Inteligencia Artificial - Universidad Veracruzana · Inteligencia Artificial Conocimiento y razonamiento 3. ... Dr. Edgard I. Benítez G. Inteligencia Artificial 3 Igualdad: = Cuantificadores:

Inteligencia Artificial

Conocimiento y razonamiento

3. Lógica de primer orden

Dr. Edgard I. Benítez G. 1Inteligencia Artificial

3. Lógica de primer orden

Dr. Edgard Iván Benítez Guerrero

Lógica de primer orden

� La lógica proposicional asume que el mundo tiene

hechos

� La lógica de primer orden asume que el mundo

contiene:

� Objetos: personas, casas


� Objetos: personas, casas

� Relaciones: hermano de, mayor que, parte de, entre, …

� Funciones: suma, ..

Sintaxis

� Constantes: John, 2, Inglaterra,...

� Predicados: Hermano, >,...

� Funciones: RaízCuadrada, PiernaIzquierdaDe,...

� Variables: x, y, a, b,...

� Conectores: ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔


� Conectores: ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔� Igualdad: =

� Cuantificadores: ∀, ∃

Sentencias atómicas

� Sentencia atómica

� predicado(término1,...,términon)

� termino1 = termino2

� Término

� Función (término1,...,términon)


� Función (término1,...,términon)

� Constante

� Variable

� Por ejemplo:

� Hermano(John, Richard)

� >(Largo(PiernaIzqDe(Richard)),Largo(PiernaIzqDe(John)))

Sentencias compuestas

� Hechas de sentencias atómicas usando conectores

¬S, S1 ∧ S2, S1 ∨ S2, S1 ⇒ S2, S1 ⇔ S2,

� Ejemplos:

� Hermano(John,Richard) ⇒ Hermano(Richard,John)


� Hermano(John,Richard) ⇒ Hermano(Richard,John)

� >(1,2) ∨ ≤ (1,2)

� >(1,2) ∧ ¬ >(1,2)

Semántica

� Sentencias son verdaderas con respecto a un modelo y a una

interpretación

� Un modelo contiene objetos (elementos del dominio) y

relaciones entre ellos

� Una interpretación define referentes para

� Símbolos constantes → objetos


� Símbolos constantes → objetos

� Símbolos de predicado → relaciones

� Símbolos de función → relaciones funcionales

� Una sentencia atómica predicado(término1,...,términon) es

verdadera sii los objetos a los que se refieren

término1,...,términon están en la relación a la que se refiere

predicado

Ejemplo de modelo


Cuantificación universal

� ∀<variables> <sentencia>

Todas las personas en Inglaterra son listas:

∀x En(x, Inglaterra) ⇒ Listo(x)

� ∀x P es verdadera en un modelo m sii P es verdadera

con x siendo cada posible objeto del modelo


con x siendo cada posible objeto del modelo

� Vagamente hablando, esto es equivalente a la

conjunción de todas las posibles instanciaciones de PEn(John, Inglaterra) ⇒ Listo(John)

∧ En(Richard, Inglaterra ) ⇒ Listo(Richard)

∧ …

Error común a evitar

� Típicamente, ⇒ es el conector principal para ∀� Error común: usar ∧ como el conector de ∀:

∀x En(x, Inglaterra) ∧ Listo(x)

significa “Todas las personas en Inglaterra y todas las personas

son listas”


Cuantificación existencial

� ∃<variables> <sentencia>

Alguien en Inglaterra es listo:

∃x En(x, Inglaterra) ∧ Listo(x)

� ∃x P es verdadera en un modelo m sii P es verdadera

con x siendo algún posible objeto del modelo


con x siendo algún posible objeto del modelo

� Vagamente hablando, equivalente a la disyunción de

las instanciaciones de P

En(John, Inglaterra) ∧ Listo(John)

∨ En(Richard, Inglaterra ) ∧ Listo(Richard)

∨ ...

