71
INTEGRAL TAK TENTU

Integral Tak Tentu Dan Tentu

Embed Size (px)

DESCRIPTION

sedikit menambah wawasan

Citation preview

  • INTEGRAL TAK TENTU

    Integral

  • INTEGRAL TAK TENTUPengertian Hitung IntegralHitung Integral adalah kebalikan dari hitung deferensialMisal : y = F(x) = x2Integral3x2=f(x)dF(x)=f(x) dxNtuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang Sehingga dF(x)=f(x)dxF(x)=

    Integral

  • INTRGRAL TAK TENTUIntegralMisal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalahX4 karena turunannya 4x3 = F(x)X4 + 5 karena turunannya 4x3 = F(x)X4 + 1 karena turunannya 4x3 = F(x)X4 + 50 karena turunannya 4x3 = F(x)X4 + c karena turunannya 4x3 = F(x)Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta)Dengan lambang integral di tulis :Secara um8um di tulis :

    Integral

  • INTEGRAL TAK TENTURumus rumus Pengintegralan

    a.

    b.

    c.

    d.

    e.Integral

    Integral

  • Integral Tak TentuContoh:Tentukan dari PenyelesaianIntegral===2. Integralkanlah (6x 1)2Penyelesaian===12x3 6x2 + 1 + c

    Integral

  • Integral Tak Tentu3. Tentukan PenyelesaianIntegral==4x5 + 2x2 + 10x 5lnx + c4. Tentukan ===Penyelesaian

    Integral

  • INTEGRAL TERTENTUBentuk umum intergral tertentuIntegrala disebut batas bawahb disebut batas atasF(x) : fungsi hasil integral dari f(x)F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a

    Integral

  • INTEGRAL TERTENTUSifat-sifat intergral tertentu 1.

    2.

    3.

    4. Integral

    Integral

  • INTEGRAL TERTENTUContoh :1.Tentukan nilai dari IntegralPenyelesaian==4 - ==2. Tentukan nilai dariPenyelesaian====2

    Integral

  • LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

    Integral

  • Penggunaan IntegralIntegral

    Integral

  • IntegralPenggunaan Integral

    Integral

  • IntegralRuntuhnya Jembatan Tacoma, WashingtonJembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

    Integral

  • IntegralPilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.Penggunaan Integral

    Integral

  • IntegralBola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar. Penggunaan Integral

    Integral

  • IntegralMenentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah utama yang dilakukan adalah memartisi, mengaproksimasi, menjumlahkan, dan menghitung limitnya.

    Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

    Integral

  • IntegralLangkah menghitung luas daerah dengan limit jumlah adalah: Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang. Partisilah daerah tersebut. Masing-masing partisi buatlah persegi panjang. Perhatikan persegi panjang pada interval [xi-1 , xi]. xiLuas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

    Integral

  • IntegralLangkah menghitung luas daerah ( lanjutan ) : Tentukan luas persegi panjang ke-i (Li) Jumlahkah luas semua persegi panjang Hitung nilai limit jumlahnyaLuas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) xJumlah luas persegi panjang :L f(xi) xLimit jumlah : L = lim f(xi) x ( n )Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

    Integral

  • IntegralTentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah.Contoh 1.Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.x0 = 0x1 = 3/nx2 = (3/n) 2 = 6/nJadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/nLuas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

    Integral

  • IntegralJumlahkan luas semua partisi Tentukan limitnya Jadi luas daerah = 9 satuanLuas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

    Integral

  • IntegralPerhatikan gambar di bawah ini!Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

