Interaktív feladatlapok

A számológép használata a matematikaórán

SZAKDOLGOZAT

György Piroska

ELTE-TTK matematika tanári szak

Témavezetı:

Vásárhelyi Éva

központvezetı egyetemi docens

Matematikatanítási és Módszertani Központ

2010

Tartalom

Bevezetés................................................................................................................. 2

1. Használjuk a számológépeket? ........................................................................ 4

1.1. Mire jó a számológép? ................................................................................. 4

1.2. A számológép a tantervekben .................................................................... 11

1.3. A számológép az érettségin........................................................................ 14

1.4. A számológép a tankönyvekben................................................................. 22

2. Feladatok, interaktív feladatlapok.................................................................32

2.1. Néhány érdekes számológépes feladat ....................................................... 32

2.2. A számológép használata a szögfüggvények témakörben ......................... 55

Összegzés .............................................................................................................. 63

Irodalom ................................................................................................................ 64

B ev e ze t és

A számológép nagyon ideális taneszköz. Könnyen és sokféle változatban

beszerezhetı, esztétikus, nemcsak matematikaórán használható, sıt nemcsak órán,

hanem a mindennapokban is. Hamar megkedvelik a diákok, egyrészt mert az emberek

valahogy természetüknél fogva kedvelik az olyan dolgokat, amiken „sok gomb van”,

másrészt mert ez olyan eszköz, amely segíti ıket, az izzasztó számolás terhét leveszi a

vállukról. A tanár szemszögébıl nézve is számos lehetıséget rejt magában. Ezekrıl a

lehetıségekrıl, illetve a lehetıségek okos kihasználásáról szól a dolgozatom.

A „kezdetekrıl” Pálmay Lóránt tanár úrral beszélgettünk. A beszélgetésünk

nyomán vázolnám fel a dolgozatom tartalmát. Mióta is ismerjük az elektronikus

számológépeket? Tanár úr 74-ben látott elıször ilyet, hamar, néhány éven belül

széleskörővé vált a használata, de a matematikatanárok körében nem volt egyetértés,

hogy engedjék-e használni a tanórákon. Ma sincs két olyan matematikatanár, aki

egyformán gondolkodna arról, hogy mire jó a számológép. Az elsı fejezetben erre

keresem a választ. Sokan már a kezdetektıl felismerték ennek az eszköznek a motiváló

erejét, illetve az egyik legfontosabb elınyét, hogy a nehéz, idıt rabló számítások alól

felmenti a tanulókat, ugyanakkor nem feledkeztek meg arról sem, hogy a becslés és a

kerekítés tanítása még hangsúlyosabbá kell, hogy váljon. Tanár úr Imrecze Zoltánné

módszerét méltatta, aki 6. osztályban vezette be a számológép használatát geometriai

számításoknál (így több feladatot tudtak megoldani!). İ a karácsonyra kapott

számológépek használatának engedélyezését egy „fejszámolás-vizsgához” kötötte, és

késıbb is folyamatosan gyakoroltatta fejben, írásban számolni a gyerekeket: mindig ez

volt a feltétele annak, hogy elıvehessék a zsebszámolót. Szinte senki sem vitatja, hogy

a „kicsiknél” még akadályozhatja a megfelelı számolási készség kialakulását a

számológép használata. Késıbb is, a „nagyobbaknál” a mértéktelen, nem okos

használatnak majd az algebra láthatja kárát. Hányadik évfolyamtól használhatjuk a

gépet? Mely témaköröknél? Dolgozatom második fejezetében a tantervek álláspontját

mutatom be.

A tanárok kezdeti tartózkodásának a számológép használatától az is oka volt,

hogy érettségin úgysem lehetett számolni vele. Az igazi fordulatot az hozta, amikor az

érettségin feloldották ezt a tiltást. Ma már jelentıs hátrányba kerül a középiskolát záró

2

írásbeli vizsgán az, akinél nincs kalkulátor. Ezt bizonyítom a harmadik fejezetben.

Ezután az egyik tankönyvcsaládot vizsgálom meg: milyen szerepet kap a számológép az

egyes leckékben. Már itt is foglalkozom konkrét feladatokkal.

A dolgozat második részében (az utolsó két fejezetben) további feladatokat és egy

e-tananyagot írtam. A feladatokban látszólag csak játszunk, kísérletezünk, „nyomkodjuk

a számológépet”, közben pedig matematikát tanulunk, elmélyítjük ismereteinket. Az e-

tananyag speciálisan a szögfüggvények témakörrel kapcsolatos: a tudományos

számológép helyes használatára tanít.

Megjegyzés:

A dolgozatban a Sokszínő matematika tankönyvi feladatok jelölése az alábbiak szerint

történik:

a/b/c. (pl.), ahol a az évfolyamot, b az oldalszámot, c a feladat számát jelöli, ha tankönyvi

kidolgozott példa szerepel (nem pedig kitőzött feladat), akkor a pl. is megjelenik. A feladatok

szövegét szürke kiemeléssel jelöltem meg, hogy elkülönüljenek a magyarázó részektıl.

3

1. HASZNÁLJUK A SZÁMOLÓGÉPEKET?

„Számológép tehát. Sıt, elektronikus számológép. Egy kissé megszédülök.

Miért nincs nekem elektronikus számológépem? Igaz, munkám, az írás mestersége, nem

nagyon igényel számítgatást. De ki lát a jövıbe? Hátha egyszer égetı szükségem lesz

rá, hogy összeadjak, kivonjak, szorozzak, osszak, és majd verem a fejemet a falba, hogy

nincs elektronikus számológépem. Mit tegyek? Megvegyem? [...] Hazamegyek.

Elıveszem, bemutatom a készülék csodáit a feleségemnek. Moziba készültünk, de

otthon maradunk. Kivonunk, szorzunk. Tizedes törteket tizedes törtekkel osztunk.

Boldogan fekszem le aludni.”

Örkény István: A fogyasztói társadalom lélektani anatómiája

1.1. MIRE JÓ A SZÁMOLÓGÉP?

A mindennapi életben szükség van a számológépre. Nem mindenkinek egyforma

mértékben: Örkény mestersége például „nem nagyon igényelt számítgatást”, ı inkább

azért vásárolt gépet, hogy játsszon vele, büszkélkedhessen vele, gyönyörködjön a

technika csodáiban. (Legalábbis az egyperces szerint.) Leginkább a foglalkozásunk

határozza meg azt, hogy ki miféle gépet használ, milyen gyakran, illetve az, hogy

„milyen kapcsolatba kerülünk a pénzzel”. (Ám azt is elmondhatjuk, hogy minél inkább

szüksége van valakinek a számológép segítségére, annál inkább szüksége van a becslés

képességére is.) Manapság már egy felnıtt ember, aki önállóan intézi ügyeit, biztosan

rászorul a számológép használatára. Vásárlásnál, nyaralás tervezésekor, hitelkalkulációk

során vagy akár apróbb ügyekben, például a testtömeg-index meghatározásakor. A

mobiltelefonokba is beépítették a számológép funkciót, tehát a legtöbb embernél mindig

kéznél van ez az eszköz. Számomra egyértelmő, hogy nem tilthatjuk ki a

matematikaórákról sem, sıt! Azonban nem mindig gondolták így, és még ma is eltérıen

gondolkodnak a tanárok a témáról.

4

A „dilemma” a hetvenes évek vége felé kezdıdött, erre utal a 78-as tantervben

Varga Tamás is (Szebenyi 1978): „Új helyzet áll elı a matematikatanításban a

zsebszámológépek tömeggyártásával, a köztük és a számítógépek közti szakadék

fokozatos kitöltésével. A most életbelépı tanterv ezt még nem veheti eléggé

figyelembe, de az átmenetet simábbá tehetjük, ha kidolgozzuk annak módszereit,

hogyan értékesíthetjük a számológépek elınyeit, és hogyan ellensúlyozhatjuk

veszélyeiket.” Az elınyök értékesítésével és a veszélyek ellensúlyozásával kapcsolatos

véleményeket, ötleteket foglalom össze az alábbiakban.

1. Ellenırzés

Az egyik leggyakrabban említett elınye a számológépeknek az, hogy „azonnali

visszajelzést adnak a számítás vagy becslés helyességérıl, és ezzel hozzájárulnak a

számolni tudás motiválásához”. (Szebenyi 1978) A kompetencia alapú oktatási program

kerettantervében (OKM 2009, internet) már alsó tagozatban is többször említik az

ellenırzés jelentıségét. Pl. 2. osztályban: „Pótlás kerek tízesre, pótlás 100-ra, ellenırzés

zsebszámológéppel.” „Kis kétjegyőek többszörözése becsléssel, a reális és a lehetetlen

adatok szétválasztása. Ellenırzés zsebszámológéppel.”

Szintén a már említett kerettantervre utalnék: többször felhívja a figyelmünket

arra, hogy fordítsunk gondot a becslésre, a megbízható számolási készség kialakítására,

hiszen a középiskolában már sokszor számolunk közelítı értékekkel, használjuk a

számológépet. Kiemeli a mőveleti sorrend helyes betartását és a kapott eredmények

realitásának eldöntését is. (OKM 2009, internet)

Tehát a számológépet használhatjuk ellenırzésre, de nem szabad

megfeledkeznünk arról sem, hogy a számológépet (a kijelzın megjelenı eredményt) is

„ellenıriznünk” kell! Egyrészt fennáll a melléütés veszélye, másrészt a gép korlátai

miatt sokszor csak közelítı eredményt kapunk (és ez nagyon megtévesztı is lehet),

olykor téveset (Orosz internet), és elıfordul az is, hogy „nem hajlandó” nekünk

kiszámítani az eredményt (pl. 7070). Szalay (2009) élesen fogalmaz ezzel kapcsolatban:

„már az iskolában tennünk kell az ellen, hogy az ember számítógép által vezérelt bio-

5

robottá váljon. Ennek érdekében olyan problémákkal, feladatokkal kell szembesítenünk

a diákokat, amely rádöbbenti ıket, hogy a számológép sem mindenható.”

Nemcsak az a fontos, hogy jól tudjuk használni a kalkulátort, és tisztában legyünk

a hátrányaival, hanem (Steen szavaival) „ami még fontosabb, a tanulóknak meg kell

tanulniuk minden szinten, mikor használják a fejüket és mikor a gépeiket (Idézi Klein–

Kiss 1992: 166)”. Ezt megfelelı feladatokkal, feladatlapokkal tudjuk elérni. A

diákoknak is rá kell jönniük arra, hogy „amíg a MIÉRT gomb meg nem jelenik a

billentyőzeten, addig a gombnyomáshoz is szükség lesz fejtörésre!” (Vásárhelyi 2006,

internet)

2. Számológép nélkül

Szó szerint idézném (annak szépsége miatt) a 78-as tanterv tanácsát: „Ébresszük

rá a tanulókat arra, hogy a számításoknak egy bizonyos – nem is szők – körében a

számológépek használója elmarad azok mögött, akik fejbıl tudnak bizonyos egyszerő

összefüggéseket, például az egyszeregyet.” Tanulságos lehet az a helyzet, amely az esti

tagozatos osztályomnál kialakult. Az egyik fiú (a technika szerelmese – talán a legtöbb

osztályban van ilyen), mindig elhozta a gépét, és mindent villámgyorsan beütött, mire

én az egyenlıség jeléhez értem a krétával, addigra darálta is az eredményt. Vakok is

jártak az osztályba. Elképesztı, de közülük két lány még a számológépnél is gyorsabb

volt (természetesen az alapmőveletek esetében)! Gyakran versenyeztek, és talán nem

kell hangsúlyoznom, mennyire jót tett ez a matematikaórák hangulatának, a lányok

önbizalmának, és a „fejszámolás-mővészet” megbecsülésének.

Más oka is lehet annak, hogy nem használjuk a számológépet, nemcsak az, hogy

fejben idınként gyorsabban kijön az eredmény. Könnyen egyszerősíthetjük egy arra

alkalmas, törteket kezelni tudó számológéppel a 1512

480 törtet. Pár másodperc elég hozzá.

Rögtön felmerülhet a kérdés a diákokban, hogy akkor miért kell elvégezni a

prímtényezıkre bontást, amely sokkal több idıt vesz igénybe. (Bevezetı példa a

tankönyvben az algebrai törtek egyszerősítésénél. Sokszínő matematika 9/56/1. pl.)

Miért nem géppel válaszolunk a feladat kérdésére: Melyik szám a nagyobb:

6

4 262⋅ vagy 4 53⋅ ? (Sokszínő matematika 10/56/2.a bevitel a gyökjel alá – gyakorlás)

Vagy miért kell bizonyítani a 15252 33 =−++ egyenlıséget (Szalay 2009: 10),

ha a géppel kijön az eredmény? Az analógiák, az alapok begyakorlása, összetettebb

feladatok megoldásának igénye vagy a bizonyítás tanítása (és szépsége) miatt kell

olykor „megfeledkeznünk” a számológéprıl.

3. Egyszerősítés és a lehetıségek kitágítása

Gyakran érvelnek a számológép használata mellett azzal is, hogy több idınk és

több lehetıségünk adódik (számolás helyett gondolkodni, újfajta problémákkal

megismerkedni, több tanulót bevonni). (Pl. Klein–Kiss 1992; Ambrus 1994; Vásárhelyi

2006, internet; Abonyi internet)

„Készüljünk fel arra, hogy a zseb- és asztali számológépek különféle fajtáinak jó

hasznát vehetjük majd a matematikaórákon sok olyan feladat megoldásában, amilyenre

korábban a számítások hosszadalmas volta miatt nem is kerülhetett sor (például

statisztikai számítások), és hogy sokkal több gyakorlati feladatban juthatunk majd el az

elvi megoldáson túl a gyakorlat szempontjából érdekes számszerő végeredményig.”

(Szebenyi 1978)

Azáltal, hogy a nehézkes, unalmas, idıigényes számolástól tehermentesíti a

tanulókat a számológép, nem csak más típusú, kreatív, illetve magasabb rendő

feladatokat oldhatunk meg. Problémamegoldásra ösztönözzük ıket, és az átlagos

érdeklıdéső és képességő tanulóknak is lehetıséget biztosítunk arra, hogy jobban

rálássanak a matematikára, összefüggéseket fedezzenek fel.

Áttekinthetıbbé válhat az óra anyaga, ha a számolásokat külön a gépen végezzük

el, a táblára pedig a megoldás menete, az elvi lépések kerülnek (Vásárhelyi 2006,

internet). Továbbá, mivel másféle tevékenység, mint a papírra írás, tagolja is az órát,

egy kicsit frissíti a fejeket.

7

4. Motiváció

Tapasztalataim szerint a tanulók szeretik kézbe venni a számológépet, kíváncsiak

rá, mit tud, hogyan mőködik. Egy osztályt 10.-ben kaptam meg, miután elızı tanáruk

nyugdíjba vonult. Azt mondták, 9.-ben egyáltalán nem használtak számológépet, így

egy-két hónapba telt, mire mindenki kölcsönkért, vásárolt egyet. Nagyon izgatottak

voltak (pedig már nem voltak gyerekek: 20-45 évesek), mindig hozták megmutatni óra

elıtt a kincsüket. Mindenkién felfedeztünk valami remek funkciót, amit szívesen

kipróbáltak, ha alkalom adódott rá. Egy kicsit közelebb hozott bennünket, mert például

együtt találtuk ki (nekem is új volt: „de jó, mi is mutattunk valami újat a tanárnınek” –

erısíti a tanár partner-szerepét (Bárdos 2000: 205)), hogyan lehet egyikük gépével

függvényértékeket kiíratni. Ebben az osztályban nagyon szerettek számolni, és jókat

nevettek magukon, ha valakinek tizedszer sem jött ki az eredmény, majd kiderült, hogy

elfelejtette megnyomni az egyenlıségjelet… A nagy lelkesedésben elég sokan

lecserélték a gépüket „okosabbra” az évek során…

„A hagyományos tevékenységek (feladatmegoldás, grafikonok készítése,

elemzése, adatok győjtése, elemzése, testek építése stb.) mellett a modern technológiák

alkalmazása (számítógép, grafikus kalkulátor, stb.) további lehetıséget kínál a tanulók

aktív bevonására.” – írja Somfai Zsuzsa (2003, internet).

