Integrals 1

Xavier Rabasa 1

Xavier Rabasa 2

INTRODUCCIÓ Llibre d’exercicis adreçat als alumnes de Batxillerat Tecnològic per millorar el seu nivell de coneixements i procediments en l’àrea de Matemàtiques

Xavier Rabasa Arévalo Professor de Matemàtiques

Xavier Rabasa 3

ÍNDEX 1. INTEGRAL INDEFINIDA - CALCUL DE PRIMITIVES

1.1 Immediates

4

1.2 Quasi_Immediates

5

1.3 Per Parts

16

1.4 Racionals

22

1.5 Altres

26

2. INTEGRAL DEFINIDA

2.1 Àrea d’un recinte

34

Xavier Rabasa 4

INTEGRAL INDEFINIDA - CALCUL DE PRIMITIVES 1. IMMEDIATES 2. QUASI IMMEDIATES 3. INTEGRACIÓ PER PARTS 4. RACIONALS 5. ALTRES

IMMEDIATES 1.1

c + 1+n

x = dx x1+n

n∫

1.2

c + 1+n)(x f = dx (x)f )(x f

+1nn ′∫

1.3

c + x L = dx x1∫

1.4

c + (x) f L = dx (x)f f(x)1 ′∫

1.5 c + e = dx e xx∫

1.6 c + e = dx (x)f e (x) f(x) f ′∫

1.7

c + a L

a = dx ax

x∫

1.8

c + aL

a = dx (x)f a(x) f

(x) f ′∫

1.9 c + x - = dx x sin cos∫

1.10 c + (x) f - = dx (x)f (x) f sin cos′∫

1.11 c + x sin= dx x cos∫

1.12 c + (x) f sin= dx (x)f (x) f ′∫cos

1.13

c + x tg = dx x

12cos

∫

1.14

c + (x) f tg = dx (x)f (x) f

12

′∫cos

1.15

c + x cotg- = dx xsin

12

∫

1.16

c + (x) f cotg- = dx (x)f (x) fsin

12

′∫

1.17 1.18

1

Xavier Rabasa 5

c + x tg = dx x + 1

12

arc∫ c + (x) f tg = dx (x)f )(x f + 1

12 arc′∫

1.19

c + x sin = dx x - 1

12

arc∫

1.20

c + (x) f sin = dx (x)f )(x f - 1

12

arc′∫

QUASI IMMEDIATES 2.1.

dx x3∫

Sol.

c + 4x4

2.2.

dx 3x3

∫

Sol.

c + 12x4

2.3.

dx 6x4

∫

Sol.

c + 30x5

2.4. dx 3) + x( 3∫

Sol.

c + 3x + 4x4

2.5.

dx )x1 - 2x + x( 2∫

Sol.

c + x - x + 3x 2

3

ln

RAONAMENT

dx )x1 - 2x + x( 2∫ = ∫ ∫ ∫ =−+ dx

xxdxdxx 122 c + x - x +

3x 2

3

ln

2.6. Sol.

2

Xavier Rabasa 6

dx x

1 + x - x 23

∫ c + x + 2x +

3x 23

ln

2.7.

xdx

2∫

Sol.

c + x1-

2.8.

xdx

5∫

Sol.

c + x 4

1-4

2.9.

dx x

3 + 2x - x6

4

∫

Sol.

c + x 5

3 - x 2

1 + x1-

54

2.10.

dx 3

x 4 3

∫

Sol. c + x3 4

RAONAMENT

=∫ dx 3

x 4 3

=+=∫ = cxxdxx 343

4

3/1

343

434 c + x3 4

2.11.

4 xdx∫

Sol.

c + 3

x 4 4 3

2.12.

dx x 3 + x 38 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫

Sol. c + x 2 + x 2 33 4

2.13. dx 1) + x( x3∫

Sol.

c + x43 + x11

63 46 11

2.14. dx cosx) 8 + sinx2 - x( 2∫

Sol.

c + x sin8 + x 2 + 3x3

cos

2.15. Sol.

Xavier Rabasa 7

dx x1 + ex ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫

c + x + ex ln

RAONAMENT

∫ ∫ =+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫ dx

xdxedx

x1 + e xx 1 c + x + ex ln

2.16.

x xdx

∫

Sol.

c + x2−

2.17.

dx x

3) + x( 1) + (x3

2

∫

Sol.

c + x 2

3 - x3 - x + x

2ln

2.18. dx x) + cosx + x( 2sec∫

Sol.

c + 2x + x sin+ x tg

2

2.19. dx xtg2∫

Sol. c + x - xtg

2. 20.

dx x

1 + x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

Sol.

c + x 2 + 3

x 2 3

RAONAMENT

∫ ∫ =++=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫ − cxxdxxdxxdx

x1 + x

21

23

2/12/32/12/1

c + x 2 + 3

x 2 3

2.21.

dx x xsinxsin - x

22

22

coscos∫

Sol. c + xtg - xcotg-

2.22. Sol. c + x + ex ln

Xavier Rabasa 8

dx xe + 1 e

-xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫

2.23. dx 3 5 xx∫

Sol.

c + 15

15x

ln

2.24.

dx x + 1

3 - x - 1

122∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

Sol. c + xarctg3 - xarcsin

2.25.

x xsindx

22 cos∫

Sol. c + xcotg - xtg

RAONAMENT

∫ ∫ ++−=+=∫ ctgxgxdxx

dxxxx

dx cotcos

1sin

1cossin 2222

2.26.

dx xsin

xsin - 22

3

∫

Sol. c + x + xcotg 2- cos

2.27.

∫ 2 + 3xdx

Sol.

c + 2 + 3x 31 ln

2.28.

x - 3dx

∫

Sol. c + x - 3 - ln

2.29.

x + 2dx x

2∫

Sol.

c + x + 2 21 2ln

2.30.

)1 + (xdx 2

3∫

Sol.

c + )1+(x

1-2

RAONAMENT

Xavier Rabasa 9

=+−∫ =+−

==∫−

− ct

ctdtt)1 + (x

dx 23 2

23 1

222 c +

)1+(x1-

2

dxdtxt =+= 1 2.31.

x + 1dx x

3

2

∫

Sol.

c + x+1 31 3ln

2.32.

xsin + 3dx sin2x

2∫

Sol. c + x sin+3 2ln

2.33.

