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Integrais Triplas
Jorge A. R. Durán D.Sc., Professor Adjunto
UFF – TMI – Volta Redonda [email protected]
versão: dezembro de 2004
Introdução:
Uma integral tripla envolve uma função f(x,y,z) e um sólido S do espaço tridimensional. Para resolve-la é necessário varrer completamente o interior do sólido na ordem mais adequada e identificada pela posição dos diferenciais na integral. Pela dificuldade em plotar e visualizar superfícies em 3D, não resulta incomum encontrar uma grande dificuldade entre os estudantes para definir a ordem e conseqüentemente os limites de integração. Felizmente hoje em dia existem programas de computador que permitem plotar estas superfícies e visualizar o sólido em que estamos integrando. Alguns autores chamam estes programas de Sistemas de Computação Algébrica (SCA) e as suas aplicações não se limitam, é claro, a plotar gráficos em 3D. Dentre estes programas os mais conhecidos são o MapleTM, MathLab, MathCad, Mathematica, e outros. Este material apresenta diversos exemplos de cálculo de integrais triplas mostrando em cada caso o sólido correspondente (desde um ou dois ângulos) com auxílio do MapleTM 6.0. Dúvidas e comentários sobre este e outros materiais disponíveis na página do autor http://www.professores.uff.br/duran/, bem como alunos interessados em colaborar, são sempre bem vindos.
Exemplos
1. Calcule a Integral tripla de f(x,y,z)= sqrt(x2+y2) onde S é o sólido dentro do cilindro r = 1 e entre as superfícies 0 ≤ z ≤ sqrt(x2+y2) (Figura 1).
Figura 1 - Sólido dentro do cilindro r=1 e entre as superfícies 0 ≤ z ≤ sqrt(x2+y2). A superfície z = sqrt(x2+y2) (sqrt são as siglas de square root que significa “raiz quadrada” e que é utilizada na maioria dos programas disponíveis) é um cone invertido com vértice na origem. Em coordenadas cilíndricas é z=r. Podemos resolver esta
integral em coordenadas cartesianas ou cilíndricas. Podemos também tirar vantagem da simetria do sólido multiplicando por 2, ou incluso por 4, como demonstrado abaixo.
= 2 d⌠⌡
-1
1
d⌠⌡
0
− 1 x2
d⌠⌡
0
+ x2 y2
+ x2 y2 z y x12
π
= 4 d⌠⌡
0
/1 2 π
d⌠⌡
0
1
d⌠⌡
0
r
r2 z r θ12
π = d⌠⌡
0
2 π
d⌠⌡
0
1
d⌠⌡
0
r
r2 z r θ12
π
2. Calcule o volume do sólido dentro do cilindro y = 1 – x2 e entre as superfícies
0 ≤ z ≤ y (Figura 2).
Figura 2 - Sólido dentro do cilindro y = 1 – x2 e entre as superfícies 0 ≤ z ≤ y.
= d⌠⌡-1
1
d⌠⌡0
− 1 x2
d⌠⌡0
y
1 z y x815
3. Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro y = 4 - x2 e
os planos z = x, y = 0 e z = 0 (Figura 3)
Figura 3 - Sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro y = 4 - x2 e os planos z = x, y = 0 e z = 0.
Jorge A. R. Durán Página 2 16/12/2004
= d⌠⌡0
2
d⌠⌡0
− 4 x2
d⌠⌡0
x
1 z y x 4
4. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 – x2 – y2
(Figura 4).
Figura 4 - Sólido limitado pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 – x2 – y2. Encontramos a equação (neste caso uma elipse, Figura 5) da curva no plano xy que representa a projeção vertical da superfície de união do sólido, igualando a coordenada z de ambos parabolóides:
= y12
− 8 2 x2
= y −12
− 8 2 x2
Figura 5 - Projeção vertical da superfície de união entre os dois parabolóides da figura 4. Aproveitando a simetria do sólido temos:
= 2 d⌠⌡-2
2
d⌠⌡0
/1 2 − 8 2 x2
d⌠⌡
+ x2 3 y2
− − 8 x2 y2
1 z y x 8 π 2
Jorge A. R. Durán Página 3 16/12/2004
5. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos z = 0, z = 1, x + y = 0,
x + y = 1, x – y = 0, x – y = 1 (Figura 6).
Figura 6 - Sólido limitado pelos planos z = 0, z = 1, x + y = 0, x + y = 1, x – y = 0, x – y = 1. É claro que o volume desta caixinha de lado sqrt(1/2) e altura 1 é 1/2, mas devemos demonstrar isto com integrais triplas. A projeção vertical destes planos é (Figura 7):
Figura 7 – Projeção vertical dos planos que limitam o sólido da figura 6. Não é possível varrer toda a região com uma única integral, dai a seguinte expressão:
= + d⌠⌡0
.5
d⌠⌡−x
x
d⌠⌡0
1
1 z y x d⌠⌡.5
1
d⌠⌡ − x 1
− 1 x
d⌠⌡0
1
1 z y x .50
6. Calcule o volume do sólido dentro do cilindro x2 + y2 ≤ 4 e entre as superfícies
-4 ≤ z ≤ xy (Figura 8).
