Intégrale - Terminale Sericfrancoisleduc.free.fr/lycee-jacquard-e-leduc/TS/...Terminale S Eric Leduc Lycée Jacquard 2014/2015 Intégrale Eric Leduc Intégrale d’une fonction positive

Intégrale

Eric Leduc

Intégraled’unefonctionpositive

Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive

Primitivesd’unefonctioncontinue

Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Intégrale

Terminale S

Eric Leduc

Lycée Jacquard

2014/2015

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Capacités exigibles

> Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lectureinverse du tableau des dérivées

> Connaître et utiliser les primitives de U ′eU , U ′Un n entier

relatif différent de −1,U ′p

Uet

U ′

Upour U strictement

positive

> Calculer une intégrale

> Utiliser le calcul intégral pour calculer une aire

> Encadrer une intégrale

> Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre unalgorithme pour déterminer un encadrement d’uneintégrale.

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

Rappel du plan

1 Intégrale d’une fonction positiveAlgorithme de l’encadrement d’une intégrale positive

2 Primitives d’une fonction continue

3 Intégrale d’une fonction continue

4 Calcul d’aire

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

Unités d’aires

Définition no 1(

O,−→ı ,

−→

)

est un repère orthogonale du plan

1

2

1 2

b

ObI

bJ

bK

−→i

−→j

Une unité d’aire est définie par 1ua= aire de OIKJ =OI ×OJ

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Calcul d’aire

Intégrale d’une fonction positive

Définition no 2

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]et C sa courbe dans un repère orthogonal.

b

O

−→i−→

ja b

C

On appelle intégrale de f entre a et b, l’aire exprimée enunités d’aire, de la surface D délimitée par la courbe C , l’axedes abscisse et les droites d’équations x = a et x = b.Cette aire est appelée « l’aire sous la courbe de f »

Cette intégrale se note :∫b

af (x)dx et se lit « intégrale de a à b

de f »a est la borne inférieure de cette intégrale et b la bornesupérieure.

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Calcul d’aire

Intégrale d’une fonction positive

Définition no 2

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]et C sa courbe dans un repère orthogonal.

b

O

−→i−→

j

D

a b

C

On appelle intégrale de f entre a et b, l’aire exprimée enunités d’aire, de la surface D délimitée par la courbe C , l’axedes abscisse et les droites d’équations x = a et x = b.Cette aire est appelée « l’aire sous la courbe de f »

Cette intégrale se note :∫b

af (x)dx et se lit « intégrale de a à b

de f »a est la borne inférieure de cette intégrale et b la bornesupérieure.

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Calcul d’aire

Exemple

Exemple no 1

Soit f la fonction définie par f (x)= x sur [0 ; 1].∫1

0x dx =

12

0.5

1.0

0.5 1.0

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Calcul d’aire

Exercice no 1

Soit la fonction f définie sur R par f (x)= x −2 et C sa courbereprésentative.

1 Représenter les surfaces dont les aires, en unités d’aires,sont égales aux intégrales :

⊳ I =∫3

2f (x)dx

⊳ J =∫4

3f (x)dx

2 Calculer ces intégrales.

3 Vérifier avec la calculatrice.

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Calcul d’aire

Encadrement de l’aire par deux rectangles

Pour déterminer une approximation de l’intégrale d’une fonctioncontinue et monotone et positive sur [a ; b], on peut partagerl’intervalle [a ; b] en n sous-intervalles de même amplitude

h=b−a

n.

b

ObI

bJ

−→i

−→j

C

xk xk+1

f (xk)

f (xk+1)

h

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Calcul d’aire

Aire supérieure et aire inférieure

Sur chacun de ces intervalles [xk ; xk+1], « l’aire sous la courbede f »est comprise entre les aires de deux rectangle, l’un dehauteur f (xk) et l’autre de hauteur f (xk+1).Ces deux rectangles ont pour aires respectives hf (xk) ethf (xk+1).L’aire de la surface située sur la courbe représentative de f sur[a ; b] peut être encadrée par la sommes des aires« inférieurs »et par la somme des aires « supérieures ».

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Calcul d’aire

Algorithme pour f positive et croissante sur [a ; b]

Variables : a, b, n, k , s, S ,xSaisir a, b et n

h prend la valeurb−a

ns prend la valeur 0S prend la valeur 0x prend la valeur aPour k de 0 à n−1 faire

s prend la valeur s +h× f (x)x prend la valeur x +hS prend la valeur S +h× f (x)

