of 31/31
Integrarea şi derivarea numerică 161 5. Integrarea şi derivarea numerică Fie f : [a,b] R o funcţie integrabilă. Dacă putem găsi o primitivă F a funcţiei f, atunci conform formulei LeibnizNewton avem ) ( ) ( ) ( a F b F dx x f b a = . Dacă nu putem găsi o primitivă F a funcţiei f, atunci pentru calculul integralei vom folosi o metodă numerică aproximativă. b a dx x f ) ( O abordare firească este să aproximăm funcţia f printrun polinom, de exemplu prin polinomul de interpolare a lui Lagrange şi să integrăm acest polinom. Prin formulă de integrare numerică (cuadratură numerică) se înţelege o formulă de următorul tip (1) ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 1 f R x f A x f A dx x f x w n n b a + + + = unde { x i } se numesc noduri, iar { A i } se numesc coeficienţi. Funcţia w este o funcţie fixată, integrabilă, care se numeşte funcţia pondere. În multe cazuri w(x)=1, () x [a,b]. Despre funcţia f se presupune că este integrabilă pe [a,b] şi definită în nodurile { x i }. Cu R( f ) se notează eroarea de aproximare a integralei. Definiţia 1. Formula (1) se spune că este exactă pentru funcţia f dacă R( f ) = 0, deci dacă ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n b a x f A x f A x f A dx x f x w + + + = . Formula (1) se spune că este de gradul m dacă: (i) este exactă pentru orice polinom de grad cel mult m ; (ii) există un polinom de gradul (m+1) pentru care formula (1) nu este exactă.

Integrarea şi derivarea numerică

  • View
    386

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of Integrarea şi derivarea numerică

Integrarea i derivarea numeric

161

5. Integrarea i derivarea numeric

Fie f : [a,b] R o funcie integrabil. Dac putem gsi o primitiv F a funciei f, atunci conform formulei LeibnizNewton avemb a b

f ( x )dx = F (b) F (a ) .

Dac nu putem gsi o primitiv F a funciei f, atunci pentru calculul integralei

a

f ( x )dx

vom folosi o metod numeric aproximativ.

O abordare fireasc este s aproximm funcia f printrun polinom, de exemplu prin polinomul de interpolare a lui Lagrange i s integrm acest polinom. Prin formul de integrare numeric (cuadratur numeric) se nelege o formul de urmtorul tipb a

w( x ) f ( x )dx = A1 f ( x1 ) + ... + An f ( xn ) + R( f )

(1)

unde { xi } se numesc noduri, iar { Ai } se numesc coeficieni. Funcia w este o funcie fixat, integrabil, care se numete funcia pondere. n multe cazuri w(x)=1, () x [a,b]. Despre funcia f se presupune c este integrabil pe [a,b] i definit n nodurile { xi }. Cu R( f ) se noteaz eroarea de aproximare a integralei.Definiia 1. Formula (1) se spune c este exact pentru funcia f dac R( f ) = 0, deci dac

a

w( x ) f ( x )dx = A1 f ( x1 ) + A2 f ( x2 ) + ... + An f ( xn ) .

b

Formula (1) se spune c este de gradul m dac: (i) este exact pentru orice polinom de grad cel mult m ; (ii) exist un polinom de gradul (m+1) pentru care formula (1) nu este exact.

162

Bazele Analizei Numerice

Teorema 1. Pentru orice n noduri distincte, x1, ..., xn , exist n constante A1, A2, ..., An (care nu depind de f ) astfel nct formula

w( x) f ( x )dx = A1 f ( x1 ) + A2 f ( x2 ) + ... + An f ( xn ) + R( f )a

b

este exact pentru orice polinom de grad cel mult (n1). Demonstraie. Fie Pn 1 ( x) = Li ( x) f ( xi )i =1 n

polinomul lui Lagrange, care interpoleaz funcia f n nodurile { xi }, i = 1, n . Reamintim c n x xj . Li ( x) = j =1 xi x jj i

