Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Universitas Indonusa Esa Unggul
Fakultas Ilmu Komputer
Teknik Informatika
Integral Lipat Dua
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 2
Integral Lipat Dua
Z=f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
xkyk
1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]
3. Bentuk jumlah Riemann.
4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis
)y,x( kk
n
i
n
ikkk Ayxf
1 1
),(
n
i
n
ikkk
nAyxf
1 1
),(lim
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}
n
i
n
ikkk
nR
AyxfdAyxf1 1
),(lim),(
)y,x( kk
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 3
Integral Lipat Dua
Definisi integral lipat dua :
Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
n
k
kkkP
Ayxf
10
),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut RR
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
R
dAyxf ),(
n
k
kkkP
Ayxf
10
),(lim
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :
R
dydx)y,x(f
n
1k
kkkk0P
yx)y,x(flim
atau
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 4
Arti Geometri Integral Lipat Dua
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,
makaR
dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 5
Menghitung Integral Lipat Dua
Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
d
a b
z
x
A(y)
b
a
dxyxfyA ),()(
A(y)
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 6
Menghitung Integral Lipat Dua
(Lanjutan)d
cR
dyyAAdyxf )(),(d
c
b
a
dydxyxf ),(d
c
b
a
dydxyxf ),(
Maka
R
dAyxf ),(d
c
b
a
dydxyxf ),(
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 7
Menghitung Integral Lipat Dua
(lanjutan)
(ii) Sejajar bidang YOZ
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
d
c d
z
y
A(x)
d
c
dyyxfxA ),()(
A(x)
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 8
Menghitung Integral Lipat Dua
(Lanjutan)b
aR
dxxAAdyxf )(),(b
a
d
c
dxdyyxf ),(b
a
d
c
dxdyyxf ),(
Maka
R
dAyxf ),(b
a
d
c
dydxyxf ),(
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 9
Contoh
1. Hitung integral lipat dua berikut ini :R
dAyx 22 2
dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}
Jawab:
R
dAyx 22 2
6
0
4
0
22 2 dxdyyx
6
0 0
432
3
2dxyyx
6
0
2
3
1284 dxx
0
63
3
128
3
4xx 544256288
R
6
4
y
x
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 10
Contoh
R
dAyx 22 2
4
0
6
0
22 2 dydxyx
4
0 0
623 2
3
1dyxyx
4
0
21272 dyy
0
43472 xx 544256288
Atau,
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 11
Contoh
2. Hitung integral lipat dua berikut ini :R
dAyxsin
dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}
R
/2
/2
y
x
Jawab:
R
dAyxsin
2/
0
2/
0
sin dxdyyx
2/
0 0
2/
)cos( dxyx
6
0
cos2
cos dxyy
2/
0
2/
0 2sinsin yy
22
sinsin2
sin
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 12
Latihan
1
0
1
0
22
. dxdyexya yx
2
0
1
1
2. dxdyxyb
1
0
2
0
2 1. dxdy
x
yc
1. Hitung
2.R
dydxyxf , untuk fungsi
a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]
b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]
c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [- /2, ] x [1, 2]
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 13
Sifat Integral Lipat Dua
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1.RR
dAyxfkdAyxfk ,,
2.RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
3. Jika R = R1 + R2 , maka
21
,,,RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
4. Jika f(x,y) g(x,y), maka
RR
dAyxgdAyxf ,,
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 14
Integral Lipat Dua atas Daerah
Sembarang
Ada dua tipe
Tipe I
D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) }
Tipe II
D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 15
Tipe I
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
D
a b x
q(x)
p(x)
y
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
D={(x,y)| a x b, p(x) y q(x)}
x
y
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 16
Tipe II
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
d
c
)y(s
)y(rD
dydx)y,x(fdA)y,x(f
D={(x,y)|r(y) x s(y), c y d}
x
y
D
c
d
r (y) s (y)
x
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 17
Aturan Integrasi
Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 18
Contoh
1. Hitung R
x dAey2 ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
xR R
x dAey2
1
0 0
2
2y
x dydxey
1
00
2
2 dyeyy
x
1
0
122
dyey y
2111
0
22
eeyey
x
y
x = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 19
Contoh
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
R
x dAey2
1
0
1
2x
x dxdyey
1
0
12 dxye
x
x
1
0
dyxee xx
1
0
xxx exee
R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}
y x
y
x = y2
1
1
2)11(2 eee
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 20
Contoh4
0
2
2
2
.2 dxdyex
y
Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2}Jawab:
x R
x
y
y = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:
R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2}Sehingga 4
0
2
2
2
dxdyex
y
2
0
2
0
2
dydxey
y
142
0
2
eey
2
0
2
0
2
dyxeyy
2
0
2
2 dyey y
x=2y
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 21
Latihan
3
1
y3
y
y dydxex.13
2
0 0
dxdy
xsin
xcosy.2
1
0
1
x
y dxdye.52
4
0
13
.6 dydxey
x
1
0
2
0
2dxdy
1x
y.3
2
0
2
0
dydx)yxsin(.4
2
0
x4
0
dxdyyx.7
2
2
0 0
dxdy
xcos
xsiny.8
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 22
Integral lipat dalam koordinat kutub/polar
Hitung D
yx dAe22
, D={(x,y)|x2+y2 4}
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk
diselesaikan.