1 + 6x - xdx 3) - (x

2∫

Sol. c + 1+6x-x2

2.34. dx e + 2 e xx∫

Sol.

c + 3

)e+(2 2 3x

2.35.

dx x

x ln∫

Sol.

c + 2

x2ln

RAONAMENT

=+=∫=∫ cttdtdx x

x 2

ln 2

c + 2

x 2ln

dxx

dtxt 1ln ==

2.36.

dx 1 + x x 32∫ Sol.

c + 9

)1+x( 2 33

2.37. dx 5x sin∫

Sol.

c + 5x 51- cos

2.38. Sol.

Xavier Rabasa 10

dx x 6x 2cos∫ cx +2sin3

2.39.

xsin + 1dx x

2

cos∫

Sol. c + x)(sinarctg

2.40.

xtg - 1 xdx

22cos∫

Sol. c + x)(tgsinarc

RAONAMENT

∫ =+=−

=∫ ctt

dtxtg - 1 x

dx22

arcsin1cos 2

c + x)(tgsinarc

dxx

dttgxt2cos

1== t

2.41.

dx e x x4 5∫ Sol.

c + 5ex5

2.42.

x + 1dx )x (48

3

∫

Sol. c + x tg 4arc

2.43. dx 2x∫

Sol.

c + 2

2x

ln

2.44.

9 + xdx

2∫

Sol.

c + 3x tg

31 arc

2.45. dx e7x∫

Sol.

c + 7e7x

RAONAMENT

∫ =+==∫ ce

dtedx et

t7x

771

c + 7e7x

Xavier Rabasa 11

dxdtxt 77 == 2.46.

dx )e + e( x-x∫ Sol.

c + e - e -xx

2.47.

xe x

∫

Sol. c + e x2

2.48.

dx e

x x sin

cos∫

Sol. c + e- x -sin

2.49.

x - 25dx

2∫

Sol.

c + 5x sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛arc

2.50.

9 + x2dx2

∫

Sol.

c + 3

x 2 tg 2 3

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛arc

RAONAMENT

∫ =+

∫ ∫ =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∫

222 1231

321

32

231

1329

1t

dt

x

dx

x

dx9 + x2

dx2

=+ carctgt23

1 c + 3

x 2 tg 2 3

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛arc

dxdtxt32

32

==

2.51. dx )5 + (2x 9∫

Sol.

c + 20

)5+(2x 10

2.52. Sol.

Xavier Rabasa 12

x + 1dx )(arctgx

2

3

∫ c + 4

)x tg ( 4arc

2.53. dx x xsin5 cos∫

Sol.

c + 6

xsin6

2.54.

dx xsinx

3 2

cos∫

Sol. c + x sin 3 3

2.55.

x xdxln

∫

Sol. c + x lnln

RAONAMENT

∫ =+=∫ cttdt

x xdx lnln

c + x lnln

xdxdtxt == ln

2.56.

dx x

x cos∫

Sol. c + x sin2

2.57. dx )e + e( 2x-x∫

Sol.

c + 2e - 2x +

2e -2x2x

2.58.

x - 1 )x (dx

23arccos∫

Sol.

c + 2

)x ( -2cosarc

2.59.

dx x x + 5

x + 1ln

ln∫

Sol. c + x x + 5 lnln

2.60.

dx xtgx + xtg

2

2

cos∫

Sol.

c + 2

xtg + 3

xtg 23

Xavier Rabasa 13

RAONAMENT

∫ =++=+=∫ cttdtttdx xtgx + xtg

2

2

23)(

cos

232 c +

2xtg +

3xtg 23

xdxdttgxt

2cos==

2.61.

dx sinxcosx∫ Sol.

c + 3

)x ( 2- 3cos

2.62. dx e e xex∫

Sol. c + eex

2.63. dx e e xx cos∫

Sol. c + e sin x

2.64.

1 + )1 + (xdx

2∫

Sol. c + 1)+(x tgarc

2.65.

dx cosx

xsin3

∫

Sol.

c + 5

)x ( 2 + x 2-5coscos

RAONAMENT

=++−=∫ −−=−

∫=∫ cttdttdxx

xxdx cosx

xsin3

522)1(2

cos2sin)cos1(2

54

2

c + 5

)x ( 2 + x 2-5coscos

xxdtxt

cos2sincos −

==

2.66.

xdx sinlnx∫

Sol. c + x)(- lncos

Xavier Rabasa 14

2.67.

x + 2dx x

6

2

∫

Sol.

c + 2

x tg 2 3

1 3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛arc

2.68.

dx x - 1 x

dx2ln

∫

Sol. c + x)(sin lnarc

2.69.

dx x

x + 3∫

Sol.

c + 3

)x + (3 4 3

2.70.

dx xsinx

3

3cos∫

Sol.

c + x sin - xsin 2

1-2

ln

RAONAMENT

=+−∫−

=−=∫−

=∫−

−− cttdtttx

xdxxdx xsinx

3

3

ln2

)(sin

cos)sin1(cos 213

3

2

c + x sin - xsin 2

1-2

ln

xdxdtxt cossin == 2.71.

dx e x x-3 4∫ Sol.

c + e 41- x- 4

2.72.

dx 1 + e2 - e

ex2x

x

∫

Sol.

c + 1 - e

1-x

2.73.

x - 1dx x

4∫

Sol.

c + x sin 21 2arc

2.74. dx x + 1 x 2∫

Sol.

c + )x+(1 31 32

Xavier Rabasa 15

2.75. dx tgx x) ( cosln∫

Sol.

c + 2

x)(-2 cosln

RAONAMENT

=+∫ −=−=∫ cttdtdx tgx x) ( 2

cosln2

c + 2

x)(-2 cosln

tgxdtxt −== )ln(cos 2.76.

dx x ln xx) ln( ln

∫

Sol.

c + 2

x) ln(ln2

2.77.

dx x

e2

x tg 2

cos∫

Sol.

c + e21 x tg 2

2.78.

dx x

sinx2cos

∫

Sol.

c + x

1cos

2.79.

dx 2x - 2

xsin2cos

∫

Sol. c + 2x -2 - cos

2.80. dx x xsin 23 cos∫

Sol.

c + 5

x + 3

x-53 coscos

RAONAMENT

∫ ∫ +−=−=−=∫ cttdtttxdxxxdx x xsin 23

53)1(sincos)cos1(cos

532222

= c + 5

x + 3

x-53 coscos

xdxdtxt sincos −==

Xavier Rabasa 16

INTEGRACIÓ PER PARTS ∫ ∫−= vduuvudv 3.1.

dx sinxx∫

Sol. c + x sin+ x x- cos

3.2. dx 3x x cos∫

Sol.

c + 9

3x + 3

3x sinx cos

3.3. dx x x2 ln∫

Sol.

c + 9x -

3x x 33 ln

3.4. dx e x x3∫

Sol. c + e 6 + e 6x + e x3 - e x xxx2x3

3.5.

dx e x 3x2∫ Sol.

