Intro Actuariat - Cours1

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Cours d’Introductionà l’Actuariat

Mouna Ait Omar - Rosenbaum

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Partie 1 – Qu’est ce que le Risqueen Assurance

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque� Qu’est ce que le risque ?

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� « Une incertitude qui peut avoir uneffet positif ou negatif»

� Le risque est la notion abstraite« d’aléa » sur les conditionsfinancières, matérielles, corporelles oude vie des individus (collectivités,entreprises, …)

Une des définitions possibles du risqueest l’éventualité d’un événement futur :� incertain (exp accident de voiture)� ou d’un terme indéterminé (exp: décès:

évènement certain, l’incertitude est ladate)

� ne dépendant pas exclusivement de lavolonté des parties

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque� Différents types de risque

�

4

Ou pas

L’assureur doitfaire face aux risques

Il peut décider de “prendre” des

risques

Il peut conserver ces risques, les

transformer et/oules céderLe risque est sa

matièrepremiere

Mais prise de décision risquée

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque

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Quels sont les risques pour un Assureur?

� Risques d’assurance� Différents risques en fonction de l’activité (Auto, Santé, Mortalité, Aviation, RC Médicale…)� Survenance de sinistres (Cat,…)� Comportement des clients face aux contrats (résiliations, rachats…)� Comportement des clients face à leurs risques (anti-sélection…)

� Risques Financiers� Risque d’actifs différents du passif� Risque de changement de conditions des marchés financiers (actions, obligations, taux

d’intérêts…)

� Risques Opérationnels� Fraude� Système informatique (gestion, …)

� Risque de Réputation

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques d’assurance non vie

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� Le risque de provisions (réserves)

� Les provisions sont une estimation, par des méthodes de projection actuarielles des coûts finaux des sinistres à une date donnée.

� Elles peuvent différer du montant final réel pour plusieurs raisons, dont :- Développement du sinistre au cours du temps- Dépenses engagées dans la résolution du sinistre- Changements dus au délai entre l’occurrence et la résolution du sinistre :

modification des coûts, inflation, fluctuation des taux de change…

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques d’assurance non vie

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� Les cycles de marché

� Le marché de l’assurance non vie alterne entre des périodes de compétition intense desprix, lors desquelles elle peut perdre des revenus si elle ne diminue pas ses tarifs et despériodes où le marché est plus favorable

� Les raisons de cette volatilité ne sont pas, pour la plupart, contrôlées par les assureurs. Ils’agit par exemple de la concurrence, des conditions macroéconomiques, ou de lafréquence et la sévérité des catastrophes

� Le risque catastrophe

� Sinistres qui représentent des indemnités très élevées mais sont très peu fréquents

� Difficulté de modélisation et de prévision

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques d’assurance vie

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� Le risque de mortalité

� Une sous estimation des taux de décès peut provoquer un manque de provisions pourcouvrir les contrats d’assurance en cas de décès souscrits

� Risque catastrophe : risque de pandémie mondiale qui augmenterait la mortalitédrastiquement pour les assurés

� Le risque de longévité

� Une durée de vie moyenne plus élevée que prévu impacte les engagements des contrats d’assurance en cas de vie. Pour un montant d’annuités défini à la signature du contrat, avoir à les délivrer plus longtemps que prévu peut poser un problème de solvabilité

� Aujourd’hui l’objectif serait d’évaluer au plus juste le niveau futur de l'amélioration de mortalité pour chaque pays

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques d’assurance vie

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� Les risques comportementaux

� Le rachat massif des contrats est un risque craint par l’assureur qui doit alors détenir lesliquidités suffisantes pour répondre à cette demande

� Cependant, dans les cas où le produit n’a pas les performances attendues, la diminutiondes rachats entraîne une perte de profit pour l’assureur

� Parmi les facteurs explicatifs des rachats on trouve le réseau de distribution, les pénalités de rachats, les garanties offertes, les avantages fiscaux, le contexte économique, et le marché financier qui impacte la performance des fonds

