Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRALNI RAČUN
Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa
Lucija Mijić
17. veljače 2011.
Pogledajmo
Predstavimo gornju sumu sa
Dodamo još jedan
Dobivamo pravokutnik sa kvadrata.
Odnosno
Za naći ovu sumu koristimo kvadre.
Na kraju od njih šest dobivamo
Dakle,
Ako je konstantna funkcija
znamo da dano područje ima površinu, odnosno baza puta visina
tj. .
Neka je dana funkcija f na segmentu [a,b] i realan broj Δx > 0,
gdje Δx koristimo u podjeli segmenta [a,b] na podsegmente.
Za svaki podsegment nacrtamo pravokutnik visine f(xi).
Površina pravokutnika iznosi f(xi)·Δx.
Koristimo oznaku za sumu površina pravokutnika.
Drugim riječima,
Definicija Kažemo da je funkcija f definirana na [a,b] integrabilna, ako je
konačan i uvijek ima isti standardni dio za svaki pozitivan
infinitezimal dx.
Definicija Ako je f integrabilna na [a,b] definiramo integral od f na [a,b]
kao gdje je dx pozitivan infinitezimal. Integral od f na [a,b]
označavamo sa
.
Definicija Ako je f integrabilna i ne negativna na [a,b] definiramo
površinu ispod grafa funkcije f izmeĎu a i b kao
.
Teorem Ako je f neprekidna na [a,b] tada je konačan za svaki
infinitezimal dx>0.
Dokaz Kako je f neprekidna slijedi f je omeĎena odnosno postoji realan
broj r > 0 takav da vrijedi
Jasno da onda za svaki realan Δx vrijedi
Kako je ovo istina za bilo koji realan broj Δx to je istina i za sve
hiperrealne dx:
Dakle, je konačan za svaki infinitezimal dx>0. ■
Teorem Ako je f neprekidna na [a,b] tada ima isti standardni
dio za svaki infinitezimal dx > 0.
Dokaz Za danu funkciju f svaki Δx definira novu funkciju. Ova nova
funkcija je upravo ona koja definira vrhove pravokutnika baze Δx kojima
smo aproksimirali površinu ispod grafa funkcije f izmeĎu a i b.
Označimo ovu novu funkciju sa fΔx.. Slijedi
.
Nadalje, za dva realna broja Δx1 i Δx2 imat ćemo dvije različite
pravokutne aproksimacije.
i dvije različite stepenaste funkcije fΔx1 i fΔx2.
Za dane Δx1 i Δx2 neka diff(Δx1, Δx2) označava maksimalnu razliku
izmeĎu njih, odnosno maksimalnu vrijednost od
.
Kako
označava osjenčani dio izmeĎu dviju stepenastih funkcija, to vrijedi
,
dakle,
,
Budući da ovo vrijedi za realne Δx1, Δx2 to vrijedi i za hiperrealne
dx1 i dx2:
.
Nadalje uočimo da postoje hiperrealni brojevi c i d takvi da je c ≈ d
.
Neka je e = c.
Tada kako je f neprekidna na [a,b], f(e)≈ f(c) i f(e)≈ f(d) dakle f(c)≈ f(d)
odnosno je infinitezimalan.
Dakle,
je infinitezimalan, stoga
Kako su dx1 i dx2 bili proizvoljni pozitivni infinitezimali dokaz je gotov.■
Zadatak Izračunajte
Uzmimo
. Tada
Kako je ovo istina u to vrijedi i u , odnosno
Stoga,
Zadatak Izračunajte
Uzmimo
. Tada
Kako je ovo istina u to vrijedi i u , odnosno
Stoga,
Zadatak Izračunajte
Pogledajmo prvo površinu osjenčanog dijela. Ona iznosi
Uzimajući
dobivamo
.
Pogledajmo pravokutnik osnovice 4 i visine
Dobivamo
Zadatak Dokažite
gdje je
Primjer Neka je
Pokažimo da
ne postoji.
Ako je racionalan tada je svaki racionalan te
Ako je iracionalan tada je svaki iracionalan te
Stoga ako je dx racionalan infinitezimal tada
a ako je dx iracionalan infinitezimal tada je
budući je
Kako
zavisi o dx funkcija f nije integrabilna na [0,1].
Zadatak NaĎite površinu područja omeĎenog grafom funkcije
i osi x.
Uzmimo
. Tada
Kako je ovo istina u to vrijedi i u , odnosno
Stoga,
Primjer Neka je
f je prekidna u 2 budući je za svaki
infinitezimal . S druge strane,
Ako vrijedi tada je
Ako je tada
Ili ako je tada
U oba slučaja
Stoga, ako je dx infinitezimalan
pa je
S obzirom da je
uvijek konstantan za različite dx slijedi da je f integrabilna funkcija.
Zadatak Dokažite da za sve neprekidne funkcije f i g te vrijedi
Za svaki vrijedi
i
Zbrojimo ih i dobivamo
Kako ovo vrijedi za sve realne to vrijedi i za hiperrealne dx:
Odnosno
Definicija Ako je f integrabilna na [a,b], gdje je b < a definiramo
Teorem Ako je f neprekidna na [d,e] te a, b, c , tada vrijedi
Dokaz Postoji šest slučajeva za razmotriti:
(1) a ≤ c ≤ b
(2) a ≤ b ≤ c
(3) b ≤ a ≤ c
(4) b ≤ c ≤ a
(5) c ≤ b ≤ a
(6) c ≤ a ≤ b
Kako je f neprekidna možemo odabrati bilo koji dx. Odaberimo
gdje je N beskonačan prirodan broj. Naime ako je n konačan i
odmah vidimo
Dakle,
odnosno
. ■
Zadatak Razmotrite ostale slučajeve prethodnog teorema.
Za slučaj (2) a ≤ b ≤ c vrijedi
Stoga,
pa dobivamo
Definicija Neka je g neprekidna funkcija. Kažemo da je funkcija H
primitivna funkcija od g ako vrijedi
Teorem Neka je proizvoljan i g neprekidna funkcija. Tada vrijedi:
H je primitivna funkcija od g ako i samo ako je
, za
neku konstantu k.
Dokaz Neka je
. G je primitivna funkcija od g. Ako je
H bilo koja funkcija za koju vrijedi za neki k, tada za
bilo koje a i b vrijedi
Dakle, H je primitivna.
Obratno, ako je H primitivna funkcija od g tada
Prema tome .
Ako uzmemo dobivamo . ■
Primjer Uzmimo konstantnu funkciju .
Kako je
slijedi je primitivna funkcija od f.
Primjer
Izračunajmo
Odaberimo
Pa za
odnosno
Dakle
je primitivna funkcija od f.
Zadatak Odredite primitivnu funkciju od .
Izračunajmo
Odaberimo
Pa za
odnosno
Dakle
je primitivna funkcija od f.
Zadatak Odredite primitivnu funkciju od .
Izračunajmo
Odaberimo
Pa za
odnosno
Dakle
je primitivna funkcija od f.
Zadatak Odredite primitivnu funkciju od .
Kako je
dobivamo
Dakle
je primitivna funkcija od f.
