Upload
osma
View
228
Download
33
Embed Size (px)
DESCRIPTION
HITUNG INTEGRAL. INTEGRAL TAK TENTU. INTEGRAL TAK TENTU. Pengertian Hitung Integral Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung deferensial Misal : y = F(x) = x 2. 3x 2. f(x). =. dF(x)=. f(x) dx. Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang. Sehingga. dF(x)=f(x)dx. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
INTEGRAL TAK TENTU
AdaptifHal.: 2 Integral
INTEGRAL TAK TENTU
Pengertian Hitung IntegralHitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensialMisal : y = F(x) = x2
dx
xdF
dx
dy )( 3x2 = f(x)
)()(
xfdx
xdF
dF(x)= f(x) dx
Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang ""Sehingga dF(x)=f(x)dx F(x)= dxxf )(
AdaptifHal.: 3 Integral
INTRGRAL TAK TENTU
cxdxx 234
Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah
X4 karena turunannya 4x3 = F’(x)
X4 + 5 karena turunannya 4x3 = F’(x)
X4 + 1 karena turunannya 4x3 = F(‘x)
X4 + 50 karena turunannya 4x3 = F’(x)
X4 + c karena turunannya 4x3 = F’(x)
Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta)
Dengan lambang integral di tulis :
Secara um8um di tulis : cxFdxxf )()(
AdaptifHal.: 4 Integral
INTEGRAL TAK TENTU
Rumus – rumus Pengintegralan
a.
b.
c.
d.
e.
1,1
1
ncn
xdxx
xn
1, ndxxadxax nn
clxdxx
dxx 11
caxadx dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
AdaptifHal.: 5 Integral
Integral Tak Tentu
Contoh:1. Tentukan dari Penyelesaian
cn
xn
1
1
xdx
=
cx
2
2
=
=
cx 2
1
2. Integralkanlah (5x – 1)2
Penyelesaian
xdx dxx 22 )16(
=
=
= dxxxx )11236( 2
cxxx 23
2
12
3
36
12x3 – 6x2 + x + c
AdaptifHal.: 6 Integral
Integral Tak Tentu
3. Tentukan
Penyelesaian
dxxxox )51042( 14
dxxxox )51042( 14
= cxxxx ln5102
4
5
20 23
= 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c
4. Tentukan dxXX
)1
(
=dxXX
)1
( dxxx )( 2
1
2
1
cxx 2
3
2
1
3
22
=
=
cxxx 3
22
Penyelesaian
AdaptifHal.: 7 Integral
INTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
)()()( )( xfbfdxxfb
a
b
axF
a disebut batas bawah
b disebut batas bawah
F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)
F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a
AdaptifHal.: 8 Integral
INTEGRAL TERTENTU
Sifat-sifat intergral tertentu 1.
2.
3.
4.
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
c
a
b
a
c
b
cbadxxfdxxfdxxf ;)()()(
a
a
dxxf 0)(
b
a
b
a
Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(
AdaptifHal.: 9 Integral
INTEGRAL TERTENTU
Contoh :1.Tentukan nilai dari
2
1
3dxx
Penyelesaian
2
1
4
2
1
x
2
1
3dxx =
44 1
4
12.
4
1=
4 - 41
=
= 4
33
2. Tentukan nilai dari
Penyelesaian
dxxx )32(1
0
2
dxxx )32(1
0
2 = 1032 xx
=
=
= 3232 00311
011
2
LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR
AdaptifHal.: 11 Integral
Penggunaan Integral
9
2xy
AdaptifHal.: 12 Integral
Menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah dan volume benda putar.
KompetensiKompetensi Dasar Dasar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan
dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang
dibatasi oleh beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan
menggunakan limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas
daerah dan menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume
benda putar dari daerah yang diputar
terhadap sumbu koordinat dan
menghitungnya.
Indikator Hasil BelajarIndikator Hasil Belajar
Penggunaan Integral
AdaptifHal.: 13 Integral
Runtuhnya Jembatan Tacoma, WashingtonJembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli
1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena
badai yang berkekuatan 68 km/jam.
NextBack
AdaptifHal.: 14 Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-
partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan
menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.NextBack
Penggunaan Integral
AdaptifHal.: 15 Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda
putar jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari
juga penggunaan integral
untuk menghitung volume
benda putar.
Penggunaan Integral
AdaptifHal.: 16 Integral
X
Y
xy sin
Menentukan luas daerah
dengan limit jumlah dapat
diilustrasikan oleh gambar
di samping. Langkah utama
yang dilakukan adalah
memartisi,
mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan
menghitung limitnya.
