UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PERFILIAL AREQUIPAFACULTAD DE INGENIERACARRERA DE INGENIERA DE SEGURIDAD INDUSTRIAL Y MINERA

TRABAJO:APLICACIONES DE LA INTEGRAL IMPROPIACURSO:ANALISIS MATEMATICO IDOCENTE:Vilca Curo RenPRESENTADO POR EL ESTUDIANTE:Diana Saman Caceres Asto Pinares IvanLaura Za JeffryLlamosas Tejada XavierYari Benavides Joel

Arequipa Per2015

INDICE GENERALDedicatoria 3Objetivos... 4Metodologa de investigacin... 4Integral impropia.. 5Carcter y valor de las integrales impropias 8Integral de primera especie.. 8Integral de segunda especie... .. 9Integral de tercera especie 10Ejemplos de Integrales Impropias 10Integrales Impropias especiales.. 18Funcin Gamma. 18Funcin Beta... 23Equivalencia de funcin Gamma y Funcin Beta. 27 Conclusiones... 31Bibliografa..31

INTEGRAL:Laintegracines unconcepto fundamentaldelclculoy delanlisis matemtico. Bsicamente, unaintegrales una generalizacin de la sumadeinfinitossumandos, infinitamente pequeos.Elclculo integral, encuadrado en elclculo infinitesimal, es una rama de lasmatemticasen el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la ciencia tambin; se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.Fue usado por primera vez por cientficos comoArqumedes,Ren Descartes,Isaac Newton,Gottfried LeibnizeIsaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newton generaron elteorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la integracin son procesos inversos.

METODOS DE INTEGRACION:Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todas equivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser integrables con otras definiciones, pero tambin en ocasiones por razones pedaggicas. Las definiciones ms utilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en unaparticin etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el mximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimacin obtenida es 3,648.La integral de Riemann se define en trminos desumas de Riemannde funciones respecto departiciones etiquetadasde un intervalo. Sea [a,b] unintervalocerrado de la recta real; entonces unaparticin etiquetadade [a,b] es una secuencia finita

Esto divide al intervalo [a,b] ennsubintervalos [xi1,xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificadotide; [xi1,xi]. Sea i=xixi1la anchura del subintervaloi; elpasode esta particin etiquetada es el ancho del subintervalo ms grande obtenido por la particin, maxi=1ni. Unsumatorio de Riemannde una funcinfrespecto de esta particin etiquetada se define como

As cada trmino del sumatorio es el rea del rectngulo con altura igual al valor de la funcin en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. Laintegral de Riemannde una funcinfsobre el intervalo [a,b] es igual aSsi:Para todo >0 existex >0 tal que, para cualquier particin etiquetada [a,b] con paso ms pequeo que , se tiene

Cuando las etiquetas escogidas dan el mximo (o mnimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser unsumatorio de Darbouxsuperior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexin que hay entre la integral de Riemann y laintegral de Darboux.

Integral de DarbouxLa Integral de Darboux se define en trminos de sumas de los siguientes tipos:

Llamadas suma inferior y superior respectivamente, donde:

son las alturas de los rectngulos, yxi-xi-1la longitud de la base de los rectngulos. La integral de Darboux est definida como el nico nmero acotado entre las sumas inferior y superior, es decir,

La interpretacin geomtrica de la integral de Darboux sera el clculo del rea de la regin en [a,b] por elMtodo exhaustivo. Laintegral de Darbouxde una funcinfen [a,b] existesi y solo si

Del Teorema de Caracterizacin que dice que sifes integrable en [a,b] entonces >0 Pparticin de [a,b]: 0U(f,P)-L(f,P), evidencia la equivalencia entre las definiciones de Integral de Riemman e Integral de Darboux pues se sigue que7

Integral de Lebesgue

Integracin de Riemann-Darboux (azul) e integracin de Lebesgue (rojo).La integral de Riemann no est definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia prctica (y de inters terico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fcilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creacin de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido ms amplio de funciones.La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atencin en los pesos de la suma ponderada.As, la definicin de la integral de Lebesgue empieza con unamedida, . En el caso ms sencillo, lamedida de Lebesgue(A) de un intervaloA= [a,b] es su ancho,ba, as la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos ms complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningn parecido a intervalos.Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:9"Para calcular la integral de Riemann def, se particiona el dominio [a,b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se est particionando es el recorrido def".Un enfoque habitual define primero la integral de lafuncin caractersticade unconjunto medibleApor:

Esto se extiende por linealidad a lasfunciones escalonadassimples, que solo tienen un nmero finiton, de valores diferentes no negativos:

(donde la imagen deAial aplicarle la funcin escalonadases el valor constanteai). As, siEes un conjunto medible, se define

Entonces, para cualquierfuncin medibleno negativafse define

Es decir, se establece que la integral defes elsupremode todas las integrales de funciones escalonadas que son ms pequeas o iguales quef. Una funcin medible cualquieraf, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir

Finalmente,fes Lebesgue integrable si

y entonces se define la integral por

Cuando el espacio mtrico en el que estn definidas las funciones es tambin unespacio topolgicolocalmente compacto(como es el caso de los nmeros realesR), las medidas compatibles con la topologa en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de lasfunciones continuasconsoporte compacto. De forma ms precisa, las funciones compactamente soportadas forman unespacio vectorialque comporta unatopologanatural, y se puede definir una medida (Radon) comocualquierfuncionallinealcontinuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una funcin compactamente soportada, es tambin, por definicin, la integral de la funcin. Entonces se contina expandiendo la medida (la integral) a funciones ms generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su funcin caracterstica. Este es el enfoque que tomaBourbaki10y cierto nmero de otros autores. Para ms detalles, vasemedidas de Radon.Integral impropiaIntroduccin "Si la funcin f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asntota vertical, o si c=, entonces la integral

Puede ser ms conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera est definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x)dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el lmite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como lmites.La integral

puede interpretarse como

pero desde el punto de vista del anlisis matemtico no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ). Por otro lado, el uso del lmite de integrales definidas en intervalos finitos es til, aunque no sea como forma de calcular su valor.En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

sta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor est dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de nmeros reales en los cuales debemos utilizar lmites.Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simblica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como lmite de integracin. Esto no hace ms que "ocultar" el debido proceso de calcular los lmites de la integral. Utilizando la ms avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operacin. Pero si slo se desea evaluar el lmite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es ms o menos esencial en el tratamiento terico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

Definicin de integral impropia:Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integracin o la funcin en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

Definicin1:(i).

Si el lmite existe.Observe la fig. 1.

(ii).

Si el lmite existe.Observe la fig. 2.

Definicin 2:(i).

si los lmites existen.Definicin 3:(i).

si el lmite existe.(ii).

si el lmite existe.Definicin 4:(i).

si los lmites del miembro derecho existen.Cuando los lmites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.Carcter y valor de las Integrales Impropias Si la integral que nos ocupa es de fcil resolucin podemos determinar su carcter mediante el clculo de la integral impropia. Segn el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:1-Primera especie Son del tipo:

Para poder determinar su carcter realizamos la siguiente operacin (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente):Si existe el

y es finito y en ese caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si

es + - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.2-Segunda Especie Son del tipo:

y que f(x) no est definida en el intervalo de integracin o en los extremos de integracin.Para poder determinar su carcter realizamos la siguiente operacin (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):Si el existe y es finito y en este caso entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.3-Tercera EspecieSon mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integracin y la funcin se hace infinito en uno o ms puntos del intervalo de integracin.Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carcter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

Ejemplos de Integrales impropias Ejemplo 1: Encontrar el rea de la regin limitada por la curva la recta y el eje x Como la curva es siempre positiva Area=1 Es decir que el rea si se puede medir y vale 1. Uno podra pensar que la curva se vuelve asntotica al eje x rapidamente'' y que por lo tanto la porcin que hay entre la curva y el eje x se vuelve muy pequea y llega a ser despreciable. Integral impropia de 1ra clase. (divergente)Ejemplo 2: Mirar si es convergente luego es convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo se puede decir que ste valor es el rea bajo la curva Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el rea bajo la curva con Como para Entonces el rea no se puede medir porque la integral es divergente.

Se toma un valor a para calcular y luego se hace tender hacia - Es decir

Ejemplo 4: La regin limitada por la curva el eje y , el eje x rota alrededor del eje x ; encontrar el volumen del slido obtenido. Utilizando discos Volumen

Ejemplo 5: Determinar si es convergente o divergente utilizando fracciones parciales Como es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la indeterminacin

As :

Este caso sera una combinacin de los dos numerales anteriores

Pero si la curva tiene alguna simetra se puede aprovechar este hecho para que la integral sea impropia en uno solo de los lmites de integracin Ejemplo 6: Encontrar el rea limitada por la curva y el eje xPor lo que la curva es siempre positiva Pero como la curva es simtrica con respecto al eje yArea=2

Ejemplo 7: Determinar si converge o diverge

como se ve en la grfica es una funcin impar por lo cual si existe por lo tanto

Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente poda haber sido divergente y el resultado no da cero. Si es una funcin continua en un intervalo existe

Si t es discontnua en a se hace y si este lmite existe se dir que la integral es convergente si no que es divergente. Si t es discontnua en b se hace con la misma observacin anterior Si t es discontinua en algn nmero pero continua en todos los dems valores Aplicndose sobre el nmero c lo que se describi

Integral impropia de 2da clase.(convergentes)Ejemplo 8: Decir si la integral converge o diverge El integrando es discontinuo en 0 entonces Como siempre, este resultado me est dando el rea bajo la curva Ejemplo 9: Decir si la integral es convergente o divergente El integrando es discontinuo en luego la integral diverge Ejemplo 10: Decir si converge o divergeSi se pasa por encima de la discontinuidad haciendo Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la funcin es positiva! Como es discontnua en 0 Como la regin es simtrica con respecto al eje y si converge tambin; luego es divergente Ejemplo 11: Muestre que el permetro de una circunferencia de radio r es La ecuacin de una circunferencia de centro en (0,0) y de radio a es El permetro de la circunferencia ser la longitud de un cuarto de arco multiplicado por cuatro.

