Integral Definida

1

Partición de un intervalo [ a , b ]

Def.- Dado un intervalo real [ a, b], se llama partición de [a, b] a cualquier colección finita P={x0, x1, ...... , xn}, de puntos de [ ],a b , tal que:

x0 = a

xn = b

x0 x1 · · · · xn

2

Notas

Una partición P={x0, x1, ...... , xn} divide el intervalo original [a,b] en n subintervalos de la forma [ ],x i 1 xi .

Es decir, particiona a [a, b] en los subintervalos

[ x0, x1] , [ x1, x2] , . . . , [ x n 1, xn]

3

Norma de una Partición

Se representa con xi a la longitud xi x i 1 del subintervalo [ ],x i 1 xi

A la mayor de las longitudes xi, i { 1, 2, . . . n }, se llama norma de la partición P, se escribe como P . Así,

P = máx { x1 , x2 , . . . xn }

4

Refinamiento

Si P y P' son particiones de [a, b], se dice que P' es un refinamiento de P (o es más fina que P) si cada punto partición en P también es punto partición en P'. ( Escribiremos P´ P para indicar que P´ es un refinamiento de P) .

Se verifica : P´ P

5

Definición de sumas superior e inferiorSea f una función acotada en [a, b] , P una partición de [a, b], y sea

mi = inf {f ( x ): x i 1 x xi } Mi= sup { f( x ): x i 1 x xi }

La suma inferior de f en relación a P, se define como

( )L ,P f i 1

n

mi xi

La suma superior de f en relación a P, se define como

( )U ,P f i 1

n

Mi xi

6

Interpretación geométricaSea f una función continua tal que 0 ( )f x , y sea P una partición [ ],a b .

Suma Inferior La suma inferior de f en relación a P se puede interpretar como la suma del área de los rectángulos inscritos a la región bajo la curva y ( )f x entre x a y x b

7

Suma Superior

La suma Superior de f en relación a P se puede interpretar como la suma del área de los rectángulos circunscritos a la región bajo la curva y ( )f x entre x a y x b

8

Nota:

Notar que una definición de área A de la región bajo la curva y ( )f x entre x a y x b debe verificar

( )L ,f P A ( )U ,f P

Idea gráfica

9

Ejemplo

Consideremos la función ( )f x x3 x 10 sobre el intervalo [-1, 4].> plot(f(x), x=-1..4);

Dividamos el intervalo [-1, 4] en algún número de subintervalos, y entonces tracemos rectangulos sobre cada subintervalo cuyas alturas corresponde al mayor y al menor valor que asume f(x) en el correspondiente subintervalo

10

Primero consideremos la partición P de [-1, 4] que divide a este en 5 subintervalos de igual longitud> rightbox(f(x), x=-1..4, 5);#Sumas superiores

11

> leftbox(f(x), x=-1..4, 5);#Sumas Inferiores

12

Ahora particionemos [-1, 4] en 10 subintervalos de igual magnitud> rightbox(f, x=-1..4, 10);#Sumas Superiores

13

> leftbox(f(x), x=-1..4, 10);#Sumas Inferiores

14

> rightbox(f(x), x=-1..4, 20);#Sumas Superiores

15

> rightbox(f(x), x=-1..4, 40);#Sumas Superiores

16

Notas:

Si m y M son, respectivamente, el infimo y el supremo de f en [a, b], y sea P una partición cualquiera de entonces [a, b], entonces

( )m b a ( )L ,P f ( )U ,P f ( )M b a

17

Si P y P´ son dos particiones de [a, b] tal que P´ P entonces

( )L ,P f ( )L ,P´ f ( )U ,P´ f ( )U ,P f

18

Ejemplo

Sea ( )f x x2 , x [ 0 , 2 ] , y consideremos la partición

P={ 0, 0.7, 1.2, 1.6, 1.8, 2} de [0 , 2]. Se desea encontrar la suma superior y la suma inferior de f en relación a P.

19

Solución . P : [0, 0.7 ], [0.7, 1.2 ], [ 1.2, 1.6], [ 0.6, 1.8], [1.8, 2 ] Como f es creciente entonces:

mi : 0 , 0.49, 1.44 , 2.56, 3.24 Mi : 0.49, 1.44 , 2.56, 3.24, 4

xi: 0.7, 0.5, 0.4, 0.2 , 0.2

L( P, f)=0*0.7+0.49*0.5+1.44*0.4+2.56*0.2+3.24*0.2=1.981

U( P, f)=0.49*0.7+.44*0.5+2.56*0.4+3.24*0.2+4*0.2=3.535

20

Interpretación gráfica.

