Interpretation und

IsomorphieBedeutung und Form in der

Mathematik

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•Definitionen

•Das pg-System

•Interpretation

•Euklids Beweis

Inhalt:

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Definitionen

Eine informationsbewahrende Transformation nennt man Isomorphie.

Eine Entsprechung von Symbolen und Wörtern heißt Interpretation.

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Das pg-SystemDas Alphabet: p g -

Definition: xp-gx- ist ein Axiom, wenn x nur aus Bindestrichen besteht.

Regel: Angenommen x, y und z stehen für alle einzelnen Ketten, die nur Bindestriche enthalten, und angenommen, daß man weiß, daß xpygz ein Satz ist. Dann ist xpy-gz- ein Satz.

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Beispiele

•--p-g---

•---p-g----

•----p-g-----

•--p--g----

•--p---g-----

6.---p---g------

6

Interpretation I

•--p-g--- “2+1=3”

•---p-g---- “3+1=4”

•----p-g----- “4+1=5”

•--p--g---- “2+2=4”

•--p---g----- “2+3=5”

2.---p---g------ “3+3=6”

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Interpretation II

Ist--p--p--p--g--------auch ein Satz?

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bedeutungsleere Interpretation

•--p-g--- “Apfel Apfel Pferd Apfel glücklich Apfel Apfel Apfel”

•---p-g---- “Apfel Apfel Apfel Pferd Apfel glücklich Apfel Apfel Apfel Apfel”

•“...”

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bedeutungstragende Interpretation

p <=> gleichg <=> weggenommen von

- <=> eins -- <=> zwei

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Manipulation von Symbolen

• 3 • 3 = 9

• 123456789 • 987654321 = 121932631112635269

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Grundgesetz der Arithmetik

| | | | | | | | |

In Indien gibt es 17 Sprachen und 462 Dialekte.

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Euklids Beweis I

„Es gibt unendlich viele Primzahlen”

•Es gibt für jede beliebige Zahl immer eine noch grössere Primzahl.

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Euklids Beweis II

Nehmen wir eine Zahl N.Nun bilden wir N!+1.Das Ergebnis kann nicht

ein Vielfaches von 2 sein (weil 1 übrigbleibt, wenn man durch 2 dividiert)

ein Vielfaches von 3 sein (weil 1 übrigbleibt, wenn man durch 3 dividiert)

[...]

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Euklids Beweis III

Wenn N!+1 keine Primzahl ist, muss jeder Teiler auf jeden Fall größer als N sein.Also muss es eine Primzahl größer als N geben.

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Die Unendlichkeit

Euklid vermeidet die Unendlichkeit indem er sagt: „Nehmen wir eine Zahl N”

Er nähert sich mit einzelnen Schritten der Unendlichkeit.

Vielen Dank für Eure

Aufmerksamkeit