8/4/2019 Inters Cilindros

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I C(del mismo radio)

Consideremos los cilindros

C1 : x2 +y2 = 1 , C2 : x2 +z2 = 1

Otras vistas de esta interseccion

Si un punto (x0,y0,z0) esta en la interseccion, en particular, debera cumplir

x20 +y20 = x

20 +z

20

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2 MARIA DEL CARMEN CALVO

con lo cual

z0 = y0 o z0 = y0

es decir, (x0,y0,z0) debe estar en alguno de estos planos

1 : y z = 0 , 2 : y +z = 0

Por otro lado, si sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones, resulta que

2x20 +y20 +z

20 = 2

es decir, (x0,y0,z0) esta en la interseccion del elipsoide 2x2+ y2 + z2 = 2 con los planos antes

mencionados

Si incluimos todo en un grafico,

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FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2005 3

Para calcular el volumen de la region Wencerrada por ambos cilindros conviene tener en cuenta

el siguiente grafico

La proyeccion sobre el plano xy de la frontera de W es el crculo (gris en el dibujo) de ecua-

ciones

x2 +y2 = 1 , z = 0

Para cada punto (x1,y1, 0)1 de este crculo, la tercer coordenada de un punto (x1,y1,z1) interior a

la region W vara sobre el segmento rojo de extremos 2

(x1,y1,

1 x21

) y (x1,y1,

1 x2

1)

ya que estos puntos estan sobre el cilindro (horizontal) x2 +z2 = 1. Por lo tanto, el volumen de W

viene dado por

vol(W) =

11

1x2

1x2

1x2

1x2dz dy dx

=

11

1x2

1x22

1 x2 dy dx

=

1

1

2

1 x21x2

1

x2dy dx

=

11

4(1 x2) dx = 4x

x3

3

1

1

=

16

3

1

azul en el dibujo2rojos en el dibujo