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Intégrale Double

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Intégrale Double

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  • Intgrale double Elabor par M. NUTH Sothan

  • I- Notion de lintgrale double

    1. Calculer laire dun trapze curviligne :

    x i

    f(x i)

    a b 0 x

    y

  • Notion de lintgrale double (suite)

    sappelle la somme de Riemann de f(x) .

    2. Calculer le volume dun corps limit en haut par une

    surface continue :

    z=f(x, y) ( f(x, y) 0 )

    en bas par le domaine ferm born S du plan XOY .

    1

    max 00

    lim ( ) ( )i

    bn

    i ix

    i a

    f x x f x dx

  • Notion de lintgrale double (suite)

    La somme :

    1

    ( , ) (2)n

    i i i

    i

    f x y S V

    reprsente le volume dun corps qui sappelle la somme

    de Riemann bidimensionnelle tendue un domaine

    S de f(x, y) .

    Soit di le diamtre de Si .

    Soit d = max di

  • Notion de lintgrale double (suite)

    On obtient :

    On a :

    o f(x, y) est intgrable.

    01

    lim ( , ) (3)n

    i i id

    i

    V f x y S

    01

    lim ( , ) = ( , ) (4)n

    i i id

    i S

    f x y S f x y ds

    V= ( , ) (5)S

    f x y ds

  • Notion de lintgrale double (suite)

    Th1: Si S est un domaine born et ferm frontire lisse par morceaux et si f(x, y) est continue sur ce

    domaine S, lintgrale double :

    Comme (6) est la somme bidimensionnelle, on a :

    Sij = xi yj et ds = dx dy (7)

    01

    ( , ) lim ( , ) (6)n

    i i id

    iS

    f x y ds f x y S

  • Notion de lintgrale double (suite)

    On obtient :

    o (xi, yj) Sij

    max 01 1

    max 0

    ( , ) lim ( , ) (8)i

    j

    n n

    i j i jx

    i jSy

    f x y dxdy f x y x y

  • II- Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires : Soit le domaine dintgration S reprsente un trapze

    curviligne :

    a x b , y1(x) y y2(x) (1)

    o y1(x) et y2(x) sont continues sur [a, b] .

    (1) sappelle le domaine standard par rapport laxe

    OY.

    Soit f(x, y) continue sur S. Alors, lintgrale double est

    ( , ) (2)

    S

    I f x y dxdy

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): y

    0 x a b x

    M2

    M1

    A2

    A1

    B2

    B1

    y = y2 (x)

    y = y1 (x)

    S

    y2

    y1

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): 1. Supposons que f(x, y) 0 dans S.

    Soit (x) laire de la section de cylindrode par le plan M1 M2 M2 M1 Ox au point x [a, b] .

    Donc

    ou

    ( , )S

    I f x y dxdy

    ( ) (3)

    b

    a

    I x dx

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): O

    continue sur [a, b] .

    On obtient :

    2

    1

    ( )

    ( )

    ( ) ( , ) (4)

    y x

    y x

    x f x y dy

    2

    1

    ( )

    ( )

    ( , ) ( , ) (5)

    y xb

    S a y x

    f x y dxdy dx f x y dy

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): z

    0 y a

    z=f(x, y)

    x

    M1 M2

    A2 A1

    B2 B1

    y = y2 (x) S

    (x)

    b y = y1 (x)

    A2 A1

    B1 B2

    M1 M2

    x

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): 2. Soit le domaine dintgration S reprsente un trapze

    curviligne :

    c y d , x1(y) x x2(y) (6)

    o x1(y) et x2(y) sont continues sur [c, d] .

    (6) sappelle le domaine standard par rapport laxe

    OX.

