Calculus 1

1

��ก��������ก�� �������� ����ก���������� ������ �ก���� �!������ ����ก����ก"�#�� $�%� ��������&����� �ก���� ���������'�ก�� (����)��*�+(�,�� ,&%�,#����-ก���� �������� ����ก����+��(����) สูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัพชีคณติสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัพชีคณติสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัพชีคณติสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัพชีคณติ

1. 0dx

dc=

2. 1dx

dx=

3. 1nn

x.ndx

dx −=

4. dx

dv

dx

du

dx

)vu(d±=

±

5. dx

du.c

dx

)u.c(d=

6. dx

du.

c

1

dx

)c

u(d

=

7. dx

duu.n

dx

du 1nn

−=

8. dx

du.v

dx

dv.u

dx

)v.u(d+=

9. 2v

dx

dv.u

dx

du.v

dx

)v

u(d −

=

ความหมายและสัญลักษณของการหาปริพันธ

บทที ่บทที ่บทที ่บทที ่4444 ปรพินัธของฟงกชนั ปรพินัธของฟงกชนั ปรพินัธของฟงกชนั ปรพินัธของฟงกชนั ( Integration)( Integration)( Integration)( Integration)

ทบทวนสตูรการหาอนพุนัธทบทวนสตูรการหาอนพุนัธทบทวนสตูรการหาอนพุนัธทบทวนสตูรการหาอนพุนัธ

สูตรการหาอนพุนัธของฟสูตรการหาอนพุนัธของฟสูตรการหาอนพุนัธของฟสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึงกชนัลอการิทมึงกชนัลอการิทมึงกชนัลอการิทมึ

1. dx

duelog

u

1

dx

ulogda

a =

2. dx

du.

u

1

dx

ulnd=

สูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึ

1. dx

dualna

dx

ad uu

=

2. dx

due

dx

ed uu

=

3. dx

dvu.uln

dx

duu.v

dx

ud v1vv

+= −

สูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึสูตรการหาอนพุนัธของฟงกชนัลอการิทมึ

1. dx

duucos

dx

usind=

2. dx

duusin

dx

ucosd−=

3. dx

duusec

dx

utand 2=

4. dx

duueccos

dx

ucotd 2−=

5. dx

duutan.usec

dx

usecd=

6. dx

duucot.ueccos

dx

ueccosd−=

Note8888888888888888888888888888888888888888888

888888888888888888888888888888888888888.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Calculus 1

2ก���� �!������ $����� ���*�����,#��9���!����&��,:*��� ก��ก�;�����,#��9 ���!��

<!%=�,%������ ���#�+ ������!�� ��� > �ก��ก ��'� �!��=�,%�� �!=�ก���=�,%�� ��;,���=�,%�� ?�� �ก���� �!�����������ก�'� " !��!ก��� ��� �!�����" �-'�� $� 2 ��!( � 1. �!�����+�'�#�ก�(��% (Indefinite Integrals) 2. �!������#�ก�(��% (definite Integrals) ปริพันธไมจํากัดเขต (Indefinite Integrals) ����� ก#���(��� )x(f ′ � $����ก������������%' ���� � ��;���O*� �������� ����ก���� f :*��

� $�%��+�'���-'� ����ก�� !��!�ก�%�;� $�ก����'�� � f(x) :*�����ก�'� �!����� ��� !��!ก���+�'�#�ก�(��% ��� !��(��Q�!% !��!ก��� (Indefinite Intergral) :*������ &'���& ( ) ( ) f x dx F x C= +∫

�!��ก���� R!�������� ���ก�'� ก���� �!����� (Integration) O�������ก���� F ���#����

( ) ( )d

F x f xdx

=

�������ก������� &'���& ( )F x c+ ก"� $� R!��������� � ( )f x (�� ��;������(�� ( ) ( ) f x dx F x C= +∫ (1)

,�ก�� (1) ���ก ���������� �����ก���� (indefinite integral) � � ( )f x ��'�ก�- ( )F x -�ก c

���ก���� ���� ∫ �'� ����������������� (Integral sign)

���ก ( ) f x �'� %��O&ก�� �!����� (Integrand) ��� �!����� ,'�� dx ���ก�'�� ���� (differential) � � x

��ก���� R!��������� $��!��ก�����(#���!�ก��%������ก�-ก���� ������� (����)�O�����������ก��

�� �������� $� '��(�����ก���� R!���������ก"�;�#����������+(��'��*)� ,&%�,#����-ก���� �!��������ก�������<!%��(����)

���ก������� � � ���ก�����������+(�T(����!���� :*�� �;ก -(��'��%�� %��� ���;���� ���� -�ก �- ��� ก�<U� (���� ��'�

155 +− xx � $�%��

การหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณติการหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณติการหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณติการหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณติ

Calculus 1

3

สูตรเบือ้งตนสาํหรบัการหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณิตสูตรเบือ้งตนสาํหรบัการหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณิตสูตรเบือ้งตนสาํหรบัการหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณิตสูตรเบือ้งตนสาํหรบัการหาปรพินัธของฟงกชนัพชีคณิต

��� u , v, w � $����ก����� � x ��; c, a, n � $�'����� �!����� ����'� ∫ −+− dx)7x2x4x3( 35

!��"#��

cx7xx2

x

cx72

x2

4

x4

6

x3

cx711

x2

13

x4

15

x3

dx7xdx2dxx4dxx3

dx7xdx2dxx4dxx3dx)7x2x4x3(

246

246

111315

35

3535

+−+−=

+−+−=

+−

++

+−

+=

−+−=

−+−=−+−

+++

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫

�!����� ����'� ∫ +− dx)x

2

x

6x5(

33

!��"#�� ∫ +− dx)x

2

x

6x5(

33dxx2dxx6dxx5 3

132

1

∫∫∫−

− +−=

cx3x

3

3

x10

c

3

2x

22

x6

2

3x

5

c1

3

1x

213

x6

12

1x

5

dxx2dxx6dxx5

3

2

2

2

3

3

222

3

13

113

12

1

3

132

1

+++=

+

+

−−

=

+

+−+

+−−

+=

+−=

−

+−+−+

−−∫ ∫ ∫

1. ∫ = Cdx0

2. ∫ += cxdx

3. ∫ ∫= dxaadx

4. 1n,c1n

xdxx

1nn −≠+

+=∫

+

5. 1n,c1n

uduu

1nn −≠+

+=∫

+

6. ∫ ∫= duuaduau nn

7. ∫ ∫ ∫ ∫±±=±± dwdvdudwdvdu

Calculus 1

4

�������� ����'� �!�����%' + ��)

1. dx3x8x3x4 10

1

5

2

4

3

−+−∫ 2. dxx2

10x8x6x43

57

∫−−−

3. x3x2x3x6 24 +−+∫

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Calculus 1

5

�!����� ����'� ∫ −++ dx)5x6x4)(1x2( 732

!��"#�� ��� 5x6x4u 3 −+=

�;+(� )5x6x4(ddu 3 −+=

dx

)1x2(6

du

dx)6x12(du

2

2

=+

+=

���'���T��� �;+(�

c48

)5x6x4(

c8

u

6

1

c17

u

6

1

duu6

1

du6

u

)1x2(6

duu)1x2(

dxu)1x2(dx)5x6x4)(1x2(

83

8

17

7

7

272

72732

+−+

=

+=

+

+=

=

=

++=

+=−++

+

∫

∫

∫

∫∫

ในกรณีท่ีการหาปริพันธยาก เรามีวิธีการท่ีชวยใหการหาปริพันธงายขึ้นนั่นคือการหาปริพันธโดยการเปล่ียนเปนตัวแปร u (Integration by u-Substitution) เม่ือไดคาปริพันธแลวใหเปล่ียนตัวแปรจาก u กลับเปนตัวแปรเดิม ดังตัวอยางตอไปนี้

Note.......................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

Calculus 1

6

�!����� ����'� ∫ +−− dx3x4x)10x5( 2

!��"#�� ��� 3x4xu 2 +−=

�;+(� )3x4x(ddu 2 +−=

dx

)2x(2

du

dx)4x2(du

=−

−=

���'���T��� �;+(�

c3

)3x4x(5

c3

u2

2

5

c

2

3u

2

5

c1

2

1u

2

5

duu2

5

du2

u5

)2x(2

duu)2x(5

dxu)10x5(dx3x4x)10x5(

2

32

2

3

2

3

12

1

2

1

2

1

2

1

2

12

++−

=

+=

+=

++

=

=

=

−−=

−=+−−

+

∫

∫

∫

∫∫

Note.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Calculus 1

7

�!����� ����'� ( )∫

−dx

17x3

x795

4

!��"#�� ��� 17x3u 5 −=

�;+(� )17x3(ddu 5 −=

dx

x15

du

dxx15du

4

4

=

=

���'���T��� �;+(�

( )

( )c

17x3120

7

cu120

7

c)8(

u

15

7

c19

u

15

7

duu15

7

duu15

7x15

du

u

x7

dxu

x7dx

17x3

x7

85

8

8

19

9

9

49

4

9

4

95

4

+−

−=

+−=

+−

=

+

+−=

=

=

=

=−

−

+−

−∫

∫

∫

∫∫

�������� ����'� �!�����%' + ��)

