Embed Size (px)
Citation preview
Exemple 1o f : [0, ∞) → R, cu ( ) 2
11
f xx
=+
şi y = 0 asimptotă orizontală.
( )
Aria de calculat este reprezentată prin:
2 00arctg arctg
1u udxy
u x ux
= = = ⇒+∫A
( )lim lim arctg2
Ru u
u→∞ →∞
π= = ∈A= A u
o f : [0, 1) → R,
2 ( )2
11
f xx
=−
are
şi dreapta x =culat:
x = 1 punct singular 1 asimptotă la graficul lui f; aria de cal
( ) 020arcsin arcsinA u
u udx1
x u= = =∫ x−
( )1 1
1
lim lim arcsin2
Ru uu
u→ →<
π= = ∈A= A u
0
(0,1)
M(u,0) x
M(u,0)
x
0 x = 1
y
Observaţie:
Schimb ă ( ) ( ) ( ) cu t c a
x t tc t−
= ϕ ϕ =−
unde : area de variabil
[ ) [ ) [ )( )1: , , şi ,a c a C a cϕ → ∞ ϕ∈ aplică intervalul necompact [a, c) pe
, ∞). Din acest motiv, vom stu
[a dia o integrală improprie de un singur
tip ori f : [a, ∞)→R cu interval de integrare nemărginit (tip I); ori
f : [a, c)→R cu funcţia de integrat nemărginită în x = c (punct singular al
lui f) (tip II).
530
531
1. Integrale improprii. Proprietăti generale. De
R este local integrabilă pe I, dacă şi numai dacă,
∀a, b∈
e [a, ∞), dacă şi
numai
gular) este local
integra
1. Func , mărginită este local integrabilă pe I, dacă şi numai
local integrabilă pe [a, ∞), atunci pentru
finiţia VII.2.
1) Funcţia f: I →
I cu a < b, f este inegrabilă Riemann pe [a, b] ⊆ I.
2) Funcţia f : [a, ∞) → R este local integrabilă p
dacă, ∀u > a, f este integrabilă pe [a, u]⊂ [a, ∞) .
3) Funcţia f : [a, c) → R (cu x = c punct sin
bilă pe [a, c), dacă şi numai dacă, pentru ∀u > a, f este integrabilă
pe [a, u]⊂ [a, c).
Observaţii:
ţia f : I → R
dacă, f este continuă a.p.t. pe I.
2. Dacă f : [a, ∞) → R este
∀ u > a, cu u variabil îi asociem lui f integrala Riemann
(VII.10) ( ) ( )notu
af x dx F u=∫
numită integrală parţială.
u f : (−∞, b] → R, local integrabilă se asociază
pentru
cazul f : R → f local integrabilă pe R, se asociază pentru
∀u, v∈
În mod analog pentr
∀ v < b cu v variabil, integrala parţială:
(VII.10') ( ) ( )not b= ∫ .
vG v f x dx
În R,
R, cu v < u variabili, integrala parţială:
(VII.10") ( ) ( ), .notu
vf x dx H u v=∫ .
532
efiniţia VII.3.
1] Fie f l integrabilă şi ∀u > a variabil. Dacă există limita
D
: [a, ∞) → R loca
finită
(VII.11) ( ) ( ) ( )1 1lim lim ,notu
au ua
f x dx F u I f x dx I∞
→∞ →∞= = = ∈∫ ∫ R
atunci spunem că, integrala improprie ( )a
f x dx∞
∫ este convergentă sau
că are sens în R şi valoarea ei este I1.
stă sau este infinită, integrala
improprie
Dacă limita (VII.11) nu exi
( )a
f x dx∞
este divergentă sau nu are sens. ∫
2] Fie f : (−∞, b] local integrabilă şi ∀v < b variabil. Dacă există limita
finită
(VII.12) ( ) ( ) ( )2 2lim lim ,bnotb
vv vf x dx G V I f x dx I
→−∞ →−∞−∞
= = = ∈∫ ∫ R
atunci spunem că, integrala improprie ( )b
f x dx−∞∫ este convergentă sau
că are sens în R şi valoarea ei este I2.
stă sau este infinită, integrala
improprie
Dacă limita (VII.12) nu exi
( )b
f x dx este divergentă sau nu are sens. −∞∫
3] Fie f : R → R local integrabilă şi ∀u, v ∈ R variabili cu v < u. Dacă
vv vu u
dx H u v I f x dx I∞
→−∞ →−∞−∞→+∞ →+∞
există limita finită
(VII.13) ( )u
f x ( ) ( )3 3lim lim , ,not
= = = ∈∫ ∫ R ,
atunci spunem că, integrala improprie ( )f x dx∞
−∞∫ este convergentă sau că
are sens în R şi valoarea ei este I3.
Dacă limita (VII.13) nu există sau este infinită integrala improprie
( )f x dx∞
−∞∫ este divergentă sau nu are sens în R.
Definiţia VII.4.
