Integracion Unmasm-fiee 2015

7/25/2019 Integracion Unmasm-fiee 2015

1/162

1

Integracin de Funciones de

Variable Complejas

( ) 0Cf z dz=


2/162

2


3/162

3


4/162

4


5/1625


6/1626


7/1627


8/162

8


9/162

9

0 2

Falacias, falacias, ...

==

==

==

==

2

)2/1(22

2

)4/1(24

2)2/1(22

2

121

11

3

2

1

nn

nL

L

L

L

0 1

!!21=!!lim2 ==

nnL

I t l d l d i d t l


10/162

10

Integrales de lnea, de camino o de contorno reales

.cuando0donde

),(lim),(

1

= =

ns

syxFdsyxF

k

kk

n

k

kn

B

A

||

= kk ss

1x

1s

2s

ns

A

B

),( 11 yx

),( 22 yx

),( nn yx

x

y

*amino


11/162

11

y

x

2

1 xy =

0

)0,1(=B

)1,0(=AxyyxF =),(

...4

5

)1(4451

...41)1(

),(

0

1

0

1

1

0

22

)0,1(

)1,0(

=

=

=+==

dyyy

dyyyyy

dxxxx

xydsdsyxF

B

A

dyyydy

dydxds

dxxdxdx

dyds

)1(4451

411

2

2

2

=

+=

+=

+=

El signo dee oma"se de modo #ue ds0$a"a los %alo"esxeyen &uego.En ese caso '.

"a mane"a

21 xy =*amino


12/162

12

kk

n

k

kn

B

AsyxFdsyxF = = ),(lim),( 1

dx

dy

kx

ky

==

)(+

1)(+

x,y

x,y

ne"$"eaci-n sica de las ineg"ales de lnea

odemos deini" las ineg"ales con dx dy:

B

Ads

B

Ads

onde los inc"emenos de e son las $"oecciones de los

inc"emenos de s en el e&e e "es$eci%amene (ose"%a #uelos inc"emenos de e $ueden se" $osii%os o negai%os).

y


13/162

13

y

x

21 xy

=

0

)0,1(=B

)1,0(=AxyyxF =),(

4

1

42

)1(

),(

1

0

421

0

2

)0,1(

)1,0(

=

=

==

xx

dxxx

xydxdxyxFB

A

15

41),(

0

1

)0,1(

)1,0(

===

dyyyxydydyyxF

B

A

yx = 1Ejercicio:"ecalcula" las

"es ineg"ales "eco""iendo el

camino en senido in%e"so.

Negativo?

Ejem!o:

*amino

21 xy =*amino

y * l l d


14/162

14

y

x

21 xy

=

0

)0,1(=B

)1,0(=A xyyxF =),(

dxdxdyyxFdyyxF

B

A

B

A = ),(),(

15

4)2)(1(

1

0

2

)0,1(

)1,0(

)0,1(

)1,0(

=

==

dxxxx

dx

dx

dyxyxydy

*alculemos de nue%o

de o"a o"ma

e$ei" $a"a

dx dx"dy.


15/162

15

a ineg"al de$ende del senido en los #ue "eco""amos el camino *

en los casos de dx dy

dyyxFdyyxF

dxyxFdxyxFA

B

B

A

A

B

B

A

==

),(),(

),(),(

os inc"emenos dexeycamian de signo cuando camia el

senido de los %eco"es inc"emeno des. e"o el die"encial

desmaniene su signo inde$endienemene del senido, $ues

omamos el m-dulo del %eco" ||||

== kkk sss

dsyxFdsyxFA

B

B

A = ),(),(

I t l d l d i d t l l l j


16/162

16

Integrales de lnea, de camino o de contorno en el plano complejo

.cuando0donde

)(lim)(

1

= =

nz

zzfdzzf k

n

k

kn

B

A

),(),()( yxivyx#zf

yixz kkk

+=

+=

se"%a #ue la ineg"al es el "ea a&o la cu"%a.

El %alo" de$ende del senido es una suma de %eco"es.

os :; ac


17/162

17

Conexin entre integrales de lnea reales y complejas

+

+

=++=

CC

C C

CC

dxyxvdyyx#i

dyyxvdxyx#

idydxyxivyx#dzzf

),(),(

),(),(

A)AB,(),(B)(

*on * indicamos el camino de la ineg"al de lnea.

I t i d f i l j t i d


18/162

18

[ ]

+

==

)(

)(

)(

)(

)A(C)(C)B(

)()(

Bt

At

Bt

AtC

dttiytxtf

dtdt

dztzfdzzf

Integracin de funciones complejas parametrizadas

D"co sua%e * de D a )()()( tiytxtz +=

a"ame"i;aci-n coninua con (D) () con de"i%adasF() e F() coninuas.

dt

tdyi

dt

tdx

dt

tdz )()()( +=

E& l


19/162

19

.41,,3$o"dadoesdonde

E%al


20/162

20

E%al


21/162

21

Calcular la integral

Donde C es el arco de circunferencia ,

orientado positivamente.

( ) +C

dzzzz2

))a"g(0(,1


22/162

22

Camino o contorno simple cerrado Camino o contorno


23/162

23

Camino o contorno simple cerrado

Es un cono"no #uegene"a dos dominios

uno acoado (ine"io")

o"o no acoado

(ee"io"). Dmosdominios ienen al

cono"no como

"one"a.

Camino o contorno

no simple cerrado

ecimos #ue la ineg"aci-n se lle%a a cao


24/162

24

ecimos #ue la ineg"aci-n se lle%a a cao

en senido $osii%o al"ededo" del cono"no

* cuando el ine"io" #ueda a la i;#uie"da

del senido de ci"culaci-n.

