of 21/21
INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc Disusun Oleh: Danang Indrajaya (146090400111008) M. Adib Jauhari Dwi Putra (146090400011001) Zulfiana S. Akib(146090400111007) PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2015

INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH Disusun untuk …sebua barisan polinomial ortogonal yang didefinisikan secara rekursif. Polinomial Chebyshev mengambil peran penting dalam analisis numerik

  • View
    70

  • Download
    11

Embed Size (px)

Text of INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH Disusun untuk …sebua barisan polinomial ortogonal yang didefinisikan...

  • INTERPOLASI CHEBYSHEV

    MAKALAH

    Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang

    dibimbing oleh

    Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc

    Disusun Oleh:

    Danang Indrajaya (146090400111008)

    M. Adib Jauhari Dwi Putra (146090400011001)

    Zulfiana S. Akib(146090400111007)

    PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA

    FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS BRAWIJAYA

    MALANG

    2015

  • 2

    BAB I

    PENDAHULUAN

    1.1.Latar Belakang

    Dalam bidang matematika analisis numerik, interpolasi adalah metode

    menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu set diskret

    data-data yang diketahui. Atau dengan kata lain Interpolasi adalah suatu cara

    untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Di dunia

    nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana

    fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya

    dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil percobaan. Ada berbagai

    macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier,

    interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial.

    Dalam makalah ini akan dibahas tentang interpolasi polinomial

    Chebyshev. Polinomial Chebyshev diambil dari nama Pafnuty Chebyshev, adalah

    sebua barisan polinomial ortogonal yang didefinisikan secara rekursif. Polinomial

    Chebyshev mengambil peran penting dalam analisis numerik dan perkembangan

    ilmu pengetahuan modern, diantaranya adalah tentang polinomial ortogonal,

    aproksimasi polinomial, integrasi numerik dan metode spektral untuk persamaan

    diferensial parsial. Dengan mempelajari polinomial Chebyshev akan mengarah

    pada semua bidang dalam analisis numerik. Hal ini berarti bahwa polinomial

    Chebyshev memberikan pelajar kesempatan untuk mengenal luas berbagai bidang

    analisis numerik dan matematika.

    1.2.Rumusan Masalah

    Berdasarkan latar belakang tersebut, pokok permasalahan yang dibahas dalam

    makalah ini adalah

    a. Bagaimana memperoleh polinomial pendekatan pada interpolasi

    Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

  • 3

    b. Bagaimana perbandingan galat interpolasi dengan polinomial Lagrange

    dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

    1.3. Tujuan

    Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

    1. Mengetahui hasil polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev

    dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

    2. Mengetahui perbandingan galat interpolasi dengan polinomial

    Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

  • 4

    BAB II

    TINJAUAN PUSTAKA

    1.1. Galat

    Galat atau error adalah sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan

    ke dalam model. Ada tiga macam galat:

    1. Galat bawaan, terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah

    membaca skala, atau karena kurangnya pengertian mengenai hukum-

    hukum fisik dari data yang diukur.

    2. Galat pembulatan (round-off error), terjadi karena tidak

    diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai

    contoh, 3.1415926 dapat dibulatkan menjadi 3.14.

    3. Galat pemotongan (truncation error), terjadi karena tidak dilakukannya

    hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar.

    1.2. Interpolasi

    Misalkan 𝑦=𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi yang diketahui nilanya pada (𝑁+1)

    buah titik berbeda 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑛 dalam selang [𝑎,𝑏]. Polinomial 𝑃𝑁(𝑥)

    disebut polinom penginterpolasi berderajat 𝑁 bagi 𝑓(𝑥), jika untuk setiap

    𝑘=0,1,…,𝑁 berlaku

    𝑃𝑁 (𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘)=𝑦𝑖.

    Selanjutnya, jika 𝑃𝑁(𝑥) digunakan untuk mengaproksimasi fungsi 𝑓(𝑥)

    pada selang (𝑥0,𝑥𝑁) maka proses tersebut disebut proses interpolasi dan

    nilai 𝑃𝑁(𝑥) disebut nilai interpolasi.