1o] Fie f : [a, c) → R cu x = c punct singular, f local integrabilă [a, c) şi u
variabil, cu a < u < c. Dacă există limita finită
(VII.14) ( ) ( ).
1 1lim lim ( ) ,cnotu
au c u cau c u c
f x dx F u J f x dx J−
→ →< <
= = = ∈∫ ∫ R ,
atunci spunem că, integrala improprie ( )c
af x dx
−
∫ este convergentă sau
că are sens în R şi valoarea ei este J1.
Dacă limita (VII.14) nu există sau este infinită, integrala
improprie ( )c
af x dx
−
∫ este divergentă sau nu are sens.
2o] Fie f : [a, c] → R cu x = a, punct singular, f local integrabilă pe (a, c] şi
∀v variabil cu a < v < c. Dacă există limita finită
(VII.15) ( ) ( ) ( )2 2lim lim ,notc c
v av a v av a v a
f x dx G v J f x dx J+→ →
> >
= = = ∈∫ ∫ R ,
atunci spunem că, integrala improprie ( )c
af x dx
+∫ este convergentă sau
că are sens în R şi valoarea ei este J2.
Dacă limita (VII.15) nu există sau este infinită, integrala
improprie ( )c
af x dx
+∫ este divergentă sau nu are sens.
533
3o] Fie f : (a, c) → R cu x1 = a, x2 = c puncte singulare, f local integrabilă
pe (a, c) şi ∀u, v ∈ (a, c) variabili cu a < v < u < c. Dacă există limita finită
(VII.16) ( ) ( ) ( )3 3lim lim , ,notu c
v av a v au c u c
f x dx H u v J f x dx J−
+→ →→ →
= = = ∈∫ ∫ R ,
atunci spunem că, integrala improprie ( )c
af x dx
−
+∫ este convergentă sau
că are sens în R şi valoarea ei este J3.
Dacă limita (VII.16) nu există sau este infinită, integrala
improprie ( )c
af x dx
−
+∫ este divergentă sau nu are sens.
Exemple:
1o ( ) ( )00 0 0lim lim ' lim
u u ux x x
u u ue dx e dx e dx e
∞ − − − −
→∞ →∞ →∞= = − = −∫ ∫ ∫ u =
xe dx−
( )0
lim 1 1u
ue
∞−
→∞= − = ⇒ ∫ convergentă, cu valoarea 1.
2o ( ) ( )11 1
lim lim limu ux x x u
u u ue dx e dx e e e
∞
→∞ →∞ →∞= = = − = +∫ ∫ ∞⇒
1
xe dx∞
⇒ ∫ este divergentă.
3o ( )11 1
ln lim ln lim lnu u
u uxdx xdx x x x
∞
→∞ →∞⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( )1
lim ln 1 lim ln 1 1 lnu u
u u u u u xdx∞
→∞ →∞= − + = − + = ∞⇒⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ este
divergentă.
4o 2 2
1lim lim arctg4 4 2
uu
vv vvu u
dx dx xx x
∞
−∞ →−∞ →−∞→∞ →∞
2⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥+ + ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
( ) ( )1 1 1 1lim arctg arctg arctg arctg2 2 2 2 2 2v
u
u v→−∞→∞
⎡ ⎤= − = +∞ −⎢ ⎥⎣ ⎦−∞ =
534
12 2 2 2⎡π π ⎤ π⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
2 4dx
x∞
−∞⇒
+∫ este convergentă, cu valoarea 2π .
5o 1
0 01 1 01
lim lim 2 11 1
uu
u uu
dx dx xx x
−
→ →<
⎡ ⎤= = − − =⎢ ⎥⎣ ⎦− −∫ ∫
( ) 1
01lim 2 1 2 2
1u
dxxx
−
→− − + = ⇒
−∫ este convergentă, cu valoarea 2.
6o ( )1 1 1
0 0 00
ln lim ln lim lnvvv v
v
xdx xdx x x x+ → →
>
⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦∫ ∫
[ ]1
00lim 1 ln 1 lnv
v v v xdx+→
= − − + = − ⇒ ∫ este convergentă, cu valoarea -1.
7o cu 0 şi 0; limu
a a a u
dx dxa x dxx x
∞ ∞ ∞ −α −αα α →∞
> α > = =∫ ∫ ∫ ax dx =∫
11 1
ln ; pentru 1 ln ln ; pentru 1lim lim 1 1 11 ; pentru 1; pentru 1 11
u
a
uu u
a
x u a
x u a→∞ →∞−α+
α− α−
⎧ α = − α =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨ ⎡ ⎤− αα ≠⎪ ⎪ ⎢ ⎥−α ⎣ ⎦⎩−α⎩≠
( ) 1
; pentru 1; pentru 0 1
1 ; pentru 11 aα−
⎧⎪∞ α⎪⎪= ∞ < α <⎨⎪⎪ α >α −⎪⎩
=
a
dxx
∞
α⇒ ∫ este convergentă pentru α > 1, cu valoarea ( ) 1
11 aα−α −
şi
divergentă pentru α ≤ 1.
