Interstaatliches Berufsbildungszentrum bzb - Goepf …goepf.bettschen.org/Statik6.pdf · Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 2 1) Definition für

BAULEITER HOCHBAU

S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E

6) DIE EINFACHSTEN STATISCH

BESTIMMTEN TRAEGER

1) Definition für statisch bestimmte Systeme

2) Auflagerreaktionen beim einfachen Balken

3) Schnittkräfte beim einfachen Balken

a) Die inneren Kräfte

b) das Biegemoment

c) Die Querkraft

d) Zusammenhang zwischen

Querkraft und Biegemoment

e) Die Normalkraft

4) Der Kragträger

5) Balken mit Kragarmen

a) Balken mit einem Kragarm

b) Balken mit beidseitigen

Kragarmen

c) Ungünstige Laststellungen

und Grenzwerte

Göpf Bettschen

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 2

1) Definition für statisch bestimmte Systeme

Zur Bestimmung der Auflagerunbekannten stehen drei statische Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:

V = 0 ; H = 0 ; M = 0 ; Ein Träger heisst daher statisch bestimmt gelagert (äusserlich statisch bestimmt), wenn nicht mehr als drei unbekannte Auflagerstücke vorhanden sind.

Soll also ein Träger auf zwei Stützen statisch bestimmt gelagert werden, so muss er ein festes und ein bewegliches Auflager erhalten, denn nur dann sind im ganzen 2 + 1 = 3 Auflagerunbekannte vorhanden.

Statisch unbestimmt nennt man dagegen einen Träger, wenn mehr als drei unbekannte Grössen auftreten,

Statisch unbestimmte Systeme

4 Unbekannte 6 Unbekannte 4 Unbekannte

So bezeichnet man z.B. einen Träger mit zusammen sechs unbekannten Auflagerreaktionen als 6 - 3 = 3 - fach statisch unbestimmt. Die aus den Gleichgewichtsbedingungen nicht bestimmbaren Grössen müssen dann mit Hilfe von Elastizitätsgleichungen, die hier nicht behandelt werden, aus den Formänderungen der Träger berechnet werden.

fest beweglich

F

Länge l Av Bv

AH

Ein System gilt dann als statisch bestimmt, wenn seine

Auflagerreaktionen mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der

Ebene bestimmt werden können.


2) Auflagerreaktionen beim einfachen Balken

Unter dem Begriff 'einfacher Balken' versteht man einen Balken, der statisch bestimmt gelagert ist, d.h. seine Auflagerreaktionen können mit den drei Gleich-gewichtsbedingungen der Ebene bestimmt werden. Er kann auch Kragarme aufweisen.

Die Lagerung wird sichergestellt durch ein festes und ein bewegliches Lager. Das feste Lager kann sowohl horizontale wie auch vertikale Kräfte aufnehmen. Das bewegliche Lager, richtig ausgeführt mittels einer Rolle, kann nur Kräfte auf der Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte Balken-Rolle , Rolle-Lager aufnehmen (abgesehen von Reibungskräften). Wir haben am einfachen Balken also drei unbekannte Auflagerkräfte; damit der Balken in Ruhe bleibt müssen diese Auflagerkräfte mit der Belastung im Gleichgewicht sein. Zur Bestimmung dieser drei unbekannten Auflagerkräfte stehen uns die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene zur Verfügung. Wir erhalten also drei Gleichungen mit drei Unbekannten; das zeigt uns, dass der einfache Balken statisch bestimmt gelagert ist.

Analytische Bestimmung der Auflagerdrücke

(Auflagerreaktionen, Auflagerkräfte)

Die drei Auflagerkräfte beim einfachen Balken sind mit der Belastung im Gleichgewicht. Zur Bestimmung dieser drei unbekannten Auflagerkräfte stehen uns die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene zur Verfügung.

F

Länge lAv Bv

AH

A B

Die Auflagerreaktionen könnten auch graphisch bestimmt werden (siehe Kapitel ‚Gleichgewicht von Kräften’). Auf diese Methode wird hier aber nicht mehr eingegangen.