Dac notm cu atunci E(f ; x) = f(x)Pn1(x) , f ( x) = Li ( x) f ( xi ) + E ( f ; x)i =1 n

i mai departeb b w( x ) L ( x )dx f ( x ) + w( x ) E ( f ; x )dx . w( x ) f ( x )dx = i i i =1 a a a Notm cu

b

n

Ai = w( x ) Li ( x )dx , i = 1, n .a

b

Evident Ai nu depind de f , ci de a, b, nodurile xi i de ponderea w. Dac notm cu

R( f ) = w( x ) E ( f ; x )dx ,a

b

atunci

w( x) f ( x )dx = A1 f ( x1 ) + A2 f ( x2 ) + ... + An f ( xn ) + R( f ) .a

b

Dac f este un polinom de grad cel mult (n1), atunci E(f;x)=0 i deci R( f )=0 (Capitolul IV, 1, Observaia 1). Exist trei tipuri de formule de integrare numeric:

Integrarea i derivarea numeric

163

1. Formule NewtonCtes, 2. Formule Gauss, 3. Formule Romberg. n cele ce urmeaz vom prezenta primele dou tipuri de formule.

5.1. Formule Newton-CtesPresupunem intervalul [a,b] finit, nodurile echidistante ba i w(x)=1, pentru orice x[a,b]. xi = a+ih, unde h = n n x xj i fie Pn polinomul Lagrange care Fie Li ( x) = i =0 xi x jj i

interpoleaz funcia f n nodurile x0, x1, ..., xn . Avem Pn ( x) = Li ( x) f ( xi ) .i =0 n

Dac facem schimbarea de variabil x=a+th, atunci , aa cum sa vzut n 4.1, avemn ( 1) n i C i ~ n n +1 (t ) Pn (t ) = Pn (a + th) = f ( xi ) n! t i i =0 (t ) ~ E ( f ; t ) = n+1 h n+1 f ( n+1) ( t ) , (n + 1)!

i

unde

n +1 (t ) = t (t 1)(t 2)...(t n) . n continuare avemb a

f ( x)dx = Pn ( x)dx + E ( f ; x)dx .a a

b

b

Cu schimbarea de variabil x=a+th, obinem b n~ n~ f ( x)dx = Pn (t )hdt + E ( f ; t )hdt =a 0 0 n ( 1)n i C i n = h n! i =0

h n+2 n ( n +1) n +1 (t ) ( t )dt . dt f ( xi ) + n +1 (t ) f (n + 1)! 0 t i 0 n

Introducem notaiile:

164

Bazele Analizei Numericei (1) n i C n n! n 0 n +1 (t )

di =

t i

dt , i=0 ,n

(2)

i R( f ) = h n+ 2 n ( n +1) ( t )dt . n+1 (t ) f (n + 1)! 0 (3)

Numerele { di }, i = 0, n , se numesc coeficienii NewtonCtes. Prin urmare avemb a

f ( x)dx = Ai f ( xi ) + R( f )i =0

n

(4)

unde Ai = hdi , i = 0, n . Primele trei formule NewtonCtes au nume speciale. Dac n=1 obinem formula trapezelor. n acest caz h = ba,d0 =0 1 1 1 (1)1 C1 1 t (t 1) (1) 0 C1 1 t (t 1) 1 1 dt = (t 1)dt = , d1 = dt = tdt = t 1! 2 1! 2 0 t 1 0 0 0

Rezult A1 = A2 =

h 2

.

Formula trapezelor este b ba [ f (a) + f (b)] + R( f ) f ( x)dx = 2 a R( f ) = h3 1 f " ( t ) t (t 1)dt . 2 0

(5)

Dac fC2[a,b] i notm cuR( f ) 3 1

M2=sup{ f"(x); x[a,b] } atunci (6)

(b a ) M 2 (b a ) 3 M2 t (t 1) dt = 2 12 0

y

f

O

a

b

x

Integrarea i derivarea numeric

165

Din punct de vedere geometric formula trapezelor (5) revine la a aproxima aria mulimii plane mrginit de graficul funciei f , axa Ox i dreptele x = a, x= b cu aria trapezului haurat n figur. ba , Dac n=2 obinem formula Simpson. n acest caz h = 20 (1) 2 C 2 2 t (t 1)(t 2) 12 1 dt = (t 2 3t + 2)dt = d0 = t 2! 20 3 0

d1 =

(1)1 C 1 2 2!