Fin PourAfficher s et S

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

Calcul de s pour n= 3

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

b

a+3h

k 0 1 2s 0

x a

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fonctioncontinue

Calcul d’aire


1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

b

a+3h

k 0 1 2s 0 hf (a)

x a

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

b

a+3h

k 0 1 2s 0 hf (a)

x a a+h

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

b

a+3h

k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)

x a a+h

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fonctioncontinue

Calcul d’aire


1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

b

a+3h

k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)

x a a+h a+2h

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fonctioncontinue

Calcul d’aire


1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

b

a+3h

k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)

hf (a)+hf (a+h)+hf (a+2h)x a a+h a+2h

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

b

a+3h

k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)

hf (a)+hf (a+h)+hf (a+2h)x a a+h a+2h

a+3h

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

a+3h

k 0S 0x a

k 1 2S

x

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

a+3h

k 0S 0 0+hf (a+h)x a

k 1 2S

x

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

a+3h

k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S

x

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

a+3h

k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h)x

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

a+3h

k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h)x a+2h

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

a+3h

k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h) hf (a+h)+hf (a+2h)+hf (a+3h)x a+2h

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fonctioncontinue

Calcul d’aire

1

2

3

4

−1

b

ab

a+hb

a+2h

Cf

a+3h

k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h) hf (a+h)+hf (a+2h)+hf (a+3h)x a+2h a+3h

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Calcul d’aire

Exercice no 2

Soit f la fonction définie par f (x)= x2 sur R et C sa courbereprésentative. On s’intéresse à l’aire sous la courbe délimitéepar les droites d’équation x = a et x = b.Écrire un programme donnant en sortie l’encadrement de cetteaire par la méthode des rectangles, à partir de la saisi de a, b etdu nombre de subdivision n. Exécuter ce programme pour a= 0,b= 1 et n= 100.

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Calcul d’aire

Rappel du plan




4 Calcul d’aire

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Calcul d’aire

Primitive de f qui s’annule pour x = a

Théorème no 1

Si f est une fonction continue et positive sur [a ; b], la fonction

F définie sur [a ; b] par F (x)=∫x

af (t)dt est dérivable sur

[a ; b] et a pour dérivée f .Ainsi pour tout x ∈ [a ; b] : F ′(x)= f (x)

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Calcul d’aire

Exercice no 3 I

Soit la fonction F définie sur [1 ; +∞[ par F (x)=∫x

1ln(t)dt.

1

1 Donner une interprétation graphique de F (2) et F (3)

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1

b

O

−→i−→

j

C

2 Comparer graphiquement F (2) avec F (3).

2 Déterminer la dérivée de F sur [1 ; +∞[.

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Calcul d’aire

Exercice no 3 II

3

1 Étudier le sens de variation de F sur [1 ; +∞[.2 En déduire la comparaison de F (2) avec F (3).

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Calcul d’aire

Définition d’une primitive d’une fonction f

Définition no 3

Soit f une fonction continue sur un intervalle I .On appelle primitive de f sur I , une fonction F dérivable sur Idont la dérivée est égale à f .Ainsi pour tout x ∈ I : F ′(x)= f (x)

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Calcul d’aire

Remarque

Remarque no 1

⊳ La fonction x 7−→∫x

af (t)dt est une primitive de f sur

[a ; b]

⊳ Retenons le petit schéma :

Fa pour dérivée−→ F ′ = f

F ←−a pour primitive

f

Une primitive d’une fonction est une fonction« antérieur »à la dérivation.

⊳ Le verbe qui consiste à chercher une primitive est le verbe« intégrer ».

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Calcul d’aire

Une primitive est définie à une constante près

Théorème no 2

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitivessur I .

Propriété no 1

Soit f une fonction continue sur un intervalle I .

⊳ Si F est une primitive de f sur I , alors toutes les primitivesde f sur I sont les fonctions G définies sur I par :G (x)=F (x)+k où k est une constante réelle

⊳ Soit x0 un réel de I et y0 un réel quelconque, il existe uneunique primitive F de f sur I telle que F (x0)= y0.

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Calcul d’aire

Exercice no 4

Soient les fonctions f et F définies sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)=ln(x)

xet F (x)=

12(ln(x))2

1 Démontrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[2 Trouver la primitive de f sur ]0 ; +∞[ qui s’annule pour

x = e.

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Calcul d’aire

Primitives des fonctions usuelles

Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= F (x)= ax R

n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= F (x)=1x

R∗

f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[

f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R

f (x)= F (x)=p

x ]0 ; +∞[

f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R

f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R

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fonctioncontinue

Calcul d’aire


Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R

n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= F (x)=1x

R∗

f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[

f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R

f (x)= F (x)=p

x ]0 ; +∞[



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fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= F (x)=1x