A kísérletezésnek, a felfedezésnek is fontos szerepe van a matematikában, a

számológép sok lehetıséget kínál erre.

„A »megszületı gondolat« vagy még inkább »a gondolatok megszülésére való

képesség« fejlesztése a matematikai laboratóriumok célja. […] A számológép ennek a

játékos laboratóriumnak lehet egyik fontos eszköze.” (Klein–Kiss 1992) És még

konkrétabban is lehet „játéknak” tekinteni: mikor véletlenszámmal sorsoltuk ki

matematikaórán, hogy kinek kell a táblához jönni, tetszett a diákoknak, nem is

kérdezték meg a gépet, hogy miért pont ık (már megint)…

8

5. Mikor a számológép használatát tanítjuk, matematikát is tanítunk

Mivel a gép használatát külön meg kell tanulni, ezzel egyrészt tanulnak valami

újat, más oldalról is látják a számokat és mőveleteket, gyakorolják a matematikai

kommunikációt, valamint lehetıség nyílik bizonyos témák, szabályok átismétlésére.

Lelkesebben ismétlik át a mőveleti sorrendrıl tanultakat, ha az a gép használatához

szükséges, nem pedig „csak úgy” a matekórához. Ismét tudatosul, amit általános

iskolában esetleg csak bemagoltak, hogy „a törtvonal zárójelet is helyettesít”, hiszen a

gépnél be is kell ütni a zárójelet, ha például átlagot számítunk vagy a !17!11

!28

⋅ értékét

(erre konkrétan a Sokszínő matematika 11/25/4. példájában van szükség). Kivéve

persze, ha részeredményekkel dolgozunk.

A számológép nyelve „új nyelv”. A „nyolc alatt a három” képe más a gépen,

beütve pl. 8 nCr 3, a kijelzın 8C3). Ezen a „nyelven” is megbeszéljük (másodszor is

lehetıség adódik rögzíteni a memóriában), mi is a nyolc, a három, a „cé”… Mindezek

persze nem vesznek sok idıt igénybe.

Ennek az eszköznek az alkalmazása segít tudatosítani, elmélyíteni

összefüggéseket, például x-1=1/x – kétféleképp is jelölik a gépeken a reciprokképzést.

Motiválhatjuk az egyik logaritmus-azonosság bevezetését úgy is, hogy felvetjük a

problémát: a gép csak 10-es alapú logaritmust számol a log gombbal.

6. Néhány matematikatanár tapasztalata

Megkérdeztem néhány kollégámat, milyen gyakran és mire használják a

számológépet a tanórákon, milyen pozitív-negatív tapasztalataik vannak.

Az egyik leggyakrabban emlegetett félelmük az, hogy ha sokszor engedik

elıvenni ezt a segédeszközt, akkor romolhat a tanulók számolási készsége. A

bizonytalanok „még a 7·8-at is beütik” – bosszankodott egyikük, aki középiskolában

tanít. Ha egy középiskolás tanuló tényleg az egyszeregyben is bizonytalan, akkor ott a

tiltás egyrészt késıi, másrészt nem elegendı. A fejszámolás szükségességére,

hasznosságára folyamatosan figyelmeztetni kell a gyerekeket, tréningezni kell ıket.

9

Ugyanakkor éppen a számológép is alkalmas lehet a szám- és mőveletfogalom

fejlesztésére, ezzel többen is foglalkoztak: Iszáj Ferenc, Fábosné Zách Enikı, Abonyi

Tünde stb., fıként általános iskolásoknak írtak érdekes, gondolkodtató számológépes

feladatokat.

Mindenképpen fontos technikai dolog az, hogy tegyük egyértelmővé a tanulók

számára, mely órákon, témáknál fogjuk használni az eszközt, mikor nem. Több tanár

elmulasztja ezt, ebbıl adódhat néhány általuk felsorolt panasz: sokan elfelejtik elhozni;

mobiltelefonnal számolnak a számológép helyett; akkor is titokban (a pad alatt)

számolnak, amikor nyugodtan elıvehetnék a gépet. Még egy puskázási módra is

felhívták a figyelmemet: a dolgozatíráskor kölcsönadott számológéppel együtt néha a

végeredményt is „kölcsönadják”.

Az általam megkérdezett tanárok (nyolc tanár két iskolából) mindegyike csupán

számolási segédeszköznek tekintette a számológépet, teljes értékő taneszköznek,

szemléltetı eszköznek egyikük sem, nem is tudtak olyan feladatot mondani, amely

számológéppel kapcsolatos kreatív matematikai feladat. Közülük a három általános

iskolai matematikatanár egyáltalán nem használ az 5–8. évfolyamon órákon

zsebszámológépet.

10

1.2. A SZÁMOLÓGÉP A TANTERVEKBEN

A Nemzeti alaptanterveket, a Kompetenciafejlesztı oktatási program (pedagógiai

rendszer) kerettantervét és a Mozaik Kiadó (a vizsgált Sokszínő matematika

tankönyvcsalád kiadója) MOZAIK NAT-2003 kerettantervét fogom bemutatni abból a

szempontból, hogy hogyan viszonyulnak a számológéphez, mint taneszközhöz, mit

javasolnak a használatával kapcsolatban, mely szakaszokban konkrétan milyen

témákhoz ajánlják.

1. Nemzeti alaptanterv

A tantervek történetében elıször a már idézett 1978-asban történik utalás a

számológépre. Az általános iskolai nevelés és oktatás terve (Szebenyi 1978) hosszú

bekezdést szán az egyre jobban terjedı eszköznek. Az elınyök hangsúlyozása mellett

felhívja a figyelmünket a rossz használatból eredı hátulütıkre is. A gimnáziumi nevelés

és oktatás tervében (Szabolcs 1978) pedig a taneszközök között is megtalálható a

zsebszámológép (tanulókísérleti, valamint tanári demonstrációs eszköz). Törzsanyag a

számítási segédeszközök áttekintése, azok helyes használata (elınyeik, korlátaik).

1995-ben (NAT 1995, internet) a részletes követelmények a 6. évfolyam végén a

négy alapmővelet (mőveleti tulajdonságok, mőveleti sorrend, kerekítés, becslés)

kapcsán említik a zsebszámológép célszerő használatát. A 8. évfolyam végére a

gyakorlati számításokban megkövetelik a számológép biztos használatát, a számok

négyzetgyökének meghatározása is ezzel történik. A 10. évfolyam végéig a

szögfüggvények témájánál kell újra elıvennünk ezt az eszközt.

A 2003-as, illetve 2007-es NAT-ban (NAT 2007, internet) az „Ismerethordozók

használata” címő részben sorolják fel a számológépet a könyvekkel és a

számítógépekkel, valamint az oktatási-tanulási technológiák értelmes, interaktív

használatával együtt. Ezekkel kapcsolatban kiemelik a nyitottság és önbizalom szerepét

az újjal való megismerkedésben.

11

2. Kerettantervek

A Kompetenciafejlesztı oktatási program (pedagógiai rendszer) kerettantervében

legalább félszázszor szerepel a számológép szó.

I. A bevezetı-kezdı szakaszban (1–4. évfolyam) a golyós számológépeken kívül a

zsebszámológépek használatát is ajánlják (pótlás kerek tízesre, pótlás százra; kis

kétjegyőek többszörözése becsléssel, a reális és a lehetetlen adatok szétválasztása),

elsısorban ellenırzésre, illetve a szorzás, bennfoglaló osztás és egyenlı részekre osztás

gyakorlására, a mőveletek tulajdonságainak felismertetésére.

II. Az alapozó szakaszban (5–6. évfolyam) nem említi a kerettanterv a

zsebszámológépet.

III. A fejlesztı szakaszban (7–8. évfolyam) már „vastag betőtípussal” is kiemelik

a számológép használatát, vannak „kiemelten fontos területek, amelyek

nélkülözhetetlenek a továbbhaladáshoz. Az ilyen tevékenységek végzését minden tanuló

fejlesztéséhez biztosítanunk kell, az ilyen ismereteket alapszinten, minden tanulótól el

kell várnunk.” Ezek a hatványozás és a négyzetgyökvonás. A követelmények szó szerint

a következık:

„Értse a hatványozás mőveletét, tudja a hatványjelölést biztonságosan használni,

egy hatvány értékét kiszámolni zsebszámológéppel is, és egyszerő esetekben a nélkül is.

Ismerje és tudja alkalmazni a hatványozás azonosságait.”

„Ismerje a négyzetgyök fogalmát. Nem túl nagy számok körében (ezres számkör)

legyen képes megbecsülni számok négyzetét, illetve számok négyzetgyökét – legalább

nagyságrendben – fejben, illetve pontosan meghatározni ezeket zsebszámológép

segítségével.”

A nagyon nagy és nagyon kicsi számok közötti tájékozottság fejlesztésénél

(hatványozás, normál alak) fıként a gyakorlati élethez kapcsolódó feladatoknál van

szükség a számológépre.

A négyzetgyök fogalmának bevezetésekor a négyzetgyök próbálgatással való

megközelítéséhez használjuk a számológépet.

A kör kerületével is ebben az évben ismerkednek meg a tanulók. A kör

kerületének és az átmérıjének arányát méréssel, majd zsebszámológéppel állapíthatják

meg, majd bevezetik a π-t, megismerik a kör kerületének képletét.

12

IV. A középfokú nevelés-oktatás szakaszában (9–12. évfolyam) több utalás is

történik a számológép biztos, készségszinten való használatának fontosságára. Például:

a kör és részei közötti összefüggéseknél (irracionális számokkal való számolás), a

térgeometria összetettebb képleteinél (behelyettesítés, mőveleti sorrend); illetve

adatgyőjtés után az adatok feldolgozásánál (a grafikus kalkulátorok és a számítógépek,

esetleg matematikai programok, internetes weblapok használatát is javasolják).

„A közelítı értékekkel való számolás, valamint a zsebszámológép használata

(hatványértékek, logaritmus, trigonometria, gazdasági matematika, térgeometria, felszín

és térfogat számítás) miatt kiemelten elengedhetetlen a becslés szerepe. A kapott

eredmények realitásának eldöntésére szoktassuk a tanulókat.”

V. A szakiskolai szakasz (9–10. évfolyam) tárgyalásából a következı

gondolatokat emelném ki: „Digitális kompetencia” címén fontosnak tartják, hogy

elsısorban ismeretszerzés céljából a tanulók elsajátítsák az ismerethordozók és a

technikai segédletek (kritikus) használatát. A szakiskolában elegendı a számológép

kezelésének biztossága, esetleg néhány informatikai technológia használata.

Természetesen itt sem maradhat el a becslés és az eredmények ellenırzésének

hangsúlyozása, és különösen oda kell figyelni a számolási készség fejlesztésére. Ha nem

tudják megbízhatóan a mőveleti sorrendet sem, akkor a számológépre is nehezebben

tudnak támaszkodni.

A számológép helyes használatára már az alapmőveleteknél is felhívják a

figyelmet (irracionális számok, mőveleti sorrend), majd (ahogy azt már láttuk az

elızıekben is) leginkább a szögek átváltásánál, négyzetre emelésnél, gyökvonásnál,

szögfüggvényeknél, felszín- és térfogatszámításnál javasolják.

A MOZAIK NAT-2003 Kerettantervrendszer kisebb hangsúlyt fektet a

számológépekre. Alsó tagozaton nincs említés. Felsı tagozatban 7. osztályban a

racionális számoknál kerül elı elsıként. 8. osztályban a négyzetgyökvonás témakörénél

kerül szóba ismét, majd a térgeometriánál. A gimnáziumban 10. osztályban szintén

geometriatanuláskor kérik a számológép alkalmazását, ahogy a 11. évfolyamon is, itt

már a távolság, a magasság, a szög meghatározásához (gyakorlati feladatoknál). A

statisztikai adatok kezelésére, illetve a véletlen jelenségek vizsgálatára a 11–12.

évfolyamon nem a számológép, hanem inkább a számítógép felhasználását javasolják.

13

1.3. A SZÁMOLÓGÉP AZ ÉRETTSÉGIN

Ahogyan Pálmay Lóránt tanár úr is említette, az érettségi vizsgák szabályai voltak

talán leginkább meghatározóak abban, hogy engedték-e a számológépet használni a

tanórán. Amikor az érettségin már lehetett használni, a tanóráról sem volt értelme

teljesen számőzni. Mi a helyzet ma? Mint tudjuk, lehet használni az érettségin (mindkét

szinten) a számológépet: „A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és

megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyő

függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata

tilos!” (Középszint 2009, internet) És valóban olyanok a feladatok, hogy szükség is van

rá. Milyen funkciókra? A feladatok mekkora hányadánál? A 2009. májusi emelt- és

középszintő írásbeli vizsgákat néztem meg ebbıl a szempontból, táblázatba foglaltam a

feladatokat, a bennük szereplı mőveleteket, melyeket a kalkulátorral kell (érdemes)

elvégezni, majd a rájuk adható pontszámokat.

1. Emelt szint

115+16 megszerezhetı pontból 12 pont megszerzésében játszhat közre a

számológép, a vizsgált feladatsorban csak alapmőveletek, illetve hatványozás és

gyökvonás végzésére kellett használni. (A 3–6. feladatok megoldásához nincs rá

szükség, ezért maradtak ki a táblázatból. Ezek koordinátageometriával, függvényekkel,

egyenletekkel, kombinatorika – valószínőség-számítással kapcsolatosak.)

A feladatok szövegében egyértelmővé teszik, milyen pontossággal kell az

eredményeket megadni.

14

Em

elt s

zintő

ére

ttség

i

F

elad

at

Mő

vele

tek

Meg

jegy

zés

Pon

t-sz

ám

1. E

gy

nég

yzet

ala

pú e

gye

nes

hasá

b al

apél

e 18

egy

ség,

test

átló

ja

36·

2eg

ysé

g.

a) M

ekko

ra s

zöge

t zár

be

a te

stát

ló a

z al

apla

p sí

kjáv

al?

b) H

ány

terü

lete

gys

ég

a ha

sáb

fels

zíne

? (

A fe

lszí

n m

érısz

ámát

egy

tiz

edes

jegy

re k

erek

ítve a

dja

me

g!)

c) A

z al

apél

és

a te

stát

ló h

ossz

át –

ebb

en a

sor

ren

dben

– te

kint

sük

egy

mér

tani

sor

ozat

elsı

és n

egye

dik

tagj

ának

! Ig

azol

ja, h

ogy

az a

lapl

ap

átló

jána

k ho

ssza

enn

ek a

sor

ozat

nak

más

odik

tagj

a!

b) 2

·182 +

4 ·1

82 ·6

ala

pmőve

lete

k,

gyö

kvo

ná

s, h

atv

án

yozá

s 1

2. E

gy

gim

názi

um e

gyi

k ér

etts

égi

zı o

sztá

lyáb

a 30

tanu

ló já

r, k

özül

ük 1

6 lá

ny.

A lá

nyo

k te

stm

aga

sság

a ce

ntim

éte

rben

mé

rve

az o

sztá

lyoz

ó na

plób

eli s

orre

nd s

zerin

t: 1

66, 1

75, 1

56, 1

61, 1

59, 1

71, 1

67, 1

69, 1

60,

159,

168

, 161

, 165

, 158

, 170

, 159

.

a) S

zám

ítsa

ki a

lán

yok

test

mag

assá

gán

ak á

tlagá

t! M

ekko

ra a

z os

ztál

y ta

nuló

inak

cen

timét

erb

en m

ért á

tlagm

aga

ssá

ga e

gy ti

zede

sjeg

yre

kere

kítv

e, h

a a

fiúk

átla

gmag

assá

ga 1

72,5

cm

? E

bben

a 3

0 f

ıs

oszt

ályb

an a

tanu

lók

háro

m id

egen

nye

lv k

özül

vál

aszt

hatt

ak, e

zek

az

ango

l, a

ném

et é

s a

fran

cia.

b) H

ánya

n ta

nuljá

k m

ind

háro

m n

yelv

et, é

s h

ánya

n n

em ta

nuln

ak fr

anci

át,

ha tu

djuk

a k

övet

kezık

et:

(1)

Min

den

diák

tanu

l le

galá

bb k

ét id

ege

n n

yelv

et.

