Integraci o - LaCàN...Integral inde nida d’una funci o De nici o Donada f: [a;b] !R s’anomena integral inde nida de fal conjunt de totes les seves primitives. I la integral inde

Integracio

Grup d’Innovacio Matematica E-Learning (GIMEL)Universitat Politecnica de Catalunya (Spain)

http://www.euetib1.upc.edu/gimelhttp://bibliotecnica.upc.edu/gimel

Matematiques I - Nuria Pares, Francesc Pozo i Yolanda Vidal I - 1

Primitiva d’una funcio

Definicio Donada f : [a, b]→ R s’anomena primitiva de fqualsevol funcio ϕ tal que

ϕ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

I Podem escriure Dϕ = f .

I Es tambe habitual escriure

D−1(f) =

∫f =

∫f(x) dx

Observacio Si ϕ es una primitiva de f , ϕ+ C tambe, ja que

(ϕ+ C)′ = ϕ′ = f.

Es a dir, tota funcio te infinites primitives (que difereixen entreelles per una constant).


Primitiva d’una funcio

ExempleComproveu que ϕ(x) = sin(x)− x cos(x) + 2 es una primitivade la funcio f(x) = x sin(x).

ϕ(x) sera una primitiva si verifica ϕ′(x) = f(x).

ϕ′(x) = cos(x)− cos(x) + x sin(x) = x sin(x).

Per tant podem escriure que:∫x sin(x) dx = sin(x)− x cos(x) + 2


Integral indefinida d’una funcioDefinicio Donada f : [a, b]→ R s’anomena integral indefinida def al conjunt de totes les seves primitives.

I la integral indefinida d’f es denota per:∫f =

∫f(x) dx

La notacio per denotar una primitiva o la integral indefinida es lamateixa, pero es distingeixen entre elles depenent de si es unaunica funcio o es un conjunt de funcions.Per exemple, ∫

x sin(x) dx = sin(x)− x cos(x) + 2,

denota una primitiva de x sin(x), mentre que∫x sin(x) dx = sin(x)− x cos(x) + C, C ∈ R,

es la integral indefinida de la funcio x sin(x).


Primitives immediates

Calcul de primitivesCalcul de primitives (1): Primitives immediates

Exercici Proposat Calculeu una primitiva de les funcions:

ex,1

x, x2, 1 + tan(x)2, cos(x),

1√x,

1

1 + x2

Observeu que quan les funcions que hem d’integrar sondirectament la derivada d’una funcio elemental, el calcul de laseva primitiva es immediat.

Per exemple

∫x2dx =

x3

3ja que

(x3

3

)′=

3x2

3= x2

! Quan calculem primitives es molt important comprovarque el resultat es correcte. Recordeu que nomes cal calcular laderivada del resultat i comprovar que obtenim la funcio inicial.


Primitives immediates

Calcul de primitives

!∫

1

x+ a= ln |x+ a|

Observeu que la funcio1

x+ aesta definida per a tot x 6= a

tant positiu com negatiu, per tant la primitiva tambe had’estar definida per tot valor. Per aixo a l’integrar apareix elvalor absolut.

Dem. ln |x+ a| =

ln(x+ a) , si x > a@ , si x = aln(−x− a) , si x < a

Per tant si derivem obtenim

(ln |x+ a|)′ =

1

x+a, si x > a

@ , si x = a1

−x−a · (−1) , si x < a=

1

x+ a

ja que en x = a cap de les dues funcions esta definida.Matematiques I - Nuria Pares, Francesc Pozo i Yolanda Vidal I - 6

Primitives quasi-immediates

Calcul de primitivesCalcul de primitives (2): Primitives quasi-immediates

Observacio Si ϕ(x) es una primitiva de la funcio f(x),

ϕ =

∫f , donada una altra funcio g(x) tenim que:∫

f(g(x))g′(x) = ϕ(g(x))

Es a dir, la primitiva de la funcio f(g(x))g′(x) es ϕ(g(x)).Aquestes primitives s’anomenen quasi-immediates.

Dem. Com que ϕ(x) es una primitiva de f(x), llavorsϕ′(x) = f(x). Llavors si derivem aplicant la regla de la cadenatenim que

(ϕ(g(x))′ = ϕ′(g(x))g′(x) = f(g(x))g(x)

com volıem veure.



Calcul de primitivesExemple

Calculeu la primitiva de la funciocos(x)

sin(x)

Si considerem les funcions f(x) = 1x

, g(x) = sin(x), com queg′(x) = cos(x) tenim que

cos(x)

sin(x)=

1

sin(x)cos(x) = f(g(x))g′(x).

Per tant, per calcular la primitiva nomes necessitem calcularuna primitiva de f , en aquest cas ϕ(x) = ln(x). Llavors∫

cos(x)

sin(x)dx =

∫f(g(x))g′(x) = ϕ(g(x)) = ln(sin(x))

Comprovacio:(

ln(sin(x)))′

=1

sin(x)(sin(x))′ =

cos(x)

sin(x).



Calcul de primitivesExempleComproveu les seguents primitives:∫

3x2

cos2(x3)= tan(x3),

∫2xex

2= ex

2,

∫ − sin(x)

1 + cos2(x)= arctan(cos(x))


Integracio per parts

Calcul de primitivesCalcul de primitives (3): Integracio per parts

∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx

ExempleCalculeu la integral indefinida de f(x) = ln(x).∫

ln(x) dx =

∫ln(x)︸︷︷︸u(x)

1 dx︸︷︷︸v′(x) dx

=(∗)

ln(x)x−∫x1

xdx

(∗)[u(x) = ln(x) ⇒ u′(x) dx = 1

x dxv′(x) dx = 1dx ⇒ v(x) = x

]

= x ln(x)−∫

1 dx = x ln(x)− x+ C, C ∈ R



Calcul de primitivesExempleCalculeu la integral indefinida de f(x) = xex.

∫xex dx =

∫x︸︷︷︸u(x)

ex dx︸︷︷︸v′(x) dx

=(∗)

xex −∫ex dx

(∗)[u(x) = x ⇒ u′(x) dx = 1 dxv′(x) dx = ex dx ⇒ v(x) = ex

]= xex − ex + C, C ∈ R




ExempleCalculeu la integral indefinida de f(x) = x2 sin(2x).