R∗

f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[

f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R

f (x)= F (x)=p

x ]0 ; +∞[



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fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[

f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R

f (x)= F (x)=p

x ]0 ; +∞[



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fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[

f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R

f (x)= F (x)=p

x ]0 ; +∞[



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fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[

f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R

f (x)= F (x)=p

x ]0 ; +∞[



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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[

f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= −e−x F (x)= e−x R

f (x)= F (x)=p

x ]0 ; +∞[



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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[


f (x)=1

2p

xF (x)=

px ]0 ; +∞[



Intégrale

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[


f (x)=1

2p

xF (x)=

px ]0 ; +∞[

f (x)= cos(x) F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R


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Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[


f (x)=1

2p

xF (x)=

px ]0 ; +∞[

f (x)= cos(x) F (x)= sin(x) Rf (x)= − sin(x) F (x)= cos(x) R


Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[


f (x)=1

2p

xF (x)=

px ]0 ; +∞[


f (x)= acos(ax +b) F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R

Intégrale

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1

n+1R ou R∗

f (x)= −1

x2F (x)=

1x

R∗

f (x)=1x

F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[


f (x)=1

2p

xF (x)=

px ]0 ; +∞[


f (x)= acos(ax +b) F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= −asin(ax +b) F (x)= cos(ax +b) R

Intégrale

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Primitive et fonctions composées

Fonction Une primitive ValiditéU +V IkU I

Pour n 6= −1 et n 6= 0Un+1

n+1I

eU

ln(U) Ip

U I

Intégrale

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Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Fonction Une primitive Validitéu+v U +V I

kU I

Pour n 6= −1 et n 6= 0Un+1

n+1I

eU

ln(U) Ip

U I

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Fonction Une primitive Validitéu+v U +V Iku kU I

Pour n 6= −1 et n 6= 0Un+1

n+1I

eU

ln(U) Ip

U I

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1

n+1I

eU

ln(U) Ip

U I

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1

n+1I

U ′eU eU

ln(U) Ip

U I

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1

n+1I

U ′eU eU

U ′

Uln(U) Ip

U I

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire



Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1

n+1I

U ′eU eU

U ′

Uln(U) I

U ′

2p

U

pU I

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Exercice no 5

Déterminer une primitive de f sur I

⊳ f (x)= x4 et I =R

⊳ f (x)=1x3

et I =]−∞ ; 0[

⊳ f (x)= 5 et I =R⊳ Soit f (x)= 2x +1 déterminer la primitive F de f

sur R telle que F (−2)= 3

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Exercice no 6

Déterminer une primitive de f sur I

⊲ f (x)= 2x3 +5x2+5x +2 et I =R

⊲ f (x)=1

2p

x+3cos(3x +5) et I =]0 ; +∞[

⊲ f (x)=2x

2p

x2+1et I =R

⊲ f (x)= (2x +2)(x2 +2x +3)3 et I =R

⊲ f (x)=5

(5x +1)4et I =]−

15

; +∞[

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Exercice no 7

1 Déterminer sur ]0 ; +∞[ une primitive de la fonction f

définie par f (x)= 9x2 +7

x3

2 Déterminer sur R une primitive de la fonction g définie parg(x)= cos(3x)−4sin(2x −1)

3 Déterminer une primitive de chacune des fonctions définiessur R par :

1 f (x)=3x

x2+12 g(x)= 20xex

2+5

3 h(x)= cos2(x)sin(x)

4 i(x)=11x

√

x2+1.

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Rappel du plan




4 Calcul d’aire

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Calcul d’une intégrale

Définition no 4

Soit f une fonction continue sur un intervalle I , F une primitivede f sur I , a et b deux réels de I .On appelle intégrale de f entre a et b la différence F (b)−F (a).

On a donc :∫b

af (x)dx = [F (x)]ba =F (b)−F (a)

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Exercice no 8

Calculer les intégrales I =∫3

1

(

3x2 +4x)

dx et J =∫0

−1e3x dx .

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Propriétés de l’intégrale

Propriété no 2

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I , a, bet c sont trois réels de I et k un réel quelconque

⊳

∫a

af (x)dx = 0

⊳

∫b

af (x)dx =−

∫a

bf (x)dx

⊳

∫b

akf (x)dx = k

∫b

af (x)dx

⊳

∫b

a(f (x)+g(x)) dx =

∫b

af (x)dx +

∫b

ag(x)dx

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Propriétés de l’intégrale

Propriété no 3

⊳ Relation de Chasles :∫b

af (x)dx +

∫c

bf (x)dx =

∫c

af (x)dx

⊳ Soit a< b, si f (x)Ê 0 pour tout x ∈ [a ; b], alors∫b

af (x)dx Ê 0

⊳ Si f (x)Ê g(x) sur [a ; b], alors∫b

af (x)dx Ê

∫b

ag(x)dx .

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Exercice no 9

1 Déterminer le signe de l’intégrale∫1

0e−x

2

dx

2 Soit I =∫1

0

ex

ex +1dx et J =

∫1

0

1ex +1

dx

1 Calculer I2 Calculer I +J, puis en déduire J.

3

1 Démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] : ex2É ex

2 En déduire que 0É∫1

0ex

2dx É e−1.

