp

(

+j · 2πnkN

)

–• F(m−k)N(4.82)


Cikliqeska svertka: Esli dve diskretnye spektral~nye funkcii um-noats v qastotno oblasti, to to sootvetstvuet operacii cik-liqesko svertki dvuh signalov odinakovo dliny vo vremennooblasti. Esli snova

fn –• Fm i hn –• Hm

to:

(

fN∗ h

)

n–• Fm ·Hm s

(

fN∗ h

)

n=

N−1∑

k=0

fk · h(n−k)N(4.83)

to uravnenie predstavlet sobo diskretnu versi teoremy svert-ki po uravneni 4.44. Dl rasqeta cikliqesko svertki neobhodimoproizvesti snaqala zerkal~noe otraenie odnogo iz dvuh signalov,kak v opisannom v qasti 3.3 uravnenii svertki 3.79, a zatem posledova-tel~noe smewenie togo signala dl nahodeni summ proizvedenisootvetstvuwih znaqeni. Pri cikliqesko svertke sdvig doleninterpretirovat~s kak vrawenie signala, priqem indeks otraen-no posledovatel~nosti rassqityvaets putem nahodeni ostatka otdeleni na N .Esli dva vremennyh signala peremnoats, to ta operaciotobraaets diskretnym preobrazovaniem Fur~e na cikliqeskusvertku spektral~nyh funkci:

fn · hn –•(

FN∗ H

)

ms

(

FN∗ H

)

m=

N−1∑

k=0

Fk ·H(m−k)N(4.84)

Cikliqeska korrelci: Esli v oblasti spektra diskretna Fur~e-transformanta odnogo vremennogo signala umnoaets na kompleksno-soprennoe znaqenie Fur~e-transformanty vtorogo vremennogo sig-nala, to ta operaci sootvetstvuet cikliqesko korrelcii vo vre-menno oblasti. Esli snova


to:(

fN~ h

)

k

–• Fm ·H∗m s

(

fN~ h

)

k

=N−1∑

n=0

fn · h(n+k)N(4.85)

Dl avtokorrelcii destvitel~no:(

fN~ f

)

k

–• |Fm|2 (4.86)

Uravnenie 4.85 predstavlet sobo diskretnu versi teoremykorrelcii po uravneni 4.46.


Teorema Parseval: Teorema Parseval daet take i dl sluqadiskretnogo preobrazovani Fur~e svedeni o raspredelenii nergii:

N−1∑

n=0

|fn|2 =

N−1∑

m=0

|Fm|2 (4.87)

Soderawas v otsqetah vremennogo signala fn nergi rasprede-lets v spektre na kofficienty.

Ris. 4.16 sluit illstracie svzi medu nepreryvnym i diskret-nym preobrazovaniem Fur~e. Na nem pokazan perehod iz vremennooblasti v qastotnu na primere funkcii Gaussa. Ris. 4.16 a) i b)pokazyvat funkci Gaussa i ee spektr, kotory take vletsfunkcie Gaussa, razumeets, s drugimi parametrami. T.k. funkciGaussa nepreryvna, neperiodiqeska i zatuhawa, to dl perehodaiz vremenno oblasti v qastotnu nahodit svoe primenenie instru-ment nepreryvnogo preobrazovani Fur~e, kotory byl rassmotrenv predyduwe qasti. Esli funkci Gaussa diskretiziruets, tovoznikaet funkci s diskretnym vremenem (ris. 4.16 c). Spektrrassqityvaets take putem nepreryvnogo preobrazovani Fur~e,odnako, po uravneni 4.38 poluqaets nepreryvny, no periodiqes-ki spektr (ris. 4.16 d). Diskretny spektr na ris. 4.16 f) svzan sdiskretno periodiqesko funkcie vremeni posredstvom obratnogodiskretnogo preobrazovani Fur~e po uravneni 4.53.

Pri primenenii diskretnyh preobrazovani izmenets take sta-tistika signalov. Prodemonstriruem to na primere diskretnogopreobrazovani Fur~e. Ris. 4.17 a) pokazyvaet tri vybrannyhpizoda ispol~zovannogo dl togo sluqanogo signala. V kaqestvestatistiqesko veliqiny byla rassqitana kovariacionna matricatih pizodov po uravneni 3.45 (ris. 4.17 c). Esli pizody preobra-zovat~ v qastotnu oblast~, to poluqats modul~nye spektry DFT,pokazannye na ris. 4.17 b). Kovariacionna matrica tih spektrov(ris. 4.17 d) otqetlivo otliqaets ot kovariacionno matricypizodov vo vremenno oblasti. Kofficienty Fur~e korrelirutgorazdo men~xe, qem otsqety signala.

Dvumernoe diskretnoe preobrazovanie Fur~e: Primenenie diskret-nogo preobrazovani Fur~e na dvumernye signaly trebuet is-pol~zovani diskretnyh prostranstvennyh dvumernyh garmoniqeskihfunkci kak bazisnyh funkci. Oni ue byli opredeleny v qas-ti 3.8.3 (sm. uravnenie 3.161). Prostranstvenny signal izobra-eni razmerom Z strok s z = 0, 1, . . . , Z − 1 i S stolbcov ss = 0, 1, . . . , S − 1 oboznaqaets Bz,s. Dl togo qtoby preobrazovat~ego diskretno, neobhodimo rassqitat~ dvumernu diskretnu pokaza-


FT

FT−1

t

f t( F ( )ω

ω

a) b)

Abtastung

DFT

DFT−1

n

n

fn

m

c)

e)

d)

f)

F ( )ω

ω

Abtastung

FT

FT... ...

......

−1

... ...

)

fn Fm

Ris. 4.16: Perehod iz vremenno oblasti v qastotnu posredstvomnepreryvnogo i diskretnogo preobrazovani Fur~e, a) nepreryvnysignal, b) prinadleawi nepreryvny spektr, c) diskretizirovan-ny signal, d) prinadleawi nepreryvny spektr, e) rezul~tatobratnogo DFT izobraennogo pod f) diskretnogo spektra (Abtastung:diskretizaci)

tel~nu funkci fz,s v pozicii z, s. Dvumernoe preobrazovanie Fur~e(2D-DFT) izobraeni Bz,s mono zapisat~ kak uravnenie summy v sle-duwe forme:

Fu,v =Z−1∑

z=0

S−1∑

s=0

Bz,s exp[

−j2π(z · uZ

+s · vS

)]

(4.88)

Bz,s =1

Z · S

Z−1∑

u=0

S−1∑

v=0

Fu,v exp[

j2π(z · uZ

+s · vS

)]

(4.89)

Spektr Fu,v imeet take razmer Z×S. Ego koordinaty u = 0, 1, . . . , Z−1i v = 0, 1, . . . , S − 1 sootvetstvut diskretnym prostranstvennym qas-totam. Rezul~tatom preobrazovani, kak v odnomernom sluqae,


...

...

a) b)

c) d)

fn

n

| |Fm

m

Ris. 4.17: Izmenenie statistiki signala pri diskretnom preobrazo-vanii Fur~e, a) pizody signala, b) modul~nye spektry tih pizodov,c) kovariacionna matrica 1000 pizodov signala, d) kovariacionnamatrica 1000 modul~nyh spektrov

vlets kompleksna veliqina, grafiqeskoe predstavlenie kotoroosuwestvlets snova otdel~no po modul~nomu spektru |Fu,v| i uglovo-mu spektru ∠Fu,v (sm. uravneni 4.70 i 4.71). Po uravneni 4.89izobraenie rassmatrivaets kak naloenie dvumernyh garmoni-qeskih funkci, kotorye otliqats amplitudo, prostranstvennoqastoto i fazo. Modul~ny spektr ukazyvaet, naskol~ko velikiotdel~nye garmoniqeskie komponenty, uglovo spektr pokazyvaet ihotnoxenie drug k drugu. Primer preobrazovani Fur~e izobraenipokazan na ris. 4.18. Spektry v ris. 4.18 b) i c) predstavlenydl luqxe nagldnosti v centrirovannom izobraenii, kotoroedostigaets prosto putem pereraspredeleni kvadrantov. Gorizon-tal~nye i vertikal~nye linii v seredine spektrov obuslovlenyperiodiqnost~ DFT (sm. uravnenie 4.72). Periodiqeskoe prodole-nie izobraeni – v qastnosti, pri prodolenii vverh i vniz –privodit k skaqkam v signale izobraeni. ti skaqki vlts


priqino vozniknoveni vysokih qastot v spektre.

a) c)b)

Ris. 4.18: Dvumernoe diskretnoe preobrazovanie Fur~e (2D-DFT),a) signal izobraeni, b) modul~ny spektr, c) uglovo spektr

Esli ograniqit~s kvadratnymi izobraenimi razmerom N×N , todl 2D-DFT bolee nagldno vlets matriqna zapis~. S mat-rice izobraeni B (N×N) i matrice preobrazovani DFT

(N×N) po uravneni 4.63 poluqaets matrica F (N×N) kompleksnyhkofficientov Fur~e:

F = DFT ·B ·DFT−1 (4.90)

Dl obratnogo dvumernogo diskretnogo preobrazovani Fur~e dest-vitel~no:

B = DFT−1 · F ·DFT (4.91)

2D-DFT imeet te e svostva, qto i 1D-DFT, ono linenoe, smeweniev prostranstvenno oblasti ne vliet na modul~ny spektr, izme-neni masxtaba v oblasti originala i oblasti spektra vzaimoobrat-ny. S pomow~ opredeleni dvumerno svertki v qasti 3.3 (sm. urav-nenie 3.83) mono take dat~ opredelenie teoremy svertki dl 2D-DFT. Esli maska svertki hz,s pered svertko dopolnets nulmi dorazmera izobraeni Bz,s, togda Fur~e-transformanty Fu,v i Hu,v

take odinakovy po razmeru. Teorema svertki imeet sleduwi vid:

g = B ∗ ∗ h –• Gu,v = Fu,v · Hu,v (4.92)

s gz,s =

Z−1∑

m=0

S−1∑

n=0

Bm,n · hz−m,s−n

Odnako dvumernoe preobrazovanie Fur~e obladaet nekotorymisvostvami, kotoryh net v odnomernom sluqae. K nim otnosts teo-


rema vraweni i svostvo separabel~nosti. Teorema vraweni svide-tel~stvuet o tom, qto vrawenie dvumernogo signala vyzyvaet vrawe-nie spektral~no funkcii togo e ugla. Svostvo separabel~nostivano dl rasqeta kofficientov Fur~e. Ono otnosits k pro-stranstvenno i prostrastvenno-qastotno oblasti. T.k. to svostvoimeet znaqenie take i dl drugih preobrazovani, separabel~nost~budet opisana v sleduwe qasti v obobwenno forme.

4.3.2 Obobwennye matriqnye uravneni

Odnomernye diskretnye preobrazovani: V predyduwe qasti bylaispol~zovana zapis~ dl pary preobrazovani diskretnogo pre-obrazovani Fur~e kak formula summy i kak matriqnoe uravnenie.Predstavlenie sleduwih diskretnyh preobrazovani ograniqivaet-s celesoobrazno matriqno zapis~. V to qasti dl odnomernyhi dvumernyh diskretnyh preobrazovani ukazyvats obobwennyeuravneni, iz kotoryh posredstvom specifikacii matricy preobra-zovani vse drugie diskretnye preobrazovani vyvodts prosto.

Dl rasqeta vektora kofficientov vybiraets sleduwi obwipodhod:

Fm =N−1∑

n=0

fn Tm,n + am s m = 0, 1, . . . , N − 1 (4.93)

Pri tom fn – lementy vektora signala f razmerom N×1 i Fm – le-menty vektora kofficientov F razmerom N×1. Znaqeni Tm,n mogutponimat~s kak lementy matricy preobrazovani T . Esli matri-ca T nevyrodenna, to preobrazovanie obratimo. Vektor signala f

poluqaets togda kak rezul~tat obratnogo preobrazovani. Dl egolementov fn destvitel~no:

fn =

N−1∑

m=0

Fm T−1m,n + bn s n = 0, 1, . . . , N − 1 (4.94)

Uravneni 4.93 i 4.94 imet sleduwu prostu formu matriqnozapisi:

F = T · f + a i f = T−1 · F + b (4.95)

Esli a i b ravny nul, to req~ idet o linenyh preobrazovanih:

F = T · f i f = T−1 · F (4.96)

Preobrazovanie nazyvaets unitarnym, esli matrica T soderitkompleksnnye znaqeni i destvitel~no sleduwee:

T T∗ · T = E i T−1 = T T∗ (4.97)


Preobrazovanie nazyvaets ortogonal~nym, esli matrica soderittol~ko destvitel~nye znaqeni i destvitel~no sleduwee:

T T · T = E i T−1 = T T (4.98)

Pomimo togo, dl simmetriqnyh ortogonal~nyh matric sqitaets,qto dl prmogo i obratnogo preobrazovani moet ispol~zovat~sodna i ta e matrica:

T−1 = T (4.99)

Matrica T nazyvaets take «derno» matrice preobrazovani.Kady lement Fm vektora kofficientov vlets vnutrennimproizvedeniem vektora signala f s m-to stroko matricy T .Kady lement iz f poluqaets snova kak vnutrennee proizvedenie,teper~ F so stroko matricy T−1.

Iz mnoestva vozmonyh matric preobrazovani polezny dlobrabotki signalov tol~ko te, kotorye vlts ortogonal~nymiili unitarnymi. Esli matrica preobrazovani T ortogonal~na, tostroki T obrazut ortonormirovanny bazis v N-mernom vektornomprostranstve vseh N×1 vektorov. Linenoe preobrazovanie – topreobrazovanie koordinat v tom prostranstve. Rasqet vektorakofficientov F po uravneni 4.95 nazyvaets analizom vektorasignala, t.k. vektor f raskladyvaets na lementarnye sostavnye qas-ti. Vektor F – rezul~tat processa rasklada i soderit «sostavnyeqasti» vektora signala, vyraennogo v kratnyh bazisnyh vektorov,kofficientah. Rasqet vektora signala f po uravneni 4.95 vletssintezom, t.k. putem sloeni proishodit sostavlenie lementarnyhsostavnyh qaste v pervonaqal~ny vektor signala f . Tot fakt, qtopervonaqal~ny vektor f , kak rezul~tat sinteza, vosstanavlivaetspolnost~, ukazyvaet na to, qto vektor kofficientov F dolensoderat~ vse svedeni o vektore signala f . Pri preobrazovaniinikaka informaci ne propadaet. Vektor kofficientov – to takeal~ternativnoe opisanie vektora signala.

Dvumernye diskretnye preobrazovani: Esli (kvadratnoe) izobra-enie razmerom N×N , t.e. diskretny dvumerny signal B slementami Bz,s, preobrazuets v oblast~ spektra, to neobhodi-mo provodit~ dvumernoe preobrazovanie. Kofficient Fu,v, kakrezul~tat dvumernogo preobrazovani, poluqaets po sleduwemuuravneni:

Fu,v =N−1∑

z=0

N−1∑

s=0

Bz,s Tz,s (u, v) s u, v = 0, 1, . . . , N − 1 (4.100)

Matrica T s lementami Tz,s(u, v) – to snova dro preobrazovani.Esli dro preobrazovani separabel~no, to ego mono predstavit~ v


vide proizvedeni dvuh mnoitele T z i T s:

T = T z · T s (4.101)

Pri tom T z – to matrica dl odnomernogo preobrazovani strokiz B i T s – matrica dl posleduwego preobrazovani stolbcov.Togda uravnenie 4.100 – separabel~noe preobrazovanie. Esli v urav-nenii 4.101 oba mnoitel identiqny, to preobrazovanie simmetriq-noe i moet zapisyvat~s matriqnym uravneniem:

F = T ·B · T T∗ i B = T T∗ · F · T (4.102)

Esli dl dvumernogo linenogo preobrazovani ispol~zuets matriq-na zapis~, to vsegda podrazumevaets, qto req~ idet o separabel~nosimmetriqno unitarno matrice preobrazovani.Pri preobrazovanii nekvadratnyh, prmougol~nyh signalov izobra-eni s Z strokami i S stolbcami mono take ispol~zovat~ matriq-nu zapis~:

F︸︷︷︸

Z×S

= T 1︸︷︷︸

Z×Z

· B︸︷︷︸

Z×S

·T T∗2

︸︷︷︸

S×S

i B︸︷︷︸

Z×S

= T T∗1

︸︷︷︸

Z×Z

· F︸︷︷︸

Z×S

· T 2︸︷︷︸

S×S

(4.103)

Dannye pod figurnymi skobkami ukazyvat na sootvetstvuwirazmer matricy. Indeksy 1 i 2 ukazyvat na to, qto zdes~ dolnyispol~zovat~s dve razliqnye matricy preobrazovani. Razmer mat-ricy T 1 opredelets koliqestvom strok, matricy T 2 – po koliqestvustolbcov izobraeni.

4.3.3 Drugie sinusoidal~nye bazisnye funkcii

Diskretnoe preobrazovanie Fur~e, koneqno, samoe izvestnoe i qawevsego ispol~zuemoe ortogonal~noe preobrazovanie s sinusoidal~nymibazisnymi funkcimi. Odnako imets take drugie diskretnyepreobrazovani, kotorye raskladyvat signal na sinusoidal~nyebazisnye funkcii. Pravilo dl preobrazovani signala poluqatpri pomowi prisposablivani matricy obobwennyh uravneni pre-obrazovani 4.96 i 4.102 k sootvetstvuwe ortogonal~no sisteme.V dal~nexem to pokazano dl preobrazovani Hartli, dl kosinus-i sinus-preobrazovani.

Diskretnoe preobrazovanie Hartli: Esli ispol~zuets predstavlen-na v qasti 3.8.3 sistema destvitel~nyh funkci cas v diskretnoforme v kaqestve sistemy bazisnyh funkci linenogo preobrazo-vani, to preobrazovanie nazyvaets diskretnym preobrazovaniemHartli (DHYT). V 1942 godu ono bylo vvedeno Ral~fom Hartli kakal~ternativa preobrazovani Fur~e [22]. Podrobnoe opisanie preob-razovani mono nati v [5]. Zdes~ budut ukazany tol~ko matriqnye


uravneni dl odnomernogo i dvumernogo preobrazovani Hartli. Es-li f – vremenno signal, F – vektor-stolbec kofficientov Hartli iDHY T – matrica preobrazovani, to matriqnye uravneni dl 1D-preobrazovani Hartli vygldt tak:

F = DHY T · f i f = DHY T · F (4.104)

V otliqie ot diskretnogo preobrazovani Fur~e matricy dl prmogoi obratnogo preobrazovani ravny. lementy matricy preobrazova-ni rassqityvats po

DHY Tm,n =1√N

cas(

2πm · nN

)

(4.105)

s pravilom obrazovani cas(x) = sin(x) + cos(x). Nardu s otsutstviemv rezul~tate preobrazovani mnimo qasti, u preobrazovani Hartliest~ preimuwestvo v tom, qto ono ne izbytoqno. Bystrye algoritmydl rasqeta preobrazovani oqen~ ffektivny.Diskretnoe preobrazovani Hartli – to diskretny analog nepre-ryvnogo preobrazovani. V 1983 godu R. Bresvelem byl predloenffektivny metod dl rasqeta DFT [5]. Iz-za razviti bystryh al-goritmov preobrazovani Fur~e diskretnoe preobrazovanie Hartline naxlo xirokogo primeneni. Ris. 4.22 d) pokazyvaet primerspektra Hartli lektrokardiogrammy.

Dvumernoe preobrazovanie Hartli Dl 2D-preobrazovani Hartlisleduet:

F = DHY T ·B ·DHY T i B = DHY T · F ·DHY T (4.106)

Dvumernoe diskretnoe preobrazovanie Hartli take rassqityvaet izdestvitel~nyh vhodnyh signalov destvitel~nye spektry, bez togo,qtoby – kak pri preobrazovanii Fur~e – ispol~zovat~ kompleksnyeveliqiny.

Diskretnoe kosinus-preobrazovanie: Diskretnoe kosinus-preobra-zovanie (angl.: discrete cosine transform, DCT) vpervye bylo upomnu-to v literature v 1974 godu [2]. S teh por ono nahodit xirokoeprimenenie, prede vsego, dl sati reqevyh signalov i signa-lov izobraeni. to svzano, prede vsego, s tem, qto kosinus-preobrazovanie moet realizovat~s ne tol~ko v ffektivnyh algo-ritmah, a, k primeru, take cifrovymi signal~nymi processorami.Vsledstvie togo rasqet kofficientov sil~no uskorets.S matrice preobrazovani DCT matriqnye uravneni dl odno-mernogo diskretnogo kosinus-preobrazovani imet vid:

F = DCT · f i f = DCT T · F (4.107)


lementy matricy preobrazovani rassqityvats po uravneni:

DCTm,n =

√1N esli m = 0

√2N cos

[

π · m(2n+1)2N

]

esli m > 0(4.108)

Bazisnye funkcii kosinus-preobrazovani – to podmnoestvopolinomov Qebyxeva. Vygodnye kaqestva diskretnogo kosinus-preobrazovani obsnet tot fakt, qto v osnove algoritma leitprimenenie preobrazovani na signal dvono dliny [33]. Rasxirenieposledovatel~nosti signala fn proishodit libo kak simmetriqnoe,qetnoe rasxirenie do 2N otsqetov do posledovatel~nosti signalafng, libo kak neqetnoe rasxirenie do 2N − 1 otsqetov do posledova-tel~nosti fnu. Princip predstavlen na ris. 4.19.

0 1 2 3 4 5 6 7 n

fn

0 1 2 3 4 5 6 7 n

0 1 2 3 4 5 6 n

fn

0 1 2 3 4 5 6 n

fng

fnu

Ris. 4.19: Rasxirenie posledovatel~nosti signala fn dl primeneniDCT, qetnoe rasxirenie fng i neqetnoe rasxirenie fnu

Pravilo obrazovani dl lementov matricy po uravneni 4.108rassqitano na simmetriqnoe, qetnoe rasxirenie posledovatel~nostisignala. Odnako dl N dolno priment~s qislo otsqetov posle-dovatel~nosti signala fn. Takim obrazom matrica preobrazovaniimeet razmer N×N .

Rasxirenie posledovatel~nosti signala vedet k tomu, qto v sig-nale otsutstvuet preryvistost~ (skaqki), kotora moet voznikat~vsledstvie svostva periodiqnosti diskretnyh preobrazovani pri


periodiqeskom prodolenii diskretnogo vremennogo ili prostranst-vennogo signala (sr. ris. 4.18 b). Approksimaci signala funkcimikosinus otnosits, takim obrazom, k rasxirennomu signalu bezskaqkov. Vsledstvie togo kosinus-preobrazovanie obnaruivaetvysoku nergetiqesku kompaktnost~, qto take ukazyvaet na udaq-nu dekorrelci kofficientov. Svostvo dekorrelcii pokazanosnova na pizodah signala iz ris. 4.17. Iz 1000 pizodov signala pripomowi kosinus-, sinus-preobrazovani i preobrazovani Hartlibyli rassqitany 1000 spektrov. Iz togo byli opredeleny kovaria-cionnye matricy dl sootvetstvuwego preobrazovani. Esli mypriobwim ewe ris. 4.17 d), to mono sravnit~, po men~xe meredl vybrannogo sluqanogo signala, vse upotrebitel~nye preob-razovani s sinusoidal~nymi bazisnymi funkcimi otnositel~noih svostva dekorrelcii. V kovariacionno matrice spektrovkosinusa na ris. 4.20 a) pokazana otqetliva koncentraci bol~xihlementov matricy v levom verhnem uglu, ostal~nye znaqeni maly.Oqen~ raspredeleny kovariacii v matrice, prinadleawe k sinus-preobrazovani. V matrice s kovariacimi kofficientov Fur~enuno obratit~ vnimanie na izbytoqnost~ preobrazovani, kotoravyraaets v povtorenii kofficientov.

a) b) c)

Ris. 4.20: Izmenenie statistiki signala posredstvom preobrazovanis sinusoidal~nymi bazisnymi funkcimi, kovariacionna matricapreobrazovannyh pizodov signala iz ris. 4.17, a) posle kosinus-preobrazovani, b) posle sinus-preobrazovani, c) posle preobrazo-vani Hartli

Nedostatok kosinus-preobrazovani zaklqaets v tom, qto dropreobrazovani ne vlets ksponencial~nym drom. Vsledstvietogo svostva preobrazovani gorazdo menee legantny, qem svostvapreobrazovani Fur~e. V qastnosti, teorema svertki gorazdo slo-nee [41]. Tem ne menee, dl spektral~nogo analiza destvitel~nyhsignalov qasto ispol~zuets kosinus-preobrazovanie. Ris. 4.22 e)pokazyvaet, kak sleduwi primer, rezul~tat odnomernogo kosinus-preobrazovani lektrokardiogrammy.

Dvumernoe kosinus-preobrazovanie: Dl 2D-kosinus-preobrazovani


sleduet:

F = DCT ·B ·DCT T i B = DCT T · F ·DCT (4.109)

Ono soderits, k primeru, v standartnom algoritme satiizobraeni JPEG. Satie (s potermi) signalov izobraeni pro-ishodit vsledstvie togo, qto iz rassqitannyh kofficientov DCTtol~ko neznaqitel~na qast~ ispol~zuets dl hraneni, peredaqi iobratnogo kosinus-preobrazovai.

Primer kompaktnosti nergii kosinus-preobrazovani pokazyvaetris. 4.21. Signal izobraeni iz ris. 4.18 a) byl preobrazovan(ris. 4.21 a), i v zaklqennii, s sootvetstvenno pervymi koffi-cientami DCT, bylo provedeno obratnoe preobrazovanie (ris. 4.21 b)i c). Kak spektr DCT, tak i rezul~taty obratnogo preobrazovaninagldno pokazyvat, qto suwestvennye svedeni skoncentrirovanyv nekotoryh nemnogih kofficientah nizko qastoty.

a) c)b)

Ris. 4.21: Primenenie kosinus-preobrazovani dl sati signalaizobraeni, a) spektr DCT, rezul~tat obratnogo DCT s b) pervymi5% i c) pervymi 40% kofficientov

Pri obrabotke videosignalov qasto ispol~zuets druga matrica ko-sinusa ranga N = 8. lementy matricy DCT po uravneni 4.108umnoats na 1, 5 i zatem okruglts do celyh qisel:

DCT ∗m,n = b1,5 ·DCTm,n + 0,5c (4.110)

Preimuwestvo: vse lementy matricy DCT ∗ – stepen~ dvoki; umno-enie mono vypolnt~ putem bystryh operaci sdviga. Nedostatok:matrica DCT ∗ – neortogonal~na, vmesto matricy DCT T v urav-nenii 4.109 trebuets obratna matrica DCT ∗−1. No i ona soderittol~ko stepeni dvoki, to provodit k operacim sdviga.


Diskretnoe sinus-preobrazovanie: Dl polnoty neobhodimo upom-nut~, qto s pomow~ lementov matricy

DSTm,n =

√

2

N + 1sin

[

π(m+ 1) · (n+ 1)

N + 1

]

(4.111)

mono opredelit~ diskretnoe sinus-preobrazovanie (DST). MatricaDST simmetriqna i ortogonal~na. Potomu preobrazovanie v mat-riqno zapisi formuliruets analogiqno uravnenim 4.107 i 4.109:

F = DST · f i f = DST · F (4.112)

F = DST ·B ·DST i B = DST · F ·DST (4.113)

Diskretnoe sinus-preobrazovanie redko ispol~zuets pri obrabotkesignalov. Ris. 4.22 f) pokazyvaet dl sravneni rezul~tat odno-mernogo sinus-preobrazovani lektrokardiogrammy.

4.3.4 Nesinusoidal~nye bazisnye funkcii

Matricy preobrazovani v obwih uravnenih dl diskretnyhpreobrazovani (sm. qast~ 4.3.2) mogut sostot~ take iz bazisnyhfunkci nesinusoidal~no formy. Rasqet kofficientov proishodit,v principe, odinakovo, t.e. dolno provodit~s umnoenie vhodnogosignala f ili B s matrice preobrazovani T , qtoby popast~ vsootvetstvuwu oblast~ spektra. Perehod v oblast~ spektra vleqetza sobo take pri bazisnyh funkcih nesinusoidal~no formy (e-laemoe) izmenenie statistiki signala. Samye vanye predstavitelitogo klassa preobrazovani predstavleny v danno qasti.

Odnomernoe diskretnoe preobrazovanie Uolxa: Pri odnomernomdiskretnom preobrazovanii Uolxa (1D-DWT) dro preobrazovanisostoit iz matricy s diskretnymi znaqenimi funkci Uolxa v odnoiz treh predstavlennyh sistem upordoqivani: sekventny pordok(seq), binarny pordok (bin) ili estestvenny pordok (nat). Potomu


128966432

500

0

–500

Fm

m

128966432

500

0

–500

Fm

m

128966432

500

0

–500

Fm

m

128966432

500

0

–500

Re Fm

m

128966432

500

0

–500

m

b)

c)

d)

e)

f)

a)

128966432

500

0

–500

n

fn

Im Fm

Ris. 4.22: Rezul~taty diskretnyh preobrazovani s sinusoidal~nymibazisnymi funkcimi a) lektrokardiogramma kak vremenno diskret-ny signal, b) DFT spektr destvitel~no qasti, c) DFT spektr mnimoqasti, d) DHYT spektr, e) DCT spektr, f) DST spektr


dl opredeleni lementa matricy imeets tri vozmonosti:

DWT sequ,v =

1√N

(−1)

n−1∑

z=0

vn−1−z · (uz+1 + uz)

(4.114)

DWT binu,v =

1√N

(−1)

n−1∑

z=0

vz · un−z−1

(4.115)

DWT natu,v =

1√N

(−1)

n−1∑

z=0

vz · uzvsegda rang N=2n i n ∈ N (4.116)

S pomow~ vz ili uz oboznaqen bit z dvoiqnogo qisla v ili u. Esliv zyke programmirovani ili v algebraiqesko programme imeetskomanda mod(a, b) kak ostatok ot deleni a/b i trunc(c) dl otseqeniot c znakov posle zapto, to, kak ue na str. 147, funkci dl bita zdvoiqnogo qisla v ∈ N mono nati prosto:

vz = mod(

trunc( v

2z

)

, 2)

︸︷︷︸

Mathcad

= mod (fix (v/power(2, z)) , 2)︸︷︷︸

MATLAB

(4.117)

Esli v uravnenii 4.95 matricu T zamenit~ na matricu Uolxa DWT ,to poluqaets:

F = DWT · f i f = DWT · F (4.118)

T.k. matricy Uolxa ortogonal~ny i simmetriqny, to dl prmogoi obratnogo preobrazovani ispol~zuts te e samye matricypreobrazovani.Izmenenie statistiki signala pri primenenii diskretnogo preob-razovani Uolxa pokazano snova na primere pizodov signala izris. 4.17 a).

Kovariacii v matricah na ris. 4.23 raspredeleny inaqe, qemkovariacii kofficientov sinusoidal~nyh bazisnyh funkci naris. 4.17 d) i 4.20. to dolno byt~ tak, poskol~ku kadoe preob-razovanie ustanavlivaet shodstvo preobrazuemogo signala s ego spe-cial~nymi bazisnymi funkcimi. Potomu veliqina kofficientovraspredelena po-drugomu, take kak i ih dispersii i kovariacii.Ris. 4.24 b) pokazyvaet, kak primer primeneni diskretnogo preobra-zovani Uolxa, sekventny spektr lektrokardiogrammy iz ris. 2.1.