(2)

Az

ango

lt is

és

ném

etet

is ta

nuló

diá

kok

szám

a m

ege

gye

zik

a fr

anci

át ta

nuló

k sz

ámáv

al.

(3)

An

golu

l 27-

en ta

nuln

ak.

(4)

A n

émet

et is

és

fran

ciát

is ta

nuló

k sz

áma

15.

a) 2

624/

16 (

átla

g)

(262

4+14·1

72,5

)/30

ala

pmőve

lete

k

(sta

tiszt

ikai

mem

ória

se

gíts

égé

vel k

b.

ugya

noly

an

gyo

rs)

ala

pmőve

lete

k

1 1

15

7. A

ndrá

s ed

zıtáb

orb

an k

észü

l eg

y ús

zóve

rsen

yre

, 20

napo

n át

. Azt

terv

ezte

, ho

gy

napo

nta

10 0

00 m

éter

t úsz

ik. D

e az

els

ı n

apon

a te

rvez

ettn

él 1

0%-

kal t

öbbe

t, a

más

odik

na

pon

pedi

g az

el

ızı

nap

inál

10%

-kal

kev

eseb

bet

telje

síte

tt. A

3. n

apon

ism

ét 1

0%-k

al n

övel

te a

z el

ızı

nap

i ada

gját

, a

4.

napo

n 10

%-k

al k

eves

ebb

et e

dzet

t, m

int a

z el

ızı

nap

on, é

s íg

y fo

lyta

tta,

pá

ratla

n so

rszá

mú

napo

n 10

%-k

al tö

bbet

, pár

oson

10%

-kal

kev

eseb

bet

telje

síte

tt, m

int a

meg

elızı n

apon

.

a) H

ány

mét

ert ú

szot

t le

And

rás

a 6.

nap

on?

b) H

ány

mét

ert ú

szot

t le

össz

esen

a 2

0 na

p al

att?

c) A

z ed

zıtá

boro

zás

20 n

apjá

ból v

élet

lens

zer

ően

vál

aszt

unk

két

szom

széd

os n

apot

. Mek

kora

a v

alós

zínő

sége

, ho

gy A

ndrá

s e

két n

apon

eg

yütt

esen

lega

lább

20

000

mét

ert t

elje

síte

tt?

a) 1

0000·1

,13 ·0,

93

b) 1

1000·

99,01

99,01

10

−−

9900·

99,01

99,01

10

−−

c) s

zom

szédo

s na

pok

össz

eadá

sa

ala

pmőve

lete

k,

ha

tvá

nyo

zás

ala

pmőve

lete

k,

ha

tvá

nyo

zás

ala

pmőve

lete

k

4 3 2

Köz

épsz

intő

ére

ttség

i

F

elad

at

Mő

vele

tek

Meg

jegy

zés

Pon

t-sz

ám

1. O

ldja

meg

a v

alós

szá

mok

hal

maz

án a

z al

ábbi

eg

yenl

etet

!

- 2x

2 +13

x +

24

= 0

(

)(

)22

242

413

132

−⋅

⋅−

⋅−

±− 36

1

ala

pmőve

lete

k,

gyö

kvo

ná

s 2

2. S

zám

ítsa

ki a

12

és 7

5 sz

ámok

mér

tani

köz

epét

! 75

12⋅

a

lap

mőve

lete

k 2

3. E

gy

nég

yta

gú c

sopo

rtb

an m

inde

n ta

gnak

pon

tosa

n ké

t ism

erıse

van

a

csop

ort t

agj

ai k

özöt

t. S

zem

lélte

ssen

grá

ffal

eg

y ily

en is

mer

etsé

gi

rend

szer

t! (A

z is

mer

etsé

g kö

lcsö

nös.

)

- -

4. D

önts

e el

az

aláb

bi k

ét á

llítá

s m

inde

gyi

kér

ıl,

hog

y ig

az v

ag

y ha

mis

!

a) A

z xa

sin

x (

x∈R

) fü

ggvé

ny

per

iódu

sa 2π

.

b) A

z A

z xa

sin(

2x)

( x∈

R )

füg

gvén

y pe

riódu

sa 2π .

- -

16

5. A

9.B

osz

tály

léts

zám

a 3

2 f

ı. K

özül

ük e

lıszö

r eg

y os

ztál

ytitk

árt,

maj

d e

gy

titká

rhel

yett

est v

álas

ztan

ak. H

ányf

élek

épp

en a

laku

lhat

a v

álas

ztás

ki

men

etel

e?

32·3

1 a

lap

mőve

lete

k 2

6. A

dja

me

g a

log 3 81

kife

jezé

s po

ntos

ért

ékét

! lo

g 3 8

1 -

7. E

gy

mé

rtan

i sor

ozat

elsı ta

gja

-3, a

hán

yado

sa -

2. A

dja

me

g a

soro

zat

ötöd

ik ta

gját

! Ír

ja le

a m

ego

ldás

men

etét

!

-3·(

-2)4

-

8. Ír

ja fe

l 24

és 8

0 le

gkis

ebb

közö

s tö

bbsz

örös

ét! S

zám

ítás

át r

észl

etez

ze!

24 ·

3·5

-

9. A

z A

és

a B

hal

maz

ok a

szá

meg

yene

s in

terv

allu

mai

: A

= [

-1,5

; 12

], B

= [

3 ; 2

0].

Adj

a m

eg

az A∪

B é

s a

B ∩ A

hal

maz

okat

!

- -

10. A

dja

me

g a

3x + 2

y =

18 e

gye

nlető

eg

yene

s és

az

y te

ngel

y m

etsz

éspo

ntjá

nak

koor

diná

táit!

-

-

11. E

gy

kisü

zem

6 e

gyf

orm

a te

ljesí

tmén

yő g

épe

12

nap

alat

t g

yárt

aná

le a

m

egre

ndel

t csa

varm

enn

yisé

get.

H

ány

ug

yani

lyen

telje

sítm

ényő g

épne

k ke

llen

e d

olgo

znia

ahh

oz, h

ogy

ugya

nen

nyi

csa

vart

4 n

ap a

latt

kés

zíts

enek

el?

- -

12. E

gy

göm

b al

akú

gázt

árol

ó té

rfo

gata

500

0 m

3 . H

ány

méte

r a

göm

b su

gara

?

A v

álas

zt e

gy ti

zede

sjeg

yre

kere

kítv

e adj

a m

eg!

Ír

ja le

a s

zám

ítás

men

etét

!

3

4

3*50

00 π

π köb

gyö

k a

lap

mőve

lete

k

Ha

a gé

pi π

hel

yett

3,

14 k

özel

ítı é

rték

kel

szám

ol, i

lletv

e kö

bgyö

kvon

ás e

lıtt i

s ke

rekí

t, ak

kor

is u

gya

naz

az

ere

dmén

y jö

n ki

egy

tiz

edes

jegy

re k

erek

ítve

1

17

13.

Eg

y 20

00.

janu

ár e

lsej

ei n

épes

ség-

stat

iszt

ika

szer

int

a M

agya

rors

zágo

n élık

kor

és n

em s

zerin

ti m

egos

zlás

a (e

zer

fıre

) ke

rekí

tve

az a

lább

i vol

t:

a) M

elyi

k ko

rcso

port

vol

t a

leg-

népe

sebb

?

A

tábl

ázat

ad

atai

al

apjá

n ad

ja

meg

, ho

gy

hán

y fé

rfi

és h

ány

nı él

t M

agya

rors

zágo

n 20

00.

jan

uár

1-jé

n?

b) Á

bráz

olja

eg

y kö

zös

osz

lopd

ia-

gram

on,

két

külö

nbözı

je

lölé

ső

oszl

oppa

l a

férf

iak

és a

nık

kor-

csop

orto

k sz

erin

ti m

egos

zlás

át!

c) S

zám

ítsa

ki a

férf

iak

száz

alék

os a

rán

yát a

20

évné

l fia

tala

bbak

ko

rcso

port

-já

ban,

val

amin

t a le

galá

bb

80 é

vese

k kö

zött

!

korc

sopo

rt

(év)

férf

iak

szám

a

(eze

r fı)

nık

szám

a

(eze

r fı)

0 -

19

1 21

4 1

158

20 -

39

1 47

1 1

422

40 -

59

1 34

7 1

458

60 -

79

685

1 04

3

80 -

75

17

0

a) a

tábl

ázat

2. é

s 3.

os

zlop

ában

lévı

ért

ékek

ös

szea

dása

, maj

d ez

erre

l sz

orzá

s

c) 1

214/

(121

4+11

58),

ill.

75/(

75+

170)

ala

pmőve

lete

k

ala

pmőve

lete

k, e

setle

g %

2 2

14. E

gy

veté

lkedın

rész

t vevı v

erse

nyzık

érk

ezés

kor

sors

zám

ot h

úzna

k eg

y ur

nábó

l. A

z ur

nába

n 50

eg

yfo

rma

göm

b va

n. M

inde

n e

gye

s gö

mbb

en

egy-

eg

y sz

ám v

an, e

zek

külö

nbözı eg

ész

szám

ok 1

-tıl 5

0-ig

.

a) M

ekko

ra a

nnak

a v

aló

színősé

ge, h

og

y az

els

ın

ek é

rkezı v

ers

enyzı

hé

ttel

osz

that

ó so

rszá

mot

húz

? A

vet

élke

dı g

yızt

esei

köz

ött

juta

lom

ként

kön

yvut

alvá

nyt

sze

rett

ek v

olna

szé

tosz

tani

a s

zerv

ezık.

A

java

slat

sze

rint A

nna,

Be

a, C

saba

és

Dan

i kap

ott v

olna

juta

lmat

, az

egye

s ju

talm

ak a

rán

ya a

z elıbb

i sor

rend

nek

me

gfe

lelıen

1: 2

: 3:

4 .

K

özbe

n ki

derü

lt, h

ogy

akin

ek a

telje

s ju

talo

m ö

tödé

t szá

nták

, önk

ént

lem

ond

az u

talv

ányr

ól. A

zsőri ú

gy d

öntö

tt, h

og

y a

nek

i szá

nt 1

6 00

0 fo

rinto

s ut

alvá

nyt

is s

zéto

sztjá

k a

más

ik h

árom

ver

sen

yzı k

özöt

t úg

y,

hog

y az

ı ju

talm

aik

közö

tti a

rán

y n

e vá

ltozz

on.

b) Ö

ssze

sen

hán

y fo

rint é

rtékő k

önyv

utal

ván

yt a

kart

ak a

sze

rvez

ık

sz

étos

ztan

i a v

erse

nyzık

köz

ött,

és k

i mon

dott

le a

kön

yvut

alvá

nyr

ól?

c) H

ány

forin

t ért

ékb

en k

apot

t kön

yvut

alvá

nyt

a ju

talm

at k

apot

t hár

om

vers

enyzı

kül

ön-k

ülön

?

b) 1

6000·5

-

18

15. V

alam

ely

deré

kszö

gő há

rom

szög

terü

lete

12

cm2 , az α h

egye

sszö

gérıl

pedi

g tu

djuk

, ho

gy

tg α

= 23

.

a) M

ekko

rák

a há

rom

szö

g be

fogó

i?

b) M

ekko

rák

a h

árom

szög

szö

gei,

és m

ekko

ra a

kör

é ír

t kör

su

gara

?

(A s

zöge

ket f

okok

ban

egy

tiz

edes

jeg

yre,

a k

ör s

uga

rát c

entim

éter

ben

szin

tén

egy

tized

esje

gyr

e k

erek

ítve

adj

a m

eg!

)

b) tg

α =

23

0,5·

22

64

+

tan-1

eset

leg

deg

-ra

d-g

rad

át

téré

s

gyö

kvo

ná

s

„Ker

ekít

ési h

iba

eset

én

össz

esen

1 p

onto

t ve

szít

sen.

”

1 1

16. A

köv

etke

zı ké

rdés

ek

ugya

nar

ra a

20

olda

lú s

zabá

lyos

sok

szög

re

vona

tkoz

nak.

a) M

ekko

rák

a so

kszö

g b

elsı s

zöge

i? M

ekko

rák

a kü

lsı sz

ögei

?

b) H

ány

átló

ja, i

lletv

e há

ny

szim

met

riate

nge

lye

van

a so

kszö

gnek

? H

ány

külö

nbözı h

ossz

úság

ú át

ló h

úzha

tó e

gy

csúc

sból

?

c) M

ilye

n ho

sszú

a le

grö

vide

bb á

tló, h

a a

szab

ályo

s so

kszö

g be

írt k

örén

ek

suga

ra 1

5 cm

? A

vál

aszt

ké

t tiz

edes

jegy

re k

erek

ítve a

dja

me

g!

a) p

l. 36

0º/2

0

vag

y (2

0-2)·

180º

/20

b) 2

0·(2

0-3)

/2

c) 3

0·tg

9º ≈ 4

,75

és

2·4

,75·

sin8

1º ≈ 9

,38

2·(3

0·tg

9º)·s

in81

º ≈ 9

,39

legf

elje

bb a

lap

mőve

lete

k

ala

pmőve

lete

k

tan

sin

eset

leg

deg

-ra

d-g

rad

át

téré

s

A ja

vítá

si ú

tmut

ató

9,38

vé

gere

dmén

yt a

d, d

e „9

,39

is e

lfoga

dhat

ó”.

Gép

ben

hag

yott

ért

é-ke

kkel

ez

utób

bi jö

n ki

.

- - 2

19

17. A

val

ós s

zám

ok h

alm

azán

ért

elm

ezet

t f m

ásod

fokú

függ

vén

y gr

afik

onjá

t

úgy

kapt

uk, h

og

y a

g :

R →

R g

(x)

= 21

x2 fü

ggvé

ny

graf

ikon

ját a

v (2

; -4,

5) v

ekto

rral

elto

ltuk.

a) A

dja

me

g az

f fü

ggvé

ny

hozz

áren

delé

si u

tasí

tásá

t kép

lett

el!

b) H

atár

ozza

meg

f zé

rush

elye

it!

c) Á

bráz

olja

f gr

afik

onjá

t a

[- 2

;6 ]

inte

rval

lum

on!

Old

ja m

eg a

z e

gész

szá

mok

hal

maz

án a

köv

etke

zı e

gye

nlıtle

nsé

get!

d) 21

x2 ≤ 2

x +

25

- -

18. E

gy

ruh

ázat

i na

gyk

eres

kedé

s ra

ktár

ában

az

egy

ik fa

jta s

zöve

tkab

átbó

l m

ár c

sak

20 d

arab

azo

nos

mér

ető é

s az

onos

szí

nő k

abát

mar

adt;

eze

k kö

zött

9 k

abát

on a

pró

szöv

ési h

ibák

ford

ulna

k el

ı. A

na

gyk

eres

kedé

s er

edet

ileg

dar

abon

ként

17

000

Ft-

ért

árul

ta a

hib

átla

n és

11

000

Ft-

ért a

sz

övés

i hib

ás k

abát

okat

. A m

egm

arad

t 20

kab

át d

arab

ját a

zonb

an m

ár

egys

ége

sen

14 0

00 F

t-ér

t kí

nálja

. Eg

y ki

ske

resk

edı m

egvá

sáro

lt 15

da

rab

kab

átot

a m

egm

ara

dtak

ból.

Eze

ket e

gye

nlı v

alós

zínő

ségg

el

vála

sztja

ki a

20

kabá

t kö

zül.

a) S

zám

ítsa

ki,

mek

kora

ann

ak a

val

ószí

nősé

ge, h

ogy

a ki

vála

szto

tt

kabá

tok

közö

tt le

gfel

jebb

5 o

lyan

van

, am

i szö

vési

hib

ás!