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Rappel du plan




4 Calcul d’aire

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Cas d’une continue et positive

Propriété no 4

b

ObI

bJ−→i−→j

a b

C

Si la fonction f est continue et positive sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est

égale à∫b

af (t) dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Cas d’une continue et positive

Propriété no 4

b

ObI

bJ−→i−→j

D

a b

C

Si la fonction f est continue et positive sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est

égale à∫b

af (t) dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Cas d’une continue et négative

Propriété no 5

−5

b

ObI

b −→i−→j

−5

a b

Cf

Si la fonction f est continue et négative sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est

égale à −∫b

af (t) dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Cas d’une continue et négative

Propriété no 5

−5

b

ObI

b −→i−→j

D

−5

a b

Cf

Si la fonction f est continue et négative sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est

égale à −∫b

af (t) dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Cas d’une fonction qui change de signe

Propriété no 6

Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant

b

ObI

bJ

−→i

−→j

a b c d

D1

D2

D3

−→i

−→j

Aire totale= =

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Propriété no 6


b

ObI

bJ

−→i

−→j

a b c d

D1

D2

D3

−→i

−→j

Aire totale= aire de D1 =

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Propriété no 6


b

ObI

bJ

−→i

−→j

a b c d

D1

D2

D3

−→i

−→j

Aire totale= aire de D1−aire de D2 =

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Propriété no 6


b

ObI

bJ

−→i

−→j

a b c d

D1

D2

D3

−→i

−→j

Aire totale= aire de D1−aire de D2+aire de D3 =

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Propriété no 6


b

ObI

bJ

−→i

−→j

a b c d

D1

D2

D3

−→i

−→j

Aire totale= aire de D1−aire de D2+aire de D3 =∫b

af (t)dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Propriété no 6


b

ObI

bJ

−→i

−→j

a b c d

D1

D2

D3

−→i

−→j


af (t)dt −

∫c

bf (t)dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


Propriété no 6


b

ObI

bJ

−→i

−→j

a b c d

D1

D2

D3

−→i

−→j


af (t)dt −

∫c

bf (t)dt +

∫d

cf (t)dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Aire entre deux courbes

Propriété no 7

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

Cg

Cf

Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef (x)É g(x), alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surfacecomprise entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équationx = a et x = b est égale à :

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Aire entre deux courbes

Propriété no 7

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

Cg

Cf

Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef (x)É g(x), alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surfacecomprise entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équationx = a et x = b est égale à :

∫b

a(g(t)− f (t)) dt

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Exercice no 10

1 Soit f (x)= x2−x3 définie sur [0 ; 2]1 Étudiez le signe de f (x) sur [0 ; 2]2 Calculez l’aire en ua de la surface délimitée par l’axe des

abscisses et la courbe Cf compris entre les droitesd’équation x = 0 et x = 2

2 Soient f (x)= x2 et g(x)= x définies sur [0 ; 2]1 Étudiez la position de Cf par rapport à Cg sur [0 ; 2]2 Calculez l’aire en ua de la surface délimitée entre les

courbes Cf et Cg compris entre les droites d’équationx = 0 et x = 2

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Valeur moyenne d’une fonction

Théorème no 3

f est une fonction continue sur I, a et b sont deux réelsdistincts de I.

⊳ Il existe c ∈ [a ; b] tel que∫b

af (x)dx = (b−a)f (c)

⊳ Le nombre1

b−a

∫b

af (x)dx est appelé valeur moyenne de

f sur [a ; b]

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Interprétation graphique

5

b

ObI

bJ−→i

−→j

5

a b

m

Cf

c

=

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


5

b

ObI

bJ−→i

−→j

5

a b

m

Cf

c

∫b

af (x)dx =

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire


5

b

ObI

bJ−→i

−→j

5

a b

m

Cf

c

∫b

af (x)dx =m(b−a)

Intégrale

Eric Leduc




Intégraled’une

fonctioncontinue

Calcul d’aire

Exercice no 11

1 Calculer la valeur moyenne de la fonction cosinus sur[0 ; 2π]

2

1 Démontrer que la fonction g définie sur [0 ; 2π] par

g(x)=sin(x)×cos(x)

2+

x

2est une primitive de la fonction

f définie par f (x)= cos2 (x) sur [0 ; 2π].2 En déduire que la valeur moyenne de f sur sur [0 ; 2π] est

1

2.

Intégrale d'une fonction positiveAlgorithme de l'encadrement d'une intégrale positive

Primitives d'une fonction continueIntégrale d'une fonction continueCalcul d'aire

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Intégrale - Terminale Sericfrancoisleduc.free.fr/lycee-jacquard-e-leduc/TS/...Terminale S Eric Leduc Lycée Jacquard 2014/2015 Intégrale Eric Leduc Intégrale d’une fonction positive