8o ( ) ( )
( )cu 0; limc c u
a a au cu c
dx dx c x dxc x c x
− − −λ
λ λ →<
λ > = −− −∫ ∫ ∫ =
535
( )
( ) 1
ln ; pentru 1lim 1 ; pentru 1
1
u
a
u cu c
c x
c x −λ+→<
⎧− − λ =⎪= =⎨− − λ ≠⎪
−λ⎩
( ) ( )
( ) ( )1 1
ln ln ; pentru 1
lim 1 1 1 ; pentru 11
u c
c a c u
c a c a→
λ− λ−
− − − λ =⎧⎪⎪ ⎡ ⎤= =⎨
− λ⎢ ⎥⎪ −λ − −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩≠
( )
( )1
; pentru 1; pentru 1
1 1 ; pentru 11
c
a
dxc x
c a
−
λ
λ−
⎧⎪∞ λ =⎪⎪= ∞ λ > ⇒⎨
−⎪⎪ ⋅ λ <−λ −⎪⎩
∫ este convergentă
pentru λ < 1, cu valoarea ( ) 1
1 11 c a λ−⋅− λ −
şi este divergentă pentru λ ≥ 1.
Astfel, au loc cazurile particulare: 1
20
dxx+∫ este divergentă (λ = 2 > 1), iar
1
0
dxx+
∫ este convergentă (λ = 12
< 1).
Observaţii:
1. Integralele improprii pe interval necompact, cu f : [a, c) → R, c ≤ +∞,
sunt de două tipuri:
I pentru c = ∞, avem ( )a
f x dx∞
∫ de tip I sau integrală pe
interval nemărginit.
II pentru c ∈ R finit şi x = c punct singular al lui f, avem
( )c
af x dx
−
∫ de tip II sau integrală improprie din funcţie nemărginită (în
limita superioară).
536
2.Prin schimbarea de variabilă ( ) ( ) ( ),t c a
x t tc t−
= ϕ ϕ =−
cu ,
intervalul [a, c) este aplicat pe [a, ∞) şi la fel
[ )( )1 ,C a cϕ∈
( )1 cxt xx c a
−= ϕ =+ −
aplică
[a, ∞) pe [a, c). Din acest motiv se are în vedere, în continuare, doar teoria
integralelor improprii cu interval nemărginit (de tip I).
3. Dacă ( )2
bI f x dx
−∞= ∫ este convergentă atunci prin schimbarea de
variabilă x = −t, se obţine ( ) 1bf t dt I
∞
−− − =∫ . Toate aspectele studiate
pentru ( )1 aI f x dx
∞= ∫ vor fi valabile şi pentru ( )2
bI f x dx
−∞= ∫ , în caz de
convergenţă.
Teorema VII.6. (Formula de reducere)
Fie f : R → R o funcţie local integrabilă pe R.
(i) Dacă ( )3I f x dx∞
−∞= ∫ este convergentă, atunci ∀a ∈ R sunt convergente
integralele ( ) ( )1 2şia
aI f x dx I f x dx
∞
−∞= =∫ ∫ şi are loc formula de
reducere:
(VII.17) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1
a
af x dx f x dx f x dx I I I
∞ ∞
−∞ −∞= + =∫ ∫ ∫ +
(ii) Dacă există a ∈ R astfel încât integralele improprii ( )2
aI f x dx
−∞= ∫ şi
( )1 aI f x dx
∞= ∫ sunt convergente, atunci este convergentă integrala
improprie ( ) 3f x dx I∞
−∞=∫ şi are loc formula de reducere (VII.17).
Demonstraţia se bazează pe rezultatul cunoscut de la integrala
definită: dacă f este integrabilă pe [v, u], atunci ∀a cu v < a < u, f este
integrabilă pe [v, a ] şi pe [a, u] şi are loc egalitatea:
537
( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )u a u
v v a
f x dx f x dx f x dx H u v G v F u= + = +∫ ∫ ∫
Folosind apoi definiţiile integralelor improprii şi proprietăţi ale limitei de
funcţii, se deduc direct afirmaţiile (i) şi (ii) şi formula (VII.17).
Observaţii
1. Pe baza teoremei de reducere şi a formulei (VII.17) se pot studia doar
integralele improprii pe interval nemărginit (de tipul I), de forma
( )1 aI f x dx
∞= ∫ .
2. Integrala improprie ( )a
f x dx∞
∫ este convergentă, dacă şi numai dacă,
există a' ≥ a astfel încât integrala improprie ( )a
f x dx∞
′∫ este convergentă,
căci ( ) ( ) ( ) ( )( )u a u u
a a a a
F u f x dx f x dx f x dx A f x dx′
′ ′
= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ , cu A∈R şi,
din definiţia integralei improprii convergente, se obţine echivalenţa în
cauză.