(A v

alós

zínő

sége

t hár

om ti

zede

sjeg

yre

kere

kítv

e a

dja

me

g!)

b) L

egf

elje

bb h

ány

hib

ás k

abát

vol

t a 1

5 kö

zött

, ha

a ki

sker

eske

dı

keve

sebb

et f

izet

ett,

min

t ha

a ka

bát

okat

ere

deti

áruk

on v

ásár

olta

vol

na

meg

?

a)

1520

1011

59

1111

49

126/

1550

4 ≈ 0

,008

1386

/155

04 ≈

0,08

9

1512

/155

04 ≈

0,09

8

vag

y 0,

008

+ 0

,089

≈ 0,0

97

11 0

00x+

17 0

00(1

5 −

x)>

14 0

00·1

5

ala

pmőve

lete

k

vag

y fa

kto

riá

lis !

vag

y n

Cr

Itt is

két

féle

ere

dmén

yt

foga

dnak

el,

az e

lsı a

pont

osab

b.

„0,0

97

is e

lfog

ad

ha

tó”

ala

pmőve

lete

k

1 3 3

20

2. Középszint

A megszerezhetı 100+17 pontból 22 pont eléréséhez szükség van a számológép

használatára (számolásban bizonytalanabb tanulóknál ennél többhöz is!), mert

gyorsabban elvégezhetık a mőveletek, illetve azért, mert fejben és papíron nem,

legfeljebb négyjegyő függvénytáblázatok segítségével (szintén több idıt igényel)

kapható meg az eredmény, ha nincs számológépünk.

A táblázatban elıfordul, hogy kiemeltem egy-egy mőveletet, de nem írtam hozzá

pontszámot, mert azt gondolom, hogy egy jó képességő tanuló fejben gyorsabban

kiszámítja az eredményt, mint géppel. Látható, hogy azért elég sok ilyen van (ez

megnövelheti a becsült 22 pontot), így aztán a majdnem 20%-os arány középszinten

akár 30 is lehet, különösen, ha a „nem választott feladathoz” épp nem is kell a

számológép.

Az alapmőveleteken kívül a gyökvonás, a köbgyökvonás, esetleg a hatványozás

mőveletét használjuk, továbbá használható a π tárolt értéke, a % és a faktoriális gombja,

a permutáció és a kombináció gombjai (ha van). Nagyon fontos, hogy magabiztosan

tudják a tanulók használni a trigonometriai számításokhoz szükséges gombokat (hiszen

különbözı gépeken különbözı sorrendet használunk, pl. 6 0 sin vagy sin 6 0 =),

odafigyeljenek, hogy milyen módban van a számológép (deg-rad-grad), hogy az inverz

függvény használatakor megnyomják a SHIFT vagy 2ndF vagy INV stb. gombokat, a

végeredménynél ne feledkezzenek meg a mértékegység (fok) kiírásáról.

Fontos, hogy a feladat szövege felhívja a figyelmet arra, hány tizedes jegyre

kerekítve adják meg az eredményt, valamint a javítási útmutatóban kerekített

részeredményekkel és „gépben tárolt” (kifejezett) értékekkel számított végeredményt is

feltüntetnek, elfogadnak.

Érdekesnek tartom a két szint közötti különbséget. Az a benyomásom a többi

érettségivizsga-feladatsor alapján, hogy ezek mindig megmutatkoznak: emelt szinten

kevesebbszer kell elıvenni a számológépet, és kevesebb funkcióját is kell használni.

(Ennek okai többek között, hogy emelt szinten jobban kell tudni kezelni az

azonosságokat, számok helyett a változókat vagy a kifejezések továbbvitelét (pl. 2 ).)

21

1.4. A SZÁMOLÓGÉP A TANKÖNYVEKBEN

A Sokszínő matematika (Mozaik Kiadó) tankönyvsorozatot vizsgáltam meg abból a

szempontból, hogy mekkora azoknak a feladatoknak az aránya, melyekhez számológép

használata szükséges az egyes témáknál. (Mindezeket összevetettem a vizsgált

kerettantervekkel, valamint a matematika tárgy taneszközeire vonatkozó szakmai

ajánlással (OKM 2003, internet).)

A feladatok szövegében, illetve az ábráknál hogyan jelenik meg ez az eszköz,

esetleg konkrétan a gép kezelésére vonatkozó információkkal találkozhatunk-e?

Vannak-e olyan feladatok, melyek nem csupán számolási segédeszközként

használják a gépet, hanem esetleg felfedeztetésre, „önmagáért”?

1. Felsı tagozat (5–8. osztály; a 8. osztályos tankönyvnek jelenleg csak az elsı

két fejezete hozzáférhetı):

Általánosságban elmondható, hogy a kitőzött feladatok egyikéhez sincs szükség a

számológép használatára. Van néhány „nehezebb”, több idıt igénylı alapmővelet egyes

példákban, de ezeknél sem biztos, hogy érdemes a számológéphez nyúlni.

Például: 7/58/5. pl.

„A Föld a Nap körüli keringése során 1 év alatt 940 millió km utat tesz meg.

Mekkora sebességgel halad eközben?”

Mivel a tananyag címe: „Mőveletek normálalakban felírt számokkal”, ahol azt

tanuljuk meg, hogyan tudunk nagy számokkal könnyen dolgozni papíron, én nem

venném elı a számológépet, hadd számoljanak egy kicsit. Tehát el kell végeznünk az

alábbi szorzást, majd osztást – írásban (elıtte becsüljük meg az eredményt):

365·24·60·60; 9,4 : 3,15

Ha mindezt mégis a zsebszámológéppel tennénk, akkor az lenne az ideális, ha

lennének olyan tanulók, akiknek a kijelzıjén csak 8 karakter fér el, mert ez jobban

indokolná a normálalak használatát (a 940 milliót ık nem tudnák beírni).

22

Tehát, mivel a tankönyv feladatai nem igénylik a számológép használatát, a

tananyag szövege ezzel az eszközzel nem foglalkozik, ezért a tanárra bízzák a munkát,

hogy megtervezze, mikor, milyen feladatokkal fogja megmutatni a kalkulátort a

diákoknak. Mert meg kell mutatni. A mozaikos kerettanterv szerint 7.-ben ajánlott

elıvenni a gépet a mőveletek gyakorlására (racionális számkörben), majd 8.-ban a

gyökvonásnál, illetve a térgeometriánál (a térgeometriai rész még nem jelent meg). A

kompetencia alapú kerettanterv ezeken kívül még a hatványozásnál és a körnél is

foglalkozna ezzel az eszközzel. A segédlet 7. osztálytól kezdıdıen a „minimális

demonstrációs” eszközök között a legtöbb témakörnél feltünteti a számológépet.

Képek azért vannak a tankönyvben. Az 5. és a 6. osztályos könyvekben A tört

értelmezése, ill. A törtekrıl tanultak ismétlése címő leckékben kiemelik a

zsebszámológépen az osztásjel képét. Érdemes egy mondatot mondani nekik arról (vagy

inkább kérdezni), miért így néz ki (kettıspont is és törtvonal is…). Sıt a szorzás jelérıl

sem hiábavaló említést tenni, van olyan, aki a tizedesponttal próbál szorozni.

5.-ben még egy érdekes feladat is található, de csak minimálisan van köze a

kalkulátorhoz: „A számológépen az ábrán látható módon jelennek meg a számok. Írjuk

fel törttel, hogy az egyes számoknál a jelek hányad része világít. Melyik esetben

egyezik meg a tört számlálója a kijelzett számmal?” (5/129/7.)

2. Középiskola (9–12. évfolyam)

Elengedhetetlen a számológép biztos és pontos használata, szükség van a

tudományos számológépre, mely manapság már körülbelül egy matematika-tankönyv

árán is beszerezhetı. A következı táblázatokban a tankönyvsorozat egyes fejezeteit

soroltam fel, majd + jelet írtam melléjük a táblázatban, ha a számológép használatára

szükség van az adott fejezet feladatainak megoldásához (ha a teljes fejezethez nem,

akkor kiemeltem a témákat), illetve ha a mozaikos kerettanterv, a kompetencia alapú

(OKM-es) kerettanterv, illetve a matematikai taneszközökre vonatkozó szakmai ajánlás

(OKM) javasolja, hogy foglalkozzunk vele. Az egyes táblázatok után a saját

véleményemet fogalmazom meg, illetve kiemelek néhány feladatot a tankönyvekbıl.

23

9. évfolyam

Témakörök, fejezet A tk. feladatai Mozaik Nat-2003

Kerettanterv OKM

Ajánlás OKM

Kombinatorika, halmazok

- - - -

Algebra és számelmélet Hatványozás

- - - +

A számok normál alakja

+ - - -

Számrendszerek + - - - Függvények - - - - Háromszögek, négyszögek, sokszögek

+ - - -

Egyenletek, egyenlıtlenségek, egyenletrendszerek Egyenletekkel megoldható feladatok

+ - - +

Egybevágósági transzformációk A pont körüli forgatás alkalmazásai

+ - - -

Statisztika + - + +

Hatványozás

A téma végén (legkésıbb) pár percet érdemes szánni a számológép használatára.

A hatványozás témája alkalmas arra, hogy szembesítsük a tanulókat az eszköz

korlátaival. Két ötlet Vásárhelyi Évától (2006):

„Számítsuk ki az a = 2n (n = 0, 1, 2, 3, ...) kifejezés értékét hagyományosan és

számológéppel is!

Egészen 219-ig jó eredményt kaptunk a kalkulátorral és átadtuk a „vezetést“ a

gépnek. 2100-nál az eredmények közötti eltérés (≈5,1·1025) lett. Az ellenırzést a „biztos“

kézi részeredménnyel való visszaosztással végezték a tanulók.”

„Számítsuk ki az a = 230 - 216 • 214 kifejezés értékét hagyományosan és

számológéppel is! Hát nem tudja a kalkulátor, hogy ez 0?”

24

Feladhatjuk a dolgozatom második részében tárgyalt „Melyik szám nagyobb:

99100 vagy 10099?” feladatot is. A gép nem tudja megjeleníteni egyik hatványértéket

sem, de ha végzünk egy kis átalakítást (kétféleképp is lehet), akkor már segíthet.

Adhatunk olyan feladatot, mely hamar „lebuktatja” a számológéppel dolgozókat:

9/39/2.f) Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét!

6

5

4

23

25

64

128

62532 ⋅⋅

Átalakítás után 4

17

5

2-t kapunk, senki sem kívánja, hogy tovább számolva

megadjuk a 209,7152 eredményt, amit viszont a számológép kiír.

Ennél az elızıhöz hasonló feladatnál nem is tudjuk használni a gépet:

Végezzük el a következı mőveleteket:

90

14638

25

5625 ⋅ (Pedig „kis” szám, 625 az eredmény.)

Ahogy akkor sem tudjuk használni a gépet, ha betőkkel dolgozunk. Házi

feladatnál, számonkérésnél mindig kérjük a köztes lépések leírását is, így a

számológépet legfeljebb csak ellenırzésre használják (ahol tudják). Hiszen nagyon

fontos, hogy a hatványozás azonosságait jól begyakorolják…

A számok normál alakja

Szükség van rá néhány feladatnál. Más tantárgyakból, fizikából, kémiából való

példák következnek, sıt azt is ki kell számolni, „mennyit vert a szívünk eddigi életünk

során”. Mindezekhez jó, ha nem kell hosszasan írásbeli szorzást és osztást végezni.

Mindenképpen gyakorolni kell számológéppel is a normál alak használatát. A beírást,

illetve a kijelzın megjelenı számok, jelek értelmezését is meg kell beszélni, mert

nagyon eltérı az egyes gépeknél.

Kétféle módon számolnám ki a 9/45/6. feladatot: „Hány százaléka a Naprendszer

bolygóinak összes tömege a Nap tömegének?” Mivel a 9 bolygó tömegének normál

alakjában a karakterisztikában 22–27-ig minden egész szám elıfordul. Tehát

25

használnánk olyan gépet is, amely kezeli a normál alakot (pl. EXP gombbal), és olyat

is, amelyik nem, tehát kénytelenek vagyunk mindegyik számot x·1022 alakban felírni.

Az algebra témakörnél (nevezetes szorzatok) fejszámolási trükköket is

találhatunk, valamint szerepel még az alábbi rejtvény (9/53. o.): Melyik szám nagyobb:

632757·632763 vagy 6327602? Egyszer az egyik kolléganımnek azt mondták a diákok,

hogy számológéppel ugyanannyi jön ki. Ha már felvetették, érdemes belemenni a

„játékba”. Mi van a kijelzın? 4.003852176x1011 Ez mit jelent? Írjuk ki!

400 385 217 600. (Az elsı szorzat 1-re végzıdik, a hatványérték 0-ra.) Vonjuk ki

egymásból a két számot számológéppel! Egyes gépeken -9 jön ki! Tehát a kijelzın már

nem tudta megjeleníteni az utolsó két számot, de a memóriában még tárolta.

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

A geometria témakörnél sokkal egyszerőbb dolgunk van a számológép használatát

illetıen, hiszen itt általában valóban csak a számolások gyorsabb, pontosabb elvégzését

segítik (gyökvonás, pí), nem merül fel ahhoz hasonló kérdés, hogy „Az én gépem tud

törtet egyszerősíteni, akkor miért bontsak prímtényezıkre?”.

Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel megoldható feladatok

Életszerő feladatokkal találkozhatunk ebben a részben, több feladatnál is szükség

van a számológépre, például a százalékszámítást igénylıknél.

A pont körüli forgatás alkalmazásai

A szögek kétféle mértékegysége közötti átváltás is igényli a gép használatát.

Gyakori probléma a helytelen üzemmód használata (DEG-RAD).

Statisztika

A számológépnek nagy hasznát látjuk ennél a témakörnél. Sok adattal dolgozunk,

ezek pedig ritkán szép, kis, kerek számok.

26

10. évfolyam

Témakörök, fejezetek A tk. feladatai

Mozaik NAT-2003

Kerettanterv OKM

Ajánlás OKM

Gondolkodási módszerek Skatulya-elv; Sorba rendezési és kiválasztási problémák

+ - - +

A gyökvonás - - - + A másodfokú egyenlet

+ - - +

Geometria A körrel kapcsolatos ismeretek bıvítése

- - + -

A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai

+ + - +

Hegyesszögek szögfüggvényei

+ + - +

Vektorok - - - - Szögfüggvények + + - + Valószínőségszámítás + - + +

A „ Gondolkodási módszerek” címő témakörben a feladatok végeredménye

többnyire megadható hatványalakban vagy faktoriális segítségével, ebben az értelemben

tehát nincs szükségünk számológépre. De például a 10/31/8. feladat megoldásánál

mindenképpen javasolt elvégezni a hatványozást: „Az egyhasábos totószelvény 13+1

helyére 1, 2 vagy X kerülhet. Hányféleképpen lehet kitölteni ezt a totószelvényt?”

Tudjuk, hogy a 314 nagy szám, de azért gondolkodunk, azért számolunk az egyes

feladatoknál, mert kíváncsiak vagyunk. Az életbıl vett feladatokat akkor érzik a tanulók

„megoldottnak”, ha az utolsó mőveletet is elvégezzük, így a fenti esetben például

megkapjuk a 4 782 969 számot.

A gyökvonás fejezetnél a hatványozás témakörhöz hasonlóan a tanárok nagy része

nem engedi használni a számológépet. Íratlan szabálynak számít, hogy ha hatványérték

vagy egy szorzat értékének kiszámítását kéri a feladat, vagy azt kérdi, hogy melyik

szám nagyobb, akkor ne csak a végeredményt írjuk oda, hanem az átalakításokat is

(azonosságok felhasználása).

27

Példa: 10/52/4.pl. „Számítsuk ki a 44 206206 +⋅− szorzat pontos értékét.”

(Azt gondolom, hogy számológépbe beütni még lassabb is, mint leírni a közös

gyökjel alá bevitelt, majd a nevezetes szorzatot átírni.)

A másodfokú egyenlet fejezetnél nélkülözhetetlen a számológép a tankönyv

feladatait tekintve (is).

