INTERPOLASI CHEBYSHEV

MAKALAH

Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang

dibimbing oleh

Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc

Disusun Oleh:

Danang Indrajaya (146090400111008)

M. Adib Jauhari Dwi Putra (146090400011001)

Zulfiana S. Akib(146090400111007)

PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2015

2

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Dalam bidang matematika analisis numerik, interpolasi adalah metode

menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu set diskret

data-data yang diketahui. Atau dengan kata lain Interpolasi adalah suatu cara

untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Di dunia

nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana

fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya

dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil percobaan. Ada berbagai

macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier,

interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial.

Dalam makalah ini akan dibahas tentang interpolasi polinomial

Chebyshev. Polinomial Chebyshev diambil dari nama Pafnuty Chebyshev, adalah

sebua barisan polinomial ortogonal yang didefinisikan secara rekursif. Polinomial

Chebyshev mengambil peran penting dalam analisis numerik dan perkembangan

ilmu pengetahuan modern, diantaranya adalah tentang polinomial ortogonal,

aproksimasi polinomial, integrasi numerik dan metode spektral untuk persamaan

diferensial parsial. Dengan mempelajari polinomial Chebyshev akan mengarah

pada semua bidang dalam analisis numerik. Hal ini berarti bahwa polinomial

Chebyshev memberikan pelajar kesempatan untuk mengenal luas berbagai bidang

analisis numerik dan matematika.

1.2.Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut, pokok permasalahan yang dibahas dalam

makalah ini adalah

a. Bagaimana memperoleh polinomial pendekatan pada interpolasi

Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

3

b. Bagaimana perbandingan galat interpolasi dengan polinomial Lagrange

dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

1.3. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

1. Mengetahui hasil polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev

dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

2. Mengetahui perbandingan galat interpolasi dengan polinomial

Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

1.1. Galat

Galat atau error adalah sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan

ke dalam model. Ada tiga macam galat:

1. Galat bawaan, terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah

membaca skala, atau karena kurangnya pengertian mengenai hukum-

hukum fisik dari data yang diukur.

2. Galat pembulatan (round-off error), terjadi karena tidak

diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai

contoh, 3.1415926 dapat dibulatkan menjadi 3.14.

3. Galat pemotongan (truncation error), terjadi karena tidak dilakukannya

hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar.

1.2. Interpolasi

Misalkan 𝑦=𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi yang diketahui nilanya pada (𝑁+1)

buah titik berbeda 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑛 dalam selang [𝑎,𝑏]. Polinomial 𝑃𝑁(𝑥)

disebut polinom penginterpolasi berderajat 𝑁 bagi 𝑓(𝑥), jika untuk setiap

𝑘=0,1,…,𝑁 berlaku

𝑃𝑁 (𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘)=𝑦𝑖.

Selanjutnya, jika 𝑃𝑁(𝑥) digunakan untuk mengaproksimasi fungsi 𝑓(𝑥)

pada selang (𝑥0,𝑥𝑁) maka proses tersebut disebut proses interpolasi dan

nilai 𝑃𝑁(𝑥) disebut nilai interpolasi.

Interpolasi polinomial Lagrange merupakan salah satu bentuk

interpolasi yang menggunakan polinomial Lagrange sebagai polinom

penginterpolasinya. Polinomial Lagrange berderajat 𝑁 memiliki

bentuk umum yaitu,

𝑃𝑁(𝑥) = ∑𝑓(𝑥𝑘)𝐿𝑁,𝑘(𝑥)

𝑁

𝑘=0

5

dengan 𝐿𝑁,𝑘(𝑥) adalah koefisien polinomial Lagrange yang

dinyatakan persamaan

𝐿𝑁,𝑘(𝑥) =

∏ (𝑥−𝑥𝑗)𝑛𝑗=1

𝑗≠𝑘

∏ (𝑥𝑘−𝑥𝑗)𝑛𝑗=1

𝑗≠𝑘

1.3. Polinomial Monik

Suatu polinomial dikatakan sebagai polinomial monik jika koefisien

utamanya adalah satu. Misalkan(𝑥) adalah polinomial monik berderajat 𝑁

maka koefisien dari 𝑥𝑁 dalam polinomial tersebut adalah satu. Bentuk umum

polinomial monik berderajat 𝑁 dinyatakansebagaiberikut

𝑃(𝑥) = 𝑥𝑁 + 𝑎𝑁−1𝑥𝑁−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

6

BAB III

PEMBAHASAN

3.1. Interpolasi Polinomial Chebyshev

Metode numerik selalu berhubungan dengan eror, yaitu bagaimana

meminimalkan galat atau eror. Sebelumnya kita ingat bahwa ketika kita punya

fungsi f(x) yang memiliki n turunan kontinu, interpolasi erornya adalah sebagai

berikut

( 1)

0

1( ) ( ) ( ) ( ).