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques financiers (taux d’intérêt)

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� L’exposition à une baisse des taux

� Problème de refinancement : la compagnie d’assurance ne trouve plus sur le marché lemoyen de couvrir ses engagements pris pour rémunérer ses assurés à un Taux MinimumGaranti plus élevé

� L’exposition à une hausse des taux

� Dépréciation du portefeuille : la valeur des obligations se déprécient

� Rachats de contrats : les assurés sont incités à racheter leurs contrats pour bénéficier derémunérations plus attractives ailleurs

� Les crises économiques

=> Mesure préventive

� Détenir un portefeuille avec des obligations de différentes maturités

� S’assurer que la duration du portefeuille reste proche de la duration du passif

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� L’exposition à un effondrement des marchés actions

� Attractivité de certains contrats d’assurance vie : le business sur la branche vie etnotamment les contrats en unités de compte sont affectés par une baisse de l’indiceboursier

� Dépréciation des provisions : une part non négligeable des provisions des différentesbranches (vie, non-vie, prévoyance) est allouée en actions

� Les crises

� La crise boursière de 2008 a été la plus importante depuis celle de 1929 dans la plupartdes pays développés. D’après les données historiques et certains modèles de prédiction,le scénario de 2008 correspondrait à un choc bicentenaire

=> Mesure préventive

� Diversification sur plusieurs marchés

� Limiter l’allocation en actions

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques financiers (Actions)

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� Le risque de contrepartie

� Risque de défaut : l’assureur est contractuellement lié à un certain nombre decontreparties dont la solvabilité est plus ou moins certaine (ex : titrisation auprès deLehman Brothers, fonds de Madoff ...)

� Le risque de rating

� Immobilisation de capital: le régulateur impose aux compagnies les moins bien notéesd’un montant de provisions plus important pour garantir leur solvabilité

� Un déclassement altère la position concurrentielle, l’image auprès du client et descontreparties, augmente le coût de la réassurance, limite la capacité à obtenir dufinancement, peut engendrer des problèmes de liquidité

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques financiers (crédits)

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� Les contextes de crise

� La crise de 2008 a révélé la fragilité financière de nombreuses compagnies ainsi que decertains Etats. Ceci s’est traduit par un important écartement des spreads de crédit

=> Mesures préventives

� Réduire son exposition sur des contreparties moins bien notées

� Diversifier les lignes de business des obligations corporate (automobile, énergie, …)

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques financiers (crédits)

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� Risque de pertes dues à :

� Une erreur dans les processus

� Une erreur humaine

� Une erreur informatique

Qui peuvent être de causes internes ou externes

Ils comprennent les risques légaux, mais pas les risques dus aux décisions stratégiques

Mise en place d’une méthode d’identification, de chiffrage et de suivi du risque opérationnelcommune à l’ensemble du groupe

Ils peuvent avoir pour conséquence une augmentation du risq ue de réputation.

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques opérationnels

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – Risques émergents

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� Risque nouveau

� Pollution et fœtus : une étude publiée dans Journal of Epidemiology and Community Health (Juin2009) montre qu’une forte exposition à la pollution de l’air pendant la grossesse serait à l’origine demalformations des fœtus

� Risque environnemental

� Le changement climatique : Les effets du changement climatique sur l’évolution de l’environnementet des catastrophes naturelles est un sujet de préoccupation pour les (ré)assureurs. Par exemple, uneétude menée par l’université d’Harvard (ingénierie et sciences appliquées) met en avant l’associationentre le changement climatique et les feux de forêts

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – gérer les risques

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RisqueProfitabilité

� Equilibre entre rentabilité et risque

Cours d’Introduction à l’ActuariatIntroduction au risque – gérer les risques� Importance de la compréhension des risques et d’une bonne

approche face aux risques

Exemple: 2 jeux:

� Importance de la mutualisation des risques

17

50% 50%50% 50%

Game BGame A

... Quel jeu allez vous séléctionner ?

Results:

Game BGame A

... Allez vous changer de jeux ?