    Soit f(x, y) continue sur S. Alors, lintgrale double est

    2

    1

    ( )

    ( )

    ( , ) ( , ) (7)

    x yd

    S c x y

    f x y dxdy dy f x y dx

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): y

    0 x

    c

    d

    x

    M1 M2

    A2 A1

    B2 B1

    x = x2 (y) x = x1 (y)

    S

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): 3. Soit le domaine dintgration S reprsente un trapze

    curviligne :

    a x b , c y d (8)

    Soit f(x, y) continue sur S. Alors, lintgrale double est

    ou

    ( , ) ( , ) (9)

    b d

    S a c

    f x y dxdy dx f x y dy

    ( , ) ( , ) (10)

    d b

    S c a

    f x y dxdy dy f x y dx

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite):

    y

    0 x

    c

    d

    x

    M2

    M2 A2 A1

    B2 B1

    S

    a b

  • Intgrale double en coordonne

    cartsiennes rectangulaires (suite): Remarque : Si le domaine dintgration S nest par

    standard, on subdivise en S1 , S2 , ... , Sp .

    Alors, lintgrale double est

    1 2

    ( , ) ( , ) ( , ) ...S S S

    f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

    ( , )

    pS

    f x y dxdy

  • Exemples :

    Ex.1: Calculer lintgrale :

    o S : 0 x 1 , 0 y 1.

    Ex.2: Calculer lintgrale :

    o S : 0 x 1 , -2 y 3.

    Ex.3: Calculer lintgrale :

    o S est un triangle de sommets O(0, 0), A(2, 0) et B(2,

    1). Alors S: 0 x 2 , 0 y x/2.

    2 2( )S

    I x y dxdy

    2

    S

    I xy dxdy

    2

    S

    I x ydxdy

  • Exemples

    Ex.4: Intervertir lordre des intgrations dans

    lintgrale itre :

    Ex.5: Mettre les limites dintgration dans lintgrale :

    o S: x2 + y2 = 1 et x2 + y2 = 4

    2

    1

    0

    ( , )

    x

    x

    I dx f x y dy

    ( , )S

    I f x y dxdy

  • III- Intgrale double en coordonne

    polaires: Soit

    Passons en coordonne polaire r=r(), On pose : x= r cos , y= r sin (2) On obtient:

    ( , ) ( , ) (1)S S

    f x y dxdy f x y ds

    ( , ) ( cos , sin ) (3)S S

    f x y dxdy f r r J drd

  • III- Intgrale double en coordonne

    polaires (suite): O le jacobien

    2 2sin cos

    = = (sin cos )cos sin

    (4)

    x x

    rrJ r

    y y r

    r

    J r

  • III- Intgrale double en coordonne

    polaires: On obtient:

    ( , ) ( cos , sin ) (5)

    S S

    f x y dxdy f r r rdrd

  • Exemples:

    Ex. : Passer aux coordonnes polaires les domaines

    suivantes:

    1. x2 + y2 = R2 .

    2. x2 + y2 ax .

    3. x2 + y2 by .

    4. x2 + y2 = 4x , x2 + y2 = 8x , y= x , y= 2x .

    5. x2 + y2 ax , x2 + y2 by .

    6. (x2 + y2)2 = a2 (x2 - y2) .

    7. (x2 + y2)3 4a2 x2 y2 . x 0, y 0 .

  • III- Intgrale double en coordonne

    polaires (suite): En gnral:

    On pose: x= x(u, v), y=y(u, v)

    Alors:

    (6)

    x x

    u vJ

    y y

    u v

  • III- Intgrale double en coordonne

    polaires (suite): On obtient:

    ( , ) ( ( , ), ( , )) (7)

    S S

    f x y dxdy f x u v y u v J dudv

  • Exemples:

    Ex. : Calculer lintgrale:

    o S : y = x + 1, y = x 3, y = 1/3x + 7/3,

    y = 1/3x + 5.

    On peut poser : u = y x , v = y + 1/3x.

    Dans les coordonnes Ouv , on a :

    S : u = 1 , u = 3 , v = 7/3 , v = 5

    on obtient : x = 3/4u + 3/4v , y = 1/4u + 3/4v .

    et J = 3/4 .