Sistem Koordinat Kutub
rP(r, )
x
y
=0 (sumbu kutub)
Hubungan Kartesius – Kutubx = r cos x2+y2=r2
y = r sin = tan-1(y/x)
22 yxr
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 23
Transformasi kartesius ke kutub
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D
D={(r, )| a r b, }
?),(D
dAyxf
Sumbu Kutub
Ak
r=b
r=a
=
=
D
Ak
rk-1
rk
Pandang satu partisi persegipanjang kutub Ak
Luas juring lingkaran dengansudut pusat adalah ½ r2
Ak = ½ rk2 - ½ rk-1
2
= ½ (rk2 - rk-1
2) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)= r r
Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 24
Transformasi kartesius ke kutub
Sehingga
pk DD
ddrrrrfdAyxf )sin,cos(),(
1. Hitung D
yx dAe22
, D={(x,y)|x2+y2 4}
Contoh:
2. Hitung D
dAy , D adalah daerah di kuadran I di dalamlingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 25
Contoh
D
yx dAe22
.1 dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}
D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r, )| 0 r 2, 0 2 }Sehingga
D
yx dAe22
2
0
2
0
2
ddrrer
14e
2
0
2
0
2
2
1der
2
0
4
2
1
2
1de
2
2
x
y
D r
Jawab.
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 26
Contoh
D
dAy.2 dengan D adalah persegipanjang kutubdi kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4di luar x2+y2=1
D = {(r, )| 1 r 2, 0 /2}
Sehingga
D
dAr2/
0
2
1
sin ddrrr
3
7cos
3
7 2/
0
2/
0
2
1
3 sin3
1dr
2/
0
sin183
1d
21 x
y
D
r
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 27
Latihan
1. Hitung 1
0
1
0
22
2
4x
dxdyyx
2. Hitung 1
0
1
0
22
2
)sin(
y
dydxyx
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9dengan menggunakan koordinat kutub.
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 28
D daerah sembarang/umum
1. D={(r, )| 1( ) r 2( ), }
2. D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)}
Sumbu Kutub
r= 2( )
r= 1( )
=
=
D
Sumbu Kutub
r=b
r=a
= 2(r)
= 1(r)D
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 29
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
1 2
1
D={(r, )| 0 r 2 cos ,– /2 /2}
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 D
Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1
x2 – 2x + 1 + y2 = 1
x2 + y2 = 2x
r2 = 2r cos
r2 – 2r cos =0
r (r – 2 cos )=0
r = 0 atau r = 2 cos
Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2
Sehingga,
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 30
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}
= /4
1 2 x
y
D
x = 1 x = 2
y = 0 y = 22 xx
y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0
(x – 1)2 + y2 = 1
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas r dihitung mulai
x = 1 r cos = 1 r = sec
Untuk batas (dari gambar) =0 = /4
hingga r = 2 cos
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 31
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
D={(r, )| 0 r 2 sin ,0 }
1
1
2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1
Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1
x2 + y2 – 2y + 1 = 1
x2 + y2 = 2y
r2 = 2r sin
r2 – 2r sin =0
r (r – 2 sin )=0
r = 0 atau r = 2 sin
Untuk batas (dari gambar) =0 =
Sehingga,
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 32
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
1
1
D={(r, )| 0 r sec ,0 /4}
x = 0 x = 1
y = 0 y = x
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas r
x = 1 r cos = 1 r = sec
Untuk batas (dari gambar) =0 = /4
D
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 33
Contoh
1. Hitung 2
1
xx2
022
2
dydxyx
1
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:
x = 1 x = 2
y = 0 y = 22 xx
y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0
(x – 1)2 + y2 = 1
ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1
= /4
1 2 x
y
D
Koordinat polarnya adalah
D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 34
Contoh (Lanjutan)
2
1
2
022
2
1xx
dxdyyx
4/
0
cos2
sec
.1
ddrrr
4/
0tanseclnsin2
4/
0
cos2
secdr
4/
0
seccos2 d
Sehingga,
0tan0secln0sin24
tan4
secln4
sin2
1ln12ln22
1.2 12ln2
3/31/2013 KALKULUS LANJUT 35
Latihan
1. Hitung S
ddrr , S daerah dalam lingkaran r = 4 cosdan di luar r = 2
2. Hitung 1
0
12
x
dydxx
3. Hitung D
dAyx 224 , D daerah kuadran I darilingkaran x2+y2=1 antaray=0 dan y=x
(dengan koordinat kutub)