Eotvos Lorand TudomanyegyetemTermeszettudomanyi Kar

Toth Laszlo MartonMatematikus MSc

Integralgeometriai formulak

MSc - Szakdolgozat

Temavezeto: Csikos Balazstanszekvezeto egyetemi docens

Geometriai Tanszek

Budapest, 2013.

Koszonetnyilvanıtas

Ezuton szeretnem megkoszonni temavezetomnek, dr. Csikos Balazsnak a szakdol-gozat ırasa soran nyujtott segıtseget, szakmai utmutatasat, munkam lelkiismeretesellenorzeset es leginkabb az irantam tanusıtott turelmet. Szinten halas vagyok az al-tala felvetett temaert, amelyet az elso pillanattol fogva szemleletesnek es elegansnaktalaltam.

3

Tartalomjegyzek

Bevezetes 5

1. Integralgeometria a sıkban 6

1.1. Az egyenesek parameterezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. A Crofton-formula bizonyıtasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Cauchy-formula a sıkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. A Buffon-fele tuproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Konvex halmazok 15

2.1. Approximacio politopokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Felszın es terfogat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Cauchy-formula a felszınre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. A Steiner–Minkowski-tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Kiertekelesek 25

3.1. Kiertekelesek kiterjesztese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Kiterjesztes konvex halmazokrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Kiertekelesek parallelotopokon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Mertekek Grassmann-sokasagokon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Konvex testek belso terfogatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Hadwiger tetele 42

4.1. Tamaszfuggvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. A terfogat jellemzese polikonvex halmazokon . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3. Belso terfogatok normalizalasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4. A Hadwiger-tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5. Alkalmazasok 53

5.1. A Steiner–Minkowski-tetel meg egyszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2. Belso terfogatok meg egyszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3. A µ0 kiertekelesrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4. Racspontok konvex halmazokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5. Osszegzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4

Bevezetes

Az integralgeometriai formula nem egzakt matematikai fogalom. Olyan egyenlosege-ket sorolunk ide, melyek egy geometriai objektum valamilyen meroszamat fejezik kiegy integral segıtsegevel, es az integralas is geometriai objektumok – peldaul egyene-sek, hipersıkok – teren tortenik

”egyenletes” mertek szerint. Az egyenletesseg alatt

azt ertjuk, hogy valamilyen termeszetes csoporthatasra nezve a mertek invarians. Alegnevezetesebb peldak a gorbek hosszara vonatkozo Crofton-formula, es a konvextestek felszınere vonatkozo Cauchy-formula.

Mint azt a peldak is mutatjak, a temakor – jellegebol adodoan – alapvetoen diffe-rencialgeometriai, azonban szoros kapcsolatban van a geometriai valoszınusegszamı-tassal is. A hıres Buffon-fele tuproblemaban az integral a metszespontok szamanakvarhato ertekeben van elbujtatva.

A dolgozat elso fejezeteben ezeket a peldakat vizsgaljuk meg tuzetesen. A diffe-rencialgeometriai megkozelıtes soran megtalaljuk a bizonyıtastechnikai nehezsegeket,melyek kezelesehez komoly analitikus eszkozokre van szukseg. Az allıtasokra gyak-ran talalunk intuitıv erveleseket, melyekben visszatero momentum az objektumokfeldarabolasa es osszeragasztasa, amit az tesz lehetove, hogy az eppen aktualisanvizsgalt meroszam es integral is osszeadodik ragasztasnal.

Ez a gondolat vezet a kiertekelesek definıciojahoz. Egy µ fuggvenyt egy L halonkiertekelesnek nevezunk, ha barmely A,B ∈ L-re µ(A∨B) = µ(A) + µ(B)− µ(A∧∧ B). Az L halo esetunkben mindig metszet- es uniozart halmazrendszer lesz. Acelunk az, hogy olyan eszkoztarat epıtsunk fel, melynek segıtsegevel az intuitıv gon-dolatmenetek precızze tehetoek.

A dolgozat nagy reszeben kompakt, konvex halmazokon, illetve ilyenek vegesunioin ertelmezett kiertekeleseket vizsgalunk. Konvex halmazok eseteben ugyanisa politopokkal valo kozelıthetoseg konnyıt az analitikus nehezsegeken. A terfogates felszın mintajara bevezetjuk elobb parallelotopok, majd konvex halmazok belsoterfogatait, melyek kozponti szerepet toltenek be vizsgalodasainkban.

Az elmelet kiepıtese utan bebizonyıtjuk a Hadwiger-tetelt, miszerint a belso ter-fogatok bazisat adjak a folytonos, egybevagosag-invarians kiertekeleseknek. Ezzelrendkıvul eros eszkoz kerul a kezunkbe konvex halmazokrol szolo integralgeometriaiformulak bizonyıtasara. Ha egy integralrol bebizonyıtjuk, hogy kiertekeles, es telje-sıti a folytonossagra es invarianciara tett feltetelt, akkor biztosan a belso terfogatoklinearis kombinacioja. Az integral homogenitasanak vizsgalataval – a halmazunkatα-szorosara novelve az integral erteke α hanyadik hatvanyaval szorzodik – azt isrogton meg tudjuk mondani, hogy konstans szorzo erejeig melyik belso terfogatotkaptuk. Egy tetszolegesen valasztott halmazon kiszamolva az integralt a konstans ismeghatarozhato.

Az utolso fejezetben a Hadwiger-tetel segıtsegevel a belso terfogatokat ossze-kapcsoljuk a Steiner–Minkowski-tetelben bevezetett polinom egyutthatoival, amivelaz elmelet meg jobban letisztul. Mindekozben szamos integralgeometriai formulavalismerkedunk meg.

5

1. Integralgeometria a sıkban

A sıkbeli integralgeometriat a Crofton-formulan keresztul kozelıtjuk meg, es mutat-juk be. Ez a temakor legalapvetobb tetele, mely egy gorbe hossza, es a sık egyene-seinek a gorbevel vett metszespontjainak szama kozt teremt osszefuggest.

Ebben a fejezetben a legtobb tetelunket a Crofton-formulara vezetjuk vissza, estapasztalni fogjuk, hogy tobb neves tetel es problema valik konnyen kezelhetoveezaltal. Erdemes azonban megjegyezni, hogy ezekre az allıtasokra sokszor kozvetlen,es felettebb szemleletes bizonyıtas is adhato, melyeknek azonban kritikus pontja atorottvonalrol gorbere valo atteres. Ez ugyan csak bizonyıtastechnikai kerdes, de elegkellemetlen ahhoz, hogy kenyelmesebb legyen a Crofton-formulara hivatkozni, ahola gorbek kozelıteset mar elvegeztuk. Mivel hatarozott celunk az integralgeometriagondolatkorenek bemutatasa, ezert helyenkent kiterunk az intuitıv ervelesekre is.

1.1. Az egyenesek parameterezese

Jelolje E az R2 euklideszi sık egyeneseinek halmazat, ezek persze jellemezhetok azorigotol mert tavolsaguk, es iranyuk (normalvektoruk szoge) segıtsegevel. Legyentehat eθ,d = {(x, y) ∈ R2|cos(θ) · x+ sin(θ) · y = d} ∈ E, es tekintsuk a p : R2 → E,p(θ, d) = eθ,d szurjektıv lekepezest. Termeszetesen eθ,d = eθ,d akkor es csak akkor,

ha θ − θ = k · π es d = (−1)kd, ahol k ∈ Z. Azt latjuk, hogy p-t a [0, π) × Rtartomanyra megszorıtva mar bijektıv fuggvenyt kapunk, es a (π, d) hatarpont paltal ugyanoda kepzodik, mint a (0,−d), vagyis E-t a faktortopologiaval ellatva egynyılt Mobiusz-szalagot kapunk.

Ugyanez a faktorizalas egy µ merteket is biztosıt E-n: legyen A ⊆ E merhetoakkor es csak akkor, ha p−1(A) ∩ ([0, π] × R) Lebesgue merheto, es ekkor legyenµ(A) = λ(p−1(A) ∩ ([0, π]×R)). Azert szorıtkoztunk a [0, π] intervallumra, hogy azegyenesek szoge lenyegeben egyertelmu legyen, de ennek a valasztasnak persze semmijelentosege. Mivel a p szerinti oskep periodikus a (θ, d) 7→ (θ + π,−d) csusztatvatukrozesre, mely a Lebesgue-merteket nem valtoztatja, ezert a µ definıciojaban [0, π]helyett barmilyen [a, a+ π], a ∈ R intervallumot hasznalhatunk.

1.1.1. Allıtas. A µ mertek invarians a sıkbeli egybevagosagokra nezve, azaz ha Φ ∈∈ Iso(R2), es A ⊆ E merheto, akkor Φ(A) is merheto, es µ(Φ(A)) = µ(A).

Bizonyıtas. Az allıtast eleg Iso(R2) egy generatorrendszerere bizonyıtani. Jelolje Fαaz origo koruli α szoggel vett forgatast minden α ∈ [0, 2π] szogre, Ea az x tengellyelparhuzamos, a-val valo eltolast minden a ∈ R valos szamra, es T az x tengelyre vetttukrozest. Ezek egyutt generaljak Iso(R2)-t, es meg fogjuk mutatni, hogy ezekrenezve µ invarians. Mindharom esetben megvizsgaljuk, hogy az adott egybevagosagmikeppen transzformalja az A-hoz tartozo parametereket.

Az origo koruli forgatasoknal Fα(eθ,d) = eθ+α,d, azaz p−1(Fα(A)) a (θ, d) sıkoneppen p−1(A) eltoltja az (α, 0) vektorral, jelolje ezt az eltolast Eα. A konnyebb ert-hetoseg kedveert kulonboztetjuk meg Eα-tol, mert ugyan mindketto R2-en hat, de

6

Eα eseten R2 alatt az egyenesek parameterteret ertjuk. A Lebesgue-mertek eltolas-invarianciajabol, a szoget kijelolo intervallumot [α, α + π]-nek valasztva adodik azallıtas :

µ(Fα(A)) = λ(p−1(Fα(A))∩ ([α, α+ π]×R)

)= λ

(Eα(p−1(A))∩ ([α, α+ π]×R)

)=

= λ(Eα(p−1(A) ∩ ([0, π]× R))

)= λ

(p−1(A) ∩ ([0, π]× R)

)= µ(A).

A T tukrozesnel T (eθ,d) = e−θ,d, vagyis ennek a (θ, d) sıkon egy fuggoleges egye-nesre valo tukrozes felel meg, ami Lebesgue-mertek tarto, tehat

λ(p−1(T (A)) ∩ ([−π, 0]× R)

)= λ

(p−1(A) ∩ ([0, π]× R)

).

Ennek bal oldala µ(T (A)), jobb oldala pedig µ(A), ezzel T -re is belattuk azinvarianciat.

Vegul a vızszintes eltolasoknal Ea(eθ,d) = eθ,d+a·cos(θ). Vezessunk be erre egyjelolest, legyen f(θ, d) = (θ, d + a · cos(θ)), ennel a lekepezesnel az elso koordinatanem valtozik, ıgy f

(p−1(A)

)∩ ([0, π]×R) = f

(p−1(A)∩ ([0, π]×R)

), vagyis eleg az

f -rol megmutatni, hogy tartja a Lebesgue-merteket. Ezt konnyen ellenorizhetjuk aderivalt lekepezes determinansanak kiszamıtasaval, es valoban 1-et kapunk.

Miutan megismerkedtunk az egyenesek terevel, es a rajta ertelmezett mertekkel,kimondjuk a fejezet kozponti tetelet, a Crofton-formulat :

1.1.2. Tetel (Crofton-formula). Legyen γ : [a, b] → R2 szakaszonkent folytonosandifferencialhato gorbe, jelolje nγ(e) az e ∈ E egyenes γ-val vett metszespontjainakszamat, azaz nγ(e) = |{t ∈ [a, b]|γ(t) ∈ e}|. Jelolje a γ gorbe hosszat lγ. Ekkor:

lγ =1

2

∫E

nγdµ

1.2. A Crofton-formula bizonyıtasa

Az alabb ismertetett bizonyıtas alapgondolata megtalalhato M.P. do Carmo [1] kony-veben. Az ott olvashato bizonyıtast Csikos Balazs Differencialgeometria 1. eloadasainelhangzottak alapjan tettuk teljesse. Ismert a tetelnek mas bizonyıtasa is, mely ahelyettesıteses integralas tetelenek egy altalanosıtasat hasznalja, l. [2].

A bizonyıtas soran eloszor szakaszra, majd torottvonalra mutatjuk meg az allı-tast, majd vegul a gorbenket torottvonallal fogjuk kozelıteni.

Szakasz eseten az iment bizonyıtott egybevagosaginvariancia miatt feltehetjuk,hogy a szakaszunk az origoban kezdodik, es vızszintes, vagyis vegpontjai a (0,0) es(a,0) pontok, ahol a ∈ R. Figyeljuk meg, hogy nγ ertekkeszlete jelen esetben {0,1,∞}lehet, azonban csak egyetlen olyan egyenes van, mely illeszkedik a szakaszra, ıgy a∞-t nullmerteku halmazon veszi fel, ezt tehat elhagyhatjuk. Akkor fogja egy egyenesmetszeni a szakaszt, ha gyengen elvalasztja a ket vegpontot, ami az egyenletevelkifejezve:

7

[0 · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≤ d, es a · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≥ d

], vagy[

0 · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≥ d, es a · cos(θ) + 0 · sin(θ) ≤ d]

Az egyenleteket egyszerusıtve:

a · cos(θ) ≥ d ≥ 0, vagy

a · cos(θ) ≤ d ≤ 0

Azt latjuk, hogy d erteke be van szorıtva az a · cos(θ) fuggveny grafikonja, es azx tengely koze, ennek a tartomanynak a terulete a 0 ≤ θ ≤ π megszorıtassal epp aza ·cos(θ) fuggveny felperiodusanak gorbe alatti terulete,azaz 2a. Az nγ fuggveny egy2a merteku halmazon veszi fel az 1 erteket, integralja tehat 2a, mely pont a hosszketszerese. Ezzel szakaszokra bebizonyıtottuk az allıtast. Egy pontbol allo szakaszraadodik az alabbi, egyebkent is trivialis kovetkezmeny.

1.2.1. Kovetkezmeny. Egy adott ponton atmeno egyenesek halmaza nullmerteku.�

Legyen most T egy torottvonal, mely az I1, I2, . . . Ik szakaszokbol tevodik ossze,a megfelelo metszespontszamlalo fuggvenyek pedig legyenek nT , nI1 , nI2 , . . . , nIk . Haaz e ∈ E nem megy at egyik csatlakozasi ponton sem, akkor nT = nI1 +nI2 +· · ·+nIk ,es az elozo kovetkezmeny epp azt mondja, hogy ez az egyenlet majdnem mindenholteljesul. Innen a szakaszokra mar bizonyıtott formula osszeadasaval megkapjuk azallıtast T -re.

lT =k∑j=1

lIj =k∑j=1

(1

2

∫E

nIj dµ

)=

1

2

∫E

k∑j=1

nIj dµ =1

2

∫E

nT dµ

A gorbek torottvonallal valo kozelıtese elott szuksegunk lesz elokeszuletekre.Hasznaljuk a Sard-lemma egy specialis esetet, melynek segıtsegevel egy gorbet erintoegyenesek halmazarol fogjuk megmutatni, hogy nullmerteku.

1.2.2. Tetel (Sard-lemma, specialis eset). Legyen U ⊆ Rn nyılt halmaz, es F : U →Rn folytonosan differencialhato fuggveny, Σ = {x ∈ U | detF ′(X) = 0} a szingularispontok halmaza. Ekkor a kritikus ertekek F (Σ) halmaza Lebesgue nullmerteku. �

Tekintsunk most egy γ : [a; b] → R2 folytonosan differencialhato gorbet, legyenγ(t) = (x(t), y(t)). Vezessuk be az F fuggvenyt, mely az U = R × (a; b) → R2 hal-mazon van ertelmezve, es F (θ, t) =

(θ, x(t) · cos(θ) + y(t) · sin(θ)

). Vilagos, hogy

F (θ, t) pont a gorbe γ(t) pontjan at huzott, θ szoghoz tartozo egyenes parameter-parja. Erdemes megjegyezni, hogy F is folytonosan differencialhato. Kiszamıtva Fderivaltjat :

F ′(θ, t) =

(1 0

−x(t) · sin(θ) + y(t) · cos(θ) x′(t) · cos(θ) + y′(t) · sin(θ)

).

8

A determinans tehat x′(t) · cos(θ) + y′(t) · sin(θ), ami epp a γ′(t) sebessegvektores a (cos(θ), sin(θ)) normalvektor skalaris szorzata, vagyis pontosan akkor nulla, haaz F (θ, t) parhoz tartozo eθ,x(t)·cos(θ)+y(t)·sin(θ) egyenes erinti a γ gorbet. Hallgatola-gosan megengedunk olyan t ∈ [a, b] pontokat, ahol a gorbe sebessegvektora 0, ekkorbarmely γ(t)-n atmeno egyenest erintonek hıvunk.

Tehat F -et a korabbi p lekepezesunkkel komponalva azt kapjuk, hogy p(F (U))eppen a γ gorbe erintoinek halmaza. Az F fuggvenyre alkalmazva a Sard-lemmatkapjuk, hogy λ(F (U)) = 0, amibol adodik, hogy µ(p(F (U))) = 0, vagyis megkaptukaz alabbi kovetkezmenyt:

1.2.3. Kovetkezmeny. Egy folytonosan differencialhato gorbe erintoinek halmazaµ-nullmerteku. �

Most mar be tudjuk bizonyıtani a Crofton-formulat gorbekre is. Legyen tehat γfolytonosan differencialhato gorbe, es jelolje Ti azt a γ-ba ırt tort vonalat, melyet az[a; b] intervallum 2i reszre osztasabol kapunk. Vezessuk be tovabba minden Ti-hezaz ni metszespontszamlalo fuggvenyt.

Mivel egy ponton atmeno egyenesek halmaza nullmerteku, es az osszes Ti-nek(minden i ∈ N-re) egyutt is csak megszamlalhatoan vegtelen sok torespontja van,ezert azon egyenesek halmaza, melyek valamely Ti torespontjan athaladnak, nullmer-teku. Az elozo kovetkezmenyunk alapjan azt is tudjuk, hogy γ erintoi is nullmertekuhalmazt alkotnak, ıgy mindezen egyenesektol eltekintve az nγ integralja nem valto-zik. Felteheto tehat, hogy egy altalanos e egyenes elkeruli a torespontokat, es nemerintoje a gorbenek.

Vegyuk eszre, hogy egy ilyen e egyenesre ni(e) monoton no az i parameterben.Ha a Ti torottvonal egy I szakasza metszi e-t, akkor a Ti+1 torottvonalban I he-lyett megjeleno I0 es I1 szakaszok I-vel egyutt egy olyan haromszoget hataroznakmeg, melynek I oldalat e belso pontban metszi, ıgy a Pasch-axioma alapjan van aharomszoggel meg egy kozos pontja, ıgy metszi az I0∪I1 torottvonalat. Ezt a Ti min-den szakaszara elmondva adodik a monotonitas. Megmutatjuk, hogy limi→∞ ni(e) == nγ(e).

Vilagos, hogy nγ(e) ≥ ni(e) ∀i, hiszen ha egy szakasz ket vegpontja egy egyenesket oldalan van, akkor a gorbe vegpontokat osszekoto ıve is metszi az egyenest.Ezt a Bolzano tetel segıtsegevel, a gorbe menten az egyenes normalvektoraval vettskalarszorzatot kovetve lathatjuk. Legyen tehat N ≤ nγ(e), es megmutatjuk, hogyegy kuszobindex utan N ≤ ni(e).

Mivel nγ a metszespontokat szamolja, ezert persze talalhatoak t1 < t2 < · · · < tNidopontok az [a; b] intervallumban, melyekre γ(ti) ∈ e, es mivel feltettuk, hogy azegyenes nem erinti a gorbet, ezert talalhato a ti-knek olyan ε sugaru nyılt kornyezete,hogy a γ gorbe megszorıtasai a (ti − ε; ti), illetve (ti; ti + ε) szakaszokra az egyenesket ellentetes oldalan vannak.

Ezek utan i-t olyan nagynak valasztva, hogy essen osztopont az osszes ti bal- esjobboldali kornyezetebe is, a Ti torottvonalnak a (ti− ε; ti + ε) szakaszon metszeniekell e-t. Persze ε megfelelo csokkentesevel az is felteheto, hogy ti+ε < ti+1−ε, vagyis

9

a kornyezetek diszjunktak, ıgy azt kaptunk, hogy Ti legalabb N pontban metszi e-t,azaz N ≤ ni(e).

Mindezek utan a monoton konvergencia tetel szerint:∫E

nγ dµ =

∫E

limi→∞

ni dµ = limi→∞

∫E

ni dµ = limi→∞

2 · lTi = 2lγ.

Ezzel a Crofton formulat folytonosan differencialhato gorbekre bebizonyıtottuk.Szakaszonkent folytonosan differencialhatora az allıtas egyszeruen szakaszonkentosszeadva adodik, azt kihasznalva, hogy a torespontokon atmeno egyenesektol el-tekinthetunk.

1.3. Cauchy-formula a sıkban

A Crofton-formula specialis esetekent tegyuk fel, hogy a γK gorbenk egy K konvexlemezt hatarol. K tehat kompakt, konvex, es a belseje nem ures. Az ilyen halmazokata tovabbiakban konvex lemeznek fogjuk nevezni. Vilagos, hogy a K konvex lemezkerulete γK hossza. Erre felırjuk a mar bizonyıtott formulankat:

lγK =1

2

∫E

nγK dµ =1

2

∫ π

0

∫RnγK (eθ,t) dt dθ.

Vizsgaljuk meg, hogy az nγK fuggveny milyen ertekeket vehet fel. Persze felvehet0-at, amikor az egyenes elkeruli K-t. Felvehet 1-et, amikor az egyenes erinti γK-t,es ∞-t is, amikor egy szakaszon illeszkedik ra, de ezen egyenesek halmaza korabbivizsgalataink szerint nullmerteku (1.2.3 Kovetkezmeny). Azt is lathatjuk, hogy 2-nelnagyobb veges erteket nem vehet fel nγK , hiszen ha mar van harom hatarpont egyegyenesen, akkor a ket szelso kozti szakasz minden pontja hatarpont. Osszegzeskep-pen azt mondhatjuk, hogy nγK majdnem minden egyenesre 0 vagy 2 erteket vesz fel,attol fuggoen, hogy az egyenes metszi-e a K halmazt.

Rogzıtsunk egy θ ∈ [0, π) szoget, es ezzel egyutt az origon athalado, θ argumentu-mu fθ egyenest. Vizsgaljuk meg erre a θ-ra a belso integralt. A t parameter futtatasamegfelel egy fθ-ra meroleges egyenes eltolasanak, es a fuggvenyertek mindaddig 2,amıg ez a meroleges egyenes metszi K-t. Eppen ezert vezessuk be a kovetkezo jelo-leseket: h1(θ) = min{d ∈ R|eθ,d ∩K 6= ∅}, es h2(θ) = max{d ∈ R|eθ,d ∩K 6= ∅}, ıgyaz integralt atırhatjuk a kovetkezo alakba:

1

2

∫ π

0

∫RnγK (eθ,t) dt dθ =

1

2

∫ π

0

∫ h2(θ)

h1(θ)

2 dt dµ =

∫ π

0

h2(θ)− h1(θ) dθ.

Erdemes bevezetni a wK(θ) = h2(θ)−h1(θ) fuggvenyt. Ennek geometriai jelentesepontosan a K halmaz fθ egyenesre vett vetuletenek hossza, ezt hıvjuk a K halmazθ iranyu szelesseg enek. Ezzel megkatuk az alabbi allıtast :

10

1. abra. Konvex lemez szelessege

1.3.1. Allıtas (Cauchy-formula, specialis eset). Legyen K konvex lemez, melynekhatara a γK szakaszonkent folytonosan differencialhato zart gorbe. Jelolje K θ iranyuszelesseget wK(θ). Ekkor lγK =

∫ π0w(θ)dθ = πw(K), ahol w(K) = 1

π

∫ π0w(θ)dθ a K

halmaz atlagszelessege. �

Erdemes megjegyezni, hogy a fenti gondolatmenetben mindossze annyi tortent,hogy a mar bizonyıtott integralformulankat lebontottuk, es eszrevettuk, hogy a met-szesi szam majdnem mindig 0 vagy 2.

