Interes Compuesto LPG

C¿píxur* 4

INTERES COMPUESTO

CJETIVO

El objetivo de este capítulo es enseñar el manejo de los factores que intervienen en loscálculos de interés compuesto junto con los análisis matemáticos que conducen al desa-rrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas y tiempos. Al terminar el capítu-lo, será posible reconocet definir y calcular los factores que intervienen en el interéscompuesto, calcular montos, tasas nominales, tasas efectivas y tasas equivalentes.

¡NTRODUCC¡óN

En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece cons-tante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo conveni-do en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre elcual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o periodb de tiempo, y así suce-sivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es ainterés compuesto.

En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada finalde periodo, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.

Función del üempo Elcrecimiento natural es unavariación proporcional a la cantidadpresente en todo instante; tal es el caso del crecimiento de los vegetales, las colonias debacterias, los grupos de animales, etc. Estos crecimientos son t'unciones continuas del

MATEMÁNCAS FINANCIERAS

tiempo. En Ia capitalización a interés compuesto, también se produce el crecimientocontinuo; más adelante, en la sección 4.9 se estudiará el monto a interés compuestocomo función conünua del tiempo.

En la sección 1.12 se incluyó la gráfica de los valores del monto a interés simple yla función Y : 1 + Xl, donde los valores de Y corresponden al monto de un capitál gí,como función continua del tiempoX. Sin embargo, para las aplicaciones comeriiales, eltiempo en el eje X se mide en periodos o fracciones de periodos que no son inferiores aun día; esto implica que el monto a interés simple comercial esinat'unción discreta deltiempo. En estas condiciones,la gráfica de los valores del monto a interés simple, paraun capital inicial de $1, no es la gráfica de la función continua Y :'J, * Xique formiunarecta, sino la escalonada que se muestra en la gráfica (obsérvese que, para fracciones deperiodo, la tasa de interés simple es tasa proparcional; aéase elproblema 1 del capítulo 1).

periodos

En el crecimiento de un capital a interés compuesto, los intereses ganados se agre-gan al capital en intervalos de tiempo que se estipulan contractualmente; bajo estascondiciones, el monto es función discreta del tiempo.

Gráfica del monto de un capital de $1.000 al interés del1,0% con capitalizaciónanual. (Véase ejemplo 4.1).

Periodo de capitalización Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizarlos intereses.

Thsa de interés compuesto Es el interés fijado por periodo de capitalización.

Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto Es el valor delcapital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.

INTERES COMPUESTO

ffiE[ Se conviene una deuda de $1.000 a 5 años de plazo al interés del 10% concapitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben capitalizarse. Acontinuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda, el capital acumulado al finalde cada periodo, que en este caso es anual.

J

Interesesen el

periodo

X periodos

1)3

+i

n

Número deperiodos

Capital aprincipio de

Lreriodo

Capital másintereses a final

de periodo

1.000,001.100,001.210,001.331,007.161,70

100,00110,00121,00133,10746,47

1 . 100,001.210,001.331,001.464,L01,.61,0,51,

Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:

S = C(1 * rr i) = 1.000 [1 + 5(0,10)] = 1.000(1 + 0,50) : 1.000(1,50)S : $1.500 (monto a interés simple)F : 1.610,51 (valor final a interés compuesto).

MONTO O VALOR FUTURO A INTERES COMPUESTO

Sea el capital P puesto al interés i por periodo de capitali zacíón(i es el tanto por cientoen el periodo). Calcular el r,alor futuro F al final de rr periodos de capitalizaciín.

{J

!fl MArEMÁncASFrNANcrERAs

Capitala principio

Periodos de periodo

Interesesen el

periodo

Capital más interesesa final de periodo

1 , P2 P(l3 P(l

:. :.n

+0+ i)'+ i)u

n P(1, + i)*1

F : p ( l

PiP(1, + i)iP( l+ i )z iP(1 + i)3t

a

P(1. + i)*1i

+ i)'

P + P i = P ( l + i )P(l + t) + P(1 + i)i = P(l+ i)z

P(1, + i)2 + P(1 + i)2i : P(l + i)3P(1 + t)3 + P(1 + i)3i = P(l+ i)a

:P(1 +0*1 + P(1+i)*1i : P(1 + l ) ,

o sea (lea)

F : monto compuestoP : capital

i : tanto por uno en el periodo(1 + t), : factor de valor futuro (VF), o factor de interés compuesto y

corresponde al VF de 1 a interés compuesto en n periodos.

Los valores del'factor de acumulación (1 * i)'pueden hallarse utilizando calcula-dora, logaritmos o mediante el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica seutilizan calculadoras o tablas financieras en las que los valores de (1 + i)" están calcula-dos hasta con diez decimales, para las tasas más utilizadas y para valores de n desde 1hasta 150 periodos. Al final del libro se han incluido, parcialmente,las tablas financie-ras Por estudiar a lo largo de éste; ellas permitirán comprender y practicar su manejo.

La tabla I tiene los valores de (1 + i)" para valores de r, desde 1/4% al8/o; paravalores de n desde t hasta 50 periodos. Aproximados hasta 8 decimales.

EIIEEI Un banco ofrece la tasa del 10% paralos depósitos en cuenta de ahorros. Calcularel monto de un depósito de $1.000 al cabo de 10 años utilizando: (a) calculadora; (b) logaritmos;(c) tablas.

(a) Para este cálculo se emplea una calculadora científica de bolsillo:

Si la calculadora no tiene función XY, podría calcularse por productos sucesivos, así:

l,'l'(l'1) = 1,21;'1,,21(1,21) = 1,4641;1,4647 (7,464'l) = 2'1435888; 2,1.435888(1,21) =

2,593744: (1,1),0

El mundo actual no se puede dar el lujo de desperdiciar el tiempo , y para que haya eficienciaexige disponer de instrumentos adecuados para cada actividad.

r -

E -

Utilizando logaritmos:

P(1 + 4,1 . 0 0 0 ; l : 0 , 1 0 ; n : 1 , 01.000(1 + 0,10)10: 1.000(1,1)10:92593,74

rNrERÉscoMPUESro Ea

t.000(2,5937424)

(b)

r. s; : l;?Tll'..',T'"r;,1 ooo.''""

log 1.000 :

10 log1,1 : 0,041393(10)logF

F = 92.593,76

(c) Utilizando tablas:

: 3,000000: 0,413930= 3,413930

En la tabla I se busca la intersección de la columna del1,0% con la fila n = 10, v se encuentra elvalor 2,59374246

F = 1.000(1 + 0,10)10 = 1..000(2,59374246)

F = $2.593,74

Notación estándar Las matemáticas financieras, como todas las ciencias, evolucionancon el tiempo. Los avances tecnológicos y los nuevos sistemas operacionales exigenuna revisión de sus conceptos, definiciones, estructura matemática de teoremas y mo-dos de operar En matemáticas financieras se ha diseñado un modelo para representarIa relación funcional entre los factores que intervienen en un problema financiero, estemodelo es la notación estándar.

X : Y ( X / Y , i % o , n )

es el valor que se debe calculares el valor conocidoes la tasa de interéses el número de periodos (los economistas lo definen como horizonte)

Con esta notación estánda4 X : Y(X/Y,i%,n), se logran dos importantes ventajas:

1. En el desarrollo de un problema financiero, evita escribir continuamente las estruc-turas algebraicas, y sólo en las conclusiones, si es necesario, se indica la expresiónalgebraica.

2. La forma (ñY, i% , n) es la notación estándar de los factores utilizados en matemáti-cas financieras. Esta forma de expresar los factores conduce a definiciones y expre-siones más generales y simples que las tradicionales.

Una propiedad destacable de la notación estándar es que admite inversa:

X

in

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

X : Y ( ñ Y , i % , n )

Y = XDespejando Y (XlY,i/",n)

Por definición Y : X(y/X, i%, n)

Los análisis matemáticos concluyen en un teorema que se enuncia por medio deuna relación funcionaf estas relaciones se expresarán de doi formas: notación algebraicay notación estándar. En el estudio de matemáticas financieras, para tener una compren-sión clara de los factores que entran en juego en un problema, Ls necesario familiirizar-se con los desarrollos algebraicos y adquirir destreza en su manejo; lo cual permitirácomprender con facilidad los temas tratados en los siguientes capítulos. Es indudableque en las actividades profesionales, la notación estándar y una calculadora financieraserán sus óptimos recursos pero, por lo pronto, esta es la etapa de aprendizaje y esimprescindible adquirir conocimientos en forma gradual y completa. para faciiitar suestudio, este material presenta cuidadosamente los análiéis, deJarrollos teóricos v se-cuencias de los temas expuestos.

En notación estánda¡, la fórmula L9a tiene la forma:

4.3

F = P (F lP , i%,n ) (1sb)

El factor de acumulaci6n (Ff p,i%,n)es el valor futuro que corresponde al valorpresente de una unidad a la tasa i% por periodo en n periodoi. Arí, poi ejemplo, en:

F = 1.000 (VP , 6%,'1,5)

se pide el valor futuro-F, conocido el valor presente P : 1.000, la tasa de interés 6% porperiodo y el número de periodos n : 'J.5. El factor (F/p, 6%,15) es el valor futuro F quecorresponde al valor presente de una unidad acumulado al 6% de interés por periodoen 15 periodos.

CONAPARACIóN ENTRE INTERÉS SI'I/IPLE E INTERÉs COMPUE5TO

Por su objetividad, la mejor forma de comparar los valores futuros es mediante la elabora-ción de las gráficas correspondientes a una misma tasa, para el interés simple y el compues-to., sea, por ejemplo,la tasa del20% y un capital de gt.ooo. Los montos -. F : r.oob¡t +n(0,20)l para el interés simple y F : 1.000(1 + 0,20), para el interés compuesto.

Función discretn a: valor futuro de $1.000 al interés simple delZ0%

rNrERÉscoMPUEsro EE

b : Valor futuro de $1.000 al interés compuesto del20%

A línea recta F : 1.000[1 + n(0,2)]

B función exponencial F : 1.000(1,2)'

El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica, y su gráfica corres-ponde a la de una función exponencial. Por su parte, el monto a interés simple crece enprogresión aritmética, y su gráfica es una línea recta.

.I.4 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVATENTES

La tasa convenida para una operación financiera es su fasa nominal.Tasa efectiaade inte-rés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominalpuede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condicionesconvenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital al8% con capitaliza-ción trimestral, el8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por losintereses que corresponden a $100 en un año, en las condiciones del préstamo. Para elmonto, se tiene entonces:

Función continua

MATEMATICAS FINANCI ERAS

F = P(1.+ i l"

n = 4; P = tO}; * = //6 detasa efectiva en el periodo ; i = 0,02

F = 100(1+ 0,02;= 100(1,02f =fi0(1.,0824321)

F = $108.?A321

$100 ganan $8,24321, en un año o sea tasa efectiva : 8,24321.%

Thsas equivalentes Son aquellas que, en condiciones diferentes/ producen la mismatasa efectiva anual.

