Interferenza 1

Il fenomeno dell’ interferenza si osserva in vari campi della Fisica:Onde acustiche,onde meccaniche sulla superficie di un liquido, onde luminose etc.

Il fenomeno è consequenza della sovrapposizione in un punto dello spazio di due o più onde.

Interferenza 2

Interferenza 3

I fenomeni di interferenza e diffrazione della luce fanno parte della cosiddetta Ottica fisica. Le soluzioni delle equazioni di Maxwell soddisfano il principio di sovrapposizione e ciò implica che i campi elettrici e magnetici di due segnali presenti contemporaneamente si sommino rispettivamente tra loro. Poichè la somma è vettoriale si possono avere fenomeni di interferenza costruttiva o distruttiva.

ATTENZIONE: dato che la somma è vettoriale occorre fare attenzione oltre che al verso anche alla direzione

Interferenza 4

Nel caso dell’ottica pur essendo sempre l’interferenza la sovrapposizione di due onde, quello che interessa è l’energia che incide e quindi una quantità proporzionale al quadrato del campo.

Interferenza 5

INTERFERENZA

Quello che si vede su uno schermo è l' energia media che arriva. Per una onda e.m. la densità di energia è data da

e poichè è:

si ha:

W

w 1

2E2

1

2

B2

By Ez By2 Ez

2

2 2 21 1w= εE εE εE

2 2

Interferenza 6

L' energia che arriva su una superficie S in un tempo t sarà quella contenuta nel volume

V = velocità S t se t = 1 sec e S = 1 m2:

w 1

2E2

1

2E2 E2

E AM sin[(t x

v) ]

2 2εW=vεE = E

μ

questo se E fosse costante. Se invece E varia sinusoidalmente allora :

Interferenza 7

e dovremmo mediare su un periodo:

=

1

Twdt

A M2 1

Tsin2 [(t

x

v) ] dt

AM2

2

Eeff2 I

Interferenza 8

Due onde

Supponiamo adesso di avere due onde ciascuna con la sua lunghezza d’onda e la sua fase

• In generale si può avere una sovrapposizione di 2 onde:

con uguali o differenti e

con costante o non costante.

Interferenza 9

e quindi:

La somma di queste onde produce un campo elettrico

Da cui:

E2 A2 sin[2(t x

v) 2 ]

E

E 1

E 2

E2 E12 E2

2 2E1E2

E2 A12 sin2 [1(t

x

v) 1] A 2

2 sin2[2 (t x

v) 2 ]

2A1 sin[1(t x

v) 1]A2 sin[2 (t

x

v) 2 ]

E1 A

1sin[

1( t

x

v)

1]

Interferenza 10

per avere l’energia su S=1 e t=1 si dovrà moltiplicare per v e per avere l’energia media si dovrà integrare su un periodo (o comunque su un comune multiplo dei periodi T1 e T2). Energia vA1

2 1

Tsin2 [1(t

x

v) 1] dt

vA22 1

Tsin2[2 (t

x

v) 2 ] dt

v2A1A 2

1

T{sin[1 (t

x

v) 1 ]sin[2 (t

x

v) 2 ] }dt

A12

2

A22

2

2A1A2

1

T{sin[1(t

x

v) 1]sin[2(t

x

v) 2]}dt

=

+

+ +

+

=

Interferenza 11

se al posto di A1 metto se al posto di A2 metto

2A1eff

2A2 eff

2A1A 2

1

T{sin[1(t

x

v) 1 ]sin[2 (t

x

v) 2 ]}dt

A1eff2

A2 eff2

2A1A2

1

T{sin[1(t

x

v) 1]sin[2 (t

x

v) 2 ]}dt

troviamo:

I1 +I2 +

Il terzo termine risulta = 0:

se 1 ≠ 2

Interferenza 12

X (t x

v)

2A1A 2

1

T{sin[1(t

x

v) 1 ]sin[2 (t

x

v) 2 ]}dt

A1A2 cos

I I1 I2

A1A2 cos I1 I2

2A1eff A 2 eff cos I1 I2 2 I1I2 cos

Quindi onde di differente frequenza hanno una intensità che è la somma delle due intensità.

se 1 = 2 e 2 - 1 = il termine risulta:

(infatti basta pensare al cambiamento di variabili:

e 2 - 1 =

Interferenza 13

Se A1 = A2 e 2 - 1 = 0 < cos0> = 1 allora:

e si ha interferenza costruttiva.

I I1 I2

A1A2 cos I1 I2

2A1eff A 2 eff cos I1 I2 2 I1I2 cos

A 2 A12 A2

2 2A1A2 0

A 2 A12 A2

2 2A1A 2 4A 2

Se 2 - 1 varia rapidamente, l' occhio umano vede un valore

medio di cos(2 - 1 )=0 e quindi il termine è di nuovo nullo

Se A1 = A2 e 2 - 1 = π <cosπ> = -1 allora:

e si ha interferenza distruttiva

Interferenza 14

CONDIZIONI DI INTERFERENZA

Dalla equazione generale

E Acos[(t x1

v) ]

E1 Acos[(t x1

v1

) ] E2 Acos[(t x2

v2

) ]

c

2

vuoto

e

essi quindi (al tempo t) avranno la differenza di fase:

e poichè è:

si ottiene:

1 2 1 21 2

1 2

x x x xΔ =ω - =ω n - n

v v c c

Supponiamo di avere due raggi aventi fasi uguali ed uguale ampiezza che al tempo t = 0 viaggino in mezzi differenti aventi indice di rifrazione n1 e n2.

si ha al tempo t:

Interferenza 15

Si ha interferenza COSTRUTTIVA se = 0, 2π,..... ==> n(2π) cioè se

(x1n1 x2 n2 ) ove è la differenza dei cammini ottici.

n 2 2

(x1n1 x2n2 ) n (x1n1 x2 n2 )

2

vuoto

(x1n1 x2n2 )

cioè se la differenza dei cammini ottici è pari ad un multiplo della lunghezza d' onda.