A geometria témakörnél a hegyesszögek szögfüggvényeire térnék ki. Ennél a

témakörnél a tankönyv szövege többször is említi a számológépet.

Pl. 10/157. o.: „Hegyesszögek szögfüggvényértékeinek a meghatározására

manapság a legtöbb forgalomban levı zsebszámológép alkalmas.”

A néhány ehhez hasonló mondat megfelelıen eligazítja a diákokat: most használni

fogják a számológépet.

10/166/1. „Számítsuk ki zsebszámológép és függvénytáblázat használata nélkül a

következı kifejezések értékét.”

Gyakran elıforduló mondat, mely itt a nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek

vagy az összefüggéseknek a begyakorlása érdekében áll.

Egy másik tankönyvben, a gyökvonás témakörnél (Hajnal Imre–Számadó László–

Békéssy Szilvia: Matematika a gimnáziumok számára 10.) szintén van erre a mondatra

példa, a 37. oldal 2. példája, melyre az utolsó mondata miatt térnék ki.

Milyen elıjelő a 36 35 − különbség? Válaszoljunk zsebszámológép használata

nélkül!

A feladat megoldása és a válasz megfogalmazása után zárójelben ezt a mondatot

találjuk: „Zsebszámológéppel számolva 36 35 − = -0,134589…”

Ez a mondat egyrészt azt sugallja, hogy a zsebszámológépet érdemes idınként

ellenırzésre felhasználni. Másrészt viszont a diákokban felmerülhet a gondolat:

– Miért írtunk 13 sort, ha a számológéppel nemcsak a negatív elıjelet, hanem a

közelítı értéket is megkaphatjuk?

– Átalakítgathatjuk, de az a biztos, ha a végén beütjük a gépbe is.

– A feladat csak az elıjelet kéri, de jó, ha megadjuk azért az értéket is?

28

A szögfüggvények címő részben ezt találjuk: „Az eddigiekben olyan szinusz- és

koszinuszértékeket számoltunk ki, amelyek közvetlenül definícióból, vagy a definíció

alapján és a 30º, 45º, 60º hegyesszögek már ismert szinusz- és koszinuszértékeinek

felhasználásával kiszámíthatók. Az egyéb esetekben a szögfüggvényértékek

kiszámításához szükségünk van zsebszámológépre vagy táblázatra.” (10/199. o.)

Miért érdemes az órán a táblázatot is használni? Mert csak a hegyesszögeket

tartalmazza. Miért nem érdemes a táblázatot használni? Mert csak a hegyesszögeket

tartalmazza. A függvénytulajdonságok gyakorlásánál hasznos lehet, gyakorlati feladatok

megoldásánál viszont sokkal lassabb, mint a számológép, ráadásul még egy mőveletet el

kell végeznünk (ha nem a hegyesszögrıl van szó).

11. évfolyam

Témakörök, fejezetek A tk. feladatai

Mozaik Nat-2003

Kerettanterv OKM

Ajánlás OKM

Kombinatorika, gráfok

+ - - -

Hatvány, gyök, logaritmus

+ - + +

A trigonometria alkalmazásai

+ + + +

Függvények + - - + Koordinátageometria + - - + Valószínőség-számítás, statisztika

+ - + +

A 11. évfolyamon nincs olyan témakör, ahol ne kellene elıvenni a számológépet.

A tankönyvben több ábrán is megjelenik ez az eszköz, és természetesen a feladatok

szövegében is gyakran elıfordul a neve.

Hatvány, gyök, logaritmus

Amikor „életszerő” példák jönnek, akkor legtöbbször szükség van a gépre.

Példa: 11/83.5. pl. b) „Hány %-kal csökken a dobhártyánkra nehezedı

légnyomás, ha Szegedrıl (tengerszint feletti magasság 84 m) felmegyünk a Kékestetıre

29

(tengerszint feletti magasság 1014 m)?” „Az e hatványát zsebszámológép segítségével

kaphatjuk meg.” e-0,11625 = 0,89025

A logaritmus fogalmának bevezetésénél is jó, ha kéznél van a számológép:

11/92/1. példában a 2x = 12,5 egyenletben a kitevıt zsebszámológéppel

közelítıleg határozzuk meg.

És az egyik logaritmus-azonosság bevezetésénél:

11/105. „A zsebszámológépek és táblázatok általában a számok 10, illetve e alapú

logaritmusait tartalmazzák. Hogyan számolhatók ki más alapú logaritmusértékek?” (A

logaritmus azonosságai)

A trigonometria alkalmazásai

11/183. „Érdekes kísérletet végezhetünk egy zsebszámológéppel. Számítsuk ki a

cos1 értéket, majd erre újra a koszinuszfüggvény értékét, azaz a cos(cos1) értéket, és így

tovább. […] Ez a módszer, az úgynevezett iteráció szintén sokszor alkalmazható az

f(x)= x alakú egyenlet megoldására.”

186/6. Az inverz függvények címő leckénél (arcsin x függvény tárgyalása)

konkrétan a számológép használatán keresztül vezetik be az új fogalmat. „A

zsebszámológépek egy részén az 2

1után az „inv” és „sin” gombok megnyomására jön

elı a megfelelı x érték. Ez azt jelenti, hogy a szinusz inverz függvényét számoljuk ki az

2

1 helyen.”

12. évfolyam

Témakörök, fejezetek A tk. feladatai

Mozaik Nat-2003

Kerettanterv OKM

Ajánlás OKM

Logika, bizonyítási módszerek

- - + -

Számsorozatok + - + + Térgeometria + - + + Valószínőség-számítás, statisztika

+ - + +

Rendszerezı összefoglalás

+ - + +

30

Ezen az évfolyamon is szinte végig szükség van a kalkulátorra (ebben nagyjából

egyezik is a vizsgált anyagok tartalma), melynek vélhetıen már minden fontos gombját

ismerik, és ha 9. osztály óta rendszeresen használják, akkor kellı gyorsaságra is szert

tettek. (Érdemes ugyanazt a gépet használni végig, vagy legalább nagyon hasonló típust.

Az a tapasztalatom, hogy a sajátjukat mindig sokkal hamarabb megszerették és

megtanulták kezelni, mint amikor mindig kölcsönkértek, hol testvértıl, hol

évfolyamtárstól.)

Mi az oka annak, hogy a négy megvizsgált anyag ennyire eltérı képet mutat (a 12.

évfolyam kivételével)?

A mozaikos kerettantervben csak a szögfüggvények, trigonometria részeknél

említik ezt az eszközt. A többi témánál nem arról lehet szó, hogy nem ajánlják (furcsa

lenne, ha ennyire nem lenne összhangban a saját tankönyvével), hanem egyszerően nem

fordítottak rá figyelmet, nem tartották hangsúlyos elemnek a számológép használatára

való kitérést.

A tankönyv oszlopa kapta a legtöbb „+” jelet, nyilván azért, mert itt már nemcsak

tervrıl, elképzelésrıl van szó, hanem konkrét megvalósulásról, így a tervezettnél, illetve

a „minimumnál” többször van szükség a kalkulátorra. A legnagyobb egyezés a

tankönyv és az ajánlás között van. Különösnek tartom, hogy a kompetencia alapú

kerettanterv 10. évfolyamon a másodfokú egyenletnél és a szögfüggvények tananyagnál

sem említi a számológépet. Úgy tőnik, a 11. évfolyamnál korábban nem igazán

tanácsolja intenzíven ennek az eszköznek a használatát (kivéve a valószínőség-számítás

és statisztika témakört).

Összefoglalva tehát a Sokszínő matematika tankönyvcsalád feladataihoz felsı

tagozatban még nem igazán van szükség a számológépre, a középiskolában viszont

egyértelmően nélkülözhetetlen. Évfolyamról évfolyamra egyre inkább. A magyarázó

szövegek és a feladatok szövege ahol kell, röviden, lényegre törıen tér ki ennek az

eszköznek a használatára. A kezelését nem tanítja, magával a géppel külön nem

foglalkozik (van olyan tankönyv, amelyik igen). Nagyon jónak tartom, hogy egyes

témák bevezetésénél hivatkozik a számológépre (a logaritmus fogalma, az egyik

logaritmus-azonosság, az arcsin x függvény), és egy érdekes „kísérletre” is felhívja a

tanulók figyelmét (cos cos…1 – iteráció). A számológépes rajzok is ötletesek.

31

2. FELADATOK, INTERAKTÍV FELADATLAPOK

„– A legtöbb igazi matematikus egyáltalán nem is tud számolni. Meg az

idıt is sajnálja rá. Arra valók a zsebszámológépek. Neked nincs?

– Van, de az iskolában nem szabad használni.”

Hans Magnus Enzensberger: A számördög

2.1. NÉHÁNY ÉRDEKES SZÁMOLÓGÉPES FELADAT

A normál, kicsi zsebszámológép használatával kapcsolatban sokan írtak

feladatokat. Már az alsó tagozatosoknak is készültek gyakorló füzetek. 5.-eseknek egy

négyórás modult írt játékos feladatokkal Abonyi Tünde (internet). A sorozatok

képzését, a memória használatát, a mőveleteket gyakorolják, miközben számos

képességük fejlıdik (megismerési képességek, problémamegoldó gondolkodás,

kommunikációs képességek stb.). A 8. évfolyamra járók találhatnak az interneten olyan

feladatlapot is, amelyben azt kell megtippelni, hogy számológéppel vagy a nélkül lesz

gyorsabb egy mővelet elvégzése. Mindeközben a mőveleti sorrendet, a törteket, a

hatványozást stb. ismétlik át (Kempelen, internet). Egyszerő, nagyon szemléletes e-

tananyagra is van példa (Realika, internet). Szintén 5–6. osztályosoknak készült Szalay

István (2009) három példája is, mely a számológéppel végzett mőveleteket írásbeli

alapmőveletekkel kombinálja, hibát is számoltat.

A következı tizenkét feladat inkább 9–12. évfolyamos diákoknak való. Az itt leírt

szögfüggvényekkel kapcsolatos példákat az e-tananyagba is beépítettem. A 3–5. és a 10.

feladat forrásait az adott helyen feltüntettem, ezek közül a 4–5. feladatot átdolgoztam és

kiegészítettem, a többit saját magam készítettem.

32

Csak a számológép használatának gyakorlása

1. Nevek a kijelzın

Töltsd ki az alábbi személyek adatlapját úgy, hogy számológéppel kiszámolod a

megfelelı cellában található mőveletek eredményét, majd a kijelzırıl fejjel lefelé

leolvasod!

Név:

5,22,231584

10302

⋅− 4,340501125sin ⋅⋅° ( )3745000!9 +−

Életkor:

−4

392

8

7345

50

16

368

3:

6cos

3sin

ππ ⋅ 3 7 882 +

10. évfolyamtól ajánlható feladat. A gyerekek szeretnek egymással versenyezni,

érdemes tehát így megoldani. A megoldásuk helyességérıl szinte azonnal visszajelzést

kapnak, hiszen nevet és életkort kell látniuk a megfordított kijelzın. Mindig akad

néhány tanuló, aki azt gondolja, a számológép kezelése magától adódik, nem szükséges

tanulni, gyakorolni. İket meggyızheti ez a közepesen nehéz feladat.

Oda kell figyelniük a mőveleti sorrendre, hiszen a tört nevezıje, a szinusz és a

koszinusz utáni, valamint a gyökjel alatti szám sincs zárójelben, a gépen azonban

használni kell ezt a jelet. Szükség lesz a szögek mértékegységének megváltoztatására is.

A számoknál is meg kell fordítani a gépet!

Megoldás:

(1717)

(1702)

(317537)

18 26 9

33

2. Triminó

Párban dolgozzatok! Számológéppel számítsátok ki a mőveletek eredményét,

írjátok a vonalra egy tizedes jegyre kerekítve, majd az egyezı éleket illesszétek össze!

(Egyféle eredmény pontosan kétszer szerepel.) Nézzük meg, kik lesznek a

leggyorsabbak!

11. évfolyamtól ajánlom a feladatot, melynek helyes és gyors megoldásához

szükség van a számológép gyakorlott kezelésére, a legfontosabb gombok ismeretén

kívül matematikai ismeretekre is (pl. logaritmus-azonosság, reciprok, százalékszámítás

stb.). Fontos a mőveleti sorrend és a kerekítés helyes alkalmazása.

34

sin20

cos25º50’

ctg73,3º

reciproka192

663

32 854,2047 ⋅

6073 + log2158

84π 8,45

6,6333

⋅

4,034

95727744 : 9!

3119+ 64,63

πtg⋅

225 5 +

-(56+(24-15·96))-21,7

35-nek a 12%-a

4 óra 12 perc hány óra

12

23

5

11+

2·lg115

Megjegyzés: A táblázatban a szomszédos sorban lévı kifejezések egy tizedes

jegyre kerekített értékei megegyeznek. A nyilak jelentése: ha nem vált át radiánba, ha π

helyett 3,14-dal számol, ha nem használ zárójelet a gyökvonásnál vagy a tört

nevezıjénél, ha nem 60-as számrendszer szerint számol, akkor nem a kifejezés másik

oldalon lévı párját, hanem az alatta vagy fölötte levı sorban található kifejezések

értékét kapja. Ezáltal még nehezebbé válik a feladat.

Elıször a gombok, aztán a gondolkodás

A következı négy feladatban elıször a számológéppel kell kísérletet végezni,

majd következtetéseket levonni, bizonyítani.

35

3. Kísérlet a számológép log gombjával

A feladat Kovács Károlyné (internet) ötlete:

Módszertani megjegyzés: Biztassuk a tanulókat, hogy valamilyen, általuk

megalkotott rendszer szerint végezzék a kísérleteket. Az a) kérdésben kért

tapasztalatokat győjtsük össze, és hagyjuk, hogy a tanulók maguk próbálják az

indokokat megfogalmazni. Ha nem sikerül tisztázni a kérdést, akkor a b) probléma

megoldása valószínőleg segít majd, hiszen az egyes lépések „eredményét” ki tudják

számolni.

András a számítógép számológépével végzett kísérleteket. Beírt egy pozitív egész

számot, majd egymás után annyiszor nyomta be a számológép log gombját, amíg a gép

ki nem írta, hogy „A bevitt adat érvénytelen”. Minden egyes szám esetén feljegyezte,

hogy hányadik lépésben jutott az „érvénytelen” kiíráshoz.

a) Végezz ilyen kísérleteket a saját számológépeden! Mit tapasztaltál?

b) András beírta a 1010 számot. Ezzel a számmal végrehajtva a kísérletet,

hányadik lépésben jutott elıször az érvénytelen kiíráshoz?

András azután egy elég sokjegyő számot a következıképpen hozott létre: sorban,

egymás után beírta 1-tıl 20-ig az összes egész számot. Az így kapott számot jelöljük n-

nel.

c) Hány számjegyő az n szám?

d) Ezzel a számmal milyen eredménnyel végzıdött a kísérlet?

e) Melyik az a legnagyobb n szám, amelyre lg lg lg lg n értelmezhetı, de

lg lg lg lg lg n már nem?

Megoldás:

a) A 10-es alapú logaritmusfüggvény szigorúan növekvı tulajdonságát

alkalmazva: Ha a beírt n szám kétjegyő, akkor 1 ≤ lg n < 2 , és 0 ≤ lg lg n < 1, ebbıl

lg lg lg n < 0 , így a lg lg lg lg n már nem értelmezhetı. Ha a beírt n szám kilenc

számjegyő, azaz 108 ≤ n < 109 , akkor 8 ≤ lg n < 9 , ebbıl lg8 ≤ lg lg n < lg9 . Mivel

0 < lg8 < 1 és 0 < lg9 < 1, így lg lg lg n < 0 , tehát a lg lg lg lg n már nem értelmezhetı.