Otro error común a evitar

� Típicamente, ∧ es el conector principal con ∃

� Error común: usar ⇒ como el conectivo principal de ∃:

∃x En(x, Inglaterra) ⇒ Listo(x)


es verdadera si hay alguien que no está en Inglaterra !

Propiedades de los cuantificadores� ∀x ∀y es lo mismo que ∀y ∀x

� ∃x ∃y es lo mismo que ∃y ∃x

� ∃x ∀y no es lo mismo que ∀y ∃x

� ∃x ∀y Ama(x,y)� “Hay una persona que ama a todos en el mundo”


� “Hay una persona que ama a todos en el mundo”

� ∀y ∃x Ama(x,y)� “Todas las personas del mundo son amadas al menos por una persona”

� Dualidad de los cuantificadores: cada uno puede ser expresado usando elotro� ∀x Gusta(x,Helado) ¬∃x ¬Gusta(x,Helado)

� ∃x Gusta(x,Brocoli) ¬∀x ¬Gusta(x,Brocoli)

Igualdad

� término1 = término2 es verdadera en cualquier

interpretación sii término1 y término2 se refieren al

mismo objeto

� E.g., definición de Hermano en términos de

Progenitor:


Progenitor:

∀x,y Hermano (x,y) ⇔ [¬(x = y) ∧ ∃m,f ¬ (m = f) ∧Progenitor(m,x) ∧ Progenitor(f,x) ∧ Progenitor(m,y) ∧Progenitor(f,y)]

Usando lógica de primer orden: el dominio familia

� El marido de una persona es un esposo masculino

∀x,y Marido(x,y) ⇔ (Masculino(x) ∧ Esposo(x,y))

� Una madre es el progenitor femenino de una persona

∀m,c Madre(c) = m ⇔ (Femenino(m) ∧ Progenitor(m,c))


∀m,c Madre(c) = m ⇔ (Femenino(m) ∧ Progenitor(m,c))

� El abuelo es el padre del padre de uno

∀x,y Abuelo(x,y) ⇔ ∃z Padre(x,z) ∧ Padre(z,y)

Instanciación universal (IU)

� Toda instanciación de una sentencia cuantificada

universalmente está implicada por ésta

∀v α

Subst({v/g}, α)

para cualquier variable v y término aterrizado g


para cualquier variable v y término aterrizado g

� E.g., ∀x King(x) ∧ Greedy(x) ⇒ Evil(x) produce:

� King(John) ∧ Greedy(John) ⇒ Evil(John)

� King(Richard) ∧ Greedy(Richard) ⇒ Evil(Richard)

� King(Father(John)) ∧ Greedy(Father(John)) ⇒ Evil(Father(John))

Instanciación existencial (IE)

� Para cualquier sentencia α, variable v, y símbolo constante k que no aparece

en ningún otro lado (constante de Skolem) en la base de conocimiento:

∃v α

Subst({v/k}, α)


� E.g., ∃x Crown(x) ∧ OnHead(x,John) produce:

Crown(C1) ∧ OnHead(C1,John)

dado que C1 sea un nuevo símbolo constante

Reducción a inferencia proposicional

� Supongamos que la BC contiene lo siguiente

∀x King(x) ∧ Greedy(x) ⇒ Evil(x)

King(John)

Greedy(John)

Brother(Richard,John)

� Instanciando la sentencia cuantificada de todas las formas posibles, se obtiene


King(John) ∧ Greedy(John) ⇒ Evil(John)

King(Richard) ∧ Greedy(Richard) ⇒ Evil(Richard)

King(John)

Greedy(John)

Brother(Richard,John)

� La nueva BC es reducida a un conjunto de proposiciones

King(John), Greedy(John), Evil(John), King(Richard), etc.