c + e 272 + e x

92 -

3e x 3x3x

3x2

RAONAMENT

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∫−−=∫−=∫ dxexeexdxxeexdx e x xxx

xx

3x2 3332

332

31

332

332

3

c + e 272 + e x

92 -

3e x 3x3x

3x2

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==xx evedv

xdxduxu33

2

312

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==xx evedv

dxduxu33

31

3.6.

dx e x x∫ Sol.

c + e - e x xx

3.7. dx arcsinx∫

Sol. c + x-1 + x sin x 2arc

3

Xavier Rabasa 17

3.8. dx 2x + 1 x∫

Sol.

c + )2x+(1 151 -

3)2x+(1 x 5

3

3.9. dx arctgx x∫

Sol.

c + 2

xtg + 2x -

2xtg x2 arcarc

3.10. dx sinxx2∫

Sol. c + x 2 + x sin2x + x x- 2 coscos

RAONAMENT

( ) =∫−+−∫ =+−=∫ xdxxxxxxdxxxxdx sinxx2 sinsin2coscos2cos 22 c + x 2 + x sin2x + x x- 2 coscos

⎩⎨⎧

====

⎩⎨⎧

−====

xvxdxdvdxduxu

xvxdxdvxdxduxu

sincoscossin22

3.11.

dx )x ( 2ln∫ Sol.

c + 2x + x 2x - )x ( x 2 lnln

3.12. dx )x ( lnsin∫

Sol. c + e - e x2 xx 2

3.13.

dx x x ln∫ Sol.

c + 9

x 4 - 3

x x 2 33 ln

3.14. dx arctgx∫

Sol.

c + x+1 21 - x tg x 2lnarc

3.15. dx x x2 cos∫

Sol.. c + x sin2 - x 2x + x sinx2 cos

RAONAMENT

( ) =∫+−−=∫−=∫ xdxxxxxxdxxxxdx x x2 coscos2sinsin2sincos 22

Xavier Rabasa 18

c + x sin2 - x 2x + x sinx2 cos

⎩⎨⎧

−====

⎩⎨⎧

====

xvxdxdvdxduxu

xvxdxdvxdxduxu

cossinsincos22

3.16.

x + 1dx x

∫

Sol.

c + 3

)x+(1 4 - x+1 2x3

3.17. dx x) sin( ln∫

Sol.

c + 2

x)( x - x) sin(x lncosln

3.18.

xdx x2cos

2∫

Sol. c + x 2 + x tg 2x cosln

3.19.

dx xx ln

∫

Sol. c + x4 - x x2 ln

3.20. dx e x)-x( x-2∫

Sol. c + e 2 - 1)-(2x e - x)-x( e- -x-x2-x

RAONAMENT

ceexexxdxeexexxdxexexxdx e x)-x(

xxxx

xxxx-x2

+−−−−−∫ =+−−−−∫ =−+−−=∫

−−−−

−−−−

2)12()(2)12()()12()(

2

22

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−===−=

−==−=−=

−−−− xxxx evdxedvdxduxu

evdxedvxduxxu 212122

3.21.

dx e x x3 2∫ Sol.

c + 2e -

2e x

xx2

22

3.22. dx x ln∫

Sol. c + x - x x ln

3.23. Sol.

Xavier Rabasa 19

dx x ex cos∫ c + 2

x sine + x e xx cos

3.24. dx x sinex∫

Sol.

c + 2

x e - x sine xx cos

3.25. dx e x 3x-∫

Sol.

c + 9e -

3e x-

-3x-3x

RAONAMENT

∫ =+−

=∫ −

−

dxexedx e x xx

3x- 33

31

3c +

9e -

3e x-

-3x-3x

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

==−

−

3

33

xx evedv

dxduxu

3.26.

xdx x

2cos∫

Sol. c + x + x tg x cosln

3.27. dx cosx x∫

Sol. c + x + x sinx cos

3.28.

dx x

x 3

ln∫

Sol.

c + x41 -

x2x-

22

ln

3.29. dx sinxx2∫

Sol. c + x 2 + x sin2x + x x- 2 coscos

3.30.

dx x e 3x- cos∫ Sol.

c + 10

x e3 - 10

x sine -3x-3x cos

RAONAMENT ( )Ixexexdxexedx x eI xxxx-3x 3cos3sinsin3sincos 3333 −−+∫ =+=∫= −−−−

Xavier Rabasa 20

=−= −− IxexeI xx cos3sin10 33 c + 10

x e3 - 10

x sine -3x-3x cos

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−==−==

==−== −−−−

xvxdxdvdxedueu

xvxdxdvdxedueu xxxx

cossin3

sincos3 3333

3.31.

dx )x ( x 2ln∫ Sol.

c + 4x + x

2x - )x (

2x 22

22

lnln

3.32. dx x x3 ln∫

Sol.

c + 16x - x

4x 44

ln

3.33.

dx x

x) ( lnln∫

Sol. c + x - )x ( . x lnlnlnln

3.34.

x - 1dx x

∫

Sol.

c + 3

)x-(14 - x-1 2x-3

3.35. dx 3)sinx - (x∫

Sol. c + x sin+ x 3) - (x- cos

RAONAMENT

∫ =+−−=∫ xdxxxdx 3)sinx - (x coscos)3( c + x sin+ x 3) - (x- cos

⎩⎨⎧

−===−=

xvxdxdvdxduxu

cossin3

3.36.

dx )x + 1 + (x 2ln∫ Sol.

c + x+1 - x+1 + x x 22ln 3.37.

dx x - 1

arcsinx x2

∫

Sol. c + x + x arcsin x-1 - 2

3.38. Sol.

Xavier Rabasa 21

dx arcsinx x 2∫ c + x-1 21 + x arcsin

2x 42

2

3.39. dx )(lnx x 2∫

Sol.

c + x 2716 + x) ( x

98 - )x ( x

32 3323 lnln

INTEGRACIÓ DE FUNCIONS RACIONALS 4.1.

dx x x232

+−

∫

Sol. c + 2+x 7 - 2x ln

4.2.

4 - xdx

2∫

Sol.

c + 2+x2-x

41 ln

4.3.

dx 6 - x + x

1 - x2

∫

Sol.

c + 2-x 51 + 3+x

54 lnln

4.4.

6 + 5x + xdx 2

2∫

Sol. c + 3+x 2 - 2+x 2 lnln

4.5.

dx )1 - (x x

1 + x2∫

Sol.

c + 1-x

- 1-x + x 2lnln

RAONAMENT

4

Xavier Rabasa 22

cx

xxdxx

dxx

dxx

CBAxAxCx

CxxBxxAx

xxCxxBxxA

xC

xB

xA

xxx

+−

−−+∫ =−

+∫ ∫−

+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=====

+−+−=+

−+−+−

=−

+−

+=−+

121lnln

)1(2

111

32221021

)1()1(1

)1()1()1(

)1(1)1(1

2

2

2

2

22

4.6.