36

b) lg1010 = 10lg10 = 10 , így lg lg1010 = lg10 = 1, ebbıl lg lg lg1010 = lg1 = 0 . A

nulla logaritmusát nem értelmezzük, így a negyedik lépésre már kiírja a gép, hogy

érvénytelen az adatbevitel.

c) 9 +11· 2 = 31. Az n szám 31 számjegyő.

d) Mivel a beírt n szám 31 számjegyő, és 1030 < n < 1031, akkor 30 < lg n < 31,

ebbıl lg30 < lg lg n < lg31. Mivel 1 < lg30 < 2 és 1 < lg31 < 2 , így 0 < lg lg lg n < 1.

Ez azt jelenti, hogy lg lg lg lg n < 0 , tehát a lg lg lg lg lg n már nem értelmezhetı.

e) A feltétel szerint a lg lg lg lg lg n már nem értelmezett, így lg lg lg lg n ≤ 0 .

Így lg lg lg n ≤ 1, ebbıl adódik, hogy lg lg n ≤ 10 , ezért lg n ≤ 1010 .

Tehát ekkor n ≤ ( )101010 , így a legnagyobb ilyen n szám a ( )101010 .

Módszertani megjegyzés: Érdemes a tanulókkal meggondoltatni, hogy hogyan

nézne ki ennek a számnak a 10-es számrendszerbeli alakja (az 1-es után 10 000 000 000

db nulla áll), és vajon ismernek-e olyan adatot, amelyik ilyen nagy számmal adható

meg. Pl. 1 fényév = 9,4605·1015 m, a Tejútrendszer átmérıje közel 100 ezer fényév.

4. Koszinusz, koszinusz, koszinusz…

A feladat egy kicsit másképp a Sokszínő matematika tankönyvben található.

(11/183/3. pl.) 11. évfolyamon oldjuk meg, jó képességő, érdeklıdı diákokkal!

Végezz egy kísérletet a számológépeddel! Számítsd ki (radiánban) a cos1 értékét,

majd erre újra a koszinuszfüggvény értékét, azaz a cos (cos1)-et, és így tovább.

(A második lépéstıl elég az = gombot nyomogatni.) Figyeld a számokat!

a) Mit tapasztalsz?

b) Melyik értéknél áll meg a gép?

c) Mi lehet ez a szám?

37

Megoldás: a) 0 és 1 közé esı értékek jönnek ki, melyek felváltva nagyobbak-

kisebbek.

b) A mővelet kb. 50-szeri megismétlése után a kijelzın a 0,739085133 szám kezd

el ismétlıdni.

c) Amikor megnyomom a koszinusz gombját, akkor a kijelzın lévı érték

koszinuszát számolom ki, majd eredményül ugyanezt kapom. Tehát: cos 0,739085133 =

0,739085133. Pontosabban: cos 0,739085133 ≈ 0,739085133 (hiszen a számológép

kerekített értékkel dolgozik). Vagyis a cos x = x egyenlet megoldását kaptuk: x ≈ 0,739.

E körül az érték körül „ugráltak” az elızı értékek. Az eljárást, amivel dolgoztunk,

iterációnak hívják.

Ezzel az egyszerően elvégezhetı „kísérlettel” kapcsolatban azonban néhány

dolgot meg kell gondolni:

1. Pontosan egy gyöke van az egyenletnek.

2. Mi az alapja annak, hogy alkalmazhattuk ezt az iterációt?

1. A tanulóknak nem okozhat gondot annak megértése, hogy egyetlen gyök

létezik, mégpedig a [0; 2

π] intervallumban.

Érdemes ábrát készíteni ennek megsejtéséhez. Ábrázoljuk az alábbi függvények

grafikonját:

f: R → R, f(x) = cos x

g: R → R, g(x) = x.

38

A [0; 2

π] intervallumban f szigorúan fogy, g szigorúan növekszik.

A végpontokban: f(0) = 1 > g(0) = 0 és f(2

π) = 0 < g(

2

π) =

2

π, így itt pontosan egy

gyök létezik.

Jó ábrából az is megsejthetı, hogy a keresett gyök a [0; 3

π] intervallumban

található, erre a pontosításra a késıbbiek miatt lesz szükség.

A [0; 3

π] intervallumban f szigorúan fogy, g szigorúan növekszik.

A végpontokban: f(0) = 1 > g(0) = 0 és f(3

π) = 0,5 < g(

3

π) =

3

π, így a keresett gyök

ebben az intervallumban van, a [3

π;

2

π] intervallumban pedig nincs gyök.

A [-2

π; 0] intervallumban f pozitív, g negatív értékeket vesz fel. Ha x < -

2

π,

akkor f(x) ≥ -1 és g(x) < -1, x > 2

π esetén f(x) ≤ 1 és g(x) >1.

A [0; 3

π] intervallumon kívül tehát nincs gyöke az egyenletnek, az

intervallumban pedig egyetlen gyöke van.

2. A Banach-féle fixponttétel segítségével nemcsak azt bizonyíthatjuk, hogy

egyértelmően létezik az egyenletnek gyöke a [0; 3

π] intervallumon, hanem megkapjuk a

gyök elıállításának módját is.

Definíció: f: X → X függvény fixpontja olyan u ∈ X pont, melyre f(u) = u.

Definíció: Legyen (X, d) metrikus tér és f: X → X leképezés. Azt mondjuk, hogy

f kontrakció , ha ∃ q ∈ [0;1), hogy ∀ x, y ∈ X esetén d(f(x), f(y)) ≤ q · d(x,y).

(q-t Lipschitz-konstansnak nevezzük)

Tétel (Banach-féle fixponttétel): Legyen (X, d) teljes metrikus tér.

Legyen f: X → X kontrakció. Ekkor

1) f-nek ∃ ! fixpontja;

39

2) ∀ x0∈X kezdıpont esetén az xn = f(xn-1) rekurzióval értelmezett (xn) sorozat

határértéke az f (egyetlen) fixpontja;

3) az u fixpontra ∀ x0∈X és ∀ n∈Z+ d(xn, u) ≤ q

qn

−1· d(x0, x1) (a hibára becslés

adható).

Legyen X:= [0; 3

π] és d(x,y) = yx− . (X, d) teljes metrikus tér.

f: [0; 3

π] → [0;

3

π], f(x) = cos x

f kontrakció, ugyanis:

21 xcos - xcos = 2

sin2

sin2 2121 xxxx −⋅

+⋅− = 2·

2sin 21 xx +

·2

sin 21 xx −≤

≤ 2

sin 21 xx +· 2 ·

221 xx −

≤ 2

sin 21 xx +· 2· 212

1xx − ≤

2

321 xx − .

q = 2

3<1

A lépések során felhasználtuk:

– a két szögfüggvény összegének szorzattá alakítására vonatkozó összefüggést:

21 xcos - xcos = –22

sin2

sin 2121 xxxx −⋅+;

– szorzat abszolút értéke egyenlı az abszolút értékek szorzatával

–2

sin 21 xx −≤

221 xx −

– az adott intervallumon 0 ≤ 2

sin 21 xx +≤

2

3

A Banach-féle fixponttétel alapján f-nek egyértelmően létezik fixpontja, melyet

megkaphatunk egy rekurzív sorozat határértékeként:

x0∈ [0; 3

π], például x0 := 1és xn = cosxn-1.

A cos1 beütése után a számológép cos gombját nyomogatva tehát megkaphatjuk

a gyök közelítı értékét.

40

5. Határérték keresése

Emelt szintő érettségi követelmény a határérték szemléletes fogalmának ismerete.

A határérték létezésének, értékének megsejtésére érdemes alkalmazni a számológépet.

(Egyes feladatoknál elegendı a normál tudományos számológép is, ezt az érettségin is

lehet használni. A tanulók egy része rendelkezik programozható tudományos

számológéppel.)

A következı feladat, melynek alapötlete Orosz Gyulától (internet) származik, jól

szemlélteti azt, mennyire fontos, hogy a gondolkodás és a géppel dolgozás kiegészítsék

egymást. A meglepı eredmények a bizonyítás igényét is felkelthetik a diákokban.

A probléma:

Tekintsük az f0 = 1, f1 = 2

51−kezdıtagokkal adott fn+2 = fn+1 + fn sorozat tagjait.

Mi lehet a sorozat határértéke?

Válasz: a sorozat határértéke 0, azonban a számológép (vagy az Excel-táblázat)

adatai alapján (ha elég sok értéket íratunk ki) úgy tőnik, hogy -∞ -be vagy +∞ -be tart.

1. feladat: Adjuk meg az gn =

n

−2

51sorozat határértékét!

2. feladat: Mi lehet az f0 = 1, f1 = 2

51−kezdıtagokkal adott fn+2 = fn+1 + fn

sorozat határértéke? Excel-táblázat vagy programozható számológép segítségével

válaszoljunk!

Az 1. feladat megoldása: gn sorozat qn típusú, ahol q < 1, tehát 0-hoz tart. (Ezt

azok is megsejthetik, akik néhány elég nagy, egyre nagyobb n-re kiszámolják gn –t.)

A megoldás részletezése:

Tétel (Bernoulli-egyenlıtlenség): Legyen h ∈ (-1; +∞) és n ∈ N.

Ekkor (1+h)n ≥ 1+ nh.

Állítás: ∀ q ∈ (-1; 1) esetén lim(qn) = 0, ∀ a ∈(1; +∞) esetén lim(an) = +∞.

Bizonyítás: Kezdjük a második állítással. Legyen K tetszıleges pozitív szám,

becsüljük alulról az an hatványt a Bernoulli-egyenlıtlenség segítségével:

41

an ≥ 1+ n(a-1) > K, ha n > 1

1

−−

a

K. Tehát lim(an) = +∞.

Az elsı állítás q=0 esetén nyilvánvaló (konstans 0 sorozat határértéke 0), q≠ 0

esetén pedig azt kell belátni, hogy

n

n q

∞→

1lim = +∞. Ezt már beláttuk, hiszen q szám

reciproka nagyobb, mint 1.

A 2. feladat megoldása:

Programozható számológép esetén az alábbi algoritmusnak megfelelı programot

készítsük el:

eljárás fibsor;

változó a, b, c: valós;

i: egész;

a:= 1;

b:= (1-√5)/2;

i:= 2;

ciklus amíg i<50

c:= a+b;

ki: i;

ki: c;

b:= a;

c:= b;

i:= i+1;

ciklus vége;

eljárás vége;

A program elkészítése egyszerő, ám hosszabb ideig tart, mint az Excel-táblázat

használata. (Viszont remek alkalom arra, hogy az algoritmikus gondolkodást is

fejlesszük.)

Excel-táblázat esetén a következıket írjuk a cellákba:

42

B

1 1

2 =(1-5^0,5)/2

3 =B1+B2

A harmadik sor jelölıjét húzzuk lefelé, így a negyedik sorban a képlet

automatikusan =B2+B3 lesz, és így tovább.

Meddig húzzuk a jelölıt?

B 0 1 1 -0,618033989 2 0,381966011 3 -0,236067977 4 0,145898034 5 -0,090169944 6 0,05572809 …

19 -0,000106963 20 6,6107E-05 21 -4,08563E-05 22 2,52506E-05 23 -1,56057E-05 24 9,64487E-06

20-25 sor kiíratása után (a számológép esetében a ciklust is eddig figyelve, vagy

ekkorára állítva be) az látszik, hogy a sorozat 0-hoz tart, váltakozó elıjellel.

Ha tovább vizsgáljuk a táblázat sorait, akkor az elıjel váltakozásának

megszőnését, és a számok csökkenését figyelhetjük meg. Ezek szerint a sorozat

divergens és -∞ -be tart?

36 2,91423E-08 37 -1,98244E-08 38 9,31784E-09 39 -1,05066E-08 40 -1,18878E-09 41 -1,16954E-08 42 -1,28842E-08 43 -2,45796E-08 44 -3,74637E-08 45 -6,20433E-08 46 -9,9507E-08 47 -1,6155E-07

43

Ezek az Excel „számológépének” adatai. Elıfordulhat, hogy valakinél lesz olyan

számológép, hogy a sorozat +∞ -be fog tartani (pl. Sharp EL-9600).

Itt az ideje, hogy rendet tegyünk a fejekben!

Nézzük meg a két feladatot! Mindkettıben szerepel ugyanaz a kifejezés: 2

51−.

(Érdemes kivárni, hogy maguk mondják ki az aranymetszés és a Fibonacci szavakat a

feladatokkal való foglalkozás során. Elıismereteik alapján feleleveníthetjük a kettı

közötti összefüggést is.) Azonos-e az fn és gn sorozat? Nézzük meg az értékeket, esetleg

a már meglévı táblázatunk következı oszlopában jelenítsük meg a gn sorozat elemeit is!

A n = 24-ig megegyeznek a kiírt adatok, ám a g sorozat nagyobb n-ek esetén is

váltakozó elıjelő marad, a tagok abszolút értékei egyre kisebbek.

A B C 0 1 1 1 -0,618033989 -0,618033989 2 0,381966011 0,381966011 3 -0,236067977 -0,236067977 … … … 23 -1,56057E-05 -1,56057E-05 24 9,64487E-06 9,64488E-06 25 -5,96087E-06 -5,96086E-06 … … … 45 -6,20433E-08 -3,94054E-10 46 -9,9507E-08 2,43539E-10 47 -1,6155E-07 -1,50515E-10 48 -2,61057E-07 9,30236E-11

Az eddigiek alapján nyilvánvaló, hogy a gépi számábrázolás hibájáról van szó, ez

okozza az eltéréseket. Érdemes tehát megpróbálni bebizonyítani, hogy a két sorozat

azonos.

Állítás: Minden n ≥ 2 természetes számra a fent megadott fn és gn sorozatokra:

fn = gn.

Bizonyítás: teljes indukcióval.

1. lépés: n = 2-re igaz az állítás, ugyanis:

f2 = f0 + f1 = 1 + 2

51−=

2

53−. (Közös nevezıre hoztuk.)

44

g2 =

2

2

51

−=

2

53−. (Azonosságok alkalmazása, egyszerősítés után.)

f2 = g2

2. lépés: Tegyük fel, hogy az állítás igaz minden olyan esetben, amikor n ≤ k.

Ekkor: fk-1 = g k-1 és fk = gk.

Bizonyítsuk be, hogy n = k+1 -re is igaz az állítás.

Az indukciós feltevés miatt: fk+1 = fk-1 + fk = gk-1 + gk.

fk+1 =

1

2

51−

−k

+

k

−2

51=

1

2

51−

−k

−2

51+

k

−2

51=

=

+−

151

2k

−2

51=

2

51−k

−2

51=

1

2

51+

−k

= gk+1

A fentiekbıl következik az állítás igazsága.

gn sorozatról már bizonyítottuk, hogy 0-hoz tart, ezért természetesen fn sorozat is

0-hoz tart.

A hiba nyomában

Tudjuk, hogy 2

51− irracionális szám, és a számológép csak racionális

számokkal tud dolgozni. Ebbıl adódtak a problémák, a gép által tárolt érték ugyanis

„kicsivel” eltér f1-tıl. Az fn sorozatnál azért volt rosszabb a helyzet, mint gn-nél, mert a

hibák összeadódtak. Ezekbıl az eredeti sorozatra ráépülı exponenciálisan növı (vagy

csökkenı) sorozatot kaptunk, ezért tartott végtelenbe (vagy -∞ -be) az fn sorozat.

Lássuk közelebbrıl! Legyen f0 = 1, f1 = 2

51−+ s és fn+2 = fn+1 + fn

A különbséget a gép által tárolt érték és 2

51− között s jelöli. Ahogy az eredeti fn

sorozatot fel tudtuk írni xn alakban, úgy keressük ebben az alakban most is a

másodrendő homogén lineáris rekurzió explicit alakját.

xn = xn-2 + xn-1-t rendezzük 0-ra, majd emeljünk ki xn-2 –t.

xn-2 (x2 – x – 1) = 0 (x≠ 0)

45

x2 – x – 1 = 0 (karakterisztikus egyenlet) gyökei:

b = 2

51− és c =

2

51+

xn = xn-2 + xn-1 összefüggést a bn =

n

−2

51és a cn =

n

+2

51mértani

sorozatok is kielégítik. Az általános megoldás bn és cn lineáris kombinációja, tehát:

fn = u bn + v cn. Az u és v értékét f0 = 1 és f1 = 2

51−+ s helyettesítésével

határozhatjuk meg. Így kapjuk:

1. 1 = u + v

2. 2

51−+ s = u ·

2

51−+ v ·

2

51+

Az 1.-bıl u = 1 – v-t kifejezve, majd a másodikba behelyettesítve és v-t kiemelve:

2

51−+ s =

2

51−+ v

++ 2

51

2

5-1- , ebbıl

s = v 5 , azaz v = 5

s

u = 1- 5

s

fn = u bn + v cn -be a kapott értékeket helyettesítve a keresett explicit alak:

fn = (1- 5

s)

n

−2

51+

5

sn

+2

51

n

−2

51→ 0, ennek konstansszorosa is, tehát az elsı tag 0-hoz tart.

n

+2

51→ +∞, ennek konstansszorosa pedig +∞-hez vagy -∞-hez s értékétıl

függıen. Az összeg tehát szintén +∞-hez vagy -∞-hez tart s értékétıl függıen.