C C dzzfdzzf )()(a"a no "eca"ga" con smolos

ecimos #ue la ineg"aci-n

se lle%a a cao en senido

negai%o si ocu""e lo con"a"io. C C dzzfdzzf )()(

= CC dzzfdzzf )()(=e cum$le #ue


25/162

25

Propiedades de las integrales de contorno

consane,)()( = kzdzfkzdzfkC C

+=+

CC Czdzgzdzfzdzgzf )()()A()(B

,)()()(21

+= CC C zdzfzdzfzdzf

,)()( =C C dzzfdzzf

E&em$lo y


26/162

26

neg"a" la unci-n

a lo la"go de la ci"cune"encia *z* ' r.

zzf /1)( =

& $

n"oducimos un $a"me"o %a"iando en"e 20 t

y

xr

C

[ ]

( )

idti

dteri

re

dtdt

dztzfdzzf

ti

ti

C

2

1

)()(

2

0

2

0

2

0

==

=

=

tiretzC =)(

oa $od"amos Hae" usado

( )titrtzC sincos)( +=E&e"cicio "e$ei" con esa o"ma.

iz

dz

C2=


27/162

27

E&em$lo yC


28/162

28

neg"a" la unci-n

a lo la"go del cuad"ado

zzf /1)( =

& $

n"oduci" un $a"me"o %a"iando en"e 11 + t

y

x

i+1

i1

i+1

i1

1C

3C

2C

4C

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

+

+

+

+

++=

++=

=+==

++=

++=

===

++=

+=

+==+=

++=

+=

+=+=+=

1

1

2424

1

1

2323

1

1

2222

1

1

2121

1,

1

1)(,1,)(

1,

1

1

1

1)(,,1)(

1,

1

1)(,1,)(

1,

1

1

1

1)(,,1)(

dtt

it+

t

it

ittzf

dt

dzittzC

dtt

it+

t

it

ittzfi

dt

dztitzC

dtt

it+

t

it

ittzf

dt

dzittzC

dtt

it+

t

it

ittzfi

dt

dztitzC

[ ]

=1

1

)()( dtdt

dztzfdzzf

C


29/162

29

y

x

i

+1

i1

i

+1

i1

1C

3C

2C

4C

[ ]

( ) ( )[ ]i

i

ti

dtt

idtt

t

dtt

itdzzf

C

2

4/4/4

a"can4

1

1

14

14)(

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

==

=

++

+=

++=

+

iz

dz

C2=

0 (ineg"ando im$a" en

ine"%alo de ineg"aci-n $a")

E&em$lo e$iamos "asladando el ci"cuio de ineg"aci-n. y


30/162

30

zzf /1)( =

11 + t

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

+

+

+

+

++++=

++++=

+=+=+=

++=++====

++++=

++=

+==+=

+=

+=

+=+=+=

1

1

2424

1

1

2323

1

1

2222

1

1

2121

)2(1

)2(,

)2(1

2

2

1)(,1,2)(

93,

93

31)(,,3)(

)2(1

)2(,

)2(1

2

2

1)(,1,2)(

1,

1

1

1

1)(,,1)(

dtt

it+

t

it

ittzf

dt

dzittzC

dttit+

tit

ittzfi

dtdzittzC

dtt

it+

t

it

ittzf

dt

dzittzC

dtt

it+

t

it

ittzfi

dt

dzittzC

[ ]

=1

1

)()( dtdt

dztzfdzzf

C

x

i+1

i1

i+3

i 3

1C

3C

2C

4C

yneg"a" la unci-n

a lo la"go del cuad"ado

n"oduci" un $a"me"o %a"iando en"e

Isando las "elaciones 1 ,tdt +


31/162

31

Isando las "elaciones

22

22

22

)(ln)(

)(

a"can1

)(

t,at,a

dtt,

a

,t

at,a

dt

++=++

+

+=

++

oenemos

0=C

z

dzx

i+1

i1

i+ 3

i 3

1C

3C

2C

4C

y

onde CaHo"a es el cuad"ado

unia"io ane"io" des$la;ado

a la i;#uie"da 2 unidades.


32/162

32

se"%a #ue


33/162

33

0C zdzC

iz

dz

C

2=C

0C

z

dzC

0=C zdz

C

0=C

z

dz

C

0=C

z

dz

C

C


34/162

34

0C

zdzC 0=

C zdz

C

iz

dz

C

2=

0

C zdzC

0=C

z

dz

0=

C zdz

C C

C

"eorema integral de Cauc-y


35/162

35

=C dzzf 0)(C

=if (z) es analica con de"i%ada

coninua en odos los $unos

den"o so"e un cono"no ce""ado

*, enonces

0=C z

dz

C

f(z) es analica en odo $uno

ece$o enz G 0

0=C

zdze


C

E&em$los

a"a demos"a" el eo"ema de *aucH nos se" necesa"io el


36/162

36

a"a demos"a" el eo"ema de *aucH nos se" necesa"io el

"eorema de reen(1828)

Jeo"ge J"een (1793K1841).

esulado de sus "aa&os

en elec"omagneismo.

y-

x-

y.

x.yx-yx.

,,),,(),,(=ean

coninuas en en odos

los $unos den"o so"e un cono"no *, enonces

dxdyy

.

x

-dyyx-dxyx.

C /C

=+ ),(),(

=u$ongamos #ue la "egi-n es un


37/162

37

{ }

.),(),(

),(),(

),(),(

31

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

10

01

+

=+

==

=

CC

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

dxyx.dxyx.

dxyx.dxyx.

dxyx.yx.

dxdyy

.dxdy

y

.

0x 1x

1y

0y

1C

2C

3C

4C

"ecngulo como mues"a la igu"a.

== 0),(L0),(42 CC

dxyx.dxyx.

ueso #ue so"e los caminos *2 *4 no Ha %a"iaci-n en

.


38/162

38

=+

++=

cCC

CC

dxyx.dxyx.dxyx.

dxyx.dxyx.dxdyy

.