En el texto se utilizarán los siguientes símbolos para las diferentes tasas, expresa-das en tanto por ciento:

i : efectiva anual

j : nominal anual

n¿ = número de capitalizaciones en el año

En Ia tabla I, las columnas se refieren a las tasas en el periodo de capitalización.Así, para 12% con capital ización tr imestral se t iene m:4; j :12; j / , , : t ' /

, :3%.Elsímbolo I en las tablas se refiere al tanto por uno, en el periodo.

Relación entre'la tasa nominal y efecüva El monto de 1 al I efectivo anual es 1 + i. Elmonto de L a la tasa j por uno con m capitalizaciones en el año es (1 + i/ ,,,)"';la ecuaciónde equivalencia entre estos dos montos es:

t+ ¡ = ( t * 1 ] "I m l

¡=(t*a) ' - ,\ m.)

Notación estándar ¡ =( eP ,*n, r)- r\ . ' m )

(20b)

La fórmula 20a permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal jcapitalizable mveces en el año.

Despejando j en la fórmula 20a se tiene:

¡+ t= (1 * 1 ) ' '\ m )

INTERÉS COMPUESTO

(1'+i)* =lt* J-l\ m )

J_=(r+ i ) *_r, m

¡=^l{t+;)*-r]

Notación estándar i = *l(rf , ,o, +)- tl

(21a)

(21b)

Introduciendo los nuevos símbolos, la fórmula del valor futuro compuesto en naiios para la tasa i capitalizable ,?? veces en el año, queda así:

Número de periodos de capitalización en el año : mi número de años : n; nú-mero total de periodos : nm; tasa en el periodo - , - i/,,.

r = n(t* +]" eZa)\ m )

_ ( _ / _ i . )Notación estándar F = P[F/ P, L%, mn )

(22b)

Para expresar la tasa nominal y el número de periodos de capitalización, se utili-za el símboloJ,,,, gu€ indica la tasa nominal j con m capitalizaciones en el año.

E @ C a l c u l a r e l v a l o r f u t u r o d e u n c a p i t a l d e $ 6 . 0 0 0 a i n t e r é s c o m p u e s t o e n 8años, a la tasa del 70% capitalizable semestralmente.

Estándar

Algebraica

P : $6.000; j = 10%; nt = 2; n = 8

F : 6.000(F/P,s%,"t6)

/ n r n \ 2 r 8 'F=6.0001 t+ : l : | =6 .000 (1 ,+0 ,05¡16

\ 2 )

En la tabla I, para el 5% en 16 periodos se encuentra el valor 2,18287459

F : 6.000(2,1,82874s9)

F = $L3.097,25

4.5


Solución con calculadora con función ¡v

F = 6.000(1,05)16

(1'05)'6 : 2'1'838746

F : 6.000(2,1.828746)

F = 913.097,25

CÁtCULo DEt vAtoR FUTURo uTIt¡zANDo TABtAsPARA n MAYOR QUE 50

En los problemas suele ocurrir que el número de periodos resulta mayor que s0, elmáximo de la tabla utilizada en este texto. Afortunadamente en estos casos se puedenaprovechar las propiedades de los productos de potencias; de esta forma el exponentedel factor de acumulación se descompone en sumandos, utilizando tantos sumandosde 50 unidades como sea necesario y, así, se calcula el factor de acumulación por pro-ducto de factores cuyos valores figuran en la tabla.

(1 + 0 .+v : (L + i ) {1 + ¡v

@lE!p Calcular el valor futuro al cabo de 20 años para una deuda de 94.000, al9% deinterés, con capitalización bimensual.

P = 4.000; j = 0,09; m = 6; n = 20

F = 4.000( 1+ 0;09 )n''" = 4.000(1 + 0,015.)',,,

\ 6 . /

1 2 0 = 5 0 + 5 0 + 2 0

F = a.000(1 * 0,015)et*et'zt

F = 4.000(1 + 0,015fl (1 + 0,015)il (1+ 0,01,5)t)

En la tabla I se encuentran los valores de la column a de 1,/z% parc:

( 1 + 2,10524242; (1 + iro : 1,34685501

4.000 (2,1 0524242) (2,10 s24242) (1,3 4685501)

s23.877,29

Con una calculadora que tenga la función r.v, se halla:

(l + 0,015)1'?0 = 5,9693229

4.000(5,9693229) : 23.37r,r'

; \50 -

E _

E -

INTERÉS COMPUESiO

4,6 VATOR FUTURO CO'I,IPUESTO CON PERIODOSDE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS

Las condiciones convenidas, en una operación financiera a interés compuesto, fijan elperiodo de caPitalización con el supuesto de que sean periodos enteros. cuando sepresentan fracciones de periodos, comercialme^t'" ," u.orümbra calcular el monto com-puesto para los periodos enteros de capitalización, y el interés simple r".rtitiru furu tu,fracciones de periodos.Teóricamente, el interés simple -en las fracciones de periodo es mayor que el com-puesto a la misma tasa, ya que significa capitalizar los in'tereses en un periodo menorque el convenido y, como consecuencia, la iasa efectiva resulta mayo[

La tabla III contiene los valores de (1+i.¡i =(, t o, in, j) wees el valor futuro de La interés compuesto para fracciones de periodo. \ P,

IEEEEEEI una deuda de $100.000 convenida al6% concapitalización anual se paga a los2 años 4 meses.La costumbre o regla comerc¡nl indica cobrar los intereses compuestos para los 2 periodos com-pletos y simples, para los 4 meses.

- -----r -

P = 100.000; i = 0,06; periodos completos = 2; fracción de periodos __ #=+

valor futuro en 2 periodos = Fr = 100.000(1 + 0,06)2 : 100.000(1,1236)F, = $112'300

El monto F, gana intereses simples en los 4 meses y su valor futuro es:

r:r rrz.aoofr. ] ro*i]= n2.360 (1,,02)

F =$11,4.607,20

Desde el punto de vista teórico, el monto debe calcularse a interés compuesto para el total deperiodos, incluida la fracción.

P = 100.000; i = 0,06; "

= Z%

F= 100.000(1 +0,0q2N = 100.000(1+ 0,0q2.1+0,0q%

Tablas I y III (1+ 0,06)2 = l,t216; (t + O,OO¡% = 1,,0t9612282F = 100.000 (1 ,'1.236)(1,07961282)

F = $114.563,69

solución con calculadora que te¡ga tecla de fracciones v función ¡v:(1+0,0q2% =1,,145637

F : 100.000(1,14563n : fi4.563,69

MATEMATICAS FINANCIERAS

Si no t iene tecla de fracciones, la fracción se convierte en una expresión decimal.

En el monto calculado para la fraccir in de periodo, los intereses simples siempre son mayores

que el monto a interés compuesto; en el efemplo anterior, la diferencia es de $43,51.Las calculadoras f inancieras t ienen función para calcular, a voluntad del operador; la fraccit in a

interés simple o a interés compuesto, así:

L = P ( F l P , i % , n )

P l ( l (1 . (X) { ) ; i = ¡ ' l ; r 2 ,3 .13 .1 ¡ñ t ts

Baio el mandt) compuesto F - 100.000(F/P ,6' / , . ,2,3333) = 11'1.563,69

Ba jo e l mando s imp le

compuesto los 2,3333 anos

¡r = l0().0(X)(I/P, 6i,:1, 2,3333) - 1116()7,20

conlpuesto cn 2 ¡ños y simple en la fraccitin 0,3333 años

Err lo que respect¿l al c.rlcukr del intcrós compuesto, comerci¿rlmente e'xisten di-

\ ¡ersos mctneios para e l t rat . rmierr to de los in terescs en las f racc iones de Per iodo. El l

;r lgunas operaciones fin.rncieras, se señalan expresamL'llte l.rs fech¿rs dc capitarl izaci(trr

elt el ¿rño, y todo dincrlr colocacilr entrc fechas devengar interés simple, hast¿r Ia fech¿r

inici.t l clel 1-re¡io¿r.) siguiente; todo clirrero retir¿rcl() t:ntre icchas g.tl l¿1 i l l terés sirn¡rls,

conlprendido desde' Ia fecha terminal dt ' l per ioc lo ¿ut t ' r ior . Así :

IEEE¡EEE! Alguien de¡r1r5i¡.¡ gl.(xx) el 2() de enerr¡ en un¡ cuenta dc ahornrs que ofreceel 6 ' l l de in tcrés c. ip i ta l izable t r inrestr ¡ lmente p. i r . r e l . l l de Dlc l rZr) ,3[ ) de junio,3() de sept ienl -bre v 31 de dicienrbre. C.rlcular el nronto clue Lrodrá retir¿r el l5 de dicienlbre del .rt1o siguiente.

F-ne

2()

Dic1 5

1II

IIv Sinrpl. Conrpuesto en 6 periodos

l l -

l

El capital gana intereses simples, drrr¡nte los 70 días que transcurren en el periodo comprendi-

c1o desde el 20 de enero hasta el 31 de marzo, conr, i¡ t iéndose en un valor futuro F, que deveng.l

intereses compuestos, durante los 6 periodos completos transcurridos entre el 1Q de abri l y el

30 de septiembre del año si¡¡uiente, convirt iéndose así en un valor futurtt F. que gana interese:

s imp les has ta e l 15 de d ic iembre .

r , = 1000[1* i i l ro,oot. ]= 1.000 (1,01166667)^ 1 3 6 t ) l

, ^ ^ , . É 'F, = F,f 1+

(l,L'o I = n r1,09314326)= 1.000 (7,01166667)(7,09344326)- ' \ 1 )

S imp le

Ilne

i "

Ivf ar.3 t

Ir-rn30

S"P3t)

IN IERES COMPUESTO

Valor f inal F :

Valor f ina l F:

f -r -

El lector debe

| / a I

f r i I r ; ;n l { } ,06, I = f z( t ,o l25)t - " " 1

1.000 (1,01 166667)(1,09344326) (1,012s)

$1.120,03

consult¿rr las c:ostumbre s ltlc.rlcs ¡lara estos cascts

4 . 7 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES COMPUESTO

En la fórmula det l monto ¿r in terés ct lmpucst t l , s i sc cc lnoce e l va lor pr t :s t 'n tc 1) ' e l va lor

futuro I ry e l t iempo r t , queda dcterrminado c l v¿r lor de i '

En la práct ica, c l cá lculo aproximado de i sc hace ut i l iza l rdo l¿r t¿rb l ' l I ' [ : ] l cá lculcr

matemát ico se ctectua c, ' ,n logni i tmos. [ in c l c iempl . quc s i ¡ ¡uc, sc i lust r¿rn ¿lnbos Pro-

cedimientos.

nEmEEEl Al nrori¡ alguirn cleia a su hija -de 7 arlos rlc ecl¿cl un le gado tte $1(x) (xx)

para quc coll s,s rnte*srs compuestos lt st '¡n ".ir"g.,-1,,,

cu¿tlclo cunrpla los l l i si ell 'r al cumplir

io , ,¿o¿ f i jac la rec ibe $- l .10.071¡0, Zc¡uú inter i 's c .n capi t . l izac i t in anu¡ l ga. í r la herenci¿?