Valojaban a Cauchy-formulaban a hatarra tett megszorıtas felesleges. Konvextestek felszınet n dimenzioban is konnyen lehet definialni beırt politopok segıtsege-vel, es a felszınt konstans szorzo erejeig mindig megkaphatjuk a ter minden iranyabavett vetıtesek (n− 1)-dimenzios mertekeinek atlagakent. Minderre a konvex halma-zokkal foglalkozo fejezetben reszletesen kiterunk. Addig is a sıkbeli alkalmazasoknalelfogadjuk, hogy konvex lemezeknek van kerulete, es hogy a Cauchy-formula teljesula hatarra tett megszorıtas nelkul.

A formulank specialis esetekent megkapjuk Barbier tetelet :

1.3.2. Kovetkezmeny. Allando szelessegu konvex lemez kerulete megegyezik az azo-nos atmeroju kor keruletevel. �

Felmerul a kerdes, hogy van-e allando szelessegu lemez a koron kıvul? Ellenkezoesetben Barbier tetele nem volna sokatmondo, ıgy sejtheto, hogy van. A legegysze-rubb pelda a Reuleaux-haromszog. Ez egy szabalyos haromszog, melynek minden

11

csucsabol korıvet huzunk a szemkozti ket csucs kozott. Ez a konstrukcio tetszolegesparatlan oldalu szabalyos sokszoggel elvegezheto, de vannak teljesen

”szabalytalan”

peldak is.

A specialis Cauchy-formula bizonyıtasanak egyik fontos pontja volt, hogy egyegyenes majdnem mindig 0 vagy 2 pontban metszi a hatart, es ıgy az ertekbolle tudjuk olvasni a metszesi viszonyt. Ez motivalja az Cauchy-formula kovetkezoatfogalmazasat :

1.3.3. Allıtas. Legyen K konvex lemez, melynek kerulete k(K). Ekkor az ot metszoegyenesek halmazanak merteke k(K).

Bizonyıtas.

k(K) =

∫ π

0

w(θ)dθ =

∫ π

0

∫ h2(θ)

h1(θ)

1 dt dθ =

∫{e|e∩K 6=∅}

dµ = µ({e|e ∪K 6= ∅}

).

Ennek az atfogalmazasnak a segıtsegevel a formulankat felhasznalhatjuk geomet-riai valoszınusegszamıtasi feladatok megoldasara. Legyenek peldaul K es L konvexlemezek, es L ⊆ K. Ekkor annak a valoszınusege, hogy egy veletlen egyenes metsziL-et, felteve, hogy metszi K-t egyszeruen k(L)

k(K). Ez mar onmagaban is figyelemremel-

to eredmeny, azonban vizsgaljuk meg azt az esetet is, amikor a belso halmaz nemfeltetlen konvex lemez.

Legyen tehat ismet K konvex lemez, es γ szakaszonkent folytonosan differencial-hato gorbe, mely vegig K-ban halad. Mivel nγ viselkedese nem olyan egyszeru, mintkorabban, ezert nem a metszes valoszınusegerol, hanem a metszespontok varhatoertekerol tudunk mondani valamit. Jelolje a K-t metszo egyenesek halmazat E(K),melynek mertekere µ(E(K)) = k(K). Az E(K)-beli egyenesek kozul veletlenszeruenvalasztva egyet a metszespontok varhato erteke:

E(n) =

∫E(K)

nγ dµ

k(K)=

2lγk(K)

.

Itt kihasznaltuk, hogy nγ eltunik az E(K) halmazon kıvul, hiszen ha egy egyenesmetszi γ-t, akkor K-t is.

Az elozo allıtasnak egyszeru kovetkezmenye, hogy van olyan egyenes, mely agorbet legalabb 2lγ

k(K)pontban metszi, hiszen a metszespontok maximuma nagyobb,

mint az atlag. Ez utobbi allıtas onmagaban nem integralgeometriai. Visszatekintveazt latjuk, hogy a bizonyıtas, melyen keresztul eljutottunk idaig a kombinatorikabanelofordulo valoszınusegszamıtasi modszerek egy folytonos megfeleloje : vegyunk egyveletlen egyenest, es bebizonyıtjuk, hogy a metszespontok szama pozitıv valoszınu-seggel eleg nagy. Amennyiben csak a γ gorbe adott, es mi valaszthatjuk a K-t, a

2lγk(K)

hanyados akkor a legnagyobb,ha K a gorbe kepenek konvex burka.

12

1.4. A Buffon-fele tuproblema

A sıkbeli integralgeometriai tetelek soraba tartozik a meltan nevezetes Buffon-feletuproblema is. A kerdest meg a 18. szazadban vetette fel Georges-Louis Leclerc,Buffon grofja: egy vegtelen padlon d tavolsagonkent parhuzamos egyenes repede-sek talalhatok, mekkora a valoszınusege annak, hogy egy veletlenszeruen leejtettl ≤ d hosszusagu tu metszi az egyenesek valamelyiket? A problema figyelemremel-to, hiszen a valaszban megjelenik a π, mıg a megoldas modszere megalapozta azintegralgeometria es geometriai valoszınusegszamıtas kapcsolatat.

Ebben a dolgozatban a feladatot nem a szokvanyos modon bizonyıtjuk. Rogzıt-suk a tut, es vegyunk fel a felezopontja korul egy d atmeroju K korlapot. Ezek utanhelyezzuk el a padlot veletlenszeruen. A padlo helyzetet egyertelmuen meghatarozzaa kozepponthoz legkozelebbi egyenes. Elofordulhat, hogy ket ilyen egyenes is van,ekkor azonban mindketten erintik a K-t, ıgy ennek valoszınusege az 1.2.3 kovetkez-meny szerint nulla. Ezert ezeket az eseteket is ugy szimulaljuk, hogy egyetlen veletlenegyenest dobunk le, es ıgy csak nullmerteku esetet

”szamolunk ketszer”, ami a veg-

eredmenyt nem befolyasolja. Ezen kıvul az is latszik, hogy csak ez az egy egyenesmetszheti a tut, megint eltekintve az l = d esetben eloallo nullmerteku kiveteltol.

Persze az egyenes az E(K) halmazbol kerul ki egyenletes valoszınuseggel, ıgy atuvel vett metszespontok szamanak varhato erteke 2l

k(K)= 2l

πd. Egy szakasznak egy

egyenessel 0 vagy 1 metszespontja van, ıgy a varhato ertek megegyezik a metszesvaloszınusegevel.

Ez a bizonyıtas egybol mutatja a kerdes lehetseges altalanosıtasat. Engedjukmeg, hogy a tu szakasz helyett tetszoleges szakaszonkent folytonosan differencial-hato γ gorbe legyen, es a metszes valoszınusege helyett kerdezzuk a metszespontokszamanak varhato erteket. Az elozo gondolatmenet valtoztatas nelkul mukodik, haa γ gorbe befoglalhato egy d atmeroju korlapba. Az viszont vilagos, hogy barmelygorbe feloszthato ilyen darabokra, es a varhato ertek eppen a darabokra vett varha-to ertekek osszege, hiszen egy torespont nulla valoszınuseggel fog valamely egyenesreesni. Ezzel megkaptuk a kovetkezo tetelt :

1.4.1. Tetel. Egy γ szakaszonkent folytonosan differencialhato gorbet veletlensze-ruen ledobva egy sıkra, melyen d tavolsagonkent parhuzamos egyenesek talalhatok, agorbe egyenesekkel vett metszespontjainak szama varhatoan 2lγ

2d. �

Ennek a tetelnek bemutatjuk egy intuitıv bizonyıtasat is, melyet nem reszlete-zunk ki teljes egeszeben, de a gondolatmenet motivalja a kesobb bevezetesre kerulokiertekeles fogalmat.

Masodik bizonyıtas : Tekintsunk egy l1 hosszu szakaszt, es legyen az X1 valoszınu-segi valtozo a szakasznak az egyenesekkel vett metszespontjainak szama. Tekintsunkegy l2 hosszusagu szakaszt, melyre ugyanıgy adodik egy X2 valoszınusegi valtozo.Ragasszuk ossze a ket szakasz egy-egy vegpontjat, ıgy a kapott torottvonalra azX1 + X2 − X1,2 valoszınusegi valtozo adodik, ahol X1,2 a kozos vegpont egyene-sekkel vett metszespontjainak szamat adja. Persze a ragasztas utan X1 es X2 nemfuggetlenek, de a varhato ertekek osszeadodnak:

13

E(X1 +X2 −X1,2) = E(X1) + E(X2) + E(X1,2) = E(X1) + E(X2).

Vilagos, hogy az E(X1) szam nem fugghet mastol, mint a szakasz egyetlen pa-rameteretol, a hosszatol. Bevezetjuk az f fuggvenyt, ahol f(t) a t hosszu szakaszegyenesekkel vett metszespontjainak varhato erteke. Ha az imenti ragasztast torte-netesen ugy vegezzuk, hogy a kapott torottvonal ismet szakasz legyen, azt kapjuk,hogy f(l1 + l2) = E(X1 +X2 −X1,2) = E(X1) + E(X2) = f(l1) + f(l2).

Ebbol kovetkezik, hogy a racionalis szamokra megszorıtva f linearis. Ha kep-zeletben egy hosszabb szakaszt egy rovidebbre rogzıtunk latjuk, hogy a hosszabbszakasz mindig legalabb annyi pontban metszi az egyeneseket, mint a rovidebb, ıgyaz f fuggveny t-ben monoton, ıgy az egesz R-en linearis, azaz f(t) = ct.

Tobb szakasz osszeragasztasaval tetszoleges torottvonalra is latjuk, hogy a varha-to ertek a hossz c-szerese. A γ gorbet kozelıtsuk a T torottvonallal, ekkor a gorbeheztartozo Y valoszınusegi valtozot a T -hez tartozo X1 + · · ·+Xk valoszınusegi valtozojol kozelıti, es hataratmenettel E(Y ) = f(lγ) = c · lγ.

Itt a c tovabbra is univerzalis konstans, nem fugg γ hosszatol vagy alakjatol.A meghatarozasahoz valasszuk γ-t egy d atmeroju kor keruletenek. Ekkor persze aledobott korvonal mindig ket pontban metszi az egyeneseket, ıgy varhato erteke isE(Y ) = 2. A gorbe hossza dπ, ıgy az egyenletunkbe beırva 2 = c · dπ, amibol c = 2

dπ

adodik. Ezzel a tetelt belattuk. �

Erdemes kiemelni ket gondolatot a bizonyıtasbol. Eloszor is azt, hogy az egyenlo-seget eloszor egy konstanssal valo szorzastol eltekintve bizonyıtottuk, majd a lenyege-ben bebizonyıtott tetelt felhasznalva, egy jol valasztott pelda segıtsegevel hataroztukmeg a konstanst.

A masodik gondolat mar nem annyira szembeotlo. A bizonyıtasunk alapjaibanazon mulik, hogy szakaszokat es gorbeket ossze tudunk ragasztani. Ha az A es Bgorbekre mint sıkbeli halmazokra gondolunk, melyek esetleg atfednek, az atfedestA ∩B-vel jelolve a hosszra lA∪B = lA + lB − lA∩B, es ugyanez igaz a metszespontokvarhato ertekevel is. Ez a tulajdonsag lesz az alapja a kiertekeles fogalmanak.

14

2. Konvex halmazok

Mint a Cauchy-formulabol es kovetkezmenyeibol kiderult, az integralgeometria ker-deskoreben fontos szerepet jatszanak a konvex halmazok. Eppen ezert kulon fejezetetszanunk a konvex testek terfogatanak es felszınenek precız bevezetesere, es az ezek-hez kapcsolodo fontosabb tetelek bizonyıtasara. A konvex halmazokkal kapcsolatosalapfogalmakat, mint peldaul konvex burok, tamaszhipersık, politop es konvex hal-maz lapja, Minkowski-osszeg ismertnek tetelezzuk fel.

2.1. Approximacio politopokkal

Vizsgalatainkat az Rn euklideszi terben vegezzuk, ahol d(x, y) jeloli az x es y pontoktavolsagat, es B(x, r) = {y ∈ Rn|d(x, y) < r} az x kozeppontu r sugaru nyılt gom-bot. Hasonloan B(x, r) az x kozeppontu, r sugaru zart gomb. Jelolje K a kompakt,konvex reszhalmazok halmazat, mıg K+ ezek kozul azokat, melyeknek belseje nemures. K+ elemeit konvex testeknek, n = 2 esetben a korabbi szohasznalatnak megfe-leloen konvex lemezeknek nevezzuk. Konvex politopon, vagy roviden csak politoponveges sok pont konvex burkat erjuk, es ezek halmazat P-vel jeloljuk, hasonloan P+

jeloli azokat, melyeknek belseje nem ures.

A K halmazra es r > 0 szamra legyen B(K, r) = {x ∈ Rn|d(x,K) < r} ==⋃y∈K B(y, r), ezt nevezzuk a K halmaz r sugaru nyılt paralleltartomany anak.

Ertelemszeruen a d(x,K) jelolesen az x pontnak a K kompakt halmaztol merttavolsagat ertjuk. A B(K, r) halmaz felırhato K + B(0, r) Minkowski-osszegkent,ami mutatja, hogy ha K konvex halmaz, akkor tetszoleges paralleltartomanya is az.Hasonloan ertelmezzuk a B(K, r) =

⋃y∈K B(y, r) zart paralleltartomanyt. Mivel

mindig kompakt halmazok paralleltartomanyait vizsgaljuk, ezert B(K, r) lezartjaB(K, r). Bovebb halmaz paralleltaromanya bovebb, es a fordıtott irany is igaz, az-az ha K es L konvex halmazok, melyekre B(K, r) ⊆ B(L, r), akkor ebbol K ⊆ Lkovetkezik. Valoban, ha volna v ∈ K \ L, akkor v egy hipersıkkal szigoruan elva-laszthato L-tol. Valasszuk ε-t az L es a hipersık tavolsaganal kisebbnek, es v-bolaz L-et nem tartalmazo felter iranyaban, a hipersıkra merolegesen (r− ε)-t haladvaolyan ponthoz erunk, mely (B(K, r) \ B(L, r)) -ben van, ami ellentmondas. Tehatkonvex testek koreben B(K, r) ⊆ B(L, r) akkor es csak akkor, ha K ⊆ L.

Vilagos, hogy P ⊆ K, es P+ ⊆ K+, es az elso tetelunk azt fogalmazza meg, hogykonvex testek jol kozelıthetok politopokkal.

2.1.1. Allıtas. Legyen K ∈ K+ konvex test.

(a) Barmely L ⊆ int(K) kompakt halmazhoz es ε > 0 szamhoz talalhato olyanP ⊆ int(K) politop, melyre L ⊆ int(P ), es K ⊆ B(P, ε).

(b) Barmely O ∈ int(K) ponthoz es η > 1 szamhoz talalhato olyan P ⊆ Kpolitop, melyre K ⊆ int(NO,η(P )), ahol NO,η az O kozeppontu η aranyu nagyıtastjeloli.

15

Bizonyıtas. Az (a) reszben eloszor vegyunk minden L-beli pont kore egy olyanszimplexet, mely meg int(K)-ban van, majd ezek kozul L kompaktsaga alapjan va-lasszunk ki veges sokat, melyek fedik L-et, legyenek ezeknek csucsai az {S1, S2, . . . , Sk}pontok. Ekkor az Si-k konvex burka mar biztosan tartalmazza L-et. A masodik fel-tetel biztosıtasahoz vegyunk fel minden int(K)-beli pont kore egy ε sugaru gombot,ezek egyutt az egesz K-t fedik, ıgy annak kompaktsaga biztosıtja, hogy ezek kozulkivalaszthato veges sok, melyek tovabbra is fedik K-t. Ezek kozeppontjai legye-nek a B1, B2, . . . , Bl pontok, ekkor az Si es Bj pontok kozos konvex burkanak ε

sugaru paralleltartomanya tartalmazza K-t. Igy hat legyen P = conv({Si, Bj|i == 1 . . . k, j = 1 . . . l}).

A (b) reszhez legyen L = NO,1/η, ez persze int(K)-ban van, ezert alkalmazhatjukra (tetszoleges ε-nal) az (a) resz allıtasat, a kapott P politop megfelelo lesz.

A fenti tetel adta lehetosegeket meg jobban ki tudjuk aknazni, ha K-t metrikavallatjuk el. Legyen K,L ∈ Rn korlatos halmazokra

δ(K,L) = inf{ε|K ⊆ B(L, ε) es L ⊆ B(K, ε)}.

Ez a ket halmaz Hausdorff-tavolsaga. A definıciobol vilagos, hogy δ(K,L) = 0akkor es csak akkor, ha K = L, ahol a felulvonas lezarast jelent. Ez azt jelenti,hogy ha kompakt halmazokra szorıtkozunk, akkor ket halmaz tavolsaga akkor escsak akkor 0, ha egybeesnek. Az is rogton latszik, hogy a Hausdorff-tavolsag szim-metrikus. Vegul a haromszog-egyenlotlenseg kovetkezik abbol, hogy ha K ⊆ B(L, ε)es L ⊆ B(M, η), akkor ezeket osszefuzve:

K ⊆ B(L, ε) ⊆ B(B(M, η), ε

)= B(M, ε+ η)

Osszefoglalva azt kaptuk, hogy:

2.1.2. Allıtas. A Hausdorff-tavolsag metrika Rn kompakt reszhalmazain. �

2.1.3. Allıtas. P suru reszhalmaz K-ban, K pedig zart reszhalmaz a kompakt hal-mazok tereben.

Bizonyıtas. A 2.1.1 allıtas (a) pontjabol azonnal adodik, hogy P+ suru K+-ban. Al-talaban elmondhato, hogy egy konvex halmaz a maga feszıtette affin alterben konvextest, azaz erre az alterre szorıtkozva mar nem ures a belseje, ıgy tudjuk hasznalni azelobbi eredmenyt. A 2.1.1 allıtasbol adodo, az affin alterben levo P politop pedig azeredeti ter dimenziojatol fuggetlenul ε-nal kisebb Hausdorff-tavolsagra van K-tol.

K zartsagahoz vegyunk egy nem konvex, de kompakt C halmazt. Mivel C nemkonvex, vannak olyan X, Y ∈ C, Z ∈ [X;Y ] pontok, hogy Z /∈ C. C kompaktsaga-bol kovetkezik, hogy ekkor letezik olyan ε > 0, hogy B(Z, ε)∩C = ∅. Allıtjuk, hogyha δ(C ′, C) < ε/2, akkor C ′ sem lehet konvex, azaz K komplementere nyılt. C ′-nekbiztosan van pontja a B(X, ε/2) es B(Y, ε/2) gombokben, legyenek ezek rendre X ′

es Y ′. Ekkor az [X ′;Y ′] szakasz metszi a B(Z, ε/2) gombot. Masreszt B(Z, ε/2) ∩∩B(C, ε/2) = ∅, hiszen B(Z, ε)∩C = ∅. Mivel δ(C ′, C) < ε/2 miatt C ′ ⊆ B(C, ε/2),ıgy B(Z, ε/2) ∩ C ′ = ∅. B(Z, ε/2)-ben van [X ′;Y ′]-nek pontja, ami ıgy nem lehetC ′-beli, ezert C ′ nem lehet konvex.

16

2.2. Felszın es terfogat

Minden politop Jordan-merheto, es a 2.1.1 allıtas (b) pontja szerint minden K kon-vex testhez tudunk talalni P ⊆ K ⊆ Q politopokat, melyek terfogatainak kulonbsegetetszolegesen kicsi lehet. Jelolje Vn az n-dimenzios Jordan-merteket.

2.2.1. Allıtas. Minden K ∈ K+ konvex test Jordan-merheto, es

Vn(K) = sup{Vn(P )|P ∈ P+, P ⊆ int(K)} = inf{Vn(Q)|Q ∈ P+, K ⊆ int(Q)} �

A felszın bevezetese mar egy kicsit tobb munkat igenyel. Amennyiben n ≥ 2,egy politop felszınen a hiperlapok (n− 1)-dimenzios mertekeinek osszeget ertjuk, esS(P )-vel jeloljuk. A kesobbi alkalmazasok erdekeben erdemes megvizsgalni, hogy mitortenik egy (n− 1)-dimenzios hipersıkban levo merheto halmaz (n− 1)-dimenziosterfogataval, ha merolegesen vetıtjuk egy hipersıkra.

2.2.2. Lemma. Legyenek H1 es H2 metszo affin hipersıkok, es p : H1 → H2 ameroleges vetıtes. Ekkor minden M ⊆ H1 Jordan-merheto halmazra Vn−1(p(M)) == cos(α)Vn−1(M), ahol α a ket sık kozbezart szoge.

Bizonyıtas. Vilagos, hogy a meroleges vetıtes megkaphato egy H1 ∩ H2 koruli for-gatas, majd ugyanezen tengely menten torteno cos(α) aranyu meroleges affinitaskompozıciojakent. A forgatas nem valtoztatja a merteket, mıg az affinitas a halmaztegy dimenziojaban (H1 ∩ H2-re merolegesen) huzza ossze, eppen a bizonyıtandoarannyal.

Erdemes megjegyezni, hogy a lemma az α = 0 esetben is igaz, amikor is H1 es H2

parhuzamosak. Ennek segıtsegevel bebizonyıtjuk a kovetkezo allıtast, mely a sıkbeliharomszog-egyenlotlenseg altalanosıtasanak is tekintheto.

2.2.3. Allıtas. Legyen L a P ∈ P+ politop egy hiperlapja, ilyenkor Vn−1(L) << 1

2S(P ).

Bizonyıtas. Az allıtas azzal ekvivalens, hogy az L-tol kulonbozo hiperlapok terfogat-osszege nagyobb, mint az L terfogata. Vetıtsuk a tobbi hiperlapot L hipersıkjara,ekkor a vetuletek fedik L-et, tehat az osszterfogat legalabb akkora, mint L terfoga-ta. A vetıtes soran a hiperlapok terfogata a 2.2.2 lemma alapjan nem nohetett, sotcsokkent is minden olyan esetben, amikor a vetıtett lap nem parhuzamos L-el, ıgyszigoru egyenlotlenseget kapunk.

2.2.4. Allıtas. Legyenek P1, P2 ∈ P+ politopok, melyekre P1 ⊆ P2. Ekkor A(P1) ≤≤ A(P2).

Ezt az allıtast n = 2 esetben a mar bizonyıtott, specialis Cauchy-formulabolazonnal megkapjuk, hiszen sokszogek hatara tekintheto szakaszonkent folytonosandifferencialhato gorbenek. A formulat felırva, es kihasznalva, hogy bovebb konvexhalmaz minden iranyban szelesebb, megkapjuk az allıtast.

17

Bizonyıtas. Jelolje k(P1, P2) a P1 azon L hiperlapjainak szamat, melyek tenylegesena P2-ben vannak, azaz L * ∂P2. Amennyiben k = 0, a ket politop egybeesik, ıgyfelszınuk egyenlo. Ezek utan a k(P1, P2) szamra vonatkozo indukcioval bizonyıtunk.Az indukcios lepesben vegyuk P1-nek egy olyan L hiperlapjat, melyre L * ∂P2.Vagjuk kette a P2 politopot, L hipersıkja menten a P ′2 es P ′′2 politopokra, ahol P1 ⊆⊆ P ′2. Legyen a ket politop kozos hiperlapja L′ = 〈L〉 ∩P2. Ekkor kihasznalva, hogyk(P1, P

′2) < k(P1, P2), az indukcios feltevesunk biztosıtja, hogy S(P1) ≤ S(P ′2). A

P ′′2 politopra pedig alkalmazzuk az elobbi allıtasunkat, miszerint S(P ′′2 ) > 2Vn−1(L′).Ezeket osszerakva kapjuk, hogy S(P1) ≤ S(P ′2) + S(P ′′2 )− 2Vn−1(L′) = S(P2), ezzelaz indukcios lepest befejeztuk.

