Cálculo Diferencial e Integral IV

ProfessoraProfessora: Maria Beatriz Menezes Castilhos

Integrais DuplasIntegrais Duplas

f :IR2IR contínua noretângulo R = [a,b] x [c,d]y

ba x

d

c

RR

f 0 em RQ = { (x,y,z) | (x,y) R e 0 z

f(x,y)}

x

y

z QQ

RR

Volume de QQ = V = ?

Partição de R

xi

xba x

d

c

RRy

x1 x2 xi-1

y1

y2

yj-1

yjy

RRijij

(x(xijij , y , yijij))

V =

x

y

z QQ

RR

f (xij , yij)

(xij , yij )

Vij

m

1jijij

n

1in,mA)y,x(flim

Integral Dupla de f sobre o Integral Dupla de f sobre o retângulo Rretângulo R

R

dA)y,x(f

m

1jijij

n

1in,mA)y,x(flim

R

dA)y,x(fV

Cálculo da Integral DuplaCálculo da Integral DuplaIntegrais IteradasIntegrais Iteradas

d

c

b

a

b

a

d

cR

dydx)y,x(f

dxdy)y,x(fdA)y,x(f

Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas1) Regiões inscritas em faixas verticais

D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }

x

y

0 bay = g1(x)

y = g2(x)DD

Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas1) Regiões inscritas em

faixas horizontais

D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }

x

y

0

d

c

x = h1(y)

x = h2(y)DD

Propriedades das Integrais Duplas Propriedades das Integrais Duplas

DD

dA)y,x(fcdA)y,x(cf

21 DDD

dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f

DD

D

dA)y,x(gdA)y,x(f

dA)]y,x(g)y,x(f[

Massa e Centro de Massa de uma Massa e Centro de Massa de uma LâminaLâmina

(x,y) : densidade no ponto (x,y)D : local ocupado pela lâminam : massa da lâmina

D

dA)y,x(m

Centro de Massa : (X,Y)Centro de Massa : (X,Y)

onde XX = My/m e YY = Mx/m

para :

e

D

x dA)y,x(yM

D

y dA)y,x(xM