INTEGRACION

Captulo 4

Integracin

En este captulo abordamos la integracin sobre variedades diferenciables. Aunque el nfasisest puesto en la aplicacin de los teoremas clsicos de integracin, Divergencia, Stokes-Amprey Green en el plano, construiremos el Teorema de Stokes, del que se obtienen los teoremas cl-sicos como casos particulares, como una extensin del Teorema Fundamental del Clculo. Enel captulo anterior, al extender el concepto de supercie regular al de variedad diferenciablede dimensin n en IRs, hemos introducido las correspondientes mtricas. Ahora, a partir de loselementos de volumen determinados por las mtricas, deniremos la integracin de funcionesseccionalmente continuas sobre variedades parametrizadas de dimensin n y extenderemos di-cha denicin a las que denominamos variedades diferenciables a trozos, bsicamente unionesnitas de subconjuntos parametrizados determinados desde pseudointervalos de los dominiosde parametrizacin. Describir los subconjuntos parametrizados desde pseudointervalos permiteconsiderar conjuntos muy generales y no obstante utilizar la integracin por reiteracin.

Sea xxxxxxxxxxxxxx : U IRn IRs una parametrizacin de una variedad diferenciable de dimensin n.f : xxxxxxxxxxxxxx(U) IR

xxxxxxxxxxxxxx(U)f(p)d

def=

U

f(xxxxxxxxxxxxxx(u))detg(u) du

Lo fundamental en la denicin, independientemente de que utilicemos el elemento de volumendeterminado por cada parametrizacin y por tanto introduzcamos propiamente un proceso demedida, es que el valor de dicha integral sea independiente de la parametrizacin utilizada. Portanto consideremos un cambio de variable u = u(u), tal que xxxxxxxxxxxxxx(u) = xxxxxxxxxxxxxx(u(u)), con xxxxxxxxxxxxxx(U) = xxxxxxxxxxxxxx(U),entonces la mtrica en la nueva parametrizacin vendr dada por

g(u) = xxxxxxxxxxxxxxt xxxxxxxxxxxxxx =(utu xxxxxxxxxxxxxxt xxxxxxxxxxxxxx uu

) det g(u) = det g(u) det2 (uu)

por tanto,U

f(xxxxxxxxxxxxxx(u))

det g(u) du =

U


det g(u) |detuu| du =U


det g(u) du.

Veamos algn ejemplo que aplique sta denicin. En curvas n = 1, : I IR IRs y

105

106 Integracin

f : (I) IR (I)

f(p)dl =

I

f((t))|(t)| dt

Ejemplo 4.0.1 Sean a, b > 0,

: (0, 2) IR3

t (t) = (a cos t, a sen t, bt)

f(p) = x2 + y2 + z2, luego f((t)) = a2 + b2t2, (t) = (a sen t, a cos t, b) =|(t)| =

a2 + b2.

(I)

f(p)dl =

20

(a2 + b2t2)a2 + b2 dt = a2

a2 + b2 2 + b2

a2 + b2

83

3

En supercies, con n = 2 y s = 3, xxxxxxxxxxxxxx : U IR2 IR3 y f : xxxxxxxxxxxxxx(U) IRxxxxxxxxxxxxxx(U)

f(p)dA =

U

f(xxxxxxxxxxxxxx(u, v))|xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv| du dv

Ejemplo 4.0.2 Sea a > 0,

xxxxxxxxxxxxxx : (0, 2) (0, b) IR3

(, z) xxxxxxxxxxxxxx(, z) = (a cos , a sen , z)

f(p) = x2+y2+z2, necesitamos f(xxxxxxxxxxxxxx(, z)) = a2+z2, xxxxxxxxxxxxxx = (a sen , a cos , 0), xxxxxxxxxxxxxxz = (0, 0, 1),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxz = (a cos , a sen , 0) = |xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxz| = a.

xxxxxxxxxxxxxx(U)f(p)dA =

20

b0

(a2 + z2)a d dz = 2a3b+ 2ab3

3

En cambios de variable, con n = s = 3, hhhhhhhhhhhhhh : W IR3 IR3 y f : hhhhhhhhhhhhhh(W ) IRhhhhhhhhhhhhhh(W )

f(p)dV =

W

f(hhhhhhhhhhhhhh(u, v, w))|hhhhhhhhhhhhhh(u, v, w)| du dv dw

Ejemplo 4.0.3 Sea R > 0,

hhhhhhhhhhhhhh : (0, R) (0, ) (0, 2) IR3

(, , ) hhhhhhhhhhhhhh(, , ) = ( sen cos , sen sen , cos)

107

f(p) = x2 + y2 + z2, necesitamos f(xxxxxxxxxxxxxx(, z)) = 2, |hhhhhhhhhhhhhh| = 2 sen.hhhhhhhhhhhhhh(W )

f(p)dV =

R0

0

20

4 send dd =4

5R5.

El contexto de la integracin es el de las variedades diferenciables M de dimensin n a

trozos. M =ki=1

Fi unin nita de subconjuntos Fi donde cada uno de ellos est cubierto por

una parametrizacin: xxxxxxxxxxxxxxi : Ui IRn IRs tal que Fi xxxxxxxxxxxxxxi(Ui), UFi Ui siendo Fi = xxxxxxxxxxxxxxi(UFi),con UFi subconjunto medible (lo que expresa que su funcin caracterstica es integrable), aunquepara poner de maniesto el proceso de integracin por reiteracin, consideraremos que los UFison pseudointervalos.

Denicin 4.0.2 M es una n-v.d. simple si la podemos denir con una sola paramerizacin.Diremos que M es una n-v.d. casi-simple si es una n-v.d. simple, salvo un subconjunto demedida nula.

La esfera es una 2-v.d. casi-simple porque la podemos parametrizar con una parametrizacinsalvo un meridiano (de medida, rea, nula). El cilindro circular tambin lo es.

Elementos unidimensionales

Podemos integrar en una curva respecto de una variable cartesiana, por ejemplo el elementode longitud determinado por x1, es decir, dx1.

(I)

f(p)dx1def=

I

f((t))dx1(t)

dtdt.

Para conocer la relacin de este elemento de medida unidimensional con el de longitud, obser-vemos que

I

f((t))dx1(t)

dtdt =

I

f((t))x1(t)

|(t)||(t)| dt =

(I)

f(p)T1(p) dl,

donde T1(p) es la primera componente de la tangente unitaria a en p, T (p). Por tanto, larelacin entre los elementos de medida unidimensionales ser:

dxi = Ti(p)dl.

Ejemplo 4.0.4 : (0, 2 ) IR

3


f(p) = xy + z, f((t)) = a2 sen t cos t+ bt(I)

f(p)dx =

2

0

(a2 sen t cos t+ bt)(a sen t)dt = a3

3 ab

108 Integracin

Elementos bidimensionales

Podemos integrar en una supercie respecto de dos variables cartesianas, por ejemplo elelemento de rea determinado por y, z, es decir, dy dz.

xxxxxxxxxxxxxx(U)f(p) dy dz

def=

U

f(xxxxxxxxxxxxxx(u, v))det(y, z)

(u, v)du dv.

Para conocer la relacin de este elemento de medida bidimensional con el elemento de rea,observemos que

U

f(xxxxxxxxxxxxxx(u, v))det(y, z)

(u, v)du dv =

U

f(xxxxxxxxxxxxxx(u, v))det((y,z)(u,v)

)|xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv|

|xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv| du dv =xxxxxxxxxxxxxx(U)

f(p)N1(p)dA.

En correspondencia, los elementos bidimensionales cartesianos estarn relacionados con el ele-mento de rea por:

dy dz = N1dA

dz dx = N2dA

dx dy = N3dA

Elementos tridimensionales

En el caso de integracin sobre conjuntos de igual dimensin que el ambiente, podemosintegrar respecto de todas las variables coordenadas en un orden dado, concretamente,hhhhhhhhhhhhhh(W )

f(p)dxdydzdef=

W

f(hhhhhhhhhhhhhh(u, v, w))det(x, y, z)

(u, v, w)du dv dw =

W

f(hhhhhhhhhhhhhh(u, v, w))|det(hhhhhhhhhhhhhh)| du dv dw,

por tanto,dV = dx dy dz

Cuando consideramos campos vectoriales actuando sobre variedades, podemos evaluar laintegral de su proyeccin sobre campos determinantes de la variedad.

Denicin 4.0.3 Sean IR3, F : p

Tp(IR3), un campo vectorial diferenciable y

consideremos la curva parametrizada regular : I IR IR3,

Llamamos circulacin o trabajo de F a lo largo de la curva (I) al valor:

C(F, (I)) =

(I)

F, T dl =I

F ((t)), (t)

|(t)| |(t)|dt =

I

F ((t)), (t)dt

109

Ejemplo 4.0.5

Dado un campo:

F (p) = x

x+ y

y+ z

z

: (0, 2) IR3


F ((t)) = (a cos t, a sen t, bt), (t) = (a sen t, a cos t, b), F ((t)), (t) = b2t

C(F, (I)) =

20

b2t dt = 2b22.

Si en particular, consideramos un campo gradiente, f : IR diferenciable, f campovectorial diferenciable,

C(f, (I)) =I

f((t)), (t)dt =I

f ((t))(t)dt =

I

d

dtf((t))dt = f((b)) f((a)),

siendo I = (a, b). Cuando un campo es gradiente, la circulacin no depende del camino recorridopor la curva y adems, a lo largo de cualquier curva cerrada el trabajo es nulo.

Denicin 4.0.4

Dado F campo vectorial diferenciable sobre IR3, sea xxxxxxxxxxxxxx : U IR2 IR3, una parametri-zacin de una supercie regular, con xxxxxxxxxxxxxx(U) .

Llamamos ujo a travs de xxxxxxxxxxxxxx(U) al valor:

(F,xxxxxxxxxxxxxx(U)) =

xxxxxxxxxxxxxx(U)F,NdA =

U

F (xxxxxxxxxxxxxx(u, v)),xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv|xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv|

|xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv|du dv =U

F (xxxxxxxxxxxxxx(u, v)), xxxxxxxxxxxxxxuxxxxxxxxxxxxxxvdu dv

Denicin 4.0.5

Sea F un campo vectorial diferenciable en IR3 y hhhhhhhhhhhhhh : W IR3 = IR3 un cambio de variablehhhhhhhhhhhhhh(W ) .

Llamamos divergencia del campo F en hhhhhhhhhhhhhh(W ) al valor

D(F,hhhhhhhhhhhhhh(W )) =hhhhhhhhhhhhhh(W )

, F dV =hhhhhhhhhhhhhh(W )

(Dxf1(p) +Dyf2(p) +Dzf3(p)) dV =

110 Integracin

hhhhhhhhhhhhhh(W )

divF (p) dV =

W

divF (hhhhhhhhhhhhhh(u, v, w))|dethhhhhhhhhhhhhh(u, v, w)| du dv dw.

Recordemos los elementos bsicos del Teorema Fundamental del Clculo, para poder reco-nocer la extensin que representar el Teorema de Stokes que abordaremos con posterioridad.

f : (a, b) IR seccionalmente continua ba

f(x)dx = F (b) F (a)

siendo F una primitiva de f, es decir f = F en I = (a, b).

Tambin lo podemos expresar diciendoI

F (x)dx =

I

dF (x) =

I

F (x),

considerando los extremos del intervalo con orientaciones opuestas.

4.0.1. Orientacin

Consideremos un intervalo I en el espacio de parmetros.

I =ni=1

[ai, bi] IRn es un intevalo cerrado. Tiene dos caras por cada dimensin:

Il = [a1, b1] {blal

} [an, bn]. La frontera del intervalo ser: I = Il .

La orientacin inducida en las caras est dada por,

orientacin de Il =

(1)l1

(1)l

orientacin de {u1 ul un}, ( ul es una nomenclaturaque signica que ul no sale en la lista de coordenadas). Las dos caras de un intervalo cualquiera,tendrn orientaciones opuestas.

Conozcamos a continuacin un resultado clsico de clculo diferencial que necesitaremos enla demostracin del Teorema de Stokes.

4.0.2. Identidad de Jacobi

nl=1

(1)l1Duldet(

(x2, , xn)(u1, , ul, , un)

)= 0.

Demostracin. Usemos la notacin

A =

((x1, x2, , xn)(u1, , un)

).

111

Si A es invertible(A1

)

=1

detA

(adjAT

), por tanto,

nl=1

(1)l1Duldet(

(x2, , xn)(u1, , ul, , un)

)=

nl=1

Dul

(adjAT

)l1

=

nl=1

Dul

(detA

(A1

)l1

)=

nl=1

Dul (detA)(A1

)l1

+nl=1

detA Dul

(A1

)l1.