2 t (t

d2 =

(1) 2!

0

0 2 2 C 2 t (t

2 1)(t 2) 4 dt = (t 2 2t )dt = t 1 3 0

0

1)(t 2) 1 12 dt = (t 2 t )dt = . 3 20 t2

Formula Simpson este b ba a+b f ( x)dx = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) + R( f ) . 6 a Se poate arta c dac fC4[a,b] atunci M 4 (b a) 5 2880 unde M4=sup{ f IV (x) ; x[ a,b ] }. n sfrit, dac n=3, atunci ba 3 9 h= ; d 0 = d 3 = ; d1 = d 2 = . 3 8 8 Se obine formula 3/8 a lui Simpson b ba [ f (a) + 3 f (a + h) + 3 f (a + 2h) + f (b)] + R( f ) . f ( x)dx = 8 a R( f )

(7)

(8)

(9)

Pentru o mai bun aproximare a integralei se folosesc formulele NexwtonCtes repetate. Dac mprim intervalul [ a, b ] n n subintervale egale i aplicm formula (5) fiecrui interval [ xi1, xi ] , obinem: b n xi n x x i 1 [ f ( xi 1 ) + f ( xi )] + Ri ( f ) . f ( x)dx = f ( x)dx = i 2 i =1 x i =1 ai 1

ba Cum xi xi 1 = , x0 = a i xn = b avem n b n 1 ba f ( x)dx = f (a) + f (b) + 2 f ( xi ) + R( f ) 2n i =1 a unde

(10)

166

Bazele Analizei Numerice

M2 b a M2 (b a )3 . = 2 12 n 12n Formula (10) se numete formula trapezelor repetat. R( f ) n

3

(11)

Dac mprim intervalul [a,b] n 2n subintervale egale i aplicm formula Simpson (7) fiecrui interval [x2i2,x2i], obinem formula Simpson repetat b n n1 ba (12) f (a) + f (b) + 4 f ( x 2i 1 ) + 2 f ( x2i ) + R( f ) f ( x)dx = 6n i =1 i =1 a unde

R( f ) Dac notm cu

M4 2880n 4

(b a )5

.

(13)

T n =

n1 ba f (a) + f (b) + 2 f ( xi ) 2n i =1

i cuS n = n n 1 ba f (a ) + f (b) + 4 f ( x 2i 1 ) + 2 f ( x 2i ) , 6n i =1 i =1

T S atunci se poate arta c n i n sunt sume Riemann, sau combinaii liniare de sume Riemann ataate funciei f i c

n

T S lim n = f ( x)dx, lim n = f ( x)dx . a n a

b

b

Calculul aproximativ al integralelor definite folosind pachetul de programe MATLAB n MATLAB se afl programate metodele trapezelor, Simpson i 3/8 Simpson (funciile trapz, quad i quad8). Pentru calculul integralelor definite cu formula trapezelor trebuie s se cunoasc X, vectorul absciselor i Y, vectorul (matricea) valorilor funciei (funciilor) corespunztoare absciselor date de X. Secvena de apelare este: Z=trapz(X), cnd se calculeaz o singur integral i Z este un numr, valoarea integralei, sau Z =trapz(X,Y), cnd se calculeaz mai multe integrale deodat i Z este vectorul valorilor integralelor calculate. Aceast funcie consider h=1, iar atunci cnd h 1 , se nmulete cu h funcia trapz, aa cum se va vedea n exemplul urmtor.Exemplul 1. S se calculeze valoarea aproximativ a integralei2.5 0.5 2 sin( x )dx ,

folosind funcia MATLAB trapz , i lund pasul h=0.1 .