Dvumernoe diskretnoe preobrazovanie Uolxa: Dvumernoe diskretnoepreobrazovanie Uolxa (2D-DWT) mono vyvesti snova iz obwih mat-


a) b)

Ris. 4.23: Izmenenie statistiki signala posredstvom preobrazovanis nesinusoidal~nymi bazisnymi funkcimi, kovariacionnye matricypreobrazuemyh pizodov signala iz ris. 4.17, a) posle preobrazovaniUolxa, b) posle preobrazovani Haara

riqnyh uravneni 4.102 pri ispol~zovanii matricy Uolxa kak mat-ricy preobrazovani:

F = DWT ·B ·DWT i B = DWT · F ·DWT (4.119)

Matrica izobraeni B preobrazuets v sekventny spektr F , vkotorom sistema upordoqivani zavisit, kak i v odnomernom sluqae,ot ispol~zovannyh matric Uolxa. Ris. 4.25 b) pokazyvaet spektrizobraeni, kak primer primeneni dvumernogo preobrazovaniUolxa.

Spektr Uolxa v sekventnom pordke sostoit iz 2562 kofficientovUolxa, kotorye otnosts k 2562 dvumernym funkcim Uolxa. Nizkiesekventy nahodts v levom verhnem uglu, vysokie – sprava vnizu.Sleduet zametit~, qto veliqina kofficientov pri perehode otnizkih sekventov k bolee vysokim umen~xaets.

Odnomernoe diskretnoe preobrazovanie Haara: Diskretnoe pre-obrazovanie Haara (1D-DHT) priobrelo znaqenie s vnedreniemvevlet-preobrazovani (angl.: wavelet) v obrabotku signalov. Funk-cii Haara obladat svostvami, kotorye trebuet vevlet.

Diskretiziru nepreryvnye funkcii Haara v razdele 3.8.3 mypoluqaem lementy matricy preobrazovani. Vyqislenie ortogo-nal~no matricy Haara snova rekursivno vozmono nad produktomKronekera (sm. str. 148). Dl predpisani obrazovani my is-pol~zuem uravneni 3.185 do 3.187.

Matricy Haara mogut rassqityvat~s, k primeru, s pomow~ algeb-raiqesko programmy. Ris. 4.26 pokazyvaet primer algebraiqesko


32 64 96

500

0128 m

Fm

–500

32 64 96

1000

500

0128 m

–500

64 96

500

0

–500

32 128 n

fn

Fm

a)

b)

c)

Ris. 4.24: Rezul~taty diskretnyh preobrazovani s nesinusoi-dal~noymi bazisnymi funkcimi, a) lektrokardiogramma kak signals diskretnym vremenem, b) DWT spektr, c) DHT spektr

programmy MATLAB .

Esli DHT – to matrica Haara, to dl odnomernogo diskretnogopreobrazovani Haara vypolnets:

F = DHT · f i f = DHT T · F (4.120)

Zdes~, v protivopolonost~ diskretnomu preobrazovani Uolxa iliFur~e, ne kady kofficient vlets funkcie vseh otsqetov sig-nala. Qast~ kofficientov Haara rassqityvaets otsqetami tol~koqasti vremennogo signala. ti kofficienty predstavlt shod-stvo to qasti signala s sootvetstvuwe bazisno funkcie.Oni dat svedeni o lokal~nyh kaqestvah original~nogo signala.Kofficienty, kotorye rassqityvats iz vsego vremennogo signa-la, naprotiv, vlts global~no mero shodstva. Potomu govorto lokal~nom i global~nom haraktere preobrazovani Haara. ta oso-bennost~ stanovits otqetlivo pri preobrazovanii nestacionarnyhsignalov i moet byt~ proillstrirovana na primere qirikawegosignala. Signal f(t) moet byt~ sformulirovan s uravneniem 2.18.


a) b) c)

Ris. 4.25: Rezul~taty dvumernyh diskretnyh preobrazovani s nesi-nusoidal~nymi bazisnymi funkcimi, a) signal izobraeni i pri-nadleawi b) spektr Uolxa, c) spektr Haara

function H = Haar(N)v1 = [ 1 1 ];v2 = [ 1 –1 ];

H = [ v1; v2 ];

i = 2;while i < N

H =H / (i);sqrt

H = [ (H, v1); (2^( (i) / 2) ( (H)), v2)];kron kron log2 eye size

return

end;i = i 2;*

*

Ris. 4.26: Funkci MATLAB dl opredeleni ortogonal~no matricyHaara ranga N


Lineno-zavisima ot vremeni qastota – f1 · t+ f0. Pri f1 6= 0 i f0 = 0my poluqaem:

f(t) = sin(π f1 t

2)

(4.121)

Ris. 4.27 pokazyvaet primenenie diskretnogo preobrazovani Haarana diskretny qirikawi signal fn = f(tn) s izmeneniem qastotyf1 = 1 Gc

s .

Fm

64 128 192 256

2

1

0

–1

–2

m

N2

N4

64 128 192 256

1

0,5

0

–0,5

–1

fn

n

Ris. 4.27: Qirikawi signal s f1 = 1 Gcs i diskretny spektr Haara

s N = 256

Spektr qirikawego signala otqetlivo pokazyvaet gruppirovki. Onisootvetstvut obrazovani grupp, kotorye imet funkcii Haara(sr. ris. 3.51). Prava polovina N = 256 kofficientov s indeksa-mi ot 128 do 255 imeet luqxee qastotnoe razrexenie. Vnutrenneeproizvedenie obrazuets zdes~ funkcimi Haara, u kotoryh tol~ko vintervale dlino N/128 = 2 imeets znaqenie neravnoe nul. tot


uzki interval dvigaets sleva napravo po qirikawemu signalu.Rezul~tat – to 128 kofficientov sprava. Pervye kofficienty(naqina s indeksa 128) imet malen~kie znaqeni, t.k. naqaloqirikawego signala s ego nizkimi qastotami oqen~ neshodno suzkimi funkcimi Haara. Poslednie kofficienty imet bol~xieznaqeni, t.k. zdes~ shodstvo vozrastaet.Sleduwa gruppa leit v intervale ot 64 do 127. Prinadleawiefunkcii Haara dlino N/64 = 4 ne ravny nul. Oni take prohodtsleva napravo po qirikawemu signalu i dat 64 kofficienta.Snova ih veliqina vozrastaet sleva napravo. Princip povtorets zaisklqeniem pervyh oboih kofficientov, kotorye dat global~nuinformaci o qirikawem signale.

Spektr Haara lektrokardiogrammy pokazyvaet take tot glo-bal~ny i lokal~ny harakter (ris. 4.24 c). Snova prava polovina128 kofficientov imeet luqxee qastotnoe razrexenie. Vysxiefunkcii Haara dvigats sleva napravo po signalu KG. Snaqalakofficienty Haara pri m > 64 imet malen~kie znaqeni, t.k.naqalo KG oqen~ neshodno s uzkimi funkcimi Haara. Tol~kosrednie kofficienty pri m ≈ 96 imet bol~xie znaqeni, t.k. zdes~shodstvo s kompleksom QRS vozrastaet. Kompleks QRS na ris. 4.24 a)mono otqetlivo raspoznat~ primerno po centru prodolitel~nostinabldeni i pri pomowi spektra Haara horoxo «lokalizovat~».

Raznoe qastotnoe razrexenie – to princip vevlet-preobrazovani;funkcii Haara – to samy prosto vevlet (sr. qast~ 4.7). Preob-razovanie Haara take izmenet statistiku signala. Esli v kaqestvestatistiqeskih veliqin snova vybrat~ dispersii i kovariacii, tokovariacionna matrica daet svedeni ob izmenenih (ris. 4.23 b).

Dvumernoe preobrazovanie Haara: Dvumernoe diskretnoe preobrazo-vanie Haara (2D-DHT) mono vyvesti snova iz obwih matriqnyh urav-neni 4.102 pri ispol~zovanii matricy Haara DHT kak matricypreobrazovani:

F = DHT ·B ·DHT T i B = DHT T · F ·DHT (4.122)

Ris. 4.25 c) pokazyvaet primer dvumernogo spektra Haara. Dl in-terpretacii to illstracii neobhodimo vspomnit~ vid dvumernyhfunkci Haara (ris. 3.52). Kak i v odnomernom sluqae, imetskofficienty, kotorye dat global~nu informaci ob origi-nal~nom izobraenii, i drugie, kotorye dat svedeni o shodstvemalen~ko qasti izobraeni s menee rastnutymi funkcimiHaara. Voznikaet obrazovanie grupp, kotoroe pohoe na obrazovaniena ris. 4.27.


Pri obrabotke videosignalov qasto ispol~zuets matric Haara sle-duwee pravilo obrazovani. Ono naqinaets snova s matricy HaaraH2 po uravneni 3.185 i prodolaets:

H2k+1︸︷︷︸

N

=

H2k ⊗

(

+1 +1)

2kE2k ⊗(

+1 −1)

dl 1 ≤ k < ld(N) (4.123)

Zatem proizvodits normirovanie:

DHT =1

N·HN (4.124)

Preimuwestvo: vse lementy matricy DHT – stepen~ dvoki; umnoe-nie mono vypolnt~ putem bystryh operaci sdviga. Nedostatok:vmesto transponirovanno matricy DHT T v uravnenii 4.122 tre-buets obratna matrica DHT−1. No i ona soderit tol~ko stepenidvoki, qto vedet k oqen~ bystrym algoritmam.

4.3.5 Okonna funkci

V to qasti na primere preobrazovani Fur~e rassmatrivaets vo-pros o vozmonosti printi rezul~tata diskretnogo preobrazovaniFur~e kak approksimaci rezul~tata nepreryvnogo preobrazovaniFur~e ili razloeni v rd Fur~e. Pri uslovii, qto teorema ot-sqetov vypolnlas~, kaqestvo approksimacii zavisit ot preobrazue-mogo signala, ot diskretizacii i ograniqeni vo vremeni. Esli pre-obrazuemy signal suwestvuet kak nepreryvny vo vremeni signal,to dl cifrovo obrabotki ego neobhodimo diskretizirovat~. Dltogo trebuets ustanovlenie intervala diskretizacii ∆t = TA. Es-li on vybiraets slixkom bol~xim, to informaci propadaet, qtovyraaets, k primeru, v tom, qto vosstanovlenie original~nogo sig-nala bol~xe nevozmono. Esli on vybiraets slixkom malen~kim, toizderki i zatraty dl sbora i obrabotki signala izlixne vysoki.Maksimal~na veliqina intervala diskretizacii opredelets teo-remo otsqetov (sm. qast~ 2.3).Pri praktiqeskom vypolnenii diskretnogo preobrazovani Fur~enuno obratit~ vnimanie na to, qto interval diskretizacii TA, qis-lo otsqetov N i qastotnoe razrexenie ∆f nahodts v tesno svzi.Zakonomerna svz~ tih treh veliqin:

N ·∆t ·∆f = const (4.125)

Otnoxeni tipa ∆t · ∆f = const nazyvats obobwennym principomneopredelennosti. Process, kotory predstavlets signalom, moetbyt~ ukazan pri odnovremennom predstavlenii ego vremenno i qas-totno zavisimosti na vrem-qastotno ploskosti (sr. qast~ 4.7) ne


kak qetka toqka, a tol~ko kak prmougol~nik ∆t ·∆f . Ishod iz togomono sdelat~ vanye teoretiqeskie i praktiqeskie vyvody, na ko-toryh my hotim korotko ostanovit~s.Pri obrabotke signalov v obwem sluqae vozmono tol~ko ograniqen-noe vo vremeni izmerenie i nabldenie signala. My govorim takeo tom, qto my moem videt~ signal lix~ qerez vremennoe okno. Priprodolitel~nosti nabldeni TB

TB = N · TA (4.126)

i const = 1 iz uravneni 4.125 mono vyrazit~ qastotnoe razrexenie:

∆f =1

TB=

1

N · TA(4.127)

T.k. interval diskretizacii TA opredelets teoremo otsqetov, tomono vozdestvovat~ na ∆f tol~ko lix~ qislom otsqetov N . Ras-smotrim dva sluqa:

• N vybrano slixkom malen~kim. to znaqit, qto qastotnoe razre-xenie ∆f slixkom veliko (slixkom krupno). Posledstvi obs-net ffekt «qastokola»: inogda interesna spektral~na linizakryta planko upomnutogo qastokola – na tom meste spektraDFT ne rassqityvaet spektral~ny kofficient (sm. ris. 4.28).Odnako soderawas v signale informaci ne propadaet. Za-krytye spektral~nye linii skladyvats s sosednimi sleva isprava destvitel~no rassqityvaemymi qastotami.

• N vybrano slixkom bol~xim. Teper~ qastotnoe razrexenieslixkom malo (slixkom melko), interesnye spektral~nye liniibol~xe ne nahodts za planko qastokola. DFT rassqityvaet,tem ne menee, slixkom mnogo spektral~nyh kofficientov, qtoneblagopritno otraaets na vremeni nabldeni za signalom,a take na vremeni rasqeta.

∆f

[Hz]202199 200 201198 f

... ...

Ris. 4.28: Neblagopritnoe qastotnoe razrexenie ∆f , spektral~nyelinii pri 200 Gc i 202 Gc zakryty


Zdes~ neobhodimo otmetit~, qto dl dostieni bolee melkogoqastotnogo razrexeni my moem nabldat~ signal dol~xe, qemneobhodimo. Ris. 4.29 pokazyvaet, qto to moet byt~ dostignutotake zapolneniem nulmi (angl.: zero padding). V qastotno oblastispektral~nye linii povlts teper~ s men~xim promeutkom ∆f(ris. 4.29 b). Spektral~nye linii na ris. 4.29 a) dali by v itogepri obratnom preobrazovanii, odnako, signal dlino 2 s. Potomuzapolnenie signala nulmi – to lix~ «kosmetiqeska» operaci.

5

0

–5

1 2 3

5

0 1 2 3 4 f [Hz]

| |Ff t( )na)

b)5

0

–5

1 2 3 t [s]

5

0 1 2 3 4 f [Hz]

| |F

t [s]

f t( )n

Ris. 4.29: Izmenennoe qastotnoe razrexenie putem zapolneni nulmizatuhawego signala, a) signal pri TB = 2 s i modul~ny spektr pri∆f = 0,5 Gc, b) signal pri TB = 4 s i modul~ny spektr pri ∆f =0,25 Gc

Bez osobogo akcentirovani do sih por predpolagalos~, qto posle-dovatel~nost~ otsqetov fn polnost~ predstavlet analogovysignal. V obwem sluqae to ne tak, poskol~ku obrabatyvaemy vre-menno signal redko zatuhaet ili ograniqen vo vremeni. to znaqit,qto posle opredeleni intervala diskretizacii, prodolitel~nost~nabldeni dolna byt~ ograniqena, t.k. tol~ko koneqnoe qislootsqetov mono ispol~zovat~ v sleduwih vyqislenih.V sluqae periodiqeskih funkci ograniqenie vremennogo signaladlino, kotora ne ravna dline perioda ili ee celomu kratnomu,moet privesti k tomu, qto v spektre povlts qastoty, ko-torye ne soderats v signale. Priqina leit v periodiqnostivremenno i spektral~no funkcii po uravneni 4.72. Ved~ spektrrassqityvaets tak, qtoby periodiqeskoe prodolenie vremennogosignala mono bylo horoxo approksimirovat~. Esli on ograniqen vnepodhodwem meste i prodolaets periodiqeski, to pri opredelen-nyh obstotel~stvah moet voznikat~ iskusstvenna preryvistost~


(skaqki signala). Vlinie neblagopritnogo ograniqeni budet netak veliko, esli vybrat~ bolee dlinnu qast~ vremennogo signala.Pravda, togda, vozmono, predpoloenie stacionarnosti bol~xene budet vypolnt~s. Take u sluqanyh signalov periodiqeskoeprodolenie moet privesti k problemam.

Pri obrabotke signalov okazalis~ poleznymi razliqnye meropri-ti, smgqawie negativny ffekt:

Zatuhawi signal: Ograniqenie signala po vremeni proishoditustanovleniem porogovogo znaqeni. Esli otsqety nie togoznaqeni, to oni priravnivats k nul.

Periodiqeski signal: Dl diskretnogo preobrazovani vybiraetsvremenno interval, kotory sootvetstvuet celomu qislu peri-odov signala.

Sluqany signal: Signal umnoaets vo vremenno oblasti naokonnu funkci, kotora vybiraets takim obrazom, qto nevoznikaet iskusstvenno preryvistosti iz-za periodiqeskogoprodoleni qasti signala.

Dl ocenki otdel~nyh meropriti horoxo oznakomit~s s ideal~nymsluqaem. Dan periodiqeski signal s ograniqenno poloso qastot iprodolitel~nost~ nabldeni sootvetstvuet celomu periodu signa-la (ili celomu kratnomu). tot sluqa predstavlen na ris. 4.30 a).Signal nabldaets toqno v teqenie perioda, prodolitel~nost~nabldeni TB sostavlet 4 s. Rezul~tat DFT – to «istinny»spektr. Predstavlen modul~ny spektr, uglovo spektr sootvetstvuetris. 4.2. Ris. 4.30 b) pokazyvaet rezul~tat DFT dl sluqa, kogdainterval nabldeni ne ohvatyvaet cely period signala ili celoekratnoe ot nego. Teper~ prodolitel~nost~ nabldeni sostavletTB = 64 · 100 ms = 6,4 s. Prinadleawi spektr pokazyvaet ffekt,kotory nazyvaets rastekaniem spektral~nyh lini (take ffekt«uteqki», angl.: leakage). Ris. 4.30 c) pokazyvaet, qto s uveliqiva-wims N proishodit priblienie k bezoxiboqnomu spektru.

Esli neobhodimo posredstvom DFT perevesti signal v qastotnuoblast~, to, kak pravilo, niqego neizvestno o haraktere leawego vosnove processa i tem samym o signale. Utverdeni o periodiqnostiili ograniqenii polosy nevozmony. Esli proishodit bolee ilimenee proizvol~noe ograniqenie otsqetov, to to ravnosil~no um-noeni zavisimogo ot vremeni signala na prmougol~nu funkci.Takim obrazom poluqats sootnoxeni, kotorye predstavleny naris. 4.30 b).

Kak pokazyvat ris. 4.30, a take 4.32 b), primenenie prmougol~nogookna ne vsegda blagopritno dl vyrezani intervala nabldeni


50

50

50 100

100

100

6

–6

6

–6

6

–6

50

01 f [Hz]

1 f [Hz]

1 f [Hz]

15

0

15

0

c)

b)

a)

t [s]

t [s]

t [s]

0

0

0

f t( )

f t( )

f t( ) | |F

| |F

| |F

Ris. 4.30: Vlinie prodolitel~nosti nabldeni TB na modul~nyDFT-spektr periodiqeskogo signala iz ris. 4.1 s TA = 100 ms i a) N =40, b) N = 64, c) N = 1024

iz-za vozmono voznikawe iskusstvenno preryvistosti. Neobhodi-mo ispol~zovat~ formy okna, kotorye smgqat signal na granicahintervala nabldeni. V literature predloen rd takih funkciokna. Vse funkcii okna – to qetnye funkcii, kotorye zatuhat pokram. Samye izvestnye, okna Hanna i Hmminga, ispol~zut periodfunkcii kosinus. Sleduwee obwee uravnenie opisyvaet ti okna:

fn = α+ (1− α) cos

(2π tnN TA

)

s |tn| <1

2N TA (4.128)

Oni otliqats vyborom parametra α.

Okno Hanna: Okno Hanna (inogda nazyvaemoe take oknom Hnninga)nazvano imenem avstriskogo meteorologa liusa fon Hanna. FonHann ustanovil dl parametra α znaqenie 0,5, potomu ego funkciokna nazyvaets take pripodntym kosinusnym oknom. Ris. 4.31 b)pokazyvaet okno Hanna s ego qastotnym spektrom. Zdes~ obnarui-vats, prede vsego, vygodnye kaqestva okna Hanna. Sravneniedolno proishodit~ celesoobrazno so spektrom prmougol~nogo oknana ris. 4.31 a), t.k. pri prostom vremennom ograniqenii signalamy umnoaem vsegda na prmougol~noe okno. Spektr obnaruivaetgorazdo men~xee qislo kolebani, odnako on neskol~ko xire.


0,4

1

–0,4 0

–10 –5 0 5 10

1a)

c)

–10 –5 0 5 10

1

0,4–0,4 0

1

–10 –5 0 5 10

1

0,4–0,4 0

1

–10 –5 0 5 10

1

1

0,4–0,4 0

d)

b)fn

n

ωωA

F ( )ω F ( )ω

F ( )ω F ( )ω

fn

fn fn

n n

n

ωωA

ωωA

ωωA

Ris. 4.31: Qetyre funkcii okna i ih spektry, a) prmougol~noe okno,b) okno Hanna, c) treugol~noe okno, d) okno Hmminga

Okno Hmminga: Amerikanski matematik Riqard V. Hmming vido-izmenil okno Hanna [17]. Dl togo on sravnil modificirovannoeprmougol~noe okno s oknom Hanna. Modificirovannoe prmougol~noeokno imeet, po sravneni s prmougol~nym oknom, po kram v mestahperehoda ot 0 k 1 promeutoqny rezul~tat 1

2 . Sravnenie spektrovpokazalo, qto kolebani togo modificirovannogo prmougol~nogookna i okna Hanna imeli prmo protivopolonye znaki. PotomuHmming sloil (vzvexennye) spektry tih okon s novym oknom.Pri minimizirovanii bokovyh maksimumov novogo okna on naxel,nakonec, dl novogo okna, okna Hmminga, parametr α = 0,54. OknoHmminga nazyvaets take pripodntym kosinusnym oknom s plato(ili p~edestalom, sm. ris. 4.31 d). Plato sostavlet primerno8% amplitudy okna – to kak raz rezul~tat minimizacii pervyhbokovyh maksimumov. Odnako to vedet k tomu, qto okno po kramimeet nebol~xu preryvistost~, kotora moet privesti k vidimymartefaktam.

Prmougol~noe okno: Napomnim, qto prmougol~noe okno (ris. 4.31 a)mono take opisat~ uravneniem 4.128. Dl parametra α v tom


sluqae neobhodimo ispol~zovat~ znaqenie 1.

3

0–3 10 20 tn[s]

f t( )n

20

10

0 0,5 1 f [Hz]

| |F

20

10

0 0,5 1 f [Hz]

| |F

20

10

0 0,5 1 f [Hz]

| |F

20

10

0 0,5 1 f [Hz]

| |F

b) c)

d) e)

a)

Ris. 4.32: Vozdestvi razliqnyh funkci okna na modul~nye DFT-spektry, a) periodiqeski signal iz ris. 4.30, b) prmougol~noe okno,c) okno Hanna, d) okno Hmminga, e) treugol~noe okno Bartleta

Napomnim ewe raz o teoreme svertki, kotora opisyvaet vanoepoloenie vewe v svzi s funkcimi okna: t.k. vybranna funkciokna svzana vo vremenno oblasti s signalom pri pomowi um-noeni, to to sootvetstvuet svertke oboih spektrov. Vsledstviitogo spektr signala pri primenenii funkcii okna dopolnitel~noprigluxaets i rasxirets. Dl ocenki razliqnyh funkci oknabyli vvedeny veliqiny mery, blagodar kotorym vozmono sravne-nie ih svostv [45]. to sravnenie otnosits, naprimer, k vysotebokovyh maksimumov ili k pervomu prohodeni qerez nul~. Vli-nie umnoeni funkcii vremeni na okno Hanna i Hmminga pokazanona ris. 4.32 c) i d). Ris. 4.32 b) pokazyvaet oxiboqny lineqatyspektr, esli signal umnoaets na prmougol~noe okno.


4.3.6 Bystrye algoritmy

Rasqet diskretnogo preobrazovani Fur~e trebuet bol~xih za-trat. Dl vektora signala dlino N trebuets N2 kompleksnyhumnoeni i N(N − 1) kompleksnyh sloeni. Potomu xirokoeprimenenie diskretnogo preobrazovani Fur~e stalo vozmonymtol~ko togda, kogda byli nadeny algoritmy, kotorye znaqitel~nouskorli vyqisleni. Povivxas v 1965 godu stat~ amerikanskihuqenyh D. Kuli i D. T~ki «An Algorithm for the Machine Calculationof Complex Fourier Series» nadolgo prikovala k sebe vnimanie uqenyh-prikladnikov [10]. V ne soobwalos~ o novom metode, kotory pozeokrestili kak algoritm Kuli i T~ki (angl.: Cooley Tukey Algorithm).Vskore byl opublikovan cely rd drugih algoritmov dl bystrogopreobrazovani Fur~e (angl.: Fast Fourier Transform, FFT). Horoxiobzor i opisanie neskol~kih algoritmov mono nati, naprimer,v [1, 4, 6].S odno storony, povyxenie skorosti po sravneni s vypolneniemDFT pri pomowi umnoeni matricy po uravneni 4.62 dostigaetsodnovremennym ispol~zovaniem simmetrii i periodiqnosti kom-pleksno pokazatel~no funkcii, s drugo storony, obrazovaniemqastiqnyh summ, kotorye nuno umnoat~ na odin i tot e somnoi-tel~. Predposylko primeneni bystrogo preobrazovani vletsto, qto dlinu vektora signala mono predstavit~ proizvedeniemkak minimum dvuh celyh qisel. Ego ffektivnost~ vozrastaet skoliqestvom somnoitele. Kogda to vozmono, dl N ispol~zuetsstepen~ dvoki.Kuli i T~ki vveli shemu pereupordoqivani lementov vektorasignala, sootvetstvuwu inversii bitov. Novo posledova-tel~nost~ mogut obobwat~s qastiqnye summy, kotorye nunoumnoat~ na tot e samy somnoitel~. Somnoiteli – to pouravneni 4.55 ediniqnye korni Wn

N s WN = exp(−j2π/N). Potomuprincip mono proillstrirovat~ na ediniqno okrunosti.Ris. 4.33 pokazyvaet primer dl N = 8.

Na ediniqno okrunosti vyqislts v destvitel~nosti tol~kotri znaqeni. Drugie poluqats putem izmeneni znaka ili pere-stanovki komponent sinusa i kosinusa. Naprimer, znaqenie dl n = 4iz znaqeni dl n = 0 poluqaets prostym izmeneniem znaka, k nimortogonal~nye znaqeni dl n = 2 i n = 6 – putem perestanovkikomponent sinusa i kosinusa s odnovremennym izmeneniem znaka.Posledovatel~nost~ rasqetov sootvetstvuet poslednemu stolbcu vtablice na ris. 4.33.Celesoobrazno predstavlt~ svzyvanie vhodnyh signalov, promeu-toqnyh rezul~tatov i vyhodnyh signalov grafami potoka signalov.Esli ispol~zuets tol~ko dva otsqeta vhodnogo signala, to voznikaetosnovna strukturna edinica, forma kotoro napominaet baboqku.


dezimal(Bitumkehr)

binärdezimal

0

1

2

3

4

5

6

7

000

001

010

011

100

101

110

111 7

3

5

1

6

2

4

0

6

75

4 0

13

2

n n

Ris. 4.33: Ediniqna okrunost~ s deleniem uglov dl N = 8 (dezimal:destiqny, binär: dvoiqny, Bitumkehr:inversi bitov)

Ris. 4.34 pokazyvaet graf potoka signalov dl prostogo sluqa,kotory nahodit primenenie vo vseh bystryh algoritmah s N = 2n [1].

c2

c1

a

b

a c b+ 1

a c b+ 2

Ris. 4.34: Graf baboqki kak osnovna strukturna edinica vsehbystryh preobrazovani

Ranee opisannoe pereraspredelenie lementov vektora signala takenazyvaets decimacie vo vremeni, t.k. vybiraets kady n-ylement, a promeutoqnye zaments nulmi, libo ukoraqivatsputem propuskani nule. Vsledstvie togo preobrazovanie dlino Nraskladyvaets na preobrazovani dlino N/2 do teh por, poka,v koneqnom sqete, ne ostanets vypolnit~ ld(N) preobrazovanidlino 2 sootvetstvenno dl qetnyh i neqetnyh lementov vektora.Graf potoka signalov FFT algoritma dl N = 8 na ris. 4.35 sostoitiz osnovno strukturno edinicy.

V obwem sluqae dl vektora signala s N = 2n lementami DFT ne-obhodimo N2 kompleksnyh umnoeni, FFT, naprotiv, lix~ N · ld(N).Te e preimuwestva skorosti poluqats, esli proizvesti deci-maci qastoty.Princip bystrogo preobrazovani Fur~e mono perenesti take na


f0

f1

f2

f3

f4

f5

f7

f6

F7

F6

F5

F4

F3

F2

F1

F0

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

wN

00 0

1

2

3

4

5

6

76

2

4

0

6

4

24

0

0

4

4

0

4

Ris. 4.35: Graf potoka signalov algoritma Kuli i T~ki bystrogopreobrazovani Fur~e dl N = 8, sleva sverhu graf baboqki

f0

f1

f2

f3

f4

f5

f7

f6

F7

F6

F5

F4

F3

F2

F1

F0

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

Ris. 4.36: Graf potoka signalov bystrogo preobrazovani Uolxa dlN = 8

4.4. FIL^TRACI V OBLASTI SPEKTRA 223

diskretnoe preobrazovanie Uolxa. Graf potoka signalov raven al-goritmu Kuli i T~ki, pravda, na mesto umnoeni lementov vek-tora signala s kompleksnymi pokazatel~nymi funkcimi vystupaetumnoenie na +1 ili −1, qto znaqitel~no uskoret algoritm.Pri bystrom preobrazovanii Uolxa mono take proizvesti deci-maci vo vremeni ili v sekventah. Na ris. 4.36 pokazan primer dlN = 8. Podrobnoe opisanie drugih vanyh pri obrabotke signalovbystryh algoritmov mono nati, naprimer, v [1, 4].

4.4 Fil~traci v oblasti spektra

Esli signaly preobrazuts v oblast~ spektra, to to proishoditv bol~xinstve sluqaev v oidanii togo, qto libo svostva signalatam zametnee, libo elaemoe vlinie na signal tam moet byt~vypolneno prowe, celenapravlennee ili ffektivnee. Fil~traciesignala nazyvaets izmenenie spektra, t.e. prigluxenie ili ustra-nenie opredelennyh qaste spektra, i vlets odnim iz samyhvanyh primeneni diskretnyh preobrazovani. Dl razsnenifil~tracii po tradicii vybrana oblast~ spektra. Na ris. 4.37 pred-stavlen princip. Vremenno signal fn preobrazuets pri pomowiDFT v oblast~ spektra. Rezul~tat Fm peremnoaets polementno sdiskretno peredatoqno funkcie Hm. Rezul~tiruwi spektr Gmpreobrazovyvaets pri pomowi obratnogo DFT nazad vo vremennuoblast~. Vremenno signal gn – to otfil~trovanny vyhodnosignal.

fn DFTFm

Hm

punktweiseMultiplikation

Gm

DFT gn-1

Ris. 4.37: Princip fil~tracii v oblasti spektra, zdes~ qastotnaoblast~ (punktweise Multiplikation:polementnoe umnoenie)

Esli, k primeru, signal fn neobhodimo otfil~trovat~ takim obra-zom, qtoby on soderal tol~ko lix~ qastoty medu ωu i ωo, to togdaperedatoqna funkci Hm vne to qastotno oblasti dolna rav-nt~s nul. Posle polementnogo umnoeni diskretnogo spektra Fmna tu funkci ostats tol~ko lix~ spektral~nye qasti v elaemo


oblasti. Destvitel~ny sleduwie otnoxeni:

fn –• Fm

Hm =

1 dl ωu < |m ·∆ω| < ωo

0 inaqe

Gm = Fm ·Hm

Gm •– gn (4.129)

T.k. umnoenie v oblasti spektra kvivalentno svertke vo vremennooblasti, to fil~traci moet ravnocenno priment~s vo vremennooblasti (sm. qast~ 3.7). Kako iz dvuh vozmonoste fil~traciiotdat~ predpoqtenie opredelets ffektivnost~ metoda, kotora vsvo oqered~ zavisit ot dliny vektora signala. Pri primenenii DFTna pizode signala elatel~no snaqala umnoit~ signal na funkciokna. Teoretiqeskie osnovy togo meropriti byli razsneny vqasti 4.3.5.