Ahora bien, usando la derivada del determinante y la denicin de matriz inversa, el primersumando de la ltima expresin se transforma sucesivamente en

nl=1

Dul (detA)(A1

)l1

=

nl,,=1

(adjA) DulDu (x)(A1

)l1

=

nl,,=1

detA(A1

)Du (A) l

(A1

)l1

= n

l,,=1

detA Du(A1

)

(A) l(A1

)l1

=

n=1

detA Du

(A1

)1,

de donde el resultado.

4.0.3. Teorema de Stokes

Sea xxxxxxxxxxxxxx : U IRn IRs, una parametrizacin de una variedad diferenciable de dimensin ny sea I un intervalo n-dimensional, I U , entonces I es(n 1)dimensional, lo mismo queocurre con sus correspondientes imgenes por la parametrizacin xxxxxxxxxxxxxx(I) y xxxxxxxxxxxxxx(I).

Si f : xxxxxxxxxxxxxx(U) IR es de clase C1,xxxxxxxxxxxxxx(I)

f(p) dxj 1 dxj n1 =xxxxxxxxxxxxxx(I)

df(p) dxj 1 dxj n1

)xxxxxxxxxxxxxx(I)

df(p) dxj 1 dxj n1 =s

k=1

xxxxxxxxxxxxxx(I)

Dxkf(p) dxkdxj 1 dxj n1 =

sk=1

I

Dxkf(xxxxxxxxxxxxxx(u))det

((xk, xj1 , , xjn1)

(u1, , un)

)du1 dun =

sk=1

nl=1

I

Dxkf(xxxxxxxxxxxxxx(u))(1)l1xkul

det

((xj1 , , xjn1)

(u1, , ul, , un)

)du1 dun =

nl=1

I

Dulf(xxxxxxxxxxxxxx(u))(1)l1det(

(xj1 , , xjn1)(u1, , ul, , un)

)du1 dun = ()

112 Integracin

Usando la identidad de Jacobi:

nl=1

(1)lDuldet(

(xj1 , , xjn1)(u1, , ul, , un)

)= 0

() =nl=1

I

Dul

[f(xxxxxxxxxxxxxx(u))(1)l1det

((xj1 , , xjn1)

(u1, , ul, , un)

)]du1 dun =

(Aplicamos la regla de Barrow a la variable ul)

nl=1

I+l

f(xxxxxxxxxxxxxx(u))(1)l1det(

(xj1 , , xjn1)(u1, , ul, , un)

)du1 dul dun

nl=1

Il

f(xxxxxxxxxxxxxx(u))(1)l1det(

(xj1 , , xjn1)(u1, , ul, , un)

)du1 dul dun =

nl=1

(I+l

f(xxxxxxxxxxxxxx(u))det

((xj1 , , xjn1)

(u1, , ul, , un)

)(1)l1du1 dul dun

+

Il

f(xxxxxxxxxxxxxx(u))det

((xj1 , , xjn1)

(u1, , ul, , un)

)(1)ldu1 dul dun

)=

nl=1

[xxxxxxxxxxxxxx(I+

l)

f(p) dxj 1 xj n1 +xxxxxxxxxxxxxx(I

l)

f(p) dxj 1 xj n1

]=

xxxxxxxxxxxxxx(I)

f(p) dxj 1 xj n1.

Pasemos a continuacin a obtener los Teoremas Clsicos como casos particulares del Teoremade Stokes.

Teorema de Green en el plano

Sean I IR2 un intervalo con frontera I, I A, hhhhhhhhhhhhhh : A IR2 IR2 un cambio de variabley F un campo vectorial diferenciable en IR2 con hhhhhhhhhhhhhh(A) , y denotemos F = (f1, f2).

Consideramos,hhhhhhhhhhhhhh(I)

f1(p)dx =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

df1(p)dx =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

(Dxf1(p)dx+Dyf1(p)dy)dx =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

Dyf1(p)dydx

hhhhhhhhhhhhhh(I)

f2(p)dy =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

df2(p)dy =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

(Dxf2(p)dx+Dyf2(p)dy)dy =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

Dxf2(p)dxdy

113

C(F,hhhhhhhhhhhhhh(I)) =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

F, T dl =hhhhhhhhhhhhhh(I)

f1(p)T1(p)dl +

hhhhhhhhhhhhhh(I)

f2(p)T2(p)dl =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

f1(p)dx+

hhhhhhhhhhhhhh(I)

f2(p)dy =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

Dyf1(p)dy dx+

hhhhhhhhhhhhhh(I)

Dxf2(p)dx dy =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

(Dxf2(p)Dyf1(p))dx dy =hhhhhhhhhhhhhh(I)

(Dxf2(p)Dyf1(p))dA

Teorema de Stokes-Ampre

Sean I IR2 un intervalo con frontera I, I U , xxxxxxxxxxxxxx : U IR2 IR3, parametrizacinde una supercie regular y F un campo vectorial diferenciable en IR3 con xxxxxxxxxxxxxx(U) , ydenotemos F = (f1, f2, f3).

xxxxxxxxxxxxxx(I)

f1(p)dx =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

df1(p)dx =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

Dyf1(p)dy dx+

xxxxxxxxxxxxxx(I)

Dzf1(p)dz dx

De forma anloga,xxxxxxxxxxxxxx(I)

f2(p)dy =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

df2(p)dy =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

Dxf2(p)dx dy +

xxxxxxxxxxxxxx(I)

Dzf2(p)dz dy

xxxxxxxxxxxxxx(I)

f3(p)dz =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

df3(p)dz =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

Dxf3(p)dx dz +

xxxxxxxxxxxxxx(I)

Dyf3(p)dy dz

Sabemos que,

dx = T1dl

dy = T2dl

dz = T3dl

dydz = N1dA

dzdx = N2dA

dxdy = N3dA

C(F,xxxxxxxxxxxxxx(I)) =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

F, T dl =xxxxxxxxxxxxxx(I)

f1(p)dx+ f2(p)dy + f3(p)dz =

xxxxxxxxxxxxxx(I)

[(Dyf3 Dzf2)N1 + (Dzf1 Dxf3)N2 + (Dxf2 Dyf1)N3

]dA =

xxxxxxxxxxxxxx(I)rotF,NdA = (rotF,xxxxxxxxxxxxxx(I)).

La circulacin del campo a lo largo de la curva frontera de un intervalo parametrizado es elujo del rotacional del campo a travs del tramo parametrizado de supercie.

C(F,xxxxxxxxxxxxxx(I)) =

xxxxxxxxxxxxxx(I)rotF,NdA = (rotF,xxxxxxxxxxxxxx(I))

114 Integracin

Teorema de la Divergengia

hhhhhhhhhhhhhh : W IR3 IR3 un cambio de variable y consideremos el intervalo I IR3 tal queI W . Asimismo consideramos F = (f1, f2, f3), campo vectorial diferenciable en IR3 talque hhhhhhhhhhhhhh(W ) .

hhhhhhhhhhhhhh(I)f1(p)dy dz =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

df1(p)dy dz =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

Dxf1(p)dx dy dz

hhhhhhhhhhhhhh(I)

f2(p)dz dx =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

df2(p)dz dx =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

Dyf2(p)dx dy dz

hhhhhhhhhhhhhh(I)

f3(p)dx dy =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

df3(p)dx dy =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

Dzf3(p)dx dy dz

(F,hhhhhhhhhhhhhh(I)) =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

F,NdA =hhhhhhhhhhhhhh(I)

(f1(p)dy dz + f2(p)dz dx+ f3(p)dx dy) =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

(Dxf1(p) +Dyf2(p) +Dzf3(p)) =

hhhhhhhhhhhhhh(I)

divFdV = D(F,hhhhhhhhhhhhhh(I))

4.0.4. Pseudoitervalos

Llamamos pseudointervalo a un conjunto J IRn dado por:

J = {(u1, , un) IRn; a1 u1 b1, a2(u1) u1 b2(u1), ,

an(u1, , un1) un bn(u1, , un1), ai, bi, i = 1, , n funciones regulares}.

Pseudointervalos no degeneados,verican que ai < bi i en todo su dominio de denicin, ypor tanto, todas sus caras tienen medida (n 1)-dimensional no nula. A los pseudointervalosdegenerados les ocurre que, ai = bi para uk = ak uk = bk, k i 1, y por tanto, algunacara tiene medida (n 1)-dimensional nula.

Si J es un pseudointervalo no degenerado, tiene dos caras conn medida (n 1)-dimensionalno nula para cada coordenada.

Jl =

(u1, , un) J : ul = bl(u1, , ul1)

bl(u1, , ul1)

Vamos a ver un cambio de variable que convierte un pseudointervalo no degenerado en unintervalo. Denimos h como,

: J I(u1, , un) (v1, , vn)

Pseudointervalos 115

Donde vj se expresa como,

vj = j +j jbj aj

(uj aj), vj (j , j)

es una funcin regular, ya que bj > aj por ser un pseudointervalo no degenerado. Calculamossu derivada,

=

11b1a1 0 0

22b2a2 0 ...

. . .

......

......

. . ....

nnbnan

dnde es un valor distinto de 0 porque bj aj depende de uj1, pero no lo calculamos porquelo que queremos hallar es el determinante y tenemos suciente con la diagonal ya que la matrizes triangular.

det =ni=1

i ibi ai

6= 0, luego es un cambio de variable.

Para analizar el caso de los pseudointervalos degenerados, comencemos por poner un ejemplo,

J : {(u1, u2) IR2, R u R,R2 u21 u2

R2 u21}

J es 2-dimensional, luego tiene cuatro curvas frontera, dos por cada variable. Claramente

J2 = {(u1, u2) J : u2 = R2 u21} = {(u1, u2) : R u1 R, u2 =

R2 u21},

son curvas con longitud no nula, (arcos de circunferencia de radio R). En cambio

J1 = {(u1, u2) J : u1 = R} = {(u1, u2) : u1 = R, 0 u2 0} = {(R, 0)}, queresultan ser puntos, y por tanto, curvas degeneradas de longitud nula.

Para considerar pseudointervalos degenerados, lo que haremos ser entenderlos como lmitede pseudointervalos no degenerados. Sea J un pseudointervalo degenerado. Entonces conside-remos la familia J de pseudointervalos no degenerados tal que lm

0J = J

J = {u1, , un : a1 + u1 b1 , a2(u1) + u2 b2(u1) , ,

an(u1, , un1) + un bn(u1, , un1) }

El difeomorsmo entre los pseudointervalos no degenerados y los intervalos, permite exten-der todos los teoremas de integracin aqu tratados a parametrizaciones desde pseudointervalosno degenerados. Para el caso de pseudointervalos degenerados, basta considerar el Teorema deArzel de conmutacin entre el lmite y la integral Riemann para sucesiones acotadas convergen-tes en intervalos, que es precisamente nuestra situacin. As, el Teorema de Stokes y todas susversiones clsicas, los consideramos demostrados y aplicables en las que aqu hemos denominadon variedades diferenciales a trozos, es decir, unin nita de pseudointervalos parametrizados.

116 Integracin

4.1. Aplicaciones

Problema 4.1 Sea X el campo de fuerzas denido en IR2 por

X = (2x+ y cos(xy))

x+ x cos(xy)

y.

Calcular el trabajo realizado por X sobre cualquier curva cerrada contenida en IR2.

Solucin:

Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el camposobre cualquier curva cerrada ser nulo. Por tanto, supongamos que existe f : IR2 IRdiferenciable tal que X = f . Entonces, se debe satisfacer

f

x= 2x+ y cos(xy)

f

y= x cos(xy)

(4.1)Integrando la primera ecuacin respecto de x obtenemos,

f(x, y) = x2 + sen(xy) + (y).

Si derivamos f respecto de y y comparamos con la segunda ecuacin de (4.1) obtenemos que(y) = 0 y por tanto (y) = A = cte.

Finalmente, la funcin f(x, y) = x2 + sen(xy) +A verica que X = f .

Problema 4.2 (a) Si f : [a, b] IR es diferenciable no negativa y la grca de f en el planoxy se hace girar alrededor del eje x en IR3, engendra una supercie M . Probar que el rea deM es b

a

2f(t)

1 + (f )2(t) dt.

Solucin:

Una parametrizacin de la curva en el plano xy es,

(t) = (t, f(t), 0), t [a, b].