(r¡ ) cá lculo ut i l iz ¡nt . lo l ¡ tab l¿ l . s t busc¿ e l r est¿t t . rb la, en la f i la quc corresponde ¡ r l - l l ' los

val0res, por exceso y por defccto, más pr t ix imos a l que resul te dc dcspei¿r ¡ l t 'n l ' r f i r rmul¿

del va lor fu turo:

' t - t ' j ( l + i ) " ; F - P( l ' l I ' , i " l ' , t t )

f -- D0 071,20; 1' = 1(X) (XX); rr = l 1

l e { ) . ( } 71 ,2 ( } . l { } { } . { ) ( t ( ) r I r i r r l

I l , i r ' | r ' l ' . " l i t ' l ; 1 t ' = t , s t t t tT t2

Este valor se encuentra entre l , l i9u29tt56 que corresponde al 6'4 v - l ,99915140 que corresponde

a l 6 1 / 2 " / , , . E l i n t e r é s b u s c a d o e s m a y o r < 1 u e e l 6 ' / , , y Á " , , , , r q u e e l 6 h i { ' s u v a l t l r a p r o x i m a d o s e

encuentra por interpolacií ln l ineal '

a 0,065 corresPonde

a 0,06 corresPonde

0,005

1,99975740

1,tt9¡r29856

a 0,06 + .r

a 0,()6

cor responde

cor responde

1,90071 200

1,89829856

0"10085284 como

0,0050.10085284 0,00241344

0,00s10,00241314)

e s a 0,00247344

,I

0,10085284

I'MATEMATICAS FINANCIERAS

x = 0,00012

i = 0,06 + 0,00012 = 0,6012

tasa de interés = 6,012%

(ü) Cálculo con logaritmos:

790.077,20 = 100.000 (1 + t)"

1o9190.071,20 = 1og100.000 + 11log (1+ i)

log(1+ l ) =log1'90.07 1,20 - logl 00. 000

1 1lo 9]90.07t,20 = 5,278976

1og100.000 = 1000000

log(1 + i) = 0,278976 +17 = 0,025356

l+ i =7 ,06012

i = 0,06072

tasa de interés : 6,072%

(c) Cálculo mediante radicales:

190.077,20 = 100.000(1 + t),,

Despejando (1 + ¡)"

190.077.20

100.000

7,900712=¡7+i)"

,$,rm?n = úr. ,11,go07Vh=f l+¡¡ tXt

1,9ffi772xl = 1+ i

1,060-1.22443 = 1+ i

7,060722443-1=i

0,060'122M3 = i

tasa de interés = 6,012%

INTERES COMPUESTO

(d) Con calculadora financiera:

F - P(F/P, t"l ' , n)

P - 100.000; rt -- 71; F :790.071,20

190.071 - 100.000 (F/P, { l ,11)

Respuest;t i - 6,012'1,

UN CASO PARADóJICO

En este nivel del estudio propuesto, es necesario aclarar el significado de la tasa de inte'-

rés interno o tas¿l interna de retorno (TIR). En la página 35 se explicó que ésta cs lzl

alternativa escogida de tasa interna a ia cual se invierten dincros en cicrto juego finan-

ciero. El siguiente eje.mplo, que conduce a una situación paradójica, aclara aún más el

concepto. Generalmente, el cálculo de i conduce a soluciones de e-cuaciones de gradct

superior y estas ecuaciones pueden tener variadas soluciones reales; esto significa que

para un mismo problema financie.ro se. tendrían diferentes tasas intcrnas dc interés; pttr

ejemplo:Una persona compra por $109.000 una mercancí¿r que le será entregad.r dentro

de un año, para e l lo paga hoy $40.000 compromet iéndose ¿r p¿rgar e l sa ldo, a l rec ib i r la

mercancía, por medio der un pagaré a un año de plazo. Ocurre que en el instante de

recibir la merc¡rncía Ia vende. de inmediato en $106.000. ZQué porcentaje de uti l idad

obtuvo en este neg,ocio?Pr imero se ordenan las cant idades en un d iagrama de f lu jo de caja y se p lantea

una ecuación de ecluivalencia l levando todos los valores al t iempo 0.

2 años

$40.000 $69.000

40.000 + 69.000(1 + i)-2 = 106.000(1 + t)-'o sea

40(1 + i ) 'z-106(1 + i ) + 69 = 0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado se tiene:

$106.000

tII1


106 r/ 1 | : \ -\ | f L ) -

z(40)

106 t 14

4.9

( l + i \ -80

7+ i . = 7 ,5

i, = O,S, tasa interna = 50%

1+ i . = 1,15; tasa in terna = 75Y"

paracióiicamente, para el mismo negocio se tienen clos tasas internas muy dife-

r e n t e s : 1 5 % Y 5 0 % .En este problema, la tasa interna carece de senticlo y se trata de una solución ma-

temática ajena a fo, prir ' ,.rpios financieros.. La interpretaiión de este problema parado-

;k";" ;;.;"ntra en el á.eu de Ia evaluación económica de proyectos financieros; sin la

pretensión de incursronar en el área propia de la evaluación de proyectos financieros

aqui se presentara ta propuesta¡le tratamiento para dicho problema'

si los $106.000 obtenicios al f inal del primei año se p,réden invertir all0% (tasa de

oportunidad), en estas condiciones al f inál clel segundo año se tendrá:

106.00(1,1) - 69'000 : 947 '600

Formando la ecuación de equivalencia:

40.000 (1 + i)'z : $47'600

( 1 + t ' : L ' 1 9

1 + i : 1 ,0909

i : 9,09%

En estas conciiciones se tiene clue el negocio cla una rentabilidad del9'09%'

El objetivo d.e este material es enseñui"l maneio de capitales en el tiempo utilizando

tasas internas. Las técnicas para la evaluación económica de proyectos financieros co-

rresponden a otro nlvel de ástudio, que exige el conocimiento previo de matemáticas

financieras. Resultaría erróneo a su vez en-señar las técnicas para evaluación de pro-

yectosaquienestenganConocimientossuperf ic ialesdematemáticasf inancieras.

cÁtCULO DEL TIEMPO

Enformaaná loga,e lcá lcu lode l ,e l t iempo,oseae lva lo rder l ,puedeca lcu la rseut i l i -zando la tabla I o mediante la aplicación de logaritmos'

INTERES COMPUESTO

¡ffififtfffit iEn qué tiempo un clepósito de $1.000 se convertirá en $1.500 ai 6i

con capital ización semestral?

, i r " ( i )f = 1 , 1 l + , 1 ; F = P l F l P , L % , n u r l

I l r ] l m )

F = 1.50(); P - 1.(X)0; i = 0,06; nt - 2

1.500 = l.(XX) l1 + 0.03)r"

i, {0'1, l l l l l l=' 'l rn l¡ tabla I se busc¿rr cn la celumn¡ del 37,, krs v¿lores -Lror exceso y por defecto- más prt ixi-

n r ¡ s a l , 5 . E s t e v a l 6 r s e e n c u e n t r a e n t r e l , 4 6 f l 5 3 3 7 l q u e c o r r e s p o n d e a l 3 p c r i o d o s y 1 , 5 1 2 5 8 9 7 2

que correspor-rde a l4 periodos. Interpolando conlo en el caso ¿rnterior, se t lene:

14 corrcspontle 1,51258972 cor responde

l3 corresponde 1,46853371

0,0'1405601 como (),03 146629

l _ . .445601 3146629

3146629440560 I

x - 0,7742337

2tt = 73 + 0,7142337 = 13,7742337

r l 6,t l57l ¡ño:

Medi¡rrte calculadora con funcit in logaritnlo:

(1,03)r" = 1,5

2rr log(1,03) - log(1,5)

^ log(1,5)¿ r 1 = - =

1,50(xx)ux)1,46853371

log(1,03)

2tt = 73,7172

r¡ = 6.85U6 años

0,776rJ91

0,072837

En estos problemas, la respuesta es aproximada, por tanto, es correcto decir que .l

t iempo aproximado es d,e 7 años y que el valor futuro será l iSeramente superior . l l e:f t -

rado. Si ia capitalización es por Periodos completos y la fracción se calcula ' l rf l tt:::

simple, el proietl imiento consiste en calcular el monto en el número de perio.io< lr r-:-

MATEMATICAS FI NANCIERAS

diatamente inferior y,para la diferencia, se calcula el tiempo a interés simple. En elejemplo citado, se calcula así:

F en 13 periodos = 1.000(1 + 0,03)'3 : 1.000(1,46853371)

F en 13 periodos = 7.468,53

Diferencia con el monto propuesto : 1.500 - 7.468,53 : 37,47

Para$.37,47 se calcula el tiempo a interés simple sobre $1.468,53(1

I = C n i

I = 37,47 ; C = 7.468,53 ; i = 0,06

37,47 = 7.468,53(n ) (0,06 ) = 89,1119r,t,

37,47,, =

ffi= 0,35716 años - 4 meses 9 días

En este caso, la respuesta sería 6 años 10 meses 9 días.

4.10 CRECIMIENTO NATURAT E INTERÉS COMPUESTO

En este capítulo es conveniente incluir algunas palabras sobre el crecimiento natural o

exponencial y la deducción de la fórmula del monto a interés compuesto a partir de las

leyes del crecimiento natural o exponencial.Esto será importante para comprender muchos aspectos teóricos de interés com-

puesto; en particula¡, será útil para quienes deseen profundizar sus estudios en esta área.