∫x2 sin(2x) dx =

∫x2︸︷︷︸u(x)

sin(2x) dx︸︷︷︸v′(x) dx

=(∗)

(∗)[u(x) = x2 ⇒ u′(x) dx = 2x dxv′(x) dx = sin(2x) dx ⇒ v(x) = −1

2cos(2x)

]

= −1

2x2 cos(2x) +

∫x cos(2x) dx︸︷︷︸

resolucio per parts



Calcul de primitives∫x cos(2x) dx =

∫x︸︷︷︸u(x)

cos(2x) dx︸︷︷︸v′(x) dx

=(∗)

(∗)[u(x) = x ⇒ u′(x) dx = 1 dxv′(x) dx = cos(2x) dx ⇒ v(x) = 1

2sin(2x)

]

=1

2x sin(2x)−

∫1

2sin(2x) dx

=1

2x sin(2x) +

1

4cos(2x) + C,C ∈ R.

Per tant tenim:∫x2 sin(2x) dx = −1

2x2 cos(2x)+

1

2x sin(2x)+

1

4cos(2x)+C



Calcul de primitivesExercici Proposat Calculeu les primitives de les seguentsfuncions usant integracio per parts, comprovant el resultats:

(a)

∫xe−2xdx = −1

2xe−2x − 1

4e−2x + C,

(b)

∫x cosxdx = cos(x) + x sin(x) + C,

(c)

∫x ln(x)dx =

1

2x2 ln(x)− 1

4x2 + C,

(d)

∫x2 cos(x)dx = x2 sin(x)− 2 sin(x) + 2x cos(x) + C,

(e)

∫x2exdx = x2ex − 2xex + 2ex + C,

(f)

∫ex cos(x)dx =

1

2ex(sin(x) + cos(x)) + C




Nota Com podem recordar la formula d’integracio per parts?

Escrivim la formula de la derivada del producte, integreml’expressio i aıllem

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)

⇓∫(u(x)v(x))′ dx︸︷︷︸

u(x)v(x)

=

∫u′(x)v(x) dx+

∫u(x)v′(x) dx

⇓∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x) dx.


Integracio per canvi de variable


Calcul de primitives (4): Integracio per canvi de variable

∫f(x) dx =

(∗)

∫f(g(t))g′(t) dt

on hem considerat fet el canvi de variable

(∗)[

x = g(t)dx = g′(t) dt

]




ExempleCalculeu la integral definida de la funcio f(x) = x

√1 + x2.

∫x√

1 + x2 dx =(∗)

∫ √t

dt

2=

1

2

∫t1/2 dt =

1

2

2

3t3/2 + C

(∗)

[t = 1 + x2

dt = 2x dx ⇒ x dx = dt/2

]

=1

3t√t+ C =

1

3(1 + x2)

√1 + x2 + C




NOTA: les integrals quasi-immediates es poden resoldre percanvi de variable.

Sigui ϕ(x) una primitiva de la funcio f(x), llavors

∫f(g(x))g′(x) dx =

(∗)

∫f(t) dt = ϕ(t) = ϕ(g(x)).

(∗)

[t = g(x)

dt = g′(x) dx

]




Exemple Calculeu una primitiva de la funcio f(x) =1

1 +√x

usant el canvi x = t2.

∫1

1 +√x

dx =(∗)

∫1

1 +√t2

2t dt =

∫2t

1 + tdt =

(∗)

[x = t2

dx = 2t dt

]√t2 = t perque t ≥ 0

=

∫2(1 + t)− 2

1 + tdt =

∫ (2− 2

1 + t

)dt

= 2 t− 2 ln |1 + t|

= 2√x− 2 ln |1 +

√x| = 2

√x− 2 ln(1 +

√x)




Exercici Proposat Calculeu les primitives de les seguentsfuncions usant integracio per canvi de variable. Comproveu elsresultats:

(a)

∫x√

1− x2 dx = −1

3(1− x2)3/2 + C, t = 1− x2

(b)

∫x2(1 + 2x3)3 dx =

1

24(1 + 2x3)4 + C, t = 1 + 2x3

(c)

∫e√x

√x

dx = 2e√x + C, t =

√x

(d)

∫x√

1− x4dx =

1

2arcsin(x2) + C, t = x2


Primitives de funcions racionals


Calcul de primitives (5): Primitives de funcionsracionals

El nostre objectiu es calcular integrals de la forma∫P (x)

Q(x)dx,

on P (x), Q(x) son polinomis.

Aquestes integrals es calculen en tres passos:

1 Reduccio de la integral a una fraccio on el grau delnumerador sigui menor que el grau del denominador.

2 Descomposicio en fraccions simples.

3 Integracio de cada un dels termes.


Primitives de funcions racionals. Pas 1: divisio de polinomis


1 Reduccio de la integral a una fraccio on el grau delnumerador sigui menor que el grau del denominador.Denotem m = grau(P (x)) i n = grau(Q(x)). Si m ≥ ndividim P (x) per Q(x):

P (x) = Q(x)s(x) + r(x),

per tant

P (x)

Q(x)=Q(x)s(x) + r(x)

Q(x)= s(x) +

r(x)

Q(x)

i ∫P (x)

Q(x)dx =

∫s(x) dx︸︷︷︸

immediat

+

∫r(x)

Q(x)dx

on grau(r(x)) < grau(Q(x)).


Primitives de funcions racionals. Pas 1: divisio de polinomis

Calcul de primitivesExemples

∫x2 + 3

xdx =

∫ (x+

3

x

)dx =

x2

2+

∫3

xdx,

∫2x

x+ 1dx =

∫2(x+ 1)− 2

x+ 1dx =

∫ (2− 2

x+ 1

)dx = 2x−

∫2

x+ 1dx,

∫3x2

x+ 7=

∫(3x− 21)(x+ 7) + 147

x+ 7dx =

∫(3x− 21) +

147

x+ 7dx

=(3x− 21)2

6+

∫147

x+ 7dx,

∫x3 − 4x2 + 2x+ 5

x2 − 5x+ 6=

∫(x2 − 5x+ 6)(x+ 1) + (x− 1)

x2 − 5x+ 6dx

=

∫(x+ 1) +

x− 1

x2 − 5x+ 6dx =

(x+ 1)2

2+

∫x− 1

x2 − 5x+ 6dx.