Az Excel-számológép adatai alapján -∞-hez tart a sorozat, tehát s < 0, vagyis

2

51− értékénél kisebb számmal dolgozott, míg az említett Sharp számológép

nagyobbal.

46

6. Hány százalékosan szerelmes?

Egy szakiskolás tanítványom hívta fel a figyelmemet arra, hogy egy egyszerő

módszer és a számológép segítségével megtudhatjuk, hogy egy személy egy adott

napon hány éves, hány százalékosan okos és hány százalékosan szerelmes. Elsı hallásra

„megmosolyogni valónak” tőnik, de jó lehetıségeket rejt magában, és mivel népszerő a

fiatal diákok körében, ezért a motiváció a feladat megoldásához eleve biztosítva van.

9–10. évfolyamos szakiskolás tanulóknak ajánlott feladat.

Lényege: Vonjuk ki egymásból a mai dátumból (pl. 2010. április 1.) és a születési

dátumunkból kapható számot az alábbi példa szerint:

20100401

–19940822

159579

Az eredmény szerint az illetı 15 éves, 95%-osan (tehát rendkívül) okos és 79%-

osan (nagyon) szerelmes.

Feladat:

Mindenki számítsa ki a saját adatait számológéppel, majd készítsünk együtt

táblázatot!

Okos: Mennyire? 0–

9% 10–19%

20–29%

30–39%

40–49%

50–59%

60–69%

70–79%

80–89%

90–99%

Hány fı? Szerelmes: Mennyire? 0–

9% 10–19%

20–29%

30–39%

40–49%

50–59%

60–69%

70–79%

80–89%

90–99%

Hány fı?

(Elsı megállapítás: nem lehetünk 100%-osan okosak és szerelmesek.)

Mit tapasztalsz? Fogalmazd meg a sejtésedet, majd próbáld igazolni!

47

Megoldás:

Megjegyzések: Ha kevés diák van, bevonhatjuk a testvéreiket vagy barátaikat is a

játékba, hogy minél több adatunk legyen.

Számológépre csupán azért van szükség, hogy gyorsabban kapjuk meg az

adatokat, a megoldás során úgysem „ússzuk meg” az írásbeli kivonás alkalmazását.

(Akik pedig nem hoztak számológépet, talán hamarabb rájönnek a megoldásra.)

Ha nem jönnek a gondolatok, akkor kiszámíthatjuk, hogy a hónap végére hogyan

áll majd a helyzet (nagy lesz a különbség).

Vagy közölhetjük egy decemberi születéső diákkal a jó hírt, hogy ı szinte mindig

nagyon okos, kivéve decemberben. Ellenırizze az állításunkat!

Sejtés, tapasztalat:

Az „okos” táblázatnak csak az elsı két és utolsó két oszlopában vannak tanulók, a

„szerelmes” táblázatnak sem került a középsı oszlopaiba senki (5–7.-be biztosan nem).

(Tehát valaki vagy nagyon okos, vagy nagyon nem, illetve nem lehet csak úgy

közepesen szerelmesnek lenni…)

Ennek oka: nem vonhatunk ki bármilyen számokat egymásból, hiszen csak 12

hónap és 31 nap van.

Készítsünk táblázatot a lehetséges kisebbítendıkkel (mai dátum) és

kivonandókkal (születési dátum)! Kezdjük a végérıl!

„Szerelmes”

mai

születési

1 2 3 4 … … 29 30 31

1 0 1 2 3 28 29 30 2 99 0 1 2 27 28 29 3 98 99 0 1 26 27 28 4 97 98 99 0 25 26 27 [saját] … 29 72 73 74 75 0 1 2 30 71 72 73 74 99 0 1 31 70 71 72 73 98 99 0

48

Az értékek 0–30-ig, illetve 70–99-ig terjednek.

(Egyéb: például elsején majdnem mindenkinek nagy értékek jönnek ki, aki 31-én

született, az majdnem mindig nagy számokat kap.)

„Okos”

mai

születési

1 2 3 4 … … 10 11 12

1 0 1 2 3 9 10 11 2 99 0 1 2 8 9 10 3 98 99 0 1 7 8 9 4 97 98 99 0 6 7 8 [saját] … 10 91 92 93 94 0 1 2 11 90 91 92 93 99 0 1 12 89 90 91 92 98 99 0 13 88 89 90 91 97 98 99

Az értékek 0–11-ig, majd 88–99-ig terjednek. (A 13. sort utólag is beírhatjuk, ha

valakinek kijött a 88 – erre csak 1-jén van esélyünk – és megkérdezhetjük, miért nincs a

táblázatban. Ekkor kiderülhet, hogy megfeledkeztek-e a maradékokról.)

7. Kockadobás számológéppel

A véletlenszám-generátort felhasználva a statisztika témakörben a számológép

segítségével is elvégezhetjük a kockadobás-kísérletet, gyakorolva ezzel a

táblázatkészítést, a megfelelı fogalmakat.

Pluszt jelent a megfelelı képlet és beállítás megtalálása, hogy valóban az 1, 2, 3,

4, 5 és 6 számjegyeket kapjuk, hiszen a Ran# gomb csak 0 és 1 közé esı értékeket ad

meg, három tizedes jegyig. (1-et hozzáadunk, egészrészt veszünk.)

További haszna, hogy felmerülhet a kérdés, hogyan generál a gép

véletlenszámokat. Erre a középiskolások számára is érthetı és érdekes választ is tudunk

adni. (Lovász László: Véletlen és álvéletlen, internet)

49

Elıször gondolkodás, aztán a gombok

8. Varázsold elı a π-t!

Hogyan kapom meg a π-t a (sok tizedes jeggyel), ha nem nyomhatom meg a π

gombját? Többféle megoldás is lehetséges.

Segítség: Indulj ki a π valamelyik szögfüggvényértékébıl, vagy abból, hogy a π

radián 180º-nak felel meg!

Megoldás: I. A 180º-ot átváltjuk radiánba. (Radiánban vagyunk.)

II. Tudjuk: cos π = -1. (Radiánban vagyunk.) Visszakeressük a (-1)-hez tartozó

koszinuszértéket.

9. A π tizedes jegyeinek nyomában

Hány tizedes jegy pontossággal írja ki a számológéped a π értékét?

Hány tizedes jegyig tárolja ezt az értéket? Próbáld elıcsalogatni a további

jegyeket!

Segítség: Az elsı jegyeket (3,1415) úgyis ismerjük, tüntessük el valamilyen

mővelettel, hátha a helyükre továbbiak jönnek!

Megoldás (pl.):

π ≈ 3,14159265 4

Vonjunk ki 3,1415-t, majd szorozzuk az eredményt 100000-rel (105)!

9,265 359

Látható, hogy további két jegy megjelent, illetve ami a kijelzın elıször megjelent,

az kerekített érték volt.

50

10. Minek is annyi gomb?

A feladat Kovács Károlyné ötlete (internet).

Egy zsebszámológéppel csak a szögek szinuszát lehet kiszámítani, a többi

szögfüggvényt nem. A gép még további négy mőveletet képes végrehajtani. Az

alábbiakban megadtunk néhány lehetıséget a négy mőveletre. Válaszd ki a megadott

lehetıségek közül azt, amelyik esetben a négy megadott mővelettel biztosan ki tudjuk

számítani a géppel olyan tetszıleges szám koszinuszát, tangensét és kotangensét,

amelyiknek mind a négy szögfüggvénye értelmezve van!

A: összeadás, szorzás, kivonás, reciprokképzés

B: négyzetgyökvonás, összeadás, kivonás, reciprokképzés

C: négyzetgyökvonás, szorzás, kivonás, reciprokképzés

D: négyzetgyökvonás, összeadás, szorzás, reciprokképzés

Próbáld is ki magad! Számítsd ki (fokban vagyunk) 11 szinuszát, koszinuszát,

tangensét, kotangensét az általad választott gombokkal.

Segítség: cos2x + sin2x = 1 és tg x =x

x

cos

sin.

Megoldás: A helyes választás: C.

cos x = ± x2sin1− ,

tg x =x

x

cos

sin,

ctg x = x

x

sin

cos,

ha 2

π⋅≠ nx , ahol Ζ∈n

Szükséges a négyzetgyökvonás mővelete, így A nem megfelelı. Szükséges

továbbá vagy a négyzetre emelés, vagy a szorzás mővelete, ezért B nem megfelelı. A

reciprokképzés és a szorzás mőveletek egymás utáni végrehajtása az osztás mőveletet

„helyettesíti”, viszont az összeadás és kivonás mőveletek közül csak a kivonás ismerete

a jó, mert az összeadás mellett nem szerepel az ellentett képzése, így D nem megfelelı,

51

viszont a C-ben szereplı négy mővelettel a megadott alaphalmaz minden elemének

mind a három szögfüggvénye kiszámítható.

(A cos x = − x2sin1− is, hiszen cos x = 0 − x2sin1− .)

11. Mit rej t a kijelzı? I.

A padtársad számológépének a kijelzıjén ezt látod:

Mi lehetett az elızı számítás eredménye, ha tudjuk, hogy egész szám volt?

Elıször becsüld meg az eredményt, ezután használd a saját számológépedet!

Ellenırizd vele a becslésedet, majd végezz pontos számítást!

Segítség:

Mely szögekre igaz, hogy a koszinuszuk -0,5? Az általad keresett szög kisebb

vagy nagyobb ennél?

A szögek visszakeresésénél ne feledd, hogy a SHIFT gombot is használtuk!

Az összes megoldás megtalálásában segíthet az egységkör felrajzolása.

Megoldás: cos60º = 0,5 és cos (180º-60º)= cos120º= -0,5. A -0,438... értékhez

120º-nál egy kicsit kisebb szög tartozik (lásd egységkör). SHIFT cos-1 -0.438371146 =

116. A számológép egy megoldást ad, a 116º-ot. Tudjuk, hogy az egységkörben két

olyan egységvektor is van, amelynek elsı koordinátája cos116º (≈0,438) értéket ad. A

másik: 360º-116º = 244º. A megoldások: 116º + k·360º (k∈Z) és 244º + l·360º (l∈Z)

52

12. Mit rejt a kijelzı? II.

A padtársad számológépének a kijelzıjén ezt látod:

Annyit elárult még, hogy a sin után egy 1000-nél kisebb szám áll.

a) Egy-, két- vagy háromjegyő szám lehet?

b) Mi lehet ez a szám?

Számológép használata nélkül válaszolj, majd a géppel ellenırizd a válaszodat!

Segítség: A tan 45º nevezetes szögfüggvényérték. Mekkora lehet sin 9… º? Ha

egyjegyő, sin 9º pozitív szám. Ha kétjegyő, mit tudunk sin 90º-ról, sin 99º-ról? …

Megoldás: a) Fokban keressük a szöget. tan 45º =1, tehát 1+ sin 9…º ≈ 0,134

⇒sin 9…º < 0. Gondoljunk az egységkörre vagy a sin x függvény grafikonjára! 0º és

180º közötti szögek szinusza pozitív szám. Tehát egy- vagy kétjegyő nem lehet. Az

egységkörben 900-999º fokkal elforgatott egységvektor a III. vagy a IV. síknegyedben

van, tehát a második koordinátája negatív. (sin 900º = 0) A keresett szám háromjegyő.

b) 0,134-1 ≈ -0,866 ≈ -2

3.

2

3= sin 60º . -

2

3= sin 240º = sin 300º = sin (240º

+ 2· 360º) = sin 960º. 960º a keresett szög.

13. Melyik szám nagyobb?

10099 vagy 99100

Válaszodat indokold! Használd a számológépedet! Próbálj többféle megoldást

keresni!

53

I. megoldás

6,369999,099100

99

100

99 9999

99

99

100

≈⋅=⋅= >1, tehát a számláló nagyobb a nevezınél:

99100 > 10099

II. megoldás

7,1039999999999 9999 9999 100 ≈⋅=⋅= > 100 = 99 99100

A 99 x függvény szigorú monoton nı, ezért 99100 > 10099.

III. megoldás

Vegyük mindkét szám 10-es alapú logaritmusát, majd alkalmazzuk a logaritmus-

azonosságot!

lg 99100 = 100· lg99 ≈ 199,56 > lg 10099 = 99 · lg 100 = 198

A tízes alapú logaritmusfüggvény monoton növı, ezért 99100 > 10099.

54

2.2. A SZÁMOLÓGÉP HASZNÁLATA A SZÖGFÜGGVÉNYEK

TÉMAKÖRBEN

A szögfüggvényekkel a tanulók a 10–11. évfolyamon ismerkednek meg. Ekkorra

már több funkcióját is ismerik a számológépnek, van gyakorlatuk a kezelésében. Ennél

a témakörnél gyakran elı kell venni ezt az eszközt, és az a tapasztalatom, hogy a

legtöbb hibát is itt követik el:

– Elfelejtenek váltani a mértékegységek között. Így születhetnek olyan hamis

eredmények, mint sin20º = 0,9129, és csak ritkán veszik észre a tévedésüket.

– Mivel a számológép nem ír ki mértékegységeket, ezért ık is elmulasztják ezt.

– Rosszul másolnak le valamit a kijelzırıl (pl. leírják: 52º34º12).

– A gép eltérı jelölésrendszerét nem írják át a nálunk használatosra (pl.: tan a tg

helyett).

– A bevitelnél nem használnak zárójeleket, nem figyelnek oda a mőveleti

sorrendre. Például 5

sinπ

-nél a füzetben nincs zárójel, a gépben is kihagyják néha. (Jó

esetben meglepıdnek a 0 eredményen (sin π ÷ 5 ), de nem mindenki.)

– A szögek visszakeresésénél elfelejtik a SHIFT gombot benyomni (nem az

inverz függvénnyel dolgoznak).

– Nem következetesen kerekítenek. (A szögfüggvényértékeket 3 vagy 4 tizedes

jegyre kerekítve; a szögeket fokban egy tizedes jegyre kerekítve érdemes általában

megadni.)

Az alábbiakban egy konkrét példán keresztül szeretném megmutatni, milyen

fontos, hogy a gombnyomás mögött okos, gondolkodó fej is álljon. Az itt bemutatott

trigonometrikus egyenlet megoldása során számos tipikus hibát lehet elkövetni. Dılt

betővel emeltem ki azokat a mondatokat, amelyek a lehetséges hibákra figyelmeztetnek.

Emiatt a megszokottnál részletesebben írtam le a lépéseket.

55

Oldjuk meg a következı egyenletet a valós számok halmazán!

Hány megoldása van az egyenletnek a 0 és 2π között?

sin 3x = 3

2

Megoldás:

A feladat szövegének megfelelıen

radiánban számolunk.

Váltsuk át a számológépet radiánba!

1. 3x egy lehetséges értékét keressük

számológéppel.

SHIFT SIN-1 (2÷3) =

Ne felejtsük el a SHIFT gombot

megnyomni!

Használjunk zárójelet a 3

2 begépelésekor!

3x ≈ 0,73 + 2kπ

Kerekítsünk 3 tizedes jegyre! Használjuk a

≈ jelet!

A füzetben a tizedesvesszıt használjuk, ne

a pontot!

