1.INTRODUCERE N STUDIUL SISTEMELOR

1. INTRODUCERE N STUDIUL SISTEMELOR

DE REGLARE AUTOMATE

1.1. SISTEME AUTOMATE Sistemele de conducere automat cap(t o importan mereu crescnd n diferitele laturi ale modului nostru modern de via. Sistemele automate pot fi clasificate astfel:

sisteme cu "circuit deschis" sau "de comand", i

sisteme cu "circuit nchis" sau "de reglare".

n figura 1.1, este reprezentat un sistem tipic de comand. O mrime de intrare de mic valoare este amplificat pe cale electric, pneumatic sau mecanic. Ea impune mrimea puterii preluate de la o surs printr-un element de execuie de ctre sarcin.

n general, tipul de sistem automat reprezentat n figura 1.1, este denumit cu circuit deschis sau f(r( reacie. Mrimea de intrare acioneaz asupra mrimii de ieire prin intermediul ctorva elemente,specifice fiecrui tip de sistem n parte.

Una din consecinele funcionale ale sistemelor cu circuit deschis, este dependena mrimii de ieire de acordarea elementelor componente.

n multe aplicaii (de exemplu maina de splat, motorul de automobil) meninerea unei curbe precise de acordare este lipsit de importan. n alte aplicaii este suficient racordarea curbei la anumite intervale de timp. A "racorda" sistemul nseamn a restabili relaia mrime de ieire - mrime de intrare suficient de des pentru a asigura precizia dorit. De exemplu un galvanometru este ntotdeauna adus la "zero" nainte de a fi utilizat. Multe tipuri de instrumente, de laborator sunt etalonate sau echilibrate, puse la punct nainte de utilizare.

Precizia msurrii depinde de meninerea pe durata msurrii a acestei etalonri sau echilibrri. n unele sisteme (de exemplu conducerea unui automobil) un operator uman este n stare s aduc coreciile necesare, acest operator realizeaz de fapt un sistem cu circuit nchis. Cnd o persoan conduce pentru prima dat automobilul altcuiva, ea trebuie s-i "formeze din nou simurile", deoarece, de exemplu, aceeai apsare a acceleratorului nu poate produce aceleai rezultate la dou automobile.

O alt consecin a sistemelor n circuit deschis const n faptul c mrimea la ieire este funcie de variaiile sarcinii. Ca un exemplu, s presupunem c pompa acionat de un motor ncepe s trag noroi. Dac nu se oprete intrarea noroiului sau dac poziia ventilului de admisie al motorului nu este modificat, viteza arborelui de ieire al motorului va scdea i se poate chiar ca motorul s se opreasc.

Aadar dou din dezavantajele sistemelor cu circuit deschis sunt:

mrimea de ieire este influenat de funcionarea elementelor componente ale sistemului;

mrimea de ieire este funcie de variaiile sarcinii.

Sistemele cu circuit deschis prezint mai multe avantaje care trebuie luate n consideraie n etapa preliminar a sintezei (proiectrii) unui sistem de reglare. Unele din aceste avantaje sunt:

simplitatea funcionrii;

numr mai mic de elemente componente;

funcionare stabil.

Dac cerinele nu pot fi satisfcute de un sistem automat n circuit deschis, aa cum se ntmpl deseori cu dispozitivele de precizie, atunci trebuie luat n consideraie un sistem cu circuit nchis. Pentru a se obine precizia dorit a reglrii, mrimea de ieire a sistemului este m(surat, dirijat napoi spre intrare i comparat cu mrimea de intrare. Diferena ntre mrimea de ieire "prescris", reprezentat prin mrimea de intrare i mrimea real de ieire este denumit "abatere" (eroare). Un sistem cu circuit nchis este acionat de mrimea abatere:

Abatere = mrimea de ieire prescris - mrimea de ieire real .

Un sistem cu circuit nchis care poate fi realizat pentru reglarea turaiei unui motor cu ardere intern este reprezentat n figura 1.2.

Un tahogenerator care produce o tensiune proporional cu turaia arborelui, este utilizat pentru a msura aceast turaie. Tensiunea de intrare care reprezint turaia prescris este variat cu ajutorul unui poteniometru. Cele dou tensiuni sunt sczute pe cale electric. Diferena, sau tensiunea abatere, este amplificat i utilizat pentru a fixa poziia ventilului de admisie prin intermediul unui amplificator corespunztor.

Dac aceeai problem, a reglrii turaiei unui motor cu ardere intern, care antreneaz o sarcin (respectiv o pomp), s-ar gndi ca un sistem cu circuit deschis, i dac presupunem c motorul dezvolt o putere de cteva sute de cai putere , ar fi suficient o mic schimbare a poziiei ventilului de admisie pentru a provoca o variaie important a puterii de ieire. Viteza arborelui motorului la sarcin constant este funcie de poziia ventilului de admisie. Ventilul, carburatorul, motorul reprezint un sistem de reglare n care o putere mare de ieire este controlat de o putere mic de intrare (fig.1.1). Poziia ventilului de admisie a sistemului motor - pomp reprezint mrimea de intrare, aceast mrime este stabilit pe cale direct (stabilind poziia ventilului), putem avea turaia dorit a arborelui motorului, cu ajutorul "curbei de acordare" ; caracteristica - turaia motorului (n) - poziia ventilului (() - figura 1.3.

n figura 1.2, turaia prescris, adic mrimea de intrare, este comparat cu turaia real, care reprezint, mrimea de ieire, iar diferena, adic abaterea, este folosit pentru a aciona asupra poziiei ventilului. Deosebirea important ntre sistemul nchis (fig. 1.2) i cel deschis (fig.1.1) const n legtura de reacie i efectele acesteia. Semnalul care modific poziia ventilului reprezint diferena dintre turaia prescris i cea real. Atunci cnd turaia arborelui de ieire este egal cu cea prescris, adic abaterea este nul, servomotorul ventilului (care poate fi un motor electric reversibil al crui arbore acioneaz printr-un reductor prghia ventilului) se afl n repaus. Dac are loc vreo schimbare oarecare, ca de pild a sarcinii sau a caracteristicii funcionale a vreunui element al sistemului, n aa fel nct turaia real nu mai este egal cu cea prescris, apare o abatere, care va produce la rndul ei modificarea poziiei ventilului pn cnd turaia real va corespunde din nou celei prescrise.

Noiunea de "reac(ie" este esenial n studiul sistemelor automate. Reacia este asociat cu comparaia dintre valoarea real a variabilei reglate (mrimea de ieire) i valoarea prescris a acesteia (mrimea de intrare). Mai general se spune c( exist reacie atunci cnd exist ntre variabilele sistemului o succesiune nchis de relaii cauz-efect.

Cnd reacia este introdus n mod intenionat, ca n cazul marei majoriti a sistemelor de reglare, existena i scopul ei sunt imediat evidente. Efectele reaciei, care pot fi considerate i ca avantajele sistemelor nchise, sunt:

mrirea preciziei - introducerea reaciei poate reduce sau elimina eroarea sistemului n interiorul cii directe intrare-ieire. Dei variaiile elementelor directe modific timpul de rspuns al sistemului, reacia reduce erorile cauzate de aceast variaie;

reducerea efectelor distorsiunii i neliniaritilor - care au loc n interiorul cii directe;

mrirea benzii de trecere - reacia amplific banda de frecvene pentru care sistemul rspunde - n acelai timp, amplificarea corespunztoare acestei benzi este redus;

mrirea sau micorarea impedanei - funcie de caracteristicile dorite, i de tipul de reacie utilizat.

Un sistem tipic "de reglare automat" este reprezentat figura 1.4 i prezint una sau mai multe bucle de reacie care realizeaz combinaii funcionale ntre semnalul prescris de ieire i cel de comand, cu tendina de a menine o dependen dat ntre mrimea real de ieire i cea prescris.

Avantajele unui asemenea sistem nchis pot fi rezumate astfel :

variaiile sarcinii sau caracteristicile funcionale ale principalelor elemente componente nu influeneaz dect n mic m(sur precizia sistemului;

nu este necesar acordarea periodic a sistemului, cu excepia tahogeneratorului.

Dezavantajul frecvent care apare la aceste sisteme nchise l reprezint instabilitatea (sistem oscilant). Datorit mai multor cauze, care vor fi studiate pe parcursul lucrrii de fa, un sistem automat poate deveni inutilizabil datorit( instabilitii. Putem defini n acest context stabilitatea unui sistem de reglare automat:" un sistem este absolut stabil, dac n decursul regimului tranzitoriu care are loc atunci cnd sistemul n stare de repaus este perturbat, mrimea de ieire tinde ctre zero, pe msur ce timpul crete nedefinit i este limitat stabil dac mrimea de ieire, dei diferit de zero r(mne mrginit".

Metoda de baz n calculul sistemelor de reglare este analiza efectuat cu ajutorul sistemelor de ecuaii difereniale. Comportarea sistemelor fizice este determinat de soluiile ecuaiilor.

1.1.1. ECUAIILE DIFERENIALE ALE UNUI SERVOSISTEM

Ca un prim exemplu de stabilire a ecuaiei difereniale, considerm un sistem mecanic, format dintr-un corp de mas M, forat s se deplaseze pe roi (f(r frecri n lagre) pe nite ine orizontale, avnd montat un resort mecanic n stnga (care se opune micrii), iar n dreapta este plasat un amortizor - figura 1.5.

Din figura 1.5 rezult urmtoarea ecuaie:

( 1.1)

K - constanta elastic a resortului;

B - constanta amortizorului.

Dup aranjarea termenilor n relaia (1.1), obinem:

( 1.2)

care reprezint ecuaia diferenial care descrie funcionarea sistemului mecanic considerat. Ecuaia (1.2) este tipic pentru sistemele

POTEN(IOMETRU POTEN(IOMETRU

DE INTRARE DE IE(IRE

AMPLIFICATOR I AMPLIFICATOR II MOTOR

ei e1 e2 ee

P

Fig. 1.6

automate liniare, ea este o"ecuaie diferenial liniar cu coeficieni constani".

naintede a rezolva ecuaia (1.2) , vom studia un servosistem cu o ecuaie diferenial analoag.