Interferenza 16

Si ha interferenza DISTRUTTIVA invece se

= π, 3π,....==> (2n+1)π cioè se

1 1 2 2

2π(2n+1)π= (x n -x n )

λ

ATTENZIONE che nelle riflessioni da un mezzo n1 ad uno n2 se n1 < n2 si ha una variazione di fase di π

1 1 2 2

2(2n+1)= (x n -x n )

λ

Interferenza 17

Esperienza di Young

Interferenza 18

Sono sorgenti coerenti quelle che mantengono costante

la loro differenza di fase.

Per sorgenti di tipo termico ciò non si verifica dato che la radiazione emessa è la somma di tanti eventi (emissione per frenamento) indipendenti.

La maniera migliore (a parte Laser o radiazione di sincrotrone) è quella di avere due immagini della stessa sorgente.

Ciò può essere fatto con vari metodi.

Interferenza 19

SPECCHI DI FRESNEL

Ciò si può ottenere ad es. con uno specchio piano (si ricorda che uno specchio piano ha una immagine in posizione simmetrica). Meglio due specchi (di Fresnel) posti uno "quasi" parallelo all' altro.

S S

P

12

r1 r2

S

E Acos[(t x

v) ]

E Acos[(t 0

v) 0] A cos[(t)]

Si supponga che in S sia x = 0 e =0 allora la formula generale:

diviene (in S)

Interferenza 20

e in P oppure

a seconda del cammino percorso.

S S

P

12

r1 r2

S

E1 Acos[(t r1

v)] E2 Acos[(t

r2

v)]

E1 Acos[2(t

T

r1

)] E2 Acos[2(

t

T

r2

)]

A è la stessa purchè S’ e S” abbiano distanza da P "approssimativamente" uguale.

e

Date le relazioni tra v ed le equazioni precedenti possono anche essere scritte come:

r2

r1

Interferenza 21

Il campo risultante sarà allora:

e quindi la intensità risultante sarà:

essendo:

A seconda della differenza di si ha dunque che Jtot varia da 0 a 4J.

Si osservano quindi frange di interferenza.

E E1 E2 A{cos[2(t

T

r1

)] cos[2(t

T

r2

)]}

1 2 2r1 r2

r1 r2

21tot cosI2III

Interferenza 22

Se si porta lo schermo AA a contatto con l'estremità dello specchio, il bordo dello specchio cade al centro di una frangia scura e indica una interferenza distruttiva tra la luce diretta e quella riflessa in quel punto. Poichè lo specchio è equidistante dalle due sorgenti S e S1, questo implica che, nella riflessione, il campo subisce una variazione di fase di π radianti;

Ciò si può ricavare anche dalle equazioni di Maxwell, cioè che quando una onda viene riflessa da un mezzo n1 ad uno n2 se n1 < n2 si ha una variazione di fase di π

SPECCHI DI LLOYD.

Qui il fascio diretto proveniente dalla sorgente luminosa S interferisce con il fascio riflesso dallo specchio; la sorgente S e quella virtuale S1 fornita dallo specchio servono come sorgenti di onde coerenti. L'esperimento di Lloyd presenta una caratteristica interessante.

Interferenza 23

Anelli di Newton

Interferenza 24

LAMINA A FACCE PARALLELE.

Interferenza 25

LAMINA A FACCE PARALLELE.

i

r2

4 4

3 d

n(x2 x3 ) x1

x3 x2 d

cosr

2nd

cos r

nx2

tgi

x1 x4 cos i x2

sin rcos i

nx2

senicos i

nx2

tgi

n

tgi

d

cosr

2nd

cosr

nx2

tgi

2nd

cos r(1

1

tgi)

Interferenza 26

Doppia lamina

Interferenza 27

Filtro interferenziale

Interferenza 28

Fabry Perot

Interferenza 29

Fabry Perot

Interferenza 30

INTERFEROMETRO DI MICHELSON La luce proveniente da una sorgente L incide sulla lastra di vetro AB inclinata ad angolo di 450 rispetto al fascio di luce in arrivo. La lastra è leggermente argentata sulla superficie posteriore, cosicchè giunta a questa facciata della lastra circa metà della luce viene inviata allo specchio S1 mentre I'altra metà viene riflessa verso lo specchio S2. La luce che arriva su S1 viene riflessa indietro e incontra la lastra AB dove, in parte, viene riflessa in direzione dell’osservatore; il fascio 2 che ritorna da S2 viene trasmesso da AB e raggiunge anch'esso l’osservatore.

Interferenza 31

Al variare della lunghezza tra AB e S1 si verifica interferenza costruttiva o distruttiva secondo che la differenza tra i cammini ottici dei fasci 1 e 2 sia un multiplo intero o semintero della lunghezza d’onda. Rispetto al caso in cui si studiano i fenomeni di interferenza in pellicole sottili, adesso si hanno i seguenti vantaggi: 1) non esistono fasci da riflessione multipla, 2) è abbastanza facile rendere uguali le ampiezze dei fasci 1 e 2.3) è possibile misurare differenze tra i cammini ottici dei fasci 1 e 2

misura di di v

1 2 2r1 r2

r1 r2

v

Interferenza 32