Por tanto, la parametrizacin de la supercie y la base del tangente son

xxxxxxxxxxxxxx(t, ) = (t, f(t) cos , f(t) sen ), t [a, b], [0, 2],

xxxxxxxxxxxxxxt = (1, f(t) cos , f (t) sen ), xxxxxxxxxxxxxx = (0,f(t) sen , f(t) cos ).

Los coecientes de la mtrica son E = 1 + f (t)2, G = f(t)2 y F = 0.

Aplicaciones 117

Por ltimo el rea es

A =

M

EG F 2 dt d =

ba

20

f(t)

1 + (f )2(t) dt d =

ba

2f(t)

1 + (f )2(t)dt.

Problema 4.3 Sean, U IR2 abierto, f : U IR de clase C1 y S = {(x, y, z) IR3 : z =f(x, y)}. Hallar el elemento de rea de S y demostrar la siguiente expresin para el rea de S

U

dx dy

cos =

U

1 + f2x + f

2y dx dy,

siendo el ngulo que la normal exterior a S forma con el eje z.

Solucin:

En primer lugar, hallamos una parametrizacin de la supercie.

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) U.

La base del tangente es,

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, fx) y xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, fy).

Por tanto los coecientes de la mtrica son,

E = xxxxxxxxxxxxxxx, xxxxxxxxxxxxxxx = 1 + f2x , F = xxxxxxxxxxxxxxx, xxxxxxxxxxxxxxy = fxfy, G = xxxxxxxxxxxxxxy, xxxxxxxxxxxxxxy = 1 + f2y .

Luego el elemento de volumen y el rea son

EG F 2 =

(1 + f2x)(1 + f

2y ) (fxfy)2 =

1 + f2x + f

2y ,

A =

U

EG F 2 dx dy =

U

1 + f2x + f

2y dx dy.

Por ltimo, falta comprobar que

1

cos =

1 + f2x + f2y .

Calculamos el vector normal

N =xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy||xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy||

=1

1 + f2x + f2y

(fx,fy, 1).

Buscamos el ngulo que forma la normal con el eje z,

cos = N, e3 =1

1 + f2x + f2y

(0, 0, 1), (fx,fy, 1) =1

1 + f2x + f2y

.

Por tanto, U

dx dy

cos =

U

1 + f2x + f

2y dx dy.

118 Integracin

Problema 4.4 Consideremos el campo X denido en IR3 por

X = (x+ yz)

x+ (y + z xz)

y+ (3 y)

z.

(i) Calcular el ujo de X sobre el hemisferio z > 0 de la supercie x2 + y2 + z2 = 1.(ii) Calcular la circulacin de X sobre la curva x2 + y2 = 1, z = 0.

Solucin:

(i) Parametrizamos la supercie y calculamos los campos involucrados en la evaluacin delujo,

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = (sen cos , sen sen , cos), [0, 2], [0, 2 ],xxxxxxxxxxxxxx = ( sen sen , sen cos , 0),xxxxxxxxxxxxxx = (cos cos , cos sen , sen),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = ( sen2 cos , sen2 sen , sen cos).Por tanto, la restriccin del producto escalar a la supercie es

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (1 + 3 cos cos2 ) sen.Entonces el ujo es,

(X,S) =

2

0

20

(1 + 3 cos cos2 ) sendd

= 2

( cos 3 cos

2

2+

cos3

3

)20

=13

3.

(ii) La parametrizacin de la curva es,

() = (cos , sen , 0), [0, 2].Por tanto, el vector tangente y la restriccin del producto escalar a la curva son

() = ( sen , cos , 0),X,=(cos , sen , 3 sen ), ( sen , cos , 0)=0.Luego la circulacin es,

C(X, ) =

X,T dl = 0.

Problema 4.5 Dado el campo X = x

x+ y

y+ 2z

zdenido en IR3, calcular el ujo de

X a travs de la supercie esfrica x2 + y2 + z2 = 1.

Solucin:

Para hallar el ujo a travs de la supercie, que denotaremos por S, hallamos una parame-trizacin de sta y los campos involucrados en el clculo del ujo.

Aplicaciones 119

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = (sen cos , sen sen , cos), [0, 2], [0, ],

xxxxxxxxxxxxxx = ( sen sen , sen cos , 0),

xxxxxxxxxxxxxx = (cos cos , cos sen , sen),

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (sen2 cos , sen2 sen , sen cos).

Por tanto, la restriccin del producto escalar a la supercie es

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = ( sen2 2 cos2 ) sen.

Luego el ujo es,

(X,S) =

0

20

(1 + cos2 ) sendd =16

3.

Problema 4.6 Consideramos el campo de IR2

X = (x2 + 7y)

x+ (x+ y sen y2)

y.

Calcular la circulacin de X sobre la frontera del tringulo de vrtices (0, 2), (0, 0) y (1, 0).

Solucin:Primer mtodo. La circulacin a lo largo de la frontera del tringulo es la suma de las circula-

Figura 4.1: Representacin de T

120 Integracin

ciones en cada uno de los lados,

C(X, T ) =

1

X,T1dl +2

X,T2dl +3

X,T3dl.

Parametrizamos cada uno de los lados del tringulo y calculamos el vector tangente.

y = 0; 1(t) = (t, 0), t [0, 1]; 1(t) = (1, 0),

y = 2(1 x); 2(t) = (t, 2(1 + t)), t [1, 0]; 2(t) = (1, 2),

x = 0; 3(t) = (0,t), t [2, 0]; 1(t) = (0,1).

C(X, T ) =

10

X,1dt+ 01X,2dt+

02X,3dt =

10

t2dt+

01t2 14(1 + t) + 2t+ 4(1 + t) sen(2(1 + t))2dt+

02t sen t2dt =

t3

3

10

+

(t3

3 14t 7t2 + t2 cos(2(1 + t))

2

2

)01 cos t

2

2

02

= 8.

Segundo mtodo.

Calculamos la circulacin aplicando el Teorema de Green.

C(X, T ) =

T

(x2 + 7y) dx+ (x+ y sen y2) dy =T

8 dxdy = 8.

Problema 4.7 Calcular la circulacin del campo X = y2

x+ x

ydenido en IR2 a lo largo

del cuadrado de vrtices (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2).

Solucin: Este ejercicio se puede resolver parametrizando las cuatro rectas que forman elcuadrado o aplicando el Teorema de Green, lo que en este caso resulta ms sencillo. El recintode integracin se muestra en la Figura 4.2

C(X, C) =

C

y2 dx+ x dy =

C

(1 2y) dx dy = 4.

Problema 4.8 Circulacin a lo largo de la frontera de la supercie

S = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 = R2, z >

2R2 }

del campo vectorial diferenciable F = y x + xy + z

z

Solucin:Consideremos la parametrizacin,

Aplicaciones 121

Figura 4.2: Representacin de C

: (0, 2) IR3

t (t) = (

22 R cos t,

2

2 R sen t,

22 R)

El campo restringido a la curva es,

F ((t)) = (

22 R sen t,

2

2 R cos t,

22 R)

(t) = (

22 R sen t,

2

2 R cos t, 0),

F ((t)), (t) = R2

2

C(F, S) =

(I)

F, T dl = 2

0

F ((t)), (t)dt = 2

0

R2

2dt = R2

Para la misma situacin vamos a ver si podemos aplicar el Teorema de Stokes Ampere.

F = (y, x, z), rotF = (0, 0, 2)

Tenemos que hallar la normal a ese casquete. El Teorema dice que podemos hallar la circu-lacin de una supercie que tenga a ese curva por frontera, siempre que el campo sea continuoen la supercie.

Luego, podemos considerar un disco,

122 Integracin

S1 = {(x, y, z) IR3 : z =

2

2R, x2 + y2 R

2

2}

N1 = (0, 0, 1), rotF,N1 = 2

Aplicamos el teorema:

C(F, S) = C(F, S1) =

S1

rotF,N1dA =S1

2 dA = 2R2

2= R2

Cogemos otro campo,

F =y

x2 + y2

x+

x

x2 + y2

y+ z

z

F1((t)) =

(

2 sen t

R,

2cost

R,

2

2R

), F1((t)), (t) = 1

C(F1, S) =

20

1 dl = 2

Vamos a calcularlo mediante el terema,

rotF1 = (0, 0, 0) si lo aplicamos la circulacin saldr nula. Pero no lo podemos hacer porqueel campo F1 no es vectorial diferenciable en la supercie.

Denicin 4.1.1 Diremos que F campo vectorial diferenciable en IR3 es conservativo sirotF = 0

Como rot(f) = 0 los gradientes de funciones son campos conservativos.

Problema 4.9 Sea =x2 + y2 + z2, E = IR3 {0}

f E IR

(x, y, z) f(x, y, z) = 1

(a) Demostrar que f es armnica (b) Calcular la integral en SR la derivada de f respectode la normal (c) Probar que no existe un campo vectorial diferenciable yyyyyyyyyyyyyy tal que f = rotyyyyyyyyyyyyyy,

Solucin:

(a) Veamos que f es armnica= f = 0 = 2f

x2+2f

y2+2f

z2= 0 divf = 0

Aplicaciones 123

f

x=x3,f

y=y3,f

z=z3

2f

x2=3 + 3x2 x

6=2 + 3x2

5,2f

y2=

3y2 2

5,2f

z2=

3z2 2

5,

f =3x2 + 3y2 + 3z2 32

5=

32 32

5= 0

(b) La integral en SR de la derivada normal de f coincide con el ujo del campo en SR.

SR

f

N=

SR

f,NdA

El radio vector es la direccin de la normal NSR =( xR,y

R,z

R

)el radio es y en esta esfera

= R

f |SR =(xR3

,yR3

,zR3

), f,N = 1

R2

Luego,

(f, SR) =SR

f,NdA =SR

1R2

dA = 4

(c) Veamos que no existe yyyyyyyyyyyyyy tal que f = rotyyyyyyyyyyyyyy,

(f, SR) = (rotyyyyyyyyyyyyyy, SR) = C(yyyyyyyyyyyyyy, SR) = 0 no puede ser= no existe yyyyyyyyyyyyyy.

Como la medida de SR es nula, la esfera no tiene frontera. Cuando un objeto n 1dimensional es frontera de uno n dimensional, ya no tiene frontera. Adems, div(f) = 0 porser armnica. Campo f = x, divxxxxxxxxxxxxxx = 0

Denicin 4.1.2 Llamamos campos solenoidales a aquellos campos cuya divergencia sea nuladivxxxxxxxxxxxxxx = 0

Si xxxxxxxxxxxxxx fuera el rotacional de yyyyyyyyyyyyyy, xxxxxxxxxxxxxx = rotyyyyyyyyyyyyyy, div(rotyyyyyyyyyyyyyy) = 0 = los campos rotacionales son selenoi-dales.

El recproco es falso, en el ejercicio f es solenoidal, pero no rotacional, (f, SR) 6= 0.Slo es cierto en los dominios con forma de estrella.

Campo conservativo es gradiente dominio en forma de estrella. Campo solenoidal esrotacional dominio en forma de estrella.

rotxxxxxxxxxxxxxx = 0 = rotf = 0 = f es conservativo.

124 Integracin

divxxxxxxxxxxxxxx = 0 = div(rotyyyyyyyyyyyyyy) = 0 = rotyyyyyyyyyyyyyy es solenoidal.

Los recprocos slo son ciertos en dominios en forma de estrella.

Los dominios con forma de estrella son dominios en los que existe un punto tal que lossegmentos que unen el punto a cualquier otro punto del conjunto estn todos contenidos en elconjunto.

Por ejemplo, E = IR3 {(x, y, z) IR3, x2 + y2 = 0} no es en forma de estrella.

Problema 4.10 Dado el campo X =1

r

r, en coordenadas cilndricas, calcular el ujo de X

a travs de la supercie, S, dada por x2 + y2 = a2, 0 < z < a, a IR+.

Solucin:

Debido a que el campo est dado en coordendas cilndricas, expresamos el cilindro en estascoordenadas,

x = r cos y = r sen z = z

= r2 = a2 = r = a con (, z) [0, 2] (0, a).La supercie est dada como la supercie de nivel f(r, , z) = r a = 0, por tanto la normal

ser N =f||f ||

, donde f deber ser calculado en coordenadas cilndricas.

f(p) =

g11 g12 g13g12 g22 g23g13 g23 g33

1

fr

f

fz

=

1 0 0

01

r20

0 0 1

10

0

= 10

0

= r.

Por tanto, la normal es N =f||f ||

=

r.

El producto escalar restringido al cilindro es X,N = 1a.