Sistemul nchis din figura 1.6 este utilizat pentru a aciona o anten mare, adic n general pentru acionarea unui corp avnd moment mare de inerie. Un poteniometru msoar poziia arborelui de ieire i o transform n tensiune conform relaiei:

(1.3)

n care, xe - unghiul de poziie al arborelui de ieire, ee - tensiunea de ieire, KP - factorul de transfer al poteniometrului, care poate fi determinat cu ajutorul relaiei (1.4):

(1.4)

unde, E - tensiunea total, xemax - unghiul maxim de rotaie al poteniometrului.

Poziia xi a cursorului poteniometrului de la intrare este convertit n tensiunea ei. Poteniometrele de la intrare, respectiv ieire sunt identice. Un dispozitiv de amplificare a diferenei a dou semnale, amplific tensiunea diferen (ei - ee) :

(1.5)

n care, e1 - tensiunea abatere de la ieirea amplificatorului, A1 - factorul de amplificare al amplificatorului, - tensiunea de intrare.

Aceast tensiune, e1, este amplificat nc odat i aplicat la bornele motorului :

(1.6)

unde, e2 - tensiunea abatere amplificat, A2 - factorul de amplificare al celui de-al doilea amplificator.

Ecuaiile funcionale ale motorului pot fi determinate din caracteristicile sale mecanice liniarizate, ca n figura 1.7.

Ecuaia general a oricreia din aceste caracteristici liniarizate este:

M=a(+b(1.7)

n care, M - cuplul dezvoltat de motor, (=dxe/dt

viteza unghiular a arborelui motorului, a, b - constante care depind de tipul servomotorului (c.c sau c.a). Panta acestor caracteristici liniarizate este negativ i constant:

a= - m; m>0(1.8)

Constanta b din ecuaia (1.7) depinde de tensiunea de comand. Pentru (=0, interseciile caracteristicilor liniarizate cu axa absciselor, (fig.1.7), dau posibilitatea trasrii caracteristicii cuplu de pornire - tensiune de comand reprezentate n figura 1.8. Panta poriunii liniare a acestei caracteristici este K, iar ecuaia ei:

M0=Ke2(1.9)

n care, e2 - tensiunea de comand aplicat la bornele motorului, M0 - cuplul corespunztor de pornire ((=0). innd cont de ecuaia (1.7), rezult:

b=M0=Ke2(1.10)

pentru (=0. Deci ecuaia (1.7) va fi:

M+m(=Ke2(1.11)

n exemplul de servosistem ales spre discu(ie, motorul ac(ioneaz( o sarcin( avnd doar moment de iner(ie J (i deci: , a(a nct ecua(ia diferen(ial( a servosistemului va fi:

(1.12)

Dac( elimin(m tensiunea e2 ntre rela(iile (1.6) (i (1.12), se ob(ine ecua(ia diferen(ial( complet( a sistemului:

(1.13)

care poate fi simplificat(:

(1.14)

(=KA1A2KP/J(1.15)

Ecua(ia (1.14) prezint( aceea(i form( ca ecua(ia (1.2) : o ecua(ie diferen(ial( cu coeficien(i constan(i. Ordinul ecua(iei, dat de derivata de ordinul cel mai nalt, este evident doi.

1.1.2. FACTORUL DE AMORTIZARE I PULSAIA

PROPRIE NEAMORTIZAT

nainte de a rezolva ecuaiile difereniale (1.2) i respectiv (1.14), s considerm dou mrimi importante: ( - factorul de amortizare; (n - pulsaia proprie neamortizat, care intervin n orice ecuaie diferen(ial liniar de ordinul doi cu coeficieni constani, scris sub forma:

d2xe/dt2 + 2((ndxe/dt +(2nxe=(2nxi (1.16)

Comparnd ecuaiile (1.14) i (1.16), rezult urmtoarele relaii:

2((n=m/J (i (n2=((1.17)

Rezolvnd aceste relaii n raport cu ( i (n , se obine:

(n=(1.18)

i

(=(1.19)

Comparnd ecuaiile (1.2) i (1.16), rezult urmtoarele relaii:

2((n=B/M (i (n2=K/M(1.20)

i respectiv:

i (1.21)

Chiar i la sistemele de ordin superior, cnd ecuaia caracteristic are mai mult de dou rdcini, se poate ntmpla ca natura rspunsului sistemului s depind n mod esenial de dou din "rdcinile cele mai amortizate", ceea ce nseamn c pentru aproximarea rspunsului sistemului de ordin superior se folosete rspunsul unui sistem "echivalent" de ordinul doi. Ecuaia (1.14) reprezint ecuaia dinamic a servosistemului din figura 1.6. Ea se poate exprima sub forma:

d2xe/dt2+2((ndxe/dt+(n2xe=(n2xi(1.23)

unde, xe(t) - variabila dependent sau rspunsul sistemului, xi(t) - funcia extern de comand.

1.1.3 REZOLVAREA UNEI ECUA(II DIFEREN(IALE CU AJUTORUL

TRANSFORM(RII LAPLACE

Soluia ecuaiei (1.23), xe(t), poate fi determinat cu ajutorul transformrii Laplace. Funcia de intrare, o funcie treapt u(t), se obine din funcia reprezentat n figura 1.9,

pentru t1=0. Se consider c sistemul descris de ecuaia (1.23) este n repaus n momentul iniial, adic xe(0+)=0=dxe/dt pentru t=0+, nainte de momentul aplicrii funciei treapt. Aplicnd transformata Laplace ambilor membri ai ecuaiei (1.23) se obine:

s2Xe+2((nXe+(n2Xe=(n2/s(1.24)

n care: s - operatorul Laplace, iar 1/s - transformata Laplace a funciei treapt unitar.

Transformata Laplace a variabilei xe(t) de ieire a fost notat cu Xe care este o funcie de s.

Rezolvnd ecuaia algebric (1.24) n raport cu Xe, se obine:

Xe=(n2/s(s2+2((ns+(n2)(1.25)

iar, dup dezvoltarea n fracii pariale,

Xe=1/s -(s+2((n) / (s+2((n)2+(n2(1-(2)(1.26)

Utiliznd tabelul din ANEXA 1, pentru transformata Laplace invers, se gsete pentru t>0,

xe(t)=1 - e- t((n sin((n(1-(2)1/2 t + () / /(1-(2)1/2(1.27)

n care, (=arccos (.

Aa cum este de ateptat, cu ct factorul de amortizare ( este mai mare, cu att rspunsul are un caracter mai puin oscilator. Din relaia (1.19) , ( , rezult c factorul de amortizare este o funcie de mai muli parametri ai sistemului i el poate fi variat prin modificarea oricreia din mrimile relaiei (1.19). De exemplu, factorul de amplificare poate fi micorat n scopul mririi factorului de amortizare. Dac sistemul devine mai oscilator (( mai mic), rspunsul xe(t) depete sensibil valoarea regimului staionar (n acest caz unitatea) la fiecare perioad.

Suprareglarea maxim procentual - o mrime care evideniaz depirea n prima oscilaie a valorii regimului staionar - este definit astfel:

(=100(valoarea maxim n prima oscilaie valoarea staionar) / /valoarea staionar(1.28)

Viteza de rspuns a sistemului de ordinul doi este dependent de (n i (. Pentru acelai sistem de ordinul doi, reprezentat prin ecuaia (1.14), pulsaia proprie neamortizat este dat de relaia(n= (1.18) , este aadar, posibil variaia lui (n prin schimbarea elementelor servosistemului. Trebuie ns remarcat faptul c o cretere a factorului total de amplificare A1A2 produce creterea lui (n i descreterea lui (. Din cauza acestei relaii ntre ( i (n, trebuie luate n consideraie alte metode de calcul pentru obinerea unor valori favorabile pentru ( i (n.

n acest context pot fi date i alte definiii pentru ( i (n, prin care s fie mai clare denumirile date acestor parametri. Mrimea ( reprezint raportul dintre constanta de amortizare (((n) care caracterizeaz un sistem de ordinul doi i constanta de amortizare critic ((n). Amortizarea critic se ntnlete la un sistem de ordinul doi, atunci cnd ecuaia caracteristic (1.23) are dou rdcini reale egale. Aceast situaie echivaleaz cu (=1, deoarece, n ecuaia (1.26) prin substituirea (=1 rezult dou rdcini identice:

si= - ((n= - (n(1.29)

Pentru sistemul mecanic din figura 1.5, ecuaia caracteristic este:

(1.30)

iar rdcinile acesteia sunt,

, i=1,2(1.31)

Valoarea de amortizare critic Bc, corespunde acelei constante de amortizare pentru care discriminantul ecuaiei (1.30) este nul. Aadar, Bc se determin din expresia: Bc2/4M2 - K/M=0, adic:

(1.32)

Pentru aceast valoare a lui B exist o rdcin real dubl - Bc/2M.

Factorul de amortizare va fi:

(1.33)

Pulsaia proprie neamortizat reprezint pulsaia de oscilaie a sistemului atunci cnd amortizarea este nul. Pentru B=0, rdcinile ecuaiei (1.30) sunt:

, i=1,2(1.34)

Rdcinile imaginare conduc la un rspuns de forma:

(1.35)

Pulsaia proprie neamortizat este: (1.36)

innd seama de relaiile (1.33) i (1.36), ecuaia (1.30) ia urmtoarele forme,

i respectiv

s2+2((ns+(n2=0(1.37)

n general, factorul de amortizare ( este mai mic dect unitatea i, n acest caz, rdcinile ecuaiei (1.37) pot fi scrise sub forma:

si= - ((n j(n(1-(2)1/2 , i=1,2(1.38)

Aadar pentru 00, funcia pondere corespunde unui sistem stabil. n ecuaia (1.58), rdcina se afl la si=b, i dac b>0, funcia pondere corespunde unui sistem instabil, adic membrul drept al ecuaiei (1.59) crete cnd timpul crete.