3. În aplicaţii se întâlnesc integralele improprii mixte: intervalul de
integrare este nemărginit şi integrandul are cel puţin un punct singular;
convergenţa acestora se analizează prin izolarea punctelor singulare şi
trecerea la limită în fiecare termen independent, adică se face reducerea la
tipurile precizate prin teorema VII.6 şi observaţiile de mai sus.
Exemple ( )
( )( )0
1cu : 0, , ( )1 1dx f f x
x x x+
∞∞ → =
x+ +∫ R , x = 0 punct
singular. Fie ∀δ > 0, ( )0
f x dxδ
+∫ (de tip II) şi ( )f x dx∞
δ∫ (de tip I).Avem:
( ) ( )2 0 00
lim1 1vv
v
dx dxJx x x
δ δ
+ →>
= =+ +∫ ∫ x
şi
538
( ) ( )1 lim1 1
u
u
dx dxIx x x
∞
δ δ→∞= =
+ +∫ ∫ x şi:
( )2 lim 2arctgu
vJ x
→∞ δ= iar ( )1 lim 2arctg
u
uI x
→∞ δ= . Deci:
( )2 1 202arctg , 2arctg ,
1dxJ I Jx x
∞
+= δ = π− δ = +
+∫ 1I = π .
Definiţia VII.5
Fie f : [a, ∞) → R o funcţie local integrabilă.
1) Integrala improprie (de tipul I) ( )a
f x dx∞
∫ este, prin definiţie, absolut
convergentă, dacă şi numai dacă, integrala improprie ( )a
f x dx∞
∫ este
convergentă.
2) Integrala improprie (de tipul I) ( )a
f x dx∞
∫ se numeşte simplu
convergentă sau semiconvergentă, dacă şi numai dacă, ( )a
f x dx∞
∫ este
convergentă şi ( )a
f x dx∞
∫ este divergentă (dacă ( )a
f x dx∞
∫ este
convergentă şi nu este absolut convergentă).
Teorema VII.7 (Criteriul lui Cauchy)
Fie f : [a, ∞) → R local integrabilă. ( )a
f x dx∞
∫ este convergentă, dacă şi
numai dacă, satisface condiţia Cauchy:
( )( ) ( )
( )0
''
0 '
0, oricât de mare dorim a.î. ', '' [ , ), cuVII.18
' ''u
u
u u
u u u f x dx
∀ε > ∃ ε ∀ ∈ ∞⎧⎪⎨
< < ⇒ ≤ ε⎪⎩ ∫
u a
Demonstraţie. Conform definitiei, ( )a
f x dx∞
∫ convergentă ⇔
există
539
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
lim lim ( ) 0, 0 oricât de mare dorim
cu 0 a.î. , şi ( ) ( ) ( )
T.Cauchy-Bolzano
Ru
u ua
u
u
f x dx F u u
u u u u u u F u F u f x dx
→∞ →∞
′′
′
= ∈ ⇔ ∀ε > ∃ ε >
′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ε > ∀ ε < < ⇒ − < ε ⇔ < ε⇒
∫
∫⇒(VII.18).
Consecinţa VII.1
Fie f : [a, ∞) → R local integrabilă şi care are limită la +∞. Dacă
( )a
f x dx∞
∫ este convergentă, atunci (în mod necesar) ( )lim 0x
f x→∞
= .
Demonstraţia este o consecinţă imediată a teoremei Cauchy
(teorema VII.7).
Consecinţa VII.2
Fie f : [a, ∞) → R o funcţie local integrabilă. Dacă integrala improprie
( )a
f x dx∞
∫ este absolut convergentă, atunci ea este convergentă.
Demonstraţia este directă. Din teorema lui Cauchy, folosind
proprietatea integralei definite , cu u u a u u′ ′′ ′ ′′∀ > < , avem:
( ) ( )'' ''
' '
u u
u uf x dx f x dx≤∫ ∫ . Astfel, rezultă (VII.18).
Observaţii
1. Dacă f : [a, ∞) → R este local integrabilă şi există ( )lim 0x
f x l→∞
= ≠
(condiţie suficientă), atunci ( )a
f x dx∞
∫ este divergentă.
2. Pe un interval compact [a, b] ⊂ R, integrabilitatea funcţei f implică şi
integrabilitatea funcţiei | f |.
3. Consecinţa VII.2 arată că pe un interval necompact din R,
integrabilitatea lui |f | ( ( )a
f x dx∞
∫ convergentă) implică integrabilitatea
540
lui f ( ( )a
f x dx∞
∫ convergentă), dar nu şi reciproc. (O integrală improprie
semiconvergentă, conform definiţiei, este convergentă şi nu este absolut
convergentă).