Por ltimo, el elemento de volumen de las coordenadas cilndricas esg = r y su restriccin

al cilindro esg = a.

Por tanto, el ujo es,S

X,NdA = 2

0

a0

1

aadzd = 2a.

Problema 4.11 Calcular el ujo del campo X dado en coordenadas cilndricas por X =

r

r+ z

z, a travs de cada una de las siguientes supercies:

Aplicaciones 125

(i) x2 + y2 = z2, 0 < z < 4.(ii) x2 + y2 + (z 4)2 = 16, 4 < z < 4 + 2

3.

(iii) x2 + y2 < 4, z = 4 + 2

3.

Solucin:

Representamos las tres supercies en la Figura 4.3.

(i) Sea S el cono x2 + y2 = z2, 0 < z < 4. En primer lugar buscaremos como se expresa lasupercie en coordenada cilndricas, ya que el campo est dado en estas coordenadas.

x = r cos y = r sen z = z

= r2 = z2 = r = z con (, z) [0, 2] (0, 4).La supercie est dada como la supercie de nivel f(r, , z) = r z = 0, por tanto la

normal ser N =f||f ||

.

f(p) =

g11 g12 g13g12 g22 g23g13 g23 g33

1

fr

f

fz

=

1 0 0

01

r20

0 0 1

101

=

101

= r z,

de donde la normal es N =12

(

r z

).

El producto escalar restringido al cilindro es X,N = 12

(r z) = 0.

Luego, (X,S) = 0.

(ii) Sea S2 el trozo de esfera centrada en (0, 0, 4) y de radio r = 4 con 4 < z < 4 + 2

3, verFigura 4.3.

Para hallar el ujo seguimos los mismos pasos que en el apartado anterior. La supercieexpresada en cilndricas viene dada por,

r2 + (z 4)2 = 16 = h(r, , z) = r2 + z2 8z = 0.

En este caso tenemos que

h =

1 0 0

01

r0

0 0 1

2r0

2z 8

= 2r0

2z 8

= 2r r

+ (2z 8) z.

126 Integracin

Figura 4.3: Representacin de S, S2 y D

Por tanto,

N =h||h||

=1

2r2 + (z 4)2

(2r

r+ 2(z 4)

z

)y su restriccin a S2 es

N =1

4

(r

r+ (z 4)

z

).

Entonces, X,N = 14

(r2 + z2 4z) = z.

Por ltimo, falta hallar el elemento de volumen. Por lo que debemos calcular una para-metrizacin de S2 y los coecientes de la mtrica.

xxxxxxxxxxxxxx(z, ) = (

8z z2 cos ,

8z z2 sen , z)

xxxxxxxxxxxxxxz = (8 2z

2

8z z2cos ,

8 2z2

8z z2sen , 1)

xxxxxxxxxxxxxx = (

8z z2 sen ,

8z z2 cos , 0)

E =(4 z)2

8z z2+ 1 =

16

8z z2, F = 0, G = 8z z2, g = 4.

Finalmente,

(X,S) =

4+234

20

4z dz d = 8z2

2

4+2

3

4

= 4(12 + 16

3).

Aplicaciones 127

(iii) En este caso la supercie es un disco, D, cuya expresin en coordenadas cilndricas es,

z = 4 + 2

3, r (0, 2), (0, 2).

La normal a la supercie es N =

zy la restriccin del producto escalar a D es

X,N = z = 4 + 2

3.

Luego el ujo es,

(X,D) =

D

4 + 2

3 dA = (4 + 2

3)4.

Problema 4.12 Dado el campo en IR3, X = x3

x+ yz

z. Calcular el ujo de X a travs

de la supercie S dada por

x2 + z2 = 4, 0 < y < 10, z > 0.

Solucin:

La supercie S est representada en la Figura 4.44.

Figura 4.4: Representaccin de S

En primer lugar parametrizamos la supercie y hallamos los campos involucrados en elclculo del ujo.

128 Integracin

xxxxxxxxxxxxxx(, y) = (2 cos , y, 2 sen ), (0, ), y (0, 10),

xxxxxxxxxxxxxx = (2 sen , 0, 2 cos ),

xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0),

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = (2 cos , 0,2 sen ).

El producto escalar restringido al cilindro es,

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = 16 cos4 4y sen2 .

Luego el ujo es,

(X,S) =

0

100

( 16 cos4 4y sen2

)d dy =

40

0

(1 + cos(2)

)2+

5

2

(1 cos(2)

)d = 40

0

4 12

cos(2) +1

2cos(4) d =

40(

4 14

sen(2) +1

8sen(4)

)0

= 160.

Problema 4.13 Sean r =x2 + y2 + z2, E = IR3 {0} y f : E IR dada por

f(x, y, z) =1

r.

(i) Demostrar que f es armnica en E.

(ii) CalcularSR

f

N, donde SR es la esfera de radio R centrada en el origen.

(iii) Demostrar que no puede existir un campo Y tal que f = rot(Y ).(iv) Calcular la circulacin de f a lo largo de las curvas:

(a)

{x2 + y2 + z2 = R2

z = a, 0 < a < R

(b)

{x2 + y2 + z2 = R2

y =

3x

Solucin:

(i) Calculamos en primer lugar las derivadas parciales de f ,

f

x= x

r3,f

y= y

r3,f

z= z

r3.

Por tanto,

f(x, y, z) =2f

2x+2f

2y+2f

2z=

3x2r r3

r6+

3y2r r3

r6+

3z2r r3

r6= 0.

Aplicaciones 129

(ii) Observemos que SR

f

N=

SR

f,NdA.

La normal a la esfera unidad es N =1

R(x, y, z) y el producto escalar restringido a la

esfera es,

f,N = x2 + y2 + z2

R4= 1

R2.

Luego, SR

f,N dA = 1R2

SR

dA = 4 6= 0.

(iii) Supongamos que existe Y tal que f = rot(Y ). Entonces, aplicando el Teorema de deStokes-Ampre en el apartado anterior obtendramos

SR

f,N dA =SR

rot(Y ), N dA =SR

Y, T dl = 0,

ya que SR = . Por tanto, no existe ningn campo Y tal que f = rot(Y ).

(iv) (a) La curva

{x2 + y2 + z2 = R2

z = a, 0 < a < Res una circunferencia centrada en (0, 0, a) de radio

R2 a2. Teniendo en cuenta que la circulacin de un campo gradiente a lo largo de una

curva cerrada es nula obtenemos que

f, T dl = 0.

(b) La curva

{x2 + y2 + z2 = R2

y =

3xes una curva cerrrada. Por tanto,

f, T dl = 0.

Problema 4.14 Sea =4i=1

i, donde

1 = {(x, y, z) IR3 : z =(2 + cos((y + 1))

)cosx,/2 x /2,1/2 y 1/2},

2 = {(x, y, z) IR3 : y = 1/2,/2 x /2, 0 z 2 cosx},3 = {(x, y, z) IR3 : y = 1/2,/2 x /2, 0 z 2 cosx},4 = {(x, y, z) IR3 : z = 0,/2 x /2,1/2 y 1/2}.

Sea X el campo vectorial denido por X = x

x+ z

x.

(i) Representar y calcular el volumen encerrado por .(ii) Calcular el ujo de X a travs de 1.(iii) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 2.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 2 4.(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 {(x, y, z) IR3 : y = 0, 0 x /2}.

130 Integracin

Solucin:

Las curvas interseccin de las diferentes supercies son,

1 2 = {y = 1/2, z = 2 cosx,/2 x /2}1 3 = {y = 1/2, z = 2 cosx,/2 x /2}1 4 = {z = 0, x = /2,1/2 y 1/2} {z = 0, x = /2,1/2 y 1/2}2 4 = {z = 0, y = 1/2,/2 x /2}3 4 = {z = 0, y = 1/2,/2 x /2}

La supercie est representada en la Figura 4.5.

Figura 4.5: Representacin de

Por otro lado, div(X) = 2, rot(X) = (0, 0, 0) y X = f , donde f(x, y, z) = x2

2+z2

2.

(i) Sea el volumen encerrado por . Entonces,

vol() = /2/2

1/21/2

cos x(2+cos((y+1)))0

dx dy dz =

/2/2

1/21/2

cosx(2 + cos((y + 1))) dx dy =

/2/2

cosxdx

1/21/2

2 + cos((y + 1))dy =

senx

/2/2

(2y +

1

sen((y + 1))

)1/21/2

= 2

(1 1

+ 1 1

)=

4

( 1).

Aplicaciones 131

(ii) Primer mtodo.

La representacin de 1 se halla en la Figura 4.6 Para hallar el ujo aprovecharemos los

Figura 4.6: Representacin de 1

calculos hechos en el apartado (i), de forma que

(X,1) = (X,) (X,2) (X,3) (X,4).Calculamos cada uno de estos ujos,

(X,) =

div(X)dV = 2vol() =8

( 1).

(X,2) = 0, ya que N2 =

yy el campo no tiene componente

y.

(X,3) = 0, ya que N3 =

yy el campo no tiene componente

y.

(X,4) = 0, ya que N4 =

zy < X,N4 >= z|4 = 0.

Por tanto, (X,1) =8

( 1).

Segundo mtodo.

Hallamos una parametrizacin de 1 y los campos involucrados en el clculo del ujo.

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =(x, y, cosx

(2 + cos((y + 1))

)), x [/2, /2], y [1/2, 1/2],

xxxxxxxxxxxxxxx =(

1, 0, senx(2 + cos((y + 1)))),

132 Integracin

xxxxxxxxxxxxxxy =(

0, 1, cosx sen((y + 1))),

xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =(

senx(2 + cos((y + 1))), cosx sen((y + 1)), 1).

Entonces, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =(

2 + cos((y + 1)))(x senx+ cosx

).

Finalmente,

(X,1) =

/2/2

1/21/2

(2 + cos((y + 1)))(x senx+ cosx) dx dy = 1/21/2

2 + cos((y + 1))dy

/2/2

x senx+ cosxdx =

[u = x du = dxv = cosx

]=(

2 2

)(x cosx

/2/2

+ 2

/2/2

cosxdx

)=

(2 2

)2 senx

/2/2

=8

( 1).

(iii) Como X = f , con f(x, y, z) = x2

2+z2

2, cada una de las circulaciones se calcula como

C(X,) = f((b)) f((a)),

donde (b) y (a) representan los extremos de denicin de la curva correspondiente.

Sea 12 = 1 2. Entonces, 12 = (x, 1/2, 2 cosx), x [/2, /2] y

C(X,12) = f(12(/2)) f(12(/2)) =(/2)2

8 (/2)

2

8= 0.

(iv) Sea 24 = 2 4. Entonces, 24 = (x, 1/2, 0), x [/2, /2] y

C(X,24) = f(24(/2)) f(24(/2)) =(/2)2

8 (/2)

2

8= 0.

(v) Sea 1 = 1 {y = 0, 0 x /2}. Entonces, 1 = (x, 0, cosx), x [0, /2] y

C(X,1) = f(1(/2)) f(1(0)) =(/2)2

8 1

2.

Problema 4.15 Sean, c IR+,

Tc = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c2

49 , 0 z 5c}

{(x, y, z) IR3 : x2 + (y + c)2 3c2, (x

32 c)

2 + (y c2 )2 3c2,

(x+

32 c)

2 + (y c2 )2 3c2, 5c z 9c}

{(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c2

49 , 9c z 13c}

y consideremos el campo vectorial

X = az2

x b

z; a, b IR+.

Aplicaciones 133

(i) Calcular el ujo de X a travs de Tc.(ii) Calcular el ujo de X a travs de

A = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 = c2

49, 9c z 13c}.

(iii) Calcular el ujo de X a travs de

B = {(x, y, z) IR3 : (x

32 c)

2+ (y c2 )

2= 3c2,

3

2 c x 0,c y c2 , 5c z 9c}.

(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de B.(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de

= {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 = c2

49, z = 9c}.

Solucin:

(i) La supercie {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c2

49 , 0 z 5c} es un cilindro de eje z y radioc

7con 0 z 5c.La supercie {(x, y, z) IR3 : x2+(y + c)2 3c2, (x

3

2 c)2+(y c2 )

2 3c2, (x+

32 c)

2+(y c2 )

2 3c2, 5c z 9c} es la interseccin de tres cilindros de eje z. Representamosen la Figura 4.7 dicha interseccin en el plano xy.

Figura 4.7: Representacin de la interseccin

134 Integracin

La supercie {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c2

49 , 9c z 13c} es un cilindro de eje z y radioc

7con 9c z 13c.