),(),(),(

),(),(

42

31

e$iiendo anlogamene $a"a M(,), eniendo en cuena #ue

*3 *1no ienen %a"iaci-n en , oend"emos

=

c

dyyx-dxdyy

-),(

N eso com$lea la demos"aci-n $a"a un cono"no "ecangula""eco""ido en senido $osii%o.

odemos usa" ininios "ecngulos


39/162

39

...)()()(21

++++=+ CC C -dy.dx-dy.dx-dy.dx

g

$a"a "ecu"i" ecamene el "ea de .

1C

2

C

eco""i?ndolos como indica la

igu"a su$e"io", se com$ensanlas ineg"ales en los caminos

Ho"i;onales...

emos"aci-n del eo"ema ineg"al de *aucH


40/162

40

++

=CCCC

C

dyyx#idxyxvidyyxvdxyx#

dzzf

),(),(),(),(

)(

),(),(

),(),(

yxvyx-

yx#yx.

==

),(),(

),(),(

yx#yx-

yxvyx.

==

0=

+

=

dxdy

y

v

x

#idxdy

y

#

x

v

//

0(*omof$z%es analica

cum$le las E*)

*omo su$onemos #$x,y%, v$x,y% sus

de"i%adas $a"ciales coninuas en odos

los $unos den"o so"e *


41/162

41


42/162

42

"eorema integral de Cauc-y+oursat


43/162

43

=C dzzf 0)(

=if (z) es analica en odos los $unos den"o

so"e un cono"no ce""ado *, enonces

Es menos "es"ici%o #ue

el eo"ema ineg"al de

*aucH. Jou"sa

demos"- el eo"ema

ineg"al de *aucH sin

im$one" la "es"icci-n

alguna so"e la de"i%ada

def$z%1

Edouard /ean+$aptiste oursat01)1 2 3)45

1C 01 = dz

E&em$losC


44/162

44

@cos1

2

=C

dzz

f(z) es no analica enz G /2, 3/2, ...

03

sin3

1=C

z

dzz

ze

2C

1C 0cos

1

=C

dzz

f(z) es no analica

enz G 3

@3

sin3

2

=

C

z

dzz

ze

1C

2C

0)sin(

1 = dzzC

o es analica enlos $unos

; G 0, 1, 2,...0 1 2K1K2

*2i

a"a demos"a" el eo"ema de *aucHKJou"sa em$lea"emos la


45/162

45

desigualdad ML

2LdzzfC

)(longiud

de C

cual#uie" n


46/162

46

*.delongiudlaesdondeLlim1

Lzdzn

k

kn

C

= =

o" la desigualdad "iangula", enemos

== == Ckn

k

kn

k

n

k

kn

C

dzzfzzfzzfdzzf )()(lim)(lim)(11

CC

dzzfdzzf )()(

=u$ongamos #ue si ; es un $uno de *.

E

2zf )(


47/162

47

Enonces

2Lz2zzf

zzfdzzf

n

k

kn

k

n

k

kn

k

n

k

kn

C

=

=

==

=

11

1

lim)(lim

)(lim)(

2LdzzfC

)(esigualdad O

E&em$lo

Encuen"a una coa su$e"io" $a"a el %alo" asoluo de

donde Ces el c"culo |z| G 4.

zde

C

z

+1


48/162

48

zC +1

ueso #ue |z'1| |z| P 1 G 3, enonces

Ddems, |ez* ' ex, con*z* ' 4, enemos

#ue el mimo %alo" dex es 41 Ds31

4e

z

ez

+

3

8

1

4e

zdz

eC

z

+

3

||

1||

||

1

zzz e

z

e

z

e

=+

L

2zf

2

)(

=

Demostrar la siguiente desigualdad:

Im (z)


49/162

49

g g

45og

2

zdz

1

Re (z)

Respuesta.

L: longitud del arco:

M: max |Log z|

2Lzdz 5og

2

=L

2

20,5og

a"gln5og

=

=

+=

2

iz

zizz

45og

2 zdz


50/162

50

6

/emostraci3n de! teorema deCa#c4y56o#rsat ara camino

E G (D')/2L + G ('*)/2L G(*'D)/2


51/162

51

6

432

1

$C

DE

F

triang#!ar c#a!7#iera:

=ea el camino "iangula" D*D.Q"a;amos un "ingulo auilia"

E+a $a"i" de los $unos

medios

de los lados del "ingulo D*.

Enonces

dzzfdzzfdzzfdzzf

dzzfABCA

+++

=

4321

)()()()(

)(

D$licando la desigualdad "iangula"


52/162

52

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf

ABCA

+++4321

)()()()()(

dzzfdzzfABCA 1 )(4)(

=ea R,,,maS 43211 =

Enonces

e$iiendo el $"oceso con el "ingulo1

dzzfdzzfABCA

2

)(4)( 2

es$u?s de n $asos, end"emos


53/162

53

dzzfdzzf

n

n

ABCA

)(4)(

Temos cons"uido una sucesi-n de "ingulos enca&ados

n

ABC ,...,,,,321

g"acias al $"inci$io de *ano" de com$acos enca&adoseise un $uno ;0#ue $e"enece a odos ellos.

N $ueso #ue ;0es den"o o so"e D*, como $o" el enunciadof$z%es analica enz0. Enonces

))(())(()()( 0000 zzzzzzfzfzf ++= "eco"demos #ue $z%de$ende de ; #ue $z%0cuandozz0L esdeci", #ue $a"a odo >0$odemos encon"a" un al #ue $z%


54/162

54

=++ nnn

n

dzzzzdzzzzfdzzf ))(()()()( 0

0

00

0

0

1)( =zg0)( zzzg =

neg"andos g(;) analicos con $"ime"as de"i%adas

coninuas. odemos a$lica" eo"ema ineg"al de *aucH.

= nn dzzzzdzzf ))(()( 0

=i es el $e"me"o de D*, enonces el $e"me"o nse"

.


55/162

55

nn

..

2=

nz

0z


56/162

56

dzzfdzzf

n

n

ABCA

)(4)(

22

44)( .