Most mar konnyeden be tudjuk vezetni tetszoleges K konvex test felszınet. Aterfogat mintajara vegyuk az osszes beırt es koreırt politopot, es vizsgaljuk ezekfelszınet. A 2.2.4 allıtas szerint barmely beırt politop felszıne kisebb, mint bar-mely koreırte. Masreszt vegyuk eszre, hogy egy NO,λ kozeppontos hasonlosagnal

S(NO,λ(P )) = λn−1S(P ), hiszen a felszın (n − 1)-dimenzios terfogatok osszege. Igya 2.1.1 allıtas segıtsegevel azt latjuk, hogy tudunk ugy politopokat K-ba es K koreırni, hogy azok felszınei tetszolegesen kozel legyenek egymashoz. Ezt fogalmazza mega kovetkezo allıtas :

2.2.5. Allıtas. Barmely K ∈ K+ konvex testre sup{S(P )|P ∈ P+, P ⊆ int(K)} == inf{S(Q)|Q ∈ P+, K ⊆ int(Q)}. Ezt az S(K)-val jelolt kozos erteket nevezzuk aK konvex test felszınenek. �

Mind a terfogat, mind a felszın monoton halmazfuggveny, azaz ha ket konvextestre K ⊆ L, akkor Vn(K) ≤ Vn(L), illetve S(K) ≤ S(L). Tovabbi kozos vonasuk,hogy homogenek, azaz kozeppontos hasonlosagnal mindig a hasonlosagi arany egy fixhatvanyszorosara valtoznak. A terfogat eseten az arany n-edik, mıg a felszın esetenaz (n− 1)-edik hatvanyszorosara.

2.2.6. Allıtas. Konvex testek terfogata es felszıne folytonos a Hausdorff-metrikaranezve.

Bizonyıtas. Legyen K ∈ K+ es ε > 0 tetszoleges. Vegyunk fel egy O pontot Kbelsejeben, es O kozepponttal nagyıtsuk es kicsinyıtsuk K-t rendre η < 1 es 1 < λaranyokkal, ıgy kapjuk a K1 ⊆ K es K ⊆ K2 konvex testeket. Vn(K1) = ηnVn(K),es Vn(K2) = λnVn(K), tehat az η es λ aranyokat 1-hez eleg kozel megvalasztvaelerheto, hogy

Vn(K)− ε ≤ Vn(K1) ≤ Vn(K2) ≤ Vn(K) + ε.

Legyen δ1 = d(K1, (Rn\int(K))

)= inf{d

(x, (Rn\int(K))

)|x ∈ K1}, es hasonloan

δ2 = d(K, (Rn \ int(K2))

), mely szamok a halmazok kompaktsagabol adodoan pozi-

tıvak. Ezeknek a jelentosege az, hogy ha δ(K,L) < δ1 akkor a Hausdorff-metrika de-finıcioja szerint K ⊆ B(L, δ1), mıg a δ1 ugy lett megvalasztva, hogy B(K1, δ1) ⊆ K,ıgy a kettobol egyutt B(K1, δ1) ⊆ B(L, δ1) kovetkezik, mely a halmazok konvexitasa

18

miatt biztosıtja, hogy K1 ⊆ L. Hasonloan, ha δ(K,L) < δ2 akkor L ⊆ B(K, δ2) ⊆⊆ K2. Igy tehat azt latjuk, hogy ha δ(K,L) < min{δ1, δ2}, akkor K1 ⊆ L ⊆ K2,amibol a terfogat monotonitasanak segıtsegevel :

Vn(K)− ε ≤ Vn(K1) ≤ Vn(L) ≤ Vn(K2) ≤ Vn(K) + ε.

Ezzel a Vn terfogatfuggveny K-beli folytonossagat belattuk. A felszın folyto-nossaganak bizonyıtasa szorol szora ugyanıgy tortenik azzal a kulonbseggel, hogy ahasonlosagnal a felszın ηn−1-gyel, illetve λn−1-gyel szorzodik, es ugy kell 1-hez kelloenkozel valasztani ezeket, hogy a felszın valtozzon legfeljebb ε-nal.

2.3. Cauchy-formula a felszınre

A sıkban megismert 1.3.1 allıtas mintajara keresunk formulat konvex testek felszıne-re. A sıkbeli esettel analog modon most is levetıtjuk a testunket a hipersıkokra, majda vetuletek eggyel kisebb dimenzios terfogatait atlagoljuk. Mielott azonban tetelun-ket kimondjuk, bevezetunk nehany jelolest. Az Rn ter tomor, nyılt egyseggombjetjelolje Bn = B(0, 1), mıg a ennek hatarat Sn−1. Jelolje a zart gomb terfogatatωn = Vn(Bn), mıg a felszınet κn = S(Bn). Egy V ≤ Rn linearis alter ortogonaliskiegeszıtoteret jelolje V ⊥, mıg az egyszeruseg kedveert egy 0 6= v ∈ Rn vektor esetenlegyen v⊥ = 〈v〉⊥, azaz a v normalvektoru linearis hipersık. Vegul pedig jelolje pH aH ≤ Rn linearis hipersıkra valo meroleges vetıtest.

2.3.1. Tetel. Barmely K ∈ K+ konvex testre

S(K) =1

ωn−1

∫Sn−1

Vn−1

(pv⊥(K)

)dv.

Bizonyıtas. Legyen P ∈ P+ politop, melynek hiperlapjai {L1, L2, . . . , Lk}, az ezek-hez tartozo kulso normalvektorok {u1, u2, . . . , uk}. Egy H hipersıkra vetıtesnel a kepismet politop lesz, melynek majdnem minden pontja ketszeresen van fedve a hiper-lapok vetuletei altal. Egy olyan keppont, melyre ez nem teljesul a vetulet hatararaesik, vagy tobb hiperlap metszetenek vetulete. Azonban mindket esetben a kivetelespontok halmaza nullmerteku, ıgy igaz a kovetkezo egyenloseg:

Vn−1

(pH(P )

)=

1

2

k∑i=1

Vn−1

(pH(Li)

).

Ezek utan az integralt felırva

19

∫Sn−1

Vn−1

(pv⊥(P )

)dv =

∫Sn−1

1

2

k∑i=1

Vn−1

(pv⊥(Li)

)dv =

=1

2

k∑i=1

∫Sn−1

cos(α(Li, v

⊥))Vn−1(Li) dv =

=1

2

k∑i=1

Vn−1(Li)

∫Sn−1

∣∣ cos(α(ui, v)

)∣∣ dv.A fenti kifejezesekben α(Li, v

⊥) az 〈Li〉 es v⊥ hipersıkok szoget jeloli (melyetmindig π/2-nel kisebbnek definialunk). Hasonloan α(ui, v) az ui es v vektorok szogetjeloli. Mivel a ket vektor epp a hipersıkok normalvektora, ezert a szogek koszinu-szainak abszolut erteke megegyezik. Mivel minden vektorunk egyseg hosszusagu, ıgy| cos(α(ui, v))| = |ui · v|, ahol a jobb oldal a vektorok skalaris szorzatanak abszoluterteket jeloli.

Vegyuk eszre, hogy az∫Sn−1 |ui ·v| dv kifejezes nem fugg ui-tol. Tekintsuk ugyanis

az fu : Sn−1 → Rn, fu(v) = |u·v| fuggvenyeket. Jeloljunk ki egy tetszoleges w ∈ Sn−1

vektort, es legyen φi ∈ O(n) olyan ortogonalis transzformacio, melyre φi(ui) = w.Ekkor fui = fw ◦ φi, es mivel az Sn−1-en a felszıni mertek O(n)-invarians, ezert ezekintegralja az egesz teren egyenlo.

Mivel az integral megegyezik az osszes ui-re, ıgy kiemelheto :

1

2

k∑i=1

Vn−1(Li)

∫Sn−1

|ui · v| dv =1

2

(∫Sn−1

|w · v| dv)( k∑

i=1

Vn−1(Li)

)= cn · S(P ).

Itt cn = 12

∫Sn−1 |w · v| dv egy csak a dimenziotol fuggo konstans. Az elobbi

egyenloseget megmutatjuk tetszoleges K konvex testre is. Legyenek P ⊆ K ⊆ Q be-es koreırt politopok, ekkor a terfogat monotonitasat az integralon belul felhasznalva:

cnS(P ) =

∫Sn−1

Vn−1

(pv⊥(P )

)dv ≤

∫Sn−1

Vn−1

(pv⊥(K)

)dv ≤

≤∫Sn−1

Vn−1

(pv⊥(Q)

)dv = cnS(Q).

Ebbol hataratmenettel :

cnS(K) ≤∫Sn−1

Vn−1

(pv⊥(K)

)dv ≤ cnS(K).

Vegul a cn konstans meghatarozasahoz legyen K = Bn, ekkor a felszın κn, mıgminden vetulet egy n − 1-dimenzios zart, tomor gomb, melynek n − 1-dimenziosterfogata ωn−1. Az integralban tehat konstans fuggvenyt integralunk, meghozza egyκn merteku halmazon, ıgy az egyenlet a cnκn = κnωn−1 alakot olti, melybol cn == ωn−1. Ezzel a tetelt bebizonyıtottuk.

20

2.3.2. Kovetkezmeny. Tetszoleges w ∈ Sn−1 vektorra∫Sn−1 |w · v| dv = 2ωn−1. �

2.4. A Steiner–Minkowski-tetel

Irjuk fel egy sıkbeli P sokszog r sugaru zart paralleltartomanyanak teruletet ! Aparalleltartomany felbomlik a kovetkezo reszekre: az eredeti sokszog, minden oldalrakifele allıtott r szelessegu teglalap, es a csucsoknal egy-egy r sugaru korcikk. A

2. abra. Sokszog normalfelbontasa

korcikkeket osszetolva persze epp egy teljes korlapot kapunk, ıgy a terulet V2(P ) ++k(P )r+πr2, ahol k(P ) a sokszog keruletet jeloli. A kapott terulet r-nek masodfokupolinomja, es az egyutthatok kozott szerepel P terulete, es kerulete is. Ugyanezt ajelenseget szeretnenk megvizsgalni magasabb dimenzioban is.

Legyen K konvex test, es a ∈ ∂K eseten NK(a) = {x ∈(Rn \ int(K)

)|d(x,K) =

= d(x, a)} azon pontok halmaza, melyekhez K-bol az a pont van a legkozelebb.K konvexitasabol kovetkezik, hogy ha a 6= b, akkor NK(a) ∩ NK(b) = ∅. Ha x ∈∈ NK(a), akkor az x−a vektorra meroleges, a-n athalado hipersık tamaszhipersıkjaa K halmaznak az a pontban, es megfordıtva, a-bol barmely ottani tamaszhipersıkramerolegesen kifele mutato felegyenes NK(A)-ban van. Minden K-n kıvuli ponthozvan K-ban legkozelebbi, ezert K ∪

⋃a∈∂K NK(a) = Rn, vagyis a ter felbomlik az

NK(a) halmazok uniojara. Legyen ~NK(a) = {x − a|x ∈ NK(a)} az NK(a)-beli vek-torok halmaza. Mivel egy konvex testnek minden iranybol van tamaszhipersıkja,ezert

⋃a∈∂K

~NK(a) = Rn, vagyis minden irany megtalalhato valamelyik ~NK(a)-ban.Amennyiben L valodi lapja K-nak, es a, b ∈ relint(L), akkor a hozzajuk tartozo ta-

maszhipersıkok megegyeznek, ezert ~NK(a) = ~NK(b), es NK(b) = tb−a(NK(a)

), ahol

tv a v ∈ Rn vektorral valo eltolas.

21

Poliederekre ez a felbontas meg atlathatobb. Jelolje a P ∈ P+ laphalojat L(P ), es

L ∈ L(P ) eseten legyen ~NP (L) = ~NP (a) tetszoleges a ∈ relint(L) valasztassal. 〈L〉 es

〈 ~NP (L)〉 meroleges kiegeszıtok, amibol kovetkezik, hogy dim( ~NP (L)) = n− dim(L),

es L1 ⊆ L2 lapokra ~NP (L1) ⊇ ~NP (L2), vagyis az { ~NP (L)|L ∈ L(P )} halmaz a tar-talmazasra nezve L(P )-vel dualisan izomorf halot alkot. Ennek kovetkezmenyekent⋃a∈P csucs

~NP (a) = Rn.

P valodi lapjaira definialjuk a hozzajuk tartozo normaltartomanyt:

NP (L) =⋃

a∈relint(L)

NP (a) = {x ∈ (Rn \ int(K))|d(x, P ) = d(x, L)}.

L = P eseten legyen NP (P ) = P , ıgy a kapott normaltartomanyok egyutt fedikaz egesz teret, es paronkent kozos belso pont nelkuliek. Az NP (L) normaltartomany

egybevago az L× ~NP (L) direkt szorzattal.

Ebbol a felbontasbol termeszetes modon kapjuk a B(P, r) paralleltartomany fel-

bontasat, legyen DP (L, r) = NP (L) ∩ B(P, r), es hasonloan ~DP (L, r) = ~NP (L) ∩∩ B(0, r). Tovabbra is igaz, hogy DP (L, r) egybevago az L× ~DP (L, r) direkt szor-zattal.

A B(P, r) =⋃∅6=L∈L(P ) DP (L, r) felbontasbol a terfogatra a kovetkezo egyenloseg

adodik:

Vn(B(P, r)

)=

∑∅6=L∈L(P )

Vdim(L)(L) · Vn−dim(L)

(~DP (L, r)

).

A terfogat homogenitasabol Vn−dim(L)( ~DP (L, r)) = Vn−dim(L)( ~DP (L,1))·rn−dim(L).Ezeket a kiemeleseket elvegezve, es az azonos foku tagokat osszevonva kapjuk, hogy:

Vn(B(P, r)

)=

n∑i=0

mi(P )ri, ahol mi(P ) =∑

∅6=L∈L(P ),dim(L)=n−i

Vn−i(L) ·Vi(~DP (L,1)

).

Itt az mi(P ) egyutthatok csak P -tol fuggnek. A konstans tag definıciojaban meg-

jelenik a V0( ~DP (P,1)) tenyezo, ami ertelmetlen, leven V0-t nem definialtuk. Minden-esetre ennek erteket 1-nek veve (amirol kesobb latni fogjuk, hogy nem alaptalan)m0(P ) = Vn(P ), es valoban ez az osszegben az egyetlen tag, ami nulladfoku. Ugyanez

a problema fennall az mn egyutthatonal is, ami pedig⋃a∈P csucs

~DP (a,1) = B(0,1)kovetkezteben ωn-nel egyenlo.

Konnyen atırhato meg az m1 egyutthato is, hiszen egy L hiperlapra

Vn−1(L) · V1

(~DP (L,1)

)= Vn−1(L).

Ezek osszege eppen a politop S(P ) felszıne. Ezzel teljessegeben altalanosıtottuka sıkbeli esetet. A kovetkezo tetelben bebizonyıtjuk egy ugyanilyen polinom letezesettetszoleges konvex test eseten.

22

2.4.1. Tetel (Steiner, Minkowski). Tetszoleges K ∈ K+ konvex testhez leteznekmi(K) ≥ 0 egyutthatok (i = 0, . . . , n), hogy a test r sugaru paralleltartomanyara

Vn(B(K, r)

)=

n∑i=0

mi(K)ri

ahol az mi-k K-ban folytonosak, es specialisan m0(K) = Vn(K), m1(K) = S(K) esmn(K) = ωn.

Bizonyıtas. Mivel a polinom letezeset politopokra mar igazoltuk, ezert vegyunk egyPk politopsorozatot, mely a Hausdorff-metrikaban K-hoz tart. Ekkor talalhato kel-loen nagy R sugar, melyre az osszes Pk politop egy R sugaru gombben talalhato.Ebbol

∑ni=0mi(Pk)r

i ≤ ωn(R+r)k, ıgy mi(Pk)-ra k-tol fuggetlen korlatot adhatunk:mi(Pk) ≤ (R + r)d/ri tetszoleges r pozitıv szamra. Mivel az mi(Pk) szamsorozatkorlatos, megfelelo konvergens reszsorozatra szorıtkozva felteheto, hogy mi(Pk) kon-vergens. Ezt a veges sok i indexre elvegezve tehat olyan Pk reszsorozatra tertunk at,melyre mi(Pk) konvergens minden i-re. Legyen tehat mi(K) = limk→∞mi(Pk).

A B(K, r) halmaz terfogatat szeretnenk felırni, meghozza a B(P, r) halmazokterfogatainak segıtsegevel. A terfogat folytonossagat mar belattuk, tehat ha bebi-zonyıtanank, hogy limk→∞B(Pk, r) = B(K, r), akkor a terfogatot felırhatnank li-meszkent. Vegyuk eszre, hogy eppen a B( . , r) operator folytonossagat szeretnenkhasznalni. Valojaban B( . , r) tavolsagtarto is, amibol kovetkezik, hogy folytonos. Atavolsagtartas abbol latszik, hogy K1 ⊆ B(K2, ε) akkor es csak akkor, ha B(K1, r) ⊆⊆ B

(B(K2, ε), r

)= B

(B(K2, r), ε

). Igy

Vn(B(K, r)) = Vn(B( limk→∞

Pk, r)) = Vn( limk→∞

B(Pk, r)) = limk→∞

Vn(B(Pk, r)) =

= limk→∞

n∑i=0

mi(Pk)ri =

n∑i=0

limk→∞

mi(Pk)ri =

n∑i=0

mi(K)ri.

Belattuk tehat, hogy a paralleltartomany terfogata polinomfuggvenye az r-nek.Marpedig egy polinomfuggveny meghatarozza az egyutthatoit, ıgy latjuk, hogy azmi(K) szamok valoban csak i-tol es K-tol fuggnek, a politopok reszsorozatanak va-lasztasatol nem. A K-tol valo folytonos fuggest is hasonloan indokolhatjuk, hiszen aVn folytonossagabol kovetkezik, hogy ha Ki → K, akkor ∀r > 0-ra a Ki-hez tartozoparalleltartomanyok terfogata tart B(K, r)-hez, azaz a megfelelo polinomfuggvenyekpontonkent konvergalnak egy polinomfuggvenyhez, ebbol pedig az egyes egyutthatokkonvergenciaja mar kovetkezik. Vegul pedig a folytonossag kovetkezmenyekent kap-juk az m0, m1 es mn egyutthatokra vonatkozo allıtasokat, hiszen azokat politopokramar meggondoltuk.

A tetelunkben megjeleno mi(K) egyutthatoknak a kesobbiekben komoly figyel-met szentelunk. Addig is jegyezzuk meg, hogy konvex testek terfogata es felszıne isrendelkezik a Buffon tuproblemanal kiemelt tulajdonsaggal, vagyis hogy ha A es Bkonvex testekre A ∪ B is konvex, akkor Vn(A ∪ B) = Vn(A) + Vn(B) − Vn(A ∩ B).Zaraskent kimondjuk a Steiner–Minkowski-tetel egy szemleletes kovetkezmenyet.

23

2.4.2. Tetel. Tetszoleges K ∈ K+ konvex testre

S(K) = limr→0

Vn(B(K, r)

)− Vn(K)

r

Bizonyıtas. A paralleltartomany terfogatat leıro polinom konstans tagja kiesik, azosztas utan m1(K) = S(K) lesz az uj konstans, ami persze epp a 0-ban felvetthatarertek.

24

3. Kiertekelesek

A kovetkezo fejezetben bevezetjuk a kiertekelesek fogalmat, melyet a korabban ki-emelt peldakbol absztrahalunk.

Legyen S halmaz, ∅ ∈ L pedig S reszhalmazainak egy halmaza, vagyis L ⊆ P (S).Feltesszuk tovabba, hogy L zart a veges metszet- es uniokepzesre, vagyis az L-belihalmazok disztributıv halot alkotnak a tartalmazasra, mint reszbenrendezesre nezve.Egy µ : L→ R fuggveny kiertekeles, ha minden A,B ∈ L eseten

µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B), es (3.0.1)

µ(∅) = 0. (3.0.2)

Az egyik elso problema, amivel szembesulunk az, hogy a konvex halmazok – me-lyeknek koreben a kiertekeleseket vizsgalni szeretnenk – nem zartak az uniokepzesre.Ezt meg konnyen meg tudjuk kerulni, ha konvex halmazok veges unioirol beszelunk.Ekkor azonban az elozo fejezetben bevezetett terfogatot es felszınt mar nem tudjukminden tovabbi indoklas nelkul ertelmezni.

3.1. Kiertekelesek kiterjesztese

Vizsgaljuk meg altalanosan a kerdest. Legyen G ⊆ L olyan metszetzart halmazrend-szer, mely generalja az L halot abban az ertelemben, hogy minden A ∈ L halmazeloall A = B1 ∪ . . . ∪ Bk alakban, ahol Bi ∈ G. Vilagos, hogy ha µ kiertekeles azegesz L-en, akkor a 3.0.1 ismetelt alkalmazasaval kapjuk, a 3.1.1 formulat.

µ(B1 ∪ . . . ∪Bk) =∑

1≤i≤k

µ(Bi)−∑

1≤i<j≤k

µ(Bi ∩Bj) + . . . (3.1.1)

Ez a szita-formula megfeleloje a µ kiertekelesre. Tehat ha µ kiertekeles, akkoreleg csak egy olyan G ⊆ L halmazon ismerni az ertekeit, mely generalja L-et.

Minket pont az ellenkezo irany erdekel, amikor a leendo kiertekelesunk adott G-n, es szeretnenk latni, hogy van-e az egesz L-en olyan kiertekeles, mely kiterjesztesea mar adott ertekeknek. Persze a 3.1.1 segıtsegevel ki tudjuk terjeszteni, azonbansemmi sem garantalja a joldefinialtsagot.

Egy µ′ : G→ R halmazfuggvenyt akkor hıvunk kiertekelesnek, ha teljesıti a 3.0.1egyenletet minden olyan esetben, amikor A, B, es A ∪ B is G-beli halmazok. Mivelaltalaban nem tudjuk, hogy A∪B ∈ G, ezert nem tudjuk iteralni a 3.0.1 egyenletet,ıgy G-n nem feltetlen teljesul a 3.1.1 formula.

Formalisan bevezetjuk a µ szerinti integralast S-en, mert ennek letezese szorosanosszefugg a kiertekeles kiterjeszthetosegevel. Jelolje IA az A ∈ L halmaz karakterisz-tikus fuggvenyet, vagyis IA : S → {0,1}, mely pontosan A elemein vesz fel 1-et. Egyf : S → R fuggvenyt egyszerunek hıvunk, ha eloall L-beli halmazok karakterisztikusfuggvenyeinek veges linearis kombinaciojakent, f =

∑ki=1 ciIAi , ahol minden Ai ∈ L.

25

Egy fuggveny egyszerusege persze fugghet attol, hogy mely L halot vizsgaljuk, szuk-seg eseten ezt hangsulyozni fogjuk. Az egyszeru fuggvenyek vektorteret alkotnak,hiszen a felbontasban szereplo halmazrendszerek osszefinomıthatoak L metszetzart-saga miatt.

Ha G generalja az L-et, akkor egy f egyszeru fuggveny felbontasaban feltehe-to, hogy minden Ai halmaz G-beli. Valoban, minden L-beli halmaz eloall G-beliekuniojakent, es nehany halmaz uniojanak karakterisztikus fuggvenye kifejezheto akovetkezokeppen:

IB1∪...∪Bk =∑

1≤i≤k

IBi −∑

1≤i<j≤k

IBi∩Bj + · · ·+ (−1)k−1IB1∩...∩Bk .

Legyen µ′ kiertekeles G-n, ekkor tudjuk definialni az elobbi f egyszeru fuggvenyµ′ szerint vett integraljat : ∫

f dµ′ =k∑i=1

ciµ′(Ai).