( 1)!

nn

n n j

j

f x Q x f x xn

Dimana ( )nQ x adalah polinomial interpolasi dan n adalah titik diantara interval.

Dari persamaan di atas terlihat bahwa titik interpolasi sangat

mempengaruhi eror. Memang bukan hanya titik interpolasi yang berpengaruh,

namun paling tidak untuk meminimalkan eror atau mendapatkan hasil yang

optimal dalam interpolasi pemilihan titik interpolasi juga sangat penting. Salah

satu solusinya adalah dengan menggunakan titik Chebyshev.

3.1.1. Polinomial Chebyshev

Polinomial Chebysev memiliki beberapa sifat berikut.

a. Persamaan rekursif

Polinomial Chebyshev dapat didefinisikan sebagai relasi rekursif berikut:

0

1

1 2

( ) 1

( )

( ) 2 ( ) ( ), 2n n n

T x

T x x

T x xT x T x n

Atau dapat ditulis 1 1( ) 2 ( ) ( ), 1n n nT x xT x T x n

Sebagai contohnya, 2

2 1 0( ) 2 ( ) ( ) 2 1T x xT x T x x , dan 3

3( ) 4 3T x x x .

b. Koefisien Utama

Persamaan rekursif polinomial Chebyshev menyatakan bahwa koefisien

dari 𝑥𝑁 yang merupakan koefisien utama pada polinomial 𝑇𝑁(𝑥) adalah

2 × (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑥𝑁−1 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑇𝑁−1(𝑥)).

7

Oleh karena itu, koefisien dari 𝑥𝑁 dalam polinomial 𝑇𝑁(𝑥) adalah 2𝑁−1

untuk 𝑁 ≥ 1

c. Representasi trigonometri dalam [−𝟏, 𝟏]

Untuk setiap [ 1,1]x , 1( ) cos( cos ), 0.nT x n x n

Atau bisa ditulis sebagai

𝑇𝑁(𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)).

Bukti:

Dalam trigonometri berlaku

cos( 1) cos cos sin sin ,n n n

cos( 1) cos cos sin sin .n n n

Karena itu,

cos( 1) 2cos cos cos( 1) .n n n

Diberikan 1cos x , maka cosx , dan definisikan

1( ) cos( cos ) cos( )nt x n x n .

Sehingga

0

1

1 1

( ) 1,

( ) ,

( ) 2 ( ) ( ), 1.n n n

t x

t x x

t x xt x t x n

Oleh karena itu ( ) ( ).n nt x T x▄

d. Akar Polinomial di [-1,1]

Polinomial Chebyshev 𝑇𝑁(𝑥) dengan orde 𝑁 ≥ 1 memiliki 𝑁 buah akar

dalam interval [−1,1], yaitu

𝑥𝑘 = cos (2𝑘+1

2𝑁𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1.

Nilai tersebut dikatakan sebagai titik Chebyshev.

Bukti:

8

Diketahui bahwa

𝑇𝑁(𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)) , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1

Akar persamaan 𝑇𝑁(𝑥) ditentukan menggunakan persamaan berikut.

𝑇𝑁(𝑥) = 0 ⇔ 𝑁 arccos(𝑥) = arccos(0)

𝑁 arccos(𝑥) =2𝑘 + 1

2𝜋

𝑥𝑘 = cos (2𝑘+1

2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 − 1.

Oleh karena itu, diperoleh akar persamaan 𝑇𝑁(𝑥) pada interval [−1,1] adalah

e. 𝑥𝑘 = cos (2𝑘+1

2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 − 1

Nilai ini disebut titik Chebyshev.