1. ( )∫

+−−

−−dx

7x4x4x

1x2x324

3

2. ∫ −−+ dxxx32)6x4( 3 2

3. ∫ +−− dx)1x126x3)(7x( 5

365 4. ∫

−−

−dx

1x3x7

1x73

2

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Calculus 1

888888888888888888888888888888888888888

888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888

Calculus 1

9

,&%�,#����-ก����'� �!�����������?������� $����ก����� ก��!�*� �� 1 ,&%� ��� u � $����ก����� � x

�!����� ����'� ∫ +−−

dx4x3x

1x3

2

!��"#�� ��� 4x3xu 3 +−=

�;+(� )4x3x(ddu 3 +−=

dx

)1x(3

du

dx3x3du

2

2

=−

−=

���'���T��� �;+(�

( )

c4x3xln3

1

culn3

1

duu

1

3

1

)1x(3

du

u

1x

dxu

1xdx

4x3x

1x

3

2

2

2

3

2

++−=

+=

=

−−

=

−=

+−−

∫

∫

∫∫

การหาคาปริพันธของฟงกชันอดิศัย

การหาคาปริพันธท่ีใหผลลัพธเปนฟงกชันลอการิทึม

∫ ≠+= 0u,culnduu

1

เนื่องจาก ∫ duu

1 ก็คือ ∫ − duu 1 จึงทําใหไมสามารถใช

สูตร ∫ duu n ไดเพราะ c11

uduu

111 +

+−=

+−−∫ จึงหาคาไมได

ดังนั้น ถากําลัง -1 ใหใชสูตร ∫ duu

1

Calculus 1

10

�������� ����'� �!�����%' + ��)

1. ∫ +−−−−

dx7x4x4x

1x2x24

3

2. ∫ +−−

dx7x12x2

12x33

2

3. ∫ −+−−

dx3x3x

xx2123

2

4. ∫ −dx

x35

x76

5

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Calculus 1

11

,&%�,#����-ก����'� �!��������ก������)ก#���� �� 2 ,&%� ��� u � $����ก����� � x ��; a � $����ก�������� �!����� ����'� ∫ +−⋅− dx3)4x( 1x12x2 3

!��"#�� ��� 1x12xu 3 +−=

�;+(� )1x12x(ddu 3 +−=

dx

)4x(3

du

dx)12x3(du

2

2

=−

−=

���'���T��� �;+(�

c3ln3

3

)c3ln

3(

3

1

du33

1

du33

1

)4x(3

du3)4x(

dx3)4x(dx3)4x(

1x12x

u

u

u

2u2

u21x12x2

3

3

+=

+=

=

=

−⋅−=

⋅−=⋅−

+−

+−

∫

∫

∫

∫∫

การหาคาปริพันธฟงกชันชี้กําลัง

∫

∫+=

+=

cedue.2

caln

adua.1

uu

uu

���� 1 ������� T��� &'���& ua ���� a � $�'������(> ก���� e ��; u � $����ก����� �%��� � ������ 2 ������� T��� &'���& ue ���� 71828.2e ≈ ��; u � $����ก����� �%��� �

Note

Calculus 1

12

�!����� ����'� ∫ dxx5

e2xln

!��"#�� ��� 2xlnu =

�;+(� )x(lnddu 2=

dx2

xdu

dxx

2du

dxx

x2du

dxx

1du

2

22

=

=

=

=

���'���T��� �;+(�

c10

e

)ce(10

1

due10

1

du10

e

2

xdu

x5

e

dxx5

edx

x5

e

2

2

xln

u

u

u

u

uxln

+=

+=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫∫

�������� ����'� �!�����%' + ��)

1. ∫ dxx

e52

x

1

2. ∫ −−⋅− dx5)32x8( 7x8x2

3. ∫ −−

−dx

4

x11x4x

3

4 4. ∫ +

+

dx1x2

e 1x2

5. ∫ dxx7

e xln

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Note

Calculus 1

13

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888

Calculus 1

14

,&%�,#����-ก����'� �!��������ก����%��Tก<�!%! �� 10 ,&%� ��� u � $����ก����� � x 1. cvcosdvvsin +−=∫

