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Captulo 12
Integrales de Superficie
12.1. Definiciones Basicas
Nuestro porpostito en esta seccion es el definir el concepto de
integral de
una funcion f : M R sobre una superficie M en el espacio.Para
este proposito debemos definir el concepto de superficie
orientable.
En R3 una superficie orientable es esencialmente una superficie
que tiene
dos caras. Mas precisamente, una superficie es orientable si es
posible definir
continuamente un vector perpendicular en cada punto de la
superficie. Al-
gunos ejemplos de superficies orientables son:
(i) La esfera Sr = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 + z2 = r2}
(ii) El cilindro C = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 = 1}
(iii) El elipsoide E =
{(x, y, z) R3 | x
2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
}
Un ejemplo tpico de una superficie no orientable lo constituye
la banda de
Mobius (Figura 1). Observe que en este ejemplo es posible
definir un vector
normal en cada punto de la superficie de modo que vuelva al
punto inicial
con direccion contraria.
Figura 1
1
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2 Captulo 12. Integrales de Superficie
Definicion 12.1. Supongamos que S R3 es una superficie acotada
ori-entable representada por un vector posicion
(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ,
en donde (u, v) [a, b] [c, d]. Entonces,
(i) Si f : S R una funcion, definimosS
fdS =
[a,b][c,d]
f(x, y, z)
u
v
dudv
(ii) Si f : S R3 es una funcion vectorial, definimosS
fdS =
[a,b][c,d]
f(x, y, z),
u
v
dudv
Observacion 12.1. Aqu se tiene
u=
(x
u(u, v),
y
u(u, v),
z
u(u, v)
)
v=
(x
v(u, v),
y
v(u, v),
z
v(u, v)
)
En notacion reducida, u = (xu, yu, zu) y v = (xv, yv, zv).
El primer tipo de integral definido arriba puede ser usado en
una variedad
de situaciones, por ejemplo para hallar el area de una
superficie, para hallar
la masa de una lamina con distribucion de densidad superficial
f(x, y, z) =
(x, y, z) variable, para hallar el centro de masa de la misma
lamina o su
momento de inercia respecto a algun eje, etc. El segundo tipo de
integral
tiene amplio uso en campos vectoriales. As su uso es
imprescindible cuando
se trata de campos electricos, campos magneticos, etc.
Teorema 12.1. Se tiene que
u
v
=EG F 2
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Calculo III - Rodrigo Vargas 3
donde
E =
u2
= x2u + y2u + z
2u
F =
u,
v
= xuxv + yuyv + zuzv
G =
u2
= x2v + y2v + z
2v
Ejemplo 12.1. Usando la formula anterior, calcule el area de una
esfera de
radio R.
Solucion. Una parametrizacion de la esfera de radio R. esta dada
por
(u, v) = (R sen v cos u,R sen v sen u,R cos v)
en donde (u, v) [0, 2] [0, ] y tenemos que
E = u2 = x2u + y2u + z2u = R2 sen2 vF = u, v = 0G = v2 = x2v +
y2v + z2v = R2
por lo queEG F 2 =
R4 sen2 v = R2 sen v. Entonces, el area de la esfera
es
AreaSR =
SR
dS =
2pi0
pi0
EG F 2dudv
=
2pi0
pi0
R2| sen v|dvdu
= 2R2 pi0
sen vdv
= 4R2 .
Ejemplo 12.2. Calcule el area de la superficie helicoidal dada
por
(u, v) = (u cos v, u sen v, v)
donde (u, v) [0, 1] [, 5].
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4 Captulo 12. Integrales de Superficie
Solucion. Una representacion de la superficie puede verse en la
figura 2.