.dzzf

n

n

ABCA

=

0)( =ABCA

dzzf

N como se $uede oma" a"i"a"iamene $e#ueUo, enonces

ueso #ue odo $olgono ce""ado se $uede"iangula", a$licando el eo"ema de

* H J d

A


57/162

57

*oucHKJou"sa a cada

"ingulo $odemos

demos"a" el eo"ema$a"a un $olgono

ce""ado a"i"a"io.

B

C /

E

nzz =0

1z

2z

1nz

nena"emos a$"oima"

una cu"%a a"i"a"ia a "a%?s

de un $olgono ce""ado de

%?"ices ;0, ;1,;2, ... ;nK1, ;nG ;0,al como Hicimos $a"a

deini" la ineg"al de lnea

com$le&a.

n

fdf )(lim)(eco"demos #ue a"a n inio, esamos

a$"oimando la cu"%a


58/162

58

n8

k

k

knC

zzfdzzf = =

)(lim)(1

ce""ada con un $olgono

ce""ado de n lados

de $e"me"o 8n1

nC

nC

88dzzfdzzf += )()(%iamene

n

C n

C88dzzfdzzf +

)()(

Isando la desigualdad "iangula"

1 2

Dcoa"emos 1 2

C n8dzzf )(*omencemos con 1


59/162

59

= Cnn

dzzf8 )(lim

Enonces, dado cual#uie" V 0 eise un n


60/162

60

0)R()()(S

...)R()()(S

)R()()(S

)(...)()(

0)(

1

2

1

1

0

1

2

1

1

0

22

11

=+

+++

++

=+++=

=

n

n

n

n

z

z nn

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

.

dzzfzfzf

dzzfzfzf

dzzfzfzf

dzzfdzzfdzzf

dzzf

zzz

dzzfdzzfzf

++=1

11

)()R()(S0 11


61/162

61

n

n

n

n

n

z

z

zn

z

z n

z

z

z

z

z

zz

dzzfdzzfzf

dzzfdzzfzf

dzzfdzzfzf

+

+++

++

11

2

1

2

2

1

00

)()R()(S

...)()R()(S

)()R()(S0

22

11

0)R()(S

...)R()(S)R()(S

1

2

1

1

0

21

=+

+++

n

z

z n

z

z

z

z

8dzzfzf

dzzfzfdzzfzf

n

n

Ouli$licando $o" W1 camiando el signo de los ineg"andos


62/162

62

+++=

n

n

z

z n

z

z

z

zn

dzzfzf

dzzfzfdzzfzf8

1

2

1

1

0

)R()(S

...)R()(S)R()(S 21

+++

n

n

z

z n

z

z

z

zn

dzzfzf

dzzfzfdzzfzf8

1

2

1

1

0

)R()(S

...)R()(S)R()(S 21

Iili;ando la desigualdad "iangula"

kz

k dzzfzf )R()(Sa"a cada una de las X ineg"ales

(XG1 2 n) usa"emos la


63/162

63

kz

k ff1

)R()(S(X 1,2, ..., n) usa"emos ladesigualdad2L.

se"%emos #ue la longiud de cada ineg"al es

11

=

kk

z

zzzdz

k

k

ueso #ue la cu"%a ce""ada #ue ineg"amos es sua%e, $odemos

oma" el () de lo suicienemene g"ande como $a"a #uecon n V () la disancia en"e (;X) (;) es? $o" dea&o de /2,$a"a odo X, donde es el $e"me"o de la cu"%a ce""ada. Ds

$odemos acoa" odos los ineg"andos

.zfzf k

2)()(


64/162

64

e modo #ue

+++

n

n

z

z n

z

z

z

zn

dzzfzf

dzzfzfdzzfzf8

1

2

1

1

0

)R()(S

...)R()(S)R()(S 21

{ }2

...2 11201

=+++

.

nnn

zzzzzz.

8

eco$ilando


65/162

65

=+


66/162

66

E&e"cicio


67/162

67


68/162

68

!rincipio de deformacin de contornos(Qeo"ema ineg"al de *aucH $a"a un dominio dolemene coneo).


69/162

69

= 21 )()( CC dzzfdzzf

=u$ongamos #uef(z) es analica en un dominio dolemene

coneo/ as comoen las cu"%as #ue lo limian.

Enonces

/

1C2C

eco"dao"io In dominioes un con&uno aie"o

coneo (no inclue los $unos "one"a).

oa =im$lemene coneo signiica 1 cono"no ( 0 agu&e"os)

olemene coneo signiica 2 cono"nos ( 1 agu&e"os)

Q"i$lemene coneo signiica 3 cono"nos ( 2 agu&e"os) ...

=enido negai%o

0)( =dzzf C C=enido $osii%o


70/162

70

21 +++ BACABC 1C

2C

D

+

++=

BAC

ABC

dzzfdzzf

dzzfdzzf

)()(

)()(

2

1

=BAAB

dzzfdzzf )()(*omo

0)()(

21

=+ CC

dzzfdzzf

0)(

21

+=

=CCC

dzzfoa se"%a #ue los senidos en #ue se"eco""en los ci"cuios en ese diu&o el

ane"io", no son los mismos...

= zz dzedzeE&em$lo 1 (Yo%io!)


71/162

71

21 CC

1C2C

/

=21

11

CC

dzz

dzz

E&em$lo 2 (no an o%io)

"a demos"aci-n

n"odu;camos dos co"es,

1Lnicio


72/162

72

0)(,0)(ZZZ

== cc

dzzfdzzf

,

L1L2,#ue unen los dos

cono"nos.

=ean CZ CZZlos dos nue%os

cono"nos ce""ados indicados

$o" las lecHas (1K2K3K4) (5K6K7K8), "es$eci%amene.