2. cvsindvvcos +=∫

3. cvcoslndvvtan +−=∫

cvsecln += 4. cvsinlndvvcot +=∫

cveccosln +−= 5. cvtanvseclndvvsec ++=∫

6. cvcotveccoslndvveccos +−=∫

7. cvtandvvsec2 +=∫

8. cvcotdvveccos 2 +−=∫

9. cvsecdvvtan.vsec +=∫

10. cveccosdvvcot.veccos +−=∫

�!����� ����'� ∫ +−⋅− dx)5x6x3cot()1x( 2

!��"#�� ��� 5x6x3u 2 +−=

�;+(� )5x6x3(ddu 2 +−=

dx

)1x(6

du

dx)6x6(du

=−

−=

���'���T��� �;+(�

c)5x6x3sin(ln6

1

cusinln6

1

duucot6

1

)1x(6

duucot)1x(dx)5x6x3cot()1x(

2

2

++−=

+=

=

−⋅−=+−⋅−

∫

∫∫

การหาคาปริพันธฟงกชันตรีโกณมิติ

ในการทําแบบฝกหัดท่ีเปนโจทยตรีโกณมิติอ่ืนนอกจาก 10 สูตรนี้ อาจจะตองใชความรูพื้นฐานทางพีชคณิตและตรีโกณมิติเขาชวย เพื่อเปล่ียนโจทยใหเขาสูตรการหาปริพันธสูตรใดสูตรหนึ่งใหได

Calculus 1

15

�!����� ����'� ∫ ⋅− dxexsin2 xcos

!��"#�� ��� xcosu =

�;+(� )x(cosddu =

dx

xsin

du

dxxsindu

=−

−=

���'���T��� �;+(�

ce2

ce2

due2

xsin

duexsin2dxexsin2

xcot

u

u

uxcos

+=

+=

=

−⋅−=⋅−

∫

∫∫

�!����� ����'� ∫ ⋅ dxxsinxcos3 7

!��"#�� ��� xsinu =

�;+(� )x(sinddu =

dx

xcos

du

dxxcosdu

=

=

���'���T��� �;+(�

c8

xsin3

c8

u3

duu3

xcos

duuxcos3

dxuxcos3dxxsinxcos3

8

8

7

7

77

+=

+=

=

⋅=

⋅=⋅

∫

∫

∫∫

กรณีท่ีปริพันธของ sec2x กับ tanx ใหใช tanx เปน u

และกรณีท่ีปริพันธของ cosec2x กับ cotx ใหใช cotx เปน u นะจะ

Calculus 1

16

�������� ����'� �!�����%' + ��)

1. ∫ dxxeccosx 3

5

3

2

2. ∫ dxxcot.xeccosx

1

3. ∫ dxxtan

xsec2

4. ∫ dxx

)xcot(ln 5. ∫ dxe.x2cos3 x2sin

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Calculus 1

17

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

NOTE

Calculus 1

18

��� u � $����ก����� � x ��;a � $�'����� �;+(�,&%�(����)

การหาปริพันธฟงกชันท่ีจัดรูปแบบของโจทยในรูป u2+a2 , u2-a2 หรือ a2-u2

1. ∫ +=+

ca

uarctan

a

1

au

du22

2. ∫ ++−

=−

cau

auln

a2

1

au

du22

3. ∫ +−+

=−

cua

ualn

a2

1

ua

du22

4. ∫ +=−

ca

uarcsin

ua

du22

5. ∫ +++=+

cauulnau

du 22

22

6. ∫ +−+=−

cauulnau

du 22

22

7. ∫ ++−=− ca

uarcsin

2

aua

2

uduua

22222

8. ∫ +++++=+ cauuln2

aau

2

uduau 22

22222

9. ∫ +−+−−=− cauuln2

aau

2

uduau 22

22222

10. ∫ +=−

ca

usecarc

a

1

auu

du22

NotNotNotNoteeee ..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

Calculus 1

19

แบบฝกหัดประจาํบทที่ แบบฝกหัดประจาํบทที่ แบบฝกหัดประจาํบทที่ แบบฝกหัดประจาํบทที่ 4444 ����'� �!�����%' + ��)

1. ∫−

dx8

6 7x3

2. ∫ −−− dxe)1x2( 2x3x3 2

3. ∫ ++++ dx)x72

3e

2

3xeccos

x

4( 4

xx 4. ∫ dx

7

3exex

5. ∫ − dx7e x5x 6. ∫ +−−

dx3xx

1x22

7. ∫ +−− dxe)3x( 17x6x2 8. ∫ dx7e

xex

9. ∫ −dx

x21

x3

2

10. ∫ +++++

dx10x12x3x

4x2x23

2

11. ∫−+−

+−dx

)7x6x6x2(

1x2x25

23

2

12. ∫ −−− dx8)1x2( 2x3x3 2

13. ∫ dxxcos

xsin3

14. ∫−−

dxx

)xx53(2

2

15. ∫ −−− dx)7x6x(sec).2x( 32 16. ∫ −−+ dx)723e2x(sec xx

17. ∫ ⋅ xdxsecxtan 22 18. ∫ dxxcot

xeccos5

2

ต้ังใจทํานะ...จะไดทําขอสอบไดและมีคะแนนซะบาง

Calculus 1

20

NOTE 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888