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INTEGRAIS TRIPLAS Assim, como foram definidas as somas de
simples e duplas de Riemann, tambm so definidas as somas triplas de
Riemann que podem ser colocadas na forma de Integrais Triplas para
funes de trs variveis independentes. Quando, por exemplo, se tem
uma funo zyxf ,, pode definir-se uma caixa retangular, em torno
desta, como mostra a figura a seguir, onde a caixa ser o domnio D
considerado, isto , szrdycbxazyxD ,,/,, 3 O domnio D ser
subdividido em sub-caixas onde cada uma ter um volume
infinitesimal,
zyxV , para 1 ii xxx , 1 jj yyy , 1 kk zzz , formando-se assim a
soma de Riemann como segue:
VzyxfzyxzyxfV li
m
j
n
kijkijkijk
l
i
m
j
n
kijkijkijk ****** ,,,,
A integral Tripla de zyxf ,, sobre o domnio D considerado
Vz,y,xfimdVz,y,xf l1i
m
1j
n
1k
*ijk
*ijk
*ijkn,m,l
D
.
A integral tripla sempre existe se z,y,xf for contnua, e
escolhendo-se o ponto amostra kji z,y,x para cada subcaixa, ao invs
de um ponto qualquer ijkijkijk z,y,x , a integral tripla pode ser
escrita na forma mais simples
Vz,y,xfimdVz,y,xf l1i
m
1j
n
1kkjin,m,l
D
.
D
Z
XY
Z
X
Y
zyxf ,,
X
Z
XYY
V
-
1
Assim, quando a funo zyxf ,, contnua no domnio retangular
szrdycbxazyxD ,,/,, 3 , segundo o teorema de Fubini pode ser
colocada na forma
sr dc baD
dxdydzz,y,xfdVz,y,xf ,
onde a integral iterada do lado direito desta ltima expresso
indica que a primeira integrao deve ser em x ( mantendo constantes
y e z ), em seguida dever ser integrado em y e finalmente em z .
Embora existam cinco outras ordens possveis, as quais devero
fornecer o mesmo resultado. Exemplo: 01) Obter o volume da regio R
no espao 3 definido pela funo 222 zyxz,y,xf onde o domnio dado por
1z0,xy0,zx1/z,y,xD 23 . Soluo: 0,26388 . .Resposta V uv
-
2
02) Obter o volume da regio R no espao 3 definido pela funo
2xyzz,y,xf onde o domnio dado por 3z0,2y1,1x0/z,y,xD 3 . Soluo:
30 21 10 2D
2 dxdydzxyzdVxyzV
Ento, Re 6,75 . .sposta V u v 3.2 - Aplicaes de integrais
triplas 03) Obter o volume da regio R no espao 3 definido pela funo
xz6z,y,xf onde o domnio dado por 10,0,0/,, 3 zzxyzxzyxD . Soluo: Re
1 . .sposta V uv
-
3
04) Encontrar o volume da regio R limitado pelas superfcies 22
3yxz e 228 yxz
Soluo: O volume dado por
D
dVzyxf ,, ,
a integral de 1,, zyxf sobre D . Limites de integrao em z : 22
3yxz e 228 yxz . As superfcies apresentam a interseo 4283 222222
yxyxyx , assim: a projeo sobre o plano XY uma elipse com a equao 42
22 yx , donde:
limites de integrao em y : 2
42
4 22 xyxy e 2
4 2xy . Quando na mesma equao 42 22 yx y for nulo, isto , 0y
tem-se: limites de integrao em x : 224 xx e 2x . Assim,
22 24 24 8 3
2
2
22
22
x
x
yx
yxD
dzdydxdVV
Ento, Re 8 2 . .sposta V u v
-
4
05) Encontrar o volume da regio R limitado pelo cilindro 2yz e o
plano xy que limitada pelos planos 0x , 1x , 1y e 1y . Soluo: O
volume dado por
D
dVzyxf ,, ,
a integral de 1,, zyxf sobre D . Limites de integrao em z : 0z e
2yz . Limites de integrao em y : 1y e 1y . Limites de integrao em x
: 0x e 1x . Assim,
10 11 y0D
2
dzdydxdVV
2Re . .3
sposta V u v
X
Y
Z
-
5
06) Encontrar o volume no primeiro octante da regio R limitada
pelos planos coordenados, pelo plano 2zy e pelo cilindro 2y4x .
Soluo: O volume dado por
D
dVzyxf ,, ,
a integral de 1,, zyxf sobre D . Limites de integrao em z : 0z e
2z . Limites de integrao em y : 0y e 2y . Limites de integrao em x
: 0x e 2y4x . Assim,
20 20 y40D
2
dxdydzdVV
Ento, 32Re : . .3
sposta V u v
Y
Z
X
-
6
07) Calcule a integral tripla G
dVzxy 3212 , na caixa retangular
203021
zyx
.
Resoluo :
2 3 2 2 32 3 2 3 2 4
1 0 0 1 0
2(12 ) (12 ) (3 )
0Gxy z dV xy z dzdydx xy z dydx
Resposta: 648 .
Q
D
-
7
08) Seja G a cunha do primeiro octante secionada do slido
cilndrico y2 + z2 1 pelos planos y = x e x = 0. Calcule dVz
G .
Resoluo : Temos y2 + z2 = 1 z2 = 1 - y2 z = 21 y z = 21 y
Soluo:
D = {(x,y) | 0 < x < 1, x< y < 1} Portanto . . .
dxdyyzdxdydzzdAdzzyxfdVzyxf
yy y
R
yxg
yxgG
1
0 0
221
0 0
1
0
),(
),( 01
2),,(),,(
22
1
x
y
1
1
x = y
D Projeo no plano xy
(1, 1, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 1) z =
2y1
x = y
x
y
z
Q
-
8
= Resposta 81 .
-
9
09) Use a integral tripla para calcular o volume do slido
contido no cilindro x2 + y2 = 9 entre os planos z = 1 e x + z = 5.
Resoluo : z x + z = 5 z = 5 - x y 3 G z = 1 y x x : x2 + y2 = 9 -3
Portanto, com plano xy . . .
2
2
93 5
3 19
y x
y
dzdxdy
Resposta: 36 u.v .
x = 29 y x = -29 y
0
-
10
10 ) Idem para o clculo do tetraedro T limitado pelos planos x +
2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0 . Resoluo : z 2 x = 2y T z= -x 2y
+ 2
y 1 y
( 1, 21 , 0 )
x 0,5 x 0 1
x = 2y y = 2x
Portanto, com plano xy . . .
VT = 1 2 21 2
0 02
xx y
xT
dV dzdydx
Resposta: 31 u.v .
Para z = 0, temos :
x + 2y =2 y = - 2x
+ 1