2L

ZZC

ZC

1 2

3

4

5

6

7

8

nicio

DHo"af(z) es analica so"e den"o

de CZ

CZZ

. o" el eo"ema neg"al de *aucH

neg"amos al"ededo" del dominio/,a lo la"go de 1K2K3K4K5K6K7K8. Ds

1L

ZZC5 8nicio


73/162

73

=

+=

+=

21

ZZZ

)()(

)()(

)()()(

8,63,1

87654321

CC

CC

dzzfdzzf

dzzfdzzf

dzzfdzzfdzzf

as ineg"ales a lo la"go de

L1L2se anulan

e"o como las ineg"ales a lo la"go de CZ CZZson ce"o,

enonces0)()(

21

= CC

dzzfdzzf

con lo #ue se demues"a el enunciado.

2L

C

ZC1 2

3

45

6

7

8

>o" #u? se denomina $"inci$io de deo"maci-n de cono"nos@

=i uno de los cono"nos $uede


74/162

74

=i uno de los cono"nos $uede

"anso"ma"se en el o"o mediane

una deo"maci-n coninua sinc"u;a" ninguna singula"idad de

(;), enonces = 21)()(

CCdzzfdzzf

y

x

i+1

i1

i+1

i1

1C

3C

2C

4C

i

z

dz

C

2=

eco"demos

Ds #ue como la ineg"al

E&em$lo


75/162

75

Ds #ue como la ineg"al

def(z) G 1/za lo la"go de un

c"culo de "adio " es 2i

D $a"i" del eo"ema ineg"al de *aucH

$a"a dominios dolemene coneos

%emos #ue la ineg"al def(z) G 1/za lola"go de cual#uie" camino #ue conenga

ese c"culo es ami?n 2i1

1C

2C

r

idz

zC2

1

1

=

z

1 es analicaa#u

E%alua" la ineg"al

E&em$lo

3i


76/162

76

+Cdz

zz

dz

)9(22

f(z) $"esena singula"idades enz G 0 z ' 3i. Esos $unos esn ue"ade la "egi-n som"eada como mues"a la igu"a. Ds

donde Ces un c"culo de

"adio 2, cen"ado en 0, desc"io

en senido $osii%o un c"culo

de "adio 1, cen"ado en 0,desc"io en senido negai%o.

0)9( 22

=+

C

dzzz

dz

C

0

K3i

1 2

Teorema de Cauchy-Goursat para dominiosmltiplemente cone!os

= C C C


77/162

77

=

=C

n

kCk

zdzfdzzf1

)()(

=u$ongamos #ue C, C1, [, Cn

son cu"%as ce""adas sim$les cono"ienaci-n $osii%a, ales #ue

C1, C2, [,Cnson ine"io"es a C

$e"o las "egiones ine"io"es a

cada Ck, kG 1, 2, [, n, noienen $unos en com


78/162

78

2C

1C

/

3

maginemos #ue (;) es analica

en odos los $unos del dominio

de la igu"a. Qano *2 como

*3 o"man anillos con *1.

o" deo"maci-n de

cono"nos

=

=

31

21

)()(

)()(

CC

CC

dzzfdzzf

dzzfdzzf

=32

)()(CC

dzzfdzzf

Eercicio: !e sa"e #ue una cierta $unci%n es $(z) es anal&tica en todo el 'lanocom'leo salo en los 'untos z 1* z + , z -* , #ue

321)( kadf


79/162

79

3,2,1,)( == kadzzfkC

k

siendo ./: |z 0 /| * orientado en sentido 'ositio2

.alcular * siendo i cada uno de los siguientes

contornos orientados 'ositiamente:

(1) 1: |z| 3* (+) +: |z| 45+ , (-) -: |z 0 45+| 1

i dzzf )(

Respuesta"

6or el teorema de .auc,8

oursat en dominiosmlti'lemente conexos:

32

21

321

3

2

1

)(

)(

)(

aadzzf

aadzzf

aaadzzf

+=+=

++=

neg"emos la unci-n a lo la"go dezzf =)(

Independencia del camino de integracin


80/162

80

y

x

C

i+1

0

la "eca *, #ue une los $unos 0 1' i.

(1) e$"esena" Cen la o"maz(t)

( )10)( += ttittz

[ ]

[ ] 12)(

)1)(()()(

1

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

===++

+==

ttdtdttittit

dtititdt

dt

dztzfdzzf

C

(2) neg"amos idt

dz +=1

zzf =)(E&em$loneg"a" la unci-n a la"go del camino C G C1 ' C2

#ue une los $unos 0 1' i como mues"a la igu"a


81/162

81

y

x

i+1

0

2C

1C

( )10)( = tttz

[ ]

[ ]2

11

0

2

2

1

1

0

1

0

)1)((

)()(

===

=

tdtt

dtdt

dztzfdzzf

C

D lo la"go de C2 ( )101)( += ttitz

[ ]

[ ] ititdtitdtiti

dtdt

dztzfdzzf

C

+=+=+==

=

21

1

0

2

21

1

0

1

0

1

0

)())(1(

)()(

#ue une los $unos 0 1' i, como mues"a la igu"a

D lo la"go de C1

1

1=C

dzz


82/162

82

C

y

x

i+1

0

iidzzC

+=

++= 12

1

2

1

>El %alo" de la

ineg"al en"e dos

$unos de$endesiem$"e del camino@

e$iamos $e"o con a lo la"go de

l * l 0 1 i

zzf =)(


83/162

83

y

x

C

i+1

0

la "eca *, #ue una los $unos 0 1' i.