��

18


Partie 1 – Introduction à l’Assurance

Introduction à L’AssuranceSommaire

19

1 Histoire de l’Assurance

2 Quelques Principes Fondamentaux

3 Marché de l’Assurance

4 Approche Statistique de l’Assurance

5 Assurance et Contraintes Réglementaires


20






Histoire de l’AssuranceCommerce maritime et Incendie de Londres

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� Premiers contrats d’assurance� Traces en Mésopotamie, Rome Antique et

Egypte : répartitions des pertes dues aux vols & pillages entre les commerçants

� Contrat « à la grosse aventure » chez les Grecs et les Romains : opération de crédit avec risque de perte totale de la somme pour le prêteur

� Assurance maritime dans les ports de Barcelone, Gênes et Venise au XIVème : 1er contrat d’assurance à Gênes en 1347, 1ère compagnie d’assurance maritime en 1424.

� Le développement de l’assurance� Assurance – Vie : premières tontines créés par le

financier Lorenzo Tonti en 1652� Grand incendie de Londres le 2 Septembre 1666

: Création de compagnies d’assurance contre l’incendie en réponse

� 1681 : Ordonnance de Colbert réglementant l’assurance maritime

� En France en 1787, la Compagnie royale d’assurance vie est créée, utilisant des taux fixés par le Conseil du roi de France. Séparation assurance incendie et assurance vie rendues obligatoires

Histoire de l’AssuranceAssurance Moderne

� L’assurance après la révolution

� Ralentissement à cause de la révolution

� 1816 : Ordonnance royale régulant l’assurance contre l’incendie

� Reprise à partir de 1816, avec création de UAP (ex AXA), Royale ( GAN), Phénix (AGF, Allianz)

� 1930 : loi sur le contrat d’assurance et décret en 1938 avec la généralisation du contrôle de l’Etat à toutes les sociétés d’assurance

� Création de la Caisse Centrale de Réassurance en 1946 et nationalisations partielles

� 1958 : loi rendant obligatoire l’assurance automobile

� 1970 : liberté de tarification automobile sous réserve de l’insertion d’une clause bonus-malus

� Code des Assurances créé officiellement en 1976

� Loi Spinetta assurance construction, loi sur les catastrophes naturelles, loi Badinter sur les victimes d’accidents automobiles.

� En 1990, privatisation des sociétés nationalisées et libéralisation définitive du secteur

22


23






1.2 - Quelques Principes FondamentauxPrincipe Fondamental : la mutualisation

� Contrat entre l’assureur et l’assuré pour lequel:� L’assuré paie une prime� L’assureur s’engage à verser une indemnité en cas de sinistre, ie si le risque se réalise� Matérialisation du contrat par un document : police d’assurance

Le sinistre est défini comme un événement:- Aléatoire- Futur- En dehors de la volonté des parties

Assuré AssureurPrime

Indemnité

Contrat d’assurance : convention par laquelle une ou plusieurs personnes s’obligent, envers une ou plusieurs autres, à donner, à faire ou à ne pas faire quelque chose (contrat, art. 1101 code civil)

� Un produit d’assurance est un produit à cycle de pr oduction inversé� Le coût du produit est, par définition du contrat, inconnu au moment de la signature du contrat:

Prime

Prestation t

Exemples de sinistres couverts: incendie d’une propriété, décès de l’assuré, tremblement de terre, mais aussi assurances plus exotiques (Lloyds’) comme perte de la voix, d’un membre…

� Principe de mutualisation des risques� Assureur mutualise les risques auxquels les assurés ne peuvent faire face individuellement

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1.2 - Quelques Principes FondamentauxContrat d’Assurance

Assuré, Souscripteur et Bénéficiaire� Assuré -> court le risque� Souscripteur -> signe le contrat� Bénéficiaire -> perçoit l’indemnité

Un même individu peut être à la fois l’assuré, le bénéficiaire et le souscripteur.