    Interpolasi polinomial Lagrange merupakan salah satu bentuk

    interpolasi yang menggunakan polinomial Lagrange sebagai polinom

    penginterpolasinya. Polinomial Lagrange berderajat 𝑁 memiliki

    bentuk umum yaitu,

    𝑃𝑁(𝑥) = ∑𝑓(𝑥𝑘)𝐿𝑁,𝑘(𝑥)

    𝑁

    𝑘=0

    http://id.wikipedia.org/wiki/Model

  • 5

    dengan 𝐿𝑁,𝑘(𝑥) adalah koefisien polinomial Lagrange yang

    dinyatakan persamaan

    𝐿𝑁,𝑘(𝑥) =

    ∏ (𝑥−𝑥𝑗)𝑛𝑗=1

    𝑗≠𝑘

    ∏ (𝑥𝑘−𝑥𝑗)𝑛𝑗=1

    𝑗≠𝑘

    1.3. Polinomial Monik

    Suatu polinomial dikatakan sebagai polinomial monik jika koefisien

    utamanya adalah satu. Misalkan(𝑥) adalah polinomial monik berderajat 𝑁

    maka koefisien dari 𝑥𝑁 dalam polinomial tersebut adalah satu. Bentuk umum

    polinomial monik berderajat 𝑁 dinyatakansebagaiberikut

    𝑃(𝑥) = 𝑥𝑁 + 𝑎𝑁−1𝑥𝑁−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

  • 6

    BAB III

    PEMBAHASAN

    3.1. Interpolasi Polinomial Chebyshev

    Metode numerik selalu berhubungan dengan eror, yaitu bagaimana

    meminimalkan galat atau eror. Sebelumnya kita ingat bahwa ketika kita punya

    fungsi f(x) yang memiliki n turunan kontinu, interpolasi erornya adalah sebagai

    berikut

    ( 1)

    0

    1( ) ( ) ( ) ( ).

    ( 1)!

    nn

    n n j

    j

    f x Q x f x xn

    Dimana ( )nQ x adalah polinomial interpolasi dan n adalah titik diantara interval.

    Dari persamaan di atas terlihat bahwa titik interpolasi sangat

    mempengaruhi eror. Memang bukan hanya titik interpolasi yang berpengaruh,

    namun paling tidak untuk meminimalkan eror atau mendapatkan hasil yang

    optimal dalam interpolasi pemilihan titik interpolasi juga sangat penting. Salah

    satu solusinya adalah dengan menggunakan titik Chebyshev.

    3.1.1. Polinomial Chebyshev

    Polinomial Chebysev memiliki beberapa sifat berikut.

    a. Persamaan rekursif

    Polinomial Chebyshev dapat didefinisikan sebagai relasi rekursif berikut:

    0

    1

    1 2

    ( ) 1

    ( )

    ( ) 2 ( ) ( ), 2n n n

    T x

    T x x

    T x xT x T x n

    Atau dapat ditulis 1 1( ) 2 ( ) ( ), 1n n nT x xT x T x n

    Sebagai contohnya, 2

    2 1 0( ) 2 ( ) ( ) 2 1T x xT x T x x , dan 3

    3( ) 4 3T x x x .

    b. Koefisien Utama

    Persamaan rekursif polinomial Chebyshev menyatakan bahwa koefisien

    dari 𝑥𝑁 yang merupakan koefisien utama pada polinomial 𝑇𝑁(𝑥) adalah

    2 × (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑥𝑁−1 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑇𝑁−1(𝑥)).

  • 7

    Oleh karena itu, koefisien dari 𝑥𝑁 dalam polinomial 𝑇𝑁(𝑥) adalah 2𝑁−1

    untuk 𝑁 ≥ 1

    c. Representasi trigonometri dalam [−𝟏, 𝟏]

    Untuk setiap [ 1,1]x , 1( ) cos( cos ), 0.nT x n x n

    Atau bisa ditulis sebagai

    𝑇𝑁(𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)).