Primitives de funcions racionals. Pas 2: descomposicio en fraccions simples

Calcul de primitives2 Descomposicio en fraccions simples

Per saber la descomposicio en fraccions simples cal factoritzar Q(x):

B Per cada arrel real simple (x− a)

−→ A

x− aB Per cada arrel real multiple (x− a)m

−→m∑k=1

Ak(x− a)k

=A1

x− a+

A2

(x− a)2+ · · ·+ Am

(x− a)m

B Per cada arrel complexa simple (x2 + px+ q)

−→ Mx+N

x2 + px+ qB Per cada arrel complexa multiple (x2 + px+ q)m

−→m∑k=1

Mkx+Nk(x2 + px+ q)k

Els coeficients de les fraccions simples s’obtenen imposant que elresultat ha de ser igual a la fraccio inicial r(x)/Q(x).




Exemples

2x2 + x+ 1

x(x2 + 1)=A

x+Bx+ C

x2 + 1=A(x2 + 1) + x(Bx+ C)

x(x2 + 1)

=(A+B)x2 + Cx+A

x(x2 + 1)=(∗)

1

x+

x+ 1

x2 + 1

(∗) igualant els coeficients de 2x2 + x+ 1 = (A+B)x2 + Cx+As’obte A = B = C = 1

x+ 3

x2 − 4=

x+ 3

(x− 2)(x+ 2)=

A

x− 2+

B

x+ 2

=A(x+ 2) +B(x− 2)

(x− 2)(x+ 2)=(∗)

5

4

1

x− 2− 1

4

1

x+ 2

(∗) igualem x+ 3 = A(x+ 2) +B(x− 2) i substituim per x = 2 i x = −2:5 = 4A i 1 = −4B −→ A = 5/4, B = 1/4



Calcul de primitivesExemples

2x− 1

(x− 3)2(x+ 1)=

A

x− 3+

B

(x− 3)2+

C

x+ 1

=A(x− 3)(x+ 1) +B(x+ 1) + C(x− 3)2

(x− 3)2(x+ 1)

=(∗)

3

16

1

x− 3+

5

4

1

(x− 3)2− 3

16

1

x+ 1

(∗) igualem 2x− 1 = A(x− 3)(x+ 1) +B(x+ 1) + C(x− 3)2

si substituim per x = −1 obtenim −3 = 16C −→ C = −3/16si substituim per x = 3 obtenim 5 = 4B −→ B = 5/4

si derivem i substituim per x = 3 obtenim:

2 = A(x+ 1) +A(x− 3) +B + 2C(x− 3) −→ 2 = 4A+B

−→ A = (2−B)/4 = 3/16

Per tant: A = 3/16, B = 5/4, C = −3/16Matematiques I - Nuria Pares, Francesc Pozo i Yolanda Vidal I - 26



Exercici ProposatDescomposeu en fraccions simples el quocient:

1

(x− 2)(x− 1)2(x2 + 1)(x2 + 4)2


Primitives de funcions racionals. Pas 3: integracio de les fraccions simples


3 Integracio de cada un dels termes

B∫

A

x− adx = A ln |x− a|

B∫

A

(x− a)mdx =

∫A(x− a)−m dx =

A

−m+ 1(x− a)−m+1

= − A

(m− 1)(x− a)m−1

B∫

Mx+N

x2 + px+ qdx = logaritme + arctangent




B∫

Mx+N

x2 + px+ qdx =

∫ M2

(2x+ p) +N − M2p

x2 + px+ q

=

∫M

2

derivada del denominador︷︸︸︷2x+ p

x2 + px+ qdx+

∫N − M

2p

x2 + px+ qdx

=M

2ln |x2 + px+ q|+

∫N − M

2p

x2 + px+ qdx

=M

2ln |x2 + px+ q|+

∫N − M

2p

(x− r)2 + s2dx

on r = −p/2, s = +√q − p2/4

=M

2ln |x2 + px+ q|+ N +Mr

sarctan

(x− rs

)Matematiques I - Nuria Pares, Francesc Pozo i Yolanda Vidal I - 29


Calcul de primitivesExemples∫

x3 + 3

xdx =

∫ (x2 +

3

x

)dx =

x3

3+ 3 ln |x|∫

1

x2 − 6x+ 9dx =

∫1

(x− 3)2dx =

∫(x− 3)−2 dx = −(x− 3)−1 = − 1

x− 3∫2x− 5

x2 − 5x+ 1dx = ln |x2 − 5x+ 1|∫

x+ 3

x2 − 4dx =

∫x+ 3

(x− 2)(x+ 2)dx =

∫ (54

1

x− 2− 1

4

1

x+ 2

)dx

=5

4ln |x− 2| − 1

4ln |x+ 2|∫

2x− 1

(x− 3)2(x+ 1)dx =

∫ ( 3/16

x− 3+

5/4

(x− 3)2− 3/16

x+ 1

)dx

=3

16ln |x− 3| − 5

4

1

x− 3− 3

16ln |x+ 1|




Exemples∫x+ 1

x2 + 2x+ 5dx =

∫1

2

2x+ 2

x2 + 2x+ 5dx =

1

2ln |x2 + 2x+ 5|

∫4x+ 6

x2 + 2x+ 5dx =

∫2(2x+ 2) + 2

x2 + 2x+ 5dx=

∫(2

2x+ 2

x2 + 2x+ 5+

2

x2 + 2x+ 5

)dx

= 2 ln |x2 + 2x+ 5|+∫

2

(x+ 1)2 + 4dx

= 2 ln(x2 + 2x+ 5) +

∫1

4

2

(x+12 )2 + 1

dx

= 2 ln |x2 + 2x+ 5|+∫

1/2

(x+12 )2 + 1

dx

= 2 ln |x2 + 2x+ 5|+ arctan(x+ 1

2) + C



Calcul de primitivesExemples∫

1

x2 + 8x+ 25dx =

∫1

(x+ 4)2 + 9dx =

∫1

9

1

(x+43 )2 + 1

dx

=1

3

∫1/3

(x+43 )2 + 1

dx =1

3arctan(

x+ 4

3) + C.