Contrat Individuel vs. Contrat Collectif� Contrat Individuel: souscripteur = personne

physique, l’assuré = une ou plusieurs personnes

� Contrat Collectif: = personne morale, nombreux assurés.

L’Assureur� Sociétés Commerciales : associés =

actionnaires� Sociétés Mutuelles : associés = assurés

Intermédiaires:� Agent Général� Courtier� Banque

25

1.2 - Quelques Principes FondamentauxContrat d’Assurance

26

Quand un bien est il assurable?Pour qu’il soit assurable, le risque doit répondre à 4 critères:� Aléatoire

La réalisation du risque doit être aléatoire� Non volontaire

Le risque doit être indépendant de la volonté de l’assuré� Homogène� Dispersé

le risque doit être dispersé dans le temps et l’espace

Rôle de l’assurance :Les individus ou les groupes d’individus ne sont pas égaux face aux risques et peuvent se comporter tellement différemment (aversion aux risques) que les états ont imposé certaines couvertures de risques (RC automobile, Risques liés à la construction de biens immobiliers) afin d’éviter des dérèglements graves de la société

1.2 - Quelques Principes FondamentauxClassification des Garanties

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� Catégories d’Opérations d’Assurance

Il existe 3 grandes catégories d’ opérations d’assurance d’après le code des assurances

1. Les opérations d’assurance vie et de capitalisation2. Les opérations d’assurance dommages corporels liés aux accidents et à la maladie3. Les opérations d’assurance des autres risques et celles d’assistance

� Principe de séparation� Opérations 1 et 3 ne peuvent être pratiquées par la même compagnie� Sauf dans le cas de groupes où les activités et risques de solvabilité sont distincts

� Plusieurs types d’Assurance possibles:1. Assurance Vie et Capitalisation : Assurance Vie en France2. Assurance de Personnes : Prévoyance, Assurance Mixte3. Assurance Non vie et assistance : Assurance IARD4. Assurance de dommages aux biens, responsabilité et assistance

1.2 - Quelques Principes FondamentauxLes différentes formes de sociétés

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Il faut différencier les sociétés d’assurance en fonction d es grands principes dedétermination des coûts des risques et de la nature du transf ert de risque (lié à laréglementation parfois)

On distingue donc au niveau juridique:

� Les sociétés vies (principe forfaitaire) des sociétés IARD (principe indemnitaire)

� Les sociétés anonymes (prise en compte de la rémunération de s actionnaires surles risques qui sont transférés) des mutuelles (les risques sont répartis sur lessociétaires qui composent la mutualité)

1.2 - Quelques Principes FondamentauxLes Branches d’Assurance

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Branches d’Assurance :

1) Accidents (assurance "individuelle accidents")2) Maladie3) Corps de véhicules terrestres4) Corps de véhicules ferroviaires5) Corps de véhicules aériens6) Corps de véhicules maritimes, lacustres et fluviaux7) Marchandises transportées8) Incendie et éléments naturels9) Autres dommages aux biens (risques divers)10) Responsabilité civile véhicules terrestres automoteurs11) Responsabilité civile véhicules aériens12) Responsabilité civile véhicules maritimes, lacustres et fluviaux13) Responsabilité civile générale14) Crédit15) Caution16) Pertes pécuniaires diverses17) Protection juridique18) Assistance19) Le numéro n'est pas affecté à une branche20) Vie, décès21) Nuptialité, natalité22) Assurances liées à des fonds d'investissement23) Opération tontinière24) Capitalisation25) Gestion de fonds collectifs26) Prévoyance Collective

1.2 - Quelques Principes FondamentauxAutres mécanismes

30

� Autres Mécanismes Classiques:� Coassurance� Réassurance� Rétro-cession

Assuré

Assureur 1

Prime

Indemnité

Assureur 2

Intermédiaire

X%

1 - X%

Coassurance

Réassureur 1

Réassurance

Réassureur 2

Rétrocession


31






1.3 - Marché de l’AssuranceQuelques chiffres…

32

160

46

1830

1350 Réassurance dePersonnes

Réssurance de biens etresponsabilité civile

France22%

France77%

Chiffre d’Affaires du marché de l’Assurance (Milliards Euros)