Home NextBack
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
AdaptifHal.: 17 Integral
Langkah menghitung luas
daerah dengan limit jumlah
adalah:
1. Bagilah interval menjadi
selang yang sama
panjang.
2. Partisilah daerah
tersebut.
3. Masing-masing partisi
buatlah persegi
panjang.
4. Perhatikan persegi
panjang pada interval
[xi-1 , xi].
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
AdaptifHal.: 18 Integral
Langkah menghitung luas
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
persegi panjang
7. Hitung nilai limit
jumlahnya
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x
Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ ) NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
AdaptifHal.: 19 Integral
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =
3 dengan menggunakan cara limit jumlah.
Contoh 1.Contoh 1.
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi
panjang pada interval [xi , xi+1]
dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n
y
0x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2 x3
23i 1
27L i
n
nni
nix32)1(332
1iL
JawabJawab
NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
AdaptifHal.: 20 Integral
4. Jumlahkan luas semua
partisi
1
0
23
127
Ln
ii
n
2223
...2127
L nn
)12)(1(6127
L3
nnnn
)2)(1(29
L 11nn
5. Tentukan
limitnya )2)(1(
29
L 11lim nnn
9)02)(01(29
L
Jadi luas daerah = 9 satuan
6)12)(1(
1
2
nnnn
kk
0x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2 x3
y
NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
AdaptifHal.: 21 Integral
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan selang [a, b] dibagi
menjadi n bagian (lebar tidak
harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada
selang [xi-1, xi] diambil titik
sampel xk maka jumlah Riemann
dituliskan sebagai : kn
kk xxf Δ )(
1
y
ax
0 b
xi-1 xixk
xi
NextBack Home
Selanjutnya didefinisikan
bahwa:
kn
kk
nxxfdxxf Δ )( lim )(
1
b
a
Bentukb
a )( dxxf disebut dengan integral tertentu (Integral
Riemann)
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
AdaptifHal.: 22 Integral
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-
1)2]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
2
1
2 dx 46 xx 2123 22 xx
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx 46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBack Home
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F )( abdxxfb
a
bax)(F
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
AdaptifHal.: 23 Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat
diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada
interval [a, b]. y
x0 a bx
y
ax
0 b
b
adxxf )(
Jumlah Luas Partisi
Berubah Menjadi
Integral
Tentukan limitnya
n
)(xf
n
iii xxf
1)(
)(xf
in
ii
n
b
axxfdxxfL
1)()( lim
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 24 Integral
Kegiatan pokok dalam
menghitung luas daerah dengan
integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah
partisi Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim f(xi)
xi
6. Nyatakan dalam integral
x0
y)(xfy
a
xi
xi
)( ixfLi
a
dxxf0
)(L
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 25 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,
dan garis x = 3
Contoh 3.Contoh 3.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2
xi
4. Jumlahkan luasnya L
xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim xi2 xi
6. Nyatakan dalam integral
dan hitung nilainya
y
0x
3
2)( xxf
dxx3
0
2L
903
333
03
3L
x
Li
xi
xi
2ix
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 26 Integral
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
A -(4xj - xj2)xj
5. Ambil limitnya L = lim (4xi -
xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj
2)xj
6. Nyatakan dalam integral
y
0x54
24)( xxxf
dxxx 4
0
2)4(L dxxx 5
4
2)4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5
Contoh Contoh 44..
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 27 Integral
dxxx 4
0
2)4(L
dxxx 5
4
2)4(A
y
0x54
24)( xxxf
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
40
33122L xx
3643
312 320)4()4(2L
54
33122A xx
33123
312 )4()4(2)5()5(2A
364
3125 3250A
18A 361
1832 daerah Luas 361
364
13 daerah Luas NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 28 Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)
pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara
: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,
integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua
kurva tersebut.Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]
x
4. Jumlahkan : L [ f(x) –
g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral
tertentu
y
ba
dxxgxfb
a )()(L
)(xfy
)(xgy
0x
Li
x
x
)()( xgxf
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 29 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan
garis y = 2 - x
Contoh 5.Contoh 5.
Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya
Li (2 - x - x2)x
4. Jumlahkan luasnya
L (2 - x - x2)x
5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1
-2
-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah
AdaptifHal.: 30 Integral
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1
-2
-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
1
23
3
22L
xxx
3
3)2(2
2)2(3
312
21 )2(2)1(2L
3831
21 242L
38
31
21 242L
21
21 45L
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 31 Integral
Untuk kasus tertentu
pemartisian secara vertikal
menyebabkan ada dua
bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama
untuk menghitungnya.