La Representacin de Tc se encuentra en la Figura 4.8.

Figura 4.8: Representacin de Tc

Para calcular el ujo a travs de la frontera aplicamos el Teorema de la Divergencia.

(X, Tc) =TcX,N =

Tc

div(X)dV = 0.

(ii) Para calcular el ujo a travs de A, ver Figura 4.9, podemos cerrarla empleando dos discoscon lo que podremos aplicar el Teorema de la Divergencia.

Sean D1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c2

49 , z = 13c}, D2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2

c2

49 , z = 9c} y A el volumen encerrado por A D1 D2.

Entonces, N1 =

z, N2 =

zy

A

X,NdA =Adiv(X)dV

D1

X,NdAD1

X,NdA = bD1

dA bD2

dA = 0.

Aplicaciones 135

Figura 4.9: Representacin de A

(iii) La representacin de B se halla en la Figura 4.10.

En este caso para calcular el ujo parametrizamos la supercie,

xxxxxxxxxxxxxx(y, z) =

(3

2c

3c2

(y c

2

)2, y, z

), y

[c, c

2

], z [5c, 9c].

xxxxxxxxxxxxxxy =

y c23c2

(y c2

)2 , 1, 0, xxxxxxxxxxxxxxz = (0, 0, 1).

Los campos involucrados en el clculo del ujo son,

xxxxxxxxxxxxxxy xxxxxxxxxxxxxxz =

1, y c23c2

(y c2

)2 , 0 y X,xxxxxxxxxxxxxxy xxxxxxxxxxxxxxz = az2

Por ltimo, el ujo de X a travs de B es,

(X,B) =

B

X,NdA = c

2

c

9c5c

az2 dz dy =3

2cz3

3

9c5c

= 302c4a.

136 Integracin

Figura 4.10: Representacin de B

(iv) La circulacin a lo largo de la frontera de B la podemos hallar aplicando el teorema deStokes-Ampere.

C(X, B) =

B

X,T dl =B

rot(X), NdA.

En este caso el rotacional es rot(X) = (0, 2az, 0), y la restriccin del producto escalar ala supercie es,

rot(X), xxxxxxxxxxxxxxy xxxxxxxxxxxxxxz = 2az(y c2 )

3c2 (y c2

)2 .Luego, la circulacin es,

C(X, B) =

c2

c

9c5c

2az(y c2 )

3c2 (y c2

)2 dy dz = az29c

5c

3c2

(y c

2

)2c2

c

= 28

3ac2.

(v) Para hallar la circulacin a lo largo de procedemos del mismo modo que en el apartado

anterior. En este caso la normal es, N =

z.

Aplicaciones 137

Por tanto, la circulacin es,

C(X, ) =

rot(X), NdA = 0.

Problema 4.16 Sea 1 la supercie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la

curva {x2 + z2 = R2, y = 0, z 0} y en la recta {y = 2R, z = 0}, que son paralelas al planoyz, con R x R, 0 y 2R.

Sea 3 la supercie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la curva {x2 +

(z + R)2 = R2, y = 2R, z R} y en la recta {y = 0, z = R}, que son paralelas al planoyz, con R x R, 0 y 2R.

(i) Calcular la ecuacin paramtrica de 1 y de 3.

(ii) Sea =6i=1

i, donde

2 = {(x, y, z) IR3 : y = 0, R x R, R z R2 x2},

4 = {(x, y, z) IR3 : y = 2R, R x R, RR2 x2 z 0},

5 = {(x, y, z) IR3 : x = R, 0 y 2R, R z 0},6 = {(x, y, z) IR3 : x = R, 0 y 2R, R z 0}.

Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3

X =2zy 3R

x x(y 2R)

2R2

z.

(a) Calcular el ujo de X a travs de .

(b) Calcular el ujo de X a travs de 1.

(c) Calcular la circulacin de X sobre 2.

Solucin:

(i) Una parametrizacin de la curva {x2 + z2 = R2, y = 0, z 0} es,(u) = (R cosu, 0, R senu), u [0, ].Como las rectas deben ser paralelas al plano yz, debemos parametrizar la recta

{y = 2R, z = 0} como (u) = (R cosu, 2R, 0). En este caso,w(u) = (u) (u) = (0,2R,R senu).Por tanto, la parametrizacin de 1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = (u) + vw(u) = (R cosu, 2R v2R, vR senu).

De forma anloga una parmetrizacin de 3 es,

yyyyyyyyyyyyyy(u, v) = (R cosu, v2R,vR senuR).

138 Integracin


(ii)

(a) La representacin de se halla en la Figura 4.11.

Para calcular el ujo a travs de podemos aplicar el Teorema de la Divergencia.

(X,) =

X,NdA =

div(X)dV = 0.

(b) En este caso para poder aplicar el Teorema de la Divergencia en el clculo del ujo, uti-lizaremos dos supercies auxiliares, para obtener una supercie que encierre un volumen,ver Figura 4.12.

Sean

D1 = {(x, y, z) IR3 : y = 0, R x R, 0 z R2 x2},

T1 = {(x, y, z) IR3 : z = 0, R x R, 0 y 2R}.

Entonces, N1 =

yy N2 =

z. Por tanto, el ujo es,

(X,1) =

1

div(X)dV D1

X,NdAT1

X,NdA =

T1

x(y 2r)2R2

dy dx =

RR

2R0

x(y 2r)2R2

dx dy = 0.

(c) La circulacin sobre la frontera de 2 la podemos hallar aplicando el teorema de Stokes-Ampere, ver Figura 4.13.

Aplicaciones 139


C(X, 2) =

2

X,T dl =

2

rot(X), NdA,

donde la normal y el rotacional son,

N = y, rot(X) =

( x

2R2, 2

y 3R+y 2R

2R2,

1

(y 3R)2

).

Por tanto, la restriccin del producto escalar a la supercie es rot(X), N = 13R

. Luego,

C(X, 2) =1

3R

2

dA =1

3R

(2R2 + 2R2

)=R

6( + 4).

Problema 4.17 Sea 1 la supercie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la

hlice () = (cos , sen , a ) y en el eje z, que son paralelas al plano xy, con 0 2 y 0 x2 + y2 1.

(i) Calcular la ecuacin paramtrica de 1 y su expresin en coordenadas cilndricas.

(ii) Sea =5i=1

i, donde

2 = {0 1, 0 2, z = a( + 2)}3 = { = 1, 0 2, a z a( + 2)}4 = {0 1, = 0, 0 z 2a}5 = {0 1, = 0, 2a z 4a}

140 Integracin


y , , z son las coordenadas cilndricas.

Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3

X = yx2 + y2

x xx2 + y2

y.



(c) Calcular el ujo de X a travs de 2.

(d) Calcular el ujo de X a travs de 4 5.(e) Calcular la circulacin de X sobre (), 0 2.(f) Calcular la circulacin de X sobre

(4 5

).

Solucin:

(i) Las generatrices de 1 tendrn como vector director,

w() = () (0, 0, a) = (cos , sen , 0),ya que deben ser rectas paralelas al plano xy. Por tanto, una parametrizaci 12n de 1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = ( cos , sen , a), [0, 2], [0, 1], ya que 0 x2 + y2 1.

Por otro lado su expresin en coordenadas cilndricas es z = a.

Aplicaciones 141

(ii)

(a) La representacin de se encuentra en la Figura 4.14. Para calcular el ujo a travs de


podemos aplicar el Teorema de la Divergencia, ya que la supercie encierra un volumen.Como la divergencia del campo es nula, div(X) = 0, tenemos que

(X,) =

V

div(X)dV = 0.

(b) Para calcular el ujo a travs de 1 parametrizamos la supercie,

xxxxxxxxxxxxxx1(, ) = ( cos , sen , a), [0, 1], [0, 2].

Los campos involucrados en el clculo del ujo son

xxxxxxxxxxxxxx = (cos , sen , 0), xxxxxxxxxxxxxx = ( sen , cos , a),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (a sen ,a cos , )Por tanto, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = a2 sen2 + a2 cos2 = a2.

142 Integracin

Luego, el ujo es

(X,1) =

10

20

a2 d d = 2a3

3

10

=2a

3.

(c) Para calcular el ujo sobre 2 procedemos del mismo modo que en el caso anterior. Unaparametrizacin de 2 es,

xxxxxxxxxxxxxx2(, ) = ( cos , sen , a + a2).

xxxxxxxxxxxxxx = (cos , sen , 0), xxxxxxxxxxxxxx = ( sen , cos , a),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (a sen ,a cos , )Luego, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = a2 sen2 + a2 cos2 = a2.Por tanto,

(X,2) = (X,1)

(d) La supercie 4 5 es un plano, podemos calcular la normal y el producto escalar delcampo restringido a la supercie.

N = (0, 1, 0).

X,N = xx2 + y2 = x2.

Por tanto, el ujo es,

(X,4 5) =

45X,NdA =

10

4a0

x2 dx dz = 4ax3

3

10

= 4a3.

(e) Para calcular la circulacin parametrizamos la curva,

() = (cos , sin , a ),

() = ( sen , cos , a),X,T = sen2 cos2 = 1.Por tanto, la circulacin es,

C(X,) =

X,T dl = 2

0

d = 2.

(f) La circulacin sobre la frontera de 4 5 la podemos hallar aplicando el Teorema deStokes-Ampre.

C(X, (4 5)) =(45)

X,T dl =

45rot(x), NdA,

donde la normal y el rotacional son,

N =

y, rot(X) =

(0, 0,

x2 + y2 x x

x2 + y2x2 + y2 y y

x2 + y2

).

Por tanto, la circulacin es,C(X, (4 5)) = 0.

Aplicaciones 143

Problema 4.18 Consideramos el campo vectorial diferenciable de IR2

X = x

x+ x2

y.

(i) Calcular la circulacin de X sobre la frontera, , de = 1 2, donde

1 = {(x, y) IR2 : x2 + y2 R2, R2 x, R2 y} y

2 = {(x, y) IR2 : x2 + y2 (R2 )2, R4 x, 0 y}.

Consideramos X = x

x+ x2

yen IR3 y se hace girar 2 alrededor del eje OY.

(ii) Calcular el ujo de X a travs de la supercie de revolucin obtenida.

Solucin:

(i) La representacin de se encuentra en la Figura 4.15.


La circulacin de X a lo largo de la frontera de es,

C(X, ) =

X,T dl =

x dx+ x2 dy.

Aplicando el Teorema de Green,

C(X, ) =

2x dx dy =

1

2x dx dy

2

2x dx dy =

32 R

R2

R2x2R2

2x dx dy

144 Integracin

+

R

32 R

R2x2R2x2

2x dx dy R

2

R4

R24 x2

0

2x dx dy =

32 R

R22x

(R2 x2 + R

2

)dx+

R

32 R

2x(2R2 x2)

R2

R4

2x

R2

4 x2 dx = 2

3(R2 x2) 32 +Rx

2

2

32 R

R2

43

(R2 x2) 32R

32 R

+2

3

(R2

4 x2

) 32R2R4

= R3

(1

3+

7

3

32

).

(ii) La frontera de 2 es la curva representada en la Figura 4.16. La supercie de revolucinobtenida que denotaremos por 2 est representada en la Figura 4.17.


Como 2 es la frontera de un volumen V y div(X) = 1, aplicando el Teorema de laDivergencia obtenemos,

(X,2) =

2

X,NdA =V

div(X)dV =

V

dV.

Para hallar el volumen V aplicamos la frmula del volumen de revolucin, f2(y)dy y

tendremos en cuenta que se debe restar el volumen del cilindro que se genera al hacer larevolucin.

V

dV =

34 R

0

(R2

4 y2

)dyR

2

16

3

4R =

(R2

4y y

3

3

)

34 R

0

3R3

43=

32

3R3.

Aplicaciones 145


Por tanto,

(X,2) =

32

3R3.

Problema 4.19 Sean =8i=1

i y a, b (0,+), donde

1 = {(x, y, z) IR3 : x a

2,(x a

2

)2+

(y +

5a

2

)2 a

2

4, 0 z 2a},

2 = {(x, y, z) IR3 : a

2 x a

2,3a y 2a, 0 z 2a},

3 = {(x, y, z) IR3 : x a2,(x+

a

2

)2+

(y +

5a

2

)2 a

2

4, 0 z 2a},

4 = {(x, y, z) IR3 : a

2 x a

2,2a y 0, y2 2a(2a z), 2az y 2a(2a+ 1)},

5 = {(x, y, z) IR3 : a

2 x a

2, 0 y 2a, y2 2a(2a z), 2az + y 2a(2a+ 1)},

6 = {(x, y, z) IR3 : x a

2,(x a

2

)2+

(y 5a

2

)2 a

2

4, 0 z 2a},

7 = {(x, y, z) IR3 : a

2 x a

2, 2a y 3a, 0 z 2a},

8 = {(x, y, z) IR3 : x a2,(x+

a

2

)2+

(y 5a

2

)2 a

2

4, 0 z 2a}.