∫10x+ 2

x5 − x4 − x+ 1dx =

∫10x+ 2

(x+ 1)(x− 1)2(x2 + 1)dx

=

∫ (A

x+ 1+

B

x− 1+

C

(x− 1)2+Dx+ E

x2 + 1

)dx

=

∫ (− 1

x+ 1− 2

x− 1+

3

(x− 1)2+

3x− 2

x2 + 1

)dx

= − ln |x+ 1| − 2 ln |x− 1| − 3

x− 1+

3

2ln(1 + x2)− 2 arctan(x)

ja que A = −1, B = −2, C = 3, D = 3, E = −2.


Descomposicio en fraccions simples:

A

x + 1+

B

x− 1+

C

(x− 1)2+

Dx + E

x2 + 1

=A(x− 1)2(x2 + 1) + B(x + 1)(x− 1)(x2 + 1) + C(x + 1)(x2 + 1) + (Dx + E)(x + 1)(x− 1)2

x5 − x4 − x + 1Per tant hem d’imposar que:

10x+2 = A(x−1)2(x2+1)+B(x+1)(x−1)(x2+1)+C(x+1)(x2+1)+(Dx+E)(x+1)(x−1)2

Substituint per x = −1 obtenim −8 = 8A −→ A = −1.

Substituint per x = 1 obtenim 12 = 4C −→ C = 3.

Derivant i substituint per x = 1 obtenim10 =2A(x−1)(x2+1)+A(x−1)22x+B(x−1)(x2+1)+B(x+1)(x2+1)+B(x+1)(x−1)2x+C(x2+1)+C(x+1)2x+D(x+1)(x−1)2+(Dx+E)(x−1)2+(Dx+E)(x+1)2(x−1)i per tant substituint en x = 1 tenim 10 = 4B+ 2C+ 4C −→ B = (10− 6C)/4 = −2.

Per trobar els coeficients D i E, com que provenen de l’arrel complexa del polinomix2 + 1 podem substituir per x = i, d’on obtenim:10i+ 2 = (Di+ E)(i+ 1)(i− 1)2 −→ 10i+ 2 = 2(D + E) + 2(D − E)i

Finalment hem d’igualar les parts reals i les imaginaries:

D + E = 5, D − E = 1 −→ D = 3, E = 2

Primitives de funcions racionals. Comprovacio amb Maple

Calcul de primitivesVegem es pot comprovar facilment una integral racional ambl’ajuda del Maple.

I =

∫x3 − 4x2 + 2x+ 5

x2 − 5x+ 6dx.

La comanda rem ens calcula la divisio dels polinomis.[> rem(x3 − 4 ∗ x2 + 2 ∗ x + 5, x2 − 5 ∗ x + 6, x,′ q′);

−1 + x[> q;

x + 1Per tant

x3 − 4x2 + 2x+ 5 = (x+ 1)(x2 − 5x+ 6) + (x− 1)

i llavors

I =

∫ (x+ 1 +

x− 1

x2 − 5x+ 6

)dx =

(x+ 1)2

2+

∫x− 1

x2 − 5x+ 6dx︸︷︷︸

I1



Calcul de primitivesLa comanda factor ens factoritza el denominadorFactoritzem el denominador amb la comanda[> factor(x2 − 5 ∗ x + 6);

(x− 2)(x− 3)

i per tant tenim que:

I1 =

∫x− 1

(x− 2)(x− 3)dx =

∫ ( A

x− 2+

B

x− 3

)dx

Amb la comanda parfrac calculem els coeficients A i B[> convert((x− 1)/(x2 − 5 ∗ x + 6), parfrac);

− 1x−2

+ 2x−3

per tant A = −1 i B = 2 i

I1 =

∫ (− 1

x− 2+

2

x− 3

)dx = − ln |x− 2|+ 2 ln |x− 3|.




Per tant ajuntant tots els calculs tenim que:

I =

∫x3 − 4x2 + 2x+ 5

x2 − 5x+ 6dx =

(x+ 1)2

2+

∫x− 1

x2 − 5x+ 6dx︸︷︷︸

I1

Exercici Proposat Calculeu amb l’ajuda del Maple la integralseguent ∫

x4 + x2 + 1

2x4 − 4x3 + 2x2 − 16x− 24



Calcul de primitivesExercici Proposat Calculeu les primitives de les seguents funcions:

(a)

∫x− 8

x2 − x− 2dx = −2 ln(x− 2) + 3 ln(x+ 1) + C

(b)

∫x4 − 7x3 + 17x2 − 22x+ 14

x3 − 7x2 + 14x− 8dx =

x2

2+ ln(x− 4) + ln(x− 2) + ln(x− 1) + C

(c)

∫4x− 2

5x2 − 20x+ 65dx =

2

5ln(x2 − 4x+ 13) +

2

5arctan(

x− 2

3) + C

(d)

∫x3 + x2 + x+ 1

(x− 1)5dx = −

1

(x− 1)4−

2

(x− 1)3−

1

x− 1−

2

(x− 1)2+ C

(e)

∫x3 + 2x2 − 4x+ 13

x4 − 4x3 + 13x2dx =

1

2ln(x2 − 4x+ 13) + arctan(

x− 2

3)−

1

x+ C.


Idea intuıtiva

Integral de Riemann

Integral de Riemann: idea intuıtiva

Sigui f : [a, b]→ R una funcio fitada i positiva.Objectiu: determinar l’area limitada per la grafica de f , l’eixd’abscisses i les rectes x = a i x = b.

f(x)x=bx=a

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

x


Idea intuıtiva

Integral de Riemann

Idea per aproximar l’area: Dividir l’interval [a, b] en un certnombre de parts i aproximar l’area en cada una d’aquestesparts per l’area d’un rectangle.

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

x


Idea intuıtiva

Integral de Riemann

Idea per aproximar l’area superiorment: Consideraremuna particio p ∈ P([a, b]) del nostre interval

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

i dintre de cada subinterval Ii = [xi, xi+1] calculem

Mi = max{f(x), x ∈ Ii}.

Llavors si considerem l’area dels rectangles que determinen:

Sp = M0(x1 − x0) +M1(x2 − x1) + · · ·+Mn−1(xn − xn−1)

tenim una cota superior de l’area que volem calcular.


Idea intuıtiva

Integral de Riemann

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4

Ii Mi Ai

[0.5− 1.] 3.1856 1.5928

[1.− 1.5] 3.4944 1.7472

[1.5− 2.] 4.0851 2.0425

[2.− 2.5] 4.0431 2.0215

[2.5− 3.] 3.4197 1.7098

[3.− 3.5] 3.3720 1.686010.7999

En aquest cas tenim una aproximacio Sp = 10.7999 quanl’area exacta es A = 9.0301.