Fie f : [a, ∞) → R local integrabilă şi un şir numeric ( ) 1Rn n
b>⊂
crescător, cu 0 1 1lim şi ...nnb a b b b b +→∞ n n= +∞ = < < < < <… . Din faptul că f
este local integrabilă pe [a, ∞), folosind şirul (bn), putem construi seria
numerică
(VII.19) ( )11 2
1
0 10
( ) ( ) ... ( ) ... ,n
n
nn
bb bb
bnb b b
f x dx f x dx f x dx f x dx+
+∞
=
⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ ∫
cu termenul general ( )1 ,n
n
b
n bu f x dx n+ 0= ∀ ≥∫ şi şirul sumelor parţiale
unde . ( )n nS
∈N ( )11
00
... k
k
n b
n n bk
S u u f x d+−
=
= + + =∑∫ x
Teorema VII.8
Dacă integrala ( )a
f x dx∞
∫ este convergentă, atunci şi seria numerică
(VII.19) ( )1
0
n
n
b
bn
f x dx+∞
=∑∫ este convergentă şi are loc egalitatea:
( ) ( ) ( )1
0VII.20 n
n
b
a bn
f x dx f x dx+∞∞
=
=∑∫ ∫ .
Dacă f este nenegativă pe [a, ∞) şi seria ( )1
0
n
n
b
bn
f x dx+∞
=∑∫ este convergentă,
atunci integrala improprie ( )a
f x dx∞
∫ este convergentă şi are loc egalitatea
(VII.20).
Demonstraţie: Avem şi ca atare, rezultă: ( )11
0
k
k
n b
n bk
S f+−
=
=∑∫ x dx
541
542
= ∈( ) ( ) ( )11
10
lim lim lim lim ( )n
k
k
bn b
n nbn n n nk a a
S f x dx f x dx F b f x dx I+∞−
→∞ →∞ →∞ →∞=
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ R
Deci ( )1
0
n
n
b
bn
f x dx+∞
=∑∫ este convergentă.
Dacă f(x) ≥ 0, ∀x ≥ a şi ( )1
0
n
n
b
bn
f x dx+∞
=∑∫ este convergentă, notăm
, suma seriei numerice. Pentru orice u cu a < u, există nlim nnS S
→∞= ∈R u∈N
a. î. şi cum F(u) este strict crescătoare pe [a, ∞), avem: unu b<
( ) ( ) ( )11
0
0 ( )nu u
k
k
bu n b
bka a
f x dx F u f x dx f x dx S+−
=
≤ = ≤ = ∑∫ ∫ ∫ ≤ ⇒ F este mărginită
superior pe [a, ∞) şi, fiind strict crescătoare, există limita
adică ( ) ( )1 1lim ( ) limu
u ua a
F u I I f x dx f x dx∞
→∞ →∞= ∈ ⇒ = =∫ ∫R ( )
a
f x dx∞
∫ este o
integrală improprie convergentă.
Observaţii
1. Dacă f: [a, ∞) →R nu are semn constant, atunci convergenţa seriei
numerice (VII.19) nu implică întotdeauna convergenţa integralei improprii
( )a
f x dx∞
∫ .
2. Dacă seria numerică (VII.19) este convergentă pentru orice şir numeric
cu b( ) 0n nb
≥ n crescător, lim nnb
→∞= +∞ şi bn> a, ∀ n≥ 0, atunci convergenţa
seriei ( )1
0
n
n
b
bn
f x dx+∞
=∑∫ implică convergenţa integralei improprii
( )a
f x dx∞
∫ , chiar dacă f nu este pozitivă pe [a, ∞).
3. Această teoremă VII.18 pune în evidenţă legătura dintre integrale
improprii şi serii numerice. Din acest motiv, se poate stabili o analogie
între criteriile de convergenţă pentru integrale improprii şi cele deja
demonstrate pentru serii numerice, după următorul tabel:
Serii numerice Integrale improprii
0n
na
∞
=∑ ( )
af x dx
∞
∫
an∈R, n∈N termen general f: [a, ∞) →R
n → ∞; n indice de sumare x → ∞; x variabilă de integrare
Sn = sumă parţială; n∈N 0
n
kk
a=∑ F(u) = ( )
u
af x dx∫ integrală parţială;
∀ u>a
lim nnS S
→∞= ∈R suma seriei 1lim ( )
uF u I
→∞= ∈R valoarea integralei
0na
∞
∑ conv. ∃def
⇔ lim nnS S
→∞= ∈R ( )
af x dx
∞
∫ convergentă def
⇔
∃ 1lim ( )u
F u I→∞
= ∈R
S suma seriei convergente S =0
na∞
∑ I1 valoarea integralei improprii
convergente I1= ( )a
f x dx∞
∫
4. Studiul integralelor improprii se bazează pe studiul seriilor numerice şi
se află la confluenţa dintre teoria integralelor definite şi cea a funcţiilor
reale cu limită. Analogia cu seriile numerice nu este completă; integralele
improprii absolut convergente se încadrează în teoria integralei Lebesgue.
5. Din observaţia precedentă rezultă că se pot reformula, pentru integralele
improprii, unele proprietăţi ale integralei definite, precum: liniaritatea
543
monotonia, formula Leibniz – Newton, integrarea prin părţi, schimbarea de
variabilă etc.