Si la razón de cambio de una cantidad con respecto al t iempo es proporcional a la

cantidad presente en el t iempo f, se dice que el crecimiento es natural. Esto es, si Y es la

cantidad presente en el t iempo f, entonces:

dYdt

=kY;lY = F(t) ; funcion de f ]

d"A, ., la raz6n de variación instantánea de Y con respecto a t; k es un número constan-

te que depende de las condiciones de cada problema. Su valor se determina en condi-

ciones experimentales o simplemente impuestas, como en el caso del crecimiento del

dinero o los planes de desarrollo industrial.

dY- = K A t

Integrando, se tiene InY = kt + a (a : constante de integración):

Y =ek t *o =ek teo

INTERES COMPUESTO

remplazando d = A:

Y = Aekt

[ftffi&!fl En un cultivo, el número de bacterias crece proporcionalmente al número pre-sente de ellas. Si en determinado instante hay 1.000 bacterias y una hora después 2.000, calcula¡la cantidad 3 horas después.

Para f : 0 ; Y: 1.000:

Y = Ae*'

1.000 = Aeok = Aeo -- A

A = 1.000

Para I : 1 ; Y: 2.000:

2.000 = 1.000ek

k = l n 2

Es deci{, que el número presente de bacterias en un tiempo f es:

Y = 1.0001"'r = 1.000e"'"

Sea ln2t : b; entonces, por definición e' : 2';

Remplazando b, se tiene etnzt - 2t, de donde:

Para

Y : 1.000 (2')

f : 3 horas, la cantidad presente de bacterias será:

Y : 1.000 (23)

Y : 8.000 bacterias al cabo de 3 horas.

Deducción de la fórmula del valor futuro a interés compuesto Si la cantidad presentees dinero, es posible imponer la condición de que en un periodo de tiempo f tenga un

crecimiento natural, por adición de sus intereses i en cada Periodo.

En el instante t : 0;

Sustituyendo en

se tiene (1)

o sea (2)

Y :P ( cap i t a l i n i c i a l )

Y = Aekt

D - A . N _ A

Y : Prrr

" , J-E¡. ¡ATICAS FINANCIERAS

.\l final del primer intervalo t = 7; Y = P(7 + i); i :

o sea P(1 + i; : Ps"

c r : ( 1 + l )

k : h ¡ ( 1 + ¡ )

Sust i tuyenclo en (2), Y - Pct i ' . \ \ * ' ) : Pcr¡ l r * '1 '

Como, ,1 ' r r r+ r t ¡ : ( 1 + i ) r , en tonces Y : P (1 + l ) '

Sust i tuyendo la cant idacl prcsente Y por F, e l

de per iodos, o sea, es igual a r l , entonces se t i t :ne:

tanto por uno en el periodo f.

valor de f corresponde al número

I r : P ( 1 + i ) '

Tasa instantánea Si en j,,,,, se supolle que nl crece sin límite (nr --> -), entonces, el

periodo de capitalizacicin ós un intervalo de tiempo más pequeño que cualquier canti-

clad arbitrariame.nte escogida. [n estc c¿rso, se dice que la capitalización es c<lntlnua v

la tasa es instant¿inea.La tasa instantánea acostumbra a designarse con Ia le ' t ra gr iega del ta (6) . Por

de f i n i c i ón :

u = i,,,,,,,--. . simplemente 6 = lt-,, '

De acuerdo con lo estudiado en tasas equivalentes:

como

(aéanse pá9s.75 y K. Stein, edición McGraw-Hill, 197 4).

I i \ " ' ( tl + i = l l + , I = l l + -

\ ,n / [ " , '

I t r :¿ l It im l l , * l l ' l =1 ,r r + - l l ^ r 4 l I

L \ t ) I

78 del cálculo Sherman

=iÍ*l[,.+)']se tiene 1+ i

INTERES COMPUESTO

de donde 5 -

e ' , d o n d e i = i . = 6J ( - )

In(\ + i )

1 + i :

1 ! ; -

El valor de 6 se conoce con el nombre de t'uerzn del interés, y es la tasa continua decrecimiento de una unidad de capital en una operación financiera; en tanto que la tasaefectiva es el interés por unidad de capital en un periodo.

fiftffi&!fln Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponda al interés compuestod e l 8 % .

6 : l n ( l + i ) : ¡ r 1 1 + 0 , 0 8 ) : / n 1 , 0 u

6 : 0,07695; 7,695%'

[ f t f f i [E l l f l Hal lare lvalor futurode95.000enl0años: (a)a latasaefect ivadel 6%,(b) a latasa del 6% con capitalización mensual, (c) a la tasa continua del 6%.

\a)

(b)

F : 5.000(1 + 0,06)"'] = 5.000(1,7908477) - $8.9s4,24

/ 0.06 \ ' ' 'F : 5 .000 [

t * , J

=s.000(1,81e3e673)=$e.0e6,e8

( c ) D e : 1 + i - c 6 , i : e 6 - 1

Susti tuyendo en F : 5.000(1 + i)", se t iene:

¡ = 5.000(e6)" : 5.000e'ó

Remplazando los valores de n y 6, se t iene:

f : 5.69¡.tr¡0,{h) - 5.000et),6

Calculando etr6 por medio de logaritmos, se tiene:

F = $9 .110,60

4.I I PROBTEMAS RESUELTOS

1. ZQué banco es aconsejable para depositar dineros en cuenta corriente: A que ofrece el7% con capitalización trimestral, o B que ofrece el 7/n% con capitalización semestral?

La mejor oferta es la que corresponda a la mayor tasa efectiva anual.

MATEMATICAS FINANCIERAS

Banco A:

Util izando calculadora:

i : ( 1 + 0 , 0 7 7 s ) 1 _ 7

t : 7,07185903 - 1 : 0,07185903

Tasa efectiva - 7,785903%

Banco B:

ij : 0 ,0725; m:2, L : 0 ,03625 que corresponde a l 3f %

Valor que no figura en la tabla I de este l ibro.

Mediante calculadora:

1 + l : (1 + 0,03625)r

1 + i : 1 , 0 7 3 8 7 4

i : 0,073874

Tasa efectiva : 7,38%

Respuesta: es mejor la oferta del banco Il.

Calcular e l va lor fu turo de $6.000 deposi tados a l 9,X, de in terrés compuesto,capitalizable semestralmente durante 14 años 6 meses.

i = ( r+ * ) ' ' - ,

ij : 0,07; m = 4;

i :0,0175 que corresponde al 1j%

/ i ) " " 'Alg,ebraica F = Plr*

i,, 1

Es tándar r =p( r i p , j %, , , , r , )\ , n )

P: $6.000; i: 0,09 perioclos cle capitalizaciiin : ttt : 2; L: O,O+5,(+ jn);

t ¡ |t t : I4 j años ; t tu t : 29

F : 6.000 (1 + 0,045)2,

INTERES COMPUESTO

Utilizando tabla I o calculadora:

F : 6.000(3,58403649)

F :921.s04,22

una persona obtiene un préstamo de $30.000 a 5 años, con un interés del g%capitalizable semestralmente. Calcular el valor futuro que debe pagar en la fechade vencimiento.

4. Calcular el valor futuro de $5.000 al 6%, con capitalización mensual en 6 años 3meses.

p = $5 .000; J =0 ,06 ; t t t= t \ ; , = O-?U =0,005=:%,i l r l l

3 I r l \r t = 6¡= 64 año;rtut = 12164)= 75 periodos

Estándar

Algebraica

Estándar

Algebraica

Estándar

Algebraica

p=$3o .ooo ; /=o ,og ; m=2 ; L = o ,o4 ; t t=Sftt

F : 30.000(r/P,4%,10)

F : 3 0 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 4 ) ' 0

F : 30.000(7,48024428)

F : $44.407,34

F : s.000(F/P, 0,s%,, 7s)

F : 5.000 ( l + 0,005)?'

F : s.000(1,45363252)

F : $7.268,76

F : 5.000(F/P, 0,5%, 360)

F : s . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 0 5 ) % 0

F : 5.000(6,022575272)

F : $30.112.88

5. Calcular el valor futuro en el problema anterio4 para 30 año¡. Sólo varía el númerode periodos; m : 12; tt = 30: mn = 360.

Si se desea calcular utilizando tablas, la I sólo tiene valores hasta n = 50, para í : \%, "lfactor es 1,28322587. El exponente 360 se puede descomponer en 7 sumanclos 50

MATEMÁTICAS FI NANCIERAS

más 10; esto conduce a que es necesario multiplicar el valor 7,28322587 como fac-

tor 7 r'eces v el resultado multiplicarlo por 1,05114013 que constituye el factor para

rr : 10, i : ]%, obteniendo así el factor para i l - 360j Esta fue una forma de

calcular antes"de la era de las calculadoras electrónicas; hoy resulta absurdo em-

plear este método (aénsc el ejemplo 4.2).

6. En un juicio civil por cobro de una deuda de $12.000, el juez falla ordenando el

pago de la cantidád acleudada con acumulación anual de intereses a\ 8,3% por 4

anós, contaclos <lesde la fecha de su vencimiento. Calcular el monto acumulado de

la deuda.

La tabla I no tiene valores para 8,3%,, una t¿ls.l l1o cr)nlú11 etl las operaclones comL'r-

ciales. I,ara determinar el ¡nonto acumulado, se procetde directamente uti l iz¿rndt-

calcul¿rdctra.

i r : 12.000(1,083)1 : 12.000(1,3756686)

F : $16.508,02

7. En el problemer anterio¡, calcular el v¿rlor futuro parar 24 años

Estándar

Est¿indar

Algebraic.r

Estándar

Tablas I y III

P : 12.00(); j : 0,083; rr : 4

F : 1 2 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 8 3 ) '

t : 12.0t10(FlP, 8,3%, 4)

I = l ] . ( r 00 ( f P , ¡ { , 3o ; , 24 )

F : 12.000(1,083)r '

Uti l izando calculaclora ccln función,t"

(1,083)11 : 6,7777096

F : 12.000(6,7777096)

F : $81.332,52

Calcular el valor futuro teórico de $6.000 para 4 años 8 meses al7% con capitaliza-

c ión anual .

8 2F = $6.000; t t = 4- = 4- ; t = U, l) /

t ¿ J

F : 6.000(F/ P7%,4,6667) mando cohpuesto ( i ' lc 'sc ejemplo 4'5)

F = 6.000 1r + 0,0f i = 6.000 (1 + 0,07)' (1 + 0,07):

F = 6.000 (1,31079601) (7,02280912)'

F = $8.227,65

INTERES COMPUESTO

g. En el problema anterior, calcular el valor futuro seg,ún la rcgla comercial de dete¡-

minar la fracción cle periodo a interés simple.

F : 6 .000( l /P,7 ' / , , ,4 ,6667) mando s imple ( r 'crnsc e jemplo 4.5)

f t - lI - h .000 ( l t 0 , ( ) 7 ) r l t r

- r t l ' t l z t l

L J I

I ' : 6.000(r,3 1079601)( 1,04666667)

Ir : $u.231,80

10. Calcular la tasa de in tcr i 's s i rnplc ec¡u iv i i lentc a l in tcrós com¡ruesto dd 6 ' : / , durarr te

I 2 ¿r frtts.