2x + xdx

2∫

Sol.

c + 2+x 21 - x

21 lnln

4.7.

dx 6 - x + x

1 + x2

2

∫

Sol. c + 3+x 2 - 2-x + x lnln

4.8.

dx x + x1 - x

2

3

∫

Sol.

c + 1 + x 2 + x - x - 2x2

lnln

4.9.

dx 1 - x1 + x

2

2

∫

Sol. c + 1-x + 1+x - x lnln

4.10.

1) + (x xdx

2∫

Sol.

c + x1 -

x1+x ln

RAONAMENT

Xavier Rabasa 23

cxx

x

cx

xxdxx

dxx

dxxxx

CBAxCxAx

xCxBxAx

xxxCxBxAx

xC

xB

xA

xx

+−+

=+−−+=∫+−

∫++

∫=+

∫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++====−=

=++++

+++++

=+++

=+

11ln

1ln1ln111

1)1(

11221

1011

1)1()1(

)1()1()1(

1)1(1

22

2

2

2

22

4.11.

9 - xdx

2∫

Sol.

c + 3+x3-x

61 ln

4.12.

1) + (x )1 - (xdx x

2∫

Sol.

c + 1-x

1/2 - 1x1x

41

−+ln

4.13.

2) + (x 1) - (x xdx 6

∫

Sol. c + 2+x + 1-x 2 + x 3- lnlnln

4.14.

dx x + x2 - x

1 + x - x23

2

∫

Sol.

c + 1-x

1 - x ln

4.15.

dx 1 + x

1 - 2x + x2 2

∫

Sol. c + 1+x - x2 ln

RAONAMENT

=+

∫−∫=+

−+∫ dx

xxdxdx

xxx

112

1122 2

c + 1+x - x2 ln

4.16. Sol.

Xavier Rabasa 24

4 + x3 - xdx 7x) - x(2

23

2

∫ c + 2-x

2 + 2-x + 1+x lnln

4.17.

3 - 2x + xdx 4) + (2x

2∫

Sol.

c + 1-x 23 + 3+x

21 lnln

4.18.

3) + (x)2 - 1)(x + (xdx

2∫

Sol.

c + +x - 2-x

1+x 2ln23ln −

4.19.

x + xdx

23∫

Sol.

c + 1+x + x1 - x - lnln

4.20.

)1 + (x )2 - (xdx 5) + 2x + x(3

22

2

∫

Sol.

c + 1)+(x 3

2 - 2)-(x 3

7-

RAONAMENT

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==+++−===+++−=

==−=

===

+−−+−+++++−

=+

++

+−

+−

=+−++

010244105442032691372192

)1()2()2()2)(1()1()1)(2(

)1(1)2(2)1()2(523

22

2222

2222

2

CDCBAxADCBAx

DDx

BBx

xxxDxxCxBxxA

xD

xC

xB

xA

xxxx

)1 + (x )2 - (xdx 5) + 2x + x(3

22

2

∫ c + 1)+(x 3

2 - 2)-(x 3

7-=

4.21. Sol.

Xavier Rabasa 25

dx 4x - x

8 - x + x3

45

∫ c + )2+(x)2-(x x + 4x +

2x +

3x

3

5223

ln

4.22.

dx 1 + x1 - x

2

2

∫

Sol. c + xarctg 2 - x

4.23.

4x + x4 - xdx 8) - (x

23∫

Sol.

c + 2-x

3 + x

2-x 2 ln

4.24.

dx 2 - x 5 + x 4 - x

1 + x23

∫

Sol.

c + 2-x 3 + 1-x

2 + 1-x 3- lnln

4.25.

4 + xdx

2∫

Sol.

c + 2x arctg

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

RAONAMENT

∫ ∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=∫ 22

21

21

21

214

1x

dx

xdx

4 + xdx

2c +

2x arctg

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4.26.

x + x + xdx

23∫

Sol.

c + 31+2x arctg

33 - 1+x+x

21 - x 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛lnln

4.27.

5 + 2x - xdx

2∫

Sol.

c + 2

1-x arctg 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4.28.

1 - xdx 3

3∫

Sol.

c + 3

1+2x arctg - 1+x+x

1-x 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛3ln

4.29. Sol.

Xavier Rabasa 26

dx 25x + x6 - x25 + 2x - x5

23

2

∫ c + 43-x arctg 4 + 25+6x-x 2 + x 2lnln

4.30.

1) + x()1 - (xdx 2x -

22∫

Sol.

c + x arctg + 1-x

1

ALTRES 5.1. dx 3) - 2x + x3 + x( 23∫

Sol.

c + 3x - x + x + 4x 23

4

5.2.

dx 3) + e( x∫ Sol.

c + 3x + ex

5.3 dx x1 +

2x1 - x + e 23

3x- ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

Sol.

c + x1 - )(2x

43 -

4x 3 + e- 3

23 4

x-

5.4. dx e x x2∫

Sol. c + e 2 + e 2x - e x xxx2

5.5.

)1 + (3xdx

4∫

Sol.

c + )1+(3x 9

1-3

RAONAMENT

c)1x3(9

13

t·31dtt

31

)1 + (3xdx

3

34

4 ++

−=

−==∫

−−∫

1x3t += dx3dt = 5.6. Sol.

5

Xavier Rabasa 27

dx )x 2/3 + (3x + 5

x2 + 33

2

∫ c + x 32 + 3x + 5 3ln

5.7.

)x + x(dx 1) + (2x

32∫

Sol.

c + )x+x( 2

1-22

5.8.

dx x

x2cos

∫

Sol. c + x + x tg x cosln

5.9.

e + edx 5

x-x∫

Sol. c + e arctg 5 x

5.10. dx x )xtag + (1 22∫

Sol.

c + x tg 21 2

RAONAMENT

∫ +=+==∫ ctgx21c

2tdt

21dx x )xtag + (1 222

2tgxt = xdx2)xtg1(dt 22+= 5.11.

dx xsin2∫ Sol.

c + 22x sin - x

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

5.12.

dx xtag2∫ Sol.

c + x - xtg

5.13. dx x)tag + (3 2∫

Sol. c + xtg + x2

5.14.

dx xx

−

+∫

11

Sol. c + x-1 - x arcsin 2

5.15. Sol.

Xavier Rabasa 28

dx x x + 2 2∫ c +

3)x+(2 32

RAONAMENT

c)x2(31c

23t

21dtt

21dx x x + 2 32

23

21

2 ++=+==∫ ∫

2x2t += xdx2dt = 5.16.

dx senx+ 1

cosx 5∫

Sol. c + x sin+ 1 10

5.17.

dx e

1 + e + ex

x3x

∫

Sol.

c + e - x + 2e x-

2x

5.18.

x - 9dx

2∫

Sol.

c + 3x arc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sin

5.19.