6. Problema fundamentală din studiul integralelor improprii este aceea a
convergenţei, analoagă cu convergenţa seriilor numerice. În concluzie,
vom urmări:
I. natura integralei improprii (fie convergentă, fie divergentă);
II. valoarea (numerică) a unei integrale improprii convergentă.
Teorema VII.9.
Fie f, g: [a, ∞) →R funcţii local integrabile. Dacă integralele improprii
( )a
f x dx∞
∫ şi sunt convergente, atunci pentru ∀λ, µ∈R este
convergentă integrala improprie
( )a
g x dx∞
∫
( ) ( )a
f x g x d∞
λ +µ x⎡ ⎤⎣ ⎦∫ şi are loc egalitatea:
(VII.21) ( ) ( ) ( ) ( )a a a
f x g x dx f x dx g x dx∞ ∞
λ +µ = λ +µ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫∞
∫ .
Demonstraţie: Conform definiţiei, avem:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
lim
lim lim lim
. Astfel, este convergentă
u
ua a
u u u u
u u ua a a a
a a a
f x g x dx f x g x dx
f x dx g x dx f x dx g x dx
f x dx g x dx f x g x dx
∞
→∞
→∞ →∞ →∞
∞ ∞ ∞
⎡ ⎤λ +µ = λ +µ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦⎡ ⎤
= λ +µ = λ +µ =⎢ ⎥⎣ ⎦
= λ +µ ∈ λ +µ⎡ ⎤⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫R
şi are loc egalitatea (VII.21).
544
Observaţii:
1. Mulţimea funcţiilor f: [a, ∞) →R local integrabile, cu ( )a
f x dx∞
∫
convergentă, notată ℑ([a ,∞)) are structură algebrică de spaţiu vactorial
real.
2. Aplicaţia : ℑ([a ,∞)) → R care asociază fiecărui f ∈ℑ([a ,∞)) numărul
real ( )1a
I f x dx∞
= ∫ (convergentă) este liniară, după egalitatea (VII.21) din
teorema VII.9.
2. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii
Problema convergenţei integralelor improprii va fi studiată în două
situaţii: integrantul are semn constant şi apoi când integrantul are semn
variabil. În afară de teorema lui Cauchy, aplicabilă fără condiţii asupra
semnului integrantului, vom avea criterii de comparaţie cu inegalităţi şi cu
limită, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcţii pozitive) şi criterii de
tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcţii de semn oarecare).
Presupunem f ≥ 0, ∀ x ∈[a, ∞) (cazul f(x) ≤ 0, ∀x∈[a, ∞) nu se
studiază deoarece convergenţa ( )a
f x dx∞
∫ este echivalentă cu convergenţa
integralei ( )a
f x dx∞
−⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ).
Condiţia f ≥ 0, ∀ x ≥ a implică faptul că F(u) = ( )u
af x dx∫ , ∀ u > a este o
funcţie monoton crescătoare şi, în acest caz, existenţa limitei este lim ( )u
F u→∞
545
echivalentă cu faptul că F(u) este majorată (mărginită superior) pentru
u →∞.
Teorema VII.10
Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă. Integrala improprie
( )a
f x dx∞
∫ este convergentă, dacă şi numai dacă, F(u) este majorată pe
[a, ∞) pentru u →∞.
Demonstraţie: ( )a
f x dx∞
∫ convergentă 1lim ( )def
uF u I
→∞⇔∃ = R∈ .
Totodată, existenţa l , cu F funcţie crescătoare, este echivalentă cu
faptul că F majorată pentru u → ∞.
im ( )u
F u→∞
Teorema VII.11. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi - I)
Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă avem: f (x) ≤ g(x),
∀ x ≥ a, atunci au loc afirmaţiile:
1) convergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ convergentă;
2) ( )a
f x dx∞
∫ divergentă ⇒ divergentă. ( )a
g x dx∞
∫
Demonstraţie: Din ipoteza f (x) ≤ g(x), ∀ x ≥ a, rezultă că:
F(u) =u
afdx∫ ≤ G(u) =
u
agdx∫ , ∀ u > a.
1) Dacă este convergentă, atunci G(u) este majorată
pentru u →∞. Aşadar, din inegalitatea F(u) ≤ G(u), ∀ u > a rezultă că F(u)
este majorată pentru u→∞. Deci, după teorema VII.10,
( )a
g x dx∞
∫
( )a
f x dx∞
∫ este
convergentă.
546
2) Dacă ( )a
f x dx∞
∫ este divergentă, atunci lim ( )u
F u→∞
= ∞ . Cum
F(u) este crescătoare şi pozitivă rezultă că F(u) este nemajorată pentru
u →∞. Deoarece F(u) ≤ G(u), ∀ u > a rezultă că G(u) nemajorată pentru
u→∞. Dar G(u) este crescătoare şi pozitivă, deci lim ( )u
G u→∞
= ∞ , ceea ce
înseamnă că este divergentă. ( )a
g x dx∞
∫
Observaţii:
1. Criteriul de comparaţie cu inegalităţi este anevoios de aplicat, deoarece
necesită stabilirea în prealabil a inegalităţii: f (x) ≤ g(x).