Assurance de Personnes28%%

Assurance de Bien et Responsabilité

72%

Chiffre d’Affaires du marché de la Réassurance Mondiale (Milliards Euros)

Monde58%

Monde42%

Chiffres approximatifs, sources : Insee, FFSA

40

120

Réassurance dePersonnes

Réssurance de biens etresponsabilité civile

1.3 - Marché de l’AssuranceCommentaires

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� Le chiffre d’affaire de l’assurance française corre spond environ à 10% du PIB français

� En tenant compte du Chiffre d’Affaire de la Sécurit é Sociale, environ 35% du PIB� Obligations� Emprunts d’Etat� Actions

Financement de l’Etat, des entreprises, de l’industrie.

� Réassurance Non-Vie et Réassurance Vie:� Assurances vie : montants relativement faibles et calculs précis� Assurance non-vie : pertes potentiellement très élevées (ex : catastrophes naturelles), sommes

couvertes potentiellement très élevées (ex : risques industriels)

CA (chiffre d’affaires) de la Réassurance non-vie 2 fois supérieur à celui de la vie.

1.3 - Marché de l’AssuranceActeurs Principaux

34

Classement des 10 premiers groupes d’assurances Français – cotisations en milliards € - vision consolidées

Classement des 10 premiers groupes d’assurances Français – cotisations en milliards €- Vie / Non-Vie, en France


35






1.4 - Approche Statistique de l’AssurancePrime

36

� Notationsn : nombre d’assurési : ième assuréXi ≥ 0 : variable aléatoire réelle de la prestation versée à l’assuré iSn = 1/n ∑Xi : variable aléatoire réelle de la prestation moyenne versée à un assuré

� Les différentes primes d’assurance

πi = E(Xi): prime pure de la police . Elle compense en moyenne les dépenses des sinistres mais ne couvre pas les fluctuations de ces dépenses.

πi’ = πi + CT : prime technique , où CT est le chargement technique (safety loading). Il doit permettre à l’assureur de faire face aux fluctuations de Xi.

πi’’ = πi’ /(1 – g – c) : prime commerciale . Elle inclut : - g, le taux de chargement de gestion- c, le chargement d’acquisition

La somme des prestations à payer est donc ∑Xi et les primes pures perçues n x π = ∑πii . La prime pure moyenne du contrat est donc π = E(Sn) = 1/n ∑ E(Xi).

1.4 - Approche Statistique de l’AssuranceLoi des Grands Nombres et Prime Pure

37

� Inégalité de Bienaymé TchebycheffSoit X une variable aléatoire de moyenne µ et de variance finie s2, alors on a:

P( | X – µ | > ε) < s2/ε2

Pour tout ε > 0.

Loi des Grands Nombres (Rappel)Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance µ et

variance s2 <+∞. On a alors: E(Sn) = E(1/n∑n

j=1 Xj) = µ et var(Sn) = var(∑nj=1 Xj/n) = s2/n.

Alors, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff :

P( |∑nj=1 Xj /n - µ| > ε) ≤ var(∑n

j=1 Xj/n)/ε2 � 0 quand n tend vers l’infini,ie Sn = ∑n

j=1 Xj /n converge en probabilité vers l’espérance µ.

� InterprétationLa charge moyenne de sinistre par police converge en probabilité vers la prime pure moyenne π . L’incertitude liée à n contrats n’est que de (n)1/2 l’écart-type d’un seul contrat. On a donc une diminution de l’incertitude relative liée aux prestations à verser.

1.4 - Approche Statistique de l’AssuranceHypothèses sous-jacentes à la loi des grands nombres

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� Résultat asymptotique : portefeuille de contrats im portant

� Indépendance : inapplicable pour les catastrophes n aturelles (forte corrélation des risques)

� Variables Identiquement Distribuées : groupes d’ass urance homogènes

� Homogénéité des natures de risque (incendie / RC / …)� Homogénéité des assurés (âge, sexe, …)� Homogénéité des sommes assurées.