1 + xdx x3

2

3

∫

Sol. ( ) c + 1+x 2 - 1+x x 3 2 322

5.20.

dx 35

x

x

∫

Sol.

c + (5/3) 1 .

35

x

ln⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

RAONAMENT

∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∫ dx

35dx

35

x

x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=∫

35

35 ln

1cct

35ln

1dt

35ln

1 x

x

35t ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= dx

35ln

35dt

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

5.21. Sol.

c + x1 -

xx - ln

Xavier Rabasa 29

dx x

x 2

ln∫

5.22.

dx 4x

4 + xsin

x6232

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

cos

Sol. c + (4x) tg + )x(cotg2- 3 1

5.23.

edx

1 + 2x∫

Sol.

c + e 21- 1-2x-

5.24.

4 + xdx

2∫

Sol.

c + 2x arctg

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

5.25.

4 + xdx x

3

2

∫

Sol.

c + 4+x 31 3ln

RAONAMENT

c4xln31ctl

31

tdt

31

4 + xdx x 3

3

2

++=+==∫ ∫

4xt 3 += dxx3dt 2= 5.26.

dx e + 1

e6x

3x

∫

Sol.

c + ) e ( arctg 31 3x

5.27. dx (-5x) e x5- 2∫

Sol.

c + e 21 x5- 2

5.28.

dx x

tgx2cos

∫

Sol.

c + 2

xtg2

5.29. dx tgx∫

Sol. c + x - cosln

5.30.

dx sin2x)3 - 5x( cos∫ Sol.

Xavier Rabasa 30

c + 2

2x 3 + 55xsin cos

RAONAMENT

∫ ∫ ++=−=∫ cx2cos23x5sin

51dx·sin2x3dx·5xcosdx sin2x)3 - 5xcos(

5.31.

)3 + x( + 1dx x

22∫

Sol.

c + 3)+xarctg( 21 2

5.32.

dx x

x ln∫

Sol.

c + 2

x 2ln

5.33. dx cosx) e - (x x∫

Sol.

c + 2

sinxe + cosx e - 2x xx2

5.34.

sinx- 1dx

∫

Sol.

c + tg(x/2) - 1

2

5.35. dx cosx esinx∫

Sol. c + e x sin

RAONAMENT

∫ +=+==∫ cecedtedx cosx e xsinttsinx xsint = xdxcosdt =

5.36. dx x xsin 33 cos∫

Sol.

c + 6

xsin - 4

xsin 64

5.37. dx )x + (1 x 2cos∫

Sol.

c + )x sin(121 2+

5.38.

)x + (1 xdx

∫

Sol. c + x+1 2 ln

5.39. Sol.

Xavier Rabasa 31

dx 9 - x9 + x

2∫ c + 3+x - 3-x 2 lnln

5.40.

dx e + 2

e 5x

x

∫

Sol. c + e+2 5 xln

RAONAMENT

∫ ++=++=+

=∫ ce2ln5ct2ln5t2

dt5dx e + 2

e 5 x

x

x

xet = dxedt x=

5.41.

dx x - x

x - x3

∫

Sol.

c + 7

x 6 + 4

x 3 + 3

x 2 6 73 46 9

5.42.

xsin - 1dx

2∫

Sol. c + tg(x)

5.43.

x + xdx x

∫

Sol. c + 1+x 2 - x x ln−

5.44.

dx x

xtg2

3

cos∫

Sol.

c + 4

x tg4

5.45.

dx x

e2

tgx

cos∫

Sol. c + e x tg

RAONAMENT

cecedtedx xcos

e tgxtt

2

tgx

+=+==∫ ∫

tgxt = dxxcos

1dt2

=

5.46. Sol.

Xavier Rabasa 32

dx x5 + 9

2x2

∫ c + x5+9 2ln51

5.47.

dx 1 + x

1 + 3x + x + x2 23

∫

Sol.

c + 1+x - x + x 3x2 3

ln342

2

−

5.48.

dx cosx sinx

xsin + 1 2

∫

Sol. c + x 2 - x sin coslnln

5.49.

dx xsin

cosx3

∫

Sol.

c + x sin 2

1-2

5.50.

dx x - 1

dx 2x4

∫

Sol. c + )x(arcsin 2

RAONAMENT

∫ +=+=−

=∫ cxarcsinctarcsint1

dtdx x - 1

dx 2x 2

24

2xt = xdx2dt =

Xavier Rabasa 33

INTEGRAL DEFINIDA .CÀLCUL DE L’ÀREA D’UN RECINTE INTEGRAL DE RIEMANN ∫

b

a

dx)x(f

Suma dels rectangles positius i negatius d’a fins b fent que l’amplitud dels rectangles tendeixi a zero.

REGLA DE BARROW

Si ∫ dx)x(f =F(x)+c aleshores ∫b

a

dx)x(f =F(b)-F(a)

ÀREA DEL RECINTE TANCAT PER DUES FUNCIONS:

∫b

a

(f(x)-g(x))dx ∫−

0

2

(f(x)-g(x))dx- ∫2

0

(f(x)-g(x))dx

+

+

+

_ a

b

Xavier Rabasa 34

∫b

a

(f(x)-g(x))dx ∫d

c

(f(y)-g(y))dy

EXEMPLES Calculeu l’àrea que tanquen les dues funcions a)

a) raonament

⎩⎨⎧

+−==

2)1x()x(gx2)x(f

2

∫=

=

−=3x

1x

dx))x(g)x(f(A =

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

=−+−∫3

1

3

1

23

2 x3x23xdx)3x4x(

.a.u34)

34(0 =−−

b)

b) raonament

⎩⎨⎧

−−==

4)2x()x(g0)x(f

2

.a.u3

32323

64x23x

dx)x4x(dx))x(g)x(f(A4

0

23

4

0

24x

0x

=+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

=

+−=−= ∫∫=

=

Xavier Rabasa 35

c) raonament

c) raonament

⎩⎨⎧

+−====

4x)x(fyx3)x(gy 2

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−==

==

4y)y(fx3y)y(gx

∫ ∫∫

∫∫

=

=

=

+−+=

+=−=

1

0x

4

1

24

1

1

0

3y

0y

dx)4x(dxx3dx)x(f

dx)x(gdy))y(g)y(f(A

.a.u211

291 =+=

d) raonament

d) raonament

⎩⎨⎧

==

x)x(gx2)x(f

380

38x

21x

34

dx)xx2(dx))x(g)x(f(A4

0

223

4

0

4x

0x

=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

=−=−= ∫∫=

=

e) e) raonament

⎩⎨⎧

==+==

⎩⎨⎧

±=

−==2y)y(gx2y)y(fx

xy

2x)x(fy

⎩⎨⎧

=−=

⇒+=2y

1y2yy2

.a.u627)