(1) e$"esena" Cen la o"maz(t)

( )10)( += ttittz

[ ]

[ ] iittdti

dtititdt

dt

dztzfdzzf

C

===

++==

1

0

2

1

0

1

0

1

0

2

)1)(()()(

(2) neg"amos

zzf =)(E&em$lo

e$iamos de nue%o con la unci-n , $e"o aHo"a a la"go

del camino C G C1 ' C2#ue une los $unos 0 1' i


84/162

84

y

x

i+1

0

2C

1C

( )10)( = tttz

[ ]

[ ]2

11

0

2

2

1

1

0

1

0

)1)((

)()(

===

=

tdtt

dtdt

dztzfdzzf

C

D lo la"go de C2 ( )101)( += ttitz

[ ]

[ ] ititdtitdtiti

dtdt

dztzfdzzf

C

+=+=+=+=

=

21

1

0

2

21

1

0

1

0

1

0

)())(1(

)()(

D lo la"go de C1

1

izdzC

=DH l l d l


85/162

85

C

y

x

i+1

0

iizdzC

=

++= 2

1

2

1

DHo"a el %alo" de la

ineg"al no de$endedel camino.

>Mu? die"encias Ha

en"ef$z% ' z f$z%' @z

neg"a" la unci-n a lo la"go del camino C

uniendo 2 1'2i al como mues"a la igu"a

2)( zzf ="o e&em$lo

y


86/162

86

uniendo 2 1 2ial como mues"a la igu"a

( )1022)( += titttz

[ ]

[ ]

[ ]

)219(3

1

)3/8(1)21(

)84()443()21(

)21()22(

)()(

1

0

22

1

0

2

1

0

i

ii

dtttitti

dtitit

dtdt

dztzfdzzf

C

+=

++=

++++=

++=

=

y

x

i21+

0

C

2

neg"a" la unci-n a lo la"go del camino C G C1' C2

uniendo 2 1'2i al como mues"a la igu"a

2)( zzf =

"o e&em$lo


87/162

87

uniendo 2 1'2ial como mues"a la igu"a

( )202)( = tttz

38)44(

)1()2()(

2

0

2

2

0

2

=+=

=

dttt

dttdzzfC

y

x

i21+

0 21C

2C

D lo la"go de C1

( )102)( += ttittzD lo la"go deC2

idtti

dtititdzzfC

3

2

3

11)211(

)21()2()(

1

0

2

1

0

2

==

++=

3/)219(2 idzzC

+=


88/162

88

C

y

x

i21+

0

3/)219(2 idzzC

+=

El %alo" de la ineg"ala lo la"go de los dos

caminos es el mismo.

2

>*oincidencia@

Independencia del camino

1z C

=u$ongamos #uef(z) es analica en

un dominio sim$lemene coneo //


89/162

89

1

2z

1C

2C

0)()(21

=+ CC dzzfdzzfun dominio sim$lemene coneo/

/

($o" el eo"ema ineg"al de *aucH)

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

dela"goloadela"goloa



)()(

)()(

0)()(

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

dzzfdzzf

dzzfdzzf

dzzfdzzf

=

=

=+

ecue"da el $oencial g"a%iao"io


90/162

90

La energ&a 'otencial graitatoria m g es inde'endiente del camino222

masa m

altura

E&em$lof$z%'*z*9i1;i

Lo" #u? en ese caso la ineg"al de$ende del camino@

yi

1C

nenemos deini" +(;) G n ;como $"imii%a. En ese caso

una $osile $"imii%a es


101/162

101

x0 11

ii

ii

zdzz

dzz

C

==+

===

)0(

)1a"g(|1|log)1a"g(|1|log

log11 1

1

1

11

*o"euno de

"amiicaci-n

2/3a"g2/Kcona"g||loglog


102/162

102

2C

y

ii

ii

zdzz

dzz

C

==+

===

)2(

)1a"g(|1|log)1a"g(|1|log

log11 1

1

1

12

2/5a"g2/con

a"g||loglog


103/162

103


104/162

104

Os so"e ineg"aci-n en cono"nos ce""ados...odemos usa" el teorema Integral de Cauc-y$a"a ineg"a"

unciones en cono"nos ce""ados siem$"e #ue ?sas sean

(a) analicas o


105/162

105

(a) analicas, o

() analicas en cie"as "egiones

o" e&em$lo,

0

=C zdz

Cf(z) es analica en odo $uno

ece$o enz G 0

e"o, >#u? sucede si el cono"no encie""a un $uno singula"@

C

@=C z

dz

Frmula Integral de Cauc-y=eaf(z) analica en un dominio sim$lemene coneo/.

a"a cual#uie" $unoz0 en/ cual#uie" cono"no ce""ado C

en / #ue inclua


106/162

106

)(2)(

0

0

zfidzzz

zf

C

=

en/#ue incluaz0

/

0z

C

E&em$lolus"emos la -"mula ineg"al de *aucH $a"a el caso de

f(z) G 1 z0 G 0


107/162

107

00=z

C /a -"mula ineg"al de *aucH

iidzz

C

2121

== f(z) es una unci-n consane,

es ene"a, as #ue C$uede se" cual#uie"cono"no ce""ado en el $lano com$le&o

coneniendo ; G 0.

)(2)(

0

0

zfidz

zz

zf

C

=

se con%ie"e en

E&em$lo

C

dzz

z

2

2

E%alua" la ineg"al donde Ces 21=z


108/162

108

20=z

; G 2 es un $uno singula" en el ine"io" a *.

se con%ie"e en

)(2)(

0

0

zfidzzz

zf

C

=

a -"mula ineg"al de *aucH

8422

2

iidzz

z

C

==

f(z) es analica en odo $uno de

modo #ue C$uede se" cual#uie"

cono"no en el $lano com$le&o

coneniendo el $uno ; G 2.