    Bukti:

    Dalam trigonometri berlaku

    cos( 1) cos cos sin sin ,n n n

    cos( 1) cos cos sin sin .n n n

    Karena itu,

    cos( 1) 2cos cos cos( 1) .n n n

    Diberikan 1cos x , maka cosx , dan definisikan

    1( ) cos( cos ) cos( )nt x n x n .

    Sehingga

    0

    1

    1 1

    ( ) 1,

    ( ) ,

    ( ) 2 ( ) ( ), 1.n n n

    t x

    t x x

    t x xt x t x n

    Oleh karena itu ( ) ( ).n nt x T x ▄

    d. Akar Polinomial di [-1,1]

    Polinomial Chebyshev 𝑇𝑁(𝑥) dengan orde 𝑁 ≥ 1 memiliki 𝑁 buah akar

    dalam interval [−1,1], yaitu

    𝑥𝑘 = cos (2𝑘+1

    2𝑁𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1.

    Nilai tersebut dikatakan sebagai titik Chebyshev.

    Bukti:

  • 8

    Diketahui bahwa

    𝑇𝑁(𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)) , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1

    Akar persamaan 𝑇𝑁(𝑥) ditentukan menggunakan persamaan berikut.

    𝑇𝑁(𝑥) = 0 ⇔ 𝑁 arccos(𝑥) = arccos(0)

    𝑁 arccos(𝑥) =2𝑘 + 1

    2𝜋

    𝑥𝑘 = cos (2𝑘+1

    2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 − 1.

    Oleh karena itu, diperoleh akar persamaan 𝑇𝑁(𝑥) pada interval [−1,1] adalah

    e. 𝑥𝑘 = cos (2𝑘+1

    2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 − 1

    Nilai ini disebut titik Chebyshev.

    3.2. Interpolasi Chebysev

    Dalam kasus yang lebih umum dimana interval interpolasi untuk fungsi f(x)

    adalah x[a,b] pertama harus mengubah interval interpolasi ke y[-1,1] dengan

    𝑥𝑘 = (𝑏 − 𝑎

    2) 𝑡𝑘 +

    𝑎 + 𝑏

    2

    Dengan 𝑡𝑘 = 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 [(2𝑁 + 1 − 2𝑘)𝜋

    2𝑁+2] , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 adalah titik

    Chebyshev dari polinomial 𝑇𝑁+1(𝑥) pada [−1,1]. Hal ini mengubah masalah

    interpolasi untuk f(x) di [a,b] ke f(x)=g(x(y)) pada y[-1,1].

    Teorema

    Misalkan𝑓 fungsi terdefinisi dan kontinu pada [𝑎, 𝑏]dan sedemikian

    sehingga turunan orde ke-𝑁 + 1 dari 𝑓 kontinu di [𝑎, 𝑏]

    Jika𝑃𝑁(𝑥) adalah polinomial interpolasi Lagrange dengan titik interpolasinya

    merupakan titik Chebyshev dari 𝑇𝑁+1(𝑥) maka:

    max𝑥∈[𝑎,𝑏]

    |𝑓(𝑥) − 𝑃𝑁(𝑥)| ≤(𝑏 − 𝑎)𝑁+1

    22𝑁+1(𝑁 + 1)!max𝜉∈[𝑎,𝑏]

    |𝑓(𝑁+1)(𝜉)|

    3.2.1. Polinomial Chebyshev

    Polinomial interpolasi Chebyshev dapat ditulis sebagai berikut:

    𝑃𝑁(𝑥) = ∑𝑐𝑘. 𝑇𝑘(𝑥) = 𝑐0. 𝑇0(𝑥) + 𝑐1. 𝑇1(𝑥)

    𝑁

    𝑘=0

    +⋯+ 𝑐𝑁 . 𝑇𝑁(𝑥)

  • 9

    Misalkan 𝑓(𝑥) diinterpolasi oleh polinomial 𝑃𝑁(𝑥) dengan 𝑁 + 1 titik

    interpolasi Chebyshev yaitu 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

    2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁, oleh karena itu

    pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥) = 𝑃𝑁(𝑥) . Akibatnya,

    ∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = ∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0

    𝑁𝑘=0 . 𝑇𝑖(𝑥𝑘). 𝑇𝑗(𝑥𝑘) = ∑ 𝑐𝑖

    𝑁𝑖=0 . ∑ 𝑇𝑖(𝑥𝑘). 𝑇𝑗(𝑥𝑘) =

    𝑁𝑖=0

    ∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗.

    Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0 ⇒ ∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 = ∑ 𝑐𝑖

    𝑁𝑖=0 (𝑁 + 1)𝛿𝑖𝑗 = 𝑐0(𝑁 + 1)

    Sehingga 𝑐0 =1

    𝑁+1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑁𝑘=0

    Untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … ,𝑁 ⇒ ∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 = ∑ 𝑐𝑖

    𝑁𝑖=0

    𝑁+1

    2𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗

    𝑁+1

    2

    Sehingga 𝑐𝑗 =2

    𝑁+1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)𝑁𝑘=0

    Teorema:

    Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃𝑁(𝑥) untuk fungsi 𝑓(𝑥) pada [−1,1]

    dinyatakan sebagai

    𝑓(𝑥) = 𝑃𝑁(𝑥) = ∑𝑐𝑗 . 𝑇𝑗(𝑥)

    𝑁

    𝑘=0

    Dengan kosfisien 𝑐𝑗 adalah

    𝑐𝑗 =

    {

    1

    𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0

    , 𝑗 = 0

    2

    𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0

    𝑇𝑗(𝑥𝑘), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁

    Dimana 𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑗𝜋(2𝑘+1)

    2𝑁+2) , 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

    3.2.2. Sifat Ortogonal

    Misalkan 𝑥𝑘 = cos (𝑘+1 2⁄

    𝑁+1𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 maka polynomial Chebyshev

    memenuhi sifat-sifat berikut:

    1) ∑ 𝑇𝑖(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 0 𝑖 ≠ 𝑗𝑁𝑘=0

  • 10

    ∑𝑇𝑖(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) =𝑁 + 1

    2

    𝑁

    𝑘=0

    , 𝑖 = 𝑗 ≠ 0

    2) ∑ 𝑇0(𝑥𝑘)𝑇0(𝑥𝑘) = 𝑁 + 1 𝑁𝑘=0

    Sifat ortogonal tersebut juga dapat dinyatakan dalam persamaan:

    ∑ 𝑇𝑖(𝑥𝑘)𝑁

    𝑘=0𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗

    Dengan:

    𝛿𝑖𝑗 = {0, 𝑖 = 𝑗1, 𝑖 = 𝑗

    𝐾𝑖 =𝑁 + 1

    2, 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁

    𝐾0 = 𝑁 + 1

    Berdasarkan sifat otogonal polinomial Chebyshev diperoleh polinomial

    pendekatan untuk aproksimasi Chebyshev seperti yang dinyatakan dalam teorema:

    Teorema

    Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃𝑁(𝑥) berderajat ≤ 𝑁 untuk 𝑓(𝑥) pada selang

    [−1,1] dinyatakan sebagai berikut:

    𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑁(𝑥) =∑ 𝐶𝑗𝑇𝑗(𝑥)𝑁

    𝑗=0

    Dengan koefisien {𝑐𝑗} dinyatakan pada persamaaan:

    𝑐𝑗 =

    {

    1

    𝑛 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘), 𝑗 = 0

    𝑁

    𝑘=0

    2

    𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0, 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

    Untuk 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

    2𝑁𝜋) dan 𝑘 = 0,1, …𝑁

    Bukti:

  • 11

    Diketahui bahwa 𝑃𝑁(𝑥) = ∑ 𝑐𝑗𝑇𝑗(𝑥)𝑁𝑗=0 . Karena 𝑃𝑁(𝑥) menginterpolasi 𝑓(𝑥)

    pada (𝑁 + 1) titik Chebyshev, yaitu 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

    2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 diperoleh

    pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑃𝑁(𝑥𝑘). Oleh karena itu:

    ∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) =∑ 𝑐𝑖∑ 𝑇𝑖𝑁

    𝑘=0

    𝑁

    𝑖=0

    𝑁

    𝑘=0(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) =∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗

    𝑁

    𝑖=0

    Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0, maka:

    ∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 =∑ 𝑐𝑖(𝑁 + 1)𝛿𝑖𝑗 = 𝑐0(𝑁 + 1)𝑁

    𝑖=0

    𝑁

    𝑖=0

    Oleh karena itu, diperoleh:

    ∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑁

    𝑘=0𝑇0(𝑥𝑘) = 𝑐0(𝑁 + 1) ⇒ 𝑐0 =

    1

    𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0𝑇0(𝑥𝑘)

    =1

    𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0

    Sementara itu untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … ,𝑁 maka

    ∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 =∑ 𝑐𝑖(𝑁 + 1)

    2𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗

    (𝑁 + 1)

    2

    𝑁

    𝑖=0

    𝑁

    𝑖=0

    Oleh karena itu diperoleh:

    ∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 𝑐𝑗(𝑁 + 1)

    2

    𝑁

    𝑘=0⟹ 𝑐𝑗 =

    2

    𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0

    Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh koefisien polinomial pendekatan seperti

    pada:

    𝑐𝑗 =

    {

    1

    𝑛 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘), 𝑗 = 0

    𝑁

    𝑘=0

    2

    𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0, 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

  • 12

    BAB IV

    APLIKASI INTERPOLASI POLINOMIAL CHEBYSHEV

    Bandingkan polinomial pendekatan berderajat 3 (N=3) untuk 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 pada

    selang [−1,1] yang dibentuk dari:

    1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥𝑘 = −1 +2𝑘

    3,

    𝑘 = 0,1,2,3.

    2. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

    𝑐𝑜𝑠 (7−2𝑘

    8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

    3. Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

    𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

    8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

    Penyelesaian

    1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥𝑘 = −1 +2𝑘

    3,

    𝑘 = 0,1,2,3.

    𝑥0 = −1 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑒−1 = 0,36787944

    𝑥1 = −1

    3 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑒

    −1

    3 = 0,71653131

    𝑥2 = 1

    3 ⇒ 𝑓(𝑥2) = 𝑒

    1

    3 = 1,39561243

    𝑥3 = 1 ⇒ 𝑓(𝑥3) = 𝑒1 = 2,71828183

    32

    30

    3

    20

    2

    10

    10 5625,05625,00625,00625,0..)( xxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxxL

    32

    31

    3

    21

    2

    01

    0

    1 6875,15625,06875,15625,0..)( xxxxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxxL

    32

    32

    3

    12

    1

    02

    0

    2 6875,15625,06875,15625,0..)( xxxxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxxL

  • 13

    32

    23

    2

    13

    1

    03

    0

    3 5625,05625,00625,00625,0..)( xxxxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxxL

    Maka interpolasi polinomial Lagrange order 3 sebagai berikut

    )().()(3

    0

    3 i

    i

    i xfxLxP

    =

    )().()().()().()().( 33221100 xfxLxfxLxfxLxfxL

    = ( 32 5625,05625,00625,00625,0 xxx ) 0,36787944

    +( 32 6875,15625,06875,15625,0 xxx ) 0,71653131

    +( 32 6875,15625,06875,15625,0 xxx ) 1,39561243

    +( 32 5625,05625,00625,00625,0 xxx ) 2,71828183

    Sehingga diperoleh

    𝑃3𝐴(𝑥) = 0,99519577 + 0,99904923𝑥 + 0,54788486𝑥2 + 0,17615196𝑥3

    2. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

    𝑐𝑜𝑠 (7−2𝑘

    8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

    𝑥0 = 𝑐𝑜𝑠7

    8𝜋 = cos 157,5𝑜 = −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑒

    −0,92387953

    = 0,39697597

    𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠5

    8𝜋 = cos 112,5𝑜 = −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑒

    −0,38268343

    = 0,68202877

    𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠3

    8𝜋 = cos 67,5𝑜 = 0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥2) = 𝑒

    0,38268343

    = 1,46621380

    𝑥3 = 𝑐𝑜𝑠1

    8𝜋 = cos 22,5𝑜 = 0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥3) = 𝑒

    0,92387953

    = 2,51904417

  • 14

    31 20

    0 1 0 2 0 3

    2 3

    0

    ( ) . .