El integrando es discontinuo en (el denominador se hace 0);

En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos donde hay que hacer uso de integrales impropias. Integrales Impropias especialesFUNCIN GAMMA Ahora estudiaremos una funcin conocida como la funcin gamma r(x), la cual es de gran importacia en anlisis y en aplicaciones. Esta funcin se define en trminos de una integral impropia, la cual no puede calcularse en trminos de funciones elementales. Definicin [Funcin GammaLa funcin dada por

se conoce como la funcin gamma. Su grfica se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9El siguiente teorema establece una de las propiedades ms importantes de la funcin gamma. Teorema [Recursividad de gamma] Para toda se tiene que

Demostracin Integrando por partes

Ejemplo Calcule Solucin

El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario. Corolario [Recursividad de Gamma] Para , se tiene que

Observacin: de los resultados anteriores obtenemos que , por esta razn se conoce a esta funcin como el factorial generalizado. Ejemplo Calcular los valores de Solucin Usando la propiedad recursiva, tenemos que Para :

Para :

Para :

De donde

CLCULO FRACCIONARIOLa n-sima derivada de axb (donde n es un nmero natural) se puede ver de la siguiente manera:

Como n! = (n + 1) entonces donde n puede ser cualquier nmero donde gamma est definido o se pueda definir mediante lmites.De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive de una constante c = cx0:

FUNCION BETAA siguiente integral

se conoce como la funcin beta. El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la funcin Beta.1. La funcin converge para 2. 3. Para se tiene que

4. Para se tiene que

5. Para se tiene que

Demostracin 1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes

Ahora, observe que la primera integral converge si

y de igual manera, la segunda integral converge si

2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable

3. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

4. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

5. La demostracin de este resultado es un tanto ms compleja y se sale de los objetivos del curso, por esta razn no la haremos. Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solucin Usando los resultados del teorema anterior

Observe que cuando n es muy grande es extremadamente difcil calcular n!, an con la ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el nmero de posibles formas de barajar un maso de cartas podra tomar mucho tiempo, pues involucra el calculo de 52! El siguiente teorema establece que es una buena aproximacin de , cuando es muy grande. Teorema Frmula de Stirling

Observacin: del la frmula de Stirling tenemos que Y por ltimo el siguiente teorema expresa la relacin entre la funcin r(x) y la transformada.

Equivalencia entre la funcin Gamma y BetaLa funcin beta fue estudiada por Euler y Legendre pero su nombre le fue dado por Jacques Binet.En matemtica, dada una funcin f, muchas veces es til expresar f (x + y) en trminos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

Este anlisis, aplicado a la funcin gamma, conduce a la definicin de la funcin beta. Para x e y, dos nmeros complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto (x)(y):

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables t = u2 y s = v2:

Pasando a coordenadas polares u = rcos, v = rsin esta integral doble arroja

Haciendo t = r2 obtenemos

Definiendo la funcin beta

se obtiene

Propiedades 1. La primera propiedad que satisface la funcin beta, ya se ha mostrado

2. La funcin beta es simtrica

3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la funcin beta

Derivadas Las derivadas de la funcin beta, pueden expresarse en trminos de la funcin digamma y las funciones poligamma

donde (x) es la funcin digamma.Aplicacin Puesto que (1) = 1, se deduce de la definicin de la funcin beta y de la primera propiedad enunciada que

de donde Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular

Entonces podemos

Usando la primera propiedad de la funcin beta, tenemos

De manera que

CONCLUCIONES: Al puede concluir con satisfacion que al desarrollar la monografia se aumentos la vision del alumnos al estar en contacto con una informacion vasta solo publicada en la web. Se tiene claro las diversas escuelas matematicas, es decir la matematica aplicada y la matematica pura,que desarrolla la teoria matematica desde el punto de vista axiomatico y riguroso.

BIBLIOGRAFIA: Instituto de matemtica y ciencias afines-Universidad Nacional de Ingeniera Per www.imca.edu.pe Universidad de Zaragoza - Espaa www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/.../07-impropias.pdf Universidad Catlica de Salta- Argentina www.ucasal.net/recursos/INTEGRALES_IMPROPIAS.pdf Facultad de Ingeniera ;Universidad de Buenos Aires- Argentina www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/II00.pdf Universidad de Alcal Espaa www2.uah.es/josem_salazar/material_docente.../teoria/.../t6.pdf Enciclopedia Libre Wikipedia es.wikipedia.org

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