Már most írjuk hozzá a periódust, ne csak

a hárommal való osztás után!

÷3 =

x1 ≈ 0,243 + 3

2 kπ

A gépben hagyott értéket osszuk el, ne a

kerekítettet!

Ne felejtsük el a második tagot elosztani!

Van-e más egységvektor, melynek

második koordinátája 3

2? Rajzoljuk fel az

egységkört vagy használjunk dinamikus

programot!

56

x 3 = (–) Ans + π

3x ≈ (π – 0,73) ≈ 2,412

Használjuk a π gombját! (Ha a gépben

lévı értéket visszaszorozzuk hárommal,

akkor 0,73-nál pontosabb értékkel

dolgozhatunk.)

3x ≈ 2,412 + 2kπ

x2 ≈ 0,804 +3

2 kπ

Az elızıhöz hasonlóan járunk el.

A gyökcsoportok:

x1 ≈ 0,243 + 3

2 kπ

x2 ≈ 0,804 +3

2 kπ

Ezek valóban megoldásai az egyenletnek!

Ne felejtsünk el utalni arra, hogy

ekvivalens átalakításokat végeztünk.

Esetleg ellenırizzünk!

Ne feledjük, hogy a feladatnak van még

egy része! (Olvassuk el újra a feladatot!)

Számítsuk ki vagy becsüljük meg 3

2π-t!

Számítás kerekítve: 2,1

Becslés (π ≈ 3): 2

0 és 2π között, azaz 0 és ≈6,28 között

keressük a megoldásokat!

Most ne használjuk a számológépet!

Fejben gyorsabb a számolás!

x1 gyökcsoportnál k = 0, 1 és 2-re

megközelítıleg a 0,243, 2,243 és 4,243

gyököket kapjuk.

Ezek alapján k = 3-ra 6,243 jönne ki, de

vegyük észre, hogy ekkor a 3

2 kπ = 2π.

Itt tehát három megoldás van, ahogy x2

gyökcsoportnál is (hasonló módon).

Összesen 6 gyök esik 0 és 2π közé.

57

A hibás, gyakorlatlan gépkezelés tehát sok kudarcélményt okozhat,

akadályozhatja a tanulót abban, hogy gördülékenyen együtt haladjon a tanárral, illetve

magát az órát is lassíthatja. Ezért tartottam érdemesnek egy olyan programot írni, amely

segíti a diákok és egyúttal a tanár munkáját is a tudományos számológép kezelésében.

Természetesen nem egyszerő használati útmutatóról van szó! Az alábbiakban

bemutatom a html alapú program felépítését, használatát, feladatait.

58

1. Az e-tananyag felépítése, használata

A képernyı baloldalán található a Tartalom.

Elıször a program használatáról szóló rövid

tájékoztató töltıdik be.

A következı csoportban számozva találha-

tók a megfelelı anyagrészek.

Majd két feladatlap közül lehet választani.

59

Középen a „tanulókártya”, vagy a választásnak megfelelıen a feladatlapok találhatók.

A kártyákon három oszlop van: az

elsıben az elvégzendı mővelet szerepel, a

másodikban a gombok, melyeket meg kell

nyomnunk, a harmadikban a kijelzı

tartalma. Amikor szükséges, felkiáltójel

jelzi, hogy hasznos megjegyzés tartozik a

táblázat adott sorához.

A tanulókártyákhoz általában egyszerő feladatok tartoznak, melyeket megoldhatunk úgy

is, hogy a kártya elıttünk van, de a bal sarkában található villanykörte segítségével el is

takarhatjuk azt.

Az „Ellenırzöm” gombra kattintva a számítógép megjeleníti a helyes

eredményeket.

Jobboldalt a tanulókártyák témájának megfelelı

kiegészítı ismeretekbıl és érdekességekbıl váloga-

hatnak a diákok.

A feladatlapok megoldása során kattintásra segít-

séget kaphatnak, illetve megjelenik a megoldás.

60

2. Az e-tananyag tartalma

A tananyagban a CASIO fx-82MS tudományos számológépet használtam a

szemléltetésre. A tartalom menübıl a következı tanulókártyák érhetık el (zárójelben a

hozzájuk tartozó gombokat soroltam fel).

1. gombok

2. a mértékegység

megváltoztatása (MODE)

3. átváltás a mértékegységek

között (DRG)

4. fok, szögperc,

szögmásodperc (º ’”)

5. π (π)

6. szögek szinusza,

koszinusza, tangense (SIN,

COS, TAN)

7. szögek kotangense

8. szöget keresünk (SHIFT +

SIN-1, COS-1, TAN-1)

A kártyákon (és a feladatoknál) nemcsak azt tüntettem fel, hogy egyes gombokat

milyen sorrendben kell megnyomni, hanem azt is, hogy miért. Például: miért így

számoljuk a koszinuszt (definíciók, összefüggések, értelmezési tartomány).

A példákban nevezetes szögfüggvényértékek is szerepelnek. (Ezekre utalok is a

kártyákon, illetve elérhetı a nevezetes szögek szögfüggvényértékei táblázat. A

számológép használatához is feltétlenül ismerni kell ezeket, nagy szerepük van az

61

önellenırzésben is, ahogy már érintettem a hibalehetıségek felsorolásakor.) Jó, ha a

tanulók olyan mőveletsort is beütnek a gépbe, amelynek tudják az eredményét. Olyan

példákat is feltüntettem, melyekben „Math ERROR” jelenik meg a kijelzın. Ez

lehetıséget adott arra is, hogy az értelmezési tartományokra kitérjen a tananyag.

A feladatokban a becslés is szerepet kap, és van olyan, ahol a számológépet csak

ellenırzésre használhatják. A mértékegységek átváltásánál és a fok-szögperc-

szögmásodperc átváltásánál is megtudhatják a tanulók a jobb oldali menübıl választva,

hogy ha nincs ilyen funkció a gépen, akkor hogyan tudnak még számolni. A szög

visszakeresésénél is átismételhetik a program segítségével, amit órán már tanultak:

hogyan kapjuk meg az egyszerő trigonometrikus egyenletek összes megoldását.

Bízom benne, hogy sokan rákattintanak a π-rıl vagy a mértékegységekrıl szóló

érdekes kiegészítésekre is.

Az összefoglaló feladatsorban már a tanulókártyák használata nélkül adhatnak

számot megszerzett tudásukról a felhasználók. Az utolsó feladat „valóságközeli”,

szöveges feladat, azonban a segítségnek és a feladat „tipikusságának” köszönhetıen

talán nem fognak csalódni azok sem, akik tényleg csak a „számológép használatának

begyakorlásáért” indították el a programot.

A gondolkodtató feladatok (6 db) bemutatása a 2.1. részben található, a 4. és a 8–

12. feladatokról van szó, ezekben is fontos a nevezetes szögfüggvényértékek ismerete.

A további részletek a csatolt CD-mellékleten megtekinthetık.

62

Ö s s zeg z és

Matematikaórákon örömmel láttam, hogy a tudományos számológéppel szívesen

dolgoznak a diákok, és érdeklıdve figyelnek, sokat kérdeznek (még szünetben is),

amikor a használatáról váltunk szót. Élveztem, hogy szinte számukra észrevétlenül lehet

tudást csempészni a fejükbe néhány számológéppel kapcsolatos egyszerő, vagy akár

bonyolultabb feladattal. Meglepett, hogy bár a tankönyvekben gyakran elıforduló

valóságközeli feladatokhoz és az érettségihez is fontos a számológép megbízható

használata, sok tanár egyáltalán nem foglalkozik ezzel az eszközzel. Kíváncsi lettem,

hogy a tantervekben, a tankönyvekben és az érettségin pontosan mi is a helyzet, így

abból a szemszögbıl vizsgáltam meg ezeket, hogy mekkora hangsúly esik bennük a

számológépre. A vonatkozó szakirodalmakkal való ismerkedés során sok új ötlettel

gazdagodtam. Ezekbıl a vizsgálódásokból, ötletekbıl született meg a szakdolgozatom.

Az e-tananyag megírásával az volt a célom, hogy olyan programot adjak a tanulók

kezébe, melynek segítségével önállóan is el tudják sajátítani a számológép kezelését egy

adott témakörben (szögfüggvények), de úgy, hogy a gombnyomás mikéntje mögött a

matematikai tudás is a fejükben legyen. Érezzék a gép korlátait, az ügyes fejben

számolás, a becslés, az önellenırzés fontosságát. Képességüknek és érdeklıdésüknek

megfelelıen válogathassanak a feladatokból és a kiegészítı információkból.

Szeretném megköszönni témavezetım, Vásárhelyi Éva tanácsait, segítségét,

valamint az öcsémnek azt, hogy az e-tananyaghoz szükséges javascriptek használatából

„korrepetált”.

63

I r o d a l o m

AMBRUS András (1994): Grafikus zsebszámológép használata a

matematikaoktatásban. In: A matematika tanítása: módszertani folyóirat, 1994/ 2.

12–16.

BÁRDOS Jenı 2000. Az idegen nyelvek tanításának elméleti alapjai és gyakorlata.

Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó.

Hans Magnus ENZENSBERGER: A számördög. Európa, 1999, 12. o.

KLEIN Sándor – KISS Julianna 1992. Mindenki számít. In: Új Pedagógiai Szemle,

1992/7–8. 160–170.

ÖRKÉNY István: A fogyasztói társadalom lélektani anatómiája. In: Örkény István:

Egyperces novellák 3. kiadás, Budapest, Palatinus, 1999.

Dr. SZABOLCS Ottó (fıszerk.) 1978. Az gimnáziumi nevelés és oktatás terve.

Budapest, Tankönyvkiadó Vállalat.

Dr. SZALAY István 2009. Kézi számológép használata a matematikaórán. In:

Módszertani Közlemények, 2009/1. 10–20.

Dr. SZEBENYI Péter (fıszerk.) 1978. Az általános iskolai nevelés és oktatás terve III.

kötet. Budapest, Országos Pedagógiai Intézet.

Sokszínő Matematika tankönyvcsalád (5–12. évfolyam), Mozaik Kiadó, Budapest.

Matematika a gimnáziumok 10. évfolyama számára, Nemzeti Tankönyvkiadó,

Budapest, 2002.

Internetes hivatkozások:

ABONYI Tünde: Játék a zsebszámológéppel. Matematika „C” 5. évfolyam 5. modul,

Educatio, modulleírások [2010.03.18.]

http://www.sulinet.hu/tanar/kompetenciateruletek/2_matematika/3_modulleirasok

-tanar-tanulo-eszkoz/3_c_tipus/5-evfolyam/tanari_modulok/cmat5_5_tanar.pdf

EMELT SZINT 2009. Matematika emelt szintő írásbeli vizsga 2009. május 5.

http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/e_mat_09maj_fl.pdf [2010.

03.04.]

KEMPELEN Farkas Digitális Tankönyvtár: Számológép.

64

http://www.tankonyvtar.hu/viii-2-14-szamologep-100215-2 [2010. 05. 07.]

KOVÁCS Károlyné: „Ismétlés a tudás anyja” Matematika „C” 12. évfolyam 5. modul,

Educatio, modulleírások [2010. 05. 04.]

http://www.sulinet.hu/tanar/kompetenciateruletek/2_matematika/3_modulleirasok

-tanar-tanulo-eszkoz/3_c_tipus/12-evfolyam/tanari_modulok/cmat12_5_tanar.pdf

KOVÁCS Károlyné: „Mindig csak a kitevı?” Matematika „C” 11. évfolyam 4. modul,

Educatio, modulleírások [2010. 05. 04.]

http://www.sulinet.hu/tanar/kompetenciateruletek/2_matematika/3_modulleirasok

-tanar-tanulo-eszkoz/3_c_tipus/11-

evfolyam/1_tanari_modulok/cmat11_4_tanar.pdf

KÖZÉPSZINT 2009. Matematika középszintő írásbeli vizsga 2009. május 5.

http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/k_mat_09maj_fl.pdf

[2010. 03. 04.]

LOVÁSZ László: Véletlen és álvéletlen. Természet Világa

http://sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0014/02.html [2010. 04. 24.]

NAT 1995. Melléklet a 130/1995. (X. 26.) Korm. rendelethez

http://net.jogtar.hu/jr/gen/getdoc.cgi?docid=99500130.kor [2010. 05. 08.]

NAT 2007. A Nemzeti alaptanterv kiadásáról, bevezetésérıl és alkalmazásáról szóló

243/2003 (XII. 17.) Korm. rendelet (a 202/2007. (VII. 31.) Korm. rendelettel

módosított, egységes szerkezetbe foglalt szöveg)

http://www.okm.gov.hu/letolt/kozokt/nat_070926.pdf [2010. 03. 16.]

OKTATÁSI és Kulturális Minisztérium 2003: A matematika tantárgy taneszközeire

vonatkozó szakmai ajánlás az általános iskola 5-8. évfolyama számára, a

középiskola 9-12. évfolyama számára Oktatási és Kulturális Minisztérium,

Kerettantervek.

http://www.okm.gov.hu/letolt/kozokt/1212_taneszk_matek1.doc [2010. 02. 09.]

http://www.okm.gov.hu/letolt/kozokt/1212_taneszk_matek3.doc [2010. 02. 09.]

OKTATÁSI és Kulturális Minisztérium 2009: Kompetenciafejlesztı oktatási program

(pedagógiai rendszer) kerettanterve, 5. számú melléklet a 34/2008. OKM

rendelethez.

http://www.okm.gov.hu/kozoktatas/2009/oktatasi-kulturalis-090803-1

090429_5_kompetenciafejleszto_ped_rendszer.rar [2010. 02.14.]

65

OROSZ Gyula: Grafikus zsebszámológépek programozása. Fazekas Mihály

Gyakorlóiskola Matematika oktatási portál [2010. 02. 10.]

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Orosz_Gyula/Prg/prg.htm

REALIKA: A számológép használata. Digitális foglalkozásgyőjtemény és

oktatásszervezési szoftver.

http://realika.educatio.hu/ctrl.php/unregistered/preview/preview?userid=0&store=

0&pbk=%2Fctrl.php%2Funregistered%2Fcourses&c=43&node=a138&pbka=0&s

avebtn=1 [2010. 02. 22.]

SOMFAI Zsuzsa (2003): A matematika tantárgy a kerettantervben. 9–12. évfolyam.

Oktatási és Kulturális Minisztérium. [2010. 02. 10.]

www.okm.gov.hu/letolt/kozokt/segedlet_matematika_gimi9-12.doc

VÁSÁRHELYI Éva (2006): Fejtöréssel vagy gombnyomásra? Mire (ne) használjuk a

kalkulátort? ELTE TTK Matematikatanítási és Módszertani Központ,

Matematikadidaktikai fórum.

http://xml.inf.elte.hu/~mathdid/vasar/vebolyai2006.pdf [2010. 01. 12.]

A képek forrásai:

3. oldal (zsiráf): Sokszínő matematika 9. Mozaik Kiadó, Szeged, 2004. 193. o.

53. oldal (egységkör): [2010. 05. 11.]

http://www.sulinet.hu/tanar/kompetenciateruletek/2_matematika/3_modulleirasok-

tanar-tanulo-eszkoz/3_c_tipus/11-evfolyam/1_tanari_modulok/cmat11_8_tanar.pdf

59. oldal (dinamikus): http://www.akg.hu/matek/fuggvenyek/sinus.html [2010. 05. 30.]

62. oldal (számológép): CASIO WEW Worldwide Education Website

http://edu.casio.com/products/standard/fx82ms/closeup_fx82ms.html [2010. 05. 05.]

64. oldal (számológépek rajza): Számológép Blog

http://1.bp.blogspot.com/_pKzyXNRHiiA/S5OoZZGq5qI/AAAAAAAAB9k/IYiFphN

Or8o/s1600-h/figura.jpg [2010. 05. 02.]

e-tananyagban (pí animáció): Wikipédia

http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%A1jl:Pi-unrolled-

720.gif&filetimestamp=20100306024710 [2010. 05. 10.]

A többi saját, illetve WinWord-beli ClipArt-kép.

66