Localizarea rdcinilor tipice n planul s i funciile pondere, corespunz(toare sunt prezentate n figura 1.17. Rdcinile simple -(1,

-(2, cu (1,(2>0, de pe axa real negativ dau o soluie de forma:

m1=A3e- (+B3e- ((1.60)

O pereche simpl de rdcini complex conjugate j( pe axa imaginar, d un termen tranzitoriu:

m2=A2cos(t+B2sin(t(1.61)

O rdcin simpl pe axa real pozitiv, (1, (2 cu (1, (2>0, d un termen de forma:

m3=A4e(+B4e((1.63)

O pereche simpl de rdcini complex conjugate, -(j( ((>0) n semiplanul stng d natere unui termen tranzitoriu a crui expresie este:

m4=e- ((A1cos(rt+B1sin(rt)(1.63)

O pereche simpl de rdcini complex conjugate (j( ((>0), n semiplanul drept d un termen de forma:

m5=e ((A5cos(rt+B5sin(rt)(1.64)

O rdcin dubl, ( ((>0), a ecuaiei caracteristice care apare ntr-un punct al axei reale din semiplanul stng al planului s va produce un termen:

m6=(A6+B6t)e- ((1.65)

O rdcin simpl n origine d natere unui termen de forma:

y=const.=A0(1.66)

O rdcin dubl n origine produce un termen tranzitoriu a crui expresie general este:

y=A7+B7t(1.67)

Rdcinile duble imaginare, j(, care se afl pe axa imaginar, produc termeni de forma:

y=(A8+B8t)cos(t + (C8+D8t)sin(t(1.68)

Constantele Ai, Bi, Ci sau Di care intervin n expresiile de mai sus sunt arbitrare. Natura stabilitii unui sistem poate fi acum formulat n corelaie cu localizarea rdcinilor ecuaiei caracteristice, adic a numitorului (1+GH=0) a funciei totale de transfer: .

1) Un sistem este stabil, dac toate rdcinile se afl n semiplanul stng.

2) Un sistem este instabil, dac o rdcin oarecare se afl n semiplanul drept, dac o pereche multipl (dubl,tripl) de rdcini complexe se afl pe axa imaginar sau dac o rdcin multipl real este localizat n origine.

3) Un sistem este stabil marginal, dac o pereche de rdcini complexe se afl pe axa imaginar sau dac o rdcin simpl se afl n origine, iar celelalte rdcini se afl n semiplanul stng.

4) Un sistem este stabil condiionat, dac toate rdcinile sunt localizate n semiplanul stng pentru anumite valori particulare ale parametrilor sistemului. Adesea sistemul este stabil numai pentru valori ntr-un anumit interval ale unui parametru, de exemplu factorul de amplificare.

Rdcinile care se afl n semiplanul drept produc un rspuns oscilatoriu care crete n timp i fac ca sistemul s nu fie utilizabil n practic. O pereche simpl de rdcini complexe pe axa imaginar (n afar de origine), d natere unui termen sinusoidal neamortizat (oscilatoriu). Dac toate celelalte rdcini se afl n semiplanul stng cu excepia posibil a unei rdcini simple n origine, atunci sistemul poate fi considerat oscilatoriu, cazul limit dintre stabilitate i instabilitate.

1.1.8 CONCLUZII

n proiectarea unui sistem automat, nu se poate da o metod de sintez direct. Proiectantul sistemului de reglare automat va trebui s foloseasc o combinaie ntre sintez i analiz. n general, acesta este n situaia de a alege o serie de elemente componente (amplificator, motor etc.) cunoscnd ecuaiile lor difereniale, se pot determina funciile de transfer cu ajutorul crora sistemul este construit. Atunci cnd circuitul sistemului este nchis prin intermediul unei reacii, sistemul poate deveni instabil, poate avea o abatere staionar prea mare, un factor de amortizare prea mic, sau o pulsaie proprie neamortizat prea mic. n aceast( situaie, proiectantul este forat s aduc modificri sistemului, pentru a conforma performanele lui cu cerinele de calitate impuse iniial.

n funcie de experiena proiectantului, modificrile iniiale vor fi mai mult sau mai puin optimale. n orice caz, este absolut necesar analiza sistemului modificat pentru a determina orice mbuntire a performanelor sale. Dup ce a analizat prima variant, proiectantul aduce alte modificri sistemului, dac acestea apar necesare i din nou analizeaz situaia. Acest proces continu pn se realizeaz cerinele de calitate impuse iniial. S-a pus la punct, ns, i o metod pentru analiza sistemelor automate liniare, care const din urmtoarele etape:

1) obinerea ecuaiilor difereniale ale sistemului i deci a funciilor de transfer ale elementelor componente;

2) determinarea soluiilor ecuaiilor difereniale corespunztoare regimului staionar pentru anumite tipuri de mrimi de intrare (din regimurile staionare se pot determina abaterile);

3) determinarea naturii stabilitii sistemului din funcia de transfer sau ecuaia caracteristic.

Fiecare din aceste etape trebuie prins n reguli care s dea posibilitatea proiectantului s analizeze repede i precis sistemul studiat.

1.2. CLASIFICAREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE1.2.1. ABATERILE STAIONARE DATORIT PERTURBAIILOR DE LA INTRARE

Pentru a determina natura stabilit(ii unui sistem, este suficient ecuaia caracteristic. Atunci cnd se studiaz abaterile staionare (componentele staionare ale soluiilor ecuaiilor difereniale), este ns necesar cunoaterea funciei de intrare aplicat sistemului. Voi lua n consideraie trei tipuri de funcii de intrare, adecvate penru proiectarea curent a sistemelor automate. Aceste funcii tipice de intrare sunt:

funcia treapt de poziie

xi = A(1.69)

funcia treapt de vitez

xi = vt(1.70)

funcia treapt de acceleraie

xi = at2/2(1.71)

n care A, v i a sunt constante. Funciile se aplic la momentul t = 0, i sunt valabile numai pentru t > 0. Voi presupune c sistemul este stabil.

S considerm abaterea staionar care rezult atunci cnd o funcie treapt de poziie este aplicat la intrare. Sistemul studiat este reprezentat prin schema sa bloc n figura 1.18 (funcia de transfer a cii de reacie H = 1), funcia de transfer a cii directe, poate fi scris sub urmtoarea "form standard":

G(s)=K[(1+(1s)(1+(3s)...] / /[sn(1+(2s)(1+(4s)...](1.72)

n care, K este o constant independent de s. ntr-o prim situaie, s presupunem funcia de transfer a cii de reacie H(s) egal cu unitatea.

n acest caz transformata Laplace a abaterii este diferena ntre mrimea de ieire prescris Xi i cea real Xe,

E=Xi - Xe(1.73)

i reprezint mrimea de acionare. Deci, din relaia:

(1.74)

Ecuaia (1.74) mai poate fi scris i sub forma:

[1+G(s)]E = Xi(1.75)

Dac xi = A, componenta staionar a soluiei ecuaiei difereniale este de asemenea o constant, dac sistemul este stabil. Din punct de vedere fizic, dac m(rimea de intrare a servosistemului din figura 1.6, este o constant, atunci toi termenii tranzitorii dispar n timp i mrimea de ieire xe este tot o constant n cele din urm. Toate derivatele mrimii de ieire, vitez(, acceleraia, sunt nule. n regim staionar abaterea va fi tot o constant (aceast constant poate fi zero).

Teorema valorii finale, st la baza unei metode simple, de determinare a abaterii staionare. Aceast teorem stabilete c:

(1.76)

n care Y(s)=Ly(t), (L - laplacean), iar y(t) reprezint rspunsul unui sistem stabil (adic toi polii lui Y(s) se afl n semiplanul stng). Este de reinut urmtorul fapt: valoarea funciei de timp la infinit se determin direct din funcia transformat pentru s = 0.

EXEMPLU: vom calcula valoarea sta(ionar ( t) pentru funcia ((t), dac funcia transformat are forma:

(1.77)

n care funcia de transfer G(s) are urmtoarea expresie:

(1.78)

n acest caz, limita lui G cnd s tinde ctre zero este egal cu constanta K, sau:

(1.79)

Deoarece transformata Laplace a unei funcii treapt de amplitudine A este Xi = A/s, abaterea staionar pentru o funcie treapt aplicat unui sistem nchis este:

(1.80)

Dac inem seama i de relaia (1.79), atunci rezult:

((t)=(1.81)

n figura 1.19 s-a reprezentat variaia n timp a mrimilor de intrare i de ieire pentru exemplul studiat. Atunci cnd la intrare se aplic o treapt, mrimea de ieire tinde s urmreasc acea

treapt; totui, o abatere staionar rmne ntre xi i xe. Dei abaterea poate fi redus la valori mici, ea este totui prezent totdeauna, deoarece un factor de amplificare K, infinit nu este realizabil. Exemplul de mai sus arat cum se poate determina n principiu abaterea staionar a unui sistem de reglare automat. Abaterile staionare pentru trepte de intrare, de poziie, vitez i acceleraie se determin apoi pe cale simpl pentru fiecare tip de sistem. Pe aceast baz se calculeaz coeficienii abaterii staionare, dup care abaterile propriu-zise se stabilesc uor.(paragraful 1.2.3)

1.2.2. CLASIFICAREA SISTEMELOR AUTOMATESistemele automate se pot clasifica: n funcie de principiul de funcionare, n funcie de aspectul variaiei n timp a mrimii de la intrare, n funcie de viteza de variaie a mrimii de la ieire (xe), n funcie de numrul de intrri i ieiri, n funcie de natura comenzii, n funcie de gradul de complexitate al schemei funcionale i n funcie de exponentul n al termenului n s de la numitorul lui G (relaia 1.72).

a) n funcie de principiul de funcionare se deosebesc:

S.A convenionale de baz - supuse aceleiai convenii xe = xi. La rndul lor, acestea pot fi:

sisteme de urmrire, la care xe urmrete variaia de la intrare xi, oricare ar fi aceasta i

sisteme de reglare automat, la care xi are o variaie predeterminat (fie constant, fie variabil dup o lege prestabilit).