    ( ) 0,10355339 0,11208538 0,70710678 0,76536686

    x xx x x xL x

    x x x x x x

    L x x x x

    0 321

    1 0 1 2 1 3

    2 3

    1

    ( ) . .

    ( ) 0,60355339 1,57716102 0,70710678 1,84775906

    x x x xx xL x

    x x x x x x

    L x x x x

    0 312

    2 0 2 1 2 3

    2 3

    2

    ( ) . .

    ( ) 0,60355339 1,57716102 0,70710678 1,84775906

    x x x xx xL x

    x x x x x x

    L x x x x

    0 1 23

    3 0 3 1 3 2

    2 3

    3

    ( ) . .

    ( ) 0,10355339 0,11208538 0,70710678 0,76536686

    x x x x x xL x

    x x x x x x

    L x x x x

    Maka interpolasi polinomial Lagrange orde 3 dengan titik interpolasi Chebyshev

    sebagai berikut

    )().()(3

    0

    3 i

    i

    i xfxLxP

    =

    )().()().()().()().( 33221100 xfxLxfxLxfxLxfxL

    = ( 32 76536686,070710678,011208538,010355339,0 xxx ) 0,39697597

    +( 32 84775906,170710678,057716102,160355339,0 xxx ) 0,68202877

    +( 32 84775906,170710678,057716102,160355339,0 xxx ) 1,46621380

    +( 32 76536686,070710678,011208538,010355339,0 xxx ) 2,51904417

    Sehingga diperoleh

    𝑃3𝐵(𝑥) = 0,99461532 + 0,99893323𝑥 + 0,54290072𝑥2 + 0,17517569𝑥3

  • 15

    3. Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

    𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

    8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

    𝑥0 = 𝑐𝑜𝑠1

    8𝜋 = cos 22,5𝑜 = 0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑒

    0,92387953

    = 2,51904417

    𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠3

    8𝜋 = cos 67,5𝑜 = 0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑒

    0,38268343

    = 1,46621380

    𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠5

    8𝜋 = cos 112,5𝑜 = −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥2) = 𝑒

    −0,38268343

    = 0,68202877

    𝑥3 = 𝑐𝑜𝑠7

    8𝜋 = cos 157,5𝑜 = −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥3) = 𝑒

    −0,92387953

    = 0,39697597

    Dengan memanfaatkan teorema aproksimasi Chebyshev, diperoleh

    𝑐0 =1

    𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘) =

    1

    4

    𝑁

    𝑘=0

    ∑𝑒𝑥𝑘 =

    3

    𝑘=0

    1

    4(5,06426271) = 1,26606568

    𝑐1 =2

    𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0

    𝑇1(𝑥𝑘)

    =1

    2∑𝑒𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

    2𝑘 + 1

    8)

    3

    𝑘=0

    =1

    2(𝑒𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 (

    1

    8𝜋) + 𝑒𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 (

    3

    8𝜋) + 𝑒𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 (

    5

    8𝜋) + 𝑒𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 (

    7

    8𝜋))

    = 1,13031500

    𝑐2 =2

    𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0

    𝑇2(𝑥𝑘)

    =1

    2∑𝑒𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

    2𝑘 + 1

    8)

    3

    𝑘=0

  • 16

    =1

    2(𝑒𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 (

    1

    4𝜋) + 𝑒𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 (

    3

    4𝜋) + 𝑒𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 (

    5

    4𝜋) + 𝑒𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 (

    7

    4𝜋))

    = 0,27145036

    𝑐3 =2

    𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

    𝑁

    𝑘=0

    𝑇3(𝑥𝑘)

    =1

    2∑𝑒𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (3𝜋

    2𝑘 + 1

    8)

    3

    𝑘=0

    =1

    2(𝑒

    𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 (3

    8𝜋) + 𝑒𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 (

    9

    8𝜋) + 𝑒𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 (

    15

    8𝜋) + 𝑒𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 (

    21

    8𝜋))