Mivel az f felbontasa nem egyertelmu, ezert persze az elobbi integralrol semlatjuk, hogy joldefinialt volna.

3.1.1. Tetel. Legyen G generalo halmaza az L halonak, es µ′ kiertekeles G-n. Akovetkezo allıtasok ekvivalensek:

(a) A µ′ kiertekeles kiterjed az egesz L halo egy kiertekeleseve.

(b) A µ′-re teljesul a szita-formula

µ′(A1 ∪ . . . ∪ Ak) =∑

1≤i≤k

µ′Ai −∑

1≤i<j≤k

µ′(Ai ∩ Aj) + . . .

minden esetben, amikor A1 ∪ . . . ∪ Ak ∈ G.

(c) A µ′ kiertekeles altal definialt integral az egyszeru fuggvenyeken joldefinialt.

Bizonyıtas. Ha µ′ kiterjesztheto, akkor a kiterjesztettre a 3.0.1 egyenlet ismetlesevelkapjuk a szita formulankat, mely tobbek kozott G-beli halmazokkal is teljesul, ezzelaz (a)⇒ (b) iranyt belattuk.

A (b)⇒ (c) irany igazolasahoz indirekten tegyuk fel, hogy egy egyszeru fuggvenyket kulonbozo felırasabol kulonbozo integralok adodnak. A felırasok kulonbsege ekkorolyan felırasa az azonosan nulla fuggvenynek, melynek integralja nem nulla:

k∑i=1

ciIAi = 0,k∑i=1

ciµ′(Ai) 6= 0.

26

Vegyuk azAi halmazok osszes lehetseges metszetet : L1 = A1, . . . , Lk = Ak, Lk+1 == A1∩A2, Lk+2 = A1∩A3, . . . , Lp = A1∩. . .∩Ak. A kapott {Li} rendszer tovabbrais G-beli halmazokbol all, es metszetzart. Vegyunk olyan αi egyutthatokat, melyekre:

p∑i=q

αiILi = 0,

p∑i=q

αiµ′(Li) 6= 0.

Az indirekt feltevesunk pont az volt, hogy ilyen linearis kombinacio van, mostaz osszes ilyen kozul vettuk azt, melyre q a leheto legnagyobb. A maximalitasbolkovetkezik, hogy αq 6= 0, kulonben nezhetnenk a szummat (q + 1)-tol.

Allıtjuk, hogy Lq ⊆ Lq+1 ∪ . . . ∪ Lp. Ellenkezo esetben egy x ∈ Lq \(⋃p

i=q+1 Li

)elemben kiertekelve a fuggvenyt αq =

∑pi=q αiILi(x) = 0 adodna, amit lattunk, hogy

lehetetlen.

Ekkor viszont az Lq =(⋃p

i=q+1(Lq ∩ Li))

egyenloseg mutatja, hogy Lq felırha-

to magasabb indexu Lj halmazok uniojakent, es ıgy karakterisztikus fuggvenye iskifejezheto a magasabb indexu halmazok karakterisztikus fuggvenyeivel, a karak-terisztikus fuggvenyekre felırt szita-formula segıtsegevel. Az αqILq tag helyere eztbeırva, majd az azonos karakterisztikus fuggvenyek egyutthatoit osszevonva kapjuka βi egyutthatokat, melyekkel

∑pi=q+1 βiILi = 0. A (b) allıtas viszont eppen azt

garantalja, hogy a µ′(Lq) ertek is felırhato a szita-formulaval, es ıgy ugyanazokkalaz osszevonasokkal ugyanazokat a βi egyutthatokat kapva

∑pi=q+1 βiµ

′(Li) 6= 0, amiellentmond q maximalitasanak. Ezzel a (b)⇒ (c) implikaciot belattuk.

Vegul a (c) ⇒ (a) iranyhoz definialjuk a µ kiertekelest az egesz L-en a µ(A) ==∫IAdµ

′ formula segıtsegevel. Ekkor IA∪B = IA + IB − IA∩B alapjan, az integrallinearitasat hasznalva azonnal adodik, hogy µ kiertekeles L-en. A bizonyıtast befe-jeztuk.

A bizonyıtas utolso szakaszabol latszik, hogy ha T az egyszeru fuggvenyek terenertelmezett linearis fuggveny, akkor a µ(A) = T (IA) halmazfuggveny kiertekeles,melyre

∫f dµ = T (f) minden f egyszeru fuggvenyre, tehat bijektıv kapcsolat van

a kiertekelesek, es az egyszeru fuggvenyeken ertelmezett linearis fuggvenyek kozott.

Mivel IA\B = IA − IA∩B, ami tovabbra is egyszeru fuggveny, ıgy egy L-en er-telmezett kiertekeles kiterjesztheto a B(L) halmazrendszerre, ahol B(L) a legkisebbolyan L-et tartalmazo halmazrendszer, mely nem csak a veges metszetre es uniorazart, hanem halmazok kulonbsegenek kepzesere is.

3.2. Kiterjesztes konvex halmazokrol

Mint azt mar emlıtettuk, konvex halmazok veges unioin szeretnenk kiertekeleseketvizsgalni. A 2. fejezet jeloleseivel osszhangban jelolje Kn az n-dimenzios euklidesziter kompakt, konvex halmazainak halmazat. Kn-beli halmazok veges uniojat polikon-vexnek hıvjuk, es ezek halmazat Polycon(n)-nel jeloljuk. Mivel Kn metszetzart, ezert

27

Polycon(n) halo, melyet persze Kn general. A 3.1.1 tetel segıtsegevel terjesszuk kia konvex halmazokon levo kiertekeleseinket – mint peldaul a terfogatot, vagy ahogykesobb latni fogjuk, a felszınt – Polycon(n)-re!

Egy kiertekeles konvex-folytonos, ha minden Ki → K esetben, ahol a Ki hal-mazok konvexek teljesul, hogy µ(Ki) → µ(K). Ennek nem kell teljesulnie, ha aKi halmazokat Polycon(n)-bol vesszuk. A konvergenciat konvex halmazok eseten aHausdorff-metrikara nezve ertjuk.

3.2.1. Tetel. Barmely Kn-en adott konvex-folytonos µ kiertekeles egyertelmuen ki-terjesztheto Polycon(n) egy kiertekeleseve.

Bizonyıtas. Eleg bebizonyıtanunk, hogy tudunk µ szerint integralt definialni. A di-menziora vonatkozo indukcioval bizonyıtunk. Az allıtas n = 0 dimenzioban sem-mitmondo. Indirekten tegyuk fel, hogy n dimenzioban leteznek K1, . . . Kk konvexhalmazok, melyekre

k∑i=1

αiIKi = 0,k∑i=1

αiµ(Ki) = 1.

Tegyuk fel tovabba, hogy k minimalis, vagyis kevesebb halmaz eseten ha a ka-rakterisztikus fuggvenyek osszege nulla, akkor az integral is. Vegyunk egy olyan Haffin hipersıkot, melyhez tartozo H+ es H− zart felterek kozul az egyik diszjunktK1-tol, legyen K1 ⊆ int(H+). Ekkor

k∑i=1

αiIKi∩H+ =

(k∑i=1

αiIKi

)IH+ = 0,

k∑i=1

αiIKi∩H− =

(k∑i=1

αiIKi

)IH− = 0,

k∑i=1

αiIKi∩H =

(k∑i=1

αiIKi

)IH = 0.

Mivel µ kiertekeles, ıgy az integralhoz tartozo osszeget szet tudjuk szedni:(k∑i=1

αiµ(Ki ∩H+)

)+

(k∑i=1

αiµ(Ki ∩H−)

)−

(k∑i=1

αiµ(Ki ∩H)

)= 1.

A harom tag kozul ketto eltunik. Amikor H-val metszunk, akkor az indukciosfeltetel szerint kell az osszegnek nullanak lennie, mıg ha H−-szal, akkor K1∩H− = ∅miatt k-nal kevesebb halmazunk van, ıgy az integral 0. Vagyis azt kaptuk, hogy

k∑i=1

αiIKi∩H+ = 0,k∑i=1

αiµ(Ki ∩H+) = 1.

28

Ezt az eljarast vegezzuk el a H1, H2, . . . hipersıkokkal, melyekre K1 =⋂∞i=1H

+i .

Ilyen hipersıkok vannak, hiszen minden racionalis koordinataju csucsokkal rendelke-zo, K1-tol diszjunkt szimplexet el tudunk valasztani hipersıkkal K1-tol, es barmelykulso pont beırhato ilyen szimplexbe. Az elobbi gondolatmenetet kovetve kapjuk,hogy

∑ki=1 αiµ(Ki ∩ H+

1 ∩ . . . ∩ H+q ) = 1 tetszoleges q-ra, es µ folytonossagabol

q →∞ hataratmenettel kapjuk, hogy

k∑i=1

αiIKi∩K1 = 0,k∑i=1

αiµ(Ki ∩K1) = 1.

Ezt sorban elismeteljuk a K2, K3, . . . , Kk halmazokkal is. Legyen K = K1∩ . . .∩∩Kk, ekkor (

k∑i=1

αi

)IK = 0,

(k∑i=1

αi

)µ(K) = 1.

Az elso feltetel szerint vagy∑k

i=1 αi = 0, vagy K = ∅. A masodik feltetel szerint

viszont∑k

i=1 αi 6= 0, ıgy marad a K = ∅ eset. Viszont a masodik feltetelbol µ(∅) == µ(K) 6= 0 is kovetkezik, ami ellentmondas. Ezzel a tetelunket bebizonyıtottuk.

3.3. Kiertekelesek parallelotopokon

Legyunk egyelore szerenyebbek, es szorıtkozzunk csupan a tengelyparhuzamos pa-rallelotopokra, illetve ezek veges unioira. A tetelunk bizonyıtasa persze mukodik,hiszen ezek is konvex halmazok, azonban ebben az esetben nem kell felhasznalnunka µ kiertekeles folytonossagat. Az iment a H hipersıkunkat ugy vettuk fel, hogyK1 ⊆ int(H+). Ennek azert volt jelentosege, mert ıgy K1 ⊆ int(H−) = ∅ alapjanaz ellenpeldank minimalitasara hivatkozva mondhattuk, hogy a

∑ki=1 αiµ(Ki ∩H−)

osszeg eltunik.

Parallelotopok eseten egy kicsit mashogy jarunk el : az ellenpeldaban nem a pa-rallelotopok szamat, hanem az n-dimenzios parallelotopok szamat valasztjuk mi-nimalisnak. Egy parallelotopot akkor hıvunk n-dimenziosnak, ha nem tartalmazzahipersık. Az altalanos esetben H+ belsejebe kellett esnie K1-nek, azonban most a H-t vehetjuk az egyik n-dimenzios parallelotop (P1) hiperlapjara illeszkedonek. Ekkora P1 ∩ int(H−) halmaz ugyan nem ures, de H-ba esik, ıgy az n-dimenzios paralle-lotopok szama csokken, tehat megint hivatkozhatunk a

∑ki=1 αiµ(Pi ∩ H−) osszeg

eltunesere. Mindezzel azt nyerjuk, hogy a P1 zart felterek metszetekent valo eloal-lıtasanal csak veges sok felterre van szuksegunk, ıgy nem kell kihasznalnunk a µfolytonossagat.

Elobb persze be kell bizonyıtani, hogy egy ellenpeldaban mindig van n-dimenziosparallelotop. Legyen m az n-dimenzios parallelotopok szama az ellenpeldankban,erre az m-re nezve valasztottuk minimalisnak az ellenpeldat. Tegyuk fel, hogy m == 0. Ekkor minden Pi-hez talalunk ot tartalmazo hipersıkot. Legyenek H1, . . . , Hl

olyanok, hogy az uniojuk fedi az osszes Pi-t. Ha l = 1, akkor az egesz ellenpelda

29

egy hipersıkban van, ami ellentmond a dimenziora vonatkozo indukcios feltevesnek.Altalaban tetszoleges Hj eseten igaz, hogy

∑ki=1 αiIPi∩Hj = 0, ezert az indukcios

felteves miatt∑k

i=1 αiµ(Pi∩Hj) = 0. Ugyanez igaz akkor is, ha nem egy hipersıkra,

hanem ket hipersık metszetere szorıtkozunk. Igy az integralt fel tudjuk bontani aszita formulaval :

k∑i=1

αiµ(Pi) =k∑i=1

αiµ(Pi ∩ (H1 ∪ . . . ∪Hl)

)=

=k∑i=1

αi

( ∑1≤j≤m

µ(Pi ∩Hj)−∑

1≤j<h≤k

µ(Pi ∩ (Hj ∩Hh)

)+ . . .

).

A zarojelet felbontva, majd minden tagban a szummakat felcserelve csupa 0tagot kapunk, ıgy az egesz kifejezes is nulla, holott azt tettuk fel, hogy nem az.Ezzel belattuk, hogy minden ellenpeldaban van n-dimenzios Pi.

A kitero elott ott tartottunk, hogy az n-dimenzios P1-et eloallıtottuk veges sokfelter metszetekent, es ezekkel a felterekkel metszve az osszes Pi-t tovabbra is el-lenpeldat kellett kapnunk. Itt megint dolgozni kell egy kicsit, hiszen nem tudunkatterni az osszes Pi metszetere, mivel csak az n-dimenziosakat tudjuk metszetkenteloallıtani a korabbi modszerrel. Legyen P = P1 ∩ . . . ∩ Pm, ezeket tudjuk felterekmetszetekent eloallıtani, es a 3.2.1 tetel bizonyıtasanak mintajara kapjuk, hogy

(m∑i=1

αi

)IP +

k∑i=m+1

αiIPi∩P = 0,

(m∑i=1

αi

)µ(P ) +

k∑i=m+1

αiµ(Pi ∩ P ) = 1.

Az elso osszeg mindket tagja kulon-kulon is 0 kell hogy legyen. Mivel mindenellenpeldaban van n-dimenzios parallelotop, ıgy P biztosan n-dimenzios, ıgy egyx ∈ P \

(Pm+1 ∪ . . . ∪ Pk

)pontban kiertekelve kapjuk, hogy

∑mi=1 αi = 0. Ilyen x

pont van, hiszen az n-dimenzios P -t nem tudjuk veges sok kisebb dimenzios Pi-vellefedni. Igy

∑ki=m+1 αiIPi∩P = 0, es mivel itt nincs n-dimenzios parallelotop, ezert

nem lehet ellenpelda, vagyis∑k

i=m+1 αiµ(Pi∩P ) = 0. Igy P -re megkapjuk ugyanaztaz ellentmondast, amit a 3.2.1 bizonyıtasanak vegen K-ra kaptunk. Mindezzel aztbizonyıtottuk be, hogy:

3.3.1. Tetel. Barmely parallelotopokon ertelmezett µ kiertekeles egyertelmuen ki-terjed parallelotopok veges unioira. �

Vezessuk be a ezeknek a veges unioknak a halmazara a Par(n) jelolest. Szeretnenkmegerteni Par(n) kiertekeleseit. Itt egy kiertekelest akkor hıvunk folytonosnak, haPi → P parallelotopok eseten µ(Pi) = µ(P ).

Egy L halon adott kiertekelest egy G csoport L-en vett hatasara nezve invari-ansnak mondunk, ha minden g ∈ G, A ∈ L eseten µ(gA) = µ(A). Milyen cso-port hat Par(n)-en, melyre termeszetesnek tekintenenk, hogy a kiertekeleseinknek –

30

amiket a terfogat es a felszın motivalt – invariansnak kell lennie? Az euklideszi tereltolasai persze hatnak Par(n)-en, es a ter koordinatainak permutacioi is tengelypar-huzamos parallelotopot ugyanilyenbe visznek. Egy Par(n)-en ertelmezett kiertekelesinvarianciajat – amennyiben nem pontosıtjuk a csoport pontos megnevezesevel –ezekre a transzformaciokra ertjuk.

Legyen n = 1, ekkor minden A ∈ Par(1) halmaz zart intervallumok veges unioja.Tekintsuk a kovetkezo ket kiertekelest :

µ10(A) = A osszefuggo komponenseinek szama,

µ11(A) = A komponenseinek osszhossza.

Mindketto folytonos es invarians kiertekeles. Megmutatjuk, hogy lenyegeben csakez a ket folytonos es invarians kiertekeles van Par(1)-en, azaz minden ilyen µ kier-tekeles ennek a kettonek linearis kombinacioja. Legyen egy tetszoleges x ∈ R pontraµ({x}) = c, ez persze az eltolasinvariancia miatt nem fugg x-tol. Tekintsuk a µ′ == µ− cµ1

0 kiertekelest, ez tovabbra is folytonos es invarians, es a pontokon eltunik.Vezessuk be az f(x) = µ′([0, x]) fuggvenyt, mely folytonos. Mivel µ′ invarians, ezertbarmely x hosszu A intervallumra µ′(A) = f(x). Legyenek A es B olyan intervallu-mok, melyeknek metszete egyetlen pont, legyenek rendre x es y hosszuak.

f(x+ y) = µ′(A ∪B) = µ′(A) + µ′(B)− µ′(A ∩B) = f(x) + f(y)

Mivel f folytonos, ezert linearis, vagyis valamilyen r ∈ R-re f(x) = rx. Ez viszontpont azt jelenti, hogy az A intervallumra µ′(A) = rµ1

1(A), vagyis az intervallumokonµ = cµ1

0 + rµ11, es a kiterjesztes szerint ekkor Par(n)-en is. Ezzel 1 dimenzioban

karakterizaltuk a folytonos, invarians kiertekeleseket. Ez a bizonyıtas erosen emle-keztet a Buffon-fele tuproblemanal latott gondolatmenetre, melyet – tobbek kozott– pont ennek a kapcsolatnak az erdekeben ismertettunk.

Magasabb dimenzioban gondolkodva jelolje σk a k-adik n-valtozos elemi szim-metrikus polinomot:

σk(x1, . . . , xn) =∑

1≤i1<···<ik≤n

xi1 . . . xik , σ0 = 1

3.3.2. Allıtas. Minden n ∈ N-re es 0 ≤ k ≤ n-re egyertelmuen letezik olyan folyto-nos, invarians µnk kiertekeles Par(n)-en, mely minden P parallelotopon a µkn(P ) == σk(x1, . . . , xn) erteket veszi fel, ahol x1, . . . , xn a parallelotop elhosszai.

Bizonyıtas. A 3.3.1 tetel alapjan eleg meggondolni, hogy a fenti halmazfuggvenyekparallelotopok koreben valoban kiertekelesek. Egy P tengelyparhuzamos parallelotopa tengelyekre vett I1, . . . , In meroleges vetuleteinek a Descartes-szorzata, azaz P == I1×. . .×In. Oldalhossz alatt persze az Ij intevallumok hosszait ertjuk. A P 1 es P 2

parallelotopok unioja pontosan akkor lesz szinten parallelotop, ha az elobbi vetuletekkozul (n − 1) darab pontosan megegyezik, az n-edik vetuletek pedig metszoek. Azaltalanossag megsertese nelkul feltehetjuk, hogy az I1

2 = I22 , . . . , I

1n = I2

n szakaszok

31

egyeznek meg, mıg I11 ∩ I2

1 6= ∅. Legyenek az I2, . . . , In intervallumok hosszai rendrex2, . . . , xn, mıg az I1

1 es I21 intervallumoke rendre y es z, es az I1

1 ∩ I21 atfedes hossza

x. Ekkor az unio megfelelo elhossza persze y + z − x, ıgy µnk definıciojat felırva:

µnk(P1 ∪ P2) = σk(y + z − x, x2, . . . , xn) = σk(y, x2, . . . , xn)+

+σk(z, x2, . . . , xn)− σk(x, x2, . . . , xn) = µnk(P1) + µnk(P2)− µnk(P1 ∩ P2).

Itt a masodik egyenloseg azert igaz, mert az elso valtozot nem tartalmazo tagoka jobb oldali harom szimmetrikus polinomban megegyeznek, es az egyik esetbennegatıv elojellel vesszuk oket, ıgy az ilyen tagokbol osszevonas utan 1 darab marad.Az elso valtozot tartalmazo tagok viszont linearisak ebben a valtozoban, ıgy ott azelso valtozo ertekeit osszevonhatjuk, ıgy eppen a bal oldali szimmetrikus polinomelso valtozot tartalmazo tagjait kapjuk.

Vegyuk eszre, hogy µnk nem erzekeny arra, hogy a politopra milyen befoglaloterben gondolunk. Legyen ugyanis k ≤ m < n, es Q ∈ Par(n) olyan, hogy Q ⊆⊆ H, ahol H egy m-dimenzios tengelyparhuzamos affin alter. Ekkor H-n belultudjuk ertelmezni a µmk (Q) erteket, ami megegyezik a µnk(Q) ertekkel, hiszen haegy szimmetrikus polinom nehany valtozojaba nullat helyettesıtunk, akkor vissza-kapjuk a kevesebb valtozos megfelelo szimmetrikus polinomot. Ennek megfeleloenjelolesunkben elhagyjuk a dimenzio feltunteteset. Az n-dimenzios P parallelotopraa µ0(P ), . . . , µn(P ) ertekeket a parallelotop belso terfogatainak nevezzuk, utalva ar-ra, hogy nem fuggnek a befoglalo ter dimenziojatol. A terfogat szo indokolt, hiszenµn(P ) = Vn(P ), es µn−1 = 1

2S(P ).

Egy µ kiertekeles egyszeru, ha minden olyan P ∈ Par(n)-re, mely n-nel kevesebbdimenzios µ(P ) = 0, es monoton novo, ha P ⊆ Q eseten µ(P ) ≤ µ(Q). Hasonloandefinialhatjuk a monoton csokkeno kiertekeleseket, es egy kiertekeles monoton, hanovo vagy csokkeno. A µn kiertekeles egyszeru es monoton novo, es az alabbi tetelmutatja, hogy ezek a tulajdonsagok konstans erejeig karakterizaljak is.

3.3.3. Tetel. Legyen µ eltolasinvarians egyszeru kiertekeles Par(n)-en, mely foly-tonos vagy monoton. Ekkor µ konstans erejeig megegyezik a terfogattal, azaz letezikc ∈ R, hogy µ(P ) = cµn(P ) ∀P ∈ Par(n).

Bizonyıtas. Legyen c = µ([0; 1]n), es vagjuk fel ezt (1/k) oldalu zart kockakra.Ezek µ-ertekei az eltolasinvarianca miatt megegyeznek, es osszeguk c, hiszen met-szeteik legfeljebb (n− 1)-dimenziosak, ıgy azokon µ eltunik. Ezzel megkaptuk, hogyµ([0; 1/k]n) = c/kn = cµn([0; 1/k]n). Ebbol mar kovetkezik, hogy barmely racionalisoldalhosszakkal rendelkezo P parallelotopra µ(P ) = cµn(p), hiszen P megfelelo k-raosszerakhato (1/k) oldalu kockakbol. Ezek utan akar a folytonossagra, akar a mo-notonitasra hivatkozva kapjuk az allıtast tetszoleges oldalu parallelotopokra. Vegula kiterjesztesi tetelunkbol tudjuk, hogy ha a ket kiertekeles megegyezik paralleloto-pokon, akkor az egesz Par(n)-en is.

3.3.4. Tetel. A belso terfogatok Par(n)-en bazisat adjak a folytonos, eltolasokra eskoordinatak permutalasara invarians kiertekeleseknek.

32

Bizonyıtas. Indukcioval bizonyıtunk, n = 1 esetben az allıtast mar belattuk. Ve-gyunk most egy H tengelyparhuzamos hipersıkot, erre megszorıtva a µ kiertekelestovabbra is folytonos es invarians, ıgy H-n beluli halmazokon az indukcios feltevesszerint µ =

∑n−1i=0 ciµi. Az egyenlosegben szereplo kiertekelesek invarianciajabol ko-

vetkezik, hogy ezek a ci konstansok nem fuggnek H valasztasatol, hiszen barmelyket tengelyparhuzamos hipersık egymasban viheto a koordinatak permutalasa, es egyeltolas segıtsegevel. Tekintsuk a µ−

∑n−1i=0 ciµi kiertekelest, ez barmely tengelyparhu-

zamos hipersıkon 0, es ıgy az n-nel kisebb dimenzios Par(n)-beli halmazokon eltunik.Mivel folytonos, invarians kiertekelesek linearis kombinacioja, ıgy maga is folytonos,invarians, tehat a 3.3.3 tetel szerint a terfogat konstansszorosa: µ −

∑n−1i=0 ciµi =

= cnµn, ezzel az allıtast belattuk.