Fil~traci signala moet presledovat~ razliqnye celi. K nim ot-nosts:

• podavlenie ili ustranenie pomeh• vydelenie opredelennyh qaste spektra• satie signala putem udaleni nesuwestvennyh qaste spektra• klassifikaci signalov posredstvom izbrannyh spektral~nyh

kofficientov

Predstavlenny princip fil~tracii v qastotno oblasti moet pri-ment~s take i v drugih oblasth spektra. Esli zavisimy otvremeni ili zavisimy ot mesta signal fil~truets, k primeru,v sekventno oblasti, to vyhodno signal budet stupenqatym vre-mennym signalom ili signalom izobraeni s bloqnymi artefakta-mi.

4.5 Bystra korrelci i svertka

Fil~traci signala moet vypolnt~s vo vremenno oblasti ilioblasti spektra, take vozmoen rasqet korrelcii i svertki v obeihoblasth. Diskretnye versii teoremy korrelcii (uravnenie 4.85) iteoremy svertki (uravnenie 4.83) ustanavlivat svz~ medu oboimimetodami rasqeta. Dl cikliqesko korrelcii destvitel~no:


rzk –• Fm ·H∗m s rzk =

N−1∑

n=0

fn · h(n+k)N(4.130)

4.5. BYSTRA KORRELCI I SVERTKA 225

Cikliqeska svertka rassqityvaets pohoe:

gzn –• Fm ·Hm s gzn =

N−1∑

k=0

fk · h(n−k)N(4.131)

Vyqislenie cikliqesko korrelcii i cikliqesko svertki v qas-totno oblasti trebuet prmogo i obratnogo preobrazovani oboihvremennyh signalov, t.e. dopolnitel~nye vyqislitel~nye operacii.Esli preobrazovanie provodits bystrym preobrazovaniem Fur~e,to arifmetiqeskie izderki, tem ne menee, mogut byt~ men~xe qempri neposredstvennom rasqete vo vremenno oblasti. Potomu takiekosvennye metody nazyvats take bystro korrelcie i bystrosvertko.Pri rasqete korrelcii i svertki v qastotno oblasti neobhodimoobratit~ vnimanie na nekotorye osobennosti. Ih priqina v svostveperiodiqnosti DFT (sm. uravnenie 4.72). Vvidu periodiqnosti funk-cii vremeni neobhodimoe dl korrelcii i svertki smewenie odno-go iz dvuh vremennyh signalov vlets cikliqeskim smeweniem.to vleqet za sobo to, qto tol~ko qast~ rezul~tatov sootvetstvuetnecikliqesko korrelcii i svertke. Odnako polno identiqnostirezul~tatov mono dostiq~ posredstvom togo, qto signaly fn dli-no Nf i hn dlino Nh zapolnts nulmi nastol~ko, qto obasignala imet dlinu Nf + Nh − 1. Teper~ cikliqeskoe smeweniebol~xe ne provodit k drugim rezul~tatam, qem «normal~noe» smewe-nie. Rezul~taty neposredstvennogo rasqeta korrelcii i svertki pouravnenim 3.65 i 3.78 i kosvennogo rasqeta v qastotno oblasti v-lts togda odinakovymi. Praktiqeskoe vypolnenie korrelcii isvertki v qastotno oblasti trebuet sleduwih xagov:

• zapolnenie vremennyh signalov fn i hn nulmi tak, qtoby ihdliny sootvetstvovali stepeni dvoki i uslovie N ≥ Nf +Nh−1vypolnlos~ (sm. uravnenie 3.71)

• rasqet Fur~e-transformant Fm i Hm dvuh vremennyh signalovpri pomowi FFT

• rasqet kompleksno-soprenno funkcii H∗m (tol~ko dl korre-

lcii)• rasqet proizvedeni transformant putem pokomponentnogo um-

noeni Fm i Hm ili Fm i H∗m

• rasqet funkcii vremeni obratnym FFT

Togda rezul~tatom korrelcii vlets:

rzk –• Rm s Rm = Fm ·H∗m (4.132)

Dl svertki poluqaets:

gzn –• Gm s Gm = Fm ·Hm (4.133)


Esli dl rasqeta vzt~ za osnovu tol~ko lix~ umnoeni, to, is-pol~zu neposredstvenny metod po uravneni 3.65, neobhodimovypolnit~ poparnoe umnoenie obeih funkci, to N2 umno-eni. Bystra korrelci nudaets v preobrazovanii Fur~ekorreliruemyh signalov, poparno kompleksnom umnoenii obeihFur~e-transformant i obratnom preobrazovanii rezul~tata. Priprimenenii bystrogo preobrazovani Fur~e s izderkami v N · ldNobwie izderki dat v itoge 3 · N · ldN + 4 · N , t.e. ue pri N = 16rasqet korrelcii v qastotno oblasti vygoden.

Sootnoxeni pri svertke pohoi; zdes~ dobavlets ewe zerkal~noeotraenie odnogo iz dvuh vremennyh signalov, zato rasqet H∗

m

otpadaet.

Bloqna korrelci: Na praktike oqen~ qasto vstreqaets, qtoodin iz dvuh vremennyh signalov gorazdo dlinnee drugogo. Esli,naprimer, nepreryvno postupawi reqevo signal korreliruetss drugim (korotkim) signalom, to my nepreryvno zainteresovany vrezul~tatah i ne hotim dat~ konca signala. Dl bystrogo rasqetakorrelcii v takom sluqae (dlinny) signal raskladyvaets naotdel~nye qasti (bloki), s kotorymi rassqityvaets sootvetstvennokorrelci. Zatem qastiqnye rezul~taty dolny byt~ soedinenytakim obrazom, qtoby rezul~tat sootvetstvoval rezul~tatu obyqnokorrelcii. Dl praktiqeskogo vypolneni tako bloqno korre-lcii imeets dva metoda, kotorye v angliskom zyke nazyvatsoverlap addi overlap save. Oni mogut priment~s take dl bloqnosvertki. Dl posneni dan primer, v kotorom signal fn beskoneqnodliny korreliruets s obrazcom hn dlino Nh po metodu overlap add(ris. 4.38).

Dl togo signal fn razbivaets snaqala na bloki fb dlino S(ris. 4.38 c), e) i g). Summirovanie otdel~nyh blokov daet v itogeves~ signal fn:

fn =

∞∑

b=0

fbn−bSs fbn =

fn+bS dl 0 ≤ n ≤ S − 1

0 inaqe(4.134)

Rezul~taty korrelcii rbk otdel~nyh blokov take dolny sum-mirovat~s dl poluqeni obwego rezul~tata:

rk =∞∑

b=0

rbk−bSs rbk = (fb ~ h)k (4.135)

Rezul~tat rbk, vyqislenny, k primeru, bystrym preobrazovaniemFur~e, imeet teper~ dlinu S + Nh − 1 i soderit Nh − 1 perekryva-wihs oblaste. Qtoby poluqit~ pravil~ny rezul~tat, perekry-vawies qastiqnye rezul~taty (ris. 4.38 d), f) i h) neobhodimo

4.6. KRATKOVREMENNYE PREOBRAZOVANI 227

4

4 8 12 1600

n

fn

1

400

n

hn

4

4 8 12 1600

n

f0

4

4 8 12 1600

n

f1

4

4 8 12 1600

n

f2

4 8 12 16 k0–2

10r0

4 8 12 16 k0–2

10

r1

4 8 12 16 k0–2

10

r2

4 8 12 16 k0–2

10

r

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

n

n

n k

k

k

k

Ris. 4.38: Metod dl bloqno korrelcii, a) signal fn, b) obrazec hn,c) blok 0 i d) prinadleawi rezul~tat korrelcii, e) blok 1 i f) pri-nadleawi rezul~tat korrelcii, g) blok 2 i h) prinadleawirezul~tat korrelcii, i) korrelci medu fn i hn

sloit~ (overlap add). Rezul~tat korrelcii rk pokazan na ris. 4.38 i).Vtoro metod (overlap save) takogo sloeni ne trebuet. Vmesto togovhodno signal razbivaets na perekryvawies segmenty. Dannymetod take nazyvaets metodom perekryvawihs vhodnyh signa-lov. Summirovanie qastiqnyh rezul~tatov privodit k pravil~nomuokonqatel~nomu rezul~tatu togda, kogda v kado posledovatel~nostiznaqeni v intervale perekryti ostats bez vnimani.

4.6 Kratkovremennye preobrazovani

Rezul~tat klassiqeskogo preobrazovani Fur~e govorit koe-qto otom, v kako stepeni analiziruema funkci vremeni sovpadaets garmoniqesko funkcie sootvetstvuwe qastoty. Dl rasqetaprivlekaets ves~ signal, i vyskazyvanie otnosits, takim obrazom, kqastotnomu sostavu vsego signala. Vyskazyvanie o momentah vremeni,v kotorye ti qastoty vstreqats v signale, nevozmono. Sootvet-stvuwim obrazom dl dvumernyh signalov nevozmono ukazanie


mesta, gde soderats ti qastoty. Esli signaly stacionarnye,to vse qastotnye komponenty suwestvut v kady moment vremeniili v kadom meste. Tem samym, rezul~tat spektral~nogo analizaposredstvom preobrazovani Fur~e vlets reprezentativnym dlvsego signala. Ris. 4.39 a) pokazyvaet stacionarny signal s tremrazliqnymi qastotami. Vse tri qastotnyh komponenty spektraimets v signale v kady moment vremeni.

Esli qastotnoe soderanie signala so vremenem izmenets, torezul~tat preobrazovani Fur~e imeet smysl tol~ko togda, kogdaneobhodimo poluqit~ obzor qastotnogo soderani vsego signala.Primer takogo signala pokazan na ris. 4.39 b). Iz spektra togonestacionarnogo signala nevozmono sdelat~ vyvody o tom, v kakomoment vremeni povlts otdel~nye qastoty.

t21–2

0

2f t(

20 40 60

0

2

Fm

m–2

0

2

t21

20 40 60

0

2

Fm

m

a)

b)

)

f t( )

Ris. 4.39: Dva vremennyh signala i ih spektry, a) signal s tremrazliqnymi, vsegda imewimis qastotnymi komponentami, b) sig-nal s trem razliqnymi, ne odnovremenno imewimis qastotnymikomponentami

Esli vremenno ili prostranstvenny signal izmenets tol~kov korotkom promeutke vremeni ili v nebol~xo oblasti, to toizmenenie otraaets na vsem spektre. Svz~ medu qastotnymsoderaniem i peremenno vremeni ili mesta klassiqeskim preobra-zovaniem Fur~e ustanovit~ nevozmono. T.k. qastotnoe soderaniebol~xinstva signalov v naxem okruenii zavisit ot vremeni, tobyli razrabotany metody, kotorye delat vozmonym odnovre-menny vremenno i qastotny analiz. V xirokom smysle slova ktim metodam po qastiqno-shoemu ispol~zovani oboznaqeni pri-nadleat: preobrazovanie Gabora, kratkovremennoe preobrazovanieFur~e, raspredelenie Vignera, qastotno-vremenno analiz, algoritm


«piramidy», vevlet-preobrazovanie i t.p.Rezul~tat odnovremennogo analiza vremennogo i qastotnogo pove-deni illstriruets v diagramme, v kotoro po abscisse – vrem,po osi ordinat – qastota. Dl intensivnosti signala ispol~zuetstret~ koordinata pri trehmernom izobraenii. Esli trehmernasvz~ predstavlets v dvumerno diagramme, to dl harakteris-tiki intensivnosti ispol~zuets sera ili cvetna xkala. Takoeizobraenie nazyvaets v akustike sonogrammo ili sonagrammo,v signal~no obrabotke take spektrogrammo. Ris. 4.40 pokazyvaetdva primera. V dal~nexem my rassmotrim princip odnovremennogoqastotno-vremennogo analiza posredstvom kratkovremennogo preob-razovani Fur~e.

f f

t t

Ris. 4.40: Spektrogrammy zvuka nasvistyvaemo melodii «Gaudeamusigitur» i krika mornki

Kratkovremennoe preobrazovanie Fur~e: Kratkovremennoe preobrazo-vani Fur~e (angl.: short time fourier transform, STFT) bylo vvedeno dlpreodoleni opisannyh nedostatkov preobrazovani Fur~e. Dl togosignal razbivaets na dostatoqno malen~kie segmenty, kotorye pri-nimats kak stacionarnye. Preobrazovanie Fur~e primenets ot-del~no k kadomu iz tih otrezkov vremeni. Dl ustanovleni segmen-tov signala ispol~zuets funkci okna. Kadomu otdel~nomu sobytimoet byt~ sopostavlena pozici v qastotno-vremenno ploskosti. Vnepreryvno forme princip kratkovremennogo preobrazovani Fur~ehoroxo viden:

STFT(ω, τ) =

∞∫

−∞

f (t) g (t− τ) e−jωt dt (4.136)

Kratkovremenna transformanta STFT(ω, τ) vremennogo signala ras-sqityvaets putem podvergani preobrazovani Fur~e funkcii oknag(t − τ), umnoenno na funkci vremeni f(t). Rezul~tat STFT(ω, τ)


soderit qastotnye komponenty ot f(t) v okrestnosth momenta vre-meni τ . V kaqestve funkcii okna horoxo zarekomendovali seb raz-liqnye funkcii. Tipiqno funkcie okna vlets kolokol kosinusa,xirina 2

α kotorogo ustanavlivaets parametrom α:

g (t) =

1 + cos (π α t)

2dl − 1

α≤ t ≤ +

1

αi α > 0

0 inaqe(4.137)

Vengerski matematik Dennis Gabor ispol~zoval v 1946 godu modi-ficirovanny kolokol Gaussa kak funkci okna:

g (t) =1

2 · √π α· exp

( −t22 α2

)

(4.138)

Potomu baziruwies na tom kratkovremennoe preobrazovanieFur~e nazyvaets take preobrazovaniem Gabora. Kak primer ce-lesoobraznosti preobrazovani Gabora pokazyvaet ris. 4.41 a)«qirikawi» signal f(t) = sin(πf1t

2) s vozrastaniem qastotyf1 = 1 Gc

s i ego modul~ny spektr. V tom spektre my ne moemuvidet~, qto qastota qirikawego signala vozrastaet so vremenemna 1 Gc v sekundu. Ris. 4.41 b) do d) pokazyvat rezul~tat umnoeniqirikawego signala na okno Gabora, v kotorom sootvetstvuwavremenna pozici opredelets parametrom τ po uravneni 4.136.Risunok take pokazyvaet prinadleawie kratkovremennye spektry.

Pri primenenii ukoroqenno zapisi dl umnoenno na okno kom-pleksno pokazatel~no funkcii

gω,τ (t) = g (t− τ) e−jωt s ω, τ ∈ R (4.139)

i s vnutrennim proizvedeniem po uravneni 3.135

〈f (t) , g (t)〉 =

b∫

a

f (t) g (t) dt (4.140)

kratkovremennoe preobrazovanie Fur~e take mono zapisat~ kak vnu-trennee proizvedenie:

STFT(ω, τ) = 〈f (t) , gω,τ (t)〉 (4.141)

V qasti 4.3.5 bylo ukazano na to, qto qastota i vrem ne mogutbyt~ ukazany toqno odnovremenno, t.k. proizvedenie qastotnogo i vre-mennogo okna postonno, t.e. ∆t · ∆ω = const. Otsda sleduet, qtoizobraenie na qastotno-vremenno ploskosti ne moet byt~ qetkotoqko, a tol~ko lix~ prmougol~nikom so storonami ∆t i ∆ω. Us-tanovlennye spektral~nye komponenty mogut otnosit~s tol~ko k vre-mennomu intervalu. Esli neqetkost~ vo vremeni opisyvat~ dispersie


ωt

ω

ω

ω

d)

c)

b)

a)

50

50

50

50

105

5 10 t 0

05 10 t

10 t5

f t( ) | ( )|F ω

f t1 ( )

f t2 ( )

f t3 ( )

| ( )|F ω

| ( )|F ω

| ( )|F ω3

2

1

0

0

Ris. 4.41: Primenenie preobrazovani Gabora na «qirikawi» sig-nal, a) qirikawi signal i rezul~tat klassiqeskogo preobrazova-ni Fur~e, b) qirikawi signal posle primeneni funkcii okna ikratkovremenny spektr s τ = π/4, c) τ = π, d) τ = 2π

funkcii okna g(t)

σ2g =

∞∫

−∞

t2 |g (t)|2 dt (4.142)

i neqetkost~ v qastote dispersie spektra G(ω)

σ2G =

∞∫

−∞

ω2 |G (ω)|2 dω s g (t) –• G (ω) (4.143)

to mono pokazat~ posredstvom teoremy Parseval (sr. qast~ 4.2),qto vypolnets sleduwee sootnoxenie [49]:

σ2g · σ2

G ≥π

2ili ∆t ·∆ω ≥ 1

2(4.144)

Pri primenenii okna Gaussa neqetkost~ razrexeni ∆t · ∆ω mini-mal~na.


Dlina vremennogo intervala ∆t ustanavlivaets funkcie okna. Pritom dlina stacionarnyh intervalov vlets osnovopolagawe.Po ∆t strukturiruets takim obrazom qastotno-vremenna ploskost~.Na ris. 4.42 predstavleny dva biosignala, kotorye povltsv raznye momenty vremeni i svzany s raznymi qastotami serd-ca. Snaqala biosignal imeet nizku qastotu serdca, potomu mynahodim rezul~tat qastotno-vremennogo analiza v levom ninem ugluqastotno-vremenno ploskosti. Poze biosignal s bolee vysokoqastoto serdca povlets v drugo pozicii ploskosti.

Fre

quen

z

Zeit

...

∆ω ∆t

Ris. 4.42: Qastotno-vremenna ploskost~ kratkovremennogo preobra-zovani Fur~e (Frequenz:qastota, Zeit: vrem)

Otnoxeniem neqetkosti opredelets veliqina qastiqnyh plowade,kada iz kotoryh sootvetstvuet odnomu kofficientu. Kadykofficient raspoloen v odno oblasti i ne moet byt~ toqnolokalizovan. Umen~xenie to plowadi nevozmono. Tverdo us-tanovlenna funkcie okna qastiqna plowad~ na qastotno-vremennoploskosti ukazyvaet na nedostatok kratkovremennogo preobrazova-ni Fur~e. Vozmonoe vremennoe ili prostranstvennoe rasxireniesobyti v signale takim preobrazovaniem ne ohvatit~. Odnako, tovozmono s gibkim razmerom okna. Preobrazovanie, kotoroe prispo-sablivaet razmer okna k rasxireni sobyti, nazyvaets vevlet-preobrazovaniem, k kotoromu my obratims v sleduwe qasti.

4.7. VEVLET-PREOBRAZOVANIE 233

4.7 Vevlet-preobrazovanie

Pri pomowi vevlet-preobrazovani take kak i kratkovremenno-go preobrazovani Fur~e vozmono provedenie odnovremennogoqastotno-vremennogo analiza. Odnako u nego est~ preimuwestvo vtom, qto razmer okna bol~xe ne vlets fiksirovannym, a rabo-taet na neskol~kih stupenh razrexeni. Vsledstvie togo mogutbyt~ raspoznany lokal~nye sobyti s razliqnym rasxireniem.Rabota s razliqnymi stupenmi razrexeni imeet smysl togda,kogda nizkoqastotnye komponenty imet bol~xoe vremennoe ras-xirenie i vysokoqastotnye sobyti korotku protennost~. toqasto vstreqaets na praktike. Prisposoblenie razrexeni takimsposobom budet racional~nym, poskol~ku vysokoqastotnye qastibudut imet~ luqxee razrexenie vo vremeni, a nizkie i dolgovremen-nye, naprotiv, v qastote. Kak i pri kratkovremennom preobrazovaniiFur~e, kada qastiqna plowad~ na qastotno-vremenno ploskostisnova sootvetstvuet nahodwemus v to oblasti kofficientu.Oblasti obladat odno i to e plowad~, odnako, v otliqie otkratkovremennogo preobrazovani Fur~e, razliqnym rasxireniem vovremeni ili qastote.

Dal~nexee razliqie s kratkovremennym preobrazovaniem sosto-it v tom, qto pri vevlet-preobrazovanii vmesto qastoty qastoispol~zuets tak nazyvaemoe masxtabirovanie. Ono obratno pro-porcional~no qastote. Razliqnye stupeni razrexeni sravnimy srazliqnymi masxtabami geografiqeskih kart. Na kartah s krupnymmasxtabom (naprimer, masxtab 1:100 ili malen~koe masxtabnoeqislo 100) detali horoxo raspoznavaemy, odnako, otsutstvuet obwiobzor regiona; karty s melkim masxtabom (naprimer, masxtab1:1.000.000 ili krupnoe masxtabnoe qislo 1.000.000) ne soderat de-tali, no dat horoxi obzor. to znaqit, qto pri krupnom masxtabeili xkale horoxo raspoznavaemy nizkie qastoty vo vsem signale.V grafiqeskom izobraenii na mesto qastotno-vremenno ploskostivystupaet masxtabno-vremenna ploskost~ (ris. 4.43). Rasxirenieotdel~nyh plowade snova opredelets dispersimi, teper~ todispersi vremeni i xkaly, t.e. masxtaba.

Vevlet-preobrazovanie mono take kak i drugie preobrazovaniinterpretirovat~ kak vnutrennee proizvedenie analiziruemogo sig-nala i sistemy bazisnyh funkci. Veliqina kofficientov – toopt~ mera shodstva medu original~no funkcie i sootvetstvu-we bazisno funkcie. Kak dopolnenie dolno teper~ take byt~ukazano sootvetstvuwee masxtabirovanie.Vevlet-preobrazovanie dl odnomernyh ili dvumernyh signalovmoet byt~ nepreryvnym, diskretnym ili v vide rda. Daleenepreryvnoe vevlet-preobrazovanie predstavleno oqen~ korotko, a


Ska

le

Zeit

...

Ris. 4.43: Masxtabno-vremenna ploskost~ vevlet-preobrazovani(Skale:xkala, Zeit: vrem)

bystra diskretna forma, vvidu ee praktiqesko vanosti, napro-tiv bolee podrobno.

Nepreryvnoe vevlet-preobrazovanie: Nepreryvna forma vevlet-preobrazovani upominaets v literature take kak integral~noevevlet-preobrazovanie. Ono bylo vvedeno v 1975 godu anom Mor-le i Aleksom Grossmanom. Esli dana destvitel~na funkci ψ(t) sqastotnym spektrom Ψ(ω), togda putem masxtabirovani s i sdviga τgeneriruts mnoestvo bazisnyh funkci ψs,τ (t) soglasno pravilu:

ψs,τ (t) =1√s

ψ

(t− τs

)

(4.145)

Funkci ψs,τ (t) nazyvaets bazisnym vevletom ili materinskimvevletom (angl.: mother wavelet). Veliqina s opredelet mas-xtabirovanie otdel~nyh vevletov i vmeste s tem ih xirinu, iveliqina τ opredelet sdvig i vmeste s tem ih pozici (s s > 0, s ∈ R

+

i τ ∈ R). Dl Fur~e-transformanty Ψ(ω) funkcii ψ(t) destvitel~no:


Ψs,τ (ω) =

∞∫

−∞

1√s

ψ

(t− τs

)

e−jωt dt (4.146)

Fur~e-transformanta neobhodima dl togo, qtoby ustanovit~ kri-teri suwestvovani vevlet-funkci. Esli ψ(t) kvadratiqno integ-riruema, to funkci ψ(t) vlets vevletom, esli ona vypolnetuslovie shodimosti (angl.: admissibility condition):

Cψ =

∞∫

0

|Ψ (ω)|2|ω| dω <∞ (4.147)

Po suwestvu Fur~e-transformanty vevleta pri qastote ω = 0 dol-ny isqezat~, t.e.:

∞∫

0

ψ (t) dt = 0 (4.148)

Vmeste s tem, v kaqestve bazisnyh vevletov dopustimy takie funk-cii, kotorye v xirokom smysle koleblts i bystro zatuhat(vspleski ili angl.: wavelets).

Itak, my hotim preobrazovat~ nepreryvny signal f(t). Dl trans-formanty W (s, τ) rezul~tatom nepreryvnogo vevlet-preobrazovaniWLT vlets:

WLTf (t) = W (s, τ) = 〈f(t), ψs,τ (t)〉 =

∞∫

−∞

f (t)ψs,τ (t) dt (4.149)

Transformanta vyqislets vnutrennim proizvedeniem i predstav-let dl pozicii τ detali f(t) na stupeni razrexeni s. Obratnoepreobrazovanie mono vyvesti iz teoremy Parseval. Identiqnost~vnutrennih proizvedeni 〈f(t), ψs,τ (t)〉 = 〈F (ω), Ψs,τ (ω)〉 vedet k:

f (t) =1

Cψ

∞∫

0

∞∫

−∞

W (s, τ)1

s2ψs,τ (t) dτ ds (4.150)

V celh demonstracii qasto ispol~zuemy vevlet ψ(t) vlets 2-oproizvodno funkcii Gaussa exp(−t2/2), kotora take imenuets kakmeksikanska xlpa (angl.: mexican-hat function):

ψ (t) =(1− t2

)exp

(−t22

)

(4.151)


Esli ona primenets v uravnenii 4.145 v kaqestve bazisnogovevleta, to poluqaets:

ψs,τ (t) =1√s·[

1−(t− τs

)2]

· exp

[

−1

2

(t− τs

)2]

(4.152)

Masxtabirovanie s opredelet, budet li vevlet skoree uzkim ivysokim ili xirokim i nizkim (ris. 4.44 a). Sdvig τ opredeletpozici na vremenno osi (ris. 4.44 b).

s=2s=8

s=16

–10

0,5

1

–0,5

10 20 30 t

–0,5

0,5

–30 30 t

a)

b)

τ=0 τ=10 τ=20

s=1

ψ(t

ψ(t

τ=0

)

)

Ris. 4.44: Meksikanska xlpa s razliqnymi masxtabirovanimi isdvigami, a) masxtabirovani s = 2, 8, 16 pri τ = 0, b) sdvigi τ =0, 10, 20 pri s = 1

Proillstriruem nepreryvnoe vevlet-preobrazovanie na primere.Dan signal, sostowi iz garmoniqeskih kolebani, kotory imeetraznye qastoty v dvuh vremennyh intervalah (ris. 4.45). Na mas-xtabno-vremenno ploskosti snaqala vstreqawies kolebanimono nati v rannem vremeni i pri nizko xkale, poze nastupa-wee kolebanie – v bolee pozdnee vrem.

Na ris. 4.45 otqetlivo viden uzki maksimum pri nizkih xkalah ixiroki maksimum pri vysokih xkalah. Nuno obratit~ vnimanie,qto melkoe razrexenie xkal pri nizkih xkalah (melki masxtab)sootvetstvuet redkomu qastotnomu razrexeni. Pri sdvige vevleta


1

0

–1

f t(

t

SkaleZeit

)

400

20040

0

400200

Ris. 4.45: Dva garmoniqeskih kolebani v signale f(t) i rezul~tatnepreryvnogo vevlet-preobrazovani (Zeit: vrem, Skale:xkala)

signal «obnaruivaets» na vremenno osi, pri izmenenii mas-xtabirovani predstavlets v sootvetstvuwem masxtabe.Provodimoe preobrazovanie nepreryvno, t.k. xkala s i sdvig τ –to destvitel~nye veliqiny. T.k. pri praktiqeskom vypolneniipreobrazovani oni vozrastat, odnako, na koneqnu veliqinu,to rezul~tat sootvetstvuet diskretizacii masxtabno-vremennoploskosti. Po principu processa ue pontno, qto nepreryvnoevevlet-preobrazovanie dolno imet~ bol~xu izbytoqnost~, t.k.informaci kofficienta soderit take sosedni kofficient.Tem ne menee, dostoinstvo sostoit v tom, qto preobrazovanie moetpriment~s take k qasti original~nogo signala, blagodar qemunepreryvnoe vevlet-preobrazovanie nahodit svoe primenenie priobrabotke izobraeni.

Diskretnoe vevlet-preobrazovanie: Vevlet-preobrazovanie vy-godno primenets v cifrovo obrabotke signalov tol~ko togda,kogda preobrazuemye vremennye ili prostranstvennye signaly pred-stavleny v diskretno forme i v rasporenii imeets ffektivnyalgoritm dl rasqeta diskretnogo vevlet-preobrazovani.Poisk ffektivnogo algoritma dl diskretnyh signalov privel kanalizu mul~tixkal. Tako analiz moet vypolnt~s s pomow~piramidy Laplasa i Gaussa ili subpolosnogo kodirovani. Obametoda byli izvestny ue dovol~no dolgoe vrem, prede qem


I. Meer i S. Malla v 1986 godu obnaruili ih svz~ s vevlet-preobrazovaniem [25].

Subpolosnoe kodirovanie: Nezavisimo ot algoritma piramid su-westvuwi metod subpolosnogo kodirovani byl razrabotan dlanalizirovani signalov (naprimer, reqevye signaly) v raznyhpolosah qastot. Signal fil~truets fil~trom ninih qastot izatem diskretiziruets, detal~na informaci poluqaets putemfil~tracii verhnih qastot i moet take byt~ diskretizirovana.Ris. 4.46 pokazyvaet princip subpolosnogo kodirovani. Signalfn s (bezrazmerno) poloso qastot ∆f = 0 . . . 1 prohodit qerezfil~try verhnih i ninih qastot, kotorye propuskat verhnili nin polovinu polosy qastot. Posredstvom posleduwediskretizacii (simvol: ↓) s kofficientom 2 vremennoe razrexeniesokrawaets vdvoe, a qastotnoe razrexenie udvaivaets (polosaqastot stanovits vdvoe ue). Vyhod fil~tra ninih qastot s vdvoemen~xim koliqestvom otsqetov i s polovino qastotno oblastipodaets sootvetstvenno sleduwim fil~tram ninih i verhnih qas-tot. Na ih vyhodah dlina signala sostavlet tol~ko lix~ qetvertuqast~. Obrabotka prodolaets do teh por, poka ne ostanets tol~kolix~ odno znaqenie (sama nizka polosa qastot, naivysxee mas-xtabirovanie). Dl poluqeni rezul~tata subpolosnogo kodirovaniqastiqnye rezul~taty obedints, naqina s konca. Pervoe znaqe-nie rezul~tata – to vyhodnoe znaqenie poslednego fil~tra ninihqastot, kotoroe nazyvaets take kofficientom approksimacii.Dalee sledut kofficienty otdel~nyh vyhodov fil~tra verhnihqastot. Rezul~tat v koneqnom itoge soderit stol~ko kofficientov,skol~ko u vhodnogo signala otsqetov.Dl iterativnogo subpolosnogo kodirovani Malla [35] razrabotalalgoritm, kotory iz-za ego vida nazyvaets take algoritmomrybny skelet. Pri primenenii togo metoda dlina signala dolnasootvetstvovat~ stepeni dvoki.

Metod piramid: Algoritm piramid, razrabotanny dl kodirovaniizobraeni, usrednet vzvexennye s funkcie Gaussa sosednietoqki izobraeni. Posle togo usredneni, kotoroe sootvet-stvuet fil~tracii ninih qastot, proishodit diskretizaci s ko-fficientom 2. Rezul~tat predstavlet sobo approksimaci origi-nal~nogo izobraeni. Process moet povtort~s do teh por, po-ka ne ostanets edinstvenna gradaci serogo. Grafiqeskim pred-stavleniem togo metoda vlets piramida Gaussa. Odnako, dlvosstanovleni izobraeni neobhodimy raznosti medu dvum stu-penmi razrexeni piramidy Gaussa, kotorye soderat detal~nyesvedeni. Ih grafiqeskoe izobraenie daet v itoge take piramidu,piramidu Laplasa. Nedostatkom dannogo metoda vlets ego izby-toqnost~.