3.2. Interpolasi Chebysev

Dalam kasus yang lebih umum dimana interval interpolasi untuk fungsi f(x)

adalah x[a,b] pertama harus mengubah interval interpolasi ke y[-1,1] dengan

𝑥𝑘 = (𝑏 − 𝑎

2) 𝑡𝑘 +

𝑎 + 𝑏

2

Dengan 𝑡𝑘 = 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 [(2𝑁 + 1 − 2𝑘)𝜋

2𝑁+2] , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 adalah titik

Chebyshev dari polinomial 𝑇𝑁+1(𝑥) pada [−1,1]. Hal ini mengubah masalah

interpolasi untuk f(x) di [a,b] ke f(x)=g(x(y)) pada y[-1,1].

Teorema

Misalkan𝑓 fungsi terdefinisi dan kontinu pada [𝑎, 𝑏]dan sedemikian

sehingga turunan orde ke-𝑁 + 1 dari 𝑓 kontinu di [𝑎, 𝑏]

Jika𝑃𝑁(𝑥) adalah polinomial interpolasi Lagrange dengan titik interpolasinya

merupakan titik Chebyshev dari 𝑇𝑁+1(𝑥) maka:

max𝑥∈[𝑎,𝑏]

|𝑓(𝑥) − 𝑃𝑁(𝑥)| ≤(𝑏 − 𝑎)𝑁+1

22𝑁+1(𝑁 + 1)!max𝜉∈[𝑎,𝑏]

|𝑓(𝑁+1)(𝜉)|

3.2.1. Polinomial Chebyshev

Polinomial interpolasi Chebyshev dapat ditulis sebagai berikut:

𝑃𝑁(𝑥) = ∑𝑐𝑘. 𝑇𝑘(𝑥) = 𝑐0. 𝑇0(𝑥) + 𝑐1. 𝑇1(𝑥)

𝑁

𝑘=0

+⋯+ 𝑐𝑁 . 𝑇𝑁(𝑥)

9

Misalkan 𝑓(𝑥) diinterpolasi oleh polinomial 𝑃𝑁(𝑥) dengan 𝑁 + 1 titik

interpolasi Chebyshev yaitu 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁, oleh karena itu

pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥) = 𝑃𝑁(𝑥) . Akibatnya,

∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = ∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0

𝑁𝑘=0 . 𝑇𝑖(𝑥𝑘). 𝑇𝑗(𝑥𝑘) = ∑ 𝑐𝑖

𝑁𝑖=0 . ∑ 𝑇𝑖(𝑥𝑘). 𝑇𝑗(𝑥𝑘) =

𝑁𝑖=0

∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗.

Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0 ⇒ ∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 = ∑ 𝑐𝑖

𝑁𝑖=0 (𝑁 + 1)𝛿𝑖𝑗 = 𝑐0(𝑁 + 1)

Sehingga 𝑐0 =1

𝑁+1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑁𝑘=0

Untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … ,𝑁 ⇒ ∑ 𝑐𝑖𝑁𝑖=0 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 = ∑ 𝑐𝑖

𝑁𝑖=0

𝑁+1

2𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗

𝑁+1

2

Sehingga 𝑐𝑗 =2

𝑁+1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)𝑁𝑘=0

Teorema:

Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃𝑁(𝑥) untuk fungsi 𝑓(𝑥) pada [−1,1]

dinyatakan sebagai

𝑓(𝑥) = 𝑃𝑁(𝑥) = ∑𝑐𝑗 . 𝑇𝑗(𝑥)

𝑁

𝑘=0

Dengan kosfisien 𝑐𝑗 adalah

𝑐𝑗 =

{

1

𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0

, 𝑗 = 0

2

𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0

𝑇𝑗(𝑥𝑘), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁

Dimana 𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑗𝜋(2𝑘+1)

2𝑁+2) , 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

3.2.2. Sifat Ortogonal

Misalkan 𝑥𝑘 = cos (𝑘+1 2⁄

𝑁+1𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 maka polynomial Chebyshev

memenuhi sifat-sifat berikut:

1) ∑ 𝑇𝑖(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 0 𝑖 ≠ 𝑗𝑁𝑘=0

10

∑𝑇𝑖(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) =𝑁 + 1

2

𝑁

𝑘=0

, 𝑖 = 𝑗 ≠ 0

2) ∑ 𝑇0(𝑥𝑘)𝑇0(𝑥𝑘) = 𝑁 + 1 𝑁𝑘=0

Sifat ortogonal tersebut juga dapat dinyatakan dalam persamaan:

∑ 𝑇𝑖(𝑥𝑘)𝑁

𝑘=0𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗

Dengan:

𝛿𝑖𝑗 = {0, 𝑖 = 𝑗1, 𝑖 = 𝑗

𝐾𝑖 =𝑁 + 1

2, 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁

𝐾0 = 𝑁 + 1

Berdasarkan sifat otogonal polinomial Chebyshev diperoleh polinomial

pendekatan untuk aproksimasi Chebyshev seperti yang dinyatakan dalam teorema:

Teorema

Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃𝑁(𝑥) berderajat ≤ 𝑁 untuk 𝑓(𝑥) pada selang

[−1,1] dinyatakan sebagai berikut:

𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑁(𝑥) =∑ 𝐶𝑗𝑇𝑗(𝑥)𝑁

𝑗=0

Dengan koefisien {𝑐𝑗} dinyatakan pada persamaaan:

𝑐𝑗 =

{

1

𝑛 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘), 𝑗 = 0

𝑁

𝑘=0

2

𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0, 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

Untuk 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

2𝑁𝜋) dan 𝑘 = 0,1, …𝑁

Bukti:

11

Diketahui bahwa 𝑃𝑁(𝑥) = ∑ 𝑐𝑗𝑇𝑗(𝑥)𝑁𝑗=0 . Karena 𝑃𝑁(𝑥) menginterpolasi 𝑓(𝑥)

pada (𝑁 + 1) titik Chebyshev, yaitu 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

2𝑁𝜋) , 𝑘 = 0,1, … ,𝑁 diperoleh

pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑃𝑁(𝑥𝑘). Oleh karena itu:

∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) =∑ 𝑐𝑖∑ 𝑇𝑖𝑁

𝑘=0

𝑁

𝑖=0

𝑁

𝑘=0(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) =∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗

𝑁

𝑖=0

Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0, maka:

∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 =∑ 𝑐𝑖(𝑁 + 1)𝛿𝑖𝑗 = 𝑐0(𝑁 + 1)𝑁

𝑖=0

𝑁

𝑖=0

Oleh karena itu, diperoleh:

∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑁

𝑘=0𝑇0(𝑥𝑘) = 𝑐0(𝑁 + 1) ⇒ 𝑐0 =

1

𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0𝑇0(𝑥𝑘)

=1

𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0

Sementara itu untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … ,𝑁 maka

∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 =∑ 𝑐𝑖(𝑁 + 1)

2𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗

(𝑁 + 1)

2

𝑁

𝑖=0

𝑁

𝑖=0

Oleh karena itu diperoleh:

∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 𝑐𝑗(𝑁 + 1)

2

𝑁

𝑘=0⟹ 𝑐𝑗 =

2

𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0

Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh koefisien polinomial pendekatan seperti

pada:

𝑐𝑗 =

{

1

𝑛 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘), 𝑗 = 0

𝑁

𝑘=0

2

𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0, 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

12

BAB IV

APLIKASI INTERPOLASI POLINOMIAL CHEBYSHEV

Bandingkan polinomial pendekatan berderajat 3 (N=3) untuk 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 pada

selang [−1,1] yang dibentuk dari:

1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥𝑘 = −1 +2𝑘

3,

𝑘 = 0,1,2,3.

2. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

𝑐𝑜𝑠 (7−2𝑘

8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

3. Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

Penyelesaian

1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥𝑘 = −1 +2𝑘

3,

𝑘 = 0,1,2,3.

𝑥0 = −1 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑒−1 = 0,36787944

𝑥1 = −1

3 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑒

−1

3 = 0,71653131

𝑥2 = 1

3 ⇒ 𝑓(𝑥2) = 𝑒

1

3 = 1,39561243

𝑥3 = 1 ⇒ 𝑓(𝑥3) = 𝑒1 = 2,71828183

32

30

3

20

2

10

10 5625,05625,00625,00625,0..)( xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xxxL