Fí r rmula gcneral : Scan: l , : i r r t t ' rós s implc; i , - in t t ' rós ct l tn¡ ruest t r

l + ¡ ¡ , _ ( l + i . ) , ,

, , ¡ , = ( l + i , ) , ' I

( l + i , ) " - l

i l

I 'ar:r i, : 0,06; tt : 12

( l+0 ,06 )12 - I 2 ,01219647 It -

Es tánda r

Algebraica

t 2

¡. : 0,08435

I¿rsa de in terés s imple : 8 ,435%

11. Un prestamista desea ganar e l 8%, efect ivo ¿l - t t ia l sobr t 'un prestamo, c()n ln ter( 'scs

capi ta l izables t r imestra lmentc. H. t l lar la tasa nominal que debe cobrar : (Fónnulas

2 1 n y 2 1 b ) .

( 21a ) 7= r , [ { l - , ) ' r ' - 1 ]

[ , . , ^ l r 1(2tb)

- " 'L[ I lP ' ¡7 ' ' , i , , , - ' )

i =0 ,08 ; r ¡=4

7=+ [ { r+0 ,08 ) ] - 1 ]

Tabla III (1+ 0,08)j =1,07942655 o calculadora

t 2

MATEIúÁTICAS FINANCIERAS

I = 4(0,07942655)

j = 0,0777062

i =7,77% (Tasa nominal)

12. iEn qué tiempo se duplica un capital depositado al7%, con capitalización semes_tral?

Tabla III

En la tabla I, columna del3h%, se halla que el valor 2 está comprenclido entre 20 y21 periodos. Interpolando, se tiene:

( i \F = P l P lF , ;%' , mt I\ "' ./F = 2 P ; j = 0 , 0 7 ; m = 2

2P=P(1 .+0,035) ' "

Z = ( 1 + 0 , 0 3 5 ) ' '

a 27 corresponde 2,05943147a 20 corresponde 1,98978886

a20 + x

a20cclrresponde 2,00000000

1,989788860,06964261 como ¡ 0,010211 14

0,06964267 0.01027114

-r - 0 '01021114 = o.t466LIo0,06q64261

2tt :20 + x :20 + 0,7466220 :20,1466220

N.'a E' .i"_p: "":::::::: ffi :J:: ;:_:: ::::j:,,ue puede c.rresponder hasta 3 días en el cálculo del t iempo.

13' En el problema anterio¡, proceder calculando el monto compuesto en perioclos en-teros y los intereses simples para la fracción de tiempo.El valor más próxim o es 1,98978886 que corresponde a 20 periodos

2 = 7,98978886 [1 + n(0,07 )]

1 + n ( 0 , 0 7 ) = 2 = 1 . 0 0 5 1 3 1 8

r,98978886

INTERES COMPUESTO

tl - 0'0051318 =0.0733174

0,07

Tiempo : 10,0733774 años, aproximadamente 10,073 años

: 10 años 26 días (año de 360 días)

L4. Resolver el problema Ne 12, ut i l izando calculadora que tenga memoria y la fun-c ión h¡ .

( 1 + 0 , 0 3 5 ) " : 2

2t i l t4 l ,035): In2

hr(1,035) : 0,034401427 entra a memoria

Irr(2) + MR:20,7487975

n :20,7487975 + 2

tt -- 10,0744 aios

Se obtiene un tiempo ligeramente superior debido a que se trabajó con la fracciónde pc.riodo a interés compuesto.

15. Una persona deposita $7.500 en una cuenta de ahorros que paga el9o/o, con capita-lización bimensual. ZEn qué tiempo tendrá un valor futuro de $10.500? Se pide so-lucionar utilizando tablas.

F : 10.500; P : 7.s00; j : 0,09; ttt : 6

10.500 : 7.500(1 + 0,015)6,

( l + t ) , 0 1 5 ) n " = ! g - t , 47.500

a aL.->

22

7,40837715

1,387s6370

a l r . ,L L T A

22

1,40000000

1,3875637t'l

1 c's a 0,02081345 como ES 0,07243630

2081345 7243630

1243630- , t q q T q

2087345

6n =22,5975

n :3,766 años : 3 años 9aeses 6 dí. is


16. Resolver el problema Ne 15, uti l izando calculadora con memoria y función lrr '

(1 + 0,015)6'

6n In 1.,0L5

In 1,01'5

¡rr1,4 + MR

= 7,4

: In 1.,4

: 0,0148886 entra a memoria

= 22,599302

:22,599302 + 6:3,767

: 3 a ñ o s g m e s e s 6 d í a s

4.12 PROBLEMAS PROPUESTOS

17. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:

(¡t) al5% efectivo anual(b) al 5% capitalizable mensualmente

(c) al 5% capitalizable trimestralmente(d) al 5% capitalizable semestralmente

18. Hallar el valor futuro a interés compuesto de:

(n) $5.000 al6% caPitalizable semestralmente en 20 años

i¿rj S¿.OOo al7% capitalizable semestralmente en 70 años

(c) $9.000 alTt/z% capitalizable trimestralmente en 12 años

i¿l $S.OOO al6/z% capitalizable mensualmente en 30 años

1g. Hallar el vF de $20.000 depositados al 8%, capitalizables anualmente durante 10

años 4 meses en forma: (ru) teórica, (b) comercial '

20 .Ha l l a re lVFde$10 .000depos i t adosa ] .8%,cap i t a l i zab les t r imes t ra lmen tedu ran te32 años 7 meses 22 días.

Nota En los problemas, se suPone que se trata del vF comercial, cuando no se

especifique algo distinto.

21. Una persona deposita $3.000 el22 deabril de 1995, enuna caja de ahorros que paga

el6/o, capitalizatle semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de cada año'

ZCuánto podrá retirar el 14 de noviembre del2002?

22. lJnbanco pagaba el 5% de interés comPuesto, capitahzable trimestralmente' El 1a

de enero d,e 7996modificó la tasa, elevándola aI7/" capitalizable semestralmente'

Calcular el monto compuesto que tendrá el 1q de enero del 2016, un depósito de

S10.000, efectuado el 1q de abril de 1993'

INTERES COMPUESTO

23. Un padre muere el 20 de marzo de 7996 y deja a su hija $100.000 para que les seanentregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una cuenta que gana el6%, capltaluable anualmente. El 22 de septiembre del año en que murió el padre, Iahija cumplió 10 años; calcular la cantidad que recibirá en la edad fijada. (Int. real).

24. HaIlar el VF de un capital de $100 depositados durante 10 años 5 meses, a la tasaefectiva anual del 6,32%.

25. ZQué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% , capitalizable trimes-tralmente?

26. Calcular la tasa de interés simple equivalente al7%, capitalizable semestralmentedurante 12 años.

27. Hallar Ia tasa nominal convertible semestralmente. a la cual $10.000 se conviertenen $12.500, en 5 años.

28. Se estima que un bosque maderable avaluado en $750.000 aumentará su valor cadaaño en el 8,5%, durante los próximos 6 años. ZCuál será su valor al f inal del plazocalculado?

29. ZCuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros queacumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

30. Calcular el monto de $4.000 depositados durante 12 años 5 meses al 6,4% con acu-mulación semestral.

31. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza dupli-car el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros queofrece el 6/o capitalizable trimestralmente?

32. Una población aumentó de 475.000 habitantes a 1.235.000 en 25 años. ZCuál fue eltipo anual aproximado de crecimiento?

33. Un inversionista ofreció compr¿r un pagaré de $120.000 sin intereses que vence dentrode 3 años, a un precio que le produz ca eI 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecrdo.

34. Un pagaré de $18.000 a intereses simples deI6% con vencimiento a 5 años, es com-prado por un inversionista 3 años antes de su vencimiento por la cifra de $20.300.Hallar la tasa efectiva de rendimiento que produce la inversión.

35. Hallar el VF a interés.compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa continua del 5-,de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al5%, convertible men-sualmente.

MATEIVATICAS FINANCI ERAS

Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponde al interés compuesto del5% '

Eiaborar la gráfica del vF de $1.000 a interés compuesto para i : 0,25, tr : 3 años f

en la misma , trazar la escalonada corresPondiente al VF a la tasa equivalente

capitalizable cada cuatro meses'

Elaborar la gráfica correspondiente al VF con capitalización continua de|78,2322%

y hallar la tása equivalenle anual y el VF en los años 7, 2, 3 y 4. En la misma, ttazar

íu .o.r"rpondienie al VF a interás simple continuo para |a tasa del 20%; para eI

primer aho, hallar los vF a interés compuesto y a interés simple, al f inal de cada

mes.

4.I3 ACTIVIDADES DE CONSULTA

36.

5 / ,

38.

(c)

(¡')(c)

Consultar en la banca local las tasas )'periodos de capitalización para cuentas de

ahorros, y analizar ventajas y desventajas de los sistemas aplicados.

Consultar las tasas de capitalización para depósitos a mediano y largo plazo.

Estudiar las tasas y periodos de capitaiización para las reservas de seguros de vida'

r*rr,*qe,

e*'éi ' , , iil, . ! l : r :

! ¡ i i

VALOR ACTUAL O PRESENTEAL INTERES COMPUESTO

OBJETIVO

En este capítulo se aprenderá a reconocer, definir y calcular valores actuales o presen-tes, valores futuros o montos de sumas a interés compuesto; además r" .r ' lar,"1u.unecuaciones de valores equivalentes y diagramas de flujos de caja. Al terminar este capi-tulo se podrán plantear y resolver problemas financieros en los que inten'ienen cálcu-Ios de valores futuros y de valores presentes o actuales a partir de obligacionc: quedevengan o no intereses; igualmente se podrán plantear ecuaciones de valores equir a-lentes y elaborar diagramas de flujos de caja.

INTRODUCCION

Una cuestión fundamental en el mundo de los negocios es la determinación del r-aiorde aquellos bienes expresables en dinero que, por alguna condición, se recit 'rrán enfecha futu¡a. Así, por ejemplo: iQué vale hoy un legado de $1.000.000 que se recibirádentro de 10 años? ZEn cuánto puede venderse hoy un terreno que está en concesiónpor 6 años?

Definición El valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se recibaen fecha futura es aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempoun monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida.