Problemas con la reducción a lógica proposicional

� La reducción genera muchas sentencias irrelevantes

� Por ejemplo, de:

� ∀x King(x) ∧ Greedy(x) ⇒ Evil(x)

� King(John)


� ∀y Greedy(y)

� Brother(Richard,John)

puede verse que Evil(John), pero la reducción produce

muchos hechos como Greedy(Richard) que son

irrelevantes

Unificación

� Se puede inferir más rápidamente el hecho si se encuentra una sustitución θ

tal que King(x) y Greedy(x) empaten con King(John) and Greedy(y)

θ = {x/John,y/John}

� Unificar(α,β) = θ si αθ = βθ

p q θ


p q θ

Knows(John,x) Knows(John,Jane) {x/Jane}}

Knows(John,x) Knows(y,OJ) {x/OJ,y/John}}

Knows(John,x) Knows(y,Mother(y)) {y/John,x/Mother(John)}}

Knows(John,x) Knows(x,OJ) {fail}

� La estandarización de variables elimina traslapes, e.g., Knows(z17,OJ)

Unificación

� Para unificar Knows(John,x) y Knows(y,z)

θ = {y/John, x/z} o bien θ = {y/John, x/John, z/John}

� El primer unificador es más general que el segundo


� El primer unificador es más general que el segundo

� Para cada par de expresiones unificable hay un

unificador más general (UMG) que es único respecto al

nombramiento de las variables

UMG = { y/John, x/z }

Algoritmo de unificación


Algoritmo de unificación


Modus Ponens Generalizado (MPG)

p1', p2', … , pn', ( p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn ⇒q)

qθ

� Ejemplo:

� p1' es King(John) p1 es King(x)

� p2' es Greedy(y) p2 es Greedy(x)

� θ es {x/John,y/John} q es Evil(x)

donde pi‘ θ = pi θ para todo i


� θ es {x/John,y/John} q es Evil(x)

� q θ es Evil(John)

� MPG usado con una base de conocimiento de clausulas determinadas

(aquellas que tienen exactamente una literal positiva)

� Se asume que todas las variables están universalmente cuantificadas

Ejemplo de base de conocimiento

� La ley de Estados Unidos dice que es un crimen que un

uno de sus ciudadanos venda armas a naciones

hostiles. El país Nono, un enemigo de EU, tiene

algunos misiles y todos sus misiles fueron vendidos

por el Coronel West, quien es ciudadano

estadounidense


estadounidense

� Probar que el Coronel West es un criminal

Base de conocimiento

� ... Es un crimen que un ciudadano de EU venda armas a naciones hostiles:

American(x) ∧ Weapon(y) ∧ Sells(x,y,z) ∧ Hostile(z) ⇒ Criminal(x)

� Nono … tiene misiles, i.e., ∃x Owns(Nono,x) ∧ Missile(x):

Owns(Nono,M1) and Missile(M1)

� … todos sus misiles fueron vendidos por el coronel West

Missile(x) ∧ Owns(Nono,x) ⇒ Sells(West,x,Nono)

� Los misiles son armas:


� Los misiles son armas:

Missile(x) ⇒ Weapon(x)

� Un enemigo de Eu es “hostil”:

� Enemy(x,America) ⇒ Hostile(x)

� West, quien es ciudadano de EU …

� American(West)

� El país Nono, un enemigo de EU …

� Enemy(Nono,America)

Algoritmo de encadenamiento hacia adelante


Encadenamiento hacia adelante


Encadenamiento hacia atrás


Encadenamiento hacia atrás


Programación lógica: Prolog

� Algoritmo = Lógica + Control

� Base: encadenamiento hacia atrás con clausulas de Horn

� Programa = conjunto de clausulas = cabeza :- literal1, … literaln.

criminal(X) :- american(X), weapon(Y), sells(X,Y,Z), hostile(Z).


� Encadenamiento hacia atrás en profundidad primero y de izquierda a

derecha

� Equipado con

� Predicados aritméticos, e.g., X is Y*Z+3

� Predicados que tienen efectos colaterales (e.g., entrada y salida, assert/retract)

� Suposición del mundo cerrado ("negación como falla")

� e.g., dado alive(X) :- not dead(X).

� alive(joe) es cierto si dead(joe) falla

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