Idea intuıtiva

Integral de Riemann

Idea per aproximar l’area inferiorment: considerem laparticio anterior, p ∈ P([a, b]):

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

i dintre de cada subinterval Ii = [xi, xi+1] calculem

mi = min{f(x), x ∈ Ii}.

Llavors si considerem l’area dels rectangles que determinen:

Sp = m0(x1 − x0) +m1(x2 − x1) + · · ·+mn−1(xn − xn−1)

tenim una cota inferior de l’area que volem calcular.


Idea intuıtiva

Integral de Riemann

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4

Ii mi Ai

[0.5− 1.] 2.7433 1.3717

[1.− 1.5] 2.1446 1.0723

[1.5− 2.] 1.9504 0.9752

[2.− 2.5] 1.8519 0.9260

[2.5− 3.] 2.2112 1.1056

[3.− 3.5] 2.8210 1.41056.8612

En aquest cas tenim una aproximacio Sp = 6.8612 quan l’areaexacta es A = 9.0301.


Idea intuıtiva

Integral de RiemannObserveu que si fem mes fina una particio, aleshores la sumainferior Sp augmenta, i la suma superior Sp disminueix.

A = 9.0301

Sp = 10.39054

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4

Sp = 7.66200

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4

Sp = 9.78457

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4

Sp = 8.23991

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4


Idea intuıtiva

Integral de RiemannExempleConsiderem la funcio de la grafica anterior entre 0.5 i 3.5. Enaquest cas les sumes inferiors i superiors convergeixen al valorde l’area.

num int Sp Sp

6 6.86138 10.7997612 7.66201 10.3905318 8.01000 10.0188324 8.23991 9.7845730 8.41189 9.6424436 8.50540 9.5490742 8.57481 9.4795448 8.63188 9.4233954 8.67547 9.3809460 8.71118 9.3468866 8.73898 9.3183272 8.76434 9.2952278 8.78370 9.2752484 8.80223 9.2573890 8.81705 9.24239600 8.99821 9.062171200 9.01418 9.046152400 9.02190 9.037934800 9.02620 9.03418

A = 9.0301


Definicio formal

Integral de Riemann

Definicio Si f : [a, b]→ R es un funcio fitada en el seudomini, es diu que f es integrable en el sentit de Riemann sies compleix:

maxp∈P([a,b])

{Sp} = minp∈P([a,b])

{Sp}

Aleshores s’anomena integral de f en [a, b] i es denota per:∫ b

a

f(x) dx.


Relacio entre integral de Riemann i el calcul d’arees

Integral de Riemann

Observacio Si f : [a, b]→ R es una funcio fitada i integrableen el sentit de Riemann, i a mes, f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], llavors∫ b

a

f(x) dx = A

es l’area limitada per la grafica de f , l’eix d’abscisses i lesrectes d’equacions x = a i x = b.

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4

A

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4



Integral de Riemann

Observacio Si f : [a, b]→ R es una funcio fitada i integrableen el sentit de Riemann, i a mes, f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b], llavors∫ b

a

f(x) dx = −A

es menys l’area limitada per la grafica de f , l’eix d’abscisses iles rectes d’equacions x = a i x = b.

–25

–20

–15

–10

–5

0

5

1 2 3 4

–25

–20

–15

–10

–5

0

5

1 2 3 4

–25

–20

–15

–10

–5

0

5

1 2 3 4

A

–25

–20

–15

–10

–5

0

5

1 2 3 4



Integral de Riemann

Observacio Si f : [a, b]→ R es una funcio fitada i integrableen el sentit de Riemann, llavors∫ b

a

f(x) dx = A−B

ens dona l’area limitada per la funcio f en els trossos positius,menys l’area limitada per la funcio f ens els trossos negatius.

0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4B

A’A

0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4


Calcul practic d’integrals definides

Integral de Riemann

Si f : [a, b]→ R es un funcio integrable en el sentit deRiemann llavors sabem que∫ b

a

f(x) dx = maxp∈P([a,b])

{Sp} = minp∈P([a,b])

{Sp}.

Ara be, la definicio formal d’integral de Riemann (o integraldefinida) es difıcil d’usar per calcular les integrals a la practica.


Calcul practic d’integrals definides - Regla de Barrow

Integral de Riemann

Proposicio(Regla de Barrow)Si f es una funcio contınua en [a, b] i φ(x) es una primitiva def , es a dir:

φ′(x) = f(x),

llavors ∫ b

a

f(x) dx = φ(b)− φ(a).

S’acostuma a denotar per:∫ b

a

f(x) dx = φ(x)∣∣∣ba

= φ(b)− φ(a).

La proposicio anterior es molt important perque ens relacionael problema de calcul d’arees amb el calcul de derivades.


Calcul practic d’integrals definides - Regla de Barrow

Integral de Riemann

Exemple

Calculeu la integral

∫ 2π

0

cos(x) dx.

Si considerem f(x) = cos(x), tenim que φ(x) = sin(x) n’esuna primitiva i per tant∫ 2π

0

cos(x) dx = sin(x)∣∣∣2π0

= sin(2π)− sin(0) = 0.


Propietats de la integral de Riemann

Integral de RiemannPropietats basiques de la integral de Riemann:

Donades f i g integrables en el sentit de Riemann en [a, b]:

. si k ∈ R,∫ b

a

kf(x) dx = k

∫ b

a

f(x) dx

.

∫ b

a

[f(x) + g(x)

]dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx

.

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx

. si c ∈ [a, b],

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx

.

∫ a

a

f(x) dx = 0


Area delimitada per una funcio i l’eix d’abscisses

Calcul d’areesArea delimitada per una funcio i l’eix d’abscisses

Siguin f una funcio acotada i integrable en el sentit deRiemann en l’interval [a, b]. L’area que delimita la funcio f(x)amb l’eix d’abscisses entre les rectes x = a i x = b es

A =

∫ b

a

|f(x)|dx

–2

0

2

4

6

8

10

–2 –1 1 2 3 4

. si f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒ A =

∫ b

a

f(x)dx

. si f(x) < 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒ A = −∫ b

a

f(x)dx

. si f(x) canvia de signe en [a, b] calcalcular els punts de canvi de signe

A =

∫f(x)>0

f(x)dx−∫f(x)<0

f(x)dx



Calcul d’areesExempleCalculeu l’area limitada per la corba donada per la funciof(x) = 3x2 − 6x i l’eix OX a [−1, 3].de calcul d’arees

–2

0

2

4

6

8

10

–2 –1 1 2 3 4

Primer hem de calcular els punts de tall amb l’eix OX, es a dir,els punts tals que f(x) = 0.

f(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2) = 0 =⇒ x = {0, 2}



Calcul d’arees

Llavors, hem de mirar el signe de f en els intervals [−1, 0],[0, 2] i [2, 3].