    = 0,04379392

    Sehingga interpolasi polinomial Chebyshev orde 3 dengan titik interpolasi

    Chebyshev sebagai berikut

    𝑃3(𝑥) = ∑𝑐𝑘. 𝑇𝑘(𝑥) = 𝑐0. 𝑇0(𝑥) + 𝑐1. 𝑇1(𝑥)

    3

    𝑘=0

    + 𝑐2. 𝑇2(𝑥) + 𝑐3. 𝑇3(𝑥)

    = (1,26606568)(1) + (1,13031500)(𝑥) + (0,27145036)(2𝑥2 − 1)

    + (0,04379392)(4𝑥3 − 3𝑥)

    Jadi,

    𝑃3𝐶(𝑥) = 0,99461532 + 0,99893324𝑥 + 0,54290072𝑥2 + 0,17517568𝑥3

  • 17

    BAB V

    KESIMPULAN

    1. Berdasarkan hasil tersebut, polinomial pendekatan 𝑃3𝐵(𝑥) = 𝑃3𝐶(𝑥),

    maka polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev adalah

    tunggal dan dapat diperoleh melalui polinomial Lagrange atau

    polinomial Chebyshev.

    2. Perbandingan galat interpolasi dengan titik berjarak seragam (a) dan

    titik Chebyshev (b)

    (a). Galat interpolasi dengan titik berjarak seragam

    Dengan nilai error |𝑒𝑥 − 𝑃(𝑥)| ≤ 0,01

    (b). Galat interpolasi dengan titik Chebyshev

    Dengan nilai error |𝑒𝑥 − 𝑃(𝑥)| ≤ 0,0067

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    X

    f(X

    )

    Pn(x)

    f(x)

    Titik Seragam

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.002

    0.004

    0.006

    0.008

    0.01

    X

    E(X

    )

    galat interpolasi

  • 18

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    X

    f(X

    )

    Pn(x)

    f(x)

    Titik Seragam

    -1 -0.5 0 0.5 10

    2

    4

    6

    8x 10

    -3

    X

    E(X

    )

    galat interpolasi

  • 19

    DAFTAR PUSTAKA

    Levy, Doron. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Maryland: University of

    Maryland.

    Mathews, John H. dan Kurtis D. Fink. 2004. Numerical Methods Using MATLAB

    (4th ed.). USA: Pearson Prentice Hall.

  • 20

    DAFTAR LAMPIRAN

    a. Titik Interpolasi Seragam

    clc;clear;close;

    n=4;a=-1;b=1;

    for k=1:n

    x(k)=-1.+2/3*(k-1);

    y(k)=exp(x(k)) ; end

    for i=1:n

    pp=poly(x((1:n)~=i));

    pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end

    Pn=y*pvals;

    xi=[a:0.01:b];

    yi=polyval(Pn,xi); 27

  • 21

    for i=1:length(xi)

    zi(i)=exp(xi(i)); end

    hi=abs(zi-yi);

    Hii=max(hi)

    subplot(1,2,1);

    plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid;

    legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest'); subplot(1,2,2);

    plot(xi,hi,'r','linewidth',2);

    grid;

    legend('galat interpolasi');

    b. Titik Interpolasi Chebyshev

    clc;clear;close;

    n=4;a=-1;b=1;

    for k=1:n

    A=cos((pi*(n+1-k-0.5))/n); x(k)=(b-a)*A/2+(a+b)/2;

    y(k)=exp(x(k)) ; end

    for i=1:n

    pp=poly(x((1:n)~=i));

    pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end

    Pn=y*pvals;

    xi=[a:0.01:b];

    yi=polyval(Pn,xi);

    for i=1:length(xi)

    zi(i)=exp(xi(i)); end

    hi=abs(zi-yi);

    Hii=max(hi)

    subplot(1,2,1);

    plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid;

    legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest');

    subplot(1,2,2);

    plot(xi,hi,'r','linewidth',2);

    grid;

    legend('galat interpolasi');