TiefpassHochpass

2 2

TiefpassHochpass

2 2

TiefpassHochpass

2 2

∆f =1/4...1/2 ∆f = 0...1/4

∆f = 0...1/2∆f =1/2...1

∆f =1/8...1/4 ∆f = 0...1/8

f mit einer Bandbreite f von 0...∆ 1

Koeffizientender Stufe 1(4 Werte)

Koeffizientender Stufe 2(2 Werte)

Koeffizientender Stufe 3(1 Wert)

Approximations-koeffizient(1 Wert)

n

Ris. 4.46: Princip iterativnogo subpolosnogo kodirovani naprimere signala fn s N = 8 (Bandbreite:xirina polosy qastot, Hoch-pass: fil~tr verhnih qastot, Tiefpass: fil~tr ninih qastot, Koeffi-zienten: kofficienty, Stufe: stupen~, Wert: znaqenie, Approximationsko-effizient: kofficient approksimacii)

Teper~ tot vid analiza mul~tixkal moet byt~ uluqxen dal~xetem, qto ierarhiqeskoe usrednenie i obrazovanie raznoste budetvypolnt~s s pomow~ ortogonal~nyh bazisnyh funkci. Nahodit~bazisnye funkcii, kotorye zavist kak ot vremeni, tak i ot xkaly ikotorye odnovremenno vypolnt trebovani vevletov, okazyvaet-s trudnym. Zasluga Meera sostoit v tom, qto on pervym naxelortonormal~ny vevlet-bazis [25]. Na segodnxni den~ suwestvu-t oqen~ bystrye algoritmy dl rasqeta ortonormal~nyh vevlet-preobrazovani diskretnyh vremenenyh ili prostranstvennyh signa-lov.My hotim dl posneni diskretnyh svze rassmotret~ vektor-noe prostranstvo, t.k. interpretaci analiza mul~tixkal vedet vnem k oqen~ nagldnomu predstavleni. Pust~ preobrazuemy sig-nal soderits v vektornom prostranstve V j, signal~nom prostran-stve. Teper~ to vektornoe prostranstvo razbivaets vnutri na pod-


prostranstva V j+1 i W j+1. Podprostranstvo V j+1 soderit signals sokrawennym razrexeniem, prostranstvo W j+1 soderit infor-maci o raznosti sleduwih drug za drugom podprostranstv V j

i V j+1. Podprostranstva V j+µ s µ = 0, 1, . . . , j sozdats funkci-mi masxtabirovani ϕ(t), raznostnye prostranstva W j+µ – pri po-mowi vevlet-funkci ψ(t). Iz funkcii masxtabirovani ϕ(t) ∈ V 0,qe integral ne isqezaet, mono s celym qislom k sozdat~ orto-normal~nye bazisnye funkcii ϕ0,k(t) = ϕ(t − k) v V 0. Proekcikvadratiqno integriruemogo vremennogo signala na ortonormal~nybazis ϕ(t − k) sootvetstvuet korrelcii signala i funkcii mas-xtabirovani ϕ(t) s xagami smeweni 1. Rezul~tat – to razmytaversi vremennogo signala, t.k. funkci masxtabirovani vyzyvaetsglaivanie. Iz bazisnyh funkci ϕ(t) teper~ posredstvom diadiqes-kih rasxireni i diskretnyh smeweni vyvodts sleduwie funk-cii masxtabirovani. Funkci ϕ(t/2) obrazuet v V 1 ortonormal~nybazis ϕ(2−1t − k) s xagami smeweni 2. V prostranstve V j dolnovypolnt~s:

ϕj,k (t) = 2−j/2 · ϕ(2−jt − k

)(4.153)

Iz materinskogo vevleta ψ(t) ∈ W 0 mono vyvesti ortogonal~nyebazisnye funkcii ψ0,k(t) = ψ(t− k) v W 0. Proekci vremennogo signa-la pri danno stupeni razrexeni j – to ego korrelci k vevlet-funkcii ψj(t), proekcii vseh funkci f(t) na bazisnye funkcii obrazu-t vektornoe prostranstvo W j:

ψj,k (t) = 2−j/2 · ψ(2−jt − k

)(4.154)

O qastotnom spektre funkcii masxtabirovani i vevlet-funkciimono koe-qto skazat~ take i bez znani konkretno funkcii, pomen~xe mere, o znaqenii pri ω = 0. T.k. integral ot funkcii mas-xtabirovani ϕ(t) ne dolen isqezat~, to dl Fur~e-transformantyΦ(ω) dolno vypolnt~s otnoxenie Φ(0) 6= 0, t.e. spektr funkciimasxtabirovani obladaet svostvami fil~tra ninih qastot.Integral ot vevlet-funkcii ψ(t), naprotiv, dolen isqezat~ (sm.uravnenie 4.148). Fur~e-transformanta Ψ(ω) pokazyvaet, takim obra-zom, svostva fil~tra verhnih qastot (Ψ(0) = 0).

Vektornye prostranstva V j i W j obladat rdom poleznyh kaqestv,opisannyh, naprimer, v [9, 32]. Oni ortogonal~ny, t.k. i funkci mas-xtabirovani ϕ(2−jt −k) i vevlet-funkci ψ(2−jt −k) ortogonal~ny.Podprostranstva V j+1 i W j+1 po priqine ortogonal~nosti ne mogutvzaimno soderat~s, a dolny dopolnt~ drug druga do V j:

V j = V j+1 ⊕W j+1 (4.155)

Operaci ⊕ oboznaqaet zdes~ ortogonal~noe sloenie dvuh vektornyhprostranstv. V obwem sluqae, dl kadogo vektornogo prostran-


stva V j s razrexeniem 2j suwestvuet ortogonal~noe vektornoe pro-stranstvo W j, v kotorom soderits detal~na informaci. Uravne-nie 4.155 svidetel~stvuet o tom, qto vektornoe prostranstvo V j moetrazbivat~s ili e sostavlt~s snova iz podprostranstv. Kadoevektornoe prostranstvo nizxego pordka moet predstavlt~s vek-tornym prostranstvom bolee vysokogo pordka:

V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ . . . (4.156)

Proillstriruem razloenie prostranstva signala na podpro-stranstva na prostom primere. Dl togo my ispol~zuem ueopisannye v qasti 4.3.4 funkcii Haara (ris. 4.47). Signal imeetdlinu N = 22 i nahodits v prostranstve V 2. Dve funkcii mas-xtabirovani prostranstva V 1 predpisyvat obrazovanie srednesummy sootvetstvenno dvuh sosednih otsqetov signala. Teper~ tidva rezul~tata prinadleat V 1. Dve vevlet-funkcii v W 1 trebutobrazovani sredne raznicy sosednih otsqetov. ti dva rezul~tataprinadleat W 1. Ta e sama procedura povtorets ewe raz.Qetyre znaqeni rezul~tata vevlet-funkcii my nahodim v V 0, W 0

i W 1.

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

V V V

V

W

W

2 1 0

0

0

1

Ris. 4.47: Sostavlenie vektornogo prostranstva na primere funkciHaara, N = 4

Iz ris. 4.47 oqevidna fil~traci ninih i verhnih qastot. Proekcisignala na sootvetstvenno bolee krupnu stupen~ razrexeni, t.e. nasootvetstvuwu masxtabiruwu funkci ϕ(t) v vektornom pro-stranstve V j, sootvetstvuet fil~tracii ninih qastot. Proekci nasootvetstvuwu vevlet-funkci ψ(t) v vektornom prostranstve W j,kotoroe soderit detal~nu informaci, sootvetstvuet, naprotiv,fil~tracii verhnih qastot. Kak podrobno opisano i obosnovano v [9,12], dl praktiqeskogo primeneni ne trebuets opredeleni funkciimasxtabirovani i vevleta. Vevlet-preobrazovanie mono realizo-vat~ kak rekursivnu fil~traci tol~ko s kofficientami fil~tra


ninih i verhnih qastot. Kofficienty fil~tra dl fil~traciininih qastot h0(k) vlts somnoitelmi dl otdel~nyh funkcimasxtabirovani, kotorye kak linena kombinaci privodt ktak nazyvaemomu utoqnennomu uravneni ili uravneni dvuh xkal(angl.: refinement equation, two-scale relation):

ϕ (t) =√

2

2j−1∑

k=0

h0 (k)ϕ (2t− k) (4.157)

to uravnenie vlets osnovnym otnoxeniem analiza mul~tixkals diadiqeskim masxtabirovaniem. Ono svidetel~stvuet o tom, qtofunkci masxtabirovani ϕ(t) – to vzvexenna summa umen~xennyhnapolovinu kopi (ee samo). Kofficienty fil~tra h0(k) mono ras-sqitat~ iz vnutrennego proizvedeni:

h0 (k) = 〈ϕ1,0 (t) , ϕ0,k (t)〉 s ϕj,k (t) = 2j2 ϕ

(2jt− k

)(4.158)

Vyvod kofficientov dl fil~tracii verhnih qastot proishoditiz vevlet-funkcii ψ(t). V osnovnyh rabotah Ingrid Dobqi [12]pokazano, qto vevlet-funkci mono vyvesti iz uravneni dvuhxkal 4.157. Ona poluqaets kak linena kombinaci vesovyh mas-xtabiruwih funkci s kofficientami fil~tra verhnih qastoth1(k):

ψ (t) =√

2

2j−1∑

k=0

h1 (k)ϕ (2t− k) i ψj,k (t) = 2j2 ψ

(2jt− k

)(4.159)

Kofficienty h1(k) fil~tra verhnih qastot mono rassqitat~ izkofficientov h0(k) fil~tra ninih qastot, dl togo pordok posle-dovatel~nosti znaqeni izmenets na obratny i kadoe vtoroeznaqenie otricaets:

h1 (k) = 〈ψ,ϕ (−1, k)〉 = (−1)kh0 (−k + 1) (4.160)

Otricanie kadogo vtorogo znaqeni sootvetstvuet postepennosubdiskretizacii s kofficientom 2. Obedinenie kofficientovfil~tra h0(k) v vektor nazyvaets masxtabiruwim vektorom, akofficientov h1(k) – vevlet-vektorom.

Teper~ libo iz elaemo masxtabiruwe funkcii ϕ(t), osnovyvas~na uslovih ortonormal~nosti,

〈ϕ (t− j) , ϕ (t− k)〉 = δj,k (4.161)

mono vyqislit~ masxtabiruwi vektor, libo masxtabiruwivektor dan, i nuno nati prinadleawu funkci ϕ(t).


Dl vremennogo signala fn dlino N diskretnoe vevlet-preobrazovanie DWLT mono zapisat~ teper~ kak paru preobra-zovani:

cj,k =N−1∑

n=0

fn ψn (j, k) i fn =

ld(N)−1∑

j=0

2j−1∑

k=0

cj,k (tn)ψj,k (tn) (4.162)

Primerom nam ewe raz posluat funkcii Haara. Masxtabiruwafunkci v tom sluqae – to prosto prmougol~na funkci na inter-vale [0, 1):

ϕ (t) =

1 dl 0 ≤ t < 1

0 inaqe(4.163)

S xirino xaga 1 sdvinutye na k funkcii ϕ(t − k) poparno or-togonal~ny. Sata funkci ϕ(2t) – to prmougol~na funkci naintervale [0, 1

2 ). ta funkci smewaets s xirino xaga 12 . Funk-

cii ϕ(2t − k) take poparno ortogonal~ny. Vektornoe prostranstvoV 0 – to linena kombinaci ϕ(2t) i ϕ(2t− k):

ϕ (t) =1√2

[ϕ (2t) + ϕ (2t− 1)] (4.164)

Pri sravnenii kofficientov s uravneniem dvuh xkal 4.157 poluqa-ts kofficienty fil~tra kak lementy masxtabiruwego vektora:

h0 (k) =

1√2

dl k = 0, 1

0 inaqe(4.165)

Sdvinutye (celoqislenno) vevlety ψ(t− k) take ne perekryvatsi obrazut toqno tako e ortonormal~ny bazis, kak i vevlety smasxtabiruwe funkcie. Uravnenie dvuh xkal dl vevletov:

ψ (t) =1√2

[ϕ (2t) − ϕ (2t− 1)] (4.166)

Pri sravnenii kofficientov s uravneniem 4.159 kofficientyfil~tra poluqats kak lementy vevlet-vektora:

h1 (k) =

±1√

2dl k = 0, 1

0 inaqe(4.167)

Sravnenie masxtabiruwego vektora s vevlet-vektorom pokazyvaet,qto kofficienty fil~tra verhnih i ninih qastot vypolnt ot-noxenie po uravneni 4.160, t.e. tesno svzany qerez izmenenie po-rdka posledovatel~nosti na obratny i otricanie kadogo vtorogo


znaqeni.Funkcii Haara horoxo podhodt dl posneni vevlet-preobrazo-vani, odnako na praktike poqti ne priments. V kommerqeskihprogrammnyh obespeqenih obrabotki signalov mono nati, napro-tiv, masxtabiruwu i vevlet-funkci Ingrid Dobqi. Nazvan-nye v ee qest~ Dobqi-vevlety otliqats osobenno blagopritny-mi kaqestvami, hot vygldt oni oqen~ neregulrnymi (ris. 4.48).Kofficienty fil~tra mono brat~ iz tablic [11]. Naprimer, dlmasxtabiruwego D4-vektora sleduet:

h0 =1

4√

2

[

1 +√

3 3 +√

3 3−√

3 1−√

3]T

(4.168)

h0 =[

0,483 0,8365 0,2241 −0,1294]T

D4-vevlet-vektor my poluqaem putem izmeneni pordka vektornyhlementov na obratny i posleduwego izmeneni znaka u lementovs qetnym indeksom k, t.e. putem umnoeni lementov na −1k+1 (angl.:alternating flip):

h1 =[

0,1294 0,2241 −0,8365 0,483]T

(4.169)

1

–1

1

0

ϕ(t

–1 2 t 0–1

ψ(t

–1

1

1 2 t

))

Ris. 4.48: Masxtabiruwa funkci ϕ(x) i vevlet-funkci ψ(x) so-glasno [11]

Dvumernoe vevlet-preobrazovanie: Dvumernoe preobrazovanie vy-polnets prosto togda, kogda masxtabiruwa funkci ϕ(x, y) sepa-rabel~na, t.e. moet byt~ razloena na proizvedenie dvuh funkciϕ(x) i ϕ(y). Togda dl vevlet-funkcii sleduet:

ψlj,m,n (x, y) = 2jψl(x− 2jm, y − 2jn

)dl j ≥ 0 l = 1, 2, 3 (4.170)

Zdes~ j,m, n, l ∈ Z. Vektornye prostranstva V i W teper~ dvumernye;prostranstvo W sostoit iz treh podprostranstv, kotorye opisyvat-s trem vevlet-funkcimi:


• ψh(x, y) = ϕ(x) · ψ(y) dl opisani gorizontal~nogo razliqi (h)• ψv(x, y) = ψ(x) · ϕ(y) dl opisani vertikal~nogo razliqi (v)• ψd(x, y) = ψ(x) · ψ(y) dl opisani diagonal~nogo razliqi (d)

Rasqety treh izobraeni sootvetstvut napravlenno fil~tracii.Pust~ dano izobraenie f1(x, y) razmerom N×N , gde N = 2n, i dlizobraeni-originala destvitel~no j = 0 i 2j = 1, to s rastu-wim j masxtabirovanie sootvetstvenno udvaivaets i razrexeniesokrawaets vdvoe. Na kado stupeni preobrazovani izobraenie,posredstvom subdiskretizacii, razbivaets na qetyre qastiqnyh izo-braeni razmerom 1

4 . Qetvert~ izobraeni poluqaets v rezul~tatevnutrennego proizvedeni na sootvetstvuwie bazisnye funkcii. Dl1-o stupeni (j = 1) poluqaem:

f02 (m,n) = 〈f1 (x, y) , ϕ (x− 2m, y − 2n)〉fh2 (m,n) =

⟨f1 (x, y) , ψh (x− 2m, y − 2n)

⟩

fv2 (m,n) = 〈f1 (x, y) , ψv (x− 2m, y − 2n)〉fd2 (m,n) =

⟨f1 (x, y) , ψd (x− 2m, y − 2n)

⟩(4.171)

Vnutrennie proizvedeni s pravo storony uravneni sootvetstvu-t operacii svertki. Esli ispol~zovat~ simvol svertki (simvol: ∗)dl sleduwih stupene, to dl qetverte izobraeni primasxtabirovanii 2j+1 poluqaem:

f02j+1 (m,n) =

[f02j (x, y) ∗ ϕ (−x,−y)

](2m, 2n)

fh2j+1 (m,n) =

[f02j (x, y) ∗ ψh (−x,−y)

](2m, 2n)

fv2j+1 (m,n) =

[f02j (x, y) ∗ ψv (−x,−y)

](2m, 2n)

fd2j+1 (m,n) =

[f02j (x, y) ∗ ψd (−x,−y)

](2m, 2n) (4.172)

Svostvo separabel~nosti funkcii masxtabirovani i vevlet-funkcii oznaqaet, qto uravnenie 4.171 moet vypolnt~s postroqnoi po stolbcam kak odnomerna operaci. Princip predstavlen naris. 4.49.

Ris. 4.49 pokazyvaet, qto snaqala stroki izobraeni-originala pod-vergats odnomernomu vevlet-preobrazovani. Kak promeutoqnyerezul~taty voznikat postroqno otfil~trovannye fil~trom ninihqastot izobraeni f1(x, y) ∗ h0(−x) i postroqno otfil~trovannyefil~trom verhnih qastot izobraeni f1(x, y) ∗ h1(−x). K tim oboimizobraenim primenets zatem po stolbcam 1D-preobrazovanie.Posle kadogo preobrazovani neqetnye stroki, ili stolbcy,liminiruts. V rezul~tate voznikat qetyre qastiqnyh izo-braeni, kotorye otnosts po uravneni 4.172 k razliqnymrazrexenim i napravlenim.


Entfernenjeder

2. ZeileEntfernenjeder

2. Spalte

Tiefpasszeilenweise

Tiefpassspaltenweise

Hochpassspaltenweise

Hochpasszeilenweise

Entfernenjeder

2. Spalte

Tiefpassspaltenweise

Hochpassspaltenweise

Entfernenjeder

2. Zeile

Entfernenjeder

2. Zeile

Entfernenjeder

2. Zeile

Ris. 4.49: Razloenie izobraeni pri 2D-vevlet-preobrazovanii(Entfernen jeder:udalenie kado(ogo), Hochpass:fil~tr verhnih qas-tot, Tiefpass:fil~tr ninih qastot, Zeile: stroka, zeilenweise:postroqno,Spalte:stolbec, spaltenweise:po stolbcam)

Rekonstrukci izobraeni vozmona putem obratnogo vevlet-preob-razovani. Princip pokazan na ris. 4.50. Na mesto subdiskretizaciipri obratnom preobrazovanii prihodit superdiskretizaci (sim-vol: ↑) kadogo iz qetyreh qastiqnyh izobraeni sootvetstven-no predyduwe stupeni, t.e. sleva ot kadogo stolbca dolen byt~vstavlen stolbec s nulmi. Posle togo neobhodimo proizvestisvertku strok s h0(x) i h1(x), i sloit~ poparno N

2 · Nqastiqnyh izobraeni. V drugom napravlenii proishodit su-perdiskretizaci putem dobavleni stroki s nulmi nad kadostroko. Promeutoqnym rezul~tatom sluat dva voznikxih izobra-eni razmerom N×N , dl kotoryh zatem opt~ proizvodits svertkas h0(x) i h1(x), i, nakonec, oba qastiqnyh izobraeni skladyvats.

4.8. ZADAQI 247

f 2 +1j0

2

2 h x( )1

h x( )0

+ 2 h x( )0

+ mal 4

2

2 h x( )1

h x( )0

+ 2 h x( )0

f 2j

h

f 2j

0

f 2j

v

f 2j

d

Spalten Zeilen SpaltenZeilen

Ris. 4.50: Rekonstrukci izobraeni pri obratnom 2D-vevlet-preobrazovanii (Spalten:stolbcy, Zeilen: stroki, mal: umnoit~ na)

4.8 Zadaqi


Nepreryvny, periodiqeski prmougol~ny signal f(t) s dlino pe-rioda T0 = 1 i parametrom d = 0,25 dolen byt~ razloen v rd Fur~e.Period signala mono opisat~ sleduwim obrazom:

f1 (t) =

2 esli 0 ≤ t < d

0 esli d ≤ t < T0 − d2 esli T0 − d ≤ t < T0

Prodolite signal po smyslu i izobrazite f(t). Opredelite im-pul~snoe otnoxenie1 i interval razloeni. Ukaite approksimiru-wu funkci fap(t). Pri tom vam pomogut otnoxeni

∫cos(b t)dt =

sin(b t)/b i sin(−α) = − sin(α). Izobrazite v diagramme signala ap-proksimiruwu funkci dl treh razliqnyh koliqestv slagae-myh. Perevedite destvitel~nye kofficienty Fur~e v kompleksnye(tablica B.3 na str. 302) i izobrazite ih dl aktual~nogo im-pul~snogo otnoxeni v lineqatom spektre. Izobrazite lineqatyespektry take dl impul~snogo otnoxeni 5% i 95%.


Razloite sleduwu posledovatel~nost~ v rd Fur~e:1 otnoxenie dliny impul~sa k ego periodu


n 0 1 2 3 4 5 . . .tn 0 1 2 3 4 5 . . .fn 1 0 0,5 1 0 0,5 . . .

Dl raspoznavani periodiqnosti izobrazite posledovatel~nost~.Nadite dlinu perioda T0 i vmeste s tem interval razloeni, atake osnovnye qastoty f0 ili ω0. Rabotate s M = 3 bazisny-mi funkcimi Φ0(t) = 1, Φ1(t) = cos(ω0t) i Φ2(t) = sin(ω0t). Rassqi-tate tri kofficienta Fur~e a0, a1 i b1. Perevedite destvitel~nyekofficienty Fur~e v kompleksnye. Ispol~zute dl togo snovatablicu B.3 na str. 302. Izobrazite approksimiruwu funkcifap(t) v diagramme posledovatel~nosti. Poqemu pogrexnost~ E2 ravnanul?


Opredelite Fur~e-transformantu F (ω) nepreryvnogo, aperiodiqesko-go i zatuhawego signala f(t) = 2 ·t ·exp(−3 ·t) dl t ≥ 0. Snaqala opre-delite na glaz znaqenie funkcii F (0). Take protestirute snaqala,suwestvuet li Fur~e-transformanta. Zatem izobrazite na intervale−8 < ω < 8 sleduwee:

• spektr destvitel~no i mnimo qasti• modul~ny i uglovo spektr

Ispol~zute tabliqnye Fur~e-transformanty, naprimer, iz tabli-cy B.1 na str. 301.


Opredelite Fur~e-transformantu F (ω) diskretnogo, aperiodiqeskogosignala. Poluqite tot signal putem diskretizacii s odinakovym in-tervalom ue izvestnogo vam nepreryvnogo, aperiodiqeskogo signalaf(t) = 2 · t · exp(−3 · t) na intervale 0 ≤ t < 4. Ispol~zute sledu-wie parametry dl processa diskretizacii: period diskretizaciiTA = 1

16 , N = 64 otsqeta, n kak ukazatel~ na lementy posledova-tel~nosti s n = 0 . . . 63, momenty izmereni tn = n · TA, izmeren-nye veliqiny fn = f(tn) = f(n · TA). Izobrazite v diagramme nepre-ryvny i diskretny signal. Protestirute shodimost~, obrazovavdl togo summu module ot fn. Izobrazite v diagramme na intervale−ωA < ω < ωA sleduwee:

• modul~ny spektr |F (ω)|• modul~ny spektr |F (ω)| iz predyduwe zadaqi• vertikal~nye vspomogatel~nye linii pri qastote Nakvis-

ta ±ωN

4.8. ZADAQI 249

Sravnite modul~ny spektr |F (ω)| s modul~nym spektrom predyduwezadaqi. Voznikaet li aliasing?


Rassqitate matricu DFT dl diskretnogo preobrazovani Fur~e, spomow~ kotoro vy smoete preobrazovat~ diskretny signal f sN = 8 otsqetami. Dan signal:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

fn 1 2 3 1 −1 −1 −1 0

vlets li matrica unitarno? Preobrazute signal i verniteego obratno putem sootvetstvuwego preobrazovani DFT-spektra F .Moete li vy vozderat~s ot trudoemkogo obraweni matricy?


Rassqitate matricu DHY T dl diskretnogo preobrazovaniHartli, s pomow~ kotoro vy smoete preobrazovat~ diskretnysignal f s 8 otsqetami. Preobrazute signal i vernite ego obratnoputem sootvetstvuwego preobrazovani DHYT-spektra F .


Rassqitate matricu DCT dl diskretnogo kosinus-preobrazovani,s pomow~ kotoro vy smoete preobrazovat~ diskretny signal f

s 8 otsqetami. Preobrazute signal i vernite ego obratno putemsootvetstvuwego preobrazovani DCT-spektra F .


Rassqitate sekventno-upordoqennu matricu DWT dl diskretno-go preobrazovani Uolxa, s pomow~ kotoro vy smoete preobra-zovat~ diskretny signal f s 8 otsqetami. Preobrazute signal ivernite ego obratno putem sootvetstvuwego preobrazovani DWT-spektra F .


Rassqitate matricu DHT dl diskretnogo preobrazovani Haara,s pomow~ kotoro vy smoete preobrazovat~ diskretny signal f

s 8 otsqetami. Preobrazute signal i vernite ego obratno putemsootvetstvuwego preobrazovani DHT-spektra F .



Putem zapolneni sleduwe tablicy zaverxite vaxi issledovanidiskretnyh ortogonal~nyh preobrazovani, matricy kotoryh pod-hodt dl obratnogo preobrazovani (simvol: ×).

matrica DIT2 DFT DCT DST DHYT DWT DHT

odinakova ×transponirovanna ×soprenna –obratna ×


Cifrovo izmeritel~ny pribor dolen rassqityvat~ i pokazy-vat~ DFT-spektr sinusoidal~nogo signala qastoto 100 Gc. Dltogo vy ustanovili v izmeritel~nom pribore oblast~ izmereni200 Gc. Vy znaete, qto togda vnutri ispol~zuets 2 1

2 -kratna qastotadiskretizacii. Issledute dva sluqa:

• izmeritel~ny pribor registriruet lix~ 256 znaqeni• izmeritel~ny pribor registriruet 8192 znaqeni

Naskol~ko veliko sootvetstvenno vrem sbora ili nabldeni sig-nala? Naskol~ko veliko sootvetstvenno qastotnoe razrexenie? Budetli pri 100 Gc vyqislen spektral~ny kofficient?


Kakomu bystromu preobrazovani prinadleit sleduwee uravne-nie? Kakie zadani imet ti tri matricy?

T =1

2·

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

·

+1 +1 0 0

0 0 +1 +1

+1 −1 0 0

0 0 +1 −1

·

+1 +1 0 0

0 0 +1 +1

+1 −1 0 0

0 0 +1 −1


Skonstruirute dl signala fn cifrovo fil~tr verhnih qastot vqastotno oblasti, kotory propuskaet qastoty tol~ko vyxe nul.2 diskretnoe ediniqnoe preobrazovanie

4.8. ZADAQI 251

Dan snova signal:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

fn 1 2 3 1 −1 −1 −1 0

Izobrazite otfil~trovanny signal gn.


Skonstruirute dl signala fn sekventny fil~tr ninih qas-tot, kotory ustranet (priravnivaet k nul) vse spektral~nyekofficienty krome dvuh, takim obrazom signal stanovits sograniqenno poloso sekvent. Izobrazite otfil~trovanny signalgn. Kak vygldt sekventno-ograniqennye signaly?


Rassqitate pri pomowi ortogonal~no matricy dl diskretno-go kosinus-preobrazovani DCT-spektr kvadratnogo izobraeni 8×8piksele. Vhodnoe izobraenie B – to «sery klin» s gradaci-mi serogo 0 . . . 7. Gradacii serogo naqinats sleva s qernogo cve-ta (gradaci serogo nul~) i vozrastat sootvetstvenno na edinicunapravo. Fil~trute teper~ v oblasti spektra putem obnuleni tehDCT-kofficientov, moduli kotoryh ne prevoshodt 10% naibol~xegokofficienta. Preobrazute obratno i sravnite vhodnoe i vyhodnoeizobraenie.


Pri obrabotke izobraeni ohotno vmesto ortogonal~no matricyHaara (sm. str. 296) ispol~zuets matrica vevleta Haara:

DWLT =1

8·

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 −1 −1 −1 −1

2 2 −2 −2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 2 −2 −2

4 −4 0 0 0 0 0 0

0 0 4 −4 0 0 0 0

0 0 0 0 4 −4 0 0

0 0 0 0 0 0 4 −4

Issledute sleduwie matriqnye svostva: pordok, opredelitel~ iortogonal~nost~. Vyqislite obratnu matricu. Kakie preimuwestva


i nedostatki imets pri ispol~zovanii to matricy pri obrabotkeizobraeni?


Nekotorye algebraiqeskie programmy predlagat pol~zovatelm taknazyvaemye D4-vevlety3 ot Ingrid Dobqi:

• Maple funkcie with(D4Wavelets)• Mathcadfunkcimi wave() i iwave()• MATLAB funkcimi dwt() i idwt()

Sozdate kvadratnu matricu preobrazovani D4 razmerom 8×8 iissledute ee na ortogonal~nost~.

3 s qetyr~m kofficientami fil~tra po uravneni 4.168 na str. 244

Glava 5

Primery primeneni

Instrumenty obrabotki signalov, kak oni byli predstavleny vglavah 3 i 4, ffektivny tol~ko pri pravil~nom primenenii. Zadaqik tim glavam dali pervoe vpeqatlenie ob ih praktiqeskom znaqenii.V posledne glave knigi bolee podrobno predstavleno tri primeraprimeneni. Oni vlts rezul~tatami issledovatel~skih proek-tov raboqe gruppy obrabotki signalov i raspoznavani obra-zov fakul~teta informatiki Berlinskogo universiteta imeni Gum-bol~dta. Pri vybore proektov rexawim faktorom stala ne aktu-al~nost~, a svz~ s predstavlennymi v danno knige instrumentamivremenno ili prostranstvenno oblasti i instrumentami oblastispektra. Qetverty, nebol~xo primer v qasti 5.4, (ewe) ne bylpredmetom issledovani; odnako, my hotim ego predstavit~, t.k. naego primere demonstriruets potencial odnovremennogo vremennogo ispektral~nogo analiza.

5.1 Klassifikaci transportnyh sredstv

Cel~ proekta

Nauqna rabota nad problemami razorueni i medunarodno bez-opasnosti svzana v pervu oqered~ s politiko i rispruden-cie. Odnako, estestvennye i inenernye nauki s ih matemati-qeskimi, estestvoznatel~nymi i nauqno-tehniqeskimi metodami takemogut sposobstvovat~ uregulirovani i lokalizacii konfliktov.Primerom sluit neposredstvenny kontrol~ sokraweni obyqnogoorui metodom kooperativno proverki. Kooperativna proverka oz-naqaet pereproverku sobldeni vzaimnogo soglaxeni. Ona imeet– naprimer, po sravneni so sputnikami – rd preimuwestv. K nimprinadleit raskrytie informacii o harakteristikah sistem oboru-dovani, odinakova dostupnost~ dl vseh stran v poluqenii infor-macii i garanti, qto dannye sistemy ne sluat planirovani voen-

253

254 GLAVA 5. PRIMERY PRIMENENI

nyh destvi. Issledovatel~ski proekt raspoznavani transportnyhsredstv byl vklqen v Bohumski proekt proverki (BVP), kotorybyl osnovan v 1988 godu na III -em fakul~tete ksperimental~no fizi-ki Rurskogo universiteta v Bohume [59]. V nastowee vrem oni kon-centriruts v drugo oblasti razorueni v Nemeckom FiziqeskomObwestve (DPG).Raboqa gruppa zanimalas~ issledovanimi fiziqeskih voprosov ra-zorueni. Cel~ issledovatel~skogo proekta naxe raboqe gruppy,rezul~taty kotorogo zdes~ predstavleny, byla pereproverka mero-priti razorueni i ograniqeni. Ona dolna byla proishodit~putem obnarueni i identifikacii telyh voennyh nazemnyhtransportnyh sredstv (tanki, voskovo transport). Iz bolee rannihrabot bylo izvestno, qto takoe obnaruenie principial~no vozmonoposredstvom signalov, kotorye ishodt iz dviuwihs transportnyhsredstv i soderat informaci ob ih svostvah [60]. Sbor, obrabotkai izvleqenie relevantnyh svedeni daet vozmonost~ delat~ vyvodyo tipe transportnogo sredstva, momente, meste ili napravleniidvieni. Potomu zadaqe issledovatel~skogo proekta vllas~razrabotka sistemy ustrostv, kotora vypolnet obrabotku akusti-qeskih i sesmiqeskih signalov, posylaemyh transportnymi sredst-vami. Akustiqeskie i sesmiqeskie signaly imet preimuwestvo vtom, qto ih mono registrirovat~ pri pomowi datqikov, ne zavisimyhot pogody ili osveweni pri srednem udalenii (do neskol~kih sotenmetrov). Dl ocenki mownosti i granic takih sistem nabldenipri ispol~zovanii v mirnom soglaxenii i soglaxenii razoruenineobhodimy nadenye svedeni o signalah, proizvedennyh transport-nym sredstvom, i o tipiqnyh pomehah, takih, kak pogoda, drugie trans-portnye sredstva ili ivotnye. ti svedeni dolny sobirat~s vreal~nyh uslovih i s novo razrabatyvaemo sistemo ustrostv.

