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Integrales. Integrales Simples. Integrales Múltiples. Integrales de Superficie. Integrales en Línea. Unidad IV. Integral doble. La integral doble. - PowerPoint PPT Presentation
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Integrales
• Integrales Simples.
• Integrales Múltiples.
• Integrales de Superficie.
• Integrales en Línea.
Unidad IV
Integral doble
La integral doble
• Sea R una región cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una función definida en un rectángulo que contiene a R.
Hacemos una partición del rectángulo que contiene a la región R en n x n rectángulos, donde el k-ésimo rectángulo tiene dimensiones Xk
por Yk (no necesariamente iguales).
Luego evaluamos una función g(x,y) en algún punto (Xk*, Yk*) de
cada rectángulo, y formamos la suma... n2
g(xk*, yk
*) xk yk
k = 1
La integral doble
• La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de Riemann. A continuación se ilustra lo anterior.
• Ejemplos: 1) Integrando g(x,y) = x + 1
• Región R : Área comprendida entre las curvas • y = x; y = 4 - x, x = 0.
• En las siguientes imágenes se hará una partición del rectángulo en 8 x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio de una subregión queda dentro de R, se le incluye en la partición y por lo tanto en la suma de Riemman.
Funciones = {x, 4 - x}
• Gráfica de funciones en el plano xy
La integral doble
• Gráfica de la región R
La integral doble
• Partición de la región R en 64 rectángulos.
La integral doble
• A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x, y) = x + 1 en el punto medio de
cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann,
n2
g(xk*, yk
*) xk yk k = 1
• y la integral doble de la función sobre la región R, aunque aún no hemos definido que significa "Integral doble".
La integral doble
• Para la función g(x, y) = 1 + x La suma de Riemann = 6.625 para n = 64 rectángulos
Integral doble = 6.66667
• Como habrás observado, el valor de la suma de Riemann está cercano al valor de lo que llamamos "Integral doble".
La integral doble
• Enseguida se ilustrará la partición tridimensional de el
• volumen comprendido entre la superficie
• z = g(x, y) y la región R.
La integral doble
• Se hace las columnas para calcular el volumen.
La integral doble
• Volumen de los 64 paralelepipedos es 6.625
• Volumen exacto = 6.66667
La integral doble
• A continuación veremos otro ejemplo de lo anterior para reafirmar el concepto.
• Ejemplo 2. Integrando g(x,y) = 25 - x8 - y8 Región R : área comprendida entre las curvas y = x8 - 4 ; y = 4 - x8.
En seguida se hará una partición de la región R en 8 x 8 = 64 rectángulos.
La integral doble
• Funciones =
• {- 4 + x2 , 4 - x2}
• Gráfica de funciones en el plano xy
• Gráfica de la región R
La integral doble
• Partición de la región R en 64 rectángulos
La integral doble
• A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x,y) = 25 - x2 - y2 en el punto medio de cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann,
• Para la función g(x, y) = 25 - x2 - y2
•
• La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectángulos
•
• Integral doble = 438.242
La integral doble
• En las siguientes gráficas se ilustrará la partición tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie
• z = g(x,y) y la región R.
La integral doble
• La región se divide en partes iguales (en este caso) y se calcula el volumen.
La integral doble
• Volumen de los 64 paralelepípedos es 433.484
• Volumen exacto 438.248
La integral doble
• Definición: Si g(x, y) está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, la Integral Doble de g(x, y) sobre R se define como:
• n2
• g(x, y) dA = lim g(xk*, yk
*) xk yk
• R n 0
k = 1
• cuando la norma de la partición tiende a cero. ( lo que equivale a n 0)