146 Integracin

Sean i = i , 1 i 8 y X el campo vectorial denido por

X =1

z + b

x+ (z 2a 1)

z.

(i) Calcular el ujo de X a travs de .(ii) Calcular el ujo de X a travs de 6.(iii) Calcular el ujo de X a travs de p, siendo

p = (4 5) {(x, y, z) IR3 : y2 = 2a(2a z)}.

(iv) Calcular el ujo de X a travs de t, siendo

t = 5 {(x, y, z) IR3 : 2az + y = 2a(2a+ 1)}.

(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de p.(vi) Calcular la circulacin de X a lo largo de

(7 {(x, y, z) IR3 : y = 3a}

).

Solucin:

(i) La representacin de se halla en la Figura 4.18.

Como div(X) = 1, (X, ) =

X,NdA =

div(X)dV =

dV .

Para calcular el volumen tendremos en cuenta que es unin de trozos de cilindros yprismas ms un cuerpo central que debemos integrar.

dV = 2

(a2

2

)2a+ 4a3 +

a2

a2

2a0

(2a+ 1 y

2a 2a+ y

2

2a

)dx dy

= a3 + 4a3 + 2a2 +8

3a3.

(ii) Para calcular el ujo a travs de 6 empleamos un rectngulo T para obtener una supercieque encierre un volumen, , y as poder aplicar el Teorema de la divergencia. Ver Figura4.19.

T = {(x, y, z) IR3 : x = a2, 2a y 3a, 0 z 2a}.

Por tanto, la normal y el producto escalar con el campo son, N = x

y X,N = 1z + b

y el ujo es,

(X,6) =

div(X)dV T

X,NdA = 12(a

2

)22a+

3a2a

2a0

1

z + bdx dy =

=a3

4+ a ln

(2a+ b

b

).

(iii) Buscamos el ujo a travs de la supercie p, ver Figura 4.20. Para hallar el ujo en estecaso resulta ms sencillo parametrizar la supercie. La parametrizacin de la supercie ylos campos involucrados en el clculo del ujo son,

Aplicaciones 147


xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =

(x, y, 2a y

2

2a

), x

[a

2,a

2

], y [2a, 2a];

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy =(

0, 1,ya

), xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =

(0,

y

2a, 1).

Por tanto, el producto escalar restringido a la supercie es X,xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = (y2

2a+ 1

).

Luego,

(X,p) =

p

X,NdA = a

2

a2

2a2a(y2

2a+ 1

)dx dy =

a(y3

6a + y)2a2a

= 4a2(

2

3a+ 1

).

(iv) La representacin de t se halla en la Figura 4.21. En este caso la parametrizacin de lasupercie y los campos involucrados en el clculo del ujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =(x, y, 2a+ 1 y2a

), x

[a2 ,

a2

], y [2a, 2a];

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy =(0, 1, 12a

).

xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =(

0,1

2a, 1

)Luego, el producto escalar restringido a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = y

2a.

148 Integracin


Finalmente, el ujo es,

(X,t) =

t

X,NdA = a

2

a2

2a0

y2a

dx dy = a2.

(v) La circulacin a lo largo de la frontera de p la podemos hallar aplicando el Teorema deStokes-Ampere.

C(X, 2) =

p

X,T dl =

p

rot(X), NdA.

El rotacional es,

rot(x) =

(0, 1

(z + b)2, 0

)=

0, ya(

2a y22a + b)2 , 0

.La restriccin del producto escalar a la supercie es,

rot(X), xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = y

a

(2a y

2

2a+ b

)2 .Luego, la circulacin es,

C(X, p) =

a2

a2

2a2a y

a(

2a y22a + b)2 dx dy = 0,

Aplicaciones 149

Figura 4.20: Representacin de p y p

ya que es la integral de una funcin impar integrada en un itervalo simtrico.

(vi) Este apartado se resuelve de forma anloga al anterior. La normal a la supercie 7 {(x, y, z) IR3 : y = 3a} y el rotacional del campo son,

N =

yy rot(x) =

(0, 1

(z + b)2, 0

).

Por tanto, la circulacin es,

C(X,

(7 {(x, y, z) IR3 : y = 3a}

))=

R

rot(x), NdA = a2

a2

2a0

1(z + b)2

dx dy = a

(1

2a+ b 1b

).

Problema 4.20 Sean

1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 R2},2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + z2 r2},3 = {(x, y, z) IR3 : y2 + z2 r2},

=3i=1

i, R > r

2, i = i , i = 1, 2, 3 y X el campo vectorial denido por

X = x

x+ y

y+ z

z.

150 Integracin

Figura 4.21: Representacin de t

(i) Calcular el ujo de X a travs de .(ii) Calcular el ujo de X a travs de 1.(iii) Calcular el ujo de X a travs de 2.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 2 {(x, y, z) IR3 : 0 y 0, donde

1 = {(x, y, z) IR3 : 148a (x2 + y2 a2) z},

2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 49a2},3 = {(x, y, z) IR3 :

x2 + y2 23a z},

4 = {(x, y, z) IR3 : x 0},5 = {(x, y, z) IR3 : z 0},6 = {(x, y, z) IR3 : y

3x 0}.

Sean i = i , 1 i 6 y X el campo vectorial denido por X = z

x.

(i) Calcular el ujo de X a travs de .(ii) Calcular el ujo de X a travs de 1.(iii) Calcular el ujo de X a travs de 3.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 3.(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de 4.

Solucin:

(i) Para representar calculamos las intersecciones de las diferentes supercies,

1 2. Sustituyendo la ecuacin de 2 en la de 1 obtenemos,

1

48a

(49a2 a2

)= z = z = a,

por tanto 1 2 es un arco de la circunferencia x2 + y2 = 49a2 en el plano z = a. 1 3. Sustituyendo la ecuacin de 3 en la de 1 obtenemos,

148a

((23a z)2 a2

)= z = 529a2 + z2 46az a2 = 48az

= z2 94az + 528a2 = 0 = z = 94a

8836a2 2112a22

=94 82

2a = 6a,

ya que z 23a. Por tanto 1 3 es un arco de la circunferencia x2 + y2 = (17a)2, enel plano z = 6a.

3 5. Si z = 0, entonces x2 + y2 = (23a)2 que es una arco de circunferencia en elplano z = 0. La representacin de se halla en la Figura 4.32.

Como div(X) = 0, (X, ) =

X,NdA =

div(X)dV = 0.

(ii) 1 = {(x, y, z) IR3 : 148a (x2 + y2 a2) = z, x 0, a z 6a, 7a x2 + y2 17a}.Por

tanto, 1 es la supercie de revolucin formada al girar respecto del eje z la parbola1

48a (x2 a2) = z, 2

43 , ver Figura 4.33. Luego una parametrizacin de 1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(, x) =(x cos , x sen ,

1

48a(x2 a2)

),

[

2,

4

3

], x [7a, 17a],

162 Integracin


ya que

3x y, x 0 lo que implica 2 43 .

Hallamos los campos involucrados en el clculo del ujo,

xxxxxxxxxxxxxxx =

(cos , sen ,

1

24ax

),

xxxxxxxxxxxxxx = (x sen , x cos , 0),

xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =( x

2

24acos , x

2

24asen , x

).

Entonces, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = x2

24acos

1

48a(x2 a2) = x

2(x2 a2)3227a2

cos .

Finalmente,

(X,1) =

17a7a

43

2

x2(x2 a2)3227a2

cos d dx = 13227a2

x5

5 a2x

3

3

177a

sen

4/3/2

=

13227a2

(175a5

5 17

3a5

3 7

5a5

5+

73a5

3

)(sen

4

3 1)

=

a3

3227

(1753 1735 753 + 735

15

)(

3

2 1

)=

a3

53328(1753 1735 753 + 735

) (3 + 2

).

Aplicaciones 163


(iii) La representacin de 3 se halla en la Figura 4.34.

3 = {(x, y, z) IR3 :x2 + y2 = (23a z), 0 z 6a, 0 x y

3}. Una parametriza-

cin de 3 en coordenadas cilndricas es:

xxxxxxxxxxxxxx(, z) =((23a z) cos , (23a z) sen , z

), (, z)

[

2,

4

3

] [0, 6a].

Hallamos los campos involucrados en el clculo del ujo,

xxxxxxxxxxxxxx = ((23a z) sen , (23a z) cos , 0),xxxxxxxxxxxxxxz = ( cos , sen , 1).

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxz =((23a z) cos , (23a z) sen , (23a z)

).

Entonces, el producto escalar restringido a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxz = (23a z)z cos .

Finalmente,

(X,3) =

6a0

43

2

(23a z)z cos dz d =(

23az2

2 z

3

3

)6a0

sen

4/3/2

=

171(

32 + 2)a3.

164 Integracin


(iv) Sea = 3 1. Segn hemos visto la curva es un arco de circunferencia de radio 17a enel plano z = 6a. Por tanto una parametrizacin de es,

() = (17a cos , 17a sen , 6a) , /2 4/3.

Por otro lado,() = (17a sen , 17a cos , 0) ,

y el productoescalar restringido a la curva es,

X,() = 102a2 sen .

Luego,

C(X,) =

4/3/2

102a2 sen d = 102a2 cos 4/3/2

= 51a2.

(v) El rotacional del campo es rot(X) = (0, 1, 0). Adems, la normal a 4 es N = (1, 0, 0).Por tanto, aplicando el Teorema del Rotacional tenemos,

C(X, 4) =

4

X,T dl =

4

rot(X), NdA = 0.

Problema 4.23 Sea a > 0.

Aplicaciones 165

(i) Hallar una parametrizacin de la supercie reglada, 1, generada por rectas paralelasal plano yz que se apoyan en las curvas 1(u) = (a cosu, a senu + a, 0) y 2(u) =(a cosu, a senu, a) con u [0, ], v [0, 1].

(ii) Hallar una parametrizacin de la supercie reglada, 2, generada por rectas paralelasal plano yz que se apoyan en las curvas 2 y 3(u) = (a cosu,(a senu + a), 0) conu [0, ], v [0, 1].

(iii) Sea =5i=1

i, donde

3 = {(x, y, z) IR3 : a x a,aa2 x2 y a+

a2 x2, z = 0},

4 = {(x, y, z) IR3 : x = a, 0 z a, z a y a z},5 = {(x, y, z) IR3 : x = a, 0 z a, z a y a z}.

Sea X el campo vectorial de IR3

X = y x

+ x

z.



(c) Calcular el ujo de X a travs de 5.

(d) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 2.

Solucin:

(i) A partir de las curvas dadas debemos hallar el vector director de las rectas que generanla supercie reglada,

w1(u) = 2(u) 1(u) = (0,a, a).Observemos que como en w1 la componente x es nula, estos vectores son paralelos al planoyz. Por tanto, una parametrizacin de la supercie reglada ser:

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = 2(u) + vw1(u) =(a cosu, a(senu v), a(1 + v)

).

(ii) Procedemos como en el apartado anterior.

w2(u) = 2(u) 3(u) = (0, a(2 senu+ 1), a).

Por tanto,

yyyyyyyyyyyyyy(u, v) = 2(u) + vw2(u) =(a cosu, a senu+ av(2 senu+ 1), a(1 + v)

).

(iii)

(a) Como div(X) = 0 y encierra un volumen , ver Figura 4.35, podemos aplicar el Teoremade la Divergencia,

(X,) =

X,NdA =

div(X) = 0.

166 Integracin


(b) 1 es la supercie reglada calculada en (i),ver Figura 4.36, por tanto una parametrizacinde esta supercie y los campos involucrados en el clculo del ujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = (a cosu, a(senu v), a(1 + v)), (u, v) [0, ] [0, 1].

xxxxxxxxxxxxxxu = (a senu, a cosu, 0) y xxxxxxxxxxxxxxv = (0,a, a).xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv = a2(cosu, senu, senu).Luego, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv = a3v cosu.Finalmente,

(X,1) =

1

X,NdA =

0

10

a3v cosu du dv = a3v2

2

10

senu

0

= 0.

(c) La representacin de 5 se halla en la Figura 4.37.