Summe V = 0

Summe H = 0

Summe M = 0


A B

6.0 m

1.0 1.02.0 2.0

F1 F2 F3

60°

Beispiele zur analytische Bestimmung der Auflagerdrücke

Beispiel a)

1) Aufteilung F2 in Horizontal- und

Vertikalkomponeneten

graphisch

oder anaytisch: F2H = 40 ∙ cos 60˚ = 20.00 kN

F2V = 40 ∙ sin 60˚ = 34.64 kN

2) Neues System, jetzt nur noch mit Vertikal- und Horizontalkräften

3) Berechnung der Auflagerreaktionen

I) Horizontalkräfte

∑H = 0 AH = 20 kN

II) Vertikalkräfte

Av = ∑ F ∙ x’ / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager B,

geteilt durch den Abstand von A zu B) Av = (25 ∙ 5.0 + 34.64 ∙ 3.0 + 15 ∙ 2.0) / 6.0 = 43.15 kN

Bv = ∑ F ∙ x / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager A,

geteilt durch den Abstand von A zu B) Bv = (25 ∙ 1.0 + 34.64 ∙ 3.0 + 15 ∙ 4.0) / 6.0 = 31.49 kN

III) Kontrolle mit Summe aller vertikalen Kräfte Av + Bv + ∑F 43.15 + 31.49 – 25 – 34.64 – 15 = 0 → o.k.

F1 = 25 kN

F2 = 40 kN

F3 = 15 kN

F2H

F2

V

F2

60˚

25 kN 34.64 kN 15 kN

20 kN

1.0 2.0 1.0 2.0

AH

BV AV


Beispiel b

Beispiel c


Beispiel d

Beispiel e


3) Schnittkräfte beim einfachen Balken

a) Die inneren Kräfte

Ein Stab wird in Achsrichtung durch zwei gleich grosse, entgegengesetzt wirkende Kräfte F belastet.

Weil sich der ganze Stab im Gleichgewicht befindet, muss das auch für jeden seiner Teile zutreffen. Wenn wir also in Gedanken den Stab durch einen Schnitt s---s in zwei Teile zerlegen, muss jeder der beiden Teile für sich im Gleichgewicht sein. Das ist nur möglich, wenn wir uns an den Schnittstellen Kräfte wirkend denken, die den an dem betreffenden Teil angreifenden äusseren Kräften das Gleichgewicht halten. Diese Kräfte werden von den Molekülen zu beiden Seiten der gedachten Schnitflächen

aufeinander ausgeübt und heissen innere Kräfte.

Sie werden durch einen wirklich geführten Schnitt zerstört, die beiden Stabhälften sind dann, voneinander getrennt betrachtet, nicht mehr im Gleichgewicht. Die am linken Teil angreifende Kraft muss entgegengesetzt gleich gross sein wie die innere Kraft am rechten Teil. Aus der Bedingung, dass jeder Teil im Gleich-gewicht sein muss, sehen wir, dass jede dieser inneren Kräfte die Grösse F hat und in die Stabachse fällt.

Die gleichen Ueberlegungen wie beim Zugstab können wir auch beim beliebig belasteten Träger anstellen.

Durch die Auflagerkräfte A und B ist der Körper im Gleichgewicht. Trennen wir nun wieder durch einen gedachten Schnitt s - s einen Körperteil ab, so muss auch dieser Teil im Gleichgewicht sein.

Aus diesen Überlegungen können nun die Formeln für die sogenannten Schnittkräfte abgeleitet werden:

Das Moment M, die Normalkraft N und

die Querkraft V bezeichnet man als

Schnittkräfte; sie geben uns später

über die Materialbeanspruchung

Aufschluss und sind deshalb wichtige

Bemessungswerte.

N

M

s

s

Ri

Ri

a

.

S

V


b) Das Biegemoment

Die Ableitungen zur Berechnung von Biegemomenten zeigen (hier wird darauf verzichtet), dass das Biegemoment eines bestimmten Schnittes gleich der Summe aller statischen Momente aller Kräfte links oder rechts vom Schnitt ist.

Das heisst: das im Schnitt wirkende Moment ist mit dem Moment der äusseren

Kräfte im Gleichgewicht.

Für die Bemessung eines Tragwerkes ist es nun wichtig, den Schnitt mit der grössten Momentenbeanspruchung zu kennen. Man muss also für verschiedene Schnitte die Momente ausrechnen und diese an den betreffenden Stellen abtragen.

Durch Verbindung dieser Punkte erhält man die sogenannte Momentenlinie. Oft kann aber auch nach den Regeln der analytischen Geometrie auf die Form der Momentenlinie geschlossen werden.

Vorzeichenregel :

Für einfach gelagerte Balken bezeichnet man Momente welche auf der

unteren Seite des Balkens Zug erzeugen als positive Momente, und Momente

welche auf der oberen Seite des Balkens Zug erzeugen als negative

Momente.