> Lorsque les conditions de la loi des grands nombr es ne sont pas réunies, l’assureur peut faire appel à la réassurance

1.4 - Approche Statistique de l’AssuranceThéorème de la Limite Centrale

39

Théorème de la Limite Centrale (Théorème de Levy-Li ndberg)Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance µ et

variance s2 <+∞. Alors: (∑n

j=1 Xj – nµ)/(s√n) = √n(Sn-µ)/s converge en loi vers N(0,1)

ie P[√n(Sn-µ)/s ≤ x ] -> Φ(x)

pour tout x quand n tend vers l’infini.

� Interprétation :

La charge moyenne de sinistre par police converge en probabilité vers la prime pure πi (loi des grands nombres). Lorsque le nombre de contrats est suffisamment grand, la charge moyenne par sinistre suit une loi normale de moyenne la prime pure et de variance s2/n (Théorème Central Limite).

1.4 - Approche Statistique de l’AssuranceProbabilité de Ruine

40

� Probabilité de ruine: probabilité que la charge totale des sinistres sur une période excède l’encaissement correspondant des primes, augmenté éventuellement du capital κ dont dispose la compagnie:

PR = P[ ∑nj=1 Xj > nπ + κ ]

� Le calcul de PR se fait soit explicitement, soit en se basant sur des hypothèses comme la loi des grands nombres. Dans le cas où les hypothèses de la LGN sont réunies, on a alors:

PR = 1 – Φ( (n(π-µ) + κ)/(s√n) )

> la probabilité de ruine diminue avec la différence (π-µ) et avec le capital κ> elle augmente lorsque la volatilité des contrats augmente

> Ajout d’un chargement technique ou de capital pou r diminuer la probabilité de ruine.

Remarque : en assurance vie, le chargement technique est souvent implicite, et découle de l‘utilisation de tables de mortalités « prudentes ».

1.4 - Approche Statistique de l’AssuranceDiminution de la Probabilité de Ruine

41

On cherche à diminuer la probabilité de ruine, dans le cadre où π = µ (prime pure) et κ = 0,PR0 = 1 – Φ(1/(s√n))

� Chargement de la prime pure

PR2 = 1 – Φ( αµ/(s√n) ) < PR1où αµ est le chargement technique. Autres exemples de chargements techniques : ct = ασ2

ct = ασct = αµ3, où µ3 est le moment centré d’ordre 3 (µ3(X) = E((X-E(X))3). Dans le cas où la distribution est

étalée vers la droite, µ3>0.…

� Introduction d’un réserve affectée au risqueSoit R = montent de la réserve affecté au risque. Alors:

PR3 = 1 – Φ( (R+αµ)/(s√n) ) < PR2 < PR1

� Utilisation de la réassurance.- Réassurance proportionnelle vs. Réassurance non-proportionnelle.- Quote-part : τ = plein de conservation de l’assureur (exemple : τ = 50%). Si le réassureur

applique le même chargement technique que l’assureur : PR4 = P[ τ∑n

j=1 Xj > ταµ + R ] = 1 – Φ( (R/τ+αµ)/(s√n) )

1.4 - Approche Statistique de l’AssuranceProbabilité de Ruine - Exemple

42

� Au 01/01/N, un assureur commence son activité. Son capital de départ est de M = 457 000 €

� Il propose un contrat Auto pour lequel les statistiques professionnelles indiquent que:

- la fréquence des sinistres est de f = 13,6%

- le coût moyen d'un sinistre est de CM = 1 340 €

� Il garantit n = 10 000 assurés moyennant une prime commerciale P = 230 €par assuré

� Ses frais de gestion seront FG = 0,365 M€ en année N

� Quelle est son espérance de résultat N : E(Résultat) ?