Stroenie sensorno stancii

Dl rexeni zadani byla sproektirovana, postroena i ispytana av-tomatiqeski rabotawa sistema, kotora obespeqivaet postonnoenabldenie za kontrol~nymi linimi, o kotoryh dogovarivats vsoglaxenii razorueni ili mirnom dogovore. Sistema – v posle-duwem nazvanna sensorno stancie – dolna byla provlt~ rdspecifiqeskih kaqestv. Ona dolna byla obrabatyvat~ kak oqen~malen~kie, tak i oqen~ bol~xie signaly, t.e. diapazon dinamikiznaqitel~no vyhodil za ramki kommerqeski dostupno izmeritel~notehniki. S drugo storony, sistema dolna byla byt~ nadenoi ustoqivo k atmosfernym vozdestvim, a take, vvidu predus-motrennogo dolgovremennogo ispol~zovani, rashodovat~ nebol~xoekoliqestvo nergii. Dopolnitel~noe trebovanie zaklqalos~ v tom,qto take registrirovalis~ i parametry pogody, t.k. pogoda moetuhudxat~ kaqestvo sbora signala.

5.1. KLASSIFIKACI TRANSPORTNYH SREDSTV 255

Kak rezul~tat issledovatel~skih rabot, voznikla sensorna stanci(ris. 5.1), kotora dokazala svo ffektivnost~ na primere 1 000 za-pise proezavxih telyh nazemnyh transportnyh sredstv i ihraspoznavani.

Ris. 5.1: Sensorna stanci

Cep~ obrabotki signalov: Dalee predstavleny vanexie dl ob-rabotki signalov lementy sensorno stancii, priqem razsnenieosnovyvaets na cepi obrabotki signalov, predstavlenno vo vtoroglave. Zatem korotko opisano ispol~zovanie sensorno stancii varmii. Posle togo pokazano, kakie qastiqnye zadani proektarexeny s izbrannymi instrumentami iz glav 3 i 4.Proektirovanie sistemy, obrabatyvawe signaly, opredellos~trebovanimi: akustiqeskie i sesmiqeskie signaly, krome togostandartnye pogodnye signaly, dolny byli sobirat~s i obra-batyvat~s. T.k. req~ idet ob analogovyh signalah, zadanie sostolov realizacii lementov, kak dl analogovo, tak i dl cifrovoobrabotki signalov. Sensorna stanci razrabatyvalas~ v kaqestvemnogokanal~no sistemy. Cep~ obrabotki signalov sensorno stancii(ris. 5.2) daet obzor lementov i, vmeste s tem, rexaemyh qastiqnyhzadani. Datqikami stancii vlts geofony i mikrofony. Analo-govy lektriqeski vyhodno signal podaets na qetyrehkanal~nyevhodnye lementy, kotorye sostot iz predvaritel~nogo usilitel,analogovogo fil~tra ninih qastot i avtomatiqeskogo vybora diapa-zona izmereni. Ostal~nye lementy vlts sostavnymi qastmiplaty signal~nogo processora i platy so standartnym mikroproces-sorom. Na ris. 5.2 pokazano razdelenie medu analogovo i cifrovoobrabotko.

Vse moduli postroeny tak, qto informaci dl algoritmov de-tektirovani transportnyh sredstv obrabatyvaets bez poter~.Neskol~ko sensornyh stanci mogut obwat~s medu sobo pri


Vorver-stärker

TiefpassMess-bereichs-wähler

GeofonX

GeofonY

GeofonZ

Eingangsbaugruppen

16-bit-ADU

Sig

nalp

roze

ssor

TM

S 3

20 C

32

Mik

ropr

ozes

sors

yste

m

Ethernet10 Mbit/s

16-bit-ADU

16-bit-ADU

16-bit-ADU

Mess-bereichs-wähler



Tiefpass

Tiefpass

Tiefpass

Vorver-stärker

Vorver-stärker

Vorver-stärker

Signalprozessor-platine ADC64

Einplatinen-PC

Mikrofon

analoge Signalverarbeitung digitale Signalverarbeitung

PCI

Ris. 5.2: Cep~ obrabotki signalov sensorno stancii

pomowi vyxestowego komp~tera.

Datqiki: Akustiqeskie i sesmiqeskie signaly voznikat nepre-ryvno i dolny podavat~s qerez mikrofon (ris. 5.3) i geofon(ris. 5.4) na analogovye vhodnye lementy. Mikrofon prevrawaetzvukovye volny v lektriqesku veliqinu, geofon – nazemnye vi-bracii (sr. qast~ 2.4). Take imeets datqik vlanosti, datqikatmosfernogo davleni i datqik temperatury dl uqeta pogodnyhsignalov.

Ris. 5.3: Mikrofon dl primeneni pod otkrytym nebom (quvstvi-tel~nost~ 50 mV/Pa, qastotna oblast~ ot 3 Gc do 20 kGc)

Vhodno lement: Vhodno lement sostoit iz qetyreh odinakovopostroennyh kanalov, kotorye vyboroqno ispol~zuts dl sig-nalov mikrofona ili geofona. Vanexe zadaqe togo lementavlets ograniqenie polosy analogovyh (nepreryvnyh) signalov.Ograniqenie polosy trebuets dl sobldeni teoremy otsqetov(sr. qast~ 2.3). Pomimo togo, proizvodits odnovremenny, mno-gokanal~ny sbor, kotory obespeqivaet adaptaci impedansa iusileni, a take predvaritel~no obrabatyvaet pogodnye signa-ly (otnositel~na vlanost~, atmosfernoe davlenie i vnutrenntemperatura ustrostva). Ris. 5.5 pokazyvaet vhodno lement,


Ris. 5.4: Geofon (quvstvitel~nost~ 26 V/(m/s), qastotna oblast~ ot1,6 Gc do 300 Gc)

realizovanny kak vstraivaemy komp~terny modul~.

Ris. 5.5: Vhodno lement sensorno stancii

Shema vyborki i hraneni i analogo-cifrovo preobrazovatel~: Vo-ennye transportnye sredstva mogut nahodit~s ot sensorno stanciina razliqnom udalenii. to vlets priqino togo, qto, k primeru,sesmiqeskie signaly nahodts v diapazone znaqeni ot mikromet-ra v sekundu do decimetra v sekundu, priqem, xirina polosy qas-tot v kranem sluqae moet sostavlt~ bolee 10 kGc. V svzi stim analogo-cifrovomu preobrazovatel neobhodimo imet~ oblast~dinamiki bolee qem 20 bit amplitudnogo razrexeni i qastotudiskretizacii minimum 20 kGc. Ris. 5.6 pokazyvaet blok-shemu ACP,kotora vypolnet ti trebovani.Princip togo preobrazovani sostoit v otdel~nom opredelenii man-tissy i pokazatel stepeni dl ocifrovanno izmerenno veliqiny.


Digitale Steuerung

Abtast-Halte-Schaltung

ADU fürMantisse

Komparator Register Decoder

v11= 124

16

v12= 148

16

Exponent

Mantisse

Eingangs-signal

Ris. 5.6: Blok-shema analogo-cifrovogo preobrazovatel vysokogorazrexeni

to proishodit po sleduwim xagam:Signaly geofona ili mikrofona popadat snaqala na usilitel~s programmiruemym usileniem (vybor oblasti izmereni). Onmoet proizvodit~ predvaritel~noe usilenie 1, 2, 4 i 8. Za nimsleduet fil~tr ninih qastot 5-go pordka s predel~no qastoto10 kGc i fil~tr verhnih qastot s predel~no qastoto 1 Gc. Dlpredvaritel~nogo usilitel i fil~tra ispol~zuts maloxumnyeoperacionnye usiliteli. Do xiriny polosy ot 1 Gc do 10 kGcograniqenny signal podaets na ustrostvo sqityvani i uder-ivani. Startovu komandu ta stupen~ poluqaet ot signal~nogoprocessora, kotory opredelet naqalo analogo-cifrovogo preobra-zovani. Sleduwa shema proizvodit iz module signala usileniemedu 1 i 256. Vosem~ vozmonyh kofficientov usileni usilitelev11 i v12 iz ris. 5.6 vsegda vybirats tak, qtoby usilenny signalpo modul nahodils v oblasti ot +5 V do +10 V. Signal umnoaetsna sootvetstvuwi kofficient usileni. Odnovremenno oprede-lets pokazatel~ stepeni i kodiruets 4 bitami. Pokazatel~ stepenipostupaet primerno qerez 10 µs posle startovo komandy. Usilennysignal peredaets 16-bitnomu ACP, kotory perevodit ego za 4 µsv celoe dvoiqnoe qislo. Ocifrovanna izmerenna veliqina imeetmaksimal~nu veliqinu 8 388 352 i minimal~nu veliqinu 1, iz qego,vklqa znakovy bit, poluqaets maksimal~na dinamika 144 dBili 24 bita. Uqityva vrem preobrazovani dl preobrazovatelpokazatel stepeni i mantissy, izmeritel~ny kanal moet postav-lt~ kadye 20 µs izmerennu veliqinu. to sootvetstvuet qastotediskretizacii 50 kGc dl kadogo kanala.

Predobrabotka cifrovym signal~nym processorom: Cifrovo sig-nal~ny processor (DSP) primenets dl vyqisleni cifrovoizmerenno veliqiny iz otdel~nyh rezul~tatov preobrazovani,sbora rezul~tatov vseh qetyreh kanalov, ih promeutoqnogo zapomi-


nani, snabeni vremennymi xtempelmi i peredaqi v podhodwiemomenty mikroprocessoru.

Predobrabotka mikroprocessorom: Mikroprocessor na odnoplat-nom komp~tere vypolnet pobloqnoe qtenie i promeutoqnoezapominanie qetyreh pizodov signala, vklqaet ih v protokol sustanovko soedineni i otpravlet signal~nye pakety s maksi-mal~no skorost~ peredaqi 10 Mbit v sekundu qerez interfesEthernet v vyxestowi komp~ter. Qerez nego moet take konfi-gurirovat~s sensorna stanci. K konfiguracii prinadleat vyborsignal~nyh vhodov, ustanovka predvaritel~nogo usileni i qastotydiskretizacii.

Interfesy dl kommunikacii: Dl peredaqi itogovyh rezul~tatovi signalov v central~ny komp~ter ispol~zuets interfes Ethernet,a take posledovatel~ny interfes (naprimer, dl prisoedinenikommerqesko meteostancii).

Testovye izmereni

Oblast~ dinamiki sensorno stancii byla protestirovana v labo-ratorii. Dl togo sesmiqeskie signaly byli imitirovany udara-mi molota. Ris. 5.7 pokazyvaet rezul~taty izmereni s oblast~ di-namiki 138,5 dB ili 23 bita.

Ris. 5.7: Udar molota kak testovy signal dl kanala geofona

Dve sensornye stancii byli podvergnuty proverke na proqnost~vo vrem qetyrehnedel~nogo ksperimenta v Meppene pri voenno-tehniqesko komandno instancii po orui i boepripasam Bun-desvera. K transportnym sredstvam prinadleali guseniqnye ikolesnye maxiny sleduwih tipov:

• 5 guseniqnyh maxin: boevo tank «Leopard 1», «Leopard 2» iM 48, istrebitel~ tankov «guar» i bronetransporter «Vizel~»,


• 5 kolesnyh maxin: bronetransportery «Fuks» i «Hermelin»,gruzoviki «Unimog», MB 1017 i vn VW 70X0C.

Izmereni provodilis~ v razliqnyh uslovih, naprimer, na dorogahs betonnym pokrytiem i pesqanyh dorogah, so skorost~ ot 5 km/qdo 40 km/q, pri neznaqitel~nyh i sil~nyh okruawih xumah i prirazliqnyh meteouslovih.V svzi s issledovatel~skim proektom nuno bylo rexit~ mnoest-vo problem, dl kotoryh vstupali v destvie raznye instrumentyobrabotki signalov. V dal~nexem – otdel~no vo vremenno oblastii oblasti spektra – budut vyboroqno predstavleny nekotorye iz nih.

Izbrannye zadani obrabotki signalov vo vremennooblasti

Ris. 5.8 pokazyvaet tipiqnoe vremennoe prohodenie akustiqeskogosignala transportnogo sredstva. Req~ idet o proezawem trans-portnom sredstve tipa «Vizel~». Priqino mexawego signalapriblizitel~no pri 50 s vlets naloenie vystrela.

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

020 40 60 t [s]

p t( )

Ris. 5.8: Signal mikrofona guseniqno maxiny «Vizel~»

Prede qem proizvodit~ obrabotku signala dalee, nuno proanalizi-rovat~ te svostva signala, kotorye ograniqivat primenenie opre-delennyh instrumentov. K takim svostvam prinadleit, naprimer,stacionarnost~. Pri obrabotke signalov bol~xinstvo metodov pred-polagat naliqie stacionarnosti analiziruemyh signalov. Potomutrebuets proverka na stacionarnost~ ili nestacionarnost~.

Test stacionarnosti: V qasti 3.1 (sm. str. 84) bylo ukazano na to,qto stacionarnost~ moet razliqat~s na sil~nu i slabu. T.k.


na praktike qasto nevozmono podtverdit~ postonstvo funkciiraspredeleni, to qasto ograniqivats dokazatel~stvom slabostacionarnosti.Take to trebovalos~ i zdes~, t.k. dl ocenki signalov transportno-go sredstva dolny byli priment~s ortogonal~nye preobrazovani.Odnako, ustanovlenie opredelenno qasti signala dl sleduweobrabotki vano potomu, qto vmeste s tem opredelets qastotnoerazrexenie (sm. uravnenie 4.125). Dl melkogo qastotnogo razrexe-ni nuno bylo by vybirat~, vozmono, bolee dlinny interval. Sdrugo storony, stacionarnost~ v sluqae peredvigawihs trans-portnyh sredstv garantirovana tol~ko na otnositel~no korotkomintervale.Esli dal~nexa obrabotka vremennyh signalov proishodit voblasti spektra i primenets bystroe preobrazovanie, to dopolni-tel~no trebuets opredelt~ dlinu intervala stepen~ dvoki.V literature opisany razliqnye testy na nestacionarnost~. Vramkah diplomno raboty [61] byl ispol~zovan test iz [63]. Metodpooqeredno issleduet vremennu nezavisimost~ statistiqeskihmomentov (sr. qast~ 3.1.2) v teste A i ih spektral~nu funkciv teste B. Ispytyvalis~ akustiqeskie signaly pti guseniqnyhmaxin s razno dlino okna. Ona prostiralas~ ot 29 = 512 do213 = 8192 otsqetov. Pri qastote diskretizacii 1250 Gc dlina oknas 2048 izmerennymi znaqenimi sootvetstvuet prodolitel~nostinabldeni 1638,4 ms.

Test postroen na nulevo gipoteze, qto momenty ili spektral~nyefunkcii qaste signala ne otliqats, t.e. imeets slaba sta-cionarnost~. Esli nuleva gipoteza s zavlenno verotnost~oxibki ne podtverdaets, to signaly nestacionarnye. V protivnomsluqae stacionarnost~ moet predpolagat~s (odnako, ne sqitaetsdokazanno).Dl testa A signal razdelets na bloki odinakovo prodoli-tel~nosti. Dl kadogo bloka rassqityvaets gistogramma (uravne-nie 3.20). Gistogrammy podvergats sravneni s testom χ2, priqemdispersii ocenivats iz signalov. Dl kadogo bloka proishoditvyqislenie avtokorrelcionno funkcii rm po uravneni 3.63 i spomow~ nee nergii signala |Fm|2 po uravneni 4.47. Dl testa Brassqityvats gistogrammy ot Fm i proverts take s testom χ2.Sleduwa tablica pokazyvaet, naskol~ko velika dol stacionarnyhblokov dl otdel~nyh dlin bloka.


dol stacionarnyh blokov pridlina bloka test A test B

512 89% 93%1024 76% 80%2048 55% 59%4096 32% 38%8192 15% 25%

Dl kadogo tipa transportnogo sredstva rezul~taty ne odinakovye.Esli dlina bloka vybiraets ravno 1024 otsqetam, to poluqatsraznye doli stacionarnyh blokov:

dol stacionarnyh blokov pritip test A test BLeopard 1 72% 94%Leopard 2 75% 77%guar 77% 77%M 48 82% 88%Vizel~ 80% 76%

Rezul~tat testa na stacionarnost~ pokazyvaet, qto neobhodimovybrat~ verhn granicu dl dliny bloka. Esli ee sobldat~,to sleduwi xag obrabotki vedet k pravil~nym rezul~tatam. tagranica leit dl akustiqeskih signalov transportnogo sredstva pri2048 otsqetah, t.e. 1638,4 ms. Takim obrazom, posleduwa obrabotkasignalov dolna proizvodit~s s qastmi signala, kotorye soderatmaksimal~no 2048 otsqetov.

Fil~traci signala: Razliqnye vlini okruawe sredy uhud-xat kaqestvo izmereni. Neobhodimym predvaritel~nym mero-pritiem obrabotki vlets fil~traci signala dl podavlenixuma vetra. Ris. 5.9 pokazyvaet povredenny xumom vetra signalmikrofona dvuh proezavxih kolesnyh maxin «Fuks».

Pri pomowi cifrovogo fil~tra, fil~tra verhnih qastot 10-go pord-ka s predel~no qastoto 10 Gc, otfil~trovanny signal predstavlenna ris. 5.10. Otqetlivo vidno, qto nizkoqastotnye qasti signala, vyz-vannye davleniem vetra, otsutstvut i, takim obrazom, xum trans-portnogo sredstva otdelets fil~tracie verhnih qastot.

Izbrannye zadani obrabotki signalov v oblasti spektra

Raspoznavanie tipa transportnogo sredstva – to zadanie klassi-fikacii. Qtoby ego rexit~, trebuets opredelit~ priznaki dl


Ris. 5.9: Signal mikrofona s nizkoqastotnymi pomehami xuma vetra

Ris. 5.10: Signal mikrofona bez xuma vetra

otdel~nyh izmereni signalov transportnogo sredstva.

Ortogonal~nye preobrazovani: Qasto spektral~nye parametryoqen~ podhodt v kaqestve priznakov. V spektral~nyh kofficientahmoet soderat~s informaci o specifiqeskih svostvah sootvet-stvuwih predstavitele klassa. Qtoby issledovat~, vypolntli spektral~nye parametry dl nastowego sluqa ti oidani,signaly podvergalis~ razliqnym ortogonal~nym preobrazovani-m i rezul~taty sravnivalis~ drug s drugom. Opisanie podhoda,predstavleni i obsudenie rezul~tatov – to take sostavnaqast~ vyxenazvanno diplomno raboty [61]. Osnovo issledovanivllis~ qasti signala dlino 1024 i 2048 pti guseniqnyh ma-xin. Ispol~zovalis~ bystroe preobrazovanie Fur~e, bystroekosinus-preobrazovanie i preobrazovanie Hartli. Pered rasqetomdiskretnogo preobrazovani Fur~e i Hartli signaly byli umnoenyna funkcii okna (sr. qast~ 4.3.5) dl umen~xeni rastekani spektra.Ispol~zovalis~, v tom qisle, okno Hmminga i okno Hanna. Sle-duwa tablica pokazyvaet, qto pri reklassifikacii obuqawevyborki ili pri novo klassifikacii transportnyh sredstv ti


okna priveli k raznym rezul~tatam.

okno reklassifikaci nova klassifikaciHmminga 95% 62%Hanna 94% 56%prmougol~noe 93% 56%

Rezul~taty diskretnogo preobrazovani Fur~e akustiqeskih sig-nalov guseniqno maxiny «Vizel~» predstavleny na ris. 5.11 naprimere rassqitannyh spektrov. Ris. 5.11 a) pokazyvaet rassqi-tanny iz signalov mikrofona modul~ny spektr, kotory bylnormirovan iz-za neizvestnogo udaleni transportnyh sredstv otmikrofona. Dl togo summa vseh kofficientov bralas~ za 100%.Risunok demonstriruet, qto spektr pri 300 Gc praktiqeski zatuhaet.Na ris. 5.11 b) predstavlena qast~ spektra. Rezul~taty kosinus-preobrazovani i preobrazovani Hartli pokazany na ris. 5.12.

0,04

0,02

01000 200 300 400 500 f

0,04

0,02

050 100 150 200 250 f

|F |a)

|F |b)

[Hz]

[Hz]

Ris. 5.11: Modul~ny spektr DFT signala mikrofona guseniq-no maxiny «Vizel~», a) normirovanny modul~ny spektr DFT,b) izbranna oblast~

Selekci priznakov: Pri pomowi statistiqesko programmy izspektrov byli vybrany kofficienty, kotorye luqxe vsego pod-hodili dl razdeleni transportnyh sredstv na klassy. Hotmetody klassifikacii ne vlts predmetom dannogo uqebnika,


200 400 600 800 f

100 200 300 400 f

1

0

–1

1

0

–1

800 f600400200

0,5

0

–0,5

0,5

0

–0,5100 200

0,5

0

–0,5800 900 ff [Hz]

F

F

F

FF

a)

b)

[Hz]

[Hz]

[Hz]

[Hz]

Ris. 5.12: Drugie spektry signala mikrofona guseniqno maxiny«Vizel~», a) DCT-spektr s izbranno oblast~, b) DHYT-spektr sdvum izbrannymi oblastmi


sleduet otmetit~, qto dl raspoznavani transportnogo sredstvapo spektral~nym priznakam naxli primenenie klassifikatory pominimumu rasstoni. Pered tim qislo priznakov bylo sokrawenodispersionnym i diskriminantnym analizom. Interesno sravnenieffektivnosti ispol~zuemyh preobrazovani:

preobrazovanie reklassifikaci nova klassifikaciDFT 89% 79%DCT 82% 23%DHYT 77% 24%

Diskretnoe preobrazovanie Fur~e v tom primenenii prevoshoditoba drugih preobrazovani.Rezul~tat dl 5 guseniqnyh maxin, kotory byl dostignut posleobrabotki signalov so vsemi predstavlennymi metodami, baziru-wimis na tehniqeskom i programmnom obespeqenii, pokazyvaet taknazyvaema matrica oxiboqno klassifikacii:

raspoznanny tiptip Leo 1 Leo 2 guar M 48 Vizel~Leopard 1 92% 0% 0% 8% 0%Leopard 2 0% 68% 4% 4% 24%guar 0% 4% 76% 12% 8%M 48 0% 0% 4% 96% 0%Vizel~ 0% 0% 0% 0% 100%

Zainteresovanny qitatel~ nadet dal~nexie podrobnosti proektav [61, 62].

5.2 Avtomatizaci izmereni krovosnabeni

Cel~ proekta

Pri diagnoze opredelennyh konyh zabolevani, takih kaknerodermit ili sistemna sklerodermi, igraet rol~ povtor-noe nagrevanie akral~nyh oblaste. Akral~nymi nazyvats qastitela, kotorye nahodts na bol~xom rasstonii ot centra tela, serd-ca. K nim otnosts, naprimer, pal~cy ruk, nog i konqik nosa. Qtobyustanovit~ stepen~ i skorost~ povtornogo nagrevani akral~nyhoblaste, u pacienta pod kontrolem ohladaets, naprimer, egoukazatel~ny palec. Vo vrem sleduwego povtornogo nagrevanimono registrirovat~ temperaturu. Po izmeneni temperaturyopredelets svostvo koi ili naruxenie krovosnabeni.Dalee opisyvaets razrabotka izmeritel~nogo pribora, kotorym reg-

5.2. DVONO DATQIK 267

istriruets i ocenivaets povtornoe nagrevanie akral~nyh oblaste.

Stroenie dvonogo datqika

Izmeritel~ny pribor dolen udovletvort~ trebovanim kli-niqesko praktiki: prostota v primenenii, beskontaktnoe izmere-nie temperatury i krovosnabeni, horoxa vosproizvodimost~izmereni, vozmonost~ dal~nexe cifrovo obrabotki, hrane-nie izmerennyh znaqeni i neznaqitel~na nagruzka dl pacienta. Vramkah diplomno raboty [67] byl razrabotan izmeritel~ny priborpod nazvaniem dvono datqik, kotory vypolnil vse vyxenazvan-nye uslovi i okazals prigodnym v dolgosroqnom ispol~zovanii.Ris. 5.13 pokazyvaet dvono datqik vo vrem izmereni.

Ris. 5.13: Dvono datqik dl opredeleni povtornogo nagrevaniakral~nyh oblaste i povtornogo krovosnabeni

Rassmotrim stroenie izmeritel~nogo pribora na osnove ego cepiobrabotki signalov (ris. 5.14).

Ustrostvo soderit datqiki dl sbora znaqeni, a take lementydl analogovo predobrabotki i dl ocenki izmereni. Vstroennymikrokontroller SAB 80C537v soqetanii s LCD-displeem pozvoletpredstavlt~ rezul~taty srazu e posle izmereni. Upravleniedvonym datqikom proizvodits lix~ qetyr~m funkcional~nymi


IR-Sender

IR-Emp-fänger

Thermo-Element

Anti-alias-

Tiefpass

Anti-alias-

Tiefpass

Anti-alias-

Tiefpass

fg=0,5 Hz

Mik

roco

ntr

olle

r8

0C

53

7

fg= 40 Hz

fg=0,16Hz

Bitte wählen:Mes Mem LCD Com

Ris. 5.14: Cep~ obrabotki signalov dvonogo datqika

klavixami i uprowena nagldnym men. Personal~ny komp~terne trebuets. Lix~ pri neobhodimosti vse izmerennye znaqenimogut perenosit~s qerez vstroenny posledovatel~ny interfesna personal~ny komp~ter, plotter ili printer. Vse predprintyepol~zovatelem nastroki, a take rezul~tat poslednego izmerenisohrants take posle vyklqeni raboqego napreni i naho-dts v rasporenii pri sleduwem ispol~zovanii. Obxirnyefunkcii po samotestu pomogat bystro lokalizovat~ oxibku vlementah dvonogo datqika.

Izmerenie temperatury: Beskontaktnoe opredelenie temperatu-ry koi putem infrakrasnogo izluqeni v oblasti ot 8 µm do14 µm dokazalo svo prigodnost~ v kliniqesko praktike uedavno [64]. Dl izmereni temperatury v kaqestve datqika bylvybran special~ny infrakrasny termolement. On otliqaets nez-naqitel~nymi gabaritami, optimal~nym diametrom izmeritel~nogo«ptna» 10 mm i horoxim sootvetstviem s neobhodimo oblast~temperatury i dliny voln. Vyhodno signal infrakrasnogo ter-molementa podgotavlivaets v integrirovannom termolementnomusilitele i podaets na antialiasingovy fil~tr ninih qastot.Ego zadaqa ograniqivat~ signal po xirine polosy propuskani, qto-by teorema otsqetov mogla vypolnt~s (sr. qast~ 2.3). Ograniqenietemperaturnogo signala proishodit s predel~no qastoto fil~traninih qastot fg = 0,5 Gc, t.k. temperatura vlets medlenno iz-menwims signalom (sr. qast~ 2.4.3). Analogovy, s ograniqennopoloso temperaturny signal – to vhodno signal mikrokon-trollera. On realizuet diskretizaci (odno izmerenie v sekundu) is integrirovannym analogo-cifrovym preobrazovatelem take ocif-


rovku signalov i posleduwie zadani obrabotki signalov. Ris. 5.15pokazyvaet tipiqnoe povtornoe nagrevanie akral~no oblasti.

Ris. 5.15: Tipiqny hod povtornogo nagrevani akral~no oblasti

Izmerenie krovosnabeni: Dl beskontaktnogo opredeleni sosto-ni krovosnabeni byla razrabotana kombinaci «ispolnitel~nymehanizm – datqik» (fotolektriqeski bar~er), kotora osnovy-vaets na principe fotopletizmografii [65]. Na tot raz istoqnikomsveta sluit infrakrasny izluqatel~ s dlino volny nie 1 µm.U vybrannogo mittera infrakrasnogo dioda tipa VX 301 maksimumizluqeni nahodits pri 895 nm. Otraenny ot konqika pal~ca in-frakrasny svet popadaet na datqik, kotory dl povyxeni quvstvi-tel~nosti sostoit iz qetyreh parallel~no soedinennyh fotodiodovBPW 34. Zavisimy ot osveweni fototok preobrazuets v znaqenienapreni. Ono sostoit iz postonno i peremenno sostavlwe.Naliqie peremenno sostavlwe obuslovleno pul~so-sinhronnymizmeneniem obema krovi v pal~ce. Posle usileni ona popadaetqerez fil~tr verhnih qastot (zdes~ predstavlen posredstvom kon-densatora i soprotivleni) k antialiasingovomu fil~tru ninihqastot. V dannom sluqae ispol~zovals integrirovanny fil~trninih qastot MAX 291, kotory predstavlet sobo fil~tr 8-gopordka s harakteristiko Battervorta (sr. qast~ 2.4.3). Predel~naqastota sostavlet 40 Gc. Na vyhode fil~tra ninih qastot anal-ogovoe, s ograniqenno poloso (pul~so-sinhronnoe) peremennoenaprenie, popadaet na mikrokontroller. On proizvodit analogo-cifrovoe preobrazovanie signala krovosnabeni, na tot raz speriodom diskretizacii 200 izmereni v sekundu. Sostowi izpostonno i peremenno sostavlwe fototok infrakrasnogodatqika podaets na antialiasingovy fil~tr ninih qastot,kotory obladaet, odnako, tol~ko predel~no qastoto 0,16 Gc.Vyhodno signal nahodits v rasporenii u mikrokontrolleradl ocenki. Mikrokontroller imeet, krome togo, i drugie zadani.Tak, naprimer, on dolen upravlt~ istoqnikom postonnogo toka,kotory proizvodit tok dl mittera infrakrasnogo dioda, i k


naqalu izmereni krovosnabeni v faze prisposobleni ustanavli-vaet avtomatiqesku adaptaci intensivnosti sveta k optiqeskimsvostvam sootvetstvuwego ukazatel~nogo pal~ca. Tem samym,otnoxenie signal/xum moet byt~ uluqxeno. Ris. 5.16 pokazyvaettipiqny hod povtornogo krovosnabeni akral~no oblasti poslevozdestvi holodom.

150

100

50

00 1 2 3 [min]

Anfangswert

Abkühl-phase

%

t

Ris. 5.16: Tipiqny hod povtornogo krovosnabeni akral~nooblasti (Anfangswert: naqal~noe znaqenie, Abkühlphase: faza ohla-deni)

Mono zametit~, qto povlwees znaqenie krovosnabeni moetleat~ vyxe pervonaqal~nogo urovn. Take i zdes~ rassqityvaetsharakteristiqeskoe znaqenie, a imenno, otnositel~na amplitudasignala krovosnabeni k naqal~nomu znaqeni.

lementy datqikov vmeste s trem peqatnymi platami analogovoshemy, cifrovo shemy, klaviatury i disple, a take korpusom,obrazut odnu konstruktivnu edinicu. Ona izobraena na ris. 5.17.