Integrarea i derivarea numeric

167

Fiierul de tip m cu care se realizeaz aceast cerin este: % Calculul integralelor cu metoda trapezelor function z=trapez x=.5:0.1:2.5; %limita inferioara: pasul: limita superioara y=sin(x.^2); % integrandul z=0.1*trapz(y); % se inmulteste cu pasul, implicit pasul fiind 1 disp('Valoarea aproximativa a integralei'); Apelarea se face scriind trapez, iar valoarea afiat este 0.3924 . Pentru calculul integralelor definite cu una din formulele Simpson trebuie s se cunoasc X, vectorul absciselor i s se creeze un fiier de tip m care conine secvena de definire a funciei de integrat. Funciile quad i quad8 se apeleaz cu una din formele: quad('f',a,b) quad8('f',a,b) quad('f',a,b,err) quad8('f',a,b,err) quad('f',a,b,err,urma) quad8('f',a,b,err,urma) unde: f - este numele unui fiier funcie (de tip m ) care conine descrierea funciei de integrat; a, b - sunt limitele de integrare; err - eroarea relativ admis ntre doi pai consecutivi (implicit este 103); urma - dac este diferit de zero, se afieaz pe ecran valorile intermediare. Dac nu se cunoate expresia analitic a funciei, ci doar X , vectorul absciselor, i Y, vectorul valorilor funciei n aceste puncte, atunci se interpoleaz funcia i se consider fiierul f, de tip m, care conine funcia de interpolare, dup care se calculeaz integrala din aceast funcie. Pentru exemplu de mai sus se creeaz fiierul f cu funcia de integrat: % Fisierul cu functia de integrat numit f de tip m function g=f(x) g=sin(x.^2); % integrandul dup care se apeleaz cu secvena: quad('f',0.5,2.5,0.00001) i se va afia valoarea 0.3890 . Am considerat eroarea relativ dintre doi pai consecutivi 105. unde: f - este numele unui fiier funcie (de tip m ) care conine descrierea funciei de integrat; a, b - sunt limitele de integrare; err - eroarea relativ admis ntre doi pai consecutivi (implicit este 103); urma - dac este diferit de zero, se afieaz pe ecran valorile intermediare. Dac nu se cunoate expresia analitic a funciei, ci doar X , vectorul absciselor, i Y, vectorul valorilor funciei n aceste puncte, atunci se interpoleaz funcia i se consider fiierul f, de tip m, care conine funcia de interpolare, dup care se calculeaz integrala din aceast funcie. Pentru exemplu de mai sus se creeaz fiierul f cu funcia de integrat: % Fisierul cu functia de integrat numit f de tip m

168

Bazele Analizei Numerice

function g=f(x) g=sin(x.^2); % integrandul dup care se apeleaz cu secvena: quad('f',0.5,2.5,0.00001) i se va afia valoarea 0.3890. Am considerat eroarea relativ dintre doi pai consecutivi 105.

5.2. Formule GaussAa cum am vzut n Teorema 1, pentru orice n noduri distincte x1, ..., xn , exist n constante A1, ..., An , astfel nct formulab a

w( x) f ( x)dx = A1 f ( x1 ) + A2 f ( x 2 ) + ... + An f ( x n ) + R( f )

(1)

este exact pentru orice polinom de grad cel mult (n1). n anumite cazuri, aceast formul este exact i pentru polinoame de grad mai mare. De exemplu, formula Simpson, care corespunde la 3 noduri echidistante, este exact pentru polinoame de grad cel mult 3. n cele ce urmeaz vom stabili care este gradul maxim de exactitate al formulei (1). Vom arta c pentru n noduri, gradul maxim de exactitate este (2n1) i aceast se ntmpl pentru formula Gauss, cnd nodurile sunt rdcinile unor polinoame ortogonale. De acum nainte vom presupune c 0 w, w este continu pe [a,b] i w(x) = 0 numai pentru un numr finit de puncte din [a,b].Definiia 1. Dacb a

w( x) f ( x) g ( x)dx = 0

atunci spunem c funciile f i g sunt ortogonale pe [a, b] n raport cu ponderea w.* Teorema 1. Pentru orice n N , exist un polinom Pn , de gradul n, care este ortogonal pe [a, b] n raport cu ponderea w, pe orice polinom de grad cel mult (n1). Acest polinom este unic n afara unui factor constant de multiplicare nenul. Demonstraie. Demonstraia este constructiv. Vom arta c se pot determina a0, a1, ..., an astfel nct

b

a

w( x) (a0 + a1 x + ... + a n x

n

)Q( x) dx = 0

pentru orice polinom Q de grad cel mult (n1).