43

� Espérance du résultat E(résultat) :

= nombre d’assuré X prime commerciale – Sinistres – Frais Généraux

= n X P – S – FG

� Avec: S = somme des sinistres de l’année : S= S Si

E(résultat) = n X P – E(S) – FG

� Loi des grands nombre: « Plus est grand le nombre de risques, plus la fréquence et le coût unitaire des sinistres se rapprochent de la fréquence et du coût unitaire probables »:

E(S) = n X E(Si) = n X f X CM


44

� Donc : Si les risques sont indépendants et le nombre N assez grand, le remboursement moyen tend presque sûrement vers l'espérance mathématique du risque que l'on appelle prime pure.

� Pp = E(Si) = f X CM = 13,6% X 1 340 = 182 €

� E(S) = n X E(Si) = 10 000 X 182 = 1,8 M€

� E(Résultat) = n X P – E(S) – FG = 0,11 M€


45

� Quelle est la probabilité de perte ?

� Probabilité de perte = P(Résultat <0) = P (R<0) = ?


46

� Quelle est la probabilité de perte ?

� On peut « centrer - réduire »

� Nous pouvons utiliser l ’approximation suivante:

� Soit

� Théorème Central Limite: si les (Xi) sont indépendants, alors:

suit asymptotiquement une loi normale centrée réduite

P R PR E R

R

E R

R( )

( )

( )

( )

( )< = − < −

0

σ σ

R E R

RN

− →( )

( )( , )

σ0 1

XX

nn

i= ∑

Xn E Xn

XnN

− →( )

( )( , )

σ0 1


47

�

= Proba (N(0,1) < t)

� Avec lecture directe dans la table de la loi normale

� Exp: si σ(R) = 87 900 alors E(R) / σ(R) = 112 600 / 87 900 = 1,281

P R PR E R

R

E R

R( )

( )

( )

( )

( )< = − < −

0

σ σ

>−=

>−=

−<−=< 281,1)(

)()()(

)()(

)(

)(

)(

)()0(

RRER

RRE

RRER

PPR

RE

R

RERPRP

σσσσσ=10%


48

� La probabilité de ruine = Proba (R < - Capital initial) = Proba (R < -M)

� nous obtenons une probabilité de ruine jugée trop grande:

� Pour « diminuer la probabilité de ruine, il faut augmenter le paramètre:

P(R < -M) PR - E(R)

(R)⇔ < − −

σ σ

M E R

R

( )

( )

P(R < -M) P⇔ < − −

U

M E R

R

( )

( )σ

)(

)(

)(

)(

i

i

Sn

FGSEnPnM

R

REM

σσ ×−×−×+=+


49

� Si nous obtenons une probabilité de ruine jugée trop grande: pour « diminuer la probabilité de ruine, il faut augmenter le paramètre

Solutions possibles:

� Augmenter le capital M

� Augmenter le nombre de clients n (sans changer la structure des sinistres)

� Augmenter la prime P

� Diminuer les frais FG

� Diminuer la volatilité de la charge σ (par la réassurance par exemple)

)(

)(

i

i

Sn

FGSEnPnM

σ×−×−×+


50






1.5 - Assurance et Contraintes RéglementairesRéglementation et indicateurs de solvabilité

51

� Solvabilité I : directive européenne de 1973 (non-v ie) et 1979 (branche vie)- Marge de Solvabilité (MS) : capacité à respecter à tout instant ses engagements. Obligation : MS > EMS

- Exigence de Solvabilité (EMS) Non-VieElle concerne :- IARD- Incapacité, Invalidité- Frais de santé, Décès Accidentel- Dépendance

Elle est calculée comme le maximum de : - 18% des primes encaissées de l’année en cours sur la première tranche de 50 millions, 16% de ces primes au-delà.- 26% de la moyenne des sinistres des trois dernières années pour la première tranche de 35 millions, 23% au-delà.

- Exigence de Solvabilité (EMS) VieElle concerne :

- Décès- Rentes - Contrats Obsèques- Epargne- Retraite

Elle est calculée comme la somme de : - 4% des provisions mathématiques du fonds en euros et 1% des contrats en unités de compte, avec déduction partielle de la

part réassurée- 0,1% à 0,3% des capitaux sous risques en fonction de la durée de l’engagement.