S.A specializate: adaptive, optimale sau extremale.

b) n funcie de aspectul variaiei n timp a mrimii de la intrare xi (deci dup variaia n timp impus mrimii de ieire xe) se deosebesc:

sisteme de stabilizare automat - (cnd xi = ct.- de exemplu meninerea constant a unui parametru) - se mai numesc S.R.A cu consemn fix sau program fix;

sisteme de reglare automat cu program variabil (cnd xi, variaz n timp dup o lege prestabilit, de exemplu la cuptoarele industriale pentru tratamente termice) -se mai numesc S.R.A cu consemn programat;

sisteme de reglare automat de urmrire -(cnd xi variaz n funcie de un parametru din afara S.R.A, legea de variaie n timp a acestui parametru nefiind cunoscut dinainte).

c) n funcie de viteza de variaie a mrimii de la ieire (sau de viteza de rspuns a obiectului automatizrii) se deosebesc:

S.A (respectiv S.R.A) pentru procese lente (cele mai r(spndite, instalaiile tehnologice industriale caracterizndu-se printr-o anumit inerie);

S.A (respectiv S.R.A) pentru procese rapide (cum sunt cele aplicate mainilor i acionrilor electrice - de exemplu: reglarea turaiei motoarelor, reglarea tensiunii generatoarelor etc.).

d) n funcie de numrul de intrri i de ieiri se deosebesc:

S.A (respectiv S.R.A) cu o singur mrime de intrare i o singur mrime de ieire (mrimea comandat sau mrimea reglat);

S.A (respectiv S.R.A) cu mai multe intrri i ieiri (cazul S.A de comand sau de reglare automat multivariabile).

e) n funcie de natura comenzii se deosebesc:

S.A (respectiv S.R.A) cu comand continu, la care mrimea de ieire a fiecrui element component este o funcie continu de mrimea sa de intrare. Ele conin dispozitive de automatizare, (DA) n cazul S.A, sau regulatoare (RA) n cazul S.R.A - care sunt fie liniare, fie neliniare, n raport cu modul de dependen al mrimii de comand, de mrimea de la intrare;

S.A (respectiv S.R.A) cu comand discontinu (discret) la care, mrimea de la ieirea DA (sau RA) este reprezentat de o succesiune de impulsuri de comand (sau reglare), fie modulate n amplitudine sau durat (sistemele cu impulsuri), fie codificate (sisteme numerice).

f) n funcie de gradul de complexitate al schemei funcionale:

S.A (respectiv S.R.A) cu un singur circuit nchis (sau o bucl de reglare);

S.A (respectiv S.R.A) cu mai multe circuite nchise (respectiv, cu mai multe bucle de

reglare). S.R.A cu mai multe bucle de reglare pot fi:

sisteme de reglare n cascad, care cuprind mai multe regulatoare automate, cu ajutorul crora, pe lng mrimea de ieire xe sunt reglate i alte mrimi intermediare din cuprinsul instalaiei sau procesului reglat, i

sisteme de reglare combinat, n care, pe lng regulatorul automat principal se prevede unul sau mai multe regulatoare suplimentare, care intr n funciune numai la apariia anumitor aciuni perturbatoare, n diferite puncte ale instalaiei de reglare.

g) n funcie de exponentul n a termenului n s de la numitorul lui G (relaia 1.72)

sistem tip 0, pentru care n=0;

sistem tip 1, pentru care n=1;

sistem tip 2, pentru care n=2;

sistem tip 3, pentru care n=3.

1.2.3. COEFICIENII ABATERILOR STAIONARE

1) Coeficientul abaterii de poziie - K0 Aplic la intrarea sistemului a crui funcie de transfer este dat de relaia (1.72), o funcie treapt de poziie, relaia (1.69). Transformata Laplace a abaterii este: E(s)= (1.73), (pentru cazul cnd H(s)=1).

Pentru a gsi valoarea de regim staionar sau valoarea final a lui ((t), atunci cnd xi(t) este funcia treapt de poziie, trebuie s se calculeze limita cnd t.

Pe baza teoremei valorii finale, se deduce:

(0 = ((t) = (1.74)

Dar Xi(s) = A/s i , n consecin:

(0 = ((t) =(1.75)

n care: K0 - coeficientul abaterii de poziie

(1.76)

Pentru un sistem tip 0 (n=0),

K0=K(1.77)

Pentru un sistem tip 1(sau mai mare , n1)

1/{1+[K((1s+1)((3s+1)... ] / /[sn((2s+1)((4s+1)]} = 0(1.78)

iar K0=, pentru n1.

2) Coeficientul abaterii de vitez - Kv

S considerm acum rspunsul sistemelor cu mrime de intrare ramp (funcia treapt de vitez, relaia (1.70)). Se utilizeaz i n acest caz funcia de transfer i teorema valorii finale

((t) = (1.79)

n care Xi(s) = v/s2 este transformata Laplace a lui xi(t) = vt.

Simplificnd relaia (1.79), se obine:

((t) / v = (1.80)

Aceast limit nu exist pentru n=0; adic un sistem tip 0 are mrime de ieire infinit, n regim staionar, deoarece pentru n=0, rezult:

(v / v (1.81)

Pentru un sistem tip 1, n=1, expresia (1.80) are o valoare finit, constant dat de:

(v / v = 1 / K(1.82)

Deci (v / v = 1 / Kv , de unde rezult:

Kv = v / (v(1.83)

Din relaiile (1.80) i (1.83) rezult coeficientul abaterii de vitez,

Kv = (1.84)

iar Kv=0 pentru n=0; Kv=K pentru n=1; Kv= pentru n2.

3) Coeficientul abaterii de acceleraie - Ka

Pentru a determina coeficientul abaterii de acceleraie Ka , s considerm c mrimea de intrare este o funcie treapt de acceleraie (relaia (1.71) xi=at2/2).

Transformata Laplace a acestei funcii este dat n ANEXA 1:

Xi(s)=a / s3(1.85)

Abaterea staionar de poziie va fi:

(a = ((t) = (1.86)

innd seama de expresia lui G(s) (relaia (1.72)), se obine:

(a / a =(1.87)

deoarece . Abaterea staionar de poziie datorit unei trepte de intrare de acceleraie, (a , este infinit att pentru sisteme tip 0 ct i pentru cele tip1. Pentru sisteme tip 2, abaterea staionar este finit, constant, dat de:

(a / a = 1 / K=1 / Ka(1.88)

Prin urmare, coeficientul abaterii de acceleraie, va fi:

(1.89)

iar Ka=0 pentru n=0; Ka=0 pentru n=1; Ka=K pentru n2.

Concluziile privitoare le abaterile staionare sunt rezumate n tabelul urmtor:

Abaterile staionare

nK0e0KvevKaea

0constant finitA/(1+K0)00

10constant finitv/Kv0

200constant finita/Ka

1.2.4. ABATERILE STAIONARE GENERALIZATE

Dac schema bloc prezint o form mai general, ca n figura 1.20, adic dac H 1, i un bloc cu funcia de transfer G2 este adugat la intrare, abaterile staionare au alt semnificaie. Mrimea de intrare n punctul de nsumare este G2Xi , iar mrimea de reacie n acelai punct este XeH. Mrimea de acionare:

E '= G2Xi - XeH(1.90)

Funcia de transfer a lui E ' n raport cu Xi este:

(1.91)

Pentru o funcie treapt de poziie de intrare (xi=A), mrimea de acionare staionar va fi:

(0' = (1.92)

Pentru funcii treapt de vitez (xi=vt), mrimea de acionare staionar se determin din funcia de transfer precum urmeaz:

('v / v = (1.93)

n mod similar, pentru funcii treapt de acceleraie (xi=at2/2) , mrimea staionar de acionare va fi dat de:

('a / a = (1.94)

Dei mrimea staionar de acionare nu corespunde abaterii staionare, mrimea sa va fi un criteriu de apreciere a performanelor sistemului.

1.2.5. ABATERILE STAIONARE DATORIT PERTURBAIILOR

SARCINII DE IEIRE

Perturbaiile care apar n sarcina sistemului produc de asemenea abateri staionare. S considerm, servosistemul din figura 1.6 (paragraful 1.1.1). Mrimea de intrare este o poziie xi(t), iar mrimea de ieire xe(t) este o poziie determinat de un servomotor alimentat de un amplificator, a crui mrime de intrare este chiar semnalul de acionare (egal cu abaterea (=xi - xe). Acest sistem, cu H=1, este reprezentat prin schema bloc n figura 1.21, n care Ks reprezint factorul de transfer al poteniometrelor de intrare i de ieire, iar A este factorul de amplificare al amplificatorului. Din punct de vedere fizic, un servosistem poate fi considerat similar unui resort de torsiune. Dac exist o abatere, motorul va dezvolta un cuplu pentru a anula abaterea. n particular, dac un cuplu este aplicat la arborele de ieire, va rezulta o abatere ((= -xe , deoarece sistemul a fost n repaus nainte de aplicarea cuplului , este corect a se considera xi=0). Aceast abatere va produce o tensiune la bornele motorului care va dezvolta un cuplu pentru a echilibra cuplul aplicat.

n mod similar, dac un resort de torsiune este solicitat printr-un cuplu, resortul se va roti cu un unghi xe , pn cnd cuplul elastic Kxe dezvoltat de resort va egala cuplul aplicat. Constanta de elasticitate a resortului K este egal cu cuplul raportat la unitatea de unghi. Pentru servosistem, cuplul raportat la unitatea de unghi este M0 / (0 = K1KsA, unde (0 -abaterea staionar, (0 =((t) =, unde , , determinat cu ajutorul funciei de transfer pentru un sistem liniar a crui funcie de intrare este un cuplu, respectiv: , K1,K2 - constante care se pot determina din caracteristicile mecanice liniarizate, J - cuplul de inerie, iar M - transformata Laplace a cuplului perturbator. Dac cuplul este o funcie diferit de o constant, abaterea rezultat prin aplicarea acestui cuplu la arborele de ieire se poate calcula prin metode obinuite.

1.2.6. CERINELE DE CALITATE ALE SISTEMELOR DE

REGLARE AUTOMATE

Aceste cerine se mpart n general dup natura mrimilor la care se refer: mrimi n domeniul frecvenei (adic formulate n funcie de frecven), mrimi n domeniul timp (adic formulate n funcie de rspunsul n timp).

Cerinele de calitate n domeniul frecvenei.Cerinele sistemelor de reglare automate, sunt similare cu performanele amplificatoarelor electronice realizate pe baza limii benzii de trecere (de exemplu de la 2020000 Hz) sau a filtrelor. Cele mai multe filtre (trece-band, trece-jos, etc.) sunt przentate n funcie de caracteristica amplitudine-frecven. L(imea benzii (figura 1.22) reprezint domeniul de frecven n care rspunsul n amplitudine nu scade sub 3 dB (0.707 din amplitudine) n raport cu cea corespunztoare frecvenei centrale a benzii de trecere. Ea indic n anumite limite, viteza de rspuns a sistemului. n teoria filtrelor, l(imea benzii evideniaz capacitatea sistemului de a reproduce forma semnalului de intrare. n unele cazuri se indic nu numai l(imea benzii de trecere, dar i alte date suplimentare legate de tierea frecvenelor. De exemplu, se indic uneori panta caracteristicii atenuare-frecven de 12dB /octav, (octava se definete ca intervalul n care frecvena devine dubl).