Parametrizamos la supercie en coordenadas cartesianas:

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (a, y, z), (y, z) [z a, a z] [0, a].En este caso la base del tangente y la normal son,

xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0), xxxxxxxxxxxxxxz = (0, 0, 1) y N = (1, 0, 0)

Por tanto, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,N = y.

Aplicaciones 167


De donde,

(X,5) =

5

X,NdA = a

0

azza

y dy dz = 0, ya que es la integral de una funcin

impar en un intervalo simtrico.

(d) Debemos observar que 1 2 es la curva 2(u) = (a cosu, a senu, a). Por tanto, 2(u) =(a senu, a cosu, 0) y X,2 = a2 sen2 u. De donde,

C(X,2) =

2

X,T dl = a2

0

sen2 u du = a2(u

2 sen 2u

4

)0

= a2

2.

Problema 4.24 Sean las curvas planas x = f1(z) =

1 + z2, z [0, 1] y x = f2(z) =

3 z2,z [1,

3].

(i) Obtener las parametrizaciones de las supercies de revolucin S1 y S2 que se obtienen algirar respecto del eje OZ las curvas x = f1(z) y x = f2(z) respectivamente.

(ii) Considrese el campo vectorial de IR3

X = x x y

y+ (2z 1)

z.

(a) Calcular el ujo de X a travs de S = S1 S2.(b) Calcular el ujo de X a travs de S2.

(c) Calcular la circulacin de X a lo largo de S {(x, y, z) IR3 : z = 1}.(d) Calcular la circulacin de X a lo largo de S {(x, y, z) IR3 : x = 0}.

168 Integracin


Solucin:

(i) Como se trata de supercies de revolucin las podemos parametrizar de la siguiente ma-nera,

S1 : xxxxxxxxxxxxxx(, z) = (

1 + z2 cos ,

1 + z2 sen , z), (, z) [0, 2] [0, 1].S2 : xxxxxxxxxxxxxx(, z) = (

3 z2 cos ,

3 z2 sen , z), (, z) [0, 2] [1,

3].

(ii)

(a) La supercie S no es frontera de nign abierto de IR3 por lo que para aplicar el Teoremade la Divergencia, ser necesario utilizar un disco para formar una supercie que encierreun volumen. Ver Figura 4.38.

Entonces,

(X,S) =

V

div(X)dV D

X,NdA,

donde, D = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 1, z = 0} y la normal N = z

.

Luego,

X,N = 2z + 1 = 1.Por tanto y dado que divX = 0 el ujo es,

(X,S) = D

dA = .

Aplicaciones 169

Figura 4.38: Representacin de S

(b) En este caso tambin es necesario emplear una supercie auxiliar para calcular el ujo atravs de S2 . Ver gura 4.39.

(X,S2) =

V

div(X)dV D2

X,NdA,

donde, D2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 2, z = 1} y la normal N =

z.

Luego,

X,N = 2z + 1 = 1.Finalmente,

(X,S2) = D2

dA = 2.

(c) Para calcular la circulacin sobre la circumferencia podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X, B) =

B

X,T dl =B

rot(x), NdA.

El rotacional es, rot(x) = (0, 0, 0).

Por tanto,

C(X, B) =

B

rot(x), NdA = 0.

170 Integracin

Figura 4.39: Representacin de S2

(d) La representacin de se halla en la Figura 4.40.

Como rot(x) = (0, 0, 0) y IR3 es un abierto en forma de estrella, el campo es gradiente

X = f , donde f = x2

2 y2

2 + z2 z. Por tanto,

C(X, ) =

f, T dl = f((b)) f((a)) = f(0, 1, 0) f(0,1, 0) = 12

+1

2= 0.

Problema 4.25 Sean, R IR+,

1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 = R2, z

2

2R}

2 = {(x, y, z) IR3 :R2

6 x2 + y2 R

2

2, z =

2

2R}

3 = {(x, y, z) IR3 :z2

3= x2 + y2,

2

4R z

2

2R},

= 3i=1i y X el campo vectorial de IR3

X = y x

+ x

y+

z.

(i) Calcular el ujo de X a travs de .(ii) Calcular el ujo de X a travs de 1.(iii) Calcular el ujo de X a travs de 3.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de (2).

Aplicaciones 171


Solucin:

(i) La supercie no encierra ningn volumen, pero como div(X) = 0, para hallar el ujoa travs de toda la supercie puede ser conveniente cerrar la supercie y luego aplicar elTeorema de la Divergencia. Ver Figura 4.41.

(X,) =

X,NdA =

div(X)dV T1

X,NdA = T1

dA,

donde T1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 R2

24, z =

2

4R} y es tal que = T1.

Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T1 debe ser la exterioral conjunto , por tanto N1 = (0, 0,1), ya que en esta supercie z es constante.Luego X,N1 = 1, de donde

(X,) = T1

X,NdA =T1

dA = R2

24.

(ii) Primer mtodo

La supercie 1 es un trozo de esfera por lo que consideramos una parametrizacin de 1en coordenadas esfricas,

xxxxxxxxxxxxxx1(, ) = (R sen cos ,R sen sen ,R cos), (, ) [0, 2] [0, /4].

172 Integracin


El lmite superior de lo obtenemos al imponer z =

2

2R en la parametrizacin,

R cos =

2

2R = cos =

2

2= = /4

En este caso los campos involucrados en el clculo del ujo son,

xxxxxxxxxxxxxx = (R sen sen ,R sen cos , 0),xxxxxxxxxxxxxx = (R cos cos ,R cos sen ,R sen),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (R2 sen2 cos ,R2 sen2 sen ,R2 sen cos).Por tanto, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = R2 sen cos.Finalmente,

(X,1) =

1

X,NdA = 2

0

/40

R2 sen cosd d = 2R2 cos2

2

/40

= R2

2.

Segundo mtodo

Podemos proceder como en el primer apartado y aadir a la supercie 1 otra superciepara encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T2 = {(x, y, z) IR2 : x2 +

y2 R2

2, z =

2

2R} y 1 tal que 1 = 1 T2. Entonces,

(X,1) =

1

div(X)dV T2

X,NdA = T2

X,NdA.

Aplicaciones 173

Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T2 debe ser la exterioral conjunto , por tanto N1 = (0, 0,1), ya que en esta supercie z es constante. LuegoX,N1 = 1, de donde

(X,1) = T2

X,NdA =T2

dA = R2

2.

Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al ujo es debido alcambio de orientacin en la normal.

(iii) Primer mtodo

La supercie 3 es un trozo de cono de ngulo arctan

(13

)= /6 por lo que consi-

deramos una parametrizacin de 3 en coordenadas esfricas tomando = /6,

xxxxxxxxxxxxxx3(, ) =

(

2cos ,

2sen ,

3

2

), (, )

[6

6,

2

3

] [0, 2].

Los lmites de los obtenemos al imponer los valores lmites de z para la supercie,

x2 + y2 =1

42 =

R2

24= =

6

6R,

x2 + y2 =1

42 =

R2

6= =

2

3R.

En este caso los campos involucrados en el clculo del ujo son,

xxxxxxxxxxxxxx = (1

2cos ,

1

2sen ,

3

2),

xxxxxxxxxxxxxx = (

2sen ,

2cos , 0),

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx =

(

3

4cos ,

3

4sen ,

4

).

Luego, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

X,xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx =

4.

Finalmente,

(X,3) =

3

X,NdA = 2

3R

6

6 R

20

4d d =

42

23R

6

6 R

=R2

8.

Segundo mtodo

Podemos proceder como en los apartados anteriores y aadir a la supercie 3 otra su-percie o supercies para encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T3 =

{(x, y, z) IR2 : x2+y2 R2

24, z =

2R

4}, T4 = {(x, y, z) IR2 : x2+y2

R2

6, z =

2R

2}

y 3 tal que 3 = 3 T3 T4. Entonces,

174 Integracin

(X,3) =

3

div(X)dVT3

X,NdAT4

X,NdA = T3

X,NdAT4

X,NdA.

Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia las normales a T3 y T4 deben serlas exteriores al conjunto 3, por tanto N3 = (0, 0,1) y N4 = (0, 0, 1), ya que en estassupercies z es constante. Luego X,N3 = 1 y X,N4 = 1, de donde

(X,3) = T3

X,NdAT4

X,NdA =T3

dAT4

dA =

(R2

24 R

2

6

)= R

2

8

Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al ujo es debido alcambio de orientacin en la normal.

(iv) La frontera de 2 es la unin de dos curvas, concretamente las circunferencias,

1() =

(2

2R cos ,

2

2R sen ,

2R

2

), [0, 2]

y

2() =

(6

6R cos ,

6

6R sen ,

2R

2

), [0, 2].

Podemos hallar las tangentes a las curvas y calcular las circulaciones directamente o bienpodemos intentar aplicar el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X, 2) =

2

X,T dl =

2

rot(X), NdA,

donde N = (0, 0, 1) y rot(X) = (0, 0, 2). Por tanto, rot(X), N = 2 y

C(X, 2) =

2

2dA = 2

(1

2R2 1

6R2)

=2

3R2.

Problema 4.26 Sean los subconjuntos de IR3 dados por

1 = {(x, y, z) IR3 : x2 +y2 + z2

4< 1, y > 0, z < 0},

2 = {(x, y, z) IR3 : x2 +z2

4< 1, y (8, 0), z < 0},

3 = {(x, y, z) IR3 : x2 +z2

4+

(y + 8)2

16< 1, z < 0, y (10,8)},

p =3i=1

i, i = p i, i = 1, 2, 3 y Xc el campo vectorial de IR3

Xc = (3x+ y)

x+ (x+ 2y)

y+ (z + 2)

z.

Aplicaciones 175

(i) Calcular el ujo de Xc a travs de p =3i=1

i.

(ii) Calcular el ujo de Xc a travs de c = p {(x, y, z) IR3, z = 0}.(iii) Calcular el ujo de Xc a travs de a = 2 {(x, y, z) IR3, z < 0}.(iv) Calcular la circulacin de Xc a lo largo de p.(v) Calcular la circulacin de Xc a lo largo de 2 {(x, y, z) IR3, y = 5, x > 0, z < 0}.

Solucin:

La representacin de p se encuentra en la Figura 4.42. En primer lugar calculamos ladivergencia y el rotacional,

div(Xc) = 0 y rot(Xc) = (0, 0, 2).

Figura 4.42: Representacin de p.

(i) Como el ujo que debemos calcular es a travs de una supercie que es frontera del abiertop IR3, podemos aplicar el Teorema de la Divergencia

(Xc,p) =

p

< Xc, N > dA =

p

div(Xc)dV = 0.

(ii) Hemos representado la supercie c en la Figura 4.43. La normal a esta supercie esNc = (0, 0, 1), por tanto

(Xc,c) =

c

< Xc, Nc > dA = 2

c

dA.

176 Integracin

Figura 4.43: Representacin de c

Luego debemos calcular el rea de la supercie. Para ello la dividimos es tres partes,

Sea A1 el rea de la supercie encerrada por la elipse x2 +(y + 8)2

16= 1, z = 0 con

y [10,8]. Entonces,

A1 =

810

dy

1( y+84 )2

1( y+84 )2dx =

810

2

1

(y + 8

4

)2dy =

y+8

4 = sen t t = arcsen(y+8

4

)dy = 4 cos t dty = 10 t = 6y = 8 t = 0

= 0/6

8 cos2 t dt =

4

0/6

(1 + cos(2t)) dt = 4

(t+

sen(2t)

2

)0/6

=2

3+

3.

Sea A2 el rea de un rectngulo de lados 8 y 2. Entonces, A2 = 16.

Sea A3 el rea de la supercie encerrada por la elipse x2 +(y)2

4= 1, z = 0 con y [0, 2].

Entonces,

A3 =

11dx

21x20

dy = 2

11

1 x2dx =

x = sen t t = arcsenxdx = cos t dtx = 1 t = 2x = 1 t = 2

=

Aplicaciones 177

/2/2

2 cos2 t dt =

/2/2

(1 + cos(2t)) dt =

(t+

sen(2t)

2

)/2/2

= .

Finalmente,

(Xc,c) =10

3+ 32 + 2

3.

(iii) a es una porcin de cilindro elptico, concretamente, x2 +

z2

4= 1, z < 0, y [8, 0], ver

Figura 4.44. Por tanto una parametrizacin de a en coordenadas cilndricas es,

Figura 4.44: Representacin de a.

xxxxxxxxxxxxxx(, y) = (cos , y, 2 sen ), y [8, 0], [, 0].

