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7/25/2019 Integrales de Linea en Coordenadas Polares
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INTEGRALES DE LINEA EN COORDENADAS POLARES
Una trayectoria en el plano descrita en coordenadas polares es
dado por:
: ( )=(x , y )=(rcos,rsen) donde r=r ()
:
( )=(r ()cos,r()sen) ,
[ , ]
Calculando la derivada se tiene '()=r '( ) (cos , sen)+r
()(sen,cos)
El campo vectorial F(x , y) en coordenadas polares estara dado
por:
G ( r , )=F(rcos ,rsen)
Luego la integral de lnea
G d ren coordenadas polares donde : r=r () esta
dado por:
G d r=
F() d =
F( ( )) . '()d
F(r ( ) cos,r ( ) sen ) . '()d
Ejemplo 1. Calcular
(yz ) dx+(zx ) dy+(xy )dzdonde es la interseccin
de las superficies x2+y2+z2=a2 , y=x tan , (0
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Como y=xtg=acos . sen .tg=asen.sen
%or lo tanto la parametri"acin de la curva es::{
x=acosseny=asensen
z=acos, 0 2
!ora calculamos la integral de lnea:
(yz ) dx+(zx ) dy+(xy )dz
0
2
[(asensenacos ) acoscos+(acosacossen ) asencos+ (acossenasensen
) (asen
0
2
[a2 sencossencosa2 coscos2+a2 sencos2a2 sencossencosa2 cos
sen2+a2 se
0
2
[a2 cos(cos2+sen2 )+a2 sen(cos2+sen2 )]d
0
2
(a2 cos+a2 sen) d=a2(sencos)2
(yx )dx+(zx ) dy+ (xy ) dz=2 a2(sencos)
Ejercicios desarrollados
1. Calcular la integralC
(x+y )dS , donde C es una cuarta parte de la
circunferencia x2+y2+z2=2 , y=x situada en el primer
octante.
SOLUC
&ea:
{x
2
+y2
+z2
=2
y=x
'nterceptando las dos superficies tenemos
x2+y2+z2=2x2+
z2
2=
2
2(elipse)
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%arametri"ando tenemos:x=
2cos, z=sen
Comoy=xy=
cos
2 , luego la curva parametri"ada es e$presado por:
:[ a , ! ] " 3
( ) =(
cos
2,cos
2, sen) ,0
2
#e donde'( )=(sen2 ,sen
2,cos)' ( )=
Como dS=' ( )d=ddS=d
C
(x+y )dS=0
2
2
2cos.d=2
20
2
cosd
22
sen 0
2=22
C
(x+y)dS=22
2. Calcular la integral curvilneaC
xyz dS, donde C es una cuarta parte de la
circunferencia x
2
+y2
+z2
=2
,x
2
+y
2
=
2
4 situada en el primer octante.
SOLUC
&eaC:{x
2+y2+z2=2 $(1)
x2+y2=
2
4$(2)
%arametri"ando la curva C se tiene: de la ecuacin ()*
proyectamos al plano X+
{x=
2cos
y=
2sen
, [0, 2 ] (-*
!ora reempla"ando (-* en (* tenemos:
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2
4cos
2+:
2
4sen
2+z2=2z=
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Luego la curva parametri"ada es dado por:
:[ a , ! ] " 3
( ) =(
2 cos,
2 sen ,3
2 ),0
2
/e donde '( )=(sen2 ,cos2 )' ( )=2
Como dS=' ( )d=
2d
dS=
2d
C
xyz dS=0
2
3
8 3 sen.cos
2d=
4
163
0
2
sencosd
4
163
sen2
2 |0
2
=
4
323