Cerine de calitate n domeniul timp.Adesea performanele unui sistem sunt exprimate n funcie de mrimile specifice domeniului timp, adic a rspunsului n timp la o funcie treapt sau ramp. n general se impune ca regimul tranzitoriu s satisfac exact anumite cerine. Este, totui, imposibil s se determine regimul tranzitoriu nainte de a se realiza cea mai mare parte a proiectrii. Sistemele de ordinul doi, reprezint totui punctul de plecare n proiectarea practic. Un rspuns tipic la o funcie treapt unitar de intrare pentru un anumit factor de amortizare este reprezentat n figura 1.23.

Suprareglarea maxim( ( , n procente din valoarea final, msoar depirea maxim realizat la ieire n raport cu valoarea regimului staionar la o treapt unitar de intrare.

Timpul de cre(tere tc , definit ca timpul necesar rspunsului la o treapt unitar s creasc de la 10 la 90 procente din valoarea final.

Timpul de linitire tl , definit ca timpul necesar ca rspunsul s ating iar valoarea final dup parcurgerea suprareglrii maxime.

Factorul de amortizare (, este definit prin relaia (1.19), poate fi calculat din rspunsul n timp, atunci cnd se cunoate raportul a dou maxime succesive A1 i A2 (figura 1.23).

( = (1.95)

1.3. METODA LOCULUI RDCINILORAa cum s-a artat i n paragraful 1.1.8, proiectarea unui sistem nchis necesit ncercri repetate. Trebuie determinat rspunsul sistemului la diferite mrimi de intrare, iar dup cteva ncercri i ajustri, poate s rezulte un sistem acceptabil. Importante, ns, sunt mijloacele rapide de analiz a rezultatelor diferitelor variante ncercate.

Unul dintre aceste mijloace rapide de analiz l reprezint chiar metoda locului rdcinilor. Aceast metod evideniaz comportarea tranzitorie a ntregului sistem, efectele modificrii factorului de amplificare sau a constantelor de timp ale elementelor componente, iar configuraia reelelor de corecie poate fi rapid analizat.

1.3.1. LOCUL RDCINILOR

Sistemul de ordinul doi (figura 1.24), a fost studiat i i s-a determinat rspunsul n timp

(paragrafele 1.1.2 i 1.1.3). Valoarea factorului de amplificare A, necesar pentru a asigura stabilitatea sistemului este o mrime important care trebuie determinat n cazul analizei i sintezei sistemului. Funcia de transfer a ansamblului motor-sarcin Km / s(s( +1), ( - constanta de timp i Km factorul de transfer al motorului sunt date, odat ce motorul a fost ales pe baza unor consideraii legate de cerinele de putere ale sarcinii.

Cum se schimb rspunsul tranzitoriu, care depinde direct de localizarea rdcinilor ecuaiei caracteristice, atunci cnd mrimile A i Ks variaz ? Pentru sistemul din figura 1.24 rspunsul poate fi obinut pe cale analitic fr dificulti.

Funcia de transfer care leag mrimea de ieire de cea de intrare este simplu de stabilit:

(1.96)

Rspunsul la un impuls unitar se determin din relaia (1.96), lund Xi(s)=1, i calculnd transformata Laplace invers:

xe(t) = L-1(1.97)

Mai nti trebuie gsite rdcinile numitorului expresiei (1.97), s2+s/(+ = 0 , ecuaie care are urmtoarele rdcini:

, i = 1, 2(1.98)

Localizarea celor dou rdcini ale ecuaiei determin comportarea n regim tranzitoriu; prin urmare, aceast localizare d informaii asupra gradului de stabilitate a sistemului. Dac rdcinile se afl n semiplanul drept s, rspunsul este de forma:

xe(t)= e+( (Asin(t + Bcos(t)(1.99)

Dac rdcinile s-ar afla pe axa imaginar, rspunsul are forma:

xe(t)= Asin(t + Bcos(t(1.100)

n ambele cazuri, sistemul este nesatisfctor, deoarece ecuaia (1.99) caracterizeaz un rspuns tranzitoriu oscilatoriu cu amplitudini cresctoare, iar ecuaia (1.100) evideniaz un rspuns sinusoidal neamortizat. Localizarea rdcinilor (figura 1.17, m5, m2, paragraful 1.1.7) determin natura stabilitii sistemului. Factorul de amortizare, pulsaia proprie neamortizat i pulsaia de oscilaie pot fi stabilite din cunoaterea acestei localizri a rdcinilor.

Locul rdcinilor n funcie de variaia mrimii (AKs) permite a se trage concluzii pe cale analitic, asupra comportrii tranzitorii a sistemului pentru toate valorile parametrului (AKs). n practic, locul rdcinilor poate fi dedus pe cale grafic, ceea ce ne d posibilitatea determinrii poziiei rdcinilor pentru diferite valori particulare ale amplificrii.

Deci, metoda locului rdcinilor se bazeaz pe cunoaterea localizrii rdcinilor sistemului, cu calea de reacie deschis. n cele mai multe cazuri, localizarea se determin uor din funcia de transfer a sistemului deschis, GH. Funcia G(s) reprezint funcia de transfer a cii directe; iar H(s) este funcia de transfer a cii de reacie. Aceste funcii, incluse n schema bloc din figura 1.25, au urmtoarele expresii pentru exemplul din figura 1.24:

;H(s)=1;K =(1.101)

n expresiile urmtoare, faptul c G(s) i H(s) sunt funcii de s, va fi subneles, adic, n loc de G(s) se va scrie simplu G, i n loc de H(s) se va scrie H.

S considerm expresia care leag mrimea de ieire de cea de intrare i care se deduce din schema bloc din figura 1.25:

(1.102)

n care 1+GH=0 reprezint ecuaia caracteristic. Natura stabilitii sistemului depinde de rspunsul lui la un impuls (componenta tranzitorie). Localizarea rdcinilor ecuaiei 1+GH=0 determin gradul de stabilitate. Un numr complex de forma (a+jb) poate fi exprimat n forma polar precum urmeaz:

, n care (1.103)

n general, rdcinile ecuaiei caracteristice , sunt numere complexe (numerele reale sunt cazuri particulare ale numerelor complexe) i pot fi scrise n forma polar:

si=Aiej; i=1, 2(1.104)

n care Ai - este modulul, iar (i - unghiul rdcinii. n mod similar, fiecare termen de forma (s+a) poate fi scris n form( polar dac sunt cunoscute modulul i unghiul de faz corespunztoare, adic Aej(. Funcia de transfer a sistemului deschis GH poate fi exprimat ca un ct de polinoame dezvoltate n factori, de exemplu:

(1.105)

Relaia (1.105) poate s fie scris din nou n urmtoarea form, care va fi totdeauna utilizat n analiza efectuat avnd la baz metoda locului rdcinilor:

(1.106)

Fiecare factor al funciei GH este considerat ca un numr complex i scris n forma polar tipic:

s+1/(1= A1ej(1.107)

Aadar, ntreaga funcie GH este o mrime complex i poate fi adus la forma polar,

(1.108)

(1.109)

Ecuaia algebric din care se determin rdcinile, 1+GH 1+ Aej(= 0, deci

GH=(1.110)

permite scrierea urmtoarelor dou relaii importante:

Unghiul lui GH, (notat cu () n care:

K=0,(1.111)

modulul lui GH, (notat cu ()

(1.112)

adic argumentul lui GH este un multiplu impar de 180o, iar modulul lui GH este egal cu unitatea. Aceste dou relaii stau la baza metodei locului rdcinilor.

Din comparaia relaiei (1.109) cu relaiile (1.111) i (1.112) rezult o ecuaie de unghiuri:

n care K=0, (1.113)

i o ecuaie de module:

(1.114)

Locul rdcinilor se traseaz prin determinarea locului tuturor punctelor si din planul s care satisfac relaia (1.113). Dup ce locul a fost complet trasat, relaia (1.114) este folosit pentru a grada locul n valori ale factorului de amplificare K care corespund - valorilor particulare ale rdcinilor pe locul construit.

Pentru a se evita confuziile, vom defini diferitele singulariti (puncte singulare) dup cum urmeaz:

un zero este valoarea lui s pentru care num(rtorul lui GH se anuleaz;

un pol este valoarea lui s pentru care numitorul lui GH se anuleaz;

o rdcin este valoarea lui s care anuleaz expresia (1+GH). Trebuie reinut faptul c, dac si , reprezint un pol al lui GH, atunci si este i un pol al expresiei (1+GH), deoarece adugarea unei cantiti la infinit d tot infinit.

Locul de transfer al tuturor punctelor pentru care suma algebric a unghiurilor segmentelor determinate de zerouri i poluri, i respectiv punctele locului, este egal cu un multiplu impar de 180o, reprezint locul rdcinilor.

n cele de mai sus s-au prezentat aspectele eseniale ale construciei locului rdcinilor; totui, o serie de reguli care reduc timpul de construcie prin ncercri succesive, sunt importante i vor fi prezentate n paragraful urmtor.

1.3.2. REGULI PENTRU CONSTRUCIA RAPID

A LOCULUI RDCINILOR

n cele ce urmeaz vor fi prezentate regulile, care ne dau posibilitatea s trasm rapid un loc al rdcinilor.

Regula 1 - Curbele continue, care reprezint ramurile locului pleac din fiecare pol al funciei GH, pentru care K=0. Ramurile locului, care sunt funcii univoce de factorul de amplificare, se termin n zerourile lui GH, pentru care K=. Regula 2 - Locul rdcinilor include toate punctele axei reale care se afl la stnga unui numr impar de poli i zerouri.

Regula 3 - Atunci cnd K tinde ctre infinit, ramurile locului tind asimptotic ctre linii drepte cu unghiurile: , cu K=0,, pn se obin toate unghiurile din intervalul 02(, n care np reprezint numrul de poli i nz numrul de zerouri.

Regula 4 - Abscisa punctului de pe axa real din care diverg liniile asimptotice este dat de: CG= Acest punct este denumit centrul de greutate al configuraiei zerourilor i polilor.

Regula 5 - punctul de ramificare sb se determin din ecuaia:

(1.115)

n care reprezint modulul vectorului determinat de punctul sb de ramificare i zeroul sau polul de pe axa real s=.