Testovye izmereni

Pri diagnostiqeskom issledovanii snaqala pereohladats podkontrolem qasti koneqnoste. Dl togo printo ohladat~ ukaza-tel~ny palec v ledno vode. Ledna voda obladaet dostatoqnopostonno temperaturo. Ohladenie v teqenie odno minutyvpolne dostatoqno, qtoby pri nastupawem povtornom nagrevaniiregistrirovat~ temperaturu i krovosnabenie. Dl ocenki signalymono approksimirovat~ pokazatel~no funkcie (skaqkoobraznyotklik lementa zaderki 1-go pordka). Dl togo trebuets lix~ustanovit~ vremennu konstantu, t.e. vrem, kotoroe prohodit dodostieni 63% pervonaqal~no poverhnostno temperatury ukaza-tel~nogo pal~ca pered ohladeniem [66].


Ris. 5.17: lementy dvonogo datqika

Ispol~zovanie dvonogo datqika ne ograniqeno diagnostiko. Takeego mono ispol~zovat~ pri kontrolirovanii terapii. Na ris. 5.18pokazano povtornoe nagrevanie u pacienta so sklerodermie do iposle infrakrasno A-gipertermii v processe terapii. Terapivleqet za sobo suwestvennoe uskorenie povtornogo nagrevani.

V zaklqenie hoqets otmetit~, qto danny izmeritel~ny priborokazals oqen~ prigodnym v kliniqeskom ispol~zovanii. Izmere-ni prosty, komfortabel~no vypolnimy i horoxo vosproizvodimy,t.k. izmeritel~ny reim upravlets mikrokontrollerom i temsamym obektiviruets. Prostota togo metoda izmereni bez kakogo-libo vmexatel~stva take pozvolet, naprimer, provodit~ izmere-ni pri terapevtiqeskom nabldenii. Podsoedinenie printera dldokumentacii i opcional~noe podklqenie personal~nogo komp~teradl arhivirovani i dal~nexe ocenki processa nagrevani i kro-vosnabeni povyxat komfort. Dal~nexie podrobnosti mononati v [67].


1

30000

t [s]

nachTherapie

vorTherapie

Ris. 5.18: Povtornoe nagrevanie akral~nyh oblaste do (vor) i posleterapii (nach Therapie)

5.3 Klassifikaci aggltinacii

Cel~ proekta

Cel~ togo proekta sostola v avtomatizacii ocenki transmission-nyh signalov. Posredstvom transmissionnyh signalov v medicinskolaboratorno diagnostike izmerets koncentraci sostavnyh qastekrovi i drugih idkoste tela. Vanoe vspomogatel~noe sredstvotih testov – to tak nazyvaemye planxety MTP (angl.: Microtiterplate). Oni sostot iz upordoqennyh v forme matricy reagent-nyh steklnnyh «misok» opredelenno formy (angl.: wells). Onitake nazyvats lunkami (angl.: cavity). Naprimer, v 8×12 = 96lunkah planxeta MTP ispytyvaema substanci nahodits v rdurazbavleni, t.e. v kado lunke opredelennoe koliqestvo testovosubstancii, kotora byla po-raznomu razbavlena rastvoritelem.Ris. 5.19 pokazyvaet qast~ takogo rda razbavleni.

Ris. 5.19: Vid skvoz~ lunki rda razbavleni v planxete MTP

Rezul~tat himiqeskih reakci v lunkah opisyvaets fiziqesko ve-liqino. Udobno izmerima veliqina – to absorbci (take ks-

5.3. KLASSIFIKACI AGGLTINACII 273

tinkci), destiqny logarifm otnoxeni padawego i propuwenno-go izluqeni. Ustrostvo, kotoroe moet izmert~ kstinkci, – tofotometr, kotory imenuets v laboratorno diagnostike kak MTP-Readerili sqityvawee ustrostvo. Takoe sqityvawee ustrostvoobluqaet planxet MTP sverhu ili snizu i izmeret propuwennoeizluqenie. Dl suwestvennyh izmereni diametr luqa zdes~ goraz-do men~xe, qem diametr lunki, qtoby pri prosveqivanii vodnis-togo rastvora mono bylo rasterizirovat~ diametr lunki. Esliprohodilo issledovanie na naliqie belkov, to v lunkah povllis~nerastvorimye obekty, kotorye nazyvats aggltinatami.Dl laboratorno diagnostiki oqen~ vano identificirovat~ tomesto (lunku) v planxete MTP, v kotorom naqinaets aggltina-ci (skleivanie) testovo substancii. Aggltinaci pokazyvaet,naprimer, prisutstvie ili otsutstvie antitel i ih koliqestvo. Pri-nto opisyvat~ perehod prozraqnogo, vodnistogo rastvora k aggl-tinacii znakami ±. Na ris. 5.19 predstavleno to oboznaqenie pereho-da.Cel~ proekta sostola v podgotovke izmereni transmissii i po-luqenii iz signalov priznakov, kotorye prigodny dl avtomatiqesko-go opredeleni perehoda k aggltinacii.

Obrabotka signalov

Neobhodimo bylo nati harakteristiku perehoda rastvora ot snogorezul~tata analiza (poloitel~ny) k otqetlivo koncentraciiaggltinatov (otricatel~ny). Nahodwies medu nimi sostonirastvora dolny byli harakterizovat~s kak «spornye».

Kak pokazano na ris. 5.19 voznikat vrawatel~no-simmetriqnyeizobraeni, kotorye mogut otobraat~s na odnomerny signaltransmissii. Ris. 5.20 pokazyvaet tipiqny hod krivyh transmissiiv rdu planxeta MTP.

Dl rexeni zadani byla proizvedena uqebna vyborka. Opyt-nye specialisty predprinli dl togo raspredelenie izmerenitransmissii na klassy «poloitel~ny», «sporny» ili «otri-catel~ny». ti raspredeleni oboznaqeny na ris. 5.20. Dlpoluqeni priznakov signaly byli preobrazovany v sekventnuoblast~ (sr. qast~ 4.3.4). Motivacie posluilo shodstvo transmis-si v interesuwih perehodah s opredelennymi funkcimi Uolxai slant-funkcimi. Ris. 5.21 pokazyvaet shodstvo funkcii Uolxa skrivo transmissii.

Slant-funkcii pohoi na funkcii Uolxa. Oni obrazut takeortogonal~nu sistemu, otliqats, tem ne menee, ot funkci Uolxatem, qto oni imet ne vsego lix~ dva znaqeni funkcii, a stupen-


Ris. 5.20: Hod krivyh transmissii v rdu planxeta MTP

wal(2, )θ

Ris. 5.21: Hod krivo transmissii i hod odno funkcii Uolxa

qatu formu. Oni byli vvedeny v 1971 godu nomoto i Xibatakak kompromiss medu garmoniqeskimi funkcimi sinus i kosinusi dvuhvalentnymi funkcimi Uolxa prmougol~no formy [68].Interesuwis qitatel~ nadet nagldnoe predstavlenie sistemynesinusoidal~nyh funkci v [69]. Ris. 5.22 pokazyvaet shodstvoslant-funkcii s krivo transmissii.

Vse rassqitannye kofficienty Uolxa i slant-kofficienty byliprovereny statistiqesko programmo po mul~tivariantnomu ana-lizu dannyh otnositel~no razdeleni na klassy. Kak optimal~noemnoestvo priznakov poluqilas~ linena kombinaci iz odno-go kofficienta Uolxa c2 i odnogo slant-kofficienta s2. tikofficienty otnosts k pokazannym na risunkah funkcim wal(2, θ)i −slant(2, θ). Esli v sisteme koordinat ispol~zuts obe rassqitan-nye linenye kombinacii kak abscissa i ordinata, to voznikaet pro-

5.4. ANALIZ PTIQ^IH GOLOSOV 275

–slant(2, )θ

Ris. 5.22: Hod krivo transmissii i hod odno slant-funkcii

stranstvo priznakov, v kotoroe mogut byt~ vneseny izmereni trans-missii (ris. 5.23).Na osnove vybrannyh priznakov proektirovals klassifikator.Protestirovav razliqnye klassifikatory, osobenno udaqnym okazal-s metod bliaxego soseda. On byl zaprogrammirovan kak obu-qaemy klassifikator i pokazal na praktike horoxie rezul~taty.

5.4 Analiz ptiq~ih golosov

Akustiqeska kommunikaci igraet vanexu rol~ ne tol~ko ulde, take i u ivotnyh volcionno sformirovalis~ slonyestruktury podaqi zvukovyh signalov. Oni v teqenie destiletivlts predmetom raznoobraznyh issledovani. Raspoznavanievida, vybor partnera, otnoxenie medu roditelmi i potomkami,poisk korma ili zawita territorii svzany s akustiqeskimi sig-nalami osobenno struktury. Ewe v 1807 godu Tomas ng predloilperenosit~ akustiqeskie kolebani pri pomowi membrany na pixuweeostrie i zapisyvat~ volnistymi linimi. Razvitie sonografov ipoze perenosnyh magnitofonov sposobstvovalo formirovanisobstvenno nauqno discipliny – bioakustiki [70]. Svedeni obinformacii, kotoru peredat ivotnye akustiqeskimi podaqamizvukovyh signalov, mogut sposobstvovat~ zawite nahodwihs podugrozo isqeznoveni vidov ivotnyh. Segodn u issledovateleakustiqesko kommunikacii ivotnyh imeets vozmonost~ vysoko-toqno zapisi i ocenki signalov. Ispol~zuemye pri zapish naotkrytom prostranstve uzkonapravlennye mikrofony imet vysokoekaqestvo, take zapis~ moet proishodit~ pri pomowi vysokoka-qestvennyh magnitofonov bez poteri informacii.

Pervoe vpeqatlenie o golose ivotnogo biolog poluqaet prinabldenii protekani signala vo vremeni, kotoroe nazyvat oscil-


10 20 30 40 50 342 –413c s2 2

40

35

30

25

20

15

10

580 –58s c2 2

positiver Befund

fraglich

ohne Befund

Ris. 5.23: Prostranstvo priznakov signalov transmissii s ko-fficientom Uolxa c2 i slant-kofficientom s2 (positiver Befund:poloitel~ny rezul~tat, fraglich: sporny, ohne Befund:otricatel~nyrezul~tat)

logrammo. Ris. 5.24 a) pokazyvaet oscillogrammu golosa ivotnogo.Bolee podrobnu informaci o strukture podaqi zvukovyh sig-nalov uqeny poluqaet, odnako, iz spektra akustiqeskih signalov.Esli fragmenty signala rassmatrivats kak stacionarnye, togdamono primenit~, naprimer, diskretnoe preobrazovanie Fur~e (sr.qast~ 4.3.1). Iz spektra vidno, predpoqitaet li ivotnoe opre-delennye qastoty, i o kakih qastotah pri tom idet req~. Eslisignal nestacionarny, ispol~zuets drugo instrument obrabotkisignalov, a imenno kratkovremennoe preobrazovanie (sr. qast~ 4.6).Pri nem obyknovenny rasqet kofficientov Fur~e korotkogofragmenta signala delaet vozmonym odnovremennoe ukazaniezavisimosti davleni zvuka ot qastoty i ot vremeni. Potomurezul~taty kratkovremennogo preobrazovani predstavlts vqastotno-vremenno ploskosti. V biologii qastotno-vremennoe pred-

5.4. ANALIZ PTIQ^IH GOLOSOV 277

stavlenie zvuka nazyvaets sonogrammo. Opytny bioakustik moetmnogoe raspoznat~ v sonogramme: vidy, populcii, individuumy ilivariacii strof pesni i t.d.

0 1 2Zeit [s]

Frequenz [kHz]4 8

0 1 21,50,5 Zeit [s]

4

8

Frequenz [kHz]

0

2

6

0

10

2 6 10

a) b)

c)

6

Ris. 5.24: Strofa iz peni muholovki-pestruxki (lat.: ficedula hypoleu-ca) v razliqnyh predstavlenih, a) v zavisimosti ot vremeni (oscil-logramma), b) modul~ny spektr kak rezul~tat diskretnogo preobra-zovani Fur~e, c) qastotno-vremennoe predstavlenie (sonogramma) suznavaemo imitacie qernyxa (naqina s 2 s)

Dalee predstavlen primer obrabotki signalov iz oblasti ptiq~ihgolosov. Ptiq~i golosa – to ne tol~ko oharakterizovannye vidompovedenqeskie priznaki, kotorye predstavlt sobo v bol~xinstvesluqaev pervostepennoe vspomogatel~noe sredstvo pri opredeleniivida. Zvukovye signaly ptic take dat informaci o zawite terri-torii, raspoznavanii vraga, geografiqeskih variacih ili granicahdialekta. Ris. 5.24 a) pokazyvaet oscillogrammu akustiqeskogosignala muholovki-pestruxki iz parka San-Susi v Potsdame.1 Naris. 5.24 b) pokazan rezul~tat diskretnogo preobrazovani Fur~e.

1 My blagodarim Petera Mefferta za predostavlennye zapisi i ih inter-pretaci.


Maksimum nahodits medu 4 kGc i 6 kGc. Bol~xu informaci ozapisannom zvukovom signale muholovki-pestruxki mono poluqit~iz sonogrammy. Ona predstavlena na ris. 5.24 c).Kak predpolagat ornitologi, i to vyraeno v sonogramme, v peniimuholovki-pestruxki prisutstvuet imitaci drugo pticy. Imi-tirovals qernyx, akustiqeski signal kotorogo pokazan na ris. 5.25.

0 1 2Zeit [s]

Frequenz [kHz]4 8

0 1 21,50,5 Zeit [s]

4

8

Frequenz [kHz]

0

2

6

0

10

2 6 10

a) b)

c)

6

Ris. 5.25: Kliq qernyxa (lat.: tringa ochropus) v razliqnyh pred-stavlenih, a) v zavisimosti ot vremeni, b) modul~ny spektr kakrezul~tat diskretnogo preobrazovani Fur~e, c) qastotno-vremennoepredstavlenie (imitiruemy kliq muholovki-pestruxki pri 1,4 s)

Iz fakta, qto muholovka-pestruxka imitiruet drugu pticu, orni-tologi mogut predpoloit~, kogda i gde ona vyuqila ee penie. Pe-nie muholovki-pestruxki bylo zapisano na ee meste vyvodka v parkeSan-Susi v Potsdame, v kotorom ne vodts qernyxi. Muholovka-pestruxka, takim obrazom, mogla vyuqit~ kliq qernyxa tol~ko vovrem pereleta ptic ili v mestah ee afrikansko zimovki. Monosdelat~ vyvod, qto muholovka-pestruxka ne vyuqivaet svo repertu-ar peni isklqitel~no na meste rodeni, naprimer, ot otca.Iz oscillogrammy ili rezul~tata diskretnogo preobrazovani Fur~esignala ti svedeni ne mogli by byt~ poluqeny.

Priloenie A

Rexeni k zadaqam

Rexeni k glave 2

Rexenie k zadaqe 1

Diskretiziruemy signal s(t) – to funkci kosinus s amplitu-do 1 i dlino perioda 1 s. Diskretiziruwi signal δ(t) s qastotodiskretizacii fA = 4 Gc predstavlet sobo posledovatel~nost~ediniqnyh impul~sov. V momenty vzti otsqeta nTA s TA = 0,25 ssignal raven 1, medu nimi on raven 0. My poluqaem diagrammudl diskretiziruemogo signala s′(t) putem polementnogo umnoenifunkcii kosinus na diskretiziruwi signal δ(t). V rezul~tate mymoem videt~ «funkci zatemneni» posledovatel~nosti ediniqnogoimpul~sa. Medu momentami vzti otsqeta somnoitel~ raven 0 i,takim obrazom, proizvedenie toe ravno 0. Spektr diskretiziruemogosignala s(t) soderit edinstvennu spektral~nu lini pri 1 Gc.Req~ idet o garmoniqeskom signale. Spektr diskretiziruwego sig-nala δ(t) – lineqaty spektr (periodiqeski signal). Spektral~nyelinii vse odinakovo vysoty i s odinakovym intervalom fA = 4 Gc.Umnoenie vo vremenno oblasti vyzyvaet svertku v qastotnooblasti. Spektral~na lini (1 Gc) funkcii kosinus «obmatyvaet-s», sootvetstvenno, vokrug spektral~nyh lini diskretiziruwegosignala. Takim obrazom, k primeru, lini (4 Gc) poluqaet dvuhnovyh sosede pri 3 Gc i 5 Gc. T.k. medu spektral~nymi linimi0 Gc±1 Gc, 4 Gc±1 Gc i t.d. dostatoqno mesta, to ne voznikaetffekta aliasinga, signal vosstanovim. Esli qastota diskretizaciiumen~xits do fA = 2 Gc, to proizodut spektral~nye naloeni, isignal bol~xe nevozmono budet rekonstruirovat~.

Rexenie k zadaqe 2

279

280 PRILOENIE A. REXENI K ZADAQAM

Sensorna krutizna ili uglovo kofficient sensorno harakteris-tiki v toqke x = 2 sostavlet 5. Prma priblieni y′(x) = 4 · x+ 2.Obratna to approksimacii x′(y′(x)) = (y′ − 2)/4.

Rexenie k zadaqe 3

Dl pravila delitel napreni «naprenie kondensatoraotnosits k vhodnomu napreni kak soprotivlenie kondensatora kvhodnomu soprotivleni» nam neobhodim kondensatorny impedans.On zavisit ot qastoty i vyqislets:

XC (f) =1

j2πfC

Pri pomowi pravila delitel napreni my poluqaem dl H(f):

H (f) =UC

UE=

XC

XE

=

1j2πfC

R+ 1j2πfC

=1

1 + j2πfRC

=1 · (1− j2πfRC)

(1 + j2πfRC) · (1− j2πfRC)

=1− j2πfRC

1 + (2πfRC)2

=1

1 + (2πfRC)2

︸︷︷︸

destvitel~na qast~

+ j−2πfRC

1 + (2πfRC)2

︸︷︷︸

mnima qast~

S uravnenimi 2.35 i 2.36 poluqats modul~ i ugol peredatoqnofunkcii H(f):

|H (f)| = 1√

1 + (2πfRC)2

∠H (f) = arctan (−2πfRC)

Iskoma qastota nazyvaets predel~no qastoto i rassqityvaetssleduwim obrazom:

fg =1

2πRC≈ 1 kGc

REXENI K GLAVE 2 281

Rexenie k zadaqe 4

Kvadrat modul peredatoqno funkcii pri predel~no qastotefg sostavlet 0,5 i pri qastote zaderivani fs sostavlet 0,1. Iztogo poluqats harakteristiqeskie znaqeni ε = 1 i λ = 3. Dlpodhodwego fil~tra Battervorta trebuets pordok fil~tra N ≥ 2.

Rexenie k zadaqe 5

Proektirovanie antialiasingovogo fil~tra ninih qastot poanalogu predyduwe zadaqi: ε = 1 vlets opredeleniem pre-del~no qastoty, qastota zaderivani fs priravnivaets k qastoteNakvista fN. V tom meste modul~ peredatoqno funkcii ne dolenprevyxat~ znaqenie 1

28+1 = 1512 , qtoby sleduwi 8-bitny ACP ne

«videl» garmoniqeskogo vhodnogo signala s maksimal~no amplitu-do. to vedet k λ = 512. Esli my vybiraem predel~nu qastotufg, k primeru, 1 kGc, to poluqaem N = 5. Pribliaets fg blie kfN = 4 kGc, to my poluqaem pri fg = 2 kGc ue N = 9. Kakoe N imeetsmysl, dolna pokazyvat~ praktika.

Rexenie k zadaqe 6

V verhne diagramme ne proishodit pereseqeni proizvedeni svert-ki. V nine diagramme oni peresekats; qastotu diskretizaciineobhodimo povysit~. Iskoma veliqina π/TA vlets qastoto,esli vstreqaets π, to krugovo qastoto. Pri TA = 1

fAiskoma

qastota – krugova qastota Nakvista ωN.

Rexenie k zadaqe 7

Po pravilu delitel napreni «naprenie v otdel~nom uqastkecepi otnosits k opornomu napreni kak soprotivlenie uqastkacepi k obwemu soprotivleni» my poluqaem U1 = 0,5 V, U2 = 1,5 V,. . . , U7 = 6,5 V. Operacionnye usiliteli bez obratno svzi rabota-t zdes~ kak komparatory i signalizirut s pomow~ 0 na vyhode,qto vhodnoe naprenie UE men~xe qem vyxenazvannoe napreniev otdel~nom uqastke cepi. Esli vhodnoe naprenie UE bol~xe qemnaprenie v otdel~nom uqastke cepi, to na vyhode komparatorapovlets 1. Prosta kombinatorna shema proizvodit iz tihsignalov trehznaqnye dvoiqnye qisla 0 . . . 7. T.k. vse komparato-ry rabotat odnovremenno, tot ACP nazyvaets parallel~nympreobrazovatelem. On rabotaet oqen~ bystro i v obrabotke signa-lov izobraeni izvesten kak «flash converter». V kaqestve funkcii


harakteristiqesko krivo DA = f(UE) my poluqaem:

DA (UE) = round

(23 − 1

)· UE

Uref

Rexenie k zadaqe 8

Po pravilu delitel toka «qastiqny tok otnosits k obwemutoku kak provodimost~ vetvi parallel~no cepi k obwe provodi-mosti» my nahodim, qto vse toki iz istoqnikov toka v nahodwihspod vyklqatelmi uzlah delts na tri, t.e. toki porovnu delts vnapravlenih «vlevo, vniz i vpravo». Pravil~no primenit~ principsuperpozicii v dannom sluqae oznaqaet, qto vsegda dolen byt~zakryt tol~ko odin vyklqatel~. Potomu pri podaqe vhodnyhqisel DE = 0, 1, 2 i 4 poluqats dl rexawego toka za sqet R0

znaqeni 0, 0,5 mA, 1 mA i 2 mA. Esli tot tok umnoaets, sootvet-stvenno, na znaqenie soprotivleni R0, to my poluqaem funkciharakteristiqesko krivo:

UA (DE) =2∑

i=0

DEi · 2i · 1 V

tot CAP nazyvaets preobrazovatelem lestniqnogo R2R-tipa. Onrabotaet parallel~no. Operacionny usilitel~ rabotaet zdes~ kakpreobrazovatel~ impedansa, povtoritel~ napreni ili «unity gainbuffer». Naprenie na R0 predstavlet vyhodnu veliqinu CAP.

Rexenie k zadaqe 9

Po uravneni Uittekera 2.65 dl TA = 1 ms my nahodim v mo-ment vremeni t = 1,8 ms znaqenie funkcii 4,22. Zna predyduwie iposleduwie fragmenty signala, my moem rekonstruirovat~ takebol~xi vremenno interval.

Rexeni k glave 3

Rexenie k zadaqe 10

Normirovanna gistogramma imeet 6 stolbikov primerno odinakovovysoty dl znaqeni 1 . . . 6. Vysota sostavlet sootvetstvenno 1

6 .Srednee znaqenie sostavlet 3,5 i standartnoe otklonenie 1,71.ntropi 2,58 bit moet interpretirovat~s kak xirina slovaizmerennogo znaqeni v dvoiqnom predstavlenii, zdes~ 3 bita. Pri


odinakovo vysote stolbikov gistogrammy izbytoqnost~ otsutstvuet.

Rexenie k zadaqe 11

Dl dvuh kubikov poluqaem dl srednego znaqeni 7, dl stan-dartnogo otkloneni 2,42 i dl ntropii znaqenie 3,27 bit. Dl trehkubikov my poluqaem dl srednego znaqeni 10,5, dl standartnogootkloneni 2,96 i dl ntropii znaqenie 3,6 bit. Izbytoqnost~vozrastaet. Vnaqale gistogramma imeet «treugol~ny» vid i svozrastawim koliqestvom kubikov pribliaets k forme kolokola.Ue pri 12 kubikah gistogramma vygldit poqti kak kolokol, sm.ris. 3.4 ili «pravilo dvenadcati».

Rexenie k zadaqe 12

T.k. zdes~ vse vozmonye znaqeni signala vstreqats v prede-lah a i b, diskretna funkci verotnosti perehodit v funkciplotnosti verotnosti p(x). Plowad~ prmougol~no funkcii p(x)dolna byt~ 1, otsda my poluqaem srednee znaqenie signalam1 = a+b

2 . Soglasno z2 = m2 − m21 vyqislem dispersi signala

z2 = (b−a)212 i standartnoe otklonenie s = b−a

2√

3.

Rexenie k zadaqe 13

Pri x ≥ 0 poluqaem funkci raspredeleni F (x) = 1 − exp(−λx).Pri znaqenii sluqano veliqiny x = ln 2

λ = 1,386 plowad~ funkciiplotnosti delits popolam, znaqenie nazyvaets mediano ili50%-kvantil~. Dl momentov poluqaem:

Moment m0 m1 m2 mk z2 z3 z4 zk z3 z4

1 1λ

2λ2

k!λk

1λ2

2λ3

9λ4

!kλk 2 9

Esli k ∈ N, togda poluqaem subfaktorial !k s prosto formulo !k =b(k! + 1) / ec.

Rexenie k zadaqe 14

Rasqet normirovannyh central~nyh momentov z0...4 privodit ksleduwim rezul~tatam:

moment z0 z1 z2 z3 z4

1 0 1 0 3

Tem ne menee, pri vizual~nom sravnenii gistogramma ne shoa


s kolokolom Gaussa. to oznaqaet, qto rassqitannye momenty –to neobhodimoe, no ne dostatoqnoe uslovie normal~nogo rasprede-leni [27].

Rexenie k zadaqe 15

Signal predstavlet sobo sluqany signal. Po gistogramme vidno,qto znaqenie −4 ne prisutstvuet voobwe, a znaqenie 2 vstreqaet-s qawe vsego (moda). Dl momentov my poluqaem: m1 = 0,19,z2 = 35, a take mediana 0. Vozmono razdelenie na 16 neperekry-vawihs pizodov dlino 4. Vektor srednego znaqeni pizodovm = (−2,94 1,38 1,25 1,06)T, ego lementy nazyvats take srednimiznaqenimi ansambl. Ni odin iz nih ne raven vremennomu srednemuznaqeni m1 = 0,19, to znaqit, qto signal ne stacionarny i nergodiqeski. Dve iskomye matricy, kovariacionna matrica S imatrica korrelci R, vygldt tak:

S =

21 −6,3 1,4 −1,8

−6,3 44 −18 −8

1,4 −18 29 −4,3

−1,8 −8 −4,3 34

R =

1 −0,21 0,06 −0,07

−0,21 1 −0,5 −0,21

0,06 −0,5 1 −0,14

−0,07 −0,21 −0,14 1

Edinicy v glavno diagonali matricy R tipiqny. My uzna-em sluqany harakter signala po malen~kim korrelcionnymkofficientam vne glavno diagonali.

Rexenie k zadaqe 16

Signal predstavlet sobo sinusoidal~ny signal. V gistogramme myvidim tipiqnu «vannu» i qawe vsego vstreqawies znaqeni ±10.My poluqaem dl momentov (poqti) nezavisimogo ot srednih znaqenisignala: m1 = 0,031, z2 = 49, a take medianu 0. Signal mono snovarazdelit~ na 16 neperekryvawihs pizodov dlino 4. Vektorsrednih znaqeni pizodov imeet vid m = (0 0,063 0 0,063)T, egolementy (srednie znaqeni ansambl) primerno ravny vremennomusrednemu znaqeni m1 = 0,031 i to znaqit, qto signal stacionarny


i rgodiqeski. Dl obeih iskomyh matric poluqaem:

S =

49 45 33 16

45 49 45 33

33 45 48 45

16 33 45 49

R =

1 0,91 0,67 0,32

0,91 1 0,92 0,68

0,67 0,92 1 0,91

0,32 0,68 0,91 1

Tipiqny bol~xie kofficienty korrelcii vne glavnyh diagonalematricy R. My raspoznaem po tomu nesluqany harakter signa-la. Odnako, kofficienty korrelcii umen~xats vse bol~xe, qemdal~xe my udalems ot glavno diagonali.

Rexenie k zadaqe 17

Imeet smysl snaqala dl vseh signalov izobraeni vyqislit~normirovannye gistogrammy, t.k. kvantitativnye veliqiny rassqi-tyvats qerez otnositel~nye qastoty:

xahmatna sery gomogennoedoska klin izobraenie

sredn rkost~ 0,5 3,5 3

dispersi 0,25 5,25 0

standartnoe otklonenie 0,5 2,29 0

norm. asimmetri 0 0 –norm. kscess 1 1,76 –diapazon gradaci serogo 1 7 0

ntropi [bit/gradaci] 1 3 0

Znaqeni ntropii ot nul do edinicy ukazyvat nam na to, qtoti signaly izobraeni ne dat nam informaci o nabldaemomprocesse. Signaly ne nost sluqany harakter, vozmono, imeetsdae pravilo obrazovani gradaci serogo gz,s (determinirovannysignal). Dl naxe xahmatno doski my nahodim:

gz,s =1

2·[

(−1)z+s

+ 1]

ntropi 3 bita na gradaci serogo mono interpretirovat~ takimobrazom, qto dl dvoiqnogo kodirovani gradaci serogo 0 . . . 7 dosta-toqno tri dvoiqnyh razrda.

Rexenie k zadaqe 18

Srednie znaqeni mx i my sostavlt 13 i 8, dispersii sx i sysostavlt 43,7 i 7,4. Veliqina kovariacii sx,y sostavlet 17,6.


Kofficient korrelcii Pirsona oqen~ vysok i ravnets 0,98.Obe izmerennye posledovatel~nosti sil~no zavist lineno. Pozemetodom glavnyh komponent obe izmerennye posledovatel~nostibudut dekorrelirovany.

Rexenie k zadaqe 19

Dl nepreryvnogo rezul~tata korrelcii r(τ) my nahodim pohouna treugol~nik funkci. Na intervale −1 < τ < 1 ona poloitel~na.Ee maksimum nahodits v nule i sostavlet 0,375. Podem funkciipri τ < 0 vypukly. Spad pri τ > 0, naprotiv, vognut.

Rexenie k zadaqe 20

Diskretny rezul~tat korrelcii rm imeet 9 znaqeni i vletsqetnym (simmetriqnym otnositel~no osi ordinat):

m −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

rm 0,25 0,625 1,125 1,5 1,75 1,5 1,125 0,625 0,25

Rexenie k zadaqe 21

Diskretny rezul~tat svertki gn imeet 13 znaqeni:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

gn 0 0 0 0,5 1 0,5 0 −1 −1 0 0 0 0

Pravilo fil~tra h differenciruet vhodno signal f . Rezul~tatsvertki – to nax vyhodno signal, kotory pokazyvaet, qto vo vhod-nom signale snaqala nikakogo podema net. V moment n = 3 imeet-s poloitel~noe narastanie signala, kotoroe daet v rezul~tatetake poloitel~nye znaqeni v vyhodnom signale. V konce signalanikakogo izmeneni vhodnogo signala ne proishodit. Potomu otsqetyvyhodnogo signala snova ravny nul.