Integrarea i derivarea numeric

169

Observm c dac f este ortogonal pe g atunci f este ortogonal pe g. Rezult c putem presupune an = 1. Observm de asemenea c dac f este ortogonal pe g1 i g2 , atunci f este ortogonal pe 1g1+2g2 , oricare ar fi constantele 1 i 2. Rezult c este suficient s determinm a0, a1, ..., an1 astfel nct pentru orice m{0, 1, ..., n1} s avem:b

a

w( x)(a0 + a1 x + ... + a n1 x

n 1

+ x n x m dx = 0

)

(2)

Dac introducem notaiab a k w( x) x dx = c k

(3)

atunci, dndui lui m pe rnd valorile 0, 1, ..., (n1) n relaia (2) obinem: a 0 c0 + a1c1 + ... + a n1c n 1 = c n a c + a c + ... + a c = c 0 1 1 2 n 1 n n +1 (4) M a 0 c n 1 + a1c n + ... + a n 1c 2n 2 = c 2n 1 Problema ar fi rezolvat dac am arta c detC 0, unde c1 L c n 1 c0 cn c1 c 2 L C = . M M M M c n 1 c n L c 2n 2 Presupunem prin absurd c detC = 0. Atunci exist 0, 1, ..., n1 nu toi nuli, astfel nct + 1c1 + ... + n1c n 1 =0 0 c0 c + n 1c n =0 0 1 + 1c 2 + ... (5) M 0 c n 1 + 1c n + ... + n1c 2n 2 = 0 . nlocuind expresiile coeficienilor ck dai de relaiile (3) n (5) rezult: b n 1 dx = 0 w(x) 0 + 1 x + ... + n 1 x a . (6) M b n 1 + 1 x n + ... + n1 x 2n 2 dx = 0 w(x) 0 x a Amplificnd pe rnd, prima relaie cu 0, a doua cu 1 , i aa mai departe, i adunndule, rezult

(

)

(

)

170

Bazele Analizei Numericeb n 1 2 dx = 0 w( x) 0 + 1 x + ... + n1 x

a

[

]

(7)

w(x) [0+1x+ ... +n1xn1]2 = 0 pentru orice x[a,b]. Cum w se anuleaz numai ntrun numr finit de puncte din [a,b], rezult 0+1x+ ...+n1xn1=0. Am ajuns astfel la o contradicie. Aadar, detC 0 deci sistemul (4) admite soluie unic. * * * Dac notm cu a 0 , a1 , ..., a n 1 soluia sistemului (4), atunci* * * * Pn ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n1 x n1 + x n

Din (7) rezult:

i cu aceasta teorema este demonstrat. Polinoamele ortogonale ponderea w i de intervalul [a,b]. Intervalul [1,1] [1,1] [1,1] Ponderea w(x)=1 1 w(x)= 1 x2 w(x)= 1 x 2 w(x)= e x w(x)=ex

{ Pn* }

au diferite denumiri n funcie de

* Numele polinomului Pn Polinomul Legendre Polinomul Cebev de spea I

Polinomul Cebev de spea II Polinomul Hermite Polinomul Laguerre

( , )

2

[0, )[1,1]

w(x)=(1x) (1+x) , , >1

Polinomul Jacobi

{ }* Pn

n continuare vom exemplifica cum se pot construi polinoamele ortogonale cu ajutorul Teoremei 1. Fie [a,b] = [1,1] i w(x)=1. 2 1 pentru k par 1 k + 1 x k +1 k = c k = x dx = (8) k +1 1 1 0 pentru k impar S construim de exemplu polinomul Legendre de gradul 3. Sistemul (4)

devine:

Integrarea i derivarea numeric

171

c 0 a 0 + c1a1 + c 2 a 2 = c3 c1a 0 + c 21a1 + c3 a 2 = c 4 c a + c a + c a = c 3 1 4 2 5 2 0 nlocuind (8) n (9) rezult 2 a 0 + 2 a1 3 2a 3 0 care admite soluia: a0 = a2 = 0 ; a1 =

(9)

2 a2 3 2 a2 5

=0 = 2 5

+

=0

3 3 * . Aadar, P3 ( x) = x 3 x . 5 5 Primele ase polinoame Legendre sunt: 1 6 3 3 10 15 x 1 ; x ; x2 ; x3 x ; x4 x2 + ; x5 x3 + 3 7 35 5 9 63 1 . Fie [a,b] = [1,1] i w(x)= 2 1 x 1 1 1 x 1 c0 = dx = arcsin x 1 = ; c1 = dx = 0 . 1 1 x 2 1 1 x 2Pentru calculul coeficienilor c k = 1

xk 1 x2

dx , facem schimbarea de

1

variabil x = sin t i obinem

c k = sin k xdx =

2

k 1 k 1 2 k 2 ck 2 . xdx = sin k k 2

2

Rezult ck = 0 pentru orice k impar i 5 3 3 c2 = ; c 4 = ; c 6 = etc. 6 4 2 4 2 2 * S determinm polinomul Cebev de spea I, T3 . Sistemul (4) devine a 0 + a1 2 a + 2 0

2

a2

=0 = 3 8

4

a2

=0

172

Bazele Analizei Numerice

3 3 * care admite soluia: a0 = a2 = 0, a1 = . Aadar T3 = x 3 x . 4 4 n Capitolul IV, 3 am artat c polinomul Cebev de gradul trei este: T3(x)=4x33x. Dup cum am precizat n Teorema 1, polinomul ortogonal se determin n afara unui factor constant de multiplicare. * * Observm c avem T3 = 4 T3 i n general Tn=2n1 Tn , nN.* Teorema 2. Fie Pn un polinom de gradul n care este ortogonal pe intervalul [a,b] n raport cu ponderea w, pe orice polinom de grad mai mic ca n. Atunci * zerourile polinomului Pn sunt reale, simple i aparin intervalului [a, b]. Demonstraie. * Fie xi , i = 1, k , zerourile polinomului Pn i fie mi ordinul de multiplicitate al zeroului xi. Rezult

* Pn ( x) = ( x x1 ) m1 ... ( x x k ) mk , unde m1+ m2+...+ mk = n. Presupunem c numerotarea zerourilor sa fcut astfel nct x1, ..., xl , l k sunt zerouri reale, aparin intervalului [a, b] i au ordinele de multiplicitate impare. Dac l = n , teorema este demonstrat. S presupunem c l < n . Considerm atunci polinomul Ql(x)=(xx1)(xx2)...(xxl). * (Dac l = 0, atunci alegem Q0 = 1). Rezult c polinomul produs Pn ( x )Ql ( x ) pstreaz semn constant pe [a,b], decib

a

w( x) Pn ( x)Ql ( x)dx 0 ,

*

* ceea ce contrazice faptul c Pn este ortogonal pe Q l.

Prin formul de cuadratur Gauss se nelege orice formulb a

w( x) f ( x)dx = A1 f ( x1 ) + A2 f ( x 2 ) + ... + An f ( x n ) + R( f ) ,

(1)

* unde nodurile x1, x2, ..., xn sunt zerourile polinomului Pn care este ortogonal pe [a, b], n raport cu ponderea w , pe orice plinom de grad mai mic ca n. Vom avea astfel formule de cuadratur de tip GaussLegendre, GaussCebev, GaussHermite etc.

Teorema 3. Orice formul de cuadratur de tip Gauss are gradul de exactitate 2n1.