- Le Fond minimum de Garantie : minimum entre 33% de l’EMS et 2 à 3 millions € selon la branche.

� Limites à Solvabilité I:- Pas de distinctions entre les risques.- Pas de différenciation de deux compagnies en fonctions des risques sous-jacents.- Vision retrospective uniquement

1.5 - Assurance et Contraintes RéglementairesRéglementation et indicateurs de solvabilité

52

� Solvabilité II : directive de 2007. Application ini tialement prévue en 2010

Calcul du capital cible nécessaire à un assureur pour pouvoir supporter les risques encourus avec une probabilité insuffisante.

- Pilier I : les règles quantitatives – Marges de solvabilités minimales, provisions techniques.

- Pilier II : droit de regard des autorité de contrôle CEIOPS, ACP et application de mesures ciblées pour réduire les risques.

- Pilier II I : information publique dans le cadre de la discipline de marché, vers les superviseurs, …

� Minimal Capital Requirement (MCR). Niveau minimal en deçà duquel les capitaux ne doivent pas chuter. Action : augmentation de capital.

� Solvency Capital Requirement (SCR): montant de capital requis pour couvrir le risque de probabilité de ruine de 0,5% sur un an.Il y a ruine si Valeur Actuelle Actif – Passif < 0 (en valeur de marché).

Deux approches possibles : Formule Standard vs. Modèle Interne.

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Annexe Partie 1 – Solvabilité II

From Solvency I to Solvency IIS2 defines a risk based approach to measure capital

• Market consistent valuation framework

• Risk sensitivity approach to calculatecapital requirements

• 1-year VaR measure @ 99.5% quantileof “Basic Own Funds”

• Solvency Ratio = Resources / Requirements= “AFR” / “SCR”

• Different statutory capital rules across Europe (no level playing field)• Simple formulas to assess capital requirements (pre miums / reserves)• No risk assessment on Asset side of b/s (concentrat ion rules only)• No incentives for sound Risk Management (prudence s et by regulator)

From Solvency I …

… to Solvency IIMeasure of CapitalKey Principles

• Explicit measure of requirements bysub-risk categories

• Some credit given to risk mitigation techniques (ALM, hedging, reinsurance)

• Recognition of diversification benefits at Group level (by risks & geographies)

• New forms of soft capital ( e.g. VIF)

• Internal model tailored to companyrisk profile

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Solvency II DirectiveQuantitative & qualitative pillars

Pillar 1 Pillar 2 Pillar 3Quantitative CapitalRequirements

QualitativeSupervisory Review Market Discipline

• Technical Provisions

• Minimum Capital Requirement (MCR)

• Solvency Capital Requirement (SCR)

• Investment Rules

• Principles for Internal Control and Risk Management

• Supervisory Review Process

• Use Test

• Transparent Disclosure

• Quarterly Reporting Template (QRT)

• Review of key model parameters by regulators

• Market Consistent Valuation

• Validation of Internal Models

• New supervisory focus

• Risk Mgmt fully embedded in industry value chain

• Alignment of QRT information with KPIs for financial reporting & business uses

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• Equity• Interest Rates• Spread• Volatility• Inflation• Foreign Exchange• Govies Spread• Hedge Fund• Private Equity• Real Estate

MarketRisk

• Fixed Income• Reinsurance• Mortgage• Receivables

CreditRisk

• Reserve• Premium• Catastrophe

P&C InsuranceRisk

• Catastrophe (Pandemic)

• Mortality• Longevity• Disability /

Medical Expenses• Lapses• Mass Lapse• Other Customer

Behavior• Expenses

Life InsuranceRisk

• Internal Fraud• External Fraud• Employment

Practices• Client, Product &

Business Practices• Business Disruption

& System Failure• Execution, Delivery

& Process Mgmt

OperationalRisk

A specific measure of capital for each risk category

Internal Model Framework

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Documents

Intro Actuariat - Cours1