Rexenie k zadaqe 22

Pravilo svertki ili fil~tra predstavleno na ris. 3.23. Gomogen-noe vhodnoe izobraenie sglaivaets fil~trom ninih qastot.Vyhodnoe izobraenie snova gomogennoe i imeet povsdu gradaciserogo 3. Polosy zebry take sglaivats, odnako, sokrawaetsrazliqie gradaci serogo. Pri pomowi qastnogo ot deleni razliqigradaci serogo v vyhodnom izobraenii na razliqie gradaciserogo vo vhodnom izobraenii my poluqaem usilenie fil~tra dl


prostranstvennyh qastot, kotorye otveqat za polosy vo vhodnomsignale. to usilenie sostavlet 1

3 .

gorizontal~na zebra2,33 2,33 2,33 2,33 2,33 2,33

4,66 4,66 4,66 4,66 4,66 4,66

2,33 2,33 2,33 2,33 2,33 2,33

vertikal~na zebra2,33 4,66 2,33 4,66 2,33 4,66

2,33 4,66 2,33 4,66 2,33 4,66

2,33 4,66 2,33 4,66 2,33 4,66

Take horoxo zametno, qto gorizontal~nye polosy smestilis~ vniz,a vertikal~nye polosy napravo. Pri tom fazovom skaqke my go-vorim o sdvige faz medu vhodnym i vyhodnym signalom na 180°.Naxa xahmatna doska odnovremenno soderit vyxenazvannye pro-stranstvennye qastoty po napravleni strok i stolbcov. Potomuusilenie sostavlet teper~ 1

32 , oba fazovyh sdviga vzaimouniqtoa-ts. Xahmatna doska ne imeet fazovogo skaqka, razliqie gradaciserogo ewe neznaqitel~nee:

xahmatna doska3,88 3,11 3,88 3,11 3,88 3,11

3,11 3,88 3,11 3,88 3,11 3,88

3,88 3,11 3,88 3,11 3,88 3,11

Rexenie k zadaqe 23

Izobraenie xahmatno doski sglaivaets fil~trom ninihqastot Gaussa. Teper~ vyhodnoe izobraenie gomogennoe i imeetpovsdu gradaci serogo 3,5. Usilenie dl prostranstvennyh qas-tot, kotorye otveqat za xahmatny risunok vo vhodnom signale,ravno nul.

Rexenie k zadaqe 24

My poluqaem vektor srednih znaqeni m = (13 8)T, dl sim-metriqno kovariacionno matricy S i simmetriqno matricy skofficientami korrelci Pirsona R my nahodim:

S =

[

43,7 17,6

17,6 7,4

]

R =

[

1 0,98

0,98 1

]


Sobstvennye znaqeni kovariacionno matricy S – to λ0 = 50,83 iλ1 = 0,31. Oba normirovannyh sobstvennyh vektora matricy S – tol0 = (0,93 0,38)T i l1 = (−0,38 0,93)T. ti vektory my zapisyvaem vstroki matricy KLT :

KLT =

[

0,93 0,38

−0,38 0,93

]

KLT T · KLT daet v itoge ediniqnu matricu, opredelitel~ KLT

raven 1. to oznaqaet, qto matrica ortogonal~na. Esli my izobrazimsem~ par izmerennyh znaqeni v diagramme yn(xn), to my uvidim, qtooblako iz toqek gruppiruets vdol~ prmo linii. to illstriruetvysoku korrelci 0,98. V to oblako povoraqivaets 1-a os~ novosistemy koordinat. S pomow~ oboih lementov sobstvennogo vektoral0 my nahodim dae ugol povorota α = arctan(0,38/0,93) = 24,5°. 2-a os~raspolagaets estestvenno perpendikulrno pervo. Dl matric v no-vo sisteme koordinat my nahodim:

S′ =

[

50,83 0

0 0,31

]

R′ =

[

1 0

0 1

]

My ue znaem osnovnye lementy diagonali S′, to oba sobstven-nyh znaqeni matricy S. lementy vne glavnyh diagonale S′ iliR′ ravny nul, qto i bylo naxe cel~ (polna dekorrelci obeihizmerennyh posledovatel~noste).

Rexenie k zadaqe 25

My issledovali nerekursivny cifrovo fil~tr s trem ko-fficientami. Modul~ peredatoqno funkcii |H(ω)| interesuet nastol~ko ot ω = 0 do qastoty Nakvista 0,5 ωA, on naqinaets prinule s edinicy, imeet nulevoe znaqenie pri 0,29 ωA i vozrastet dokonca interesuwe nas oblasti do 60%. Podhodwee izobraeniepotoka signala dl reektornogo fil~tra predstavleno na ris. 3.34.Predel~na krugova qastota nahodits pri 0,14 ωA.

Rexenie k zadaqe 26

Teper~ rekursivny cifrovo fil~tr byl issledovan s odnimkofficientom v prmo svzi i odnim kofficientom v obratnosvzi. Modul~ peredatoqno funkcii |H(ω)| naqinaets pri nule sedinicy, ne imeet nulevyh znaqeni i k koncu interesuwe nasoblasti sniaets ne oqen~ kruto do 33%. Podhodwee izobraeniepotoka signala dl togo fil~tra ninih qastot predstavleno naris. 3.39. Predel~na krugova qastota nahodits pri 0,115 ωA.


Rexenie k zadaqe 27

Modul~ peredatoqno funkcii |H(ω)| imeet toqku rezonansa pri0,16 ωA, to est~ tam modul~ 1. to vedet k tomu, qto cifrovofil~tr oscilliruet. Takie qrezmerno kritiqeskie fil~try monoispol~zovat~ kak sinusoidal~nye oscilltory.

Rexenie k zadaqe 28

Dl xiriny okna N = 9 v treugol~nike Paskal my nahodim bino-mial~nye kofficienty

(N−1k

)ili konkretno 1 8 28 56 70 56 28 8 1.

My rassqityvaem s uqetom pordka fil~tra N−1 = 8 somnoi-tel~ 2−(N−1). Vse binomial~nye kofficienty umnoats na totsomnoitel~. Vsledstvie togo my poluqaem vektor kofficientovfil~tra ninih qastot bNQ

k = 1256 (1 8 28 56 70 56 28 8 1)T. Dl

preobrazovani kofficientov v kofficienty fil~tra verhnihqastot my vybiraem dl ωM = ωN krugovu qastotu Nakvista. Toest~ my umnoaem kady kofficient fil~tra ninih qastot sneqetnym indeksom na −1 i poluqaem takim obrazom kofficientyfil~tra verhnih qastot bVQ

k . Moduli obeih peredatoqnyh funkci|H(ω)| oqen~ pohoi na kolokol Gaussa, dl fil~tra ninih qastot smaksimumom pri ω = 0 i dl fil~tra verhnih qastot pri ω = ωN.

Rexenie k zadaqe 29

T.k. kofficient korrelcii Pirsona sostavlet −0,996 ≈ −1,my iwem prmu priblieni i opredelem dl togo sistemuuravneni dl kofficientov approksimiruwe funkcii:[

4 6

6 14

]

·[

c0

c1

]

=

[

13

6

]

My rexaem sistemu uravneni, naprimer, po pravilu Kramera ipoluqaem kofficienty c0 = 7,3 i c1 = −2,7. Prma priblieniimmet vid fap(t) = c0 Φ0(t) + c1 Φ1(t) = 7,3 t0 − 2,7 t1.

Rexenie k zadaqe 30

Dl priblieni qetnymi krugovymi funkcimi my poluqaemfap(t) = 3,32 − 4,34 cos(t) + 1,33 cos(2t) i pogrexnost~ E2 = 0,585.Approksimaci neqetnymi krugovymi funkcimi daet v itogefap(t) = 5,18 − 2,18 sin(t) − 2,49 sin(2t) i poqti v sto raz bol~xupogrexnost~ E2. to nam govorit o tom, qto vybor bazisnyh funkcidolen provodit~s obdumanno. V somnitel~nom sluqae my vybiraemqetnye i neqetnye bazisnye funkcii i po veliqine sootvetstvuwihkofficientov opredelem, byl li nax vybor horox.


Rexenie k zadaqe 31

Dl proverki ortogonal~nosti obeih funkci t i t2 my rassqi-tyvaem vnutrennee proizvedenie:

t4∫

t0

t · t2 dt = 0 ili v obwem sluqae

a∫

−a

t · t2︸︷︷︸

neqetna

dt =

[t4

4

]a

−a= 0

My vidim, qto podintegral~no funkcie vlets neqetna funk-ci t3. Plowad~ pri neqetnyh funkcih isqezaet dl simmetriq-nyh granic integrirovani. My issleduem, vlts li posledova-tel~nosti tn i t2n ortogonal~nymi, dl togo my dolny rassqitat~skalrnoe proizvedenie:

N−1∑

n=0

tn · t2n =[

−1 −0,5 0 0,5 1]

·[

1 0,25 0 0,25 1]T

= 0

Esli skalrnoe proizvedenie ili vnutrennee proizvedenie isqezaet,to vybrannye bazisnye funkcii ortogonal~ny. Teper~ my opredelemsistemu uravneni dl kofficientov approksimiruwe funkcii ividim, qto nam ne nuno niqego vyqislt~, kofficienty mono pros-to «sqitat~»:[

2,5 0

0 2,125

]

·[

c0

c1

]

=

[

0

2,25

]

Kofficienty sostavlt c0 = 0 i c1 = 2,25/2,125. Approksimiruwafunkci imeet vid fap(t) = 1,06 t2.

Rexeni k glave 4

Rexenie k zadaqe 32

Posle izobraeni f(t) my vidim, qto parametr d vliet naimpul~snoe otnoxenie 2d/T0. Ono sostavlet 50 %. S pomow~ dlinyperioda T0 = 1 my opredelem interval razloeni [−T0/2,+T0/2].My vybiraem ego simmetriqno, t.k. pomnim, qto proizvedenie parykrugovyh funkci cos(ω0t) i sin(ω0t) daet v itoge funkci sinusi plowad~ dl kadogo simmetriqnogo intervala isqezaet (orto-gonal~nost~). Krome togo, simmetriqny interval oblegqaet namintegrirovanie. Periodiqeski prmougol~ny signal qetny, toznaqit, qto bk = 0 dl vseh k. Poluqats sleduwie kofficientyFur~e ak:


a0 2

a1 1,27

a2 0

a3 −0,43

a4 0

a5 0,25...

ak4

kπsin(k 2π d)

Approksimiruwa funkci fap(t) imeet vid:

fap (t) = 1 +K∑

k=1

4

kπsin(k 2π d) · cos (k 2π t)

V diagramme signala my izobraaem approksimiruwu funkcidl treh razliqnyh koliqestv slagaemyh K i vidim fenomen Gibb-sa. Peresqet destvitel~nyh kofficientov Fur~e v kompleksnyeproishodit legko s pomow~ ck = ak/2. Dl lineqatogo spektra mynanosim ck nad ego indeksom k i vidim sootvetstvie: prmougol~nafunkci –• sinc-funkci. Esli izobrazit~ lineqaty spektr takedl impul~snogo otnoxeni 5%, to spektral~nye linii vyravni-vats (imet odinakovu vysotu i poloitel~ny). Lineqatyspektr pri ewe men~xem impul~snom otnoxenii pribliaets k spek-tru posledovatel~nosti ediniqnyh impul~sov. Esli my uveliqim im-pul~snoe otnoxenie v drugom napravlenii do 100%, to vplot~ do c0 → 2vse spektral~nye linii budut ravny nul. My vidim spektr posto-nnogo signala.

Rexenie k zadaqe 33

Po izobraeni my raspoznaem periodiqnost~ v serii izmereni:

n . . . 0 1 2 . . .tn . . . 0 1 2 . . .fn . . . 1 0 0,5 . . .

N = 3

Takim obrazom, my nahodim dlinu perioda T0 = 3 i, vmeste s tem,ω0 = 2π/T0 = 2π/3. M = 3 bazisnye funkcii: Φ0(t) = 1, Φ1(t) = cos(2πt/3)i Φ2(t) = sin(2πt/3). Poluqats sleduwie kofficienty Fur~e:


a0 1

a1 0,5

b1 −0,289

c0 0,5

c1 0,25 + j 0,144

c∗1 0,25− j 0,144

Pogrexnost~ E2 ravna nul, t.k. qislo izmerennyh znaqeni odno-go perioda signala N ravno qislu bazisnyh funkci M . V osobomsluqae, kogda N = M , approksimaci perehodit v interpolci. tomono take zametit~, esli izobrazit~ approksimiruwu funkcifap(t) = 0,5 + 0,5 cos(2πt/3) − 0,289 sin(2πt/3) v diagramme serii iz-mereni. Ona toqno sovpadaet s izmerennymi znaqenimi.

Rexenie k zadaqe 34

Pered vyqisleniem Fur~e-transformanty F (ω) nepreryvnogo signalaf(t) = 2 · t · exp(−3 · t) dl t ≥ 0 neobhodimo issledovat~ shodimost~.Dl togo dostatoqno pokazat~, qto integral

∞∫

0

|f (t)| dt

shodits. S pomow~ integrala∫∣∣t · eαt

∣∣ dt = eαt

[t

α− 1

α2

]

poluqaem:∞∫

0

∣∣2t e−3t

∣∣ dt = 2

∞∫

0

∣∣t e−3t

∣∣ dt

= 2

[

e−3t

(t

−3− 1

9

)]∞

0

= 2 limt→∞

[

e−3t

(t

−3− 1

9

)]

− −2

9

= 2 limt→∞

[t e−3t

−3

]

− 2 limt→∞

[e−3t

9

]

+2

9

= 2 limt→∞

[t e−3t

−3

]

+2

9po pravilu Lopital

=2

9

Integral shodits, to znaqit, qto signal vypolnet uslovi (ape-riodiqny i zatuhawi) primeneni preobrazovani Fur~e. T.k.


signal imeet tol~ko poloitel~nye znaqeni, my poluqaem dl pri-blizitel~nogo znaqeni funkcii F (0) – plowad~ pod f(t) – takeznaqenie 2

9 . Teper~ mono vyqislit~ integral Fur~e. Dl togo myispol~zuem stroki 1, 5 i D iz tablicy B.1 na str. 301:

F (ω) = 2jd

dω

[1

3 + jω

]

= 2jd (3 + jω)−1

dω= 2j (−1) (3 + jω)

−2j =

2

(3 + jω)2

Algebraiqeska programma Mathcadnahodit sleduwee simvoliqeskoe(toqnoe) rexenie:

F (ω) := 2

[

jd

dω

[1

3 + jω

]]

→ 2

(3 + jω)2

Dl postonno sostavlwe signala pri ω = 0 poluqaem znaqe-nie 2

9 . My nahodim ee pri qastote nul~ v izobraennyh spektrah.Destvitel~na qast~ spektra imeet formu kolokola i dva nulevyhznaqeni pri ω = ±3. Mnima qast~ spektra raspoloena vo vtorom iqetvertom kvadrante i imeet nulevoe znaqenie pri ω = 0. Modul~-ny spektr vygldit take kolokoloobraznym i ne imeet nulevyhznaqeni, no dve toqki peregiba pri ω = ±3. Uglovo spektr ugasaetmonotonno i imeet nulevoe znaqenie pri ω = 0.

Rexenie k zadaqe 35

Snaqala my issleduem shodimost~ summy:

Kn =

n∑

i=0

|fi| · TA

Esli ona stremits s rastuwim n asimptotiqeski k koneqnomuznaqeni, zdes~ 2

9 , to my moem print~s za vyqislenie Fur~e-transformanty. Fur~e-transformantu F (ω) dl diskretnogo, ape-riodiqeskogo i zatuhawego signala my rassqityvaem sleduwimobrazom:

F (ω) =

N−1∑

n=0

fn · exp (−jωtn) · TA

Izobraenny modul~ny spektr |F (ω)| tako e (vplot~ do periodiq-nosti), kak i v predyduwe zadaqe. Iz perioda diskretizacii TA = 1

16my nahodim qastotu diskretizacii fA = 1

TA= 16, krugovu qastotu

diskretizacii ωA = 2πfA = 100,5 i krugovu qastotu Nakvista ωN =ωA

2 = 50,3. Pri to qastote diskretizacii ne voznikaet aliasinga,sledovatel~no, my imeem bezoxiboqny rezul~tat. Odnako, my moemsprovocirovat~ oxibku, esli naqnem ostorono uveliqivat~ TA.


Rexenie k zadaqe 36

DFT-matrica s a = 0,354 i b = 0,25:

DFT =

a a a a a a a a

a b− bj −aj −b− bj −a −b+ bj aj b+ bj

a −aj −a aj a −aj −a aj

a −b− bj aj b− bj −a b+ bj −aj −b+ bj

a −a a −a a −a a −aa −b+ bj −aj b+ bj −a b− bj aj −b− bja aj −a −aj a aj −a −aja b+ bj aj −b+ bj −a −b− bj −aj b− bj

DFT-spektr F ili spektral~ny DFT-vektor sostoit iz vos~mi kom-pleksnyh lementov:

m Fm

0 1,414

1 1,207− 2,414j

2 −0,707

3 0,207 + 0,414j

4 0 – – – –5 0,207− 0,414j

6 −0,707

7 1,207 + 2,414j

Izbytoqnost~ rezul~tata DFT vyraaets v tom, qto posle F4 = 0ne povlets «novyh» kofficientov; posleduwie kofficientylix~ kompleksno-soprennye k ih «zerkal~nym otraenim». Daleemy vidim, qto matrica simmetriqna, to znaqit DFT = DFT T.Ona nevyrodenna i unitarna, to znaqit DFT T∗ = DFT−1. Trans-ponirovanie i soprenie osvobodit nas ot (tgostno) inversii mat-ricy. Transponirovanie i soprenie ne vlts trudnymi: mytransponiruem matricu (zerkal~no otraaem matriqnye lementy ot-nositel~no glavno diagonali) i soprgaem matriqnye lementy (um-noaem mnimye qasti na −1).

Rexenie k zadaqe 37


DHYT-matrica s a = 0,354 i b = 0,5:

DHY T =

a a a a a a a a

a b a 0 −a −b −a 0

a a −a −a a a −a −aa 0 −a b −a 0 a −ba −a a −a a −a a −aa −b a 0 −a b −a 0

a −a −a a a −a −a a

a 0 −a −b −a 0 a b

Spektral~ny DHYT-vektor sostoit iz vos~mi destvitel~nyh le-mentov:

F T =[

1,414 3,62 −0,707 −0,207 0 0,62 −0,707 −1,207]

My vidim, qto matrica snova simmetriqna. Ona nevyrodenna i or-togonal~na, to znaqit DHY T = DHY T T = DHY T−1. to izbav-let nas ot transponirovani (simmetri). to znaqit, qto nam nunaodna edinstvenna matrica dl prmogo i obratnogo preobrazovani.

Rexenie k zadaqe 38

DCT-matrica:1

DCT =

0,354 0,354 0,354 0,354 0,354 0,354 0,354 0,354

0,49 0,416 0,278 0,098 −0,098 −0,278 −0,416 −0,49

0,462 0,191 −0,191 −0,462 −0,462 −0,191 0,191 0,462

0,416 −0,098 −0,49 −0,278 0,278 0,49 0,098 −0,416

0,354 −0,354 −0,354 0,354 0,354 −0,354 −0,354 0,354

0,278 −0,49 0,098 0,416 −0,416 −0,098 0,49 −0,278

0,191 −0,462 0,462 −0,191 −0,191 0,462 −0,462 0,191

0,098 −0,278 0,416 −0,49 0,49 −0,416 0,278 −0,098

Spektral~ny DCT-vektor snova sostoit iz vos~mi destvitel~nyhlementov:

F T =[

1,414 3,04 0,27 −2,39 −0,707 0,03 0,65 −0,05]

1 Vproqem, imeets okolo vos~mi razliqnyh opredeleni ortogonal~no DCT-matricy.


DCT-matrica nesimmetriqna. Ona nevyrodenna i ortogonal~na, toznaqit DCT T = DCT−1. Transponirovanie proishodit bez zatrud-neni (sm. vyxe).

Rexenie k zadaqe 39

Sekventno-upordoqenna DWT-matrica, ne sqita normirovanis a = 0,354, soderit tol~ko lementy matricy ±1:

DWT = a ·

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

+1 +1 +1 +1 −1 −1 −1 −1

+1 +1 −1 −1 −1 −1 +1 +1

+1 +1 −1 −1 +1 +1 −1 −1

+1 −1 −1 +1 +1 −1 −1 +1

+1 −1 −1 +1 −1 +1 +1 −1

+1 −1 +1 −1 −1 +1 −1 +1

+1 −1 +1 −1 +1 −1 +1 −1

Spektral~ny DWT-vektor imeet vosem~ destvitel~nyh lementov:

F T =[

1,414 3,54 0 −0,707 −0,707 −1,414 0,707 0]

Sekventno-upordoqenna DWT-matrica simmetriqna. Ona nevyro-denna i ortogonal~na, to znaqit DWT = DWT T = DWT−1.Nam snova nuna tol~ko odna edinstvenna matrica dl prmogo iobratnogo preobrazovani.

Rexenie k zadaqe 40

DHT-matrica sostoit s a = 0,354, b = 0,5 i c = 0,707 iz sledu-wih matriqnyh lementov:

DHT =

a a a a a a a a

a a a a −a −a −a −ab b −b −b 0 0 0 0

0 0 0 0 b b −b −bc −c 0 0 0 0 0 0

0 0 c −c 0 0 0 0

0 0 0 0 c −c 0 0

0 0 0 0 0 0 c −c

V verhnih strokah matricy my vidim shodstvo s matrice Uolxa, atake global~ny i lokal~ny harakter otdel~nyh strok matricy.


Spektral~ny DHT-vektor imeet vosem~ destvitel~nyh lementov:

F T =[

1,414 3,54 −0,5 −0,5 −0,707 1,414 0 −0,707]

DHT-matrica nesimmetriqna. Ona nevyrodenna i ortogonal~na, toznaqit DHT T = DHT−1. Transponirovanie proishodit legko.

Rexenie k zadaqe 41

matrica DIT DFT DCT DST DHYT DWT DHT

odinakova × × × ×transponirovanna × × × × × ×soprenna ×obratna × × × × × × ×

Rexenie k zadaqe 42

Vnutrenn qastota diskretizacii izmeritel~nogo pribora so-stavlet 500 Gc. S pomow~ ee my moem vyqislit~ sleduwierezul~taty:

• Prodolitel~nost~ nabldeni TB = 0,512 s, ∆f = 1,95 Gc. Na51-o spektral~no linii nuno oidat~ spektr signala 100 Gc,toqna qastota tam sostavlet 99,6 Gc, t.e. tam zadestvovanyblizleawie spektral~nye linii.

• Prodolitel~nost~ nabldeni TB = 16,4 s, ∆f = 0,061 Gc. Na1638-o i 1639-o spektral~nyh linih nuno oidat~ spektr,toqnye qastoty tam sostavlt 99,98 Gc i 100,04 Gc.

Rexenie k zadaqe 43

Uravnenie pokazyvaet matriqnu zapis~ bystrogo algoritmadl diskretnogo preobrazovani Uolxa. Sredn i prava matricyzapolneny slabo (polovina vseh lementov matricy imeet znaqe-nie nul~). Kada stroka matricy imeet tol~ko dva otliqnyh otnul lementa. ti lementy vlts oboimi somnoitelmi dlgrafa baboqki. Peremnoennye drug s drugom matricy dat v itogematricu DWT dl N = 4. My vidim, qto oba algoritma privodt kodinakovomu rezul~tatu. Perva matrica sortiruet kofficientyUolxa tak, qto voznikaet sekventny pordok.

Rexenie k zadaqe 44

DFT-spektr nam ue znakom (sm. str. 293). My opredelem pra-


vilo fil~tra Hm v qastotno oblasti:

Hm =

1 dl m > 0

0 inaqedl m = 0, 1, . . . , 7

My umnoaem ego polementno na DFT-spektr Fm i poluqaem ot-fil~trovanny fil~trom verhnih qastot signal gn:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

gn 0,5 1,5 2,5 0,5 −1,5 −1,5 −1,5 −0,5

Pri izobraenii otfil~trovannogo signala gn my vidim, qto onpokazyvaet hod fn, tol~ko sdvinuty na 0,5 vniz. Posredstvomfil~tracii verhnih qastot signal byl osvoboden ot svoe posto-nno sostavlwe.

Rexenie k zadaqe 45

Nam ue znakom sekventno-upordoqenny spektr Uolxa (sm.str. 296). My opredelem pravilo fil~tra ninih qastot Hm vsekventno oblasti:

Hm =

1 dl m ≤ 1

0 inaqedl m = 0, 1, . . . , 7

My umnoaem ego polementno na spektr Uolxa Fm i poluqaemsekventno-ograniqenny signal gn:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

gn 1,75 1,75 1,75 1,75 −0,75 −0,75 −0,75 −0,75

Esli my izobrazim otfil~trovanny signal gn, to vidim, qto onpokazyvaet hod funkcii Uolxa, tol~ko nemnogo usilenny i sdvinu-ty vverh. Berem na zametku: v sekventno-ograniqennyh signalah pro-smatrivats funkcii Uolxa, oni imet stupenqaty vid.

Rexenie k zadaqe 46

My poluqaem DCT-spektr vhodnogo izobraeni s 8×8 kofficienta-mi. Iz nih poqti vse ravny nul, za isklqeniem kofficientov vverhne stroke rezul~tiruwe matricy:

F =

28 −18,2 0 −1,9 0 −0,6 0 −0,1

0 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0


V levom verhnem uglu nahodits tak nazyvaemy DC-kofficient.On vlets mero dl postonno sostavlwe ili dl srednerkosti «serogo klina» (zdes~ 1

N F0,0 = 28/8 = 3,5). Esli priravnt~k nul vse kofficienty, modul~ kotoryh men~xe qem 10% ot F0,0,to ostaets tol~ko dva kofficienta. Rezul~tat obratnogo preobra-zovani – to snova sery klin. to znaqit, qto sery klin soderitoqen~ nemnogo prostranstvennyh qastot.

Rexenie k zadaqe 47

Pordok matricy DWLT raven 8, opredelitel~ raven 1/128 iDWLT T ·DWLT ne daet v itoge ediniqno matricy. T.e. inversimatricy (k soaleni) neobhodima. Dl obratno matricy mynahodim:

DWLT−1 =

+1 +1 +1 0 +1 0 0 0

+1 +1 +1 0 −1 0 0 0

+1 +1 −1 0 0 +1 0 0

+1 +1 −1 0 0 −1 0 0

+1 −1 0 +1 0 0 +1 0

+1 −1 0 +1 0 0 −1 0

+1 −1 0 −1 0 0 0 +1

+1 −1 0 −1 0 0 0 −1

Pri obrabotke izobraeni obrabatyvats v osnovnom oqen~bol~xie matricy izobraeni. Potomu v matricah preobrazovanielatel~no ispol~zovat~ ne drobnye, a tol~ko celye qisla. Eslipomimo togo lementy matricy, kak v DWLT i DWLT−1, tol~kostepeni dvoki, to trudoemkie umnoeni i deleni mono zamenit~bolee prostymi bitovymi sdvigami.

Rexenie k zadaqe 48

D4-matrica ot Ingrid Dobqi razmerom 8×8 nesimmetriqna:

D4 =


0,204 0,421 0,512 0,637 0,296 0,079 −0,012 −0,137

0,296 0,079 −0,012 −0,137 0,204 0,421 0,512 0,637

0,354 0,729 −0,046 −0,512 −0,171 −0,046 −0,137 −0,171

−0,171 −0,046 −0,137 −0,171 0,354 0,729 −0,046 −0,512

0,837 −0,483 0 0 0 0 −0,129 −0,224

−0,129 −0,224 0,837 −0,483 0 0 0 0

0 0 −0,129 −0,224 0,837 −0,483 0 0

0 0 0 0 −0,129 −0,224 0,837 −0,483

Pordok matricy D4 raven 8, opredelitel~ raven −1 i D4T ·D4 daet v

itoge ediniqnu matricu. T.e. ona ortogonal~na i inversi matricyne nuna.

Priloenie B

Tablicy

stroka signal Fur~e-transformanta0 f(t) F (ω)

1 c · f(t) c · F (ω)

2 f1(t) + f2(t) F1(ω) + F2(ω)

3df(t)

dtjω · F (ω)

4∫ τ

−∞f(t) dt

1

jω· F (ω)

5 t · f(t) j · dF (ω)

dω

6 e−at f(t) dl a > 0 F (a+ jω) preobrazovanieLaplasa

7 f(t− a) dl a > 0 e−jωa ·F (ω)

8 f(t/a) dl a > 0 a · F (a · ω)

A δ(t) 1 funkci DirakaB s(t) — funkci skaqkaC tn —

D e−at1

a+ jωE sin(βt) —F cos(βt) —

G e−at sin(βt)β

(a+ jω)2 + β2

H e−a|t|2a

a2 + ω2

Tablica B.1: Tablica dl preobrazovani Fur~e soglasno [50]

301

302 PRILOENIE B. TABLICY

signal Fur~e-transformantaf(−t) F ∗(ω) otraenief∗(t) F ∗(−ω) soprenno-kompleksna funkcif(t) ∗ h(t) F (ω) ·H(ω) svertkaf(t) · h(t) F (ω) ∗H(ω) umnoeniea1f(t) + a2h(t) a1F (ω) + a2H(ω) superpozici

f(b t)1

|b|F(ω

b

)

shodstvo

f(t− t0) F (ω) e−jωt0 sdvig vo vremenif(t) ejΩt F (ω −Ω) sdvig po qastotedn

dtn(jω)nF (ω) differencirovanie

∫ t

−∞f(τ) dτ

1

jωF (ω) integrirovanie

Tablica B.2: Teoremy preobrazovani Fur~e soglasno [32]

kofficient v zavisimosti ot(k ≥ 0) ak, bk Ak, αk ck, c

∗k

ak ak Ak cos(αk) ck + c∗k (krome a0 = 2c0)bk bk −Ak sin(αk) j(ck − c∗k) (krome b0 = 0)Ak

√

a2k + b2k Ak 2 ·

√ck · c∗k

αk − arctan

(bkak

)

αk arctan

(=(ck)

<(ck)

)

ck1

2(ak − jbk)

Ak2

e+jαk ck

c∗k1

2(ak + jbk)

Ak2

e−jαk c∗k (c−k = c∗k)

Tablica B.3: Tablica dl peresqeta kofficientov soglasno [50]

Priloenie V

Spisok uqenyh

Dalee predstavleny uqenye, kotorye vnesli ogromny vklad v razvi-tie obrabotki signalov.

Adamar, ak Salomon (1865–1963) matrica Adamara, preobrazova-nie Adamara

Bol~cman, Ldvig (1844–1906) svzal formulo S = k·lnW ntropifiziqesko sistemy S s verotnost~ ee sostoni W

Viner, Norbert (1894–1964) teorema Vinera-Hinqina

Gabor, Dennis (1900–1979) raboty po kratkovremennomu preobrazo-vani Fur~e, v 1971 godu byl nagraden Nobelevsko premiepo fizike

Gauss, Karl Fridrih (1777–1855) metod naimen~xih kvadratov v1809 godu i normal~noe raspredelenie

Gibbs, Doza Uillard (1839–1903) fenomen Gibbsa pri approksi-macii funkci na mestah skaqka

Dirak, Pol~ Adrien Moris (1902–1984) obnarodoval v 1930 godu vsvoe rabote «Principy kvantovo mehaniki» del~ta-funkci

Dobqi, Ingrid (rod. v 1954) sqitaets, s ee povivxes v 1988 goduraboto, mater~ sovremennyh vevletov

Klauzius, Rudol~f (1822–1888) vvedenie ponti ntropii vo vtoromnaqale termodinamiki v 1865 godu

303

304 PRILOENIE V. SPISOK UQENYH

Kotel~nikov, Vladimir Aleksandroviq (1908–2005) vpervye v 1933godu sformuliroval matematiqeski toqno teoremu otsqetov

Kroneker, Leopol~d (1823–1891) odin iz samyh vydawihs ne-meckih matematikov, qlen Berlinskogo Universiteta, sfor-muliroval tenzornoe proizvedenie

Nakvist, Harri (1889–1976) dokazal v 1928 godu teoremu otsqetov

Parseval~, Mark-Antuan (1755–1836) sformuliroval teoremu Parse-val

Pirson, Karl (1857–1936) zantie analizom korrelcii i regressii

Uitteker, dmund Tlor (1873–1956) opredelil v 1924 godu triuslovi rekonstrukcii signala

Uolx, Dozef Leonard (1895–1973) funkcii Uolxa v 1923 godu

Fur~e, an Batist ozef (1768-1830) v 1807 godu razrabotal os-novu dl predstavleni funkci trigonometriqeskimi rdami,opublikovyval, odnako, lix~ v 1822 godu

Haar, Al~fred (1885–1933) zantie sistemami ortogonal~nyh funk-ci, v 1909 godu sistema funkci Haara

Hann, lius fon (1839–1921) meteorologiqeskie raboty po analizuvremennyh dinamiqeskih rdov, okno Hanna

Harmut, Hnning (rod. v 1928) obobwenie ponti qastota, v 1969 go-du perva monografi po sekventno tehnike

Hartli, Ral~f Vinton Laon (1888–1970) osnovy teorii informa-cii, preobrazovanie Hartli

Hinqin, Aleksandr kovleviq (1894–1959) teorema Vinera-Hinqina

Hmming, Riqard Usli (1915–1998) cifrovye fil~try, okno Hm-minga

Qebyxv, Pafnuti L~voviq (1821–1894) odin iz osnovopolonikovteorii pribliennyh funkci, polinomy Qebyxva v 1854 godu

Xennon, Klod lvud (1916–2001) raboty po teorii informacii ikibernetike, v 1949 godu «The Mathematical Theory of Communication»

305

ler, Leonard (1707–1783) formula lera, svzyvawa kom-pleksnu pokazatel~nu funkci s funkcie kosinus i sinus

Aleksandr fon Gumbol~dt – Alexander von Humboldt(1769–1859)

Portret Aleksandra fon Gumbol~dta imeet mnoestvo variantov vsamyh raznyh publikacih. Zdes~ ispol~zovana stal~na gravraA. Vegera. Gumbol~dt predstavlen na ne kak rycar~ ordena «Pourle mérite», kotory byl emu vruqen v 1842 godu. Stal~na gravranahodits v arhive fotodokumentov Prusskogo kul~turnogo naslediv Berline.