Cnd zerourile i polii complexi sunt plasai relativ departe de axa real, aceti poli i zerouri pot fi neglijai n calculul punctului de ramificare.

Atunci cnd zerourile i polii complexi sunt apropiai de axa real ei trebuie s fie luai n consideraie.

De asemenea, dac exist numai un singur pol sau zero pe axa real, trebuie s se includ n calcul i zerourile i polii complexi.

Regula 6 - Dou rdcini prsesc sau ating normal (sub unghiuri de +90o) axa n punctul de amplificare.

Regula 7 - Unghiurile de plecare ale ramurilor din polii complexi i unghiurile de sosire ale acestora n zerourile complexe pot fi determinate scznd 180o din suma unghiurilor vectorilor construii ntre polul (zeroul) considerat i respectiv toi ceilali poli sau zerouri.

n ANEXA 2, vor fi prezentate locurile rdcinilor pentru cteva sisteme simple.

1.4. STABILITATEA ; METODA ANALIZEI N

DOMENIUL FRECVENEI

1.4.1. APROXIMAREA ASIMPTOTIC

Funciile cele mai des ntnlite n studiul sistemelor de reglare sunt prezentate mai jos:

factori independeni de frecven K;

factori corespunznd unor zerouri i poli simpli n origine - j( sau 1/(- j();

factori liniari corespunznd unor zerouri simple (j((1+1);

factori liniari corespunznd unor poli simpli (j((2+1)-1; factori cuadratici

[(j(/(n)2+2(((/(n)+1]( 1 .

Caracteristicile rspunsului la frecven pentru fiecare din aceti factori vor fi trasate punct cu punct. Din nsi aliura acestor curbe caracteristice ale modulului exprimat n dB (dB=log10A2/A1), n funcie de logaritmul frecvenei rezult o aproximare asimptotic liniar care permite o trasare rapid. n toate aceste cazuri este necesar s utilizm hrtie cu scar logaritmic n lungul unei axe (pentru frecven) i cu scar liniar n lungul celeilalte axe (modulul n dB sau unghiul de faz n grade).

Factori independeni de frecven Constanta K poate fi reprezentat grafic pe baza relaiei:

KdB=20log10K(1.116)

n care, K reprezint produsul tuturor factorilor independeni de frecven ai funciei GH(j(), scris n forma urmtoare:

(1.117)

Zerouri i poli n origine .

Pentru zerouri i poli n origine, (j()n sau 1/(j()n; caracteristicile modulului i fazei se determin calculnd logaritmul acestor funcii:

ln(j()( n = (n ln( ( jn90o(1.118)

Pentru zerouri i poli simpli, n=1. Modulul n decibeli este (n20log10( , iar unghiul de faz (n90o; semnul + se ia pentru zerouri, iar semnul - pentru poli.

Zerouri simple

Pentru factori corespunztori unor zerouri simple de forma (j((1+1) se utilizeaz o aproximare asimptotic liniar.

Pentru ((11,

20log1020log10((1(1.120)

Procedura ce trebuie urmat pentru trasarea caracteristicii amplitudine-frecven pentru factorul (j((1+1) este urmtoarea:

a) se determin pulsaia de frngere, (=1/(1;

b) se traseaz o pant de 6 dB/octav care trece prin punctul de frngere spre domeniul pulsaiilor nalte, i o dreapt n lungul axei de 0 dB n domeniul pulsaiilor joase.

Procedura ce trebuie urmat pentru trasarea caracteristicii faz-frecven este urmtoarea:

a) se fixeaz pe diagram punctul care corespunde pulsaiei de frngere i un al doilea punct cu o pulsaie mai mic cu o decad;

b) se traseaz un segment de dreapt cu panta de +45o/decad (+13,2o/octav) care ncepe n punctul cu o pulsaie mai mic cu o decad dect pulsaia de frngere i care se continu pn se atinge +90o. Dup aceea, caracteristica prezint un palier.

Poli simpli . Factorii corespunztori unor poli simpli, care au forma 1/(j((2+1), pot fi trasai ntr-un mod similar cu factorii referitori la zerouri simple. Deoarece logaritmul inversului unei mrimi este egal i de semn contrar cu logaritmul mrimii:

20log[1/(j((2+1)] = - 20log(j((2+1)(1.121)

caracteristicile de frecven pentru factorul corespunztor unui pol simplu sunt similare cu cele pentru un factor referitor la un zero simplu cu singura deosebire c primele sunt simetricele ultimelor n raport cu axa absciselor.

Pentru frecvene mai joase, (1/(2 , asimptota este o dreapt de pant( -6 dB/octav.

n ceea ce privete caracteristica faz-frecven, ea e simetric de asemenea caracteristicii corespunztoare zeroului simplu n raport cu axa absciselor. Deoarece factorul referitor la polul simplu se afl la numitorul lui GH, semnul unghiului de faz este schimbat:

( = -arctg((2(1.122)

Ecuaia (1.122) corespunde unei curbe arctangent care pleac de la un unghi de faz i se apropie de -90o pentru frecvene foarte nalte. Unghiul de -45o este atins la o pulsaie egal cu cea de frngere. Aproximarea prin segmente de dreapt care a fost utilizat pentru zeroul simplu este valabil i n acest caz.

Dac funcia de transfer are zerouri i poli de ordin superior, caracteristica amplitudine-frecven, i repectiv faz-frecven sunt similare cu cea pentru zero sau pol simplu.

Zerouri i poli cuadratici . Uneori, n funcia de transfer GH(j(), apar factori referitori la polii cuadratici care au forma:

(n2 / (-(2+2j((n(+(n2) = 1 /

/[-((/(n)2+2j((/(n+1](1.123)

Caracteristicile de frecven se traseaz dup ce se precizeaz pulsaia de frngere i factorul de amortizare pentru factorul cuadratic dat, pe baza comporarrii expresiei sale, cu expresia (1.123).

Deoarece cele mai multe funcii de transfer GH(j(), determinate n studiul sistemelor de reglare, sunt compuse din factori

cuprinznd zerouri i poli, pentru determinarea modulului n dB i a fazei ca funcii de logaritmul frecvenei, trebuie luai n consideraie numai factorii enumerai mai sus. Pe baza cunoaterii caracteristicilor de frecven a acestor factori, se pot determina caracteristicile funciei GH(j() prin adunarea convenabil a curbelor reprezentnd modulele i fazele factorilor componeni.

1.4.2. CARACTERISTICILE POLARE I CARACTERISTICILE

AMPLITUDINE - FAZ

Deoarece informaii utile n leg(tur cu stabilitatea pot fi obinute direct din caracteristicile de frecven, n mod frecvent nu se mai face apel la caracteristicile polare. Cu toate acestea, n unele situaii, aceste ultime caracteristici sunt necesare. Ele se traseaz punct cu punct, adic introducnd n GH(j() diferite valori pentru (, calculnd apoi (GH( i argGH(j() i reprezentnd pe diagram punctul corespunztor, aa cum se vede n figura 1.26.

Aceast procedur este destul de laborioas i trebuie evitat. Caracteristica polar se poate trasa mai simplu din caracteristicile de frecven care permit citirea direct a amplitudinii (dup convertirea decibelilor n unit(i obinuite) i a fazei corespunztoare diferitelor valori ale pulsaiei (.

O alt metod de a studia rspunsul la frecven a unui sistem se bazeaz pe caracteristica amplitudine (n dB) - faz. n aceast caracteristic, axa ordonatelor este rezervat amplitudinilor, iar axa absciselor este gradat n unghiuri de faz. Pulsaia ( reprezint parametrul caracteristicii. Avantajul acestei caracteristici const n faptul c, atunci cnd factorul de amplificare K variaz, caracteristica sufer doar o translaie paralel cu axa ordonatelor (n sus pentru K cresctor).

1.4.3. PLANUL "s" I PLANUL GH(s)

Planul "s" este utilizat atunci cnd se studiaz stabilitatea din punctul de vedere al metodei locului rdcinilor. Rdcinile ecuaiei 1+GH(s)=0 sunt localizate n acest plan "s". Dac toate rdcinile se afl n semiplanul stng, regimul tranzitoriu datorat unui impuls la intrarea sistemului dispare n timp i sistemul este deci stabil. Dac vreo rdcin se afl n semiplanul drept, termenul exponenial respectiv are o valoare care crete odat cu timpul. Perechile de rdcini complexe de ordinul mm pe axa imaginar, dar nu n origine, au drept corespondene oscilaii sinusoidale a cror amplitudine nici nu crete, nici nu se micoreaz n timp. Perechile de rdcini complex conjugate pe axa imaginar sau rdcini n origine, de ordinul doi, i mai mare, corespund unui rspuns a crui mrime crete n timp, oscilatoriu sau monoton; n consecin sistemul este instabil. Dac rdcinile de pe axa imaginar sunt de ordinul mm, i toate celelalte rdcini se afl n semiplanul stng, rspunsul sistemului este m(rginit i sistemul este stabil la limit, adic o situaie la limit dintre stabilitate i instabilitate. Suntem interesai n a ti dac vreo rdcin se afl n semiplanul drept, deoarece, n acest caz, sistemul este instabil. Pentru a stabili dac vreo rdcin a ecuaiei 1+GH=0 se afl n semiplanul drept, considerm conturul din figura 1.27, care include toate rdcinile posibile din semiplanul drept. (raza poriunii circulare a conturului R). Acestui contur din planul "s" i corespunde un contur n planul GH. O curb nchis C1 din planul "s" (figura 1.28 a) se transform ntr-o curb nchis C2 n planul GH (figura 1.28 b). Dac un punct se deplaseaz n lungul curbei C1, n direcia sgeii, punctul corespunztor din planul GH se deplaseaz n lungul curbei C2 ntr-o direcie care depinde de funcia GH(s). Notnd cu sj o rdcin a ecuaiei 1+GH=0, i presupunnd c prin punctul sj din planul "s" trece chiar conturul C1, atunci vom avea: 1+GH(sj)=0, pentru s=sj , de unde GH(sj)= -1, i conturul C2 din planul GH trece prin punctul GH= -1.