Jorge A. R. Durán Página 4 16/12/2004
Figura 8 - Sólido dentro do cilindro x2 + y2 ≤ 4 e entre as superfícies -4 ≤ z ≤ xy. Como o sólido é simétrico em relação a um eixo, preferimos coordenadas cilíndricas:
= d⌠⌡0
2 π
d⌠⌡0
2
d⌠⌡-4
r2 ( )cos θ ( )sin θ
r z r θ 16 π
7. Calcule o volume do sólido entre os parabolóides z = - x2 - y2 e z = x2 + y2, e o
cilindro x2+ y2 = 4 (Figura 9).
Figura 9 - Sólido entre os parabolóides z = - x2 - y2 e z = x2 + y2, e o cilindro x2+ y2 = 4. Este caso também se simplifica muito utilizando coordenadas cilíndricas:
= d⌠⌡0
2 π
d⌠⌡0
2
d⌠⌡
− − r2 ( )cos θ 2 r2 ( )sin θ 2
+ r2 ( )cos θ 2 r2 ( )sin θ 2
r z r θ 16 π
Em coordenadas cartesianas a integral fica:
= d⌠⌡-2
2
d⌠⌡
− − 4 x2
− 4 x2
d⌠⌡
− − x2 y2
+ x2 y2
1 z y x 16 π
Jorge A. R. Durán Página 5 16/12/2004
8. Calcule o volume do sólido limitado acima pelo plano z = x e abaixo pelo parabolóide z = x2 + y2.(Figura 10).
Figura 10 - Sólido limitado acima pelo plano z = x e abaixo pelo parabolóide z = x2 + y2. A equação da curva (neste caso um círculo, Figura 11)que representa a projeção da superfície de união no plano xy se obtém igualando as coordenadas z das duas superfícies:
= y − x x2
= y − − x x2
Figura 11 – Círculo em xy que representa a projeção das fronteiras do sólido da figura 10. Resolvendo em coordenadas cilíndricas temos:
= d⌠⌡0
π
d⌠⌡0
( )cos t
d⌠⌡
r2
r ( )cos t
r z r t132
π
9. Calcule o volume do sólido formado pela interseção dos cilindros x = z2 e
y2 + 9 x = 9 (Figura 12).
Jorge A. R. Durán Página 6 16/12/2004
Figura 12 - Sólido formado pela interseção dos cilindros x = z2 e y2 + 9 x = 9.
= d⌠⌡-3
3
d⌠⌡0
− 1 /1 9 y2
d⌠⌡
− x
x
1 z x y32
π
10. Um buraco cilíndrico de raio a é furado através do centro de uma esfera sólida de
raio 2a. Calcule o volume do buraco (Figura 13).
Figura 13 – Esfera furada por um cilindro com metade de seu raio. Nos gráficos consideramos a=1 unidade, apenas para efeitos de visualização das escalas. A resposta, é claro, está em função de a.
= 2 d⌠⌡0
2 π
d⌠⌡0
a
d⌠⌡0
− 4 a2 r2
r z r θ43
π a3 ( ) − 8 3 3
11. Calcule o volume da região no interior do cilindro r = a sen (θ) limitada acima
pela esfera x2 + y2 + z2 = a2 e abaixo pela metade superior do elipsóide x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 (b<a) (Figura 14).
Jorge A. R. Durán Página 7 16/12/2004
Figura 14 - Região no interior do cilindro r = a sen (θ) limitada acima pela esfera x2 + y2 + z2 = a2 e abaixo pela metade superior do elipsóide x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 (b<a). Nos gráficos, apenas para visualizar as escalas, consideramos a=1 e b=0.4. A metade superior da esfera tem como equação em coordenadas cilíndricas:
:= z − a2 r2
e a equação da metade superior do elipsóide, também em coordenadas cilíndricas é:
:= zb − a2 r2
a
Estes são os limites em z. Devemos ter cuidado com os limites da região plana R, que neste caso corresponde também a uma circunferência mas cujo centro não coincide com o pólo (Figura 15). Para varrer esta região utilizamos um diferencial de área da=rdrdθ com 0 ≤ r ≤ a sen (θ) e 0 ≤ θ ≤ π.
Figura 15 – Função r = a sen (θ) (com a = 1 e.g.) no plano xy.
= d⌠⌡0
π
d⌠⌡0
a ( )sin θ
d⌠⌡
b − a2 r2
a
− a2 r2
r z r θ13
π a3
− 1
ba
Jorge A. R. Durán Página 8 16/12/2004