[−1, 0] , f(x) ≥ 0

[0, 2] , f(x) ≤ 0

[2, 3] , f(x) ≥ 0

Per tant l’area es:

A =

∫ 0

−1

f(x) dx−∫ 2

0

f(x) dx+

∫ 3

2

f(x) dx

=[x3 − 3x2

]0

−1−[x3 − 3x2

]2

0+[x3 − 3x2

]3

2

= (1 + 3)− (8− 12) + (27− 27− 8 + 12) = 12.


Area entre dues corbes

Calcul d’areesArea entre dues corbes (I)

Siguin f i g dues funcions acotades i integrables en el sentit deRiemann en [a, b] tals que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b].

A

ba0

1

2

3

4

5

1 1.5 2 2.5 3 3.5

L’area delimitada entre les dues corbes i les rectes x = a ix = b ve donada per:

A =

∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx.



Calcul d’arees

Observeu que∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx︸︷︷︸A+B

−∫ b

a

g(x) dx︸︷︷︸B

= A.

B

A

ba0

1

2

3

4

5

1 1.5 2 2.5 3 3.5

- B

ba0

1

2

3

4

5

1 1.5 2 2.5 3 3.5

=

A

ba0

1

2

3

4

5

1 1.5 2 2.5 3 3.5



Calcul d’areesArea entre dues corbes (II)

Siguin f i g dues funcions acotades i integrables en el sentit deRiemann en l’interval [a, b] tals que f(x) ≥ g(x) ∀x ∈ [a, b].

A

ba

–1

0

1

2

3

1 1.5 2 2.5 3 3.5

L’area delimitada entre les dues corbes i les rectes x = a ix = b ve donada, igual que en el cas f(x) ≥ g(x) ≥ 0, per:

A =

∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx.



Calcul d’areesVegem la igualtat anterior mitjancant el calcul de l’arearepresentada en la seguent figura

A

ba

–1

0

1

2

3

1 1.5 2 2.5 3 3.5

ba

E

D

C

B

–1

0

1

2

3

1 1.5 2 2.5 3 3.5

∫ b

a

f(x) dx = B + E +D∫ b

a

g(x) dx = B − C +D

∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx = B+E+D−(B−C+D) = E+C = A.



Calcul d’areesArea entre dues corbes (III)

Siguin f i g dues funcions acotades i integrables en el sentit deRiemann en l’interval [a, b].

g(x)

f(x)

A

x1x0 ba

–0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 1.5 2 2.5 3 3.5

L’area delimitada entre les dues corbes i les rectes x = a ix = b ve donada per:

A =

∫ b

a

|f(x)− g(x)| dx.



Calcul d’arees

Ara be, com es calcula

∫ b

a

|f(x)− g(x)|dx.

Observem que per calcular el valor absolut, necessitem saberquan f(x)− g(x) ≥ 0 i quan f(x)− g(x) ≤ 0.

Per tant, per calcular l’area cal:

. calcular els punts on interseccionen les dues funcions enl’interval [a, b]

. determinar els subintervals on f(x) ≥ g(x) i elssubintervals on g(x) ≥ f(x)

. l’area es la suma de les integrals de f − g on f es mesgran que g i les integrals de g− f on g es mes gran que f .



Calcul d’arees

g(x)

f(x)

A

x1x0 ba

–0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 1.5 2 2.5 3 3.5

A =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx

=

∫ x0

a(g(x)− f(x)) dx+

∫ x1

x0

(f(x)− g(x)) dx+

∫ b

x1

(g(x)− f(x)) dx


Exemples de calcul d’arees

Calcul d’areesExempleDonades les funcions f(x) = 2

√x+ 1 i g(x) = 3

√x calculeu

l’area de la regio en forma de mitja lluna que emmarquen ambl’eix OY.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

El primer que hem de fer es determinar elpunt de tall, es a dir, el punt x tal quef(x) = g(x).

2√x+ 1 = 3

√x ⇒ 4(x+ 1) = 9x

⇒ 5x− 4 = 0 ⇒ x =4

5.

Com que en l’interval [0, 45], f(x) ≥ g(x) l’area ve donada per:

A =

∫ 45

0

(f(x)− g(x)) dx =

∫ 45

0

(2√x+ 1− 3

√x)

dx



Calcul d’arees

Per tant

A =

∫ 45

0

(2√x+ 1− 3

√x)

dx

=

[4

3(x+ 1)

32 − 2x

32

] 45

0

=4

3

(9

5

) 32

− 2

(4

5

) 32

− 4

3

=4

3

27

5√

5− 2

8

5√

5− 4

3=

20

5√

5− 4

3=

4√5− 4

3= 0.4555



Calcul d’areesExempleDonades les funcions f(x) = 6x− x2, g(x) = x2 − 2x ih(x) = 10 + x calculeu l’area de la regio que delimiten les trescorbes.

Si calculem els talls de les tres fun-cions tenim

f(x) = g(x) ⇒ x = 0, 4

g(x) = h(x) ⇒ x = −2, 5

Observem que per calcular l’area, hem de dividir l’area total entres regions x ∈ [−2, 0], x ∈ [0, 4] i x ∈ [4, 5].



Calcul d’arees

Per tant:

A =

∫ 0

−2(h(x)− g(x))dx+

∫ 4

0

(h(x)− f(x))dx+

∫ 5

4

(h(x)− g(x))dx

= 34/3 + 64/3 + 19/6 = 215/6.



Calcul d’arees

ExempleDetermineu l’area limitada per la parabola y2 = 4x i la rectay = 2x− 4.



Calcul d’areesEn aquest cas, aquest problema es pot plantegar de duesmaneres en funcio de si volem integrar respecte la variable x ola variable y.

