Integral Tak Wajar Stt

7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt

1/12

MA1114 KALKULUS I

Integral Tak Wajar


2/12

MA1114 KALKULUS I

Integral Tak Wajar

Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :

b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhinggab. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral t ak w ajar

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga

b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga


3/12

MA1114 KALKULUS I

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :

=

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

=

b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajardisebut konvergen, sebaliknya disebut divergen

(i)

(ii)

(iii)

+=c

c

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

+=b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

c

dx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen


4/12

MA1114 KALKULUS I

Contoh Periksa kekonvergenan ITW

0

212 )x(

dxdx

xxe

4

2

++ )xx(

dx

522

a. b. c.

Jawab :

dxxedxx

xeb

x

b

=

4

2

lim

4

2

= 42

1lim

2 be x

ba.

2

1

)12(2

1

2

1lim =

+=

bb

Jadi integral tak wajar konvergen ke

b.

=

bxb

0

)12(2

1lim

1616

2

1

2

1 2

=

= eeelim bb

Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2

16

2

1 e

=

0

2)12(

lim0

2)12( b x

dx

x

dx

b


5/12

MA1114 KALKULUS I

( ) ( )

+++

++=

++ 12

1

2525252

2 xxdx

xxdx

)xx(dx

+++

++=

1

1

2252

lim52

lim

a

b

ba xx

dx

xx

dx

( ) ( )b

x

ba

x

a1

2

11

1

2

11 tan2

1limtan

2

1lim +

+

+=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1tantan21

limtan1tan2

1

lim

1

2

11

2

111 +

+

+= b

b

a

a

+

=

422

1

242

1

c.

2

2

=

Jadi integral tak wajar konvergen ke


6/12

MA1114 KALKULUS I

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

+

+02

4 x

dx

0

4 dxxe

1x

dx

1

2

1

x

dxe x

a. b. c. d.

+2

22)1( x

dxxe. f.

+ )162

(x

dx

2x

e

xdxg.

++ 1722

xx

dxh.


7/12

MA1114 KALKULUS I

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga

(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang

Jika kontinu pada [a,b) dan maka=)x(flim

bx

=t

abt

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika kontinu pada (a,b] dan maka=+

)x(flimax

+

=b

sas

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakankonvergen, sebaliknya dikatakan divergen


8/12

MA1114 KALKULUS I

(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di cdengan a< c< b dan

=

)(lim xfcx

maka

+ =b

c

dxxfc

a

dxxfb

a

dxxf )()()( +

+

=b

s

dxxft

a cs

dxxf

ct

)(lim)(lim

I II

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b

a

dxxf )(

konvergen.


9/12

MA1114 KALKULUS I

Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

dxx

xln

Jawab :

x

xln)x(f =Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan =

+ x

xlnlim

x 0

maka

+=1

0

1

0

lnlimlnt

tdx

xxdx

xx

tx

t

1)(ln

21lim 2

0+=

( ) ===+

22

0

)()(ln02

1lim tt

Integral tak wajar divergen


10/12

MA1114 KALKULUS I

dxx

x

2

01

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

Jawab

Fungsi diskontinu di x=1 danx

xxf = 1)( = x

x

x 1lim1

+

=

2

1

1

0

2

0111

dxx

xdx

x

xdx

x

x

+

=

+

s

tts

dxx

xdx

x

x

0

2

11 1lim

1lim

( ) = 0|1|lnlim1 sss( )==

ss

ss xxdxx

x

0011 |1|lnlim1lim

Karena

maka integral tak wajar divergendxx

x 2

01


11/12

MA1114 KALKULUS I

Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan

dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga danintegran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contohberikut

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

0

1dx

xx

Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena

- batas atas integral tak hingga- integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selangpengintegralan

sehingga

0

1dx

x

x

+

+

=

1

0

2

1 2111

dxx

xdxx

xdxx

x


12/12

MA1114 KALKULUS I

+

+

=+

2

2

101 111

limlimlim dxx

xdx

x

xdx

x

x

btt

s

s

Karena

( ) ( ) ===

0|1|lnlim|1|lnlim

1

lim10

011

ssxxdx

x

x

s

ss

ss

Maka integral tak wajar divergen

0

1dx

x

x

Soal-soal latihanPeriksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

1

13

1

x

dx

1

1

dxx

xe

1

1 x

dx

1

0 21 x

dxa. b. c. d.

++

0

2

2107xx

dxxe.

1

2

21x

dxx

+

1

2

21x

dxxf. g.

3

0ln xx

dxh.

Documents

Integral Tak Wajar Stt