5 . 1

5.2

MATEMATICAS FI NANCIERAS

cÁtculo DEt VAtoR AcTuAt

PValor presente

Util izando la fórmula 19: F : P(7

se obtiene,

Notación estándar: P : F(p/F, i% , n)

Para su aplicación, la fórmula 23a se modifica así:

T

(7 + i )"

P - F 11 ) - ; \ - t I. . \ ^ , . , /

Algebraica

\otación estándar

n periodos

FValor futuro

+ r)i'

El factor (1 + if 'es el valor presente de un valor futuro de una unidad por recibirdentro de n periodos de capitalización, a la tasa efectiva i por periodo. En notaciónestándar (P/E i%, n).

La tabla II contiene los valores del factor de valor presente para diferentes tasas yperiodos. Para el uso de la tabla, i es la tasa efectiva expresada én tanto por,r.,o

"., él

periodo de capitalización. Para valores que no figuren en las tablas, debe utilizarse cal-culadora.

La fórmula para el valor actual a la tasa j capitalizable rrr veces en el año se obtieneremplazando i, así:

I

i = L, n = número de periodos de capitalización en el año, para n añosm

el número de periodos : rzn

(23n)

(23b)

(23c)

(24a)

(24b)

P=P(t* i l ' '\ m )

n = r ( e¡r ,Ln,r^ \\ m )

(7 + i ) "

VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO

[ft!fflEf,fl Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anuald e l 6 % .

F : 5 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 6 ; , 7 = 5

Notación estándar P = 5.000 (PlF,6%,5\

Algebraica P : s.000(1 + 0,06) s

En tabla II (1 + 0,06) 5 - 0,74725817

P : 5.000 (0,7472s817)

P :53.736.29

En la notac ión estándar P : 5 .000(P/F,6%,5) , se p ide calcular e l va lor presente Pconocido el valor futuro F : 5.000 al 6% eÍectivo en 5 periodos; por solicitarse el valorpresente, se uti l iza el factor de valor presente cuyo valor se busca en la tabla II o se calcula.

El lector debe comprende¡, con claridad, que ia notación estándar es estrictamen-te necesaria cuando se dispone de calculadoras financieras. Al introducir los valores dcF, i%, n,la calculadora interpreta el valor presente, determina el factor del valor presen-te para los datos informados y continúa su programa hasta entregar el resultado. Perosi el computador es programable, se recomienda crcar programas usando los conoci-'mientos asimilados en computación, y aplicar correctamente los conceptos financierosmanejando con propiedad las fórmulas y métodos matemáticos que correspondan alproblema que se trabaje. En este texto de matemáticas financieras, el objetivo es ense-ñar a manejar los conceptos y métodos matemáticos para obtener el resultado correcto.

ff i lEf,p Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa del 6"1,capitalizable trimestralmente.

A l g e b r a i c a r = r [ r , l r )

Notac iónes tándar n= dn¡ r , ln ,^ , , )\ " ' )

F = 5 000; m = 4 ; n = s ; i = 0 ,06 ; i = *=ry= 0 ,015

P = s. ]w(PlF , " t ,s%,20)

p=5.000(1 +0,015f4,

P = 5.000(0,74247042)

P = $3.772.35

Tabla II

5.3

5.4


VATOR ACTUAI PARA VALORES DE n MAYORESQUE EL ñAÁXIMO DE LA TABLA

Se procede como en el ejemPlo 4.4.

freEEEEEl Hallar el valor presente de $100.000 pagaderos dentro de 20 años, al 6%

capitalizable trimestralmente.

F = 1 0 0 . 0 0 0 ; m = 4 ; j = 0 , 0 6 ; n = 2 0

P = 100.000(1 + 0,015)-80

p - 100.000(1 + 0,015)-50 (1 + 0,015) 30

p = 100.000(0,47500468 ) (0,6397 6243 )

P = $30.389

Tabla II

VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO CON PERIODOS

DE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS

En la sección 4.5 se explicaron las dos formas de calcular el valor futuro a interés com-

puesto, cuando se prÁentan fracciones de periodo. El mismo método se aplica para el

iálculo del valor actual o presente en fracciones de periodo'

Regla comercial El valor actual se calcula a interés compuesto, para los periodos ente-

rot, y u interés simple para las fracciones de periodo'

cálculo teórico se calcula a interés compuesto para todo el t iempo, incluida la fracción

de periodo.El valor actual o presente resulta menor cuando se calcula a interés simple para Ia

fracción de periodo.

IEtrEIEEg iCuál es el valor presente de un pagaré de $60.000 pagaderos dentro de 2 años

8 meses, si la tasa es del 8% capitalizable semestralmente?

(a) Aplicando la regla comercial, se calcula primero el valor presente para 2 años 6 meses que

equivalen u S p"iiodor y, luego, con base en el valor encontrado, se busca su valor presente

a interés simPle en 2 meses.

Fórmula 24:

Estándar

D _ E

D _ E

l'. ¿') ''\ t n )

(v' ' j '*")


F - r , ( 1 . 0 ( ) ( l ; t t t = 2 : i = 0 . ( ) 8 ; i r y = ( ) , ( ) 4 ; i l = 2 , 52

P - 60.000(1 + 0,04) 5 = Orl.OtlO(il,t¡2192711 )

P = $,19.315,63

Así , e l va lo r Presente de $60. ( )00 pag¿deros en 2 ,5 anos es de 949.315,63 y sobre es te vakr r debehall¡rse cl v¿krr presente, .r interés simple del f3i4 , en 2 rneses.

Apl icanclo l . r f r i rmula 9: , = * ;

F = ,19 3 15,63; i

, , 49 3 15,63' = la!o,-ori)

= 0 , ( ) 8 ; r ' - I a ñ t rt )

- $18 666,74

l .¿s c¿ lcu l¿dor¿s f in ¡nc ic r . ts t ienen nr . rndo pr ra ea lc r r l . r ¡de per iodo par . t in tc rés s in t ¡ r l c o in te rús compucs to .

( l ' ) ( á lcu lo te r i r i co :

. t vo l un t ¡d t l t , l oPc r¿c lo r , l ¡ f r . t c c i t i n

) . )

i \ i l | ¡ t

1 ' - l l l + ' - ]\ , / i /

f - 6 0 . ( X X ) ; l - ( ) , 0 u ; t t t - 2 ; n . . 2 + - Z ? - ! ,1 2 3 3

, , , , , - z l { ) - i í - s l\ 3 i 3 3

P = 6 0 . ( X X ) ( I + ( ) , ( ) 4 ) 5 l , - t 0 . ( x l 0 ( l , ( u ) ¡ ( 1 . ( ) 4 ) I ' , l

T¿rbla I l (1,04) 5 =(\,8219271;' f¡bl¿ IV (1,0.t) r ' : r - 0,. lu0l152

C = 60.(XX) (0,¡ l2l ! '2711X0,9¡1701 152) - $'1¡1.675.()9

E l va lo r Presentc ca lcu lado a in te rés compuest ( ) , inc lu i t l ¡ l ¡ f r¿cc i t in dc pcr iodo, d . r un resu l t ¡do mayor en $6,35, c¡ue el obtcnido calcul¿nclo.r intt ' rós sinrple ¡rar.r la fraccit i l r cle pt 'r ioclo.

- l

(c ) E fec tuar e l c . i l cu lo c le ( l + 0 ,04 ; ' :

c9n ca lcu l¿ t l t ) r . i v c ( )mp. l r . l r l ¡ c6n e I v¿ l ¡ r eb te¡ i t l ¡ t ' ¡( l ¡) apl icanclo tablas. I lepetir el ejem¡rlo ¿ l . t t¿s¡ cfect i 'u,¿ del 2,/{, ¿nu..r l .

DESCUENTO A INTERÉS CONNPU¡SrO

El descuento compuesto verdadero es la d i f t rcr - rc ia entrc c l . " 'a l9r fu tur , , l ¡ i ) r f . t -valor presc.nte.

MATEMATICAS FINANCIERAs

Por def in ic ión:

Sust i tuvendo:

Factorizando:

D = F -P (D es el descuento verdadero)

P: F(1 + i ) - "

D : F - F ( 1 + t ) - ' ,

D : F [ 1 - ( 1 + ¡ ) ' ]

o=r[ r

(25n)

El valor t l - (1 + i)" '] recibe el nombre de factor de descuento, a interés compucsto-

Si la tasa de in terés es7 capi ta l izable n l veces Por año, se obt iene:

-fr*al ""'l\ ' t r / l (2sb)

Descuento bancario compuesto Es el que se calcul¿r sobre el monto de la deluda, a una

tasa de clescuento ¡1. Esta forma de descuento es poco frecuente y no tiene aplicaciones

prácticas. Iror meclio de un ciesarrollo análogo al uti l izado para deducir la fórmula 19,

para el clescuento bancario compuesto se obtienel la fórmula:

VL : VN (1 - rl)"

Donde:

VL: Valor líquido del Pagaré

VN: Valor nominal del Pagaré

d: 'f ipo

o tasa de descuento exPresada en tanto por ciento

5.ó VATOR PRESENTE DE UNA DEUDA QUE DEVENGA TNTERESES

para calcular el valor presente de una deuda que devenga intereses, es necesario esta-

blecer primero su monto nominal, es decir, el valor que liquidará la deuda a-su venci-

miento. Una vez calculado el monto nominal, se procede a determinar su valor actual.

[ff iH!f,f l Calcular, 3 años antes de su vencimiento, el valor presente, alf l% capitalizable

sem"st .a lment ! , de un pagaré de 9100.000 f i rmado a 5 años p lazo, con e l 6%, de in teré:

capitalizable anualmente

Irrimero, se calcula el monto nominal a 5 años de plazo:

Notación estándar F = P(FIP, i%,t t )

\o tac i í rnalgebraica F= P(1 +,)"

P : 1 0 0 . 0 0 0 ; i = 0 , 0 6 ; n : 5

F r :100 .000 (1 +0 ,06 )s

(2o)


Luego, para este monto F, , se calcula e l valor presente, n sea, e l valor l íquido:

Notacir in estándar

¡ - 0 , 0 1 1 ; m = 2 ; n = 3

0,04) '

( i \P = F l P l F , - , t n t t l

\ D t )

/ i \ ' "P = F l 1 + - l

\ t t t )

F - F, - 100.0(X) (l + 0,06)5

yL = 100.000 (1 + 0,06)5(1 +

Con las tablas I y I I o mediante calculadora, se t iene

t,L : 1 00.000(1,33822s58 ) (0,790314s3\

Vt, : $705.76r,90

5.7 ECUACIONES DE VALORES EQUIVATENTES

Estas ecuaciones son las que se forman igualanclo -en una fecha de comparación crfecha focal- las sumas de los valores en la fócha escogicla cle los diferentes .n'n;,,,,-,tn¡; .1,,obligaciones.