C

zier0

emos"aci-n no"igu"osa dela -"mula ineg"al de *aucH

o" el $"inci$io de deo"maci-n


109/162

109

0C

C0z

o" el $"inci$io de deo"maci-n

de cono"nos

=0 00

)()(

CC

dzzz

zfdz

zz

zf

derzfideirer

erzfdz

zz

zf ii

C

i

i

+=+

=

2

0000

2

00

00

0

)()()(

0

ii eird

dzerzz 000 L =+=

*amio de

%a"iale

Temos omado un "0 a"i"a"io. Tagmoslo ininiamene$e#ueUo

)()(lim22

dzfiderzfi i

== +


110/162

110

)(2)(

)()(lim

0

2

00

00

000

00

zifdzif

dzfiderzfir

=

==

+

)(2)(

0

0

zfidzzz

zf

C

=

>Mu? no es "igu"oso a#u@

C

zier0

emos"aci-n de la -"mula

ineg"al de *aucH. o" el

$"inci$io de deo"maci-n

de cono"nos


111/162

111

0C

C0z =

000

)()(

CC

dzzzzfdz

zzzf

2

0

1

0

0

0

0

0

0

0

00

0

)()(1)(

)()()()(

+

C

+

C

CC

dzzz

zfzfdzzz

zf

dzzz

zfzfzfdz

zz

zf

+

=

+=

====

2

00

2

000

1 211

0

idideirer

dzzz

+ i

C

i


112/162

112

=

00

02

)()(

Cdz

zz

zfzf+\amos a encon"a" una coa2L$a"a

02 rL =2

zzzfzf

zzzfzf = 0

0

0

0 )()()()(

Qenemos

N necesiamos O al #ue

a"a odo ; en *0 00 rzz =*omo (;) es coninua en ;

0


113/162

113

22)()(

0

00

02

0

=== rr2Ldzzz

zfzf+

C

Na $odemos a$lica" la desigualdad2L:$a"a

E$silon $uede se" an $e#ueUo como #ue"amos (de HecHo

"educi"lo es "educi" el "adio "0. Ds #ue 00 22 == ++

)(2

)()(1

)(

)(0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

1

0 zifdzzz

zfzf

dzzzzfdzzz

zf

+

C

i+

CC

=

+===

E&em$losE%alua" las siguienes ineg"ales

dz(1)

Ci


114/162

114

)(2)(

0

0

zfidz

zz

zf

C

=

C iz(1)

donde Ces el c"culo |z |G2

iz =01)( =zf

f(z) es analica en/ Cincluez0

1)( 0 =zf

/

iiz

dz

C

2=

+Cz

dz12

(2) donde Ces el c"culo |z)i |G1

En $"ime" luga", noemos #ue 1/(z2'1) $"esena

i+


115/162

115

)(2)(

0

0

zfidzzz

zf

C

=ecesiamos un ?"mino en la o"ma 1/(z5z0) as #ue "esc"iimos la

ineg"al como

$ g , # ( ) $

$unos singula"es enz Gi.El cono"no Cinclue uno de esos $unos,z G Ki.

Ese es nues"o $unoz0en la -"mula

Ci/

dziz

iz

iziz

dz

z

dz

CCC

+=

+=

+

1

))((12

i+dz

iz

iz

iziz

dz

z

dz

CCC

+=

+=

+

1

))((12


116/162

116

=+ Czdz12

)(2)(

0

0

zfidzzz

zf

C

=

iz =0

Ci

/

izzf

=

1)(

2/)( 0 izf =

E%alua"

donde Ces el c"culo |z 2i | G 4.

zdz

zC + 92


117/162

117

olucin=oloz ' 3i es den"o de C,

iz iz

z

z z 3392 +=+

enonces,3

)(=eaiz

zzf

+=

ii

iiifizd

iziz

z

zdz

zCC

===+=

+ 63

2)3(233

92

"o e&em$lo

+C

z

dziz

eE%alua" donde Ces cual#uie" cono"no ce""ado

coneniendoz ' 5i


118/162

118

)(2)(

0

0

zfidzzz

zf

C

=

+-"mula ineg"al de *aucH*

se con%ie"e en

i

C

z

iedz

iz

e =+

2

iz =0

C /


Czdz

14 Ci+

1 1+Qenemos #ue

dzdz

donde Ces el c"culo |z)i |G1


119/162

119

i ++= CC izizzzdz

z

dz

))()(1)(1(14

El cono"no Cinclue uno de esos $unos,z G 'i.

Ese es nues"o $unoz0en la -"mula

= CC

dziz

zfz

dz )(14 ))(1)(1(

1)(izzz

zf++

=donde

4)2)(1)(1(

1)()( 0

i

iiiifzf =

+

==DHo"a

2)(2

)(

10

0

4

==

zfidzzz

zf

z

dz

CC

C zdzz

1

an2 donde Ces el c"culo |z |G3/2

anzes no analica en /2, 3/2, , $e"o esos$unos esn ue"a de nues"o cono"no de

1


120/162

120

ineg"aci-n

Cinclue dos $unos singula"es,z G 1.a"a $ode" usa" la -"mula ineg"al de *aucH,

deemos ene" s-lo un $uno singula"z0den"o de C.

C

1+2/3 2/

Isa"emos "acciones $a"ciales

)1)(1(

)1()1(

111

12 +

++=+

+

= zz

zBzA

z

B

z

A

z

2/1,2/11

0)(==

==+

BABA

zBA

+= CCC

dzz

zdz

z

zdz

z

z

1

an

2

1

1

an

2

1

1

an2


121/162

121

C

1 1+ 2/

1an)(

an)(

1

0

0

=

=+=

zf

zzf

z

)1an()(

an)(

1

0

0

=

==

zf

zzf

z

[ ] iidzzz

C

785.9)1an()1an(2

12

1

an2 =


122/162

122


123/162

123


124/162

124


125/162

125


126/162

126

n

=e $ueden "aa" unciones ms com$licadas con $oencias dez5z0,

con la -"mula

eneralizacin de la frmula integral de Cauc-y


127/162

127

( )0

!2)( 1

0 z

n

C

n dzfd

nidz

zzzf = +

o" e&em$lo,

oa cuando nG0 enemos la

+-"mula neg"al de *aucH 0)(2

)(

0z

C

zfidzzz

zf=

( )[ ]

( )[ ]

==

=

=+

C zzC dz

zdidz

z

z

dz

zzdidz

z

zz

2

2

2

3

1

2

2

2

00

cos

2

cos,

32

1

3

fanalica en den"ode C,z0den"o de C

Esa -"mula ami?n es conocida como la o"mula $a"a las

de"i%adas de una unci-n analica.