Mirol lehet felismerni, hogy egy µ folytonos, invarians kiertekelesunk valamelyikµk belso terfogat, vagy legalabbis annak konstansszorosa? Egy µ Par(n)-en adottkiertekeles k-adfoku homogen, ha barmely α ≥ 0-aranyu ϕ kozeppontos nagyıtasranezve µ

(ϕ(P )

)= αkµ(P ) minden P ∈ Par(n) halmazon. Termeszetesen a µk belso

terfogat k-adfoku homogen, hiszen parallelotopokon a k-adik szimmetrikus polinom-bol szarmazik, ami pedig k-adfoku homogen.

3.3.5. Tetel. Megyen µ egy Par(n)-en adott k-adfoku homogen, folytonos, invarianskiertekeles, 0 ≤ k ≤ n. Ekkor letezik c ∈ R, hogy µ = cµk.

Bizonyıtas. Az elozo tetelbol tudjuk, hogy µ =∑n

i=0 ciµi alakban. Ertekeljuk ki µ-ta Kα = [0;α]n kockakon:

µ(Kα) =n∑i=0

ciµi(Kα) =n∑i=0

ciαiµi(K1) =

n∑i=0

ciαi

(n

i

),

µ(Kα) = αkµ(K1) = αkn∑i=0

ciµi(K1) =n∑i=0

ciαk

(n

i

).

A ket egyenlet jobb oldalan levo kifejezesek tehat minden α ≥ 0-ra megegyeznek,ami csak akkor lehet, ha i 6= k esetben ci = 0, ami eppen a tetel allıtasa.

A kesobbiekben a belso terfogatokat fogjuk kiterjeszteni konvex halmazokra, esszeretnenk megkapni a 3.3.4 megfelelojet is a kiterjesztett belso terfogatokkal.

3.4. Mertekek Grassmann-sokasagokon

A belso terfogatok kiterjesztesehez szuksegunk lesz arra, hogy valamilyen fix dimen-zios affin alterek teren integraljunk. A sıkban konnyen tudtunk definialni merteketaz egyenesek teren, azonban magasabb dimenzioban ez nem mindig ilyen egyszeru. Akovetkezo szakasz celja egy egybevagosaginvarians mertekek definialasa affin alterekterein. A mertekeinket ugy szeretnenk skalazni, hogy a formulaink minel egyszerubbalakot oltsenek. Ehhez jo kiindulas a konvex testekre bizonyıtott Cauchy-formula.Legyen K konvex test az n-dimenzios terben. Ekkor a Cauchy-formula szerint

33

S(K) =1

ωn−1

∫Sn−1

Vn−1

(pv⊥(K)

)dv.

A parallelotopokon lattuk, hogy µn−1(P ) = 12S(P ), ezert eleg termeszetes az

osszes konvex testek halmazan ertelmezni µn−1-et, mint a felszın felet. A hiper-sıkban (n − 1)-dimenzios terfogatot merunk, ami megegyezik a µn−1 kiertekelessela parallelotopokon, es az elobbihez hasonlo modon kiterjeszthetjuk µn−1-et a hi-persıkbeli konvex halmazokra azok terfogatakent. Az integralt pedig nezhetjuk azegyseggomb helyett az egyenesek teren, hiszen minden egyenes ket pontban met-szi a gombot. Jelolje Gr(1, n) az n-dimenzios ter egyeneseinek halmazat, vagyis az(n − 1)-dimenzios projektıv teret. Az Sn−1 felszıni mertekebol adodik egy mertekGr(1, n)-en: egyenesek egy halmazanak merteket definialhatjuk az egyseggombbelvett metszeteik halmazanak felszıni mertekekent. A kapott merteket skalazzuk ugy,hogy az egesz ter merteke 1 legyen. Az integralunk a kovetkezo alakot olti :

µn−1(K) = α

∫Gr(1,n)

µn−1

(pl⊥(K)

)dl

Itt az α konstans ismet meghatarozhato azzal, hogy K-nak az egyseggombotvalasztjuk. Az egyseggomb felszınet a 2.4.2 segıtsegevel konnyeden megkaphatjuk:

limr→0

(1 + r)nωn − ωnr

= nωn.

Ekkor a formulat felırva megkapjuk α-t :

nωn2

= αωn−1, α =nωn

2ωn−1

.

Most ismet skalazzuk at a Gr(1, n)-en levo merteket, de most ugy, hogy az egeszter merteke α legyen, es jelolje ezt a merteket τn. Bevezetjuk a [n] jelolest az egeszGr(1, n) ter mertekere. Ekkor

τn(Gr(1, n)

)=

nωn2ωn−1

= [n].

Ez a τn mertek O(n)-invarians, hiszen a felszıni mertekbol szarmazik, es ugyskalaztuk, hogy vele felırva a Cauchy-formulat a konstansok eltunnek:

µn−1(K) =

∫Gr(1,n)

µn−1(pl⊥(K)) dτn.

Celunk hasonlo mertek bevezetese magasabb dimenzios alterekbol allo sokasa-gokon is. Jelolje Lin(n) az n-dimenzios ter linearis altereinek halmazat. Ezek halotalkotnak a tartalmazasra nezve, melynek a 0 vektorbol allo alter minimalis eleme,mıg a teljes Rn maximalis eleme. Jelolje Gr(k, n) ⊆ Lin(n) a k-dimenzios alte-rek halmazat. Alterek egy V0 ≤ V1 ≤ . . . ≤ Vn sorozatat zaszlonak nevezunk, ha

34

dim(Vi) = i, ∀i ∈ {0, . . . , n}. Minden zaszlora V0 = 0, es Vn = Rn. Jelolje Flag(n)a zaszlok halmazat. Minden zaszlohoz gyarthatunk paronkent meroleges egyenesekegy sorozatat a kovetkezokeppen:

l1 = V1, l2 = V2 ∩ V ⊥1 , l3 = V3 ∩ V ⊥2 , . . . , ln = Vn ∩ V ⊥n−1.

A megfeleltetes kolcsonosen egyertelmu, hiszen a zaszlo visszakaphato az egyene-sekbol, Vi = 〈l1, . . . , li〉. Legyen f : Flag(n)→ R egy fuggveny, es jelolje f(l1, . . . , ln) == f(V0, . . . , Vn) a megfelelojet az egyenesekre. Definialjunk Flag(n)-en integralt akovetkezo formulaval :

∫Flag(n)

f dφn =

∫Gr(1,n)

. . .

∫Gr(1,2)

∫Gr(1,1)

f(l1, . . . , ln) dτ1(ln) dτ2(ln−1) . . . dτn(l1).

A bal oldali integralt a jobb oldal segıtsegevel definialjuk minden olyan esetben,amikor az ertelmes. A motivacio egyszeru, az l1 egyenest korbeforgatjuk Gr(1, n)-en,ezt persze a megfelelo τn mertek szerint tesszuk. Rogzıtett l1-re az l2 mar csak l⊥1 -benmozoghat, vagyis ot Gr(1, n− 1)-en forgatjuk korbe, megint csak a vonatkozo τn−1

mertek szerint, es ıgy tovabb. Ha a belso (n− 1) integralt tekintjuk rogzıtett l1-re,akkor az tekintheto egy Flag(n − 1)-en vett integralnak az l⊥1 hipersıkon. Vagyisaz integralt definialhatjuk rekurzıvan is a kovetkezo formulaval. Jelolje τn azt amerteket Gr(n− 1, n)-en, melyet a τn mertekbol kapunk az egyenesek es hipersıkokortogonalis dualitasaval :∫

Flag(n)

f dφn =

∫Gr(n−1,n)

∫Flag(Vn−1)

fVn−1 dφn−1 dτn(Vn−1) , ahol

fVn−1(0, U1, . . . , Un−2, Vn−1) = f(0, V ⊥n−1, 〈U1, V⊥n−1〉, . . . , 〈Un−2, V

⊥n−1〉,Rn).

Ezzel persze definialtuk a φn merteket is, es a τi-k O(k)-invarianciajabol adodik,hogy φn is O(n)-invarians. Az egesz Flag(n) halmaz mertekere:

φn(Flag(n)

)= [n][n− 1][n− 2] . . . [1] =

nωn(n− 1)ωn−1 . . . 1ω1

2ωn−12ωn−2 . . . 2ω0

=n!ωn

2n.

Erre az ertekre bevezetjuk az [n]! jelolest, ez tehat Flag(n) merteket jeloli. Si-kerult a zaszlokon forgatasinvarians merteket definialnunk, de valojaban Gr(k, n)-en szeretnenk merteket kapni. Ezert egy A ∈ Gr(k, n) halmazra legyen Flag(A)azon zaszlok halmaza, melyek

”athaladnak” A-n, azaz Flag(A) = {(V0, . . . , Vn) ∈

∈ Flag(n)|Vk ∈ A}. Kezenfekvo A-t Flag(A) segıtsegevel merni, ıgy bevezetjuk a νnkO(n)-invarians merteket Gr(k, n)-en:

νnk (A) =φn(Flag(A))

[k]! [n− k]!.

35

A normalast a kovetkezo intuıcio sugallja. Vk rogzıtesevel a V0, . . . , Vk−1, Vk alte-rek egy Flag(k)-val izomorf halmazon futhatnak, mıg hasonloan a Vk, Vk+1, . . . , Vnalterek egy Flag(n − k)-val izomorf halmazon. Ezert minden Vk-t [k]! [n − k]!-szorszamoltunk. A teljes Gr(k, n) merteket felırva pedig kapjuk, hogy

νnk (Gr(k, n)) =[n]!

[k]! [n− k]!=

[n

k

]=

(n

k

)ωn

ωkωn−k.

Mindeddig linearis alterek halmazait mertuk. A mertekunk kiterjesztese az affinesetre mar nem okoz nehezseget. Jelolje Aff(n) az n-dimenzios ter affin altereinekhalmazat, es Graff(k, n) ezek kozul a k-dimenziosakat. Ezek persze jellemezhetoekaz origoba eltolt peldanyukkal, es egy pontjukkal. Legyen V ∈ Graff(k, n), ekkorjelolje V ⊥ a ra meroleges affin alterek kozul az origon athaladot. V0 = (V ⊥)⊥ eppenaz elobb emlıtett linearis alter, melynek eltoltja a p(V ) = V ∩ V ⊥ vektorral magaV . Rendeljuk hat hozza V -hez a (V0, p(V )) part, ezzel minden affin alternek adtunkparametert. Masfelol minden U linearis alterhez, es p ∈ U⊥ vektorhoz a tp(U) affinalter parameterei eppen (U, p), ahol tp a p vektorral valo eltolast jeloli.

Legyen f : Graff(k, n) → R fuggveny, ekkor ertelmezzuk az f : Gr(k, n) ×× Rn fuggvenyt, legyen f(U, p) = f

(tp(U)

). A Graff(k, n)-en valo integralast ekkor

visszavezetjuk Gr(n, k) es Rn−k esetere, melyeken mar tudunk integralni :

∫Graff(k,n)

f dλnk =

∫Gr(k,n)

∫U⊥

f(U, p) dp dνnk .

A bal oldali integralt a jobb oldal segıtsegevel definialjuk minden olyan esetben,amikor az letezik. A kapott λnk eltolasinvairans. Vegyunk ugyanis egy w ∈ Rn vektor,

es komponaljuk az f fuggvenyunket tw-vel, ekkor f ◦ tw(U, p) = (f ◦ tw)(tp(U)

)=

= f(tp+w(U)

)= f

(tp+w|

U⊥(U)), ahol w|U⊥ jeloli a w vektor U⊥-re vett meroleges

vetuletet. Ekkor

∫Graff(k,n)

f ◦ tw dλnk =

∫Gr(k,n)

∫U⊥

f(tp+w|

U⊥(U))dp dνnk =

=

∫Gr(k,n)

∫U⊥

f(tp(U)

)dp dνnk =

∫Graff(k,n)

f dλnk .

Kozben kihasznaltuk a Lebesgue-integral eltolasinvarianciajat. Hasonloan meg-mutatjuk, hogy λnk az O(n)-beli transzformaciokra is invarians. Legyen ϕ ∈ O(n),

es komponaljuk f -et ϕ-vel : f ◦ ϕ(U, p) = (f ◦ ϕ)(tp(U)

)= f

(tϕ(p)(ϕ(U))

). Ki fogjuk

hasznalni, hogy a νnk mertek O(n)-invarians, es hogy ha a p vektor befutja az U al-teret, akkor ϕ(p) befutja ϕ(U)-t, sot mi tobb ϕ mertektarto is abban az ertelemben,hogy egy U -beli merheto halmaz kepenek merteke – ϕ(U)-ban – valtozatlan marad.

36

∫Graff(k,n)

f ◦ ϕ dλnk =

∫Gr(k,n)

∫U⊥

f(tϕ(p)(ϕ(U))

)dp dνnk =

=

∫Gr(k,n)

∫ϕ(U)⊥

f(tr(ϕ(U))

)dr dνnk =

∫Graff(k,n)

f dλnk .

A ket invarianciat osszefoglalva λnk invarians az egybevagosagokra nezve.

3.5. Konvex testek belso terfogatai

Konvex testek terfogata eppen azon pontok halmazanak merteke, melyek a testbenvannak. A felszın a Cauchy-formula szerint szorosan osszefugg a konvex testet metszoegyenesek halmazanak mertekevel. Ezek az eszrevetelek azt vetıtik elore, hogy adefinialni kıvant belso terfogatoknak erosen ossze kell fuggniuk a halmazt metszovalamilyen fix dimenzios alterek halmazanak mertekevel.

3.5.1. Lemma. Legyenek A es B kompakt konvex halmazok, melyekre A ∪ B iskonvex. Ha a V linearis alter legalabb 1 dimenzios, es V ∩ A 6= ∅ es V ∩ B 6= ∅,akkor V ∩ (A ∩B) 6= ∅.

Bizonyıtas. Tekintsuk a V ∩ A es V ∩ B halmazokat. Veve az egyikbol egy a, amasikbol egy b pontot, az osszekoto [a; b] szakasz vegig V ∩ (A∪B)-ben van, hiszenez is konvex. [a; b] ⊆ (V ∩ A) ∪ (V ∩ B), es indirekten felteve, hogy V ∩ (A ∩ B) == ∅ azt latjuk, hogy [a; b]-ben [a; b] ∩ A es [a; b] ∩ B zart halmazok, melyek egymaskomplementerei. Ez viszont ellentmond [a; b] osszefuggosegevel.

Rogzıtsuk az n dimenziot, es A ⊆ Rn halmazra jelolje Graff(k,A) azoknak a k-dimenzios affin altereknek a halmazat Graff(k, n)-ben, melyek metszik A-t. Az elozolemma allıtasa epp az, hogy ha A es B kompakt konvex halmazok unioja is konvex,akkor

Graff(k,A) ∩Graff(k,B) = Graff(k,A ∩B).

Emellett teljesen trivialis a Graff(k,A)∪Graff(k,B) = Graff(k,A∪B) egyenlo-seg. Ennek segıtsegevel fel tudjuk ırni Graff(k,A ∪B) merteket :

λnk(Graff(k,A ∪B)

)= λnk

(Graff(k,A)

)+ λnk

(Graff(k,A)

)−

− λnk(Graff(k,A) ∩Graff(k,B)

)=

= λnk(Graff(k,A)

)+ λnk

(Graff(k,B)

)−

− λnk(Graff(k,A ∩B)

).

Vagyis a µ(A) = λnk(Graff(k,A)

)fuggveny kiertekeles a konvex testeken, ıgy

kiterjed a polikonvex halmazok egy kiterjeszteseve. Errol a kiertekelesrol szeretnenkmegmutatni, hogy parallelotopokra visszaadja a belso terfogatok fogalmat.

37

A λnk mertek invarians az egybevagosagokra nezve, ıgy ha az elobbi kiterjesztesttengelyparhuzamos parallelotopokon vizsgaljuk, akkor az eltolasokra es koordina-tapermutaciokra invarians kiertekelest kapunk. Megmutatjuk a folytonossagot eshomogenitast is.

Legyen P parallelotop, es a hozza tartozo Graff(k, P ) halmaz karakterisztikusfuggvenye fP . Ekkor

µ(P ) = λnk(Graff(k, P )

)=

∫Graff(k,n)

fP dλnk =

∫Gr(k,n)

∫U⊥

fP (U, p) dp dνnk .

Vizsgaljuk a belso integralt egy fix U ∈ Gr(k, n)-re. fP (U, p) pontosan akkor1, ha p beleesik a P parallelotop U⊥ alterre vett meroleges vetuletebe, kulonbennulla. Vagyis a belso integral erteke Vn−k

(pU⊥(P )

), ahol pU⊥ az U⊥-re vett meroleges

vetıtest jeloli. Ezt behelyettesıtve:

µ(P ) =

∫Gr(k,n)

Vn−k(pU⊥(P )

)dνnk .

Ebbol a kepletbol kiolvashato, hogy a kiertekelesunk (n − k)-adfoku homogen,hiszen az (n− k)-dimenzios terfogat is az. Masfelol ha Pi → P parallelotopok kon-vergens sorozata, akkor a meroleges vetuletek is konvergalnak a megfelelo merolegesvetulethez, ıgy a terfogat folytonossagbol adodoan a vetuletek terfogatai tartanak Pvetuletenek terfogatahoz. Mivel a vetıtes az alter allasatol fuggetlenul a Hausdorff-tavolsagot nem novelheti, ezert a Vn−k

(pU⊥(Pi)

)→ Vn−k

(pU⊥(P )

)konvergencia U -

ban is egyeneletes, ıgy az integralas utan is igaz lesz, hogy µ(Pi)→ µ(P ), azaz a µkiertekeles folytonos. A 3.3.5 tetelre hivatkozva a kovetkezo eredmenyt kaptuk:

3.5.2. Allıtas. Minden k ≤ n eseten letezik Cnk konstans, hogy minden P ∈ Par(n)

parallelotopraµn−k(P ) = Cn

k λnk

(Graff(k, P )

). �

Ennek fenyeben definialjuk egy K kompakt, konvex halmazra a µnn−k(K) == Cn

k λnk

(Graff(k,K)

)kiertekeleseket. Ezeket kiterjesztjuk Polycon(n)-re, es belso

terfogatoknak fogjuk oket nevezni. Ezek konvex-folytonosak, azaz ha Ki → K, aholKi konvex halmazok, akkor µnn−k(Ki) → µnn−k(K). A folytonossag pontosan ugykovetkezik a Vn−k terfogat folytonossagabol, mint parallelotopokra. Par(n)-en marbelattuk, hogy a belso terfogatok nem fuggnek a befoglalo ter dimenziojatol. Konvexhalmazokra ezt csak kesobb fogjuk elvegezni, es addig ezt a jelolesben is feltuntetjuk.Ugyancsak kesobb fogjuk a Cn

k konstansokat meghatarozni.

Fontos hangsulyozni, hogy a 3.5.2 allıtas csak a parelleletopokra igaz, nem pedigPar(n) minden elemere. Ugyanıgy, a konvex halmazokon definialt keplet sem leszigaz minden Polycon(n)-beli halmazra.

Mar a sıkbeli integralgeometria vizsgalatanal lattuk, hogy egy konvex lemeztmetszo egyenesek halmazanak merteke a kerulettel fugg ossze, es ez azon mulott,

38

hogy az egyenesek majdnem mindig ket pontban metszettek a konvex lemezunk ha-tarat. Ez persze polikonvex lemezekre mar nem teljesulne, ıgy ha ezekrol akarunkmondani valamit, akkor nem eleg a metszo egyenesek halmazanak merteket vizsgal-ni, hanem ezen a halmazon valami megfelelo fuggvenyt kell integralni, mint a sıkeseteben tettuk a metszesi szammal.

Figyelmunket a belso terfogatok kozul eddig a µn es µn−1 kiertekelesekre – aterfogatra es a felszınre – osszpontosıtottuk. Vizsgaljuk meg a masik vegletet, es fog-laljuk ossze, hogy mit tudunk a µn0 kiertekelesrol. Egy dimenzioban – ahol Par(1) == Polycon(1) – ez az osszefuggo komponensek szama. Magasabb dimenzioban pa-rallelotopokon ez a 0-adik szimmetrikus polinom, tehat mindig 1 erteket vesz fel.Irjuk fel a 3.5.2 allıtasban szereplo egyenletunket valami P parallelotopra:

1 = µnn−n(P ) = Cnnλ

nn

(Graff(n, P )︸ ︷︷ ︸

=Graff(n,n)

)= Cn

nνnk

(Gr(n, n)

)= Cn

n

(n

n

)ωnωn

= Cnn .

Ezzel a Cnn konstansot meghataroztuk, es most pontosan ugyanezt felırhatjuk

egy konvex K halmazra, hiszen az az eszrevetelunk, hogy Graff(n, P ) = Graff(n, n)igaz akkor is, ha P helyett tetszoleges K-val nezzuk. Igy

µn0 (K) = λnn(Graff(n,K) = 1.

Vagyis µn0 egy olyan folytonos kiertekeles, mely minden nemures, kompakt, kon-vex halmazon 1. Azonnal latjuk, hogy nem fugg a befoglalo ter dimenziojatol, ezertezt – kizarolag µ0 eseten – mostantol nem jeloljuk.

Emlekezzunk vissza, hogy a korabbi gondolatmenetunkben az fP (U, p) fuggvenyintegraljarol meggondoltuk, hogy eppen egy meroleges vetulet (n − k)-dimenzios

terfogata. Az fP (U, p) fuggveny a kovetkezo :

fP (U, p) =

{1 ha tp(U) ∩ P 6= ∅,0 ha tp(U) ∩ P = ∅.

Ezt a fuggvenyt eppen azert hasznaltuk, mert jelzi a metszesi viszonyt. Vegyukeszre, hogy P parallelotopra a µ0

(P ∩ tp(U)

)fuggveny pontosan megegyezik az

elozovel. Ha a metszet nem ures, akkor biztosan kompakt, konvex halmaz, ıgy µ0

rajta 1-et vesz fel. Mivel azonban µ0 maga is kiertekeles, ezert fP (U, p)-t lecserelveesetleg kaphatunk olyan formulat, mely nem csak a parallelotopokon igaz, hanem azegesz Par(n)-en, illetve hasonloan polikonvex kornyezetben. Sot, ezt lenyegeben beis lattuk! Definialjuk a µnn−k fuggvenyt az alabbi modon:

µnn−k(L) = Cnk

∫Gr(k,n)

∫U⊥

µ0

(L∩tp(U)

)dp dνnk (U) = Cn

k

∫Graff(k,n)

µ0(L∩V ) dλnk(V ).

39

Itt a definıcioban nincs kikotve hogy L konvex, vagyis Polycon(n) barmely elemelehet. Mivel µ0 kiertekeles a V alterre megszorıtva is :

µ0

((A ∪B) ∩ V

)= µ0

(A ∩ V

)+ µ0

((B ∩ V

)− µ0

((A ∩B) ∩ V

).

Ez pedig az integralason keresztul oroklodik µnn−k-ra, tehat ez is kiertekeles. Vi-szont µnn−k a konvex halmazokon megegyezik a µnn−k kiertekelessel. Egy konvex hal-

mazra µnn−k-et felırva, az integralban az fK(U, p) fuggvenyt µ0

(K∩tp(U)

)-ra cserelve

– ezzel az erteket nem valtoztatva – kapjuk µnn−k-et. Ebbol viszont kovetkezik, hogya konvex halmazokra szorıtkozva µnn−k konvex-folytonos kiertekeles, melynek egyer-telmu kiterjesztese megegyezik µnn−k kiterjesztesevel.