En el primer cas obtenim A = 8/3 + 19/3 = 9 i en el segon,directament obtenim A = 9.


Idea intuıtiva

Integrals impropiesTe sentit calcular l’area que delimita la funcio f(x) =

1

x2, l’eix

d’abscisses i la recta x = 1?

10642

0,8

0

0,4

1

0,6

0,2

80

I l’area que delimita la mateixa funcio en l’interval [−1, 1] il’eix d’abscisses?

0,50

400

1000

600

200

800

10-0,5-1


Idea intuıtiva

Integrals impropies

10642

0,8

0

0,4

1

0,6

0,2

80 0,50

400

1000

600

200

800

10-0,5-1

En el primer cas, l’area estaria associada a

∫ +∞

0

f(x) dx,

on un dels lımits d’integracio es infinit.

=⇒ Integral impropia de primera especie

En el segon cas, l’area estaria associada a

∫ 1

−1f(x) dx,

on la funcio f(x) no esta acotada dins de [−1, 1].

=⇒ Integral impropia de segona especie


Definicio i classificacio

Integrals impropiesDefinicio i classificacio

I Diem que una integral∫ baf es integral impropia de primera especie

si l’interval d’integracio no es fitat (a = +∞, b = −∞, o tots dos).ExempleL’interval

∫ +∞0

sinxdx es impropia de primera especie, ja que elrecinte no es fitat.

I Diem que una integral∫ baf es impropia de segona especie si la

funcio f no es fitada en el recinte d’integracio. Els punts del’interval en que la funcio no es fitada els anomenem puntssingulars.Exemple

La integral∫ 10

01

x−7dx es impropia de segona especie, ja que al punt

x = 7, que pertany a l’interval d’integracio, la funcio f(x) = 1x−7 ,

no es fitada.

I Diem que una integral∫ baf es impropia de tercera especie si es

impropia de primera especie i de segona a la vegada.



Integrals impropies

00

Integral de primera especie∫ +∞

0

sin(x) dx

0

5

10

-5

-10

40 862 10

Integral de segona especie∫ 10

0

1

x− 7dx

10

5

00

Integral de tercera especie∫ +∞

−1

1

x2dx

Observem que en alguns casos l’area podria ser infinita. En aquests casosdirem que la integral es divergent.



Integrals impropiesAtencio amb la classificacio!Cal tenir molta cura a l’hora de classificar una integral impropia.Per exemple, la integral ∫ 1

0

sinx

xdx

sembla que sigui una integral impropia de segona especie, perosabem que

limx→0+

sinx

x= 1

i, si una funcio te lımit en un punt existeix un entorn d’aquest punten que la funcio es fitada.

0

1

20



Integrals impropiesExempleClassifiqueu les integrals∫ +∞

0

dx

ln(1 + x)(x− 2)3,

∫ +∞

−∞

x3dx

ex(x8 + x4 + 1)∫ 1

0

x cosx− sinx

x3dx,

∫ +∞

0

xdx

x2 + x+ 1


Integrals impropies de primera especie

Integrals impropiesIntegrals impropies de primera especie

Definicio Siguin I un interval qualsevol de R, I ⊂ [a,+∞) i f : I → Runa funcio localment integrable sobre I, es a dir, f integrable Riemannsobre qualsevol interval [a, b] per a tot b ≥ a contingut en I.Llavors, diem que f te integral impropia de primera especie convergent siexisteix el lımit real:

limb→+∞

∫ b

a

f(x) dx =

∫ +∞

a

f(x) dx

0,6

0,2

1

0,8

0,4

0

b302515105 200

a +

En cas contrari, diem que laintegral impropia de primeraespecie es divergent.

Nota De manera analoga, es defineix∫ a

−∞f(x) dx = lim

b→−∞

∫ a

b

f(x) dx



Integrals impropiesExempleEstudieu la convergencia de la integral∫ +∞

1

1

1 + xdx.

Es tracta d’una integral impropia de primera especie.∫ +∞

1

1

1 + xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1

1 + xdx

= limb→+∞

[ln |1 + x|]b1 = limb→+∞

[ln |1 + b| − ln(2)]

= +∞.

La integral es divergent.




1

e−xdx.


1

e−xdx = limb→+∞

∫ b

1

e−x

= limb→+∞

[−e−x]b1 = limb→+∞

[− 1

eb+

1

e

]=

1

e.

La integral es convergent.



Integrals impropies

ExempleEstudieu la convergencia de la integral∫ +∞

1

x−4dx.


1

x−4dx = limb→+∞

∫ b

1

x−4dx = limb→+∞

[− 1

3x3

]b1

= limb→+∞

[1

3− 1

3b3

]=

1

3.

La integral es convergent.



Integrals impropies

ExempleEstudieu la convergencia de la integral∫ +∞

0

e−λxdx.


0

e−λxdx = limb→+∞

∫ b

0

e−λxdx = limb→+∞

[−e−λx

λ

]b0

= limb→+∞

[−e−λb

λ+

1

λ

]=

1

λ, si λ > 0.

La integral es convergent si λ > 0 i divergent si λ ≤ 0.




1

1

xpdx.

Es tracta d’una integral impropia de primera especie, independentmentdel valors de p.Si p = 1: ∫ +∞

1

1

xdx = lim

b→+∞[ln |x|]b1 = +∞

Si p 6= 1: ∫ +∞

1

1

xpdx = lim

b→+∞

[x−p+1

−p+ 1

]b1

= limb→+∞

b−p+1

−p+ 1− 1

1− p

=1

p− 1, si p > 1.

La integral∫ +∞1

1xp dx es convergent si p > 1 i divergent si p ≤ 1.


Integrals impropies de segona especie

Integrals impropiesIntegrals impropies de segona especie

En aquesta seccio tractem la integracio de funcions no fitades en dominisfitats. Considerem ara una funcio f : (a, b]→ R que sigui integrable a totinterval (µ, b] amb µ ∈ (a, b], amb lim

x→a+f(x) =∞.

Definicio Diem que la integral∫ baf es convergent si existeix el lımit real

limµ→a+

∫ b

µ

f(x)dx = limδ→0+

∫ b

a+δ

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx

En aquest cas parlem d’integral impropia de segona especie convergent.En cas contrari, diem que la integral es divergent.