A B

F F F

+

-

Momentenlinie

M = a ∙ Ri ( Ri = innere Resultierende) M = - a ∙ Ri → weil Ri = - Rl M = - a ∙ Ri = A ∙ ea + Fl ∙ ep

M = Summe Fi ∙ ei (links oder rechts vom Schnitt)


Beispiele Momentenberechnung


Fortsetzung Momentenberechnung

Lösung zu Beispiel a)

Lösung zu Beispiel b)

Lösung zu Beispiel c)


Lösung zu Beispiel d)

Lösung zu Beispiel e)

Momentenfläche



Lösung zu Beispiel f)

Lösung zu Beispiel g)


c) Die Querkraft

Neben dem Biegemoment gibt es ja noch die weiteren Schnittkräfte 'Querkraft' und 'Normalkraft'. Die Querkraft entspricht der zum Schnitt parallelen Komponente der inneren Resultierenden, wenn der Schnitt senkrecht zur Schwerachse gelegt wird. Die Querkräfte stehen also quer zur Balkenachse und versuchen eine Querverschiebung zwischen den Schnittebenen zu bewirken.

F

Av Bv

AH

A B

1 2

Schnitt 1 Schnitt 2

Av

AH

A

1

F

Bv

B

2

Fv

FH

V

V

F

Av

AH

A

1

Bv

B

2V

V

Der Verlauf der Querkraft über

ein Tragwerk wird mit einer

sogenannten Querkraftlinie -

oder Fläche angegeben.

Definition der Querkraft

Die Querkraft V für eine Schnittstelle ist gleich der Summe aller senkrecht zur Balkenachse wirkenden Kräfte links oder rechts vom Schnitt.

Vorzeichenregel

Liegt das Körperinnere in Richtung der Querkraft gesehen rechts von ihr, so bezeichnet man sie als positiv.

Liegt das Körperinnere in Richtung der Querkraft gesehen links von ihr, so bezeichnet man sie als negativ.

Übungen zur Querkraftberechnung gleiche Beispiele wie bei Momentenberechnung

F

Av Bv

v

AH

A B

1 2

+

-


Lösung zu Beispiel a)

Lösung zu Beispiel b)


Lösung zu Beispiel c)

Lösung zu Beispiel d)


Lösung zu Beispiel e)


d) Zusammenhang zwischen Querkraft und Biegemoment

F1 F2 F3

Länge l

A B

Querkraftfläche

Momentenfläche

Geht M / x gegen Null, so wird tg oder gleich Null werden, was einem Maximum oder Minimum der Momentenkurve entspricht.

Die Momentenlinie

weist dort ein

Maximum oder

Minimum auf, wo die

Querkraft gleich Null

ist.

+

-

+

Anwendungsbeispiel


Berechnung von Biegemomenten mit der Querkraftsfläche

Die Biegemomente können auch als eine Funktion der Querkraftfläche bestimmt werden:

Das Biegemonent an der Stelle x

entspricht der Querkraftfläche vom Auflager bis zur Stelle x.

Anhand der schon in den vorherigen Beispielen berechneten Querkräften und Biegemomenten ist diese Berechnungmethode hier dargestellt:


e) Die Normalkraft

Definition : Die Normalkraft N für eine Schnittstelle ist gleich der Summe aller parallel zur Balkenachse wirkenden Kräfte links oder rechts vom Schnitt.

Vorzeichenregel : Zugkräfte werden als positiv ( + ), Druckkräfte als negativ ( - ) bezeichnet.

Beispiele :


4) Der Kragträger

a) Kragträger mit einer Einzellast

b) Kragträger mit mehreren Einzellasten

d) Kragträger mit beliebiger Belastung



5) Balken mit Kragarmen

a) Balken mit einem Kragarm

Statt Theorie, wird das Vorgehen anhand der Berechnung an Beispielen gezeigt:

Variante

Berechnung vom max. Biegemoment über die Querkraftsfläche:

Mmax bei V= 0, also bei x= 2.00 m, bzw Mmin bei Auflager B

Mmax= 1.88 x 2.00 = 3.76 kNm

MB = 1.88 x 2.00 – 1.20 x 8.12 = - 5.9 kNm = - 6.0 kNm (Rundungsfehler)


Träger mit gleichmässig verteilter Last

Variante

Berechnung vom max. Biegemoment

über die Querkraftsfläche:

Mmax bei V= 0, also bei x= 1.68 m

bzw Mmin bei Auflager B

Mmax= 0.5 x 10.08 x 1.68 = 8.47 kNm

MB = 0.5 x 10.08 x 1.68 – 0.5 x13.92 x 2.32 = - 7.68 kNm


b) Balken mit beidseitigen Kragarmen Träger mit zwei überkragenden Enden sind sinngemäss wie Träger mit einem Kragarm zu behandeln. Lasten auf den Kragarmen veringern das Feldmoment, entlasten die gegenüberliegende Stütze und vergrössern den Druck für die benachbarte Stütze.