Ecuaia caracteristic tipic pentru un sistem nchis este:

1+GH = =(1.124)

n care -s1, -s2,... reprezint rdcinile, iar -sa, -sb,... sunt polii funciei (1+GH). Polii funciei GH sunt identici cu ai funciei (1+GH), deoarece, lund s=si n ambele funcii, se obine un modul infinit. Fiecare factor din expresia (1+GH) este o mrime complex i poate fi reprezentat printr-un vector. Aceti vectori au originea n punctele fixe -s1, -s2,... sau n polii -sa, -sb,... i vrful n punctul variabil s. Presupunem c punctul variabil s se deplaseaz, n sensul rotirii acelor ceasornicului, pe un contur nchis n jurul lui s2. Vectorul s+s2 realizeaz o rotaie complet n sensul rotirii acelor ceasornicului, deoarece conturul ales nconjoar rdcina -s2. Cum toate celelalte rdcini i toi ceilali poli sunt n afara conturului, ceilali vectori nu nregistreaz nici o rotaie. Deoarece termenul s+s2 din relaia (1.124) i schimb faza cu 360o (corespunztor unei rotaii complete n jurul lui -s2), funcia (1+GH) nregistreaz i ea o variaie a fazei cu 360o. Cum rdcinile sunt date de numrtorul expresiei (1.124), o rotaie complet n sensul acelor ceasornicului n jurul lui -s2 corespunde unei nconjurri n acelai sens a originii n planul

(1+GH), care este legat de planul GH (figura 1.29 a,b).

n aceast figur o nconjurare a originii planului (1+GH) n sensul acelor ceasornicului corespunde unui nconjur n acelai sens a punctului -1+j0 din planul GH. Un nconjur n sensul acelor ceasornicului a unei rdcini n planul s provoac un nconjur n acelai sens a punctului -1 n planul GH. Un nconjur n sensul acelor ceasornicului al unui pol n planul s, conduce la un nconjur n sens invers acelor ceasornicului a punctului -1 din planul GH.

n sens general, putem afirma c: un nconjur n sensul acelor ceasornicului a unui domeniu din planul s corespunde cu nN=nR - nP nconjururi n acelai sens a punctului -1 din planul GH, n care nR - este numrul de rdcini aflate n domeniul considerat din planul s, iar nP numrul de poli din acelai domeniu. n general nN este pozitiv, dac nR > nP n semiplanul drept. n acest caz punctul -1 este nconjurat n acelai sens ca i domeniul din planul s. Dac nN=0, punctul -1 nu este nconjurat. Atunci cnd nN este negativ, nR < nP, punctul -1 este nconjurat n sensul opus n raport cu domeniul din planul s.

1.4.4. CRITERIUL DE STABILITATE NYQUIST

Metoda analizei n domeniul frecvenei a stabilitii unui sistem de reglare automat se bazeaz pe criteriul Nyquist. Utilizarea acestui criteriu ne permite s determinm pe o cale simpl, grafic, stabilitatea unui sistem liniar (pentru c aceste sisteme sunt studiate n lucrarea de fa). Criteriul Nyquist de stabilitate, poate fi formulat astfel: dac funcia de transfer a sistemului deschis GH(s) este exprimat ca un ct de dou polinoame dezvoltate n factori simpli, n funcie de variaia lui s,

(1.125)

i variabila s parcurge un contur format din axa imaginar de la -j la +j i din partea dreapt a unui cerc cu conturul n origine de la s=Rej(/2 la s=Re-j(/2 (cu R=), atunci transformarea conform a acestui contur n planul GH(s) nconjoar punctul -1+j0 n sensul acelor ceasornicului de

nN=nR - nP(1.126)

ori, n care nR - reprezint numrul de rdcini ale ecuaiei 1+GH=0 care se afl n semiplanul drept al planului s, iar nP - numrul de poli ai lui GH din acelai semiplan. Dac nN este negativ atunci n planul GH nconjururile au loc n sens invers acelor ceasornicului.

Deoarece am luat n considerare, numai sisteme avnd ecuaii caracteristice cu coeficieni reali constani, rdcinile ecuaiei caracteristice trebiue s fie sau reale sau complex conjugate. Localizarea rdcinilor, prezint n acest caz, o perfect simetrie n raport cu axa real i este suficient utilizarea unui contur mai simplu, limitat de axa imaginar pozitiv i poriunea superioar a semicercului de raz infinit (figura 1.27) pentru a determina dac n semiplanul drept se afl vreo rdcin a ecuaiei 1+GH(s)=0.

Criteriul Nyquist d informaii referitoare la diferena numrului de rdcini i de poli ai expresiei 1+GH. Dac ns GH poate fi exprimat ca un ct de polinoame dezvoltate n factori (aa

cum se ntmpl deseori) i cum polii lui 1+GH sunt identici cu polii lui GH, numrul de poli din semiplanul drept ai lui GH poate fi determinat prin analiza expresiei (1.125). n aceste condiii, numrul de poli nN cu partea real pozitiv poate fi uor gsit. Numrul de nconjururi nN n raport cu punctul -1+j0 n planul GH(s) se poate determina din transformata conform n planul GH. Prin urmare doi din termenii relaiei (1.126) sunt cunoscui, astfel c numrul de rdcini ale ecuaiei 1+GH=0 n semiplanul drept al planului s rezult imediat: nR=nN+nP (1.127).

Ca o concluzie, utiliznd caracteristicile de frecven (diagramele Bode) corelate cu criteriul Nyquist de stabilitate, putem observa dac vreo rdcin a ecuaiei caracteristice se afl n semiplanul drept al planului s, i deci dac sistemul este sau nu stabil. Locul rdcinilor i caracteristicile de frecven asociate cu criteriul Nyquist pentru determinarea stabilitii sunt perfect complementare.

Metoda locului rdcinilor poate fi utilizat atunci cnd sistemul de reglare automat este proiectat pe baza funciilor de transfer determinate analitic.

Metoda analizei n domeniul frecvenei poate fi utilizat atunci cnd sistemul este studiat pe cale experimental sau cnd se determin experimental anumite funcii de transfer la frecven( care nu pot fi deduse analitic. Numrul de nconjururi nN, n raport cu punctul -1 se determin trasnd o dreapt din acest punct cu o direcie oarecare; nN este egal cu diferena dintre numrul de intersecii ntr-un sens dintre caracteristica polar i dreapta considerat, i numrul de intersecii de sens contrar.

1.4.5. CRITERIUL DE STABILITATE BAZAT PE CARACTERISTICILE

AMPLITUDINE FRECVEN I FAZ FRECVENCaracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven pentru funcii de transfer la frecven pot fi utilizate n analiza stabilitii unui sistem n dou moduri. n primul rnd, dup cum am mai afirmat, aceste caracteristici pot fi folosite pentru trasarea caracteristicii polare i apoi pentru a aplica criteriul Nyquist. Se poate ns formula i un criteriu de stabilitate "echivalent", aplicabil direct la caracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven. n anumite cazuri, ar putea fi necesar trasarea caracteristicii polare n scopul verificrii utilizrii caracteristicilor de frecven. Acest test este cerut n mod frecvent pentru sistemele stabile condiionat.

Criteriul de stabilitate Nyquist se bazeaz pe numrul de nconjururi n sensul acelor ceasornicului a punctului -1+j0 din planul GH de ctre caracteristica polar. Dac nP=0, aa cum se ntmpl deseori, i dac curba caracteristicii polare nconjoar sau trece prin acest punct, sistemul are n mod sigur cel puin o rdcin n semiplanul drept sau pe axa imaginar i deci este instabil sau stabil la limit. Punctul din diagramele Bode (reprezentnd caracteristicile de frecven) care corespunde punctului critic -1+j0 din planul GH se poate determina calculnd logaritmul lui -1, adic:

log10(-1)=log1e-j180=0(-j)180o(1.128)

Punctul critic n diagrama Bode are o amplitudine de 0 dB i o faz de K180o, n care K este un numr impar, ambele de aceeai frecven. Dac caracteristica polar a lui GH(j() nconjoar punctul -1+j0, atunci modulul lui GH(j() va fi mai mare dect unitatea atunci cnd unghiul de faz este de 180o. Prin urmare, nconjurarea punctului -1 n planul GH este echivalent cu o amplitudine mai mare de 0 dB, atunci cnd unghiul de faz este de 180o n diagrama Bode. n aceste condiii, ecuaia caracteristic a sistemului are o rdcin n jum(tatea din dreapta a planului s i sistemul este instabil, dac nu exist nici un pol n acelai domeniu. Dac amplitudinea este de exact 0 dB, atunci cnd faza este de 180o, caracteristica polar din planul GH trece exact prin punctul critic -1+j0 i rdcinile se afl pe axa imaginar.

1.5. SINTEZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE

1.5.1. PROBLEMATICA SINTEZEI SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE

Problematica major a sistemelor de reglare automate (SRA) o constituie, chiar proiectarea acestora, avnd ca punct de plecare specificaiile privind procesul tehnologic n care urmeaz a fi folosit SRA, ct i o serie de condiii tehnico-economice care se impun n respectiva aplicaie. Condiiile amintite se refer la indicii de calitate (performan) i restriciile n care sistemul proiectat va trebui s se ncadreze.

O prim clasificare a metodelor de proiectare a SRA, face distincia ntre:

metode de proiectare direct (numite i de sintez), nelegndu-se prin acest termen elaborarea n mod deductiv, riguros a modelului matematic al dispozitivului de automatizare, pe baza performanelor specificate;

metode de proiectare indirect care aleg - pe baza consideraiilor tehnice - elementele obligate a face parte din structura sistemului, dup care se ncearc completarea structurii cu elemente care s asigure satisfacerea performanelor cerute (ncercri care se execut n cadrul unei proceduri iterative).

Cercetrile n domeniul proiectrii sistemelor s-au axat pe dou direcii:

stabilirea unor criterii de performan care s caracterizeze ct mai edificator funcionarea sistemului i s permit totodat evidenierea unei legturi directe ntre valorile respectivilor indici de performan i poziia punctelor singulare (poli i zerouri) ale sistemului n planul complex s.

elaborarea unor metode eficiente de sintez care s conduc la stabilirea structurii i valorilor parametrilor unui dispozitiv de automatizare capabil s asigure configuraia dorit a punctelor singulare ale sistemului.