)(xfy y
a b
Lix
x
)()( xgxf
)(2 xf
Ai
0x
)(xgy
Luas daerah = a
dxxf0
)(2 b
adxxgxf )()(
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 32 Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan
diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas
daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih
sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy y
0x
)()( ygxxgy
Luas daerah = d
cdyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 33 Integral
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Contoh Contoh 66..
Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y
– 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
4. Jumlahkan luasnya
L (6 - y - y2)y
5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y
6. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah =
2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
06
Liy
y
2)6( yy
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 34 Integral
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
06
Li yy
2)6( yy
Luas daerah = 2
03
3
26
yyy
Luas daerah = 0332
22)2(6
Luas daerah =
38112
Luas daerah = 325
Home Back Next
Menghitung Luas dengan Integral
AdaptifHal.: 35 Integral
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu
sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar.
Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda
putar dengan integral adalah:
partisi, aproksimasi,
penjumlahan, pengambilan
limit, dan menyatakan dalam
integral tentu.
Gb. 4
Home NextBack
Volume Benda Putar
AdaptifHal.: 36 Integral
Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika
diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode
yang digunakan untuk menentukan volume benda putar
dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabungy
0 x
y
x
0x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
NextBack Home
Volume Benda Putar
AdaptifHal.: 37 Integral
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
AdaptifHal.: 38 Integral
Bentuk cakram di samping
dapat dianggap sebagai tabung
dengan jari-jari r = f(x), tinggi h
= x. Sehingga volumenya dapat
diaproksimasi sebagai V r2h
atau V f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 xdxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfr
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
AdaptifHal.: 39 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh 7.Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk integral.
y
2x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xr
x
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
AdaptifHal.: 40 Integral
y
h=x
x
x
12 xr
V r2h
V (x2 + 1)2 x
V (x2 + 1)2 x
V = lim (x2 + 1)2
x dxxV 2
0
22 )1(
dxxxV 2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
AdaptifHal.: 41 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh
360º.
Contoh 8.Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
2
yy
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yr
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
AdaptifHal.: 42 Integral
V r2h
V (y)2 y
V y y
V = lim y y
dyyV 2
0
20221yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yr
2
dyyV 2
0
2VNextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
AdaptifHal.: 43 Integral
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
AdaptifHal.: 44 Integral
Menghitung volume benda
putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan
dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti
gambar di samping, yaitu V=
(R2 – r2)h
hr
R
Gb. 5
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
AdaptifHal.: 45 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh 9.Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk integral.
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
AdaptifHal.: 46 Integral
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
V (4x2 – x4) x
V (4x2 – x4) x
V = lim (4x2 – x4) x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)( 532
332 V
)( 1596160V
1564V
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
AdaptifHal.: 47 Integral
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar
disamping.
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
AdaptifHal.: 48 Integral
rr
h
h
2rΔr
V = 2rhΔr
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
AdaptifHal.: 49 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 10.Contoh 10.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi.
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan nyatakan
dalam bentuk integral.
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
AdaptifHal.: 50 Integral
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
r = xx
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x3x
V = lim 2x3x
dxxV 2
0
32
20
4412 xV
8V
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
AdaptifHal.: 51 Integral
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara
horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,
maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda
putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai
berikut.
0
x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
V (R2 – r2)y
V (4 - x2)y
V (4 – y)y
V = lim (4 –
y)y dxyV 4
04
40
2214 yyV
)816( V
8V
0
x
1 2x
2xy y
1
2
3
4
y r=x
R = 2
Home Back Next
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
AdaptifHal.: 52 Integral
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Latihan (6 soal)
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 53 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
Soal 1.Soal 1.
A
B
C
D
E
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 54 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 55 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
dxx2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
0X
Y 2xy
2
4
x
x
4 - x2
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 56 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 57 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
22
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 58 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
2-2
x
x
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
22
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 59 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 60 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
L (8 – x2 -2x)
x dxxx )28(L2
0
2 ( Jawaban D )
319L
3
28
20
23318L xxx
416L 38
0X
Y
28 xy
xy 2
2
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 61 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
2
L (8 – x2 -2x)
x dxxx )28(L2
0
2 ( Jawaban D )
319L
3
28
20
23318L xxx
416L 38
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 62 Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 63 Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,429
L
12
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
0X
Y
2yx yx 2
-2
1
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 64 Integral
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,429
L
12
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas 0X
Y
2yx yx 2
-2
1
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 65 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 66 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 67 Integral
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 68 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 69 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
40
221V x
8V
Jawaban Anda Benar
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 70 Integral
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
40
221V x
8V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
AdaptifHal.: 71 Integral
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan IntegralSelesai
Terima Kasih