    ( )S

    I y x dxdy

  • Exemples:

    On a :

    5 1

    7 3

    3

    3 3( ) 8

    4 4S S

    I y x dxdy u dudv ududv

  • IV- Intgrale dEuler-Poisson:

    Calculer lintgrale dEuler-Poisson :

    Comme lintgrale dfinie ne dpende pas de la

    dsignation de la variable, on peut crire :

    2

    0

    (1)xI e dx

    2

    0

    (2)yI e dy

  • IV- Intgrale dEuler-Poisson (suite):

    En multipliant (1) et (2), on obtient :

    o S : 0 x < + , 0 y < + .

    En passant aux coordonnes polaires, on obtient :

    2 22 ( ) (3)x y

    S

    I e dxdy

    2 2 22

    220

    00 0

    1= ( )

    2 4

    r r r

    S

    I e rdrd d re dr e

  • IV- Intgrale dEuler-Poisson (suite):

    Comme I est positif, on en dduit que :

    et enfin :

    2

    0

    2

    xI e dx

    2xI e dx

  • V- Thorme de la moyenne:

    Soit f(x, y) est continue dans un domaine ferm born

    S.

    Soit :

    Donc :

    min ( , )

    max ( , )

    S

    S

    m f x y

    M f x y

    1

    ( , )n

    i i i

    i

    mS f x y S MS

  • V- Thorme de la moyenne (suite):

    Soit :

    Quand d 0 , on obtient :

    En suite :

    On note :

    qui sappelle la valeur moyenne de f(x, y) dans S.

    max ( ).ii

    d d S

    ( , ) (2)S

    mS f x y ds MS 1

    ( , )S

    m f x y ds MS

    1

    ( , ) (3)S

    f x y dsS

  • V- Thorme de la moyenne (suite):

    Daprs (3), on peut crire :

    Ex. : Evaluer lintgrale

    o S : 0 x 1 , 0 y 1.

    On a :

    ( , ) (4)S

    f x y ds S2 2

    S

    I x y dxdy

    min ( , ) (0,0) 0

    max ( , ) (1,1) 2

    S

    S

    m f x y f

    M f x y f

  • V- Thorme de la moyenne (suite):

    Puisque S=1, on a : 0 I 1,41.

    Alors : I (0+1,41)/2 0,71.

    Et la valeur exacte de cette intgrale :

    I =[ +ln(1+ )]/3 0,79.

    2

    22

  • VI- Application gomtrique de

    lintgrale double: 1. Volume limit en haut par la surface z=f(x, y) et en

    bas par le domaine S du plan XOY.

    Soit z=f(x, y) continue sur S

    o S={a x b , y1(x) y y1(x) }

    2

    1

    ( )

    ( )

    ( , ) ( , )

    y xb

    S a y x

    V f x y dxdy dx f x y dy

  • VI- Application gomtrique de

    lintgrale double (suite): 2. Surface de domaine S du plan XOY.

    Soit f(x, y)=1

    o S={a x b , y1(x) y y1(x) }

    2

    1

    ( )

    ( )

    y xb

    a y x

    S dx dy

  • VI- Application gomtrique de

    lintgrale double (suite): 3. Laire de surface z= f(x, y) .

    o D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le

    plan Oxy.

    22

    1D

    z zS dxdy

    x y

  • Exemple :

    Ex. 1 :Calculer laire de la portion de plan :

    comprise entre les plans de coordonnes.

    1x y z

    a b c

  • Exemple :

    Ex. 2 :Calculer laire de surface dune sphre de centre

    O(0, 0, 0) et de rayon R.

    On a :

    o D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le

    plan Oxy.

    22

    1D

    z zS dxdy

    x y

  • Exemples:

    Ex.3: Calculer laire

    de surface limit par

    les courbes suivantes :

    2 2 et y x x y x

    x

    y

    0

    y=x

    (3, 3)

  • Exemples:

    Ex.2: Calculer le volume limit par le plan z=x , le

    cylindre x2 + y2 = 4 et le plan XOY :

    y

    x

    z

    0

  • Exemples:

    Ex.3: Calculer le volume du corps limit par les

    surfaces z=x2 , z=0 , x=0 , y=0 , x+y=1 .

    Ex.4: Calculer laire de surface limit par les courbes :

    y=a2 /x , y=2a2 /x ,(a > 0) et les droites : x=1 , x=2 .