20

15

5

10

0

ba a+ δ = μ



Integrals impropies

Nota Sigui f : [a, b]− {c} → R i limx→c

f(x) =∞. Diem que∫ baf es convergent si son convergents cadascuna de les

integrals∫ caf i∫ bc

i, en aquest cas,∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

ba c



Integrals impropiesExempleEstudieu la integral ∫ e

1

1

x(lnx)13

dx.

Es tracta d’una integral impropia de segona especie, ja que pera x = 1 la funcio f(x) = 1

x(lnx)13

es no fitada. Per calcular-la,

fem el canvi de variable lnx = t:∫ e

1

1

x(lnx)13

dx =

∫ 1

0

t−13dt = lim

δ→0+

∫ 1

δ

t−13dt

= limδ→0+

[3

2t

23

]1

δ

= limδ→0+

[3

2− 3

2δ

23

]=

3

2.



Integrals impropies

ExempleEstudieu la convergencia de la integral∫ b

a

1

(x− a)pdx, b > a

segons els diferents valors de p.

Es clar que per a valors p ≤ 0 es tracta d’una integral propia,ja que la funcio es fitada sobre un domini fitat.

Si p > 0, la funcio 1(x−a)p

presenta una singularitat en el puntx = a. Per determinar el caracter de la integral, apliquem ladefinicio segons els valors de p.



Integrals impropiesCas p 6= 1 ∫ b

a

1

(x− a)pdx = lim

δ→0+

∫ b

a+δ

1

(x− a)pdx

= limδ→0+

[(x− a)−p+1

−p+ 1

]ba+δ

=(b− a)1−p

1− p, si p < 1.

En el cas p > 1, l’ultim lımit de l’expressio anterior dona ∞.

Cas p = 1 ∫ b

a

1

x− adx = lim

δ→0+

∫ b

a+δ

1

x− adx

= limδ→0+

[ln |x− a|]ba+δ = +∞

Resumint els resultats anteriors, podem dir que la integral∫ ba

1(x−a)p dx es

convergent si p < 1, i divergent si p ≥ 1.


Exercicis addicionals

Integrals impropiesAlguns problemes mes...

ExempleCalculeu la integral ∫ +∞

−∞

1

x2 + 2x+ 5dx

en cas que sigui convergent.

ExempleCalculeu la integral ∫ +∞

0

x sinxdx

en cas que sigui convergent.


Acotacio d’integrals impropies

Integrals impropiesAcotacio d’integrals impropies

A vegades ens pot interessar saber si una integral es o no convergent ipot ser que no ens interessi el valor en particular de la integral.Per exemple, ens pot interessar saber si∫ +∞

1

sin(x) + cos(x)

x2 + x+ 1dx es finita.

12 204 8

0,4

0,2

0

0,3

x

16

0,1

-0,1

Aixo es equivalent a trobar L1 i L2 tals que

L1 ≤∫ +∞

1

sin(x) + cos(x)

x2 + x+ 1dx ≤ L2.



Integrals impropiesObservacio Sigui f(x) integrable en el sentit de Riemann en [a, b],llavors: ∣∣∣∫ b

a

f(x) dx∣∣∣ ≤ ∫ b

a

∣∣∣f(x)∣∣∣ dx.A mes aquesta propietat tambe es certa si a i/o b son ±∞, es a dir, sitenim una integral impropia de primera especie.

4

1

-4

-3

0

-2

-1

02-2-4

A

B

D

C0

3

4

0

1

-2-4

2

2 4

A B DC

∣∣∣∫ b

a

f(x) dx∣∣∣ = B + C −A−D ,

∫ b

a

∣∣∣f(x)∣∣∣ dx = A+B + C +D

Aquesta observacio es clau a l’hora de poder acotar integrals.Matematiques I - Nuria Pares, Francesc Pozo i Yolanda Vidal I - 88


Integrals impropiesExempleDetermineu si la integral ∫ +∞

1

sin(x) + cos(x)

x2 + x+ 1dx,

es convergent o divergent.

Denotem per L =

∫ +∞

1

sin(x) + cos(x)

x2 + x+ 1dx, llavors:

|L| ≤∫ +∞

1

∣∣∣ sin(x) + cos(x)

x2 + x+ 1

∣∣∣dx ≤ ∫ +∞

1

2

x2 + x+ 1dx,

ja que | sin(x) + cos(x)| ≤ | sin(x)|+ | cos(x)| ≤ 2, i com que x2 + x+ 1 ≥ 0,|x2 + x+ 1| = x2 + x+ 1.

A mes, com que x2 + x+ 1 ≥ x =⇒1

x2 + x+ 1≤

1

x2tenim que:

|L| ≤∫ +∞

1

2

x2 + x+ 1dx ≤

∫ +∞

1

2

x2dx

= limb→+∞

∫ b

1

2

x2dx = lim

b→+∞

[−

2

x

]b1

= limb→+∞

[−

2

b+ 2]

= 2.

Per tant −2 ≤ L ≤ 2 =⇒ Integral convergent.


MATERIAL ADDICIONAL


Exercicis de calcul de primitives

1)

∫1

(1 + x2)2dx canvi x = tan(u) 2)

∫ √a2 + b2x2dx canvi bx = a tan(t)

3)

∫ √x+

3√x2

√x

canvi x = t6 4)

∫arctan(x)dx int. parts

5)

∫x3 + 2x+ 1

x2 − 5x+ 6dx 6)

∫1

(x− 1)2(x+ 1)dx

7)

∫x

(x2 + x+ 1)(x+ 1)dx 8)

∫1

3 + cos(x)dx canvi x = 2 arctan(t)

9)

∫ √x2 + 4

xdx canvi x = 2 tan(u), x2 + 4 = u2, u =

√x2 + 4− x

10)

∫ln(x)√xdx canvi u =

√x o parts 11)

∫sin(ln(x))dx int. parts

12)

∫tan(x)dx 13)

∫cos(x)

1 + sin2(x)dx

14)

∫3x− 2

x2 − 4x+ 5dx 15)

∫earcsin(x)dx int. parts

16)

∫ln(1−

√x)dx canvi u =

√x o parts 17)

∫x cos2(x)dx int. parts


Documents

Integraci o - LaCàN...Integral inde nida d’una funci o De nici o Donada f: [a;b] !R s’anomena integral inde nida de fal conjunt de totes les seves primitives. I la integral inde