Los problemas básicos que deben analizarse son cios:1' Establecer el valor que debe pagarse, en determinacia fecha, equivalente al valor de

un conjunto de obligaci.nes, que vencen en diferentes fechas.2' Determinar la fecha cle vencimiento promeclio en que se puede cancela¡, mediante

un pago único igual a la suma de los valores de uñ conjlnto cle obligaciones quetienen distintas fechas de vencimiento. El t iempo por transcurrir hasta la fecha cievencimiento promedio se define como ticm¡to cquiiarente.

fff i l l lEEE Una persona debe $10.000 pagaderos dentro de 2 años y $20.000 a 5 añosplazo. con su acreed.or pacta efectuar un pa¡lo único al f inal de 3 años a la tasa del u%, capitalizablesemestralmente. Calcular el valor único del pago.

ru.uuu x 20.000En el diagrama anterio¡, las f lechas muestran el movimiento del dinero. El gráf ico del t lujr, J.caja susti tuyendo los dos pagos por uno solo es (para economizar espacio, las f lecha: rt i - , . , :-colocado a un solo lado de la l ínea de t iempo):

10.000

MAT EM AT\C AS F\N ANC\EBAS

Est . indar

Algcbraica

X: 10 . (100 (F lP ,4%,2) + 20 .000 (p /F ,4"1 , ,4 )

x : 10.000(1 + 0,04)r + 20.000(1 + 0,04) l

X : 10.000(1,0816) + 20.000(0,85480419)

X : $27.912,08

5 años

Si se rlrult iplic.rn ¿lmbos miembros de la ecuaciírn cle ecluivalencia, por cl factc:de c.nvers i i r . (1 + 0,04)" , se.bt ierre la i rnpor t . rnte re. l¿rc i ( rn:

x (1 + 0 ,04 ) , , _ 10 .000 (1 + 0 ,04 ) : * , , + 20 .000 (1 + 0 ,04 ) r , ,

La cual I-nucstr¿t qu(., ¿-l interés compuesto, los valores ecluivalentc.s en una fechat¿nrbiórr lo son en cualc lu ier ot ra fecha. por e jcmplo: para , i : 4 ,1¿r ecu¿rc i i rn quedaestablecicla p.rra la fech¿r dc vencimiento más le¡ana:

X( l + 0,04) ' : 10.000(1 + 0,04)" + 20.000

P¿¡r¿r r¡ : -2, \a ecuación queda establecida para la fecha más temprana:

X(1 + 0,04) 2 = 10.000 + 20.000(1 + 0,04) 6

Como se desea calcular X, o sea, el va-lor der pago único, entonces se prefiere laecuación de equivalencia más simple que fue la piimera con X = fi27.9r2,óa. Tenien_do en cuenta que para cualquier rr a pártir cle la fecha focal establecicla, el valor delpago único se obtiene multiplicando a X por el factor de conversión; esto se puedeutil izar cuando deudor y acreeclor cambian la fecha y aprovechan el valor conocidode X.

fff iEEElUf Calcular la fecha de vencimiento promedio clel siguiente conlunto de obliga-crones. :95.000 a 2 años p lazo, $6.000a 4 añosplazo y$10.000 a 5añós prazo,ar t ipo del 6% concapi ta l izac i t in anual .


años

r0.000

En el diagrama anterioq, las flechas muestran el movimiento del dinero'

El gráfico del flujo de caja, al sustituú los pagos por uno solo en una fecha que se debe calcular es:

0 1 2 3 4 X S a ñ o s

Designando por X el t iempo equivalente -expresado en años contados a part ir de hoy hasta el

vencimiento del pago único igual a la suma de los valores de las diferentes obl igaciones-, se

tiene:

Notación estándar la primera línea, algebraica la segunda

(s .000 + 6 .000 + 10 .000xP/F,6%,n : s .000(P/F ,6%,2) + 6 .000(P/F ,6%,4) + 10 .000(P/F ,6%, ,s )

( 5 . 0 0 0 + 6 . 0 0 0 + 1 0 . 0 0 0 ) ( 1 + 0 , 0 6 ) - r : 5 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 6 ) - 2 + 6 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 6 ) r + 1 0 . 0 0 0 ( l + 0 , 0 6 ¡ s

21.000(1 +0,06)-r:5-000(0,88999644)+6.000(0,79209366)+10-000(0,74725817)

4,449,98 + 4.752,56 + 7.472,58(1 + 0,06) ̂

(1+ 0,06) ̂

21.000= 0,79405343

Interpolando en la tabla II, se tiene:

corresponde 0,79209366

nde 0.83961928

e s a -0,04752562



-0,04556585

a x

a 3

a 4

a 3

1 x - 3

+o{rsrw = -0p4556585

^ 0,0455658qa - ¡ = -----------Z = 0.9587 6-t93

0,04752562

6.000

MATET/4ÁTICAS FINANCIERAS

r =' 3,95flfl años

r - 3 ¡ t t1os l1 n leses 15 d ías

I raba jando con c¿ lcu ladora , se t tene '

(1 + 0,06) ' - ' 0 ,79405343

.thr ( I + (),06) - In 0'79405:343

hr ( 1'06) - () '05tt26tt9

tn(\,79405343 - - 0'23()6045

-0,2306045-\ '= - - - -.'

0.()Sft26ile

x . ' 3 ,9576

- r - 3 años l l mcscs 15d í¿s

t ) espu ( ' s de co t t oce r t l t i t 'mpo t t l t l i v ' r l en t c y l a f ech r d t ' hoy ' se

p rome c l i o de venc im i t ' t ¡ l o '

o sea

luego

procede ¡ de termin¿r r la fcch¡

5.8 PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dcmost ra r quer : (171r ' i ' l "n ) (P l l ' i ' / ' ' k ) : (P l l : ' t ' l " t t + k )

(P l t ' , i " / , , r r ) : (1 + t ) "

(.Plr:, fl,, k) : (1 + ') ̂

o sca el l : ' i ' ' l "n)(Plt : ' i ' / ' "k): (1 + i ) "(1 + t) I

( P l l , i " l , t ) ( P l l , i ' / ' ' , k ) : ( 1 + ' ) " ' : ( 1 * i ) { " + r t

luego e lF ' i%"n) (P lL ' i ' / " ' k ¡ : (P lF ' i ' / ' "n + k )

Z. Demostrar que: (F/P' r" / ' " t t ) + (PlF' i ' / ' "k): (FlP' i%'n + k)

( t : l P , i % , r r ) : ( 1 + t ) "

(PIF, i%,k) : (1 + i ) A

G l P , i % , , n ) - ( P l F , i % ' , k ) : ( 1 + i ) ' + - ( 1 + i ) - ^

G l P , i % , , r ) - ( P l F , i % ' , k ) : ( 1 + i ) ' t + ) = ( 1 * l ; u + t

(FlP, f/,,, n) * (PlF, i%,k) : (FlP, i%' n + k)

3. icuánto debe invertirse hoy al9% concapitalización semestral' para obtener $60'000

dentro de 10 años?

P : 24.878,57

aA qué valor de contado equivale la oferta de $120.000 pagaderos dentro de 2 años

Por un bienraí2, si las inversiones locales producen el10% capitalizable trimestral-mente?

Estándar

Algebraica

Estándar

Algebraica


F : 6 0 . 0 0 0 ; j : 9 % ; m : 2 ; n : 1 0

P : 60.000 (PlF, 4,s%, 20)

P : 60.000 (1 + 0,045)-10 : 60.000 (0,47464286)

F : 1 2 0 . 0 0 0 ; j : 1 0 % ; m : 4 ; t t : 2

P : 1 2 0 . 0 0 0 ( P l E 2 , s % , 8 )

P : 120.000 (1 + 0,02s) 8: 120.000 (0,820746s7)

P : $98.489,60

5. ZQué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad?

(,r) $90.000 de contado(ü) $40.000 de contado y el saldo en tres pa¡iarés iguales de $20.000 cada uno a 1,

2 y 3 años de p lazo, s i e l rencl imiento del d inero es del U%, capi ta l izablc se-mestralmente.

Las dos clfertas se expresan en diagramas de fiujos de caja a ambos l¿rdos deuna misma línea de tiempo.

40.000

X : 40.000 + 20.000(p/F, 4%,2) + 20.000(p/F, 4%, 4) + 20.000(p/F, 4%, 6)X:40.000 + 20.000(1 + 0,04)r+ 20.000(t + 0,04)r + 20.000(1 + 0,04)*X : 40.000 + 20.000(0,92455627 + 0,85480419 + 0,79037453)X : 20.000(2,56967493) + 40.000X = $91.393,50

La oferta b és superior en 91.393,50.


6. Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagarés: $20.00 a 4 años de plazo,.$50.000a 3 años de plazo, $40.000 a L año de plazo y $50.00 exigibles de inmediato. EI ofrececancelar de contado $30.000 y el saldo a 2 años de plazo. Hallar este valor, si el t ipode interés es el7% capitalizable semestralmente.

Los diagramas de los dos flujos de caja equivalentes se presentan a ambos lados de unamisma línea de tiempo,las flechas indican el sentido positivo o negativo del flujo.

30.000x

+ 8 semestres

40.000

50.000 50.000

30.000 + X(P/F,3,5%,,4) : 50.000 + 40.000(P/F, 3,s%,2) + 50.000(P/F, 3,5%,6)+ 20.000(P/F,3,5%,8)

30 .000+x (1 +0 ,035 ) r : 50 .000+40 .000 (1 +0 ,035 ) ' z+50 .000 (1 +0 ,035 )++20 .000 (1 +0 ,035 ) ¡

X (1 +0 ,03s )a :50 .000 -30 .000+40 .00 (X1 +0 ,035 ) ' ?+50 .000 (1 +0 ,035 )6+20 .000 (1 +0 ,035 ) ¡

x : 20.000(1 + 0,03s)r + 40.000(1,035), +s0.000(1 + 0,035) r + 20.000(1 + 0,035) I

X: 20.000(1,47523) + 40.000(7,077225) + s0.000(0,93351070)+ 20.000(6,87144223)

X : 29.504,60 + 42.849 + 46.675,54 + 77.428,85

x - $729.903,83

7. iCon qué pagos iguales a7,2y 3 años de plazo puede remplazarse una obligaciónde $120.000 que vence dentro de 4 años, si la tasa de interés es del 8%, con capitali-zaciín anual?

120.000

II+4 años

9 .


Usando la últ ima fecha como fecha focal, se tiene:

X(FIP, 8%, 3) + X(FIP, 8%, 2) + X(FIP, 8%, t¡ = 120.000

X(1+ 0,08)3 + X(l+ 0,08)' + X(1+ 0,08) = 120.000

X(1,259772 + 7,766400 + 1,080000) = 120.000

120.000 ñ- a ̂ ^ ,x = 3565¡71= $34'225'94

Para una apreciación aproximada del t iempo equivalente, se acostumbra aplicaruna regla práctica que se enuncia así: súmense los productos obtenidos al multipli-car el valor de las obligaciones por sus respectivos plazos, y divídanse por la sumade los valores de las obligaciones.