32

31

3

21

2

01

0

1 6875,15625,06875,15625,0..)( xxxxx

xx

xx

xx

xx

xxxL

32

32

3

12

1

02

0

2 6875,15625,06875,15625,0..)( xxxxx

xx

xx

xx

xx

xxxL

13

32

23

2

13

1

03

0

3 5625,05625,00625,00625,0..)( xxxxx

xx

xx

xx

xx

xxxL

Maka interpolasi polinomial Lagrange order 3 sebagai berikut

)().()(3

0

3 i

i

i xfxLxP

=

)().()().()().()().( 33221100 xfxLxfxLxfxLxfxL

= ( 32 5625,05625,00625,00625,0 xxx ) 0,36787944

+( 32 6875,15625,06875,15625,0 xxx ) 0,71653131

+( 32 6875,15625,06875,15625,0 xxx ) 1,39561243

+( 32 5625,05625,00625,00625,0 xxx ) 2,71828183

Sehingga diperoleh

𝑃3𝐴(𝑥) = 0,99519577 + 0,99904923𝑥 + 0,54788486𝑥2 + 0,17615196𝑥3

2. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

𝑐𝑜𝑠 (7−2𝑘

8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

𝑥0 = 𝑐𝑜𝑠7

8𝜋 = cos 157,5𝑜 = −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑒−0,92387953

= 0,39697597

𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠5

8𝜋 = cos 112,5𝑜 = −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑒

−0,38268343

= 0,68202877

𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠3

8𝜋 = cos 67,5𝑜 = 0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥2) = 𝑒 0,38268343

= 1,46621380

𝑥3 = 𝑐𝑜𝑠1

8𝜋 = cos 22,5𝑜 = 0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥3) = 𝑒 0,92387953

= 2,51904417

14

31 20

0 1 0 2 0 3

2 3

0

( ) . .

( ) 0,10355339 0,11208538 0,70710678 0,76536686

x xx x x xL x

x x x x x x

L x x x x

0 321

1 0 1 2 1 3

2 3

1

( ) . .

( ) 0,60355339 1,57716102 0,70710678 1,84775906

x x x xx xL x

x x x x x x

L x x x x

0 312

2 0 2 1 2 3

2 3

2

( ) . .

( ) 0,60355339 1,57716102 0,70710678 1,84775906

x x x xx xL x

x x x x x x

L x x x x

0 1 23

3 0 3 1 3 2

2 3

3

( ) . .

( ) 0,10355339 0,11208538 0,70710678 0,76536686

x x x x x xL x

x x x x x x

L x x x x

Maka interpolasi polinomial Lagrange orde 3 dengan titik interpolasi Chebyshev

sebagai berikut

)().()(3

0

3 i

i

i xfxLxP

=

)().()().()().()().( 33221100 xfxLxfxLxfxLxfxL

= ( 32 76536686,070710678,011208538,010355339,0 xxx ) 0,39697597

+( 32 84775906,170710678,057716102,160355339,0 xxx ) 0,68202877

+( 32 84775906,170710678,057716102,160355339,0 xxx ) 1,46621380

+( 32 76536686,070710678,011208538,010355339,0 xxx ) 2,51904417

Sehingga diperoleh

𝑃3𝐵(𝑥) = 0,99461532 + 0,99893323𝑥 + 0,54290072𝑥2 + 0,17517569𝑥3

15

3. Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

8𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

𝑥0 = 𝑐𝑜𝑠1

8𝜋 = cos 22,5𝑜 = 0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑒 0,92387953

= 2,51904417

𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠3

8𝜋 = cos 67,5𝑜 = 0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑒

0,38268343

= 1,46621380

𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠5

8𝜋 = cos 112,5𝑜 = −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥2) = 𝑒−0,38268343

= 0,68202877

𝑥3 = 𝑐𝑜𝑠7

8𝜋 = cos 157,5𝑜 = −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥3) = 𝑒−0,92387953

= 0,39697597

Dengan memanfaatkan teorema aproksimasi Chebyshev, diperoleh

𝑐0 =1

𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘) =

1

4

𝑁

𝑘=0

∑𝑒𝑥𝑘 =

3

𝑘=0

1

4(5,06426271) = 1,26606568

𝑐1 =2

𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0

𝑇1(𝑥𝑘)

=1

2∑𝑒𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2𝑘 + 1

8)

3

𝑘=0

=1

2(𝑒𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 (

1

8𝜋) + 𝑒𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 (

3

8𝜋) + 𝑒𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 (

5

8𝜋) + 𝑒𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 (

7

8𝜋))

= 1,13031500

𝑐2 =2

𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0

𝑇2(𝑥𝑘)

=1

2∑𝑒𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

2𝑘 + 1

8)