2. Pentru aplicarea acestui criteriu, putem folosi afirmaţia: " ( )a
f x dx∞
∫
convergentă ⇔ ( )0a
f x dx∞
∫ convergentă pentru orice a0 > a şi a0 suficient
de mare ales". Deci comparaţia celor două funcţii f şi g ar fi suficientă "de
la un loc încolo" potrivit de depărtat de x = a.
Teorema VII.12. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi - II)
Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există a0 > a, astfel
încât f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a0, ∞), atunci au loc afirmaţiile:
1') convergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ convergentă;
2') ( )a
f x dx∞
∫ divergentă ⇒ divergentă. ( )a
g x dx∞
∫
Demonstraţia se obţine direct din teorema VII.11 şi observaţia 2.
547
Teorema VII.13. (Criteriul de comparaţie cu limită).
Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există limita
(VII.22) [ ]( )lim şi 0,( )x
f x l lg x→∞
= ∈ ∞
atunci au loc afirmaţiile:
1°) pentru l finit (l < ∞) şi convergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ este
convergentă;
2°) pentru l nenul (l >0) şi divergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ este
divergentă;
3°) pentru 0 < l < +∞, integralele ( )a
f x dx∞
∫ şi au aceeaşi
natură.
( )a
g x dx∞
∫
Demonstraţie:
1) Fie 0 ≤ l < + ∞. Atunci (VII.22) ⇔
(VII.22') ( ) ( )
0, 0 şi a. î. .
( ) ( ) ( )u u a x u
l g x f x l g xε ε ε∀ε > ∃ > > ∀ > >⎧⎪
⎨⇒ −ε < < + ε⎪⎩
a
Deci f(x) < ( l + ε) g (x), ∀ x > uε > a. Cum este convergentă,
după teorema VII.12, rezultă că
( )a
g x dx∞
∫
( )a
f x dx∫∞
este convergentă.
548
2) l ≠ 0 ⇔ ( )( )
( )( )
lim 0 limx x
f x g xl
g x f x→∞ →∞l= ≠ ⇔ = < +∞ . Din (VII.22'),
rezultă că g(x) < ( l + ε) f(x), ∀ x > uε > a. Astfel, cum ( )a
f x dx∫∞
∞
este
divergentă, după teorema VII.12, rezultă că este divergentă. ( )a
g x dx∫
3) Fie 0 < l< ∞ şi (VII.22'). Alegem ε > 0 a. î. l - ε > 0. Cum
( )a
f x dx∫∞
∞
este convergentă şi (l - ε) g(x) < f(x), ∀ x > uε > a, după teorema
VII.11, rezultă că este convergentă. ( )a
g x dx∫
Când este convergentă, având f(x)<(l+ ε) g (x), ∀x>u( )a
g x dx∞
∫ ε>a,
după teorema VII.11, rezultă că ( )a
f x dx∫∞
este convergentă.
Când ( )a
f x dx∞
∫ este divergentă şi f(x) < ( l + ε) g (x), ∀ x > uε > a,
după teorema VII.11, rezultă că este divergentă. ( )a
g x dx∫∞
Când este divergentă şi ( l + ε) g(x) < f(x), ∀ x > u( )a
g x dx∞
∫ ε > a,
după teorema VII.11, rezultă că ( )a
f x dx∫∞
este divergentă.
549
Teorema VII.14. (Criteriul în α)
Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă.
(i) Dacă există α > 1 a. î. lim ( )x
x f x lα
→∞= < ∞ , atunci ( )
af x dx
∞
∫ este
convergentă;
(ii) Dacă există α ≤ 1 a. î. lim ( ) 0x
x f x lα
→∞= > , atunci ( )
af x dx
∞
∫ este
divergentă.
Demonstraţie: Ştiind că ( 0a
dx ax
∞
α >∫ ) este convergentă când α > 1
şi divergentă când α ≤ 1, pentru (i) aplicăm criteriul de comparaţie cu
limită, cazul 1°), cu 1( )g xxα= (teorema VII.13 - 1°), iar pentru (ii)
aplicăm criteriul de comparaţie cu limită, cazul 2°), tot cu 1( )g xxα=
(teorema VII.13 - 2°).
Teorema VII.15. (Criteriul în λ)
Fie f : [a, c) →R, cu x = c punct singular şi f pozitivă, local integrabilă.
(i) Dacă există λ <1 a. î. ( )lim ( )x cx c
c x f x lλ
→<
− = < ∞ , atunci ( )c
af x dx
−
∫ este
convergentă;
(ii) Dacă există λ ≥ 1 a. î. ( )lim ( ) 0x cx c
c x f x lλ
→>
− = > , atunci ( )c
af x dx
−
∫ este
divergentă.