A µ0 kiertekeles 1 dimenzioban eppen az osszefuggosegi komponensek szama, ıgyegy sıkbeli L polikonvex lemezre µ0(L∩e) majdnem mindig az e egyenes hatarral vettmetszesi szamanak fele. Ez is mutatja, hogy mennyire hasonlo jellegu altalanosıtasa µnn−k definıcioja a sıkban latott peldakhoz, amikor a metszes valoszınusege helyetta metszesi szam varhato erteket tudtuk meghatarozni.

Ennek a szakasznak a zarasakent az elobbi integralt atrendezzuk a Cauchy-formulahoz hasonlo alakba:

µnn−k(K) = Cnk λ

nk

(Graff(k, P )

)= Cn

k

∫Gr(k,n)

∫U⊥

I(pU⊥ (K))(p) dp dν

nk =

= Cnk

∫Gr(k,n)

µn−kn−k(pU⊥(K)

)dνnk = Cn

k

∫Gr(n−k,n)

µn−kn−k(pV (K)

)dνnn−k.

Az utolso lepesben egyszeruen annyit tettunk, hogy az U futtatasa helyett atter-tunk rogton a V = U⊥ futtatasara, persze a megfelelo mertek szerint. Erdemes µnn−khelyett µnk -re felırni az elobbi egyenloseget. Az alabbi tetel a Cauchy-formula koz-vetlen altalanosıtasa. Azt fogalmazza meg, hogy az n-dimenzioban ertelmezett µnkkonstans szorzo erejeig megegyezik a k-dimenzios alterekre vett meroleges vetuletekk-dimenzios terfogatainak atlagaval.

3.5.3. Allıtas. Barmely K ∈ Kn-re

µnk(K) = Cnn−k

∫Gr(k,n)

µkk(pU(K)

)dνnk . �

Ez az eredmeny ugyan tenyleg altalanosıtasa a Cauchy-formulanak, de nemi hi-anyerzetet megis hagy maga utan. A bal oldalon allo kiertekelest alterek egy hal-mazanak mertekekent definialtuk, es az allıtas bizonyıtasa sem allt masbol, mint amerteket ado integral egyszeru atırasabol. A valodi eredmenyt abban erezzuk, hogyk = n − 1 esetben a bal oldalon levo µnn−1(K) ertek eppen a felszın fele. A fel-szın fogalmahoz szemleletes – es kimerıto – uton jutottunk el, es ezert erezhetjukazt, hogy ebben az esetben a tetelunk tobb, mint az integralok atırasa. Valojabanazonban a felszın nem egyedulallo, hiszen ha egy fix n-dimenzios terben eppen a

40

k-adik belso terfogat lenne erdeklodesunk targya, es azt definialnank politopokra,akkor belso- illetve kulso kozelıtessel azonnal adodna kompakt, konvex halmazokra,es a konvex-folytonossagbol tudjuk, hogy ez jol definialt volna, vagyis felepıthetnenkµnk -et

”szemleletesen” is. Mindebbol a tanulsag talan az, hogy a kiepıtett eszkoztar

– a kiertekelesek kiterjesztesi tetele, a belso terfogatok folytonossaga es kapcsolataGrassmann-sokasagokon vett integralokkal – eleg eros ahhoz, hogy gyors bizonyıtastadjon egyebkent nehezebb allıtasokra is.

A kovetkezo fejezetben raterunk ennek az eszkoztarnak a legerosebb tetelere,melynek segıtsegevel meg jobban letisztul a konvex-folytonos, invarians kiertekelesek,es a belso terfogatok fogalma is.

41

4. Hadwiger tetele

Ebben a fejezetben bebizonyıtjuk a 3.3.4 tetel megfelelojet Polycon(n)-re. A felepıtesis hasonlo lesz, mint parallelotopok eseten. Eloszor felteteleket keresunk arra, hogyegy egyszeru kiertekeles a terfogat konstansszorosa legyen, es ennek felhasznalasavalindukcioval bizonyıtjuk, hogy a belso terfogatok bazisat adjak a folytonos, invarianskiertekeleseknek. A tovabbiakban a terfogatra mint kiertekelesre fogunk gondolni,ezert a Vn jeloles helyett a µn jelolest fogjuk hasznalni.

A Hadwiger-tetel itt bemutatott bizonyıtasa Daniel A. Klein nevehez fuzodik, esa [6] cikkben jelent meg.

4.1. Tamaszfuggvenyek

Meg a sıkbeli konvex lemezek szelessegenek definialasakor vezettunk be olyan fugg-venyeket, melyek minden iranyhoz hozzarendeltek az adott iranyra meroleges ta-maszhipersıkok origotol mert tavolsagat. A szelesseg ket ilyen tavolsag kulonbsegevolt. Ennek mintajara definialjuk a K ∈ Kn-beli halmaz hK : Sn−1 → R tamasz-fuggvenyet :

hK(u) = sup{x · u|x ∈ K} = sup{α ∈ R|tαu(u⊥) ∩K 6= ∅}.

A fenti definıcioban K kompaktsaga miatt valojaban mindig maximumot ve-szunk. Az is vilagos, hogy ha K,L ∈ Kn, es K + L jeloli a Minkowski-osszeguket,akkor hK+L = hk + hL. Valoban, ha x ∈ K + L, akkor talalhatok hozza k ∈ K esl ∈ L pontok, hogy x = k + l. Ekkor

u · x = u · (k + l) = u · k + u · l ≤ hK(u) + hL(u).

Igy a bal oldal maximuma is kisebb a korlatnal, azaz hK+L(u) ≤ hK(u) + hL(u)minden u ∈ Sn−1-re. Masreszt viszont legyenek k es l azok a vektorok, melyekenhK(u) es hL(u) rendre felvetetik, ekkor k + l ∈ K + L mutatja, hogy hK+L(u) ≥≥ hK(u) + hL(u). Vagyis tenyleg hK+L(u) = hK(u) + hL(u).

Tekintsuk a hK es hL tamaszfuggvenyek kulonbsegenek abszolut ertekben vettmaximumat Sn−1-en, legyen ez d. Ekkor az elobbi allıtas szerint:

hB(K,d) = hK+B(0,d) = hK + hB(0,d) = hK + d ≥ hL.

Ez az egyenlotlenseg K es L felcserelesevel is igaz marad, es a ketto egyutt pontazt fogalmazza meg, hogy L ⊆ B(K, d) es K ⊆ B(L, d). A d szam definıciojabol ado-doan d a legkisebb ilyen szam. Mindebbol az kovetkezik, hogy a K es L halmazokHausdorff-tavolsaga megegyezik a tamaszfuggvenyeik tavolsagaval a maximumnor-ma altal indukalt metrikara nezve. Megjegyezzuk, hogy ez egy trivialis bizonyıtasatadja annak a tenynek, hogy a B(. , r) : Kn → Kn lekepezes tavolsagtarto.

42

Egy K ∈ Kn halmaz pontosan akkor kozeppontosan szimmetrikus az origora nez-ve, ha a hK fuggveny paros, vagyis hK(−u) = hK(u). Jelolje Kc

n a konvex halmazokkozul azokat, melyek – nem feltetlenul az origora – kozeppontosan szimmetrikusak.

A kovetkezo lemma bizonyıtastechnikai eszkoze lesz a fejezet legfontosabb, el-tolasinvarians egyszeru kiertekelesekrol szolo tetelenek. Zonotopon veges sok sza-kasz Minkowski-osszeget ertjuk, mıg zonoidon olyan halmazt, mely a Hausdorff-metrikaban eloall zonotopok hatarertekekent. A lemma bizonyıtasaban olyan elme-letre fogunk hivatkozni, melyet ebben a dolgozatban nem epıtunk fel reszletesen.

Legyen egy g : Sn−1 → R fuggveny koszinusz-transzformaltja a C(g) fuggveny,amit az alabbi keplet definial :(

C(g))(u) =

∫Sn−1

g(v)|u · v| dv.

Errol szeretnenk felhasznalni, hogy linearis szurjekcio a paros, sima fuggvenye-ken. Ennek bizonyıtasahoz vezessuk be az Rn-en ertelmezett k-adfoku homogen po-linomok halmazara a Hk jelolest, es ezek Sn−1-re vett megszorıtasaira a Sk jelo-lest. Ekkor Sk minden k-ra veges dimenzios vektorter. Valasszunk minden k-ra egyYk,1, . . . , Yk,m(k) ortonormalt bazist Sk-ban. Jelolje L2(Sn−1) az Sn−1-en negyzetesenintegralhato valos fuggvenyeket. Ezek Hilbert-teret alkotnak – nullmerteku halmazonkulonbozo fuggvenyeket azonosıtva – az 〈f, g〉 =

∫Sn−1 fg dσ skalarszorzattal. Belat-

hato, hogy az {Yi,j|i ∈ N, 0 ≤ j ≤ m(i)} teljes ortonormalt rendszer L2(Sn−1)-ben.A Funk–Hecke-tetel kovetkezmenyekent barmely Yk ∈ Sk fuggvenyre C(Yk) = ckYk,ahol ck csak k-tol – es a teljes ter n dimenziojatol – fuggo konstans, ami pontosanakkor nulla, ha k paratlan. Az elmelet felepıtese, es a Funk–Hecke-tetel bizonyıtasamegtalalhato a [7] cikkben.

Szeretnenk latni, hogy egy G paros fuggveny benne van a C(.) lekepezes ertek-keszleteben. Valasszuk minden k-ra Yk-t a G fuggveny Sk alterre vett vetuletenek:

Yk =

m(k)∑j=1

〈G, Yk,j〉Yk,j, ekkor

G =∞∑k=0

Yk.

Vilagos, hogy paratlan k-ra egy k-adfoku homogen fuggveny paratlan, tehat G-vel vett skalarszorzata 0. Ebbol az kovetkezik, hogy Yk=0 minden paratlan k-ra.Paros k-ra viszont Yk nem nulla sajatertekhez tartozo sajatvektora a C(.) lekepezes-nek. Tekintsuk a g =

∑i∈N(c2i)

−1Y2i fuggvenyt. Az osszeg letezesenek bizonyıtasamegfelelo simasagi feltetel mellett megtalalhato a [8] konyvben. Erre a g-re:

C(g) =∑i∈N

C((c2i)

−1Y2i

)=∑i∈N

Y2i = G.

Tehat valoban tudtunk olyan g paros fuggvenyt talalni, melyre C(g) = G.

43

4.1.1. Lemma. Legyen K ∈ Kcn olyan konvex halmaz, melynek hK tamaszfuggvenye

sima. Ekkor K-hoz talalhatok Y1, Y2 zonoidok, melyekkel K + Y1 = Y2.

Bizonyıtas. A C(.) lekepezes szurjektivitasa alapjan talalhato olyan g : Sn−1 → Rsima paros fuggveny, melyre C(g) = hK . Jelolje g+ es g− rendre a g fuggveny pozitıves negatıv reszet, ekkor

hk +

∫Sn−1

g−(v)|u · v| dv =

∫Sn−1

g+(v)|u · v| dv.

Tekintsuk peldaul a jobb oldali integral egy kozelıto osszeget. A felszınt feloszt-juk az A1, . . . , Ak, a felszıni mertek szerint merheto halmazokra, es mindegyikbolvalasztunk egy vi ∈ Ai vektort. Ekkor a kozelıto osszeg

k∑i=1

σ(Ai)g+(vi)|u · vi|,

ahol σ a felszıni mertek Sn−1-en.

Az |u ·vi| mint u-nak fuggvenye eppen a [−vi, vi] szakasz tamaszfuggvenye. Mivela kozelıto osszeg ilyenek linearis kombinacioja, es a tamaszfuggvenyek osszeada-sa megfelel a halmazok Minkowski-osszegenek kepzesenek, ezert minden kozelıtoosszeghez tartozik egy zonotop. Persze a kozelıto osszegekkel kozelıtett integralhoztartozo halmaz a zonotopok hatarerteke a Hausdorff-metrikaban, vagyis zonoid. Le-gyenek tehat a Y1 es Y2 azok a halmazok, melyeket rendre a bal- illetve jobboldaliintegralok mint u valtozoban Sn−1 → R tamaszfuggvenyek meghataroznak. Ekkora tamaszfuggvenyek es konvex halmazok osszeadasanak kapcsolatabol kapjuk, hogyK + Y1 = Y2.

Nem vizsgaltuk meg, hogy egy fuggveny mikor lesz konvex halmaz tamaszfuggve-nye. Az elozo bizonyıtas soran onnan tudjuk, hogy az integralok tamaszfuggvenyek,hogy a hozzajuk tarto kozelıto osszegek zonotopok tamaszfuggvenyei voltak, melyekegyben konvex halmazok is, ıgy a Hausdorff-metrikaban konvex halmazhoz tarta-nak, mert a konvex halmazok zart halmazt alkotnak a kompaktok kozott. Mivel atamaszfuggvenyeknek a maximumnormaban konvergalni ugyanaz, mint a konvexekhalmazoknak a Hausdorff-metrikaban konvergalni, ezert az integral eppen a zonoto-pok hatarertekenek tamaszfuggvenye.

Felmerul azonban a kerdes, hogy miert egyenletes a kozelıto osszegek konvergen-ciaja u-ban? Egy kozelıto osszeg is folytonos u-ban, es a kozelıtett integral is. Ezertha egy also vagy felso kozelıto osszeg az u pontban ε-nal kozelebb van az integralertekehez, akkor ez u egy kornyezeteben is teljesul. Minden pont kore vegyunk felegy ilyen kornyezetet, ezek fedik az egesz Sn−1-et. Sn−1 kompaktsagabol kapunk ve-ges sok kornyezetet, es minden kornyezethez egy hozza tartozo also es felso kozelıtoosszeget ugy, hogy a kornyezeten az also es felso kozelıto osszeg is ε-nal kozelebbvan az integral ertekehez. Ekkor a veges sok kozelıto osszeghez tartozo felosztasokosszefinomıtasaval kapott felosztasra az also es felso kozelıto osszeg is ε-nal kozelebbvan az integral ertekehez minden u ∈ Sn−1-re. Ezzel a konvergencia egyenletessegetis belattuk.

44

4.2. A terfogat jellemzese polikonvex halmazokon

Meg egy utolso lemmara szuksegunk van, mielott belekezdhetunk a lenyegi tetelbizonyıtasaba. Legyen B = {e1, . . . , en} a standard ortonormalt bazis az Rn vek-torterben. Jelolje SB ⊆ SO(n) azon iranyıtastarto ortogonalis transzformaciokat,melyek a B-nek (n− 2) elemet helyben hagyjak.

4.2.1. Lemma. Minden SO(n)-beli transzformacio eloall SB-beliek kompozıcioja-kent, vagyis SB generalja SO(n)-et.

Bizonyıtas. Az allıtas n = 2 esetben semmitmondo, n ≥ 3 esetben indukcioval bi-zonyıtunk. Legyen φ ∈ SO(n), es tegyuk fel, hogy φ(en) = v 6= en. Ekkor veszunkegy ψ SO(n)-beli lekepezest, melyre ψ(en) = en, es a ψ(v) vektor az 〈en−1, en〉sıkba esik. Ezt meg tudjuk tenni, hiszen az en helyben hagyasa mellett a v vetu-letet az 〈e1, . . . , en−1〉 hipersıkban be tudjuk forgatni en−1 iranyaba. Raadasul ez aψ transzformacio az indukcios felteves szerint eloall SB-beliek szorzatakent. Mivelψ(v) ∈ 〈en−1, en〉, talalhato olyan η ∈ SB, melyre η

(ψ(v)

)= en. Ekkor ηψφ(en) =

= en miatt az indukcios feltevest alkalmazni tudjuk ϑ = ηψφ-re. Mivel η magaSB-beli, mıg ψ es ϑ ilyenek szorzatakent eloall, ezert φ = ψ−1η−1ϑ is eloall SB-beliekszorzatakent.

Erre azert volt szuksegunk, mert a kovetkezo tetelt a leheto legaltalanosabbanszeretnenk bizonyıtani. A 3.3.3 tetel mintajara szeretnenk elegseges felteteleket arra,hogy egy egyszeru kiertekeles a terfogat konstansszorosa legyen.

4.2.2. Tetel. Legyen µ egyszeru, eltolasinvarians, es folytonos kiertekeles Polycon(n)-en, melyre µ([0; 1]n) = 0 es minden K ∈ Kn-re µ(K) = µ(−K), ahol −K jelolia K halmaz origora vett kozeppontos tukorkepet. Ekkor µ(L) = 0 minden L ∈∈ Polycon(n)-re.

A tetel tehat azt fogalmazza meg, hogy ha egy egyszeru, folytonos kiertekeles azeltolasokon tul egyetlen kozeppontos tukrozesre is invarians, es egy kockan eltunik,akkor mar minden konvex – es polikonvex – halmazon eltunik.

Bizonyıtas. A kiterjesztesi tetelunk szerint eleg megmutatni, hogy µ(K) = 0 mindenK ∈ Kn halmazra.

Az n = 1 esetben a tetel nem mond semmi ujat, hiszen ekkor a konvex testek es aparallelotopok megegyeznek, parallelotopokra pedig mar belattuk a 3.3.3 tetelt, amitalkalmazva azonnal kapjuk az allıtast. Az n ≥ 2 esetben indukcioval bizonyıtunk.

Ismet a 3.3.3 mintajara elmondhato, hogy mivel a µ kiertekelesunk eltunik azegysegkockan, ezert az 1/k oldalu kockakon is, ebbol adodoan a racionalis oldal-hosszusagu tengelyparhuzamos parallelotopokon, majd a folytonossag kovetkeztebenaz osszes tengelyparhuzamos parallelotopon. Eloszor a tengelyparhuzamossag felte-teletol szeretnenk megszabadulni, ebben lesz segıtsegunkre a 4.2.1 lemma. Legyenugyanis n = 2 esetben C egy tengelyparhuzamos parallelotop, mıg D egy elforga-tottja, vagyis valami mas ortonormalt bazisra nezve tengelyparhuzamos. Azt mar

45

tudjuk, hogy µ(C) = 0, es a 3. abra mutatja, hogy C es D atdarabolhatoak egymas-ba vagasok, eltolasok, es osszeillesztesek segıtsegevel. Mivel µ egyszeru, es a darabokmetszetei kisebb dimenziosak, ıgy µ(D) = 0 adodik.

3. abra. Teglalapok atdarabolasa eltolasokkal

Tetszoleges n dimenzioban az elobbi atdarabolas a tengelyparhuzamos C paralle-lotopot egy ψ ∈ SB-beli transzformacioval elforgatott ψ(C)-be viszi. Az atdarabolasnem valtoztatja meg a µ erteket, ıgy µ

(ψ(C)

)= µ(C). Ezt minden ψ ∈ SB transz-

formaciora elmondhatjuk, es mivel ezek generaljak SO(n)-t, ezert belattuk, hogybarmely ortonormalt bazishoz viszonyıtjuk a tengelyparhuzamossagot, a parallelo-topok µ-erteke nulla. Roviden: barmilyen allasu D teglara µ(D) = 0.

Tekintsuk a H = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|xn = 0} hipersıkon a τH kiertekelest,ahol K ∈ Kn−1-re τH(K) = µ

(K × [0; 1]

). Ez a τH eltolasinvarians, folytonos,

τH([0; 1]n−1) = 0, es persze τh(K) = τH(−K). Az indukcios feltevesunk szerint tehatτH azonosan 0. Ekkor viszont a racionalis vegpontu [a; b] intervallumokkal is µ(K ×× [a; b]) = 0, hiszen K × [a; b] megkaphato K × [0; 1/k] tıpusu darabokbol, ezekrepedig µ(K× [0; 1/k]) = (1/k)µ(K× [0; 1]) = 0. A folytonossagbol adodoan pedig aztsem kell kikotni, hogy a es b racionalisak legyenek, vagyis µ eltunik minden konvexalapu meroleges hasabon.

AH hipersıkot barmilyen allasunak valaszthatjuk, hiszen az indukcios lepes hasz-nalatahoz a trivialisan oroklodo tulajdonsagok mellett csak azt kell bebizonyıtanunk,hogy τH a hipersıkbeli egysegkockan 0. Mivel belattuk, hogy µ barmilyen allasu koc-kan 0, ezert a H-beli egysegkockara allıtotton is. A τH-ra ez elobbi gondolatmenetetvegigmondva azt kapjuk, hogy barmilyen allasu, konvex alapu, meroleges hasabon

46

µ eltunik. Ezuttal a merolegesseg felteteletol szeretnenk megszabadulni. A 4. abramutatja, hogy ezt hogyan tudjuk megtenni.

4. abra. Hasabok atdarabolasa

Vegyunk egy K kompakt, konvex halmazt egy hipersıkban, majd toljuk el ahipersıkon kıvulre, es az eltolt peldany minden pontjat kossuk ossze az oskepevel.Ha az eltolas vektora meroleges a sıkra, akkor meroleges hasabot kapunk, altalanosesetben azonban nem. Ilyenkor vagjuk kette a ferde hasabunkat az eltolas iranyarameroleges hipersıkkal, majd az alap es fedolapokat toljuk ossze. Mivel ezek amugyis egymas eltoltjai voltak, ezt meg tudjuk tenni.

Ez a modszer azonban csak akkor mukodik, amikor az eltolas iranyara merole-ges hipersıkkal az abran lathato modon tudjuk kettevagni a hasabunkat, vagyis ahipersık elkeruli az eredeti konvex halmazt es az eltoltjat is. Ezt akkor nem tudjukmegtenni, ha a hasabunk tul

”szeles”, tehat az alapjanak atmeroje nagy a magas-

sagahoz kepest. Ebben az esetben viszont az alapot kisebb atmeroju halmazokrabontva a magassag nem valtozik, azonban az atmero tetszolegesen csokkentheto. Akapott

”vekony” hasabokra aztan alkalmazhato a fenti atdarabolas, melynek segıt-

segevel meroleges hasabokat kapunk, ezeken viszont a µ eltunik, ıgy az eredeti ferdehasabon is 0.

Vizsgaljuk meg, hogy egy P politop es egy szakasz Minkowski-osszege hogyanbomlik fel kezelheto darabokra. Legyen v ∈ Rn, es tekintsuk a P + [0; v] ossze-get. Legyenek a P politop L1, . . . , Lk hiperlapjainak kulso normalvektorai rendreaz u1, . . . , uk vektorok. Feltehetjuk, hogy L1, . . . , Lm azok a hiperlapok, melyekreui · v > 0. A Minkowski-osszegben ezekre a lapokra allıtott – ferde – hasabok fognak

47

megjelenni:

P + [0; v] = P ∪(L1 + [0; v]

)∪ . . . ∪

(Lm + [0; v]

).

Mivel itt a tagok metszetei legfeljebb (n−1)-dimenziosak, ıgy a µ egyszerusegeboladodik, hogy µ

(P +[0; v]

)= µ(P )+µ

(L1 +[0; v]

)+ . . .+µ

(Lm+[0; v]

). Hasabokon

a µ eltunik, ıgy µ(P+[0; v]

)= µ(P ). Ennek az allıtasnak az iteralasaval megkapjuk,

hogy barmely P politopra es Z zonotopra µ(P + Z) = µ(P ). P -t egyetlen pontnakvalasztva kapjuk, hogy barmely Z zonotopra µ(Z) = 0. Mivel µ folytonos, ezertez oroklodik hatarertekekre is, vagyis barmely K kompakt, konvex halmazra es Yzonoidra µ(Y ) = 0 es µ(K + Y ) = µ(K).

Ezen a ponton magatol ertetodo, hogy hasznaljuk a 4.1.1 lemmat. Legyen te-hat K ∈ Kc

n, melynek tamaszfuggvenye sima. A lemma szerint talalunk Y1 es Y2

zonoidokat, melyekkel K + Y1 = Y2. Ebbol pedig megkapjuk, hogy

µ(K) = µ(K + Y1) = µ(Y2) = 0.

