Integración Y Optimización Monte Carlo

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  • 5/23/2018 Integracin Y Optimizacin Monte Carlo

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    Integracin yOptimizacin Monte Car

    Modelos y SimulacinM&S

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    Integracin Monte Carlo

    Se conocen como mtodos de Monte Carlo a mtodos ebasados en el muestreo aleatorio y que usan la computacional como tcnica de solucin

    La integracin Monte Carlo es un mtodo de integracinque utiliza la simulacin para resolver integrales para las existe una solucin analtica o de forma cerrada.

    Funciona mejor que otras tcnicas de solucin numrica de(como el mtodo de Simpson, o la regla trapezoidal) para de mayor dimensin.

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    Integracin Monte Carlo

    Sea

    una funcin y suponga que queremos calcular

    Sies una variable aleatoria con densidad , entonces la matemtica de la variable aleatoria es:

    Si se tiene disponible una muestra aleatoria de la distribuciestimador insesgado de es la media muestral.

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    Estimador Simple de Monte Carlo

    Considere el problema de estimar

    .

    Si, es una muestra aleatoria uniforme(0,1), entonces

    1

    =

    Converge a con probabilidad 1.

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    Lmites de Integracin (0,1)Ejem

    Calcule el estimador MC de:

    y compare su estimador con el valor exacto.

    Calculemos el valor exacto: ] 1.Y ahora utilizando MC:

    m

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    Lmites de Integracin (0,1)

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

    x

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    0.00 0.11 0.22 0.28 0.36 0.50 0.57 0.67

    x

    2 0 1 0 0

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    Lmites de Integracin (0,1)EjerPropuesto

    Calcule el estimador MC de: 1

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    Lmites de Integracin Generales

    Opcin A: Se realiza un cambio de variables de (a, b) a (0, 1)

    La transformacin lineal es:

    Substituyendo,

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    Lmites de Integracin Generales

    Opcin B: Se reemplaza la densidad uniforme (0, 1) con cua

    densidad vlida en los lmites de integracin (a, b)

    1

    Por consiguiente, la integral es veces el valor promedsobre , .

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    Lmites de Integracin (,)EjeCalcule el estimador MC de:

    y compare su estimador con el valor exacto.

    Calculemos el valor exacto: ] .Y ahora utilizando MC:

    m

  • 5/23/2018 Integracin Y Optimizacin Monte Carlo

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    Algoritmo para Integracin Simpl

    Considere el problema de estimar 1. Generar , , iid de una Uniforme , 2. Calcular = 3. Se retorna

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    Lmites de Integracin (,)Ejercicio Propuesto

    Calcule el estimador MC de: sin 0,2 + 1,1

    cos , 3

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    Clculo del Error Estndar de La varianza de es donde .Cuando la distribucin de es desconocida, se sustituye por la demprica de la muestra por lo que se puede realizar la siguiente es

    1

    =

    Y el error estndar sera:

    1

    =

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    Intervalo de Confianza paraEstimadores MCEl teorema del lmite central implica que:

    Converge a una 0,1 cuando . Este hecho puedepara poner lmites de confianza a las estimaciones realizadas

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    Reduccin de la Varianza

    Cuando se usa MC, los estimadores obtenidos varansimulacin a otra.

    Se desea reducir esta variabilidad para aumentar la conestimador.

    Cmo hacerlo?

    Incrementar el valor de , el nmero de repeticiones. Utilizar tcnicas de reduccin de varianza.

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    Incrementar el Nmero deSimulacionesSi tenemos una cota mxima para el error estndar de , se puedenmero de rplicas necesarias como:

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    Integrales MltiplesPara calcular la cantidad

    ,

    Utilizamos el hecho que , , Con , , independientes y uniformes en 0,1 Si , ,

    , ,

    , , Son muestras independientes de estas variables, podemos estimar

    1 , ,

    =

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    Integrales MltiplesEjemplo

    Calcule el estimador de MC de:

    , + 0,1 0,1

    O ti i i d M t C l B

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    Optimizacin de Monte Carlo. Bsqualeatoria pura.

    Supongamos que se desea minimizar una funcin como:

    Calculando la derivada y hallando las races:

    mnimo local mximo local mnimo global

    {0, 5/12 ,1}

    5.1,5.0con245

    3617

    4)( 23

    4

    xxf xxx

    0 . 5 0 . 5 1 1 . 5

    - 0 . 0 1

    0 . 0 1

    0 . 0 2

    0 . 0 3

    0 . 0 4

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    Soluciones

    Esta es un funcin simple, que puede resolverse a simple visel clculo manual.

    Pero no todas las funciones son as, incluso algunas no sonderivables

    Y entonces??

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    Soluciones

    Existen varios algoritmos de optimizacin que me permiten el mnimo o el mximo de una funcin, aunque muchas veca caer en ptimos locales.

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    SolucionesLa simulacin brinda otra posibilidad, que permitetambin tratar problemas con funciones no

    diferenciables, e incluso buscar directamente ptimoglobales.

    Mtodos de Optimizacin de Monte Carlo

    (la variante ms sencilla es la Bsqueda Aleatoria Pu

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    Bsqueda Aleatoria Pura

    Este mtodo se basa en generar los valores de la X aleatoriaevaluando la funcin y comparando el resultado en cada itepara quedarse con el valor de la funcin ms ptima (VerEjemploMonteCarlo.xlsx).

    Algoritmo de Bsqueda Aleatoria

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    Algoritmo de Bsqueda AleatoriaPura.

    Algoritmo para determinar minx[a,b]f(x) con N nmealeatorios

    Inicializar i=0;fmin=.

    Mientras i

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    Ejercicio Propuesto:

    1 - 0 . 5 0 . 5 1

    - 0 . 2

    0 . 2

    0 . 4

    0 . 6

    0 . 8

    Busque el mnimo global para la funcin en elintervalo [1,1]

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    Ejercicio propuesto

    Encontrar el mnimo global de la funcin

    () 60 900100en el intervalo(1,40)

    a) Hgalo generando 30 nmeros aleatoriosb) Hgalo generando 100 nmeros aleatorios.

    c) Hgalo generando 500 nmeros aleatorios.

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    Ejercicio propuesto

    Encontrar el mximo global de la funcin

    sin en el intervalo (1,1)

    a) Hgalo generando 30 nmeros aleatorios

    b) Hgalo generando 100 nmeros aleatorios.

    c) Hgalo generando 500 nmeros aleatorios.

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    Ejercicio propuesto

    Encontrar el mximo global de la funcin

    en el intervalo (2,1)

    a) Hgalo generando 30 nmeros aleatorios

    b) Hgalo generando 100 nmeros aleatorios.

    c) Hgalo generando 500 nmeros aleatorios.

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    Problemas de OptimizacinCombinatoria

    El problema del agente viajero es un problema de

    optimizacin combinatoria que tambin puede serresuelto con mtodos de Monte Carlo

    Cmo puede con el mtodo de bsqueda aleatoria pur

    resolver este tipo de problemas?

    Propuesto: Intente hacerlo en Excel

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    Ejemplo

    Resuelva el problema del agente viajero, partiendo d

    la ciudad 1, con la siguiente matriz de distancias

    Matriz de distancias entre las 5

    ciudades

    1 2 3 4 5

    1 0 3 3 2 5

    2 3 0 2 3 4

    3 3 2 0 5 1

    4 2 3 5 0 4

    5 5 4 1 4 0

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    Ejercicio Propuesto

    Resuelva el problema del agente viajero, partiendo

    del DC, con la siguiente matriz de distancias