Beispiel : Balken mit beidseitigen Kragarmen und gleichmässiger Belastung


Fortstzung: Balken mit beidseitigen Kragarmen und gleichmässiger Belastung

Variante

Berechnung vom max.

Biegemoment über die

Querkraftsfläche:

Mmax bei V= 0,

also bei ca. x= 2.31 m

Mmax = - 0.5 x 20.0 x 2.00 + 0.5 x 23.12 x 2.31 = 6.7 kNm

Gerundet ca. 6.5 kNm


Balken mit beidseitigen Kragarmen und gemischter Belastung Dieses Beispiel dient nur zur Information und gehört nicht zum Pflichtstoff

Beispiel :

Balken mit beidseitigen Kragarmen und gemischter Belastung

Schritt 1: Berechnung der Auflagerkräfte Schritt 2: Berechnung der Querkräfte

Schritt 3: Berechnung der Biegemomente


c) Ungünstige Laststellungen und Grenzwerte

Beim einfachenTräger auf zwei Stützen erhält man die grössten Stützkräfte und die grössten Biegemomente, wenn der Träger vollbelastet wird.

Weil die Nutzlast aber meist nicht unbedingt zwingend auf dem ganzen Träger wirkt,

müssen bei Träger mit Kragarmen (allgemein bei Trägern mit mehreren Feldern) die

verschiedenen Nutzungszustände untersucht werden. Wir begnügen uns aber, wie im Hochbau üblich, mit feldweise veränderlichen Lasten. Beim Träger auf zwei Stützen mit ein oder zwei Kragarmen erhält man die ungünstigsten Werte der Auflagerdrücke nicht bei Vollast, sondern für die veränderliche, wechselnde Nutzlast bei Teilbelastungen. Um die grössten Schnittkräfte zu erhalten, müssen nun verschiedene Laststellungen untersucht werden. Bei einem Träger mit zwei Kragarmen und gleichmässig verteilter Belastung können wir folgende mögliche Laststellungen unterscheiden:

a) Träger auf zwei Stützen mit Kragarmen mit gleichmässig verteilter Belastung (Eigengewicht g, Nutzlast q) b) Nutzlast nur im Feld (l2) ergibt das grösste Feldmoment Mfmax. c) Nutzlast nur auf l1 : grösstes negatives MA und kleinstmögliche Auflagerkraft B (ev. negativ). d) Nutzlast nur auf l3 : grösstes negatives MB und kleinstmögliche Auflagerkraft A (ev. negativ). e) Nutzlast auf l1 und l3 ergibt minimales Feldmoment (ev. negativ). f) Nutzlast auf l1 und l2 ergibt Amax (Lastfall b und c). g) Nutzlast auf l2 und l3 ergibt Bmax (Lastfall b und d). Weil der Lastfall Eigengewicht immer vorhanden ist, kann man ihn auch getrennt berechnen und die Werte dann mit den entsprechenden Ergebnissen aus den Nutzlasten überlagern.

B A

l2 l3 l1

Eigengewicht g Nutzlast q


Beispiel: Ungünstige Laststellungen beim Träger mit zwei Kragarmen

a) Lastfall: Nur Eigengewicht gk= 0.83 +1.17 = 2.0 kN/m’

b) Lastfall: Eigengewicht (gk=2.0 kN/m’) und Nutzlast (qk = 4.0 kN/m’) auf Innenfeld

c) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld links

Eigengewicht HEB 300: 117 kg/m’

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 30 d) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts

e) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts und links

f) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld links und Feld mitte

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 31 g) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts und Feld mitte

h) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf ganzem Träger feldweise wirkend (mit Berücksichtigung der verschiedenen Nutzungszustände)

Die maximalen Schnittkräfte erhält man durch Überlagerung der verschiedenen

Nutzungszustände.


Ungünstige Laststellungen bei einer rollenden Last

Beispiel (Die Last 10 kN tritt immer nur an einem Ort auf) Die Berechnung der Schnittkräfte wird jeweils für eine Laststellung an einem extremen Ort ausgeführt.

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