67

310(

3yy2

2ydy))y(g)y(f(A

2

1

322y

1y

=+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=−=

−

=

−=∫

f) f) raonament

Xavier Rabasa 36

Punts de tall (0,0) i (5,2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=

)4x(x52)x(g

)6x(x52)x(f

∫∫ ==−==

=

5

0

5x

0x

xdx54dx))x(g)x(f(A

[ ] .a.u10)025(52x

52 5

02 =−==

EXERCICIS

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: 23xxf(x) 2 +−= l’eix OX, (y = 0) i les rectes (x=0) i ( x=3). RAONAMENT

Punts de tal amb l’eix horitzontal(y=0)

x2-3x+2=0 ⇒ ⎩⎨⎧

⇒⎩⎨⎧

==

)0,2()0,1(

2x1x

contínua i definida positiva a l’interval ),2()1,( ∞∪−∞ contínua i definida negativa a l’interval (1,2)

⇒+−== ∫ x22x3

3xf(x)dx)x(F

23

⎩⎨⎧

====

2/3)3(F3/2)2(F6/5)1(F0)0(F

A = ∫ ∫ ∫+−1

0

2

1

3

2

f(x)dxf(x)dxf(x)dx = F(1)-F(0)-F(2)+F(1)+F(3)-F(2)=

2F(1)-2F(2)+F(3)-F(0)=6110

23

34

35

=−+− u.a.

1

f(x)=x^2-3x+2

Relleno 1

Graph Limited School Edition

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

y

Xavier Rabasa 37

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció xcos)x(f = , l’eix OX (y=0) i les rectes (x=0) i (x=π ). RAONAMENT

∫ ∫ == sinxcosxdxf(x)dx

A= ∫∫∫ =−==−2/

02/

2/

0

2]01[2xdxcos2dx)x(fdx)x(fππ

π

π

u.a.

Calculeu l’àrea del recinte limitat per les rectes (x=0) i (x=1) i la

funció )3x)(1x(

1y++

= .

RAONAMENT

f(x) contínua, derivable i definida positiva a l’interval [0,1].

3

2

f(x)=1/(x^2+4x+3)

Relleno 1


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

y

f(x)=cos(x)

Relleno 1


-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Xavier Rabasa 38

=+−+=

⇒−=

=⇒

=−=

⇒−=−=

⎩⎨⎧

⇒=+++⇒+

++

=++

∫ )3x(ln21)1xln(

21dx)x(f

21B

21A

1B21A2

3x1x

sisi

1)1x(B)3x(A)3x(

B)1x(

A)3x)(1x(

1

3x1xln

++

= A=23ln

3010ln

3111lndx)x(f

1

0

=++

−++

=∫

Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: y = ln x, y = 0 i x = e. RAONAMENT Si y = 0, x = 1

xxlnxlnxdx −=∫

A = ∫ =e

1

lnxdx (e - e)- (-1)=1 u. a.

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: y = ln(x+3), l’eix OX´(y=0) i les rectes (x=0) i (x=1). RAONAMENT

5

4

f(x)=ln(x)

Relleno 1


-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=ln(x+3)

Relleno 1


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

1 e

Xavier Rabasa 39

f(x)=ln(x+3) contínua i definida positiva en [0,1].

xvdxdv3x

dxdu)3xln(u

x)3xln()3x(dx3x

x)3xln(xdx)3xln(

==+

=+=

−++=+

−+=+∫ ∫

A= 13ln34ln4)03ln3()14ln4(dx)3xln(1

0

−−=−−−=+∫

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: 2xsin)x(f = , l’eix

OX (y=0) i les rectes (x=0) i (x=π ). RAONAMENT

f(x)=sin(x/2)

Relleno 1


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

La funció f(x) és contínua i definida positiva a l’interval (0, π )

∫ ∫ ∫ −===2x2cosdx

2xsin

212dx

2xsinf(x)dx +c

A = ∫ −−=π

0

)2()0(dx)x(f = 2 u.a.

Calculeu l’àrea del recinte limitat per les funcions: 2xx4)x(f −= i x2x)x(g 2 += .

7

6

Xavier Rabasa 40

RAONAMENT Punts de tall d’ambdues funcions:

⎩⎨⎧

⇒==

⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

+=−=

)3,1()0,0(

3y0y

1x0x

x2xyxx4y

2

2

interval [0,1] f(x) i g(x) són contínues i positives a l’interval [0,1] amb f(x)>g(x)

A=311

32dx]x2x2[dx)]x(g)x(f[

1

0

1

0

1

0

2 23

x3x2

=+−

==+−=−∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∫

A=1/3 u.a.

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: x3x4x)x(f 23 +−= i l’eix OX . RAONAMENT

Punts de tall amb l’eix OX ⇒⎩⎨⎧

=+−=

0yx3x4xy 23

x=0, x=1, x=3

interval )3,1()1,0( ∪ en (0,1) f(x)>0 i en (1,3) f(x)<0

F(x)=2x3

3x4

4xdx)x3x4x(

23423 +−=+−∫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

→4/9)3(F

12/5)1(F0)0(F

A= =− ∫∫3

1

1

0

)x(f)x(f 2F(1)-F(3)=1237

8

f(x)=4x-x^2

f(x)=x^2+2x

Relleno 1


-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

f(x)=x^3-4x^2+3x

Relleno 1


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Xavier Rabasa 41

Àrea que delimita la funció y= tg (x), amb l’eix OX i la recta x=π/4. RAONAMENT

f(x)=tan(x)

Relleno 1


-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

y

ln(cosx)tgxdx −=∫ si x = 0 tg x = 0 punt de tall ( 0 , 0 )

A = 2ln)2

1ln(lncos(0)/4)lncos(tgxdxπ/4

0

=−=+−=∫ π u. a.

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció

2

2

x1x)x(f+

= , l’eix OX (y=0) i les rectes verticals (x=-1) i (x=1).

RAONAMENT

f(x)=x^2/(1+x^2)

Relleno 1


-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

f(x) contínua a tot R i toca a l’eix horitzontal en x=0, i en tot x≠ 0 f(x) és positiva.