Suma inferior como el área de la región sombreada

21

Sumas de RiemannSea f una función acotada sobre [ ],a b , y sea P una partición arbitraria de [ ],a b . Llamaremos Suma de Riemann de f, respecto de la partición P, a toda suma

( )S ,P f i 1

n( )f ci i x

donde ci es un punto cualquiera en el subintervalo [xi 1, xi]

generado por la partición P

22

Notas

Si f es continua sobre [ ],a b , y si P una partición cualquiera de [ ],a b , entonces se verifica: 1.- ( )L ,P f y ( )U ,P f son sumas de Riemann para f respecto de P.

2.- ( )L ,P f ( )S ,P f ( )U ,P f 23

Si f es una función acotada sobre [ ],a b , entonces:

1.- El conjunto de todas las sumas inferiores L(P,f ) es acotado superiormente (luego tiene supremo).2.- El conjunto de todas las sumas superiores U(P,f) es acotado inferiormente (luego tiene infimo).

24

Definición (Función integrable).

Sea f una función acotada en un intervalo , se dice que f es integrable sobre [a,b] si

sup { L( P, f) / P P[a,b]} = inf {U( P, f) / P P[a,b]},

donde P[a,b] denota el conjunto de todas las

particiones de [ ],a b

25

Notas:

- Al valor común se denomina Integral Definida

de f de a a b, y se denota con da

b( )f x x.

- Los números a y b del simbolo da

b( )f x x se

denominan límite inferior y superior de integración.

26

- La integral definida da

b( )f x x es un número real

que depende únicamente de f , a y b.

- La variable x que aparece en la integral es una variable "neutra"; puede ser reemplazada por cualquier otra variable. Así,

da

b( )f x x = d

a

b( )f t t = d

a

b( )f u u

27

Ejemplo.-

La función definida sobre [a, b] por f(x) = K , con K constante, es integrable sobre [a, b] y se verifica

da

b( )f x x = K( b - a)

Desarrollo. ( clase)

28

Nota . Se prueba que la función f, definida por ( )f x x es integrable sobre [a, b] y se verifica:

d

a

b

( )f x x = b2 a2

2

29

Condición de Riemann

Teorema:

Sea f una función acotada en un intervalo [ ],a b .f es integrable en [ ],a b si, y solo si, dado > 0 existe una partición P de [ ],a b tal que

( )U ,P f ( )L ,P f

30

Idea gráfica

U(P,f) L(P,f)

( )U ,P f ( )L ,P f (n=6)

31

Consecuencias

32

Si f es continua en [a,b], entonces f es integrable sobre [a,b].

33

Si f es continua en [a,b] excepto, posiblemente, para un conjunto finito de puntos en los cuales tiene una discontinuidad de salto finito , entonces f es integrable sobre [a,b].

34

Sea f es continua en [a,b], g definida y acotada en [a,b], y solo difiere de f en un número finito de puntos, entonces g es integrable sobre [a,b] y se verifica:

da

b( )g x x d

a

b( )f x x

35

DefiniciónSi f es una función integrable sobre [a , b], se conviene en definir:

da

a( )f x x = 0

db

a( )f x x = - d

a

b( )f x x

36

Algunas Propiedades Básicas

37

1.- Si f y g son integrables en [a, b] y es una constante real cualquiera, entonces f + g , f y f g son integrable en [a, b], y si ademas ( )g x 0 en [a, b] entonces f / g tambien es integrable en [a, b]. Se verifica:

(i) da

b ( )f x x = d

a

b( )f x x

(ii) da

b( )f x ( )g x x = d

a

b( )f x x + d

a

b( )g x x

Dem.

38

2.- Si f y g son dos funciones integrables sobre [a,b], tal que ( )f x ( )g x para todo x [a,b] entonces:

da

b( )f x x d

a

b( )g x x

En particular, si g es integrable sobre [a,b] y 0 ( )g x para todo x [a,b], entonces

0 da

b( )g x x

39

3.- Si f es integrable sobre [a,b], entonces | f | también es integrable sobre [a,b] y se verifica:

da

b( )f x x d

a

b( )f x x

40

4.- Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sea c un punto de [a,b]. Se verifica :f es integrable sobre [a,b] si, y solo si, lo es sobre [a,c] y sobre [c,b]. En tal caso

da

b( )f x x = d

a

c( )f x x + d

c

b( )f x x

41

5.- Si f es una función integrable sobre un cierto intervalo que contiene a los puntos a, b, c, entonces se verifica:

da

b( )f x x = d

a

c( )f x x + d

c

b( )f x x

42

43