    Integral

  • IntegralIntegral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

    Integral

  • IntegralSecara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Jumlah Luas PartisiMenghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralKegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: Gambar daerahnya. Partisi daerahnya Aproksimasi luas sebuah partisi Li f(xi) xi Jumlahkan luas partisi L f(xi) xi5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi6. Nyatakan dalam integral axiLiMenghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian :Gambarlah daerahnyaPartisi daerahnyaAproksimasi luasnya Li xi2 xi4. Jumlahkan luasnya L xi2 xiAmbil limit jumlah luasnyaL = lim xi2 xiNyatakan dalam integral dan hitung nilainya

    xiMenghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian:Gambar dan Partisi daerahnya Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan Aj -(4xj - xj2)xj4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A -(4xj - xj2)xj5. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj2)xjNyatakan dalam integralxixjMenghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralMenghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralLUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.Langkah penyelesaian:Partisi daerahnyaAproksimasi : Li [ f(x) g(x) ] x4. Jumlahkan : L [ f(x) g(x) ] x5. Ambil limitnya :L = lim [ f(x) g(x) ] x6.Nyatakan dalam integral tertentuMenghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian:Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 x x2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1Partisi daerahnyaAproksimasi luasnyaLi (2 - x - x2)x 4. Jumlahkan luasnya L (2 - x - x2)x 5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x 6.Nyatakan dalam integral tertentu Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

    Integral

  • Integral Menghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralUntuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. Menghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralJika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.Menghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian:Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 y y2 + y 6 = 0 (y + 3)(y 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2Partisi daerahnyaAproksimasi luasnyaLi (6 - y - y2)y 4. Jumlahkan luasnya L (6 - y - y2)y 5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y 6.Nyatakan dalam integral tertentu Menghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • Integral

    Menghitung Luas dengan Integral

    Integral

  • IntegralSuatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu.Volume Benda Putar

    Integral

  • IntegralDalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabungVolume Benda Putar

    Integral

  • IntegralMetode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Volume Benda Putar Metode Cakram

    Integral

  • IntegralBentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V f(x)2x.Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V f(x)2 x V = lim f(x)2 xVolume Benda Putar Metode Cakram

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian:Gambarlah daerahnya Buat sebuah partisiTentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Volume Benda Putar Metode Cakram

    Integral

  • IntegralV r2h V (x2 + 1)2 x V (x2 + 1)2 x V = lim (x2 + 1)2 x Volume Benda Putar Metode Cakram

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian:Gambarlah daerahnya Buatlah sebuah partisiTentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.Volume Benda Putar Metode Cakram

    Integral

  • IntegralV r2h V (y)2 y V y y V = lim y y Volume Benda Putar Metode Cakram

    Integral

  • IntegralMetode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. Volume Benda Putar Metode Cincin

    Integral

  • IntegralMenghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 r2)h

    Volume Benda Putar Metode Cincin

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian:Gambarlah daerahnya Buat sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Volume Benda Putar Metode Cincin

    Integral

  • IntegralV (R2 r2) h V [ (2x)2 (x2)2 ] x V (4x2 x4) x V (4x2 x4) x V = lim (4x2 x4) x Volume Benda Putar Metode Cincin

    Integral

  • IntegralMetode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

    Integral

  • IntegralV = 2rhrVolume Benda Putar Metode Kulit Tabung

    Integral

  • IntegralLangkah penyelesaian:Gambarlah daerahnya Buatlah sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi.Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

    Integral

  • IntegralV 2rhx V 2(x)(x2)x V 2x3x V = lim 2x3x Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

    Integral

  • IntegralJika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. V (R2 r2)y V (4 - x2)y V (4 y)y V = lim (4 y)y Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

    Integral

  • IntegralPetunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kaliLatihan (6 soal)Penggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralLuas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....Soal 1.ABCDEPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralLuas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....Soal 1.ABCDEJawaban Anda BenarPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda SalahPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda BenarPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda SalahPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralLuas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan .ABCDESoal 3.5 satuan luas7 2/3 satuan luas8 satuan luas9 1/3 satuan luas10 1/3 satuan luasJawaban Anda BenarPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • Integral2Jawaban Anda SalahPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda BenarPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda SalahPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda BenarPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda SalahPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda BenarPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralJawaban Anda SalahPenggunaan Integral Latihan

    Integral

  • IntegralMedia Presentasi PembelajaranPenggunaan IntegralSelesai Terima Kasih

    Integral

    ***********************************************************************