∫ ∫ −=+

−= arctgxxdx)x1

11(dx)x(f2

10

9

Xavier Rabasa 42

A= ∫−

=+

1

12

2

dxx1

x2

2)4

1()4

1( πππ−=+−−− u.a.

Calcular el valor d’m per tal que l’àrea del recinte limitat per la

corba 2x)x(f = i la recta g(x)=m x sigui 29 u. a.

RAONAMENT

Punts de tall d’ambdues funcions,

2

2

my0y

mx0x

mxyxy

==

⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

==

Si m>0 interval (0,m) amb g(x)>f(x) aleshores:

A= 0)3

m2

m(dx)xmx(dx))x(f)x(g(33m

0

2m

0

−−=−=− ∫∫

Si 3m27m29

6m 3

3

=⇒=⇒=

Si m<0 interval (m,0) amb g(x)>f(x) aleshores:

A= )3

m2

m(0dx)xmx(dx))x(f)x(g(330

m

20

m

−−=−=− ∫∫

Si 3m27m29

6m 3

3

−=⇒−=⇒=−

Solucions m=± 3

Calculeu l’àrea compresa per la funció xlny = , l’eix OX (y=0) i la recta tangent a la funció en el punt d’abscissa x=e.

12

11

f(x)=x^2

f(x)=3x

f(x)=-3x

Relleno 1


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Xavier Rabasa 43

RAONAMENT

Punt de tangència ( e , 1 ) m = y’(e)=1/e recta tangent y=(1/e)x( 0 , 0 ) punt de tall de la tangent i l’eix horitzontal xxxxdx −=∫ lnln

A = e/2 - 12e1)]([0

2elnxdx

2e e

1

−=−−−=− ∫ u. a.

Àrea limitada per x

x

exxe)x(f == − i les rectes (x=0) i

(y= l’ordenada en el seu punt màxim). RAONAMENT

ordenada del punt màxim:

)e1,1(P

e1y

1x0e

x1e

)x1(e)x('fxx2

x

⇒=⇒

=⇒=−

=−

=

∫ ∫ −−−− +−=+−= xxxx 1)e(xdxexedxxe

A= 1e3

e1x

e1f(x)dx

e1 1

0

1

0x

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+=− ∫ u. a.

Àrea limitada per la funció xey = , la seva recta tangent en el punt d’abscissa x=1 i l’eix vertical (x=0).

14

13

f(x)=x*e^(-x)

f(x)=1/e


-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

x

y

f(x)=ln(x)

f(x)=x/e


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

y

Xavier Rabasa 44

RAONAMENT

Punt de tangència, x = 1 ⇒ y = e punt A(1,e) Equació de la recta tangent: m=y’(1)=e i passa pel punt A(1,e) aleshores y – e = e ( x – 1 ) ⇒ y = ex

A= ∫ −=−−=−1

0

01x 12e

2e)ee(

2edxe u.a.

Àrea limitada per la corba xxey = , l’eix OY(x=0) i la recta (y=l’ordenada corresponent al punt mínim de la funció). RAONAMENT

punt mínim y’=ex(1+x)=0 ⇒ x=-1 punt A )e1,1( −

−

recinte⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

=

xxeye1y

0x F(x)= )1x(edxxe xx −=∫

A= [ ] 1e3)e2()1(

e1dxxe

e1 1

0

1

x −=−−−+=+ −

−∫ u.a.

15

f(x)=(e^x)x

f(x)=-1/e

Relleno 1


-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

f(x)=e^x

Relleno 1


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Xavier Rabasa 45

Àrea limitada per la corba: 3x2xy 2 +−−= i la recta (y=3). RAONAMENT Punts de tall:

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

===−=

=+−−=

3y0x3y2x

3y32xxy 2

c3xx3xdx)3x2x(ydx 2

32 ++−

−=+−−=∫ ∫

A = 6ydx0

2

−∫−

= (22/3)-6 = 4/3 u. a.

Trobeu l’àrea que delimita la funció f(x)=x2+1 amb la seva recta normal en x=1 i els eixos de coordenades. RAONAMENT

Punt de contacte (1,2) pendent de la

normal m =21

)1('y1

−=−

Equació de la recte normal 25x

21y +−=

Punt de tall de la normal amb l’eix horitzontal (5,0)

cx3xdx)1(xf(x)dx

32 ++=+=∫ ∫ A = 4

34

24·2f(x)dx

1

0

+=+∫ u. a.

Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: f(x) = - x4 + 2x2 i g(x) = 1.

18

17

16

f(x)=-x^2-2x+3

f(x)=3

Relleno 1


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

y

2− 0

f(x)=x^2+1

f(x)=(-x+5)/2


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Xavier Rabasa 46

RAONAMENT

Punts de tall d’ambdues funcions,

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

=±=

⇒+−=

=1y1x

x2xy1y

24

c3

2x5xf(x)dx

35

++−

=∫

B=21514)

32

512(ydx

1

0

=+−=∫ u. a. A=2-B=1516

15142 =− u. a.

Trobeu l’àrea compresa entre la funció 2x2

x)x(f2

−= i les rectes:

x=3 i g(x)=2. RAONAMENT

Punts de tall entre f(x) i g(x),

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

==

⇒=−

=2y2x

2y2x2

xy2

punt (2,2)

1)]ln(xx/2[x21f(x)dx 2 −++=∫

A= ln221

412(4)]ln2)3[(9/2

212f(x)dx

3

2

+−=−−++=−∫ u. a.

Àrea que tanquen les corbes: f(x)=-x2+2x i g(x)=x3(x - 2). RAONAMENT

20

19

f(x)=(x^2)/(2x-2)

f(x)=2

x(t )=3 , y(t )=t


0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x

3

f(x)=-x^4+2x^2

f(x)=1

Relleno 1


-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

Xavier Rabasa 47

f(x)=-x^2+2x

f(x)=x^4-2x^3


-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

punts de tall: x=0 x=2

2345

x3x

2x

5xf)dx(g −+−=−∫ A= 4

388

532f)dx(g

2

0−+−=∫ −

Àrea que tanca la funció: x

x

e1xe)1x()x(f −

=−= − i els eixos de

coordenades, (y=0) i (x=0) RAONAMENT

f(x)=(x-1)/e^x

Relleno 1


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

1x01x0y =⇒=−⇒= =−−=−

−= ∫ ))0(F)1(F(dxe

1xA1

0x

.a.ue1

∫∫ −−−−− −=−−−=+−−=−= xxxxxx xeee)1x(dxee)1x(dxe)1x()x(F

⎩⎨⎧

−===−=

−− xx evdxedvdxdu1xu

22

21

Xavier Rabasa 48

Trobeu l’àrea que determinen les funcions xlny = , 3y = i els eixos de coordenades ( x=0 ,y=0 ). RAONAMENT