a"amos de la -"mula ineg"al de *aucH =C

dzzz

zf

izf

0

0

)(

2

1)(

emos"aci-n de la gene"ali;aci-n dela -"mula ineg"al de *aucH


128/162

128

( )0

!2)(

1

0 z

n

n

C

n dzfd

nidz

zz

zf = +

Qomandof$z0%como una unci-n de %a"iale ;0. e"i%andocon "es$eco az0 a$licando la "egla de eini;

( )

=

=

=

C

C

C

dzzz

zf

i

dzzzdz

dzf

i

dz

zz

zf

idz

dzf

dz

d

2

0

00

00

0

0

)(

2

1

1)(

2

1

)(

2

1)(

Isa" el mismo$"ocedimieno $a"a

demos"a" $o" inducci-n

a gene"ali;aci-n de la -"mula ineg"al de *aucH nosmues"a algo ece$cional

i una funcin f0z5 es analtica en cierto dominio, entonces


129/162

129

posee derivadas de todos los rdenes en dic-o dominio. 7

estas derivadas son a su vez tam8i9n analticas en el

dominio.

=ea (;) una unci-n deinida en odo $uno de un eno"no de ;0. =i (;)

no es analica en ;0es im$osile encon"a" una unci-n +(;) al #ue

d+/d; G (;) en odo $uno del eno"no. e eisi" +(;) se"a analica

$o" la -"mula gene"ali;ada de *aucH, su segunda de"i%ada d/d;

eisi"a en odo $uno del eno"no conside"ado. N enonces (;) se"aanalica en ;0 una con"adicci-n.

E&em$loE%alua" la ineg"al

z

dze

donde Ces el c"culo |z |G2

C


130/162

130

)(2

)(

)(02

0

zfidz

zz

zf

C

=

Cz2

00=

zsea

zezf =)(sea

f(z) es analica en/, Cincluez0

==

=0

0 )(

)(

ezf

ezf z

/

iz

dze

C

z2

22

=

E&em$loE%alua" la ineg"al

( )dz

z2donde Ces el c"culo |z |G2

C


131/162

131

)(

2

2

)(

)(03

0

zfi

dz

zz

zf

C

=

( ) C iz3

iz

=0sea

2)( zzf =sea

f(z) es analica in/, Cincluez0

2)(

2)(

0 ==

zf

zf

/

iiz

dzz

C

2)( 3

2

=

Calcular

donde C es la circunferencia con sentido positivo.

( ) +Cz

dziz

e

32

3=z

( )

z

d

e

+ 3


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132

( )

( )

( )

( )i

C

z

i

iz

C

n

n

C

ie+i

+dziz

ei

e

ezfezfiz

siendo

dz

zz

zf

i

nzf

dziz+

23

2

2

00

1

0

0

)(

3

22!2

)()(L2

,)(

2

!

2

+

==+=

===

=

+=

Examen

/:;I< &'(&)* !+


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133


134/162

134


135/162

135


136/162

136


137/162

137


138/162

138


139/162

139


140/162

140


141/162

141


142/162

142


143/162

143


144/162

144


145/162

145


146/162

146


147/162

147

esumen

0)( dzzf f ( ) li d C

(1)

(2)

)()()( 01

1

0

zFzFdzzf

z

z

= donde )(zfdzdF =F (z) analica en un dominio sim$lemene coneo/,

con de"i%ada d+/d; G (;) z0z1en/1


148/162

148

0)( =C

dzzf conf (z) analica den"o so"e C1

)(2)(

0zifdzzz

zf

C o= conf (z) analica den"o so"e C(3)

( Qeo"ema ineg"al de *aucHKJou"sa )

(+-"mula ineg"al de *aucH )

conf (z) analicaden"o so"e C(4)

( +-"mula $a"a de"i%adas )

(2)

( )0

!

2)(1

0 z

n

n

C

n dz

fd

n

idzzz

zf

= +

Ejercicios: /emostrar

(1) El teorema de #orera

=if(z) es coninua en un dominio sim$lemene coneo / si 0)( =C

dzzf

$a"a cual#uie" camino ce""ado en/, enoncesf(z) es analica en/


149/162

149

(2) a desigualdad de Cauc-y

n

n

r

2nzf

!)(

0

)(

0z

r

C2zf en)(

C

("oa"lo usando la -"mula $a"a las de"i%adas de una unci-n analica

la desigualdad2L)

(3) El teorema de =iouville

=i una unci-n ene"af(z) es acoada en %alo" asoluo $a"a odoz, enonces

f(z) dee se" consane W $"oa"lo usando la desigualdad de *aucH.


150/162

150

esigualdad de *aucH

] =i omamos el cono"no ci"cula" C:|z z0| G r, uili;ando la

gene"ali;aci-n de la -"mula ineg"al de *aucH la

desigualdad O


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151

g

donde |f(z)| 2$a"a odos los $unos de C.nn

C n

n

r

2nr

r2

n

zd

zz

zfnzf

!2

1

2

!)(

)(

2

!|)(|

1

1

0

0)(

=

=

+

+


152/162

152

Taciendo nG 1 en la desigualdad de *aucH, enemos #ue |

f F(z0)| 2"r. Qomando ra"i"a"iamene la"go, $odemos Hace"#ue |f F(z0)| sea an $e#ueUo como #ue"amos |f F(z0)| G 0. e

modo #uefes una unci-n consane.

Qeo"ema de iou%ille


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153

# f


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154


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155


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156


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157

Eercicio2 !ea la $unci%n entera tal #ue:

.on la a,uda del teorema de Liouille o"tener la ex'resi%n general de f(z)2

Czezf z < ,)(

Respuesta


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Respuesta.

Cze

zfCzezf

z

z


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159


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160


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161


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Integracion Unmasm-fiee 2015