INTERPOLASI

Ammar Farhan Rayudi(06131002)Shaimah Rinda Sari (06131010)

Cahyaningtyas Ratnaningrum (06131012)Firman Wahyudi (06141005)

Yudha Rizky Dharmawan (06141008)

Konsep interpolasi

Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi fungsi yang grafiknya melewati himpunan titik-titik yang diberikan. Interpolasi digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi hanya dengan data-data yang telah diketahui

Jenis-jenis interpolasi

Interpolasi Linear

Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Polinomial

Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah titik data dengan menggunakan pendekatan fungsi garis lurus.

Interpolasi Linier

Persamaan garis lurus yang melalui

2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier :

Contoh soal:Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).

Penyelesaian:• Dengan menggunakan persamaan sebelumnya, dihitung dengan

interpolasi linier nilai ln pada x = 2 berdasar nilai ln di x1 = 1 dan x2 = 6.

y(2) = 0 + 16

07917595,1

(2 1) = 0,3583519.

Besar kesalahan

adalah:Et = 69314718,0

35835190,069314718,0 100 % = 48,3 %.

• Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka:

y(2) = 0 + 14

03862944,1

(2 1) = 0,46209813

Besar kesalahan

adalah:Et = 69314718,0

0,4620981369314718,0 100 % = 33,3 %.

Dari contoh nampak bahwa dengan menggunakan interval yang lebih kecil didapat hasil yang lebih baik (kesalahan lebih kecil). Gambar 6.4, menunjukkan prosedur hitungan dalam contoh secara grafis.

Gambar 6.4. Interpolasi linier mencari ln 2

Interpolasi Kuadratik• Interpolasi Kuadratik menentukan titik-titik antara 3 buah titik dengan

menggunakan pendekatan fungsi kuadrat 3 titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2) danP3(x3,y3)

Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik:

Atau menentukan dengan menggunakan polynomial order kedua dan persamaannya dalam bentuk :

f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) (6.3)

Kemudian mengalikan suku-suku persamaan (6.3) sehingga menjadi: f2(x) = b0 + b1 x – b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 – b2 x x0 – b2 x x1

atau

f2(x) = a0 + a1 x + a2 x2

dengan

a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1

a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1

a2 = b2

Berdasarkan titik data yang ada kemudian dihitung koefisien b0, b1, dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan nilai dari koefisien-koefisien tersebut.Koefisien b0 dapat dihitung dari persamaan (6.3), dengan memasukan nilai x =

x0.

f (x0) = bo + b1 (xo – x0) + b2 (x0 – x0) (x0 – x1)

bo = f (x0) (6.4)bila persamaan (6.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3), kemudian dimasukkan ke dalam nilai x = x1, maka akan diperoleh koefisien b1:

f (x1) = f (x0) + b1(x1 – x0) + b2(x1 – x0)(x1 – x1)

b1 =

01

01 )()(xxxfxf

(6.5)

bila persamaan (6.4) dan persamaan (6.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3) dan nilai x = x2, maka akan diperoleh koefisien b2:

f (x2) = f (x0) + 01

01 )()(xxxfxf

(x2 – x0) + b2(x2 – x0)(x2 – x1)

b2(x2 – x0)(x2 – x1) = f (x2) – f (x0) – 01

01 )()(xxxfxf

[(x2 – x1) + (x1 – x0)]

= f (x2) – f (x0) – 01

01 )()(xxxfxf

(x2 – x1) – f (x1) + f (x0)

= f (x2) – f (x1) – 01

01 )()(xxxfxf

(x2 – x1)

atau

b2 = )()(

)()()()()(

1202

1201

0112

xxxx

xxxxxfxfxfxf

b2 = 02

01

01

12

12 )()()()(

xxxxxfxf

xxxfxf

(6.6)

Contoh soal:• Dicari nilai ln 2 dengan metode polinomial order dua berdasar data

nilai ln 1 = 0 dan nilai dari ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).

Penyelesaian:• x0 = 1 f (x0) = 0• x1 = 4 f (x1) = 1,3862944• x2 = 6 f (x2) = 1,7917595

Interpolasi polinomial dihitung dengan menggunakan persamaan (6.3), dan koefisien b0, b1, dan b2, dihitung dengan persamaan (6.4), persamaan (6.5) dan persamaan (6.6).Dengan menggunakan persamaan (6.4) diperoleh nilai b0, yaitu (b0 = 0), koefisien b1 dapat dihitung dengan persamaan (6.5):

b1 = 01

01 )()(xxxfxf

b1 = 14

03862944,1

= 0,46209813.

Persamaan (6.6) digunakan untuk menghitung koefisien b2:

b2 = 02

01

01

12

12 )()()()(

xxxxxfxf

xxxfxf

b2 = 16

46209813,046

3862944,17917595,1

= –0,051873116.

Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan (6.3):

f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)

f2(x) = 0 + 0,46209813(x – 1) + (–0,051873116)(x – 1)(x – 4)

Untuk x = 2, maka diperoleh nilai fungsi interpolasi:

f2(2) = 0 + 0,46209813(2 – 1) + (–0,051873116)(2 – 1)(2 – 4) = 0,56584436.Besar kesalahan adalah:

Et = 69314718,0

56584436,069314718,0 100 % = 18,4 %.

Interpolasi Polinomial• Interpolasi Polinomial menentukan titik-titik antara N buah titik dengan

menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat N-1Titik-titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3)…PN(xN,yN)

Persamaan polynomial pangkat N-1Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial diatas,

diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variabel bebas