Sean S,, 5r,5 r,..., S* los valore s, y tt ( n2, tt1,..., rru los plazos, e i la tasa de capitalizaciónpor periodo, capitalizando n¡ veces en el año:

(S , + S , + . . . + Su ) 0+ i ) ' " ' = S , (1+ i ) ' " ' ' + S , (7+ i ) " " ' z * . . . 5 r0+ i ) ' " ' r

Sustituyendo los desarrollos binomiales por sus valores aproximados a los dos pri-meros términos, se tiene:

(Sr + 52 + ... + S*X1 - mni) : Sr( 1 - mn,i) + Sr(1 -nmri) + ... + Sr(7 - mnri)

(Sl + S, + . . . + So)mni : Srmrt r i * S¡nt t r i + . . . + Srnutr i

de donde,

S , r r , + S r r r , + . . . + S ^ r r u. (va lor aproxlmaoo ae , l )S , + S r + . . . + S ^

Resolver el ejemplo 5.7 aplicando la regla práctica para el cálculo aproximado deltiempo equivalente. Comparar y analizar el resultado.

Un inversionista negocia un pagaré de $20.000 a intereses simples del 72%, convencimiento a dos años; hallar el valor que debe pagar a la tasa nominal comercialdel 70% , con capitalización semestral.

Primero se calcula el monto del pagaré a su vencimiento y, luego, el valor actual deese monto:

F : P ( \ + n i )

P : 2 0 . 0 0 0 ; n = 2 ; i : 0 , 7 2

[¡ATE MATICAS FI N ANC I E RAS

F=2o.ooo[1 +2(0,1,2)l

F = $24.800

Notación estándar P =r(PE ,Ln,^n\Um)

Notación argebraica I = rfr. (*)] '

F = 24.800; j = 0,70; m = 2; n - 2

P = 24.800 (1 + 0,05)'

P = $20.403,02

NOTA: El interés simple se usa en el corto plazo (hasta 1 año). A mediano plazo(1 a 4 años) y a largo plazo (más de 4 años) se uti l iza el interés compuesto.

10. El 1s de marzo de 1995 se firmó un pagaré por $40.000, con vencimiento a 4 años, aun interés simple del72%. El 1a de septiembre de 7996 se negocia con un inversio-nista que cobra el 14% nominal, con capitalización semestral; hallar el valor paga-do por el inversionista.

F = P\+ n i )

P = 4 0 . 0 0 0 ; n = 4 ; i = 0 , 7 2

F=40.000[1 +aQ,lz) l

F = $59.200

P=F( P tF , ln , * r )Im)F z r

- l -nn

P=Fl 1* f¿ l lL \ ' / l

F = 59.2ff,; j = 0,1L m= 2; n= 2,5 años

P = 59.200(1+ 0,0n-s

P = $42.208,78

11 . Una deuda de $200.000 se cobra judicialmente y se paga 5 años después. Si la tasabancaria para cuentas es del 1,6% nominal con capitalización trimestral, hallar (a) Ia

VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERÉS COMPUESTO

suma que basta consignar en una cuenta de ahorros al iniciarse el juicio para cance-lar la deuda en la fecha del fallo; (b) la pérdida que sufre er a..""áo..

p = F( p t r ,Ln . ̂ r )I m )

p=rlr * ! ] "L tn l

F = 200.000; j = 0,76; m - 4; n = S

P = 200.000(7+ 0,04)",

P = $97.277,39

r=pfr*¿-l" ' 'L m )

P= 200.000; j = 0,76; tn= 4; n = S

F= 200.000(7+0,04)t ,

F = $438.224,62

Pé¡dida : 438.224,62- 200.000

Pérdida -$238.224,62

12' un deudor debe un pagaré por $300.000; 1g meses después de su vencimiento, con-viene con su acreedor cancelar con un pago <1e $450.0ó0. Hallar la tasa nominal concapitalización semestral que corresponde u esta operación comercial.

P=Fl1"f¿l lL \ r t l l l

P= 300.000, F= 450.000; m=2;ru = 1,5 años

i 3oo.ooo = 45o.ooo L * ¿) '

\ 2 )

/n(300.000) = /n(450.000 ) + (-3)nl tn l l\ 2 )

( ¡ ttnll+ i l=ltn1+s0000) - in(300.000)]+ 3

\ ¿ )

(a)

(b)


7,7M7142

28,94%

PROBTEMAS PROPUESTOS

13. Hallar el valor actual de:(n) $10.000 pagaderos dentro dc 10 años al 5%, con acumulación anual'

(b) 95.000 pagaderos dentro de 6 años al 6% capitalizable trimestralmente.

(c) $8.000 pagaderos de.ntro <le 7% años al 8%,, capitalizable semestralmente.

(d) $4.000 pa¡;aderos dentro de 5 ¿rños al7,4ol,, con capitalizaci<in anual.

14. Hallar el valor actual de $6.000, pagnderos dcntro de 5 años 4 meses, al 6% capitalizable

trimestralmente:(n) Según la re¡¡la comercial .(b) Efectuando el cálculo teórico.

15. Hall¿rr erl valor actuai de $96.000 pagaderos dentro de 20 años al 8%, , con capitaliza-

c ión mensua l .

16. Hallar Ia cantidad que es necesaric'r clepclsitar en una cuenta que Paga el 8% con

capitalizacicin trimestral, para disponer de $2t).000 al c¿rbo de 10 años.

17. ZQué oferta es más convcniente para la venta de una propiedad, si la tas¿r de interés

es del 10%, con capi ta l izac ión semestra l?(n) $60.000 al contado.(¿,) $30.000 al contado y $35.000 a 3 años de plazo.

18. Una persona vende una propiedad avaluada en $120.000 y por ella lc ofrecen $70.00Cal contado. i l 'or cuánto debc aceptar un pagaré por el saldo a 2 años de plazo, si el

tipo de interés es del 9%, con caprta\ización trimestra\?

i 1g. Una persona posee un pagaré de $6D.DDD a5 ahos de p)azo c1 ul-r ' . i i : l

acumulación semestral. ' [res

años antes de su vencimie¡fo ]¡r trl:c -<

prestamista que inviertc al 10%,, con capitalización trimestr.rl 'Q..=

el orestamista?

20. Un cc¡merciante compra $100.000 en mercancías y Paga $20 00i '

/ i \tn l l + i l=\ - . /

- lI t : -' ' 2 -

t -J _

n 1 ? q 1 q 5

s.9

en un pagaré a 3 meses y $40.000 a 6 meses. Hallar el valor de ct'n::: --

cía, s i la tasa de interés local es de\g%, con capital ización men'u'-


21. Una persona debe pagar $50.000 dentro de 2 años; el acreedor acepta un pago alcontado de $20"000 y un nuevo pagaré a 3 años. Hallar el valor del nuevo pagaré ala tasa delS%, con acumulación semestral.

22. Un acreedor de una sociedad en l iquidación acepta que se le pague al contado el75% del valor de dos pagarés a cargo de la sociedad; uno de $50.000 está vencidodesde hace 18 meses y el otro por $60.000 vence dentro de 15 meses; si el rendi-miento convenido es del 10% con acumulación trimestral, hallar la suma que recibeel acreedor.

23. Un pagaré de $8.000 pa¡;aderos dentro de 2 años y otro de $10.000 pagaderos den-tro de 5 años van a l iquidarse en un pago único dentro de 3k años. Hallar el valordel pago único a Ia tasa del 9%' , convertible semestralmente.

24.Una persona debe $20.000 pagaderos dentro de 3 años y $40.000 pagaderos dentrode 5 años. Hallar el valor de dos pagos iguales, a 2 y 4 años, que sustituyan lasdeudas con el t ipo de interrés del 6% con capitalización semestral.

25. Una persona vende un terrerno y rec ibe dos pagarés de $60.000 a 2 y 4 años deplazo. Hal lar e l va lor de contado, s i e l rendimiento es del 8% con capi ta l iz¿rc iónsemestra l .

26. Una persona debe $100.000 y propone efectuar tre's pa¡;os anuales iguales y sucesi-vos. Si el t ipo de. interés es delT% capitalizable anual, hallar el valor de estos paga-rés.

27.Hallar el t iempo equivalente para el pago de las sig,uientcs deu<las: $10.000 a 4 años,

$8.000 a 3 años y $6.000 a 2 años. Tasa efectiva del 8%.

28. Una deuda de $5.000 a 2 años, y otra de $8.000 a 4 años, se l iquidan con un P¿rgc)único de $12.800 ¿r 3 años. Analizar el problema.

29. ¿A qué tasa efectiva, un pago único de $20.000 hoy sustituye dos pagarés de $11.000cada uno, con ve'ncimiento a 1 y 2 años respectivamente?

30. Una persona debe $20.000 a 3 años de plazo al 70%, acumulable semestralmente v

-$30.000 sin intereses, a 2 años de plazo. Propone la siguiente operación comercial ¿t

/ la tasa efectiva delg%: pagar $10.000 al contado, $25.000 a 2 años de plazo y el salcltr'

a 3 años. Hallar el monto del últ imo pago.

31. Demostrar que: para tt > 1 el descuento a interés compuesto es mayor que r' l .1".-

cuento racional; para t¡ : l ambos descuentos son iguales, y Para 0 < i l ' í I .-

descuento a interés compuesto es menor que el descuento racional.

t-tI

@ vnrE¡¡Átcns FTNAN.TERAS

Comparar en una gráfica los valores actuales con: descuento comercial, racional y

compuesto. Util izar la tasa del 20% anual y elaborar las gráficas para 4 periodos

anuales; el primer periodo subdivídase en meses y calcular valores para cada mes.

Demos t ra rque (F /P , i% ,n ) (P /F , í%,k ) , s i n >kes igua la (F /P , i% ,n -k ) , s i t t : kes igua l

a 1, y si n < k es igual a (P/F, i%,k-n)

5. IO ACTIVIDADES DE CONSULTA

(a) Estudiar las tasas de interés local aplicadas, para calcular el pago inmediato de deu-

das a largo y mediano plazo.(b) Programar en computador el cálculo de tasas efectivas dados la tasa nominal y el

número de capitalizaciones, cl el periodo de capitalización.(c) Programar en computador el cálculo del valor presente de una deuda que Sana

intereses; este programa presenta variantes que se deben investigar.

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Interes Compuesto LPG