Se tiene que
E = u2 = 1F = u, v = 0G = v2 = u2 + 1
Por lo que el area de la helicoide es
A =
[0,1][pi,5pi]
EG F 2dudv
=
2pi0
10
u2 + 1dudv
= uu2 + 1 + arc sen u
10
= 2 u ln(
2 1)
12.2. Teorema de la Divergencia de Gauss
Teorema 12.2. Sea ~F = (f1, f2, f3) un campo vectorial
continuamente difer-
enciable definido en una region R3 acotada por una superficie S
contin-uamente diferenciable. Entonces,
S
~F , ~ndS =
~F dV
en donde ~n es el vector unitario perpendicular a la superficie
y que apunta
en sentido opuesto al volumen. La expresion
~F = Div ~F = f1x
+f2y
+f3z
,
se conoce como la divergencia de ~F .
Ejemplo 12.3. Calcule, usando el teorema de la divergencia de
Gauss la
integral, S
(x2y + y2 + xyz)dS ,
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Calculo III - Rodrigo Vargas 5
en donde S es la superficie de la bola unitaria x2 + y2 + z2
1.
Solucion. Para poder aplicar el teorema de la divergencia de
Gauss necesi-
tamos escribit el argumento de la integral de la forma ~F ~n dS
para algunafuncion vectorial ~F . Como ~n = (x, y, z) entonces,
~F = (xy, y, xy)
cumple la exigencia. Por lo tanto, de acuerdo al TDG se
tieneS
(x2y + y2 + xyz)dS =
S
~F , ~ndS
=
S
~FdV
=
S
(y + 1)dV
=
S
ydV +
S
dV
La primer integral se puede probar que es cero, mientras que la
segunda es
simplemente el volumen de la esfera, que como sabemos es
4/3.
12.3. Teorema del rotacional de Stokes
Suponga que S es una superficie continuamente diferenciable
orientada
en R3 por medio de un vector normal ~n(x, y, z) y acotada por
una curva .
Diremos que la superficie S y la curva estan orientadas
positivamente, si la
direccion de recorrido de la curva y la direccion del vector ~n
estan orientados
segun la regla de la mano derecha.
Observacion 12.2. Recordemos que si un campo ~F = (f1, f2, f3)
es conser-
vativo entonces satisface ~F = ~0, en donde
~F =
i j kx
y
z
f1 f2 f3
=
(f3y
f2z
,f1z
f3x
,f2x
f1y
)
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6 Captulo 12. Integrales de Superficie
Ahora podemos enunciar el teorema que generaliza a tres
dimensiones el
teorema de Green.
Teorema 12.3 (Stokes). Sea S una superficie orientable acotada
por una
curva de Jordan . Suponga que ~F = (f1, f2, f3) es un campo
vectorial con-
tinuamente diferenciable. Entonces, si la superficie S y la
curva estan ori-
entadas positivamente, se cumple
~F d~r =S
~F , ~n
dS .
Ejemplo 12.4. Verifique el teorema de Stokes para el campo
vectorial
~F = (z y, x+ z,x y)
y la superficie acotada por el paraboloide z = 4 x2 y2 y el
plano z = 0.
Solucion. Calculemos en primer lugar
~F d~r. Para esto, consideremosla parametrizacion
~r(t) = (2 cos t, 2 sen t)
de la curva correspondiente a la interseccion del paraboloide
con el plano
z = 0. Por lo tanto,
~F d~r = 2pi0
(4 sen2 t+ 4 cos2 t)dt = 8 .
Calculamos ahora la integralS
~F , ~ndS.Observe que el gradiente de la funcion z + x2 + y2 nos
entrega un vector
normal a la superficie. Por lo tanto,
~n =(2x, 2y, 1)4x2 + 4y2 + 1
es un vector unitario normal a la superficie. Por otro lado,
como la superficie
esta parametrizada por
(x, y) = (x, y, 4 x2 y2)
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Calculo III - Rodrigo Vargas 7
entonces uv =EG F 2 =
4x2 + 4y2 + 1. Por lo tanto, obtenemos
que
S
~F , ~ndS =
x2+y21
(4x+ 4y + 2)dxdy
=
2pi0
20
(4r cos + 4r sen + 2)rdr
= 8