306 PRILOENIE V. SPISOK UQENYH

Literatura

[1] Achilles, D.: Die Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung. Berlin:Springer-Verlag, 1985.

[2] Ahmed, N., Natarjan, T., Rao, K.R.: Discrete cosine transform. IEEE Trans.Comput. C-23 (1974) 90-93.

[3] Beauchamp, K.G.: Applications of Walsh and Related Functions. Orlando: Aca-demic Press, 1984.

[4] Besslich, Ph.W., Tian Lu: Diskrete Orthogonaltransformationen – Algorithmenund Flußgraphen für die Signalverarbeitung. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

[5] Bracewell, R.H.: Schnelle Hartley-Transformation – eine reellwertige Alterna-tive zur FFT. München: R. Oldenbourg Verlag, 1990.

[6] Brigham, E.O: FFT-Anwendungen. München: R. OldenbourgVerlag, 1997.

[7] Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. Leipzig:B. G. Teubner Verlag, 1996.

[8] Butz, T.: Fouriertransformation für Fußgänger. Wiesbaden: B. G. Teubner Ver-lag, 2003.

[9] Castleman, K.R.: Digital Image Processing. Upper Saddle River: Prentice-Hall,1996.

[10] Cooley, J.W., Tukey, J.W.: In: An Algorithm for the Machine Calculation ofComplex Fourier Series. Mathematics of Computation 19 (1965) 297-301.

[11] Daubechies, I.: Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Commu-nications on pure and applied mathematics. XLI (1988) 7, 909-996.

[12] Daubechies, I.: Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia: Capital City Press,1992.

[13] DIN 40146-1: Nachrichtenübertragung – Teil 1: Grundbegriffe. 1994.

[14] DIN EN 60447: Mensch-Maschine-Schnittstelle – Bedienungsgrundsätze.1994.

307

308 LITERATURA

[15] DIN IEC 60489-6: Meßverfahren für Funkgeräte. 1990.

[16] von Grüningen, D.C.: Digitale Signalverarbeitung. Leipzig: Fachbuchverlag,2001.

[17] Hamming, R.W.: Digitale Filter. Weinheim: VCH Verlagsgesellschaft, 1987.

[18] Harmuth, H.F.: Verallgemeinerung des Fourier-Integrales und des Begriffes Fre-quenz. Archiv elektr. Übertragung 18 (1964) 439-451.

[19] Harmuth, H.F.: Transmission of Information by Orthogonal Functions. NewYork: Springer-Verlag, 1969.

[20] Harmuth, H.F.: Research and development in the field of Walsh functions andsequency theory. Advan. Electron. Phys. 36 (1974) 195-264.

[21] Harmuth, H.F.: Sequency theory. New York: Academic Press, 1977.

[22] Hartley, R.V.L.: A More Symmetrical Fourier Analysis Applied to TransmissionProblems. Proceedings IRE 30 (1942) 144-150.

[23] Henderson, K.W.: Comment on ‚Computation of the fast Walsh-Fourier trans-form‘. IEEE Trans. Comput. C-19 (1970) 850-851.

[24] Hoffmann, R.: Signalanalyse und -erkennung. Berlin: Springer-Verlag, 1998.

[25] Hubbard, B.B.: Wavelets – Die Mathematik der kleinen Wellen. Berlin: Birk-häuser Verlag, 1997.

[26] ISO/IEC 2382-1: Informationstechnik – Begriffe – Teil1: Grundbegriffe. 1993.

[27] Johnson, M.E., Tietjen, G.L., Beckman, R.J.: A new family of probability dis-tributions with applications to Monte Carlo studies. Journal of the AmericanStatistical Association (JASA) 75 (1980) 276-279.

[28] Kreß, D.: Theoretische Grundlagen der Signal- und Informationsübertragung.Berlin: Akademie-Verlag, 1977.

[29] Kurz, K.: Signalprozessorpraxis. München: Franzis-Verlag, 1993.

[30] Lacroix, A.: Digitale Filter. München: R. Oldenbourg Verlag, 1988.

[31] Lange, F.H.: Signale und Systeme. Band 1. Berlin: Verlag Technik, 1975.

[32] Lehmann, T., Oberschelp, W., Pelikan, E., Repges, R.: Bildverarbeitung für dieMedizin. Berlin: Springer-Verlag, 1997.

[33] Lim, J.S.: Two-dimensional signal and image processing. Englewood Cliffs:Prentice-Hall 1990.

[34] Lochmann, D.: Digitale Nachrichtentechnik. Berlin: Verlag Technik, 2002.

LITERATURA 309

[35] Mallat, S.: Multiresolution approximation and wavelets. Trans. Amer. Math.Soc. 315 (1989) 69-88.

[36] Martini, H.: Methoden der Signalverarbeitung. München: Franzis-Verlag, 1987.

[37] Meffert, B., Langer, H.: Die Sequenztechnik in der Informationsverarbeitung –Grundlagen und Anwendungen. Dissertation B. Humboldt-Universität zu Berlin(1982).

[38] Oppenheim, A.V., Schafer, R.W.: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. München:R. Oldenbourg Verlag, 1995.

[39] Pichler, F.: Das System der sal- und cal-Funktionen alsErweiterung des Systemsder Walsh-Funktionen und die Theorie der sal- und cal-Fouriertransformation.Dissertation. Universität Innsbruck (1967).

[40] Poll, R., Rabenau, M.: Signaltechnik in Biomedizinischen Geräten. Dresden:Schriftenreihe „Biomedizinische Technik“ an der TU Dresden (2001).

[41] Poularikas, A.D. (ed.): The transforms and applications handbook. Boca Raton:CRC Press, 2000.

[42] Proakis, J.G., Manolakis, D.G.: Digital Signal Processing. Upper Saddle River:Prentice-Hall, 1996.

[43] Ross, I., Kelly, J.: A new method for representing Walshfunctions. Proceedingsof the Symposium on Application of Walsh Functions, Washington (1972) 359-361.

[44] Sachs, L.: Angewandte Statistik – Anwendung statistischer Methoden. Berlin:Springer-Verlag, 1984.

[45] Schrüfer, E.: Signalverarbeitung. München: Carl Hanser Verlag, 1990.

[46] Seifart, M.: Analoge Schaltungen. Berlin: Verlag Technik, 2003.

[47] Shannon, C.E.: Communication in the presence of noise.Proceedings IRE 37(1949) 10-21.

[48] Shannon, C.E., Weaver, W.: The Mathematical Theory of Communication. Ur-bana and Chicago: University of Illinois Press, 1949, 1963 and 1998.

[49] Shie Qian, Dapang Chen: Joint Time-Frequency Analysis. New Jersey:Prentice-Hall, 1996.

[50] Stearns, S.D.: Digitale Verarbeitung analoger Signale. München: R. OldenbourgVerlag, 1991.

[51] Steinmetz, K.R.: Die Anwendung komplexer Größen in derElektrotechnik.Elektrotechnische Zeitschrift XIV (1893) 597-599, 631-635, 641-643, 653-654.

[52] Strutz, T.: Bilddatenkompression. Braunschweig: Vieweg Verlag, 2000.

310 LITERATURA

[53] Tschebyscheff, P.L.: Die Definition der Tschebyscheffpolynome ist enthaltenin: Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M., and Jeffrey, L.: Table of Integrals, Series, andProducts (5th ed.) San Diego: Academic Press, 1994.

[54] Unbehauen, R.: Systemtheorie. Band 1. München: R. Oldenbourg Verlag, 1997.

[55] Walsh, J.L.: A closed set of orthogonal functions. Amer. J. of Mathematics 55(1923) 5-24.

[56] Whittaker, E.T.: On the functions which are representedby the expansions ofthe interpolation-theory. Proc. Roy. Soc. 35 (1915) 181-194.

[57] Willems, J.L.: Der Computer als Kardiologe. Umschau 81(1981) 327-330.

[58] Woschni, E.G.: Informationstechnik. Berlin: Verlag Technik, 1988.

Literatura k glave 5.1

[59] Altmann, J., Rotblat, J. (Hrsg.): Verification of Arms Reductions – Nuclear,Conventional and Chemical. Berlin: Springer, 1989.

[60] Altmann, J. et al.: Ground vibration, acoustic waves and magnetic disturbanceproduced by land vehicles of the North-Atlantic Treaty Organization. Bochum:UVB-Universitätsverlag, 1993.

[61] Brüggert, St.: Klassifikation militärischer Fahrzeuge mit Orthogonaltransforma-tionen. Diplomarbeit am Institut für Informatik der Humboldt-Universität zuBerlin (2003).

[62] Meffert, B., Hochmuth, O. et al.: Sensor station 2000 for acoustic and seis-mic measurements of high dynamic range. In:Verification - Research Reports,Nr. 11. Lenzen: Verlag Georg Grüneberg, 2001.

[63] Witt, A. et al.: Testing stationarity in time series. Physical Review E 58 (1998),S. 1800–1810.


[64] Hershler, C. et al.: Assessment of an infra-red non-contact sensor for routineskin temperature monitoring: a preliminary study. Journalof Medical Enginee-ring & Technology 16 (1992), S. 117–122.

[65] Lindberg, L.-G.: Photoplethysmography Part 1: Comparison with laser Dopplerflowmetry. London: Med. & Biol. Eng. & Comput. 29 (1991), S. 40–47.

[66] Meffert, H., Sönnichsen, N. and Meffert, B.: Skin rewarming curves. London:Lancet II., No. 7780 (1972), S. 679.

LITERATURA 311

[67] Schuster, F., Scheiner, M.: Entwicklung und Aufbau eines mikrocontroller-gesteuerten Messgerätes zur berührungslosen Bestimmung der Zeitkonstantender akralen Wiedererwärmung und Durchblutung. Diplomarbeit am Institut fürInformatik der Humboldt-Universität zu Berlin (1995).


[68] Enomoto, H. and Shibata, K.: Orthogonal transform coding system for tele-vision signals. Proc. Symp. Applic. Walsh Functions. Washington DC (1971),S. 11–17.

[69] Beauchamp, K.G.: Applications of Walsh and Related Functions. Orlando: Aca-demic Press, 1984.


[70] Tembrock, G.: Akustische Kommunikation bei Säugetieren. Darmstadt: Wis-senschaftliche Buchgesellschaft, 1996.

312 LITERATURA

Predmetny ukazatel~

avtokorrelcionna funkci, 96,101, 183, 261

avtokorrelci, 96Adamar, ., 146, 303aktator, 60, 269algoritm Kuli i T~ki, 221aliasing, 31, 103, 248, 279, 293amplituda, 23amplitudna harakteristika, 40analiz fil~tra, 121analiz Fur~e, 163analiz mul~tixkal, 237analiz signala, 199analiz Uolxa, 168analogo-cifrovo preobrazova-

tel~, 46, 67, 257, 268analogova fil~traci, 120analogova sistema, 24analogovy fil~tr, 38, 65ansambl~, 71antialiasingo fil~tr, 37, 65,

268, 281approksimaci, 131, 161arhitektura fon Nemana, 51arhitektura Garvarda, 52asimmetri, 76, 152, 285ACP, 46, 67, 281

baboqka, 220Baltiskoe more, 84, 89, 98Battervort, S., 41bazisna funkci, 135, 156, 157,

159, 194, 200, 203, 204,209, 234, 289, 291

bazisny vevlet, 234bely xum, 19, 184

binarizaci, 118binarny pordok, 147, 206BIH-fil~tr, 121, 126BIH-sistema, 27bloqna korrelci, 225bloqna svertka, 225Bol~cman, L., 81, 303Bresvel~, R., 201bystra korrelci, 224bystra svertka, 224bystroe preobrazovanie, 249bystroe preobrazovanie Fur~e,

219, 224, 263

variaci, 76vevlet, 207, 234vevlet-funkci, 239vevlet-preobrazovanie, 232vektor kofficientov, 198vzaimnokorrelcionna funkci,

95Vieta, F., 22Viner, N., 81, 183, 303vnutrennee proizvedenie, 133,

172, 199, 230, 233, 290volnistost~, 130vosstanovlenie signala, 60, 67vremennoe okno, 213vrem-qastotna ploskost~, 213vyborka, 72, 79, 88vypuklost~, 76

Gabor, D., 229, 303garmoniqeska funkci, 136, 170garmoniqeski signal, 17garmonika, 164Gauss, K., 78, 303

313

314 PREDMETNY UKAZATEL^

geofon, 255Gibbs, D., 303gistogramma, 79, 118, 283global~na funkci, 150global~ny harakter, 150graf baboqki, 220, 297graf potoka signalov, 220

datqik, 34, 64, 255, 267dekorrelci, 110, 203, 288dekvantovatel~, 55del~ta-funkci, 20, 39, 45, 106,

184determinirovanny signal, 18decimaci, 220dilataci, 114, 116Dirak, P., 19, 303diskretizaci, 45, 104, 268diskretna sluqana veliqina,

73diskretnoe vevlet-preobrazo-

vanie, 236diskretnoe kosinus-preobrazo-

vanie, 201, 248, 250diskretnoe ortogonal~noe preob-

razovanie, 249diskretnoe preobrazovanie

Fur~e, 194, 212, 248,263, 276

diskretnoe preobrazovanie Haa-ra, 207, 248

diskretnoe preobrazovanie Hart-li, 200, 248, 263

diskretnoe preobrazovanie Uol-xa, 206, 221, 248, 297

diskretnoe sinus-preobrazo-vanie, 204

diskretny signal, 17diskretny spektr, 171dispersi, 74, 76, 152, 153, 212,

285differencirovanie, 302dlina vektora, 134dlina perioda, 137dlitel~nost~ korrelcii, 102dlitel~nost~ perioda, 137

Dobqi, I., 241, 251, 303Dobqi-vevlet, 243

ediniqna matrica, 136ediniqna okrunost~, 220ediniqny impul~s, 21, 104ediniqny koren~, 220estestvenny pordok, 147, 206

zamykanie, 117zapolnenie nulmi, 213zatuhawi signal, 215znaqenie, 76

ideal~ny fil~tr ninih qastot,58, 124

izbytoqnost~, 83, 192, 283, 294izmerenie, 36izmeritel~na tehnika, 35impul~sna harakteristika, 122impul~sny otklik, 26, 27, 56, 59,

104, 121invariantnost~ vo vremeni, 26inversi bitov, 219integral~noe preobrazovanie,

172, 233integrirovanie, 302interpolcionny rd, 31interval diskretizacii, 27, 29,

212, 213interval ortogonal~nosti, 134,

143, 150, 165informaci, 13, 19ispolnitel~ny mehanizm, 60, 269

kalibrovka, 36kardinal~na funkci Uittekera,

60kauzal~nost~, 27kvadratiqeska pogrexnost~, 132kvantil~, 80, 283kvantitativna veliqina, 285kvantovanie, 46KIH-fil~tr, 121KIH-sistema, 27Klauzius, R., 81, 303

PREDMETNY UKAZATEL^ 315

kovariacionna matrica, 86, 108,155, 194, 203, 212, 284,287

kovariaci, 85, 153, 155, 206, 212,285

kod Gre, 147kodirovanie, 46, 50kolokol, 78kolokol Gaussa, 78, 185, 229, 283kolokol kosinusa, 217, 229kompaktnost~, 203kompleksna funkci, 39korrelci, 85, 87, 89, 108, 153,

224, 285, 286, 288korrelci Pirsona, 97kosinus-preobrazovanie, 201, 263kosinusnoe okno, 217Kotel~nikov, V., 31, 304kofficient anizotropii, 80, 120kofficient korrelcii, 87, 91,

284, 285kofficient korrelcii Pir-

sona, 87, 97, 153, 155,156, 285, 287, 289

kofficient Uolxa, 168, 274, 297kofficient fil~tra, 121, 155,

156, 241, 289kofficient Fur~e, 163, 189, 203,

276kratkovremennoe preobrazovanie,

227, 232, 276kratkovremennoe preobrazovanie

Fur~e, 228, 232Kroneker, L., 304krugova funkci, 137krugova qastota, 17, 23, 137krugova qastota Nakvista, 31,

281kumultivna gistogramma, 79,

80, 115, 151

linena sistema, 25linenoe preobrazovanie, 198linenost~, 25, 192lineqaty spektr, 29, 164, 171,

173, 246, 279, 291

LIS-sistema, 26, 103, 106, 122lokal~na funkci, 150lokal~ny operator, 104, 113lokal~ny harakter, 150

maska fil~tra, 106maska svertki, 106, 197masxtab, 232masxtabirovanie, 232masxtabno-vremenna ploskost~,

232MATLAB , 6, 209, 251matrica Adamara, 147matrica Karhunena-Lova, 109,

155matrica korrelcii, 87, 91, 155,

284matrica preobrazovani, 109,

188, 198, 201, 207, 212,251

matrica Uolxa, 206, 207, 296matrica Haara, 207, 250matrica Hartli, 201mediana, 80, 114, 283, 284medianna operaci, 117meksikanska xlpa, 235mera shodstva, 169, 172, 233mercawa sveqa 71, 72metod glavnyh komponent, 108, 288metod Kuli i T~ki, 218, 221metod naimen~xih kvadratov, 131,

161metod naimen~xih kvadratov

Gaussa, 131metod piramid, 237mexawi signal, 18, 260mikroprocessor, 51, 259mikrofon, 255moda, 80, 284modul~, 40modul~ny spektr, 173, 178, 191,

196, 247, 264, 293moment, 75, 261, 283Morle, ., 233morfologiqeski operator, 117mownostno signal, 17


Mller, I., 23

Nakvist, H., 31, 304naklon, 76negarmoniqeska funkci, 141negarmoniqeski signal, 17nelinena sistema, 26nelinenost~, 57nelineny operator, 113neperiodiqeski signal, 17nepreryvna sluqana veliqina,

73nepreryvna funkci korrelcii,

101nepreryvnoe preobrazovanie

Fur~e, 176, 194nepreryvnoe vevlet-preobrazo-

vanie, 233nepreryvny signal, 17nepreryvny spektr, 173nerekursivny fil~tr, 121, 156nestacionarny signal, 18, 210nestohastiqeski signal, 18neqetkost~, 231neqetkost~ razrexeni, 231norma vektora, 133norma funkcii, 134normal~noe raspredelenie, 76,

152normirovanna gistogramma, 79,

150, 282, 285normirovanna kovariaci, 88normirovanna korrelci, 97normirovanna sekvenci, 143

oblast~ izmereni, 36oblast~ modulcii, 47, 63oblast~ originala, 172oblast~ spektra, 159, 172obratnoe preobrazovanie, 172obekt vremeni i prostranstva,

15ograniqenie polosy, 256, 268ograniqenna sistema, 27oidanie, 74okno, 213

okno Gabora, 229okno kosinusa, 217okno Hanna, 217, 218, 263okno Hmminga, 218, 263okonna funkci, 215operator zamykani, 117operator proizvedeni Krone-

kera, 148operator razmykani, 117operaci svertki, 244opredelenie signala, 14, 16ortogonal~na matrica, 136, 199ortogonal~nost~, 133, 157, 250,

251, 290osnovna qastota, 161otklik sistemy, 25otnositel~na qastota, 79otnoxenie neqetkosti, 230otnoxenie signal/xum, 48, 270otraenie, 302otsqet, 23oxibka kvantovani, 48

para preobrazovani, 187, 198,242

para preobrazovani Fur~e, 172parametr variacii, 80parametr poloeni, 80parametr formy, 77, 80, 120Parseval~, M., 304peredatoqna funkci, 35, 37, 38,

62, 65, 122, 124, 127, 155,156, 222, 281, 288

periodiqeska del~ta-funkci, 21periodiqeska svertka, 183periodiqeska funkci, 137, 183,

187periodiqeski signal, 17, 168,

171, 190, 215periodiqnost~, 191piramida Gaussa, 237, 238piramida Laplasa, 237, 238Pirson, K., 87, 108, 304plotnost~ amplitud, 175pogrexnost~, 131, 132, 133, 157,

247, 289, 292


pogrexnost~ izmereni, 36pogrexnost~ otobraeni, 36pogrexnost~ smeweni, 57pokazatel~na funkci, 141, 163,

171, 172, 175, 187, 194,221, 229, 270

polezny signal, 18polinom Qebyxeva, 202polna sistema funkci, 136, 142polosa zaderivani, 40, 130polosa propuskani, 40, 130polosovo fil~tr, 38, 129porogovy operator, 118pordok fil~tra, 41, 121, 130,

281, 289posledovatel~nost~ ediniqnyh

impul~sov, 21, 279, 291postonna sostavlwa, 23postonny signal, 291pravilo dvenadcati, 283pravilo delitel napraeni,

308, 309pravilo delitel toka, 310pravilo svertki, 286pravilo fil~tra, 154, 155, 286,

297predel, 118predel~na qastota, 40, 124, 125,

268, 269, 280, 281, 288predstavlenie modul, 165, 176predstavlenie ugla, 165, 176preobrazovanie Fur~e, 171, 173,

177, 185, 187, 196, 200,203, 225, 227, 292

preobrazovanie Gabora, 229preobrazovanie koordinat, 160preobrazovanie Laplasa, 301preobrazovanie spektra, 171preobrazovanie Uolxa, 206preobrazovanie Haara, 207, 212preobrazovanie Hartli, 200, 263preobrazovatel~ lestniqnogo

R2R-tipa, 54, 280preryvistost~, 202, 215, 216, 218preryvny signal, 17princip neopredelennosti, 213

princip posledovatel~no ap-proksimacii, 49

princip superpozicii, 67, 282prodolitel~nost~ nabldeni,

213, 215, 216, 297proektirovanie fil~tra, 40, 65,

121, 130, 281proizvedenie Kronekera, 147, 207prostranstvenna krugova qasto-

ta, 141prostranstvenna funkci, 160prostranstvenna qastota, 141,

160, 287, 298prmoe preobrazovanie, 172prmougol~na funkci, 20, 291prmougol~noe okno, 218pul~saci, 42, 43

R2R-lestnica, 56, 282ravnomernoe raspredelenie, 77,

151razmykanie, 117razrexawa sposobnost~, 36razrexenie, 57, 63, 232razrexenie xkal, 236rangovy operator, 113rang, 114raspoznavanie transportnyh

sredstv, 254raspredelenie Gaussa, 78, 85reakci sistemy, 25reektorny fil~tr, 129, 288rekonstrukci Uittekera, 282rekursivny fil~tr, 121, 126,

156rd Fur~e, 29, 162, 164, 173, 177,

246rd Uolxa, 168

Saturn, 101svertka, 66, 103, 106, 154, 223,

224, 286, 302svertka izobraeni, 106svostvo signalov, 72svostvo simmetrii, 175, 178, 191svostvo sistemy, 25


sglaivanie, 116, 118, 124sdvig, 233sdvig vo vremeni, 302sdvig po qastote, 302sekventna oblast~, 223, 273, 298sekventny pordok, 146, 206, 207,

296, 297sekventny spektr, 170sekvenci, 143sensorna krutizna, 36, 280sensorna harakteristika, 35, 280separabel~nost~, 244satie, 112signal, 13signal izobraeni, 194, 204,

223, 285simvol korrelcii, 95simvol Kronekera, 135simvol proizvedeni Kronekera,

148simvol svertki, 104sinc-funkci, 18, 19, 22, 59, 60,

125, 126, 291sintez signala, 199sintez Uolxa, 168sintez fil~tra, 121sintez Fur~e, 163sinus-preobrazovanie, 204sinusoidal~ny signal, 17sistema, 24sistema bloqnyh impul~sov, 142sistema ortogonal~nyh funkci,

133, 171sistema upordoqivani, 146skalrnoe proizvedenie, 133, 290skol~zwee srednee, 124skol~zwee srednee znaqenie, 154slant-kofficient, 274slant-funkci, 273sled, 111sluqana veliqina, 71, 72sluqana peremenna, 67sluqany vektor, 84, 108sluqany process, 71sluqany signal, 71, 215, 284smexanny moment, 85

sobstvenna informaci, 82, 91sobstvenny vektor, 110, 288sobstvennoe znaqenie, 109, 288soderanie informaci, 13sonogramma, 228, 277soobwenie, 14spektr, 29, 159spektr Uolxa, 298spektr Haara, 211spektral~na lini, 167, 213, 279,

291, 297spektral~noe predstavlenie, 139spektrogramma, 228srednee arifmetiqeskoe znaqenie,

76srednee znaqenie, 283srednee znaqenie ansambl, 83,

152, 284srednee znaqenie vremeni, 152srednee znaqenie mnoestva, 83srednekvadratiqnoe znaqenie, 76sredn korrelci, 90stabil~nost~, 127stabil~nost~ fil~tra, 127standartnoe otklonenie, 74, 152,

282, 285statistika, 70statistika signala, 70, 194, 206,

212statistiqeski parametr, 79stacionarnost~, 18, 83, 215, 227,

260stacionarny process, 91stacionarny signal, 18stepen~ shodstva, 95stepen~ fil~tra, 121stohastika, 71stohastiqeski process, 71stohastiqeski signal, 18strukturna shema, 122subdiskretizaci, 241, 244subpolosnoe kodirovanie, 237superdiskretizaci, 245superpozici, 302shema dopustimyh otkloneni, 65,

130


shema uderivani, 45shodstvo, 302sqityvawee ustrostvo, 45, 57

teorema Vinera-Hinqina, 183teorema diskretizacii, 27, 29, 37,

212, 213, 256, 268teorema korrelcii, 183, 193, 224teorema linenosti, 178teorema masxtabirovani, 180teorema Parseval, 184, 194, 231teorema podobi, 180teorema polnoty, 136teorema svertki, 106, 181, 197,

218, 224teorema sdviga, 156, 178teorema sloeni, 178teori verotnoste, 71tip fil~tra, 41, 129transponirovanie, 294treugol~noe okno, 217

uglovo spektr, 173, 178, 191, 196,247, 293

ugol, 40Uitteker, ., 31, 59, 282, 304umnoenie, 302unitarna matrica, 136, 188, 200Uolx, D., 142, 146, 304uravnenie dvuh xkal, 241uravnenie Uittekera, 60uslovie ortogonal~nosti, 139, 150uslovie ortonormal~nosti, 242usrednenie signala, 99ustoqiva sistema, 27ustoqivost~, 27ustrostvo sqityvani i uderi-

vani, 258

fazova harakteristika, 40fazovy skaqok, 287fazovy fil~tr, 129fenomen Gibbsa, 165, 184, 291fil~tr Battervorta, 41, 269fil~tr verhnih qastot, 129, 156,

249, 269, 289, 298

fil~tr Gaussa, 155, 287fil~tr ninih qastot, 37, 40, 59,

129, 154, 250, 268, 269,286, 288, 289, 298

fil~tr ninih qastot Gaussa, 156fil~tr rekonstrukcii, 58fil~tr Qebyxeva, 42fil~traci, 104, 120, 244fil~traci signala, 120, 222, 262formula lera, 129, 138, 163,

164, 175, 177funkcional~noe preobrazovanie,

171funkci approksimacii, 132, 156,

157, 289funkci verotnosti, 73, 83, 84,

283funkci datqika, 64funkci Diraka, 19, 301funkci Gaussa, 20, 194funkci korrelcii, 93funkci kosinus, 137, 163, 274,

279funkci masxtabirovani, 239funkci plotnosti, 151funkci plotnosti verotnosti,

73, 151, 283funkci raspredeleni, 20, 72,

83, 84, 151, 261, 283funkci sinus, 23, 137, 163, 274,

290funkci Uolxa, 142, 168, 206, 273funkci Haara, 148, 207, 240, 242Fur~e, ., 11, 162, 304Fur~e-transformanta, 123, 173,

175, 177, 234, 247, 292,293, 301, 302

Haar, A., 148, 304fon Hann, ., 217, 304harakteristika ispolnitel~nogo

mehanizma, 62harakteristika kvantovani, 46Harmut, H., 142, 146, 304Hartli, R., 140, 200, 304Hinqin, A., 183, 304


Hoteling, H., 108Hmming, R., 218, 304

CAP, 55, 67, 282central~ny moment, 76cep~ obrabotki signala, 31, 255,

267cifro-analogovy preobrazova-

tel~, 55, 67cifrova logiqeska shema, 53cifrova sistema, 25cifrovo signal~ny processor,

52, 258cifrovo fil~tr, 120, 155, 262,

288cikliqeska korrelci, 193, 224cikliqeska svertka, 193, 224cikliqeski sdvig, 192

qastota, 17, 159qastota diskretizacii, 29, 64,

249, 261, 279, 281, 293,297

qastota zaderivani, 40, 130,281

qastota kolebani, 137qastota Nakvista, 31, 60, 281,

288, 289, 293qastotna oblast~, 175, 193, 224qastotna harakteristika, 37qastotno-vremenna ploskost~,

229, 231, 276qastotno-vremenno analiz, 227,

228qastotnoe razrexenie, 212, 236,

249, 261qastotnoe soderanie, 28qastotny otklik, 27Qebyxev, P., 42, 132, 304qirikawi signal, 24, 210, 229quvstvitel~nost~, 36

Xvarc, L., 19Xennon, K., 31, 81, 304xkala, 232Xtenmec, K., 138

xtrihkod, 95xum tipa sol~ i perec, 117

weleva funkci, 22

ler, L., 138, 305KG, 15, 69, 204, 207, 211kscess, 76, 152, 285lement uderivani, 46, 55mpiriqeska kovariaci, 88mpiriqeska korrelci, 88mpiriqeska funkci rasprede-

leni, 80mpiriqeski naqal~ny moment,

80mpiriqeski parametr, 79, 88mpiriqeski central~ny mo-

ment, 80nergetiqeski signal, 17nergetiqeski spektr plotnosti,

173, 183ntropi, 80, 152, 282, 285ntropi istoqnika, 82pizod, 71, 83, 89, 152, 194, 203,

284pizod signala, 71, 206, 259rgodiqnost~, 83rozi, 114, 116talonny signal, 95ffekt uteqki, 216ffekt qastokola, 213

dro preobrazovani, 172, 185,199, 203, 206

Documents

Instrumenty obrabotki signalov – osnovy, primery primeneni˜ i ...hochmuth/ru7065.pdfInstrumenty obrabotki signalov – osnovy, primery primeneni˜ i zadaqi Beate Meffert Olaf Hohmut