f(x)=ln(x)

f(x)=3

Relleno 1


0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y

⎩⎨⎧

==

xln)x(g3)x(f

punts de tall 3ex3xln =⇒=

[ ] =−−=−=−=−= ∫∫ 0)e3e4(xlnxx4dx)xln3()x(g)x(fA 33e

0

e

0

e

0

33

3

3e

∫∫ −=−== xxlnxdx1xlnxxdxln)x(F

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

xvdxdv

dxx1duxlnu

Trobeu el valor d’a per tal que l’àrea que delimita la corba

axy 2 +−= amb l’eix OX (y=0), sigui igual a: 18 u.a. RAONAMENT

f(x)=-x^2+9

Relleno 1


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Tall amb l’eix OX ax0y

axy 2

±=⇒⎩⎨⎧

=+−=

23

Xavier Rabasa 49

∫ =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

=+−=a

0

a

0

32 aa

320aa

3aaax

3x2dx)ax(2A

Si 9a27aa18aa32

=⇒=⇒=

Calculeu l’àrea compresa per les corbes 2xy = , x1y = i la recta

x=2. RAONAMENT

f(x)=x^2

Relleno 1

f(x)=1/x

x(t )=2 , y(t)=t


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Punt de tall d’ambdues funcions 1x1xx1y

xy3

2

=⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ 0

312ln

38xln

3xdx

x1xA

2

1

32

1

2 2ln37− u.a.

Trobeu l’àrea que delimita 1xy 2 += , la seva tangent en x=1 i l’eix vertical (x=0). RAONAMENT

25

24

Xavier Rabasa 50

f(x)=x^2+1

f(x)=2x

Relleno 1


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Recta tangent en el punt (1,2)

⎩⎨⎧

===−=−

2)1(2)1('ym)1x(m2y

⇒ x2y =

( )[ ] =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=−+= ∫ 3

1238xx

3xdxx21xA

2

1

231

0

2

31 u.a.

Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: 24 x4xy −= i 4xy 2 −= . RAONAMENT

f(x)=x^2-4

f(x)=x^4-4x^2

Relleno 1


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Punts de tall entre les dues funcions

⎩⎨⎧

±==±==

⇒=+−⇒⎩⎨⎧

−=−=

2x4x1x1x

04x5x4xy

x4xy2

2

24

2

24

( ) ( )( )∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

=−−−=2

1

2

1

35242 x4

3x5

5x2dxx4x4x2A

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+− 4

335

53124

35

518

340

5322 =

1544 u.a.

26

Xavier Rabasa 51

Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: xxy 3 −= , x3y = . RAONAMENT

f(x)=x^3-x

Relleno 1

f(x)=3x


-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Punts de tall entre les dues funcions

⎩⎨⎧

±==

⇒⎩⎨⎧

==

⇒=−⇒⎩⎨⎧

=−=

2x0x

4x0x

x3xxx3y

xxy2

3

3

( ) ( )[ ] ( )∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=−−=

2

0

2

1

23 241842x2

4x2dxxxx32A

4

=29 u.a.

Àrea compresa entre 23 xxy −= i l’eix OX. RAONAMENT

f(x)=x^3-x^2

Relleno 1


-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Punts de tall amb l’eix d’abscisses ⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=−=

1x0x

1x0x

0yxxy 223

28

27

Xavier Rabasa 52

∫ =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

=−−=1

0

1

0

3423 0

31

41

3x

4xdx)xx(A

121 u.a.

Trobeu l’àrea compresa entre la funció 4x5x

xy2 +−

= i les rectes:

x = 5 i x = 7. RAONAMENT

f(x)=x/(x^2-5x+4)

Relleno 1

x(t)=5 , y(t)=t

x(t)=7 , y(t)=t


4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

x

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=⇒

=+−==+=

⇒=−+−⇒−

+−

=−−

31A

34B

10A31x4B304x

x)1x(B)4x(A4x

B1x

A)4x)(1x(

x

∫ −+−=−−

= )4xln(B)1xln(Adx)4x)(1x(

x)x(F =

= 4xln341xln

31

−+−−

04ln313ln

346ln

31)5(F)7(Fdx

4x5xxA

7

52

−++−

=−=+−

= ∫ u.a.

29

Xavier Rabasa 53

Àrea que tanquen les corbes: )1xln(y 2 += i 5lny = * )(arctg)(arctg αα −=− . RAONAMENT

f(x)=ln(x^2+1)

Relleno 1

f(x)=ln(5)


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Punts de tall entre les funcions 2x4x5lny

)1xln(y 2

2

±=⇒=⇒⎩⎨⎧

=+=

( ) [ ]∫ ∫ +−=+−=2

0

2

0

22

02 dx)1xln(25lnx2dx)1xln(5ln2A

=−+− 2arctg485ln45ln4 2arctg48 − u.a.

2arctg245ln20)2arctg245ln2()0(F)2(Fxvdxdv

dx1x

x2du)1xln(u

c)x(arctg2x2)1xln(x

dx1x

x2)1xln(xdx)1xln()x(F

*

2

2

2

2

222

+−=−+−=−

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

==+

=+=

++−+=

=+

−+=+= ∫ ∫

EXERCICIS PROPOSATS

Àrea que tanquen les corbes 1xy −= i 2y = .

31

30

Xavier Rabasa 54

f(x)=abs(x-1)

f(x)=2

Relleno 1


-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Sol. A = 4 u.a.

Àrea que tanquen les corbes: x2xy 2 −= i )2x(xy 3 −=

f(x)=x^2-2x

Relleno 1

f(x)=(x-2)(x^3)


-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Sol.

A = .a.u154

Àrea que tanquen les corbes: 24 x2xy +−= , 2xy += , 2xy +−= .

f(x)=2-abs(x)

f(x)=-x^4+2x^2

Relleno 1


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Sol.

A = .a.u1531

Àrea que tanquen les funcions: 2x2y −= i xy = .

f(x)=2-x^2

f(x)=abs(x)

Relleno 1


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Sol.

A = .a.u37

34

33

32

Xavier Rabasa 55

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la corba x3xy 2 −= i l’eix OX

f(x)=x^2-3x


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Sol.

A = .a.u29

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la corba )3x)(1x(xy −−= i l’eix OX .

f(x)=(x)(x-1)(x-3)

Relleno 1


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Sol.

A = .a.u1237

Calculeu l’àrea del recinte limitat per la corba x8x6xy 23 +−= i l’eix OX.

37

36

35

Xavier Rabasa 56

f(x)=x^3-6x^2+8x

Relleno 1


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Sol. A = .a.u8

Documents

Integrals 1