Integrarea i derivarea numeric

173

Demonstraie. Din Teorema 1 din introducerea n Capitolul V , tim c formula (1) este exact pentru polinoame de grad mai mic ca n. Fie Qm un polinom de gradul m, unde m{ n, n+1, ..., (2n1) }. Din teorema mpririi avem * Qm ( x ) = Qm n ( x ) Pn ( x) + Rn 1 ( x ) ,

unde Rn1 este un polinom de gradul n1. Fie xk, k = 1, n , zerourile polinomului* Pn . Evident, rezult

Qm(xk) = Rn1(xk), k = 1, n . n continuare avem:b b

(10)*b

a

w( x)Qm ( x)dx = w( x) Pn ( x)Qmn ( x)dx + w( x) Rn1 ( x)dx .a a* Pn

Deoarece

este ortogonal pe Qmn rezult:b a

w( x)Qm ( x)dx = w( x) Rn1 ( x)dx .a

b

innd seama c formula (1) este exact pentru Rn1 obinemb a

w( x)Qm ( x)dx = A1 Rn1 ( x1 ) + ... + An Rn1 ( x n ) .b

n sfrit, innd seama i de (10) rezulta

w( x)Qm ( x)dx = A1Qm ( x1 ) + ... + An Qm ( x n ) ,

deci formula (1) este exact pentru orice polinom de grad mai mic ca 2n. * Pe de alt parte dac notm cu g = ( Pn )2, atunci g este un polinom de grad 2n i restul

R( g ) = w( x) g ( x)dx Ai g ( xi ) = w( x) g ( x)dx > 0 .a i =1 a

b

n

b

Aadar, formula (1) nu este exact pentru acestei formule este 2n1.

g, deci gradul de precizie al

Observaia 1. Orice formul de cuadratur care are gradul de precizie (2n1) este o formul Gauss. ntradevr, considerm formulab a

w( x) f ( x)dx = A1 f ( z1 ) + A2 f ( z 2 ) + ... + An f ( z n ) + R( f )

(11)

cu gradul de exactitate (2n1). Notm cu Un(x)=(xz1)...(x zn).

174

Bazele Analizei Numerice

Dac Q este un polinom de grad mai mic ca n, atunci polinomul produs UnQ , are gradul cel mult 2n1 i formula (11) este exact pentru acest polinom. Rezultb a

w( x)U n ( x)Q( x)dx = AiU n ( z i )Q( z i ) = 0 .i =1

n

Rezult c Un este un polinom de gradul n, care este ortogonal, n raport cu ponderea w, pe orice polinom de grad cel mult (n1) . Din Teorema 1 * * rezult c Un = c Pn i deci c z1, ..., zn sunt zerourile polinomului Pn . Aadar, formula (11) este o formul Gauss.Observaia 2. Coeficienii Ak din formula Gauss sunt pozitivi. * ntradevr, fie xk, k = 1, n , zerourile polinomului Pn , i fie

Qj(x) =

i =1 i j

(x x j ) 2 .

n

Evident, gradQj = 2n2 i Qj(xi) = 0 dac ij. Deoarece Qj 0 i formula (1) este exact pentru Qj rezult

0 < w( x)Q j ( x)dx = Ai Q j ( xi ) = A j Q j ( x j ) ,a i =1

b

n

deci Aj > 0. n particular, obinemb

Aj =

a

w( x)Q j ( x)dxQ j (x j ) , j=1,n .(12)

Formula (12) permite calculul coeficienilor din formula Gauss.* Teorema 4. Fie xi( n ) , i=1,n , zerourile polinomului Pn i fie Ai( n ) , i = 1, n , coeficienii din formula Gauss corespunztoare.

Dac f : [a,b] R este continu i I n = Ai( n ) f ( xi( n) ) , atuncii =1

n

n

lim I n = w( x) f ( x)dx .a

b

Demonstraie. Din teorema Weierstrass (Capitolul IV, Teorema 4) rezult c pentru orice > 0 exist un polinom P astfel nct f ( x) P ( x) < pentru orice x[a, b] .

Fie n > grad P . Atunci formula Gauss este exact pentru P i avem:

Integrarea i derivarea numericb b n

175

a

( n) ( n) w( x) f ( x) dx I n = w( x) f ( x) dx Ai f ( xi ) a i =1 b

w( x) f ( x) P ( x) dx + Ai( n) P ( xi( n) ) f ( xi( n) )