550
Demonstraţia este imediată, folosind criteriul de comparaţie cu
limită (teorema VII.13), cu ( )
1( )g xc x λ=−
cunoscut fiind faptul că
( )c dx−
a c x λ−∫ este convergentă pentru λ< 1 şi divergentă pentru λ ≥ 1.
Teorema VII.16 (Criteriul integral al lui Cauchy).
Fie f : [1, ∞) →R o funcţie monoton descrescătoare şi pozitivă.Următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
(I) seria numerică 1
( )n
f n∞
=∑ este convergentă.
(II) şirul numeric { }1 1( )
n
nf x dx
≥∫ este convergent.
(III) integrala improprie 1
( )f x dx∞
∫ este convergentă.
Demonstraţie: Fie Sn = f(1) + f(2) + ...+ f(n) şirul de sume parţiale
al seriei numerice 1
( )n
f n∞
=∑ şi Vn =
1( )
nf x dx∫ termenul general al
şirului ( )1 1( )
n
nf x dx
≥∫ . Funcţia f, monoton descrescătoare, este integrabilă
pe [1, ∞). Deci f este şi local integrabilă. Cum f ≥ 0, integrala definită a lui
f are proprietatea de monotonie. Astfel, avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
1 2
2 1 , 3 2 ,...,f f x dx f f f x dx f f n≤ ≤ ≤ ≤∫ ∫ ≤
−
( ) ( )1
1n
n
f x dx f n−
≤ ≤∫ . Adunând aceste inegalităţi, obţinem:
551
(VII.23) Sn – f(1) ≤ Vn, ∀n ≥ 1 şi Vn ≤ Sn – 1, ∀n ≥ 2.
(I) ⇒ (II) Dacă 1
( )n
f n∞
=∑ este convergentă (S
def
⇒ n) este convergent în R.
Deci (Sn) este (în mod necesar) şir mărginit. Din (VII.23) (Vn≤ Sn– 1, ∀n≥2),
rezultă că şirul ( ) 1n nV
≥ este mărginit superior şi, fiind crescător, rezultă prin
teorema Weierstrass, că (Vn) este şir convergent în R.
(II) ⇒ (I) Dacă şirul ( ) 1n nV
≥ este convergent atunci (în mod necesar) este
şir mărginit şi, din (VII.23) (Sn – f(1) ≤ Vn, ∀n ≥ 1), rezultă că (Sn) este
mărginit. Şirul (Sn) fiind monoton crescător şi mărginit este convergent. Ca
urmare, seria 1
( )n
f n∞
=∑ este convergentă.
(II) ⇒ (III) Fie F(u) = ( )1
u
f x dx∫ , ∀u ≥ 1 şi lim nnl
→∞V= . Pentru orice u ≥1,
există n∈N a. î. u < n şi deci F(u) ≤ F(n) = Vn ≤ l. Dar lim nnV
→∞l= ⇔ ∀ε>0,
∃ nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ | Vn - l | < ε. Fie un → ∞. Atunci, un > nε de la un
rang încolo şi deci F(un) ≤ F(nε) = ≤ l - ε. Cum F(unVε
n) ≤ l, rezultă că
l - ε <F(un) ≤ l < l + ε, adică | F(un) - l | < ε, pentru n suficient de mare.
Aşadar, lim ( )nnF u l
→∞= , în R şi astfel, ( ) ( )
1
f x dx l∞
=∫ este convergentă.
(III) ⇒ (II) rezultă din faptul că F(n) = Vn, ∀n ≥1 şi din definiţia integralei
improprii convergente.
552
Consecinţa VII.3.
Fie f : [1, ∞) →R o funcţie pozitivă şi descrescătoare. Atunci seria
1( )
nf n
∞
=∑ şi integrala improprie ( )
1
f x dx∞
∫ au aceeaşi natură.
Demonstraţia este evidentă din echivalenţa (I) ⇔ (III) şi din
criteriul integral al lui Cauchy (teorema VII.16).
Consecinţa VII.4.
Fie f : [1, ∞) →R cu 1( )f xxα= , pozitivă şi descrescătoare pentru α >0.
Atunci seria armonică generalizată sau seria lui Riemann
1 1
1( )f nn
∞ ∞
α=∑ ∑ şi integrala improprie 1
dxx
∞
α∫ au aceeaşi natură. Deci sunt
convergente pentru α > 1 şi divergente pentru α ≤1.
Demonstraţia este directă, din consecinţa VII.3 şi teorema VII.16.
Consecinţa VII.5
Fie g: [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă, iar f : [1, ∞) →R local
integrabilă. Dacă există M > 0, astfel încât | f (x) | ≤ Mg(x), ∀ x ≥ a şi
integrala este convergentă, atunci ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ este absolut
convergentă şi are loc inegalitatea: ( ) ( )a a
f x dx M g x dx∞ ∞
≤∫ ∫ .
553