3

𝑘=0

16

=1

2(𝑒𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 (

1

4𝜋) + 𝑒𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 (

3

4𝜋) + 𝑒𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 (

5

4𝜋) + 𝑒𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 (

7

4𝜋))

= 0,27145036

𝑐3 =2

𝑁 + 1∑𝑓(𝑥𝑘)

𝑁

𝑘=0

𝑇3(𝑥𝑘)

=1

2∑𝑒𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (3𝜋

2𝑘 + 1

8)

3

𝑘=0

=1

2(𝑒

𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 (3

8𝜋) + 𝑒𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 (

9

8𝜋) + 𝑒𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 (

15

8𝜋) + 𝑒𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 (

21

8𝜋))

= 0,04379392

Sehingga interpolasi polinomial Chebyshev orde 3 dengan titik interpolasi

Chebyshev sebagai berikut

𝑃3(𝑥) = ∑𝑐𝑘. 𝑇𝑘(𝑥) = 𝑐0. 𝑇0(𝑥) + 𝑐1. 𝑇1(𝑥)

3

𝑘=0

+ 𝑐2. 𝑇2(𝑥) + 𝑐3. 𝑇3(𝑥)

= (1,26606568)(1) + (1,13031500)(𝑥) + (0,27145036)(2𝑥2 − 1)

+ (0,04379392)(4𝑥3 − 3𝑥)

Jadi,

𝑃3𝐶(𝑥) = 0,99461532 + 0,99893324𝑥 + 0,54290072𝑥2 + 0,17517568𝑥3

17

BAB V

KESIMPULAN

1. Berdasarkan hasil tersebut, polinomial pendekatan 𝑃3𝐵(𝑥) = 𝑃3𝐶(𝑥),

maka polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev adalah

tunggal dan dapat diperoleh melalui polinomial Lagrange atau

polinomial Chebyshev.

2. Perbandingan galat interpolasi dengan titik berjarak seragam (a) dan

titik Chebyshev (b)

(a). Galat interpolasi dengan titik berjarak seragam

Dengan nilai error |𝑒𝑥 − 𝑃(𝑥)| ≤ 0,01

(b). Galat interpolasi dengan titik Chebyshev

Dengan nilai error |𝑒𝑥 − 𝑃(𝑥)| ≤ 0,0067

-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

f(X

)

Pn(x)

f(x)

Titik Seragam

-1 -0.5 0 0.5 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

X

E(X

)

galat interpolasi

18

-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

f(X

)

Pn(x)

f(x)

Titik Seragam

-1 -0.5 0 0.5 10

2

4

6

8x 10

-3

X

E(X

)

galat interpolasi

19

DAFTAR PUSTAKA

Levy, Doron. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Maryland: University of

Maryland.

Mathews, John H. dan Kurtis D. Fink. 2004. Numerical Methods Using MATLAB

(4th ed.). USA: Pearson Prentice Hall.

20

DAFTAR LAMPIRAN

a. Titik Interpolasi Seragam

clc;clear;close;

n=4;a=-1;b=1;

for k=1:n

x(k)=-1.+2/3*(k-1);

y(k)=exp(x(k)) ; end

for i=1:n

pp=poly(x((1:n)~=i));

pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end

Pn=y*pvals;

xi=[a:0.01:b];

yi=polyval(Pn,xi); 27

21

for i=1:length(xi)

zi(i)=exp(xi(i)); end

hi=abs(zi-yi);

Hii=max(hi)

subplot(1,2,1);

plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid;

legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest'); subplot(1,2,2);

plot(xi,hi,'r','linewidth',2);

grid;

legend('galat interpolasi');

b. Titik Interpolasi Chebyshev

clc;clear;close;

n=4;a=-1;b=1;

for k=1:n

A=cos((pi*(n+1-k-0.5))/n); x(k)=(b-a)*A/2+(a+b)/2;

y(k)=exp(x(k)) ; end

for i=1:n

pp=poly(x((1:n)~=i));

pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end

Pn=y*pvals;

xi=[a:0.01:b];

yi=polyval(Pn,xi);

for i=1:length(xi)

zi(i)=exp(xi(i)); end

hi=abs(zi-yi);

Hii=max(hi)

subplot(1,2,1);

plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid;

legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest');

subplot(1,2,2);

plot(xi,hi,'r','linewidth',2);

grid;

legend('galat interpolasi');