Altalaban egy kozeppontosan szimmetrikus, de nem sima tamaszfuggvenyu kon-vex halmaz tamaszfuggvenyet a maximumnormaban tudjuk sima fuggvenyekkel ko-zelıteni, ezert a µ folytonossaga garantalja, hogy µ(K) = 0 minden K ∈ Kc

n halmaz-ra.

Bebizonyıtjuk, hogy tetszoleges T szimplexre µ(T ) = 0. Az eltolasinvarianciamiatt felteheto ugyanis, hogy T egyik csucsa az origo, mıg a tobbi csucsot jeloljev1, . . . vn. Legyen P parallelotop a [0, v1] + · · · + [0, vn] Minkowski-osszeg. P ugyannem tengelyparhuzamos, de kozeppontosan szimmetrikus a v1+···+vn

2pontra, tehat

µ(P ) = 0. Legyen u = v1 + · · ·+vn, es vagjuk szet P -t ket affin hipersık segıtsegevel.Legyen H1 az a hipersık, mely illeszkedik a v1, . . . , vn vektorokra, mıg H2 illeszkedjenaz u−v1, . . . , u−vn vektorokra. Ekkor H1 origot tartalmazo zart feltere P -bol eppenaz eredeti T szimplexet metszi ki. Hasonloan a H2 origot nem tartalmazo zart feltereP -bol a tu(−T ) halmazt metszi ki. A ket hipersık kozotti zart tartomany metszete P -vel legyen P ′. P ′ is kozeppontosan szimmetrikus, hiszen P -bol T -t es a kozeppontraszimmetrikus kepet vagtuk le. Tehat µ(P ′) = 0, es mivel a P darabjainak metszeteikisebb dimenziosak, ıgy 0 = µ(P ) = µ(T ) +µ(P ′) +µ

(tu(−T )

)= µ(T ) +µ(−T ). Itt

kihasznaljuk a feltetelunket, miszerint µ(T ) = µ(−T ), es kapjuk, hogy µ(T ) = 0.

Barmely P politop felbomlik szimplexek uniojara ugy, hogy a szimplexek metsze-tei kisebb dimenziosak. Ezt indukcioval konnyen igazolhatjuk: a politop belsejebenrogzıtsunk egy tetszoleges pontot, a hiperlapjait pedig az indukcios felteves szerintfelbontjuk, es minden kapott – alacsonyabb dimenzios – szimplexekhez csucskenthozzavesszuk a rogzıtett pontot. Mivel µ minden szimplexen eltunik, ıgy az egysze-ruseg miatt ezek uniojan is, tehat µ(P ) = 0 minden politopra. Vegul tetszolegeskonvex halmazt kozelıthetunk politopokkal, ıgy a folytonossagbol µ(K) = 0 mindenK ∈ Kn-re. A tetel allıtasat bizonyıtottuk.

Ezzel a technikai munka javat elvegeztuk, es innentol konnyen kapjuk a szemle-letesebb eredmenyeket.

48

4.2.3. Tetel. Legyen µ egyszeru, folytonos, eltolasinvarians kiertekeles Polycon(n)-en. Ekkor letezik c ∈ R, hogy minden K ∈ Polycon(n)-re µ(K) +µ(−K) = cµn(K).

Bizonyıtas. Vezessuk be az η kiertekelest az alabbi keplettel :

η(K) = µ(K) + µ(−K)− 2µ([0; 1]n

)µn(K).

Ez az η egyszeru, folytonos es eltolasinvarians, hiszen ilyen kiertekelesek lineariskombinacioja. A szimmetrizacio miatt η(K) = η(−K), es mivel levontuk az egy-segkocka merteket, ezert η

([0; 1]n

)= 0. Tehat η teljesıti a 4.2.2 tetel felteteleit, ıgy

azonosan nulla. Ebbol pedig µ(K) + µ(−K) = 2µ([0; 1]n

)µn(K) kovetkezik.

Az iment a 4.2.2 tetelbol vezettuk le a 4.2.3 tetelt, azonban az ellenkezo iranyuimplikacio magatol ertetodo. Valoban, ha egy µ kiertekeles teljesıti a 4.2.2 felteteleit,akkor a 4.2.3 szerint 2µ(K) = µ(K) + µ(−K) = cµn(K). Ezt pedig a [0; 1]n kockankiertekelve kapjuk, hogy c = 0.

4.2.4. Tetel. Legyen µ egyszeru, folytonos, eltolas- es SO(n)-invarians kiertekelesPolycon(n)-en. Ekkor letezik c ∈ R, hogy µ(K) = cµn(K) minden Polycon(n)-beliK halmazra.

Bizonyıtas. Persze az allıtast eleg Kn-beli halmazokra bebizonyıtani. A 4.2.3 tetelalkalmazasaval maris adodik, hogy µ(K)+µ(−K) = cµn(K). A bovebb csoportra vo-natkozo invarianciank kihasznalasaval bebizonyıtjuk, hogy µ(K) = µ(−K) mindenKn-beli K halmazra. Ezzel keszen leszunk, mert az elobbi egyenlosegbol µ(K) == c/2µn(K) adodik.

Amennyiben n paros, az origora valo kozeppontos tukrozes SO(n)-beli transz-formacio, ıgy nincs mit bizonyıtani. A paratlan esetben kicsit bonyolultabb az erve-lesunk.

Megmutatjuk, hogy barmely T szimplex felbonthato politopok P1, . . . , Pk unioja-ra ugy, hogy a politopok metszetei kisebb dimenziosak, es minden politop szimmetri-kus egy hipersıkra nezve. Ezzel keszen leszunk, hiszen tetszoleges halmaz kozeppontostukorkepe megkaphato egy tetszoleges hipersıkra tukrozes, majd egy SO(n)-belitranszformacio kompozıciojakent. A vizsgalt Pi politop szimmetrikus egy tukrozeshipersıkjara, ıgy az elso transzformacio onmagara kepezi, vagyis a −Pi kozepponto-san szimmetrikus kep megkaphato SO(n)-beli transzformacioval, ıgy µ(Pi) = µ(−−Pi). Ekkor a szimplexre µ(T ) = µ(P1) + · · · + µ(Pk) = µ(−P1) + · · · + µ(−Pk) == µ(−T ). A 4.2.2 tetel bizonyıtasaban latott modon minden politopot felbontunkszimplexek uniojara, amibol megkapjuk, hogy minden P politopra is µ(P ) = µ(−−P ). Vegul tetszoleges konvex halmazt politopokkal kozelıtunk, es a kiertekelesekfolytonossagara hivatkozva kapjuk, hogy µ(K) = µ(−K).

Fel kell tehat bontanunk egy tetszoleges T szimplexet hipersıkra szimmetrikuspolitopokra. Legyenek a szimplex hiperlapjai L1, . . . , Ln+1, es beırt gombjenek ko-zeppontja x. Allıtsunk x-bol merolegest az Li hiperlapra, legyen ennek talppontjaxi. Minden 1 ≤ i < j ≤ n+ 1 parhoz definialjuk a Pi,j = conv{x, xi, xj, Li ∩ Lj}

49

politopot. Elemi geometria, hogy minden Pi,j szimmetrikus az 〈x, Li ∩Lj〉 hipersık-ra, uniojuk az egesz T , es barmely ketto metszete legfeljebb (n − 1)-dimenzios. Afelbontas letezeset, es ezzel egyutt a tetelunket bebizonyıtottuk.

Ez a tetel mutatja, hogy polikonvex halmazok koreben az invarianciat az iranyı-tastarto egybevagosagokra erdemes nezni. Mostantol – amennyiben nem pontosıtunk– invariancia alatt ezt fogjuk erteni.

4.3. Belso terfogatok normalizalasa

Mielott a 3.3.4 tetel mintajara tovabbvinnenk az eredmenyunket, erdemes bebizo-nyıtani, hogy a µnk kiertekelesek valojaban nem fuggnek a befoglalo ter dimenzioja-tol. Ezt Par(n)-en mar bizonyıtottuk, Polycon(n) -en viszont meg nem. A terfogatjellemzesevel megszuletett az eszkoz, amellyel ez kenyelmesen bizonyıthato. A belsoterfogatokat eddig nem definialtuk az n < k esetben. Legyen mostantol n < k esetenµnk azonosan nulla.

4.3.1. Tetel. A polikonvex halmazokon ertelmezett µnk belso terfogatok fuggetleneka befoglalo ter n dimenziojatol.

Bizonyıtas. Azt kell belatni, hogy l < n eseten µnk megszorıtasa egy l-dimenziosalterre µlk. A k = 0 esetet mar meggondoltuk korabban. Az n dimenziora vonatkozoindukcioval bizonyıtunk. Tekintsuk a kovetkezo indukcios feltevest : barmely k ≤ l ≤≤ (n− 1)-re µn−1

k megszorıtasa barmely l-dimenzios alterre eppen µlk. Ez n− 1 = 0esetben trivialisan igaz. Indukcios lepeskent szeretnenk ugyanezt bebizonyıtani µnk -re. Ehhez egy belso indukciot alkalmazunk l-re nezve, eloszor is megvizsgaljuk azl = k esetet.

Ha a µnk kiertekelest megszorıtjuk egy l = k dimenzios tengelyparhuzamos affinalterre, akkor azon egy egyszeru, folytonos, invarians kiertekelest kapunk. Ebbolegyedul az egyszeruseg nem trivialis. Legyen K legfeljebb (k−1)-dimenzios kompakt,konvex halmaz. Megmutatjuk, hogy µnk(K) = 0. Graff(n−k,K) ⊆ Graff(n−k, 〈K〉),eleg tehat megmutatni, hogy λnn−k

(Graff(n− k, 〈K〉)

)= 0.

λnn−k(Graff(n− k, 〈K〉)

)=

∫Gr(n−k,n)

∫U⊥

f〈K〉(U, p) dp dU

Itt f〈K〉 a Graff(n− k, 〈K〉

)halmaz karakterisztikus fuggvenye, vagyis pontosan

azon affin altereken nem 0, melyek metszik 〈K〉-t. A belso integralas mindig egyk-dimenzios euklideszi teren tortenik, de csak 〈K〉 meroleges vetuletenek pontjaibankell nem nulla erteket integralni. Viszont 〈K〉 vetulete is legfeljebb (k−1)-dimenzios,ıgy az integralando fuggveny csak nullmerteku halmazon nem nulla. Tehat a belsointegral 0, fuggetlenul a kulso integral valtozojanak valasztasatol. A kulso integ-ralban tehat az azonosan nulla fuggvenyt integraljuk, vagyis nullat kapunk. Ezzelbelattuk µnk megszorıtasanak egyszeruseget.

50

Ott tartunk, hogy µnk megszorıtasa teljesıti a 4.2.4 tetel felteteleit, tehat a k-dimenzios alter polikonvex halmazain cµkk-val egyenlo. A c konstans meghataroza-sahoz vegyunk egy tetszoleges k-dimenzios tengelyparhuzamos parallelotopot az al-terunkben, ilyet az alterunk tengelyparhuzamossaga miatt tudunk valasztani. Erreazonban tudjuk, hogy a ket kiertekelesunk megegyezik, es nem nulla, amibol c = 1kovetkezik.

Vegul a tengelyparhuzamossagot elhagyhatjuk, hiszen mindket kiertekeles inva-rians. Ez alatt µkk eseten azt ertjuk, hogy a k-dimenzios terfogat nem fugg attol,hogy melyik alterben definialjuk. Ezzel belattuk n-re az l = k esetet.

Tegyuk fel, hogy valamilyen k ≤ l < n−1-re belattuk, hogy barmely l-dimenziosalterre megszorıtva µnk -et µlk-et kapjuk. Vegyunk most egy (l+ 1)-dimenzios H affinalteret, es arra szorıtsuk meg µnk -et; jelolje ezt a kiertekelest ν. Szeretnenk belatni,hogy ν = µl+1

k . Vizsgaljuk meg, hogy mi ezeknek a megszorıtasa egy L ⊆ H l-dimenzios affin alteren. Mivel ν-t µnk -bol kaptuk, ezert az l-re vonatkozo indukciosfelteves szerint a megszorıtasa µlk. Tovabba l+ 1 ≤ n− 1 miatt µl+1

k megszorıtasaraa kulso – n-re vonatkozo – indukcios feltevesbol ugyancsak µlk adodik. Vagyis a ν −−µl+1

k egyszeru, folytonos, invarians kiertekeles a H-beli polikonvex halmazokon, ıgyvalamilyen c konstansra megegyezik a cµl+1

l+1 kiertekelessel. Az elozo meggondolashozhasonloan – H-t tengelyparhuzamosnak valasztva, majd invarianciara hivatkozva –a parallelotopokra mar bizonyıtott allıtasbol kapjuk, hogy c = 0. Ezzel belattuk azl-re vonatkozo indukcios lepest, annak ismetlesevel pedig az n-re vonatkozot.

Befejezesul tekintsuk az l < k esetet. Ekkor egy l-dimenzios alterre megszo-rıtva µnk -et azonosan nulla kiertekelest kapunk. Epp ezt lattuk be azzal, hogy egyk-dimenzios alterre vett megszorıtas egyszeru. Mivel ekkor µlk is azonosan nullanakvan definialva, ezert a tetelunk ekkor is igaz.

4.4. A Hadwiger-tetel

Ezek utan teljes pompajaban tudjuk kimondani a temakor legfontosabb tetelet.

4.4.1. Tetel (Hadwiger). A µ0, . . . , µn belso terfogatok bazisat alkotjak Polycon(n)folytonos, invarians kiertekeleseinek.

Bizonyıtas. A bizonyıtas pontosan ugy fog tortenni, mint a 3.3.4 tetel bizonyıtasa.

Indukcioval bizonyıtunk, az n = 1 esetet mar kitargyaltuk, ekkor igaz az allıtas.Az indukcios lepesben vegyunk egy H hipersıkot, es szorıtsuk meg erre a hipersıkraµ-t. A kapott kiertekeles H-n folytonos, es invarians, tehat eloall

∑n−1i=0 ciµi alakban,

ahol az invariancia miatt a ci egyutthatok nem fuggnek a H valasztasatol. Az egeszteren a µ−

∑n−1i=0 ciµi kiertekeles tehat egyszeru, folytonos, es invarians, ıgy a 4.2.4

tetel szerint cnµn-nel egyenlo.

A belso terfogatok most is felismerhetoek a homogenitasukrol, melyet pontosanugy definialunk, mint parallelotopokon ertelmezett kiertekeleseknel. Ennek bizonyı-tasa pontosan megegyezik a 3.3.5 tetel bizonyıtasaval, es kozvetlen kovetkezmenyea Hadwiger-tetelnek.

51

4.4.2. Tetel. Legyen 0 ≤ k ≤ n, es µ kiertekeles Polycon(n)-en, mely k-adfokuhomogen, folytonos, es invarians. Ekkor letezik c ∈ R, melyre µ = cµk. �

A 3. fejezetben faradsagos munkaval felepıtettuk a polikonvex halmazok belsoterfogatainak fogalmat, es a 4. fejezetben bebizonyıtottuk a Hadwiger-tetelt, amibizonyos szempontbol az elmelet csucsa, hiszen pont azt mondja ki, hogy a belsoterfogatokon keresztul megertettuk a polikonvex halmazok osszes folytonos, invarianskiertekeleset.

A kovetkezo fejezetben visszatekintunk bizonyos korabbi tetelekre es fogalmak-ra, melyeket a Hadwiger-tetel segıtsegevel tovabb finomıtunk. Ez egyreszt jol fogjademonstralni a tetel – es a kiepıtett elmelet – erejet, masreszt meg tisztabb kepetad a belso terfogatok fogalmarol.

52

5. Alkalmazasok

Eloszor elevenıtsuk fel a konvex halmazok paralleltartomanyainak terfogatat leıroSteiner–Minkowski-tetelt.

5.1. A Steiner–Minkowski-tetel meg egyszer

A 2.4.1 tetel azt mondta ki, hogy egy K kompakt, konvex halmaz zart paralleltarto-manyanak terulete n-edfoku polinomja a tartomany sugaranak. A polinom egyutt-hatoi persze K-tol fuggo valos szamok:

µn(B(K, r)

)=

n∑i=0

mi(K)ri.

Bebizonyıtjuk, hogy az mi fuggvenyek kiertekelesek. Legyenek K,L ∈ Kn olya-nok, hogy K ∪L is konvex. A definıcio trivialis kovetkezmenye, hogy B(K ∪L, r) == B(K, r)∪B(L, r), es megmutatjuk, hogy a metszetre is B(K ∩L, r) = B(K, r)∩∩B(L, r). A bal oldalon azok a pontok vannak, melyektol van legfeljebb r tavolsagraK∩L-beli pont, mıg a jobb oldalon azok, melyektol van legfejebb r tavolsagra L-belies K-beli pont is. Ebbol a ⊆ tartalmazas maris latszik. Legyen x ∈ B(K, r)∩B(L, r),es k ∈ K, l ∈ L olyan pontok, hogy k, l ∈ B(x, r). Ekkor a [k; l] szakasz vegig B(x, r)-ben halad. A 3.5.1 lemma bizonyıtasaban mar megmutattuk, hogy ha ket kompaktkonvex halmaz unioja is konvex, es adott egy olyan szakasz, melynek egyik vegpontjaaz egyik, a masik vegpontja a masik konvex halmazban van, akkor a szakasznak vanpontja a konvex halmazok metszeteben. Ez a szakasz osszefuggosegen es a konvexhalmazok kompaktsagan mulott. Most ugyanezt felhasznalva [k; l]∩(L∩K) 6= ∅, ıgyB(x, r) ∩ (L ∩K) 6= ∅, tehat x ∈ B(K ∩ L, r), amivel a ⊇ tartalmazast is belattuk.Ezt osszevetve azzal, hogy µn kiertekeles :

n∑i=0

mi(K ∪ L)ri = µn(B(K ∪ L, r)

)= µn

(B(K, r) ∪B(K, r)

)=

= µn(B(K, r)

)+ µn

(B(L, r)

)− µn

(B(K, r) ∩B(L, r)︸ ︷︷ ︸

=B(K∩L,r)

)=

=n∑i=0

(mi(K) +mi(L)−mi(K ∩ L)

)ri.

Ezt minden r ≥ 0-ra elmondhatjuk, ıgy a ket polinom egyutthatoi megegyeznek,tehat minden i-re mi(K ∪L) = mi(K) +mi(L)−mi(K ∩L). Kovetkezeskeppen mi

kiertekeles a konvex halmazokon. Megmutatjuk, hogy folytonos is. Legyenek Kk ∈∈ Kn konvex halmazok, melyek a Hausdorff-metrikaban konvergalnak a K ∈ Kn

halmazhoz. Ekkor a B(., r) operator tavolsagtartasa miatt B(Kk, r) → B(K, r), esa µn folytonossaga miatt µ

(B(Kk, r)

)→ µn

(B(K, r)

). Vegyunk fel r0, r1, . . . , rn ku-

lonbozo pozitıv valos szamokat, es kepezzunk beloluk Vandermond tıpusu matrixot,es jelolje ~m(K) az mi(K) egyutthatokbol kepzett oszlopvektort, azaz

53

A =

1 r0 . . . rn01 r1 . . . rn1...

.... . .

...1 rn . . . rnn

, ~m(K) =

m0(K)m1(K)

...mn(K)

.

Ekkor a terfogatok konvergenciajat felırva az r0, . . . , rn sugarakkal azt kapjuk,hogy A~m(Kk)→ A~m(K). Az A matrix invertalhato, ezert ~m(Kk)→ ~m(K), vagyisa mi kiertekelesek folytonosak. Ekkor pedig kiterjeszthetok Polycon(n)-re. Az inva-rianciajuk teljesen egyertelmu µn invarianciajabol.

Vizsgaljuk meg, hogy milyen homogenitast kapunk mi-re. Vegyunk egy α aranyuϕ kozeppontos nagyıtast.

µn(B(ϕ(K), r)

)= µn

(ϕ(B(K, r/α)

))= αn

(n∑i=0

mi(K)( rα

)i)=

n∑i=0

mi(K)αn−iri

A 4.4.2 tetelbol kovetkezik, hogy mi(K) = ciµn−i(K). Vagyis azt latjuk, hogy aSteiner–Minkowski-tetelben reges-reg bevezetett egyutthatok konstans erejeig meg-egyeznek a belso terfogatokkal, melyeket a K-t metszo alterek mertekekent defi-nialtunk. Ezt az igazan figyelemre melto kapcsolatot a Hadwiger-tetel segıtsegevelkonnyen igazoltuk. A feltetelek ellenorzesehez nem volt szukseg halado eszkozokre,gyorsan, kenyelmesen be tudtuk oket bizonyıtani.

Hatarozzuk meg a ci konstansokat. Erdemes felidezni a 2. fejezetbol, hogy amn(K) foegyutthato ωn, mıg µ0(K) = 1, tehat cn = ωn. Mint ki fog derulni, ez nemelszigetelt jelenseg. Vegyuk ugyanis a C = [0; 1]n egysegkockat. Erre a paralleloto-poknal targyaltak miatt tudjuk, hogy µn−i(C) = σn−i(1, . . . , 1) =

(nn−i

). Az mi(C)

egyutthato meghatarozasa mar nem ennyire konnyu, de tovabbra is kombinatorikusgondolatmenetet igenyel. A paralleltartomany normalfelbontasabol latszik, hogy az(n− i)-dimenzios lapoknal lesz a terfogat r-nek i-edik hatvanya. Ezeket csoportosıt-suk ugy, hogy az egymasba tolhato (n−i)-dimenzios lapok keruljenek egy csoportba.A csoportok szama megegyezik az (n− i)-dimenzios

”koordinata-alterek” szamaval,

ami(nn−i

). Tovabba az egy csoportba tartozo normaltartomanyokat osszetolva eppen

egy [0; 1]n−i × Bi(0, r) alaku halmazt kapunk, ahol Bi(0, r) egy i-dimenzios, origokozeppontu, r sugaru gomb a csoportosıtott (n− i)-dimenzios alterek meroleges ki-egeszıtojeben. Ennek a szorzathalmaznak a terfogata ωir

i, tehat osszevonas utan azri tag egyutthatoja

(nn−i

)ωi. Vagyis a mi(C) = ciµn−i(C) egyenletbol ci = ωi adodik.

5.1.1. Tetel. A Steiner–Minkowski-tetelben szereplo polinom mi(K) egyutthatoirami(K) = ωiµn−i(K). Fordıtva megfogalmazva: egy K ∈ Kn konvex test paralleltaro-manyanak terfogatara

µn(B(K, r)

)=

n∑i=0

ωiµn−i(K)ri. �

54

5.2. Belso terfogatok meg egyszer

Az elobbi kapcsolat segıtsegevel kenyelmesen meg tudjuk hatarozni az egyseggombbelso terfogatait. A paralleltartomany terfogata ωn(1 + r)n, amibol a megfeleloegyutthato leolvasasaval

µn−i(Bn) =

ωnωi

(n

i

)= ωn−i

[n

i

].

Az[nk

]jelolest meg a 3.4 szakaszban vezettuk be az ωn

ωkωn−k

(nk

)kifejezes rovidıte-

sere, ami eppen a Gr(k, n) ter merteke volt a νnk mertek szerint.

A belso terfogatok konvex halmazokra torteno kiterjesztesenel a definıciobanszerepelt a Cn

k konstans:

µnn−k(K) = Cnk λ

nk

(Graff(k,K)

).

A Cnk konstans kiszamıtasahoz valasszuk K-t a Dn = Bn tomor, zart egyseg-

gombnek. Ekkor µnn−k(Dn) = ωn−k

[nk

]. Irjuk fel a λnk

(Graff(k,Dn)

)merteket integ-

ralkent:

λnk(Graff(k,Dn)

)=

∫Gr(k,n)

∫U⊥

µ0

(Dn ∩ tp(U)

)dp dνnk (U).