1.5.2. METODA DE SINTEZ A SISTEMELOR DE REGLERE

AUTOMATE PRIN NCERCRI

Date fiind diversitatea i complexitatea sistemelor automate, o metod( unic - general aplicabil - de proiectare (constituind o adev(rat procedur de sintez) este greu de furnizat. n mod curent, se pot da numai nite indicaii generale de proiectare, ceea ce conduce la aa-numita "metod de sintez a sistemelor de reglare automate prin ncercri", al crei algoritm de baz este redat n ANEXA 3.

Punctul de plecare n orice activitate de proiectare a unui sistem automat l constituie stabilirea indicilor de performan. Pe baza informaiilor furnizate de ctre beneficiarul instalaiei automate - funcia de baz a sistemului (reglare sau urmrire), modelul procesului de automatizat, natura i modul de variaie al mrimilor perturbatoare, precizia cerut, viteza minim i maxim admise la variaia ieirii sistemului, .a. , proiectantul i propune valorile adecvate ale indicilor de performan. Pentru metoda de proiectare menionat, se face apel la indici de performan locali (abaterea staionar (0, suprareglarea maxim (, timpul de ntrziere ti, timpul de cretere tc, timpul de linitire tl). ntruct "sinteza prin ncercri" se face n domeniul frecvenelor, va trebui ca, n funcie de aceste date s se stabileasc i caracteristicile de frecven.

Cea dea doua etap, const n alegerea unei configuraii - respectiv a schemei structurale - a sistemului ce trebuie proiectat. Proiectantul alege elementele componente obligatorii pentru dispozitivul de automatizare, innd cont de o serie de factori tehnici i economici (felul instalaiei de automatizat, natura mrimilor de execuie i de ieire a sistemului, condiiile impuse asupra volumului i greutii dispozitivului de automatizare, sursa de energie disponibil pentru alimentarea instalaiei automate, costul prevzut pentru automatizare etc.), precum i de performanele stabilite. De menionat, n acest context, este importana deosebit a traductorului de pe legtura de reacie principal. n cadrul acestei etape, dup alegerea configuraiei sistemului, se procedeaz la stabilirea modelului matematic ce descrie funcionarea sistemului, pe baza datelor furnizate de constructori privitor la elementele componente. Forma final a modelului matematic este de obicei funcia de transfer a sistemului n stare deschis.

A treia etap n procesul de proiectare o constituie stabilirea valorilor coeficienilor din modelul matematic. n cadrul acestei etape distingem urmtoarele situaii:

Unii coeficieni reprezint parametri obligai i valorile lor sunt furnizate de ctre constructorul elementelor respective.

Pentru unele elemente, constructorul ofer o gam de valori constructive, proiectantul avnd de ales varianta care satisface cel mai bine performanele stabilite n prima etap de proiectare.

Unele elemente (de obicei regulatorul) sunt prevzute cu posibilitatea reglrii unor parametri; proiectantul va stabili deci valorile optime care satisfac performanele impuse sistemului.

Pentru unele procese tehnologice, nici utilizatorul, i nici constructorul nu cunosc valorile tuturor parametrilor instalaiei de automatizat i, n acest caz, este necesar o investigare pe baz de experimente a valorilor acestor parametri.

Cea de a patra etap este o etap de analiz, prin care se verific dac, modelul stabilit (cu valorile alese pentru parametri ce pot fi fixai dup dorin) satisface performanele impuse n cazul semnalelor de intrare i al perturbaiilor considerate. Dac aceste performane sunt satisf(cute, procesul de proiectare se consider ncheiat. Dar realizarea de prima dat a acestui caz este rar. n situaia cnd performanele specificate nu sunt satisfcute, se fixeaz noi valori pentru parametrii reglabili (operaie numit acordarea parametrilor) i eventual se aleg i alte valori pentru parametrii elementelor cu mai multe valori constructive opionale - adic se reia etapa a treia, dup care, n mod firesc, se face analiza de la etapa a patra. n caz c performanele nu pot fi satisf(cute prin ajustarea parametrilor reglabili sau prin alegerea unor elemente cu alte valori (fixe) ale parametrilor, se ncearc modificarea structurii sistemului prin introducerea unor elemente suplimentare (elemente de corecie) - realiznd iar(i etapa a doua de proiectare. Firete, urmeaz etapa a treia i o analiz a satisfacerii performanelor cerute - etapa a patra, cu o eventual revenire la etapa a treia, pentru reajustarea parametrilor reglabili.

1.5.3. AMPLASAREA ELEMENTELOR DE CORECIE

CORECIA SERIE . CORECIA PRIN REACIE

Elementele de corecie pot fi amplasate n serie pe legtura direct (figura 1.30) sau pe o leg(tur de reacie secundar (figura 1.31).

Nu se poate da o regul pentru alegerea uneia dintre aceste posibiliti, aceast alegere depinznd de condiiile tehnico-economice particulare fiecrei aplicaii. Unii din factorii ce trebuie luai n considerare pentru alegerea amplasrii elementelor de corecie sunt:

Procedurile de proiectare pentru un compensator serie sunt mai directe dect pentru un compensator pe reacie - adic caracteristicile lui se calculeaz mai uor n primul caz.

Adesea, se obine o durat mai mic a regimului tranzitoriu al sistemului corectat prin compensarea pe reacie.

Amplificarea elementelor de corecie pe legtura direct, impune adesea, introducerea unui amplificator pentru adaptare sau pentru mrirea amplificrii; astfel de amplificatoare nu sunt necesare n caz c elementul de corecie se instaleaz pe o legtur de reacie.

n cele mai multe cazuri, elementele de compensare serie sunt reele electrice simple (pasive) R, L, C - ieftine, uor de introdus n sisteme i simplu de modificat.

Gradul de stabilitate i de percizie a funcionrii sistemului, n condiiile unor perturbaii i neliniariti pronunate, se pot mbunti prin compensare pe reacie.

n cazurile cnd utilizarea unui compensator serie impune n sistem un factor de amplificare mai mare dect la utilizarea unui compensator pe reacie, se va ine cont c, n prima variant, zgomotele din sistem pot deveni deosebit de mari. De asemenea, se va ine cont c se pot instala, pe reacii, compensatoare cu caracteristica de frecven care s atenueze zgomotele la frecvene mari.

La aplicarea compensrii pe reacie este adesea necesar s se menin tipul (egal numrul de poli n origine ai funciei de transfer n circuit deschis) sistemului, de baz, fapt ce implic existena n funcia de transfer a compensatorului, a unui factor derivativ de ordin cel puin egal cu tipul sistemului de baz.

Elementul de corecie serie sau cel de pe reacie, rezultat n urma proiectrii, poate s nu aib o implementare comod din punct de vedere tehnic, sau s fie chiar nerealizabil.

SURS EXTERN

DE PUTERE

xI xe

PUTERE PUTERE

MIC MARE

Fig. 1.1

AMPLIFI

CATOR

ELEMENT DE

EXECUIE

SARCINA

Turaie E Turaie

Prescri Real

Uin Ue Abatere

POTENIOMETRU

Fig. 1.2

TAHOGENERATOR

SUMATOR

SERVOMOTOR

VENTIL

VENTIL

MOTOR

POMP

n [rot/min]

5000

4000

3000

2000

1000

0

30 60 90 120 150 ( [grade]

Fig. 1.3

mrime de surs extern de putere mrime real

ieire de ieire

prescris

abatere

mrime de abatere=diferena dintre mrimea de ieire

intrare prescris i cea real

Fig. 1.4

ELEMENT DE

COMPARAIE

AMPLIFICATOR

SERVOMOTOR

SARCINA

ELEMENT DE

MSURARE

A MRIMII DE IEIRE

f(t)

K B

x

Fig. 1.5

M

Cuplul

cu rotorul

blocat (=0

e

tensiunea

aplicat

Fig. 1.8

( ei tensiunea aplicat

motorului

e3

e2

e1

M

Fig. 1.7

xi(t)

xi(t)=u(t-t1)

xi(t)=0 pt. tt1

1

t=t1 timp

Fig. 1.9

Im

((n (=0

-((n+j(n(1-(2)1/2

(n(1-(2)1/2

cos (

(=1 Re

-((n - j(n(1-(2)1/2

Scara: 1/s

Fig. 1.10

xi G(s) xe

Fig. 1.11

F X

Fig. 1.12

Xi Xe

Fig. 1.13

r(t) SISTEM w(t)

xi(t) SISTEM xe(t)

Fig. 1.15

r(t)

1/a

0 a t

Fig. 1.14

Mrimea de Mrimea de Mrimea intrare acionare Funcia de transfer de ieire

a cii directe

Mrimea Calea

de reacie de reacie

Funcia de transfer

a cii de reacie

Fig. 1.16

Im

m4 m5

m1 m2 m3

A0 Re

m4 m5

stabil instabil

stabil

marginal

Fig. 1.17

xi G(s) xe

Fig. 1.18

xe(t) mrimea de ieire

(rspuns) (0 = A/(1+K)

xi(t) funcie de intrare treapt

t

Fig. 1.19

G2Xi ('= G2Xi - XeH

Xi G2 G1 Xe

XeH

H

Fig. 1.20

M

Xi Ks A Motor Xe

Fig. 1.21

amplificarea

dB

(c - pulsaie de tiere

(c

(

3 dB

Limea benzii

de trecere

Fig. 1.22

( A1 A2

1.00

0.90 tl

0.10

tc

Fig. 1.23

( AKmKs G

Xi s((s + 1) Xe

Fig. 1.24

Xi G(s) Xe

H(s)

Fig. 1.25

Planul s Planul GH

(1 (GH(j()(

( Unghiul

GH(j()

R

a) Fig. 1.26 b)

Planul 1+GH Planul GH

1+GH vector

-1

( (

-1 GH vector

a) Fig. 1.29 b)

Planul s Planul s Planul GH

Im

R sj ( C1 -1 (GH(si)

Re

( si GH(sj) C2

Fig. 1.27 a) Fig. 1.28 b)

TRADUCTOR ELEMENT REGULATOR ELEMENT INSTALAIE

DE INTRARE + DE CORECIE DE EXECUIE TEHNIC

TRADUCTOR

DE REACIE

Fig. 1.30 - Corecia serie

TRADUCTOR REGULATOR ELEMENT INSTALAIE

DE INTRARE + + DE CORECIE TEHNIC

ELEMENT ELEMENT

DE CORECIE DE CORECIE

ELEMENT TRADUCTOR

DE CORECIE DE REACIE

Fig. 1.31 - Corecii pe reacii