En este caso los productos involucrados en el clculo del ujo son,

xxxxxxxxxxxxxx = ( sen , 0, 2 cos ),xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0).

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = (2 cos , 0, sen )Por tanto, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

Xc, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = 6 cos2 2 sen2 + 2y cos 2 sen .Finalmente,

(X,a) =

a

X,NadS = 0

08

(6 cos2 2 sen2 + 2y cos 2 sen ) dy d = 0

(6y cos2 2y sen2 + y2 cos 2y sen )08 d =

178 Integracin

0

(48 cos2 16 sen2 64 cos 16 sen ) d =(24( +

sen(2)

2

) 8( sen(2)

2

) 64 sen + 16 cos

)0

= 16 + 32.

(iv) p es la curva representada en la Figura 4.45.

Figura 4.45: Representacin de p

Podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere para calcular la circulacin,

C(p, Xc) =p

Xc, T dl =

c

rot(Xc), NcdS +T

rot(Xc), NtdS,

donde T es la supercie x2 +z2

4 3

4, y = 10, z 0. Por tanto, Nt = (0,1, 0). Como

rot(Xc) = (0, 0, 2) tenemos que,

rot(Xc), Nc = 2 y rot(Xc), Nt = 0.

Luego,

C(p, Xc) = 2

c

dA =10

3+ 32 + 2

3.

(v) Sea = 2 {(x, y, z) IR3, y = 5, x > 0, z < 0}, ver Figura 4.46.Una parametrizacin de es,

() = (cos ,5, 2 sen ), (2, 0).

El vector tangente a es,

() = ( sen , 0, 2 cos ) y Xc, = 7 cos sen + 4 cos 5 sen .

Aplicaciones 179


Por tanto,

C(,Xc) =

Xc, T dl = 0/2

(7 cos sen + 4 cos 5 sen ) d =(7

2sen2 + 4 sen + 5 cos )

0/2

=11

2.

Problema 4.27 Consideremos las curvas parametrizadas en IR3 dadas por

1(t) = (1, t 1, 0), w1(t) = (t, 2 t, 10),2(t) = (1 t, 1, 0), w2(t) = (t 2,t, 10),3(t) = (1, 1 t, 0), w3(t) = (t, t 2, 10),4(t) = (t 1,1, 0), w4(t) = (2 t, t, 10),

donde t [0, 2]. Para cada i = 1, , 4, sea i la supercie reglada con directriz i generadapor rectas con vector director wi y parmetro v [0, 1]. Consideremos X el campo vectorial deIR3

X = y x

+ x

y+ z

z.

(i) Calcular el ujo de X a travs de 1.

(ii) Calcular el ujo de X a travs de4i=1

i.

(iii) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1.

180 Integracin

(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 2.

(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de

(4i=1

i

) {z = 10}.

Solucin:

(i) La supercie 1 es la supercie reglada formada por las rectas que se apoyan en la recta1 generada por rectas con vector director w1. Por tanto una parametrizacin ser,

xxxxxxxxxxxxxx1(t, v) = (1 vt, t 1 + v(2 t), 10v), t [0, 2], v [0, 1].

La representacin de 1 se encuentra en la Figura 4.47.


Por tanto, los campos involucrados en el clculo del ujo son,

xxxxxxxxxxxxxx1t = (v, 1 v, 0),xxxxxxxxxxxxxx1v = (t, 2 t, 10),xxxxxxxxxxxxxx1t xxxxxxxxxxxxxx1v = (10(1 v), 10v,2v + t).Entonces, la restriccin del producto escalar a la supercie es,

Aplicaciones 181

X,xxxxxxxxxxxxxx1t xxxxxxxxxxxxxx1v = 10(1 v)(t 1 + v(2 t)) + 10v(1 vt) + 10v(t 2v) =10v(t 1 + 2v vt+ 1 vt+ t 2v) + 10(1 t 2v + vt) = 10(1 t 2v + 3vt 2v2t).Finalmente,

(X,1) = 10

10

20

(1 t 2v + 3vt 2v2t) dt dv =

10

10

(t t

2

2 2vt+ 3

2vt2 v2t2

)20

dv = 10

10

(2v 4v2

)dv =

10

(v2 4

3v3)1

0

= 103.

(ii) Primer mtodo

Podemos calcular el ujo a travs de4i=1

i como suma de los ujos de cada una de las

supercies, ya que en el apartado anterior hemos calculado el ujo a travs de 1. Paraello parametrizamos las tres restantes y efectuamos los calculos necesarios.

xxxxxxxxxxxxxx2(t, v) = (1 t+ v(t 2), 1 vt, 10v), t [0, 2], v [0, 1].xxxxxxxxxxxxxx2t = (1 + v,v, 0),xxxxxxxxxxxxxx2v = (t 2,t, 10),xxxxxxxxxxxxxx2t xxxxxxxxxxxxxx2v = (10v,10(v 1),2v + t).X,xxxxxxxxxxxxxx2t xxxxxxxxxxxxxx2v = 10v(1 vt) 10(v 1)(1 t+ vt 2v) + 10v(t 2v) =10v(1 vt 1 + t vt+ 2v + t 2v) + 10(1 t 2v + vt) = 10(1 t 2v + 3vt 2v2t).Luego, (X,2) = (X,1).

xxxxxxxxxxxxxx3(t, v) = (1 + tv, 1 t+ v(t 2), 10v), t [0, 2], v [0, 1].xxxxxxxxxxxxxx3t = (v,1 + v, 0),xxxxxxxxxxxxxx3v = (t, t 2, 10),xxxxxxxxxxxxxx3t xxxxxxxxxxxxxx3v = (10(v 1),10v,2v+ t). X,xxxxxxxxxxxxxx3t xxxxxxxxxxxxxx3v = 10(v 1)(1 t+ vt 2v) 10v(vt1) + 10v(t 2v) =10(1 t 2v + 3vt 2v2t).Luego, (X,3) = (X,1).

xxxxxxxxxxxxxx4(t, v) = (t 1 + v(2 t),1 + vt, 10v), t [0, 2], v [0, 1].xxxxxxxxxxxxxx4t = (1 v, v, 0),xxxxxxxxxxxxxx4v = (2 t, t, 10),xxxxxxxxxxxxxx4t xxxxxxxxxxxxxx4v = (10v,10(1 v),2v + t).X,xxxxxxxxxxxxxx4t xxxxxxxxxxxxxx4v = 10v(1 vt) 10(1 v)(1 + t vt+ 2v) + 10v(t 2v) =10(1 t 2v + 3vt 2v2t).Luego, (X,4) = (X,1).

182 Integracin

Finalmente,

(X,

4i=1

i) = 4(X,1) = 40

3.

Segundo mtodo

Dado que div(X) = 1, podemos aadir a la supercie4i=1

i otras dos supercies para

encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T1 = {(x, y, z) IR3 : 1 x 1,1 y 1, z = 0}, T2 = {(x, y, z) IR3 : 1 x 1,1 y 1, z = 10} y tal

que, =4i=1

i T1 T2. La representacin de4i=1

i se halla en la Figura 4.48.


Entonces,

(X,4i=1

i) =

div(X)dV T1

X,N1dAT2

X,N2dA.

Calculemos el volumen de . Podemos proceder al clculo mediante la frmula del volumen

Aplicaciones 183

por secciones,

vol() =

100

A(z)dz,

donde A(z) es el rea de la seccin z = cte en . Comprobemos que las secciones z = z0o equivalentemente v = v0 son cuadrados de lado,

`(z) = 2

z2

100+( z

10 1)2.

Las curvas interseccin de4i=1

i con v = v0 son segmentos de rectas parametrizadas por

i(t) = xxxxxxxxxxxxxxi(t, v0), t [0, 2]. Adems,

1(t) = (1 v0t, t 1 + v0(2 t), 10v0), 1(t) = (v0, 1 v0, 0).2(t) = (1 t+ v0(t 2), 1 v0t, 10v0), 2(t) = (v0 1,v0, 0).3(t) = (1 + v0t, 1 t+ v0(t 2), 10v0), 3(t) = (v0,1 + v0, 0).4(t) = (t 1 + v0(2 t), v0t 1, 10v0), 4(t) = (1 v0, v0, 0).

Observemos que 1 es paralelo a 3,

2 es paralelo a

4 y que

1 es ortogonal a

2.

Para concluir, basta comprobar que las longitudes de los lados del paraleleppedo soniguales. Sus vrtices son p1 = 1(0) = 4(2), p2 = 2(0) = 1(2), p3 = 3(0) = 2(2) yp4 = 4(0) = 3(2) y por tanto,

`1 = d(1(0), 1(2)) =

4v20 + 4(v0 1)2 = `2 = d(2(0), 2(2)).

Luego, A(z) = 8

(z2

100 z

10+

1

2

)y por tanto,

div(X)dV = 8

100

(z2

100 z

10+

1

2

)dz = 8

(z3

300 z

2

20+z

2

)100

=80

3.

Finalmente, las normales a T1 y a T2 deben ser las exteriores al conjunto , por tantoN1 = (0, 0,1) yN2 = (0, 0, 1), ya que en estas supercies z es constante. Luego X,N1 =z = 0 y X,N2 = z = 10. Teniendo en cuenta que T2 es un cuadrado de rea 4 resultaque,

(X,

4i=1

i) =80

3 40 = 40

3.

(iii) Para calcular la circulacin a lo largo de 1 aplicamos el Teorema de Stokes-Ampre oTeorema del rotacional, ya que tenemos casi todos los calculos hechos.

rot(X) = (0, 0, 2), rot(X), xxxxxxxxxxxxxx1t xxxxxxxxxxxxxx1v = 2(2v + t).

Por tanto,

C(X, 1) = 2 1

0

20

2(2v + t)dv du = 2 1

0

(t2

2 2vt

)20

dv = 4

10

(1 2v)dv =

4(v v2

)10

= 0.

184 Integracin

(iv) La curva = 1 2 no es frontera de ninguna supercie, por tanto para calcular lacirculacin parametrizamos la curva. Para ello debemos recordar las parametrizaciones delas dos supercies y tener en cuenta que el parmetro t es distinto en cada una de ellas:

xxxxxxxxxxxxxx1(t1, v) = (1 vt1, t1 1 + v(2 t1 1), 10v), t1 [0, 2], v [0, 1].

xxxxxxxxxxxxxx2(t2, v) = (1 t2 + v(t2 2), 1 vt2, 10v), t2 [0, 2], v [0, 1].

Luego la curva interseccin que se obtiene es,

1 vt1 = 1 t2 + v(t2 2)t1 1 + v(2 t1) = 1 vt2

}=

v(t2 2 + t1) = t2v(2 t1 + t2) = 2 t1

}

= v = t2t2 + t1 2

=2 t1

2 t1 + t2= t22 + (t1 2)2 = 0 = t2 = 0, t1 = 2.

Por tanto,(v) = xxxxxxxxxxxxxx1(2, v) = xxxxxxxxxxxxxx2(0, v) = (1 2v, 1, 10v).

El vector tangente es,

(v) = (2, 0, 10) y X, (v) = 2 + 100v.

Luego,

C(X, ) =

X,T dl = 2 1

0

(1 + 50v)dv = 2(v + 25v2

)10

= 52.

(v) Sea 2 =

(4i=1

i

) {z = 10} = T2, donde T2 es la supercie denida en (ii). Entonces,

2 es la frontera de un cuadrado de lado 2 en el plano z = 10, por lo que podemos aplicarel Teorema de Stokes-Ampre. En este caso la normal al cuadrado es N = (0, 0, 1) yrot(X), N = 2. Luego,

C(X, 2) =2

X,T dl =T2

rot(X), NdS = 8.

Problema 4.28 Sean a > r > 0,

1 = {(x, y, z) IR3 : x = (a+ r cosu) cos v, y = (a+ r cosu) sen v, z = r senu,

u [0, ], v [0, 2]}2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 = (a+ r)2, z 0}

3 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 = (a r)2, z 0}

y =3i=1

i. Consideremos X el campo vectorial de IR3

X = x

x+ z

y y

z.

Aplicaciones 185

(i) Calcular el ujo de X a travs de .

(ii) Calcular el ujo de X a travs de 2.

(iii) Calcular la circulacin de X a lo largo de {(x, y, z) IR3 : x = 0}.

(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de {(x, y, z) IR3 : z = 0}.

Solucin:En primer lugar hallamos las supercies involucradas y el conjunto . La supercie 1 es

la mitad superior de un toro ya que u [0, ] y por tanto z = r senu 0. Por otro lado las

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