Ahogyan mar sokszor lattuk, a belso integral ωn−k, hiszen az integralando fugg-veny pontosan akkor 1, ha p a gomb meroleges vetuletebe esik, es ennek a vetuletneka terfogata ωn−k. Ekkor viszont a kulso integralban konstans fuggvenyt integralunk,es ıgy

λnk(Graff(k,Dn)

)= νnk

(Gr(k, n)

)ωn−k = ωn−k

[n

k

].

Ebbol pedig Cnk = 1 adodik, ami ismet figyelemre melto. Grassmann-sokasagokon

a mertek bevezetesenel kezdetben Gr(k, n)-en olyan mertekbol indultunk, melyre aCauchy-formula egyszeru alakot olt, majd a megkonstrualt νnk mertekunket intu-itıvan normaltuk. Azt latjuk, hogy ez olyan jol sikerult, hogy a belso terfogatokpontosan megegyeznek a konvex halmazt metszo megfelelo dimenzios affin alterekhalmazanak mertekevel.

A 3.5 szakaszban ket formulankban is hasznaltuk a Cnk konstansokat, ezeket a

formulakat erdemes most ujra elovenni. Az elso formula azt fogalmazta meg, hogya belso terfogat megkaphato a µ0(K ∩ V ) fuggveny integralasaval, ahol a V alterbefut valami affin Grassmann-sokasagot. Mint mar akkor is kiemeltuk, ez a Crofton-formulara emlekeztet abban, hogy az alterekkel vett metszeteket vizsgalja. Ez aformula minden polikonvex halmazra ervenyes, es a Cn

k = 1 konstans elhagyasavalaz alabbi modon ırhato fel :

µn−k(L) =

∫Graff(k,n)

µ0(L ∩ V ) dλnk(V ). (5.2.1)

55

A masik formulank azt fogalmazta meg, hogy konvex K-ra a k-dimenzios al-terekre vett vetuletek k-dimenzios terfogatainak atalaga µk. Ez a Cauchy-formulataltalanosıto 3.5.3 allıtas is egyszerubb alakot olt :

µk(K) =

∫Gr(k,n)

µk(pU(K)

)dνnk (U). (5.2.2)

Mar a konstansok eltunese is elorelepes, de a Hadwiger-tetel segıtsegevel mindketformulankat tovabb altalanosıthatjuk.

5.2.1. Tetel. Tetszoleges 0 ≤ i, j ≤ n eseten minden K ∈ Polycon(n)-re∫Graff(n−i,n)

µj(K ∩ V ) dλnn−i(V ) =

[i+ j

j

]µi+j(K).

Ez j = 0, i = n− k valasztassal visszaadja az 5.2.1 egyenloseget.

Bizonyıtas. Ha i + j > n, akkor mindket oldal nulla, tehat igaz az allıtas. Tegyukfel tehat, hogy i + j ≤ n. Vezessuk be a bal oldali integralra az η(K) jelolest. Azintegralon belul ırjuk fel µj(K ∩ V )-re az 5.2.1 formulat :

η(K) =

∫Graff(n−i,n)

µj(K ∩ V ) dλnn−i(V ) =∫Graff(n−i,n)

(∫Graff(n−i−j,V )

µ0

((K ∩ V ) ∩ U

)dλn−in−i−j(U)

)dλnn−i(V ) =∫

Graff(n−i,n)

(∫Graff(n−i−j,V )

µ0(K ∩ U) dλn−in−j(U)

)dλnn−i(V ) =∫

Gr(n−i,n)

∫V ⊥0

∫Gr(n−i−j,V0)

∫U⊥0 ∩V0

µ0(K ∩ U0 + u+ v) du dνn−in−i−j(U0) dv dνnn−i(V0) =∫Gr(n−i,n)

∫Gr(n−i−j,V0)

∫V ⊥0

∫U⊥0 ∩V0

µ0(K ∩ U0 + u+ v) du dv dνn−in−i−j(U0) dνnn−i(V0) =∫Gr(n−i,n)

∫Gr(n−i−j,V0)

∫V ⊥0 ⊕ (U⊥0 ∩ V0)︸ ︷︷ ︸

=U⊥0

µ0(K ∩ U0 + w) dw dνn−in−i−j(U0) dνnn−i(V0) =

∫Gr(n−i,n)

∫Gr(n−i−j,V0)

∫U⊥0

IK|U⊥0 (w) dw dνn−in−i−j(U0) dνnn−i(V0) =∫Gr(n−i,n)

∫Gr(n−i−j,V0)

µi+j(K|U⊥0 ) dνn−in−i−j(U0) dνnn−i(V0).

Itt K|U⊥0 jeloli a K meroleges vetuletet az U⊥0 alterre. A µi+j kiertekeles foly-tonos, (i + j)-edfoku homogen, es ezek a tulajdonsagok az integralason keresztuloroklodnek η-ra. A mertekek invarianciaja miatt η invarians is, ezert a 4.4.2 tetelszerint η(K) = cµi+j(K).

56

A konstans meghatarozasahoz ırjuk fel az egyenloseget a Dn egyseggombre.µi+j(D

n) = ωi+j[ni+j

], es a Dn vetuletenek terfogata barmely (i+ j)-dimenzios alter

eseten ωi+j = µi+j(Dn|U⊥0 ). Vagyis a konstans ωi+j fuggvenyt integraljuk ketszer,

ıgy

η(Dn) = ωi+jνn−in−i−j

(Gr(n− i− j, V0)

)νnn−i

(Gr(n− i, n)

)= ωi+j

[n

n− i

][n− i

n− i− j

].

Mindezeket osszevetve megkapjuk c erteket :

c =

[n

i+ j

]−1[n

n− i

][n− i

n− i− j

]=

=

(ωn

ωi+jωn−i−j

(n

i+ j

))−1(ωn

ωiωn−i

(n

i

))(ωn−i

ωjωn−i−j

(n− i

n− i− j

))=

=ωi+jωiωj

(i+ j

j

)=

[i+ j

j

].

5.2.2. Tetel. Legyenek k es l egesz szamok, melyekre 0 ≤ k ≤ l ≤ n, es legyenK ∈ Kn. Ekkor ∫

Gr(l,n)

µk(K|V ) dνnl (V ) =

[n− kl − k

]µk(K).

Az l = k valasztassal visszakapjuk az 5.2.2 egyenloseget.

Bizonyıtas. Legyen most is η(K) =∫

Gr(l,n)µk(K|V ) dνnl (V ), ez folytonos, invarians

es k-adfoku homogen, tehat η(K) = cµk(K). A konstans meghatarozasahoz ismetlegyen K = Dn. Az egyenloseget felırva c kiszamıthato :

c ωk

[n

k

]= ωk

[l

k

]νnl(Gr(l, n)

)c =

[l

k

][n

l

][n

k

]−1

= . . . =

[n− kl − k

].

5.3. A µ0 kiertekelesrol

Meg a 3.5 szakaszban megjegyeztuk, hogy µ0 az az egyertelmu konvex-folytonoskiertekeles, mely minden Kn-beli halmazon 1. A µ0 kiszamıtasara mutatunk mostegy uj modszert. Tekintsuk Rn-ben az elso koordinatahoz tartozo t = {(x1, . . . , xn) ∈∈ Rn|x2 = . . . = xn = 0} tengelyt, es jelolje az erre meroleges hipersıkokat Hx,ahol Hx = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|x1 = x}. Legyen adott a K ∈ Polycon(n) halmaz,erre legyen fK(x) = µ0(Hx ∩K), vagyis µ0 erteke a K halmaz x-nel vett szeleten.

57

Legyen tovabba f : R→ R tetszoleges, a Polycon(1) halora egyszeru fuggveny, ekkordefinialjuk ra az L(f) =

∑x∈R(f(x) − f(x + 0)) funkcionalt. f(x + 0) alatt az f

fuggveny x-beli jobboldali hatarerteket ertjuk. Ez ertelmes, mert a szummaban fegyszerusege miatt csak veges sok nem nulla tag van. Azt allıtjuk, hogy az L(fK)lekepezes kiertekeles a K valtozoban. Eloszor ırjuk fel az fK1∩K2 fuggvenyt:

fK1∪K2(x) = µ0

(Hx ∩ (K1 ∩K2)

)= µ0(Hx ∩K1) + µ0(Hx ∩K2)−

− µ0

(Hx ∩ (K1 ∩K2)

)= fK1(x) + fK2(x)− fK1∩K2(x).

Mivel az L lekepezes linearis, L(fK) kiertekeles a K valtozoban. Az eltolasinva-riancia trivialis, es az is latszik µ folytonossagabol, hogy Kk → K eseten fKk → fKx-ben egyenletesen, ebbol pedig mar kovetkezik, hogy L(fKk)→ L(fK), vagyis a ki-ertekelesunk folytonos. A µ0 nulladfoku homogenitasa miatt hasonlosagnal fK csaklinearisan atparameterezodik, ami L(fK)-t nem befolyasolja, a kapott kiertekeles te-hat szinten nulladfoku homogen, ıgy L(fK) = cµ0(K). A konstans meghatarozasahoztetszoleges Kn-beli K halmazt vehetunk, amihez tartozo fH fuggveny egy interval-lum karakterisztikus fuggvenye. Ez csak a jobboldali vegpontban ad nemnulla tagotaz L(fK) osszegbe, ott pontosan 1-et. Tehat L(fK) = 1, es ıgy c = 1.

5.3.1. Allıtas. Legyen K ∈ Polycon(n), ekkor az elobb definialt jelolesekkel µ0(K) == L(fK). �

Ezt fogjuk hasznalni a kovetkezo tetelunk bizonyıtasahoz. Egy P politop hataraugyan nem konvex halmaz, de polikonvex, hiszen a hiperlapok Kn-beli halmazok.Szeretnenk meghatarozni µ0-t egy – konvex – politop hataran.

5.3.2. Allıtas. Legyen P egy n-dimenzios konvex politop, vagyis P ∈ P+n . Ekkor a

hatararaµ0(∂P ) = 1− (−1)n.

Bizonyıtas. Indukcioval bizonyıtunk, es az elobbi allıtast hasznaljuk. Az n = 1 eset-ben a politopunk egy zart szakasz, melynek hatara ket pont, ezek uniojan µ0 a 2erteket veszi fel, osszhangban a tetel allıtasaval. Az altalanos esetben tekintsuk aHx ∩ ∂P halmazt, vagyis a hatar metszetet egy hipersıkkal. Ez majdnem mindigmegegyezik a ∂(Hx ∩ P ) halmazzal, vagyis a hipersıkkal vett metszet hataraval. Ezcsak akkor nem igaz, ha Hx illeszkedik P egy lapjara, ekkor Hx∩∂P maga a hiperlap.A politop vetulete a t koordinata-tengelyre egy zart intervallum, jelolje vegpontjaita es b. Az x ∈ (a; b) belso pontokhoz tartozo Hx nem illeszkedhet hiperlapra, ıgy ottaz indukcios felteves szerint

µ0(Hx ∩ ∂P ) = µ0

(∂(Hx ∩ P )

)= 1− (−1)n−1.

Az a es b pontokban a hipersık es ∂P metszete konvex politop (elofordulhat,hogy egyetlen pont), tehat itt f∂P (X) = µ0(Hx ∩ ∂P ) = 1. Az [a; b] intervallumonkıvul pedig f∂P nulla. Azt latjuk, hogy az f∂P az a es b pontokon kıvul mindenholjobbrol folytonos, tehat az L(f∂P ) kiszamıtasanal csak ezek a pontok szamıtanak.

58

Az f∂P (a) = 1, f∂P (a + 0) = 1 − (−1)n−1, f∂P (b) = 1, f∂P (b + 0) = 0 ertekeketkiszamıtva

µ0(∂P ) = L(f∂P ) = 1−(1− (−1)n−1

)+ 1− 0 = 1− (−1)n.

A 3.1 szakasz legvegen, a 3.1.1 tetel kovetkezmenyekent belattuk, hogy egy vegesmetszet- es uniozart L halmazrendszerrol egy kiertekeles kiterjed arra a B(L) legszu-kebb halmazrendszerre is, mely L-et tartalmazza, de zart a halmazok kulonbsegenekkepzesere is. Mindeddig erre nem volt szuksegunk, most azonban kenyelmesebb lesz,ha hivatkozunk erre. Mivel egy P ∈ P+

n politop hatara polikonvex halmaz, a bel-seje megkaphato polikonvex halmazok kulonbsegenek kepzesevel. A µ0 kiertekeleskiterjed B

(Polycon(n)

)-re, ezert felırhatjuk µ0(P )-t osszegkent:

µ0(P ) = µ0(∂P ) + µ0

(int(P )

),

µ0(int(P )) = (−1)n.

Ez csak n-dimenzios politopokra igaz, azonban barmely politopot tekinthetunkaz altala generalt affin alterben. Jelolje dim(P ) ennek az affin alternek a dimenziojat,ıgy adodik a kovetkezo allıtas.

5.3.3. Allıtas. Legyen P ∈ Pn konvex politop, ekkor

µ0(relint(P )) = (−1)dim(P ).

Poliederen politopok veges uniojat ertjuk. Poliederekre is igaz, hogy a hata-ruk polikonvex, tehat vizsgalhatjuk µ0-t poliederek hataran is. Egy politop lapjairoltudunk beszelni, hiszen az elemi konvex geometriaban tetszoleges konvex halmazlapjait lehet definialni, mint a tamaszhipersıkok metszeteit a halmazzal. Poliede-rekre a fogalmat nem igazan szeretnenk bevezetni, ezert azt fogjuk mondani, hogyaz {L1, L2, . . . , Lk} halmazrendszer a P poliedernek laprendszere, ha a kovetkezointuitıv felteteleknek eleget tesz:

(1) minden Li konvex politop,

(2)⋃ki=1 relint(Li) = P ,

(3) ha i 6= j, akkor relint(Li) ∩ relint(Lj) = ∅.

5.3.4. Tetel. Legyen a P poliedernek {L1, . . . , Lk} laprendszere, es legyen fk azLi-k kozul a k-dimenziosak szama. Ekkor µ0(P ) felırhato a kovetkezo formulaval :

µ0(P ) = f0 + f1 − f2 + . . .

Bizonyıtas. A formula azonnal adodik abbol, hogy a µ0 kiertekelest felırjuk a P ==⋃ki=1 relint(Li) diszjunkt felbontasra, ahol µ0 minden tagon ertelmes, hiszen ki-

terjesztettuk B(Polycon(n)

)-re. Az unio tagjain µ0 persze az 5.3.3 allıtas miatt ±1

a dimenzio paritasatol fuggoen, ıgy az azonos dimenzios tagokat osszevonva kapjukaz allıtast.

59

Ez a tetel mutatja, hogy a µ0 kiertekeles nem mas, mint az Euler-karakterisztika.Altalaban az Euler-karakterisztikat az f0 − f1 + . . . osszeg segıtsegevel definialjak.Az altalunk felepıtett elmeletbol konnyen megkapjuk az Euler-karakterisztika ne-hany nevezetes tulajdonsagat. Mivel megegyezik a µ0 belso terfogattal, ezert azonnallatszik, hogy fuggetlen a laprendszer valasztasatol, az 5.3.2 tetel pedig pont azt ahıres tenyt fogalmazza meg, hogy konvex politopok feluletere a dimenzio paritasatolfuggoen 0 vagy 2.

5.4. Racspontok konvex halmazokban

Zaraskent ismet egy geometriai valoszınusegszamıtasi problemat mutatunk be. Ve-gyunk Rn-ben egy tetszoleges v1, . . . , vn bazist, es jelolje L a bazishoz tartozo racs-pontokat, azaz legyen L = {z1v1+. . .+znvn|zi ∈ Z}. Legyen K egy konvex, kompakthalmaz. Szeretnenk megmondani, hogy K egy

”veletlenszeruen” elhelyezett pelda-

nya varhatoan hany racspontot tartalmaz. Ezt a µ0 segıtsegevel konnyen tudjukmerni, µ0(K ∩L) eppen a K-beli racspontok szama. A veletlenszeru elhelyezest kellalaposabban magyarazni.

Kezdetnek foglalkozzunk csupanK eltolt peldanyaival. A gond az, hogy a varhatoerteket nem tudjuk az

∫Rn µ0(tx(K)∩L) dx integrallal ertelmezni, hiszen az divergal.

Legyen C = {x1v1 + . . . + xnvn|xi ∈ [0; 1)} a racs egy cellaja. Maga az L racsszimmetrikus az L-beli vektorokkal valo eltolasra, ezert x−y ∈ L eseten µ0(tx(K)∩∩ L) = µ0(ty(K) ∩ L). Minden x ∈ Rn vektorhoz egyertelmuen talalunk egy x′ ∈∈ C vektort, melyre x− x′ ∈ L, ami azt jelenti, hogy a varhato ertek definialasanalszorıtkozhatunk egyszeruen a C-beli vektorokkal valo eltolasokra. Ekkor az integralasmar korlatos halmazon tortenik, ıgy az integral nem fog divergalni. Ha C helyett azart C halmazbol valasztjuk veletlenszeruen az x vektort, akkor csak nullmertekuhalmazt – a hatarra eso vektorokat – duplaztuk meg, ezert a varhato ertek nemvaltozik. Eppen ezert mostantol C alatt ertsuk a zart cellat.

5.4.1. Tetel. Jelolje XK a tx(K) halmazba eso L-beli racspontok szamat, ahol x ∈∈ Rn veletlen vektor. Ekkor XK varhato ertekere

E(XK) =µn(K)

µn(C).

Bizonyıtas. Mint az elobb kifejtettuk, a varhato erteket egy C-n vett integral adja:

E(XK) =1

µn(C)

∫C

µ0(tx(K) ∩ L) dx.

Ebbol kiolvashatjuk, hogy E(XK) eltolasinvarians kiertekeles K-ban. Az egysze-rusege is magatol ertetodo, hiszen egy kisebb dimenzios konvex halmaz 0 valoszınu-seggel fogja metszeni a racsot. Az is vilagos, hogy ez a kiertekeles monoton novo,vagyis bovebb halmazon nagyobb erteket vesz fel. Ugyan a terfogatot a monoto-nitas segıtsegevel csak parallelotopokra karakterizaltuk, de hasonlo tetel – azonos

60

bizonyıtassal – igaz polikonvex kornyezetben is. Nevezetesen Polycon(n)-en barmelyeltolasinvarians, monoton, egyszeru kiertekelese konstans erejeig megegyezik a ter-fogattal. Ezt parallelotopokra belattuk, es kihasznaljuk, hogy a Kn-beli halmazokJordan-merhetoek, es a Jordan-merteket parallelotopok segıtsegevel ertelmezzuk.A monotonitasbol azonnal adodik, hogy a kiertekelesunk a konvex halmazokon islenyegeben egybeesik a terfogattal. Valojaban polikonvex kornyezetben monotoni-tassal sokkal konnyebb karakterizalni a terfogatot. Azert nem ıgy jartunk el, merta monotonitas nem oroklodik linearis kombinaciokra, ıgy a Hadwiger-tetelhez nemtudtuk volna feltetelkent hasznalni.

Tehat E(XK) = cµn(K). A konstans meghatarozasahoz legyen K = ϕ(C), aholϕ az origo kozeppontu, k ∈ N aranyu nagyıtas. Megmutatjuk, hogy tetszoleges x ∈∈ Rn-re

kn ≤ µ0

(tx(ϕ(C)

)∩ L

)≤ (k + 1)n.

Az x vektor felbomlik x = x1v1+. . .+xnvn alakban. Ekkor egy z1v1+. . .+znvn ∈∈ L racspont pontosan akkor esik tx

(ϕ(C)

)-be, ha minden i-re xi ≤ zi ≤ k + xi.

A zi valasztasara ıgy minden i eseten k vagy k + 1 lehetoseg van, tehat az osszestx(ϕ(C)

)-be eso racspontok szama biztosan kn es (k + 1)n koze esik.

Ezek viszont becslest adnak a varhato ertekre is, tehat

kn ≤ E(Xϕ(C)) = c µn(ϕ(C)

)= cknµn(C) ≤ (k + 1)n.

Mivel ezt a becslest minden k ∈ N-re tudjuk, megkapjuk, hogy c = 1/µn(C), esezzel az allıtast bebizonyıtottuk.

Amennyiben K-nak nemcsak az eltoltjait, hanem az elforgatottjait is megenged-juk, akkor persze az integralast nemcsak az eltolas vektorara, hanem a forgatasokranezve is integralni kell. Jelolje ismet XK a metszespontok szamat, a varhato erteke

E(XK) =

∫O(n)

∫C

µ0

(tx(φ(K)

)∩ L

)dx dφ.

A kulso integralas tortenjen tetszoleges O(n)-en adott valoszınusegi mertek sze-rint. A belso integralt mar meghataroztuk:∫

C

µ0

(tx(φ(K)

)∩ L

)dx =

µn(φ(K)

)µn(C)

=µn(K)

µn(C).

A kulso integralban tehat konstans fuggvenyt integralunk valoszınusegi mertekszerint, ıgy a varhato ertek

E(XK) =µn(K)

µn(C).

Mint lattuk, ez igaz attol fuggetlenul, hogy a K konvex halmaz”allasat” mi-

lyen valoszınusegi eloszlas szerint valasztjuk. Erdemes azonban ezt is egyenletesnekvenni, azaz O(n)-en az egyertelmuen letezo invarians valoszınusegi mertek szerintintegralni. Ezzel a kovetkezo tetelt kaptuk:

61

5.4.2. Tetel. Legyen K ∈ Kn, es jelolje XK az L racs g(K)-ba eso pontjainak

szamat, ahol g veletlen egybevagosag. Ekkor XK varhato erteke µn(K)µn(C)

. �

5.5. Osszegzes

Zaraskent osszefoglaljuk, hogy mit is tudunk a kiertekelesekrol. Egy Kn-en adottkonvex-folytonos kiertekeles egyertelmuen kiterjed a Kn-beli halmazok veges unioi-bol allo Polycon(n) halmazrendszer kiertekeleseve. Hasonloan egy parallelotopokonadott kiertekeles – folytonossagi feltetel nelkul is – egyertelmuen kiterjed Par(n)kiertekeleseve.

Polycon(n)-en bevezettuk a µk belso terfogatokat, melyekrol belattuk, hogy mo-noton, folytonos, egybevagosag-invarians kiertekelesek. A µk belso terfogat k-adfokuhomogen, es erteke egy polikonvex halmazon nem fugg attol, hogy a halmazt hanydimenzios terben tekintjuk.

A µ0 belso terfogat az Euler-karakterisztika, mely 1 minden K ∈ Kn-re. Neveze-tes meg a µn terfogat, es a µn−1, ami a felszın fele. Tetszoleges K kompakt, konvexhalmazra

µk(K) = λnk(Graff(k,K)

),

=mn−k(K)

ωn−k,

=

∫Graff(n−k,n)

µ0(L ∩ V ) dλnn−k(V ), es ez igaz polikonvex K -ra is,

=

∫Gr(k,n)

µk(pU(K)

)dνnk (U),

= σk(x1, . . . , xn), ha K parallelotop es oldalhosszai x1, . . . , xn.

A Hadwiger-tetel szerint a µ0, . . . , µn belso terfogatok bazisat adjak Polycon(n)folytonos, SO(n)-invarians kiertekeleseinek. Ha az η kiertekeles az elobbiek mellettegyszeru is, akkor η = cµn. Vegul pedig ha k-adfoku homogen, akkor η = cµk.

62

Hivatkozasok

[1] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall,Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

[2] B. Csikos, Differential Geometry, Typotex Kiado, 2013.

[3] Moussong Gabor, Konvex testek euklideszi terben, egyetemi jegyzet, ELTE,2009.

[4] Andrejs Treibergs, Integral Geometry and Geometric Probability, Undergra-duate Colloquium, University of Utah, 2008.

[5] D. A. Klein and G.-C. Rota, Introduction to Geometric Probability, Camb-ridge University Press, 1997.

[6] D. A. Klein, A short proof of Hadwiger’s characterization theorem, Mathema-tika, 42 (1995), p. 329-339.

[7] R. T. Seeley, Spherical harmonics, The American Mathematical Monthly, 73(1966), p. 115-121.

[8] R. Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge Uni-versity Press, 1993, p. 182-186.

63